1. primera clase para gente w

8/16/2019 1. Primera Clase Para Gente w

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M EDICIONES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

¿QUÉ ES LA MEDICIÓN?

Es una técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, comoresultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cualse ha adoptado como unidad

¿DE CUANTAS CLASES PUEDEN SER LAS MEDICIONES?

Las mediciones pueden ser de dos clases:a) Medición directa

b) Medición indirecta.

MEDICIÓN DIRECTA. Es aquella que se realiza comparando directamente la unidad demedida con la cantidad a medir.

Ejemplo.ara medir la longitud de una mesa de la!oratorio de!emos de tener en cuenta lo siguiente:a) "nstrumento de medición !) recisión del instrumento de mediciónc) "ncertidum!re o error del instrumento de medición

MEDICIÓN INDIRECTA. Es la que se efectúa por medio de una fórmula #$o utilizandoinstrumentos de medición.

Ejemploara medir el %rea de la mesa de la!oratorio de!emos tener en cuenta lo siguiente:a) Medir la longitud de la mesa !) Medir el ancho de la mesac) &onocido el largo # el ancho de la mesa usar la fórmula correspondiente para el %rea:

! ' ( a.!

a

ERRORES DE MEDICIÓN

&uando contamos los alumnos del aula, encontramos a . En este caso nuestra medida de la po!lación del aula es e*acta # precisa. +i en cam!io usando una regla graduada en milímetrosmedimos el largo del cuaderno # o!tenemos mm # fracción -m%s o menos), nuestramedición es imprecisa. 'sí, si consideramos sólo al para nuestros c%lculos posteriores, loque estaríamos cometiendo serían e!!o!e" #e me#$%$&'(


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&uando se realizan determinaciones de cualquier naturaleza, am%s puede llegarse alconocimiento /erdadero de la magnitud !uscada, sean cuales fueren los instrumentosempleados # la ha!ilidad de los o!ser/adores. Los resultados que se o!tienen son, puesapro*imados # los m%s precisos son los que m%s se acercan al /erdadero. La diferencia entre los/alores apro*imados # el /alor /erdadero, serían los errores /erdaderos, que tampoco se puedenconocer.

En la pr%ctica se !usca el /alor de la magnitud llamado m%s pro!a!le o medio. ara llegar a élse hacen /arias determinaciones del /alor de la magnitud # si los resultados no se diferencianmucho, se toma como /alor m%s pro!a!le el promedio de los /alores así o!tenidos: es decir, elcociente de di/idir la suma de los /alores o!ser/ados por el número de o!ser/aciones. L#$*e!e'%$ e'+!e %# ob"e!,%$&' - el ,lo! me#$o e" el e!!o! #e %# ob"e!,%$&'. Estoserrores ine/ita!les, se llaman *o!+$+o" # no de!en confundirse con las e/$,o%%$o'e" ni conlos errores "$"+em0+$%o", que se repiten con cierta regularidad, de!ido a los defectos de losinstrumentos de medida o del o!ser/ador.

&onocido el error de una magnitud # su /alor, su error relati/o es la relación entre el error

/erdadero o a!soluto # el /alor de la magnitud. En la pr%ctica se emplee siempre un límitesuperior del error relati/o, pero nunca el /erdadero error, pues hemos /isto la imposi!ilidad deconocerlo.

'l hacer operaciones con cantidades afectadas de errores, con/iene sa!er cual es la parte e*actadel resultado # para ello es !ueno recordar que el error relati/o de una suma, de una diferencia,de un producto, o de un cociente, es la suma de los errores relati/os de sus términos0 el error deuna potencia es el producto del e*ponente por el error de la magnitud0 el error de la raíz encam!io, es el cociente del error relati/o del número por el índice de la raíz.

C0l%lo #e e!!o!e" #e ' me#$%$&' #$!e%+

1lo! Me#$o o 1lo! m0" P!obble

+i: 12 , 1 , 13 , . . . . . . . . . . . . .1 n, es un conunto de n medidas de una magnitud física, elvalor medio o valor más probable de dicha magnitud es la media aritmética de tales medidas,que se calcula usando la ecuación:

nn

i n

m

22..........2222

345

=+++

=

- 2 )

De",$%$&' - 2i ) de una medida es la diferencia entre la medida 1 i # el /alor medio 1m de las

medidas tomadas. Esto es:

δ 1i ( 1i - 1m -)

E!!o! Ab"ol+o #e l me#$%$&' o #e",$%$&' e"+'#! #e ' me#$%$&' de una serie de nmedidas est% dado por:

)2-

)

−Σ

=∆nn

i 26

2 δ

-3)

1lo! !el #e l me#$%$&'. 'l efectuar /arias medidas de la misma magnitud 1, el resultadode la medición es el /alor medio m%s o menos el error medio del promedio, esto es:


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1 ( 1m ± ∆1 -4)

E!!o! Rel+$,o. Es el cociente entre el error medio # el /alor medio o m%s pro!a!le.

m

r

22e ∆=

-)

E!!o! Po!%e'+l. Es el error relati/o multiplicado por 255.

e% 7 er -255 ) -6)

Ejemplo.

'l hacer la determinación de una longitud utilizando un /ernier se han o!tenido los resultadossiguientes en mm: 3.72, 3.73, 3.75, 3.7, 3.72, 3.72, 3.89, 3.7, 3.87 # 3.74.&alcular el /alor m%s pro!a!le;

Sol%$&'

>>>.

3.733 3.754 3.7

3.726 3.728 3.897 3.79 3.8725 3.74?

a) @alor medio de la medición:

L

Lmm

mmm

ii

= = ==∑

2

25

25

3722

25 372.

,

!) Error a!soluto de la medición

∆ L L

n n

mmmm mm

ii=

− = = ==

∑ - )- )

.. .

δ

2

25

2

5557

95 5 55552 5 556

c) Error relati/o:


4/23

e L

L

mm

mm R m= = =

∆ 5556372

5 5552.

,,

d) Error porcentual

A52,5255A == xee R

e) El /alor m%s pro!a!le de la medición es:

mm L L L m )556,572,3- ±=∆±=

mm L L L m )52,572,3- ±=∆±= -redondeo según los datos)

C0l%lo #e e!!o!e" #e ' me#$%$&' $'#$!e%+ +ea B un a medición indirecta que depende de X, Y # Z y esta dada por la siguiente e*presión:

),,- Z Y X f R =

+e define el error a!soluto de B a la siguiente e*presión:

Z Z

RY

Y

R X

X

R R ∆

∂

∂+∆

∂

∂+∆

∂

∂=∆

donde ∆ X, ∆Y # ∆ Z son las incertidum!re a!solutas de medir X, Y y Z directamente.

Ejemplo 58

+i el /olumen de un cilindro est% dado por la siguiente e*presión:

h DV

4

π =

La incertidum!re a!soluta del /olumen es:

hh

V D

D

V V ∆

∂∂

+∆

∂∂

=∆

hh Dh

Dh D D

V ∆

∂∂

+∆

∂∂

=∆ 44

π π


5/23

hhhd

d D D D

Dd

d hV ∆

+∆

=∆ )-

4)-

4

π π

h D D DhV ∆+∆=∆ )2-4)-4π π

h D Dh DV ∆+∆=∆ 4

π π

Ejemplo 4.

&u%l es la incertidum!re porcentual en el /olumen de una esfera cu#o radio esmr )53,547,- ±=

Sol%$&'

+a!emos que el /olumen de la esfera es:

3339,63)47,)--

3

4

3

4mmr V === π π

La incertidum!re a!soluta del /olumen de la esfera es:

( ) 33 3,)53,5-)47,)--4433

4)-

3

4mmmr r r r r r

r d

d r

r

V V ==∆=∆=∆

=∆

∂∂

=∆ π π π π

La incertidum!re porcentual es:

A63,32559,63

3,255A

3

3

==∆

= xm

m x

V

V e

OTRA 9ORMA8


6/23

MA@NITUDES 9SICAS

En el


7/23

a !) El /olumen de un cilindro se o!tiene al multiplicar el %rea de su !ase por su altura.

h

V A h r h D h D h= = = =. - )π π π 4

Cc)La densidad de un cuerpo est% dado por el cociente o!tenido al di/idir su masa entre su/olumen.

ρ = m

V

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 6SI)

' partir del 24 de Kctu!re de 2965 , la oncea/a &onferencia eneral de esas # Medidas-Krganización "nternacional reunida en arís, Drancia) da a conocer oficialmente un sistema deunidades !asado en el sistema métrico decimal, en el que se consideran siete -58) magnitudesfísicas fundamentales # dos -5) au*iliares o complementarias, las mismas que tendrían sólo unaunidad !%sica.

La siguiente ta!la muestra las siete magnitudes fundamentales del +istema "nternacional de


8/23

BED"JK +"MFKLK D'&HKB KB EL


9/23

25

25

25 5 4 25 4 25

25

2

25 2 4 x

x x x x

−

−− += = =.

' menudo es con/eniente designar la potencia de diez por un prefio en la unidad. or eemplo,la pala!ra ilo significa mil, de modo que .36 = ( .36 * 25 3 =0 mili significa una milésima,de modo que 6.4 ms ( 6.4 * 25T3 s.

USO DE CI9RAS SI@NI9ICATI1AS8

2.69>>>>.tiene 3 cifras significati/as5.23>>>>tiene 3 cifras significati/as4.55*25T8 >>. tiene 3 cifras significati/as

OPERACIÓN MATEMÁTICA CI9RAS SI@NI9ICATI1AS EN EL RESULTADO

Ml+$pl$%%$&' - #$,$"$&' 8 No m0" /e e' el 'Hme!o /e +$e'e me'o" %$*!""$B'$*$%+$,"

Em: -5.84 * .)$3.77 ( 5.4

Em: -2.387 * 258 )* -4.22* 25 T3) ( .4 * 25 4

Sm - Re"+8 Lo #e+e!m$' el 'Hme!o %o' me'o! $'%e!+$#mb!e 6e"#e%$! el me'o! 'Hme!o #e #B$+o" l #e!e%J #elp'+o #e%$ml)

Em: 8.23 U 237.T 22.84 ( 23.6

No+8 Cbe "eKl! /e l !e#%$! ' !e"pe"+ l 'Hme!o p!op$#o #e %$*!""$B'$*$%+$," #ebemo" !e#o'#e! 'o +!'%!

REDONDEOS8

5. Se me'+ ' '$## "$ el 'Hme!o po"+e!$o! e" m-o! /e G GG.

Ejm85.3 .5.3 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)

5.355.3 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)

4. No "e me'+ l '$## "$ el 'Hme!o po"+e!$o! e" me'o! /e GGG.

Ejm8

5.33 .5.3 6!e#o'#eo l %e'+"$mo) 5.355.3 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)


10/23

3. S$ el 'Hme!o po"+e!$o! e" G GG.

C"o58 S$ el '+e!$o! e" p! 'o "e me'+ l '$##. Ejm85.34 .5.34 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)

5.34G5.34 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)

C"o48 S$ el '+e!$o! e" $mp! "$ "e me'+ l '$##

Ejm85.3 .5.3 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)

5.3G5.3 6!e#o'#eo l %e'+"$mo)

ORDEN DE MA@NITUD

Es necesario tener una idea clara de lo grande o pequeGo que es un número escrito en notacióncientífica, al mismo tiempo que es importante referirnos a su orden de magnitud, o sea, a su /alor apro*imado, utilizando únicamente la potencia de 250 así, en:2 555 555 ( 256, su orden de magnitud es 256 -millones) ( , * 25, su orden de magnitud es 25 -centenas)5,8 ( 8, * 25T2, su orden de magnitud es 25T 2 -décimas)

ANALISIS DIMENSIONAL


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PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

2.T Hodos los números -o constantes)en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, # suecuación dimensional es la unidad.

a) X Y3 2=

!)X Y 2π rad =

c)Xsen Y4 2° =

d)Xlog Y 2=

e) XE1K=E=HEY ( 2, P( a *

X númeroY ( 2

.T PRINCIPIO DE OMO@ENEIDAD8

Es una ecuación ser% dimensionalmente correcta, si los términos que componen una adición osustracción son de iguales dimensiones, # si en am!os miem!ros de la igualdad aparecen lasmismas magnitudes afectadas de los mismos e*ponentes.

+i: ' ( F U & U C U E U >>

Entonces dimensionalmente se de!e cumplir que:

X'Y ( XFY ( X&Y ( XCY ( >..

Ejm8.

a) L U L U L ( L

!) LHT T LHT ( LHT

No+8 No "e pe#e "m! o !e"+! %'+$##e" /e +$e'e' #$*e!e'+e" '$##e"

9INES Y OETI1OS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL

2. E*presar las magnitudes deri/adas en función de las denominadas magnitudes fundamentales. &ompro!ar la /eracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad

dimensional3. Ceterminar fórmulas empíricas a partir de datos e*perimentales

Ejemplo"a) Rallar la ecuación dimensional del %rea del rect%ngulo: !

i) Dórmula matem%tica: ' ( a.!ii) Dórmula dimensional: X'Y ( XaYX!Y ( L L ( L

!) Rallar la ecuación dimensional del /olumen de un paralelepípedo.


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ci) Dórmula matem%tica: @ ( a.!.c !ii) Dórmula dimensional: X@Y ( XaY X!Y XcY ( L L L ( L3 a

%) Rallar la ecuación dimensional de la /elocidad X/Y:

1 7 #=+ leBo8 V,W 7 V#W = V+W

V,W 7 L=T 7 L T5

#) Rallar la ecuación dimensional de la aceleración XaY:

7


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"gualando e*ponentes:

&ara % '

&ara L x '

&ara $ y

:

:

:

2

3

3

== −

− = −

Cesarrollando el sistema de ecuaciones tenemos:= x

,3= y

,2= '

or tanto la ecuación correcta es: & k R= 3ω ρ

l) Ceterminar la /elocidad de propagación de una onda mec%nica en una cuerda tensa sa!iendoque depende de la fuerza de tensión D a la cual est% sometida # de su densidad lineal C-masa $ longitud. La constante numérica de proporcionalidad es la unidad)

+olución:

@ ( N D * C #

P!oblem"

2.T &inco mediciones de una longitud dan en cm: 5,30 ,80 ,50 8,6 # 9,4. -a)Encontrar el /alor medio de la medición # -!) Encontrar la incertidum!re a!soluta de lamedición, -c) Encontrar la incertidum!re relati/a de la medición, -d) Encontrar laincertidum!re porcentual de la medición. -e) ué /alor tiene el periodo del péndulosimple para esta longitud promedio.

Sol%$&'Ha!la estadística:

= Li -cm) δ L -cm) -δ L) cm

2 5,3 T4,8 ,59

,8 T,3 ,93 ,5 5,5 5,554 8,6 ,6 6,86 9,4 4,4 29,36Σ 8,5 3,

a) @alor medio de la longitud:

cmcm

n

L L

i5,

5,8==>=< ∑

!) Error a!soluto de la longitud


14/23

( )cmcm

cm

! !

L L

i6,268,

5

,

)2-

===−

=∆ ∑ δ

c) Error relati/o de la longitud

59,55,

6,2==

><∆

=cm

cm

L

Ler

d) Error porcentual de la longitud:

A9,)255-)59,5-255A === xee r

e) eriodo

s s scm

cm

g

L$ 49,255.5

$975

5,

==== π π π

. +e mide el di%metro de una esfera sólida # da por resultado -23,555 ± 5,55) cm0 # lamedida de su masa es de -2,75 ± 5,552) g. Encontrar: -a) El /olumen de la esfera consu incertidum!re, -!) La densidad de la esfera con su incertidum!re.

Sol%$&'Catos:

m xcm D 25)55,5555,23-)55,5555,23- −±=±=

g kg % )2752-)552,575,2- ±=±=

a) @olumen de la esfera con su incertidum!re

3333 3,252)23-663

4cmcm D RV ==== π π π

D D D D D D D

D D

V V ∆=∆=∆

∂∂

=∆∂∂

=∆ 3

)3-6

)6

- π π π

3 ,5)55,5-)555,23-

cmcmcmV ==∆ π

or lo tanto:


15/23

3),53,252- cmV ±=

!) Censidad de la esfera con su incertidum!re

33

3 $,6572$657,2

3,252

752mkg cm g

cm

g

V

% ==== ρ

3

3

33

$

59,233295

93,252

)3,252-

),5-)752-)2-)3,252-cm g

cm

cm g g cm

V

V % % V +=

+=

∆+∆=∆ ρ

333 $6,2$256,2 mkg cm g x ==∆ − ρ

or lo tanto:

3$)6,2,6572- mkg ±= ρ

3. Bocío, una eficiente enfermera ha o!ser/ado que la potencia -) con que aplica unain#ección depende de la densidad -ρ) del liquido encerrado, de la /elocidad -) delém!olo al e*pulsar el liquido # del tiempo de aplicación de la in#ección - t ). Martín, un

estudiante de ingeniería de la


16/23

[ ] 3−=

= L %

V

m ρ

[ ] 2−= $ L

[ ] $ t =

Beemplazando tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ' y y x x ' y x $ L % $ $ L L % $ L % +−+−−−− == 3233 2

"gualando e*ponentes:

ara M: x=2

ara L: y x +−= 3

⇒

y+−= )2-3⇒

= y

ara H: ' y +−=− 3

⇒ ' +−=− 3

⇒= '

Besultando: t k & ρ =

&alculo de la constante k :

955)-)25-)$755-

$9,53

3

=== − sm xmkg

smkg

t

& k

ρ

Besultando:

955 t & ρ =

4.


17/23

= Li -cm) [Li -cm) -[Li) -cm)2 ,8 5,52 5,5552 ,67 T 5,53 5,55593 ,82 5,55 5,55554 ,82 T 5,5 5,5554

,83 5.5 5,5554\ \ Li ( 23,3 cm \ -[Li) ( 5,5527 cm

a) @alor medio de la medición:

cmcmcm

!

L L

i

m 82,856,

3,23==== ∑

!) "ncertidum!re a!soluta:

( ) cmcmcmcmcm ! !

L L i

52,5559,555559,55

5527,5

)2-

5527,5

)2-

====−

=−

=∆ ∑ δ

c) @alor real de la medición:

( ) cm L L L m 52,582, ±=∆±=

d) Error relati/o:

554,582,

52,5 ==∆=cm

cm

L

Le

m

r

e) Error porcentual

A4,5)255)-554,5-255A === xee r

. &u%l es la incertidum!re porcentual en el /olumen de una esfera cu#o radio es r ( -,74± 5,53) cm;

Sol%$&'

@olumen de la esfera:


18/23

( ) ( ) 3333 98,992,3

474,

3

4

3

4cmcmcmr V ==== π π π

Error a!soluto del /olumen de la esfera:

( ) r r r r r r r d

d r r

r r

r

V V ∆=∆=∆

=∆

∂∂

=∆∂∂

=∆ 33 433

4

3

4

3

4π π π π

( ) ( ) 3 54,353,574,4 cmcmcmV ==∆ π

La incertidum!re porcentual del /olumen de la esfera es:

A,325598,9

54,3

255A 3

3

==∆

= xcmcm

xV

V

e

A,3A =e

6.


19/23

8.


20/23

ara M:cb +−=2

de aquí:bc += 2

ara L:

cba 35 ++=

ara H:cba −−−= 5

Besultando:

2=a

2−=b

2=c

or lo tanto la ecuación empírica es:

,hck h,ck m ) == −

$2$2$2

reemplazando /alores, tenemos:

( )( )( )

kg xkg x skg m x

smkg x sm xm &

72

322

347

2546,2568,6

79,29

$2568,6

$2563,6$253)2- −−

−

−

===

kg xm & 7

2546,

−

=

MEDICIONES

Cl%lo #e ' me#$%$&' %o' " $'%e!+$#mb!e

Me#$%$&' D$!e%+5. Ciez mediciones de corriente en la rama de un circuito dan los /alores de 5,0 5,60 49,80

2,20 5,30 49,90 5,40 49,60 5,3 # 2,5. +upóngase que sólo se tienen errores aleatorios en

el sistema de medidas, calcúlese: -a) El /alor medio de la medición -!) la incertidum!rea!soluta de la medición. -c) La incertidum!re relati/a de la medición # -d) Laincertidum!re porcentual de la medición.

4. Los /alores siguientes de /oltaes est%n listados en una hoa de datos como /aloreso!tenidos al medir un determinado /oltae: 2,40 2,840 2,660 29,580 2,3 # 2,29 @.Cel e*amen de los números, calcúlese: -a) El /alor medio de la medición -!) laincertidum!re a!soluta de la medición. -c) La incertidum!re relati/a de la medición # -d)La incertidum!re porcentual de la medición.

3. Los siguientes /alores se o!tu/ieron de las mediciones del /alor de una resistencia: 248,0248,40 248,90 247,20 248,20 248,0 248,60 248,40 248,6 # 248, 5hmios -Ω). Cel e*amen de

los números, calcúlese: -a) El /alor medio de la medición -!) la incertidum!re a!soluta de


21/23

la medición. -c) La incertidum!re relati/a de la medición # -d) La incertidum!re porcentualde la medición.

. +eis mediciones de una cantidad est%n asentadas en la hoa de datos # se presentan para suan%lisis: 2,30 2,820 2,470 2,40 2,63 # 2,7. Ra# que e*aminar los datos # con !aseen las conclusiones calcular: -a) El /alor medio de la medición -!) la incertidum!rea!soluta de la medición. -c) La incertidum!re relati/a de la medición # -d) Laincertidum!re porcentual de la medición.

Me#$%$&' I'#$!e%+

. +i se mide la longitud # el ancho de una placa rectangular # resulta -2,35 ± 5,5) cm #-2,75 ± 5,5) cm, respecti/amente, calcule el %rea de la placa # la incertidum!recorrespondiente a dicha %rea.

. +e mide el radio de una esfera sólida # da por resultado -6,5 ± 5,5) cm0 # la medida de sumasa es de -2,7 ± 5,5) g. Cetermine en g$m3 la densidad de la esfera # la

incertidum!re de la densidad.

.


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ANALISIS DIMENSIONAL

E%%$o'e" #$me'"$o'le"

5. &u%les de!en ser las dimensiones de ' # F para que la ecuación dada sea

dimensionalmente correcta:

A(

m / 0 =

+sen

- )

θ

, siendo: ( ( Hra!ao, m ( masa # 0 ( %rea.

5. Ce la siguiente ecuación dimensional:

V a

t

h b

c= +

−33

, siendo V ( /olumen, t ( tiempo, h

( altura, determinar la e*presión dimensional de

1 b

a c

=

.

5. +i la rigidez - & ) de una cuerda est% dada por la fórmula:

& a 2

R b d = +

, siendo: & 3fuerza en -=), R ( radio, 2 ( presión, d ( densidad. ué dimensiones de!en tener a # b para que dicha fórmula sea dimensionalmente correcta.

5. En la siguiente fórmula empírica:

-

d L= +

α β

, donde: - ( fuerza de rozamiento, d ( di%metro de la tu!ería, ( /elocidad lineal, L ( longitud, α ( coeficiente e*perimentaldimensional. Ceterminar las dimensiones del coeficiente β.

5Z. La ecuación que permite calcular el caudal -2) del escape de agua por un orificio es la

siguiente:

24 A

A /

g ) R=

−

−

2

2

- $ )

- )

γ

, siendo: ( m3$s, & ( coeficiente dedescarga, ' ( %rea del tu!o, g ( aceleración de la gra/edad, p 2 5 presión en el tu!o # γ ( peso específico. &onsiderando dimensionalmente correcta a la ecuación dada. &u%les son

las dimensiones de F, & # B;

4G. +i la ecuación dada es dimensionalmente correcta, encontrar la fórmula dimensional de E:

& 2 R a 1

1 - 2.

- )

log

= −

+

4

siendo ( peso, B ( tra!ao, ( /elocidad # a ( aceleración.

45. Ceterminar la fórmula dimensional de ' en la siguiente ecuación dimensionalmente

correcta:

A / k 4 k = − 3

, siendo / ( calor específico # 4 ( aceleración angular.


23/23

44. La ecuación propuesta es dimensionalmente correcta,

) 4 / n5 mn A

D D= − +

- ) $

3

,siendo ) ( presión, / ( di%metro, A ( %rea, m # n ( adimensionales. &u%les de!en ser lasdimensiones de 4, 5 # D;

43. +i la ecuación dimensional:m y x y sen- ) $ω φ π − =

es dimensionalmente correcta,determinar las dimensiones de x e y, siendo m ( masa, ( /elocidad # ω ( /elocidadangular.

1. primera clase para gente w

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