1- conjuntos numéricos teórico

7/23/2019 1- Conjuntos Numricos Terico

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Prof. Patricia Borace

Conjuntos Numricos

CONCEPTO DE NMERO:El concepto de nmero se puede abordar desde dos aspectos. Si se considera el aspecto cardinalel nmero

es considerado como una cantidadya que se usa para el conteo de elementos de un conjunto; sin embargo,

si se considera el aspecto ordinal, el nmero se utiliza como referente de la ubicacin dentro de una serie

ordenada, o sea, indica una posicin.

Segn Jean Piaget, el concepto de nmerose forma con la aglutinacin del concepto cardinal y ordinal. En

otras palabras, los nmeros nos siren para cuantificar !ordenar, contar, medir, codificar, etc"tera# los

fenmenos relacionados con nuestro mundo f$sico.

NMEROS NATURALES (N) :

%os nmeros que &abitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccin u ordenar los

elementos de una lista constituyen el conjunto de los nmeros naturales. El conjunto de nmero naturales

se simboliza con N .

N

Si consideramos al ' !cero#(

N0 N {0 }

Propiedades de los nmeros naturales:

o Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relacin .

o )iene primer elemento, que es el * en N y el ' en N0 , pero no ltimo.

o )odo nmero natural tiene un sucesoro siguiente. +n nmero natural y su siguiente se

denominan consecutios.

o N0 se lo representa geom"tricamente(

o Es un conjunto discreto( entre un nmero natural y su siguiente no &ay otro nmero natural.

Caractersticas operativas en N :

%a adicin de nmeros naturales es cerrada !si sumamos dos nmeros naturales, siempreobtenemos otro

nmero natural#; pero la sustraccin no lo es, por ejemplo( no tiene solucin en N . Por este

inconeniente resulta necesario ampliar el campo num"rico al de los nmeros enteros.

*


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NMEROS ENTEROS (Z) :

%os nmeros naturales, los enteros negatios y el cero constituyen el conjunto de nmero enteros que

simbolizamos como Z ! se simboliza con la letra zeta porque iene del alem-n zahl que significa

nmero/#.

Propiedades de los nmeros enteros:

Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relacin .

o 0o tiene ni primer ni ltimo elemento.

)odo nmero entero tiene un antecesor y un sucesor.

Es un conjunto discreto.

El conjunto de nmeros naturales es un subconjunto de los nmeros enteros( .

o En su representacin en la recta num"rica, se obsera que cada nmero negatio es sim"trico respecto

del cero de un nmero natural(

Conviene recordar que:

o El opuesto de un nmero lo simbolizamos .

o Si es un nmero entero, entonces es un nmero entero.

o El opuesto de ' es '.

o Si es el opuesto de , es el opuesto de .

NMEROS RACIONALES (Q ) :

%os nmeros racionales son aquellos nmeros que pueden e1presarse mediante razones de nmeros enteros

con el diisor distinto de cero. Si el cociente no es entero, el nmero racional puede escribirse de dos

formas; como fraccin o en forma decimal. Este conjunto se simboliza con la letra Q proeniente del

ingl"s quotientque significa cociente/.

Propiedades de los nmeros racionales:

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o Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relacin .

0o tiene ni primer ni ltimo elemento.

o 0ingn nmero racional tiene antecesor ni sucesor.

o )odo . 3ada nmero entero puede representarse como un nmero racional en la

forma .

Es un conjunto denso( entre dos nmeros racionales siempre e1iste otro nmero racional.

o 3ualquiera que sea el nmero entero las e1presiones son equivalentes y

representan el mismo nmero racional.o 4e todas las fracciones equialentes que representan el mismo nmero racional e1iste slo una cuyo

numerador y denominador son nmeros primos entre s$. Estas fracciones se llaman irreducibles.

Simplificaruna fraccin es &allar una fraccin irreducible equialente a ella.

NMEROS IRRACIONALES (I) :

%os nmeros irracionales son aquellos nmeros que no proienen de una diisin entre nmeros enteros, por

lo tanto tienen infinitas cifras decimales no peridicas.

En general, para representar algunos nmeros irracionales &acemos uso de aproximacionesdecimales(

NMEROS REALES (R ) :

El conjunto de nmeros reales est- formado por todos los nmeros racionales y por los irracionales. Es decir,

el conjunto R se forma de la unin del conjunto Q y el conjunto .

Propiedades de los nmeros reales:

Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relacin .

o 0o tiene ni primer ni ltimo elemento.

0ingn nmero real tiene antecesor ni sucesor.

o En la recta num"rica a cada punto le podemos asignar un nmero real, y a cada nmero real

un punto de la recta. Esta propiedad se la conoce como completitud ocontinuidad.

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NMEROS REALES:

En el conjunto de nmeros reales est-n definidas dos operaciones(

Por adicinentendemos que a todo par de nmeros reales , se le asigna un nmero real llamado

la suma de acon bque indicamos .

Por multiplicacinentendemos que a todo par de nmeros reales , se le asigna un nmero real

llamado producto de acon bque indicamos .

Propiedades de la Adicin Propiedades de la Multiplicacin

3ualesquiera sean los nmeros reales a, b y c se

erifica(

%a adicin es conmutativa(

%a adicin es asociativa(

El ' !cero# es el elemento neutro en la

adicin(

E1iste inverso aditivo u opuesto(

3ualesquiera sean los nmeros reales a, b y c se

erifica(

%a multiplicacin es conmutativa(

%a multiplicacin es asociativa(

El * !uno# es el elemento neutro en la

multiplicacin(

E1iste inverso multiplicativo o recproco(

%a propiedad distributivade la multiplicacin con respecto a la adicin, incula ambas operaciones(

3ualesquiera sean los nmeros reales a, by cale que(

Observacin:

En el conjunto de nmeros naturales no se erifican las propiedades de neutro e inerso aditio para

la adicin, ni la de inerso multiplicatio.

En el conjunto de nmeros enteros, no se erifica la propiedad de inerso multiplicatio.

Propiedades mportantes:

El opuesto de la suma es la suma de los opuestos(

El producto de cualquier nmero real por es igual al opuesto del nmero real(

.

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Si el producto entre dos nmeros es cero entonces uno de esos factores debe serlo !ley de anulacin o

nulidad del producto#( .

%ey cancelatia(

de la suma( si entonces .

de la multiplicacin( si y entonces .

!ecordamos que:

!estardos nmeros reales ay bsignifica sumar acon el opuesto de b(

"ividir dos nmeros reales a y b !con b '# significa multiplicar a por el inverso

multiplicativo de b(

ORDEN EN R :

En R consideramos la relacin menor que/, que denotamos 7 / que satisface las siguientes

propiedades(

#$ )ricotom$a( si ay bson dos nmeros reales, ale una y slo una de las siguientes posibilidades(

%$ )ransitiidad(

&$ 8onoton$a de la suma(

'$ 8onoton$a del producto(

Otras propiedades de orden:

Sean a, by celementos cualesquiera de R . Entonces(

#$ Si

%$ Si

&$ Si

'$ Sean

($

INTERVALOS EN R :

Se denomina intervaloa todo subconjunto de nmeros de la recta real.

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4ados dos nmeros reales a y b !que llamamos e1tremos#, tales que , definimos los siguientes

subconjuntos en R (

ntervalo abierto: conjunto de nmeros reales que erifican simult-neamente ser mayores que ay

menores que b. bierto/ significa que los e1tremos ay bno pertenecen al conjunto.

ntervalo cerrado: conjunto de

nmeros reales que erifican simult-neamente ser mayores o iguales que a y menores o iguales que

b. %os e1tremos pertenecen al

conjunto.

ntervalos semiabiertos )o semicerrados$:son combinaciones de los anteriores.

ntervalos infinitos: designan

semirrectas de la recta real

%a recta real se simboliza mediante(

ENTORNOS:

*ntorno de un punto a, de radio ( dados y pertenecientes a , , llamamos

entorno de centroa

+ radio , y se nota , al interalo abierto .

:


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*(

*ntorno reducido de centro a: llamamos entorno reducido de centro a + radio , al conjunto

que se obtiene e1cluyendo el centro a/del entorno . %a notacin es .

*(

SUCESIONES:

+na sucesines un conjunto ordenado de nmeros, uno a continuacin del otro.

Por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales es una sucesin de infinitos elementos.

Se denomina t-rminoa cada uno de los elementos de la sucesin.

*.#:* 6 *: 29 5: . . .


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En la sucesin *; 6; ; *:; 29; 5:; < se erifica una ley de formacin que genera cualquier t"rmino de la

sucesin. %a frmula que genera cada t"rmino es el t-rmino /eneral de la sucesin; y "ste es (

Esta forma de e1presar a una sucesin es su forma /eneral. Si se conoce el t"rmino general se puede &allar

la sucesin, o cualquier t"rmino de la misma, reemplazando en forma consecutia los nmeros naturales en

el alor de n/ del t"rmino general.

*.%:

Si el t"rmino general de una sucesin es , llamada sucesin armnicaentonces la sucesin ser-(


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3omo todos los t"rminos son iguales, la sucesin es


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TIPOS DE SUCESIONES:

Se denomina sucesin aritm-ticaa aquella en la cual cada t"rmino de la misma se obtiene sumando al

anterior un nmero constante d/ llamado diferencia aritm"tica.

: *2 *> 26 5'

Sucesin aritm"tica con

Para que una sucesin sea aritm"tica, debe erificarse que(

Se denomina sucesin /eom-trica a aquella en la cual cada t"rmino de la misma se obtiene

multiplicando el anterior un nmero constante r/ llamado razn geom"trica.

Sucesin geom"trica con

Para que una sucesin sea geom"trica, debe erificarse que(

*'

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