Bosquejo Capítulo : F U N C I O N E SF U N C I O N E S

• 2.1 ¿Que es función?

• 2.2 Gráficas de funciones

• 2.3 Funciones crecientes y decrecientes

• 2.4 Transformaciones de funciones

• 2.5 Funciones cuadráticas

• 2.6 Modelado de funciones

• 2.7 Combinación de funciones

• 2.8 Funciones uno a uno y su inversa

2© copywriter

¿Qué es una función?¿Qué es una función?

• Una función es una regla. Para representar funciones, ha esta se le asignan letras, f, g, hf, g, h.

• Una función ff,es una que asigna a cada elemento xx en un conjunto A, exactamente, llamado f(x)f(x), en conjunto B.

3© copywriter

… … funciónfunción

• Cuando se escribe f(2)f(2), se entiende “aplicar la regla f al número 2”. Al aplicar la regla se obtiene f(2) = 2f(2) = 22 2 = 4= 4.

• De manera similar, f(3)f(3) = 32 = 9.

• Otra forma, f(4) f(4) = 42 = 16.

• En general; f(x) = xf(x) = x22.

4© copywriter

La función• El área de un círculo es una función de su radio.• En número de bacterias en un cultivo es una función del

tiempo.• El peso de un astronauta es una función de su elevación.• El precio de un artículo es una función de la demanda de

ese artículo.• La altura es una función de la edad.• La temperatura es una función de la fecha.• El costo de enviar por correo un paquete es una función

del peso.

5© copywriter

Ilustración de una función

a

x

)(

)(

af

xf

BBAA

ff

Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que se relacionan.flecha indica que se relacionan.

6© copywriter

Función cuadrática

• La función cuadrática asigna a cada número real xx su cuadrado xx22..

– Evaluar f(3), f(-2) y .

– Hallar el dominio y el rango de f.

– Trazar el diágrama de máquina para f.

xf

7© copywriter

Evaluar :Evaluar : Dominio y Rango:Dominio y Rango:

8

5)5()5(

4)2()2(

93(3)

2

2

2

f

f

f El dominio de ff es el conjunto R de todos los números reales. El rango consiste en los valores de f(x)f(x), es decir, los números de la forma x2. Como x2 ≥ 0 para todos los números reales xx, se puede ver que el rango de f es:

,00/ yy

Diágrama de máquina:Diágrama de máquina:

4)2(2

933

2

2

2

xx

© copywriter

Evaluación de una funciónEvaluación de una función• Sea f(x) = 3x2 + x – 5. Evalúe cada valor de la

función dado.

9

5(__)(__)3)2() 2fa -2 -2 5-2 -2 5

5(__)(__)3)0() 2fb 0 0 - 5 0 0 - 5

5(__)(__)3)4() 2fc 4 4 47 4 4 47

5(__)(__)32

1) 2fd ½ ½ -15/4 ½ ½ -15/4

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Función definida por partesFunción definida por partes

10

Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como;

Determine C(100), C(400), C(480).

Solución:

)400(2.039

39)(

xxC

400

4000

x

xsi

si

© copywriter

• Solución:Una función es una regla.Tarifa 1:

Tarifa 2:

Tarifa 3:

11

)400(2.039)100( xC

39)400400(2.039)100( CYa que 100 ≤ 400, se tiene C(100) = 39

)400(2.039)400( xCYa que 400 ≤ 400, se tiene C(400) = 39

39)400400(2.039)400( C

)400(2.039)480( xCYa que 480 > 400, se tiene C(480) = 55

55)400480(2.039)480( C

)400(2.039

39)(

xxC

400

4000

x

xsi

si

© copywriter

Conclusión

• El plan tiene un cargo mensual de:

• $39.00 por 100 minutos.

• $39.00 por 400 minutos.

• $55.00 por 480 minutos.

12© copywriter

EjerciciosEjercicios

13

Sección 2.1Sección 2.1

Página 155Página 155

Ejercicios: 1 – 57Ejercicios: 1 – 57En el salón: 13, 16, 18, 20, En el salón: 13, 16, 18, 20, 22, 2422, 24

Aplicación: 60, 62 y 64Aplicación: 60, 62 y 64 gráficas

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14

2.22.2Gráfica de FuncionesGráfica de Funciones

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2.2 Gráficas de Funciones2.2 Gráficas de Funciones

La gráfica de una funciónLa gráfica de una función

Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados.

En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).

15

Axxfx /)(,

© copywriter

Gráfica de funcionesGráfica de funciones

16

Trace la gráfica de las siguientes funciones.

2)() xxfa 3)() xxgb xxhc )()

© copywriter

Gráfica de funciones Gráfica de funciones Valor AbsolutoValor Absoluto

17

x

x

x0

0

x

x

Traze la gráfica de

xxf )(

© copywriter

Funciones por parteFunciones por parte

18

12

)(

2

x

x

xf

1

1

x

x

f(x)=2x + 1x > 1

f(x)=2x + 1x > 1

f(x)=x2

x 1f(x)=x2

x 1

© copywriter

Ecuaciones que definen funcionesEcuaciones que definen funciones

19

2:

2)2

2

xySolucion

xya2

22

4:

4)

xySolucion

yxb

y = 2y2 = 4

Si es funciónNO es función

GRAFICA© copywriter

20

EjerciciosEjercicios

20

Sección 2.2Sección 2.2

Página 167Página 167

Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50Aplicación: 84, 86Aplicación: 84, 86

© copywriter

21

2.32.3Funciones crecientes y decrecientes; Funciones crecientes y decrecientes;

tasa de cambio promediotasa de cambio promedio

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2.3 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promediotasa de cambio promedio

• Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambientes.

• Es importante saber donde sube y gráfica y donde baja.

22© copywriter

Funciones crecientes y decrecientesFunciones crecientes y decrecientes

23

a b c d

B

A

C

D

)(xfy

f es CRECIENTE

f es DECRECIENTE

f es CRECIENTE

Solución:f es CRECIENTE en:

f es DECRECIENTE en:

dcyba ,,

cb,

© copywriter

Definición

24

f es crecientecreciente en un intervalo l si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l.

f es decrecientedecreciente en un intervalo l f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.

x1 x2

ff(x2)

x1 x2

f

f(x2)f(x1)

f(x1)

crecientecreciente decrecientedecreciente

© copywriter

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (años)

W (lb)

200

150

100

50

Ejemplo: La siguiente gráfica da el peso WW de una persona de la edad x. Determine los intervalos en los que la función WW es creciente y en los que es decreciente.

Solución:f es CRECIENTE en: ; CONSTANTE:

f es DECRECIENTE en: .

40,35,25,0

50,40

80,50,35,25

Esto significa que la persona ganó peso hasta los 25 años, luego entre 35 y 40. Perdió entre 40 y 50.

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Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función

a) Traze la gráfica de la función

b) Halle el dominio y el rango de la función.

c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye.

32

)( xxf

Solución: a) Traze la gráfica de la función:

3 23 232

)( xxxxf

26

-20 20-1

10

X Y

© copywriter

Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función

27

Solución:

b) Halle el dominio y el rango de la función.

c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye.

,0Rango

Dominio

,0Crece

0,Decrece

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Tasa de cambio promedioTasa de cambio promedio

• La tasa de cambio promedio de la función y = f(x) entre x = a y x = b es:

28

ab

afbf

)()(

en x cambio

yen cambio promedio cambio de tasa

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f(b)y = f(x)

• La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, (f(b)).

29

0 a b

f(b) – f(a)

b – a

f(a)

yy

xx

ab

afbf

)()(

promedio cambio de tasa

© copywriter

Ejemplo• La función:

a) x = 1 y x = 3

30

2)3()( xxf

22

4013

)31()33(

13

)1()3(

)()(

22

ffab

afbf

9

16

4

© copywriter

31

Ejemplo• La función:

b) x = 4 y x = 7

31

2)3()( xxf

53

11647

)34()37(

47

)4()7(

)()(

22

ffab

afbf

9

16

4

© copywriter

Ejercicio 13; Pág. 179

32

5 f(b) 4; b

3 f(a) 1; a

:Datos

)(xfy

3

2

14

)3()5()()(

ff

ab

afbf

© copywriter

Práctica 2.3:

• En el salón: 14, 15, 16, 17, 18 y 19

• Asignación: 1 – 30

• Problemas de aplicación: 22, 24, 26, 32, 34,36 (Para Entregar;

35 pts)

33© copywriter

34

2.42.4Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones

© copywriter

2.42.4 Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones

35

En esta sección se estudia como ciertas transformaciones de una función afectan una gráfica. Las transformaciones son desplazamiento, reflexión y estiramiento.

-20 20

10

2)( 2 xxh

2)( xxf

3)( 2 xxg

Veamos la definición

Ejemplo: Desplazamientos vérticales de gráficas

Gráfica © copywriter

Desplazamientos vérticalesDesplazamientos vérticales

36

x

y

cc

y = f(x) + c

y = f(x)

Suponga que c > 0Para gráficar y = f(x) + c, desplace cc unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x).

Para gráficar y = f(x) – c, desplace cc unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x).

x

y

cc

y = f(x)

y = f(x) – c

© copywriter

Ejemplo: Desplazamientos vérticalesEjemplo: Desplazamientos vérticales

37

Use la gráfica f(x) = x3 – 9x; usando la siguiente información para bosquejar la gráfica de cada función.

a) g(x) = x3 – 9x + 10 b) h(x) = x3 – 9x – 20

f(x) = xf(x) = x33 – 9x – 9x

g(x) = xg(x) = x33 – 9x + 10 – 9x + 10

h(x) = xh(x) = x33 – 9x – 20 – 9x – 20

-30

30

Hacer gráficas© copywriter

Desplazamientos horizontalesDesplazamientos horizontales

38

x

y

y = f(x)

y = f(x – c)

x

y

y = f(x + c) y = f(x)

cccc

Suponga que c > 0.Para gráficar y = f(x – c), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades.

Para gráficar y = f(x + c), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades.

© copywriter

Desplazamientos horizontalesDesplazamientos horizontales

39

g(x) = (x + 4)2 f(x) = x2 h(x) = (x – 2)2

- 4 0 2

Usemos la gráfica de f(x) = x2 para trazar la gráfica de las siguientes funciones.

a) g(x) = (x + 4)2 b) h(x) = (x – 2)2

Hacer gráficas© copywriter

Ejemplo: Combinación de desplazamientosEjemplo: Combinación de desplazamientos

40

Bosqueje la gráfica de: 43)( xxf

0

xy 3 xy

43)( xxf

(3, 4)

grafica

© copywriter

Reflexión de gráficasReflexión de gráficas

41

x

y

y = f(x)

y = -f(x)

x

y

y = f(-x)

y = f(x)

Para gráficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.

Para gráficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.

© copywriter

Ejemplo: Reflexión de gráficasEjemplo: Reflexión de gráficas

42

Trace la gráfica de cada función:

0

2)( a) xxf xxg )( b)

xy xxg )(

2 xy

2)( xxf Hacer gráficas

© copywriter

Pág. 190; Ejercicio 11

43

f(x) = x2

0 2

g(x) = (x – 2)2

0 2

11)

12)

f(x) = x3

g(x) = x3 + 3

© copywriter

Estiramiento y acortamiento vérticalEstiramiento y acortamiento vértical

44

Para gráficar y = cf(x)y = cf(x)::

Si c>1c>1, alarge verticalmente la gráfica de y = f(x)y = f(x) por un factor de cc.

Si 0 < c < 10 < c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = f(x) y = f(x) por un factor de cc.

x

y

x

y

y = cf(x)

y = f(x)

y = f(x)

y = cf(x)

c > 1 0 < c < 1

© copywriter

Acortamiento y alargamiento horizontal Acortamiento y alargamiento horizontal

45

La gráfica de y = f(cx)y = f(cx):

Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

x

y

x

y

y = f(cx)

y = f(x)

y = f(cx)

y = f(x)

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f(-x)f(x)-x

x

46

Funciones par e imparFunciones par e imparSea f una función:

f es par si f(-x) = f(x) f(-x) = f(x) para toda xx en el dominio de ff.

f es impar si f(-x) = -f(x) f(-x) = -f(x) para toda xx en el dominio de ff.

x

y

x

y

f(x)f(-x)

-x x

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje x.

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

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47

Ejercicio de práctica:

Pág. 190

Ejercicio 19Ejercicio 19: Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.

a)a) y = f(x – 2)y = f(x – 2)b)b) y = f(x) – 2y = f(x) – 2c)c) y =2 f(x)y =2 f(x)d)d) y = -f(x) + 3y = -f(x) + 3e)e) y = f(-x)y = f(-x)f)f) y = ½ f(x – 1)y = ½ f(x – 1)

Gráfica

a) b)

c) d)

© copywriter

48

f)e)

Cont…

© copywriter

49

Problemas para resolverProblemas para resolver

Pág. 190Pág. 190

1 – 551 – 55

61 – 68 61 – 68

© copywriter

2.5 Funciones cuadráticas: 2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimosmáximos y mínimos

50© copywriter

51

2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos

Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo.

En esta sección se aprende a cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras.

Una función cuadrática es una función f de la forma:

f(x) = axf(x) = ax22 + bx + c + bx + c

donde a, b y c son números reales y a ≠ o

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Forma estándar de una función cuadráticaForma estándar de una función cuadrática

52

Una función cuadrática f(x) = axf(x) = ax22 + bx + c + bx + c se puede expresar en la forma estándarforma estándar

f(x) = a(x – h)2 + k

completando el cuadrado. La gráfica de f es un parábola con vértice (h, k); la parábola se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

0 h x

y

k

Vértice (h, k)

0 h x

y

k

Vértice (h, k)

f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0

© copywriter

53

Ejemplo: Ejemplo: Forma estándar de una función Forma estándar de una función cuadráticacuadrática

Sea f(x) = 2x2 – 12x + 23

a)Exprese f en forma estándarb)Bosqueje la gráfica

Solución: Como el coeficiente de x2 no es 1, se debe factorizar este.

f(x) = 2x2 – 12x + 23

= 2(x2 – 6x) + 23 Ahora aplica completar al cuadrado

= 2(x2 – 6x + ___) + 23 – 2(___)= 2(x – 3)2 + 5

La forma estándar es f(x) = 2(x – 3)2 + 5

9 99 9

© copywriter

54

Ejemplo: Ejemplo: Forma estándar de una función Forma estándar de una función cuadráticacuadrática

b) Bosqueje la gráfica

0 3 x

y

5

Vértice (3, 5)

f(x) = 2(x – 3)2 + 5

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55

Valor máximo o mínimo de una función cuadráticaValor máximo o mínimo de una función cuadrática

Se f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h)2 + k. El valor máximo o míinimo de f ocurre en x = h.

Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k.

Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k.

0 h x

y

k

mínimo

0 h x

y

k

máximo

f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0

© copywriter

56

Ejemplo: Ejemplo: Valor mínimo de una función Valor mínimo de una función cuadráticacuadrática

f(x) = 5x2 – 30x + 49

Halla:a)Forma estándarb)Gráficac)Valor mínimo

a) Forma estándar:

f(x) = 5(x2 – 6x) + 49= 5(x2 – 6x + ____) + 49 – 5(____)= 5(x – 3)2 + 4

b) Gráfica

9 9 9 9

0 3 x

y

4

Valor mínimo 4

f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0

c) Valor mínimoComo el coeficiente de x2 es positivo, f tiene un valor mínimo. Valor mínimo es f(3) = 4

GRAFICA© copywriter

57

Ejemplo: Ejemplo: Valor máximo de una función Valor máximo de una función cuadráticacuadrática

f(x) = -x2 + x + 2

Halla:a)Forma estándarb)Gráficac)Valor mínimo

a) Forma estándar:

f(x) = -x2 + x + 2= -(x2 – x) + 2= -(x2 – x + ____) + 2 – (-1)(____)= -(x – ½)2 + 9/4

b) Gráfica

1/4 1/4 1/4 1/4

0 1 2 x

y

½

Valor máximo es 9/4

f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0

c) Valor mínimoComo el coeficiente de x2 es negativo, f tiene un valor máximo. Valor máximo es f(1/2) = 9/4.

(1/2, 9/4)(1/2, 9/4)

GRAFICA© copywriter

58

Valor máximo o mínimo de una función cuadráticaValor máximo o mínimo de una función cuadrática

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c ocurre en:

Si a > 0, entonces el valor mínimo es

Si a < 0, entonces el valor máximo es

a

bx

2

a

bf

2

a

bf

2

© copywriter

59

Ejemplo: Ejemplo: Halla valores máximos y mínimos de Halla valores máximos y mínimos de funciónes cuadráticasfunciónes cuadráticas

Halla el valor máximo o mínimo de cada función cudrática.

a)f(x) = x2 + 4x b) g(x) = -2x2 + 4x – 5

Como a > 0, la función tiene el valor mínimo: f(-2) = -4

2)1(2

4

2

a

bx 1

)2(2

4

2

a

bx

Como a < 0, la función tiene evalor máximo: f(1) = -3

GRAFICA© copywriter

60

Página 200

Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón)

Ejercicios asignados: 1 – 58

Aplicación: 59

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61

2.7 Combinación de Funciones2.7 Combinación de Funciones

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62

Combinación de FuncionesCombinación de Funciones

En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras.otras.

SUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTESSUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES

Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f – g, f(g) y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplicación y divide números reales. Se define la información f + g por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

© copywriter

63

Algebra de FuncionesAlgebra de Funciones

Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se definen como:definen como:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)(fg)(x) = f(x)g(x)

B A Dominio

B A Dominio

B A Dominio

0 g(x) / BAx Dominio )(

)()(

g

f

xg

xfx

© copywriter

64

Ejemplo: Ejemplo: Combinación de funciones y sus dominiosCombinación de funciones y sus dominios

xxgx

xf

)( ;2

1)( Sea

dominios. susy ,y , , funciones las Encuentre )g

ffggfgfa

.4 ,4g ,4 ,4 Encuentre )

g

ffgfgfb

SoluciónSolución::

a)a)El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}. El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}. La intersección de los dominios de f y g es:La intersección de los dominios de f y g es:

{x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞){x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞)

© copywriter

65

xx

xgxfxgf

2

1)()())((

xx

xgxfxgf

2

1)()())((

22

1)()())((

x

xx

xxgxfxfg

xxxxxg

xfx

g

f

2

11

2

1

)(

)()(

Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}

Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}

Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}

Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}

Solución:Solución:

En el dominio de f/g se excluye 0 porque g(0) = 0.

© copywriter

66

b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada función.función.

66

g( )f( )g)( )(f

2

1

2

1) () () )((

gfgf

2

2

1) () () )((

gffg

2

1

1

2

1

) (

) () (

g

f

g

f

4 4 4 44 4 4 444

Solución:Solución:

4 4 4 44 4 4 444

4 4 44 4 444

4444

44

444444 44 44 44 44

2

5

2

3

1

4

1

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67

Ejemplo: Ejemplo: Determine la Determine la composicióncomposición de funciones de funciones

3 )( Sea 2 xg(x) yxxf

dominios. susy y funciones las Encuentre ) fggfa

.7y 5 Halle ) fggfb

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68

Solución:Solución:

a) Se tiene;a) Se tiene; 3 )( Sea 2 xg(x) yxxf

2

f

fxgf

g

gxfg

g(x)g(x) Definición de f compuesta con g.Definición de f compuesta con g.

x – 3x – 3 Definición de g. Definición de g.

x – 3x – 3 Definición de f. Definición de f.

f(x)f(x) Definición de g compuesta con f.Definición de g compuesta con f.

xx22 Definición de f. Definición de f.

xx22 – 3– 3 Definición de g. Definición de g.

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69

Solución:Solución:

b) Se tiene:b) Se tiene:

42)35()3g(5 22 fx-fgf

463493)7()())((7 22 xgxfgfg

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70

EjemploEjemplo Determine la composición Determine la composición de funcionesde funciones

dominios. susy funciones siguientes las

encuentre ,2 g(x)y x Si xf(x)

ggdf c) ff b) gg fa ) )

4 2

2

2

))(()( )

x

x

xf

xgfxgfa

El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2).El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2).

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71

x

xfgxfb) g

2

xg

))(()(

x ≥ 0 y para esté definida se debe tener es decir o bien x ≤ 4

x2 02 x 2x

0,4 cerrado intervaloun es dominio el tantoloPor fg

4

x

x

))(()(

x

f

xffxfc) f

0, es dominio El ff

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72

x

xg

xggxgd) g

22

2

))(()(

022y 02 cuando define seexpresión Esta xx

2 ,2 es de dominio el que así ,22 ggx

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73

Ejemplo: Una composición de tres funcionesEjemplo: Una composición de tres funciones

.3)(y )(,)1(

)( si Encuentre 10

xxhxxgx

xxfhgf

13

3

3

3

:

10

10

10

x

x

xf

xgf

xhgfxhgf

Solución

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74

Ejemplo: Cómo reconocer una composición de Ejemplo: Cómo reconocer una composición de funciones funciones

. que talesy funciones las encuentre,9 4 gfFgfxF(x)Dada

F(x)

x

xf

xgfxgf

x f(x) xg(x)

Solución

9

9

9

:

4

4

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75

2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón)2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón)

Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios:Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios:

2)( ,3)( )1 xxgxxf

13)( ,2)( )2 22 xxgxxxf

xxxf 1)( )7

413)( )9 xxh

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76

2.7 Ejercicios2.7 Ejercicios

1 – 101 – 10

13 – 5413 – 54

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77

2.8 Funciones 2.8 Funciones uno a uno y sus inversasuno a uno y sus inversas

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78

La inversainversa de una función es una regla actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondientes. Así, la inversa “deshase” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí tienen se llaman funciones uno a uno.

A BA B A BA B

1

2

3

4

2

4

7

10

ff gg

1

2

3

4

2

4

10

f es funciónf es funcióng g NONO es función es función

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79

Definición de una función uno a unoDefinición de una función uno a uno

Una función con dominio A se llama función uno a uno si no Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir, decir,

f(xf(x11) ≠ f(x) ≠ f(x22) ) siempre que siempre que xx1 1 ≠ x≠ x22

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80

Prueba de la recta horizontalPrueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica de una vez;horizontal cruza su gráfica de una vez;

y = f(x)

f(x1) f(x2)

x1 x2

La función no es uno a uno porque f(xLa función no es uno a uno porque f(x11) = f(x) = f(x22).).

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81

Ejemplo: Decidir si una función es uno Ejemplo: Decidir si una función es uno a unoa uno

¿La función f(x) = x¿La función f(x) = x33 es uno a uno? es uno a uno?

f(x) = xf(x) = x33

Por la prueba horizontal Por la prueba horizontal es uno a uno.es uno a uno.

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82

Ejemplo: Decidir si una función es uno Ejemplo: Decidir si una función es uno a unoa uno

¿La función g(x) = x¿La función g(x) = x22 es uno a uno? es uno a uno?

g(x) = xg(x) = x22

Por la prueba horizontal Por la prueba horizontal es es NONO uno a uno. uno a uno.

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83

Ejemplo: Mostrar si una función es Ejemplo: Mostrar si una función es uno a unouno a uno

Muestre que la función Muestre que la función f(x) = 3x + 4 f(x) = 3x + 4 es uno a uno.es uno a uno.

Solución: Solución:

Suponga que hay números Suponga que hay números xx11 y y xx22 tales que tales que f(xf(x11) = f(x) = f(x22)). Entonces,. Entonces,

33xx11 + 4 = + 4 = 3 3xx22 + 4 + 4

33xx11 = = 33xx22

xx11 = x = x22

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84

Definición de la inversa de una funciónDefinición de la inversa de una función

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa función inversa f f -1-1 tiene dominio en B y rango en A y está definida por; tiene dominio en B y rango en A y está definida por;

f f -1-1 (y) = x ↔ f(x) = y (y) = x ↔ f(x) = y

para cualquier para cualquier y y en B.en B.

A BA B

x f(x)y ff

f f -1 -1

Dominio de fDominio de f -1 -1 = rango de f= rango de f

Rango de fRango de f -1 -1 = dominio de f = dominio de f

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85

Ejemplo: Encuentre Ejemplo: Encuentre ff -1 -1 para valores específicos para valores específicos

Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f -1 (5), f -1 (7) y f -1 (-10).

Solución: Obtenemos lo siguiente de la definición de f -1;

f -1 (5) = 1porque f(1) = 5

f -1 (7) = 3porque f(3) = 7

f -1 (-10) = 8 porque f(8) = -10

11

33

88

55

77

-10-10

11

33

88

55

77

-10-10

AA B B C C D DEn forma de gráficaEn forma de gráfica:

ff f f -1 -1

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86

Propiedad de la función inversaPropiedad de la función inversa

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa finversa f -1 -1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. satisface las siguientes propiedades de cancelación.

ff -1 -1 (f(x)) = x (f(x)) = x para toda x en Apara toda x en A

f(ff(f -1 -1(x)) = x(x)) = x para toda x en Bpara toda x en B

A la inversa, cualquier función fA la inversa, cualquier función f -1 -1 que satisface estas ecuaciones que satisface estas ecuaciones es la inversa de f.es la inversa de f.

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87

EjemploEjemplo Verificar que dos funciones son inversasVerificar que dos funciones son inversas

Muestre que f(x) = xMuestre que f(x) = x33 y g(x) = x y g(x) = x1/31/3 son inversas entre sí. son inversas entre sí.

Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales.Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales.

g(f(x)) = g( ) = ( ) = xg(f(x)) = g( ) = ( ) = x

f(g(x)) = f( ) = ( ) = xf(g(x)) = f( ) = ( ) = x

Por consiguiente, son inversas entre sí.Por consiguiente, son inversas entre sí.

xx33

xx1/31/3

xx33 1/31/3

xx1/31/3 33

Ejercicio 22, página 230:

f(x) = 2x – 5; g(x) =

Solución:

2

5x

f(g(x)) = f( ) = = 2

5x 2

5) (

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