funciones univalentes - matemática · cap´ıtulo 1 teor´ıa geom´etrica de funciones 1.1....

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

FUNCIONES UNIVALENTESP E T E R D U R E N

Santiago de Chile

2010

Indice general

1. Teorıa Geometrica de Funciones 1

1.1. Principios Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Propiedades locales de los mapeos . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Familias Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Problemas Extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. El Teorema del Mapeo de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Continuacion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Funciones Armonicas y Subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9. Funciones Armonicas Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Teorıa Elemental de Funciones Univalentes 19

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. El Teorema del Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Teoremas de Crecimiento y Distorsion . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Estimacion de Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Funciones Convexas y Estrelladas . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6. Funciones Casi-Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7. Funciones Espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.8. Funciones Normalmente Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.9. Un Metodo Varacional Primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10. Crecimiento de Integrales Medias . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.11. Funciones Univalentes Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.12. Conjetura de Bieberbach Asintotica . . . . . . . . . . . . . . . 58

iii

iv INDICE GENERAL

3. Representacion Parametrica de Mapeos Corte 67

3.1. Teorema de Convergencia de Caratheodory . . . . . . . . . . . 67

3.2. Densidad de Mapeos Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3. La Ecuacion Diferencial de Loewner . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4. Univalencia de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5. El Tercer Coeficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6. Radios de Estrelladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.7. El Teorema de Rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.8. Coeficientes de Funciones Impares . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.9. Un Contraejemplo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.10. Conjetura de Robertson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.11. Coeficientes Sucesivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4. Generalizaciones del Principio del Area 105

4.1. Polinomios de Faber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2. Teorema del Area Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3. Desigualdades de Grunsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4. Desigualdades de Goluzin y Lebedev . . . . . . . . . . . . . . 110

4.5. Matrices Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.6. El Cuarto Coeficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.7. Problemas de Coeficientes en la Clase Σ . . . . . . . . . . . . 119

6. Subordinacion 125

6.1. Principios Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2. Desigualdad de Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3. Formas Optimas del Lema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . 132

6.4. Mayorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5. Funciones Univalentes Subordinadas . . . . . . . . . . . . . . 141

Capıtulo 1

Teorıa Geometrica de

Funciones

1.1. Principios Basicos

Definicion. Una curva de Jordan es una curva simple cerrada.

El teorema de la curva de Jordan afirma que toda curva de Jordan divide

el plano en dos regiones, el interior y el exterior de la curva.

Definicion. El interior de la curva de Jordan es llamado un dominio de

Jordan.

Formula de Cauchy. Sean γ una curva de Jordan rectificable y f analıtica

dentro y sobre γ entonces

f (n)(z) =n!

2πi

∫

γ

f(ξ)

(ξ − z)n+1dξ

con z ∈ Int (γ).

El teorema del modulo maximo, afirma que el modulo de una funcion

analıtica f en un dominio Ω no puede tener un maximo local en Ω a no ser

que f sea constante. Luego una funcion analıtica en un dominio acotado y

continua en la clausura debe por lo tanto alcanzar su modulo maximo sobre

el borde. Una consecuencia simple, pero importante es

1

2 1. Teorıa Geometrica de Funciones

Lema de Schwarz. Sea f : D → D analıtica con f(0) = 0. Entonces

|f ′(0)| ≤ 1 y |f(z)| ≤ |z| en D. La desigualdad es estricta en ambos casos a

no ser que f sea una rotacion del disco.

Una funcion analıtica f en una region anular 0 < |z − z0| < ρ tiene una

expansion en serie de Laurent

f(z) =∞∑

−∞an(z − z0)

n .

Definicion.

(i) La parte principal de la expansion es la suma

−1∑

n=−∞an(z − z0)

n.

(ii) El numero a−1 es llamado el residuo de f en z0.

El famoso teorema del residuo afirma que si f es analıtica en el interior y

sobre una curva de Jordan rectificable γ, fuera de un numero finito de puntos

singulares z1, . . . , zn dentro de γ, en donde f tiene residuos α1 + . . . + αn

entonces ∫

γ

f(z)dz = 2πi(α1 + · · ·+ αn) .

El principio del argumento es a menudo un instrumento util para determinar

el rango y la valencia de una funcion analıtica.

Principio del Argumento. Sea f analıtica en la clausura de un dominio

Ω acotado por una curva de Jordan rectificable γ. Entonces

1

2πi

∫

γ

f ′(z)

f(z)dz = C

donde C es el numero de ceros de f dentro de γ.

En lenguaje mas pictorico, el principio del argumento afirma que el numero

de ceros de f dentro de γ es igual al numero de vueltas de la imagen de la

curva Γ = f(γ) alrededor del origen.

Teorema de Rouche. Sean f y g analıtica dentro y sobre una curva de

Jordan rectificable γ, con |f(z) − g(z)| < |f(z)| en γ. Entonces f y g tienen

el mismo numero de ceros dentro de γ.

§1.1. Principios Basicos 3

Si una sucesion fn de funciones analıticas en Ω converge uniformemente

en compactos de Ω a una funcion f , entonces f es tambien analıtica. En

efecto, para cada n ∈ N por el teorema de Cauchy se tiene que∫γ

fn(z)dz = 0

y por la convergencia uniforme∫γ

f(z)dz = lım∫γ

fn(z)dz = 0 y por teorema

de Morera obtenemos que f ∈ H(Ω).

Teorema de Hurwitz. Sea fn : Ω → C analıticas y suponga que fn(z) →f(z) uniforme en compactos de Ω. Si fn(z) 6= 0 para todo n ∈ N y z ∈ Ω

entonces f ≡ 0 en Ω o bien f(z) 6= 0 en Ω.

Demostracion. Supongamos que f(z0) = 0 pero f(z) no es identicamente

cero. Eligiendo r > 0 tal que z : |z − z0| ≤ r ⊂ Ω y f(z) 6= 0 sobre el

cırculo γ = z : |z − z0| = r. La eleccion es posible debido a que los ceros

de una funcion analıtica son aislados. Sea m = mınz∈γ

|f(z)|.

z0

f

u

v

0

γ

mb

b

Por la convergencia uniforme existe n suficientemente grande tal que

|fn(z) − f(z)| < m ≤ |f(z)|

para z ∈ γ. Por el teorema de Rouche, fn tiene el mismo numero de ceros

que f dentro de γ, como f tiene un cero implica que fn tiene un cero con-

tradidiendo que fn(z) 6= 0

Definicion. Una funcion f : Ω → C analıtica es llamada univalente si

f(z1) 6= f(z2) donde z1, z2 ∈ Ω con z1 6= z2. En otras palabras, f es in-

yectiva en Ω.


Teorema. Sea fn : Ω → C analıtica y univalente y suponga que fn(z) → f(z)

uniformemente en compactos de Ω. Si fn es univalente en Ω entonces f es

constante o bien f es univalente en Ω.

Demostracion. Supongamos lo contrario, que f(z1) = f(z2) = α para z1, z2 ∈Ω con z1 6= z2. Entonces si f(z) 6= α, se sigue del teorema de Hurwitz que

fn(z) − α tiene un cero en cada una de las vecindades disjuntas de z1 y z2,

lo que contradice la univalencia de fn.

1.2. Propiedades locales de los mapeos

Si f : Ω → C es analıtica y univalente, el area del dominio imagen

= f(Ω) es dado por ∫∫

Ω

|f ′(z)|2dxdy .

Si Ω es un dominio de Jordan acotado por una curva de Jordan rectificable

γ, una aplicacion del teorema de Green, es posible demostrar que el area de

puede ser expresada por la integral de contorno

1

2i

∫

Γ

wdw =1

2i

∫

γ

f(z)f ′(z)dz

donde Γ = f(γ).

Todo transformacion de Mobius

w = f(z) =az + b

cz + d, ad− bc 6= 0 ,

con a, b, c, d ∈ C es un mapeo conforme del plano extendido C sobre si mismo.

1.3. Familias Normales

Definicion. Una familia F de funciones analıticas en un dominio Ω es lla-

mada una familia normal si toda sucesion de funciones fn ∈ F tiene una

subsucesion que converge uniformemente en compactos de Ω.

§1.3. Familias Normales 5

Definicion. Una familia F es compacta si cuando fn ∈ F y fn(z) → f(z)

uniformemente en compactos de Ω se sigue que f ∈ F .

Definicion. Una familia F de funciones analıticas en Ω es llamada local-

mente acotada si las funciones son uniformemente acotadas en cada subcon-

junto compacto de Ω.

Teorema de Montel. Toda familia localmente acotada de funciones analıticas

es normal.

Teorema. Toda familia normal es localmente acotada.

Teorema de Vitali. Sea fn : Ω → C analıticas y localmente acotadas y

suponga que fn(z) converge en cada punto de un conjunto que tiene un

punto lımite en Ω. Entonces fn(z) converge uniformemente en compactos

de Ω.

Demostracion. Como las funciones fn son localmente acotadas, ellas forman

una fammilia normal. Extrayendo una subsucesion gn la cual converge

uniformemente en compactos de Ω a una funcion analıtica g. Si fn no

converge uniformente en compactos de Ω a g, entonces existe ε > 0, un

compacto K ⊂ Ω, una subsucesion fnk, y una sucesion de puntos zk ∈ K

tal que

|fnk(zk) − g(zk)| ≥ ε , k = 1, 2, . . . .

Extrayendo una subsucesion adicional de fnk la cual converge uniforme-

mente en compactos a una funcion h. Entonces h = g porque las dos funciones

analıticas coinciden sobre el conjunto de puntos donde fn converge, el cual

tiene un punto lımite en Ω. Lo cual es una contradiccion.

En la teorıa de funciones univalentes se estudia la familia S de funciones

f analıticas y univalentes en el disco unitario D y satisface las condiciones

f(0) = 0 y f ′(0) = 1. Uno de los resultados basicos de la teorıa es el teorema

de crecimiento, la cual afirma en parte que

|f(z)| ≤ |z|(1 − |z|)−2 , z ∈ D ,

para cada f ∈ S. En particular, las funciones f ∈ S son uniformemente

acotadas sobre cada subconjunto compacto de D. Luego la familia S es local-

mente acotada, y luego por el Teorema de Montel es una familia normal. Mas


aun, sabemos que si fn ∈ S y fn(z) → f(z) uniformemente en compactos de

D, entonces f es analıtica en D y es univalente o constante. Pero no puede

ser constante, porque la convergencia uniforme implica (por la formula de

Cauchy) que f ′n(0) → f ′(0), y luego f ′(0) = 1 6= 0. Esto prueba que f es

univalente en D. De hecho, es claro que f ∈ S, ya que las normalizaciones

f(0) = 0 y f ′(0) = 1 son preservados bajo convergencia uniforme. Luego

por aplicacion del Teorema de crecimiento, lo cual probaremos independien-

temente en el Capıtulo 2, obtenemos el siguiente resultado basico.

Teorema. La clase S es una familia normal compacta.

1.4. Problemas Extremales

Sea F una familia de funciones analıticas en un dominio Ω, y sea φ un

funcional complejo valuado definido sobre F . Luego φ(f) es un cierto numero

complejo para cada f ∈ F . Un simple ejemplo es el funcional evaluacion

puntual φ(f) = f(ζ) para un ζ ∈ Ω fijo.

Definicion. Un funcional φ es llamado continuo si φ(fn) → φ(f) cuando

una sucesion de funciones fn ∈ F converge uniformemente en compactos de

Ω a una funcion f ∈ F .

Para un funcional φ dado definido sobre una familia F , es natural poseer

el problema extremal de hallar el supremo de Re φ sobre F . Problemas

extremales juegan un rol central en la teorıa geometrica de funciones, por

dos importantes razones. Por un lado, estas formulan problemas de hallar

estimaciones optimas para ciertos cantidades geometricas. Obviamente, el

conocimiento explicito de

supf∈F

Re φ(f) = M <∞

da la desigualda optima Re φ(f) ≤ M para todo f ∈ F . Por otro lado,

si sucede que el supremo es obtenido para alguna funcion f ∈ F , la cual es

entonces llamada uma funcion extremal. Como una regla general, funciones

extremales son distinguidas por elegantes propiedades que no son poseıdas

§1.5. El Teorema del Mapeo de Riemann 7

por los otros mienbros de F . Problemas extremales por lo tanto dan un efec-

tivo metodo para establecer la existencia de funciones con ciertas propiedades

naturales. Esto es un metodo estandar, por ejemplo, en la construccion de

mapeos conformes canonicos de dominios conexos multiples. Como una im-

portante ilustracion, el metodo que aplicaremos en la siguiente seccion para

la prueba del teorema del mapeo de Riemann.

El principio basico es que cuando un problema extremal es poseıdo por

un funcional continuo φ sobre una familia normal compacta F , existe al

menos una funcion extremal. En particular, Re φ es acotada sobre F . De

hecho, si M ≤ ∞ denota el supremo de Re φ sobre F . Eligiendo una

sucesion de funciones fn ∈ F para la cual Re φ(fn) → M . Como F es una

familia normal compacta, alguna subsucesion fnk converge uniformemente

en compactos de Ω a una funcion f ∈ F . Pero φ es continua, luego φ(fnk) →

φ(f). Esto demuestra que M <∞ y Re φ(f) = M para alguna f ∈ F .

Definicion. Una familia G ⊂ F es llamada una subfamilia densa de F si

para cada f ∈ F existe una subsucesion de funciones gn ∈ G la cual converge

a f uniformemente en compactos de Ω.

Si φ es un funcional continuo sobre F , el supremo de Re φ sobre

cualquier subfamilia densa es igual al supremo sobre F .

1.5. El Teorema del Mapeo de Riemann

Teorema del Mapeo de Riemann. Sea Ω un dominio simplemente conexo

distinto de C. Sea a ∈ Ω. Entonces existe una unica funcion f que mapea Ω

conformemente sobre D y tiene la propiedad de que f(a) = 0 y f ′(a) > 0.

Demostracion. La hipotesis que Ω no sea el plano es esencial porque del

teorema de Liouville se sabe que toda funcion entera acotada es constante.

La afirmacion de unicidad es facil de establecer. De hecho, si g es otro mapeo

con las mismas propiedades, la funcion h = g f−1 es un mapeo conforme

del disco sobre si mismo y es por lo tanto de la forma

eiθz − α

1 − αz.


Pero h(0) = 0 y h′(0) > 0, luego h es la identidad. Luego f = g y el mapeo

es unico.

Ahora bien, considere la familia F de todas las funciones f analıticas y

univalentes en Ω, con f(a) = 0, f ′(a) > 0 y |f(z)| < 1 para todo z ∈ Ω.

En virtud del Teorema de Montel F es una familia normal. Se ve que Fes no vacıa, eligiendo la funcion g(z) = (z − α)1/2. Como Ω es simplemente

conexo, g tiene un brazo uno-valuado. Esta funcion g es analıtica y univalente

en Ω, y g(z1) 6= −g(z2) para todo z1, z2 ∈ Ω. Luego como g asume todos

los valores en algun disco |w − g(a)| ≤ ε, al menos omite el disco entero

|w+g(a)| ≤ ε. Sea ψ una transformacion de Mobius de la region |w+g(a)| > ε

sobre D con ψ(g(a)) = 0 y ψ′(g(a)) > 0. Entonces ψ g ∈ F . Ahora sea

supf∈F f′(a) = M ≤ ∞ y eligiendo una sucesion de funciones fn ∈ F para

la cual fn(a) → M . Como F es una familia normal, alguna subsucesion

converge uniformemente en compacto a una funcion analıtica f la cual es

univalente o constante. La funcion lımite tiene la propiedad de que f(a) = 0

y f ′(a) = M > 0. En particular, M <∞ y F no es constante, luego f ∈ F .

La funcion extremal f es el mapeo conforme requerido de Ω sobre el disco

unitario. Si no, entonces f omite algun punto w ∈ D y algun brazo de

F (z) =

f(z) − w

1 − wf(z)

1/2

es analıtica y univalente en Ω. Mas aun, F es univalente en Ω y |F (z)| < 1

para todo z ∈ Ω. La funcion

G(z) = e−iθF (z) − F (a)

1 − F (a)F (z),

donde eiθ = F ′(a)/|F ′(a)|, por lo tanto vive en F . Algunos calculos nos dan

G′(a) =|F ′(a)|

1 − |F (a)|2 =1 + |w|2√|w|

f ′(a) ,

y luego G′(a) > f ′(a). Esto es una contradiccion con la propiedad extremal

de f lo que demuestra que f no puede omitir cualquier punto en D.

Teorema de Extension de Caratheodory. Sea Ω un dominio acotado

por una curva de Jordan γ, y sea f el mapeo de Ω conformemente sobre D.

Entonces f se puede extender a un homeomorfismo de Ω = Ω ∪ γ sobre el

disco cerrado D.

§1.6. Continuacion Analıtica 9

1.6. Continuacion analıtica

Si f y g son analıticas con respecto a dominios disjuntos Ω y D que tienen

un arco Γ de borde comun, si f y g son ambas definidas y analıticas sobre

Γ, y si f(z) = g(z) en Γ, entonces la funcion

F (z) =

f(z) , z ∈ Ω ∪ Γ ,

g(z) , z ∈ D ∪ Γ ,(1.1)

es analıtica en Ω∪Γ∪D. La funcion F es llamada una continuacion analıtica

de f (o g) a traves de Γ en el dominio comun mayor.

Teorema. Sean Ω y D dominios disjuntos con un borde comun Γ arco rec-

tificable. Sea f analıtica en Ω y continua en Ω ∪ Γ, y sea g analıtica en D

y continua en D ∪ Γ. Suponga que f(z) = g(z) para todo z ∈ Γ. Entonces f

tiene una continuacion analıtica F en Ω ∪ Γ ∪D con F (z) = g(z) en D.

Demostracion. Basta probar que la funcion definida en (1.1) es analıtica

sobre Γ. Dado un punto z0 ∈ Γ, elegimos arcos de Jordan γ1 ⊂ Ω y γ2 ⊂ D

con puntos finales comunes sobre Γ cuya union γ = γ1 ∪ γ2 es una curva de

Jordan encerrando z0. Sea α el subarco de Γ dentro de γ. Sean Ω∗ y D∗ los

subdominios de Ω y D encerrados por las curvas de Jordan J1 = γ1 ∪ α y

J2 = γ2 ∪ α, respectivamente.

b z0

γ1

γ2Ω∗

D∗αΩ

D

Por la version extendida del teorema de Cauchy,

1

2πi

∫

J1

f(ξ)

ξ − zdξ =

f(z) , z ∈ Ω∗ ,

0 , z ∈ D∗ .


Similarmente1

2πi

∫

J2

g(ξ)

ξ − zdξ =

0 , z ∈ Ω∗ ,

g(z) , z ∈ D∗ .

Como f(ξ) = g(ξ) en Γ, las dos integrales al ser agregadas producen

1

2πi

∫

γ

F (ξ)

ξ − zdξ = F (Z)

para z ∈ Ω∗ ∪D∗. Pero esta ultima integral es analıtica en torno al dominio

Ω∗ ∪ α ∪D∗ acotado por γ. En particular, F es analıtica en z0. Como z0 es

un punto arbitrario de Γ, esto prueba el teorema.

Principio de Reflexion de Schwarz. Sea f : D → C analıtica y tiene una

extension continua en un arco Γ del borde. Suponga que f(z) es real para

todo z ∈ Γ. Entonces f tiene una continuacion analıtica a traves de Γ dada

por

f(z) = f(1/z) , |z| > 1 .

Demostracion. Para z ∈ = z : |z| > 1 defina g(z) = f(1/z). Entonces

g es analıtica en y continua en ∪ Γ. Mas aun, g(z) ≡ f(z) en Γ, como

f es real valuada ahı. Luego por el principio generalizado de continuacion

analıtica la funcion

F (z) =

f(z) , z ∈ D ∪ Γ ,

g(z) , z ∈ ∪ Γ

es analıtica en D ∪ Γ ∪.

El principio de reflexion de Schwarz tiene una generalizacion local a fun-

ciones que mapean bordes de arcos analıticos en arcos analıticos.

Definicion. Un arco

z = ϕ(t) , a < t < b ,

es llamado un arco analıtico si cada punto t0 ∈ (a, b) la funcion ϕ tiene una

expansion en serie de potencia

ϕ(t) =

∞∑

n=0

bn(t− t0)n , |t− t0| < δ .

§1.7. Funciones Armonicas y Subarmonicas 11

Teorema. Sea f : Ω → C analıtica y tiene una extension continua a un arco

de borde analıtico Γ. Sea γ otro arco analıtico y suponga que f(z) ∈ γ para

cada punto z ∈ Γ. Entonces f es analıica en Γ.

1.7. Funciones Armonicas y Subarmonicas

Es conveniente empezar por establecer el Teorema de Green, el cual apli-

caremos repetidamente. Sea Ω un dominio en el plano con borde γ = ∂Ω

compuesto de un numero finito de curvas de Jordan suaves, orientados en

el sentido positivo. Sean P = P (x, y) y Q = Q(x, y) que tienen primera

derivada continua en Ω. El teorema de Green entonces conecta una integral

de linea sobre γ con una integral de area sobre Ω

∫

γ

Pdx+Qdy =

∫∫

Ω

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

Una version equivalente es

∫

γ

F · nds =

∫∫

Ω

div Fdxdy ,

donde F = ui+ vj es una funcion vectorial con divergencia

div F =∂u

∂x+∂v

∂y,

n es el vector normal unitario en γ, y ds es el elemento de largo de arco.

Aplicando esta formula a la funcion F = ϕ∇ψ, donde ∇ψ es el gradiente de

ψ, obtenemos

∫

γ

ϕ∂ψ

∂nds =

∫∫

Ω

(∂ϕ

∂x

∂ψ

∂x+∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y

)dxdy +

∫∫

Ω

ϕψdxdy .

Aquı ∂ψ/∂n denota la derivada normal de ψ, y

ψ =∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2


denota el Laplaciano de ψ. Intercambiando ϕ y ψ y subtrayendo la formula

correspondiente, obtenemos finalmente∫

γ

(ϕ∂ψ

∂n− ψ

∂ϕ

∂n

)ds =

∫∫

Ω

(ϕψ − ψϕ)dxdy .

Esta es la llamada formula de Green.

Definicion. Una funcion u = u(x, y) con segunda derivada parcial continua

es llamada armonica en un dominio Ω si u = 0 en Ω.

En virtud de las ecuaciones de Cauchy-Riemann la parte real e imaginaria

de una funcion analıtica f(z) = u(z) + iv(z) son ambas armonicas en Ω.

Definicion. Una funcion es llamada conjugada armonica de u si u y v satis-

facen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, esto es, si u+ iv es analıtica.

Cuando una conjugada armonica existe, es unica bajo una constante adi-

tiva arbitraria. Si v es armonica conjugada de u, entonces −u es armonica

conjugada de v.

En un dominio simplemente conexo Ω, toda funcion armonica u tiene una

armonica conjugada v, definida por la integral de lınea

v(z) =

∫

Γ

−∂u∂ydx+

∂u

∂xdy

donde la curva de integracion Γ se extiende desde un punto base fijo z0 ∈ Ω.

La integral es independiente de la curva por el teorema de Green, porque u

es armonica y Ω es simplemente conexo.

Si u es armonica y g es analıtica, entonces la composicion ug es armonica.

Suponga ahora que Ω tiene un borde Γ que consiste de un numero finito

de curvas de Jordan suaves, y sea u armonica en Ω. Entonces por el Teorema

de Green aplicado al gradiente de u, nos da∫

Γ

∂u

∂nds =

∫∫

Ω

udxdy = 0 .

De esto es claro que la integral de u es constante sobre todo circulo suficien-

temente pequeno centrado en un punto dado z0 ∈ Ω; esto es,∫ 2π

0

u(z0 + reiθ)dθ

§1.7. Funciones Armonicas y Subarmonicas 13

es independiente del radio r. Haciendo r → 0, obtenemos la propiedad del

valor medio

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0

u(z0 + reiθ)dθ .

Mas generalmente, u puede ser recobrada desde la funcion del borde sobre

un cırculo |z − z0| = R por la formula de Poisson

u(z0 + reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

PR(r, t− θ)u(z0 +Reit)dt , 0 ≤ r < R ,

donde

PR(r, t) =R2 − r2

R2 − 2Rr cos θ + r2

es el kernel de Poisson. Esto es facil de deducir a partir de la propiedad del

valor medio, considerando la composicion de u con un auto-mapeo conforme

del disco.

El problema de Dirichlet es el de hallar una funcion armonica en Ω y

continua Ω, el cual preserva valores al borde sobre ∂Ω. En el caso especial

donde Ω es el disco |z| < R, la formula de Poisson

u(reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

PR(r, t− θ)ϕ(Reit)dt

produce la solucion para toda eleccion de funcion continua en el borde ϕ.

Definicion. Una funcion u definida en un dominio Ω se dice que tiene la

propiedad del valor medio local si cada punto z0 ∈ Ω existe un radio ρ > 0

tal que

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0

u(z0 + reiθ)dθ

para todo radio r ≤ ρ.

Teorema. Si una funcion continua u es continua y tiene la propiedad del

valor medio local en un dominio Ω, entonces u es armonica en Ω.

Definicion. Una funcion continua u es llamada subarmonica en un dominio

Ω si u(z) ≤ U(z) en cada disco D con D ⊂ Ω, donde U es la integral de

Poisson de u sobre el borde de D.


Definicion. Una funcion u tiene la propiedad del sub-valor medio local si

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0

u(z0 + reiθ)dθ

para cada z0 ∈ Ω y para todo r > 0 suficientemente pequeno.

Es claro que toda funcion subarmonica tiene la propiedad del sub-valor

medio local.

Teorema. Si una funcion u es continua y tiene la propiedad del sub-valor

medio local en un dominio Ω, entonces u es subarmonica en Ω.

Es facil ver que la suma de dos funciones subarmonicas es subarmonica.

Tambien la funcion

w(z) = maxu(z), v(z)

es subarmonica si u y v lo son. Con ayuda de la desigualdad de Jensen

se puede probar que una funcion no decreciente convexa de una funcion

subarmonica tiene la propiedad del sub-valor medio local, y es por lo tanto

subarmonica. El ultimo principio demuestra que |u(z)|p es subarmonica para

cada p ≥ 1 si u es armonica. Si f es analıtica, entonces log |f(z)| es armonica

siempre que f(z) 6= 0 y luego |f(z)|p es subarmonica para cada p > 0.

1.8. Funciones de Green

El problema de Dirichlet para un dominio general con borde suave se

puede resolver por una formula integral analoga a la integral de Poisson

para el disco. El kernel es expresado en terminos de la funcion de Green del

dominio, el cual es obtenido resolviendo un problema especial de Dirichlet

con dato logaritmico en el borde.

Sea Ω dominio infinitamente conexo cuyo borde γ consiste de curvas de

Jordan continua. Fijando un punto arbitrario ξ ∈ Ω. Entonces la funcion de

Green de Ω es la funcion g(z, ξ) de la forma

g(z, ξ) = h(z, ξ) − log |z − ξ|

§1.8. Funciones de Green 15

donde h(z, ξ) es armonica en Ω como una funcion de z y g(z, ξ) = 0 para

todo z ∈ γ. Luego h(z, ξ) es la (unica) solucion del problema de Dirichlet en

Ω con funcion borde log |z − ξ|.Las funciones de Green tienen varias propiedades obvias. Para cada ξ

fijo, es armonica en Ω excepto por una singularidad logaritmica en ξ. Luego

se sigue del principio del maximo que g(z, ξ) > 0 para todo z ∈ Ω. Si la

curva borde de γ son analıticas, entonces g tiene una continuacion armonica

a traves del borde. En particular, g tiene una derivada normal en el borde,

y ∂g/∂n ≤ 0 ahı, donde ∂/∂n denota la derivada en la direccion normal.

Tambien es posible establecer la simetria g(z, ξ) = g(ξ, z), como corolario,

es claro que para cada z ∈ Ω, g(z, ξ) es armonica como funcion de ξ.

Ahora bien, sea Ω un dominio cuyo borde γ consiste de un numero finito

de curvas de Jordan analıticas, y sea u armonica en Ω. Fijando ξ ∈ Ω y sea

Ωε el dominio obtenido desde Ω removiendo un disco pequeno de radio ε

centrada ξ. Sea Γε el cırculo que acota a este disco, y sea γε = γ∪Γε el borde

de Ωε. Entonces por la formula de Green

∫

γε

(u∂g

∂n− g

∂u

∂n

)ds =

∫∫

Ωε

(ug − g∂u)dxdy = 0 ,

donde g = g(z, ξ) es la funcion de Green de Ω. Como g(z, ξ) = 0 sobre γ,

esto se reduce a∫γu∂g

∂nds+

∫

Γε

(u∂g

∂n− g

∂u

∂n

)ds = 0 .

Haciendo ε → 0 y usando la estructura local de g en ξ, obtenemos

u(ξ) = − 1

2π

∫

γ

u(z)∂g

∂n(z, ξ)ds ,

una formula que expresa u(ξ) para cada punto ξ ∈ Ω como una integral con

valores en el borde γ. Si una funcion continua arbitraria ϕ(z) es sustituida

por u(z) en esta formula, da una solucion explicita al problema de Dirichlet.

Infortunadamente, no hemos quitado la dificultad en el calculo de la fun-

cion de Green. Si Ω es simplemente conexo, el problema es equivalente a

hallar el mapeo de Riemann de Ω sobre D. De hecho, si w = f(z) mapea Ω


sobre D, con f(ξ) = 0, entonces

g(z, ξ) = − log |f(z)|

es la funcion de Green de Ω. Recıprocamente, si la funcion de Green g(z, ξ)

es dada, entonces

f(z) = exp−g(z, ξ) − ig(z, ξ)

es un mapeo conforme de Ω sobre D con f(ξ) = 0. Aquı g(z, ξ) denota la

conjugada armonica de g(z, ξ).

1.9. Funciones Armonicas Positivas

Teorema de Representacion de Herglotz. Sea u : D → C armonica

positiva con u(0) = 1. Entonces existe una unica medida unitaria positiva dµ

tal que

u(reiθ) =

∫ 2π

0

P (r, θ − t)dµ(t) , r < 1

donde

P (r, θ) =1 − r2

1 − 2r cos θ + r2

es el kernel de Poisson en D.

Corolario. Sea f : D → C analıtica con Re f(z) > 0. Entonces

f(z) =

∫ 2π

0

eit + z

eit − zdµ(t) + iγ , |z| < 1

donde dµ es una medida positiva y γ es una constante real.

Ejercicios

1. Use el teorema de Rouche para dar una prueba directa del teorema que

el lımite uniforme de funciones univalentes es univalente o constante.

Solucion: Sea fn∞n=1 una sucesion de funciones univalentes en un

dominio Ω que converge uniformemente en compactos de Ω a una fun-

cion f . Supongamos que f no es constante y no es inyectiva en Ω.

Ejercicios 17

Entonces, existe a, b ∈ Ω con a 6= b tal que f(a) = f(b) = ω. Elegimos

r > 0 suficientemente pequeno tal que

D(a, r) ∩D(b, r) = ∅ ,

D(a, r) ∪D(b, r) ⊂ Ω ,

y f(z) − ω 6= 0 en D(a, r) ∪D(b, r). Sea

m = mınz∈Sa

r∪Sbr

|f(z) − ω| ,

entonces m > 0. Por la convergencia uniforme en compactos de Ω,

cuando n es suficientemente grande

|(fn(z) − ω) − (f(z) − ω)| = |fn(z) − f(z)| < m ≤ |f(z) − ω|

para todo z ∈ Sar ∪Sbr . Por el Teorema de Rouche, fn(z)−ω y f(z)−ω

tienen el mismo numero de ceros en D(a, r) y D(b, r). Luego existe

z1 ∈ D(a, r) y z2 ∈ D(b, r) tal que fn(z1)−ω = 0 y fn(z2)−ω = 0 lo que

implica que fn(z1) = fn(z2) con z1 6= z2, lo cual es una contradiccion.

2. Use el Teorema de Rouche para probar que si f es analıtica y univalente

en un dominio Ω, entonces f ′(z) 6= 0 en Ω.

Solucion: Suponga que f ′(z0) = 0 para algun z0 ∈ Ω. Como f no

es constante existe n ∈ N tal quef ′(z0) = f ′′(z0) = · · · = f (n−1)(z0) = 0 , n ≥ 2

f (n)(z0) 6= 0 .

Como f y f ′ tienen ceros aislados entonces existe r > 0 tal que para

todo z ∈ z : 0 < |z − z0| < δ se tiene que f ′(z) y f(z) − w0 no se

anulan con w0 = f(z0). Considere m = mın|z−z0|=r

|f(z) − w0| > 0 y sea

w ∈ 0 < |w − w0| < ε entonces

|(f(z) − w0) − (f(z) − w)| = |w − w0| < ε ≤ |f(z) − w0|

para cada z ∈ z : |z− z0| = r. Por el Teorema de Rouche, f(z)−w0

y f(z) − w poseen la misma cantidad de ceros en z : |z − z0| < r.


Por hipotesis f(z) − w0 tiene al menos un cero doble en z = z0, por lo

que f(z) − w posee dos ceros en z : |z − z0| < r y cada uno es cero

simple por que f ′(z) 6= 0 en z : 0 < |z − z0| < r, lo cual contradice

la inyectividad.

7. Pruebe el principio de subordinacion: Si f es analıtica y univalente en

D y si g es una funcion analıtica en D con g(0) = f(0) y g(D) ⊂ f(D),

entonces |g′(0)| ≤ |f ′(0)| y g(Dr) ⊂ f(Dr) para todo r < 1, donde Dr =

es el disco |z| < r.

Solucion: Considere ϕ = f−1 g entonces ϕ : D → Ω es analıtica

y satisface que ϕ(0) = f−1(g(0)) = f−1(f(0)) = 0 y |ϕ(z)| < 1. Por el

Lema de Schwarz |ϕ′(0)| ≤ 1 y como

ϕ′(0) = (f−1)′(g(0))g′(0) =1

f ′(0)· g′(0)

se obtiene que |g′(0)| ≤ |f ′(0)|.

Capıtulo 2

Teorıa Elemental de Funciones

Univalentes

2.1. Introduccion

La teorıa de funciones univalentes en dominios simplemente conexos dis-

tintos de C es un topico que ha sido sujeto de estudio en los dos ultimos siglos.

En virtud del teorema del mapeo de Riemann, es suficiente estudiar muchas

cuestiones que involucran univalencia en el disco unitario D = z : |z| < 1antes que sobre un dominio simplemente conexo general. Introducimos la

clase S dada por

S = f : D → C | f es univalente y f(0) = 0, f ′(0) = 1.

Si f es cualquier funcion univalente en D y g(z) = (f(z) − f(0))/f ′(0),

entonces g ∈ S, ası el estudio de la clase S proporciona informacion acerca

de cualquier funcion univalente en D.

Una funcion f en la clase S tiene un desarrollo en serie de potencias de la

forma

f(z) = z + a2z2 + · · · + anz

n + · · · , z ∈ D.

Un ejemplo importante de una funcion que pertenece a la clase S lo constituye

la funcion de Koebe

k(z) =z

(1 − z)2= z + 2z2 + · · ·+ nzn + · · · ,

19

20 2. Teorıa Elemental de Funciones Univalentes

la cual mapea D a todo el plano complejo salvo el segmento cerrado del eje

real comprendido entre −∞ a −1/4, y juega un papel extremal en la clase

S.

0 1x

y

k

u

v

0−14

b

Otros ejemplos simples de funciones en S son

(i) f(z) = z, la funcion identidad;

(ii) f(z) = z(1− z)−1, la cual mapea D conformemente sobre el semi-plano

Re w > −12;

(iii) f(z) = z(1−z2)−2, la cual mapea D sobre el plano entero menos menos

las dos semi rectas 12≤ z <∞ y −∞ < x ≤ −1

2;

(iv) f(z) = 12log[(1+ z)/(1− z)]; el cual mapea D sobre la franja horizontal

−π/4 < Im w < π/4;

(v) f(z) = z − 12z2 = 1

2[1 − (1 − z)2], el cual mapea D sobre el interior de

un cardiode.

La clase S no es cerrada bajo la adicion y la multiplicacion, sin embargo es

invariante o cerrada bajo una de serie de transformaciones:

i) Conjugacion:

Si f ∈ S entonces g(z) = f(z) = z + a2z2 + · · ·+ anz

n + · · · ∈ S.

ii) Rotacion:

Si f ∈ S entonces g(z) = e−iθf(eiθz) ∈ S.

§2.1. Introduccion 21

iii) Dilatacion:

Si f ∈ S entonces g(z) =1

rf(rz) ∈ S para todo 0 < r ≤ 1.

iv) Raız Cuadrada:

Si f ∈ S entonces g(z) =√f(z2) ∈ S.

v) Valor Omitido:

Si f ∈ S y ω /∈ f(D) entonces g(z) =ωf(z)

ω − f(z)∈ S.

vi) Transformacion de Koebe:

Si f ∈ S para cada |a| < 1

g(z) =f(z+a1+az

)− f(a)

(1 − |a|2)f ′(a)∈ S.

Intimamente ligada a la clase S esta la clase Σ que consiste en todas las

funciones g univalentes en el complemento = |z| > 1 normalizadas de

modo que

g(z) = z + b0 + b1z−1 + b2z

−2 + · · · .Ası, g(∞) = ∞ es un polo simple con residuo 1.

Cada f ∈ S produce una g ∈ Σ vıa la inversion

g(z) =1

f(

1z

) .

Sin embargo, la funcion g ası definida no asume el valor 0, lo cual resulta una

condicion necesaria para poder definir f ∈ S en terminos de una g ∈ Σ.

Para cada f ∈ S, la funcion

g(z) = f(1/z)−1 = z − a2 + (a22 − a3)z

−1 + · · ·

esta en Σ. Esta transformacion es llamada inversion.

2.2. El Teorema del Area

Teorema 2.1 (Teorema del Area). Si g ∈ Σ, entonces

∞∑

n=1

n|bn|2 ≤ 1.


Demostracion. Sea E el conjunto omitido por g. Para r > 1 sea Cr = g(z :

|z| = r). Dado que g es univalente, Cr es una curva cerrada simple que

encierra un conjunto Er que contiene a E, entonces el area encerrada por la

curva Cr cumple que A(r) > 0.

0 1 rE

Crg

El terorema de Green establece que el area de Er es

A(r) =1

2i

∫

g(cr)

wdw =1

2i

∫

|z|=r

g(z)g′(z)dz

=1

2i

∫ 2π

0

g(reiθ)rieiθg′(reiθ)dθ

=r

2

∫ 2π

0

eiθg′(reiθ)g(reiθ)dθ .

Se tiene que

g(z) = z +∞∑

k=0

bkz−k, g′(z) = 1 −

∞∑

k=1

kbkz−(k+1) ,

entonces

eiθg′(reiθ)g(reiθ) =

1 −

∞∑

k=1

kbkr−(k+1)e−(k+1)iθ

re−iθ +

∞∑

n=0

bnr−neniθ

eiθ

=

1 −

∞∑

k=1

kbkr−(k+1)e−(k+1)iθ

r +

∞∑

n=0

bnr−ne(n+1)iθ

.

Por lo que

A(r) = π

r2 −

∑

n=1

n|bn|2r−2n

, r > 1 .

§2.2. El Teorema del Area 23

Hemos usado el hecho que∫ 2π

0einθdθ = 0, para todo n ∈ Z excepto para

n = −1 en cuyo caso la integral es igual a 2π. Dado que A(r) ≥ 0, concluimos

que∞∑

n=1

n|bn|2r−2n ≤ r2 ,

y haciendo tender r → 1 se obtiene el resultado.

Observacion. Esta desigualdad no es optima si n ≥ 2, debido a que la

funcion g(z) = z + n−1/2z−n no es univalente.

Corolario 2.1. Si g ∈ Σ, entonces |b1| ≤ 1, son igualdad si y solo si g tiene

la forma

g(z) = z + b0 +b1z, |b1| = 1 . (2.1)

Este es el mapeo de sobre el complemento de un segmento lineal de largo

4.

Teorema 2.2 (Teorema de Bieberbach). Si f ∈ S, entonces |a2| ≤ 2, con

igualdad si y solo si f es la rotacion de la funcion de Koebe.

Demostracion. Consideremos la funcion impar

h(z) =√f(z2)

entonces,

g(z) =1

h(

1z

) =

√1

f(

1z2

) = z −a22

z+ · · · .

Luego por el corolario del Teorema del area, se tiene que |a2| ≤ 2. Si hay

igualdad entonces

g(z) = z − eiθ

z,

lo cual nos lleva a la igualdad

1

f(1/z2)=

(z − eiθ

z

)2

=(z2 − eiθ)2

z2=z4(1 − eiθ/z2)2

z2=

(1 − eiθ/z2)2

1/z2.

Por lo tanto,

f(z) =z

(1 − eiθz)2= e−iθk(eiθz) ,

una rotacion de la funcion de Koebe.


Un importante corolario de esta desigualdad es el Teorema 14

de Koebe, que

establece que toda f ∈ S cubre al menos un disco de radio 14

centrado en el

origen. El resultado original de Koebe demostraba el teorema para un cierto

ρ > 0 fijo pero que no determino (1907). Mas tarde fue Bieberbach quien

probo el teorema para el valor optimo de ρ = 14.

Teorema 2.3 (Teorema 14

de Koebe). La imagen de toda f ∈ S contiene el

disco |w| < 14.

Demostracion. Vamos a probar que si ω /∈ f(D) entonces |ω| ≥ 1/4. Sea

ω /∈ f(D) y consideremos

h(z) =ωf(z)

ω − f(z)=

f(z)

1 − f(z)ω

= f(z)

[1 +

f(z)

ω+f(z)2

ω2+ · · ·

]

= z +

(a2 +

1

ω

)z2 + · · · .

Por el teorema de Bieberbach se tiene que∣∣∣∣a2 +

1

ω

∣∣∣∣ ≤ 2

y como |a2| ≤ 2, obtenemos∣∣∣∣1

ω

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣a2 +

1

ω

∣∣∣∣ + |a2| ≤ 4 .

Luego |ω| ≥ 14.

Observacion. Si existe ω /∈ f(D) con |ω| = 1/4 entonces f es rotacion de

Koebe.

Ejemplo. La univalencia es fundamental en el teorema 14

de Koebe. Con-

sidere las funciones analıticas

fn(z) =1

n(enz − 1) , n = 1, 2, . . . ,

las cuales tienen las propiedades fn(0) = 0 y f ′(0) = 1, sin embargo fn omite

el valor −1/n, el cual puede ser elegido arbitrariamente cerca del origen.

§2.3. Teorema de Crecimiento y Distorsion 25

2.3. Teoremas de Crecimiento y Distorsion

Teorema 2.4. Para cada f ∈ S,∣∣∣∣zf ′′(z)

f ′(z)− 2|z|2

1 − |z|2∣∣∣∣ ≤

4|z|1 − |z|2 . (2.2)

Demostracion. Dada f ∈ S y fijando a ∈ D y considere la transformacion

g(z) =

f

(z + a

1 + az

)− f(a)

(1 − |a|2)f ′(a)= z + a2z

2 + · · ·

entonces g ∈ S. Afirmamos que

a2 =1

2

(1 − |a|2)f

′′(a)

f ′(a)− 2a

para ver esto solo hace falta derivar g:

g′(z) =1

(1 − |a|2)f ′(a)f ′(z + a

1 + az

)· 1 − |a|2(1 + az)2

=f ′ ( z+a

1+az

)

f ′(a)(1 + az)2

g′′(z) =f ′′ ( z+a

1+az

) ( 1−|a|2(1+az)2

)(1 + az)2f ′(a) − f ′ ( z+a

1+az

)f ′(a)2a(1 + az)

f ′(a)2(1 + az)4

=(1 − |a|2)f ′(a)

·f ′′ ( z+a

1+az

)

(1 + az)4− 2a

f ′(a)·f ′ ( z+a

1+az

)

(1 + az)3

entonces a2 = g′′(0)2

= 12

(1 − |a|2)f ′′(a)

f ′(a)− 2a

y por el Teorema de Bieber-

bach, |a2| ≤ 2; esto es∣∣∣∣(1 − |a|2)f

′′(a)

f ′(a)− 2a

∣∣∣∣ ≤ 4

o equivalentemente∣∣∣∣af ′′(a)

f ′(a)− 2|a|2

1 − |a|2∣∣∣∣ ≤

4|a|1 − |a|2 .

Teorema 2.5 (Teorema de Distorsion). Para cada f ∈ S,

1 − |z|(1 + |z|)3

≤ |f ′(z)| ≤ 1 + |z|(1 − |z|)3

. (2.3)

Para cada z ∈ D, z 6= 0, la igualdad ocurre si y solo si f es una rotacion de

la funcion de Koebe.


Demostracion. Sea |z| = r y como una desigualdad |α| ≤ c implica −c ≤Re α ≤ c se sigue de (2.2) que

−4r

1 − r2≤ Re

zf ′′(z)

f ′(z)− 2r2

1 − r2

≤ 4r

1 − r2

o equivalentemente

2r2 − 4r

1 − r2≤ Re

zf ′′(z)

f ′(z)

≤ 2r2 + 4r

1 − r2.

Como f ′(z) 6= 0 y f ′(0) = 1, podemos elegir un brazo de log f ′(z). Ahora

observe que

Re

zf ′′(z)

f ′(z)

= r

∂

∂rRe log f ′(z) = r

∂

∂rlog |f ′(z)| .

Luego,

2r − 4

1 − r2≤ ∂

∂rlog |f ′(reiθ)| ≤ 2r + 4

1 − r2. (2.4)

Teniendo θ fijo, integramos con respecto a r desde 0 a R, obtenemos

log1 − R

(1 +R)3≤ log |f ′(Reiθ)| ≤ log

1 +R

(1 −R)3(2.5)

y el teorema de distorsion se sigue por exponenciacion.

Una adecuada rotacion de la funcion de Koebe, cuya derivada es

k′(z) =1 + z

(1 − z)3

demuestra que ambas estimaciones de |f ′(z)| son las mejores posibles. Ademas,

cuando la igualda ocurre para z = Reiθ en cualquiera de las desigualdades de

(2.3), entonces la igualdad tambien ocurre en (2.4) para todo r, 0 ≤ r ≤ R.

En particular,

±4 = Re

eiθf ′′(0)

f ′(0)

= Re eiθ2a2

lo cual implica que |a2| = 2. Luego, por el teorema de Bieberbach, f debe

ser una rotacion de la funcion de Koebe.

§2.3. Teorema de Crecimiento y Distorsion 27

Observacion. La integracion de (2.4) se sigue de la siguiente identidad:

1

1 − r2=

1

2(1 − r)+

1

2(1 + r).

Entonces

∫ R

0

2r ± 4

1 − r2=

∫ R

0

2r

1 − r2dr ± 4

∫ R

0

dr

1 − r2

=− log(1 − r2) ± 2[log(1 + r) − log(1 − r)]

R0

= − log(1 − R2) ± 2 log

(1 +R

1 − R

)

de donde se deduce (2.5).

Teorema 2.6 (Teorema de Crecimiento). Para cada f ∈ S,

|z|(1 + |z|)2

≤ |f(z)| ≤ |z|(1 − |z|)2

. (2.6)



Demostracion. Sean f ∈ S y z = reiθ fijo 0 < r < 1. Observe que

f(z) = f(z) − f(0) =

∫ r

0

f ′(ρeiθ)eiθdρ .

Luego por el teorema de distorsion

|f(z)| ≤∫ r

0

|f ′(ρeiθ)|dρ ≤∫ r

0

1 + ρ

(1 − ρ)3dρ =

∫ r

0

k′(r)dr = k(r) =r

(1 − r)2.

La estimacion inferior es mas sutil. Se satisface trivialmente si |f(z)| ≥ 14,

como r(1 + r)−2 < 14

para 0 < r < 1. Si |f(z)| < 14, el teorema 1

4de Koebe

implica que el segmento radial Γ de 0 a f(z) esta enteramente contenido en

el rango de f . Sea γ la preimagen de este segmento. Entonces γ es un arco

simple de 0 a z y

f(z) =

∫

γ

f ′(ξ)dξ =

∫

Γ

dw


entonces el teorema de distorsion da

|f(z)| =

∣∣∣∣∣∣

∫

Γ

dw

∣∣∣∣∣∣=

∫

Γ

|dw| =

∫

γ

|f ′(ξ)||dξ|

≥∫ r

0

1 − ρ

(1 + ρ)3dρ =

∫ r

0

k′(−ρ)dρ = −k(−r) =r

(1 + r)2.

Igualdad en alguna de las desigualdades de (2.6) implica igualdad en la cor-

respondiente desigualdad de (2.3), lo que implica que f es una rotacion de


Teorema 2.7. Para cada f ∈ S,

1 − |z|1 + |z| ≤

∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤1 + |z|1 − |z| .



Demostracion. La funcion de Koebe tiene k′(z) =1 − z2

(1 − z)4entonces

kk′(z)

k(z)= z

(1 − z2)

(1 − z)4· (1 − z)2

z=

(1 − z)(1 + z)

(1 − z)2=

1 + z

1 − z

y ofrece claramente los casos de igualdad. Sean f ∈ S, a ∈ D fijo y

g(z) =

f

(z + a

1 + az

)− f(a)

(1 − |a|2)f ′(a)

entonces g ∈ S. Por el teorema de crecimiento

|a|(1 + |a|)2

≤ |g(−a)| ≤ |a|(1 − |a|)2

o equivalentemente

|a|(1 + |a|)2

≤∣∣∣∣

f(a)

(1 − |a|2)f ′(a)

∣∣∣∣ ≤|a|

(1 − |a|)2

lo cual prueba lo pedido.

§2.4. Estimacion de Coeficientes 29

2.4. Estimacion de Coeficientes

Hemos visto que cada funcion

f(z) = z +

∞∑

n=2

anzn

de la clase S tiene la propiedad que |a2| ≤ 2 la igualdad ocurre solo para las

rotaciones de la funcion de Koebe

k(z) =z

(1 − z)2=

∞∑

n=1

nzn .

Esto sugiere el problema general de hallar

An = supf∈S

|an| , n = 2, 3, 4, . . . .

Como la funcion de Koebe juega un rol extremal en muchos de los problemas

de la clase S, es natural sospechar el maximo |an| para todo n. Esta es la

famosa conjetura de Bieberbach, propuesta por primera vez en 1916.

Conjetura de Bieberbach. Los coeficientes de cada funcion f ∈ S satis-

facen |an| ≤ n para n = 2, 3, . . .. La desigualdad estricta se satisface para

todo n a menos que f sea una rotacion de la funcion de Koebe.

Probaremos el siguiente lema que nos permitira hallar una cota no optima

para los coeficientes an.

Lema 2.1. Para cada f ∈ S,

1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|dθ ≤ r

1 − r, 0 ≤ r < 1 .

Demostracion. Dada f ∈ S, considere la funcion

g(z) =√f(z2) =

∞∑

n=1

cnzn

la cual pertenece a S entonces por el Teorema de crecimiento tenemos que

|g(z)| ≤ r

1 − r2, |z| = r < 1 .

§2.5. Funciones Convexas y Estrelladas 31

Teorema 2.8 (Teorema de Littlewood). Los coeficientes de cada funcion

f ∈ S satisfacen |an| < en para n = 2, 3, . . ..

Demostracion. Los coeficientes an son dados por

an =1

2πi

∫

|z|=r

f(z)

zn+1dz =

1

2π

∫ 2π

0

e−inθr−nf(reiθ)dθ ,

luego

|an|rn ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|dθ ,

combinando esto con la desigualdad obtenida en el lema anterior obtenemos

|an| ≤1

rn−1(1 − r).

Tomando, en particular r = 1 − 1n, se obtiene

|an| ≤ n

(1 +

1

n− 1

)n−1

< en .

Littlewood probo este teorema en 1925 y desde esa fecha hasta la de-

mostracion de la conjetura de Bieberbach, la constante e fue sucesivamente

mejorada, sin embargo sus demostraciones fueron menos elegantes que la

simple demostracion de este teorema. La desigualdad del Lema tiene otra

interesante aplicacion, tambien debida a Littlewood. Sea

Lr(f) = r

∫ 2π

0

|f ′(reiθ)|dθ

el largo de arco de la imagen del cırculo |z| = r bajo el mapeo f ∈ S.

Entonces tenemos el siguiente estimativo.


Lr(f) ≤ 2πr(1 + r)

(1 − r)2, 0 ≤ r < 1 .


Demostracion. Aplicando la desigualdad en el lema anterior y la desigualdad

en el teorema 2.7, obtenemos

Lr(f) =

∫ 2π

0

∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ |f(z)|dθ ≤ 2πr(1 + r)

(1 − r)2,

donde z = reiθ.

La cota optima para Lr(f) no se sabe.

2.5. Funciones Convexas y Estrelladas

Definicion. Un conjunto E ⊂ C es llamado estrellado con respecto a un

punto w0 ∈ E fijo, si para cada z ∈ E:

(1 − t)w0 + tz ∈ E, ∀ 0 ≤ t ≤ 1 : .

Definicion. Se dice que f ∈ S es una funcion estrellada si la imagen f(D)

es un dominio estrellado con respecto al origen 0 y la denotamos por S∗.

Definicion. Se dice que f ∈ S es una funcion convexa si la imagen f(D) es

un dominio convexo en C y la denotamos por C.

Definicion. Denotaremos por P la clase de funciones p : D → C analıticas

con p(0) = 1 y

Re p(z) > 0 , ∀ z ∈ D .

Recordando la formula de Herglotz, toda ϕ ∈ P se puede representar

como una integral de Poisson-Stieljes

p(z) =

∫ 2π

0

eit + z

eit − zdµ(t) (2.7)

donde dµ(t) ≥ 0 y∫dµ(t) = 1 .

Lema de Caractheodory. Si ϕ ∈ P y

ϕ(z) = 1 +

∞∑

n=1

cnzn

entonces |cn| ≤ 2, n = 1, 2, .... Esta desigualdad es optima para cada n.


Demostracion. Notemos que

eit + z

eit − z=

1 + e−itz

1 − e−itz= (1 + e−itz)

∞∑

n=0

e−itnzn

=∞∑

n=0

e−itnzn +∞∑

n=0

e−it(n+1)zn+1 = 1 + 2∞∑

n=0

e−itnzn .

Entonces, en virtud de la representacion (2.7) nos da

cn = 2

∫ 2π

0

e−intdµ(t) , n = 1, 2, . . . .

Luego |cn| ≤ 2, con igualdad si y solo si e−int tiene signo constante sobre el

soporte de la medida dµ. En particular, la igualdad se satisface para todo n

para la funcion

ϕ(z) =1 + z

1 − z= 1 + 2

∞∑

n=1

zn .

Observacion. p ∈ P si y solo si p(z) =1 + ϕ(z)

1 − ϕ(z)donde ϕ : D → D y

ϕ(0) = 0.

En efecto, tenemos que si p(z) =1 + ϕ(z)

1 − ϕ(z)entonces Re p(z) = 1−|ϕ(z)|2

|1−ϕ(z)|2 .

Recıprocamente podemos considerar g(z) =1 + z

1 − zentonces ϕ : D → D dada

por ϕ(z) = g−1(p(z)) es tal que ϕ(0) = 0, por el Lema de Schwartz |ϕ(z)| ≤|z| y p(z) = g(ϕ(z)) =

1 + ϕ(z)

1 − ϕ(z).

Ahora, dado ǫ > 0 consideremos

f(z) =1 + (1 + ǫ)z

1 − (1 + ǫ)z= 1 + 2

∞∑

n=1

(1 + ǫ)nzn

entonces |ϕ(z)| = |(1 + ǫ)| < 1 + ǫ entonces f /∈ P y |cn| = 2(1 + ǫ)n.

En particular, si |cn| = 2 para cada n ≥ 1 entonces

p(z) =1 + eiθz

1 − eiθz= 1 + 2

∞∑

n=1

eiθnzn .


Teorema 2.10. Sea f analitica en D, con f(0) = 0 y f ′(0) = 1. Entonces

f ∈ S∗ si, y solo si zf ′(z)f(z)

∈ P

Demostracion. Sea Dr = z : |z| < r, r < 1. Afirmamos que f(Dr) es un

dominio estrellado para cada r < 1. En efecto, como f(z) es analıtica en Dr

la inversa f−1(w) es analıtica en f(Dr). Para r ∈ (0, 1), sea 0 < t < 1 y

consideremos g : D → C dada por

g(z) = f−1(tf(z))

esta funcion esta bien definida debido a que f es una funcion estrellada y

satisface g(0) = 0 y |g(z)| < 1, en virtud del Lema de Schwarz |g(z)| ≤ |z|.Luego

tf(z) = f(g(z)) ∈ f(Dr), para |z| < 1 .

Entonces, f(Dr) es un dominio estrellado con respecto a 0.

b

b

r−rx

y

z

0

u

v

f(z)f

0

Consideraciones geometricas nos dan que la imagen del cırculo |z| = r es una

curva estrellada con respecto a 0; esto es, arg f(reiθ) es creciente cuando θ

crece en [0, 2π]; es decir,

∂

∂θarg f(reiθ) ≥ 0


y como

∂

∂θarg f(reiθ) =

∂

∂θIm log f(reiθ)

= Im

zf ′(z)

f(z)

, z = reiθ

= Re

zf ′(z)

f(z)

.

Entonces,

Re

zf ′(z)

f(z)

≥ 0, para |z| = r < 1

y p(z) =zf ′(z)

f(z)es tal que p(0) = 1, como r es arbitrario, se obtiene que

Re

zf ′(z)

f(z)

> 0, en D .

Recıprocamente, si p(z) =zf ′(z)

f(z)∈ P. Entonces, f(z) 6= 0 para todo z ∈

D − 0 de lo contrario p(z) tendrıa un polo en D. De manera similar, para

0 < r < 1, tenemos que

Re

zf ′(z)

f(z)

=

∂

∂θarg f(reiθ) > 0, θ ∈ [0, 2π] .

Luego, arg f(reiθ) es una funcion creciente de θ y f tiene un solo cero simple

en todo D. Entonces∫ 2π

0

∂

∂θarg f(reiθ)dθ = Re

1

i

∫

|z|=r

f ′(z)

f(z)dz

= 2π .

Luego, f(∂D) da una vuelta entorno al origen con argumento creciente en-

tonces no puede tener auto-intersecciones. Se concluye que, f(∂D) es una cur-

va cerrada simple que acota un dominio estrellado. Mas aun, f es inyectiva en

el circulo |z| = r entonces f es univalente en Dr. En efecto, si w /∈ f(∂D) = γ

por el principio del argumento el numero de ceros de f(z) − w es dado por

Indγ(z) =1

2πi

∫

γ

dξ

ξ − w=

1 dominio acotado

0 dominio no acotado.

Luego, el numero de ceros es 1 y f es inyectiva. Por ser r arbitrario f es

univalente y estrellada en D.


Teorema 2.11. Sea f analitica en D, con f(0) = 0 y f ′(0) = 1. Entonces

f ∈ C si, y solo si

1 + zf ′(z)f(z)

∈ P

Demostracion. Afirmamos que f(Dr) es un dominio convexo para cada r < 1.

Sean z1, z2 ∈ Dr con |z1| ≥ |z2| < r y w1 = f(z1), w2 = f(z2) y

w0 = tw1 + (1 − t)w2, 0 ≤ t ≤ 1

como f es convexa, existe un unico punto z0 ∈ D tal que f(z0) = w0. La

funcion

ψ(z) = tf

(z1z2z

)+ (1 − t)f(z)

es analitica en D, con ψ(0) = 0 y ψ(z2) = w0. Como f ∈ C la funcion

ϕ(z) = f−1(ψ(z))

esta bien definida, como h(0) = 0 y |ϕ(z)| ≤ 1, por el Lema de Schwarz

|ϕ(z)| ≤ |z|. Luego,

|z0| = |ϕ(z2)| ≤ |z2| < r ⇒ w0 ∈ f(Dr) .

Por lo tanto, f(Dr) es convexo para cada r < 1.

rx

y

z

0

u

v

f(z)f

0

b

b

b

b

Ahora, como f(Dr) es un dominio convexo, el argumento del vector tangente

a f(∂Dr) es una funcion no decreciente de θ ∈ [0, 2π], es decir

∂

∂θ

(arg

∂

∂θf(reiθ)

)≥ 0


y como

∂

∂θ

(arg

∂

∂θf(reiθ)

)=

∂

∂θ

(argireiθf ′(reiθ)

)

= Im

∂

∂θ

(log(ireiθf ′(reiθ))

)

= Im

i

(1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

), z = reiθ

= Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

.

Entonces,

Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

≥ 0, para |z| = r < 1

y p(z) = 1 +zf ′′(z)

f ′(z)es tal que p(0) = 1, como r es arbitrario, se obtiene que

Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

> 0 , en D .

Recıprocamente, si p(z) = 1 +zf ′′(z)

f ′(z)∈ P entonces f ′(z) 6= 0 para todo

z ∈ D − 0. Para r ∈ (0, 1) fijo se tiene que

∂

∂θ

(argireiθf ′(reiθ)

)> 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π .

Luego, el argumento de la tangente de la curva γ = f(∂Dr), es una funcion

no decreciente de θ. Una integracion muestra que el incremento total de

ψ(θ) = arg

∂

∂θf(reiθ)

en [0, 2π] es igual a 2π.

∫ 2π

0

ψ′(θ)dθ =

∫ 2π

0

∂

∂θarg[ireiθf ′(reiθ)]dθ

=

∫ 2π

0

Re

1 +

reiθf ′′(reiθ)

f ′(reiθ)

dθ

= Re

∫

|z|=r

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

dz

iz= 2π

entonces, f(∂Dr) es una curva simple convexa y f(Dr) es un dominio convexo.

Mas aun, f es inyectiva en el circulo |z| = r.


Teorema 2.12 (Teorema de Alexander). Sea f analitica en D, con f(0) = 0

y f ′(0) = 1. Entonces f ∈ C si, y solo si zf ′(z) ∈ S∗.

Demostracion. Si ϕ(z) = zf ′(z) entonces

ϕ′(z) = f ′(z) + zf ′′(z) ⇒ zϕ′(z) = zf ′(z) + z2f ′′(z) .

Entonces,zϕ′(z)

ϕ(z)= 1 +

zf ′′(z)

f ′(z).

El resultado se siguie de los dos teoremas anteriores.

Teorema 2.13. Para cada numero positivo ρ ≤ 2−√

3, cada funcion f ∈ S

mapea el disco |z| < ρ sobre un dominio convexo. Esto es falso para todo

ρ > 2 −√

3.

Demostracion. Sabemos que

Re

zf ′′(z)

f ′(z)

≥ 2r2 − 4r

1 − r2⇒ Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

≥ 1 − 4r + r2

1 − r2

como 1 − 4r + r2 > 0 para r < 2 −√

3 entonces f mapea Dr en un dominio

convexo.

Observacion. La funcion de Koebe, satisfece

1 +zk′′(z)

k′(z)=

1 − 4z + z2

1 − z2,

lo cual prueba que la cota 2 −√

3 es optima.

El numero 2 −√

3 = 0,267 . . . es llamado el radio de convexidad para la

clase S.

Teorema 2.14. Si f(z) = z + a2z2 + ...+ anz

n + ... ∈ S∗ entonces |an| ≤ n

para n = 2, 3, ..., con desigualdad estricta para todo n a no ser que f sea una

rotacion de la funcion de Koebe.

Demostracion. Dada f ∈ S∗ definimos

ϕ(z) =zf ′(z)

f(z)= 1 +

∞∑

n=1

cnzn


entonces p ∈ P y tenemos que

zf ′(z) =∞∑

n=1

nanzn = ϕ(z)f(z)

=

(1 +

∞∑

n=1

cnzn

)( ∞∑

n=1

anzn

)

=∞∑

n=1

anzn +

( ∞∑

n=1

cnzn

)( ∞∑

n=1

anzn

)

comparando los coeficientes de zn, se obtiene

nan = an +

n−1∑

k=1

cn−kak ∀ n ≥ 1

donde a1 = 1. Por induccion supongamos que |ak| ≤ k para k = 1, 2, ..., n−1,

con n ≥ 2. Entonces,

(n− 1)|an| ≤n−1∑

k=1

|cn−k||ak| ≤ 2

n−1∑

k=1

k = (n− 1)n

entonces |an| ≤ n.

Corolario 2.2. Si f ∈ C, entonces |an| ≤ 1 para n = 2, 3, ..., con desigualdad

estricta para todo n a no ser que f sea una rotacion de la funcion ℓ definida

por ℓ(z) = z(1 − z)−1.

Demostracion. Si f ∈ C si y solo si zf ′(z) ∈ S∗ entonces |nan| ≤ n de donde

|an| ≤ 1 para cada n ≥ 2. Ademas la funcion

ℓ(z) =

∞∑

n=1

zn =z

1 − z

satisface zℓ′(z) = k(z).

Varias desigualdades para la clase S, tales como los teoremas de distorsion

y crecimiento, se mantienen optimas en S∗ porque la funcion de Koebe es

estrellada y es extremal en toda la clase S. Sin embargo, estas estimaciones

se pueden mejorar para la clase C, la cual excluye a la funcion de Koebe.

Como era de esperar, la transformacion ℓ es la funcion extremal en C.


Teorema 2.15. El imagen de toda funcion f ∈ C contiene el disco |w| < 12.

Demostracion. Por demostrar que si w /∈ f(D) entonces |w| ≥ 12.

Sea w /∈ f(D) y definimos g(z) = (f(z) − w)2, z ∈ D. La unica manera de

que g no sea univalente es que existan z, u ∈ f(D), z 6= u colinelaes con w

y |w − z| = |w − u|, como f es convexa entonces w ∈ f(D), lo cual es una

contradiccion, luego g es univalente y

g(0) = w2, g′(0) = −2w .

Tomando

h(z) =w2 − g(z)

2w⇒ h ∈ S

como h(z) 6= 12w ya que g no posee ceros. entonces por el teorema de 1

4de

Koebe se tiene que ∣∣∣∣1

2w

∣∣∣∣ ≥1

4⇒ |w| ≥ 1

2.

2.6. Funciones Casi-Convexas

Definicion. Una funcion f : D → Ω analıtica es llamada casi-convexa (close-

to-convex) si existe una funcion convexa g tal que

Re

f ′(z)

g′(z)

> 0 , ∀ z ∈ D .

Definicion. Denotaremos por K la clase de funciones casi-convexas f nor-

malizadas por f(0) = 0 y f ′(0) = 1.

Observacion. Toda funcion convexa es casi-convexa. Mas generalmente, to-

da funcion estrellada es casi-convexa. De hecho, por el teorema de Alexander,

cada f ∈ S∗ tiene la forma f(z) = zg′(z) para alguna g ∈ C y

Re

f ′(z)

g′(z)

= Re

zf ′(z)

f(z)

> 0 .

Esta observacion se resume por la cadena de inclusiones propias

C ⊂ S∗ ⊂ K .

§2.6. Funciones Casi-Convexas 41

Teorema 2.16 (Teorema de Noshiro-Warschawschi). Si f es analıtica en

un dominio convexo Ω y Re f ′(z) > 0 para todo z ∈ Ω, entonces f es

univalente en Ω.

Demostracion. Sean z1, z2 ∈ Ω con z1 6= z2 y z(t) = (1− t)z1 + tz2, t ∈ [0, 1].

Entonces, como Ω es convexo tenemos que z(t) ⊂ Ω, t ∈ [0, 1] y luego

f(z2) − f(z1) =

∫ z2

z1

f ′(z)dz = (z2 − z1)

∫ 1

0

f ′(z(t))dt .

Por la hipotesis deducimos que

Re

f(z2) − f(z1)

z2 − z1

=

∫ 1

0

Re f ′(z(t))dt > 0 .

Por lo tanto, f es inyectiva en Ω.

Teorema 2.17. Toda funcion casi-convexa es univalente.

Demostracion. Si f ∈ K entones Re f ′(z)/g′(z) > 0 para alguna g ∈ C.

Sea Ω el rango de g y considere h(w) = f(g−1(w)), w ∈ Ω, entonces

h′(w) = f ′(g−1(w)) · (g−1)′(w) =f ′(z)

g′(z), z = g−1(w)

luego Re h′(w) > 0 en Ω, por el teorema anterior, h es univalente y luego

f tambien lo es debido a que g esta en S.

Lema 2.2. Sea ϕ : R → R continua, con la propiedad ϕ(t+ 2π) = ϕ(t) + 2π

y

ϕ(t2) − ϕ(t1) > −π , t1 < t2 . (2.8)

Entonces existe una funcion continua no decreciente ψ tal que ψ(t + 2π) =

ψ(t) + 2π y |ϕ(t) − ψ(t)| ≤ π/2.

Demostracion. Considere la funcion

ψ(t) = maxs≤t

ϕ(s) − π

2,

la cual es continua y para t1 < t2 tenemos que

ψ(t1) − ψ(t2) = maxs≤t1

ϕ(s) − maxs≤t2

ϕ(s) ≤ 0


por lo que ψ es no decreciente. En virtud de las propiedades de ϕ,

ψ(t+ 2π) = maxs≤t

ϕ(s+ 2π) − π

2= ψ(t) + 2π .

y

ϕ− π

2≤ ψ(t) ≤ [ϕ(t) + π] − π

2= ϕ(t) +

π

2en la segunda desigualdad se ha usado la propiedad (2.8), lo cual implica que

|ϕ(t) − ψ(t)| ≤ π/2.

Teorema 2.18 (Teorema de Kaplan). Sea f : D → Ω analıtica y localmente

univalente. Entonces f es casi-convexa si y solo si∫ θ2

θ1

Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

dθ > −π (2.9)

con θ1, θ2 ∈ R con θ1 < θ2.

Demostracion. Sean f ∈ K y g ∈ C la funcion asociada a f .

| arg f ′(z) − arg g′(z)| ≤ π

2.

Sean

F (r, θ) = arg

∂

∂θg(reiθ)

= argrieiθf ′(reiθ) = argf ′(reiθ) +

π

2+ θ .

y

G(r, θ) = arg

∂

∂θg(reiθ)

= arg g′(reiθ) +

π

2+ θ .

Como g ∈ C entonces G(r, θ) es una funcion creciente de θ, de hecho

∂

∂θG(θ, r) =

∂

∂θ

arg

∂

∂θg(reiθ)

≥ 0 .

La condicion de casi-convexa toma la forma

|F (r, θ) −G(r, θ)| < π

2Luego para θ1 < θ2∫ θ

θ1

Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

dθ =

∫ θ

θ1

∂

∂θ

(arg

∂

∂θf(reiθ)

)dθ

= F (r, θ2) − F (r, θ1)

= [F (r, θ2) −G(r, θ2)]

+[G(r, θ2) −G(r, θ1)] + [G(r, θ1) − F (r, θ1)]

> −π2

+ 0 − π

2= −π

§2.6. Funciones Casi-Convexas 43

lo cual prueba la primera implicacion. Recıprocamente, suponga que f es

localmente univalente con la propiedad (2.9) y sea

ϕr(t) =

∫ t

0

Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

dθ , z = reiθ .

Como f ′(z) 6= 0 en D, arg f ′(reiθ) es una funcion periodica de θ, y luego

ϕr(t+ 2π) − ϕr(t) = F (r, t+ 2π) − F (r, t) = 2π .

La condicion (2.9) toma la forma

ϕr(t2) − ϕr(t1) > −π , t1 < t2 .

Por el lema anterior, existe una funcion ψr no decreciente con ψr(t + 2π) =

ψr(t) + 2π y

|ϕr(t) − ψr(t)| ≤π

2.

Para ρ < 1 fijo, definimos hρ analıtica en |z| < ρ por la integral de Poisson

hρ(z) =1

2π

∫ 2π

0

ζ + z

ζ − z[ψρ(t) − t]dt , ζ = ρeit .

Entonces

Re hρ(reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

Pρ(r, θ − t)[ψρ(t) − t]dt ,

donde

Pρ(r, θ − t) =ρ2 − r2

ρ2 − 2rρ cos θ + r2

es el kernel de Poisson para el disco |z| < ρ. Como

ψρ(t+ 2π) − (t+ 2π) = ψρ(t) + 2π − (t+ 2π) = ψρ + t

la funcion [ψρ(t)− t)] es periodica y ψρ es no decreciente, una integracion por

partes da

∂

∂θRe hρ(reiθ) =

1

2π

∫ 2π

0

Pρ(r, θ − t)[dψρ(t) − dt] > −1 .

Aplicando esto a la funcion analıtica

gρ(z) = eiαρ

∫ z

0

eihρ(w)dw , |z| < ρ


donde αρ es un numero real que despues elegiremos, hallamos

Re

1 +

zg′′ρ(z)

g′ρ(z)

= 1 + Re

zeiαρih′ρ(z)e

ihρ(z)

eiαρeihρ(z)

= 1 + Re izh′ρ(z)

= 1 + Re

∂

∂θhρ(re

iθ)

= 1 +∂

∂θRe hρ(reiθ) > 0 .

Entonces gρ(z) es convexa en |z| < ρ. Mas aun,

arg g′ρ(z) = Re hρ(z) + αρ

y

arg f ′(reiθ) = F (r, θ) − π

2− θ

= ϕr(θ) + F (r, 0) − π

2− θ .

Pero arg f ′(z) es una funcion armonica, luego podemos expresarla como una

integral de Poisson

arg f ′(reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

Pρ(r, θ − t) arg f ′(ρeit)dt , r < ρ .

Ahora eligiendo αρ = F (ρ, 0) − π/2 y obtenemos para |z| < ρ

arg f ′(z) − arg g′ρ(z) =1

2πPρ(r, θ − t)[ϕρ(t) − ψρ(t)]dt , z = reiθ .

Como |ϕρ(t) − ψρ(t)| ≤ π/2, se sigue que

| arg f ′(z) − arg g′ρ(z)| ≤π

2, |z| < ρ .

Finalmente observe que gρ(0) = 0 y |g′ρ(0)| = 1 para todo ρ < 1. De esto

podemos inferir que las funciones gρ constituyen una familia normal. Mas

precisamente, para cada ρ0 < 1 fijo, la funciones gρ con ρ > ρ0 constituyen

una familia normal en el disco |z| < ρ0. Por lo tanto, por el proceso diagonal,

podemos extraer una sucesion gρj con ρj → 1 la cual converge uniforme-

mente en compactos de D a una funcion analıtica g. Debido a las propiedades

de las funciones gρj, la funcion lımite g es convexa y

Re

f ′(z)

g′(z)

≥ 0 , |z| < 1 .

Luego f es una funcion casi-convexa.

§2.7. Funciones Espiral 45

2.7. Funciones Espiral

Esta es otra generalizacion natural de funciones estrelladas.

Definicion. Una espiral logaritmica es una curva en el plano complejo de la

forma

w = w0e−λt , −∞ < t <∞ ,

donde w0, λ ∈ C con w0 6= 0 y Re λ 6= 0. Sin perdida de generalidad se

puede asumir que λ = eiα con −π/2 < α < π/2. La curva es llamada entonces

una α-espiral.

Observacion. Observe que 0-espiral son semi-lıneas radiales y para cada α

(|α| < π2) existe una unica α-espiral que une un punto dado w0 6= 0 con el

origen.

Definicion. Un dominio Ω conteniendo el origen es llamado α-espiral si

para cada punto w0 6= 0 en Ω el arco de la α-espiral desde w0 al origen

esta enteramente contenido en Ω.

b w0

0

Figura: Dominio Espiral

La definicion de dominio α-espiral implica obviamente que el dominio es

simplemente conexo.

Definicion. Una funcion f : D → Ω analıtica y univalente con f(0) = 0, es

llamada α-espiral si el rango es α-espiral. Ademas, una tal funcion es espiral

si es α-espiral para algun α.


Observacion. Las 0-espiral son simplemente las funciones estrelladas.

Lema 2.3. Sea ϕ : D → Ω analıtica con Re ϕ(z) > 0 en D. Entonces para

cada ξ ∈ D el problema de valor-inicial

dz

dt= −zϕ(z) , z(0) = ξ (2.10)

define una funcion z = z(t, ξ) con modulo estrictamente decreciente en el

intervalo 0 ≤ t <∞, tendiendo a cero cuando t→ ∞.

Demostracion. Tomando parte real de (2.10) hallamos

0 > −Reϕ(z) = Re

dz

dt· 1

z

= Re

d

dtlog z

=

d

dtRelog z =

d

dtlog |z|,

se sigue a partir del grafico del logaritmo que |z| decrece cuando t crece. La

solucion z = z(t, ξ) es por lo tanto definida para todo t ≥ 0 y junto con la

condicion inicial z(0) = ξ nos da

|z(t, ξ)| ≤ |ξ| .

Luego por principio del maximo para funciones armonicas

Re ϕ(z(t, ξ)) ≤ δ , 0 ≤ t <∞ ,

para algun δ > 0. Se sigue que de la cadena de igualdades anteriormente

obtenida qued

dtlog |z(t, ξ)| < −δ

luego |z(t, ξ)| < |ξ|e−δt → 0 cuando t→ ∞.

Teorema 2.19. Sea f : D → Ω analıtica con f(0) = 0, f ′(0) 6= 0 y f(z) 6= 0

para 0 < |z| < 1. Sea α ∈ (−π2, π

2). Entonces f es α-espiral si y solo si

Re

e−iα

zf ′(z)

f(z)

> 0 . (2.11)

Demostracion. Supongamos que (2.11) se satisface y consideremos la funcion

ϕ con parte real positiva dada por

ϕ(z) =λf(z)

zf ′(z), λ = eiα .

§2.7. Funciones Espiral 47

Para cada ξ ∈ D sea z = z(t, ξ) la funcion definida en el lema anterior y sea

w = w(t, ξ) = f(z(t, ξ))

entonces (2.10) nos da w(0, ξ) = f(ξ) y

dw

dt= f ′(z)

dz

dt= −zϕ(z)f ′(z) = −λw

lo cual implica que

w(t, ξ) = f(ξ)e−λt , 0 ≤ t <∞ .

Esto demuestra que para cada ξ ∈ D la funcion f mapea la curva z = z(t, ξ)

sobre el arco de la α-espiral desde ξ a 0. Luego el rango de f es α-espiral.

Probemos que f es univalente, suponga que f(ξ1) = f(ξ2) para puntos ξ1, ξ2 ∈D. Entonces, w(0, ξ1) = w(0, ξ2) luego w(t, ξ1) = w(t, ξ2) para todo t ≥ 0.

Ahora por hipotesis f ′(0) 6= 0 implica que f es univalente en algun disco

|z| < ε. Por el lema anterior |z(t, ξ1)| < ε y |z(t, ξ2)| < ε para todo t > t0

para algun t0. Se sigue que z(t, ξ1) = z(t, ξ2) para todo t > t0 y luego por

unicidad z(t, ξ1) = z(t, ξ2) para todo t ≥ 0. En particular, z(0, ξ1) = z(0, ξ2)

lo que implica que ξ1 = ξ2, lo cual prueba la univalencia.

Recıprocamente, sea f univalente y α-espiral para algun α con |α| < π/2.

Entonces para cada ξ ∈ D el rango de f contiene todos los arcos de la α-

espiral w = f(ξ)e−λt, t ≥ 0 donde λ = eiα. Por lo tanto, es posible definir la

curva

z = z(t, ξ) = f−1(f(ξ)e−λt) , 0 ≤ t <∞ . (2.12)

Claramente, z(0, ξ) = ξ. Para cada t fijo la funcion z(t, ξ) es analıtica en ξ,

y tiene la propiedad |z(t, ξ)| < 1 y z(t, 0) = 0, luego por el lema de Schwarz

|z(t, ξ)| ≤ |ξ|. En otras palabras, es claro desde (2.12) que

f ′(z(t, ξ))∂z

∂t(t, ξ) = −λe−λtf(ξ) ,

note que en t = 0 obtenemos la igualdad

f ′(ξ)∂z

∂t(0, ξ) = −λe−λtf(ξ)


se sigue que1

ξ

∂z

∂t(0, ξ) = −e−λt e

iαf(ξ)

ξf ′(ξ)

luego la prueba de (2.11) se reduce a probar que

Re

1

ξ

∂z

∂t(0, ξ)

≤ 0 . (2.13)

Ahora bien, observe que

1

ξ

∂z

∂t(0, ξ) = lım

t→0

z(t, ξ) − z(0, ξ)

tξ= lım

t→0

z(t, ξ) − ξ

tξ= lım

t→0

1

t

(z(t, ξ)

ξ− 1

)

por lo que (2.13) es equivalente a

lımt→0

1

tRe

z(t, ξ)

ξ− 1

≤ 0

esto ultimo es obvio a partir de la desigualdad |z(t, ξ)| ≤ |ξ|.

Ejemplo. Si 0 < |α| < π2

la funcion

f(z) =z

(1 − z)2eiα cosα

es α-espiral pero no casi-convexa.

Ejemplo. Considere

f(z) =z − z2 cosψ

(1 − eiψz)2, cosψ 6= 0

la cual es una funcion casi-convexa pero no espiral.

2.8. Funciones Normalmente Real

El objetivo de esta seccion es probar la conjetura de Bieberbach para

funciones en S con coeficientes reales.

Definicion. Sea SR la clase de funciones univalentes en D

f(z) = z + a2z2 + a3z

3 + · · ·

cuyos coeficientes an son todos reales.

§2.8. Funciones Normalmente Real 49

Si f ∈ SR, entonces f(z) es real sobre el eje real y no es real en el resto

del disco. En efecto, f(z) = f(z)

Es tambien claro que la imagen de cada funcion f ∈ SR es simetrica con

respecto al eje real.

Definicion. Una funcion f : D → C analıtica es llamada normalmente real

si tiene valores reales en el eje real y no reales en los valores restantes.

Observacion. El signo de Im f(z) es constante en cada uno de los semi-

discos arriba y abajo del eje real.

Toda funcion normalmente real tiene coeficientes reales, debido a que an =

f (n)(0)/n!. Sin embargo, una funcion normalmente real no necesariamente es

univalente.

Definicion. Denotaremos por T la clase de funciones normalmente real f

tal que f(0) = 0 y f ′(0) = 1.

Si f ∈ T entonces Im f(z) > 0 cuando Im z > 0 y Im f(z) < 0

cuando Im z < 0, ya que la normalizacion otorga esta propiedad cerca del

origen. Observe que SR ⊂ T .

Definicion. Sea PR el conjunto de funciones ϕ ∈ P cuyos coeficientes son

todos reales: ϕ(z) = ϕ(z).

Teorema 2.20 (Teorema de Rogosinski). Si f ∈ T , entonces

ϕ(z) =1 − z2

zf(z) ∈ PR .

Recıprocamente, si ϕ ∈ PR entonces

f(z) =z

1 − z2ϕ(z) ∈ T .

Demostracion. La funcion h(z) = (1 − z2)/z es la inversion de la trans-

formacion raız cuadrada de la funcion de Koebe la cual mapea D sobre el

complemento de dos arcos radiales sobre el eje imaginario desde ±i/2 a ∞.

Luego h(z) es imaginario sobre el cırculo unitario y

h(eiθ) = −2i sen θ ,


luego Im h(eiθ) es negativa sobre el semi cırculo superior y positiva sobre

el semi cırculo inferior. Tomando f ∈ T , definimos

ϕρ(z) = h(z)f(ρz) , 0 < ρ < 1 .

Entonces ϕρ es analıtica en D y

Re ϕρ(eiθ) = 2 sen θIm f(ρeiθ) ≥ 0

sobre todo el cırculo unitario, como f ∈ T . Se sigue del principio del maximo

para funciones armonicas que Re ϕρ(z) > 0 en D. Haciendo ρ → 1, con-

cluimos que ϕ ∈ P y claramente ϕ ∈ PR. Recıprocamente, para 0 < ρ < 1,

la funcion

fp(z) =ϕ(ρz)

h(z)

es analıtica en D excepto por un polo simple en ±1. La hipotesis que ϕ

tiene coeficientes reales implica que fρ(z) es real sobre el eje real. Como

f ′ρ(0) = 1, es claro que fρ es univalente en alguna vecindad del origen, donde

Im fρ(z) es positiva en el semi-plano superior y negatia en el semi-plano

inferior. Considere ahora la inversion

gρ(z) =1

fρ(z)= h(z)ψ(ρz)

donde ψ = 1/ϕ ∈ PR. Observe que gρ es analıtica en D excepto para un polo

simple en el origen. Sobre el cırculo unitario tenemos

Im gρ(eiθ) = −2 sen θRe ψ(ρeiθ) ,

y luego Im gρ(eiθ) es negativa en el semi-cırculo superior y positiva en el

semi-cırculo inferior. Para 0 < ε < 1, sea D+ε y D−

ε las partes del anillo ε <

|z| < 1 las cuales estan sobre y bajo el semi-plano, respectivamente. Hemos

hallado que gρ(z) es analıtica en la clausura de D+ε y que Imgρ(z) ≤ 0 sobre

el borde ∂D+ε , para cada ε suficientemente pequeno. Luego por el principio

del maximo, Im gρ(z) < 0 en D+ε . Similarmente, Im gρ(z) > 0 en D−

ε .

Esto para ε > 0 arbitrario implica que Imfρ(z) es positiva en el semi-disco

superior y negativa en el semi-disco inferior. Haciendo ρ→ 1 se concluye que

f tiene la misma propiedad, esto prueba que f ∈ T .

§2.9. Un Metodo Varacional Primitivo 51

Ejemplo (Una funcion en T que no es univalente). Sea ϕ(z) = 1−z4 entonces

ϕ ∈ PR y luego el teorema de Rogosinski

f(z) =z

1 − z2ϕ(z) = z + z3 ∈ T

pero f /∈ S ya que f ′(z) = 1 + 3z2 para z = ±i/√

3.

Teorema 2.21. Si f(z) =∑∞

n=0 anzn ∈ T , entonces |an+2 − an| ≤ 2, para

todo n = 0, 1, 2, . . ..

Demostracion. Por el teorema de Rogosinski la funcion

ϕ(z) =1 − z2

zf(z) = 1 +

∞∑

n=0

(an+2 − an)zn+1

pertenece a la clase PR. Se sigue por el lema de Caratheodory que

|an+1 − an| ≤ 2 , n = 0, 1, 2, . . .

donde a0 = 0 y a1 = 1.

Corolario 2.3. Si f ∈ T , entonces |an| ≤ n para todo n = 2, 3, . . .. La

desigualdad es estricta para todo n par a no ser que f es la funcion de Koebe

o es la rotacion real −k(−z). La desigualdad es estricta para todo n impar a

no ser que f es una combinacion convexa de estas dos funciones.

La demostracion del corolario es parte de uno de los ejercicios.

2.9. Un Metodo Varacional Primitivo

Como la clase S es una familia normal y compacta, existe una funcion

f ∈ S cuyo n-esimo coeficiente tiene modulo maximo. Pero toda rotacion de f

es tambien una funcion extremal cuyo n-esimo coeficiente es real y positivo.

Esto demuestra que el problema de maximizar |an| es equivalente a maxi-

mizar Re an. El problema se reduce entonces a construir una perturbacion

suficientemente general que preserva univalencia.


Sea f(z) = z+a2z2 + · · · una funcion en S cuyo n-esimo coeficiente tiene

parte real maxima. Considere la funcion

g(z) =

f

(z + ξ

1 + ξz

)− f(ξ)

(1 − |ξ|2)f ′(ξ)= z + A2(ξ)z

2 + · · ·

obtenido desde f por un automorfismo del disco, donde ξ ∈ D. Si ξ esta cerca

del origen, g puede ser visto como una leve perturbacion de f . Como g ∈ Sy f es extremal, es claro que

Re An(ξ) ≤ Re an , |ξ| < 1 . (2.14)

El efectivo uso de esta desigualdad depende de un analisis asintotico de An(ξ)

cuando ξ → 0. Observe primero que

z + ξ

1 + ξz= (z+ξ)

∞∑

n=0

(−1)n(ξ)nzn = (z+ξ)(1−ξz+O(|ξ|2)) = z+(ξ−ξz2)+O(|ξ|2).

El teorema del binomio por lo tanto da(z + ξ

1 + ξz

)m= zm +m(ξ − ξz2)zm−1 +O(|ξ|2)

para m = 1, 2, . . ., y se sigue que

f

(z + ξ

1 + ξz

)=

∞∑

m=1

amzm +m(ξ − ξz2)zm−1 +O(|ξ|2)

=∞∑

m=1

amzm + ξ

∑

m=1

mamzm−1 + ξ

∞∑

m=1

mamzm+1 +O(|ξ|2)

=

∞∑

m=1

amzm + ξ

∑

m=0

(m+ 1)am+1zm + ξ

∞∑

m=2

(m− 1)am−1zm +O(|ξ|2)

donde a1 = 1. Por otro lado

(1 − |ξ|2)f ′(ξ) = 1 + 2a2ξ + O(|ξ|2)

entonces

[(1−|ξ|2)f ′(ξ)]−1 = [1+2a2ξ+O(|ξ|2)]−1 =

∞∑

n=0

(−1)n2nan2ξn+O(|ξ|2) = 1−2a2ξ+O(|ξ|2).

§2.10. Crecimiento de Integrales Medias 53

Las ultimas expansiones llevan a la formula asintotica

An(ξ) = (an + ξ(n+ 1)an+1 + ξ(n− 1)an−1 − ξ)(1 − 2a2ξ) +O(|ξ|2)= an + ξ[(n+ 1)an+1 − 2a2an] − ξ(n− 1)an−1 +O(|ξ|2)

Reemplazando esta ultima igualdad en (2.14), hallamos

Re ξ[(n+ 1)an+1 − 2a2an − (n− 1)an−1] +O(|ξ|2) ≤ 0 .

Ahora dividiendo por |ξ| y haciendo ξ tender a cero a lo largo de rayos

obtenemos (como arg ξ es arbitrario)

(n+ 1)an+1 − 2a2an − (n− 1)an−1 = 0 .

Esto es conocido como la relacion de Marty. Debe ser satisfacida por los coe-

ficientes de cada funcion S cuya n-esimo coeficiente tiene parte real maxima.

Observe que la funcion de Koebe cumple la relacion de Marty

(n+ 1)2 − 4n− (n− 1)2 = 0 .

2.10. Crecimiento de Integrales Medias

Definicion. Definimos para las funciones analıticas en el disco, las integrales

Mp(r, f) =

1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|pdθ1/p

, 0 < p <∞ ;

M∞(r, f) = max|z|=r

|f(z)|

las cuales proporcionan una medida del crecimiento.

Sea f : D → C analıtica. Para 0 < p ≤ ∞, Mp(r, f) es una funcion no

decreciente de r. La funcion f se dice que esta en el espacio de Hardy Hp si

Mp(r, f) permanece acotada cuando r → 1. Como Mp(r, f) ≤ Mq(r, f) para

p < q, el espacio Hp se contrae cuando p crece: Si p < q entonces Hq ⊂ Hp.

Si f ∈ Hp, entonces tiene un lımite radial

f(eiθ) = lımr→1

f(reiθ)


en casi toda direccion. La funcion borde f(eiθ) no se puede anular sobre

cualquier conjunto de medida positiva a no ser que f sea la funcion cero.

Aunque una funcion f ∈ Hp no necesariamente pertenece aHq para cualquier

q > p, es facil demostrar que

Mq(r, f) = O((1 − r)1/q−1/p) , 0 < p < q ≤ ∞ .

Hardy y Littlewood fortalecieron este resultado demostrando que si f ∈ Hp,

entonces para cada λ ≥ p,∫ 1

0

(1 − r)λ(1/p−1/q)−1

Mλq (r, f)dr <∞ , 0 < p < q ≤ ∞ .

En particular, cada f ∈ Hp tiene la propiedad∫ 1

0

Mp∞(r, f)dr <∞ .

La recıproca de esto ultimo es totalmente falsa.

Lema 2.4. Sean C1 y C2 curvas de Jordan suaves alrededor del origen con

C1 dentro de C2. Entonces∫

C1

rpdθ ≤∫

C2

rpdθ , 0 < p <∞ ,

donde (r, θ) son coordenadas polares.

Demostracion. Sea D el dominio anular entre C1 y C2, y sea C su borde. En

virtud de la relacion

dθ =∂θ

∂xdx+

∂θ

∂ydy ,

el teorema de Green da∫

C2

rpdθ −∫

C1

rpdθ =

∫

C

rpdθ

= p

∫∫

D

rp−1

∂r

∂x

∂θ

∂y− ∂r

∂y

∂θ

∂x

dxdy

Pero las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la funcion log z = log r+ iθ son

∂θ

∂y=∂(log r)

∂x=

1

r

∂r

∂y, −∂θ

∂x=∂(log r)

∂y=

1

r

∂r

∂y

§2.10. Crecimiento de Integrales Medias 55

Luego ∫

C

rpdθ = p

∫∫

D

rp

(∂θ

∂x

)2

+

(∂θ

∂y

)2dxdy ≥ 0 ,

lo cual prueba el lema.

Teorema 2.22 (Teorema de Prawitz). Si f ∈ S, entonces para 0 < p <∞,

Mpp (r, f) ≤ p

∫ r

0

1

tMp

∞(t, f)dt , 0 < r < 1 .

Demostracion. Escribimos w = f(reiθ) = ReiΦ y una de las ecuaciones de

Cauchy-Riemann para log f(z) = logR + iΦ toma la forma

1

R

∂R

∂r=

1

r

∂Φ

∂θ.

Sea Cr la imagen bajo f del cırculo |z| = r. Entonces

2πd

drMp

p (r, f) =

∫ 2π

0

∂

∂rRpdθ

= p

∫ 2π

0

Rp−1∂R

∂rdθ =

p

r

∫ 2π

0

Rp∂Φ

∂θdθ =

p

r

∫

Cr

RpdΦ .

Observe ahora que para cada ε > 0, la curva Cr esta dentro del cırculo Γr

definido por

|w| = R = M∞(r, f) + ε

bM∞(r, f)

Cr

Γr

ε


Luego por el lema,∫

Cr

RpdΦ ≤∫

Γr

RpdΦ = 2π[M∞(r, f) + ε]p .

Haciendo ε tender a cero, obtenemos

d

drMp

p (r, f) ≤ p

rMp

∞(r, f)

y el teorema de Prawitz se sigue por integracion.

Corolario 2.4. S ⊂ Hp para todo p < 12.

Demostracion. Si f ∈ S, entonces por el teorema de crecimiento

M∞(r, f) ≤ r

(1 − r)2

y en virtud del teorema de Prawitz obtenemos

Mpp (r, f) ≤ p

∫ r

0

1

tMp

∞(t, f)dt ≤ p

∫ r

0

tp−1

(1 − t)2pdt

la ultima integral converge para todo p < 12. El resultado es optimo ya que

la funcion de Koebe k /∈ H1/2.

2.11. Funciones Univalentes Impar

Para cada funcion f ∈ S, la transformacion raiz cuadrada

h(z) =√f(z2) = z + c3z

3 + c5z5 + · · ·

es una funcion univalente impar. Recıprocamente, es facil ver que toda fun-

cion h ∈ S impar es la transformacion raiz cuadrada de alguna f ∈ S. El

conjunto de todas las funciones impares en S es denotada por S(2). Mas gene-

ralmente, para cada entero m ≥ 2, la clase de todas las transformaciones raiz

n-esima

h(z) = f(zm)1/m = z + cm+1zm+1 + c2m+1z

2m+1 + · · ·

de funciones f ∈ S es denotada por S(m).

§2.11. Funciones Univalentes Impar 57

Ejemplo. La transformacion raiz cuadrada de la funcion de Koebe es

z

1 − z2= z + z3 + z5 + · · · .

Teorema 2.23 (Teorema de Littlewood-Paley). Los coeficientes de toda fun-

cion h ∈ S(2) satisfacen |cn| ≤ A, n = 3, 5, 7, . . ., donde A es una constante

absoluta.

Demostracion. La idea es probar que la derivada de toda funcion h ∈ S(2)

tiene la propiedad

M1(r, h′) ≤ B

1 − r

donde B es una constante absoluta. El resultado se sigue desde la repre-

sentacion de Cauchy de cn, como en la prueba del teorema de Littlewood.

Cada funcion h ∈ S(2) tiene la forma h(z) =√f(z2) para alguna f ∈ S. Dos

transfotmaciones raiz cuadrada producen la funcion univalente

g(z) = h(z4)2/4 = f(z8)1/8 . (2.15)

Derivando la igualdad g(z)4 = h(z4) se obtiene 4g(z)3g′(z) = h′(z4) ·4z3

por lo que

h′(z4) = z−3g(z)3g′(z) .

Por la desigualdad de Schwarz obtenemos

M1(r4, h′) =

1

2π

∫ 2π

0

|h′(r4e4θ)|dθ

=1

2πr−3

∫ 2π

0

|g(reiθ)|3|g′(reiθ)|dθ

≤ r−3

2π

(∫ 2π

0

|g(reiθ)|6dθ)1/2(∫ 2π

0

|g′(reiθ)|2dθ)1/2

= r−3M36 (r, g)M2(r, g

′) .

Por el teorema de Prawitz

M66 (r, g) ≤ 6

∫ r

0

M6∞(ρ, g)ρ−1dρ

= 6

∫ r

0

M3/4∞ (ρ8, f)ρ−1dρ

≤ 6

∫ r

0

ρ8

(1 − ρ8)2

3/4

ρ−1dρ = 6

∫ r

0

ρ5

(1 − ρ8)3/2dρ .


La primera de las igualdades se debe a la ecuacion (2.15) y la segunda de-

sigualdad se debe al teorema de crecimiento para funciones en la clase S.

Como 0 ≤ ρ8 ≤ ρ < 1 obtenemos que (1 − ρ8)−3/2 ≤ (1 − ρ)−3/2 y usando

que ρ5 < 1 obtenemos

M66 (r, g) ≤ 6

∫ r

0

ρ5

(1 − ρ8)3/2dρ

≤ 6

∫ r

0

dρ

(1 − ρ)3/2

= 6

∫ r

0

2d

dρ

(1

(1 − ρ)1/2

)dρ

= 12

1

(1 − ρ)1/2

r

0

= 12

1

(1 − r)1/2− 1

= 12

1 − (1 − r)1/2

(1 − r)1/2

≤ 12

1

(1 − r)1/2.

La ultima desigualdad se debe a que la funcion 1 − (1 − r)1/2 es creciente

para 0 ≤ r < 1. Por otro lado, notemos que

2

r(1 − r)

∫ √r

r

ρdρ =2

r(1 − r)· ρ

2

2

∣∣∣∣

√r

r

=r(1 − r)

r(1 − r)= 1 .

Luego,

M22 (r, g′) =

1

2π

∫ 2π

0

|g′(reiθ)|2dθ

=1

πr(1 − r)

∫ √r

r

∫ 2π

0

|g′(ρeiθ)|2ρdρdθ

≤ πM2∞(

√r, g)

πr(1 − r)=

1

r(1 − r)M2

∞(√r, g)

Lo ultimo es debido a que la integral doble representa el area de una region la

cual esta al interior del cırculo con centro en el origen y radio M∞(√r, g).

2.12. Conjetura de Bieberbach Asintotica

Para cada entero n ≥ 2 considere

An = maxf∈S

|an| .

§2.12. Conjetura de Bieberbach Asintotica 59

Hayman tiene probado la existencia del lımite

λ = lımn→∞

Ann.

La conjetura de Bieberbach afirma que An = n para todo n, mientras que la

conjetura de Bieberbach asintotica es la afirmacion debil que λ = 1.

Lema 2.5. Sea g : D → C analıtica y univalente con g(0) = 0 y g(z) 6= 1.

Entonces la funcion G definida por

G(z) = 2g(z2) − 2g(z2)[g(z2) − 1]1/2

tiene las mismas propiedades.

Demostracion. Sea g(z) = c1z + c2z2 + · · · . Note primero que

h(z) = g(z2)[g(z2) − 1]1/2 = ic1/21 z + · · ·

es una funcion analıtica impar la cual se anula solo en el origen. Ahora

suponga que G(z) = G(ξ) para algun z, ξ ∈ D, entonces

g(z2) − g(ξ2) = h(z) − h(ξ) .

Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando obtenemos

g(z2) + g(ξ2) − 2g(z2)g(ξ2) = −2h(z)h(ξ) .

Elevando al cuadrado otra vez y simplicando se obtiene

[g(z2) − g(ξ2)]2 = 0 .

Como g es univalente, esto implica que z2 = ξ2, o z = ±ξ. Pero h es una

funcion impar con h(z) 6= 0 para z 6= 0 y luego

G(z) − g(−z) = −4h(z) 6= 0

a no ser que z = 0. Luego z = ξ, lo cual prueba que G es univalente. Ahora

si G(z) = 1 para algun z, entonces

w − 1

2= w(w − 1)1/2 , donde w = g(z2) .

Elevando al cuadrado a ambos lados

w2 − w − 1

4= w2 − w

halando que 14

= 0. Esta contradiccion demuestra que G(z) 6= 1 en D.


Teorema 2.24 (Teorema de Nehari). Sea f ∈ S y suponga que f(z) 6= ω

para todo z ∈ D. Entonces

|an| ≤ 4|ω|λn , n = 2, 3, . . . ,

donde λ = lımn→∞

Ann

.

Demostracion. Si f ∈ S y f(z) 6= ω entonces

g(z) =1

ωf(z) = c1z + c2z

2 + · · ·

satisface las hipotesis del lema. La operacion del lema puede ser iterada para

producir una sucesion de funciones

gk(z) = c(k)1 z + c

(k)2 z2 + · · · , k = 0, 1, 2, . . . ,

donde g0 = g y

gk+1(z) = 2gk(z2) − 2gk(z2)[gk(z

2) − 1]1/2 , k = 0, 1, 2, . . . .

Una comparacion de coeficientes da

c(k+1)2n = 2c(k)n , n = 1, 2, . . . , (2.16)

y

|c(k+1)1 | = 2|c(k)1 |1/2 , k = 0, 1, 2, . . . , (2.17)

donde c(0)n = cn = an/ω. Ahora |c(0)1 | = |ω−1| ≤ 4, por el teorema 1

4de Koebe

y se sigue inductivamente desde (2.17) que |c(k)1 | ≤ 4 para todo k. Como

gk/c(k)1 ∈ S, es por lo tanto claro que

|c(k)m | ≤ |c(k)1 |Am ≤ 4Am , m = 2, 3, . . . .

Para n ≥ 2 arbitrario, la iteracion de (2.16) ahora da

2k|cn| = |c(k)mk| ≤ 4Amk

, k = 1, 2, . . . ,

donde mk = 2kn. En consecuencia,

|an| = |ω||cn| ≤ 4|ω|nm−1k Amk

,

y el resultado se sigue haciendo k → ∞.

Ejercicios 61

Ejercicios

1. Demuestre que |a22−a3| ≤ 1 para toda funcion f ∈ S, y que la rotacion

de la funcion de Koebe da la unica funcion extremal.

Solucion: La funcion

g(z) = 1/f(z−1) = z − a2 + (a22 − a3)z

−1 + · · ·

pertenece a Σ luego por el Teorema del area tenemos que |a22 − a3| ≤ 1

con igualdad si y solo si g es de la forma (2.1) lo que nos da que

f(z) = e−iθk(eiθz) tomando b0 = 2 y eiθ = 1.

3. Demuestre que f(z) = 12[z(1− z)−2 + z(1 + z)−2] es el promedio de dos

funciones en S pero no es univalente.

Solucion: Considere las funciones

g(z) =z

(1 − z)2=

1

4

(1 + z

1 − z

)2

− 1

4,

h(z) =z

(1 + z)2= −1

4

(1 − z

1 + z

)2

+1

4.

Como las aplicaciones w = 1+z1−z y ξ = 1−z

1+zmapean D en el semi-plano

derecho Re w > 0 se tiene que g y h estan en S. Por otro lado,

tenemos que

f ′(z) =1

2[g′(z) + h′(z)] =

1

2

[1 − z2

(1 − z)4+

1 − z2

(1 + z)4

]

=1

2· (1 − z2)(1 + z)4 + (1 − z2)(1 − z)4

(1 − z)4(1 + z)4

=(1 − z2)(z4 + 6z2 + 1)

(1 + z)4(1 − z)4=

z4 + 6z2 + 1

(1 + z)3(1 − z)3

luego f ′(z) = 0 en z = i√

3 − 2√

2 ∈ D, luego f /∈ S.

18. Pruebe la conjetura de Bieberbach para las funciones casi-convexas. En

otras palabras, demuestre que |an| ≤ n para toda f ∈ K, con igualdad

para rotaciones de la funcion de Koebe.


Solucion: Como f ∈ K existe una funcion convexa h tal que

Re

f ′(z)

h′(z)

> 0 , ∀ z ∈ D .

Por lo tanto, Re 1/h′(0) > 0, y si α = argh′(0) podemos asumir

que |α| < π/2. Consideremos la funcion h : D → C dada por

g(z) =h(z) − h(0)

h′(0).

entonces g ∈ C y si consideramos la funcion

q(z) =f ′(z)

eiαg′(z)=

∞∑

n=0

qnzn ,

se deduce que q0 = e−iα y Re q(z) > 0, z ∈ D. Ademas, sea

p(z) =q(z) + i sinα

cosα= 1 + p1z + · · · + pnz

n + · · · , z ∈ D .

Esta funcion pertenece a P y es sencillo ver que qn = pn cosα, n ≥ 1.

Si

g(z) = z + c2z2 + · · ·+ cnz

n + · · · , z ∈ D ,

entonces comparando los coeficientes en la serie de potencias de f ′(z)

y eiαg′(z)q(z), es sencillo deducir que

nan = eiα[ncne−iα+(n−1)cn−1q1 +(n−2)cn−2q2 + · · ·+2c2qn−2+qn−1] .

Como p ∈ P tenemos que |pn| ≤ 2 para n = 2, 3, . . ., y por lo tanto

|qn| ≤ 2 cosα ≤ 2. Tambien como g ∈ C tenemos que |cn| ≤ 1, n =

2, 3, . . .. Por lo tanto

n|an| ≤ n+ 2(n− 1) + 2(n− 2) + · · · + 2 · 2 + 2 = n2 ,

y luego |an| ≤ n para n = 2, 3, . . ..

24. Sea f(z) = z +∑∞

n=2 anzn analıtica en D.

(a) Demuestre que si∑∞

n=2 n|an| ≤ 1, entonces f ∈ S. Demuestre que

la cota es mejor posible: para cada ε > 0 existe una funcion no

univalente f con∑∞

n=2 n|an| ≤ 1 + ε.

Ejercicios 63

Solucion:

(a) Sean z0 ∈ D fijo y h : D → C dada por h(z) = f(z) − f(z0). Como

h es analıtica sus ceros son aislados en D y podemos hallar una

sucesion creciente ri → 1 tal que h(z) 6= 0 para |z| = ri. Considere

g(z) = z − z0 entonces para |z| = ri obtenemos

|h(z) − g(z)| =

∣∣∣∣∣

∞∑

n=2

anzn −

∞∑

n=2

anzn0

∣∣∣∣∣

= |z − z0| maxw∈[z,z0]

∣∣∣∣∣d

dz

∞∑

n=2

anzn

∣∣∣∣∣z=w

≤ |z − z0|∞∑

n=2

nanrn−1i

< |z − z0| = |g(z)|

Por el Teorema de Rouche, h tiene un unico cero en el disco z :

|z| < ri por lo que f asume el valor f(z0) un vez en este mismo

disco. Haciendo ri → 1 se obtiene que f ∈ S.

29. Sea Cr la imagen del cırculo |z| = r < 1 baja una funcion f ∈ S.

(a) Demuestre que la curvatura de Cr en el punto w = f(z) es dado

por

Kz =1

r|f ′(z)|Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

, |z| = r < 1 .

(b) Obtenga los estimativos

(1 − r

1 + r

)21 − 4r + r2

r≤ Kz ≤

(1 + r

1 − r

)21 + 4r + r2

r, |z| = r < 1.

Solucion:

(a) Para r fijo consideramos la parametrizacion de la curva Cr dada

por γ(θ) = f(reiθ), entonces la curvatura de la curva γ se sabe que

es dada por

Kz =Re γ′Im γ′′ − Re γ′′Im γ′

|γ′|3 .


Derivando la curva γ obtenemos

γ′(θ) = ireiθf ′(reiθ) = ir(cos θ + i sen θ)[Re f ′(z) + iIm f ′(z)]

por lo que

Re γ′(θ) = −r(cos θIm f ′(z) + sen θRe f ′(z))Im γ′(θ) = r(cos θRe f ′(z) − sen θIm f ′(z)) .

Derivando nuevamente γ se obtiene

γ′′(θ) = −reiθf ′(reiθ) − r2e2iθf ′′(reiθ)

con lo que obtenemos

Re γ′′(θ) = −r(cos θRe f ′(z) − sen θIm f ′(z))+r2(cos 2θIm f ′′(z) − sen 2θIm f ′′)

Im γ′′(θ) = r(cos θIm f ′(z) + sen θRe f ′(z))−r2(cos 2θIm f ′′(z) + sen 2θRe f ′′(z)) .

Tenemos que

Re γ′(θ)Im γ′′(θ) − Re γ′′(θ)Im γ′(θ) =

r2(cos θIm f ′(z) + sen θRe f ′(z))2

+r3(cos θIm f ′(z) + sen θRe f ′(z))(cos 2θIm f ′′(z) + sen 2θRe f ′′(z))+r2(cos θRe f ′(z) − sen θIm f ′(z))2

+r3(cos θRe f ′(z) − sen θIm f ′(z))(cos 2θRe f ′′(z) − sen 2θIm f ′′(z))= r2[Re f ′(z)2 + Im f ′(z)2]

+r3[cos θIm f ′(z)Im f ′′(z) + sen θIm f ′(z)Re f ′′(z)− sen θRe f ′(z)Im f ′′(z) + cos θRe f ′(z)Re f ′′(z)]

= r2|f ′(z)|2 + r3A(θ, z)

Notemos que |γ′(θ)| = r|f ′(z)| y ademas

|f ′|2 zf′′

f ′ = zf ′′f ′ = r(cos θ + i sen θ)[Re f ′′ + iIm f ′′][Re f ′ − iIm f ′]

Ejercicios 65

y es facil ver que

|f ′(z)|2Re

zf ′′(z)

f ′(z)

= rA(θ, z)

Usando esta ultima igualdad, se obtiene que

Kz =Re γ′Im γ′′ − Re γ′′Im γ′

|γ′|3 =r2|f ′(z)|2 + r3A(θ, z)

|γ′(θ)|3

=r2|f ′(z)|2 + r2|f ′(z)|2Re

zf ′′(z)f ′(z)

r3|f ′(z)|3 =1

r|f ′(z)|Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

.

(b) Note que usando la desigualdad del lado derecho en el teorema de

distorsion se obtiene

Re

zf ′′(z)

f ′(z)

= r

d

dzlog |f ′(z)| ≤ r

d

drlog

1 + r

(1 − r)3= r

(1 − r)3

1 + r

2(2 + r)

(1 − r)4

y

1

r|f ′(z)| ≤1

r

(1 + r)3

1 − r

de donde se obtiene que

Kz =1

r|f ′(z)|Re

1 +

zf ′′(z)

f ′(z)

≤ 1 + 4r + r2

(1 − r)(1 + r).

Un razonamiento similar permite obtener la estimacion del lado

izquierdo usando el lado izquierdo en el teorema de distorsion.

33. Sea f ∈ S una funcion acotada por un numero M > 1, esto es

|f(z)| < M para todo z ∈ D. Mejore la cota de Bieberbach |a2| ≤ 2

por |a2| ≤ 2(1 − 1/M), y demuestre que la igualdad ocurre si y solo si

f mapea D sobre el disco |w| < M menos un segmento radial.

Solucion: Considere la funcion de Koebe k : D → C dada por

k(z) =z

(1 − z)2= z + 2z2 + 3z3 + · · ·+ nzn + · · ·


la cual pertenece a S. Entonces

g(z) = Mk

(f(z)

M

)

= M

[f(z)

M+ 2

f 2(z)

M2+ 3

f 3(z)

M3+ · · ·

]

= z + a2z2 + a3z

3 + · · ·+ 2

M[z2 + 2a2z

3 + · · · ]

+3

M2[z3 + 3a2z

4 + · · · ] + · · ·

= z +

(a2 +

1

M

)z2 +

(a3 + 4

a2

M+

3

M2

)z3 + · · ·

por el teorema de Bierberbach

∣∣∣∣a2 +2

M

∣∣∣∣ ≤ 2 por lo que |a2| ≤ 2(1 −M−1).

Capıtulo 3

Representacion Parametrica de

Mapeos Corte

3.1. Teorema de Convergencia de Caratheodory

Durante toda esta seccion consideraremos una sucesion Dn∞n=1 de do-

minios simplemente conexos tales que 0 ∈ Dn $ C para todo n ∈ N y para

cada n ∈ N sean fn : D → Dn mapeos conformes sobreyectivo normalizados

por

fn(0) = 0 y f ′n(0) > 0 .

Definicion (Kernel de la sucesion Ωn).

1. Si 0 ∈ Int

( ∞⋂

n=1

Dn

). Entonces el kernel de la sucesion Dn se define

como el mayor dominio D que satisface

(i) 0 ∈ D

(ii) Si K ⊂ D compacto entonces K ⊂ Dn para todo n salvo finitos.

2. Si 0 /∈ Int

( ∞⋂

n=1

Dn

). Entonces el kernel es definido como D = 0.

Definicion. Se dice que la sucesion Dn converge al kernel D si toda sub-

sucesion de Dn tiene el mismo kernel y lo anotamos por Dn → D.

67

68 3. Representacion Parametrica de Mapeos Corte

Observacion. Si la sucesion Dn es creciente, esto es

D1 ⊂ D2 ⊂ · · · ⊂ Dk ⊂ · · · ,

entonces el kernel es D =

∞⋃

n=1

Dn y Dn → D.

Ejemplo. Para cada n considere los conjuntos

Dn = C \(z ∈ C | 1 ≤ z <∞ ∪

z = eiθ | 0 ≤ θ ≤ 2π − 1

n

).

b0

Dn

1/n

Note que Dn es una sucesion decreciente. Entonces el kernel de Dn es Dy Dn → D.

Teorema 3.1 (Teorema de Convergencia de Caratheodory). fn → f con-

verge uniformemente en compactos de D si y solo si Dn → D 6= C. En caso

de convergencia hay dos posibilidades

(i) Si D = 0 entonces f ≡ 0.

(ii) Si D 6= 0 entonces

(a) D es un dominio simplemente conexo.

(b) f : D → D es mapeo conforme sobreyectivo.

(c) f−1n → f−1 uniformemente en compactos de D.

Demostracion. Supongamos que fn(z) → f(z) uniformemente en compactos

en D. Entonces f es analıtica en D y por el teorema de Hurwitz f es univalente

o constante en D. Note que si f es constante, entonces f(z) ≡ 0 ya que

fn(0) = 0 para todo n.

§3.1. Teorema de Convergencia de Caratheodory 69

Caso 1. f(z) ≡ 0.

Tenemos que probar que D = 0. Supongamos que D 6= 0 entonces existe

ρ > 0 tal que

w : |w| < ρ ⊂ Dn para todo n .

Considere las funciones inversas ϕn = f−1n : w : |w| < ρ → D y tiene

la propiedad que ϕn(0) = 0 y |ϕn(w)| < 1. En virtud del lema de Schwarz

|ϕ′n(0)| ≤ 1

ρ, o bien, |f ′

n(0)| ≥ ρ > 0, lo cual contradice que fn(z) → 0

uniformemente en compacto de D. El mismo argumento demuestra que toda

subsucesion de Dn tiene kernel 0, luego Dn → D = 0.Caso 2. f(z) 6≡ 0.

Entonces f es univalente y mapea D sobre algun dominio , con f(0) = 0 y

f ′(0) > 0. Probaremos que = D y que Dn → D. Vamos a probar primero

que ⊂ D. Sea K ⊂ compacto y rodeamos a K por una curva de Jordan

rectificable Γ en \ K. Sean δ = dist (Γ, K) > 0 y γ = f−1(Γ). Vamos a

probar que K ⊂ Dn para todo n suficientemente grande. Sea w0 ∈ K fijo y

observe que

|f(z) − w0| ≥ δ , ∀ z ∈ γ .

1

γ

ΓK

w0b

f

δ

Por la convergencia uniforme

|fn(z) − f(z)| < δ

para todo z ∈ δ y para todo n ≥ N . Luego, para z ∈ γ se tiene

|(fn(z) − w0) − (f(z) − w0)| = |fn(z) − f(z)| < δ ≤ |f(z) − w0|


y por el teorema de Rouche fn(z) −w0 y f(z) −w0 tienen el mismo numero

de ceros dentro de γ, esto es, un cero. Esto prueba que w0 ∈ Dn para todo

n ≥ N , donde N depende de K pero no sobre w0. Por lo que K ⊂ Dn para

todo n ≥ N . En virtud de la definicion de kernel D, esto prueba que ⊂ D.

Se sigue, en particular, que las funciones inversas ϕn = f−1n son eventualmente

definidas para todo n ≥ N sobre K y son uniformemente acotadas: |ϕn(w)| <1. Por el teorema de Montel, existe una subsucesion ϕnk

la cual converge

uniformemente en compactos de a una funcion ϕ analıtica en con ϕ(0) =

0 y ϕ′(0) ≥ 0. De hecho,

0 <1

f ′(0)= lım

n→∞

1

f ′n(0)

= lımn→∞

ϕ′n(0) = ϕ′(0) ,

luego ϕ es univalente en debido al teorema de Hurwitz. El siguiente paso

es probar que ϕ = f−1. Fijamos z0 ∈ D y sea w0 = f(z0). Eligamos ε > 0

pequeno tal que

C = z : |z − z0| = ε ⊆ D .

Sea Γ = f(C) y δ = dist (w0,Γ). Entonces, |f(z)−w0| ≥ δ sobre C, mientras

que por la convergencia uniforme |fnk− f(z)| < δ sobre C para todo k ≥ k0

debido a la convergencia uniforme. Luego, para k ≥ k0

|(fnk(z) − w0) − (f(z) − w0)| = |fnk

(z) − f(z)| < δ ≤ |f(z) − w0|

para z ∈ C y por el teorema de Rouche, como f es univalente, existe zk

dentro de C tal que fnk(zk) = w0. Luego, |zk − z0| < ε y zk = ϕnk

(w0). Por

lo tanto, la convergencia uniforme nos da que

|ϕ(w0) − z0| ≤ |ϕ(w0) − ϕnk(wo)| + |zk − z0| < 2ε

para k suficientemente grande. Haciendo ε→ 0, concluimos que ϕ(w0) = z0.

Como z0 fue elegido arbitrariamente en D, esto prueba que ϕ = f−1.

El argumento anterior se aplica igualmente a todos las subsucesiones de ϕny prueba que algunas subsucesiones convergen a f−1 uniformemente sobre

subconjuntos compactos. Se sigue que ϕn → f−1 uniformemente en com-

pactos de . De hecho, el mismo argumento prueba que ϕn converge uni-

formemente en compactos de D a una funcion univalente ψ la cual satisface

|ψ(w)| < 1 ahı. Esta funcion ψ es una continuacion analıtica de f−1 desde

§3.1. Teorema de Convergencia de Caratheodory 71

a D. Sin embargo, f−1 mapea conformemente sobre D, esto es imposible

a no ser que = D.

Queda por demostrar que Dn → D, pero todo el argumento se puede repetir

para cualquier subsucesion Dnk concluyendo que f mapea D sobre el ker-

nel de Dnk, el cual necesariamente coincide con el kernel de Dn. Luego

Dn → D.

Recıprocamente, suponga que Dn → D 6= C.

Caso 1. D = 0.Entonces afirmamos que f ′

n(0) → 0. Si no, existe ε > 0 y una subsucesion

fnk tal que f ′

nk(0) ≥ ε. En virtud del teorema 1/4 de Koebe, cada dominio

Dnkdebe entonces contener el disco |w| < ε

4, contradiciendo la hipotesis que

cada subsucesion de Dn tiene kernel 0. Luego f ′n(0) → 0. Por otro lado,

el teorema de crecimiento da

|fn(z)| ≤ f ′n(0)

|z|(1 − |z|)2

, |z| < 1 . (3.1)

Se sigue que fn(z) → 0 uniformemente en compactos de D.

Caso 2. D 6= 0, D 6= C.

Entonces afirmamos que f ′n(0) es una sucesion acotada. De hecho, si f ′

nk(0) →

∞ para alguna subsucesion, el teorema 1/4 de Koebe implicarıa que Dnk

tiene kernel C. Esta contradiccion demuestra que f ′n(0) es acotada. Se sigue

del teorema de crecimiento (3.1) que las funciones fn son uniformemente aco-

tadas en cada subconjunto compacto de D y por lo tanto constituyen una

familia normal. Aplicando el teorema de Vitali, basta probar la convergen-

cia puntual. Sin embargom dos subsucesiones con diferentes lımites en algun

punto z0 ∈ D habrıan dos subsucesiones fnk y fmk

convergiendo uni-

formemente en compactos a diferentes funciones f y f con f(z0) 6= f(z0). En

virtud de lo que ya hemos probado, las correspondientes sucesiones Dnk y

Dmk tendrıan nucleos diferentes, las imagenes de D bajo f y f , respectiva-

mente. Pero esto contradice la hipotesis que Dn → D. Ası, hemos demostrado

que fn → f uniformemente en compactos de D.


3.2. Densidad de Mapeos Corte

Definicion. Un mapeo de corte simple (single-slit mappings) es una funcion

que mapea el disco D sobre el complemento de un arco de Jordan.

Teorema 3.2. Sea f ∈ S entonces existe una sucesion de mapeos de corte

simple fn ∈ S tal que fn → f uniformemente en compactos de D.

Demostracion. Considerenado dilataciones de f , es decir, fr(z) =1

rf(rz),

0 < r < 1, podemos reducir al caso en que f es univalente en D. En este caso

f(D) es un dominio acotado por una curva analıtica de Jordan C.

Note que es suficiente producir un mapeo de corte simple g ∈ S tal que

|f(z) − g(z)| < ε , |z| ≤ ρ < 1

donde ε y ρ < 1 son numero positivos dados y f es una funcion dada en la

clase S. (El teorema entonces se sigue eligiendo sucesiones εn y ρn con

εn → 0 y ρn → 1).

Sea Γn un arco de Jordan que va desde infinito a un punto w0 ∈ C y sigue

alrededor de C a un punto wn, como lo muestra la figura

b

b

0

w0

wn

wn−1

Γn

Dn

Sea Dn el complemento de Γn y sea gn el mapeo de D conformemente sobre

Dn, con gn(0) = 0 y g′n(0) > 0. Sea wn los puntos finales tomados tal que

Γn ⊂ Γn+1 y wn → w0 .

§3.3. La Ecuacion Diferencial de Loewner 73

Es claro que D es el kernel de la sucesion Dn y que Dn → D. Por lo tanto,

en virtud del teorema de convergencia de Caratheodory gn → f uniforme-

mente en compactos de D. Lo cual implica (por la formula de Cauchy) que

g′n(0) → f ′(0) = 1, se sigue que

hn = gn/g′n(0) ∈ S

son mapeos de corte simple que convergen a f uniformemente en compactos

de D.

3.3. La Ecuacion Diferencial de Loewner

Sea f ∈ S que mapea el disco D sobre un dominio D el cual es el com-

plemento de un arco de Jordan Γ que se extiende desde w0 hasta el infinito.

Sea w = φ(t), 0 ≤ t < T una representacion parametrica de Γ con φ(0) = w0

y φ(s) 6= φ(t) si s 6= t. Sean Γt = φ(s) | t ≤ s <∞ y Dt = C\Γt. Entonces,

D0 = D y Ds ⊂ Dt si s < t. Sea

g(z, t) = β(t)(z + b2(t)z2 + b3(t)z

3 + · · · )

el mapeo conforme de D sobre Dt para el cual g(0, t) = 0 y g′(0, t) = β(t) > 0.

Es claro que β(0) = 1, ya que g(z, 0) = f(z). Se sigue del principio de

subordinacion que β(t) es estrictamente creciente. Luego, podemos asumir

que β(t) = et y T = ∞.

Ası, hemos escogido la parametrizacion w = φ(t) tal que

g(z, t) = et

(z +

∞∑

n=2

bn(t)zn

), 0 ≤ t <∞

la cual sera llamada la parametrizacion estandar de Γ. Ahora considere la

funcion

f(z, t) = g−1(f(z), t) = et

(z +

∞∑

n=2

an(t)zn

), 0 ≤ t <∞

la cual mapea D conformemente sobre D menos un arco que se extiende hacia

dentro desde la frontera, como lo muestra la figua.


ft

1 1

Es claro que f(z, 0) = z ya que g(z, 0) = f(z).

Teorema 3.3. Sea f ∈ S un mapeo de corte simple que omite el arco Γ.

Entonces f(z, t) satisface la ecuacion diferencial

∂f

∂t= −f 1 + κf

1 − κf, (3.2)

donde κ = κ(t) es una funcion continua compleja con |κ| = 1 para todo t ≥ 0.

Ademas

lımt→∞

etf(z, t) = f(z) , |z| < 1 (3.3)

y la convergencia es uniforme en compactos de D.

Demostracion. Considere primero el lımite (3.3). Una afirmacion un poco

mas fuerte es que

lımt→∞

etg−1(w, t) = w

uniformemente en compactos de C. Por el teorema de crecimiento,

et|z|(1 + |z|)2

≤ |g(z, t)| ≤ et|z|(1 − |z|)2

, |z| < 1 ,

dado w ∈ C, sea z = g−1(w, t) para t suficientemente largo, obtenemos la

desigualadad invirtiendo la ultima desigualdad

(1 − |g−1(w, t)|)2 ≤ et∣∣∣∣g−1(w, t)

w

∣∣∣∣ ≤ (1 + |g−1(w, t)|)2 .

En particular, como 1 + |g−1(w, t)| ≤ 2

|g−1(w, t)| ≤ 4|w|e−t


luego g−1(w, t) → 0 cuando t→ ∞, uniformemente en compactos. Luego

1 = lımt→∞

(1 − |g−1(w, t)|)2 ≤ lımt→∞

et∣∣∣∣g−1(w, t)

w

∣∣∣∣ ≤ lımt→∞

(1 + |g−1(w, t)|)2 = 1 ,

por lo que et|g−1(w, t)/w| → 1 uniformemente en compactos. Por lo tanto,

las funciones etg−1(w, t)w−1 constituyen una familia normal, luego converge

uniformemente en compactos a una funcion analıtica G(w) cuando t tiende a

infinito para una sucesion adecuada de valores t. Pero es claro que G(w) ≡ 1,

como |G(w)| = 1 y G(0) = 1. Como el lımite es independiente de la eleccion

de las sucesiones, se sigue que etg−1(w, t)/w → 1 cuando t → ∞ o que

etg−1(w, t) → w uniformemente en compactos. Esto prueba (3.3).

Para 0 ≤ s < t <∞, considere la funcion

ξ = h(z, s, t) = g−1(g(z, s), t) = es−tz + . . . ,

la cual mapea D en el z-plano sobre el disco D en el ξ-plano menos un arco de

Jordan Jst que se extiende desde el borde. Sea Bst el arco del cırculo |z| = 1

que se corresponde con Jst. Sea λ(t) = g−1(φ(t), t) los puntos sobre el cırculo

unitario los cuales la funcion g(z, t) mapea sobre los puntos de Γt. Entonces

λ(s) es un punto interior del arco Bst, mientras que λ(t) es el punto donde

Jst esta en el cırculo unitario, lo cual es ilustrado en la siguiente figura

bb

b

b

b

b

0 0

λ(s)

φ(s)

φ(t)

Bst

w = g(z, s) ξ = g−1(w, t)

ξ = h(z, s, t)

λ(t)

Jst

z-plano w-plano ξ-plano


Por el teorema de extension de Caratheodory, la funcion g−1(w, s) es continua

hasta el corte Γs. Luego como t disminuye para valores fijos de s, el arco Bst

se reduce hasta el punto λ(s). Similarmente, si t se mantiene fijo y s aumenta

a t, el arco Jst se contrae a λ(t).

Nuestro proximo objetivo es probar que λ es una funcion continua. El primer

paso es continuar analıticamente a h(z, s, t), por el principio de reflexion de

Schwarz, sobre el arco circular complementario a Bst. La funcion extendida

entonces mapea el complemento de Bst conformemente sobre el complemento

de Jst ∪ J∗st, donde J∗

st denota la reflexion de Jst a traves del cırculo unitario.

Es claro desde el teorema 1/4 de Koebe que el arco Jst esta fuera del disco

ξ : |ξ| < 1

4es−t

luego esta reflexion J∗st esta dentro del disco

ξ : |ξ| < 4es−t

.

Ademas, por la propiedad de reflexion,

lımz→∞

h(z, s, t)

z= lım

z→0

z

h(z, s, t)= et−s .

Se sigue del principio del maximo que∣∣∣∣h(z, s, t)

z

∣∣∣∣ ≤ 4et−s

en todo el complemento de Bst.

Recuerde que el arco Bst se contrae al punto λ(s) cuando t disminuye a

s. Un argumento de familia normal por lo tanto demuestra que cuando t

crece hasta s a traves de alguna sucesion, las funciones h(z, s, t)/z converge

uniformemente en compactos a una funcion ϕ(z) analıtica y acotada sobre

el plano complejo extendido pinchado en λ(s), con ϕ(0) = 1. Por el teorema

de Liouville, ϕ(z) ≡ 1. Como el lımite es independiente de la eleccion de la

sucesion se sigue que h(z, s, t) → z cuando t disminuye a s, y la convergencia

uniforme sobre compactos que no contienen λ(s).

Vamos a probar que λ es continua. Sea s ≥ 0 fijo. Dado ε > 0, elegimos δ > 0

tal que para todo t satisfaciendo 0 < t − s < δ, el arco Bst esta dentro del


cırculo C con centro λ(s) y radio ε. Sea C la imagen de C bajo el mapeo

extendido ξ = h(z, s, t). Entonces C es una curva de Jordan la cual rodea

Jst ∪ J∗st

b

bb

b

ξ = h(z, s, t)

0 0

λ(s)

CBst

Jst

λ(t)

J∗st

Cz-plano ξ-plano

En particular, el punto λ(t) esta dentro de C. Como h(z, s, t) → z uniforme-

mente sobre C cuando t → s, la curva C tiene diametro menor que 3ε para

todo t suficientemente cerca a s. Luego para cualquier punto z0 ∈ C,

|λ(s) − λ(t)| ≤ |λ(s) − z0| + |z0 − h(z0)| + |h(z0) − λ(t)| ≤ ε+ ε+ 3ε = 5ε

para todo t > s suficientemente cerca de s. (Aquı h(z) = h(z, s, t)). Esto

prueba que λ es continua por la derecha y el mismo argumento prueba que

λ es continua por la izquierda. Luego λ es una funcion continua.

Ahora podemos deducir la ecuacion diferencial de Loewner. Sea

L(z) = L(z, s, t) = log

h(z, s, t)

z

denota el brazo del logaritmo para el cual L(0) = s − t. Observe que L es

analıtica en D y continua en D. Es claro a partir de las propiedades del mapeo

de h que Re L(z) = 0 en casi todo cırculo unitario excepto en el arco Bst,

donde Re L(z) < 0. La completacion analıtica de la formula de Poisson


por lo tanto da

L(z) =1

2π

∫ β

α

Re L(eiθ)eiθ + z

eiθ − zdθ , (3.4)

donde eiα y eiβ son los puntos finales de Bst. En particular,

s− t = L(0) =1

2π

∫ β

α

Re L(eiθ)dθ . (3.5)

En virtud de la identidad

h(f(z, s), s, t) = f(z, t)

la sustitucion de f(z, s) por z en (3.4) da

logf(z, t)

f(z, s)=

1

2π

∫ β

α

Re L(eiθ)eiθ + f(z, s)

eiθ − f(z, s)dθ . (3.6)

El principio del valor medio aplicado separadamente a las partes real e imag-

inaria de la integral en (3.6), nos da

logf(z, t)

f(z, s)=

1

2π

[Re

eiσ + f(z, s)

eiσ − f(z, s)

+ iIm

eiτ + f(z, s)

eiσ − f(z, s)

]∫ β

α

ReL(eiθ)dθ

donde eiσ y eiτ son puntos en el arco Bst. Dividiendo esta igualdadd por

(s− t) y usando (3.5) y haciendo t dismunir a s, hallamos

∂

∂slog f(z, s) = −λ(s) + f(z, s)

λ(s) − f(z, s), (3.7)

como Bst se contrai al punto λ(s). La derivada en (3.7) fue calculada como

una derivada por la derecha, pero el mismo argumento demuestra que la

derivada por la izquierda tambien existe y satisface (3.7). Con la definicion

kappa(t) = 1/λ(t), la ecuacion (3.7) nos queda

∂f

∂t= −f 1 + κf

1 − κf,

como λ es continua y |λ| ≡ 1, es claro que κ tiene las mismas propiedades.

§3.4. Univalencia de Soluciones 79

3.4. Univalencia de Soluciones

El siguiente teorema establece la ecuacion diferencial Loewner-Kufarev

∂w

∂t= −wp(w, t) ,

donde p es una funcion analıtica con parte real positiva.

Recuerde que ϕ ∈ P si ϕ : D → C analıtica con Re ϕ(z) > 0 y ϕ(0) = 1.

Observe que para cada t fijo la funcion

p(w, t) =1 + κ(t)w

1 − κ(t)w

esta en la clase P si |κ(t)| = 1. En efecto,

Re p(w, t) = Re

(1 + κ(t)w)(1 − κ(t)w)

|1 − κ(t)w|2

= Re

1 − κ(t)w + κ(t)w − |κ(t)|2|w|2

|1 − κ(t)w|2

= Re

1 + 2iIm κ(t)w − |w|2

|1 − κ(t)w|2

=1 − |w|2

|1 − κ(t)w|2 > 0 .

Lema 3.1. Sean α, β ∈ C con parte real positiva, entonces

|e−α − e−β| ≤ |α− β| .

Demostracion. Fijemos β con Re β > 0 y considere la funcion

F (z) =e−z − e−β

z − β, Re z ≥ 0 ,

donde F (β) = −e−β. Observe que F es analıtica en el simiplano derecho, y

lımz→∞

F (z) = 0

para z ∈ H = z : Re z > 0. Por el principio del maximo, basta probar

que

|F (iy)| ≤ 1 , −∞ < y <∞ .

Esto es equivalente a probar que

|G(w)| ≤ 1 para Re w ≥ 0


donde G(w) =1 − e−w

wy G(0) = 1. Por el principio del maximo, basta

probar que

|G(iv)| ≤ 1 , −∞ < v <∞ .

Pero esto es la desigualdad |1 − eiθ| ≤ |θ| con |θ| ≤ π, la cual se desprende

de la siguiente figura

bb

b

1

eiθ

0

|1 − eiθ|

|θ|

Lema 3.2. Sean ϕ ∈ P y α, β ∈ C con |α| ≤ r y |β| ≤ r, entonces

|ϕ(α) − ϕ(β)| ≤ 2

(1 − r)2|α− β| .

Demostracion. Toda ϕ ∈ P se puede representar por la formula de Herglotz

ϕ(z) =

∫ 2π

0

eit + z

eit − zdµ(t)

donde dµ(t) ≥ 0 y∫dµ(t) = 1. Se deduce entonces que

ϕ′(z) =

∫ 2π

0

∂

∂z

(eit + z

eit − z

)dµ(t) = 2

∫ 2π

0

eit

(eit − z)2dµ(t) , |z| < 1 .

Por lo que

|ϕ′(z)| ≤ 2

(1 − |z|)2.

La desigualdad del lema se sigue de la formula

ϕ(β) − ϕ(α) =

∫ β

α

ϕ′(z)dz ,

donde el camino de integracion es el segmento lineal [α, β].


Teorema 3.4. Suponga que para cada w ∈ D fijo, p(w, t) es integrable para

cada intervalo 0 ≤ t ≤ T < ∞. Asuma que para cada t ∈ [0,∞) fijo,

p(w, t) ∈ P. Entonces la ecuacion diferencial

∂w

∂t= −wp(w, t)

tiene solucion unica w = f(z, t) para 0 ≤ t < ∞ con la condicion inicial

f(z, 0) = z. Ademas

(i) Para cada t, f(z, t) es analıtica y univalente en D, y etf(z, t) ∈ S.

(ii) Cuando t → ∞, etf(z, t) converge uniformemente en compactos de Da una funcion f ∈ S.

Demostracion. Este teorema se puede deducir de resultados mas generales so-

bre ecuaciones diferenciales, pero se dara una prueba auto-contenida basada

en un metodo estandar de aproximaciones sucesivas. La ecuacion diferencial

∂w

∂t= −wp(w, t) , w(z, 0) = z

es equivalente a la ecuacion integral

w = z exp

−∫ t

0

p(w, t)dt

, (3.8)

debido a que1

w

∂w

∂t=

∂

∂tlogw .

Sea wn = wn(z, t) una sucesion de funciones definidas por w0(z, t) ≡ 0 y

wn+1 = z exp

−∫ t

0

p(wn, t)dt

, n = 0, 1, . . . .

Como Rep(w, t) > 0, un argumento inductivo es facil probar que |wn(z, t)| ≤|z| para todo t ≥ 0. Para cada t fijo, las funciones son analıticas en D y tienen

las propiedades

wn(0, t) = 0 , wn(z, 0) = z y w′n(0, t) = e−t

la ultima de las propiedades se tiene de la igualdad

wn(z, t) = exp

−∫ t

0

p(wn, t)dt

+ z(p(wn, t) − p(wn, 0))


y evaluando en z = 0 como p ∈ P entonces p(0, t) = 1 obtenemos la

propiedad. Ahora, usando la definicion recursiva y apelando a los dos lemas

anteriores, hallamos

|wn+2 − wn+1| ≤ |z|∣∣∣∣∫ t

0

[p(wn+1, t) − p(wn, t)]dt

∣∣∣∣

≤ 2|z|(1 − |z|)2

∫ t

0

|wn+1 − wn|dt .

Se sigue por induccion que

|wn+1(z, t) − wn(z, t)| ≤2n|z|ntn

(1 − |z|)2nn!, n = 0, 1, . . . .

La formula

wn =

n∑

k=1

(wk − wk−1)

prueba que las funciones wn(z, t) convergen uniformemente en |z| ≤ r y

0 ≤ t ≤ T para cada r < 1 y T <∞. La funcion lımite

f(z, t) = lımn→∞

wn(z, t)

es analıtica en D para cada t y continua en [0,∞) para cada z. Luego

f(z, t) satisface la ecuacion diferencial integral (3.8) y por lo tanto tiene

las propiedades

f(0, t) = 0 , f ′(0, t) = e−t , f(z, 0) = z y |f(z, t)| ≤ |z| .

Ahora estableceremos la unicidad. Suponga que la ecuacion (3.8) tiene dos

soluciones w = f(z, t) y v = g(z, t), entonces usando un argumento aplicado

antes

|w − v| ≤ 2|z|(1 − |z|)2

∫ t

0

|w − v|dt ,

por lo que

|f(z, t) − g(z, t)| ≤ 2n+1|z|n+1tn

(1 − |z|)2nn!,

haciendo n→ ∞ implica que f(z, t) ≡ g(z, t). Luego la solucion es unica.

Vamos a probar que f(z, t) es univalente en D para cada t fijo. Suponga que

f(z1, s) = f(z2, s) para algun s con z1, z2 ∈ D y |z1| ≤ r, |z2| ≤ r. Sean


w = f(z1, t) y v = f(z2, t). Entonces la ecuacion difenrencial de Loewner-

Kufarev da

∂

∂t(w − v) = vp(v, t) − wp(w, t) = v[p(v, t) − p(w, t)] + p(w, t)(v − w) .

Usando el lema 3.2 y el teorema de representacion de Herglotz de p nos da∣∣∣∣∂

∂t|w − v|

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∂

∂t(w − v)

∣∣∣∣ ≤ |v||p(v, t) − p(w, t)| + |p(w, t)||v − w|

≤ |f(z2, t)|2

(1 − r)2|v − w| +

∫ 2π

0

∣∣∣∣eit + w

eit − w

∣∣∣∣ dµ(t)|v − w|

≤ 2|z2(1 − r)2

|v − w| + 1 + r

1 − r

∫ 2π

0

dµ(t)|v − w|

≤ 2r

(1 − r)2|v − w| + 1 + r

1 − r|v − w| = A|v − w|

donde A =2r

(1 − r)2+

1 + r

1 − r. En particular,

∂

∂t|w − v| ≥ −A|w − v| ,

lo que implica

0 ≤ eAt∂

∂t|w − v| + AeAt|w − v| =

∂

∂teAt|w − v| .

Integrando de 0 a t y recordando que f(z, 0) = z, concluimos que

0 ≤ eAt|w − v| − |f(z1, 0) − f(z2, 0)| ≤ −|z1 − z2|

o que z1 = z2. Esto prueba la univalencia de f(z, t). Por lo que, etf(z, t) ∈ Spara todo t. Ahora probaremos la convergencia uniforme en compactos. Como

w = f(z, t) satisface la ecuacion integral

w = z exp

−∫ t

0

p(w, t)dt

tenemos la formula

etf(z, t) = etz exp

−∫ t

0

p(f(z, t), t)dt

= z exp

t−∫ t

0

p(f(z, t), t)dt

= z exp

∫ t

0

[1 − p(f(z, t), t)]dt

. (3.9)


Por lo que basta probar que la ultima integral converge uniformemente en

compactos de D cuando t → ∞. Teniendo en mente que p(0, t) = 1 y

|f(z, t)| ≤ |z|, vamos a apelar al lema 3.2 para obtener el estimativo

|1 − p(f(z, t), t)| = |p(0, t) − p(f(z, t), t)| ≤ 2

(1 − r)2|f(z, t)| , |z| ≤ r < 1 .

Como etf(z, t) ∈ S aplicando el teorema de crecimiento obtenemos

|f(z, t)| ≤ e−tr

(1 − r)2, |z| ≤ r .

Entonces las dos estimaciones anteriores nos permiten obtener

∫ ∞

0

|1 − p(f(z, t), t)|dt ≤ 2r

(1 − r)4

∫ ∞

0

e−tdt =2r

(1 − r)4.

Se sigue desde (3.9) que etf(z, t) converge uniformemente en compactos de D

cuando t → ∞. Luego, por la convergencia uniforme, la funcion lımite f(z)

esta en la clase S.

Observacion. Un corolario del teorema anterior es que si κ(t) es una funcion

continua de modulo unitario, la ecuacion de Loewner

∂f

∂t= −f 1 + κf

1 − κf

tiene una unica solucion f(z, t) satisfaciendo la condicion inicial f(z, 0) = z.

Esta funcion f(z, t) es univalente en D y la mapea sobre D. Sin embargo, el

rango no necesariamente es un disco con un corte, (D con un arco de Jordan

removido).

Ejemplo. Si κ(t) = [eit + i√

1 − e−2t]3, entonces la correspondiente funcion

f(z, t) mapea D sobre una region consistente de D menos parte del disco

acotado por el cırculo el cual intersecta el cırculo ortogonalmente en los

puntos κ(t) y 3

√κ(t).

§3.5. El Tercer Coeficiente 85

b

b

b

κ(t)

3

√κ(t)

0

Ademas, la funcion f(z) = lımt→∞

etf(z, t) es un mapeo de corte.

3.5. El Tercer Coeficiente

Como una aplicacion del metodo de Loewner probaremos la conjeura de

Bieberbach para el tercer coeficiente. El problema es demostrar que |a3| ≤ 3

para todas las funciones

f(z) = z + a2z2 + a3z

3 + · · ·

de la clase S. Como S es preservada bajo rotaciones, esto es equivalente a

probar que Rea3 ≤ 3. La teorıa de Loewner reduce el problema a funciones

de la forma

f(z) = lımt→∞

etf(z, t)

donde f(z, t) es la solucion de alguna diferencial de Loewner

∂f

∂t= −f 1 + κf

1 − κf, f(z, 0) = z ,

correspondiente a una funcion continua κ de modulo unitario. Por lo tanto,

sea

f(z, t) = e−t[a + a2(t)z2 + a3(t)z3 + · · · ] .

Es claro que an(0) = 0 ya que f(z, 0) = z y

lımt→∞

an(t) = an , n = 2, 3, . . . .

86 3. Representacion Parametrica de Mapeos de Corte

La idea ahora es igualar los coeficientes de z2 y z3 en la ecuacion diferencial

de Loewner, para hallar las identidades

a′2(t) = −2e−tκ(t) (3.10)

y

a′3(t) = −2e−2t[κ(t)]2 − 4e−tκ(t)a2(t) . (3.11)

En efecto, note que

−f 1 + κf

1 − κf= −f(1 + κf)

∞∑

n=0

κnfn

= −e−t(z + a2(t)z2 + a3(t)z

3 + · · · )×(1 + κe−tz + a2(t)κe

−tz2 + a3(t)κe−tz3 + · · · )

×1 + κf + κ2f 2 + · · · = −(e−tz + [a2(t)e

−t + κe−2t]z2

+[e−ta3(t) + a2(t)κe−2t + a2(t)κe

−2t]z3 + · · · )×1 + (κe−tz + a2(t)κe

−tz2 + · · · ) + (κ2e−2tz2 + · · · ) + · · · = −e−tz + (a2(t)e

−t + 2κe−2t)z2

+(a3(t)e−t + 4a2(t)κe

−2t + 2κ2e−3t)z3 + · · ·

y ademas

∂f

∂t= −e−t[z + a2(t)z

2 + a3(t)z3 + · · · ] + e−t[z + a′2(t)z

2 + a′3(t)z3 + · · · ] .

Igualando los coeficientes de z2 de las identidades anteriores se obtiene

−e−ta2(t) + e−ta′2(t) = −a2(t)e−t − 2κe−2t

la cual es equivalente a (3.10) e igualando las de z3 obtenemos

−e−ta3(t) + e−ta′3(t) = −a3(t)e−t − 4a2(t)κe

−2t − 2κ2e−3t

la cual es equivalente a (3.11). Ahora bien, integrando (3.10) obtenemos

a2 =

∫ ∞

0

a′2(t)dt = −2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt .

§3.5. El Tercer Coeficiente 87

Como |κ(t)| = 1, se sigue que

|a2| ≤ 2

∫ ∞

0

e−tdt = 2 ,

con igualdad si y solo si κ es constante. Pero si κ(t) ≡ α, la ecuacion de

Loewner nos da f(z) =z

(1 + αz)2, una rotacion de la funcion de Koebe (ver

ejercicio 2). En virtud de (3.10), la ecuacion (3.11) tiene la forma

a′3(t) = −2e−2t[κ(t)]2 + 2a2(t)a′2(t) . (3.12)

Observe que integrando por partes obtenemos la identidad∫ ∞

0

a2(t)a′2(t)dt = a2

2 −∫ ∞

0

a2(t)a′2(t)dt

lo que implica que

a22(t) = 2

∫ ∞

0

a2(t)a′2(t)dt

Entonces integrando la ecuacion (3.12) nos da

a3 = −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+ 2

∫ ∞

0

a2(t)a′2(t)dt

= −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+ [a2(t)]2

= −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+

[−2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

]2

= −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+ 4

[∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

]2

.

Tomando κ(t) = eiθ(t), obtenemos

Re a3 ≤ 2

∫ ∞

0

e−2t[1 − 2 cos2 θ(t)]dt+ 4

∫ ∞

0

e−t cos θ(t)dt

2

.

Aplicando la desigualdad de Schwarz. concluimos que

Re a3 ≤ 1 − 4

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt+ 4

∫ ∞

0

e−tdt

︸︷︷︸1

∫ ∞

0

e−t cos2 θ(t)dt

= 1 + 4

∫ ∞

0

(e−t − e−2t cos2 θ(t)dt

≤ 1 + 4

∫ ∞

0

(e−t − e−2t)dt = 1 + 4 · 1

2= 3 .


La igualdad ocurre si y solo si cos2 θ(t) ≡ 1. Como κ(t) es continua, implica

que κ(t) ≡ 1 o κ(t) ≡ −1. Las funciones correspondientes f(z) son z(1+z)−2

y z(1 − z)−2.

3.6. Radios de Estrelladas

Sabemos que el radio de convexidad en la clase S es 2 −√

3 = 0, 267 . . ..

Esto dice que toda f ∈ S mapea un disco de radio 2−√

3 sobre un dominio

convexo y esto es falso para todo radio mayor.


∣∣∣∣argf(z)

z

∣∣∣∣ ≤ log1 + |z|1 − |z| , |z| < 1 .

Esta cota es optima para cada z ∈ D.

Demostracion. Para esto basta probar la desigualdad para funciones gener-

adas por soluciones f(z, t) de la ecuacion diferencial de Loewner para una fun-

cion continua κ arbitraria con modulo unitario, con f(z, 0) = z. La ecuacion

de Loewner se puede expresar en la forma

∂

∂tlog f(z, t) = −1 + κ(t)f(z, t)

1 − κ(t)f(z, t). (3.13)

Note que

1 + κ(t)f(z, t)

1 − κ(t)f(z, t)=

1 + 2iIm κ(t)f(z, t) − |f(z, t)|2|1 − κ(t)f(z, t)|2

Por lo que separando en parte real e imaginaria en la ecuacion (3.13) se

obtienen las siguientes ecuaciones

∂

∂t|f(z, t)| = −|f(z, t)| 1 − |f(z, t)|2

|1 − κ(t)f(z, t)|2 (3.14)

y

∂

∂targ f(z, t) = −2

Im κ(t)f(z, t)|1 − κ(t)f(z, t)|2 (3.15)

§3.6. Radios de Estrelladas 89

La primera de estas ecuaciones (3.14) demuestra que |f(z, t)| decrece de |z|a 0 cuando t crece de 0 a ∞. Luego existe una correspondencia uno a uno

entre t y |f |, y es posible introducir |f | como la variable independiente. La

ecuacion (3.14) da

dt = −d|f ||f ||1 − κf |21 − |f |2 ,

se sigue de (3.15) que

|d arg f(z, t)| ≤ 2|f |dt|1 − κf |2 =

2d|f |1 − |f |2 .

La desigualdad se puede integrar produciendo∣∣∣∣arg

f(z, t)

z

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ t

0

∂

∂targ f(z, t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2

∫ ∞

0

|f ||1 − κf |2dt

≤ 2

∫ |z|

0

d|f |1 − |f |2 = log

1 + |z|1 − |z| , |z| < 1 .

Como todo mapeo de corte simple f ∈ S es el lımite de etf(z, t) para alguna

eleccion de κ, esto da la cota requerida. La prueba de optimalidad es un poco

mas delicada. Una reexaminacion de las estimaciones revela que la igualdad

ocurre para z ∈ D fijo si

Im κ(t)f(z, t) ≡ −|f(z, t)| , 0 ≤ t <∞ . (3.16)

Pero como κ(t) y f(z, t) deben estar relacionados por medio de la ecuacion

diferencial de Loewner, no es obvio que cualquier eleccion de κ genere una

funcion f(z, t) satisfaciendo (3.16). Demostraremos que tal funcion κ existe.

Si la ecuacion (3.16) fuera satisfacida, entonces Reκf = 0 en el par original

de ecuaciones diferenciales (3.14) y (3.15) se reducirıan a

∂|f |∂t

= −|f |1 − |f |21 + |f |2 (3.17)

y

∂

∂targ f =

2|f |1 + |f |2 (3.18)

donde f = f(z, t) y f(z, 0) = z. Integrando (3.17) nos da

|f(z, t)|1 − |f(z, t)|2 =

|z|e−t1 − |z|2 .


Esta ecuacion determina unicamente a f(z, t) ya que la funcion x1−x2 crece

de 0 a ∞ en el intervalo 0 ≤ x < 1.


∣∣∣∣argzf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤ log1 + |z|1 − |z| , |z| < 1 .

La cota es optima para cada z ∈ D.

Demostracion. Dada f ∈ S y a ∈ D, considere la funcion g ∈ S dada por

g(z) =f(z+a1+az

)− f(a)

(1 − |a|2)f ′(a), |z| < 1 .

La eleccion z = −a da la identidad

g(−a)−a =

1

1 − |a|2 · f(a)

af ′(a).

En particular,

arg

af ′(a)

f(a)

= − arg

g(−a)−a

.

Luego la cota deseada es obtenida apelando al teorema anterior.

Corolario 3.1. Para todo radio r ≤ ρ = tanh(π/4), cada funcion f ∈ Smapea el disco |z| < r sobre un dominio estrellado con respecto al origen.

Esto es falso para todo r > ρ.

Demostracion. Recuerde una funcion estrellada f son descritas analıtica-

mente por la condicion Re zf ′(z)/f(z) > 0. Por lo tanto se sigue del teo-

rema anterior que el disco |z| < r tiene una imagen estrellada bajo toda

funcion f ∈ S si y solo si r ≤ ρ donde ρ es determinado por la ecuacion

log1 + ρ

1 − ρ=π

2

o que ρ = tanh(π/4) = 0, 655 . . .. Este numero ρ es llamado radio de estrella-

das en S.

§3.7. El Teorema de Rotacion 91

3.7. El Teorema de Rotacion

Teorema 3.7 (Teorema de Rotacion). Para cada f ∈ S,

| arg f ′(z)| ≤

4 sin−1 r , r ≤ 1/√

2,

π + logr2

1 − r2, r ≥ 1/

√2,

donde r = |z| < 1. La cota es optima para cada z ∈ D.

Demostracion. Es suficiente considerar f ∈ § de la forma

f(z) = lımt→∞

etf(z, t) ,

donde f(z, t) es la solucion de la ecuacion diferencial de Loewner correspon-

diente a alguna funcion continua κ de modulo unitario, con f(z, 0) = z.

La convergencia es uniforme en compactos de D, se sigue de la formula de

Cauchy que

f ′(z) = lımt→∞

etf ′(z, t) ,

donde f ′(z, t) = (∂/∂z)f(z, t) y la convergencia es uniforme sobre compactos

de D. Derivando la ecuacion de Loewner con respecto a z nos da

∂f ′

∂t= −f ′

(1 + κf

1 − κf

)− f

(κf ′(1 − κf) + κf ′(1 + κf)

(1 − κf)2

)

=−f ′(1 + κf)(1 − κf) − 2κff ′

(1 − κf)2= −f ′ (1 − κ2f 2 + 2κf)

(1 − κf)2

o equivalentemente

∂

∂tlog f ′ = −(1 − κ2f 2 + 2κf)

(1 − κf)2=

1 − 2κf + κ2f 2 − 2

(1 − κf)2= 1 − 2

(1 − κf)2,

con parte imaginaria

∂

∂targ f ′ =

2Im (1 − κf)2|1 − κf |4 .

En este punto es ventajoso introducir |f | como la variable independiente,

como se hizo en la seccion anterior. Recuerde que |f | disminuye de |z| a 0

cuando t crece de 0 a ∞. Recordando la ecuacion obtenida en la seccion

anterior

|d arg f(z, t)| ≤ 2|f |dt|1 − κf |2 =

2d|f |1 − |f |2 ,


obtenemos

d arg f ′ =2Im (1 − κf)2

|1 − κf |4 dt = − 2Im (1 − κf)2d|f ||1 − κf |2(1 − |f |2)|f | . (3.19)

Observe que

Im (1 − κf)2|1 − κf |2 = sen(2 arg1 − κf) . (3.20)

En efecto, si z = reiθ entonces

Im z2|z|2 =

Im r2e2iθr2

=r2 sen 2θ

r2= sen 2θ .

Pero como |κ(t)| = 1, el punto κf esta sobre el cırculo con radio |f |, luego

es claro geometricamente que

| arg1 − κf| ≤ sen−1 |f | . (3.21)

0

κf

1/√

2 1

|f | ≤ 1/√

2

Ahora si |f | ≤ 1/√

2 implica que sen−1 |f | ≤ π4

y la desigualdad (3.21) nos

da

| sen(2 arg1 − κf)| ≤ sen(2 sen−1 |f |)= 2 sen(sen−1 |f |) cos(sen−1 |f |)= 2|f |

√1 − sen2(sen−1|f |) = 2|f |

√1 − |f |2 .

§3.7. El Teorema de Rotacion 93

Por otro lado, si |f | > 1/√

2, es claro apartir de la figura que hay dos valores

de κ para los cuales arg1 − κf = π4, luego no podemos mejorar la cota

trivial superior

| sen(2 arg1 − κf)| ≤ 1

0

κf

1/√

2 1

|f | > 1/√

2

En virtud de la relacion (3.20), estas ultimas estimaciones dan

|Im (1 − κf)2||1 − κf |2 ≤

2|f |

√1 − |f |2, |f | ≤ 1/

√2,

1, |f | > 1/√

2 .

Combinando esto con la ecuacion (3.19), hallamos que

|d arg f ′| ≤

−4d|f |√1 − |f |2

, |f | ≤ 1/√

2,

−2d|f ||f |(1 − |f |2) , |f | > 1/

√2 .

Como

arg f ′(z) = lımt→∞

arg f ′(z, t) ,

concluimos por integracion sobre el intervalo 0 ≤ t <∞ que para |z| ≤ 1/√

2,

| arg f ′(z)| ≤∫ |z|

0

4d|f |√1 − |f |2

= 4 sen−1 |z| ,


mientras que para 1/√

2 < |z| < 1,

| arg f ′(z)| ≤∫ 1/

√2

0

4d|f |√1 − |f |2

+

∫ |z|

1/√

2

2d|f ||f |√

1 − |f |2

= π + log|z|2

1 − |z|2 .

Para probar la optimalidad de estas estimaciones para cada z fijo, es suficiente

establecer la existencia de un par de funciones κ(t) y f(z, t) relacionadas por

la ecuacion diferencial de Loewner, tal que f(z, 0) = z y

sen(2 arg1 − κf) =

2|f |

√1 − |f |2, |f | ≤ 1/

√2,

1, |f | > 1/√

2,

para todo t. Una condicion equivalente es

sen(arg1 − κf) =

|f |, |f | ≤ 1/

√2,

1/√

2, |f | > 1/√

2,

Ejemplo. Para |z| ≤ 1/√

2, es posible exhibir una funcion extremal elemen-

tal. Sea ρ = cos θ para 0 < θ < π2

y considerar la funcion

f(z) =z − ρz2

(1 − e−iθz)2= z + a2z

2 + · · · ,

con derivada

f ′(z) =(1 − 2ρz)(1 − e−iθz) + 2(z − ρz2)e−iθ

(1 − e−iθz)3=

1 + e−iθz − 2ρz

(1 − e−iθz)3=

1 − eiθz

(1 − e−iθz)3.

Para verificar que f es univalente, vamos a probar que ella es casi-convexa.

Para cada numero real α, la funcion

ϕ(z) =eiαz

(1 − e−iθz)

es convexa. En efecto, la funcion e−iαϕ(z) es una transformacion de Mobius

que mapea el disco D sobre el plano superior de una recta tal como lo indica

la figura

§3.8. Coeficientes de Funciones Impares 95

0 1x

ye−iαϕ(z)

u

v

0

De esto se deduce que ϕ es convexa y tiene derivada

ϕ′(z) =eiα

(1 − e−iθz)2,

por lo quef ′(z)

ϕ′(z)= e−iα

1 − eiθ

1 − e−iθ.

Esta ultima expresion mapea D sobre un semi-plano acotado por recta que

pasa por el origen, luego para alguna eleccion de α esta expresion tiene parte

real positiva. Esto prueba que f es casi-convexa, luego f ∈ S. (En realidad,

f mapea D sobre el complemento de una semirecta). Por otro lado,

arg f ′(z) = arg(1 − ρeiθ) − 3 arg(1 − ρe−iθ) = −4 sen−1 ρ .

Esto prueba la optimalidad del teorema de rotacion en el rango 0 ≤ |z| ≤1/√

2, por lo menos en la subclase K de funciones casi-convexas.

3.8. Coeficientes de Funciones Impares

El teorema de Littlewood y Paley afirma que los coeficientes de toda

funcion univalente impar

h(z) = z + c3z3 + c5z

5 + · · ·

son acotados por una constante absoluta. Como la transformacion raız cuadra-

da de la funcion de Koebe es

z

1 − z2= z + z3 + z5 + · · · ,


Littlewood y Paley conjeturaron que |cn| ≤ 1 para todo h ∈ S(2). Esto fue

rapidamente refutado por Fekete y Szego por una aplicacion del metodo de

Loewner.

Cada h ∈ S(2) tiene la forma h(z) =√f(z2) para alguna funcion

f(z) = z + a2z2 + a3z

3 + · · ·

de la clase S. Un calculo facil da

c3 = 12a2 , c5 = 1

2(a3 − 1

4a2

2) .

Como |a2| ≤ 2, es claro que |c3| ≤ 1 para toda h ∈ S(2). Sin embargo, Fekete

y Szego hallaron que el maximo de |c5| es mas grande que 1. De hecho, ellos

obtienen una cota optima para |a3−αa22| en S, para cada α fijo en el intervalo

0 ≤ α ≤ 1.

Lema de Valiron-Landau. Sea ϕ(t) una funcion continua real-valuada

para t ≥ 0, con |ϕ(t)| ≤ e−t y

∫ ∞

0

[ϕ(t)]2dt = (λ+ 12)e−2λ , 0 ≤ λ <∞ .

Entonces ∣∣∣∣∫ ∞

0

ϕ(t)dt

∣∣∣∣ ≤ (λ+ 1)e−λ ,

la igualdad ocurre para ϕ(t) = ±ψ(t), donde

ψ(t) =

e−λ, 0 ≤ t ≤ λ

e−t, λ < t <∞

Demostracion. Note primero que la restriccion |ϕ(t)| ≤ e−t, garantiza que la

integral de ϕ2 esta entre 0 y 12, ya que

∣∣∣∣∫ ∞

0

[ϕ(t)]2dt

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

0

|ϕ(t)|2dt ≤∫ ∞

0

e−2tdt =1

2.

El valor de esta integral entonces es determinada unicamente por λ, ya que

la funcion (x + 12)e−2x es decreciente para x ≥ 0. Note tambien que ψ es

§3.8. Coeficientes de Funciones Impares 97

continua y tiene la propiedad |ψ(t)| ≤ e−t,

∫ ∞

0

[ψ(t)]2dt =

∫ λ

0

[ψ(t)]2dt+

∫ ∞

λ

[ψ(t)]2dt

=

∫ λ

0

e−2λdt+

∫ ∞

λ

e−2tdt

= λe−2λ +

[−e

−2t

2

]∞

0

=(λ+ 1

2

)e−2λ

y ∫ ∞

0

ψ(t)dt = (λ+ 1)e−λ .

Ahora observe que para todo t ≥ 0, la funcion

F (t) = [ψ(t) − |ϕ(t)|][2e−λ − ψ(t) − |ϕ(t)|]

es no negativa, y luego

0 ≤∫ ∞

0

F (t)dt

= 2e−λ∫ ∞

0

ψ(t)ds−∫ ∞

0

|ϕ(t)|dt−∫ ∞

0

[ψ(t)]2dt+

∫ ∞

0

[ϕ(t)]2dt

= 2e−λ

(λ+ 1)e−λ −∫ ∞

0

|ϕ(t)|dt.

Se sigue que ∣∣∣∣∫ ∞

0

ϕ(t)dt

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

0

|ϕ(t)|dt ≤ (λ+ 1)e−λ

con igualdad solo para ϕ(t) = ±ψ(t).

Teorema 3.8 (Fekete-Szego). Para cada f ∈ S,

|a3 − αa22| ≤ 1 + 2e−2α/(1−α) , 0α < 1 .

Esta cota es optima para cada α.

Demostracion. Como a3 y a22 “giran juntos” bajo toda rotacion, es suficiente

estimar Rea3−αa22. La teorıa de Loewner ya nos habıa dado las identidades

a2 − 2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt ,


a3 = −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+ 4

[∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

]2

donde κ(t) es una funcion continua a trozos valuada compleja con |κ(t)| = 1

para todo t. Sea κ(t) = eiθ(t) y note que Rez2 = Rez2−Imz2 entonces

Re a3 − αa22 = 4(1 − α)

(∫ ∞

0

e−t cos θ(t)dt

)2

−(∫ ∞

0

e−t sen θ(t)dt

)2

−4

∫ ∞

0


≤ 4(1 − α)

∫ ∞

0

e−t cos θ(t)dt

2

− 4

∫ ∞

0


= 4(1 − α)

∫ ∞

0

ϕ(t)dt

2

− 4

∫ ∞

0

[ϕ(t)]2dt+ 1

donde ϕ(t) = e−t cos θ(t). Por lo tanto, si

∫ ∞

0

[ϕ(t)]2dt = (λ+ 12)e−2λ

y apelando al lema de Valiron-Landau nos da

Re a3 − αa22 ≤ 4(1 − α)(λ+ 1)2e−2λ − 4(λ+

1

2)e−2λ + 1

= 4e−2λ[(1 − α)(λ+ 1)2] + 1 .

Pero esta cota tiene un valor maximo

1 + 2e−2α/(1−α)

para λ = α/(1 − α). Esto prueba la desigualdad.

Para probar la optimalidad, tomamos λ = α/(1−α) y tratamos de determinar

una funcion θ(t) con −π/2 < θ(t) < π/2 y

e−t cos θ(t) = ψ(t) ,

esto es,

cos θ(t) =

et−λ, 0 ≤ t ≤ λ,

1, λ < t <∞ .

§3.9. Un Contraejemplo elemental 99

Esta funcion θ(t) debe ser continua a trozos y debe satisfacer la condicion∫ ∞

0

e−t sen θ(t)dt = 0 .

Para lograr esto, elegimos un parametro τ en el intervalo 0 < τ < λ t pedimos

que θ(t) satisfaga

0 < θ(t) < π2

para 0 ≤ t ≤ τ ;

−π2< θ(t) ≤ 0 para τ ≤ t ≤ λ.

La eleccion de α = 14

en el teorema anterior (recuerde c5 = 12(a3 + 1

4a2

2))

demuestra la existencia de una funcion univalente impar con |c5| > 1.

Corolario 3.2. Para cada h ∈ S(2),

|c5| ≤ 12

+ e−2/3 = 1, 013 . . . .

Esta cota es optima.

3.9. Un Contraejemplo elemental

Teorema 3.9. Para cada entero impar n ≥ 5 existe una correspondiente

funcion h ∈ S(2) con todos sus coeficientes reales y con |cn| > 1.

3.10. Conjetura de Robertson

En 1936, Robertson conjeturo que los coeficientes de funciones univalentes

impares

h(z) =√f(z2) = z + c3z

3 + c5z5 + · · ·

satisface la desigualdad

n∑

k=1

|c2k−1|2 ≤ n , n = 1, 2, . . .

donde c1 = 1. Esta version es mas debil que la conjetura de Littlewood-

Paley la cual tambien implica la conjetura de Bieberbach. Como |c3| ≤ 1,


la desigualdad se satisface claramente para n = 2. Se ha establecido por

Robertson para n = 3 y por Friedland para n = 4, pero para valores grandes

de n el problema permanece abierto.

Teorema 3.10. Para cada funcion h ∈ S(2),

|c1|2 + |c3|2 + |c5|2 ≤ 3 .

Demostracion. Como c1 = 1 y podemos asumir c5 ≥ 0, es suficiente probar

que

|c3|2 + [Re c5]2 ≤ 2 .

El metodo de Loewner nos entrego las igualdades

a2 − 2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt ,

a3 = −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+ 4

[∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

]2

y como c2 = 12a2 y c5 = 1

2(a3 − 1

4a2

2) obtenemos

c3 = −∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

y

c5 = −∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+3

2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

2

.

Tomando κ(t) = eiθ y

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt = u+ iv ,

hallamos |c3|2 = u2 + v2 y

c5 = Re c5 =3

2(u2 − v2) − 2

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt+1

2.

Ahora sea∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt = (λ+ 12)e−2λ , 0 ≤ λ ≤ ∞ ,

§3.11. Coeficientes Sucesivos 101

y aplicando el lema de Valiron-Landau obtenemos

∣∣∣∣∫ ∞

0

e−t cos θ(t)dt

∣∣∣∣ = |u| ≤ (λ+ 1)e−λ .

Sea A =

∣∣∣∣∫ ∞

0

e−t sen θ(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 1. Se sigue que |c3|2 + |c5|2 ≤ p(x), donde

p(x) =

[3

2(x+ 1)2e−2x − 3

2A2 − 2

(x+

1

2

)e−2x +

1

2

]2

+ [(x+ 1)2e−2x + A2]

3.11. Coeficientes Sucesivos

Otro problema de coeficientes que ha atraıdo considerable atencion es

estimar

dn = ||an+1| − |an|| , n = 2, 3, . . .

la diferencia del modulo de coeficientes sucesivos de una funcion f ∈ S.

Entonces la funcion de Koebe sugiere la conjetura que dn ≤ 1 para todo n,

lo cual implicarıa la conjetura de Bieberbach. Para cada indice impar n ≥ 5,

sin embargo, sabemos que hay una funcion impar con |an| > 1. De ello se

deduce que para cada n ≥ 4, alguna funcion f ∈ S(2) produce una diferencia

dn > 1.

No es del todo obvio que dn es acotado en S. Goluzin demostro

dn ≤ Cn1/4 logn , n = 2, 3, . . . ,

y Biernacki mejoro esto

dn ≤ C(log n)3/2 , n = 2, 3, . . . ,

despues Hayman probo que dn es acotado por una constante absoluta. Parece

razonable sospechar que dn alcanza su maximo valor para una funcion impar.

Para n = 2, sin embargo, esto no es verdad. Sabemos que d2 ≤ 1 para toda

f ∈ S(2), pero vamos a ver que d2 > 1 para ciertas funciones f ∈ S.


Teorema 3.11. Para cada f ∈ S ,

−1 ≤ |a3| − |a2| ≤ 34

+ e−λ0(2e−2λ0 − 1) = 1, 029 . . . ,

donde λ0 es el unico valor de λ que satisface 0 < λ < 1 y 4λe−λ = 1. Ambas

cotas son optimas.

Demostracion. Si |a2| ≤ 1 entonces es obvio que |a1| − |a3| ≤ 1. Ahora, si

|a2| ≥ 1, la desigualdad |a3 − a22| ≤ 1 (probada en el ejercicio 1 del capıtulo

2) da

|a2| − |a3| = |a2|2 − |a3| + |a2| (1 − |a2|)︸︷︷︸≤0

≤ |a2|2 − |a3| ≤ |a3 − a22| ≤ 1 .

La igualdad es obtenida, por ejemplo por la funcion estrellada

f(z) =z

1 + z + z2= z − z2 + z4 + · · · ,

y la cota superior esta garantizada. Vamos ahora a usar las formulas de

Loewner

a2 − 2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt = −2(u+ iv)

y

a3 = −2

∫ ∞

0

e−2t[κ(t)]2dt+ 4

[∫ ∞

0

e−tκ(t)dt

]2

.

Despues de una rotacion, podemos asumir que a3 ≥ 0. Tomando κ(t) = eiθ(t),

entonces hallamos

|a3| − |a2| = Re a3 − |a2|

= −4

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt+ 1 + 4Re u+ iv2 − 2|u+ iv|

= −4

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t) + 1 + 4u2 − v2 − 2u2 + v21/2

≤ −4

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt+ 1 + 4u2 − 2|u| .

Si

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt = (λ + 12)e−2λ con 0 ≤ λ < ∞, entonces el lema de

Valiron-Landau da el estimativo

|u| ≤ (λ+ 1)e−λ .

§3.11. Coeficientes Sucesivos 103

Ahora distinguimos los dos casos.

Caso 1. Si (λ+ 1)e−λ ≤ 12.

Entonces |u| ≤ 12

y

4u2 − 2|u| ≤ 4u2 − 1 = 4(u+ 12)(u− 1

2) ≤ 0 .

Luego

|a3| − |a2| ≤ 1 + 4u2 − 2|u| − 4

∫ ∞

0

e−2t cos2 θ(t)dt

≤ 1 + 4u2 − 2|u| ≤ 1 .

Caso 2. Si (λ+ 1)e−λ > 12.

Entonces, como (4u2−2|u|) es positivo y creciente en el intervalo 12< |u| <∞,

obtenemos que

|a3| − |a2| ≤ 1 + 4(λ+ 1)2e−2λ − 2(λ+ 1)e−λ − 4(λ+1

2)e−2λ

= 1 + 4(λ2 + 2λ+ 1 − λ− 12)e−2λ − 2(λ+ 1)e−λ

= 1 + 2(2λ2 + 2λ+ 1)e−2λ − 2(λ+ 1)e−λ .

El problema es ahora hallar el maximo de la funcion

ϕ(λ) = (2λ2 + 2λ+ 1)e−2λ − (λ+ 1)e−λ

en el intervalo dado. La derivada es

ϕ′(λ) = λe−λ(1 − 4λe−λ) .

Luego ϕ tiene un punto crıtico en λ = 0 y los otros dos puntos λ0 y λ1 donde

4λe−λ = 1, definimos luego que 0 < λ0 < 1 y λ1 > 2. El punto λ1 puede ser

descartado como (λ1 + 1)e−λ1 < 12. El punto λ0 es un maximo local para ϕ,

como

ϕ′′(λ) = (1 − λ)e−λ(1 − 4λe−λ) + 4λ(λ− 1)e−2λ

y luego

ϕ′′(λ0) = (λ0 − 1)e−λ0 < 0 .

Luego, ϕ tiene un valor maximo en λ0. Como λ0e−λ0 = 1

4obtenemos

ϕ(λ0) = 2(λ0e−λ0)(λ0e

−λ0) + 2(λ0e−λ0)e−λ0 + e−2λ0 − (λ0e

−λ0) − e−λ0

= −1

8− 1

2e−λ0 + e−2λ0 .


Por lo que

|a3| − |a2| ≤ 1 + 2ϕ(λ0) = 34

+ e−λ0(2e−λ0 − 1) = 1, 029 . . . .

Esta cota es optima, como se ve por consideraciones similares a las hechas

en la prueba de le teorema de Fekete-Szego.

Ejercicios

2. Demuestre que si κ(t) es identicamente constante, la ecuacion de Loewn-

er produce una rotacion de la funcion de Koebe.

Solucion: Sabemos que |κ(t)| ≡ 1, entonces si κ(t) es constante im-

plica que κ(t) = eiθ para algun θ. La ecuacion de Loewner nos dio la

identidad

a2 = −2

∫ ∞

0

e−tκ(t)dt = −2eiθ∫ ∞

0

e−tdt = −2eiθ

por lo que |a2| = 2 y por el teorema de Bieberbach f es una rotacion

de la funcion de Koebe.

Capıtulo 4

Generalizaciones del Principio

del Area

4.1. Polinomios de Faber

Dada una funcion

g(z) = z + b0 + b1z−1 + b2z

−2 + · · ·

en la clase Σ, considere la expasion

ξg′(z)

g(ξ)− w=

∞∑

n=0

Fn(w)ξ−n . (4.1)

valido para todo ξ en alguna vecindad de ∞.

La funcion

Fn(w) = wn +n∑

k=1

ankwn−k

es un polinomio monico de grado n, llamado el n-esimo polinomio de Faber

de la funcion g. En particular, se puede hallar

F0(w) = 1 ,

F1(w) = w − b0 ,

F2(w) = w2 − 2b0w + (b20 − 2b1) ,

F3(w) = w3 − 3b0w2 + (3b20 − 3b1)w + (b30 + 3b1b0 − 3b2) .

105

106 4. Generalizaciones del Principio del Area

Ahora observe que como g es univalente, la funcion

ξg′(ξ)

g(ξ) − g(z)− ξ

ξ − z=

∞∑

n=1

∞∑

k=1

βnkz−kξ−n (4.2)

es analıtica para |z| > 1 y |ξ| > 1. En virtud de (4.1), la relacion (4.2) nos

da∞∑

n=0

Fn(g(z))ξ−n = 1 +

∞∑

n=1

zn +

∞∑

k=1

βnkz−k

ξ−n .

Luego el polinomio de Faber satisface

Fn(g(z)) = zn +

∞∑

k=1

βnkz−k , n = 1, 2, . . . . (4.3)

Los coeficientes βnk se conocen como los coeficientes de Grunsky de g.

La propiedad (4.3) actualmente caracteriza los n-esimos polinomios de Faber

de g entre todos los polinomios de grado n. De hecho, Fn se puede calcular por

sustraccion sucesiva de [g(z)]n de multiplos adecuados de [g(z)]n−1, [g(z)]n−2,

etc., elegidos para eliminar los terminos en zk para k = n − 1, n − 2, . . . , 0.

Este proceso es tambien un metodo conveniente para calcular los coeficientes

de Grunsky. Por ejemplo, hallamos

β11 = b1 , β12 = b2 , β13 = b3 ,

β21 = 2b2 , β22 = 2b3 + b21 , β23 = 2(b4 + b1b2) ,

β31 = 3b3 , β32 = 4(b4 + b1b2) , β33 = 3(b5 + b1b3 + b20b3 + b22) + b31 .

Esto sugiere la propiedad simetrica

kβnk = nβkn , k, n = 1, 2, . . . . (4.4)

En efecto, sea Cr la imagen del cırculo |z| = r > 1 bajo la funcion w = g(z).

Entonces por el teorema de Cauchy y la relacion (4.3),

0 =1

2πi

∫

Cr

Fn(w)F ′k(w)dw

=1

2πi

∫

|z|=r

Fn(g(z))F′k(g(z))g

′(z)dz

= kβnk − nβkn

Esto prueba (4.4) y note que hemos usado el hecho que∫ 2π

0einθdθ = 0, para

todo n ∈ Z excepto para n = −1 en cuyo caso la integral es igual a 2π.

§4.2. Teorema del Area Polinomial 107

4.2. Teorema del Area Polinomial

Recuerde que cada funcion g ∈ Σ mapea el exterior de D sobre el com-

plemento de un conjunto compacto K, y g es llamado un mapeo completo si

K tiene medida cero. La subclase de mapeos completos es denotado por Σ.

Usaremos el siguiente lema.

Lema 4.1. Sea γ una curva de Jordan continua que acota un dominio Ω, y

sean ϕ, ψ analıticas en la clausura de Ω. Entonces

1

2i

∫

γ

ϕ(w)ψ(w)dw =

∫∫

Ω

ϕ′(w)ψ(w)dudv , w = u+ iv .

Teorema 4.1 (Teorema del Area Polinomial). Sean g ∈ Σ, p un polinomio

no constante arbitrario y

p(g(z)) =∞∑

k=−Nckz

−k , |z| > 1 ,

donde N es el grado de p. Entonces∞∑

k=−Nk|ck|2 ≤ 0 , (4.5)

con igualdad si y solo si g ∈ Σ.

Demostracion. Sean Cr la imagen bajo g del cırculo |z| = r > 1, y Er el

interior de Cr. Entonces por el lema,

0 ≤∫∫

Er

|p′(w)|dudv =1

2i

∫

Cr

p(w)p′(w)dw

=1

2i

∫

|z|=r

p(g(z))p′(g(z))g′(z)dz

= −π∞∑

k=−Nk|ck|2r−2k .

Haciendo r → 1, obtenemos∞∑

k=−Nk|ck|2 = −1

π

∫∫

E

|p′(w)|dudv ≤ 0 .

con igualdad si y solo si m(E) = 0; esto es, si y solo si g ∈ Σ.


Observacion. La condicion (4.5) es equivalente a

∞∑

k=1

k|ck|2 ≤N∑

k=1

k|c−k|2 ,

y el teorema del area se sigue usando el polinomio p(w) = w.

Observacion. En la prueba del teorema del area polinomial, no se hace

uso de la informacion de que p es un polinomio. Se requiere solo que p sea

analıtica en E.

Corolario 4.1. Sean g ∈ Σ y F una funcion analıtica no constante en algun

dominio Eρ, ρ > 1. Sea

F (g(z)) =

∞∑

k=−∞ckz

−k , 1 < |z| < ρ .

Entonces ∞∑

k=1

k|ck|2 ≤∞∑

k=1

k|c−k|2 .

Si la suma del lado derecha converge, entonces la igual ocurre si y solo si

g ∈ Σ.

4.3. Desigualdades de Grunsky

Teorema 4.2 (Desigualdad de Grunsky Fuerte). Sea βnk los coeficientes de

Grunsky de una funcion g ∈ Σ. Entonces

∞∑

k=1

k

∣∣∣∣∣

N∑

n=1

βnkλn

∣∣∣∣∣

2

≤N∑

n=1

n|λn|2 (4.6)

para cada entero positivo N y para todos numeros complejos λ1, . . . , λN . La

desigualdad es estricta para todo vector no cero (λ1, . . . , λN) a no ser que

g ∈ Σ, en caso de que la igualdad se cumpla para todos los vectores.

Demostracion. Sea p(w) =N∑

n=1

λnFn(w) un polinomio de grado N , expresado

en terminos del polinomio de Faber de g. En virtud de (4.3), obtenemos

p(g(z)) =

N∑

n=1

λnzn +

∞∑

k=1

N∑

n=1

λnβnkz−k .

§4.3. Desigualdades de Grunsky 109

Luego el teorema se sigue por aplicacion directa del teorema del area polino-

mial.

Corolario 4.2 (Desigualdad de Grunsky Debil).∣∣∣∣∣

N∑

n=1

N∑

k=1

kβnkλnλk

∣∣∣∣∣ ≤N∑

n=1

n|λn|2 . (4.7)

Demostracion. Vamos en realidad a probar una importante generalizacion la

cual es llamada la desigualdad de Grunsky debil generalizada:

∣∣∣∣∣

N∑

n=1

N∑

k=1

kβnkλnµk

∣∣∣∣∣

2

≤N∑

n=1

n|λn|2N∑

k=1

k|µk|2 , (4.8)

donde λn y µk son parametros complejos arbitrarios. Para probar (4.8), sea

vk =

N∑

k=1

βnkλn , k = 1, . . . , N ,

y observe que la desigualdad de Grunsky fuerte implica

N∑

k=1

k|vk|2 ≤N∑

n=1

n|λn|2 .

Luego la desigualdad de Cauchy-Schwarz da

∣∣∣∣∣

N∑

n=1

N∑

k=1

kβnkλnµk

∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣

N∑

k=1

kvkµk

∣∣∣∣∣

2

≤N∑

k=1

k|vk|2N∑

k=1

k|µk|2 ≤N∑

n=1

n|λn|2N∑

k=1

k|µk|2 .

Observacion. Sea

g(z) = z + b0 + b1z−1 + b2z

−2 + · · ·

una funcion analıtica arbitraria en el anillo 1 < |z| < ∞ y teniendo un

polo simple con residuo 1 en ∞. Hemos probado que si g es univalente,

entonces los coeficientes bn satisfacen las desigualdades de Grunsky. Es un

hecho sorprendente que el recıproco es tambien verdad: las desigualdades

de Grunsky, incluso en su forma debil, son una condicion suficiente para la

univalencia de g.


4.4. Desigualdades de Goluzin y Lebedev

Teorema 4.3 (Desigualdad de Lebedev). Sean g ∈ Σ, M un entero positivo

y (z1, . . . , zN), (ξ1, . . . , ξN) N-tuplas arbitrarias de puntos distintos en .

Entonces∣∣∣∣∣

N∑

i=1

N∑

j=1

λiµj logg(zi) − g(ξj)

zi − zj

∣∣∣∣∣

2

≤−

N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj log

(1 − 1

zizj

)−

N∑

i=1

N∑

j=1

µiµj log

(1 − 1

ξiξj

)(4.9)

para todo numero complejo λi y µj.

Demostracion. Introducimos la expresion

logg(ξ) − g(z)

ξ − z= −

∞∑

n=1

∞∑

k=1

γnkz−kξ−n (4.10)

en el lado derecho de (4.9) obteniedo despues de un reordenamiento∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

∞∑

k=1

γnk

n∑

i=1

λiz−ki

N∑

j=1

µjξ−nj

∣∣∣∣∣

2

.

Ahora aplicando la desigualdad de Grunsky debil generalizada∣∣∣∣∣

N∑

n=1

N∑

k=1

γnkλnµk

∣∣∣∣∣

2

≤N∑

n=1

1

n|λn|2

N∑

k=1

1

k|µk|2

estimamos la expresion anterior por

∞∑

k=1

1

k

∣∣∣∣∣

N∑

i=1

λiz−ki

∣∣∣∣∣

2

∞∑

n=1

1

n

∣∣∣∣∣

N∑

j=1

µjξ−nj

∣∣∣∣∣

2 .

Pero el primer factor es

∞∑

k=1

1

k

∣∣∣∣∣

N∑

i=1

λiz−ki

∣∣∣∣∣

2

=

∞∑

k=1

N∑

i=1

λiz−ki

N∑

j=1

λjzj−k

=

N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj

∞∑

k=1

1

k(zizj)

−k

= −N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj log

(1 − 1

zizj

)

§4.4. Desigualdades de Goluzin y Lebedev 111

Una reduccion similar aplicado al segundo factor prueba el teorema.

Observacion. Hemos usado la identidad para |z| < 1

log(1 + z) =

∞∑

n=1

(−1)n−1 zn

n.

Corolario 4.3 (Desigualdad de Goluzin). Sean g ∈ Σ y z1, . . . , zN puntos

distintos en . Entonces∣∣∣∣∣

N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj logg(zi) − g(zj)

zi − zj

∣∣∣∣∣ ≤ −N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj log

(1 − 1

zizj

)(4.11)

para todo λ1, . . . , λN ∈ C.

Corolario 4.4. Para cada funcion impar g ∈ Σ,∣∣∣∣log

zg′(z)

g(z)

∣∣∣∣ ≤ logr2 + 1

r2 − 1, |z| = r > 1 .

Demostracion. Aplicando la desigualdad de Goluzin con N = 2, z1 = z,

z2 = ξ, λ1 = 1 y λ2 = −1. Note que el lado derecho de la desigualdad de

Goluzin nos da

N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj logg(zi) − g(zj)

zi − zj=

2∑

i=1

(λi log

g(zi) − g(z)

zi − z− λi log

g(zi) − g(ξ)

zi − ξ

)

= log g′(z) − logg(z) − g(ξ)

z − ξ− log

g(ξ)− g(z)

ξ − z+ log g′(ξ) = log

g′(z)g′(ξ)(z − ξ)2

(g(z) − g(ξ))2

ademas el lado izquierdo de la desigualdad de Goluzin nos da

−2∑

i=1

2∑

j=1

λiλj log

(1 − 1

zizj

)= −

2∑

i=1

(λi log

(1 − 1

ziz

)− λi log

(1 − 1

ziξ

))

= −

log

(1 − 1

|z|2)− log

(1 − 1

zξ

)− log

(1 − 1

ξz

)+ log

(1 − 1

|ξ|2)

= −

log

(1 − 1

|z|2)(

1 − 1

|ξ|2)− log

(1 − 1

zξ

)(1 − 1

ξz

)

= − log

((|z|2 − 1)(|ξ|2 − 1)

(zξ − 1)(ξz − 1)

)= log

|1 − zξ|2(|z|2 − 1)(|ξ|2 − 1)


lo anterior nos lleva a la desigualdad

∣∣∣∣logg′(z)g′(ξ)(z − ξ)2

(g(z) − g(ξ))2

∣∣∣∣ ≤ log|1 − zξ|2

(|z|2 − 1)(|ξ|2 − 1)

para toda g ∈ Σ. Asumiendo que g es impar y tomando ξ = −z obtenemos

∣∣∣∣∣log

(zg′(z)

g(z)

)2∣∣∣∣∣ ≤ log

(r2 + 1

r2 − 1

)2

, |z| = r > 1 ,

de donde se obtiene lo afirmado.

Corolario 4.5. Para cada f ∈ S,

∣∣∣∣logzf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤ log1 + |z|1 − |z| .

Demostracion. Aplicando el corolario anterior a la funcion impar

g(z) = f(z−2)−1/2 .

Note que

∣∣∣∣logzg′(z)

g(z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣logzf ′(z2)f(z2)−3/2z−3

f(z2)−1/2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣logf ′(z−2)

f(z−2)z2

∣∣∣∣

y reemplazando z−2 por z obtenemos

∣∣∣∣logzf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤ log1 + |z|1 − |z| .

Corolario 4.6. Para cada g ∈ Σ

∣∣∣∣logg(z) − g(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣2

≤ logr2

r2 − 1log

ρ2

ρ2 − 1,

donde |z| = r > 1 y |ξ| = ρ > 1.

Demostracion. Aplicando la desigualdad de Lebedev con N = 1 y λ1 = µ1 =

1.

§4.4. Desigualdades de Goluzin y Lebedev 113

Corolario 4.7. Para cada g ∈ Σ,

r2 − 1

r2≤∣∣∣∣g(z) − g(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣ ≤r2

r2 − 1, |z| = |ξ| = r > 1 .

Demostracion. Aplicando el corolario anterior, notando que |Re w| ≤ |w|,luego

∣∣∣∣log

∣∣∣∣g(z) − g(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣Re

log

g(z) − g(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣2

≤∣∣∣∣log

g(z) − g(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣2

≤(

logr2

r2 − 1

)2

por lo que

− logr2

r2 − 1≤ log

∣∣∣∣g(z) − g(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣ ≤ logr2

r2 − 1

de donde se obtiene lo afirmado.

Corolario 4.8. Para cada g ∈ Σ,

r2 − 1

r2≤ |g′(z)| ≤ r2

r2 − 1, |z| = r > 1 .

Corolario 4.9. Para cada f ∈ S,

1 − r2

r2|f(z)f(ξ)| ≤

∣∣∣∣f(z) − f(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣ ≤|f(z)f(ξ)|r2(1 − r2)

, |z| = |ξ| = r < 1 .

Demostracion. Aplicando el corolario (4.7) a g(z) = 1/f(1/z) se obtiene

parcialmente que

g(z) − g(ξ)

z − ξ=

f(1/ξ)− f(1/z)

f(1/z)f(1/ξ)(z − ξ)

y reemplazando 1z

por z y 1ξ

por ξ se obtiene parcialmente

f(1/ξ) − f(1/z)

f(1/z)f(1/ξ)(z − ξ)=

f(ξ) − f(z)

f(z)f(ξ)(1z− 1

ξ)

=(f(ξ) − f(z))zξ

f(z)f(ξ)(ξ − z)

por lo tanto

1 − r2 ≤∣∣∣∣f(z) − f(ξ)

z − ξ

∣∣∣∣|z||ξ|

|f(z)f(ξ)| ≤1

1 − r2

de donde se deduce lo afirmado.


El siguiente resultado lo usaremos en la seccion §6.4.

Corolario 4.10. Para cada funcion impar g ∈ Σ,∣∣∣∣log

(g(z) + g(ξ)

g(z) − g(ξ)· z − ξ

z + ξ

)∣∣∣∣2

≤ logr2 + 1

r2 − 1log

ρ2 + 1

ρ2 − 1,

donde |z| = r > 1 y |ξ| = ρ > 1.

Demostracion. Aplicando la desigualdad de Lebedev con N = 2, z1 = −z2 =

z, ξ1 = −ξ2 = ξ, λ1 = µ1 = 1, y λ2 = µ2 = −1. Esto da el resultado despues

de algunas manipulaciones algebraicas.

Como un corolario final, recordamos la desigualdad de Goluzin para fun-

ciones f ∈ S. Este corolario se obtiene mediante la inversion g(z) = 1/f(1/z)

en la desigualdad de Goluzin.

Corolario 4.11 (Desigualdad de Goluzin para S). Sean f ∈ S y z1, . . . , zN

puntos distintos en D. Entonces∣∣∣∣∣

N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj logzizj(f(zi) − f(zj))

f(zi)f(zj)(zi − zj)

∣∣∣∣∣ ≤ −N∑

i=1

N∑

j=1

λiλj log(1 − zizj)

para todo λ1, . . . , λN ∈ C.

4.5. Matrices Unitarias

Sabemos que si g ∈ Σ, entonces

logg(ξ) − g(z)

ξ − z= −

∞∑

n=1

∞∑

k=1

γnkz−kξ−n

y los coeficientes γnk satisfacen la desigualdad de Grunsky fuerte:

∞∑

k=1

k

∣∣∣∣∣

N∑

n=1

γnkλn

∣∣∣∣∣

2

≤N∑

n=1

1

n|λn|2 .

La igualdad se cumple para todo vector complejo (λ1, . . . , λN) si g ∈ Σ. Si

g /∈ Σ, entonces la desigualdad es estricta para todo vector no cero. Con la

substitucion

cnk =√nk γnk ,

§4.5. Matrices Unitarias 115

esta desigualdad toma la forma mas sugerente

∞∑

k=1

∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cknλn

∣∣∣∣∣

2

≤N∑

n=1

|λn|2 , (4.12)

despues λn/√n es reemplazado por λn.

Ahora sea C la matriz simetrica infinita con entradas ckn. Esta matriz C

determina un operador lineal T sobre el espacio de Hilbert ℓ2 de todas las

sucesiones cuadrado sumables λ = (λ1, λ2m. . .), con la norma

‖λ‖ =

∞∑

n=1

|λ|21/2

.

Inicialmente, T es definido solo por las sucesiones

λ = (λ1, λ2, . . . , λN , 0, 0, . . .)

con entradas no cero finitas. La desigualdad (4.12) dice que en este subespacio

denso de ℓ2, T es una contraccion: ‖T (λ)‖ ≤ ‖λ‖. Luego T tiene una unica

extension en todo el espacio ℓ2, mapiando cada λ ∈ ℓ2 sobre una sucesion

µ = T (λ) = (µ1, µ2, . . .)

definida por

µk =

∞∑

n=1

cknλn , k = 1, 2, . . . .

La convergencia de esta serie para cada λ ∈ ℓ2 es asegurada por el hecho que

∞∑

n=1

|ckn|2 ≤ 1 , k = 1, 2, . . . . (4.13)

Luego se tiene que

|µk| ≤∞∑

n=1

|cknλn| ≤ ∞∑

n=1

|ckn|21/2 ∞∑

n=1

|λn|21/2

<∞ .

La estimacion en (4.13) se deduce desde (4.12) tomando λn = δnj. La misma

eleccion de λ demuestra que

∞∑

n=1

|cnk| = 1 , k = 1, 2, . . . (4.14)


si g ∈ Σ y mientras que

∞∑

n=1

|ckn|2 < 1 , k = 1, 2, . . .

si g /∈ Σ. Se sigue que para g /∈ Σ, el operador T es una contraccion propia en

el sentido que ‖T (λ)‖ ≤ ‖λ‖ para todo λ ∈ ℓ2, λ 6= 0. Para g ∈ Σ, la condicion

de igualdad para (4.12) demuestra que T es una isometrıa: ‖T (λ)‖ = ‖λ‖para todo λ ∈ ℓ2.

Definicion. T es unitario si es una isometrıa cuyo rango es todo el espacio

ℓ2.

Teorema 4.4. Si g ∈ Σ, entonces el operador asociado T es unitario, y

∞∑

n=1

cjncnk = δjk , j, k = 1, 2, . . . . (4.15)

Si g /∈ Σ, entonces T es una contraccion propia.

Demostracion. Para g ∈ Σ, tenemos que demostrar que T es una isometrıa

y que (4.14) se satisface para cada k. Pero C es una matriz simetrica, luego

(4.14) es equivalente a (4.15) cuando j = k. Para j 6= k, considere la sucesion

λ = λn definida por

λn =

eiθ, n = j,

1, n = k,

0, n 6= j, k .

En terminos de la matriz C, la relacion isometrica ‖T (λ)‖2 = ‖λ‖2 entonces

se reduce a ∞∑

i=1

|eiθcij + cik|2 = 2 .

Note que

2 =∞∑

i=1

|eiθcij + cik|2 =∞∑

i=1

(eiθcij + cik)(e−iθcij + cik)

=

∞∑

i=1

(|cij|2 + eiθcijcik + e−iθcikcij + |cik|2) .

§4.6. El Cuarto Coeficiente 117

En virtud (4.14), se sigue que

Re

eiθ

∞∑

i=1

cijcik

= 0 .

Como θ es arbitrario, esto implica que

∞∑

i=1

cijcik = 0 ,

lo cual es equivalente a (4.15), como cij = cji.

En orden a demostrar que T es unitario, basta probar que cada µ ∈ ℓ2 es la

imagen bajo T para algun λ ∈ ℓ2. Definimos

λn =

∞∑

k=1

cnkµk , n = 1, 2, . . . .

Entonces λ = T (µ) ∈ ℓ2, y T (λ) = v, donde

vj =∞∑

n=1

cjnλn =∞∑

n=1

∞∑

k=1

cjncnkµk = µj ,

por la relacion de ortogonalidad (4.15). El intercambio de orden en las sumas

es justificado por la convergencia absoluta. Luego T (λ) = µ, lo cual muestra

que el rango de T es todo el espacio ℓ2.

4.6. El Cuarto Coeficiente

Teorema 4.5. El cuarto coeficiente de cada funcion f ∈ S satisface |a4| ≤ 4,

con igualdad solo para una rotacion de la funcion de Koebe.

Demostracion. Asumiremos sin perdida de generalidad que a4 > 0. Trans-

formando la funcion

f(z) = z + a2z2 + a3z

3 + · · ·

a

g(z) = f(1/z2)−1/2 = z + b1z−1 + b3z

−3 + · · · .


Entonces g ∈ Σ, y un calculo nos da

b1 = −1

2a2 ,

b3 =3

8a2

2 −1

2a3 ,

b5 =3

4a2a3 −

5

16a3

2 −1

2a4 .

Sean γnk los coeficientes de Grunsky logaritmicos de g, como fueron definidos

en (4.10). Entonces

γ11 = b1 = −1

2a2 ,

γ13 = γ31 = b3 =3

8a2

2 −1

2a3 ,

γ33 =1

3b31 + b1b3 + b5 = −1

2

3

4a2

2 + a2a3 −1

2a4 .

Con la eleccion N = 3, λ1 = λ, λ2 = 0 y λ3 = 1, la desigualdad de Grunsky

debil: ∣∣∣∣∣

N∑

n=1

N∑

k=1

γnkλnλk

∣∣∣∣∣ ≤N∑

n=1

1

n|λn|2

es

|γ11λ2 + 2γ13λ+ γ33| ≤ |λ|2 +

1

3.

Introduciendo arriba las expresiones para γnk obteniendo, despues de una

pequena manipulacion∣∣∣∣a4 + 4b3(a2 − λ) − 5

12a3

2 + a2λ2

∣∣∣∣ ≤ 2|λ|2 +2

3. (4.16)

El teorema del area aplicado a g nos da

|b1|2 + 3|b3|2 ≤ 1 ,

o bien

4|b3| ≤2√34 − |a2|21/2 .

Combinando esto con (4.16) esto nos da

a4 ≤2√34 − |a2|21/2|a2 − λ| + Re 5

12a3

2 − a2λ2 + 2|λ|2 +

2

3. (4.17)

§4.7. Problemas de Coeficientes en la Clase Σ 119

Ahora sea a2 = 2xeiθ, 0 ≤ x ≤ 1. Tomando

λ = 2xe−iθ/2 cos(3θ/2)

y sea y = | sen(3θ/2)|. Calculando da

|a2 − λ| = 2xy , Re 512a3

2 − a2λ2 = 4

3x3y2 − 14

3x3 .

La desigualdad (4.17) por lo tanto nos da

a4 ≤2

3+ 8x2 − 14

3x3 +

8√3(1 − x2)1/2xy − 4

3x2(6 − x)y2 . (4.18)

Para cada x fijo en el intervalo 0 < x ≤ 1, el lado derecho de (4.18) es una

funcion cuadratica de y la cual alcanza su maxima para

y =

√3(1 − x2)1/2

x(6 − x).

Sustituyendo este valor en (4.18) se concluye que

a4 ≤2

3+ 8x2 − 14

3x3 + 4

(1 − x2)

(6 − x). (4.19)

Ahora basta probar que el lado derecho de (4.19) no es mas largo que 4 para

0 ≤ x ≤ 1, lo cual es equivalente a

0 ≤ 24 − 5x− 66x2 + 54x3 − 7x4 ,

o equivalentemente

0 ≤ 3x2(1 − x) + (24 + 43x− 4x2)(1 − x)2 . (4.20)

La desigualdad (4.20) se satisface claramente para 0 ≤ x ≤ 1, con igualdad

solo para x = 1. Luego |a4| ≤ 4 para toda f ∈ S, con igualdad solo si |a2| = 2,

lo cual implica que f es una rotacion de la funcion de Koebe.

4.7. Problemas de Coeficientes en la Clase Σ

Analogo a la conjetura de Bieberbach es el problema de hallar cotas opti-

mas para los coeficientes bn de funciones

g(z) = z + b0 + b1z−1 + b2z

−2 + · · · , |z| > 1 ,


de la clase Σ. Por supuesto, no podemos decir nada acerca de b0, porque

el rango de g puede ser trasladado arbitrariamente sin perder univalencia.

Es conveniente considerar la subclase Σ0 de funciones g ∈ Σ con b0 = 0.

El teorema del area demuestra que |bn| ≤ n−1/2, n = 1, 2, . . .. Esta cota es

optima solo para n = 1, en el caso de funciones extremales son rotaciones de

g(z) = k(z−2−1/2 = z − 1

z,

donde k es la funcion de Koebe. Estas funciones extremales mapean la region

|z| > 1 sobre el complemento de una recta centrada en el origen. En 1938,

Schiffer extendio este resultado al segundo coeficiente. Usando un metodo

varacional obteniendo la estimacion optima |b2| ≤ 23, con igualdad solo para

rotaciones de

g(z) = k(z−3−1/3 = z − 1

z,

cuyo rango es el complemento de un sistema de tres segmentos de recta de

igual largo, que pasa por el origen con igual angulo. Esto evidencia natural-

mente la conjetura

|bn| ≤2

n+ 1, n = 1, 2 . . . ,

con igualdad para n dado solo para rotaciones de

g(z) = k(z−n−1−1/(n+1) = 2 − 2

n+ 1z−n + · · · , (4.21)

la cual mapea |z| > 1 sobre el complemento de un “asterisco” compuesto de

n+ 1 segmentos de rectas con igual largo, teniendo el origen como un punto

final comun y angulo igual. Infortunadamente, esta conjetura esta muy lejos

de ser verdadera. Falla para el tercer coeficiente.

Teorema 4.6. El segundo coeficiente de cada funcion g ∈ Σ0 satisface |b2| ≤23, con igualdad sola para g(z) = k(z−3)−1/3 y sus rotaciones.

Demostracion. Sea K el conjunto compacto omitido por g. Si α ∈ K, en-

tonces

g∗(z) = g(z2) − α1/2

= z1 − αz−2 + b1z−4 + b2z

−6 + · · · 1/2

= z + b∗1z−1 + b∗3z

−3 + b∗5z−5 + · · ·


tambien pertenece a Σ0. Una cuenta sencilla nos da

b∗1 = −1

2α ,

b∗3 =1

2b1 −

1

8α2 ,

b∗5 =1

2b2 +

1

4b1α− 1

16α3 .

Sean F ∗n el polinomio de Faber de g∗, y β∗

nk denota las coeficientes de Grunsky.

Entonces

F ∗n(g∗(z)) = zn +

∞∑

k=1

β∗nkz

−k

y

β∗33 = 3b∗5 + 3b∗1b

∗3 + b∗

3

1 =3

2b2 −

1

8α3 .

La desigualdad de Grunsky (4.6) implica

∞∑

k=1

k|β∗nk|2 ≤ n , n = 1, 2, . . . .

En particular, |β∗33| ≤ 1, con igualdad solo si β∗

3k = 0 para todo k 6= 3. Luego∣∣∣∣3

2b2 −

1

8α3

∣∣∣∣ ≤ 1 (4.22)

para cada α ∈ K. Si 0 ∈ K, esto implica que |b2| ≤ 23, con igualdad solo si

F ∗3 (g∗(z)) = z3 + eiθz−3 , eiθ = β∗

33 .

Pero si α = 0, entonces b∗0 = b∗1 = b∗2 = 0, y luego F ∗3 (w) = w3. Por lo tanto,

g(z2)3/2 = g∗(z)3 = z3 + eiθz−3 ,

lo que implica

g(z) = z1 + eiθz−32/3 ,

una rotacion de k(z−3)−1/3.

Ahora suponga que 0 /∈ K. Podemos asumir, despues de una rotacion, que

b2 es real y positivo. Se sigue de (4.22) que

b2 ≤2

3+

1

12Re α3


para todo α ∈ K. Vamos a probar que b2 <23

demostrando que Re α3 < 0

para algun α ∈ K. Si Reα3 ≥ 0 para todo α ∈ K, entoncesK esta confinida

a uno de los tres sectores donde Re α3 ≥ 0, como 0 /∈ K y K es conexo.

Pero esto es imposible, ya que la relacion

1

2π

∫ 2π

0

g(reiθ)dθ = b0 = 0 , r > 1 ,

demuestra que 0 esta en el cerrado convexo compacto K. Luego existe algun

α ∈ K con Re α3 < 0.

Teorema 4.7. El tercer coeficiente de cada funcion impar en Σ satisface

|b3| ≤ 12

+ e−6 ∼= 0, 502478 . . .. La cota es optima.

Demostracion. La funcion impar mas general g ∈ Σ tiene la forma

g(z) = f(z−2)−1/2 = z + b1z−1 + b3z

−3 + · · · ,

donde

f(z) = z + a2z2 + a3z

3 + · · ·

que esta en S. Un calculo simple nos da

b3 = −12(a3 − 3

4a2

2) .

Pero para cada α en el intervalo 0 ≤ α < 1, el teorema de Fekete-Szego da

la desigualdad optima

|a3 − αa22| ≤ 1 + 2e−2α/(1−α) .

Tomando α = 34, obtenemos la estimacion optima |b3| ≤ 1

2+ e−6.

Definicion. Definimos la clase Σ∗ de funciones en Σ cuyo conjunto omitido

K es estrellado con respecto al origen.

Teorema 4.8. El n-esimo coeficiente de toda funcion en Σ∗ satisface |bn| ≤2/(n + 1), con igualdad solo para la funcion (4.21) y sus rotaciones, n =

1, 2, . . ..


Demostracion. Primero note que cada g ∈ Σ∗ tiene la propiedad

Re

zg′(z)

g(z)

> 0 , |z| > 1 .

En efecto, cada g ∈ Σ∗ tiene la forma g(z) = 1/f(ξ) para alguna f ∈ S∗, y

ϕ(z) =zg′(z)

g(z)=

z

g(z)

(− f ′(ξ)

f(ξ)2

)(− 1

z2

)=ξf ′(ξ)

f(ξ), ξ =

1

z.

Como Re ϕ(z) > 0, se sigue desde el principio del modulo maximo que

ψ(z) = zϕ(z) − 1

ϕ(z) + 1=z2g′(z) − zg(z)

zg′(z) + g(z)

satisface |ψ(z)| < 1 en |z| > 1, como ψ es analıtica en ∞.

Capıtulo 6

Subordinacion

6.1. Principios Basicos

Sean f, g : D → C analıticas con f(0) = g(0). Suponga que f es univalente

y que g(D) ⊆ f(D). Entonces

ω(z) = f−1(g(z))

es analıtica en D, ω(0) = 0 y |ω(z)| < 1. Luego, por el lema de Schwarz,

|ω(z)| < |z| para 0 < |z| < 1 a no ser que ω sea una rotacion del disco.

Definicion. Una funcion analıtica g es llamada subordinada a una funcion

analıtica f (escribiremos g ≺ f) si

g(z) = f(ω(z)) , |z| < 1 ,

para alguna funcion analıtica ω con |ω(z)| ≤ |z|.

La funcion superordinada f no es necesariamente es univalente. Si g ≺ f ,

es claro que |g′(0)| ≤ |f ′(0)| y que la imagen bajo f de cada disco |z| ≤ r < 1

contiene la imagen bajo g del mismo disco. En particular, el principio del

modulo maximo de f domina a g:

M∞(r, g) ≤M∞(r, f) , 0 ≤ r < 1 .

Teorema 6.1 (Teorema de Subordinacion de Littlewood). Sean f, g : D → Canalıtica y suponga f ≺ g. Entonces, Mp(r, f) ≤Mp(r, g), 0 < p ≤ ∞.

125

126 6. Subordinacion

Demostracion. Probaremos algo un poco mas general. Si H : D → R sub-

armonica y h(z) = H(ω(z)), donde ω : D → C es analıtica con ω(0) = 0 y

|ω(z)| < 1. Entonces

∫ 2π

0

h(reiθ)dθ ≤∫ 2π

0

H(reiθ)dθ . (6.1)

En efecto, sea U(z) la funcion armonica en |z| < r e igual a H(z) en |z| = r.

Entonces H(z) ≤ U(z) en |z| ≤ r. Luego h(z) ≤ u(z) = U(ω(z)) en |z| = r.

Entonces

1

2π

∫ 2π

0

h(reiθ)dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

u(reiθ)dθ

= u(0) = U(0) =1

2π

∫ 2π

0

U(reiθ)dθ

=1

2π

∫ 2π

0

H(reiθ)dθ

lo cual prueba (6.1).

6.2. Desigualdad de Coeficientes

Teorema 6.2 (Teorema de Rogosinski). Sean f(z) =

∞∑

n=1

anzn y g(z) =

∞∑

n=1

bnzn analıticas en D y suponga que g ≺ f . Entonces

n∑

k=1

|bk|2 ≤n∑

k=1

|ak|2 , n = 1, 2, . . . .

Demostracion. Sea sn =∑n

k=1 akzk y escribimos f(z) = sn(z) + rn(z). Tam-

bien sea tn(z) =∑n

k=1 bkzk. Entonces

g(z) = f(ω(z)) = sn(ω(z)) + rn(ω(z)) .

Como ω(0) = 0, se sigue que

sn(ω(z)) = tn(z) +

∞∑

k=n+1

ckzk

§6.2. Desigualdad de Coeficientes 127

para algun ck, luego por la relacion de Parseval

1

2π

∫ 2π

0

|sn(ω(reiθ))|2dθ =

k∑

n=1

|bk|2r2k +

∞∑

k=n+1

|ck|2r2k .

Pero sn ω ≺ ω, luego por el teorema de Littlewood

1

2π

∫ 2π

0

|sn(ω(reiθ))|2dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|sn(reiθ)|2dθ =

n∑

k=1

|ak|2r2k .

Luego,

n∑

k=1

|bk|2r2k ≤n∑

k=1

|ak|2r2k, y la prueba se sigue haciendo r → 1.

Lema 6.1 (Suma por Partes). Sean An =∑n

k=1 |ak|2 entonces

n∑

k=1

λn|ak|2 =

n−1∑

k=1

(λk − λk+1)Ak + λnAn . (6.2)

Demostracion. Note que

n−1∑

k=1

(λk − λk+1)Ak =

n−1∑

k=1

λkAk −n−1∑

k=1

λk+1Ak

=

n−1∑

k=1

λkAk −n∑

k=2

λkAk−1

= λ1A1 +

[n−1∑

k=2

λk(Ak − Ak−1)

]− λnAn−1

= λ1|a1|2 +

n−1∑

k=2

λk|ak|2 − λnAn−1

y como λnAn − λnAn−1 = λn(An − An−1) = λn|an|2 se obtiene (6.2).

Teorema 6.3. Si g ≺ f y λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ 0, entonces

∞∑

k=1

λk|bk|2 ≤∞∑

k=1

λk|ak|2 .

Si λ1 > λ2 y a1 6= 0, igualdades finitas ocurren solo para g(z) = f(αz),

|α| = 1.


Demostracion. Con la notacion An =∑n

k=1 |ak|2 y Bn =∑n

k=1 |bk|2, por el

lema de suma por partes y el teorema de Rogosinski nos da

n∑

k=1

λk|bk|2 =

n−1∑

k=1

(λk − λk+1)Bk + λnBn

=

n−1∑

k=1

(λk − λk+1)Ak + λnAn =

n∑

k=1

λk|ak|2 .

Si λ1 > λ2, entonces la igualdad implica que |a1| = |b2|, o 0 6= |f ′(0)| = |g′(0)|.Luego |ω′(0)| = 1 y ω(z) = αz con |α| = 1, por el lema de Schwarz.

Corolario 6.1. Si g ≺ f , entonces∫∫

|z|≤r

|g′(ρeiθ)|2ρdρdθ ≤∫∫

|z|≤r

|f ′(ρeiθ)|2ρdρdθ , 0 < r ≤ 1√2.

Si la igualdad ocurre para algun r < 1/√

2, entonces g(z) = f(αz) para

|α| = 1. La constante 1/√

2 es la mejor posible.

Demostracion. Las integrales representan el area de la imagen de |z| < r

bajo f y g. En terminos de coeficientes, la desigualdad tomo la forma

∞∑

k=1

k|bk|2r2k ≤∞∑

k=1

k|ak|2r2k ,

la cual se sigue del teorema anterior si la sucesion kr2k es no creciente:

(k + 1)r2(k+1) ≤ kr2k , k = 1, 2, . . . ;

esto es, si

r ≤(

k

k + 1

)1/2

, k = 1, 2, . . . .

Como la ultima cota es menor para k = 1, la condicion es equivalente a

r ≤ 1/√

2.

Ejemplo. Sean f, g : D → C dadas por f(z) = z, g(z) = z2. Entonces la

desigualdad del corolario anterior se cumple si r2 ≤ 2r4 lo cual es equivalente

a 1/√

2 ≤ r. Como r2 > 2r4 para r > 1/√

2 se sigue qe la desigualdad del

lema falla para r > 1/√

2.


Corolario 6.2. Si g ≺ f , entonces

M2(r, g′) ≤M2(r, f

′) , 0 < r ≤ 1

2.

Si la igualdad ocurre para algun r < 12, entonces g(z) = f(αz) para |α| = 1.

La constante 12

es la mejor posible.

Demostracion. En terminos de coeficientes, debemos probar que

∞∑

k=1

k2|bk|2r2(k−1) ≤∞∑

k=1

k2|ak|2r2(k−1) .

en donde hemos usado la identidad de Parseval. La anterior desigualdad se

sigue del teorema si la sucesion k2r2(k−1) es no creciente:

(k + 1)2r2k ≤ k2r2(k−1) , k = 1, 2, . . . ;

esto es, si

r2 ≤(

k

k + 1

)2

, k = 1, 2, . . . .

Como la ultima cota es menor para k = 1, la condicion es equivalente a

r ≤ 1/2.

Lema 6.2 (Teorema de Bernstein). Sea P (z) un polinomio de grado a lo

mas n, con |P (z)| ≤ 1 en |z| ≤ 1. Entonces |P ′(z)| ≤ 1 en |z| ≤ 1.

Demostracion. Para α ∈ C fijo con |α| > 1, considere

Q(z) = P (z) − αzn .

Como la funcion z−nP (z) es analıtica en 1 ≤ |z| ≤ ∞ y |z−nP (z)| ≤ 1 sobre

|z| = 1, se sigue del principio del modulo maximo que la desigualdad tmabien

se satiface para |z| ≥ 1. Note que

|Q(z)| = |P (z) − αzn| = |z−nP (z) − α||zn|

y |z−nP (z)| ≤ 1 en |z| > 1 con |α| > 1. En otras palabras, todos los cero de

Q estan en |z| < 1. Por lo que los ceros de

Q′(z) = P ′(z) − αnzn−1


tambien estan en |z| < 1. El hecho que Q′(z) no tiene ceros en |z| ≥ 1 para

cualquier α ∈ C con |α| > 1 implica que

|P ′(z)z−n+1| ≤ n en |z| ≥ 1 .

En particular, |P ′(z)| ≤ n sobre |z| = 1 y en virtud del principio del modulo

maximo

|P ′(z)| ≤ n en |z| ≤ 1 .

Teorema 6.4. Si g ≺ f , y

(i) si f ∈ C, entonces |bn| ≤ 1, n = 1, 2, . . .;

(ii) Si f ∈ S∗, entonces |bn| ≤ n, n = 1, 2, . . ..

Demostracion.

(i) Suponga que f ∈ C y sea D = f(D). Sea εk = e2πik/n denota la n-esima

raız de la unidad, k = 1, 2, . . . , n. Entonces

g(εkz) ∈ D para |z| < 1 , k = 1, 2, . . . , n .

Como D es convexo, se sigue que

ϕ(zn) =1

n

n∑

k=1

g(εkz) = bnzn + · · · ∈ D , |z| < 1 .

Esta ultima expresion es una funcion analıtica de zn, como∑n

k=1 εmk = 0

a no ser que m sea un multiplo de n. Luego ϕ ≺ f , y |bn| = |ϕ′(0)| ≤|f ′(0)| = 1, por el lema de Schwarz.

(ii) Si f ∈ S∗, entonces existe h ∈ C tal que f(z) = zh′(z). Sea g(z) =

f(ω(z)). Para ξ ∈ C fijo con |ξ| ≤ 1,

h(ξω(z)) =

∞∑

n=1

Pn(ξ)zn ≺ h(ξz) ,


luego |Pn(ξ)| ≤ 1 por parte (i). Como Pn(ξ) es un polinomio de grado

n en ξ, se sigue del teorema de Bernstein que |P ′n(ξ)| ≤ n para |ξ| ≤ 1.

Note que diferenciando con respecto a ξ se obtiene

∂

∂ξh(ξω(z)) = h′(ξω(z))ω(z)

por lo que

f(ξω(z)) = ξω(z)h′(ξω(z)) = ξ

∞∑

n=1

P ′n(ξ)z

n .

Luego bn = Pn(1) por lo que |bn| ≤ n, n = 1, 2, . . ..

Conjetura de Rogosinski. Si g(z) =∞∑

n=1

bnzn es analıtica en D y g ≺ f

para alguna f ∈ S, entonces |bn| ≤ n para n = 1, 2, . . ..

Teorema 6.5. Suponga que f ∈ S, g ≺ f y sea h(z) =√f(z2) = z+ c3z

3 +

c5z5 + · · · . Entonces

|bn| ≤n∑

k=1

|c2k−1|2 , n = 1, 2, . . . .

Demostracion. Sean g(z) = f(ω(z)) y

ϕ(z) =h(√z)√z

= 1 + c3z + c5z2 + · · · .

Entonces [ϕ(z)]2 =f(z)

zy

g(z) = ω(z)1 + c3ω(z) + c5ω2(z) + · · · 2 .

Sea

sn(z) =n∑

k=1

c2k−1zk−1

denota la n-esima suma parcial de ϕ. Entonces como ω(0) = 0, la repre-

sentacion de Cauchy para los coeficientes de g podemos modificar a

bn =1

2πi

∫

|z|=r

ω(z)[sn(ω(z))]2

zn+1dz .


Como sn ω ≺ sn, se sigue del teorema de subordinacion de Littlewood y

|ω(z)| ≤ 1 que

|bn| ≤ r−nM22 (r, sn ω) ≤ r−nM2

2 (r, sn) = r−nn∑

k=1

|c2k−1|2r2k−2 , r < 1

la ultima igualdad se debe a la identidad de Parseval. Haciendo r → 1 obten-

emos lo pedido.

Observacion. A modo de resumen, es interesante observar que seis de las

conjeturas de coeficientes que hemos discutido estan relacionados por una

cadena de implicaciones:

=⇒

⇐=

⇐⇒

⇓

⇓

Conjetura de Milin Conjetura de Robertson

Conjetura de Bieberbach Conjetura de Rogosinski

Conjetura de Bieberbach asintotica Conjetura de Littlewood

6.3. Formas Optimas del Lema de Schwarz

Lema de Schwarz-Pick.

Si f : D → D es analıtca entonces

(i)

∣∣∣∣∣f(z) − f(z0)

1 − f(z0)f(z)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣z − z01 − z0z

∣∣∣∣,

(ii)|f ′(z0)|

1 − |f(z0)|2≤ 1

1 − |z0|2.

Si hay igualdad en (i) para algun z 6= z0 o en (ii) para algun z0 entonces f

es Mobius y se tendrıa igualdad en (i) y (ii) para todo z, z0.

§6.3. Formas Optimas del Lema de Schwarz 133

Demostracion. Consideremos un automorfismo del disco ϕα : D → D dada

por

ϕα(z) =z − α

1 − αz

Entonces, T = ϕf(z0) f ϕ−z0 entonces T (0) = 0 entonces por el Lema

de Schwartz se tiene que |T (z)| ≤ |z| |T ′(0)| ≤ 1 y se verifica que ϕ′α(0) =

1 − |α|2, ϕ′α(α) = 1

1−|α|2 . Mediante la regla de la cadena se obtiene

T ′(0) = ϕ′f(z0)(f(z0))f

′(z0)ϕ′−z0(0) = f ′(z0)

(1 − |z0|2)(1 − |f(z0)|2)

como |T ′(0)| ≤ 1 entonces

|f ′(z0)|1 − |f(z0)|2

≤ 1

1 − |z0|2

Por otro lado, una sustitucion muestra que ϕ−α(ϕα(z)) = z y como w =

ϕz0(z) ∈ D entonces

|T (w)| ≤ |w| ⇔ |(ϕf(z0) f ϕ−z0)(ϕz0(z))| ≤ |ϕz0(z)|

⇔ |(ϕf(z0) f)(z)| ≤∣∣∣∣z − z01 − z0z

∣∣∣∣

⇔∣∣∣∣∣f(z) − f(z0)

1 − f(z0)f(z)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣z − z01 − z0z

∣∣∣∣

Ahora, si hay igualdad en (a) o en (b) para algun z 6= z0 de lo anterior

se deduce que tendriamos igualdad |T (w)| = |w| para algun w o |T ′(0)| =

1 y por el Lema de Schwartz T (w) = eiθw donde w = ϕz0(z), es decir,

(ϕf(z0) f)(z) = eiθϕz0(z). Entonces

f(z) = ϕ−f(z0)(eiθϕz0(z))

=eiθϕz0(z) + f(z0)

1 + eiθf(z0)ϕz0(z)

=eiθ(z − z0) + f(z0)(1 − z0z)

(1 − z0z) + f(z0)eiθ(z − z0)

=(eiθ − z0f(z0))z + (f(z0) − eiθz0)

(f(z0)eiθ − z0)z + (1 − z0f(z0)eiθ)

=az + b

cz + d


y se verifica que ad − bc = eiθ(|d|2 + |c|2) 6= 0, luego f es Mobius y tenemos

igual en (a) y (b) para todo z, z0.

Lema de Dieudonne. Sean z0, w0 ∈ D con z0 6= 0. Entonces para todas

las funciones analıticas f que satisfacen |f(z)| < 1 en D, con f(0) = 0 y

f(z0) = w0, la region de valores de f ′(z0) es el disco cerrado∣∣∣∣w − w0

z0

∣∣∣∣ ≤|z0|2 − |w0|2|z0|(1 − |z0|2)

.

Demostracion. Por el lema de Schwarz-Pick, la funcion g definida por

f(z) − w0

1 − w0f(z)=

z − z01 − z0z

g(z)

satisface |g(z)| ≤ 1 en |z| < 1. Luego por el lema de Schwarz-Pick aplicado

a g nos da ∣∣∣∣∣g(z0) − g(0)

1 − g(0)g(z0)

∣∣∣∣∣ ≤ |z0| .

Pero como f(0) = 0 implica que g(0) = w0/z0, esto demuestra que g(z0)

esta en el disco cerrado con centro

γ =w0

z0

1 − |z0|21 − |w0|2

y radio

ρ =|z0|2 − |w0|2|z0|(1 − |w0|2)

.

Como

f ′(z0) =1 − |w0|21 − |w0|2

g(z0) ,

esto es equivalente a decir que f ′(z0) esta en el disco cerrado en la afirmacion

del Lema.

Ahora demostraremos que todo el disco es cubierto, sean

β =α− w0

1 − w0α, |α| < 1 ,

y f(z) definido explicitamente por la ecuacion

f(z) − w0

1 − w0f(z)=

z − z01 − z0z

· w0 + z0βz

z0 + w0βz.

§6.3. Formas Optimas del Lema de Schwarz 135

Cada uno de los factores del lado derecho tienen modulo menor que uno para

|z| < 1, se sigue que |f(z)| < 1. La condicion f(0) = 0 y f(z0) = w0 son

obvias y un calculo da

f ′(z0) =w0

z0+

|z0|2 − |w0|2z0(1 − |z0|2)

α

como α es arbitrario con |α| < 1, se sigue lo afirmado.

Corolario 6.3. Si f : D → C es analıtica, |f(z)| < 1 y f(0) = 0, entonces

|f ′(z)| ≤

1, r = |z| ≤√

2 − 1,

(1 + r2)2

4r(1 − r2), r ≥

√2 − 1.

La cota es optima para cada r < 1.

Demostracion. Para z fijo, sea r = |z| y R = |f(z)|. Entonces por el lema de

Schwarz R ≤ r, y el teorema anterior da

|f ′(z)| ≤ R

r+

r2 −R2

r(1 − r2)=

ψ(R)

r(1 − r2),

donde

ψ(R) = −R2 + (1 − r2)R + r2 .

Pero ψ(R) alcanza un maximo en R = 12(1− r2), el cual es menor que r si y

solo si r >√

2 − 1. En este caso, la cota superior optima para |f ′(z)| es

ψ(12(1 − r2))

r(1 − r2)=

14(1 − r2)2 + r2

r(1 − r2)=

(1 + r2)2

4r(1 − r2).

Para r ≤√

2 − 1, ψ(R) ≤ ψ(r) = r(1 − r2) en el intervalo 0 ≤ R ≤ r, luego

|f ′(z)| ≤ 1.

Definicion. Para z0 fijo con 0 < |z0| < 1, sea z0 la region cerrada con-

teniendo el disco |w| ≤ |z0|2 y acotada por un arco de cırculo |w| = |z0|2y dos arcos circulares γz0 y γz0 uniendo z0 a los puntos i|z0|z0 y −i|z0|z0,respectivamente y tangente al cırculo |w| = |z0|2 a estos dos puntos.


b

b

b

b

0

z0

−i|z0|z0

i|z0|z0

γz0

γz0z0

Lema de Rogosinski. Sea z0 ∈ D fijo con 0 < |z0| < 1. Entonces para toda

funcion f analıtica y satisfaciendo |f(z)| < 1 en D, con f(0) = 0 y f ′(0) ≥ 0,

la region de valores de f(z0) es precisamente z0.

Demostracion. Aplicando el Lema de Schwarz-Pick con ξ = 0 y con f(z)

reemplazado por f(z)/z obtenemos∣∣∣∣f(z) − f ′(0)z

z − f ′(0)f(z)

∣∣∣∣ ≤ |z| .

Esto situa a w0 = f(z0) en el disco Dt definido por∣∣∣∣w − tz0z0 − tw

∣∣∣∣ ≤ |z0| , t = f ′(0) ,

donde 0 ≤ t ≤ 1. El disco Dt tiene radio

(1 − t2)r20

1 − t2r20

, r0 = |z0| ,

y centrot(1 − r2

0)

1 − t2r20

z0 ,

un punto que atraviesa el segmento desde 0 a z0 cuando t crece de 0 a 1.

Para t = 0, el disco Dt se reduce que |w| ≤ |z0|2.La union de los discos Dt, 0 ≤ t ≤ 1, coincide con z0. Esto se ve, escribiendo

la ecuacion para el borde de Dt en la forma

F (w, t) = Re

log

w − tz0z0 − tw

− log |z0| = 0 .

§6.4. Mayorizacion 137

La envolvente de esta familia de cırculos es determinada por el par de ecua-

ciones F (w, t) = 0 y

∂F

∂t= Re

w

z0 − tw− z0w − tz0

= 0 .

Si w/(z0 − tw) es reemplazado por su complejo conjugado, esta segunda

ecuacion se reduce a

Re

z0 − tw

w − tz0

= 0 .

Luego la envolvente es dada por

w − tz0z0 − tw

= ±ir0 , r0 = |z0|

o equivalentemente

w =t± ir01 ± itr0

z0 , 0 ≤ t ≤ 1 .

Esta ecuacion define arcos circulares γz0 y γz0 que formaran parte del borde

de z0.

Se ve que la region z0 es cubierta por completo, considerando la funcion

f(z) = zαz + 1

1 + tαz, |z| ≤ 1 , 0 ≤ t ≤ 1 .

Entonces |f(z)| < 1 para |z| < 1, es facil verificar que f(0) = 0, f ′(0) = t, y

w0 − tz0z0 − tw0

= αz0 , w0 = f(z0) .

Como α es arbitrario con |α| ≤ 1, esto demuestra que todo punto en el disco

Dt es la imagen de z0 bajo alguna funcion f con las propiedades requeridas.

6.4. Mayorizacion

Teorema 6.6. Si f ∈ S y g ≺ f , entonces

|g(z)| ≤ r

(1 − r)2y |g′(z)| ≤ 1 + r

(1 − r)3, r = |z| < 1 .


Demostracion. La primera desigualdad es sencilla debido a que M∞(r, g) ≤M∞(r, f) y la desigualdad se sigue del teorema de crecimiento dado que

f ∈ S. Para la segunda desigualdad, escribimos g(z) = f(ω(z)), donde

|ω(z)| ≤ |z|. Aplicando (ii) del Lema de Schwarz-Pick y el teorema de dis-

torsion obtenemos

|g′(z)| = |f ′(ω(z))w′(z)|

≤ 1 + |ω(z)|(1 − |ω(z)|)3

· 1 − |ω(z)|21 − |z|2

=

(1 + |ω(z)|1 − |ω(z)|

)2

· 1

1 − |z|2

≤(

1 + |z|1 − |z|

)2

· 1

1 − |z|2 =1 + |z|

(1 − |z|)3.

Teorema 6.7. Si f ∈ S, g ≺ f y g′(0) ≥ 0, entonces |g(z)| ≤ |f(z)| para

todo z en el disco |z| ≤ 12(3−

√5) = 0, 381 . . ..Este radio es el mejor posible.

Demostracion. Sea b = 12(3−

√5). El lema de Rogosinski permite reducir la

demostracion a probar que si |z0| ≤ b, entonces |f(ξ)| ≤ |f(z0)| para todo

ξ ∈ z0, esto se debe a que g tiene la representacion g(z) = f(ω(z)), donde

|ω(z)| ≤ |z| y ω′(0) ≥ 0. Luego ω(z) ∈ z. Supongamos lo contrario, que

para alguna f ∈ S y para algun z0 con 0 < |z0| < b, |f(ξ)| > |f(z0)| para

algun ξ ∈ z0 . Por el principio del modulo maximo, podemos asumir que ξ

esta en el borde z0 . Es claro que |z0|2 < |ξ| < |z0|, como |f(z)| ≤ |f(z0)| para

|z| ≤ |z0|2. Luego podemos asumir sin perdida de generalidad que ξ esta en el

arco γz0. Se sigue que |f(z1)| = |f(z0)| para algun z1 ∈ γz0, |z0|2 < |z1| < |z0|.Es claro geometricamente que 0 < argz1/z0 < π

2. Ahora apelando a la

desigualdad de la seccion §4,4:∣∣∣∣log

(G(ξ1) +G(ξ2)

G(ξ1) −G(ξ2)· ξ1 − ξ2ξ1 + ξ2

)∣∣∣∣2

≤ log|ξ1|2 + 1

|ξ1|2 − 1log

|ξ2|2 + 1

|ξ|2 − 1

para funciones impares G ∈ Σ y puntos distintos ξ1, ξ2. Tomando h(z) =√f(z2) yG(ξ) = 1/h(1/ξ); eligiendo ξ1 = 1/w1 y ξ2 = 1/w0, donde w1 =

√z1

y w0 =√z0. Entonces la desigualdad de arriba toma la forma

∣∣∣∣(h(w1) + h(w0)

h(w1) − h(w0)· w1 − w0

w1 + w0

)∣∣∣∣2

≤ log1 + |z0|1 − |z0

log1 + |z1|1 − |z1|

. (6.3)

§6.4. Mayorizacion 139

Como |f(z1)| = |f(z0)|, podemos escribir h(w1)/h(w0) = eiψ, luego que

h(w1) + h(w0)

h(w1) − h(w0)= −i cot

ψ

2

Como z1 ∈ γz0 , es sencillo ver que z1/z0 = ρeiθ esta en el arco circular

ρ2 +1 − r2

0

r0ρ sen θ = 1 , 0 < θ <

π

2, (6.4)

donde r0 = |z0|. Note que r0 < ρ < 1. El lado izquierdo de (6.3) no es mas

pequeno que

∣∣∣∣∣arg

−i

√ρeiθ/2 + 1

√ρeiθ/2 − 1

∣∣∣∣∣

2

=

tan−1

(1 − ρ

2√ρ sen θ/2

)2

.

Luego la desigualdad (6.3) implica

tan−1

(1 − ρ

2√ρ sen θ/2

)≤

log1 + r01 − r0

log1 + ρr01 − ρr0

1/2

, (6.5)

donde ρ y θ estan relacionados por (6.4). Vamos a obtener una contradiccion

demostrando que (6.5) no puede ocurrir. Primero eliminamos θ combinando

(6.4) con la identidad

senθ

2=

1√2

sen θ(1 + cos θ)−1/2 .

El resultado de los calculos es

1 − ρ

2√ρ sen θ/2

= ϕ(ρ,R) , R =r0

1 − r20

,

donde

ϕ(ρ,R) =1√2R

√ρ

1 + ρ

1 +

[1 −R2

(1 − ρ2

ρ

)2]1/2

.

Un calculo demuestra que (∂/∂ρ)[ϕ(ρ,R)]2 > 0 para r0 < ρ < 1. Luego

ϕ(ρ,R) ≥ ϕ(r0, R) =1 − r0√

2r0≥ 1 − b√

2b=

1√2,

como r0 < b y b2 − 3b+ 1 = 0. En otras palabras, el lado izquierdo de (6.5)

es acotado inferiormente por tan−1(1/√

2).


Por otro lado, para r0 ≤ ρ ≤ b el lado derecho de (6.5) es acotado superior-

mente por

log

1 + b

1 − blog

1 + b2

1 − b2

1/2

=

log

√5 log

(3√5

)1/2

<1

2.

Como tan−1(1/√

2) > 12, esto demuestra que (6.5) es falso para r0 ≤ ρ ≤ b.

El caso b < ρ < 1 es mas delicado. Primero observe que ϕ(ρ,R) es una

funcion decreciente de R, luego

ϕ(ρ,R) ≥ ϕ

(ρ,

b

1 − b2

)= ϕ

(ρ,

1√5

), r0 < b < ρ < 1 .

Luego la desigualdad (6.5) implica

tan−1

(ϕ

(ρ,

1√5

))≤

log√

5 log1 + bρ

1 − bρ

1/2

, (6.6)

como (1 + b)/(1 − b) =√

5. Por conveniencia escribimos (6.6) en la forma

u(ρ) ≤ v(ρ). Ambos u(ρ) y v(ρ) son funciones crecientes de ρ. Luego para

b < ρ ≤ 35, la desigualdad (6.6) da

u(b) ≤ u(ρ) ≤ v(ρ) ≤ v(35) ;

mientras para 35≤ ρ < 1 da

u(35) ≤ u(ρ) ≤ v(ρ) ≤ v(1) .

Pero estas conclusiones contradicciones el hecho numerico

u(b) > 0, 615; v(35) < 0, 613;

u(35) > 0, 807; v(1) < 0, 805.

Luego la desigualdad (6.5) es falsa tambien para b < ρ < 1, y la suposicion

que |f(ξ)| > |f(z0)| en algun lugar de z0 lo cual es una contradiccion.

Existe un correspondiente teorema para derivadas

Teorema 6.8. Si f ∈ S, g ≺ f y g′(0) ≥ 0, entonces |g′(z)| ≤ |f ′(z)| para

todo z en el disco |z| ≤ 3 −√

8 = 0, 171 . . .. Este radio es el mejor posible.

§6.5. Funciones Univalentes Subordinadas 141

6.5. Funciones Univalentes Subordinadas

Teorema 6.9. Suponga que f ∈ S, y sea g : D → C analıtica y univalente,

con g ≺ f y g′(0) > 0. Entonces |g(z)| ≤ |f(z)| para todo z en el disco |z| ≤r0 = 0, 390 . . ., donde r0 es la unica solucion de la ecuacion trascendental

log1 + r

1 − r+ 2 tan−1 r =

π

2.

El radio r0 es el mejor posible. Si la igualdad ocurre para cualquier z con

|z| < r0, entonces g = f .

Demostracion. Como f(z) se puede aproximar uniformemente en compactos

de D por1

ρf(ρz) , 0 < ρ < 1

no hay perdida de generalidad suponer que f mapea el disco sobre un disco

D acotado por una curva de Jordan analıtica. En virtud del teorema de

convergencia de Caratheodory, es suficiente asumir que g mapea el disco

sobre un dominio D consistente de D con un corte a lo largo de algun arco

de Jorda Γ que termina en un punto w0 ∈ C y no pasa alrededor del origen.

Sea Γ representado por w = ψ(t), 0 ≤ t ≤ T , con ψ(T ) = w0, y Dt el dominio

D con corte a lo largo de Γ desde w0 a ψ(t). La parametrizacion puede ser

elegida de manera que

w = g(z, t) = etz + b2(t)z2 + · · ·

mapea el disco sobre Dt. Luego g(z, 0) = g(z), mientras que g(z, T ) = f(z).

Derivando la ecuacion diferencial de Loewner, se halla que g(z, t) satisface la

ecuacion diferencial

∂g

∂t=∂g

∂zz1 + κz

1 − κz, (6.7)

donde κ = κ(t) es una funcion continua compleja valuada con |κ(t)| ≡ 1 para

1 ≤ t ≤ ∞. Transformando esta ecuacion diferencial y extrayendo parte real,

hallamos

∂

∂tlog |f(z, t)| = Re

zg′(z, t)

g(z, t)· 1 + κz

1 − κz

(6.8)


donde g′(z, t) = (∂/∂z)g(z, t). Pero como g(z, t) es univalente y normalizada

por g(0, t) = 0 y g′(0, t) > 0, una desigualdad general para S (ver §3,6) da∣∣∣∣arg

zg′(z, t)

g(z, t)

∣∣∣∣ ≤ log1 + |z|1 − |z| .

Por otro lado,∣∣∣∣arg

1 + κz

1 − κz

∣∣∣∣ = | arg(1 + κz)(1 − κz)

=

∣∣∣∣tan−1

(2Im κz

1 − r2

)∣∣∣∣

≤ tan−1

(2r

1 − r2

)= 2 tan−1 r .

En virtud de estas dos desigualdades, la ecuacion (6.8) demuestra que

∂

∂tlog |g(z, t)| > 0

si

log1 + r

1 − r+ 2 tan−1 r <

π

2.

En otras palabras, |g(z, t)| crece desde |g(z)| a |f(z)| si |z| < r0. Luego

|g(z)| ≤ |f(z)| si |z| ≤ r0. En orden a probar que el radio r0 es el mejor

posible, suponga que r0 < r < r1, donde r1 es la solucion de

log1 + r

1 − r+ 2 tan−1 r =

3π

2.

Considere la funcion

ξ = ϕ(z) = k−1((1 − ε)k(z)) , 0 < ε < 1 ,

donde k(z) = z(1 − z)−2 es la funcion de Koebe. La funcion ϕ mapea el

disco |z| < 1 sobre el disco |ξ| < 1 menos un corte radial en el interior desde

ξ = −1. Note que ϕ(0) = 0 y ϕ′(0) > 0. Para ε > 0, un calculo nos da la

formula

ϕ(z) = z − εz1 − z

1 + z+O(ε2) , |z| < 1 .

Ahora sea g(z)) = f(ϕ(z)) y note que todas las hipotesis del teorema son

satisfacidas si f ∈ S. La formula asintotica para ϕ da

g(z) = f(z) − εzf ′(z)1 − z

1 + z+O(ε2) (6.9)

Ejercicios 143

o bien

|g(z)| = |f(z)|[1 − εRe

zf ′(z)

f(z)· 1 − z

1 + z+O(ε2)

]. (6.10)

Ahora elija z con |z| = de modo que

arg1 − z

1 + z= 2 tan−1 r ,

y entonces eligiendo f ∈ S de modo que

argzf ′(z)

f(z)= log

1 + r

1 − r.

Como r0 < r < r1, es claro de (6.10) que |g(z)| > |f(z)| para ε > 0 sufi-

cientemente pequeno. En virtud de la simetrıa rotacional, esto demuestra el

teorema alrededor del anillo r0 < |z| < r1. En efecto, por una modificacion

trivial de la construccion (en la etapa en donde z es elegido con el modulo da-

do), podemos ver que el teorema falla cuando r0 < |z| < 1. Alternativamente,

es sencillo ver, por simetrıa rotacional y el principio del modulo maximo apli-

cado a g/f , que el conjunto de puntos donde el teorema se cumple es un disco

cerrado centrado en el origen.

Finalmente, si |g(z)| = |f(z)| en algun disco |z| < r0 el principio del modulo

maximo demuestra que g = f .

Teorema 6.10. Suponga que f ∈ S y g : D → C es analıtica y univalente,

con g ≺ f y g′(0) > 0. Entonces |g′(z)| ≤ |f ′(z)| para todo z en el disco

|z| ≤ 3 −√

8 = 0, 171 . . ., y este radio es el mejor posible. Si hay igualdad

para cualquier z con |z| < 3 −√

8, entonces g = f .

Ejercicios

3. Use el teorema de subordinacion de Littlewood para demostrar que

para 0 < p < ∞ y para cada funcion f analıtica en D, la integral

Mp(r, f) es una funcion no decreciente de r.

Solucion: Sean 0 < r1 < r2 < 1 y considere ω : D → D dada por


ω(z) = r1r2z y g(z) = f(ω(z)) entonces por el Teorema de subordi-

nacion de Littlewood se tiene que Mp(r1r2r, f) ≤ Mp(r, f) en particular

para r = r2 se obtiene que Mp(r1, f) ≤Mp(r2, f).

4. Sea ϕ(t) una funcion no decreciente convexa en 0 ≤ t <∞. Demuestre

que si f ≺ g en D, entonces

∫ 2π

0

ϕ(|g(reiθ)|)dθ ≤∫ 2π

0

ϕ(|f(reiθ)|)dθ , 0 ≤ r < 1 .

Solucion: Tenemos que f : D → C es analıtica entonces la funcion

uf = |f(z)| es subarmonica en D. En efecto, usando la propiedad del

valor medio para funciones analıticas tenemos

|f(z0)| =

∣∣∣∣1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reiθ)dθ

∣∣∣∣ ≤1

2π

∫ 2π

0

|f(z0 + reiθ)|dθ

lo cual es una condicion necesaria y suficiente para que uf sea sub-

armonica en D. Ademas, afirmamos que F = ϕ uf es subarmonica.

En efecto, sea D(z0, r) ⊂ Ω y tenemos que

ϕ(uf(z0)) ≤ ϕ

(1

2π

∫ 2π

0

uf(z0 + reiθ)dθ

)≤ 1

2π

∫ 2π

0

ϕ(uf(z0+reiθ))dθ.

La primera desigualdad se debe a que ϕ es monotona creciente y la

segunda se debe a la desigualdad de Jensen. Por otro lado, sea U(z) la

funcion armonica en |z| < r, igual a F (z) en |z| = r y F (z) ≤ U(z) en

|z| < r, entonces

F (ω(z)) ≤ U(ω(z)) , en |z| ≤ r .

Note que F (ω(z)) = ϕ(uf(ω(z))) = ϕ(|f(ω(z))|) = ϕ(|g(z)|). Por lo

Ejercicios 145

tanto,

1

2π

∫ 2π

0

ϕ(|g(reiθ)|)dθ =1

2π

∫ 2π

0

F (ω(reiθ))dθ

≤ 1

2π

∫ 2π

0

U(ω(reiθ))dθ

= U(ω(0)) = U(0)

=1

2π

∫ 2π

0

U(reiθ)dθ

=1

2π

∫ 2π

0

F (reiθ)dθ

=1

2π

∫ 2π

0

ϕ(|f(reiθ)|)dθ .

funciones univalentes - matemática · cap´ıtulo 1 teor´ıa geom´etrica de funciones 1.1....

Documents