8/17/2019 1-Integrales

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AMPLIACI ´ ON DE AN ´ ALISIS MATEM ´ ATICO - DIPLOMATURA DE ESTAD ́  ISTICA

INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

1.- En cada uno de los siguientes casos, dibujar el dominio de integración y escribir laotra integral reiterada:

a)

   1

0

   xx2

f (x, y) dy

 dx   b)

   3

0

 √ 25−y24y

3

f (x, y) dx

 dy

c)

   21

 √ 2x−x2−√ 2x−x2

f (x, y) dy

 dx   d)

   10

   1+√ 1−y2√ y

f (x, y) dx

 dy

2.- En cada uno de los casos siguientes, dibujar el dominio de integracíon y calcular laintegral doble correspondiente:

a)   f (x, y) =√ 

xy,  D =

{(x, y); 0

≤y

 ≤1, y2

≤x

≤y

}.

b)   f (x, y) = yex,  D = {(x, y); 0 ≤ y ≤ 1,   0 ≤ x ≤ y2}.c)   f (x, y) = 4 − y2,  D = {(x, y);   y2 ≤ 2x, y2 ≤ 8 − 2x}.d)   f (x, y) = |xy|,  D = {(x, y);   x2 + y2 ≤ 1}.e)   f (x, y) = x + y,  D  es el triángulo de vértices (0, 0), (2, 1) y (−2, 1).f)   f (x, y) = ex+y,  D = {(x, y); |x| + |y| ≤ 1}.

3.- Hallar el área de las regiones planas limitadas por las curvas de ecuaciones:

a)   y =  x,  x = 4y − y2

.b)   x =  y, 4y3 = x2.

c)   x + y  = 5,  xy = 6.

d)   x2 = 4y, 2y − x − 4 = 0.

4.- Hallar el volumen de los śolidos limitados por las superficies:

a)   x2 + y2 = b2,  y + z  = a2,  z  = 0, donde  a ≥ b ≥ 0.b)   z  = xy,  x2 + y2 = 1, (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1,  z  = 0.c)   x =  y2,  y = 0,  z = 0,  x + z  = 1.

d)   z  = x2 + y2,  y = x2,  y = 1,  z  = 0.

5.- Calcular la integral doble 

D f (x, y) dxdy  en los siguientes casos:

a)   f (x, y) = 

1 + x2 + y2;  D = {(x, y);   x2 + y2 ≤ 1}.b)   f (x, y) = 1;  D  es la superficie limitada por las curvas  x2 + y2 = 2x,  x2 + y2 = 4x,

y =  x,  y = 0.

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6.- Calcular la integral triple 

D f (x,y ,z) dx dy dz  en los siguientes casos:

a)   f (x,y ,z) = (1 + x + y + z)−3;  D  es la región limitada por los planos  x  = 0,  y  = 0,z  = 0,  x + y + z  = 1.

b)   f (x,y ,z) =   z(x  +  y);   D   es la región limitada por   z   = 0,   z   =   a,   xy   =   a2,

2(x + y) = 5a, donde  a > 0.

c)   f (x,y ,z) = z sen(x2+y2); D  es el recinto limitado por  z  = 0, z  = 

R2 − x2 − y2,donde  R > 0.

d)   f (x,y ,z) = (x2 +  y2 +  z2)−3/2;   D   es la región comprendida entre las esferasx2 + y2 + z2 = a2,  x2 + y2 + z2 = b2, donde 0  < a < b.

e)   f (x,y ,z) = 

1 − x2 − y2 − z2;  D  es el interior de la esfera unidad (de radio 1 ycentrada en el origen de coordenadas).

f)   f (x,y ,z) = (x2 + y2)2;  D  es la región limitada por el plano  z  = 2 y la superficie

x2

+ y2

= 2z.

7.- Hallar el volumen de los śolidos que se indican:

a) el sólido interior a la esfera   x2 + y2 + z2 =   R2 y al cilindro   x2 + y2 − Rx  = 0,donde  R > 0.

b) el sólido contenido en el primer octante (x,y ,z ≥ 0) y limitado por las superficiesz  = x + y,  xy = 1,  xy = 2,  x =  y,  y = 2x.

c) el sólido interior a la esfera   x2 + y2 + z2 = 2Rz  y al cono   x2 + y2 =   z2, dondeR > 0.

d) el sólido limitado por el plano   z   = 0, el paraboloide   z   =   x2 + y2 y el cilindrox2 + y2 = a2, donde  a > 0.