1. modelo teóricobibing.us.es/proyectos/abreproy/3932/fichero/capitulo_iv.pdf · nodales por nodo....

Capítulo IV: Generación del modelo de elementos finitos

AUTOR: Antonio Herrera Sierra TUTOR: Enrique Graciani Díaz

34

En este capítulo se va a desarrollar una descripción de la generación del modelo de elementos finitos creado para la resolución del problema. En el primer apartado del capítulo se describirá el modelo teórico, denominado teoría de capa única equivalente, en la cual nos basamos para resolver el problema. El segundo apartado del capítulo consistirá en describir cómo podemos resolver mediante el Método de los Elementos Finitos dicho modelo teórico. A continuación, en el tercer apartado del capítulo se describirá como implementamos el modelo de elementos finitos en el programa comercial MSC.Nastran/Patran. Finalmente, en el cuarto apartado del capítulo se comentará la forma en que se ha refinado la malla de elementos finitos. 1. Modelo Teórico El modelo teórico en que nos basamos para resolver el problema es la teoría de capa única equivalente. Dicha teoría es de las más sencillas y económica de todas la teorías de laminados. En dicha teoría los desplazamientos se desarrollan como una combinación lineal de la coordenada perpendicular al plano del laminado y funciones de posición sobre el plano de referencia. En el caso de una teoría de capa única de primer orden se basa en las siguientes hipótesis:

• Hipótesis cinemática: La normal al plano de referencia en cualquier punto se traslada y gira. No se alarga ni se acorta. Permanece recta y normal a la superficie de referencia. Por lo tanto 0=== xzyzz γγε .

• Se cumple el principio de Saint-Venant.

• Las tensiones normales al plano de referencia son nulas, σz=0, lo cual implica que se

supone que las cargas están aplicadas sobre la superficie de referencia. • Pequeñas deformaciones.



35

Por lo tanto el campo de desplazamientos queda como:

wzvvzuu⋅+=⋅+=

βα

0

0

, donde

ywxw

∂∂

−=

∂∂

−=

β

α

z, w

x, u

y, v

Figura IV.1: Sistema de referencia

Las componentes del desplazamiento u0, v0 y w son los desplazamientos a los largo de las tres líneas coordenadas de un punto sobre el plano de referencia. Las componentes α y β son los giros de la normal sobres los ejes x e y, respectivamente.

El campo de deformaciones no nulas queda con la siguiente estructura:

+

=

∂∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

+

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

0

0

0

0

0

0

02

20

2

20

2

00

0

0

2xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

kkk

z

yxwywxw

z

xv

yuyvxu

γεε

γεε

Donde podemos discernir claramente dos bloques, uno perteneciente a las deformaciones de laja (alargamientos y distorsiones) y el segundo bloque son los efectos de la curvatura provocados por la configuración placa. A partir de las deformaciones, aplicando la ley de comportamiento elástica para cada lámina ortótropa podemos obtener la tensión producida en cada lámina. Como cada lámina tendrá una orientación de fibra dada, a su vez tendrá unas rigideces equivalentes diferentes, con lo cual existirá una discontinuidad en tensiones.



36

Por lo tanto, aplicando la ley de comportamiento por lámina tenemos:

ijkij

kij Q εσ ⋅=

Figura IV.2: Tensiones en la lámina

Si tuviéramos cargas perpendiculares al plano del laminado por equilibrio existirían unas tensiones xzσ y yzσ .

Para obtener los esfuerzos por unidad de longitud del laminado tendremos que integrar las tensiones a lo largo del espesor del laminado. Con lo cual podemos tener distintos tipos de esfuerzos, fuerzas por unidad de longitud y momentos por unidad de longitud:

∫ ∑ ∫− =

−

=

=

2

21

1

t

t

N

k

z

z

k

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x k

k

dzdzFFF

σσσ

σσσ

∫ ∑ ∫− =

−

=

=

2

21

1

t

t

N

k

z

z

k

y

x

yz

xz

y

xk

k

dzdzVV

σσ

σσ

Figura IV.3: Fuerzas por unidad de longitud



37

∫ ∑ ∫− =

−

⋅

=⋅

=

2

21

1

t

t

N

k

z

z

k

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

z k

k

dzzdzzMMM

σσσ

σσσ

Figura IV.4: Momentos por unidad de longitud

Con dichas expresiones podemos montar un sistema de ecuaciones tal como:

( )

( )

( )∑

∑

∑

=−

=−

=−

−⋅⋅=

−⋅⋅=

−⋅=

⇒

⋅

=

N

kkkijij

N

kkkijij

N

kkkijij

zzQD

zzQB

zzQA

kDBBA

MN

1

31

3

1

21

2

11

0

0

3121ε

Las ecuaciones cinemáticas y constitutivas anteriores se complementan con las de equilibrio. Éstas pueden expresarse en la forma del teorema de los trabajos virtuales, que es muy útil para la aplicación directa del método de los elementos finitos. Así en forma general puede escribirse como:

∫∫ ∫∫ ∫Γ

Γ⋅+⋅⋅=⋅⋅A A

TTT dtudAXudA δδσεδ ˆˆ

donde A es el área de la superficie de referencia y X y t son los vectores de fuerzas repartidas y puntuales, respectivamente.



38

2. Modelo de Elementos Finitos Los modelos de elementos finitos para placa delgada, es decir, basados en la teoría clásica de primer orden (Kirchhoff) requieren interpolaciones de Hermite de clase C1 para la flecha w mientras que para los otros desplazamientos, en el plano, pueden utilizarse las interpolaciones lagrangianas de clase C0. Así el elemento utilizado para el análisis contiene cuatro nodos y cinco parámetros nodales por nodo. Cuatro de esos parámetros están asociados con w, los cuales son:

yw

xww

∂∂

∂∂ 33

3 ,,

Los otros dos parámetros son:

21, vu

Por lo tanto este elemento tiene cinco grados de libertad por nodo tal como representamos en la Figura IV.5:

Figura IV.5: Elemento cuadrilátero

Este elemento de configuración placa delgada debe cumplir:

• Para la flecha w el polinomio debe ser completo hasta orden dos, es decir que posea

seis términos, para que se de la condición de complitud. • A lo largo de un lado w debe ser continúa entre elementos y como hay tres parámetros

nodales del tipo nww∂∂, entre los dos extremos del lado, w debe ser cúbica en la

variable x o y que discurre a lo largo de un lado.



39

• Las derivadas nw∂∂ deben ser lineales a lo largo de los bordes para poder asegurar su

continuidad en todos los puntos del borde ya que solamente está definida por dos parámetros en los extremos del borde.

• Los parámetros 21, vu deben cumplir que el polinomio debe ser completo hasta orden

dos. 3. Generación del Modelo mediante Nastran/Patran 2001-r2 Como hemos comentado en el apartado anterior, el modelo que se genera mediante el programa comercial MSC.Nastran/Patran utilizando elementos rectangulares de cuatro nodos. Dichos elementos se denominan “QUAD4”. Para generar la geometría de la pieza utilizamos superficies rectangulares, ya que luego la mallaremos mediante elementos bidimensionales. Las superficies que modelan la pieza puede observarse en la Figura IV.6:

Figura IV.6: Superficies generadoras del modelo

Como se observa existen diferentes tamaños de superficies, las cuales coinciden con las zonas donde existen discontinuidades geométricas que comentamos en el primer capítulo. Estas superficies servirán de plano de referencia para la posterior creación del laminado equivalente. Una vez creadas las diferentes superficies crearemos las distintas láminas ortótropas. Si el análisis a realizar es lámina a lámina, crearemos tres láminas ortótropas diferentes, una correspondiente al Non-Crimp-Fabric, otra se refiere al pre-peg que va intercalado en el rigidizador y por último la correspondiente a los tabs de fibra de carbono.

Zonas de superficies

más pequeñas



40

Si hacemos un análisis de fallo, entonces crearemos cuatro láminas ortótropas equivalentes: una correspondiente al laminado quasi-isótropo, otra perteneciente al laminado biaxial y las correspondientes al pre-peg del rigidizador y los tabs de fibra de carbono.

Para la definición de estas láminas necesitaremos cuatro propiedades mecánicas; el módulo de Young en la dirección de la fibra, el perpendicular a la dirección de la fibra, el coeficiente de Poisson correspondiente al plano de la lámina y el módulo de cizalladura en el plano de la lámina. Los valores de las propiedades mecánicas utilizados son los obtenidos en el capítulo segundo, a modo de ejemplo en la Figura IV.7 se muestra como se introducen al programa las propiedades de la lámina de Non-Crimp-Fabrics:

Figura IV.7: Introducción de propiedades

Con estas láminas ortótropas creamos los seis tipos de laminados equivalentes que definimos en el primer capítulo, para ello sólo necesitamos apilar convenientemente a las láminas ortótropas creadas, definiendo en cada capa su espesor y la orientación de las fibras. Como ejemplo se muestra en la Figura IV.8 los valores introducidos al programa para crear el laminado 3, del análisis lámina a lámina, formado por ocho láminas de Non-Crimp-Fabrics de un cuarto de milímetro de espesor.

Lamina Non-Crimp-Fabric:

PaG

PaE

PaE

912

12

922

1111

1053.0

109.91041.1

⋅=

=⋅=

⋅=

υ



41

Figura IV.8: Creación del laminado 3

Con el fin de chequear los pasos que va siguiendo el programa comercial

MSC.Nastran/Patran mostramos las matriz de rigidez global del anterior laminado 3 que construye dicho programa respecto al plano de referencia que le hemos asignado; y la comparamos con la matriz de rigidez global que se obtiene al construirla mediante la teoría del laminado.

A =1.0e+008 * [1.6275 0.7018 0 0.7018 1.6275 0.0000 0 0.0000 0.7757]

B =1.0e+004 *[ 1.5643 -1.5643 -0.0000 -1.5643 1.5643 -1.5643

-0.0000 -0.0000 -5.4427]

D = [125.4371 61.7611 -12.4974 61.7611 100.4423 -12.4974

-12.4974 -12.4974 67.3037]

Figura IV.9: Matrices de rigidez, a) Nastran/Patran b) Analítica

Como se observa en la Figura IV.9, ambas matrices de rigidez globales son casi idénticas, lo cual nos garantiza que los laminados creados por el programa MSC.Nastran/Patran son válidos. Los siguientes pasos para seguir generando el modelo se esquematizan en la Figura IV.10, que a continuación desarrollaremos.

a) b)



42

Figura IV.10: Esquema de proceso de generación del modelo

El primer paso consiste en generar los elementos rectangulares que en el apartado segundo del capítulo comentamos. Dichos elementos de cuatro nodos denominados “QUAD4”, se construirán sobre la diferentes superficies imponiendo su tamaño, como se observa en la Figura IV.6. Los elementos más pequeños se encuentran en la zonas donde se espera obtener una mayor variación en la variables de la solución del modelo.

Figura IV.11: Creación de los elementos rectangulares

El segundo paso consiste en asignarle a los elementos creados las propiedades de los laminados correspondientes. Para ello, como cada tipo de laminado equivalente lo tenemos asociado a una serie de superficies vamos asignando a los elementos que se encuentran en esas superficies el tipo de laminado, el sistema de coordenada respecto al cual tiene que tomar la dirección de las fibras y por último la cota a la que se encuentra el centro de gravedad de la sección del laminado. Como ejemplo de ello, podemos observar la Figura IV.12, donde se visualizan los diferentes datos que hay que introducirle al programa.



43

La ventaja de asignar las propiedades a la geometría es que no es necesario repetir este paso al modificar la malla de elementos finitos.

Figura IV.12: Propiedades del elemento

Para comprobar si los espesores de laminado son correctos y su centro de gravedad está correctamente situado, el programa permite hacer una perspectiva tridimensional de los elementos. Dicha perspectiva la observamos en la Figura IV.13:

Figura IV.13: Vista tridimensional de los elementos, a) sección b) vista 3D del modelo

Como puede observarse, en la anterior figura, la geometría que reproduce el modelo es idéntica a la que se observaba en la vista tridimensional del capítulo II, por lo tanto la aproximación bidimensional que hacemos de la pieza refleja correctamente los aspectos tridimensionales de los diferentes laminados. El último paso para generar el modelo de elementos finitos consiste en la aplicación de las diferentes condiciones de contorno. En nuestro caso tenemos dos tipos de condiciones, una en desplazamientos que se aplicará sobre las mordazas y otra en carga por unidad de longitud que se impondrá sobre el borde de la mordaza superior mediante una carga de presión.

a) b)



44

Las condiciones en desplazamientos son las mismas tanto para la carga en tracción como para la carga en compresión. Dichas condiciones de contorno en desplazamientos se aplicarán sobre los nodos situados en las superficies donde se encuentran los tabs de fibra de carbono que contienen la placa y el rigidizador, que observamos en la Figura IV.14:

Figura IV.14: Condiciones de contorno en desplazamientos

La mordaza inferior sobre la placa tiene impedido los desplazamientos en la dirección “x”, “y” y “z” así como todos los giros. Sobre la parte del rigidizador que agarra la mordaza inferior, los desplazamientos que se impiden son en las direcciones “x”, “y”, “z”. Además de tener impedido todos los giros. Las condiciones de contorno en desplazamientos sobre la mordaza superior, tanto para la placa como para el rigidizador, son las mismas que en la mordaza inferior salvo que se permite el desplazamiento en la dirección “y”. Por último las condiciones de contorno en carga, tanto para compresión como para tracción, se aplican sobre el borde de la mordaza superior que permite el desplazamiento en la dirección “y”, donde dicha coordenada “y” vale trescientos milímetros. En la Figura IV.15 se indica el punto de aplicación además de los valores de las cargas para compresión y tracción en unidades de N/m. Dichos valores equivalen a la carga de -10 kN, que es el valor máximo de carga que se llega alcanzar experimentalmente en el ensayo de compresión, y 50 kN que es el correspondiente valor máximo de al que se llega en el ensayo de tracción.

Mordaza Superior

Mordaza Inferior



45

Figura IV.15: Condiciones de contorno en carga

4. Refino de la Malla de Elementos Finitos Para determinar cual es el tamaño adecuado de los elementos de la malla de elementos finitos, se ha partido de una malla totalmente regular, cuyo tamaño de elemento es de un centímetro de lado. Con esta malla resolvemos el problema, en este caso hemos resuelto el caso de compresión, y tomamos la tensión en la dirección de la carga para una lámina de -45º. Tanto para el laminado 2 y el laminado 3, ya que en esos laminados son donde queremos observar la solución numérica en apartados posteriores. .

La solución obtenida con esta malla se observa en la Figura IV.16:

Compresión 62500 N/m. Tracción 312500 N/m.



46

Figura IV.16: Malla regular

Para refinar vamos a disminuir el tamaño del elemento en las zonas donde se existen discontinuidades geométricas que vimos en el Capítulo II, es decir, el escalón que se forma entre el laminado 2 y el laminado 3 que además forman esquinas a 90º en la zona que coincide con la mordaza. También se refinará la zona de unión entre el rigidizador y el laminado 3. Por ello en esas zonas se han empleado elementos cuyo lado es de medio centímetro, en la Figura IV.17 podemos observar la malla, junto con de la solución obtenida. Para representar dicha solución se ha tomado el mismo intervalo de tensiones que para la malla regular y por supuesto se representa la misma variable en las mismas láminas. En dicha Figura IV.17, observamos que la solución apenas cambia, lo cual nos indica que la solución está correctamente aproximada, salvo en puntos muy cercanos a las mordazas donde la solución cambia.

Laminado 2 Laminado 3



47

Figura IV.17: Malla refinada

Como los tiempos de resolución son muy pequeños se ha disminuido el tamaño del elemento más pequeño a dos milímetros, en las mismas zonas que para el anterior refinamiento. La nueva malla se representa en la Figura IV.18 junto a la solución en tensiones para las mismas láminas y mismo intervalo de solución. Se observa que la solución no cambia, lo cual reafirma que la solución está correctamente aproximada y que de nuevo en las zonas próximas a las mordazas es donde cambia ligeramente su valor.

Laminado 2

Zona Refinada

Laminado 3



48

Figura IV.18: Malla refinada

Para terminar de justificar que el refinamiento empleado en la malla es suficientemente fino se va a representar de forma gráfica la evolución de la tensión en la dirección de la carga a lo largo de una línea del laminado 2 y del laminado 3, es decir, desde una mordaza hasta la otra. En la Figura IV.19, se dibujan unas líneas de color azul indicando la situación de las zonas donde se representará la tensión en la dirección de la carga frente a su coordenada de posición:

z y

x

x = 150

y = 30

x = 110

y = 130 z = 15

x

#

Figura IV.19: Zona donde se representa σy

Laminado 2 Laminado 3

Zona Refinada

SELECCIÓN DE NODOS



49

La selección de los nodos se hace a una distancia desde el origen de coordenadas marcado en el bosquejo en la dirección del eje “x” de 30 mm y de 70 mm, respectivamente. En la Figura IV.20 se muestra la evolución de la tensión en la dirección de la carga a lo largo de la línea antes mencionada del laminado 2. En dicha figura se dibujan tres líneas, una azul que representa la tensión en la malla regular, una roja que representa a la tensión en la malla cuyo elemento menor es de medio centímetro de lado y la línea verde representa a la tensión en la malla donde el elemento más pequeño es de dos milímetros de lado.

LAMINADO2

-25000000

-20000000

-15000000

-10000000

-5000000

00 50 100 150 200 250

mm desde borde inferior

tens

ion

y

Malla Regular

Malla 005

Malla 002

Figura IV.20: Refino malla, laminado 2

Podemos observar como las líneas roja y verde coinciden plenamente en las gráficas y mejoran la malla regular. Por lo tanto podemos concluir que la solución está correctamente aproximada con el tamaño de elemento empleado. De igual forma se representa en la Figura IV.21 la línea de nodos que se encuentran en el laminado 3. Se observa de nuevo que la línea roja y la línea verde coinciden, lo cual significa que aunque se disminuya el tamaño de elemento la solución no mejorará.



50

Laminado3

-20000000

-18000000

-16000000

-14000000

-12000000

-10000000

-8000000

-6000000

-4000000

-2000000

00 50 100 150 200 250

mm desde borde inferior

tens

ion

y

REGULAR

005

002

Figura IV.21: Refino malla, laminado 3

Finalmente y para concluir el capítulo, la malla que se utiliza para resolución del problema será la última comentada, cuyo elemento más pequeño es de dos milímetros. Dicha malla que se usa para la resolución del problema, tiene 5170 elementos y 6488 nodos.

1. modelo teóricobibing.us.es/proyectos/abreproy/3932/fichero/capitulo_iv.pdf · nodales por nodo....

Documents