1) Descripción de los cuantos.

Se concibe el universo como un conglomerado de cuantos, porciones de materia.

No existe el vacío como tal, es decir, espacio sin materia. El “vacío” seria entonces

el menor grado de densidad de la materia. A pesar de la uniformidad básica de

ese estado de mínima densidad, es posible identificar entes que llamaremos

cuantos, a los que atribuimos una simetría más o menos uniforme (figura1).

Al negar el vacío sin materia tenemos que aceptar una forma de estos cuantos no

esférica, para que llenen todos los interticios entre ellos.

No existe reposo absoluto; los cuantos por su propia naturaleza están en continua

agitación, cambiando sus fronteras, expandiéndose y contrayéndose.

Precisamente la “energía” es esa propiedad que mantiene los cuantos en

agitación.

2) Reposo

Cuando no hay movimiento neto de un cuanto respecto a su entorno diremos, no

obstante su estado de agitación, que está en reposo. Pero a veces las

expansiones y contracciones se dan coordinadas y producen un movimiento neto

del cuanto (figura 2). En un Δt, intervalo de tiempo, definido y medido con base en

procesos similares de cambio, un Δm, porción de materia del cuanto, que

llamaremos masa, pasa una frontera imaginaria. Aceptemos como ley que se

cumple:

Precisemos los términos.

Δm: porción, delta de materia, masa, kilogramos.

Δt: intervalo de tiempo, segundos, que dura el salto del delta de masa –Δm- a

través de la frontera.

ΔEnergía: se acepta como el producto Δmc2, Joules, donde c es una constante.

Δ xΔ x

Expansión

Compresión

Δt Δt

V: velocidad, metros por segundo. Cociente del espacio ocupado – Δx- y por el

tiempo del proceso –Δt-.

Obsérvese que para avanzar el cuanto debe abrirse paso entre los demás

cuantos. Pero no existe fricción, ni pérdidas de energía; el cuanto conserva integra

su energía inicial para poder seguir indefinidamente su movimiento, como lo

establece el principio de inercia.

La ecuación anterior se escribe:

Asumimos como postulado que se pueden utilizar las matemáticas más

elementales:

Integrando entre la pareja de valores mo, vo y m, v:

Y definiendo mo como la masa en reposo, cuando vo=0. Solo hay oscilaciones, no

traslado neto.

Este resultado en cierta forma, pone de acuerdo a Aristóteles con Galileo. Se

acepta que se requiere energía para mantener el movimiento, aún en el “vacío”

(que en realidad no existe), de algo que atraviesa el entorno; pero como no hay

pérdidas de energía, se cumple la ley de la inercia.

Ahora, es un resultado ajeno a la Relatividad. Todos los observadores, no importa

su estado de movimiento, deben obtener idéntica relación si utilizan medidas

acordes con el entorno del cuanto. En cambio, si usan para medir DT relojes

enormemente acelerados o aplastados por gigantescos campos gravitatorios, es

lógico que tengan que acomodar sus lecturas para acomodarlas al entorno del

cuanto en movimiento.

3) Dualidad onda partícula

El movimiento de expansión y contracción puede asimilarse a un movimiento

ondulatorio como el predicho por DeBroglie, como se verá más adelante. Así

termina el misterio de la dualidad onda-partícula.

4) Energía en reposo

En reposo los cuantos oscilan con expansiones y contracciones de diversa

frecuencia y forma de onda (ver figura), asemejándose así a las modernas

cuerdas y supercuerdas.

,

Estas oscilaciones cuando se dan circularmente dan lugar a las características de

las partículas conocidas como espines.

Como no existe el vacío, todos los movimientos de los cuantos se deben

sincronizar con los movimientos de los vecinos. Incluso podríamos hablar de un

continúo material con tendencia a condensarse en nódulos o gránulos.

5) Principio de incertidumbre.

Hablando metafóricamente, este principio establece que es sumamente peligroso

dejar jaulas vacías o peceras si pececillos. Pueden aparecer animales gigantescos

en esos encierros sin que se viole ninguna de las leyes de la naturaleza; si desea

un dinosaurio consígase una jaula minúscula, si apetece una ballena, consiga un

dedal con agua. Este principio se ha entendido de muchas maneras, las más

completamente absurdas. Aquí proponemos la siguiente interpretación.

Si el universo es cuantizado sus procesos son cuantizados y podríamos aceptar

un proceso mínimo de este tipo:

Δ(Energía mínima para cada proceso ).Δ (tiempo para que se efectúe el proceso)

= h

Donde h es la constante de Plank. En el mundo cuántico no toda energía

desencadena un proceso, se requiera una dada cantidad de energía para cada

proceso; y una vez alcanzado ese umbral de energía el fenómeno desencadenado

se desarrolla en un tiempo dado. El producto de la energía requerida y el tiempo

de duración del proceso es igual al valor de h.

6) Principio de mínima acción

El producto entre la energía y el tiempo suele llamarse “acción”. Desde hace

mucho se usa el principio de mínima acción para calcular las posibles historias o

trayectorias de muchos procesos, entre ellos la propagación de la luz. Nosotros

reinterpretamos el principio de incertidumbre para que incluya el de mínima acción

así: “En procesos cuanticos la acción siempre es mínima, siendo el valor mínimo

h.”

tb

TnEn

Sea un proceso entre ta y tb (figura). Calculemos su acción:

Asumamos que el proceso es una sucesión de procesos cuanticos regidos por el

principio de incertidumbre. Como son procesos idénticos podemos asignar un Δt

promedio:

Y como

Pero n es arbitraria, se puede escoger tan grande como se desee. Por lo tanto, la

acción calculada ó medida será siempre más grande que cualquier número

escogido arbitrariamente. Es un absurdo. Nótese que no se trata de afirmar que a

menor Δt escogido sus medidas de energía tendrán más incertidumbre… lo que se

afirma es que tienen que se mayores, precisamente para dar cabida a la mayor

incertidumbre.

En cambio, si se acepta que un proceso cuántico cumple sin incertidumbres:

Tomando como Δt un cuanto de tiempo dado por la naturaleza y no escogido

arbitrariamente, se tiene:

Con la acción por cuanto se puede calcular la acción total multiplicando por el

número de procesos cuánticos. El método científico establece que los resultados

son el último comprobante de una teoría. Si se obtiene de esta forma

exactamente la acción de un proceso es bueno cuestionarse seriamente sobre la

validez del principio de incertidumbre.

4) Ecuación básica.

La ecuación básica de la presente teoría es una simple generalización de las

ecuaciones anteriores:

Donde:

d(E): diferencial de energía total, que entra al proceso.

d(t): diferencia de tiempo correspondiente al cambio de energía d(E).

d(m.v): diferencial de cantidad de movimiento total.

d(x): diferencial de tiempo recorrido en el dt.

N: número de procesos cúanticos.

Cuando una partícula está en un potencial, es decir, esta rodeada de cuantos de

ese potencial, recibe energía de ese potencial y aumenta su cantidad de

movimiento. La ecuación ahora queda:

Obsérvese que el mismo potencial puede adquirir o perder cantidad de

movimiento como se establece en el término de la derecha.

Para una carga eléctrica en un potencial eléctrico Ve

El campo eléctrico viene a representar el término entre corchetes, pero

generalmente se escribe:

con:

q: Carga eléctrica de la partícula

Φ: potencial eléctrico escalar

: Potencial magnético vectorial.

Para la fuerza de Lorente y, por tanto el campo magnético, se debe introducir una

velocidad relativa entre el potencial y la partícula. Como el tratamiento

matemático es más complejo se deja para capítulos posteriores.

8) La relatividad.

Con la ecuación básica podemos acercarnos a la Relatividad. Basta especificar la

cantidad que se desee invariante y obtendremos las ecuaciones de

transformación. Por ejemplo, para la relatividad especial consideramos dos

sistemas en movimiento relativo (figura)

Se acepta que la velocidad de la luz es invariante y se obtienen las masas de una

partícula en ambos sistemas:

Para la masa 1:

Cancelando mo:

Ecuación que es la versión diferencial de la ecuación de Lorentz. Para obtener las

demás transformaciones consideramos una masa igual pero estática en el otro

sistema, obtendríamos:

Entonces despejamos dt´:

Para igualarla con la ecuación de dt obtenida antes:

Completamos así las llamadas transformaciones de Lorentz.

Para la Relatividad General se toman dos sistemas similares en un mismo punto

(figura).

Uno

de los sistemas se considera en caída libre y el otro, por estar en reposo, si

experimenta el campo gravitatorio. La ecuación genérica queda para ambos

sistemas:

Aprovechamos para explicar el significado de igualar dos expresiones iguales a

cero entre si. Significa que si un proceso está bien descrito en un sistema y su

ecuación se anula con unos valores de unas variables, la transformación deducida

garantiza que en el otro sistema el resultado de los cálculos también es nulo, o

sea es el correcto.

Si consideramos que para velocidades pequeñas podemos despreciar los efectos

cruzados del espacio y el tiempo, estamos en condiciones de igualar por separado

la transformación del tiempo y del espacio:

Para velocidades pequeñas las masas también pueden asumirse iguales, dm=dm

´; de donde:

El potencial Newtoniano sobre una masa m producido por una gran masa M es:

De modo que

Si expresamos la masa productora del potencial como una masa distribuida con

densidad σ, tendremos:

y como Einstein define , llegamos a las formulas Einstenianas (“El

significado de la relatividad”)

Formulas que relacionas los tiempos y las longitudes entre ambos sistemas.

9) La radiación, el átomo de Bohr

Evidentemente la mecánica cúantica no puede explicar porque los electrones no

emiten radiación cuando orbitan los núcleos. Incluso Bohr solo pudo “postular” que

existían orbitas para las cuales no existía radiación; pero “postular” es lo mismo

que aceptar sin explicación. Algunos autores se atreven a decir que la explicación

reside en que esas órbitas de electrones se comportan como ondas estacionarias,

sin caer en cuenta que esto equivale a contradecir el principio de incertidumbre,

pues de una onda estacionaría se conoce exactamente la energía, posición,

momento, etc, sin incertidumbre ninguna.

En nuestro caso la explicación es obvia: las partículas son conglomerados de

fotones que mantiene su cohesión siempre y cuando no se sometan a

excitaciones que superen el límite impuesto por el principio de mínima acción:

Δ Energía suministrada a la partícula x Δ t que dura el suministro = h

Pero energía es fuerza por distancia:

Por ejemplo en el movimiento orbital (figura)

en un Δt (medio período) el electrón cambia su velocidad de +v a –v, siendo la

aceleración en este proceso

Si igualamos a la aceleración límite:

y como el espacio recorrido Δx, es πR:

Combinamos este resultado con la ecuación de fuerzas

Obtenemos así la velocidad en la primer orbita de Bohr.

Para una orbita oscilatoria (figura) el cambio de la velocidad se da en cada

semiperiodo:

La ecuación de fuerzas es

Con , para nosotros la constante de estructura fina,

Por lo tanto no es que existan “orbitas estables” ni cosas por el estilo, lo que existe

es un limite en los cambios de movimiento ante el cual los fotones siguen unidos a

la partícula y no existe radiación

10) Aplicación a la gravitación

Veamos que ocurre si en lugar de la fuerza gravitatoria en el caso anterior la

aceleración límite sin radiación es

Pero

De donde

Resultados que combinados con la fuerza gravitacional

Si hacemos , la velocidad de la luz y a las dos masas las igualamos

llegamos a

O sea la famosa “masa de Planck” si con este valor de la masa calculamos el

radio de la orbita obtenemos

Es decir la, la llamada “longitud de Planck” no es tiempo aun de tratar estas

cantidades de Planck solo diremos que están ligadas a procesos cuánticos limites,

como en este caso

11) Ecuación de Scrodinger

Como siempre partimos de la ecuación fundamental

En la que

Pero como aceptamos que en los procesos cuánticos

Escribimos la ecuación así

Que dividiremos en los términos

Cambiando el incremento por la diferencia como corresponde en procesos

cuánticos

Ahora, si , en lugar de corresponder a una partícula, corresponde a un grupo de

partículas que experimentan el mismo proceso, tendremos:

Si asumimos que el número de partículas involucradas es función del tiempo,

podemos escribir

El signo significa que “definimos”, creamos una función de tiempo cuya

derivada en el tiempo nos suministra el numero de partículas multiplicados por

y dividido por el cambio cuántico del tiempo

Para la otra parte de la ecuación escribimos

Si se trata de las partículas mencionadas tendremos

Aceptando que el número de partículas también puede variar con la posición, por

ejemplo, por efectos de dispersión, escribimos o mejor definimos:

El resultado será

Por fin construimos la función completa

Siendo a un parámetro para determinar obteniendo la derivada parcial respecto al

tiempo de la nueva función

De donde despejamos

Y llegamos a lo que llamamos el operador energía

Para la cantidad de movimiento transformada en el proceso escribimos

Aceptamos que la función es “entrópica” o sea simplemente cumple una

relación del tipo de las ecuaciones de gradiente

Lo cual es regla común para los conglomerados

Derivando parcialmente respecto al espacio

Para abreviar llamaremos a la constante anterior

Ahora volvamos a la función compleja y derivémosla respecto al espacio

Derivemos de nuevo respecto al espacio

Pero como se cumple

Volviendo al momento involucrado en el proceso

Escogemos los parámetros y de modo que cumplan

Por ejemplo

Remplazando estos valores

Al fin y al cabo se trata de una simple cuadrática

Con solución

Bastaría dar valores a A para obtener los apropiados de a

Remplazamos los valores de A y a en la expresión de

Ahora tomamos el “Hamiltoniano”, una función que expresa la energía

Y remplazamos las expresiones de y

Ecuación que llevamos a la forma

En definitiva llegamos a la ecuación de Schrodinger

El que usamos se puede interpretar como el numero total de partículas de una

mayor partícula que sufre el proceso y en este caso se entiende como la

“función de onda” de la partícula mayor, o puede interpretarse como el numero

de cuantos por diferencia de volumen de una masa mayor y en este supuesto se

interpreta como una densidad de probabilidad de encontrar la partícula. En este

ultimo cas, la ecuación con que introdujimos el quedaría

Por lo tanto, el máximo valor de la función de onda seria una medida, de donde se

encuentra el mayor numero de cuantos de la partícula “dueña” de esa función de

onda, y resulta que la función de onda se puede interpretar como medida de

probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado del espacio en un

tiempo dado. Sin embargo, un análisis mas profundo nos permite concluir que no

se trata simplemente, de la medida de probabilidad de encontrar un electrón por

ejemplo en un punto dado, sino de una medida de de la intensidad de la energía

transformada por el electrón en ese punto. Por lo tanto, un electrón libre tiene una

función de onda “monoperiódica” no porque se encuentre en cualquier punto con

igual probabilidad, sino porque su energía es constante en toda su trayectoria. El

valor de nulo en las paredes de las cajas donde se estudian los electrones

confinados no es porque en esos puntos nunca se encuentra el electrón sino

porque ahí se detiene, y no recibe ni entrega energía.

12) Valores esperados

Cuando se desea rescatar de la función información de energía y la de momento

se procede así:

Donde es la conjugada de la función

Veamos como se procede con la energía

De la misma forma puede calcularse el momento.

13) Temperatura, definición

¿Es la temperatura un concepto solo aplicable a grandes conglomerado de

partículas en estado de equilibrio? Nos podemos preguntar si este concepto,

generalmente, empleado en grandes concentraciones de partículas se puede

extender al nivel de los cuanto? La respuesta categóricamente es si, como

mostraremos en las paginas siguientes

Para lograr que el concepto de temperatura se generalice para todo tipo de

procesos, aventuramos esta nueva definición:

“Temperatura es la cantidad total de acción transformada en un proceso, dividida

por el tiempo de duración de la transformación” los modos de transformación, se

suelen llamar “grados de libertad” Esta cantidad, la temperatura, se representa

por el producto , donde es la constante de Boltzman y la temperatura

propiamente dicha.

Como el cambio o transformación de la acción consiste, en la transformación de la

energía, que, puesto que es una cantidad que se conserva, tiene siempre una

variación igual a dos veces la cantidad neta de energía transformada, la expresión

de la temperatura es:

Como el numero de modos de transformación es adimensional, resulta que las

unidades de son las mismas de la energía.

Si en una caja imaginamos tres partículas sincronizadas para chocar con las

paredes en las tres dimensiones, veremos que la temperatura se puede definir

como:

Obsérvese que el numero de modos de transformación es tres ( en las direcciones

x, y, z) y el numero de partículas es tres también.

No teniendo en cuenta sino los modos de transformación correspondientes a los

movimientos de las tres dimensiones, la “temperatura” de N partículas encerradas

en una “caja” será:

Pero la transformación de una cantidad de energía esta regida por el principio de

mínima acción:

Así que:

Tomando como energía transformada la energía cinética promedia:

Por lo tanto para encontrar la cantidad bastaría medir esa energía cinética

media o el intervalo que dura su trasformación. Pero la definición de

temperatura se asocio también con el concepto de estado en equilibrio para

asociarla se empleo la idea de que las partículas se comportan como ondas. Esta

idea concuerda perfectamente con nuestra teoría de que las partículas no se

mueven en el vacío, sino en un mar de otras partículas transformando su energía

en cantidad de movimiento como se vio en los primeros numerales (numeral)

Entonces, el equilibrio se pudo considera como un movimiento de partículas cuya

longitud dividida por 2, cabía un numero entero de veces entre las paredes

opuestas del recipiente (figura)

Esa longitud de onda depende del , el tiempo que dura la transformación de la

energía, así:

Longitud de onda que puede relacionase con el radio clásico de la partícula, y la

constante de estructura fina :

El radio clásico de una partícula se expresa como:

Y la “constante de estructura” fina se toma como el inverso de la constante usada

comúnmente:

El de transformación queda

Y expresando

Obtenemos

Expresión que llevamos a la definición de temperatura:

La velocidad a la a la se define la constante de Boltzman se encuentra con los

valores conocido de esas mismas constante. En realidad se definieron

simultáneamente la constante y la temperatura correspondiente. Para ello se

dividió la expresión anterior en factores:

Por definición

Y

De donde despejamos

Velocidad que tiene una importante interpretación física, como se vera mas

adelante. Por ahora, definimos la constante de Boltzmann como

La temperatura correspondiente es

En general la temperatura de un proceso cuántico se define así: se parte de:

Remplazamos la constante de Boltzman

Volviendo a le expresión

Comprobemos la ecuación anterior para la temperatura con el caso de limite de

planck, aunque sabemos que las unidades de planck se definen bajo otros

criterios:

Remplazando en la expresión mencionada

Temperatura que nos da exactamente temperatura de Planck

Para no definir una nueva escala de temperatura simplemente aceptamos el factor

como parte de la “definición” del concepto de temperatura, y lo añadimos a la

expresión que obtuvimos. El resultado es solo un ajuste en la escala para medir

las temperaturas

Por lo tanto al incluir este factor se obtiene una “definición de la temperatura en

función de la energía promedia por partícula en un estado dado de la materia

14) El cero absoluto

El caso del “punto triple” del agua es importantísimo para nuestra definición de

temperatura. Cuando de calcula la energía promedia de una partícula que oscila

entre los tres estados, nos da casi exactamente

Remplazando la definición de temperatura

Obtenemos

Lo cual nos fija de inmediato el famoso “cero absoluto” de la escala de

temperatura.

15) La relación fundamental de una partícula

No existe el espacio vacío. El espacio es un atributo de la materia. Otro atributo

natural de esa materia es la tendencia a formar corpúsculos de mayor o menor

densidad, es decir, un corpúsculo puede absorber masa y disminuir el espacio que

ocupa (contraerse) o dejar escapar masa y aumentar el espacio ocupado

(expandirse). Resulta así una “ley de la naturaleza” que nos atrevemos a enunciar

de la forma siguiente

Como en condiciones isotrópicas el volumen debe ser mas o menos simétrico

escribimos:

Recordando la expresión que nos da el “radio clásico” de las partículas

Donde es la carga unitaria y remplazando en la ultima ecuación

El parecido del numero con el numero aureo hace sospechar una

familiaridad entre ellos. En efecto siendo el numero aureo vemos que

podemos expresar la constante A como

De modo que

Relación de la cual obtenemos

Sin embargo, resulta mas lógico que la naturaleza nos emplee el número aureo de

Fibonaci sino una versión “recortada” así el numero aureo natural que modela el

crecimiento de caracoles, pétalos y otros naturales seria

16) Fuerzas en la naturaleza

Las partículas pueden tender a contraerse o expandirse. Cuando se contraen

atraen otras partículas vecinas y tendremos una fuerza de atracción.

Cuando se expanden repelen las partículas vecinas y tenemos una fuerza de

repulsión. Que ocurra una cosa o la otra, depende tanto del estado de las

partículas que interactúan como del medio donde se encuentran. Incluso puede

darse que una partícula “neutra” se convierta en partícula “cargada” o una cargada

“positivamente” intercambie su carga eléctrica con otra. Todos esos casos

parecen deberse solo al mecanismo de concentración o de expansión de la masa.

Veamos como definimos las “fuerzas” en esta teoría

De la ecuación que relaciona el volumen con la masa llegamos a:

Diferenciando

Multiplicando por la velocidad de la luz al cuadrado

Precisamente, el cociente del diferencial de energía sobre el diferencial de

distancia seria la “fuerza” sobre ese diferencial de materia y, lógico la fuerza sobre

la partícula que lo transforma.

El signo menos se entiende, como es usual, como una indicación del sentido de la

fuerza; pero como este sentido depende también del signo de las diferenciales;

solo nos interesamos en las magnitudes de las fuerzas. La fuerza anterior es “ la

fuerza eléctrica “ y se cree debido a la presencia de la carga eléctrica e. Existen

partículas que no la experimentan, que llamamos neutras. También se dan

partículas con carga negativa. Poco a poco iremos intentando explicar estas

diversas formas de presentarse la “carga eléctrica y como se relaciona con la

estructura de las partículas. Afortunadamente tenemos una expresión que nos

libera de la carga relacionada con la temperatura:

Cuando remplazamos en la expresión de la fuerza llegamos a:

Ahora, si consideramos la temperatura de un electrón como:

Obtenemos:

En cambio, si remplazamos en la ecuación de la fuerza la temperatura de Planck

sobre , siendo nuestra “constante de estructura fina”

obtenemos

Veamos el valor de la cantidad entre llaves, teniendo en cuenta que:

Y para nosotros ahora es evidente que la fuerza eléctrica y la gravitacional no solo

se “unen” a temperaturas cercanas a la de Planck, sino que son manifestaciones

del mismo fenómeno. Podemos decir abiertamente

Temperatura exacta de unión de la fuerza eléctrica y gravitacional

17) Otras fuerzas

Las otras fuerzas fundamentales se denominan electro débil e interacción fuerte.

Como se aplican a muchos fenómenos distintos no bien estandarizados solo

veremos algunos casos, Por ejemplo

La interacción nuclear capaz de pasar energía de un neutrón a un protón de modo

que al final el neutrón queda como protón y el protón como neutrón

Las distancias a las cuales ocurre este intercambio son del orden del radio del

mismo protón. Con estos datos apliquemos le ecuación de la fuerza

Pero

y

Temperatura cercana a la que se atribuye a las interacciones no gravitatorias.

Con este método volvemos a la ecuación

De donde:

Como

Esta sencilla ecuación nos permitirá no solo explorar la relación de la temperatura

con las cuatro interacciones fundamentales sino redefinir el concepto de entropía.

En efecto, considere las masas como agregados del cuanto mínimo, cuya masa

designaremos por

Si la energía que fluye la llamamos , tendremos

Que con definido como Ln (probabilidad) nos conduce a

18) Las cuatro interacciones

Estamos en capacidad de unificar las cuatro interacciones bajo un mismo hilo

conductor. Se trata de interacciones resultantes del intercambio de fotones a

diferentes temperaturas. Es decir, son intercambios fotonicos comunes pero con

frecuencias que forman espectros correspondientes a ciertas temperaturas.

Veamos el desarrollo de esta idea

18-1) Temperatura de Planck = se asume que fue la imperante

al inicio del big bang.

Es posible que ya no existan fotones organizados como el espectro

correspondiente a esta temperatura, pero la tomaremos como base para hacer

nuestros cálculos.

Partimos de la ecuación de la fuerza entre dos entes separados la distancia R

Remplazamos los valores

Y obtenemos

Escogemos: y

El resultado es

Que nos da para , la que denominamos

newtons

Nos damos cuenta que para obtener la conocida fuerza gravitacional

correspondiente, debemos bajar la temperatura a:

El resultado es el conocido

Para la fuerza eléctrica la única temperatura que nos proporciona la fuerza

experimental el la temperatura:

Que nos da:

Remplazando en la expresión de la fuerza:

Para la fuerza electrodebil, la temperatura que cumple con el valor esperado es

muy extraña, pero en perfecto acorde con nuestra teoría

De donde:

Para la fuerza fuerte la temperatura resulta:

D modo que la fuerza fuerte queda:

Al determinar estas temperaturas avanzamos mucho en el conocimiento de su

fenomenología

19) Constantes de acoplamiento

Las fuerzas fundamentales se suelen expresar en función de parámetros

adimensionales llamados “constantes de acoplamiento” para obtener esas

constantes se dividen las fuerzas que obtuvimos por una fuerza base que se

calcula como

Donde masa solar o estelar media

Entonces:

Pero, desafortunadamente, no hay consenso el cálculo de estas constantes de

acoplamiento. A veces se toma como fuerza base la fuerza fuerte y las constantes

quedan:

A propósito, esta falta de consenso ha logrado esconder hasta el momento la

relación entre las constantes de acoplamiento en todos los sistemas que se usen

en calculadoras:

Ahora cuando se mide la constante de interacciones entre quark se pasa a otro

nivel partículas y temperaturas multiplicadas por estas masas corresponderían

a la de quark S, que generalmente no se creen que existan en neutrones y

protones. De modo que se puede pensar en una momentánea transformación de

otro quark. Calculando con una masa de

Obtenemos:

Valor muy cercano a las últimas estimaciones

20) Alcance de las fuerzas fundamentales

Las “fuerzas” son transmitidas por “chorros”, “corrientes” de fotones que tienen el

espectro correspondiente a una temperatura dada. Para los casos de la fuerza

gravitacional y la fuerza eléctrica, esas corrientes corresponden a temperaturas

bien definidas que producen espectros extremadamente coherentes. El resultado

es que esas corrientes pueden viajar grandes distancias sin perder esa

coherencia, y se dice que se trata de “fuerzas de largo alcance”. En cambio, para

la fuerza electro débil y la fuerza fuerte tenemos ases de fotones de dos

temperaturas distintas. Estos rayos de fotones no viajan mucho sin que se

dispersen y pierdan su coherencia. A cierta distancia recorrida, muy corta, los

chorros electro débiles se desdoblan en chorros gravitacionales y chorros

electromagnéticos y chorros electromagnéticos; es decir, en chorros cuyos fotones

se acomodan a los espectros de las temperaturas básicas de la interacción

gravitacional y le interacción eléctrica. A su vez, los fotones de la fuerza fuerte se

desdoblan en dos grupos de fotones electromagnéticos, luego de un pequeño

recorrido. Por eso las interacciones débil y la fuerte se denominan “interacciones

de corto alcance”

21) Partículas características de las interacciones

Son partículas en cuyo interior los fotones tienen la temperatura característica de

la interacción

Para la interacción gravitacional la temperatura característica es

La masa de la partícula característica se calcula así:

Los únicos candidatos para representar estas partículas serian los micro agujeros

negros. Obsérvese que una partícula característica, no es la partícula

responsable de una interacción; solo esta formada por fotones con la temperatura

correspondiente. Si el universo fuera homogéneo y sus fotones estuvieran a la

misma temperatura en todo ese universo solo existieran esas partículas. Para la

fuerza eléctrica tendremos:

Un buen candidato es el quark S con su masa casi igual a este valor.

En el caso de la fuerza electrobebil, la masa de la partícula característica es:

Obsérvese que esta masa es algo así como medio millón de protones.

En otra parte su relación con la interacción que lleva su nombre. Para la fuerza

fuerte la masa es:

Solamente como ejercicio, calculemos la longitud de onda y el radio clásico de

estas partículas

Masa Kgs mts R mts

Gravitacional

Débil

Eléctrica

Fuerte

Para las interaccione gravitacionales y las eléctricas, que corresponden a una sola

temperatura sus longitudes de onda son múltiplos de por la longitud de

Planck. En cierta forma están sincronizadas con la longitud de Planck y su

alcance es enorme. En cambio las interacciones débil y fuerte, que corresponden

a dos temperaturas no tiene longitudes de onda sincronizadles con la longitud de

Planck y, rápidamente, sus emisiones fotónicas se dividen en conjuntos

correspondientes a otras interacciones. El alcance de esta dos últimas

interacciones es pequeño y esta dado, precisamente por la longitud de onda

correspondiente.

22) Partículas portadoras de “fuerza”

Las interacciones gravitacional y eléctrica corresponden a las mismas

temperaturas, sus intercambios energéticos no cambian la estructura misma de las

partículas que intervienen. Solo cambian su “temperatura externa”, es decir, su

estado de movimiento respecto a otras partículas.

Entonces, sus partículas de intercambio, o “Portadoras de fuerza” tienen masa

extremadamente pequeñas. Se dice que no tiene “masa en reposo”, para indicar

que su masa se distribuye en el campo que rodea las partículas. Las interacciones

débil y fuerte, en cambio varían o pueden variar de temperatura interna de las

partículas que la experimentan, por ejemplo la débil puede pasar la temperatura

interna desde la temperatura eléctrica a la gravitacional. Es decir, pude disociar

parte de la partícula en el fondo cósmico. Por lo tanto, antevienen en la

aniquilación de partículas y en la disociación de partículas en otras partículas y en

fotones. Procesos conocidos como desintegraciones. La interacción fuerte puede

transformar un neutrón en un protón, o a un quark, en otro quark, para lograr estas

transformaciones se requiere el intercambio de partículas de gran masa.

Llevando a una ecuación fenomenológica anteriores llegamos a una ecuación de

tipo

Veamos algunos cálculos con los datos calculados previamente en la tabla

siguiente:

Interacción Temperaturas

Gravitacional Tiene temperatura propia e igual a

Débil Es dependiente de la gravitación y la eléctrica

Eléctrica

Fuerte Dependiente igual a

Tiene dos versiones

Observando la tabla anterior se puede concluir que las interacciones en la

naturaleza, aunque se basan en el mimo mecanismo básico, se basan en muchas

escalas correspondientes a valores de temperatura con saltos de:

Nosotros nos circunscribimos a la descripción de solo las cuatro fuerzas conocidas

ampliamente .Para ello expresamos la temperatura de la interacción en la forma

Para las interacciones gravitacional, eléctrica y la temperatura mayor es

igual a la temperatura menor y la temperatura de la portadora resultaría cero, así

como la mas de partícula portadora (se entiende que se trata de la mas en reposo)

Esas partículas portadoras serian el “gravitón”, el “fotón”, y el “gluón”.

Para la interacción “débil” tendríamos:

Masa que corresponde a las partículas en promedio. Hasta el día de

hoy la masa atribuida a la partícula es de 80.4 G eV, y a la partícula es

91.26 eV, cuyo promedio da: 85.263 G eV. Estas partículas se denomina

“virtuales” aunque paradójicamente, son completamente reales. Su enorme mas

proviene de las partículas que rodean a los que interactúan y forman el substrato

que conocemos como “vacio”

Para la interacción tenemos:

Temperatura de una partícula de masa:

Masa en el promedio de la masa de los piones la masa estimada para

estas partículas es:

Y

Cuyo promedio resulta 137.28 m eV. Las discrepancias no deben extrañar pues la

ecuación que ensayamos es fenomenológico como dijimos antes.

23) La partícula más estable

Hemos aceptado una relación entre la masa y el radio de todas las partículas

neutras o cargadas:

Donde m es masa de todos los cuantos de materia que forman la partícula y R es

radio de la región, mas o menos simétrica que ocupan esos cuantos. Esto no

quiere decir que tomemos las partículas como esferas salidas de radio R. Poco

sabemos de la organización de los cuantos que forman las partículas, pero, según

la evidencia experimental, solo presentan la coherencia propia de las esferas

macroscópicas en colisiones de muy baja energía. A mayores energías los

cuantos de las partículas que colisionan forman una nueva entidad para separase

luego y seguir las trayectorias que implican conservación de energía y momento.

Muchas veces esas trayectorias dan la impresión que una partícula paso a través

de la otra, engañando sobre el verdadero tamaño de ambas entidades.

Luego es lógico que el radio clásico solo tenga una ligera influencia sobre la

“sección recta” que se encuentran en los experimentos de colisión.

Ahora si combinamos el postulado de la relación masa Radio con el postulado de

la cuantizacion que asegura que debe de existir una masa mínima no divisible en

otras menores, podemos escribir

Precisamente a esa partícula de masa mínima y radio máximo la denominamos

“cuanto” y le atribuimos un esquema como el mostrado en la figura.

La tendencia también postulada, es que estos cuantos tratan de asociarse de

modo que la masa crece y el radio disminuye. Si representamos partículas

formadas por muchos cuantos; cuya coherencia a provocado una disminución del

tamaño; por un grafico m R como el grafico del cuanto anterior obtendremos los

mostrados en la figura. Observe que la acumulación de masa provoca una

disminución del espacio. El limite contrario al caso del cuanto, y que se deduce

del postulado de cuantización que impone una longitud mínima correspondería a

una partícula cuyo esquema m – R mostramos en la figura. Es evidente que las

tendencias en esta partícula es contraria a las partículas de menor masa. Ahora

debe tender a perder masa y gana radio.

Es de sentido común que si aceptamos la fenomenología anterior lleguemos a la

conclusión que la partícula mas estable es aquella en que las dos tendencias se

equilibren la partícula media con igual proporción de cuantos de masa y cuantos

de espacio

Esquema mR de la partícula mas estable del universo

Para esa partícula:

Pero

Aunque existen varas formas de explorar el significado de la ecuación anterior,

escogimos el mas directo para hacernos entender.

De acuerdo a muchas propuestas, el cuanto de longitud es la “longitud de Plack”

Y la partícula mas masiva tiene la masa Planck:

Su producto al cuadrado es

Observe como multiplicamos por y dividimos por la misma cantidad.

Observamos entonces

De modo que:

Si escribimos

Podemos igualar:

Se puede comprobar que la escogencia para que representa la intima

conexión entre espacio y masa es:

Con esta escogencia obtenemos

Ahora abordemos la cuestión de la partícula mas estable, evidentemente ya

tenemos herramientas para buscar en la forma “matemática”, pero aceptaremos

por ahora, la evidencia física contundente y la señalamos como el electrón. Con

esta escogencia y sabiendo que:

Podemos calcular el “entero”

Número cuyo carácter entero se discute después.

24) Valores limites y valores extremos

Para nosotros una partícula de masa cero simplemente no existe. Entonces

llamamos al cero un valor “extremo” que nunca se alcanza en ninguna formación

natural ni en masa ni en radio. En cambio aceptamos que las partículas pueden

llegar a tener una masa mínima o un radio mínimo, cuyos valores llamaremos

valores limites. Dad la simetría del universo aceptamos que se presenta la misma

situación hacia los extremos superiores de la masa y el radio. En medio, como

ilustramos en el esquema m - R estará el electrón como partícula mas estable.

Nuestro razonamiento del numeral anterior se resume así:

Pero

De modo que obtuvimos

Con lo cual calculamos

Lo que nos permite hallar

Y obtener de la mima forma

No debe extrañar que existan partículas tan enormes. Téngase en cuanta que

solo son conglomerados de cuanto ligados por fuerzas pequeñísimas, como nubes

de algún gas. Estas enormes partículas se conocen entre los físicos como

“resonancias” y generalmente tienen vidas efímeras. Evidentemente no esta a la

alcance de los laboratorios terrestres observar las partícula extremadamente

grandes; pero la astrofísica puede intentar su observación en los rincones “ vacios

del firmamento.

25) El tiempo

Si nos agrandan las perogrulladas podemos decir que el tiempo es la duración de

las transformaciones energéticas. Así la unida natural de tiempo seria la duración

de la transformación de la partícula d masa máxima y se definiría de la siguiente

forma:

Al otro extremo de este pequeñísimo intervalo de tiempo encontramos el tiempo

que dura la transformación de la masa mínima, transformación muy lenta a causa

del poco contenido energético de esa partícula

Cuyo valor se puede determinar con la expresión

Lo cual nos permite llegar al valor exacto de G la constante de gravitación

Y como

Entonces

Y

Llegando a

Examinando las unidades de encontramos: unidades de

=

Por esta conexión de G con las unidades de tiempo es que trataremos esta

constante en el presente numeral dedicado al tiempo

26) Algo sobre cosmología

Ya que encontramos el valor de G supuestamente “correcto”, entremos a un tema

íntimamente ligado a esta constante la cosmología

La primera observación al respecto es que con la masa del universo comúnmente

aceptada el radio calculado por la expresión

Seria mucho menor que el cuanto de longitud.

Para no incurrir en la aceptación de “singularidades” no necesarias, abandonamos

la pretensión de simular el universo con una de nuestras partículas. En cambio, la

idea de que el universo primigenio era un conjunto de masas de Planck divididas

por , de modo que la suma de todas sus

masa se igualaba a la masa del universo (figura) se acomoda bien al punto de

partida tipo Big Bang para el universo. Antes de este conglomerado nada

sabemos; literalmente solo Dios sabe que ocurriría antes.

Al no tener formas de transformación, la energía de las masas ni se haría un

desdoblamiento de partículas, disminuyendo la masa de las partículas originales.

Tanto las partículas creadas como las anteriores aumentarían el volumen del

universo y empezaría el proceso de expansión.

Veamos los cálculos para el universo inicial. Si M es la masa del universo, el

numero de partículas iníciales es:

Coocemos el radio de la masa de Planck:

Calculamos su volumen

Por lo tanto el universo inicial tendrá un volumen

Mas tarde abordaremos el caso de la entropía y estudiaremos desde ese aspecto

la escogencia de la masa del universo. Por ahora dejemos sorprender por el

hecho maravilloso de que si tomamos , el radio inicial del universo como el radio

del electrón, la partícula mas estable, obtenemos para la masa del universo el

valor:

Valor muy cercano a las mejores estimaciones actuales. En realidad en el centro

de esas estimaciones

Sin aportar ninguna prueba nos quedaremos con este valor y continuaremos

nuestros cálculos. El valor del radio inicial del universo es:

El número de partículas individuales de ese universo primigenio es:

Este número de partículas resulta muy útil para determinar teóricamente el número

de Avogadro:

, el número de partículas en el universo primigenio resulto entonces del cubo de

cuantos en el electrón:

Por ultimo el número de cuantos en el universo resulto:

Lo que nos permite desarrollar la siguiente escala usando en número N básico

27) Evolución del número de partículas en el universo

Aceptamos como inherente a la naturaleza de las partículas la tendencia a ganar

mas y contraerse o a perder mas y expandirse, de acuerdo a condiciones diversa

aun no estudiadas. La velocidad de estos procesos siempre es proporcional a la

más instantánea de la partícula.

Luego es lógico que asumamos que el número de partículas crece como función

de la masa de la partícula mayoritaria en el universo. Ahora, como el número de

partículas existente también incide en el número de partículas producido unimos

los dos factores de crecimiento y aventuramos una relación del tiempo:

La función anterior se lee así:

El crecimiento de partícula en el tiempo es igual a una constante multiplicada por

el número de partículas actual y por la masa de la partícula mayoritaria elevada a

un exponente b.

Pero sabemos que:

Para evaluar el exponente b consideremos tiempos para los cuales el numero de

partículas haya superado ampliamente el numero de partículas inícial:

Tendremos

Entonces

Pero

Para lo cual consideramos

Con K la constante de Boltzman conseguimos

Suponemos una rápida expansión inicial de modo que en un instante

Ya se cumplía que numero de partículas era mucho mayor que el numero inicial

para ese tiempo estimamos la temperatura como la de Planck, Para

aceptamos las consideraciones en boga y tomemos

, y para la temperatura la conocida de remplazando en las expresiones

anteriores:

Ahora si escogemos los valore limites nuestros

Obtenemos

Estos resultados nos permiten escoger como más plausible el valor de 2 para b.

Máxime cuando se trata de procesos cuanticos.

Con nos queda:

Y

Volvemos a utilizar las parejas de valores:

Y

Para estimar los últimos parámetros obtenidos:

Recuérdese que

Es un viejo conocido (desde el numeral 25 donde nos permito calcular el valor

“exacto” de G); y

28) Primeras formulas del universo

Vemos en forma tabulada las expresiones que podemos obtener hasta el

momento sobre el universo:

Cantidad Expresión Valor sobre

unidad

M masa del

universo

m masa

partícula

preponderant

e

m inicial=

M actual=

N numero de

particulas

volumen

del universo

, Radio del

universo

Velocidad de

expansión

Parámetro

de Hubble

Solo adelantaremos por ahora, algunas explicaciones sobre los valores anteriores.

En primer lugar hacemos caer en cuenta que el crecimiento del radio en el tiempo

no es equiparable a una velocidad pues el concepto de velocidad se refiere al

fenómeno de atravesar un espacio pre existente, y lleno de energía en un intervalo

de tiempo, y el crecimiento del espacio en si es otro fenómeno completamente

diferente. Entre los muchos ejemplos que se nos ocurre de espacio que ocurren a

velocidades mayores que la de la velocidad de la luz, el más, a nuestro entender,

fácil de asimilar es el crecimiento del espacio entre dos puntos de unión, o

encuentro de dos tijeras abriéndose simultáneamente, pues es bien conocido que

este punto de encuentro de las hojas puede “viajar” a velocidades superiores a la

de la luz.

En segundo lugar para calcular el parámetro de Hubble es incorrecto situarnos en

el “centro” del universo, aunque se puede hacer esa suposición para otros

cálculos. Pero en el caso presente la otra galaxia cuya distancia medimos no

puede asumirse en la periferia del universo. Lo más cuerdo es asumir nuestra

galaxia y la otra como puntos promedios homólogos del universo. Haciendo los

cálculos relativistas.

Pero como

Con

Y

Obtenemos:

Sin embargo, debemos aclarar que el método para calcular el parámetro de

Hubble depende mucho de la forma como se interprete la geometría del universo,

y por ende, de cómo se interpreten las medidas de tiempo, distancia y velocidad

entre galaxias. Por el momento, con imaginarnos un universo esférico,

expandiéndose en un “espacio” al que no prestamos atención metal, nos basta.

29) La densidad del universo

Siguiendo con la imagen mental sencillísima del numeral anterior podemos

calcular la densidad del universo:

La densidad inicial del universo es:

Pero resulta que la constante de gravitación es:

Y reemplazando en la expresión de la densidad:

Tomando el parámetro de Hubble simplemente como:

,

Llegamos a:

Esta ecuación tiene una contrapartida en las ecuaciones de Friedmann:

Ecuación en la que Ku representa la curvatura gaussiana. Cuando el universo es

plano, Ku = 0, y la ecuación de Friedmann queda muy parecida a la nuestra, pues

el término en H3 es pequeñísimo comparado con el término en H2. En definitiva,

podemos resaltar que la densidad calculada por nosotros es unas treinta veces

mayor que la del correspondiente modelo relativista.

30) La constante gravitacional de Einstein

Einstein introdujo en sus ecuaciones de Campo una constante X que se vincula

con la constante newtoniana de gravitación G, por la relación:

Como ahora sabemos que G está relacionada con la densidad inicial del universo

y con el cuanto de tiempo por la ecuación:

Y podemos interpretar la constante Einsteniana asi:

Es tal la importancia de este parámetro, que vemos su significado como más

profundo y nos atrevemos a escribir:

De donde despejamos

Que coincide plenamente con la expresión para la edad del universo deducida de

la Relatividad General en muchos textos de Astrofísica:

Pero logramos esta coincidencia añadiendo el factor 1/8. En síntesis, para muchos

autores que siguen la Relatividad, tenemos:

Para nosotros:

31) Distancia al Big – Bang

Según la Relatividad entre dos puntos del espacio – tiempo se cumple el

invariante:

Combinando este resultado con el numeral anterior tendremos:

De modo que para nosotros el universo sería un agujero negro, en términos

relativistas. El tiempo no transcurre para los observadores situados en la periferia

y el radio no cambia, permanece constante.

Para la cosmología relativista ocurre lo siguiente:

Radio de agujero negro

Es decir, el universo no es un agujero negro; en la periferia el tiempo transcurre;

pero el radio se mantiene constante y no existe el Big – Bang…

Este ligero problema tiene muchas soluciones satisfactorias para los relativistas.

Solo queremos hacer ver que este modelo que presentamos engloba una versión,

como se dedujo en los primeros numerales de la Relatividad que no presenta en

absoluto esas pequeñas inconsistencias.

Como hemos trabajado demasiado en cosas intangibles, como el radio del

universo y la edad del mismo, es bueno un regreso a terrenos más familiares. Por

eso iniciaremos un estudio de nuestro Sistema Solar.

32) Sistemas orbitantes

Partimos de un concepto: energía es tendencia a la contracción o a la expansión.

En cierta forma puede mirarse esta tendencia como una absorción o una emisión

de espacio. Por ejemplo, podemos colocar una rejilla coordenada fija, centrada en

la partícula que absorbe materia y considerar que el “espacio” es fijo y lo que se

mueve hacía la partícula es la materia que llena ese espacio. Incluso podemos

imaginar el espacio como curvo y relacionar esa curvatura con el movimiento de la

materia en el, y decir que el movimiento es producido por la curvatura misma. En

la otra concepción asumimos el sistema coordenado fijo a la materia y ahora

pensamos que la partícula engulle al mismo espacio que la rodea, pues el sistema

coordenado parece, y en efecto lo es, ser tragado por la partícula. Para que la

imagen sea más ilustrativa dibujamos la rejilla en forma de embudo centrado en la

partícula. En este trabajo se usa con preferencia los sistemas de coordenadas

fijos, sobre los cuales se “mueve” la materia.

Otro movimiento mas frecuente es una contracción seguida por una expansión,

que crea un traslado neto de una partícula alrededor de otra. Estos movimientos

los llamamos orbitantes.

Estos traslados tan frecuentes en la naturaleza se pueden describir como

movimientos ondulatorios, con un periodo, una longitud de onda, etc. Trataremos

de estudiar las leyes que rigen esos movimientos.

33) Fuerza centrífuga

Aunque sabemos que en nuestro sistema se aceptan las leyes de la física clásica

casi sin modificación, también asumimos que esas leyes pueden deducirse del

principio de cuantización y del principio de mínima acción. Nuestro primer paso,

entonces, es lograr una expresión cuántica para la fuerza centrífuga. Para ello nos

tenemos que separar algo de nuestro propósito de solo emplear las matemáticas

más sencillas, y empleamos la sofisticada figura siguiente.

Se hacen las consideraciones comunes: los ángulos son pequeños, la velocidad

tangencial cambia muy poco, etc. Entonces, argumentamos:

La energía transformada por la fuerza radial en el trayecto desde el punto a hasta

el punto b, multiplicada por el tiempo que dura la transformación, Δt, tiene que ser

igual a un número entero, NR de cuantos de acción, h.

En ecuación:

Este número de cuantos de acción debe corresponder al número de cuantos de

acción que cambia la energía cinética de la partícula en sentido radial:

Igualando los cuantos de acción:

De donde:

Pero resulta, y el diagrama lo pone de manifiesto, que:

Como los ángulos son pequeños:

Por lo cual:

En definitiva:

Esta es la famosa fueraza centrífuga. Obsérvese que no es una fuerza centrífuga

“ficticia”: es una fuerza completamente real, correspondiente a una transformación

efectiva y calculable de energía.

34) La fuerza tangencial

Cuando el movimiento orbital no es completamente circular la fuerza central tiene

componente radial y tiene componente tangencial (ver figura siguiente). El cambio

de energía en el sentido tangencial también debe cumplir el principio de mínima

acción.

Esta ecuación la dejaremos así. Es decir, no procederemos como en el caso de la

fuerza centrífuga, a igualar los cambios en los cuantos de acción, para poder

mantener en evidencia los efectos cuanticos en el movimiento orbital.

Llamando al ángulo entre la tangente y la fuerza central podemos escribir:

Estudiaremos los casos donde la fuerza central se puede expresar así:

De donde obtenemos:

Entonces:

Ahora, la relación de la distancia entre los cuerpos y el radio de curvatura está

afectada tanto por la relación de las masas como por la velocidad finita de

propagación de los cambios energéticos. Solo consideraremos el efecto de masas.

Tomando en cuenta los dos cuerpos girando alrededor de un centro común:

Reemplazando en la ecuación de la fuerza:

Como el arco recorrido depende de la velocidad y el Δt, podemos escribir: ΔS =

vΔt, y llegamos a la expresión:

Ahora, consideremos una órbita estable. En esa órbita los procesos cuánticos

deben ser repetitivos e idénticos. Tomamos, por lo tanto, el término como un

parámetro de la órbita y escribimos:

Despejando:

Pero una órbita estable se debe diferenciar de las demás en algún máximo o

mínimo. Derivando respecto a v2:

Reemplazando en la expresión de R2:

En definitiva, tendremos para las órbitas estables:

35) Orbitas estables y la Ley de Kepler

Encontramos la relación entre v y R con el parámetro cuántico b para las órbitas

estables; tratemos de anular este parámetro haciendo el producto:

Este resultado requiere una explicación pues el del denominador no aparece

en la expresión conocida universalmente como la ley de Kepler. Es fácil caer en

cuenta que la presencia del se debe a la forma de obtener la velocidad media y

la distancia media al centro de fuerza. Es decir, se entiende la expresión como una

relación entre valores medios ponderados. Veamos un ejemplo ilustrativo al

respecto. Para no enredarnos con integrales elípticas, nos imaginamos la elipse

dividida en n trozos.

Entonces proponemos dos formas de interpretar la ley de Kepler.

La forma usual:

Y la forma ponderada:

Llamando:

Teniendo en cuenta que , se obtiene:

Lo que nos permite despejar n:

Con esta expresión obtenemos dos límites:

y

Ahora, como y , por definición, la primera desigualdad no tiene interés;

pero la segunda resulta muy diciente cuando hacemos Bo ≈ 1

.

36) Comprobación astronómica

Nuestra ley de Kepler dio sorprendentemente:

Encontramos como explicación al , que no aparece en las leyes originales de

Kepler, la forma de promediar los valores de R y v.

Para explicar este promedio definimos:

Los productos de las distancias y las velocidades extremas dan:

Veamos que dicen los valores experimentales sobres esas cantidades:

PlanetaRmínima

x 1010mts

Rmáxima

x 1010mts

Vmínima

x103m/s

Vmáxima

x103m/sA B C D E

Mercurio 4.6002 6.9818 38.860 58.98 1.5181 1.0002 2.3030 1.5177 1.5174

Venus 10.7473 10.8938 34.790 35.26 1.0070 0.9967 1.0241 1.010 1.0136

Tierra 14.7102 15.2098 29.290 30.29 1.0343 1.0002 1.0693 1.034 1.0339

Marte 20.6657 24.9323 21.970 26.50 1.2063 1.0001 1.4547 1.206 1.2060

Júpiter 74.0565 81.6203 12.440 13.72 1.1038 1.0009 1.2153 1.103 1.1019

Saturno 135.0065 150.8761 9.090 10.18 1.1223 1.0021 1.2019 1.119 1.1175

Urano 274.1959 300.0820 6.490 7.11 1.0939 0.9986 1.0428 1.095 1.0971

Neptuno 446.4019 454.5012 5.370 5.50 1.0303 1.0059 2.7348 1.024 1.0181

Plutón 444.2536 738.9237 3.710 6.10 1.6253 0.9885 1.4963 1.644 1.6633

Valores Promedios Experimentales 1.193 0.9993 1.477 1.195 1.196

Valores Teóricos 1.199 1.000 1.45 1.199 1.199

El significado de los resultados anteriores es claro, desde el punto de vista

estadístico, las órbitas de los planetas se separan de sus valores “ideales” por

perturbaciones mutuas; pero esas perturbaciones, como en todo sistema

conservativo; producen efectos contrarios en la órbita perturbadora. Esos efectos,

en promedio, tienden a anularse, y al sacar los valores medios se obtienen límites

muy parecidos a los teóricos.

El sistema Solar resulta ser, entonces, un extraordinario mecanismo de relojería

que funciona en armonía completa… pero al costo de pequeñas perturbaciones

entre sus partes que se compensan entre sí. Esto nos da una pista de cómo tratar

esas perturbaciones, que deben de ser del orden de (2) (1/12), para corregir los

valores que obtengamos para nuestras órbitas “perfectas” y acercarlos a los

valores perturbados reales. El valor (2)(1/12) se deduce de una observación somera

de la tabla anterior.

37) Velocidades planetarias

Obtuvimos la expresión:

Donde b es el parámetro cuántico . Para el sistema Solar A = GMm y M,

la masa del sol, es mucho mayor que m, la masa de los planetas. Luego, sin

introducir errores apreciables, se puede escribir:

Cuando estudiamos la ley de Kepler nos resultó la expresión: , que

explicamos aduciendo que R y v eran valores promediados en forma diferente a

los usuales valores medios de la astronomía tradicional. Para seguir refiriéndonos

precisamente a los valores empleados comúnmente escribimos:

Para hallar los parámetros cuánticos debemos consultar tanto las leyes de la

mecánica cuántica como las leyes gravitacionales e interpretar, a la luz de estas

leyes, las ecuaciones encontradas. Es precisamente lo que hicimos. Pero para la

exposición procederemos al revés: primero mostraremos los resultados y luego

veremos como llegamos a las ecuaciones consideradas. Empezaremos con la

velocidad:

Tomando para nuestro sol el archiconocido valor de 1.989 x 1030 Kgs como su

masa, M, procedemos a llenar la tabla siguiente con los valores experimentales y

los calculados. Téngase en cuenta que el único dato requerido es M, la masa del

sol.

Orbita

ngPlaneta

Velocidad

Mínima

m/s

Velocidad

Máxima

m/s

Velocidad

Media

m/s

Velocidad

Calculada

m/s

Corrección

Velocidad

Corregida

m/s

1 Vulcano*

Vulcanoides

**22

23 Mercurio 38860 58980 47873 47891 2(0/12) 47891

24 Venus 34790 35260 35021 36704 2(-1/12) 34644

25 Tierra 29290 30290 29786 28130 2(+1/12) 29803

26 Marte 21970 26500 24131 21558 2(+2/12) 24198

27 Ceres*** 17900 16522 2(+3/12) 19648

28 Júpiter 12440 13720 13070 12663 2(+1/12) 13416

29 Saturno 9090 10180 9672 9705 2(0/12) 9705

Orbita

ngPlaneta

Velocidad

Mínima

m/s

Velocidad

Máxima

m/s

Velocidad

Media

m/s

Velocidad

Calculada

m/s

Corrección

Velocidad

Corregida

m/s

30 Urano 6490 7110 6335 7438 2(-2/12) 6626

31 Neptuno 5370 5500 5478 5700 2(-1/12) 5380

32 Plutón 3740 6100 4749 4369 2(+1/12) 4629

32

2005FY9, 2003EL61, ****

Quaoar, 2002TC302

Orcus, Varuna, Caos, Ixión….

4531 4369 2(0/12) 4369

33 Eris 3436 3348 2(0/12) 3348

37 Sedna 1040 1155 2(-1/12) 1090

Notas:

*Vulcano: Planeta inexistente propuesto por Leverrier para explicar el adelanto del

perihelio de Mercurio.

**Vulcanoides: Asteroides no detectados, situados en órbitas menores que la

órbita de Mercurio.

***Ceres: Asteroide representante del llamado “cinturón de asteroides”, restos de

un primitivo o abortado planetoide.

****Plutón: forma parte de los restos de un gigantesco planeta, fragmentado o

abortado, que corresponde a la órbita 32, junto con los planetoides

recién descubiertos.

38) Velocidades de los satélites

Como solo calculamos “órbitas perfectas” y los satélites, debido a su pequeña

masa, son más expuestos a sufrir perturbaciones apreciables, como las

producidas por el paso de un cometa en su vecindad, es mas seguro que

encontremos discordancias entre los datos calculados para sus órbitas y sus

valores experimentales. Aquí no consideraremos el caso de los anillos planetarios

que serán estudiados a su debido tiempo. Llenaremos una tabla empleando la

misma fórmula:

La única diferencia será que en lugar de la masa del sol usaremos la masa del

planeta.

Planeta Satélite Velocidad

experimental

Velocidad

calculada

Corrección Velocidad

corregida

Número

Masa

Kgs

Masa

Kgsm/s m/s m/s

Orbital

ng

Mercurio

3.303x102347873 47891 2(0/12) 47891 23

Venus

4.869x102435021 36704 2(-1/12) 34644 24

Tierra

5.976x102429786 28130 2(+1/12) 29803 25

Luna

7.349x10221020 1176 2(-2/12) 1048 21

Marte

6.421x102324131 21558 2(+2/12) 24198 26

Fobos

1.08x10162140 2112 2(0/12) 2112 16

Deimos

1.8x10151350 1240 2(1/12) 1314 18

Jupiter

1.900x102713070 12663 2(1/12) 13416 27

Metis

9.56x101631570 30324 2(0/12) 30324 16

Adrastea

1.91x101631450 30324 2(0/12) 30324

16

Planeta

Masa

Kgs

Satélite

Masa

Kgs

Velocidad

experimental

m/s

Velocidad

calculada

m/s

Corrección

Velocidad

corregida

m/s

Número

Orbital

ng

Amaltea

7.17x101826470 23241 2(2/12) 26087 17

Tebe

7.77x101723920 23240 2(0/12) 23240 17

Io

8.94x102217330 17812 2(0/12) 17812 18

Europa

4.80x102213740 13651 2(0/12) 13651 19

Ganimedes

1.48x102310880 10462 2(0/12) 10426 20

Calisto 8210 8018 2(0/12) 8018 21

1.08x1023

Leda

5.68x10153380 3609 2(0/12) 3609 24

Himalia

9.56x10183330 3609 2(0/12) 3609 24

Lisitea

7.77x10163290 3609 2(-1/12) 3190 24

Elara

7.77x10173290 3609 2(-1/12) 3190 24

Ananke

3.82x10162440 2120 2(+2/12) 2380 26

Carme

9.56x10162380 2120 2(+2/12) 2380 26

Pasifae

1.91x10172330 2120 2(+2/12) 2380 26

Sinope

7.77x10162270 2120 2(+1/12) 2246 26

Saturno

5.6632x10269672 9705 2(0/12) 9705 29

Planeta

Masa

Kgs

Satélite

Masa

Kgs

Velocidad

experimental

m/s

Velocidad

calculada

m/s

Corrección

Velocidad

corregida

m/s

Número

Orbital

ng

Saturno

5.6632x1026Pan 16890 15548 2(+1/12) 16472 17

Atlas 16630 15548 2(+1/12) 16472 17

Prometeo

2.7x101716530 15519 2(+1/12) 16442 17

Pandora

2.2x101716400 15519 2(+1/12) 16442 17

Epímeteo

5.6x101715860 15519 2(0/12) 15519 17

Jano

2.01x101815860 15519 2(0/12) 15519 17

Mimas

3.8x101914320 15519 2(-1/12) 14648 17

Encelado

8.4x101912680 11894 2(+1/12) 12601 18

Tetis

7.55x102011350 11894 2(-1/12) 11226 18

Telesto 11350 11894 2(-1/12) 11226 18

Calipso 11350 11894 2(-1/12) 11226 18

Dione

1.05x102110030 9115 2(+2/12) 10231 19

Helene 10030 9115 2(+2/12) 10231 19

Rea

2.49x10218480 9115 2(-2/12) 8120 19

Titán

1.35x10235570 5354 2(+1/12) 5672 21

Hiperion

1.77x10195060 5354 2(-1/12) 5053 21

Japeto

1.88x10213260 3145 2(+1/12) 3332 23

Planeta

Masa

Kgs

Satélite

Masa

Kgs

Velocidad

experimental

m/s

Velocidad

calculada

m/s

Corrección

Velocidad

corregida

m/s

Número

Orbital

ng

Saturno

5.6632x1026

Febe

4.0x10181710 1847 2(-1/12) 1743 25

Urano

8.6513x10256835 7438 2(-2/12) 6626 30

Cordelia 10800 10845 16

Ofelia 10390 10845 2(-1/12) 10236 16

Bianca 9900 10845 2(-2/12) 9662 16

Crésida 9690 10845 2(-2/12) 9662 16

Desdémona 9620 10845 2(-2/12) 9662 16

Julieta 9490 10845 2(-2/12) 9662 16

Porcia 9370 10845 2(-2/12) 9662 16

Rosalinda 9110 10845 2(-2/12) 9662 16

Belinda 8780 8311 2(+1/12) 8805 17

Puck 8210 8311 2(0/12) 8311 17

Miranda 6680 6370 2(+1/12) 6749 18

6.33x1019

Ariel

1.27x10215520 6370 2(-2/12) 5675 18

Umbriel

1.27x10214670 4882 2(-1/12) 4608 19

Titania

3.49x10213640 3741 2(0/12) 3741 20

Oberon

3.03x10213150 2867 2(+1/12) 3037 21

Neptuno

1.01925x10265478 5700 2(-1/12) 5380 31

Nayade 11860 11454 2(0/12) 11454 16

Thalassa 11670 11454 2(0/12) 11454 16

Despina 11410 11454 2(0/12) 11454 16

Galatea 10520 11454 2(-1/12) 10811 16

Planeta

Masa

Kgs

Satélite

Masa

Kgs

Velocidad

experimental

m/s

Velocidad

calculada

m/s

Corrección

Velocidad

corregida

m/s

Número

Orbital

ng

Neptuno

1.01925x1026Larisa 9650 8778 2(+1/12) 9300 17

Proteo 7620 6728 7552 18

Triton

2.14x10224390 3952 4436 20

Nereida 1100 1045 2(+1/12) 1107 25

Plutón

1.4875x10224749 4369 2(+1/12) 4629 32

Coronte

1.77x1021220 208 2(+1/12) 220 20

2002KX14 4770 4369 2(+1/12) 4629 32

2003VS2 4750 4369 2(+1/12) 4629 32

2003AZ84 4700 4369 2(+1/12) 4629 32

Orcus 4680 4369 2(+1/12) 4629 32

Ixión 4660 4369 2(+1/12) 4629 32

1995SM55 4600 4369 2(+1/12) 4629 32

2002MS4 4580 4369 2(+1/12) 4629 32

2002UX25 4540 4369 2(0/12) 4369 32

Varuna 4530 4369 2(0/12) 4369 32

Quaoar 4520 4369 2(0/12) 4369 32

2002TX300 4520 4369 2(0/12) 4369 32

1996TO66 4510 4369 2(0/12) 4369 32

2003EL61 4484 4369 2(0/12) 4369 32

2005FY9 4419 4369 2(0/12) 4369 32

Caos 4393 4369 2(0/12) 4369 32

2000AW197 4310 4369 2(0/12) 4369 32

2001UR163 4070 4369 2(-1/12) 4124 32

2002TC302 3930 4369 2(-1/12) 4124 32

ERIS 3436 3348 2(+1/12) 3547 33

1996TL66 2980 2566 2(+2/12) 2880 34

Planeta

Masa

Kgs

Satélite

Masa

Kgs

Velocidad

experimental

m/s

Velocidad

calculada

m/s

Corrección

Velocidad

corregida

m/s

Número

Orbital

ng

Sedna 1040 1155 2(-1/12) 1029 37

Obsérvese que faltan por descubrir los planetas correspondientes a las órbitas 35

y 36. Ahora, se podría interpretar la corrección como una expresión del tipo 2(± n/12), y

considerar n como un segundo número cuántico, pero no encontramos evidencias

de reglas fijas para el cálculo de ese número. Preferimos entender esta corrección

como producto de un desvío accidental de la estabilidad.

39) Radios de las órbitas

Considerando los valores medios tradicionales para la velocidad y la distancia al

centro de fuerzas, vimos que se podían expresar aproximadamente:

De las mismas relaciones dedujimos que las correcciones entre los valores

calculados y los experimentales están en el (2)(± 2/12). Veamos como resultan ahora

los valores de R calculados comparados con los valores medidos

astronómicamente.

Tenemos:

Reemplazando: ,

Obtenemos:

Empleando como único dato la masa del sol para calcular la distancia media del

mismo sol a cada planeta, y la masa del planeta para hallar la distancia media de

cada satélite a su planeta, llenaremos una tabla parecida a la precedente.

Planeta

Masa

Kgs

Distancia al

Sol

mts x 1010

Satélite

Distancia al

Planeta

mts x 108

Corrección

Distancia

corregida

Mts x 10

Número

Orbital

ng

Sol

1.989x10300 0 0

Mercurio

3.303x10235.7910 2(0/12) 5.788 23

Venus

4.869x102410.8200 2(1/12) 10.440 24

Planeta

Masa

Kgs

Distancia al

Sol

mts x 1010

Satélite

Distancia al

Planeta

mts x 108

Corrección

Distancia

corregida

Mts x 10

Número

Orbital

ng

Tierra

5.976x102414.9600 2(-2/12) 14.946 25

Luna 3.844 2(5/12) 3.846 21

Marte

6.421x102322.794 2(-4/12) 22.670 26

Fobos 9.380 2(0/12) 10.096 16

Deimos 23.460 2(-3/12) 23.30 18

Ceres

9.5x102041.438 2(-3/12) 40.891 27

Júpiter

1.90x102777.833 2(-1/12) 78.143 28

Metis 1.2797 2(-1/12) 1.2977 16

Adrastea 1.2897 2(-1/12) 1.2977 16

Amaltea 1.8130 2(-4/12) 1.8579 17

Tebe 2.2189 2(-1/12) 2.2094 17

Io 4.2160 2(0/12) 3.9852 18

Europa 6.7090 2(0/12) 6.7849 19

Ganimedes 10.70 2(-1/12) 10.9030 20

Calisto 18.83 2(-1/12) 18.5625 21

Leda 110.94 2(2/12) 108.934 24

Himalia 114.80 2(3/12) 115.411 24

Lisitea 117.20 2(3/12) 115.411 24

Elara 117.37 2(3/12) 115.411 24

Ananke 212.20 2(-4/12) 223.268 26

Carme 226.00 2(-4/12) 223.268 26

Pasifae 235.00 2(-3/12) 236.54 26

Sinope 237.00 2(-3/12) 236.54 26

Saturno

5.688x1026142.940 2(0/12) 140.951 29

Pan 1.3358 2(-2/12) 1.3950 17

Planeta

Masa

Kgs

Distancia al

Sol

mts x 1010

Satélite

Distancia al

Planeta

mts x 108

Corrección

Distancia

corregida

Mts x 10

Número

Orbital

ng

Saturno

5.688x1026Atlas 1.3764 2(-2/12) 1.3950 17

Prometeo 1.3935 2(-2/12) 1.3950 17

Pandora 1.4170 2(-1/12) 1.478 17

Epímeteo 1.5142 2(0/12) 1.5659 17

Jano 1.5147 2(0/12) 1.5659 17

Mimas 1.8552 2(3/12) 1.8622 17

Encelado 2.3802 2(-2/12) 2.3751 18

Tetis 2.9466 2(2/12) 2.9924 18

Telesto 2.9466 2(2/12) 2.9924 18

Calipso 2.9466 2(2/12) 2.9924 18

Dione 3.774 2(-3/12) 3.8167 19

Helena 3.774 2(-3/12) 3.8167 19

Rea 5.2704 2(3/12) 5.3976 19

Titán 2.2185 2(-1/12) 12.4176 21

Hiperión 4.810 2(2/12) 14.767 21

Japeto 35.613 2(-2/12) 33.973 23

Febe 129.52 2(3/12) 131.444 25

Urano

8.686x1025287.099 2(3/12) 285.375 30

Cordelia 0.4975 2(0/12) 0.4916 16

Ofelia 0.5376 2(1/12) 0.5208 16

Bianca 0.5916 2(3/12) 0.5846 16

Cresida 0.6177 2(4/12) 0.6194 16

Desdémona 0.6266 2(4/12) 0.6194 16

Julieta 0.6436 2(5/12) 0.6562 16

Porcia 0.6610 2(5/12) 0.6562 16

Rosalinda 0.6993 2(6/12) 0.6995 16

Belinda 0.7526 2(-2/12) 0.7457 17

Puck 0.8601 2(1/12) 0.8867 17

Planeta

Masa

Kgs

Distancia al

Sol

mts x 1010

Satélite

Distancia al

Planeta

mts x 108

Corrección

Distancia

corregida

Mts x 10

Número

Orbital

ng

Urano

8.686x1025Miranda 1.2978 2(-2/12) 1.2695 18

Ariel 1.9124 2(5/12) 1.9021 18

Umbriel 2.6597 2(2/12) 2.7231 19

Titania 4.3584 2(1/12) 4.3759 20

Oberón 5.8260 2(-3/12) 5.9132 21

Neptuno

1.024x1026450.43 2(2/12) 458.586 31

Náyade 0.48 2(-1/12) 0.49019 16

Thalassa 0.50 2(-1/12) 0.49019 16

Despina 0.5250 2(0/12) 0.5193 16

Galatea 0.6200 2(3/12) 0.6176 16

Larisa 0.7360 2(-3/12) 0.7435 17

Proteo 1.1760 2(-4/12) 1.1948 018

Tritón 3.5480 2(-3/12) 3.6690 20

Nereida 55.1340 2(-2/12) 55.602 25

Plutón

1.29x1022591.3520 2(-2/12) 6196.78 32

Caronte 0.1964 2(-2/12) 0.1949 20

PLANETOIDES MAS ALLÁ DE PLUTÓN

PlanetoideDistancia al

solMasa

Distancia

calculadaCorrección

Distancia

Corregida

Número

Orbital

2002KX14 5837864 2x1020 2(-3/12) 584.89 32

2003VS2 6298735 2.7x1020 2(-2/12) 619.68 32

2003AZ84 5898905 4.1 x1020 2(-3/12) 584.89 32

Orcus 5896946 6.5 x1020 2(-3/12) 584.89 32

Ixión 5935999 5.8 x1020 2(-3/12) 584.89 32

1995SM55 6867313 3.6 x1020 2(0/12) 695.56 32

2002MS4 6272155 0.78 x1020 2(-2/12) 619.68 32

PlanetoideDistancia al

SolMasa

Distancia

calculadaCorrección

Distancia

Corregida

Número

Orbital

2002UX25 6361548 7.9 x1020 2(-2/12) 619.68 32

Varuna 6451398 5.9 x1020 2(-1/12) 656.53 32

Quaoar 6493296 2 x1021 2(-1/12) 656.53 32

2002TX300 6453572 2 x1020 2(-1/12) 656.53 32

1996TO66 7251168 4 x1019 2(1/12) 736.93 32

2003EL61 54846 4.2 x1021 2(-4/12) 552.08 32

2005FY9 68502 4 x1021 2(0/12) 695.56 32

Caos 50269 2(-6/12) 491.84 32

2000AW197 7073647 2(0/12) 695.56 32

2001UR163 7693969 2.7 x1020 2(1/12) 736.93 32

2002TC302 8231011 1 x1020 2(3/12) 827.17 32

ERIS 1012x1013 1.8 x1021 1.184x1013 2(-2/12) 1055.01 33

1996TL66 12401x1013 2.6 x1020 1.184x1013 2(1/12) 1254.42 33

Sedna 7.8668x1013 4 x1021 9.949x1013 2(-4/12) 7.897x1013 37

Se debe observar que ahora las correcciones tienen un vaira mas amplio que en

las velocidades debido a que el número cuántico aparece al cuadrado en la

expresión de la distancia respecto a como aparece en la expresión de la

velocidad.

40) Periodos orbitales de Planetas y Satélites

Veamos ahora el estudio de los tiempos que demoran los objetos del Sistema

Solar para dar una vuelta completa a su centro de fuerzas. Partimos de las

expresiones:

,

Asumimos, las órbitas como circulares, lo que, evidentemente, introduce errores, y

calculamos el período:

Que se simplifica en la extraordinaria expresión:

Expresión aparentemente adimensional, pero que, en realidad, contiene el Δt

asociado a un cuánto,

Para llevar el período a días hacemos:

Como las perturbaciones provocadas por los cuerpos vecinos no se cancelan

cuando se dividen R y v, sino que se incrementan, también debemos corregir los

resultados obtenidos. Antes de empezar a llenar una tabla de comprobación con

los datos experimentales, debemos sorprendernos antes el hecho curiosísimo de

que estos períodos son completamente determinados por la mecánica cuántica.

Nos pareció tan extraordinario este resultado que escribimos la expresión del

periodo así:

Expresión que se interpreta simplemente como si el período fuera determinado por

ng, el número cuántico principal, y n el número cuántico secundario. Incluso,

menos números cuánticos que los requeridos para el átomo en la mecánica

cuántica.

Planeta / Satélite ng n Tcalculado, días Texperimental, días

Mercurio 23 0 87.890 87.969

Venus 24 2 219.153 224.701

Tierra 25 -3 364.714 365.256

Luna 21 7 26.685 27.3216

Marte 26 -6 681.287 686.98

Fobos 16 -1 0.3107 0.3191

Deimos 18 -4 1.2895 1.2624

Ceres 27 -4 1698.779 1679.82

Júpiter 28 -2 4235.88 4332.71

Metis 16 -2 0.2933 0.2948

Adrastea 16 -2 0.2933 0.2983

Amaltea 17 -7 0.4881 0.4982

Tebe 17 -1 0.6903 0.6745

Io 18 +1 1.7213 1.7691

Europa 19 -1 3.4065 3.5519

Ganimedes 20 -2 7.1427 7.1545

Calisto 21 -1 16.8106 16.6890

Leda 24 +3 231.18 238.72

Himalia 24 4 246.00 250.57

Lisitea 24 5 260.62 259.22

Elara 24 5 260.62 259.65

Ananke 26 -7 643.05 -631

Carme 26 -6 681.29 -692

Pasifae 26 -4 764.72 -735

Sinope 26 -4 764.72 -758

Saturno 29 0 10562.09 10759.50

Pan 17 -4 0.5805 0.5750

Atlas 17 -3 0.6150 0.6019

Prometeo 17 -3 0.6150 0.6130

Pandora 17 -3 0.6150 0.6285

Epímeteo 17 -1 0.6903 0.6942

Jano 17 -1 0.6903 0.6945

Mimas 17 4 0.9214 0.9424

Encelado 18 -3 1.3662 1.3702

Tetis 18 2 1.8236 1.8878

Telesto 18 2 1.8236 1.8878

Calipso 18 2 1.8236 1.8878

Dione 19 -5 2.7038 2.7369

Helena 19 -5 2.7038 2.7369

Rea 19 +4 4.5472 4.5175

Titán 21 -2 15.8672 15.9454

Hiperión 21 +3 21.1801 21.2766

Japeto 23 -2 78.3013 79.3302

Febe 25 3 546.4542 -550.48

Urano 30 4 29561.62 30685.00

Cordelia 16 0 0.3292 0.3350

Ofelia 16 2 0.3695 0.3764

Bianca 16 5 0.4395 0.4346

Cresida 16 6 0.4656 0.4636

Desdémona 16 6 0.4656 0.4736

Julieta 16 7 0.4933 0.4931

Porcia 17 -6 0.5171 0.5132

Rosalinda 17 -5 1.5479 0.5584

Belinda 17 -3 0.6150 0.6235

Puck 17 +1 0.7748 0.7618

Miranda 18 -2 1.4474 1.4135

Ariel 18 7 2.4343 2.5204

Umbriel 19 2 4.0511 4.1442

Titania 20 2 8.9992 8.7059

Oberón 21 -5 13.3426 13.4632

Neptuno 31 3 61983.66 60190.00

Náyade 16 -2 0.2933 0.2944

Thalassa 16 -1 0.3107 0.3115

Despina 16 0 0.3192 0.3346

Galatea 16 4 0.4148 0.4287

Larisa 17 -5 0.5479 0.5546

Proteo 18 -6 1.1488 1.1223

Tritón 20 -6 5.6692 -5.8768

Nereida 25 -3 364.71 360.1362

Plutón 32 -4 91899 90800

Caronte 20 -4 6.3634 6.3872

2002KX14 32 -4 91899 89041.26

2003VS2 32 -4 91899 89870.24

2003AZ84 32 -4 91899 90441.42

Orcus 32 -4 91899 90396.4

Ixión 32 -4 91899 91295.85

1995SM55 32 -3 97364 98189.24

2002MS4 32 -3 97364 99159.77

2002UX25 32 -2 103153 101287.19

Varuna 32 -2 103153 103440

Quaoar 32 -2 103153 104449.92

2002TX300 32 -2 103153 103492.89

1996TO66 32 -2 103153 103752.95

2003EL61 32 -2 103153 104234

2005FY9 32 0 115786 113179

Caos 32

2000AW197 32

2001UR163 32 +2 129964 134721.21

2002TC302 32 +4 145881 149069.95

ERIS 33 -4 204148 203600

1996TL66 33 +1 272505 275701

Sedna 37 -6 4429085 4404480

Se debe atribuir la mayor n a los satélites mas perturbados por colisiones con

meteoritos. Tal es el caso de nuestra luna que recibió un tremendo impacto en el

1179, observado por cinco monjes de la Abadía de Canterbury. Ahora pasemos a

algo un poco más pequeño que el Sistema Solar.

41) Transición gravitacional a eléctrica

Para una masa m orbitando una gran masa M, bajo una fuerza central F = A/R2,

hemos deducido como valores promedios:

Con

Nt : número de transformaciones cuánticas en un ΔS de recorrido.

h : constante de Planck.

Tomando M >>> m caso que facilita los cálculos y no introduce problemas

interpretativos:

;

El objetivo es interpretar estas expresiones, y la metodología será compararlas

con expresiones aceptadas para las mismas cantidades. Primero haremos el

simple trabajo algebraico y luego profundizaremos en la significación física de los

resultados y en el análisis dimensional. Para diferenciar los casos de la gravitación

y la electricidad llamaremos las masas orbitantes mog y moe, respectivamente. Para

abrir paso posteriormente al estudio de los Quarks, asumiremos las cargas

contenidas en las masas como, e, la carga unitaria multiplicada por un parámetro

.

Empecemos con la velocidad en las órbitas de la gravitación, y comparamos la

expresión general con la que ya hemos puesto a prueba:

Para las órbitas eléctricas:

Utilizamos la comprobada expresión c/αne, deducida por Bohr para las órbitas

eléctricas. También hicimos el reemplazo: e210-7c2 = hc / 2πα.

Aceptando la igualdad de los parámetros básicos para Ng = 0 y Ne = 1

Dividiendo las expresiones anteriores:

Pasamos a las distancias orbitales por la ley de Kepler:

Para el caso gravitacional:

Esta relación no aporta nada al cálculo de los parámetros y debemos pasar al

caso eléctrico:

Comparamos esta distancia con el radio de Bohr para ne = 1 y la misma carga:

De donde: moe = meléctron = me

42) Parámetros completos

Podemos calcular los diversos parámetros que son básicos en las órbitas estables

gravitacional y eléctrica.

Ahora, veamos las dimensiones. Para moe = me, no hay problema; y en cuanto al

parámetro “a” es adimensional. Como sabemos la masa del cuánto:

Tendremos:

Y queda resuelto el problema de unidades de mog. En cuanto a las unidades de

Nt/ΔS2 un cuidadoso estudio nos lleva a la equivalencia:

Equivalencia que contiene el extraordinario descubrimiento:

El parámetro “a” es libre y, su valor, por ahora, se puede tomar como la unidad.

43) Velocidad y distancia para diferentes orbitasles

Escribimos los parámetros así:

Las fórmulas generales son:

;

Para la gravitación tomamos: A = GMmo, Ng ≠ 0, y Ne = 1, y reemplazamos los

parámetros:

Por la electricidad: A = ae210-7c2; Ng = 0, Ne ≠ 0, y reemplazamos parámetros:

Así terminamos nuestro estudio que nos mostró que en la base de las

interacciones gravitacionales y eléctricas hay una parte común, cuántica, y que la

parte que las diferencia estriba en el número de transformaciones cuánticas por

cada intervalo cuántico de recorrido ΔS.

El parámetro “a” es lo mas curioso; nos dice que podemos cambiar la carga por

partícula, como en los quarks, sin modificar las velocidades orbitales, pero si las

distancias orbitales. Pero por ahora nos interesaremos solo en los extraños y

sugerente periodos orbitales, fundamento de los precisos relojes atómicos.

45) Periodos orbitales

Se dice que Galileo cayó en cuenta de los periodos estables observando el lento

balanceo de las lámparas de la Catedral… y es una observación que hay que

agradecerle. Estudiemos algo parecido. Partimos de los conocidos resultados para

órbitas estables:

; y

El tiempo que dura, en promedio, una órbita, asumida casi circular es:

Lo que significa que en gravitación, electricidad, y en general, todas las

interacciones, el período de las órbitas estables es eminentemente cuántico.

Ahora reemplacemos los parámetros obtenidos.

Gravitación:

,

; Ne = 1

Ya vimos como se maneja esta expresión, que también se puede llamar otra ley

de Kepler.

Electricidad:

Estos periodos se pueden expresar en función del tiempo de Planck corregido:

Estas expresiones nos deben familiarizar con la íntima relación entre gravitación y

electricidad.

Pero el hallazgo más importante respecto a estos periodos orbitales es el

siguiente. Expresémoslo en función del tiempo que demora la transformación de

un cuánto de masa:

Ahora,

Pues todo tiempo debe ser múltiplo, al menos racional, del tiempo de Planck

corregido o del tiempo que demora un cuánto al transformarse, que a su vez es

múltiplo del tiempo de Planck corregido. Para lograr que se mantenga esa

condición, al menos aproximadamente, cuando se multiplica por el factor se

deben introducir las correcciones (2)n/12 que vimos anteriormente. Entonces:

, múltiplo racional

Lo que nos lleva a una interesante aproximación del número π:

3.141592654…= π

46) Número de electrones por orbital

Cuando una masa mo orbita una masa M requiere un ΔS, para efectuar sus

transformaciones cuánticas. En el átomo la masa que orbita es un electrón y

sabemos que los electrones se repelen entre si. Luego, es lógico que si varios

electrones ocupan un mismo orbital se acomoden lo más separados posibles,

cada uno en su propio ΔS.

La situación, entonces, es más ó menos como se ilustra en la figura. Cada

electrón requiere un ΔS para que todo el sistema sea estable, pues es el recorrido

que requiere para transformar la energía que lo mantiene en órbita.

Partimos de las expresiones:

El parámetro “a” se introdujo en la demostración general pensando en los Quarks

que tienen cargas fraccionarias. Pero como en este caso tenemos cargas

normales, tomamos a = 1 hasta que sea necesario introducirlo de nuevo.

Calcularemos el número de electrones en la primera órbita y consideraremos las

demás como múltiplos de esa primera órbita:

2πR para cualquier Ne = (2πR Ne = 1) Ne2

Entonces:

# de electrones en orbital Ne =

Se toma Nt, el número de transformaciones cuanticas por ΔS como la unidad y

obtenemos:

# de electrones en orbital Ne

Podemos expresar ahora el número de electrones que se acomoda en cada órbita:

Nivel n orbital 1 2 3 4 5 6 7

# de electrones 2 8 18 32 50 72 98

En la figura se insinúa la colocación de los electrones de cada orbital, pero

dibujados en un plano. La realidad es que pueden ocupar un espacio

tridimensional.

47) Número de masas por orbital

Si en la gravitación las masas orbitantes se repelieran, como lo hacen los

electrones, tendríamos un resultado similar al obtenido para las cargas por orbital

y para las masas por orbital. Pero las masas se atraen entre sí y esto cambia

completamente el problema. Ahora varias masas orbitantes se amontonan en

cada ΔS y este intervalo no corresponde al ideal calculado. Pero la consecuencia

más relevante es que ahora Nt, el número de transformaciones cuánticas por ΔS y

por masa orbital debe ser función del número de masas orbitantes.

Con esta apreciación calculamos:

(# de masas orbitantes)

(# de masas orbitantes) (# de masas orbitantes)n/2

(# de masas orbitantes)

(# de masas orbitantes)

Si aceptamos a Mercurio como un caso “ideal”, aunque no lo sea, y como

sabemos que la masa orbitante es:

, entonces:

mog = 4.847817964 x 10-16 Kgs

Podemos estimar el número de masas orbitantes en Mercurio, pues sabemos que

está en el orbital 23:

(# de masas orbitantes Ng = 23)

Reemplazando este número y la masa del Sol, M = 1.989x1030 en la ecuación del

número de masas orbitantes:

(# de masas orbitantes)

(# de masas orbitantes)

Como este número de masas orbitantes no tiene contrastación experimental

directa, comprobaremos la fórmula con la masa de los planetas.

Masa planeta = (# de masas orbitantes) x (masa orbitante)

Reemplazando , tendremos:

Planeta Orbital Masa Kgs Masa Calculada Kgs

Mercurio 23 3.303 x 1023 4.6107 x 1023

Venus 24 4.869 x 1024 1.2132 x 1024

Tierra 25 5.976 x 1024 3.1923 x 1024

Marte 26 6.421 x 1023 8.3996 x 1024

Asteroides 27 1.5198 x 1021 2.2101 x 1025

Júpiter 28 1.90 x 1027 5.8155 x 1025

Saturno 29 5.688 x 1026 1.5302 x 1026

Urano 30 8.686 x 1025 4.0264 x 1026

Neptuno 31 1.024 x 1026 1.05944 x 1027

Plutón 32 1.290 x 1022 2.7876 x 1027

Total 2.669 x 1027 4.4962 x 1027

Era de esperar las enormes discrepancias en este cálculo. Pero debemos

considerar que a cada planeta le debemos sumar la masa de sus satélites y la

masa de los planetoides que tienen igual órbita. Para los asteroides, por ejemplo,

sumamos la masa de los mas representativos; y eso debemos hacer también en el

caso de Plutón, y considerar todos los planetoides en su orbital.

Pasemos ahora a calcular la masa de algunos satélites. Para calcularla

necesitamos el número de su orbital y la masa de su planeta.

Planeta

Masa KgsSatélite Orbital Masa Kgs Masa calculada Kgs

Tierra

5.976x1024Luna 21 7.349 x1022 2.997 x1019

Planeta

Masa KgsSatélite Orbital Masa Kgs Masa calculada Kgs

Marte

6.421x1023

Fobos 16 1.08 x1016 6.147 x1016

Deimos 18 1.80 x1015 4.256 x1017

Jupiter

1.90x1027

Metis 16 9.56 x1016

Adrastea 16 1.91 x1016

1.15 x1017 7.80 x1018

Amaltea 17 7.17 x1018

Tebe 17 7.77 x1017

7.95 x1018 2.05 x1019

Io 18 8.94 x1022 5.40 x1019

Europa 19 4.80 x1022 1.42 x1020

Ganímedes 20 1.48 x1023 3.74 x1020

Calisto 21 1.08 x1023 9.84 x1020

Leda 24 5.68 x1015 1.79 x1022

Himalia 24 9.56 x1018

Lisitea 24 7.77 x1016

9.64 x1018 1.79 x1022

Saturno

5.6638x1026

Pan 17 4.90 x1015

Atlas 17 6.60 x1015

Prometeo 17 2.7 x1017

Pandora 17 2.2 x1017

Epimeteo 17 5.6 x1017

Jano 17 2.01 x1018

Mimas 17 3.80 x1019

4.11 x1019 9.86 x1018

Encelado 18 8.40 x1019

Tetis 18 7.55 x1020

Telesto 18

Calipso 18

Planeta

Masa KgsSatélite Orbital Masa Kgs Masa calculada Kgs

Saturno

5.6638x1026

2.59 x1019

Dione 19 1.05 x1021

Helene 19

Rea 19 2.49 x1021

6.82 x1019

Titan 21 1.35 x1023

Hiperion 21 1.77 x1019

1.35 x1023 4.72 x1020

Japeto 23 1.88 x1021 3.27 x1021

Febe 25 4.00 x1018 2.27 x1022

Urano

8.6513x1025

Cordelia 5.00 x1016

Ofelia 16 5.00 x1016

Bianca 16 9.20 x1016

Cresida 16 3.40 x1017

Desdémona 16 2.30 x1017

Julieta 16 8.20 x1017

Porcia 16 1.70 x1018

Rosalinda 16 2.50 x1017

3.53 x1018 1.20 x1018

Belinda 17 4.90 x1017

Puck 17 2.90 x1018

2.39 x1018 3.15 x1018

Miranda 18 6.66 x1019

Ariel 18 1.27 x1021

1.33 x1021 8.31 x1018

Umbriel 19 1.27 x1021 2.19 x1019

Planeta

Masa KgsSatélite Orbital Masa Kgs Masa calculada Kgs

Titania 20 3.49 x1021 5.75 x1019

Oberón 21 3.03 x1021 1.51 x1020

Neptuno

1.02x1026

Náyade 16 1.90 x1017

Thalassa 16 3.50 x1017

Despina 16 2.10 x1018

Galatea 16 2.12 x1018

4.76 x1018 1.33 x1018

Larisa 17 4.20 x1018 3.50 x1018

Proteo 18 4.40 x1019 9.18 x1018

Tritón 20 2.14 x1022 6.36 x1019

Nereida 25 2.20 x1019 8.01 x1021

Plutón

1.487x1022Caronte 20 1.77 x1021 3.01 x1017

Ya vimos que para los sistemas gravitacionales lo común es que la situación

“ideal”, cuántica, no persista indefinidamente y se den perturbaciones de todo tipo.

Por eso no es de extrañar que los resultados teóricos se alejen de los

experimentales. Una de las causas primordiales de estas discrepancias es el

limitado número inicial de gránulos de masa que se conglomeran para formar el

sistema solar. Debido a esta limitación en el material es que los orbitales

superiores se van quedando sin masa, exactamente como en los átomos los

niveles externos se quedan si electrones a pesar de poder acomodar mas si los

tuvieran disponibles.

Las ecuaciones que usamos funcionan perfectamente para los anillos planetarios,

pero no los estudiaremos todavía.

49) Saltos cuánticos

En los sistemas gravitacionales, planetas y satélites son alejados de sus

posiciones estables por muchas perturbaciones, y permanecen en esas órbitas

anómalas por muchos siglos de los nuestros. Resulta que en el caso de los

sistemas eléctricos ocurre exactamente lo mismo. Un electrón perturbado regresa

a su órbita normal emitiendo un fotón en un proceso que dura muchos siglos de

Planck. Solo hay diferencias de escala. En nuestra escala el proceso de emisión

es tan corto que ha inducido a la peligrosa idea del “salto cuántico”, durante el cual

el electrón está y no está, es y no es, salta y no salta, emite y no emite. Como

Parménides, no aceptamos esas peregrinas y fantasiosas figuraciones y

respetamos el principio de identidad.

Comencemos estudiando la probable duración de un salto cuántico. Asumamos

que la única transformación de energía es la conversión de la energía cinética del

electrón, al pasar de un nivel al otro nivel, en la energía del fotón emitido:

Donde vf y vi son las velocidades en los niveles Nf y Ni respectivamente. Como

sabemos, las velocidades orbitales son:

y

Como todo proceso, esta transformación de energía cumple el principio de mínima

acción, de modo que la duración del proceso es:

Para Ni = 2 y Nf = 1

Tiempo que, en la escala corregida de Planck, equivale a:

Unidades de Planck

Tiempo gigantesco en esta escala; millones de veces el tiempo de duración del

universo en segundos. Considerarlo instantáneo es una apreciación muy pobre.

50) Descripción del salto cuántico

Así como es de pobre la consideración de que su duración es nula, es de

paupérrima la descripción del mismo salto. El electrón salta de órbita y aparece en

la otra órbita acompañado del fotón. Eso es todo. En realidad lo que ocurre es más

rico y sugerente. El electrón pierde su estabilidad en la órbita inicial y es atraído

por el núcleo; el electrón acelerado provoca la producción del fotón, que, al salir

emitido, aplica una fuerza del frenado sobre el electrón deteniendo su caída hacía

el núcleo; la fuerza de reacción del fotón y la de atracción del núcleo se combinan

para llevar al electrón a su segunda órbita estable.

Para lograr la máxima sencillez y claridad y a la vez enfatizar los procesos claves,

haremos una descripción algo incompleta del salto. Asumimos un mar girando

exactamente a la velocidad del electrón en su orbita inicial. Así veremos estático al

electrón al comenzar su salto cuántico. Además, podemos olvidar la engorrosa

fuerza centrífuga en los balances de fuerza.

Claro que al no considerar la fuerza centrífuga tampoco hemos de considerar la

fuerza total de atracción del núcleo, pues no se trata de una transformación

relativista de coordenadas. Entonces la fuerza de atracción del núcleo la llamamos

Fc simplemente y la consideramos solo una porción de la fuerza total entre el

protón y el electrón.

En nuestra concepción, cuando una fuerza no se percibe en un marco de

referencia no significa que la geometría la hizo desaparecer sino, simplemente,

que otra fuerza igual y contraria la está anulando, o que una aceleración

conveniente del mareo la está enmascarando. En el presente caso la fuerza

centrífuga hace desaparecer la mayoría de la fuerza central y solo queda una

fuerza residual. Esta fuerza residual la asumimos haciendo un ángulo θ con el eje

central (ver figura), pues no solo tenemos presente que el protón esta ligeramente

desviado del centro de giro, como corresponde a los sistemas de masa central

finita, sino que, además, no existe razón para considerar que la resta de la fuerza

central entre el protón y el electrón y la fuerza centrífuga tenga exactamente la

dirección del centro de giro. En la figura, no obstante, la dibujamos como dirigida

hacia el protón aunque, estrictamente, puede tener cualquier dirección ( figura ).

Suponemos que el fotón, al salir emitido,

ejerce una fuerza de reacción sobre el

electrón, fuerza que tomamos haciendo

un ángulo B con el eje central.

Por ultimo, para la ecuación de equilibrio

se toma una fuerza contraria a la masa

del electrón por la aceleración. Fuerza

que asumimos con un ángulo φ

respecto al eje central.

Con todo lo supuesto la ecuación de

fuerzas sobre el electrón queda:

A)

B)

Veamos ahora cada una de las fuerzas. Tomaremos para Fc el promedio de las

fuerzas de atracción entre el protón y el electrón en los dos niveles, multiplicado

por un parámetro a:

Pero como:

Y como:

Tenemos:

Por lo tanto:

Para hallar la fuerza de reacción del fotón escribimos:

Como se cumple el principio de mínima acción

Donde Nt es el número de veces que se transforma la energía del fotón en el

proceso total de emisión del fotón y cambio de órbita del electrón.

Terminamos con el, producto de la masa del electrón por su aceleración:

Volvamos a las ecuaciones de fuerza escritas así:

A)

B)

Hagamos los cocientes de las fuerzas:

B

A

Con estas definiciones las ecuaciones quedan:

A)

B)

Elevando al cuadrado y sumando:

Ecuación cuadrática en A y B que puede resolverse en:

De donde:

Tomando uno de los casos extremos:

Lo que nos permite llenar la siguiente tabla para N f = 1 y Ni de 2 a 9 (Serie de

Lyman).

Nf = 1

Ni

B

2 182.7147 0.3136 182.7119 0.05619

3 205.5540 0.2787 205.5515 0.09316

4 219.2576 0.2613 219.2553 0.11147

5 228.3933 0.2509 228.3911 0.12203

6 234.9188 0.2439 234.9167 0.12884

7 239.8130 0.2389 239.8109 0.13358

8 243.6195 0.2352 243.6174 0.13705

9 246.6648 0.2323 246.6628 0.13970

Interpretamos estos resultados como si bastara un pequeño desequilibrio entre la

fuerza central y la fuerza centrífuga, Fc, para llevar el electrón de la órbita inicial a

la final mientras emite el fotón. En conclusión, el “salto cuántico” no es ningún

proceso extremo sino, más bien, un proceso normal de enorme duración en la

escala de Planck.

51) Número de orbitales electrónicos

Podemos calcular aproximadamente el ángulo φ que sigue, en promedio, el

electrón, al cambiar de órbita. En efecto, en la figura podemos apreciar que:

La diferencia entre los radios orbitales es:

,

Y el arco recorrido ΔS, es:

ΔS = Velocidad media x Δt

ΔS

Tomando Nt, el número de transformaciones de la energía del fotón por salto,

como 2 y considerando el nivel final como el nivel uno, es decir, tomando N f = 1; la

expresión para φ es:

De la que obtenemos los valores siguientes dando valores a N i:

Ni 2 3 4 5 6 7 8 9

φ 83.193º 67.00º 48.16º 38.20º 23.31º 16.98º 12.84º 10.02º

Observamos que el salto cuántico es más abrupto a medida que se distancian los

niveles entre los que se presenta. Aunque esta observación no se puede plasmar

en un límite matemático estricto para el máximo número de niveles, o al menos

para el máximo distanciamiento entre los niveles para el cual se puede dar un

salto cuántico, si nos permite conjeturar que la posibilidad de que se den saltos

cuánticos entre niveles muy distanciados es muy remota. Cualquier mínima

alteración del entorno hará que el electrón se desvíe del nivel final.

Abandonemos por ahora este fascinante mundo de los saltos cuánticos, que tanta

información nos podrá dar en adelante cuando se utilice a fondo el poderoso

arsenal de la tecnología moderna, y regresamos a las relaciones y

transformaciones fundamentales.

52) Cuantización del momento angular

En nuestra concepción, un poco aristotélica, una partícula requiere de su energía

cinética para moverse a través de las demás partículas que conforman el espacio.

Las atraviesa por medio de procesos que llamamos transformaciones de energía

que cumplen el principio galileano de inercia, es decir, sin perder un ápice de la

energía inicial, y el principio de mínima acción:

Donde es la energía que se transforma, Δt el tiempo que demora la

transformación y h la constante de Planck. Precisamente, esta transformación

cíclica de la energía es la que da el carácter ondulatorio a las partículas.

Cuando pensamos en una órbita estable, imaginamos un número entero de

transformaciones por órbita. Si llamamos n ese entero, Δt el tiempo de una

transformación y T el período orbital, tendremos:

T = n Δt

Como la energía transformada en cada Δt es la energía cinética:

Y como vT = 2πR

Siendo este el famoso principio del cuantización de Bohr, extendido luego por

Wilson y Sommerfeld a cualquier ciclo en cualquier coordenada, presentación que

coincide exactamente con nuestra interpretación del principio de mínima acción.

Veamos este principio partiendo de las expresiones nuestras para las órbitas

estables:

; y

Tendremos:

Si deseamos esta expresión sin contenido cuántico reemplazamos:

En cambio, si queremos su expresión dual, enfatizando su contenido cuántico,

reemplazamos:

Para la interacción eléctrica tenemos:

y

Y obtenemos la formulación explícita del postulado de Bohr para el momento

angular.

Ahora, comparando con la forma cuántica de la expresión:

,

Nos permite calcular:

De donde:

Y concluimos que la órbita real no es un circulo perfecto, y que Ro y vo no son sino

valores promedios de los verdaderos R y v de la órbita. De otra forma ΔS sería la

circunferencia, 2πRo, dividida por un número entero, como corresponde a la

cuantización del espacio recorrido.

53) Masa orbitante en la interacción eléctrica

Veamos que masa cumpliría el postulado de cuantización del momento angular en

la interacción eléctrica. Tenemos:

Reemplazamos en:

Como ya sabíamos. Por lo que resulta más interesante indagar sobre el valor de

ΔS:

Expresión que esconde una información muy valiosa, pero que no usaremos por el

momento.

54) Cuantización del momento angular en gravitación

Merced al genio Galileo sabemos que la trayectoria seguida por una piedra

arrojada con cierta velocidad inicial es la misma que la seguida por dos piedras

unidas de alguna forma y lanzadas en forma similar a la primera. Ahora a ese

conocimiento podemos añadir la cuantización y sabemos que toda masa que

orbite en órbitas estables debe ser múltiplo de una pequeña masa orbitante. Esa

pequeña masa orbitante debe cumplir el principio de cuantización del momento

angular:

Es decir, nos preguntaremos cual es la masa que siguiendo las órbitas planetarias,

que vamos a considerar estables, ó muy cercanas a las estables, tal como lo

comprobamos antes, cumple el postulado de Bohr de la cuantización del momento

angular. Para encontrarla, calcularemos:

Con los mejores valores para los parámetros orbitales de los planetas que

listamos enseguida.

Planeta Ro x 1010mts vo m/s Kgs x 10-50 teorice

Mercurio 5.79091 47870.0 3.80422189 85.234831 86.77788

Venus 10.8209 35021.4 2.78278269 62.349139 66.506427

Tierra 14.9598 30287.0 2.32752330 52.148918 50.970473

Marte 22.7937 24130.9 1.917289682 42.957500 39.063729

Ceres 41.4704 17882.0 1.422072598 31.862000 29.938411

Júpiter 77.8412 13069.7 1.036575504 23.224812 22.944774

Saturno 142.6700 9672.4 0.7642037658 17.122234 17.584856

Urano 287.0970 6835.2 0.5373981933 12.040582 13.477020

Neptuno 449.8250 5477.8 0.427982807 9.589078 10.328777

Plutón 591.3520 4749.0 0.3755154789 8.413547 7.9159663

Al observar el resultado vemos que estas masas tienen un valor muy cercano al

de la masa cuántica; procedemos a dividir por ese cuánto de mas, m c. Luego, con

la convicción de que tiene que existir la regularidad cuántica, buscamos la función

que representa ese comportamiento, logrando la siguiente:

Listamos los valores teóricos generados por esta función en la última columna de

la tabla anterior, y con ellos procedemos a calcular la constante de estructura fina:

Con el valor conocido:

Los valores de α calculado con esta función se dan en la tabla siguiente:

Planeta α calculada N vreal m/s Vcalculada m/s

Mercurio 138.6849 1 47870.0 48754.96

Venus 143.0606 2 35021.4 37365.76

Tierra 134.1269 3 30287.0 28637.09

Marte 128.6250 4 24130.9 21947.44

Ceres 131.4635 5 17882.0 16820.50

Júpiter 135.9273 6 13069.7 12891.22

Saturno 139.1157 7 9672.4 9879.82

Urano 147.7261 8 6835.2 7571.89

Neptuno 143.0480 9 5477.8 5803.09

Plutón 143.7825 10 4749.0 4447.48

Valor medio = 138.55605

Este valor medio “calculado” para α es bastante aceptable; incluso, es mejor que

el obtenido es algunos experimentos cuánticos. Por lo tanto reiteramos nuestra

observación sobre la factible detección de efectos cuánticos en fenómenos

macroscópicos.

55) Velocidad de Planetas y satélites

Solo por curiosidad extenderemos nuestros cálculos a otros cuerpos del sistema

solar.

Del “postulado” de cuantización del momento angular comprobamos que:

Llamaremos m1 la masa para la cual N = 1

Para el caso gravitacional:

Pero sabemos que:

Sabemos:

Es decir, podemos hallar la velocidad aproximada de un cuerpo orbitante en la

interacción gravitacional con solo conocer el entero asignado a su orbital. A

propósito, se notará, que, aprovechando la uniformidad de la repartición de los

orbitales, modificamos el número de orden de los planetas para que a Mercurio le

correspondiera el número 1. Esto se logra simplemente restando o sumando

enteros al exponente de .

En la tabla del numeral 54 listamos los orbitales y las velocidades reales y

calculadas con esta nueva formulación. En la tabal siguiente mostramos los

mismos valores para algunos satélites del sistema solar. También incluimos el

cálculo de la constante de estructura fina.

Satélite Ro x 106mts vo m/s N αcalculada vo calculada m/s

Luna 384.4 1020 16 126.63 901.25

Fobos 9.380 2140 13 131.29 2002.07

Deimos 23.460 1350 14 149.01 1534.38

Metis 127.969 31570 3 128.90 28637.09

Adrastea 128.971 31450 3 129.25 28637.09

Amaltea 181.300 26470 3 144.58 28637.09

Tebe 221.895 23920 4 129.50 21947.44

Io 421.600 17330 5 134.20 16820.50

Europa 670.900 13740 6 131.23 12890.00

Ganímedes 1070 10880 7 128.40 9879.82

Calisto 1883 8210 8 129.91 7571.89

Leda 11094 3380 11 137.76 3408.55

Himalia 11480 3330 11 139.54 3408.55

Lisitea 11720 3290 11 140.18 3408.55

Elara 11737 3290 11 140.48 3408.55

Ananke 21200 2440 12 142.96 2612.31

Carme 22600 2380 12 146.74 2612.31

Parsifae 23500 2330 12 148.49 2612.31

Sinope 23700 2270 12 146.76 2612.31

Pan 133.583 16890 5 137.01 16820.5

Atlas 137.640 16630 5 138.33 16820.5

Prometeo 139.350 16530 5 138.91 16820.5

Pandora 141.700 16400 5 139.73 16820.50

Epimeteo 151.422 15860 5 142.83 16820.50

Satélite Ro x 106mts vo m/s N αcalculada vo calculada m/s

Jano 151.472 15860 5 142.86 16820.50

Mimas 185.520 14320 6 127.94 12891.22

Encelado 238.020 12630 6 138.93 12891.22

Tetis 294.660 11350 7 124.92 9879.82

Telesto 294.660 11350 7 149.16 9879.82

Calipso 294.660 11350 7 149.16 9879.82

Dione 377.400 10030 7 135.67 9879.82

Helena 377.400 10030 7 135.67 9879.82

Valor medio = 136.96

El valor medio obtenido es todavía mas cercano al valor aceptado de α.

Confiamos en que medidas astronómicas mas precisas ajusten aún mas el

resultado al valor verdadero.

56) La deflexión o flexión de la luz cerca de cuerpos masivos

La famosa flexión de la luz por los campos gravitacionales tiene un origen cuántico

y los experimentos que se han realizado para medirla ponen de manifiesto su

naturaleza cuántica por una evidente “dispersión” cuántica.

En el numeral anterior llegamos a la expresión:

Como resultado de la cuantización del momento angular. Pero este resultado se

refiere a órbitas completas con valores medios Ro y vo. Para el rayo de luz que no

orbita completamente la masa M, y solo sufre la acción gravitacional cuando la

energía supera el mínimo de Planck, no podemos usar lo valores medios orbitales

sino los valores instantáneos deducidos originalmente. Entonces:

Multiplicando por c2 y dividiendo por la misma cantidad:

Pero mxc2 es la energía del fotón que se transforma en el proceso:

Dividimos ambos términos por R y sabiendo que el ángulo de flexión es:

,

Tenemos:

Los valores de N1 y N2 que corresponden al ángulo predicho por la Relatividad

General son 10 y 14 respectivamente. Pero numerosos y cuidadosos

experimentos han puesto de manifiesto las variaciones de N1 y N2 por la presencia

de una “dispersión cuantizada” en los resultados de las medidas. Examinemos

algunos de esos experimentos.

57) Flexión de la luz en eclipses

Se tomas fotos de una porción del firmamento oscurecido por el eclipse, y fotos de

la misma porción del cielo sin la presencia del sol y la luna. Evidentemente con

todas las precauciones para que exista correspondencia lo mas exacta posible

entre las fotos. Al superponer las dos fotos se percibe el corrimiento de la posición

de la estrella. Se aplica estadística y se llevan los valores, por regla de tres, a que

correspondan a una distancia igual al radio del sol.

El cálculo del ángulo desviado se hace con los valores

En la Relatividad General no hay lugar para la dispersión y el ángulo es:

Entonces tabulemos los resultados de algunos eclipses y los comparamos con los

teóricos.

Observatorio

Año LugarResultado

Relatividad

GeneralN1/N2

Resultado

Nuestro

Greenwich

1919 Brasil

1.98 1.7510 13/16 1.99097

0.93 1.7510 6/16 0.91891

Greenwich

1919 Príncipe1.61 1.7510 10/15 1.63362

Adelaide

1922 Australia1.77 1.7510 10/14 1.7503

Victoria

1922 Australia

1.75 1.7510 10/14 1.7503

1.42 1.7510 8/14 1.4002

2.16 1.7510 14/16 2.1441

Lick I

1922 Australia1.72 1.7510 10/14 1.7503

Lick II

1922 Australia1.82 1.7510 12/16 1.83782

Potsdam I

1929 Sumatra2.24 1.7510 13/14 2.2753

Observatorio

Año LugarResultado

Relatividad

GeneralN1/N2

Resultado

Nuestro

Stemberg

1936 URSS2.73 1.7510 18/16 2.756

Sendai

1936 Japón

2.13 1.7510 14/16 2.14412

1.28 1.7510 8/16 1.225

Yerkes I

1947 Brasil2.01 1.7510 10/12 2.0420

Yerkes II

1952 Sudan1.70 1.7510 9/13 1.69645

1.66 1.7510 11/16 1.68467

1973

Mauritania

Promedio = 1.80687

Evidentemente la estadística es enemiga de las dispersiones en muchos caso;

pero en otros casos ayuda a discernir entre las dispersiones al azar, debidas a

efectos erráticos, y dispersiones sistemáticas, que siguen algún patrón. Veamos sí

el valor promedio de las lecturas nos da alguna luz sobre nuestra propuesta. Para

nosotros la desviación de la luz obedece a la ley:

Con N1 y N2 enteros cercanos a 10 y 14 respectivamente.

Si hacemos el promedio aritmético de n valores de Δφ:

;

Obtenemos:

Haciendo el promedio de las 16 lecturas que se dieron en la tabla: Δφ = 1.806875

Como se aprecia, el resultado es sorprendente. Lamentamos no contar con mas

datos sobre eclipses pero parece que la dispersión cuántica, al no ser entendida,

ha desalentado a los investigadores que no tratan de medir la deflexión de la luz

estelar durante los eclipses, o, peor aún, “esconden” los resultados cuando no

coinciden con los valores predichos por la Relatividad,

Podemos de nuevo, poner a trabajar la estadística a favor de nuestra propuesta

examinando la media geométrica de las 16 lecturas de la tabla.

Este promedio está mucho más cercano al valor de la Relatividad que el valor de

la media aritmética. Pero nos interesa su aporte respecto a la dispersión cuántica.

El promedio en nuestra teoría sería:

Número racional como predica nuestra teoría

Por último, si la estadística es confiable, el valor más probable de la deflexión es

segundos de arco que sufre la luz al pasar tangente al sol es:

Que corresponde a un valor 1.004111 veces la predicción de Einstein.

58) Análisis estrella por estrella

Afortunadamente, antes de que cundiera el desaliento entre los que medían la

deflexión gravitacional durante los eclipses, se publicó excelente material

fotográfico de los resultados de bastantes eclipses. Con ese material hemos

logrado un estudio de la dispersión cuántica estrella por estrella.

Lo que hicimos fue utilizar las fotos publicadas, del tipo que ilustramos a

continuación, y, con ayuda de diversos artículos, desarrollar gráficas del ángulo de

deflexión de cada estrella contra su distancia al sol medida en radios solares

(distancia al sol / radio del sol).

La Relatividad General establece que el espacio alrededor del sol se curva,

curvando la trayectoria de la luz. Si ocurren explosiones solares y movimientos de

grandes masas, esas curvaturas se verán afectadas por ondas gravitacionales y la

deflexión sufrirá una dispersión errática.

Nuestra teoría alega que se producen intercambios energéticos entre los cuantos

del campo solar y los cuantos de los fotones que desvían la trayectoria de estos

últimos. Se demostró en los primeros numerales que existía correspondencia

matemática entre la Relatividad General, la Especial, las ecuaciones de Maxwell y

la ecuación de Serondinger, con nuestra teoría. Por eso es de esperar que los

resultados de la General, y de cualquiera de esas formulaciones, aparezcan como

casos particulares de esta formulación. Pero como la Relatividad no es cuantizada

y la teoría nuestra si, mientras el patrón esperado para la dispersión Relativista es

errático, y continuo, el patrón esperado en nuestra teoría es cuantizado y

predecible. Esa diferencia es lo que vamos a estudiar, aunque el análisis

estadístico del numeral anterior es contundente a favor de nuestra opinión.

Procedemos, pues, a graficas la deflexión Einsteniana:

,

Y nuestra deflexión:

´

que coincide con la Einsteniana para

1919 Greenwich. El famoso eclipse de Eddington. Mucho se ha dicho sobre

supuesta manipulación de datos, pero nuestro análisis muestra otra cosa. Es tan

sorprendente la coincidencia de los datos de Eddington con nuestra teoría que

hace prácticamente imposible que se hayan tergiversado para apoyar la

Relatividad.

1922 Lick I. Mejor preparados, los astrónomos tomaron datos de muchas estrellas.

Pero la dispersión de los datos fué enorme. Empezaron las desviaciones

negativas solo explicables, por fluctuaciones del campo debidas a ondas

gravitacionales.

1922 Lick II. Se trata de otra fotografía del mismo eclipse anterior. Por la escala

que tuvimos que usar para acomodar tantas estrellas y tantas deflexiones se

pierde algo de la espectacularidad del resultado; sin embargo, se puede observar

que la inmensa mayoría de las mediciones se acomodan con las deflexiones

cuánticas.

1922 Victoria. En esta observación se obtiene una muy buena confirmación de

nuestra teoría.

1929 Potsdam. La escala tan buena que permite este gráfico deja ver pequeñas

desviaciones de la teoría nuestra, muy explicables por razones de metrología.

1936 Sternberg. También vemos una muy buena coincidencia con la propuesta,

aunque la escala no se presta mucho.

1936 Sendai. Fue muy difícil descifrar la escala en que se presentaron los

resultados, pues los gráficos que consultamos parece que eran meramente

ilustrativos; pero de todas formas comprueba nuestra teoría.

1947 Yerkes. Obtuvimos muy buena coincidencia con este eclipse observado en

Brasil.

1952 Yerkes. Los datos originales presentaban dificultades de escala. Pero

observamos una excelente concordancia después de corregir algunas anomalías.

59) Deflexión gravitatoria de microondas

Sin tener que depender de los escasos eclipses, la medición de la deflexión

gravitatoria de las trayectorias de las radiaciones de microondas se convirtió

rápidamente en uno de los chequeos más espectaculares de la Relatividad.

la cantidad observada en estos experimentos es el desfase entre la onda desviada

y su posición, simulada o calculada, si no existiera desviación. Las fuentes de

microondas iniciales eran objetos astronómicos, pero, incluso, se emplean ahora

satélites artificiales que orbitan al sol de modo que queden “detrás” de este en

algunas ocasiones.

Para el experimento pionero de 1974, que usó una fuente astronómica,

encontramos que la desviación de las ondas, según la Relatividad, se podía

expresar con mucha exactitud con la función.

LO QUE ESTA ENTE LAS GRAFICAS

PAGINA 115-116

Desfase = ConstanteΔRelativistaCos (wt)

Con w una constante que depende de la velocidad de la fuente respecto al sol, y t,

el tiempo medido desde la máxima deflexión en períodos de seis minutos.

Reemplazamos en la expresión anterior la desviación relativista por nuestra propia

expresión:

Donde las variables tienen la misma significación que en el estudio de la deflexión

de la luz de las estrellas.

Entonces ya podemos comprobar si, como nosotros sostenemos, la desviación de

las medidas no depende tanto de los errores de experimentadores y de equipo,

pues siempre confiamos en la extraordinaria pericia de los científicos modernos,

sino del fenómeno cuántico consistente en una variación del número de cuantos

intercambiados entre el campo del sol y los fotones de la radiación. Por lo tanto,

las deflexiones dispersas deben coincidir con incrementos o decrementos enteros

del entero N1. N1 es el número que corresponde al caso Relativista, para el que:

Ahora, N2 depende de la energía de los fotones y decrece cuando aumenta dicha

energía. Para N2 pequeño, un cambio en N1 significa mas cambio en la energía;

para N2 grande, en cambio, el mismo incremento o decremento en N1 implica un

menor cambio energético. Si en los eclipses, para la luz visible, el N2 coincidió con

14, para variaciones de N1 respecto a 10, para las microondas, con fotones

100000 veces menos energéticos, creemos que N2 debe corresponde a 28 con

variaciones de N1 alrededor de 20. Como los autores de este extraordinario

experimento publicaron sus resultados puntuales, es decir, los resultados medición

por medición, podemos confrontar nuestra teoría.

Abril 7 1974. Este experimento se deja expresar bastante bien por la expresión:

Como solo nos interesa comparar resultados, no pondremos cuidado en detallar

como se encuentra la ecuación anterior y que unidades usamos. Para obtener la

familia de curvas que reflejen la variación cuántica escribimos:

En las gráficas siguientes procedemos a confrontar estas curvas con los

resultados experimentales. La idea es que la mayoría de los datos debe quedar

sobre o muy cerca de las curvas. Como N1 es el parámetro variable y el caso

promedio corresponde a N1 = 20, la versión final de la función es:

El resultado global parece contundente y solo algunas mediciones se apartan de la

teoría. En conclusión podemos asegurar que este tipo de experimentos sirven,

entre otras cosas, para detectar ondas gravitacionales emitidas por el sol. En

efecto, esas fluctuaciones en las medidas son en realidad saltos de niveles

cuánticos producidos por fluctuaciones gravitacionales.

En los siguientes días los experimentos repitieron sus mediciones y nosotros las

sometimos a chequeos idénticos.

PAGINA 123

Abril 8, 1974. Los experimentadores que efectuaron las mediciones, Fomalot y

Sramek, detectaron, sin caer en cuenta, una serie de perturbaciones

gravitacionales, tipo amortiguado, claramente discernibles por nuestra teoría. La

función que nos permitió modelar el comportamiento de los resultados y sus

fluctuaciones fue:

Con N1 = 20 para el caso Einsteniano, y variaciones cuánticas dadas por

variaciones enteras de N1 alrededor de este valor.

Abril 9, 1974. Un análisis a vuelo de pájaro nos muestra un día de poca actividad

solar con generación de pequeñas ondas gravitacionales, lo que hace, que las

variaciones en las medidas se centren más en el comportamiento promedio que

corresponde a:

Las variaciones, incluso, se acomodan a las mismas franjas señaladas por la

teoría nuestra, mostrándose mas grandes en donde mas separadas están las

curvas teóricas. Nótese como se van “estrechando” a medida que se juntan esas

curvas teóricas.

Abril 12, 1974. Invertimos la presentación de los datos originales, tal como fueron

presentados por los autores, para acomodarlos al patrón de los anteriores. De

modo que quienes consulten el trabajo de Fomalot y Sramek encontrarán estas

gráficas invertidas. Utilizamos la función:

60) Adelanto del perihelio de mercurio.

Hagamos una recapitulación. Para nosotros, el espacio es un conjunto de cuantos.

Los cuerpos masivos alcanzan a ordenar los cuantos que los rodean hasta una

distancia dada por el principio de mínima acción. Más allá de esa distancia la

influencia del cuerpo masivo no alcanza el nivel energético para actuar sobre los

cuantos. Cuando otro cuerpo se acerca al primero, atravesando el “mar de

cuantos” experimenta la fuerza de ese primer cuerpo cuando alcanza el límite de

influencia y sufre desviaciones cuánticas de su trayectoria. Estas desviaciones se

miden por el ángulo:

Donde: G: constante de gravitación universal.

C: velocidad de la luz en el vacío.

M: masa del cuerpo que produce el desvío.

R: distancia del cuerpo que produce el desvío.

N1/N2: número racional que depende de la cantidad de cuantos que

interactúan.

M

Cuantos no ordenados

Trayectoria no desviada

Vv

m sale de la zona de influencia

m queda en órbita

Límite de influencia

N∆φ

N2, depende del número de cuantos de la partícula que se deflecta y N1, del

número de cuantos de la partícula que produce el campo.

Ahora estudiemos que ocurre cuando del cuerpo m queda orbitando al cuerpo M.

El ángulo de deflexión total en una vuelta debe ser aproximadamente 2πradianes.

Reemplazando :

Debemos tomar un valor promedio para 1/R:

Ahora, aceptando órbitas casi

elípticas tenemos:

Excentricidad =

Y como:

aa

aRmaxRmin

θb

Despejamos:

Para Mercurio, y tomando N1 y N2 con valores que coinciden con la deflexión de la

luz ya estudiada:

Con este número tenemos una aproximación al valor de desfase:

Convertidos estos radianes/ órbita a segundos de arco en cien años:

Utilizando el dato experimental para el avance del perihelio de mercurio por

centuria 43.5’’

En lugar de un entero encontramos un número racional. Tenemos, entonces, que

abandonar la idea de un número entero de desviaciones cuánticas por órbita para

completar por adelanto del perihelio, y aceptar un número entero de desviaciones

en varias órbitas. O sea, decimos que se presentan 33 desviaciones cuánticas en

7 vueltas completas de la órbita. Luego, el adelanto promedio por revolución

queda:

Es interesante caer en cuenta que 7x7 revoluciones de mercurio corresponden a:

Los que nos permite sospechar una relación entre el adelanto del perihelio de

mercurio y el periodo famoso de la actividad solar.

Ahora convirtamos el adelanto de radianes/revolución a segundos de

arco/centuria:

Como no existe diferencia con la expresión relativista no tenemos necesidad de

comparar resultados con los de esa teoría, y solo comprobaremos los nuestros

con los valores experimentales.

Planeta Mercurio Venus Tierra Marte Asteroides Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

a, semieje

mayor x 109

(m)

57.91 108.2 149.6 227.9 413.7 778.3 1427.0 2871.0 4497.1 5913.5

T (dias) 87.97 224.7 365.26 686.98 1681.3 4332.7 10760 30685 60082 90767

Excentricidad 0.206 0.007 0.017 0.093 0.097 0.048 0.056 0.046 0.010 0.248

∆φ exp. 42.98 8.54 3.80 1.34

∆φ calc.

(arcosegundo/siglo)42.99 8.63 3.84 1.35 0.3044 0.0623 0.0137 0.0024 0.0008 0.0004

La coincidencia tan perfecta entre teorías y datos experimentales ahora no nos

causa extrañeza, dada la enorme difusión de la exactitud de las predicciones

relativistas en este campo, predicciones que numéricamente son iguales a las

nuestras. Volveremos a tratar este adelanto de las órbitas cuando someramente

nos refiramos a los pulsares y las estrellas binarias. Por el momento, saltemos a

las órbitas que los electrones realizan alrededor de los núcleos atómicos.

61) Adelanto de la órbita en los átomos.

Fue Sommerfeld quien encontró esta precisión. En su intercambio epistolar

Einstein y el mismo Sommerfeld comentaron los dos adelantos orbitales per,

aparentemente, no vieron nunguna evidencia del origen similar de ambos.

La expresión de Sommerfeld para el adelanto órbital es:

Donde:

Resulta que, a pesar de la aparente discrepancia, esta expresión y la Einsteniana son casi

idénticas y solo se diferencian por un factor de G. Veamos como se aplica al caso de los

planetas.

Planeta

Velocidad

máxima

(m/s) rad/rev arcosegundo/centuria

Mercurio 48920 1-1.2748 x10-9 5.020209 x10-7 42.98

Venus 35025 1-6.823 x10-9 2.572964 x10-7 8.6269

Tierra 29790 1-5.103 x10-9 1.861205 x10-7 3.8390

Marte 24235 1-3.239 x10-9 1.23163 x10-7 1.3507

Asteroides 17900 1-1.779 x10-9 6.721752 x10-8 0.3012

Júpiter 13080 1-9.5 x10-10 3.588955 x10-8 0.0624

Saturno 9672 1-5.2 x10-10 1.960354 x10-8 0.0137

Urano 6835 1-2.6 x10-10 9.801769 x10-9 0.0024

Neptuno 5478 1-1.67 x10-106.2957516

x10-90.00079

Plutón 4749 1-1.25 x10-104.7123889

x10-90.00039

Comparando estos resultados con los relativistas llegamos a concluir que son los

mismos, y, por tanto, basta multiplicar por G la expresión de Sommerfeld, para

obtener la de Einstein. Este factor entero es otro argumento a favor de la

naturaleza cuántica por adelanto. Si en el caso gravitacional se presentaban 33

desviaciones en 7 órbitas completas, en el eléctrico se presentan 11 desviaciones

en 14 órbitas completas.

Posteriormente indagaremos si en los famosos cuásares binarios la precesión

también se puede enfocar como un proceso cuántico.

62) Curvatura del espacio y adelanto del perihelio.

Considerar el factor de G como indicio de una naturaleza diferente del origen de

los dos adelantos del perihelio es problemático, teniendo en cuenta que, las

expresiones para estos adelantos pueden quedar iguales cambiando el número de

cargas eléctricas interactuantes. En efecto, consideraremos el caso de dos órbitas,

una gravitacional y otra eléctrica, ambas con excentricidad despreciable, y

calculemos el arco correspondiente al adelanto del perihelio por revolución.

Ahora si se cumple:

Con z=6 tendríamos exactamente el

mismo arco de avance por revolución.

Es decir, con una carga central de 6 coulombios tendremos exactamente la

misma expresión para el avance del perihelio en el caso eléctrico y en el caso

gravitacional. Como curiosidad calculemos ese ΔS, el arco de avance por

revolución, en ambos casos:

Es curioso constatar que el arco de avance por revolución es un invariante para un

sistema y solo depende de la masa central. Por ejemplo, para el sistema solar:

m

m Rg

∆φg ∆Sg

Vg

m

ze Re

∆φe∆Se

Ve

e

Para cualquier cuerpo orbitante del

sistema solar en m/s.

Incluso podemos escribir ese avance de una forma bastante singular:

Como los 43’’ de mercurio están tan arraigados, desafortunadamente, en la

imaginería popular, calculemos por este lado:

Teniendo en cuenta la excentricidad de la órbita de mercurio que no es

despreciable:

Teniendo en cuenta la excentricidad de la órbita de mercurio que no es

despreciable:

Abandonemos este tema seguros que aún falta mucho por decir sobre estos

adelantos del perihelio, tanto eléctricos como relativistas. Sin embargo, no

podemos esperar para informar sobre una curiosidad muy interesante acerca del

posible origen común, y; por consiguiente acerca de la identidad de la explicación

física de ambos adelantos del perihelio.

63) Posibles paralelismos formales en las expresiones del adelanto del perihelio

relativista y del adelanto del perihelio eléctrico.

En el numeral anterior logramos expresar el adelanto del perihelio relativista de

una trayectoria con poca excentricidad, medido como el arco adelantado y no

como el correspondiente ángulo (Figura), con la expresión:

Para el adelanto, en el caso de la órbita

tipo Sommerfeld, encontramos:

La diferencia de expresiones aún puede dar cabida a la consabida frase: “Se trata

de fenómenos sustancialmente distintos”, que se lee en tantos textos relativistas.

Pero, multiplicando por ℮, la carga elemental, numerador y denominador dela

ecuación anterior, obtenemos:

Aunque el paralelismo ahora es contundente, falta explicar el inocente G de la

expresión relativista. Para ello llevemos las expresiones a una forma conceptual

∆φ

Inicio órbita

Final órbita

∆Sg

equivalente. Dividamos en el caso gravitacional por el volumen imaginando unas

masas “diluidas” para hallar el cociente de las densidades.

Como volumen escojamos el volumen de Plank:

Y tenemos:

En el casi eléctrico, para obtener una densidad de masa, debemos recurrir a la

densidad de energía almacenada en el campo eléctrico:

Por lo tanto:

De modo que podemos escribir en definitiva:

En definitiva, para nosotros no hay ninguna diferencia entre los fenómenos

gravitatorios y eléctricos, a no se de las diferencias que se infieren naturalmente

de los mecanismos conocidos de estas interacciones. En el caso gravitatorio, un

cuerpo que recibe energía de un campo gravitacional se ve impulsado por esa

energía a través de un entorno que a su vez está sujeto al mismo campo

gravitatorio, y recibe energía de éste en la misma proporción que el cuerpo.

En el casi eléctrico, si el entorno no tiene carga eléctrica, el cuerpo electrizado

recibe energía del campo y se mueve por un entorno que no recibe energía de ese

campo.

Esa característica den entorno: corresponde a la misma fuerza que la partícula,

hace posible la aproximación geométrica; pero esta aproximación geométrica

queda desvirtuada por muchos hechos y consideraciones. Hechos y

consideraciones que despiertan mucha suspicacia y que omitiremos en

consecuencia.

64) Energía de enlace por nucleón.

El objeto de nuestras últimas pesquisas ha sido el comportamiento orbital. Por eso

no es extraño que miremos ahora el núcleo atómico que algunos modelos

suponen conjuntos de nucleones moviéndose en órbitas regulares alrededor de un

centro en común.

Para que las partículas se muevan en

cualquier medio requieren energía.

Esa energía se refleja en la

expresión:

Es decir, para que un partícula de masa en reposo m0, no se mueva a la velocidad

v, necesita una energía mc2-m0c2. Esa energía le permite “reptar” entre sus

compañeros de núcleo.

Como desconocemos el mecanismo verdadero que rige este comportamiento, y

solo sospechamos que debe asemejarse al movimiento en superconductores o en

superfluidos, asumimos que es del tipo de los movimientos orbitales

gravitacionales y eléctricos que ya estudiamos. Estos movimientos se modelan por

ecuaciones como las siguientes:

Partícula

ÓrbitaNúcleo

Para el caso gravitacional y

para el caso eléctrico.

Aceptando el modelo de Bohr podemos escribir la energía de enlace de un

nucleón con una expresión similar a la que expresa la energía de enlace de un

electrón al núcleo:

Donde faltaría discernir tanto la masa como la velocidad. Para esta última

asumimos que es una combinación de las tipos gravitacional y eléctrico.

Escogemos:

La energía de enlace quedaría:

De modo que obtenemos reemplazando las expresiones de las velocidades:

Lo ideal para lograr representar el efecto diferencial de protones y neutrones;

pero, por el momento, solo llegamos a una relación de la energía con el número

total de partículas en el núcleo:

Para simplificar la expresión ensayamos para varios valores de las masas m y M y

para el parámetro a, llegando a la conclusión que una forma plausible de la

ecuación era:

Con cuatro valores experimentales calculamos tanto el valor constante como las

incógnitas x, y, y z, obteniendo:

Para números másicos, A, pequeños, se obtienen discrepancias significativas con

las energías de enlace verdaderas. Esto se debe a que no tomamos en cuenta el

efecto diferencial de protones y neutrones. Sin embargo, nuestro propósito por el

momento es obtener un comportamiento global de esta energía de enlace. En

numerales posteriores desarrollaremos nuestra usual contrastación con los

resultados experimentales.

65) Radio nuclear y densidad nuclear.

De acuerdo al modelo tipo Bohr que

estamos siguiendo, la energía de

enlace corresponde a un nucleón

moviéndose bajo una fuerza central.

La constante de fuerza debe estar relacionada con el número de nucleones totales

A:

Expresión donde K y N se deben evaluar con la energía de enlace:

Tendríamos:

Sin embargo, una contrastación con los radios nucleares experimentales favorece

enormemente a una expresión como la siguiente:

Nucleón

V

Fuerza central

Centro

Lo que nos dice que la fuerza central en de naturaleza más complicada que la

asumida hasta el momento. Precisamente, aceptando que la expresión para la

radio, abalada por la experimentación, tenemos:

Por último, calculemos la densidad de materia nuclear:

De esta última expresión vemos que la densidad de la materia nuclear no es

precisamente una constante, como asumen muchos modelos nucleares.

66) Valores numéricos, tablas y gráficos.

Recordando que A representa el número de nucleones veamos como quedan las

expresiones de las cantidades nucleares que vimos en el numeral anterior:

Con estos valores procedimos a la comparación con los resultados experimentales

obtenidos de tantas fuentes que las omitimos como es nuestra costumbre. Pero

todos esos valores corresponden a valores publicados en internet fácilmente

localizables por los interesados. De algunos isótopos encontramos las energías de

ligadura mas no encontramos los radios nucleares. Optamos por no omitir ninguno

llenando los espacios vacios ya sea con informaciones de medidas dispersas o

referencias de terceras, o interpolando libremente, y, en el caso de los radios,

utilizando la conocidísima fórmula R= R0A1/3. En este último caso lo que

deseábamos era comparar nuestros resultados con este modelo tan socorrido.

Para quienes creen que incluimos un inmensa cantidad de datos “innecesarios” les

hacemos caer en cuenta que estamos recibiendo constantemente información

sobre novedosos experimentos con multitud de isótopos nuevos y las tablas nos

sirven para una consulta rápida y ágil sobre la validez de nuestros cálculos.

67) Más información sobre la cuantización.

Si la estructura del universo es granular y los procesos se dan a saltos, es natural

que los números enteros estén presentes en toda cuantificación exacta, tanto de

sustancias como delos mismos procesos que las transforman. Toda cantidad de

sustancia, sea cual sea, es un número entero de “cuantos” de esa sustancia y todo

macroproceso es un número entero de microprocesos de transformación de

cuantos.

En el numeral 23 culminamos un desarrollo que nos condujo a señalar como

posibles cuantos de longitud y tiempo a las cantidades.

En realidad, obtuvimos un tiempo mínimo algo mayor:

Pero a falta de comprobaciones contundentes, preferimos buscar la simetría y lo

reducimos al valor anterior. Con esta escogencia respetamos la relación sencilla:

Precisamente, terminamos el numeral 23 dejando en veremos el carácter del

número entero de:

Para estos análisis nos tropezamos con la necesidad de incertidumbre en las

medidas físicas y en los cambios de definición de algunas unidades y patrones

como el reciente remezón en los patrones del metro y el segundo. Sin embargo,

después de algunos cálculos con varias posibilidades nos inclinamos por:

Reconocemos que esta interpretación es meramente transitoria, pues las

mediciones actuales no cubren todavía el número suficiente de dígitos, de modo

que el número anterior puede diferir del verdadero en unas cuantas unidades.

Pero sabemos que una pequeña variación de unas escasas unidades se traduce

en una descomposición en factores primos muy distinta a la del número inicial.

Ahora, en la naturaleza la descomposición en factores primos tiene una

importancia primordial. Precisamente, en los numerales siguientes exploraremos

algo de ese aspecto fascinante de la realidad física.

68) Elementos cuánticos de las órbitas.

Así como hicimos en el numeral 52,

partimos de las expresiones que

determinan el comportamiento de las

órbitas estables en cualquier tipo de

fuerza central.∆SV0 m

M

Varias vueltas sin cerrarse la trayectoria

Donde:

m: masa orbitante

h:constante de Planck

A: expresión para la fuerza central. Solo hemos trabajado con:

G es una constante de Newton y ℮ la carga elemental.

ΔS: es un elemento de órbita en el que ocurren Nt transformaciones de energía y

abarca un miniciclo repetitivo de estos procesos.

Nt: número de transformaciones de energía en ΔS y se repite en forma repetitiva

en los demás ΔS de la órbita.

Entendemos por transformaciones de energía simplemente la absorción o emisión

de fotones del medio por el cuerpo orbitante, intercambio fotónico que se traduce

en la fuerza que mantiene el movimiento orbital.

Dividamos las expresiones de velocidad y radio:

183

Multiplicamos por mR02 para obtener el momento angular:

Ahora, la trayectoria del móvil no tiene por que cerrarse después de una sola

vuelta. Si llamamos N0 el número de las órbitas o vueltas que requiere una

trayectoria cerrada con Ns recorridas iguales a ΔS:

De modo que el “momento angular” nos queda:

Expresión que explica el principio de cuantificación de Sommerfeld – Wilson, que

se escribe:

La expresión de ese principio para valores orbitales medios es:

184

Nuestros V0 y R0 son simplemente los mismos valores medios, pero promediados

en forma diferente a los valores medios para órbitas atómicas y solares. Si

dividimos las dos expresiones del principio obtenemos:

Invocando la simetría aceptamos:

Podemos, entonces, esperar resultados numéricos que sigan el tipo:

Pasemos a las comprobaciones utilizando el conocido átomo de Bohr.

El radio de la órbita más cercana al núcleo es el “Radio de Bohr”:

Con este valor medio obtenemos:

185

Donde D es el entero mencionado en el numeral anterior.

Para el mismo átomo la Vmedia es C/α:

Y por lo tanto:

Resultado aparentemente desconsolador para nuestra teoría. Pero basta elevarlo

al cuadrado para que emerja la hermosura del diseño del mundo:

A partir de estos valores cuánticos podemos volver a los valores usuales:

186

Y de la cuantización del momento angular tendremos:

En estos valores numéricos solo existe duda sobre los últimos dígitos; pero, como

ya lo advertimos, estos pocos dígitos pueden afectar mucho las expresiones

fraccionales. Mientras se alcanzan mediciones más precisas, obtengamos la

información que podamos de estas relaciones.

69) Constante de Rydberg y distancia de Rydberg.

Esta constante nos proporciona información sobre la longitud de onda, y, por lo

tanto, de la energía, emitida por los electrones atómicos al saltar entre órbitas

estables en forma de fotones. Al inverso de la constante de Rydberg lo

llamaremos “distancia de Rydberg” y lo designaremos con las letras Ry.

187

Utilizando la expresión obtenida para Rbohr en el numeral anterior, tendremos:

Valor supremamente cercano al aceptado hasta el momento para esta valiosa

constante.

Es importante caer en cuenta que las expresiones que estamos trabajando no

cumplen “aparentemente” las condiciones de dimensionalidad; pero ya sabemos

que energía, tiempo y espacio son categorías íntimamente ligadas y se relacionan

por transformaciones tan simples que se traducen en constantes puramente

numéricas o geométricas. Estudiemos el caso gravitacional para ver si ocurren

estos mismos entrelazamientos espacios temporales.

70) Elementos de órbitas gravitacionales.

Se trata del mismo análisis del numeral 68, pero enfocado a la gravitación.

Todas las órbitas estables están regidas por:

188

Donde

Pero esta cantidad no viene a interesar mucho como se verá:

Multiplicamos por para obtener el “momento angular” que es lo mismo que el

cambio de cuantos de acción en una órbita:

Como la trayectoria puede comprender varias órbitas antes de cerrarse, llamamos

No el número de órbitas que contiene en recorrido cerrado L y cíclico, claro está

que contiene un número Ns de recorridos iguales a Ns.

El momento angular queda entonces:

189

Pero ésta cantidad es un número entero de cuantos de acción:

Como en el caso del electrón, resolvemos la discrepancia escribiendo:

Como se puede observar no existe diferencia “formal” entre el caso gravitacional y

el eléctrico. Incluso, si imaginamos que m, la masa que recorre la órbita, es igual a

la del electrón, tendríamos que admitir que R0 y v0 deben también ser equivalentes

a la R0 y v0 del átomo. Entonces, admitimos que:

Y tendremos:

No resulta difícil comprobar que para el sistema solar, N0 = D, quedando en

definitiva:

Comprobamos la ecuación última con la tabla de radios orbitales medidos.

190

PlanetaRadio orbital x1010 m

Medida CalculadaRbohr*D*

Mercurio 5,7910 5,791089 10,80043673x1010

Venus 10,820 10,82067 10,80043673x1010

Tierra 14,960 14,96065 10,80043673x1010

Marte 22,794 22,79410 10,80043673x1010

Ceres 41,438 41,43801 10,80043673x1010

Júpiter 77,833 77,78330 10,80043673x1010

Saturno 142,940 142,9401 10,80043673x1010

Urano 287,099 287,09901 10,80043673x1010

Neptuno 450,430 450,43000 10,80043673x1010

Plutón 591,352 591,35200 10,80043673x1010

191

Poca cosa hemos obtenido de estas pesquisas, excepto la extraordinaria

coincidencia numérica en el caso de la órbita del planeta Venus. Encontramos de

nuevo la tendencia a estructuras estables, que obedecen al intercambio cuántico

de energías y siguen leyes simples y estrictas, pero que son muy susceptibles a

perturbaciones externas y fácilmente pierden la situación de equilibrio.

71) Más comparaciones entre elementos gravitacionales y elementos atómicos.

De la discusión anterior, se desprende que la cuantización del momento angular

nos lleva no solo a:

Sino además a aceptar que necesariamente:

En la tabla siguiente exploramos esta relación.

Planeta Velocidad media en m/s (c/α)

Mercurio 47873 47872,963 2187691,254

Venus 35021 35020,83

Tierra 29786 29785,5

192

Marte 24131 24131,1

Ceres 17900 17900,3

Júpiter 13070 13069,5

Saturno 9672 9672,9

Urano 6835 6834,6

Neptuno 5478 5477,9

Plutón 4749 4747,8

Y como el radio medio y la velocidad media, están relacionados en forma similar el

periodo orbital gravitatorio tendrá esta misma relación con el periodo orbital del

átomo de Bohr.

Salta a la vista que podemos incluir el número entero D en la expresión, tal como

se incluía en la expresión del radio:

193

Comparemos resultados en la tabla siguiente.

Planeta Periodo orbital en días 3,5902229

Mercurio 87,968877 87,96819 3,5902229

Venus 224,68022 224,68026 3,5902229

Tierra 365,24605 365,24605 3,5902229

Marte 686,92821 686,92827 3,5902229

Ceres 1683,4952 1683,49521 3,5902229

Júpiter 4330,6622 4330,6622 3,5902229

Saturno 10747,405 10747,4050 3,5902229

Urano 30546,347 30546,347 3,5902229

Neptuno 59795,899 59795,8990 3,5902229

194

Plutón 90554,498 90554,498 3,5902229

Nuestro propósito está claro, es hallar una ley de formación para éstos números

racionales. Desafortunadamente nuestro éxito es muy limitado hasta ahora y nos

contentamos con utilizar la ley de Kepler para relacionar los racionales entre sí,

tomando como base los racionales más sencillos.

Planeta

días

Mercuri

o

4788

647872,96 5,791008493x1010 87,9691

Venus2562

635020,83 1,082136239x1011 224,7096

Tierra1853

729785,56 1,495971471x1011 365,2445

Marte1216

724131,14 2,279183305x1011 686,8590

Ceres 6695 17900,34 4,142019906x1011 1682,7378

Júpiter 3569 13069,51 7,769914057x1011 4323,3763

Saturno 1955 9672,96 1,418456433x1012 10664,0633

Urano 976 6834,56 2,841272876x1012 30232,087

Neptun

o627 5477,97 4,50430000x1012 58713,98

Plutón 471 4742,80 5,887648253x1012 90180,263

195

72) Forma definitiva de las relaciones entre los elementos orbitales gravitacionales

y los elementos atómicos.

La relación entre la velocidad orbital y la velocidad del electrón mas interno del

átomo de Bohr es bastante sugerente:

Veamos si la relación entre los radios también adopta una forma especial. Hemos

obtenido:

Consultando la forma usual de la ley de Kepler, concluimos que la constante

anterior debe depender de la masa del sol, es decir:

Un rápido y sencillo cálculo nos permite hallar la constante y la masa desconocida.

La relación final nos queda bastante sorprendente:

De modo que volviendo a la ley usual de Kepler:

196

El mismo camino nos conduce al periodo orbital:

Resumiendo los últimos avances tendremos para la gravitación:

= Parámetro que depende de la órbita.

Reemplazando los conocidos valores del átomo de Bohr obtenemos:

197

Si denominamos y , tendremos:

De nuestra amiga, la luna, averiguaremos que se traslada alrededor de la Tierra a

1023,055 m/s. Podemos hallar el parámetro

Como se demora 27 días y unos 20 minutos en una órbita, calculamos:

198

Tenemos así un ejemplo de cómo abordaremos otros sistemas gravitacionales,

tales como las estrellas binarias. Para averiguar como en el caso de la luna, la

separación y la masa de las componentes del par estelar.

73) La extraña masa X: mx

En las órbitas estables gravitacionales hemos encontrado que existe una relación

directa entre el radio promedio y la velocidad promedia del cuerpo orbitante y el

radio y la velocidad del electrón que ocupa el primer orbital del átomo de Bohr.

Esta relación incluye una masa, mx, cuyo valor, 37946.28834 Kgs, no corresponde

a ningún ente físico conocido. Sin embargo su expresión como:

Nos trae inmediatamente a consideración la famosa teoría de Mach acerca del

origen de la inercia como atracción de la masa del universo entero. Incluso, si

usamos la densidad fotónica y la multiplicamos por el volumen del universo

obtenemos una masa cercana a mx, lo que parece indicar una posible conexión

entre la gravedad y los gradientes de densidad… pero hemos fallado en encontrar

la expresión matemática correspondiente. Nos inclinamos, entonces, a considerar

esta masa como un indicativo de alguna escala en el nivel de organización de los

cuantos para manejar la fuerza que los hace reaccionar. Es decir, de la

organización que convierte la fuerza de gravedad en la fuerza eléctrica.

En busca de esta escala comparamos esa masa inquietante con otras masas

conocidas y encontramos muy sugerente como se relaciona con la masa del

protón. Veamos algunas de esas relaciones:

199

La cantidad (3002/3000)1/25 se puede tomar como una corrección debida

simplemente a problemas de medición que afectan las últimas cifras obtenidas en

los diversos experimentos, o una corrección pequeñísima que hace la naturaleza

en sus redondeos cuánticos. Escribámosla para tener idea de su significancia:

Para determinar cual corrección usar debemos esperar que los científicos

aumenten la precisión y exactitud de las medidas de las constantes universales.

La relación numérica entre mp y mx se ven con más contundencia en las

expresiones:

Pero la relación que posiblemente nos permita dilucidar cómo se forman las

partículas estables de la naturaleza es:

200

Como es de inmediata percepción, tan pequeña discrepancia se puede deber

únicamente a errores de medida… Sin embargo, la cuestión más importante es

saber por qué una fuerza es un número tan sencillo, como si las unidades con que

se mide esa fuerza hubieran sido escogidas con ese propósito.

74) Fin de la primera parte

Poco a poco empezamos a comprender el extraordinario orden implicado en el

Universo. La cuantización o granulación impone su valor a muchas de las

constantes que se consideran meramente “numéricas”. Por ejemplo, el valor π

esta asociado con el hecho de que no existen círculos perfectos sino trayectorias

poligonales, cuyo lado es la longitud de Planck. Y como esas trayectorias son

recorridas en saltos cuya duración es el tiempo de Planck, las velocidades y otros

parámetros orbitales quedan impregnados del valor numérico π.

Cuando el hombre comienza a medir cantidades que limitan con lo cuántico, poco

a poco redefine sus unidades acomodándolas a ese mundo minúsculo; entonces

aparecen manifiestos los cocientes de números enteros que representan las

pequeñas transformaciones cuánticas. Por lo tanto, una cuidadosa manipulación

numérica y unas medidas escrupulosas y rigurosas nos conducen a formulas

extraordinarias donde todo aparece corresponder de tal manera que hasta se

pierde la identidad dimensional.

También juega un papel importante en este panorama racional y exacto el que el

“principio de incertidumbre” sea, al fin y al cabo, una falacia sin ningún trasfondo

físico ni filosófico.

201