TPICOS DE INTERS PARA INGENIEROSProf. Ing. Gustavo Guerrero, M.Sc.

1.- FLUJO DE CAJA Y EQUIVALENCIAS

1.1.- Diagramas de flujo de caja1.2.- Valor del dinero en el tiempo1.3.- Factores de descuento y equivalencias1.3.1.- Equivalencias a pagos nicos1.3.1.1.- Valor equivalente1.3.1.2.- Notacin estndar1.3.1.3.- Actualizacin. Valor presente1.3.1.4.- Tasas de inters nominal y efectiva1.3.2.- Equivalencias a pagos uniformes1.3.2.1.- Valor futuro de una anualidad1.3.2.2.- Fondo de amortizacin (Sinking fund)1.3.2.3.- Valor presente de una anualidad1.3.2.4.- Recuperacin de inversiones1.3.3.- Equivalencias a pagos en gradiente1.4.- Capitalizacin continua.

El propsito de estas notas es familiarizar al estudiante con el conocimiento bsico que requiere el ingeniero para el anlisis econmico de los problemas que puede encontrar en el ejercicio de su profesin.En esta primera parte nos referiremos a los diversos flujos de caja que se producen en el tiempo y a sus equivalencias. Estos conceptos son bsicos para todo el estudio de la ingeniera econmica. En una segunda parte se cubrirn aspectos de depreciacin, recuperacin del capital, bonos y otros. Una tercera y ltima parte cubre aspectos de comparacin entre alternativas de inversin

1.1.- DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA

Si en una lnea de tiempos se colocan los valores en juego se obtienen los diagramas de flujo de caja (efectivo), de gran utilidad para el anlisis de los problemas ya que permiten apreciaciones intuitivas de su solucin. Sobre la lnea de tiempo se colocan flechas hacia arriba para sealar los ingresos con signo positivo y hacia abajo para los egresos que se marcarn como negativos. Las flechas se ubican en el instante que se produce el ingreso o egreso, al inicio o al final de un perodo con longitudes aproximadamente proporcionales a la magnitud del flujo.

( + ) 01 2 3 4 tiempo ( - )

Si un flujo de efectivo se considera como ingreso o egreso depende del punto de vista del proyecto en consideracin. Por ejemplo, el inters pagado por un prstamo representa un desembolso (egreso) para el deudor pero es un ingreso para el acreedor.

Consideremos por ejemplo, un dispositivo mecnico que cuesta $20,000 al momento de su compra. El mantenimiento costar $1,000 cada ao. El dispositivo generar renta por $5,000 anuales durante 5 aos luego de los cuales se espera que tenga un valor residual de $7,000. El diagrama de flujo de caja se muestra en la figura 1(a), y una versin simplificada en la figura 1(b).

A fin de evaluar un proyecto de la vida real, es necesario presentar los flujos de caja en trminos de flujos estndar que puedan ser manejados utilizando tcnicas de ingeniera econmica. Los flujos de caja estndar son: flujo de pago nico, flujo de pagos uniformes, y flujo de pagos en gradiente.

Un flujo de caja de pago nico puede ocurrir al comienzo de una lnea de tiempo (designada como t = 0), al final de la lnea de tiempo (designada como t = n), o en cualquier momento entre ambos.

Un flujo de caja de pagos uniformes, ilustrado en la figura 2, consiste de una serie de valores iguales comenzando en t = 1 y terminando en t = n. El smbolo A que representa una cantidad anual) designa tpicamente a la magnitud de cada flujo de caja individual. Por convencin se asume que todos los ingresos y egresos ocurren al final del ao en que se producen. Se exceptan los costos que se dan al inicio del proyecto, costos de adquisicin, de inversin y otros flujos relacionados con el inicio del proyecto en t = 0.

Un flujo de caja con pagos en gradiente, ilustrado en la figura 3, comienza con un flujo (representado tpicamente con el smbolo G en t = 2 y se incrementa en G cada ao hasta t = n, en cuyo momento el valor del flujo ser (n 1)G. El valor de la gradiente en t = 1 es cero.

1.2.- VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

La ingeniera econmica gira alrededor de dos conceptos bsicos. Un primer concepto sostiene que si una persona presta dinero a otra, el prestamista tiene derecho a algn tipo de recompensa, esta recompensa se llama inters. El otro concepto mantiene que una suma especfica de dinero que se posee hoy, ganando inters ao por ao, se incrementar en el futuro, de acuerdo con la tasa de inters. Igual sucede al contrario, una suma especfica de dinero en el futuro, es equivalente a otra suma de dinero en el presente, dependiendo tambin de la tasa de inters, que para este caso inverso se conoce como tasa de descuento. En base a estos dos conceptos fundamentales se construye toda la matemtica financiera, tal como la determinacin del valor futuro de una anualidad o el clculo de la tasa de rendimiento de una inversin, etc.

Los nicos instrumentos que se requieren son: Las tablas de inters y una visin clara en relacin al movimiento del dinero de presente a futuro y viceversa.

1.3.- FACTORES Y EQUIVALENCIAS

1.3.1.- EQUIVALENCIAS A PAGOS NICOS

Si i representa la tasa de inters anual, P la suma de dinero en el presente (ahora) y n un nmero de aos, el inters al final de un ao es P.i . Si el inversionista retira los intereses cada ao habr cobrado despus de un nmero n de aos, un acumulado de intereses igual a P.i.n. Este sistema de acumulacin se conoce como inters simple porque no capitaliza los intereses.

Pero si el inversionista no retira los intereses y cada ao reinvierte stos a la misma tasa de inters que la inversin original, entonces puede observarse que el capital P original (tambin llamado principal) ha aumentado a P + Pi = P(1+i) despus de un ao; a P(l+i) + P(1+i)i = P(l+i)2 al cabo de dos aos; y a P(l+i)3 al cabo de tres aos. Este sistema de acumulacin en el que cada ao se capitalizan los intereses generados se conoce como inters compuesto.

Se tiene entonces, en forma general, que una inversin original P a una tasa i de inters compuesto ha aumentado, despus de n aos a un valor futuro F equivalente dado por:F = P (1 + i)n(1)

en donde el factor (1 + i )n se conoce como factor de acumulacin F/P a pago nico.

En resumen puede decirse que se puede prestar dinero a inters simple cuando no hay capitalizacin de intereses y stos se retiran al final de cada ao o perodo. Si el inters no se retira sino que se capitaliza cada perodo para recibir un monto al final que incluye capital e intereses, hablamos de un prstamo a inters compuesto. El concepto de capitalizacin se refiere, entonces, al estudio del valor (monto) F en fecha futura en que se convertirn los capitales P colocados en la fecha actual o presente. Prcticamente todas las operaciones en ingeniera econmica se calculan a inters compuesto. Debe observarse que la tasa de inters i utilizada se refiere a cada perodo n. Si n est dado en aos, la tasa correspondiente ser anual. Si n est en meses o semestres, debe utilizarse la tasa correspondiente mensual o semestral, etc.

Ejemplo 1: El seor Barriga recibe un prstamo de $ 1.000 a 3 aos plazo al 10% anual. Se pregunta cunto deber pagar el Sr. Barriga a los 3 aos, 1) a inters simple? 2) a inters compuesto?

Solucin: Inters SimpleInters Compuesto

1,000 x 0.10 = 1001,000 x 0.10 = 1001er. ao1,000 + 100 = 1,100 1,000 + 100 = 1,100

1,000 x 0.10 = 1001,100 x 0.10 = 1102. Ao1,100 + 100 = 1,2001,100 + 110 = 1,210

1,000 x 0.10 = 1001,210 x 0.10 = 1213er. ao1,200 + 100 = 1,3001,210 + 121 = 1,331

1.3.1.1.- VALOR EQUIVALENTE

Si se invierten ahora $ 1000 a una tasa de inters compuesto del 12% esta suma capitalizar $ 1762 despus de 5 aos. Luego, si a usted le preguntan qu prefiere tener, $ 1000 hoy o $ 1762 despus de 5 aos? la respuesta sera indiferente, siempre y cuando no se necesite el dinero ni disminuya la tasa. Podemos afirmar entonces que es equivalente recibir $ 1762 al 12% de inters dentro de 5 aos a recibir $ 1000 hoy. En el ejemplo anterior Los $1000 invertidos hoy al 10% equivalen a $1300 despus de 3 aos si la inversin se realiza a inters simple, y a $1331 si se realiza a inters compuesto.

1.3.1.2.-NOTACIN ESTNDAR

Una manera de expresar los diferentes factores en ingeniera econmica es mediante el empleo de una notacin estndar que expresa los mismos en forma abreviada y evita escribirlos cada vez. Esta notacin incluye la tasa de inters y el nmero de perodos y aparece siempre en la forma general (X/Y, i%, n). La primera letra, X, dentro del parntesis representa lo que se desea encontrar, mientras que la segunda, Y, representa el valor conocido. As por ejemplo, F/P significa encontrar F cuando se conoce P. La i% es la tasa de inters y n representa el nmero de perodos involucrados. Por tanto, (F/P, 6%, 20) representa el factor de acumulacin a pago nico (1+0.06)20, visto antes, que al ser multiplicado por un valor P invertido hoy nos permite encontrar la cantidad futura de dinero F acumulada en 20 perodos a una tasa de inters del 6% por perodo. La frmula (1) puede representarse en notacin estndar como F=P(F/P, i%, n) donde F/P representa el factor (1+i)n.

Para facilidad del clculo, existen tablas financieras en donde se encuentran tabulados los valores F/P, P/F y otros factores que se vern luego para diferentes tasas y plazos, los cuales iremos revisando a medida que avancemos en el estudio.

1.3.1.3.- ACTUALIZACIN. VALOR PRESENTE

En (1) qued definido que un valor original P invertido hoy a una tasa i de inters compuesto se convierte despus de n aos en un monto equivalente dado por F=P(1+i)n. De aqu puede decirse inversamente que un valor F a obtenerse despus de n aos equivale a un valor P hoy considerando una tasa de descuento i. En trminos matemticos lo anterior significa despejar en (1) el valor del capital:

P = F (2)

Este proceso inverso se conoce como actualizacin. La expresin (2) permite encontrar el Valor Actual o valor presente P de la inversin conociendo el monto futuro de la misma despus de n perodos. La parte fraccionaria de (2) se conoce como factor de descuento P/F a pago nico. En notacin estndar (2) se puede expresar como P = F(P/F, i%, n).

En otras palabras, el concepto de actualizacin se refiere a determinar los valores en la fecha actual o presente de valores o montos que se recibirn en fecha futura.

En resumen, sobre los conceptos ya analizados, capitalizar es trasladar y cuantificar capitales del presente al futuro (ec. 1). Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente (ec. 2).

Ejemplo 2:Hace cinco aos la empresa ACME invirti una cantidad de dinero al 6% capitalizable trimestralmente por lo cual recibi $ 5,000 al trmino del plazo. Determine el capital invertido.Solucin:Tasa de inters trimestral:0.06/4 = 0.015Plazo en trimestres:5 x 4 = 20A partir de (2): P = F(P/F, 0.015, 20) = 5,000 x (P/F, 0.015, 20) P = 5,000 x 0.74247042 = $ 3,712.35

El valor en parntesis corresponde al factor de descuento a pago nico que se puede calcular de la parte fraccionaria de (2) o utilizando tablas financieras para la tasa y plazo dados.

1.3.1.4.- TASAS DE INTERS NOMINAL Y EFECTIVA

La tasa de inters anual contratada para una operacin financiera se conoce como la tasa nominal de la misma. Si contratamos una inversin de $100 con el banco al 12% de inters anual pagadero al trmino de 1 ao, sta es la tasa nominal. Esto significa que al final del ao recibiremos 100(1+0.12)= $112. La tasa nominal es una tasa de inters simple.

Ahora, si la inversin contratada del ejemplo estipula que los intereses se capitalizan, digamos, trimestralmente (tasa de inters trimestral = 124 = 3%), al finalizar el ao habremos recibido, aplicando la frmula del inters compuesto, 100(1+0.03)4= $112.55. Tenemos entonces que, para la operacin contratada inicialmente, la tasa es del 12% (nominal anual) pero, si la periodicidad de la capitalizacin de los intereses es trimestral, la tasa que acta es del 12.55% (se sobreentiende anual). Esta ltima es la tasa efectiva de la inversin con capitalizacin trimestral aunque la nominal sea del 12%. La tasa efectiva es la que realmente acta sobre el capital de la operacin financiera.

La capitalizacin del inters en un determinado nmero de veces por ao, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal ya que en la nominal el inters slo se capitaliza una vez al final del ao. Si la capitalizacin se produce slo una vez en el perodo, las tasas nominal y efectiva son equivalentes. As, el 12%, tasa nominal pagadera al final del ao , es tambin la tasa efectiva del mismo; el 3% trimestral es la tasa efectiva para dicho perodo; de igual manera, el 12.55%, tasa efectiva anual con capitalizacin trimestral, es tambin la tasa nominal para dicho perodo si la capitalizacin se produjera una sola vez al finalizar el ao.

En trminos generales, un capital P contratado a una tasa de inters anual r capitalizable m veces, al finalizar el ao se convertir en F=P(1+r/m)m . Por otro lado, segn lo dicho, este mismo capital P genera un monto equivalente a F=P(1+ ie) al final del ao si se lo coloca con un solo vencimiento a la tasa efectiva ie.

Puesto que ambos valores son equivalentes, la tasa efectiva ie estar dada por:

ie = 1 (3)donder = tasa nominal anualm = nmero de capitalizaciones en el ao

As, un prstamo de $90,000 al 12% anual contratado a 5 aos con pagos semestrales, da lugar a una tasa efectiva anual de ie = (1+0.12/2)2 1 = 0.1236 , es decir 12.36%

Como se ve, en el clculo no interviene el capital ni el plazo para el pago.

La tasa efectiva depende, entonces, de la periodicidad de los pagos del prstamo (o de la inversin si estamos haciendo una). El perodo de capitalizacin, semestral, trimestral, mensual, etc. determina la periodicidad de cada pago y, consecuentemente, el nmero m de capitalizaciones en el ao. Una operacin con pagos semestrales tiene 2 capitalizaciones en el ao; una con pagos mensuales tiene 12 capitalizaciones en el ao.

1.3.2.- EQUIVALENCIAS A SERIES DE PAGOS UNIFORMES

El trmino anualidad se refiere a pagos peridicos iguales realizados con diferentes fines. Son anualidades los dividendos sobre acciones, pagos a plazo, fondos de amortizacin, pagos de seguros, sueldos, etc. La periodicidad no est restringida a pagos anuales, pudiendo ser mensuales, trimestrales o el que se convenga entre las partes de un negocio.

1.3.2.1.- VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD

Supongamos que al final de cada ao se invierte a inters compuesto una suma A. Despus de n aos se habr acumulado un monto dado por:

F = A(4)

A esta expresin se le llama monto o valor futuro de una anualidad A, es decir, el monto despus de n aos, de los pagos A efectuados al final de cada perodo. En notacin estndar (4) se puede expresar como F = A(F/A, i%, n).

Ejemplo 3: Una persona que viaja fuera del pas deja una propiedad en alquiler por cinco aos con la condicin de que paguen $ 9,000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignar en una cuenta de ahorros que gana el 8% nominal anual. Hallar el valor que tendr la cuenta luego de los 5 aos.Solucin:A=9,000;i=0.08/4=0.02;n=5x4=20En las tablas se busca el factor F/A al i=2%, n=20: F/A=24.29736980F=9,000 x 24.29736980=$218,676.33Valor futuro (ec. 4)

Ejemplo 4:El seor Kiko deposita $200 al final de cada ao durante 7 aos en una cuenta que paga el 6% de inters efectivo anual. Cunto tendr Kiko al finalizar el sptimo ao?

Solucin:F=($200)(F/A, 0.06, 7)No tenemos tabla del factor F/A para i = 6%, n=7 Calculamos F/A de la frmula (4): F/A = 8.3938F = (200)(8.3938) = $1678.76

1.3.2.2.- FONDO DE AMORTIZACIN (SINKING FUND)

A veces es necesario hacer una provisin de fondos que se requerirn despus de un nmero de aos, por ejemplo para reponer el valor de un equipo o liquidar un valor que hay que pagar o que se quiere recibir despus de un tiempo. En dichos casos conocemos la suma que se ha de necesitar en el futuro (valor futuro o monto) y deseamos saber la renta (pago) anual requerida para producir dicha suma. Para lograr una expresin adecuada utilizamos la ecuacin (4) despejando A:

A = F(5)

A la parte fraccionaria de (5) se le denomina Factor A/F del Fondo de Amortizacin. En notacin estndar, (5) se expresa como A = F(A/F, i%, n).

Ejemplo 5: Cunto se debe abonar mensualmente en un banco que paga el 5% anual, capitalizable mensualmente, para obtener $ 15,000 y poder reponer un equipo en 6 aos?Solucin:n = 6 x 12 = 72; i = 0.05/12 = 0.0041666667; A/F= 0.011938266A = 15,000 x 0.011938266 = $ 179.07

Si no queremos utilizar las tablas o no estn tabulados los factores para la tasa y n requeridos, aplicamos directamente la frmula.

Ejemplo 6:Supongamos que Kiko (ejemplo 4) quiere llegar a tener exactamente $1700 al finalizar el sptimo ao en la cuenta del ejemplo 4. Se trata entonces de calcular la cantidad que habr que depositar anualmente con dicho fin.

Solucin:

A = F(A/F, 0.06, 7) = (1700) x A = 1700 x 0.119135 = $202.53

Kiko tendr que depositar algo ms de los $200 originales.

1.3.2.3.- VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

Es muy posible que estemos interesados en el valor actual (valor presente) de una anualidad con duracin de n aos. El valor actual al principio del perodo de n aos est dado por cualquiera de las expresiones equivalentes:

P = A = A(6)

P se conoce como el valor presente de una anualidad en donde el valor fraccionario constituye el factor P/A de valor presente de la anualidad. En notacin estndar, P = A(P/A, i%, n).

Ejemplo 7:Usted se va a jubilar en un ao exactamente y desea recibir $20,000 anuales por los siguientes 15 aos (el fondo se agotar al final del ao 15). Asumiendo un 6% de inters efectivo anual, qu cantidad necesita usted depositar ahora?

Solucin:El valor presente de la anualidad para las condiciones dadas del problema se calcula a partir de la ec. 6: P = A(P/A, 6%, 15).

P/A = 9.712249P = 20,000 x 9.712249 = $ 194,245

1.3.2.4.- RECUPERACIN DE INVERSIONES

En caso de que estemos interesados en saber cunto deberamos recibir cada ao durante un nmero n de aos, con el fin de recuperar una inversin, es decir, conocido el valor presente P, la tasa de inters i y el nmero de pagos n, calcular el pago de la cuota, despejamos A en (4) obteniendo:

A = P = P (7)

La parte fraccionaria de (7) se conoce como Factor A/P de recuperacin de la inversin o Factor A/P de amortizacin. En notacin estndar, A = P(A/P, i%, n).

Para el caso de deudas, A es el dividendo por perodo que se paga para cancelar un prstamo P contratado a un plazo n a la tasa i de inters por perodo.

Ejemplo 8:Se propone invertir en un equipo que cuesta $20,000 y que rendir beneficios mensuales durante 36 meses con una tasa de inters del 2% mensual. Calcular el valor del rendimiento mensual del equipo.

Solucin:P = 20,000A = 20,000(A/P, 0.02, 36) = 20,000 x 0.03923285A = $784.66

Ejemplo 9:Se compra un grupo de moldes para plstico cuyo precio de contado es de $ 730,000 abonando $100,000 de cuota inicial y 18 cuotas mensuales a una tasa del 8%. Hallar el valor de las cuotas mensuales.

Solucin:P=730,000-100,000=630,000; n=18; i=0.08/12=0.0066667A/P = 0.05914032A = 630,000 x 0.05914032 = $ 37,258.40

1.3.3.- EQUIVALENCIAS A PAGOS EN GRADIENTE UNIFORME

Un gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme. Es decir, el flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmtica cada periodo de inters. La cantidad del aumento o de la disminucin es el gradiente. Por ejemplo, si un fabricante de automviles predice que el costo de mantener un robot aumentar en $500 anuales hasta que la mquina haya sido retirada, hay una serie de gradientes involucrada y la cantidad del gradiente es $500. En forma similar, si la compaa espera que el ingreso disminuya en $3000 anualmente durante los prximos 5 aos, el ingreso decreciente representa un gradiente negativo por una suma de $3000 anuales.Las frmulas presentadas anteriormente para los flujos de efectivo de serie uniforme fueron generadas con base en cantidades de final de ao de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final de ao es diferente, de manera que es preciso frmulas diferentes. Para hacerlo, es conveniente suponer que el flujo de efectivo que ocurre al final del ao 1 no hace parte de la serie del gradiente sino que es una cantidad base, lo cual es conveniente porque en las aplicaciones reales, la cantidad base es en general ms grande o ms pequea que el valor del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un carro usado con una garanta de 1 ao o 12,000 millas, razonablemente se podra esperar que durante el primer ao de operacin tuviera que pagar solamente por la gasolina.

Figura 4.-

Supongamos que dicho costo es $900; es decir, $900 es la cantidad base. Despus del primer ao, sin embargo, la persona tendra que absorber el costo de las reparaciones o del remplazo y razonablemente se esperara que estos costos aumentaran cada ao que se poseyera el auto. Entonces, si se estima que los costos de operacin y de reparacin aumentarn en $50 cada ao, la cantidad que se pagara despus del segundo ao sera $950, despus del tercero, $1000, y as sucesivamente hasta el ao n, cuando el costo total sera 900+50(n-1). El diagrama de flujo de efectivo para esta operacin se muestra en la figura 4. Observe que el gradiente ($50) aparece por primera vez al final del ao 2 y la suma base ($900) no es igual al gradiente. Se define el smbolo G para los gradientes como G = cambio aritmtico uniforme en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente.El valor de G puede ser positivo o negativo. Si se ignora la cantidad base se puede construir un diagrama de flujo de caja generalizado de gradientes en forma uniformemente creciente, como se muestra en la figura 3. Observe que el gradiente empieza entre los aos 1 y 2 denominndose gradiente convencional.

Ejemplo 10:La compaa Tencuidado S.A est construyendo una nueva planta cuyo costo de mantenimiento se espera que sea $500 el primer ao, $150 el segundo ao, $200 el tercer ao, $250 el cuarto ao, etc. aumentando anualmente $50 hasta el dcimo ao. Se espera una vida til de 10 aos para la planta. Asumiendo una tasa de inters del 8% capitalizada anualmente, cunto debera disponer la compaa ahora para pagar el mantenimiento?

Solucin:En primer lugar calculamos el valor presente de todos los flujos al final del ao 1:

P =$500 + $150(P/A, 8%, 9) + $50(P/G, 8%, 9)500 + 150 x 6.2468879 + 50 x 21.8080901500 + 937.03 + 1090.40 = 2527.42

La compaa deber disponer hoy, el valor presente encontrado para el ao 1:

P = 2527.42(P/F, 8%, 1) = 2527.42 x 0.9259259 = $2340.20 Resp.

1.4.- CAPITALIZACIN CONTINUAA medida que disminuye el tiempo entre cada perodo de capitalizacin, el nmero de stos aumenta. Cuando el inters se capitaliza en forma contnua el nmero de capitalizaciones tiende a infinito de tal manera que, en el lmite, la tasa efectiva se convierte eni = er 1(8)

para capitalizacin continua, donde r es la tasa nominal y e es la base de los logaritmos naturales, e = 2.7182818+

Las expresiones utilizadas hasta ahora (capitalizacin discreta) se pueden utilizar previa modificacin de los factores de descuento reemplazando en los mismos la tasa efectiva i por el valor de (8) que utiliza la tasa nominal r. Los factores obtenidos son:[F/P, r%, n] = ern [P/F, r%, n] = e-rn

[A/F, r%, n] = [F/A, r%, n] = (9)

[A/P, r%, n] = [P/A, r%, n] =

Ejemplo 11Un banco ofrece certificados de ahorro a largo plazo al 6% con capitalizacin continua. Si un certificado a 10 aos cuesta $1000 Cul ser su valor al vencimiento? Comparar con el valor que tuviera el certificado con capitalizacin anual y no continua.

Solucin:Para capitalizacin continua F = P(F/P, r%, n) = 1000 e0.06(10) = $1822.12Para capitalizacin anual F = P(F/P, i%, n) = 1000 x 1.7908477 = $1790.85

Ejemplo 12Una persona recibe un prstamo de $5000 a 3 aos para pagarlo en 36 pagos mensuales iguales al 10% anual con capitalizacin continua. Cunto debe pagar al final de cada mes?

Solucin:r = 0.10/12 = .0083333;n = 36; r.n = 0.10x36/12 = 0.3

El factor a aplicarse ser A/P para capitalizacin continua:

A = P[A/P, r%, n] =5000 x = $ 161.43

2.- RECUPERACIN DEL CAPITAL. TPICOS ESPECIALES

2.1.- Depreciacin. Conceptos bsicos2.1.1.- Depreciacin en lnea recta2.1.2.- Depreciacin por la suma de dgitos de los aos2.1.3.- Depreciacin por unidades de produccin2.2.- Costo anual uniforme equivalente CAUE, ( EUAC)2.3.- Costo capitalizado. Capitalizacin perpetua2.4.- Bonos. Ttulos de inversin2.5.- Inflacin2.6.- Problemas con flujos probabilsticos

2.1.- DEPRECIACIN. CONCEPTOS BSICOS

En general, las compaas recuperan sus inversiones de capital en activos tangibles equipo, computadores, vehculos, edificaciones y maquinaria mediante un proceso llamado depreciacin. El proceso de depreciar un activo, al cual se hace referencia tambin como recuperacin de capital, permite explicar contablemente la prdida del valor del activo debido a la edad, uso y obsolescencia durante su vida til. Aunque un activo puede estar en excelente condicin de trabajo, el hecho de que valga menos a travs del tiempo se considera en los estudios de evaluacin econmica. A continuacin se presenta una introduccin acerca de los mtodos bsicos de depreciacin.

Por qu es la depreciacin tan importante para la ingeniera econmica? La depreciacin es una deduccin permitida en impuestos incluida en los clculos del impuesto a la renta mediante la relacin:

Impuestos = (ingreso - deducciones)(tasa de impuestos)

Al ser la depreciacin una deduccin permitida para los negocios (junto con salarios y sueldos, materiales, arriendo, etc.), reduce los impuestos sobre la renta, permitiendo utilizar esta deduccin en la reposicin del equipo que se deprecia.

A continuacin se definen algunos trminos comnmente utilizados en depreciacin.

Depreciacin es la reduccin en el valor de un activo. Los modelos de depreciacin utilizan reglas, tasas y frmulas aprobadas por el gobierno para representar el valor actual en los libros de la compaa. El monto de la depreciacin, Dj, calculado de ordinario en forma anual, no refleja necesariamente el patrn del uso real del activo durante su posesin. Los cargos de depreciacin anuales son deducibles de impuestos para las empresas.

Valor inicial, o Valor base B, es el costo instalado del activo que incluye el precio de adquisicin, las comisiones de entrega, gastos de instalacin y otros costos directos depreciables en los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso.

Valor en libros, es el valor que toma el activo al final de un determinado ao j cuando del valor inicial se resta la depreciacin acumulada hasta dicho ao. Representa la inversin restante, no depreciada en los libros despus de que el monto total de cargos de depreciacin (lineal o por cualquier mtodo) han sido restados de la base.

VLj = B - (1)

Donde j, representa el ao para el que se calcula el valor del activo. Tasa de depreciacin, o tasa de recuperacin es la fraccin del costo inicial que se elimina por depreciacin cada ao. Esta tasa, dj puede ser la misma cada ao, denominndose entonces tasa en lnea recta, o puede ser diferente para cada ao del periodo de recuperacin. Una tasa de depreciacin sin referencia al ao se identifica por la letra d.

Valor de salvamento VS, tambin llamado valor residual o valor de rescate es el valor estimado de mercado al final de la vida til del activo. El valor de salvamento, expresado como una cantidad en dlares estimada o como un porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero, o negativo debido a los costos de desmantelamiento y de remocin.

Existen varios modelos aprobados para la depreciacin de activos, siendo el modelo en lnea recta (LR), histricamente, el de uso ms comn. Sin embargo, modelos acelerados tales como el de suma de dgitos de los aos o el de saldos decrecientes (SD) son atractivos porque el valor en libros se reduce a cero (o al valor de salvamento) con ms rapidez que el mtodo en lnea recta permitiendo un pago de impuestos menor en los aos iniciales.

2.1.1.- DEPRECIACIN EN LNEA RECTA

El mtodo de depreciacin en lnea recta supone que los activos se usan con la misma intensidad ao a ao Obtiene su nombre del hecho de que el valor en libros se reduce linealmente en el tiempo puesto que la tasa de depreciacin es la misma cada ao.

El valor a depreciar (VD) se calcula como la diferencia entre el valor base B o costo inicial del activo menos el valor de salvamento para la vida til del mismo:

VD = B VS (2)

La depreciacin anual se encuentra dividiendo el valor depreciable para la vida estimada del activo:Dj = VD / n(3)

En el mtodo de lnea recta, la depreciacin anual es siempre la misma por lo que D1=D2=D3==DjEjemplo 1:Una mquina tiene un costo inicial de $50,000 y un valor de salvamento de $10,000 luego de 10 aos. Cual es la tasa de depreciacin en lnea recta en relacin al costo inicial?Solucin: La depreciacin anual se calcula en base a la ec. (3):

Dj = (B VS)/n = (50,000 10,000)/10Dj = $4000La tasa de depreciacin es: D = 4000 / 50,000 = 0.08 (8%)Ejemplo 2:Para la mquina del ejemplo anterior, Cul es el valor en libros al final del quinto ao utilizando depreciacin lineal?

Solucin: En el quinto ao, VL5 = B - = 50,000 (5 aos) (4000) = $30,000

2.1.2.- MTODO DE LA SUMA DE DGITOS DE LOS AOSEn este mtodo de depreciacin acelerada el valor a depreciar (VD) se calcula en la misma forma que el anterior, VD = B - VSLa depreciacin en cada ao se calcula multiplicando VD por una fraccin, cuyo numerador representa el nmero de los aos de vida que le restan al activo en dicho ao y el denominador, que es el total de la suma de los dgitos (SD). Lo anterior puede expresarse comoDj = (VD) (4)

Donde Dj es la depreciacin para cada ao j y n la vida til estimada.

Ejemplo 3:Un equipo cuyo costo fue de $33,000 tiene una vida til estimada de cinco aos y un valor de desecho de $3,000. Empleando el mtodo de depreciacin por la suma de los dgitos de los aos, calcular el valor del equipo al final de cada ao:

Solucin: La suma a depreciar ser: VD = $33,000 - $3,000 = $30,000Para este ejemplo, el total de la suma de dgitos ser:SD = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (denominador de 4).Para el primer ao la vida til remanente del activo ser: 5 (numerador de ec.4).La depreciacin del primer ao ser:D1 = 5/15 * 30,000 = $10,000 Los clculos para la depreciacin y valor del equipo para los cinco aos de vida til del equipo se muestran a continuacin:

AoValor al inicioFraccinValor a depreciarDepreciacin anualValor al final

133,0005/1530,00010,00023,000

223,0004/1530,0008,00015,000

315,0003/1530,0006,0009,000

49,0002/1530,0004,0005,000

55,0001/1530,0002,0003,000

15/1530,000

El mtodo de la suma de los dgitos de los aos da como resultado un importe de depreciacin mayor en el primer ao y una cantidad cada vez menor en los dems aos de vida til que le quedan al activo. Este mtodo se basa en la teora de que los activos se deprecian ms en sus primeros aos de vida.

Este mtodo es ms favorable que el de lnea recta, desde el punto de vista impositivo para la empresa.

2.1.3.- DEPRECIACIN POR UNIDADES PRODUCIDAS

El mtodo de las unidades producidas para depreciar un activo se basa en el nmero total de unidades que puede producir el activo, kilometraje que recorrer, o nmero de horas que puede trabajar durante su vida til.

Ejemplo 4:Un camin cost $40,000 y se estima un valor de rescate de $4,000 con una vida til de cinco aos. Supongamos tambin que el camin recorrer 100,000 kilmetros aproximadamente durante su vida til repartidos en la forma siguiente: Ao 1: 25,000 km; Ao 2: 30,000 km; ao 3: 20,000 km; ao 4: 15,000 km; ao 5: 10,000 km. Calcular el valor del camin al fin de cada ao.

Solucin: Valor a depreciar: VD = B VS = 40,000 4,000 = 36,000La depreciacin por cada kilmetro de recorrido ser: D = 36,000/100,000 = $0.36 / kmPara determinar el costo anual de depreciacin, se multiplica el costo por kilmetro ($0.36) por el nmero de kilmetros que recorrer en ese periodo. La depreciacin anual y valor del camin durante los cinco aos se muestra en la tabla siguiente:

AoValor al inicioKilmetros recorridosDepreciacin p / KilmetroDepreciacin anualValor al final

140,00025,0000.369,00031,000

231,00030,0000.3610,80020,200

320,20020,0000.367,20013,000

413,00015,0000.365,4007,600

57,60010,0000.363,6004,000

100,00036,000

Los mtodos de depreciacin en lnea recta y de unidades producidas distribuyen el gasto por depreciacin de una manera equitativa. Con el mtodo de lnea recta el importe de la depreciacin es el mismo para cada periodo fiscal. Con el mtodo de unidades producidas el costo total de depreciacin depende de cuntas horas se emplean o de los kilmetros recorridos, durante el periodo fiscal. Es el mismo, sin embargo, por cada unidad producida o kilmetro recorrido, segn el caso.

2.2.- COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)

Las alternativas con diferente vida til se pueden generalmente comparar utilizando el Costo Anual Uniforme Equivalente de cada una, CAUE (o EUAC por sus siglas en ingls), tambin conocido como Valor anual uniforme equivalente. Un CAUE es un valor anual uniforme (anualidad) que equivale a todos los flujos de la alternativa en estudio. El CAUE difiere en signo de todos los otros flujos. Los costos y gastos, que se expresan normalmente como negativos, se los considera en el CAUE como positivos. Asimismo, los beneficios e ingresos se consideran negativos.

Ejemplo 5:Una empresa planea instalar un sistema de tuberas para conectar diversos tanques de almacenamiento a la planta principal a un costo inicial de $1500 con un valor de salvamento de $200. La vida til de la tubera es de 12 aos siendo el costo anual de mantenimiento $400. La operacin de bombeo se realizar durante 600 horas/ao siendo el costo de bombeo por hora $2.50. Para este anlisis, la compaa utiliza una tasa de inters del 8%. Cul es el costo anual uniforme equivalente (CAUE) aproximado de la tubera considerando todos los costos y gastos?

Solucin: El CAUE consiste en traer todos los flujos a un valor anual uniforme equivalente.Costos por ao: inicial salvamento + mantenimiento + bombeoinicial = 1500(A/P, 8%, 12) = (1500)(0.1327) = 199.05salvamento = 200(A/F, 8%, 12) = (200)(0.0527) = 10.54mantenimiento = 400bombeo = (2.50)(600) = 1500CAUE = 199.05 - 10.54 + 400 + 1500 = 2089 $2100

Otro mtodo consiste en traer todos los flujos a valor presente y luego obtener el CAUE de dicho valor:inicial = $1500Salvamento = 200(P/F, 8%, 12) = 200(0.39711) = 79.42Mantenimiento = 400(P/A, 8%, 12) = 400(7.53608) = 3014.43Bombeo = 1500(P/A, 8%, 12) = 1500(7.53608) = 11,304.12P = 1500 79.42 + 3014.43 + 11,304.12 = 15739.13CAUE = P(A/P, 8%, 12) = (15,739.13)(0.13270) = 2089 $2100

2.3.- COSTO CAPITALIZADO. RENTA PERPETUA

El valor presente de un proyecto con vida indefinida (perpetua) se conoce como costo capitalizado. El costo capitalizado es la cantidad de dinero que se necesita hoy (valor presente) para mantener el proyecto solamente en base a los intereses ganados. Normalmente sera difcil trabajar con un nmero infinito de flujos de caja puesto que la mayora de las tablas financieras no incluyen los factores de descuento por encima de 100 aos. Sin embargo, ntese que el factor de descuento (A/P) se aproxima al valor de la tasa de inters a medida que n se incrementa, y asimismo, el factor (P/A) se acerca a 1/i a medida que n crece indefinidamente. Se tiene entonces que, en el lmite, para una serie infinita de flujos de caja, el valor presente de la serie para renta perpetua ser:

P = A = A(P/A, i%, )(para serie infinita de flujos) (5)

donde (P/A) para un nmero infinito de aos es el recproco de la tasa de inters y representa una renta perpetua vencida de una unidad monetaria por perodo, a la tasa i por perodo.

La ecuacin anterior puede usarse cuando los costos anuales son iguales. Si los costos de operacin y mantenimiento se dan en forma irregular en lugar de cada ao, o si varan de ao a ao, ser necesario determinar de alguna manera un flujo de montos iguales anuales equivalentes a la corriente de los flujos originales, es decir, determinar el CAUE.

Ejemplo 6:Para instituir un premio anual para la posteridad a estudiantes brillantes una fundacin deposita $100,000 en una cuenta al 5% de inters compuesto anual. Cul es el valor mximo del premio que el estudiante ganador cada ao podr retirar?

Solucin: De la ecuacin (5) la cantidad mxima que el ganador podr retirar ser A = P.i = (100,000)(0.05) = 5000 que es igual al inters acumulado.Esto deja intacto el depsito original de $100,000 para obtener inters de tal manera que se acumularn otros $5000 al ao siguiente.

Ejemplo 7:Una propuesta de negocio requiere una inversin de $100,000 hoy y $100,000 adicionales luego de 10 aos. La propuesta es para un proyecto de vida perpetua siendo la tasa efectiva de inters anual del 6%. Cul es el costo capitalizado aproximado?.

Solucin: Se calcula el valor presente de la inversin con vida infinita.Costo capitalizado = inicial + F(P/F, 6%, 10) = 100,000 + (100,000)(0.5584)= 155,840 $156,000

2.4.- BONOS. TTULOS DE INVERSIN

Un bono es un mtodo que utilizan los gobiernos, municipios y las grandes empresas y corporaciones para obtener financiamiento de largo plazo. Un bono representa para el emisor (por ej. el gobierno) la obligacin de pagar al tenedor del bono (por ej. un inversionista) una determinada cantidad de dinero en fechas especficas. El tenedor compra el bono y obtiene a cambio dichos pagos de intereses y principal en las mencionadas fechas. El inters de los bonos se paga al vencimiento cada ao, semestralmente o cada trimestre. El principal se paga en la fecha de vencimiento del ttulo.

El valor del ttulo es el valor presente del bono considerando todos los intereses a pagarse ms el valor del principal al vencimiento.

Por convencin, el rendimiento del bono se especifica como una tasa nominal (tasa por ao) no como tasa efectiva por ao. El rendimiento del bono para el inversionista es la tasa de rendimiento que considera el precio de adquisicin, pagos de inters y el valor nominal del ttulo asumiendo que el bono se vende antes de su vencimiento. El rendimiento del bono debe encontrarse encontrando la tasa efectiva por perodo de pago (p. ej. pago semestral de intereses) como un problema convencional de tasa de retorno. Entonces puede encontrarse la tasa nominal anual multiplicando la tasa efectiva por perodo por el nmero de pagos en el ao.

Ejemplo 8:Un bono con valor nominal $1000 paga dividendos de $110 al finalizar cada ao. Si el bono vence en 20 aos, cual es el valor aproximado del bono a una tasa del 12% anual compuesto anualmente?

Solucin: El valor del bono es la suma del valor presente de todos los pagos anuales de inters ms el valor presente del valor nominal del bono a su vencimiento.

P = A(P/A, 12%, 20) + F(P/F, 12%, 20)Se puede utilizar las tablas (P/A) y (P/F) o las frmulas 6 y 1 del captulo anterior.De las tablas, P/A = 7.4694436 y P/F = 0.1036668Luego, P = 110 x 7.4694436 + 1000 x 0.1036668 = $925

2.5.- INFLACIN

Para tomar en cuenta la inflacin, los dlares se deflactan por la tasa general de inflacin f por perodo de inters, y luego se capitalizan en la escala de tiempo usando la tasa de inters i por perodo de inters.

F = P x = P x (6)

Esta frmula se utiliza para calcular el valor futuro de una inversin en trminos de dlares con poder adquisitivo de hoy. Si queremos calcular F en trminos de dlares corrientes del ao n, se usa una tasa de inters d combinada por perodo

d = i + f + i.f(7)

La tasa i en estos casos incluye la inflacin.Ejemplo 9:En la presente fecha se invierten $20,000 a una tasa efectiva de rentabilidad del 10%. Si la inflacin anual es del 6% Cul ser el valor de la inversin ajustado por inflacin dentro de cinco aos?

Solucin: Tasa ajustada d = i + f + if = 0.10 + 0.06 + (0.10)(0.06) = 0.166Valor futuro en 5 aos: F = P(1+d)n = (20,000)(1 + 0.166)5 = $43,105

2.6.- PROBLEMAS CON FLUJOS PROBABILSTICOS

Si los flujos se especifican con una distribucin de probabilidad en lugar de conocerse con exactitud, el problema es probabilstico. Los problemas probabilsticos presentan tpicamente las siguientes caractersticas:

Existe una opcin de prdida que se debe minimizar o de ganancia que se debe maximizar seleccionando una de las alternativas. Hay mltiples alternativas. Cada alternativa ofrece un grado diferente de proteccin de las prdidas. Usualmente las alternativas con mayor proteccin son las ms costosas. El resultado es independiente de la alternativa seleccionada.

Estos problemas se resuelven tpicamente utilizando costos anuales y valores esperados. Un valor esperado es similar a una anualidad de valor promedio, puesto que se calcula como la media de los valores discretos. Si el costo 1 tiene una probabilidad de ocurrencia de p1, el costo 2 tiene una probabilidad de ocurrencia de p2, y as sucesivamente, el valor esperado es = p1(costo 1) + p2 (costo 2) + (8)

donde la suma de las probabilidades p1+p2++pn debe ser igual a la unidad. Ejemplo 10:El dao por inundacin en un ao tpico se da conforme a la siguiente tabla:

Dao por inundacinProbabilidad

$00.75

$10,0000.20

$20,0000.04

$30,0000.01

Para una tasa efectiva de inters del 6%, Cul es valor ms probable de dao por inundacin en el siguiente perodo de 10 aos?

Solucin: El dao esperado anual se encuentra de (8): = 0.75(0) + 0.20(10,000) + 0.04(20,000) + 0.01(30,000) = $3100El valor presente del siguiente perodo para este dao probable anual se calcula en base al factor P/A:P = A(P/A, 6%, 10) = 3100(7.3601) = $22,816 $ 23,000

3.- COMPARACIN DE ALTERNATIVAS

3.1.- Anlisis del valor presente3.2.- Anlisis de la tasa de retorno3.3.- Costo incremental3.4.- Anlisis del costo anual (CAUE=UEAC=EAC)3.5.- Anlisis beneficio-costo3.6.- Anlisis del equilibrio

En el mundo real, la mayora de los problemas de anlisis en ingeniera econmica se refieren a comparar diversas alternativas existentes. En estos problemas, dos o ms proyectos mutuamente excluyentes se presentan como alternativas de inversin y dado que los fondos son limitados se debe escoger slo uno. Existe una variedad de mtodos para seleccionar la mejor alternativa de entre un grupo de propuestas. Cada mtodo tiene sus propios mritos y aplicaciones.

3.1.- ANLISIS DEL VALOR PRESENTE (VPN)

El VPN constituye una de las herramientas financieras de evaluacin ms robustas para estimar el valor real de una inversin. El proceso bsico consiste en verificar los flujos de fondos y comparar las entradas y salidas en el tiempo. Lo importante aqu es que ahora todos los flujos son reducidos a sus valores actuales equivalentes.

La actualizacin se calcula a una tasa mnima aceptable de rendimiento (TMAR), que normalmente es alguna tasa definida por el inversionista en base a una expectativa mnima de rentabilidad.

El Valor Presente Neto (VPN) de un proyecto de inversin se define como la suma de los valores presentes de los flujos anuales, deducidos los gastos e inversiones generados durante la vida til del proyecto.

En trminos generales:

VPN = F0 + (1) Donde Ft, flujo anual, representa la diferencia entre los ingresos y egresos del perodo respectivo e i es la tasa mnima aceptable de rendimiento. Se incluye la inversin inicial F0, capital propio ms prstamos, en el ao cero, con signo negativo al ser los egresos mayores que los ingresos al inicio del proyecto. La curva de la figura 1 representa el VPN para diversas tasas i.

Fig. 1.- Valor presente neto

El VPN representa utilidad pura del proyecto ya que en su clculo estn deducidos las inversiones y los gastos que se generan en la vida til del mismo. Por lo tanto, si el proyecto arroja un VPN positivo, para una tasa i de descuento, esto indica que los rendimientos del proyecto se estn generando a una tasa mayor que la tasa de descuento considerada. Puesto que se toma como tasa de descuento i una TMAR seleccionada previamente, se concluye que el proyecto es aceptable. Si por el contrario arroja un VAN negativo, el proyecto arroja prdidas y por tanto se desecha. Para un VPN igual a cero, el proyecto es indiferente. VPN > 0 aceptableVPN = 0 indiferenteVPN < 0 inconveniente

Si se trata de varios proyectos o inversiones que pueden cumplir las mismas funciones, el mtodo del valor presente puede aplicarse cuando stos son mutuamente excluyentes y tienen la misma duracin o vida til. En estos casos la mejor alternativa es aquella que tenga el mayor VPN.

Ejemplo 1:Supongamos un proyecto con duracin 3 aos y cuya inversin inicial es $400 siendo sus flujos estimados anuales $300, $350, $430 respectivamente. Determinar el valor presente del proyecto para una tasa mnima aceptable de rendimiento del 10%. (A) 1080 (B) 885 (C) 485 (D) 680

Solucin: La actualizacin de los flujos se realiza para la TMAR sealada:

Inversin ao 0:-400

VP ao 1:300 / (1+0.10)1 = (300)(P/F, 10%, 1) = (300)(0.90909) = 273

VP ao 2:350 / (1+0.10)2 = (350)(P/F, 10%, 2) = (350)(0.82645) = 289

VP ao 3:430 / (1+0.10)3 = (430)(P/F, 10%, 3) = (430)(0.75131) = 323

VPN: 485

El Valor Presente Neto VPN (VAN) del proyecto representa la ganancia (o prdida neta) del proyecto considerado a su valor actual. Como el valor encontrado es positivo, la inversin es recomendable. La respuesta es (C).

3.2.- ANLISIS DE LA TASA INTERNA DE RETORNO

La tasa interna de retorno o tasa de retorno se puede definir como la tasa efectiva de inters anual para la cual los beneficios y los costos actualizados son iguales, o, partiendo de una definicin operativa, es la tasa efectiva de inters que hace cero al valor presente de la inversin. En el grfico, la TIR corresponde al punto donde la curva del VPN cruza el eje i. La zona A corresponde a inversiones con VPN positivo, es decir proyectos aceptables. La zona B corresponde a inversiones que generan prdidas es decir proyectos no aceptables.

Una vez conocida la tasa de retorno de una inversin, sta se puede comparar con la tasa mnima aceptable de rendimiento TMAR para la empresa. Si la TIR es mayor que la TMAR, asumiendo que sta es i1 en el grfico, la inversin propuesta es aceptable. Esta es la base del mtodo.

Fig 2.- Representacin de la TIR

En cambio si la TMAR de la empresa fuera i2 , es decir, que la TIR que se obtuvo es menor que la tasa mnima aceptable requerida, la inversin propuesta no cumple las expectativas de la empresa y por lo tanto se rechaza ya que los flujos obtenidos arrojarn prdidas, como puede verse en la figura 2. Si la TIR fuera igual a la tasa mnima requerida, el proyecto es indiferente y est sujeto a la decisin del inversionista.TIR > TMAR, el proyecto se acepta.TIR = TMAR, el proyecto es indiferente.TIR < TMAR, el proyecto se rechaza.

Encontrar la tasa interna de retorno puede ser un proceso iterativo largo que requiere ya sea clculos por prueba y error o por interpolacin. A veces no se necesita encontrar el valor de la tasa. Es suficiente saber si sta es mayor que la TMAR de la empresa. Esto se puede saber encontrando el valor presente de la inversin utilizando como i la TMAR. Si el valor presente es cero o positivo, la inversin es aceptable. Si el valor presente resulta negativo, esto significa que la tasa interna de retorno es menor que la TMAR y por lo tanto, que no se justifica la inversin propuesta. Como puede verse los criterios de VPN y TIR son complementarios al aplicarse a un mismo proyecto.

Ejemplo 2:Una compaa adquiere una mquina para arrendarla a terceros. El ingreso esperado es $3100 anuales durante su vida til de 15 aos. Se estima los gastos en $355 anualmente. Si el costo de adquisicin es $25,000 y no hay valor de salvamento, cul es la tasa de retorno esperada, sin considerar los impuestos?(A) 5.2%(B) 6.4%(C) 6.8%(D) 7.0%Solucin: La tasa interna de retorno es la tasa efectiva que hace cero el valor presente neto de la inversin.25,000 = 3100(P/A, i%, 15) 355(P/A, i%, 15)25,000 = 2745(P/A, i%, 15)9.10747 = (P/A, i%, 15)Valores aproximados en las tablas: 9.71225 = (P/A, 6%, 15) 8.55948 = (P/A, 8%, 15)

Por interpolacin lineal: =

0.52463 = i% = 0.08 0.01049 = 0.0695 = 6.95% (7%) La respuesta es (D)

El clculo se realiza muy rpidamente en una calculadora programable.

3.3.- ANLISIS INCREMENTAL

Para decidir entre dos o ms inversiones utilizando la tasa de retorno es necesario realizar un anlisis incremental entre las inversiones propuestas. As, para el caso de dos opciones A y B en donde B>A, los flujos de caja de la inversin con menor costo inicial se restan, ao a ao, de los flujos de la inversin con mayor costo inicial. Se produce as una tercera alternativa compuesta por nuevos flujos que representan los costos y beneficios de la mencionada alternativa incremental. La tasa de retorno de los mencionados flujos incrementales (B-A) se conoce como tasa interna de retorno incremental TIRI. Se aceptar la inversin mayor B solamente si la TIRI es mayor que la tasa mnima aceptable. El criterio de la TIRI siempre coincide con el del VAN.

Fig. 3.- TIRM y VANM

Ejemplo 3: Una empresa debe escoger entre dos inversiones A y B cuyos flujos se muestran a continuacin. La TIR del proyecto A es 17.8% y la de B es 15.1%. Cul opcin es ms conveniente para la empresa si la TMAR es el 10%?01234TIR

Proyecto A-1,00050040030020017.8%

Proyecto B-1,40045048050056015.1%

Solucin: Dado que se proporciona la TIR de cada proyecto individual, es necesario realizar un anlisis incremental calculando la TIRM sobre la diferencia de los flujos.

01234TIRI

B-A-400-508020036011.2%

El anlisis incremental nos indica que B es ms conveniente a pesar de tener una TIR menor que A, porque la TIR incremental encontrada 11.2%, es mayor que la tasa de corte 10%, es decir, la inversin incremental tambin tiene una TIR mayor que la TMAR de la empresa.

Ahora, si calculamos individualmente el VPN de cada proyecto VPN(A)= 147.12 y VPN(B)=163.93 encontramos VPN(B)>VPN(A) que tambin inclina la decisin hacia (B) por este criterio. Se puede decir entonces que al comparar proyectos, el criterio de la TIRI siempre coincide con el del VAN.

3.4.- ANLISIS DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)

Cuando los proyectos que se comparan tienen duraciones diferentes, la comparacin debe hacerse por el mtodo del costo anual uniforme equivalente o CAUE en donde cada alternativa tiene un CAUE o costo equivalente. Como se dijo antes, el CAUE es un monto anual uniforme (anualidad) que equivale a todos los flujos de la alternativa en estudio. El CAUE difiere en signo de todos los otros flujos. Los costos y gastos que, se expresan normalmente como negativos, se los considera en el CAUE como positivos. Asimismo, los beneficios e ingresos se consideran negativos.Se escoge la alternativa que presenta el menor CAUE.

Ejemplo 4:Una firma industrial debe decidirse por una de dos mquinas con las caractersticas mostradas abajo. Ambas mquinas pueden realizar la misma tarea en el mismo tiempo. Asumir el 8% como tasa mnima aceptable de rendimiento.

Mquina XMquina Y

Costo Inicial$6000$12,000

Vida estimada7 aos13 aos

Valor de rescateninguno$4000

Costo de mantenimiento anual$150$175

Cul es costo anual uniforme equivalente aproximado de la mquina X?(A) $1000(B) $1120(C) 1190(D) $1300

Solucin:CAUEX= 6000(A/P, 8%, 7) + 150 = 6000(0.19207) + 150= 1302.42 1303La respuesta es D

Ejemplo 5:Cual es CAUE aproximado de la mquina Y?(A) $1160(B) $1510(C) 1490(D) $1300

Solucin:CAUEY= 12,000(A/P, 8%, 13) - 4000(A/F, 8%, 13) + 175 = 12,000(0.12652) 4000(0.04652) + 175= 1507.16 1510La respuesta es B

Ejemplo 6:Por cul de las dos mquinas se decidir la empresa y por qu?(A) Mquina X porque CAUEX < CAUEY(B) Mquina X porque CAUEX > CAUEY(C) Mquina Y porque CAUEX < CAUEY(D) Mquina Y porque CAUEX > CAUEY

Solucin: La mquina X presenta menor CAUE que Y. La respuesta es (A)

3.5.- ANLISIS BENEFICIO / COSTO

La razn beneficio/costo o ndice de rentabilidad actualizada es la relacin entre los valores presente de los ingresos (ingresos actualizados) Y generados por el proyecto y los valores presente de los gastos (gastos actualizados) G necesarios para su instalacin y operacin.

BC = (2)

Al ser una relacin entre ingresos y gastos, la relacin ser mayor que la unidad cuando existen beneficios (ingresos > gastos) y por tanto el proyecto es aceptable. En caso contrario, el proyecto representa prdidas. Cuando los ingresos igualan a los gastos, BC=1 en cuyo caso la aceptacin del proyecto es indiferente.

BC > 1 aceptableBC = 1 indiferenteBC < 1 inconveniente

Se usa a menudo en la evaluacin de proyectos municipales donde los beneficios y los costos afectan a diferentes segmentos de la comunidad. Tambin pueden utilizarse costos uniformes equivalentes en lugar de los costos y gastos actualizados.

Si queremos emplear el mtodo del beneficio-costo para comparar proyectos y escoger entre una u otra alternativa, es necesario hacer un anlisis incremental como en el caso de la TIR. El anlisis incremental se realiza calculando las diferencias entre beneficios de un proyecto con otro y relacionndolo con las diferencias entre sus costos, para cada posible par de alternativas.

BC = (3)

Si la relacin es mayor que la unidad, la alternativa 2 es superior a la 1, en caso contrario, la alternativa 1 es superior.

Ejemplo 7:El municipio de Fuerte Quiebra utiliza un 10% como tasa de inters anual para decidir la compra de una retroexcavadora entre las marcas A y B con las siguientes caractersticas:Retro ARetro B

Costo inicial$300,000$400000

Vida til10 aos10 aos

Operacin y Mantenimiento anual$45,000$35,000

Beneficio anual$150,000$200,000

Valor de rescate$0$10,000

Basado en el anlisis beneficio-costo Cul es la razn BC para las retroexcavadoras A y B respectivamente, y por cual alternativa debera decidirse el municipio?(A) 2.2, 1.8; retroexcavadora A(B) 2.6, 2.1; retroexcavadora A(C) 1.4, 1.8; retroexcavadora B(D) 1.6, 2.0; retroexcavadora B

Solucin: El mtodo del beneficio-costo requiere convertir los flujos de caja a valores presentes, tanto los costos (C) como los beneficios (B).

Para la mquina A:C = $300,000 + ($45,000)(P/A, 10%,10) = $300,000 + ($45,000)(6.1446) = $576,507 B = ($150,000)(P/A, 10%,10) = ($150,000)(6.1446) = $921,690

BC = = 1.60

Para la mquina B:C = $400,000 + ($35,000)(P/A, 10%,10) (10,000)(P/F, 10%, 10) = $400,000 + ($35,000)(6.1446) - (10,000)(0.3855) = $611,206 B = ($200,000)(P/A, 10%,10) = ($200,000)(6.1446) = $1,228,920

BC = = 2.01 Para decidir cul mquina escoger utilizando el mtodo beneficio-costo, hacemos un anlisis incremental.

BC =

= = 8.85 > 1

Puesto que la relacin BC incremental tambin es > 1, la alternativa B es superior. La respuesta es (D).

3.6.- ANLISIS DEL EQUILIBRIO

El anlisis del equilibrio permite determinar cundo el valor de una alternativa iguala al valor de otra. Se usa frecuentemente para determinar cundo los costos igualan exactamente a los ingresos. Si la cantidad producida es menor que la cantidad de equilibrio, se produce una prdida. Si la cantidad producida es mayor que la cantidad de equilibrio, se produce una ganancia.

Otra forma del problema del equilibrio es determinar el tiempo en el cual dos alternativas tienen el mismo costo total. Los costos fijos se distribuyen en un perodo mayor que un ao utilizando el concepto del CAUE. Una de las alternativas tendr un menor costo si la produccin es menor que el punto de equilibrio. La otra tendr un menor costo si la produccin es mayor que el punto de equilibrio.

El perodo de pago (payback period) se define como el tiempo, generalmente en aos, para que el beneficio anual acumulado neto sea igual a la inversin inicial. No se debe utilizar el concepto de equivalencia en los clculos del perodo de pago ya que la convencin as lo establece.

C (PBP)(beneficio anual neto) = 0 (4)

Ejemplo 8:Una compaa produce un pin especial utilizado por varias empresas fabricantes de cortadoras de csped. El costo base de operacin (arriendos, suministros, etc.) es $750,000 por ao. El costo de fabricacin es $1.35 por pin. Si estos piones se venden a $7.35 cada uno, cuantos piones se deben vender por ao para no ganar ni perder? (A) 65,000(B) 90,000 (C) 100,000 (D) 125,000

Solucin: El punto de equilibrio para este problema es el punto en el cual los costos igualan a los ingresos. Esto ocurre cuando se producen X piones.Costos = $750,000 + (1.35) (X)Ingresos = ($7.35)(X)Equilibrio:$750,000 + ($1.35)(X) = ($7.35)(X)

X = = 125,000La respuesta es (D)

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