1 introduc-lpo-lenguaje natural vs lenguaje logico

5/10/2018 1 Introduc-LPO-Lenguaje Natural vs Lenguaje Logico - slidepdf.com

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Lenguaje natural y conectivos lógicos: bases para el lenguajematemático1

Contenido

Introducción .................................................................................................... 11.1.- Las proposiciones................................................................................... 4Conectivas en el lenguaje natural y en el lenguaje lógico. ............................. 6“NO”................................................................................................................ 6”Y”................................................................................................................... 7“O”,”O BIEN...O BIEN”.................................................................................... 8

“SI...ENTONCES” (→

,⇒

,⊃

, ..) ................................................................... 10“SI Y SOLO SI” ............................................................................................. 131.1.2 Fórmulas proposicionales y tablas de verdad. ..................................... 151.1.3 Tautologías. ......................................................................................... 191.1.4 Equivalencia de fórmulas..................................................................... 201.1.5 Ley de dualidad. .................................................................................. 21

Introducción

El lenguaje cotidiano tiene una gran riqueza, precisamente por muchas de lasrazones que lo hacen inapropiado para la matemática. Gracias a suambigüedad poseemos la capacidad de usarlo analógicamente, de transmitirsentimientos y matices inexpresables con exactitud, incluso de formularaproximaciones a situaciones irrepetibles para nosotros mismos (la mismapalabra no significa para nosotros lo mismo en circunstancias distintas),podemos usarlo con humor, con ironía, con sarcasmo, con rabia,...

En la comunicación matemática, en cambio, lo que interesa son lassituaciones claras, unívocas, que para todos y en todas lascircunstancias signifiquen lo mismo, y las conexiones lógicas precisas. Eltiempo no cuenta, los matices indicando deseo, deber, intencionalidad,...están ausentes.

El lenguaje matemático no formalizado, el que se utilizanormalmente en las clases y en los libros de texto, viene a constituir una

1Al material del Dr. Miguel de Guzmán se le hicieron pequeñas modificaciones y anexos, esperando que

no se pierda su sentido original. Esperamos que esas modificaciones faciliten su lectura y sea más familiar

para un estudiante de ciencias de la computación.

http://www.mat.ucm.es/~angelin/labred/lengnatlengmat/00intro.htm

(consultado el 25/06/07)






MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

Introducción a la Lógica de primer orden

CENIDET 2010 DDA – DCC 2

depuración (y al mismo tiempo un empobrecimiento) del lenguajeordinario. Comparte con él muchos de los vocablos y las expresionescotidianas. Sin embargo, también es cierto que, debido a la intención dellenguaje matemático de hacer más exacta, coherente y lógicamenteconsistente la comunicación, en él se da a las mismas expresiones dellenguaje ordinario un sentido técnico que, en ciertos casos, nocorresponde a la forma en que cotidianamente nos comunicamos conellos. Para quien empieza a adentrarse en la jerga de la matemáticaprofesional, es conveniente estar atento a estos cambios de sentido quepueden convertir sus primeros pasos en un camino lleno de trampas.

Vamos a examinar a continuación algunos de los resultados de esosintentos de depuración del lenguaje cotidiano en el lenguaje matemático noplenamente formalizado, ese en que los matemáticos se comunican la mayorparte de las veces.

La actividad más típica del razonamiento matemático se puede describirde la forma siguiente: si la situación A tiene lugar, entonces la situación Btiene lugar. Se trata de la implicación lógica. Como veremos, para ejercitaresta actividad con eficacia, el matemático habrá de poner en claro lassituaciones A y B a través de las definiciones de los objetos que intervienen enellas y del examen detenido de sus relaciones mutuas y habrá de tratar,mediante las reglas válidas del razonamiento lógico, de poner de manifiestoque en caso de darse la situación A se da necesariamente la B también. Esclaro que en términos generales este ejercicio no difiere de cualquierrazonamiento argumentativo con el que queremos convencer a otra persona en

nuestra actividad cotidiana de la realidad de una situación.

Las situaciones A y B se describen mediante unas cuantas expresioneso proposiciones, que podemos considerar los ladrillos básicos del discurso quese enlazan a través de ciertos elementos modificadores, los conectoreslógicos (o conectivas lógicas), que fundamentalmente son: ¬ (“no”), ∧ (“y”), ∨

(“o”), “o bien... o bien”, ⇒ (“si... entonces”), ⇔ (“si y sólo si”). Por otra parte, enlas proposiciones fundamentales aparecen con mucha frecuencia enmatemáticas, y también en el lenguaje ordinario, modos constantes de referirsea ciertos o a todos los elementos de una colectividad, de un conjunto bien

determinado. Estos modos son los llamados cuantificadores lógicos: ∀ “para

cada...”, ∃ “para algún...” (en lenguaje cotidiano más cercano: “todos los...”,“alguno de los...”).

Vamos a examinar primero estos elementos aglutinantes (conectivoslógicos) para tratar de detectar alguna posible diferencia que en su utilizaciónmatemática se puede encontrar respecto del uso cotidiano, a fin de prevenirposibles malentendidos. Más adelante examinaremos detenidamente la formade uso en el lenguaje ordinario y en matemáticas de los cuantificadores lógicos.

En resumen, la base del lenguaje matemático es el lenguaje de la Lógica de

primer orden (LPO) en el que los conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, ⇒ y ⇔) y loscuantificadores (∀, ∃) tienen un significado específico.






En esta primera unidad del curso estableceremos por un lado, los elementosfundamentales para leer y comprender el lenguaje matemático y por otroestableceremos las bases para estudiar la componente deductiva de lasmatemáticas. Por esta razón, estudiaremos la lógica de primer orden desde elpunto de vista de su lenguaje y su relación con el lenguaje natural y veremosuna introducción a la lógica desde el punto de vista de los sistemas deductivos.El estudio se dividirá en dos partes: en primer lugar se estudiará el lenguaje yla lógica proposicional y en segundo lugar el lenguaje de la lógica depredicados.

Esta unidad nos dará las bases para interpretar el lenguaje de lasmatemáticas y comprender las formas específicas de validar susconocimientos por medio de los métodos de demostración.






1.1.- Las proposiciones

En la lógica proposicional, las unidades básicas (primitivas o atómicas), a partirde las cuales articulamos nuestros discursos argumentativos, se denominanproposiciones primitivas (simples). Consisten de expresionesdeclarativas que no pueden dividirse o analizarse por medio deexpresiones declarativas más sencillas y, además, sólo puede decirse deellas que son verdaderas o falsas . En otras palabras, las proposicionesson afirmaciones sobre los hechos que se observan.

En el estudio de la lógica proposicional sólo se admiten expresionesdeclarativas; no se admiten expresiones interrogativas, exclamativas, etc.

Leamos algunos párrafos del prólogo del famoso libro de Niklaus Wirth

"Algoritmos y Estructura de Datos"2

, e intentemos identificar lasproposiciones simples que en él aparecen:

"Los programas, después de todo, son formulaciones concretas de algoritmosabstractos basados en ciertas representaciones y estructuras de datos. Unacontribución sobresaliente que permitió poner orden en la abrumadoradiversidad de terminología y conceptos referentes a estructuras de datos fuehecha por Hoare en su tratado "Notes on Data Structuring". Este librodemostró que las decisiones acerca de la estructuración de datos no puedentomarse sin tener conocimiento de los algoritmos que se aplican a los datos yque, viceversa, la estructura y selección de los algoritmos con frecuencia

dependen mucho de la estructura de los datos subyacentes. En resumen, lostemas de composición de programas y estructuras de datos se interrelacionany son inseparables. No obstante, este libro comienza con un capítulo acercade las estructuras de datos por dos razones. Primero, uno tiene una sensaciónintuitiva de que los datos preceden a los algoritmos: se deben estudiar algunostemas antes de poder efectuar operaciones con ellos. Segundo, y ésta es larazón más inmediata, este libro supone que el lector está familiarizado con lasnociones básicas de la programación de computadoras. Sin embargo, estradicional y razonable que los cursos introductorios de programación seconcentren en los algoritmos que operan en estructuras de datos relativamentesimples. En consecuencia, parece adecuado un capítulo introductorio sobre las

estructuras de datos. ..."

Algunas de las proposiciones simples o atómicas que aparecen en eltexto o que podemos extraer, son:

1) Un programa es una formulación concreta de un algoritmo.2) La estructura de un algoritmo depende de la estructura de los datos.3) Hoare escribió el tratado: "Notes on Data Structuring".4) El libro "Notes on Data Structuring" comienza con un capítulo sobre

estructuras de datos.

2Wirth, N. "Algoritmos y estructura de datos", ed. PHI Iberoamericana, 1990.






Por convención las proposiciones se denotarán por las letras mayúsculas:

P, Q, R, S, T, O, P1, Q1, ...

en ocasiones por las letras minúsculas:

p, q, r, s, t, u, v, ....

Las proposiciones anteriores las podemos simbolizar de la siguiente manera:

P:= Un programa es una formulación concreta de un algoritmo.

Q:= La estructura de un algoritmo depende de la estructura de los datos.

R:= Hoare escribió el tratado: "Notes on Data Structuring".

S:= El libro "Notes on Data Structuring" comienza con un capítulo sobreestructuras de datos.

Ejercicio 1: Identifique dos proposiciones más que estén presentes en el textocitado.

Ejercicio 2: Indicar la razón por la cual las siguientes expresiones no sonproposiciones:

a) Apaga la computadora.b) Regálame un diskette.c) ¡SILENCIO!d) ¿Quién escribió "Notes on Data Structuring"?e) ¿De qué trata el libro de Wirth?

NOTA: Realiza los ejercicios propuestos, de forma individual, al finalizarla explicación de cada conectivo.






Conectivas en el lenguaje natural y en el lenguaje lógico 3

.

“NO” (¬, ∼, ‘…)

En la negación de una expresión sencilla no suele haber problema ninguno. Suuso es el mismo en el lenguaje ordinario y en el matemático. Aseverar ¬ A “noA” significa lo mismo que afirmar que “no es cierto que A” o bien que “A notiene lugar”, con un mismo sentido en ambos lenguajes, ordinario ymatemático: ~ A “no A” será cierto, tendrá lugar, cuando “A” sea falso, no severifique, y “no A” será verdadero, no tendrá lugar, cuando “A” se verifique4

La tabla de verdad de la verdad de la negación es la siguiente:

.

A ¬A

V F

F V

En el lenguaje matemático, la negación de una negación equivale siempre auna afirmación. En nuestro lenguaje natural, en castellano, no siempre es así,sino que a veces, utilizamos la acumulación de negaciones para dar mayorénfasis a nuestra expresión. “No iré nunca” es para nosotros más o menos lo

mismo que “nunca iré”. En lenguaje más formal “no es verdad que no está encasa” equivale a “está en casa” y, en general ¬(¬A) “no-(no-A)” es lo mismoque A.

Ejercicio 3. Niega las siguientes proposiciones:

P:= Un programa es una formulación concreta de un algoritmo.

Q:= La estructura de un algoritmo depende de la estructura de los datos.

R:= Hoare escribió el tratado: "Notes on Data Structuring".

S:= El libro "Notes on Data Structuring" comienza con un capítulo sobreestructuras de datos.

Ejercicio 4. Considera la expresión siguiente

“De ninguna manera iré nunca jamás ni contigo ni con tu padre a Berlín”

3 Material adaptado de: http://www.mat.ucm.es/~angelin/labred/lengnatlengmat/01conect.htm (consultado el 25/06/07)

http://www.mat.ucm.es/~angelin/labred/lengnatlengmat/01conect.htm








Construye una expresión equivalente con negaciones más simpleseliminando el énfasis retórico.

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”Y” (∧, &, ⋅, …)

Tanto en el lenguaje normal como en el lenguaje matemático, si A es una

proposición y B otra, entonces A ∧ B “A y B” tendrá lugar, será verdadera, sies que A es verdadera y B también lo es, y en todo otro caso será falsa. No sepresenta gran problema en el uso de “y” en matemáticas.

La tabla de verdad de conectivo ∧ es la siguiente:

A B A ∧ B

V V V

F V F

V F F

F F F

El efecto del “no” sobre “A y B” es bien claro. “No es verdad que el sábadollovió y que el lunes llovió” es lo mismo que decir “es verdad que el sábado nollovió o el lunes no llovió” con la significación técnica concreta (no excluyente)

de “o” que veremos enseguida. En general ¬ (A ∧ B) “no (A y B)” es lo mismo

que ¬A ∨ ¬B “(no-A) o (no-B)” teniendo aquí “o” el significado que acontinuación presentaremos.

Conviene observar que en el lenguaje ordinario “A y B” suele presentarconnotaciones diversas, tal vez temporales, causales, etc..., de las que ellenguaje matemático las ha despojado. Como decía nuestro gran profesor

Germán Ancochea, no es lo mismo en el lenguaje natural decir de alguien “secasó y tuvo un hijo” que “tuvo un hijo y se casó”, si bien para el matemático

A ∧ B “A y B” es equivalente a B ∧ A “B y A”.

Por otra parte se ha hecho notar (D. Lacombe), que “y” se utiliza consentidos diferentes en contextos tales como “Pedro y Juan son rubios”, queequivale a “Pedro es rubio y Juan es rubio”, y “Pedro y Juan son hermanos”,que ciertamente no equivale a “Pedro es hermano y Juan es hermano”.

Como se ve, esta circunstancia se da frecuentemente cuando elpredicado de "son" es un adjetivo de relación entre los sujetos. Así mismo enmatemáticas: “los triángulos ABC y A'B'C' son equiláteros” y “los triángulosABC y A'B'C' son semejantes”.






Ejercicio 5. Aclara el sentido de las siguientes frases con una más explícita.

a) “No mandé que Juan y Pedro lo hicieran. Lo que ordené fue que Juan oPedro lo hicieran.”

b) “Ordené que lo hicieran Pedro y Juan. No dije que lo hicieran Pedro o Juan.”

Ejercicio 6. Construye una frase sencilla y clara equivalente a la siguiente:

“No es verdad que tú eres brasileño y que tu padre es catalán”

Ejercicio 7. Construye una frase sencilla equivalente a

“No es verdad que tú eres brasileño ni que tu padre es catalán”

Ejercicio 8. Construye una frase sencilla equivalente a:

“No es verdad que tú no eres irlandés ni que tu hermano es inglés”

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“O”,”O BIEN...O BIEN” (∨, …)

El vocablo “o” tiene dos significados en el uso cotidiano.

En el escaparate de la librería de la universidad aparece escrito

“Nuestros clientes en posesión de carnet de estudiante o empleado dela universidad tendrán derecho al 15% de descuento”.

Está claro que no se pretende excluir del descuento a aquellos que estén enposesión de los dos carnets. Se trata del significado no excluyente de “o”.

Según él A∨ B “A o B” tendrá lugar, será verdadera, cuando tenga lugar, seaverdadera, al menos una de las dos proposiciones. Y “A o B” será falsa cuando

A sea falsa y B sea falsa, lo que indica en la siguiente tabla de verdad:

A B A ∨ B

V V V

F V V

V F V

F F F






Pero este no es el único significado de “o” en nuestro uso normal. Una niña seempeña en que su padre la lleve el domingo por la mañana al parque deatracciones y por la tarde al cine de su barrio. El padre le dice “No. Saldremospor la tarde e iremos al cine o al parque de atracciones”. Este es el sentido

excluyente de “o”: A ⊽ B “A o B” significa en este caso que tiene lugarexactamente una de las dos proposiciones. Según este sentido A ⊽ B “A o B”

será verdad en los casos siguientes: (1) A verdadero y B falso; (2) A falso y Bverdadero. Será “A o B” falso en los casos siguientes: (3) A verdadero y Bverdadero; (4) A falso y B falso. En la siguiente tabla se resumen esossignificados:

A B A ⊽ B

V V F

F V V

V F V

F F F

En el lenguaje ordinario, cuando queremos poner bien claramente demanifiesto que se trata del sentido excluyente, usamos “o bien... o bien” o

incluso nos hacemos más explícitos: “No insistas. Haremos una sola cosa.Vamos al cine o vamos al parque de atracciones”.

En el lenguaje matemático, por convención, “o” tiene siempre unsignificado no excluyente. Esto implica a veces una patente diferencia con eluso del lenguaje ordinario que llama la atención a quien esta convención no sele ha hecho bien explícita y familiar. En el lenguaje matemático es unaexpresión verdadera “3 es menor o igual que 5” y también lo es “5 es menor oigual que 5” aunque todos sabemos bien que lo verdadero es que 3 es menorque 5 y que 5 es igual que 5.

También, de acuerdo con esta convención, en matemáticas la expresión“5 es mayor que 7 o Madrid tiene más de 3 millones de habitantes” es, tal vezsorprendentemente para el ciudadano normal, una expresión con perfectosentido, más aún, verdadera.

Como consecuencia de lo dicho hasta ahora, en el lenguajematemático, si se desea utilizar el significado excluyente, es precisohacerlo bien explícito como se ha indicado antes con frases tales como:“o bien A o bien B”, “tiene lugar una exactamente de entre las situacionesA y B”.






El efecto del ¬ “no” sobre A ∨ B “A o B” es en cierto modo dual del efectodel no sobre “A y B”. Decir “no es verdad que vinieras tú o tu hermano”(recuerda el sentido no excluyente de “o”) es lo mismo que decir “es verdad

que tú no viniste y que tu hermano no vino”. En general ¬ (A ∨ B) “no-(A o B)”

es lo mismo que ¬A∧

¬B “(no-A) y (no-B)” (verifíquelo construyendo la tablade verdad de ambas expresiones.

Ejercicio 10. Pepe dice: “ordené que vinieran Pedro o Juan”.

Han venido Pedro y Juan. ¿Se cumplió la orden?

Ejercicio 11. Julio dice:”Ordené que vinieran o bien Pedro o bien Juan”

Han venido Pedro y Juan. ¿Se cumplió la orden?

Ejercicio 12. Construye una frase explicativa equivalente a:

“No es verdad que vinieran Pedro o Juan”

Ejercicio 13. Construye una frase explicativa equivalente a:

“No es verdad que vinieran o bien Pedro o bien Juan”

Ejercicio 14. ¿Cuál será la negación de (A ⊽ B)? De un ejemplo en lenguaje

natural explicando dicha negación.

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“SI...ENTONCES” ( → ,⇒ , ⊃, ..)

En nuestra vida ordinaria una expresión de este tipo,”si A, B”, lleva aparejadasconnotaciones muy diversas, tal vez de causalidad, temporalidad, a vecessobreentendiendo tácitamente relaciones nada fáciles de desentrañar.

“Si A entonces B” A ⇒ B, viene a significar normalmente que elconstatar que la situación indicada por A tiene lugar, es verdadera, ya nosbasta para poder estar seguros de que la situación B tiene también lugar. Estonos lleva a concluir que el que B no tenga lugar, que B sea falso, lleva consigoque A haya de ser falso, es decir “si no B entonces no A”, es más, las dosafirmaciones son verdaderas y falsas al mismo tiempo, son equivalentes

(verifíquelo construyendo la tabla de verdad de A ⇒ B y ¬ B ⇒ ¬A).

Utilizamos “si” en muchos casos que no corresponden a la descripción

anterior.






“Si tienes sed, hay agua fresca en el frigorífico”, no nos lleva a pensarque si no hay agua fresca en el frigorífico entonces es que no tienes sed.

“Si te interesa, nací en Madrid” no nos lleva a pensar que si no nací enMadrid no te interesa.

“Si tú eres diputado, yo soy obispo” es un modo de significar laconvicción tan fuerte que tengo de que no eres diputado, y se acerca más al

significado adoptado en el lenguaje matemático para el A ⇒ B “si A entoncesB”, como veremos más abajo, puesto que, en buena lógica formal, la expresiónanterior sólo es falsa cuando tú eres diputado (ya que yo ya sé que no soyobispo).

La tabla de verdad de A ⇒ B es:

A B A ⇒ B

V V V

F V V

V F F

F F V

En el lenguaje matemático “si A entonces B” o lo que es lo mismo “A implica B”se interpreta en un sentido bien definido. Será verdad siempre que: (1) A severifica y B también; (2) A no se verifica y B sí se verifica; (3) A no se verifica yB tampoco. Será falsa cuando A se verifica y B no se verifica.

En otras ocasiones sucede que interpretamos mal nuestro A ⇒ B “si...entonces” del lenguaje ordinario porque nos inclinamos a sobre entender lo queno está dicho. Dijo “si llueve me quedo en casa”. Resulta que está en casa.¿Qué deduces? Tal vez tu tendencia, como la de muchos otros, es decir: que

llueve. Mal hecho. No dijo nada sobre lo que haría si no llovía. ¿Y si resulta queno está en casa? ¿Qué deduces? Ahora sí que se puede deducir que no llueve.

Es interesante observar que A ⇒ B “si A entonces B” es equivalente auna expresión que solamente utilice los conectores anteriormente introducidos.Decir “si llueve, entonces me quedo en casa” es lo mismo que decir “no

sucederá que llueva y yo no esté en casa”. En general A ⇒ B “si A entonces B”

es equivalente a ¬ (A ∧ ¬B) “no-(A y no-B)”. Esto facilita el examen del efecto

de la negación sobre A ⇒ B “si A entonces B”. “No es verdad que si A

entonces B”, es decir ¬( A ⇒ B ) “no-(si A entonces B)” es lo mismo que ¬(¬(A ∧ ¬B)) “no-(no-(A y no-B))”, y esto (negación de negación es afirmación) es

lo mismo que (A ∧ ¬B) “A y no-B”. Esto coincide con el sentido del lenguaje






cotidiano: la falsedad de que A implica B coincide con que se verifica A y no severifica B.

Como hemos podido ver, para la verdad de “A implica B” desde el puntode vista estrictamente lógico, no se tiene en cuenta para nada la influencia delsignificado de A sobre el de B, lo que, naturalmente, no suele ocurrir en ellenguaje ordinario, ni tampoco en el matemático normalmente.

La razón profunda para introducir en lógica, por convención, estesignificado de la implicación (implicación material), un tanto alejado del usonormal, es la necesidad de dar un sentido uniforme a nuestro discurso,mediante la exclusiva atención a la coherencia lógica interna, a través de unaasignación precisa del valor de verdad o falsedad de nuestras afirmaciones(aquí “si A entonces B”) según el valor de verdad o falsedad de lasproposiciones de las que dependen (aquí A y B).

En matemáticas se suele utilizar a menudo “si” para introducir unadefinición. “Un número natural se llamará par si resulta al multiplicar otronúmero natural por 2”. Es bueno tener presente que el “si” de las definicionestiene significado distinto del anterior. No se trata aquí de una implicación sinode una equivalencia. El “si” de las definiciones es más bien la asignación de unnombre,”se llama D cuando B”, y quiere decir que donde vea B puedo poner Dy viceversa.

Ejercicio 16. “Si el Necaxa no gana el partido el domingo, Pepe será muyinfeliz.”

Resulta que el domingo gana el Necaxa y encuentras a Pepe, por la noche,totalmente infeliz. ¿Era la verdad de la proposición entre comillas compatiblecon esta situación?

Ejercicio 17. Señala cuáles de las expresiones siguientes son verdaderas ycuáles falsas:

(a) “Si 2 > 7, entonces 1 > 3” (b) “Si 2 < 7, entonces 1< 3” (c) “Si x = 3, entonces 1 < 2

(d) “Si x = 3, entonces 1 > 2

Ejercicio 18. ¿Cuáles son las proposiciones simples que aparecen en lossiguientes enunciados?

a) Si los datos preceden a los algoritmos, entonces se deben estudiarprimero antes de hacer operaciones con ellos.

b) Un programa es legible solamente si está bien estructurado.

c) Si T es un árbol binario completo con i vértices internos, entonces T tiene i + 1 vértices terminales y 2i + 1 vértices en total.






d) Si una función f es inyectiva y sobreyectiva, entonces f es invertible.

e) Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A es finito, entoncesA tiene elementos maximal y minimal.

Ejercicio 19. Los siguientes enunciados se reducen a la forma lógica P → Q,¿Cuál sería la forma de rescribirlos usando la estructura Si ... entonces ...?

a) Es agradable caminar sobre la lluvia, siempre que se tenga algosuficientemente triste en que pensar.

b) Cuando alguien escribe como Borges, puede disculpársele todo.

c) Bien pensado, no hay por qué ser bienpensante.

d) En caso de que sople el viento, podremos navegar a vela.

e) De haberlo meditado bien, no me habría atrevido a escribir estas notas.

“SI Y SOLO SI” (⇔, ↔)

La expresión “si y sólo si” es relativamente reciente en el lenguajematemático. En el lenguaje más tradicional se expresaba “A es condiciónnecesaria y suficiente para B”.

Expresiones del tipo A ⇔ B “A si y sólo si B” donde A y B sonproposiciones, solamente se suelen encontrar en nuestro idioma en el lenguaje

matemático. No son usuales en el lenguaje natural. A ⇔ B “A si y sólo si B”significa que se verifican a la vez las dos implicaciones “si A entonces B” y “si Bentonces A” en el sentido de la sección anterior. Por lo tanto, según secomprueba fácilmente “A si y solo si B” tendrá lugar, será verdadera, cuando:(1) A es verdadera y B es verdadera; (2) A es falsa y B es falsa. Será falsacuando: (3) A es verdadera y B es falsa; (4) A es falsa y B es verdadera. Loanterior se muestra en la siguiente tabla:

A B A ⇔ B

V V V

F V F

V F F

F F V

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Una abreviación de la expresión “si y sólo si” que se usa en la literatura dematemáticas es “sii” que es una traducción un tanto curiosa del “if and only if”(iff) anglosajón. Quizá con esta abreviación se pasa por alto el “A si y sólo siB” y coloca la atención directamente en la implicación doble “A implica B y Bimplica A”.

Ejemplos:

a) Juan presenta el examen si y solo Juan ha estudiado:

P:= Juan presenta el examen; Q:= Juan ha estudiado.

P ⇔ Q.

b) Que vengas los lunes es lo mismo que vengas los martes: R ⇔ Q.

c) Las respuestas en el examen de lógica de Javier son los mismos que los de

Miguel: T ⇔W.

A veces, pero no siempre, una equivalencia material se presenta como:

• P si y sólo si Q

• P es lo mismo que Q

• No hay diferencia entre decir P o decir Q.

• P siempre y cuando Q.

• Es tan verdadero P como Q,u otras maneras.

Ejercicio 20. Reescribe la siguiente oración utilizando las expresionesanteriores o de otras maneras:

“El procedimiento A es equivalente al procedimiento B”






1.1.2 Fórmulas proposicionales y tablas de verdad.

A la representación simbólica de una proposición compuesta le llamaremos

fórmula proposicional o simplemente fórmula.

La fórmula proposicional es una expresión del lenguaje de la Lógica deproposiciones. Dicho lenguaje está constituido por los siguientes elementos: unconjunto de símbolos para representar las proposiciones, un conjunto desímbolos para representar los conectivos y algunos símbolos de agrupación. Másadelante se definirá con precisión dicho lenguaje y las reglas para formarexpresiones validas.

En la siguiente tabla se muestran algunas fórmulas proposicionalesasociadas a proposiciones compuestas:

ProposiciónFórmula

proposicional

1.- “Java es un lenguaje de programación y se usa paradiseñar Web’s dinámicas”.

P ≡ Java es un lenguaje de programación.

Q ≡ Java se usa para diseñar Web’s dinámicas

P ∧ Q

5.-“Estudio la maestría en computación si y sólo siobtengo la beca”

P ≡ Estudio la maestría en computación.

Q ≡ Obtengo la beca.

P ⇔ Q

3.- “Si Internet Explorer y Netscape Communicator sonherramientas para navegar en Internet, entonces amboscompiten en el mercado de los navegadores”.

P ≡ Internet Explorer es una herramienta para el uso deinternet.

Q ≡ Netscape Communicator es una herramienta para eluso de internet.

R ≡ Internet Explorer y Netscape Communicator compitenen el mercado de los navegadores

(P ∧ Q)⇒ R

4.- “Si Luisa sabe inglés o informática, entonces consigueel trabajo”

R ≡ Luisa sabe inglés.

T ≡Luisa sabe informática.

U ≡ Luisa consigue el trabajo.

(R ∨ T) ⇒ U

A las letras P, Q, R, T y U se les denomina variables proposicionales.

Si una proposición es una expresión declarativa cuyo valor de verdad puede serverdadero o falso:






¿Cómo determinamos el valor de verdad de una proposición compuesta?

¿De qué dependerá el valor de verdad de una fórmula proposicionalcompuesta?

ESCRIBIR las posibles respuestas a estas preguntas antes de continuar con lalectura del material.






El valor de verdad de una proposición compuesta lo podemos obtener a partir delas tablas de verdad de los conectivos.

Ejemplo : Construye la tabla de verdad de la fórmula: (P ∧ ¬Q) v R.

Para obtener el valor de verdad, construimos una tabla en la que se escriben lasvariables que componen la fórmula y las subfórmulas necesarias para determinardicho valor. En la tabla deben aparecen todas las combinaciones posibles delos valores de verdad de las variables proposicionales, que componen lafórmula.

P Q R ¬Q P ∧ ¬Q (P ∧ ¬Q) V R

V V V F F V

V V F F F F

V F V V V V

V F F V V V

F V V F F V

F V F F F F

F F V V F V

F F F V F F

* ** +++

* (la negación de Q), ** (conjunción entre P y ¬Q), +++(disyunción entre (P ∧

¬Q) y R), donde cada renglón ha sido evaluado de acuerdo a los criteriosestablecidos.

Para una combinación determinada, podemos decir el valor de verdadde la fórmula.

Por ejemplo, tomando los valores de P verdadera, Q falsa y R falsa, se

tiene que (P ∧ ¬Q) v R es verdadera, según se puede apreciar.

En la tabla anterior aparecen todos los posibles valores de verdad quepueden tener las variables proposicionales P, Q, y R.

Si la fórmula contiene dos variables, ¿Cuántos renglones aparecen en latabla? _____________________________________

Si la fórmula contiene tres variables, ¿Cuántos renglones aparecen enla tabla? _____________________________________

Si la fórmula tuviera n variables, ¿Cuántos renglones deberíanaparecer en la tabla? ______________________________






ESCRIBIR las posibles respuestas a estas preguntas antes de continuar conla lectura del material.

Ejemplo: Construir la tabla de verdad de la proposición compuesta:

(¬P ∨ Q) → R

P Q R ¬P ¬P ∨ Q (¬P ∨ Q) → R

V V V F V V

V V F F V F

V F V F F V

V F F F F V

F V V V V V

F V F V V F

F F V V V V

F F F V V F

Como puede observarse, el valor de verdad de (¬P ∨ Q) → R es falsoen los siguientes casos:

P y R falsas y Q verdadera; P, Q, R falsas.

Ejercicio 21: Construir la tabla de verdad para las siguientes proposicionescompuestas, e indicar los casos en que sean verdaderas:

a) P → (¬R ∧ Q)

b) (P ∧ (P →Q)) → Q.

c) ¬(P ∧ Q) ↔ (¬P v ¬Q)






1.1.3 Tautologías.

Una fórmula proposicional se puede clasificar de acuerdo a los siguientes

casos:

a) Si los valores de verdad son siempre verdaderos, sin importarcuales son los valores de verdad de las variables proposicionalesque en ella intervienen, a esa fórmula se le llama tautología .

b) Si los valores de verdad son siempre falsos, sin importar cualesson los valores de verdad de las variables proposicionales que enella intervienen, a esa fórmula se le llama contradicción .

c) Si los valores de verdad de la fórmula son en algunos casos verdaderos

y en otros falsos, a la fórmula se le llama contingencia .

Ejercicio 22. Clasifica las siguientes fórmulas proposicionales:

a) [ (P ⇒ Q) ∧ P] ⇒ Q

b) [ (P ⇒ Q) ∧ ¬P] ⇒ ¬Q

c) [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)] ⇒ (P ⇒ R)

d) (¬P ∨ Q) ⇔ (P ⇒ ¬Q)

e) P ∧ ¬P

f) (P⇒

Q)⇒

(¬

P∨

Q)g) (P ⇒ Q) ∧ ¬( P ⇒ Q)






1.1.4 Equivalencia de fórmulas.

Equivalencia de fórmulas

En nuestros procesos de razonamiento, muchas veces, empleamosexpresiones que consideramos como equivalentes. Esto es, reemplazamos unapor otra considerando que tienen el mismo significado, aunque tengan formasdiferentes.

La idea de equivalencia, al trasladarse a la lógica, toma una formaparticular, la que analizaremos al construir las tablas de verdad de lossiguientes pares de fórmulas:

a) P ∧ Q; Q ∧ P

b) (P ∧ Q) ∧ R; P ∧ (Q ∧ R)

c) P ⇒ Q; ¬P v Qd) ¬ (P ⇒ Q); P∧ ¬ Q

e) P ⇒ Q; ¬ Q ⇒ ¬ P

f) P ⇒ (Q ⇒ R); (P ∧ Q) ⇒ R

¿Qué se observó en cada caso? Escribir las conclusiones.

¿Cómo podemos definir la equivalencia de dos fórmulas?






Definición: Dos fórmulas son equivalentes si al evaluarse tienen el mismovalor de verdad, para cada combinación de los valores de verdadde sus variables.

1.1.5 Ley de dualidad.

Ejercicio 23. Investigue el concepto de “dualidad de fórmulas” y de tresejemplos donde se aplica.

Para finalizar esta sección, agregaremos que con el conocimiento delsignificado de los conectivos lógicos, se puede iniciar el reconocimientode la estructura lógica de un enunciado del lenguaje natural y del lenguajematemático. Y como se comentó en la introducción, una de las formaslógicas que más se presenta en matemáticas es: P ⇒ Q, con la cual seenuncian muchos teoremas. Pero los conectivos no son suficientes paradescribir la estructura lógica de muchos enunciados tanto del lenguajenatural como del matemático, hace falta estudiar los cuantificadoreslógicos (∀, ∃) para comprender mejor los enunciados en matemáticas.Dichos cuantificadores se estudiarán posteriormente.

1 introduc-lpo-lenguaje natural vs lenguaje logico

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