15/03/2010

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METROLOGÍAMETROLOGÍAMETROLOGÍA METROLOGÍA ESTADÍSTICAESTADÍSTICA

ANÁLISIS DE DATOSANÁLISIS DE DATOS

Cuando se obtiene uno o más grupos de Cuando se obtiene uno o más grupos de d t d t d ti id t d t d ti idatos, producto de repeticiones en una datos, producto de repeticiones en una medida, la mejor forma de representarlas, medida, la mejor forma de representarlas, es mediante las es mediante las “Medidas de tendencia “Medidas de tendencia central”central”

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Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central

MEDIASMEDIASAritméticaAritméticaPonderadaPonderadaArmónicaArmónica

Media aritméticaMedia aritmética

Si una serie de repeticiones de la medida de un Si una serie de repeticiones de la medida de un objeto proveeobjeto provee nn valores individualesvalores individualesobjeto proveeobjeto provee nn valores individuales valores individuales independientes, el valor más probable para el independientes, el valor más probable para el conjunto generalmente es:conjunto generalmente es:

∑n

X 1 =X Media aritmética

∑=

=i

ixn

X1

==

nxi

Valores individuales del conjunto

Cantidad de valores individuales

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Ejemplo:Ejemplo:En la determinación del área efectiva de un conjunto pistónEn la determinación del área efectiva de un conjunto pistón-- cilindro cilindro

de una balanza de presión por el método de comparación, fueron de una balanza de presión por el método de comparación, fueron obtenidos los siguientes valores:obtenidos los siguientes valores:

Nº Valor [mm2]

1 4.032161

2 4.032161

3 4.032403

4 4.032633

5 4 032674

Nº Valor [mm2]

8 4.032734

9 4.032734

10 4.032863

11 4.032853

12 4 032944

( )032853.4...032161.4141X ++=

5 4.032674

6 4.032633

7 4.032721

12 4.032944

13 4.032752

14 4.032853

[ ]2032651.4 mmX =

Media ponderadaMedia ponderadaEs la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en

t l d i d d d l l t lt l d i d d d l l t lcuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variablevariable

∑==

n

iii

p

xwX 1 =

=

ix

X Media ponderada

Valores individuales del conjunto

∑=

n

ii

p

w1

=iw Peso de cada valor individual

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Ejemplo:Se realizaron 10 repeticiones de una medición de presión, que está relacionada con la temperatura:

Presión (xi) Temperatura (wi)( ) p ( )40,12 25,840,23 2640,05 25,340,13 25,840,18 25,940,20 25,940,23 26,140,25 26,440 25 26 4

( )5,26...268,25

5,2626,40...8,2512,40+++

×++×=pX

19,40=pX

40,25 26,440,26 26,5

Media armónicaMedia armónicaEs la inversa de la media aritmética de las Es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable, responde inversas de los valores de la variable, responde a la siguiente expresión:a la siguiente expresión:a la siguiente expresión:a la siguiente expresión:

∑=

= n

i

h

xi

nX

1

1

=

=

=

n

x

X

i

h Media armónica

Valores individuales

Cantidad de valores individuales

Se utiliza para promediar velocidades, caudales, rendimientos etc.

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Condiciones del banco:

Ejemplo:

Calcular el valor medio de flujo de un punto de calibración en un banco gravimétrico, del cual se tomaron cinco lecturas.

Tiempo de ventana: 30 segundos

Velocidad de la bomba: k * 40 Hz

Nº Lectura [l/min]

1 253,5

2 253,1

3 252 51,252

12,252

15,252

11,253

15,253

15Xh

++++=

3 252,5

4 252,2

5 252,1min6,252 lXh =

Errores en la medición:Al aceptar que podemos cometer errores en el proceso de medición, estamos también aceptando que utilizar las medidas de tendencia central no es suficiente para garantizar por ejemplo, una buena calibración.

Clasificación de los errores:•Debidos al método

•Debidos al operario

•Debidos al instrumento

•Debido a las condiciones ambientales

•Debido al mensurando

Para calificar debidamente un conjunto de datos, necesitamos conocer su dispersión.

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Medidas de DispersiónMedidas de Dispersión

AmplitudAmplitudVarianzaVarianzaDesviación estándar experimentalDesviación estándar experimental

Medidas de dispersiónMedidas de dispersión

AmplitudAmplitudE l dif i t l lE l dif i t l lEs la diferencia entre el mayor y el menor Es la diferencia entre el mayor y el menor valor del conjunto de datos analizadovalor del conjunto de datos analizado

Grupo Valor1 Valor2 Valor3 Amplitud Media

A 3 3 3 0 3

B 2 3 4 2 3B 2 3 4 2 3

C 9 0 0 9 3

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Varianza

La varianza S2 se define como la media de las diferencias cuadráticas de npuntuaciones con respecto a su media aritmética es decir:

Como forma de medir la dispersión de un número de mediciones independientes entre sí:

puntuaciones, con respecto a su media aritmética, es decir:

22 )(1 ∑n

XS

Varianza

X

2SMedia aritmética2

1

2 )(1∑= −

−=

ii Xx

nS

Valor de cada repetición

X

ix

Media aritmética

n Número de repeticiones

Desviación estándar experimentalDesviación estándar experimental

La raíz cuadrada de la varianza es denominada La raíz cuadrada de la varianza es denominada desviación estándar y tiene la misma dimensióndesviación estándar y tiene la misma dimensióndesviación estándar, y tiene la misma dimensión desviación estándar, y tiene la misma dimensión que la media.que la media.

( )21 ∑ −=

n

Xxs

Desviación estándar

X

2SMedia aritmética( )

11∑=− ii Xx

ns

ix

nValor de cada repetición

Número de repeticiones

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Grupo Valor1 Valor2 Valor3 Amplitud Media Varianza Desviación [unidad]

A 3 3 3 0 3 0 0B 2 3 4 2 3 1 1C 9 0 0 9 3 27 5 19

Ejemplo

C 9 0 0 9 3 27 5.19

( ) ( ) ( )[ ] 033333321 2222 =−+−+−=AS 00 ==S

Varianza Desviación estándar experimental

( ) ( ) ( )[ ] 134333221 2222 =−+−+−=BS

( ) ( ) ( )[ ] 2730303921 2222 =−+−+−=CS

11 ==S

19.527 ==S

Criterio de rechazo de ChauvenetCriterio de rechazo de Chauvenet

No es recomendable para pequeñas muestrasNo es recomendable para pequeñas muestrasSe admite que un conjunto de repeticiones tenga unaSe admite que un conjunto de repeticiones tenga unaSe admite que un conjunto de repeticiones tenga una Se admite que un conjunto de repeticiones tenga una distribución normaldistribución normalSe rechaza la medida si:Se rechaza la medida si:

Sk⟩

=iX

=X

Valor de la repetición

Media del conjuntoSkXX ni ⟩− =X

=nk=S

Coeficiente de Chauvenet

Desviación estándar

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Coeficiente de Chouvenet

nn kknn nn kknn nn kknn

22 1.151.15 88 1.861.86 3030 2.402.4022 1.151.15 88 1.861.86 3030 2.402.4033 1.351.35 99 1.921.92 4040 2.482.4844 1.541.54 1010 1.961.96 5050 2.572.5755 1.651.65 1515 2.132.13 100100 2.812.8166 1.731.73 2020 2.242.24 300300 3.143.1477 1.801.80 2525 2.332.33 500500 3.293.29-- -- 10001000 3.483.48

Ejemplo:

Dado el conjunto de repeticiones de la medida del diámetro de un eje, determinar los valores que pueden ser rechazados por el criterio de Chauvenet

ii XXii [mm][mm] ii XXii [mm][mm]

11 2.5572.557 66 2.5972.597

22 2.5612.561 77 2.5652.565X = 2.561 [mm]

S = 0.014 [mm]

33 2.5532.553 88 2.5552.555

44 2.5672.567 99 2.5472.547

55 2.5492.549 1010 2.5592.559

K(10) * S = 0.027

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ii XXi i -- XX ii XXii -- XX11 0.0040.004 66 0.0360.03622 00 77 0.0040.00433 0.0080.008 88 0.0060.00644 0.0060.006 99 0.0140.01455 0.0120.012 1010 0.0020.002

El valor de la medida Nº 6:

0 036 >0 027 es rechazado pues X X > k *S0.036 >0.027 es rechazado pues Xi – X > k(10) *S

Habiendo rechazado el valor Nº 6, el nuevo valor medio es: X = 2.557 [mm]

S = 0.007 [mm]

k(9) = 0.013

ii XXii -- XX11 0022 0.0040.004

De acuerdo con el criterio de Chauvenet, todas las repeticiones son aceptadas pues:

33 0.0040.00444 0.0100.01055 0.0080.00877 0.0080.00888 0 0020 002

Xi – X < 0.013

88 0.0020.00299 0.0100.010

1010 0.0020.002