1 . - re suelva los siguientes ejercicios relacionados … 8, 3º, i (1ª... · y 3 3 y x 1 2...

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y 3x 2

EE VV AA LL UU AA CC II ÓÓ NN DD EE LL AA 88 ªª UU NN II DD AA DD FF UU NN CC II OO NN EE SS LL II NN EE AA LL EE SS

33 ºº DD EE LL AA EE SS OO 11 .. -- Resuelva los siguientes ejercicios relacionados con la representación de rectas

en forma explícita: y x m n . aa)) Represente las siguientes rectas.

ii )) y 3 x 2 ii ii )) 3y x 12

ii ii ii )) y 3 ii vv )) y 2 x 1

vv )) 1y x 22

vv ii )) y 2 vv ii ii )) y 2 x 1 vv ii ii ii )) 3y x 12

ii xx )) y 1 xx )) y 3 x xx ii )) 2y x 23

xx ii ii )) 3y x 34

SSOOLLUUCCIIÓÓNN::

apartado a)

apartado i)

La recta y 3 x 2 tiene de pendiente m 3 3/1 y pasa por el punto ( 0 , 2 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 2 .

Por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:

y 3

3y x 12

apartado ii)

La recta y 3/2 x 1 tiene de pendiente m 3/2 y pasa por el punto ( 0 , 1 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 1 .


apartado iii)

La recta y 3 tiene de pendiente m 0 y pasa por el punto ( 0 , 3 ) , es decir, su ordenada en el origen es 0

y 3 .

Se trata de una recta paralela al eje de abscisas (eje OX) que pasa por el punto anterior. Por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:

y 2x 1=

1y x 22

apartado iv)


0y 1 .


apartado v)


0y 2 .


y 2

y 2x 1

apartado vi)


y 2 .


apartado vii)


0y 1 .


3y x 12

y 1

apartado viii)


0y 1 .


apartado ix)


y 1 .


y 3x

2y x 23

apartado x)

La recta y 3 x tiene de pendiente m 3 3/1 y pasa por el punto ( 0 , 0 ) , es decir, pasa por el origen de coordenadas.


apartado xi)

La recta y 2/3 x 2 tiene de pendiente m 2/3 y pasa por el punto ( 0 , 2 ) , es decir, es decir, su ordenada en el origen es

0y 2 .


3y x 34

apartado xii)

La recta y 3/ 4 x 3 tiene de pendiente m 3/ 4 y pasa por el punto ( 0 , 3 ) , es decir, es decir, su ordenada en el origen es

0y 3 .


x 2y 4 0

22 .. -- Resuelva los siguientes ejercicios relacionados con la representación de funciones lineales dadas por su forma analítica.

aa)) Represente las siguientes funciones lineales. ii )) x 2 y 4 0 ii ii )) 2 y 4 ii ii ii )) 2 x 3 y 12 ii vv )) y 5 0 vv )) 2 x 3 y 9 vv ii )) 2 y 4 0 vv ii ii )) x 2 y 2 vv ii ii ii )) 3 y 9 ii xx )) 3 x 5 y 10 xx )) 3 x 2 y 8 0 xx ii )) 2 x 3 y 12 xx ii ii )) 8 y 16 0

bb)) Represente las siguientes funciones.

ii )) 1 ; si x 2

yx 3 ; si x 2

ii ii ))

2 x ; si x 1y

3 ; si x 1

cc)) Las rectas y x 0 , y x 5 , x y 0 , x y 7 determinan un cuadrilátero. Obtenga sus vértices.


apartado a)

apartado i)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta x 2 y 4 0 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada.

1x 2 y 4 0 2 y x 4 y x 22

Por lo tanto, la recta x 2 y 4 0 tiene de pendiente m 1/2 y pasa por el punto ( 0 , 2 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 2 .


2y 4

2 x 3y 12

apartado ii)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta 2 y 4 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada. 2 y 4 y 2 La recta 2 y 4 tiene de pendiente m 0 y pasa por el punto ( 0 , 2 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 2 .


apartado iii)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta 2 x 3 y 12 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada.

22 x 3 y 12 3 y 2 x 12 y x 43

Por lo tanto, la recta 2 x 3 y 12 tiene de pendiente m 2/3 y pasa por el punto ( 0 , 4 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 4 .


y 5 0

2 x 3 y 9

apartado iv)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta y 5 0 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada. y 5 0 y 5 La recta y 5 tiene de pendiente m 0 y pasa por el punto ( 0 , 5 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 5 .


apartado v)


22 x 3 y 9 3 y 2 x 9 y x 33


0y 3 .


2 y 4 0

x 2 y 2

apartado vi)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta 2 y 4 0 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada. 2 y 4 0 2 y 4 y 2 La recta 2 y 4 0 tiene de pendiente m 0 y pasa por el punto ( 0 , 2 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 2 .


apartado vii)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta x 2 y 2 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada.

1x 2 y 2 2 y x 2 y x 12

Por lo tanto, la recta x 2 y 2 tiene de pendiente m 1/2 y pasa por el punto ( 0 , 1 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 1 .


3 x 5 y 10

3 y 9

apartado viii)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta 3 y 9 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada. 3 y 9 y 3 La recta 3 y 9 tiene de pendiente m 0 y pasa por el punto ( 0 , 3 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 3 .


apartado ix)


33 x 5 y 10 5 y 3 x 10 y x 25


0y 2 .


3 x 2 y 8 0

2 x 3 y 12

apartado x)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta 3 x 2 y 8 0 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada.

33 x 2 y 8 0 2 y 3 x 8 y x 42

Por lo tanto, la recta 3 x 2 y 8 0 tiene de pendiente m 3/2 y pasa por el punto ( 0 , 4 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 4 .


apartado xi)


22 x 3 y 12 3 y 2 x 12 y x 43


0y 4 .


8 y 16 0

apartado xii)

Obtengamos la ecuación explícita de la recta 8 y 16 0 . Para ello, despejamos la variable y en la ecuación dada. 8 y 16 0 8 y 16 y 2 La recta 8 y 16 0 tiene de pendiente m 0 y pasa por el punto ( 0 , 2 ) , es decir, su ordenada en el origen es

0y 2 .


y 1

y x 3

y 3

y 2 x

A ( 1 , 3 )

A ( 2 , 1 )

apartado b)

apartado i)

Se trata de UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDEEFFIINNIIDDAA AA TTRROOZZOOSS: para x 2 se trata de la recta y 1 para x 2 se trata de la recta y x 3 .

Únicamente debemos tener en cuenta que la recta y x 3 debemos representarla para x 2 . Es decir, pasa por el punto A ( 2 , 1 ) y tiene de pendiente m 1 . Su representación gráfica es la siguiente:

apartado ii)

Se trata de UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDEEFFIINNIIDDAA AA TTRROOZZOOSS: para x 1 se trata de la recta y 2 x para x 1 se trata de la recta y 3 .

Únicamente debemos tener en cuenta que la recta y 2 x debemos representarla para x 1 . Es decir, pasa por el punto A ( 1 , 3 ) y tiene de pendiente m 1 . Su representación gráfica es la siguiente:

y x 0

y x 5

x y 7

x y 0

OA

B

C

apartado c)

Representemos gráficamente en los mismos ejes las rectas y x 0 , y x 5 , x y 0 , x y 7 . Los puntos de corte entre las distintas rectas determinarán los vértices buscados del cuadrilátero. Consideremos la recta y x 0 . Su ecuación explícita es y x . Por lo tanto pasa por el origen de coordenadas

O ( 0 , 0 ) y tiene de pendiente m 1 . Consideremos la recta y x 5 . Pasa por el punto A ( 0 , 5 ) y tiene de pendiente m 1 . Consideremos la recta x y 0 . Su ecuación explícita es y x . Por lo tanto pasa por el origen de coordenadas

O ( 0 , 0 ) y tiene de pendiente m 1 . Consideremos la recta x y 7 . Su ecuación explícita es y x 7 . Por lo tanto pasa por el punto B ( 0 , 7 ) y tiene

de pendiente m 1 . La representación gráfica conjunta es la siguiente.

De forma evidente se localizan los vértices O ( 0 , 0 ) ─ como punto de corte entre las rectas y x 0 , x y 0 ─ y A ( 6 , 1 ) ─ como punto de corte entre las rectas y x 5 , x y 7 ─ Únicamente debemos calcular las coordenadas de los puntos B y C .

El punto B lo obtenemos como el punto de corte entre las rectas y x 0 , x y 7 . Resolvemos el sistema y x 0x y 7

.

x y 0

x

2 y 7 y 7 /2 x y 7 /2y 7

y y 0 7

Por lo tanto obtuvimos que B ( 7 /2 , 7 /2 ) .

El punto C lo obtenemos como el punto de corte entre las rectas x y 0 , y x 5 . Resolvemos el sistema x y 0y x 5

.

x y 0x

2 y 5 y 5/2 x y 5/2y 5

y y 5

Por lo tanto obtuvimos que C ( 5/2 , 5/2 ) .

En conclusión, los vértices del cuadrilátero (paralelogramo) son O ( 0 , 0 ) , A ( 6 , 1 ) , B ( 7 /2 , 7 /2 ) , C ( 5/2 , 5/2 ) .

33 .. -- Resuelva los siguientes ejercicios relacionados con la identificación de la pendiente de una recta dada de formas diversas. aa)) Obtenga la pendiente de las siguientes rectas. Posteriormente, obtenga su ecuación

explícita. ii )) ii ii ))

ii ii ii )) ii vv ))

vv )) vv ii ))

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

vv ii ii )) vv ii ii ii ))

bb)) Obtenga la expresión explícita de las siguientes rectas dadas por una expresión analítica. Posteriormente obtenga su pendiente y ordenada en el origen.

ii )) 4 x 1y2

ii ii )) 2 x 3 y 4 ii ii ii )) 2 x 3y5

ii vv )) 3 x 2 y 5

vv )) 3 x 1y2

vv ii )) 4 x 5 y 2 vv ii ii )) 4 x 3y

2

vv ii ii ii )) 5 x 4 y 7

cc)) Determine la condición que deben cumplir los coeficientes de las rectas y m x n , y a x b para que sean paralelas.

dd)) Dada la recta x 3 y 1 0 , escriba la ecuación de dos rectas paralelas a ella y escriba la ecuación de una recta que tenga su misma ordenada en el origen pero con distinta pendiente.

ee)) Escriba la ecuación de una recta paralela al eje OY (eje de ordenadas) que pase por el punto ( 3 , 1 ) . Justifique si la recta obtenida corresponde a una función.

ff)) Dada la recta 2 x 3y

5

, obtenga su pendiente y, sin representarla, indique si es

creciente o decreciente. Escriba la ecuación de la recta con la misma pendiente pero cuya ordenada en el origen sea opuesta.

gg)) Escriba la ecuación general de dos rectas tales que entre ellas no existan puntos de corte.

hh)) Escriba la ecuación de dos rectas que se corten en el punto ( 2 , 1 ) .

ii)) Determine la condición que deben cumplir los coeficientes de las rectas y m x n , y a x b para que corten al eje OY (eje de ordenadas) en el mismo punto.

x

y

1

1

x

y

1

1

SSOOLLUUCCIIÓÓNN:: apartado a)

apartado i)

Esta recta pasa por el origen de coordenadas O ( 0 , 0 ) ,

por lo tanto su ordenada en el origen es n 0 , y tiene de pendiente m 1/2 .

Por lo tanto, su ecuación explícita es 1y x2

.

apartado ii)

Esta recta pasa por el punto A ( 0 , 3 ) , por lo tanto su ordenada en el origen es n 3 , y tiene de pendiente m 3 3/1 . Por lo tanto, su ecuación explícita es y 3 x 3 .

apartado iii)

Esta recta pasa por el origen de coordenadas O ( 0 , 0 ) , por lo tanto su ordenada en el origen es n 0 , y tiene de pendiente m 2 2/1 .

Por lo tanto, su ecuación explícita es y 2 x .

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

apartado iv)

Esta recta pasa por los puntos A ( 3 , 0 ) y B ( 3 , 3 ) , por lo tanto su pendiente es 3 1m

6 2 .

En este caso, su ecuación explicita debe ser de la forma y 1/2 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que

el punto A ( 3 , 0 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la ecuación y 1/2 x n substituimos x 3 e y 0 , obtenemos el valor de n .

1 3y 1/2 x n 0 ( 3 ) n n2 2

Por lo tanto, su ecuación explícita es 1 3y x2 2

.

apartado v)

Esta recta pasa por el origen de coordenadas O ( 0 , 0 ) , por lo tanto su ordenada en el origen es n 0 , y tiene de pendiente m 2/2 1 .

Por lo tanto, su ecuación explícita es y x .

apartado vi)

Esta recta pasa por los puntos A ( 1 , 2 ) y B ( 4 , 3 ) , por lo tanto su pendiente es 1m

3 .

En este caso, su ecuación explicita debe ser de la forma y 1/3 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que

el punto A ( 1 , 2 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la ecuación y 1/3 x n substituimos x 1 e y 2 , obtenemos el valor de n .

1 1 5y 1/3 x n 2 1 n n 23 3 3

Por lo tanto, su ecuación explícita es 1 5y x3 3

.

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

apartado vii)

Esta recta pasa por el origen de coordenadas O ( 0 , 0 ) , por

lo tanto su ordenada en el origen es n 0 , y tiene de pendiente m 2/1 2 .

Por lo tanto, su ecuación explícita es y 2 x .

apartado viii)

Esta recta pasa por el punto A ( 0 , 2 ) , por lo tanto su

ordenada en el origen es n 2 , y tiene de pendiente m 2/2 1 .

Por lo tanto, su ecuación explícita es y x 2 .

apartado b)

apartado i)

4 x 1 4 1 1y y x y 2 x2 2 2 2

La pendiente de esta recta es m 2 y su ordenada en el origen es n 1/2 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 1/2 ) . apartado ii)

2 42 x 3 y 4 3 y 2 x 4 y x3 3

La pendiente de esta recta es m 2/3 y su ordenada en el origen es n 4/3 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 4/3 ) . apartado iii)

2 x 3 2 3y y x5 5 5

La pendiente de esta recta es m 2/5 y su ordenada en el origen es n 3/5 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 3/5 ) .

x

y

1

1

x

y

1

1

apartado iv)

3 53 x 2 y 5 2 y 3 x 5 y x2 2

La pendiente de esta recta es m 3/2 y su ordenada en el origen es n 5/2 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 5/2 ) . apartado v)

3 x 1 3 1y y x2 2 2

La pendiente de esta recta es m 3/2 y su ordenada en el origen es n 1/2 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 1/2 ) . apartado vi)

4 24 x 5 y 2 5 y 4 x 2 y x5 5

La pendiente de esta recta es m 4/5 y su ordenada en el origen es n 2/5 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 2/5 ) . apartado vii)

4 x 3 4 3 3y y x y 2 x2 2 2 2

La pendiente de esta recta es m 2 y su ordenada en el origen es n 3/2 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 3/2 ) . apartado viii)

5 75 x 4 y 7 4 y 5 x 7 y x4 4

La pendiente de esta recta es m 5/4 y su ordenada en el origen es n 7 / 4 ; es decir, pasa por el punto A ( 0 , 7 /4 ) .

apartado c)

Para que las rectas y m x n , y a x b sean paralelas, deben tener la misma pendiente. Es decir, en su ecuación explícita, deben tener el mismo coeficiente en la variable x . Por tanto, debe verificarse que m a .

apartado d)

Comencemos obteniendo la ecuación explícita de la recta x 3 y 1 0 .

1 1x 3 y 1 0 3 y x 1 y x3 3

Cualquier recta paralela a ella, debe tener su misma pendiente, es decir, debe ser de la forma 1y x n3

.

Por ejemplo, dos rectas paralelas a ella son las rectas y 1/3 x , y 1/3 x 1 (que se han obtenido para n 0 y n 1 respectivamente).

Por otra parte, cualquier recta que tenga su misma ordenada en el origen debe ser de la forma 1y m x3

.

Una recta con la misma ordenada en el origen pero distinta pendiente es, por ejemplo, y x 1/3 (que se ha obtenido para m 1 ).

( 3 , 1 )

apartado e)

Cualquier recta paralela al eje OY debe ser de la forma x k . En este caso, como debe pasar por el punto ( 3 , 1 ) , se trata de la recta x 3 . De forma evidente se comprueba que la gráfica de este tipo de rectas no se corresponde con una función. Su representación gráfica es la siguiente:

apartado f)

Comencemos obteniendo la ecuación explícita de la recta 2 x 3y

5

.

2 x 3 2 3y y x5 5 5

Por lo tanto, su pendiente es 2m 05

. En este caos es creciente (pues su pendiente es positiva).

Su ordenada en el origen es 3n5

, por lo tanto, su valor opuesto es 3n5

.

En este caso, la ecuación de la recta con su misma pendiente pero ordenada en el origen opuesta es 2 3y x5 5

.

apartado g)

Para que dos rectas no se corten deben ser paralelas y no tener la misma ordenada en el origen. Por lo tanto, como ejemplo, podemos considerar las rectas 2y x 1

3 , 2y x 2

3 .

Sólo resta obtener sus ecuaciones generales o implícitas: 3 y 2 x2 1y x 1 3 y 2 x 1 2 x 3 y 1 0

3 3 3 3

3 y 2 x2 6y x 2 3 y 2 x 6 2 x 3 y 6 03 3 3 3

Así hemos obtenido las rectas 2 x 3 y 1 0 , 2 x 3 y 6 0 .

apartado h)

Consideremos el punto dado 0 0

( x , y ) ( 2 , 1 ) .

Construyamos dos igualdades a partir de sus coordenadas:

0 02 x y 2 2 1 4 1 3 , por lo tanto, el punto ( 2 , 1 ) pertenece a la recta 2 x y 3 .

2 x 3 y 0

A ( 3 , 2 )

O ( 0 , 0 )

0 0

3 x 2 y 3 2 2 ( 1 ) 6 2 8 , por lo tanto, el punto ( 2 , 1 ) pertenece a la recta 3 x 2 y 8 .

Así las rectas 2 x y 3 , 3 x 2 y 8 se cortan en el punto ( 2 , 1 ) . De forma evidente podemos comprobar que no son paralelas pues tiene distinta pendiente.

apartado i)

Para que ambas rectas corten al eje OY en el mismo punto, deben tener la misma ordenada en el origen, es decir, n b .

44 .. -- Resuelva los siguientes ejercicios relacionados con la obtención de la expresión analítica de una función lineal determinada. aa)) Obtenga las ecuaciones explícita e implícita de cada una de las siguientes rectas.

ii )) La función de proporcionalidad que pasa por el punto ( 3 , 2 ) .

ii ii )) La recta que pasa por los puntos P ( 2 , 1 ) y Q ( 5 , 2 ) .

ii ii ii )) La recta que pasa por los puntos A ( 4 , 7 ) y B ( 5 , 1 ) .

ii vv )) La recta que es paralela a la recta y 3 x y que pasa por el punto P ( 1 , 5 ) .

vv )) La recta que tiene pendiente 2 y corta al eje OY en el punto B ( 0 , 3 ) .

vv ii )) La recta que pasa por los puntos M ( 4 , 5 ) y N ( 2 , 3 ) .

vv ii ii )) La recta que pasa por los puntos A ( 7 , 5 ) y B ( 2 , 3 ) .

vv ii ii ii )) La recta que es paralela a la recta y 5 x 1/3 y que pasa por el punto A ( 2 , 6 ) .

ii xx )) La recta que pasa por los puntos H ( 15 , 10 ) y M ( 8 , 6 ) .

xx )) La recta que es paralela al eje OX y que pasa por el punto K ( 4 , 5 ) .

SSOOLLUUCCIIÓÓNN:: apartado a)

apartado i)

Una función de proporcionalidad es una función lineal cuya ordenada en el origen es 0

y 0 .Par lo tanto, pasa por el origen de

coordenadas O ( 0 , 0 ) y su ecuación explícita es de la forma y m x .

En este apartado, como además pasa por el punto A ( 3 , 2 ) , su pendiente es 2 0 2m3 0 3

.

Así, su ecuación explícita es y 2/3 x .

Su ecuación implícita se obtiene de la forma siguiente: 2y x 3 y 2 x 2 x 3 y 03

x y 3 0

Q ( 5 , 2 )

P ( 2 , 1 )

A ( 4 , 7 )

8 x y 39 0

B ( 5 , 1 )

apartado ii)

Buscaremos su ecuación explícita de la forma y m x n . Comenzaremos calculando su pendiente teniendo en cuenta que pasa por los puntos P ( 2 , 1 ) y Q ( 5 , 2 ) .

2 ( 1 ) 3m 15 2 3

Por lo tanto su ecuación explícita es de la forma y x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto P ( 2 , 1 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en

la ecuación y x n substituimos x 2 e y 1 , obtenemos el valor de n . y x n 1 2 n n 1 2 3 Por lo tanto, su ecuación explícita es y x 3 , y su ecuación implícita es x y 3 0 .

apartado iii)

Buscaremos su ecuación explícita de la forma y m x n . Comenzaremos calculando su pendiente teniendo en cuenta que pasa por los puntos A ( 4 , 7 ) y B ( 5 , 1 ) .

1 7 8m 8

5 4 1

Por lo tanto su ecuación explícita es de la forma y 8 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto A ( 4 , 7 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la

ecuación y 8 x n substituimos x 4 e y 7 , obtenemos el valor de n . y 8 x n 7 8 ( 4 ) n n 7 32 39 Por lo tanto, su ecuación explícita es y 8 x 39 , y su ecuación implícita es 8 x y 39 0 .

y 3 x

3 x y 2 0

P ( 1 , 5 )

2 x y 3 0

B ( 0 , 3 )

apartado iv)

Cualquier recta paralela a la recta y 3 x debe tener su misma pendiente, es decir, debe ser de la forma y 3 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto P ( 1 , 5 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la

ecuación y 3 x n substituimos x 1 e y 5 , obtenemos el valor de n . y 3 x n 5 3 1 n n 5 3 2 Por lo tanto, su ecuación explícita es y 3 x 2 , y su ecuación implícita es 3 x y 2 0 .

apartado v)

Si la pendiente de la recta es m 2 , su ecuación explícita debe ser de la forma y 2 x n . Como además pasa por el punto B ( 0 , 3 ) , su ordenada en el origen es

0y 3 . P

Por tanto n 3 , con lo cual su ecuación explícita es y 2 x 3 y su ecuación implícita es 2 x y 3 0 .

4 x y 11 0

N ( 2 , 3 )

M ( 4 , 5 )

A ( 7 , 5 )

B ( 2 , 3 )

8 x 5 y 31 0

apartado vi)

Buscaremos su ecuación explícita de la forma y m x n . Comenzaremos calculando su pendiente teniendo en cuenta que pasa por los puntos M ( 4 , 5 ) y N ( 2 , 3 ) .

3 5 8m 4

2 4 2

Por lo tanto su ecuación explícita es de la forma y 4 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto M ( 4 , 5 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la


apartado vii)

Buscaremos su ecuación explícita de la forma y m x n . Comenzaremos calculando su pendiente teniendo en cuenta que pasa por los puntos A ( 7 , 5 ) y N ( 2 , 3 ) .

3 5 8 8m2 7 5 5

Por lo tanto su ecuación explícita es de la forma y 8/5 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto A ( 7 , 5 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la

ecuación y 8/5 x n substituimos x 7 e y 5 , obtenemos el valor de n . y 8/5 x n 5 8/5 7 n n 5 56/5 31/5 Por lo tanto, su ecuación explícita es y 8/5 x 31/5 , y su ecuación implícita es 8 x 5 y 31 0 .

5 x y 4 0 y 5 x 1/3

A ( 2 , 6 )

H ( 15 , 10 )

M ( 8 , 6 )

16 x 7 y 170 0

apartado viii)

Cualquier recta paralela a la recta y 5 x 1/3 debe tener su misma pendiente. Por lo tanto, su ecuación explícita debe ser de la forma y 5 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto A ( 2 , 6 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en la


apartado ix)

Buscaremos su ecuación explícita de la forma y m x n . Comenzaremos calculando su pendiente teniendo en cuenta que pasa por los puntos H ( 15 , 10 ) y M ( 8 , 6 ) .

6 10 16 16m8 15 7 7

Por lo tanto su ecuación explícita es de la forma y 16/7 x n . Para calcular la ordenada en el origen, tenemos en cuenta que el punto H ( 15 , 10 ) pertenece a esta recta. En este caso, si en

la ecuación y 16/7 x n substituimos x 15 e y 10 , obtenemos el valor de n . y 16/7 x n 10 16/7 15 n n 10 240/7 170/7 Por lo tanto, su ecuación explícita es y 16/7 x 170/7 , y su ecuación implícita es 16 x 7 y 170 0 .

y 5

K ( 4 , 5 )

apartado x)

Cualquier recta paralela al eje OX es una función constante: su ecuación explícita de la forma y n . Como pasa por el punto K ( 4 , 5 ) , su ecuación explícita es y 5 .

9y x 325

A ( 0 , 32 )

B ( 10 , 50 )

ºFahrenheit

º Celsius

55 .. -- Resuelva los siguientes ejercicios relacionados con la obtención de la función lineal asociada a un enunciado y su representación. aa)) Sabiendo que 0ºC son 32ºF (escala Fahrenheit) y que 10ºC son 50ºF, obtenga la ecuación de

la recta que caracteriza la transformación de grados centígrados a grados Fahrenheit y represéntela gráficamente. A partir de la ecuación obtenida, calcule cuantos grados Fahrenheit son 20ºC.


Denotamos por x a la temperatura expresada en grados Fahrenheit y denotamos por y a la temperatura expresada en grados Centígrados.

Se trata de obtener una expresión lineal y m x n que exprese la temperatura en grados Fahrenheit en función de los grados Centígrados.

La recta buscada pasa por los puntos A ( 0 , 32 ) y B ( 10 , 50 ) . Comencemos calculando su pendiente, es decir, en su ecuación explícita en la forma y m x n , debemos calcular m . Los puntos A y B nos permiten obtener el siguiente valor: 50 32 18 9m

10 0 10 5

Por lo tanto, la expresión buscada es de la forma 9y x n5

.

Como la recta pasa por el punto A ( 0 , 32 ) , su ordenada en el origen es 0

y 32 , por lo tanto n 32 .

Así obtenemos la recta 9y x 325

.

Su representación gráfica es la siguiente: Finalmente, 20 grados Centígrados son 9y 20 32 36 32 68

5 grados Fahrenheit.

€

A ( 3 , 4 5́ )

B ( 7 , 10 5́ )

3y x2

kg

bb)) Sabiendo que tres quilos de peras nos han costado 4 5́ € y que por siete quilos habríamos

pagado 10 5́ €, obtenga la ecuación de la recta que nos da el precio total que pagaremos (y), en función de los quilos que compremos (x) y represéntela gráficamente. A partir de la ecuación obtenida, calcule cuanto pagaremos por 5 quilos de peras.


Se trata de obtener una expresión lineal y m x n que exprese el precio total que pagaremos en función de los quilos que compremos.

La recta buscada pasa por los puntos A ( 3 , 4 5́ ) y B ( 7 , 10 5́ ) . Comencemos calculando su pendiente, es decir, en su ecuación explícita en la forma y m x n , debemos calcular m . Los puntos A y B nos permiten obtener el siguiente valor: 10 5́ 4 5́ 6 3m

7 3 4 2


.

Solamente resta calcular n , la ordenada en el origen y, para ello tenemos en cuenta que el punto A ( 3 , 4 5́ ) es un punto de esta recta. Es decir, si substituimos x 3 e y 4´5 , se verifica la igualdad 3y x n

2 :

3 3 9y x n 4 5́ 3 n n 4 5́ 02 2 2

Es decir, se tiene la recta 3y x2

.

Su representación gráfica es la siguiente:

Finalmente, por 5 quilos de peras pagaremos 3y 5 7 5́

2 euros.

€

y 25 x 20

A ( 0 , 20 )

B ( 1 , 45 )

horas

cc)) Una persona que trabaja en la reparación de electrodomésticos cobra 25€ por desplazamiento y 20€ por cada hora de trabajo. Obtenga la ecuación de la recta que nos da el dinero total que pagaremos (y), en función del tiempo que esté trabajando (x) y represéntela gráficamente. A partir de la ecuación obtenida, calcule cuanto pagaremos por una reparación a la que ha dedicado 3 horas de trabajo.


Se trata de obtener una expresión lineal y m x n que exprese el precio total que pagaremos en función de las horas que emplee en la reparación.

La recta buscada pasa por los puntos A ( 0 , 20 ) y B ( 1 , 45 ) . Puesto que la recta pasa por el punto A ( 0 , 20 ) , su ordenada en el origen es n 20 . Por lo tanto la expresión es de la

forma y m x 20 . Continuemos su pendiente, es decir, en su ecuación explícita en la forma y m x n , debemos calcular m . Los puntos A y B nos permiten obtener el siguiente valor: 45 20 25m 25

1 0 1

Por lo tanto, la expresión buscada es y 25 x 20 . Su representación gráfica es la siguiente:

Finalmente, por 3 horas de trabajo pagaremos y 25 3 20 95 euros.

$

€

6y x5

A ( 3 , 3 6́ )

B ( 7 , 8´4 )

dd)) Un día determinado, Ana ha pagado 3 6́€ por 3 dólares y Marcos ha pagado 8 4́ € por 7

dólares. Obtenga la ecuación de la recta que nos da el precio en euros (y) de x dólares y represéntela gráficamente. A partir de la ecuación obtenida, calcule cuanto pagaremos por 15 dólares.


Se trata de obtener una expresión lineal y m x n que exprese el precio en euros que pagaremos en función de los dólares que compremos.

La recta buscada pasa por los puntos A ( 3 , 3 6́ ) y B ( 7 , 8´4 ) . Comencemos calculando su pendiente, es decir, en su ecuación explícita en la forma y m x n , debemos calcular m . Los puntos A y B nos permiten obtener el siguiente valor: 8´4 3´6 4 8́ 6m

7 3 4 5


.

Solamente resta calcular n , la ordenada en el origen y, para ello tenemos en cuenta que el punto A ( 3 , 3 6́ ) es un punto de esta recta. Es decir, si substituimos x 3 e y 3 6́ , se verifica la igualdad 6y x n

5 :

6 6 18y x n 3´6 3 n n 3 6́ 05 5 5

Es decir, se tiene la recta 6y x5

.

Su representación gráfica es la siguiente:

Finalmente, por 15 dólares pagaremos 6y 15 18

5 euros.

y 3 x 6

A ( 0 , 6 )

B ( 5 , 21 )

segundos

ee)) Rocío sale en bicicleta desde la plaza, que está a seis metros de su casa, hacia un pueblo cercano a una velocidad constante de 3m/s. Obtenga la ecuación de la recta que nos da la distancia (y), en metros, a la que está rocío de su casa al cabo de un tiempo x, en segundos y represéntela gráficamente. A partir de la ecuación obtenida, calcule a que distancia está de su casa después de un cuarto de hora.


Se trata de obtener una expresión lineal y m x n que exprese la distancia a la que se encuentra de su casa, en metros, en función del tiempo que lleva en bicicleta, en segundos.

Teniendo en cuenta que el paseo comienza en la plaza, que está a 6 metros de su casa, la recta buscada pasa por los puntos A ( 0 , 6 ) y B ( 5 , 21 ) . Puesto que la recta pasa por el punto A ( 0 , 6 ) , su ordenada en el origen es n 6 . Por lo tanto la expresión es de la forma

y m x 6 . Continuemos calculando su pendiente, es decir, en su ecuación explícita en la forma y m x n , debemos calcular m . Los puntos A y B nos permiten obtener el siguiente valor: 21 6 15m 3

5 0 5

Por lo tanto, la expresión buscada es de la forma y 3 x 6 . Su representación gráfica es la siguiente:

Finalmente, teniendo en cuenta que 15 minutos son 900 segundos, luego de un cuarto de hora se encuentra a

y 3 900 6 2706 metros de casa.

metros

y 9 x 240

A ( 12 , 348 )y 4 x 300

minutos

litros

ff)) Un depósito contiene 240 litros de agua y recibe el caudal de un grifo que aporta 9 litros por minuto. Un segundo depósito contiene 300 litros y recibe el caudal de un grifo que aporta 4 litros por minuto. Calcule cuánto tiempo pasará hasta que ambos depósitos posean la misma reserva de agua. Interprete el problema por medio de funciones lineales y obtenga la solución gráficamente.


Para el depósito que contiene 240 litros de agua y que recibe el caudal de un grifo que le aporta 9 litros por minuto, la cantidad de litros que contiene en función de los minutos que el grifo ha estado abierto viene dada por y 9 x 240 .

Para el depósito que contiene 300 litros de agua y que recibe el caudal de un grifo que le aporta 4 litros por minuto, la cantidad de litros que contiene en función de los minutos que el grifo ha estado abierto viene dada por y 4 x 300 .

Se trata de representar gráficamente ambas rectas e identificar su punto de corte (que determina que ambos depósitos contenga la misma cantidad de litros de agua).

La representación gráfica es la siguiente:

Calculemos analíticamente el punto de corte de ambas rectas. Para ello, resolvemos el sistema y 9 x 240y 4 x 300

.

y 9 x 2409 x 240 4 x 300 9 x 4 x 300 240

y 4 x 300

605 x 60 x 5 y 9 12 240 34812

Así hemos obtenido que ambos depósitos contendrán 348 litros luego de que ambos grifos estén abiertos 12 minutos.

horas

km

y 2 x

B ( 0 7́5 , 1 5́ )

y 3 x 0 ´75

A ( 0 2́5 , 0 )

gg)) Pablo sale a dar un paseo caminando a una velocidad media de 2 km/h. Un cuarto de hora más tarde sale a buscarlo su hermano que camina a 3 km/h. Interprete el problema mediante funciones lineales y gráficamente, calcule cuanto tiempo tardará en alcanzarlo.


La distancia, en quilómetros, que recorre Pablo en función del tiempo, en horas, que está caminando viene dada por y 2 x . La función lineal que representa el espacio que recorre su hermano, en quilómetros, en función del tiempo, en horas, que está

caminando, pasa por el punto A ( 0 2́5 , 0 ) ─ pues sale un cuarto de hora más tarde ─ y tiene de pendiente 3 ─ pues su velocidad media es de 3 km/h ─

Se trata de obtener una expresión lineal y m x n . Como su pendiente es 3, será de la forma y 3 x n . Puesto que pasa por el punto A ( 0 2́5 , 0 ) , si substituimos x 0 2́5 e y 0 en la ecuación y 3 x n , podremos

calcular n . y 3 x n 0 3 0 2́5 n n 0´75 Así, debemos representar conjuntamente las rectas y 2 x , y 3 x 0´75

De forma evidente, ambas rectas se cortan en el punto B ( 0 7́5 , 1 5́ ) . En este caso, se encontrarán tres cuartos de hora después de haber salido Pablo (o media hora después de que haya salido su

hermano) y a una distancia de un quilómetro y medio del lugar donde comenzó el paseo.

enciclopedias

euros

y 10 x 600

A ( 20 , 800 ) y 800

hh)) Una persona recibe dos ofertas de empleo como vendedora de enciclopedias. La editorial A le ofrece 600€ de sueldo fijo al mes y 10€ de comisión por cada enciclopedia que venda. La editorial B le ofrece mensualmente 800 € independientemente de sus ventas.

ii )) Exprese en cada caso el salario en función de las enciclopedias que venda.

ii ii )) Represente gráficamente la situación del apartado anterior.

ii ii ii )) Interpretando la gráfica del apartado anterior, identifique cuántas enciclopedias debe vender mensualmente para ganar lo mismo con las dos ofertas.


apartado i) La función lineal que representa la oferta económica de la editorial A, en euros, en función del número de enciclopedias que venda

viene dada por y 10 x 600 . La función lineal que representa la oferta económica de la editorial B, en euros, en función del número de enciclopedias que venda

viene dada por y 800 . apartado ii)

La representación gráfica conjunta es la siguiente:

apartado iii)

Ambas rectas se cortan en el punto A ( 20 , 800 ) . Por lo tanto, ambas ofertas le determinan el mismo sueldo de 800 euros siempre que venda 20 enciclopedias. Si vende menos de 20 enciclopedias, el mejor sueldo se corresponde con la oferta de la editorial B. Por el contrario, si vende

más de 20 enciclopedias, el mejor sueldo se corresponde con la oferta de la editorial A.

horas

km

y 110 x 420

A ( 2 5́ , 145 )

y 58 x

ii)) Un tren sale de La Coruña hacia Valladolid con una velocidad media de 110 km/h. Simultáneamente, un tren de mercancías sale de Valladolid hacia La Coruña con una velocidad media de 58 km/h. La distancia entre ambas ciudades es de 420 quilómetros. Represente gráficamente las siguientes funciones.

ii )) La distancia a Valladolid del tren que sale de La Coruña en función del tiempo transcurrido desde que comienza su marcha.

ii ii )) La distancia que recorre el tren que sale de Valladolid en función del tiempo transcurrido desde que comienza su marcha.

ii ii ii )) Suponiendo que ambos trenes circulan por la misma vía, calcule cuándo y dónde se encontrarán.


apartado i) La función lineal que representa la distancia a Valladolid del tren que sale de La Coruña, en quilómetros, en función del tiempo

que dure la marcha, en horas, tiene las siguientes características: pasa por el punto A ( 0 ,420 ) ─ pues en el momento que sale de La Coruña está a 420 quilómetros de Valladolid ─ y tiene de pendiente m 110 ─ pues su velocidad media es acercarse a Valladolid a 110 km/h ─.

Por lo tanto, la ecuación de esta recta es y 110 x 420 . apartado ii)

La función lineal que representa la distancia, en quilómetros, que recorre el tren que sale de Valladolid, en función del tiempo que dure la marcha, en horas, tiene las siguientes características: pasa por el punto O ( 0 ,0 ) ─ pues en el momento que comienza su viaje sale de Valladolid ─ y tiene de pendiente m 58 ─ pues su velocidad media es alejarse de Valladolid a 58 km/h ─.

Por lo tanto, la ecuación de esta recta es y 58 x . apartado iii)

La representación conjunta de las rectas y 110 x 420 , y 58 x es la siguiente:

Calculemos analíticamente su punto de corte: y 110 x 420

110 x 420 58 x 110 x 58 x 420 168 x 420y 58 x

420x 2 5́ y 58 2 5́ 145168

Así obtuvimos que se cortan en el punto A ( 2 5́ , 145 ) . Por lo tanto, ambos trenes se encontrarán luego de dos horas y media de comenzar el viaje a una distancia de Valladolid de 145

quilómetros (estarán a 275 quilómetros de La Coruña).

1 . - re suelva los siguientes ejercicios relacionados … 8, 3º, i (1ª... · y 3 3 y x 1 2...

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