1. construcci´on de la integral - unican.es...supongamos primero que f es integrable en a, y sea...

Integral deRiemann en Rn.

Concepto yPropiedades

Fundamentales.

JJ II

J I

1. Construccion de la Integral

La integral de Riemann en Rn es una generalizacion de la integral de funciones de una variable.La definicion que vamos a dar reproduce el metodo de Darboux para funciones acotadas definidasen rectangulos. La generalizacion a otra familia mas amplia de conjuntos se vera mas adelante.

Llamamos rectangulo en Rn a un producto cartesiano de intervalos

A = [a1, b1]× · · · × [an, bn]

y llamamos volumen de A al producto de las longitudes de sus lados

v(A) = Πni=1(bi − ai)



Fundamentales.

JJ II

J I

Llamamos particion de A a una familia P formada por una particion de cada uno de losintervalos, P = {P1, . . . , Pn}, donde Pi = {a = t0 ≤ · · · ≤ tki

= bi} es una particion de [ai, bi]

Una particion P de A define una familia finita de rectangulos, que llamaremos RP , que verifica

A =⋃

R∈RP

R; v(A) =∑

R∈RP

v(R)



Fundamentales.

JJ II

J I

Si P = {P1, . . . , Pn} y Q = {Q1, . . . , Qn} son dos particiones de A, se dice que Q ≥ P , oque Q es mas fina que P , si para cada i entre 1 y n Pi ⊆ Qi. En este caso, Q define en cadarectangulo R de RP una particion QR.



Fundamentales.

JJ II

J I

Dadas dos particiones P y Q de A, llamaremos P ∪ Q a la particion formada por todos lospuntos de cada Pi y Qi



Fundamentales.

JJ II

J I

Definicion (Sumas de Riemann).Sea f : A −→ R una funcion acotada, y P una particion de A. Para cada rectangulo R ∈ RP

se definen:

mR(f) = inf{f(x); x ∈ R}

MR(f) = sup{f(x); x ∈ R}

Se definen la Suma Inferior de Riemann y la Suma Superior de Riemann por

S(f, P ) =∑

R∈RP

mR(f) v(R)

S(f, P ) =∑

R∈RP

MR(f) v(R)

respectivamente.



Fundamentales.

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J I

Si f es una funcion no negativa, S(f, P ) es la suma de los volumenes de los rectangulosR× [0, mR(f)], levantados por debajo de la grafica de f , y S(f, P ) es la suma de los volumenesde los rectangulos R× [0, MR(f)] construidos por encima de la grafica de f

Caso n=1:



Fundamentales.

JJ II

J I

Caso n=2



Fundamentales.

JJ II

J I

Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades:



Fundamentales.

JJ II

J I

Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades:

1.- Para toda particion P de A,

S(f, P ) ≤ S(f, P )



Fundamentales.

JJ II

J I

2.- Si P y Q son dos particiones con P ≤ Q, entonces

S(f, P ) ≤ S(f, Q) y S(f, P ) ≥ S(f, Q)

es decir, cuanto mas fina es la particion, la suma inferior es mayor y la superior es menor.

P ≤ Q

t1 t2 t3 t4 t5t0s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10

S(f, Q)

S(f, P )

P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}

Q = {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9, s10}



Fundamentales.

JJ II

J I

t1 t2 t3 t4 t5t0s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10

Q = {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9, s10}

P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}S(f, P )

S(f, Q)

P ≤ Q



Fundamentales.

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J I

3.- Para toda particion P de A,

mA(f)v(A) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ MA(f)v(A)

S(f, P )

t1 t2 t3 t4 t5t0

P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}

MA(f)v(A)

mA(f)v(A)

S(f, P )



Fundamentales.

JJ II

J I

4.- Si P y Q son dos particiones cualesquiera de A,

S(f, P ) ≤ S(f, Q)

P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}S(f, P )

S(f, Q)

Q = {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6}

t1 t2 t3 t4 t5t0s0 s1 s2

s3 s4 s5 s6



Fundamentales.

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J I

Definimos ahora las integrales inferior y superior de una funcion de la siguiente manera:

Definicion (Integral Superior e Integral Inferior).Sea A un rectangulo en Rn, y f : A −→ R una funcion acotada.

Se llama integral inferior de f en A a∫A

f = sup{S(f, P ); Pparticion de A}

Y se llama integral superior de f en A a∫A

f = inf{S(f, P ); Pparticion de A}

Las integrales superior e inferior estan bien definidas, en el sentido de que como los conjuntosde sumas superiores e inferiores de Riemann de f son acotados, existen el supremo y el ınfimorespectivamente.

Ademas, por las propiedades que hemos visto antes, se tiene que

mA(f)v(A) ≤∫

A

f ≤∫

A

f ≤ MA(f)v(A)



Fundamentales.

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Definicion (Funcion Integrable Riemann).Sea A un rectangulo en Rn, y f : A −→ R. Se dice que f es integrable Riemann en A si esacotada y las integrales superior e inferior de f en A coinciden. En este caso se llama integralde f en A a∫

A

f =

∫A

f =

∫A

f



Fundamentales.

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J I

Ejemplo 1. Toda funcion constante en un rectangulo es integrable. Ademas, si f(x) = a para

cada x ∈ A, entonces

∫A

f = av(A)

En efecto, si P es una particion cualquiera de A, y R es uno de los rectangulos definidos porP , mR(f) = a = MR(f), ası que

S(f, P ) =∑

R∈RP

MR(f)v(R) =∑

R∈RP

av(R) = a∑

R∈RP

v(R) = av(A)

y

S(f, P ) =∑

R∈RP

mR(f)v(R) =∑

R∈RP

av(R) = a∑

R∈RP

v(R) = av(A)

Por tanto∫A

f = inf{S(f, P ), P particion de A} = av(A)

y ∫A

f = sup{S(f, P ), P particion de A} = av(A)

las dos integrales son iguales, f es integrable, y

∫A

f = av(A)



Fundamentales.

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J I

Ejemplo 2. La funcion de Dirichlet, f : [0, 1] −→ R definida por

f(x) =

{1 si x ∈ Q0 si x 6∈ Q

no es integrable Riemann.En efecto, si P es una particion cualquiera de A, y R es uno de los rectangulos definidos por

P , en R habra numeros racionales y numeros irracionales, de modo que mR(f) = 0 y MR(f) = 1,ası que

S(f, P ) =∑

R∈RP

MR(f)v(R) =∑

R∈RP

v(R) = v([0, 1]) = 1

y

S(f, P ) =∑

R∈RP

mR(f)v(R) = 0

Por tanto∫A

f = inf{S(f, P ), P particion de A} = 1

y ∫A

f = sup{S(f, P ), P particion de A} = 0



Fundamentales.

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J I

Ejemplo 3. Funciones no integrables en R2

Partiendo del ejemplo anterior, es facil construir funciones que no sean integrables, definidasen conjuntos de R2, o en general de Rn. Por ejemplo, puede ser

f(x, y) =

{1 si x ∈ Q0 si x 6∈ Q

definida en A = [0, 1]× [0, 1], o

g(x, y) =

{1 si (x, y) ∈ Q2

0 si (x, y) 6∈ Q2

�



Fundamentales.

JJ II

J I

2. Criterio de Riemann

El primer teorema que vamos a demostrar, da una condicion equivalente para la integrabilidad deuna funcion, aunque no da el valor de su integral. Es una condicion parecida a la condicion deCauchy de las sucesiones de numeros reales, o de vectores de Rn.

Teorema (Criterio de Integrabilidad de Riemann).Sea A un rectangulo en Rn, y f : A −→ R una funcion acotada en A.

f es integrable en A si y solo si para cada ε > 0 existe una particion

Pε de A tal que

S(f, Pε)− S(f, Pε) ≤ ε

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)Supongamos primero que f es integrable en A, y sea ε > 0. Por la definicion de la integral

superior como el ınfimo de las sumas superiores de Riemann, existira al menos una particion P1

de A tal que S(f, P1) <∫

Af + ε/2. Y por la definicion de la integral inferior como supremo de

las sumas inferiores, existira al menos una particion P2 de A tal que S(f, P2) >∫

Af − ε/2.



Fundamentales.

JJ II

J I

Consideramos entonces la particion P union de P1 y P2, y tenemos

S(f, P ) ≤ S(f, P1) <

∫A

f + ε/2

y

S(f, P ) ≥ S(f, P2) >

∫A

f − ε/2

de donde restando las dos desigualdades se obtiene

S(f, P )− S(f, P ) <

∫A

f + ε/2−∫

A

f + ε/2 = ε

ya que por ser f integrable

∫A

f =

∫A

f .

Recıprocamente, supongamos ahora que para cada ε > 0 existe alguna particion Pε de A talque S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε

Entonces como

∫A

f ≤ S(f, Pε) y

∫A

f ≥ S(f, Pε), tenemos

0 ≤∫

A

f −∫

A

f ≤ S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε



Fundamentales.

JJ II

J I

y esto para todo ε > 0, luego necesariamente

∫A

f =

∫A

f

y por tanto f es integrable en A.J(Volver al enunciado) �

Como consecuencia de este teorema es facil demostrar que toda funcion continua en unrectangulo es integrable, o incluso que toda funcion monotona es integrable (ver problemas)



Fundamentales.

JJ II

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3. Propiedades

Para terminar este primer capıtulo, vamos a demostrar las propiedades elementales de la integral

Teorema (Propiedades de la Integral de Riemann).Sea A un rectangulo en Rn, y sean f : A −→ R y g : A −→ R dos funciones integrables en A.

1. la suma f + g es integrable y∫

A(f + g) =

∫A

f +∫

Ag

2. para todo α ∈ R el producto αf es integrable, y∫

A(αf) = α

∫A

f

3. si f ≥ 0, entonces

∫A

f ≥ 0

4. si f ≥ g, entonces

∫A

f ≥∫

A

g

5. |f | tambien es integrable, y

∣∣∣∣∫A

f

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|f |

6. max{f, g} y min{f, g} son integrables

7. el cuadrado f 2 es integrable

8. el producto fg es integrable



Fundamentales.

JJ II

J I

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)

(1) Como f y g son acotadas, tambien f + g es acotada.Sea P una particion cualquiera de A, y R ∈ RP un rectangulo cualquiera definido por P .

entonces

mR(f + g) = inf{f(x) + g(x), x ∈ R} ≥≥ inf{f(x), x ∈ R}+ inf{g(y), y ∈ R} = mR(f) + mR(g)

y

MR(f + g) = sup{f(x) + g(x), x ∈ R} ≤≤ sup{f(x), x ∈ R}+ sup{g(y), y ∈ R} = MR(f) + MR(g)

En consecuencia, multiplicando por v(R) y sumando

S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P ) ≤∫

A

(f + g)

≤ ≤∫

A

(f + g) ≤ S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P )

Si tomamos ahora dos particiones cualesquiera de A, P 1 y P 2, y consideramos la unionP = P 1 ∪ P 2, tenemos



Fundamentales.

JJ II

J I

S(f, P 1) + S(g, P 2) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P )

≤∫

A

(f + g) ≤∫

A

(f + g) ≤ S(f + g, P ) ≤

≤ S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f, P 1) + S(g, P 2)

Dejando fija P 2, y tomando a la izquierda de la cadena supremos en P 1, como f es integrablequeda∫

A

f + S(g, P 2) ≤∫

A

(f + g) ≤∫

A

(f + g) ≤ S(f, P 1) + S(g, P 2)

y tomando ahora supremos en P 2∫A

f +

∫A

g ≤∫

A

(f + g) ≤∫

A

(f + g) ≤ S(f, P 1) + S(g, P 2)

Repitiendo estos argumentos con la parte derecha de la desigualdad, tomando ınfimos en vezde supremos, obtenemos∫

A

f +

∫A

g ≤∫

A

(f + g) ≤∫

A

(f + g) ≤∫

A

f +

∫A

g



Fundamentales.

JJ II

J I

luego en efecto f + g es integrable, y su integral es la suma de las integrales de f y g

(2) Si f es integrable, entonces es acotada y evidentemente entonces tambien αf es acotada.Supongamos ahora que α ≥ 0.Sea P una particion cualquiera de A, y R uno de los rectangulos de RP .

mR(αf) = inf{αf(x), x ∈ R} = α inf{f(x), x ∈ R} = αmR(f)

y analogamente

MR(αf) = sup{αf(x), x ∈ R} = α sup{f(x), x ∈ R} = αMR(f)

Entonces, multiplicando por el volumen de cada rectangulo de la particion, y sumando

S(αf, P ) =∑

R∈RP

mR(αf)v(R) =∑

r∈RP

αmR(f)v(R) = αS(f, P )

y

S(αf, P ) =∑

R∈RP

MR(αf)v(R) =∑

r∈RP

αMR(f)v(R) = αS(f, P )



Fundamentales.

JJ II

J I

Por tanto∫A

αf = sup{S(αf, P ), P particion de A} =

= sup{αS(f, P ), P particion de A} =

= α sup{S(f, P ), P particion de A} =

= α

∫A

f

y analogamente∫A

αf = inf{S(αf, P ), P particion de A} =

= inf{αS(f, P ), P particion de A} =

= α inf{S(f, P ), P particion de A} =

= α

∫A

f

Ası que como f es integrable, αf tambien lo es, y∫

Aαf = α

∫A

fCuando α < 0, hay que tener en cuenta que para sacar α de un supremo o un ınfimo, hay

que cambiar el sentido de las desigualdades, con lo que se cambian los ınfimos por supremos ylos supremos por ınfimos:



Fundamentales.

JJ II

J I

mR(αf) = inf{αf(x), x ∈ R} = α sup{f(x), x ∈ R} = αMR(f)

y analogamente

MR(αf) = sup{αf(x), x ∈ R} = α inf{f(x), x ∈ R} = αmR(f)

de modo que

S(αf, P ) =∑

R∈RP

mR(αf)v(R) =∑

r∈RP

αMR(f)v(R) = αS(f, P )

y

S(αf, P ) =∑

R∈RP

MR(αf)v(R) =∑

r∈RP

αmR(f)v(R) = αS(f, P )

De aquı∫A

αf = sup{S(αf, P ), P particion de A} =

= sup{αS(f, P ), P particion de A} =

= α inf{S(f, P ), P particion de A} =

= α

∫A

f



Fundamentales.

JJ II

J I

y analogamente∫A

αf = inf{S(αf, P ), P particion de A} =

= inf{αS(f, P ), P particion de A} =

= α sup{S(f, P ), P particion de A} =

= α

∫A

f

Ası que tambien αf es integrable y∫

Aαf = α

∫A

f

(3) Es trivial, ya que si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A, entonces∫A

f ≥∫

A

f ≥ mA(f)v(A) ≥ 0

(4) Se deduce de las tres propiedades anteriores: por (2), −g es integrable, y∫

A(−g) =

−∫

Ag. Por (1), f − g = f + (−g) es integrable, y

∫A(f − g) =

∫A

f +∫

A(−g) =

∫A

f −∫

Ag.

Y por (3), como f(x)− g(x) ≥ 0 para todo x ∈ A,∫A

f −∫

A

g =

∫A

(f − g) ≥ 0



Fundamentales.

JJ II

J I

luego ∫A

f ≥∫

A

g

(5) Como f es integrable, en particular es acotada, y por tanto tambien |f | es acotada.Sea P una particion cualquiera de A, y R uno de los rectangulos definidos por P , R ∈ RP ,

y sean x e y dos puntos cualesquiera en R. Se tiene

mR(f)−MR(f) ≤ f(x)− f(y) ≤ MR(f)−mR(f)

luego

|f(x)| − |f(y)| ≤ | |f(x)| − |f(y)| | ≤ |f(x)− f(y)| ≤ MR(f)−mR(f)

y tomando supremos en x e ınfimos en y,

MR(|f |)−mR(|f |) ≤ MR(f)−mR(f)

Multiplicando cada una de estas desigualdades por el volumen de R, y sumando

S(|f |, P )− S(|f |, P ) =∑

R∈RP

(MR(|f |)−mR(|f |)) v(R) ≤

≤∑

R∈RP

(MR(f)−mR(f)) v(R) ≤ S(f, P )− S(f, P )



Fundamentales.

JJ II

J I

Como f es integrable, aplicando el Criterio de Riemann, dado ε > 0 existe alguna particionPε de A tal que S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε. Y entonces

S(|f |, Pε)− S(|f |, Pε) ≤ S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε

luego aplicando el mismo criterio a |f |, tambien es integrable.Ademas, como para todo x ∈ A

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|

aplicando las propiedades (2) y (4)

−∫

A

|f | ≤∫

A

f ≤∫

A

|f |

de donde se deduce que∣∣∣∣∫A

f

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|f |

(6) Basta observar que para cada cada x ∈ A

max{f, g}(x) = max{f(x), g(x)} =f(x) + g(x) + |f(x)− g(x)|

2



Fundamentales.

JJ II

J I

y

min{f, g}(x) = min{f(x), g(x)} =f(x) + g(x)− |f(x)− g(x)|

2

y aplicar las propiedades anteriores.

(7) Como f es integrable, es acotada, y entonces tambien f 2 es acotada. Ademas tambien|f | es integrable, como ya hemos visto.

Sea k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ A, y sea ε > 0. Aplicando el criterio de Riemanna la funcion |f |, existe una particion P de A tal que

S(|f |, P )− S(|f |, P ) ≤ ε

2k

Si R es uno de los rectangulos definidos por esa particion, tenemos

MR(f 2) = sup{f 2(x), x ∈ R} = sup{|f(x)|2, x ∈ R} =

= sup{|f(x)|, x ∈ R}2 = MR(|f |)2

mR(f 2) = inf{f 2(x), x ∈ R} = inf{|f(x)|2, x ∈ R} =

= inf{|f(x)|, x ∈ R}2 = mR(|f |)2



Fundamentales.

JJ II

J I

(es decir, el cuadrado se puede sacar fuera del supremo y del ınfimo de una familia de numerospositivos)

Entonces

MR(f 2)−mR(f 2) = MR(|f |)2 −mR(|f |)2 =

= (MR(|f |)−mR(|f |))(MR(|f |) + mR(|f |))≤ 2k(MR(|f |)−mR(|f |))

Multiplicando estas desigualdades por el volumen de cada rectangulo R, y sumando, queda

S(f 2, P )− S(f 2, P ) ≤ 2k(S(|f |, P )− S(|f |, P )) ≤ 2kε

2k= ε

Aplicando el criterio de Riemann a la funcion f 2, esta es integrable.

(8) Por ultimo, para demostrar que el producto de f y g es integrable basta escribir

fg =(f + g)2 − (f − g)2

4

y aplicar las propiedades anteriores.J(Volver al enunciado) �



Fundamentales.

JJ II

J I

Y ademas

Proposicion.Sea P una particion cualquiera de A. f es integrable en A si y solo si para cada rectanguloR ∈ RP la restriccion de f a R es integrable. Ademas en este caso∫

A

f =∑

R∈RP

∫R

f

Demostracion:Sea P una particion cualquiera de A.Supongamos primero que f es integrable en A,Aplicando el criterio de Riemann a A, dado ε > 0 existe una particion Pε de A tal que

S(f, Pε)−S(f, Pε) < ε. Consideramos entonces en A la union de las dos particiones, Q = P ∪Pε,que es mayor que Pε, con lo que

S(f, Q)− S(f, Q) ≤ S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε

y tambien es mayor que P , con lo que define sobre cada rectangulo R ∈ RP una particion QR.Los rectangulos definidos por QR en R son los rectangulos S ∈ RQ que estan contenidos en R.



Fundamentales.

JJ II

J I

R

P Pε

Q = P ∪ Pε

R

S

Para un rectangulo R ∈ RP cualquiera, si calculamos para esa particion QR definida en R ladiferencia entre la suma superior y la inferior, obtendremos

S(f |R, QR)− S(f |R, QR) =∑

S∈RQ,S⊆R

[MS(f)−mS(f)]v(S) ≤

≤∑

S∈RQ

[MS(f)−mS(f)]v(S) =

= S(f, Q)− S(f, Q) < ε



Fundamentales.

JJ II

J I

Por tanto la restriccion de f a R es integrable.

Recıprocamente, supongamos que la restriccion de f a cada rectangulo R de RP es integrable.Dado ε > 0, aplicando en cada rectangulo R el criterio de Riemann, existira una particion PR

de R tal que

S(f |R, PR)− S(f |R, PR) ≤ ε

k

donde k es el numero de rectangulos definidos por la particion P .Definimos entonces la particion Q de A union de la particion original P y todas las particiones

PR, que es mayor que P , y define en cada rectangulo R de RP una particion QR mayor que PR,formada por los rectangulos S ∈ RQ que estan contenidos en R



Fundamentales.

JJ II

J I

R1 R2

P P

PR1 PR2

Q = P ∪ PR1 ∪ PR2

QR1 QR2

Para calcular la diferencia entre la sumas superior e inferior definidas por Q, aplicamosla propiedad distributiva de la suma, agrupando los rectangulos S ∈ RQ que estan en cadarectangulo R ∈ RP



Fundamentales.

JJ II

J I

S(f, Q)− S(f, Q) =∑

S∈RQ

[MS(f)−mS(f)]v(S) =

=∑

R∈RP

∑S∈RQ,S⊆R

[MS(f)−mS(f)]v(S)

=

=∑

R∈RP

∑S∈RQR

[MS(f)−mS(f)]v(S)

=

=∑

R∈RP

[S(f |R, QR)− S(f |R, QR)

]≤

≤∑

R∈RP

[S(f |R, PR)− S(f |R, PR)

]≤

≤∑

R∈RP

ε

k= ε

Por tanto f es integrable en A.Ademas, si P ′ es ahora una particion cualquiera de A, y consideramos la union Q = P ∪ P ′,

y como antes la particion QR definida por Q en cada rectangulo R de RP , tenemos



Fundamentales.

JJ II

J I

S(f, P ′) ≤ S(f, Q) =∑

S∈RQ

mS(f)v(S) =

=∑

R∈RP

∑S∈RQ,S⊆R

mS(f)v(S)

=

=∑

R∈RP

S(f |R, QR) ≤∑

R∈RP

∫R

f

y tomando supremos cuando P ′ recorre todas las posibles particiones de A se tiene∫A

f ≤∑

R∈RP

∫R

f

Analogamente



Fundamentales.

JJ II

J I

S(f, P ′) ≤ S(f, Q) =∑

S∈RQ

MS(f)v(S) =

=∑

R∈RP

∑S∈RQ,S⊆R

MS(f)v(S)

=

=∑

R∈RP

S(f |R, QR) ≥∑

R∈RP

∫R

f

y tomando ınfimos cuando P ′ recorre todas las posibles particiones de A, se tiene

∫A

f ≥∑

R∈RP

∫R

f

Por tanto∫A

f =∑

R∈RP

∫R

f

�



Fundamentales.

JJ II

J I

Ejemplo 4. Las funciones f+ y f−

Un caso particular que se deduce de las propiedades anteriores, y que jugara un papel especialen la teorıa de integracion es el de las funciones f+ y f−.

Dada una funcion f : A −→ R, se llaman

f+(x) = max{f(x), 0}

y

f−(x) = −min{f(x), 0} = max{−f(x), 0}



Fundamentales.

Contenido

JJ II

J I

f

f+ f−

Las funciones f+ y f− son funciones no negativas, y cumplen

f = f+ − f−

y

|f | = f+ + f−

de donde se deduce, por ejemplo, que f es integrable si y solo si f+ y f− son integrables.

1. construcci´on de la integral - unican.es...supongamos primero que f es integrable en a, y sea...

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