1. programación lineal

LUIS JAVIER CEBALLOS GUTIÉRREZ

PROGRAMACIÓNLINEAL


LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una técnica cuantitativa , muy utilizada, cuyo objetivo

es la construcción de Modelos Matemáticos Determinísticos,

de aquellos fenómenos reales que tienen que ver con el uso

eficiente o asignación de recursos limitados, para optimizar

una función matemática ligada a su objetivo.


1. LINEALIDAD

- Propiedad de Proporcionalidad

- Propiedad de Aditividad

Es la contribución que una variable aporta a las funcionesMatemáticas.

La contribución total a las funciones matemáticas es la suma de las contribuciones individuales

2. CONTINUIDADO DIVISIBILIDAD Se refiere a que las variables pueden tomar cualquier valor real

SUPUESTOS A LOS MODELOS DE P.L.


1. DETERMINISTICO

2. UNICIDAD

Se refiere a que los parámetros o datos son conocidos, ciertos y exactos en vez de probables

Se refiere a que solo existe una función objetivo

3. ESTATICO Significa que la variable tiempo no se involucra formalmente

4. NO SUBOPTIMIZA Se obtiene o solución óptima (una o múltiples) o no tiene

LIMITACIONES DE LOS MODELOS DE P.L.


Elementos de un Modelo de Programación Lineal

Las Variables de Decisión (Xj; Xij; Xijk)

Son los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo. Constituyen las incógnitas del problema. Pueden ser de diferentes tipos e incluir varios subíndices

Los Parámetros (Cj; aij; bi)

Son los datos conocidos, ciertos y exactos de los problemas

La Función Objetivo (Z = f(X))

Es la función matemática ligada con el objetivo del problema


Las Restricciones o Limitaciones

Representan los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo

La Condición de no-negatividad

Son condiciones técnicas, para que todas las actividades puedan llevarse al cabo


MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL

0,,

..

)(

21

2211

22222121

11212111

2211

),,(

),,(

),,(

XnXX

bXXX

bXXX

bXXXAS

XCXCXCxfZOPTIMIZAR

mnmnmm

nn

nn

nn

aaa

aaa

aaa

Optimizar: Significa Maximizar o Minimizar la Función Objetivo

Z = f(X): Función Objetivo

Xj: Variables de Decisión (actividad) j= 1,2,…n

Cj: Coeficiente de las variables en la función objetivo j = 1,2,…n

aij: Coeficiente tecnológico de la variable j en la restricción i: con i = 1, 2…mbi: Recursos disponible i; con i = 1,2,…m


1. Definición de las variables con su respectiva unidad de medida

2. Citar el objetivo

3. Citar cada una de las limitaciones

4. Construir matemáticamente la función ligada al objetivo con sus respectivas medidas

5. Construir matemáticamente las funciones ligadas a cada una de las limitaciones con sus respectivas medidas

6. Definir la condición de no negatividad a las variables

7. Elaborar un resumen del modelo construido

8. Solucionar el modelo mediante un paquete

9. Hacer una interpretación de la solución y un análisis de sensibilidad

PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE P.L.


CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. APLICACIÓN DE MEZCLAS

En los problemas de mezclado, cada componente contiene ciertos ingredientes

En donde la mezcla final puede exigir que estos ingredientes estén presentes en

ciertas cantidades. El objetivo de un problema de mezclado es determinar la

cantidad de cada componente en la mezcla que puede llevar al producto deseado

a un costo mínimo. Considere el problema que enfrenta la siguiente compañía:


Una Compañía de dulces está desarrollando una nueva Mantequilla de Cacahuete y Chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas, pero no mas de 5 gramos de carbohidratos y no mas de tres de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo mínimo, basándose en los siguientes datos:

Limitaciones Mantequilla de Cacahuete

Chocolate

Costo ($/onza) 0.10 0.18

Proteínas (gr./onza) 4.00 0.80

Carbohidratos(gr./onza) 2.50 1.00

Grasas Saturadas (gr./onza)

2.00 0.50


PRÁCTICA 1

La cadena de supermercados LA CANDELA planea vender paquetes de papas que contengan tres diferentes clases de papa mezcladas: Paípa, Criolla y Popular.Cada paquete de papa debe pesar por lo menos 5 libras. Las papas las compra el supermercado por cargas (una carga está compuesta por dos bultos, un bulto pesa dos arrobas y una arroba pesa 25 libras) a razón de 500, 450 y 350 dólares las papas tipo paípa, criolla y popular, respectivamente. El peso combinado de la papa tipo paípa y popular debe ser por lo menos de mitad del peso del paquete.El peso combinado de la papa tipo paípa y criolla no debe exceder las tres libras en cada paquete. Además, cualquier tipo de papa debe ser por lo menos el 20% del peso del paquete. Formúlese un modelo de Programación Lineal adecuado para éste problema


CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

2. APLICACIÓN DE MEZCLA DE PRODUCCIÓN

Algunos productores necesitan determinar como asignar diversos recursos

escasos como la mano de obra, la materia prima y el capital, a varias

alternativas que compiten por estos recursos. La decisión final se basa en

la disponibilidad de estos recursos y en el logro de un objetivo global para

la Organización. Considere el problema que enfrenta la siguiente compañía:


CONFECCIONES EL NORAL S.A.

GERENTE: Señores: El objeto de nuestra reunión de hoy es el de discutir la Propuesta que nos hacen los señores del almacén LEGAL para que les fabriquemos un producto especial. Don Alberto:¿Quiere decirnos en que Consiste esta propuesta?

JEFE DE VENTAS: ¡Si como no! Los almacenes LEGAL quieren que además de la línea que les hemos suministrado habitualmente, les fabriquemos ahora un producto especial en tallas grande y pequeña que parece fácil de fabricar. ALos precios que hemos acordado inicialmente, nos da un margen de ganancia bastante atractivo como lo podrán ver por las cifras que trae Don Antonio.

CONTRALOR: Los cálculos que hemos hecho inicialmente indican que aunqueLos dos productos son similares, la talla grande nos da mayores utilidades que la talla pequeña. La talla grande deja unas utilidades de $12000 por unidad Mientras que la pequeña daría solo $9000 por unidad.


GERENTE: Don Alberto:¿Cuántas unidades cree que nos comprarán de cada una?

JEFE DE VENTAS: Aunque no lo dijeron explícitamente, yo creo que el pedido sería por unas 600 unidades diarias de talla grande y unas 500 unidades diariasde talla pequeña. Por lo que he conversado con Don Guillermo, parece que ha nosotros nos da igual fabricar la una o la otra. ¿No es así Don Guillermo?

JEFE DE PRODUCCIÓN: Así es, en efecto. Este producto solo requeriría de unas operaciones muy sencillas, en las cuales la diferencias de tallas no afecta la rata de producción. Ahora, tenemos capacidad disponible en nuestrasplantas del Noral y Doña María. En el Noral podríamos fabricar unas 500 unidades diarias, no importa de que tallas sean, lo mismo en Doña María, dondesolo podríamos procesar unas 300 unidades diarias.


JEFE DE VENTAS: ¿O sea que sugiere usted que produzcamos y vendamos 600 unidades diarias de talla grande y 200 unidades de talla pequeña?

CONTRALOR: ¡Exactamente! Las utilidades diarias que obtendríamos serían las siguientes:Talla grande: 600 unidades * 12000 $/unidad =7200000Talla pequeña 200 unidades * 9000 $/unidad = 1800000 ------------- TOTAL 9000000¡Esta utilidad es mayor que la que estamos obteniendo con todos los otros productos que fabricamos …!

CONTRALOR: Señores, me parece que tenemos ante nosotros un magníficonegocio. Como acaba de decirlo Don Guillermo, el máximo de unidades que podríamos producir sería de 800 unidades diarias de cualquiera de las dos tallas.ya hemos visto también que el producto que mas utilidades deja es el de la talla grande, o sea que podríamos producir el máximo de unidades de la talla grandey lo que sobre en talla pequeña.


JEFE DE ALMACENES: Yo he estado muy callado mientras todos ustedes hablan de utilidades, ratas de producción, etc. Me parece que están haciendo cuentas alegres y en mi calidad de jefe de bodegas considero mi deber advertírselos. Creo que están olvidando que las bodegas del Noral y Doña María están llenas hasta el ¡TECHO! Con las ratas de producción que DonGuillermo propone tendríamos que almacenar los productos en procesoprácticamente en la ¡calle! No deben olvidar que para producir una unidadpor día de talla grande, debemos ocupar por lo menos cinco pies cuadrados de bodega y que para producir una unidad de la talla pequeña por día, se ocupan tres pies cuadrados. Haciendo un gran esfuerzo en las bodegas del Noral, podríamos disponer de 2250 pies cuadrados y en las de Doña María desolo 900 pies cuadrados… Considero que el plan que propone Don Antonio esPerfectamente ¡imposible de cumplir!

GERENTE: ¡Señores ,calma por favor! Sentémonos nuevamente y tratemos este problema con cabeza fría


Una empresa fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso)Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requierenlos mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la siguiente tabla:

PRODUCTOINGREDIENTE (onza / libra de producto)

POLIMERO A POLIMERO B POLIMERO C BASE

Airtex 4 2 4 6

Extendex 3 2 2 9

Resistex 6 3 5 2

PRÁCTICA 2


Una compañía produce una línea de artículos de peltre para uso casero, la cual consta de 4 productos. El sistema de manufactura se divide en 5 etapas: cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta la información relevante,

Tanto del sistema productivo como del producto.

Información del sistema productivo

Depto.Índice de producción (unidades/hora) Capacidad

(horas/mes)Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Cortado 25 6 20 10 400

Troquelado 14 8 20 10 380

Esmaltado 17 9 33 8 490

Acabado 20 4 - 8 450

Empacado 50 13 50 20 400

PRÁCTICA 3


Información del producto

Producto Precio de venta(dólares/unidad)

Costo de ventaDólares/unidad)

Demanda mensual (unidades)

Mínima Máxima

1 100 50 500 5000

2 300 200 750 6000

3 160 100 650 8000

4 250 150 0 3500

Además, se sabe que en el siguiente mes sólo se dispondrán de 1200 m2 de la lamina que consumen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere de 0.50 m2 por unidad y el producto 2 requiere 0.80 m2 . Se le pide formular este problema como un modelo de

Programación Lineal


Uno de los modelos específicos con que trabaja la programación Lineal son los MODELOS FINANCIEROS: Este tipo de modelos surge cuando un ejecutivo del área financiera tiene que elegir entre diferentes alternativas de INVERSIÓN

o POLITICAS DE PRESTAMOS BANCARIOS o ALGUNA ESTRATEGIA DE MEZCLA FINANCIERA

El objetivo de los modelos financieros es: o la maximización del rendimiento financiero en problemas de inversión, o la maximización de los intereses en problemas de políticas de prestamos bancarios, o la minimización del riesgo

Financiero

Las limitaciones del problema provienen comúnmente de: Capital disponible, leyes financieras, políticas de la compañía, riesgo máximo permitido, …

3. APLICACIÓNES FINANCIERAS


3.2. Selección de un Portafolio de Inversión

Una decisión de inversión puede requerir determinar cuanto invertir en cada

alternativa disponible con el objetivo de obtener él mas alto rendimiento posible.

Pero un alto rendimiento tiene un precio: el riesgo. Un inversionista debe equilibrar

el rendimiento frente al riesgo. A menudo puede formularse un modelo de

Programación Lineal para diseñar una estrategia de inversión que logre el

rendimiento máximo, al mismo tiempo que satisfaga ciertos requerimientos

de riesgo. Los siguientes tres problemas son una muestra simplificada de este

tipo inversiones.


Selección de un Portafolio de Inversión(Inversión en fondos de jubilación)

El señor F. T. Wells es un analista financiero. El comité financiero le ha pedido al señor Wells que prepare recomendaciones de inversión para los 200000 dólares del fondo de jubilación de los empleados. El comité ha sugerido diversificar las inversiones asignando el fondo entre los siguientes instrumentos: Certificados de depósitos, Bonos de la tesorería, Acciones con buen historial, Acciones especulativas, Bonos de compañías y bienes raíces. El señor Wells ha estimado un rendimiento anual para cada clase de inversión y así mismo, ha desarrollado un factor de riesgo para cada una de ellas, que señala la probabilidad de que el rendimiento real de las inversiones en esa clase sea inferior al rendimiento esperado. Por último, ha elaborado un pronóstico del número promedio de años en que se espera obtener el rendimiento esperado para la clase respectiva de inversión.

El comité de finanzas ha indicado que le gustaría tener un período promedio ponderado de inversión de cuando menos cinco años. También que el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La Ley prohíbe que se inviertan mas del 25% en bienes raíces y acciones especulativas. La siguiente tabla muestra la información:


CLASE DE INVERSIÓN

RENDIMIENTO ESPERADO ANUAL (%)

FACTOR DE RIEGO

PLAZO PROMEDIO DE LA INVERSIÓN

Certificados de Depósito

8.5 0.02 8

Bonos de la Tesorería

9.0 0.01 2

Acciones comunes con buen historial

8.5 0.385

Acciones especulativas

14.3 0.45 6

Bonos de Compañías

6.7 0.07 2

Bienes Raíces 13.0 0.35 4


3.3. Políticas de prestamos Bancarios

Una institución financiera se encuentra en el proceso de formular su política de prestamos para el próximo trimestre. Para ese fin se asigna un total de 12000 dólares. Siendo una institución de servicios integrales, está obligada a otorgar préstamos a diversos clientes. La siguiente tabla señala los tipos de prestamos, la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia:

Tipo de prestamos Tasa de interés Probabilidad de incobrables

Personal 0.140 0.10

Automóvil 0.130 0.07

Casa Habitación 0.120 0.03

Agrícola 0.125 0.05

Comercial 0.10 0.2

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingresos por concepto de intereses.


La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a prestamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región, los prestamos para casa habitación deben ser iguales cuando menos al 50% de los prestamos personales, para automóvil y para casa habitación. El banco tiene así mismo una política establecida, que específica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.4.

Formúlese un modelo adecuado de programación lineal para este problema


Un grupo industrial analiza la posibilidad de orientar sus inversiones hacia otros Sectores en donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se ha fijado en 100000000 de pesos. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones se realicen en las industrias petrolera y siderúrgica, así como en certificados de la Tesorería General del Estado (CETES). Específicamente, ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas de rendimiento esperados de las mismas. Esta información se expone a continuación.

Opciones de inversión Tasa de Rendimiento (%)

Petróleo y Derivados, S.A. 25

Industria Petrolera, S.A. 33

Petróleos del Norte, S.A. 20

Aceros Monclova, S.A. 35

Siderúrgica Nacional, S.A. 23

Hierro y Acero, S.A. 27

CETES 30

PRÁCTICA 4


El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversión:

No se debe destinar mas del 50% del total de la inversión a una industria en particular

La inversión en CETES debe equivaler por lo menos al 25% del total invertido en siderúrgica

La inversión en Industria Petrolera, S.A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento, aunque también de mayor riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector petrolero

El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo

¿Qué recomendaciones (cantidad y opciones de inversiones) pueden hacerse con respecto a este portafolio

1. programación lineal

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