Fig.1.1 Oscilador armónico; la partícula oscila periódicamente entre las posiciones x = +A y x = - A.

+X

x = -A x = +A

K m

Fe = - Kx

x x = 0

1: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1.1 INTRODUCCIÓN

El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un modelo ideal de movimiento

oscilatorio en el que se consideran despreciables todo tipo de fuerzas

disipativas (fricción, viscosidad, resistencia del aire, etc.) de modo que las

partículas oscilan periódicamente mediante una fuerza resultante

recuperadora. Este movimiento se describe haciendo uso de funciones

armónicas (senos y/o cosenos). Existen diferentes sistemas cuyo movimiento

se puede describir como un movimiento armónico simple, pero los sistemas

que trataremos en ésta sesión son el oscilador armónico, el péndulo simple, el

péndulo físico y el péndulo de torsión.

1.2 EL OSCILADOR ARMÓNICO

Una partícula fija al extremo de un resorte, ver Fig. 1.1, puesta a oscilar

libremente y sin fricción, a lo largo del eje del resorte, constituye un oscilador

armónico.

Para estudiar éste movimiento, hacemos coincidir la posición de equilibrio de

la partícula con el origen del eje X, de modo que, en la posición de equilibrio

el resorte no está deformado.

Aplicando la 2° Ley de Newton al oscilador.

ma = Fres = - Kx

ma + Kx = 0

a=d2 xdt2

d2 xdt2

+ km

x =0

Haciendo:

ωo2= k

m

d2 xdt2

+ ωo2 x =0

La solución de ésta ecuación es de la forma:

x = A Sen (o t + o) (1.1)

Luego,

v = dx/dt

v = o A Cos (o t + o) = ±ωo√ A2− x2 (1.2)

Derivando una vez más:

a = dv/dt = -o2 A Sen (o t + o) = - o

2 x (1.3)

Dónde:

A, se conoce como la amplitud del movimiento y se expresa en m o cm.

o , se le denomina frecuencia angular del oscilador y se expresa en rad/s, y

o , es la fase inicial del movimiento, es decir, el valor de la fase, (o t + o),

cuando t = 0. Así, el valor de la fase inicial sirve para indicar la posición

inicial del oscilador, haciendo t = 0 en la ec. de movimiento (x Vs t)..

Los mismos resultados se obtienen partiendo de una solución de la forma:

+X mg

K m

Fe = - Kx N

x = 0Fig.1.2 D.C.L. del oscilador armónico

x

x = A Cos (o t + o) (1.4)

v = dx/dt

v = - o A Sen (o t + o) = ±ωo√ A2− x2 (1.5)

a = dv/dt = - o2 A Cos ( t + o) = -o

2 x (1.6)

Note qué, la diferencia entre las soluciones simplemente radica en el valor de

la fase inicial (el seno y el coseno están desfasados entre si un ángulo de /2).

Si realizamos el D.C.L. del oscilador, ver Fig. 1.2, observamos qué, el peso y

la normal se equilibran mutuamente y la única fuerza responsable del

movimiento es la fuerza elástica, Fe = - Kx, luego, según la 2° Ley de Newton:

- K x = m a (1.7)

Si usamos la ec. (1.3) o (1.6) en la ec. (1.7):

- K x = - m o2 x, de donde:

ωo =√K/m (1.8)

La relación entre la frecuencia angular, o, el periodo, P, y la frecuencia

natural, f, es análoga a la que se tiene en el M.C.U. , esto es,

ωo= 2π / P = 2π f (1.9)

+o

m

L

-o

+

Fig. 1.3. El péndulo simple

En general, cualquiera que sea el sistema, si éste ejecuta un MAS, la fuerza

responsable del movimiento es de la forma F = - C x, donde “C” es una

constante de proporcionalidad que depende del sistema oscilante. La

aceleración asociada a ésta fuerza es de la forma a = - o2 x.

1.3 EL PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple se define como una partícula de masa “m” suspendida

por una cuerda de longitud “L” y de masa despreciable, ver Fig. 1.3.

Si no se considera la resistencia del aire y las amplitudes angulares de

oscilación,o, son pequeñas, la partícula ejecuta un M.A.S.

Cuando “m” se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un

movimiento oscilatorio, que se debe a la componente tangencial del peso, FT.

En la fig. 1.4 se muestra las componentes en las direcciones tangencial y radial

de las fuerzas que actúan sobre la masa pendular “m”.

FT = - m g Sen (1.10)

Fc = T– m g Cos (1.11)

α L ma mF tt

2

2

dt

θdL mSenθ g m

0SenθL

g

dt

θd2

2

L

x

mg

mg Cos

T

Fig.1.4

mg Sen

Note qué, es la fuerza tangencial (1.10), la responsable del M.A.S. y el signo

negativo se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento angular, .

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial se obtiene:

Si es muy pequeño, entonces Sen y se tiene:

La solución de ésta ecuación corresponde a la de un M.A.S. y es de la forma:

L La frecuencia angular y el periodo se obtienen de las siguientes expresiones:

La frencia angular y el periodo se

Como se mencionó antes, también podemos hacer uso de la función coseno, así:

= o Cos (o t + o) (1.14)

Estas ecuaciones proporcionan la posición angular de la partícula en cualquier

instante, t.

d2θdt2

+ gL

θ=0

d2 θdt2

+ ωo2 θ=0, ωo

2= gL

θ=θ0 Sen (ωo t+ϕ0 ) (1. 12)

ωo=√ gL=2π

P; P = 2π √ L

g (1 .13 )

Fig. 1.5 Péndulo físico o compuesto.

Eje horizontal

1.4 EL PÉNDULO FÍSICO

Un péndulo físico o compuesto es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar

libremente alrededor de un eje horizontal, que no pasa por su centro de masa. En

consecuencia, la posición de este cuerpo está determinada, en cualquier instante

de tiempo, por el ángulo θ que dicho cuerpo forma con la vertical, tal como se

indica en la figura 1.5.

Cuando este cuerpo está desviado de su posición de equilibrio, actúa sobre él un

torque resultante que tiende a restaurar su posición de equilibrio, cuyo módulo es:

τ = - mg Senθ b

Donde b, es la distancia del punto de suspensión O al centro de gravedad, c.g., del

cuerpo.

Si I, es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje horizontal de rotación, al

aplicar la relación fundamental de la dinámica de rotación, obtenemos:

τ = I α (1.15)

−mgSenθ b=Id2θdt2

d2 θdt2

+mgbI

Senθ=0

Fig. 1.6. Péndulo de torsión

Alambre

C.M.Cuerpo rígido

Considerando sólo pequeñas oscilaciones, es posible considerar que Senθ ≅ θ, entonces tenemos:

Ésta ecuación se puede escribir en la forma:

La solución de la ecuación (1.16) corresponde a la de un M.A.S., esto es:

θ = θo Sen (ωot + φo) (1.17)L

La frecuencia angular y el periodo se obtienen de la siguiente expresión:

1.5 PÉNDULO DE TORSIÓN

Se define como un cuerpo rígido

suspendido de un alambre o un

hilo que por un extremo pasa por el

centro de masa del cuerpo y por

el otro extremo está unido a un

punto fijo, ver figura 1.6.

d2θdt2

+mgbI

θ=0

d2 θdt2

+ ωo2 θ=0, (1 . 16)

Donde, ωo2=mgb

I

ωo=√mgbI

=2πP

m

φ

θm

τ

Fig. 1.7. Torque restaurador en el péndulo de torsión

Cuando el cuerpo se gira un ángulo θ respecto a su posición de equilibrio, el

alambre se tuerce, ejerciendo sobre el cuerpo un torque recuperador que tiende a

llevar al cuerpo a su posición de equilibrio, ver figura 1.7.

El torque recuperador, dentro del límite elástico, es:

τ = - μ θ, (1.18)

Donde, μ, es la constante de torsión del alambre.

Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación:

τ = Io α, (1.19)

Donde, Io, es el momento de inercia del sistema.

De las ecuaciones (1.18) y (1.19), obtenemos:

− μ θ =I od2θdt2

d2 θdt2

+ μI o

θ=0

Una vez más, la solución de la ecuación (3.6) corresponde a la de un M.A.S., así:

θ = θo Sen (ωot + φo) (1.21)

La frecuencia angular y el periodo de las oscilaciones lo determinamos mediante

las siguientes expresiones:

1.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una caja de masa M esta sobre una mesa horizontal. El coeficiente de

rozamiento estático entre la caja y la mesa es igual a μ. Dentro de la caja

se encuentra un oscilador armónico de masa m y constante elástica K.

¿Para qué amplitud de oscilación de la masa m la caja empezará a

moverse sobre la mesa?

2. Una caja de masa M está sobre una mesa horizontal. Del techo de la caja

está suspendido un oscilador armónico de masa m y constante elástica K.

d2 θdt2

+ ωo2 θ=0, (1 . 20)

ωo2= μ

I o

ωo=√ μI o

=2πP

P = 2π √ I o

μ

m

M

m

M

m

¿Para qué amplitud de oscilación de m, la caja empezar a asaltar sobre la

mesa?

3. En la figura, el bloque de masa “M” ejecuta un M.A.S. con amplitud

constante A. Si el coeficiente de fricción estático entre bloques es µ, y la

constante elástica del resorte es K, determinar una expresión de la frecuencia

angular a partir de la cual el bloque de masa “m”, empezará a deslizar sobre

el bloque de masa M.

4. En la figura, el bloque de masa “M” ejecuta un M.A.S. en la dirección

vertical con frecuencia angular constante ω. Si la amplitud de su movimiento

se incrementa gradualmente, determinar una expresión de la máxima

amplitud para la cual el bloque de masa “m” ya no mantendrá contacto con

el bloque inferior. La constante elástica del resorte es K.

7,5m

10m 8º

O

L

5. Dentro de un casquete semiesférico de radio R y superficie interior muy lisa,

se encuentra una pequeña esferita. La esferita se desvía ligeramente de su

posición de equilibrio y al soltarse ejecuta un movimiento armónico en un

plano vertical. Hallar la frecuencia de sus oscilaciones.

6. Si la masa pendular se deja en libertad en la posición mostrada, indique

después de qué tiempo regresa a dicha posición inicial. Desprecie la fricción.

7. Al punto O de una pared que forma un ángulo = 5° con la vertical se fijó

un péndulo simple, ver fig. La longitud del hilo es L = 2,5 m. Si se libera la

esferita pendular en la posición = 10°, considerando g = 10 m/s2 y que la

esferita colisiona elásticamente con la pared, el período de oscilaciones de

este péndulo es:

8. Sobre dos poleas que giran en sentidos opuestos con igual velocidad angular

constante (ver fig.) se coloca una barra homogénea. Si la distancia entre los

ejes de las poleas es L y el coeficiente de fricción entre la barra y las poleas

es c, la frecuencia angular del M.A.S. de la barra es:

9. Un péndulo físico está constituido por una varilla (ICM = ML2/12) uniforme

de 1 m de longitud, que oscila en un plano vertical suspendida de uno de sus

extremos. Hallar el periodo de sus oscilaciones armónicas.

10. Una varilla de 1,0 m de longitud está suspendida de uno de sus extremos, de

tal manera que oscila como un péndulo compuesto. Determinar el periodo de

sus oscilaciones y la longitud del péndulo simple equivalente.

11. Con los datos del problema anterior, encontrar el periodo de oscilación si la

varilla se cuelga de un eje situado a una distancia de uno de sus extremos

igual a la longitud del péndulo simple equivalente del problema anterior.

12. En el problema anterior, determine la distancia del punto de suspensión al

centro de masa de modo que el periodo de oscilación sea mínimo.

13. Un aro delgado suspendido de un clavo horizontal ejecuta un M.A.S. con un

periodo de 2 s. Hallar el radio del aro. (ICM = MR2).

14. En el problema anterior, escriba la ecuación del M.A.S., si el péndulo se

separa 10° de su posición de equilibrio y luego se libera. El tiempo se

registra a partir del instante en que se libera.

15. Una esfera (ICM = 2MR2/5) de radio R y masa M está suspendida desde un

punto fijo por una cuerda de masa despreciable, de modo que la distancia

desde el centro de la esfera al punto de suspensión es L = 4R. Encontrar el

periodo de sus oscilaciones armónicas.

16. Un péndulo de torsión consiste en una varilla (ICM = ML2/12) de masa M y

longitud L, unida a un alambre que pasa por su centro. Hallar una expresión

para el periodo de sus oscilaciones. La constante de torsión del alambre es μ.

17. Un péndulo de torsión consiste en una varilla (Ivarilla = ML2/12) de masa 100 g

y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales (Iesfera

= 2mR2/5): de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que

el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro. Sabiendo que el periodo

de la oscilación vale 2,4 s, calcular la constante de torsión.

18. En el problema anterior, si en el instante inicial t = 0 el péndulo se desplaza

θo= 30° de la posición de equilibrio y se suelta, escribir la ecuación del

M.A.S.

19. Se desea determinar el momento de inercia de una herramienta mecánica de

forma muy compleja, respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así

que la suspende de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una

constante de torsión μ = 0,45 N m/rad. Si al girar la herramienta alrededor

del eje y liberarla, se registran 125 oscilaciones en 265 s. Hallar el momento

de inercia.

20. Una rueda muy delgada (ICM = MR2/2) para reloj tiene un periodo de

oscilación de 0,25 s. La rueda se construye de modo que su masa es de

20 g y su radio de 0,50 cm. Hallar la constante de torsión del resorte

acoplado.