1. Regla del paral·lelogram

1. COMPROVACIÓ DE LA REGLA DEL PARAL·LELOGRAM

Material

● 4 Dinamòmetres● Paper A3 mil·limetrat● Regla

● Suports diversos● Varetes metàl·liques

Objectius

• Comprovar la regla del paral∙lelogram en diverses configuracions planes i espacials

• Ús del programari Maxima com assistent al càlcul.

Fonament teòric

De l'estudi dels espais vectorials sabem que les magnituds que tenen un caràcter vectorial es poden sumar aplicant la ben coneguda regla del paral∙lelogram, de manera que si tenim dos vectors  a i  b , aleshores en dos dimensions la suma  ab es pot calcular mitjançant la regla gràfica:

Normalment, i gràcies a la introducció de la geometria analítica per René Descartes (1596­1650), aquestes operacions es poden executar mitjançant un procediment purament algebraic, sempre que disposem de les coordenades dels vectors en un sistema de referència adequat.

En física hi han una gran quantitat de magnituds vectorials que es poden representar mitjançant aquestos ens, com ara la força. Així, gràcies a l'anterior regla, 

a

b

ab

Il·lustració 1: Configuració espacial dels dinamòmetres

1. Regla del paral·lelogram

resulta directe esbrinar l'efecte combinat de dues o més forces sobre un cos qualsevol. En particular, es pot comprovar com, en un sistema en equilibri estàtic, la suma de forces és igual a zero. L'objectiu d'aquesta pràctica consisteix en comprovar aquest fet utilitzant una combinació de dinamòmetres que es troben en equilibri en diverses configuracions planes i espacials.

Mètode operatiu

En les il∙lustracions podeu vore exemples del muntatge bàsic que heu de preparar.

● Penjeu els quatre dinamòmetres dels suports proporcionats, de manera que els quatre tinguen un punt d'enganxament en comú. 

● Fent ús de la regla i del paper mil∙limetrat, determineu les coordenades de dos punts al llarg de cada dinamòmetre i també del punt de confluència dels quatre dinamòmetres.

● La regla us servirà per determinar la coordenada vertical, mentre que el paper mil∙limetrat us donarà les dues coordenades en el pla horitzontal. Podeu prendre com origen el cantó inferior esquerre, o un altre que us semble convenient. El que farem a continuació no dependrà de la posició de l'origen.Com a conseqüència d'aquesta apartat heu de tindre les coordenades dels punts A, B, C, D i del punt de confluència dels dinamòmetres P (veure Il∙lustració 2)

● Llegiu el que marquen els quatre dinamòmetres i anoteu­lo. Com a conseqüència d'aquest apartat disposareu dels mòduls de les quatre forces FA, FB, FC, FD (veure Il∙lustració 2)

● Com que les forces que actuen sobre el punt P s'han de cancel∙lar, aleshores hem de tindre que:

  FAFB

FCFD=0

on les forces, amb el seu caràcter vectorial es poden calcular mitjançant les equacions:

  FA=FA

AP

∣ AP∣; FB=FB

BP

∣ BP∣; FC=FC

CP

∣ CP∣; FD=FD

DP

∣ DP∣Fixeu­vos que necessitem calcular els diversos vectors unitaris en la direcció de cada força i multiplicar­los pel mòdul corresponen, com ja hem fet diverses 

Il·lustració 2: Vista superior del muntatge

A

B

C

D

PFA

FBFC

FD

1. Regla del paral·lelogram

vegades a classe de teoria.

● Tots eixos càlculs els podem fer fàcilment amb el Maxima. Anem doncs a l'ordinador i executeu el wxMaxima amb l'enllaç que podeu trobar a l'escriptori. Aleshores introduïm les coordenades dels punts A, B, C, D i P de la següent manera (les coordenades mostrades, en mil∙límetres, són només un exemple):(%i1) A:matrix([361,18,405]);

(%o1) matrix([361,18,405])

etc...

● La comanda matrix serveix, com podeu imaginar, per a introduir matrius, però podem considerar els vectors com un cas particular de matriu. Amb les facilitats presents en Maxima, ja podem calcular els vectors unitaris en les diverses direccions de la forma habitual vista a classe:(%i6) uA:(P-A)/(sqrt((P-A).(P-A)));

(%o6) matrix([202/(105*sqrt(5)),89/(105*sqrt(5)),-16/(21*sqrt(5))])Com podeu vore en la comanda anterior hem calculat el vector  AP mitjançant la diferència entre les coordenades del punt final menys l'inicial (P­A) . Quant al mòdul hem utilitzat la formula:  ∣ AP∣= AP⋅ AP , es a dir, l'arrel quadrada del producte escalar del vector  AP per ell mateix. En Maxima el producte escalar s'expressa simplement amb un punt, com es veu a la comanda anterior. La 

comanda anterior s'escriuria en notació estàndard com  uA=PA

AP⋅ AP. Heu de 

fer anàlogament per a calcular  uB , uC i uD

● Finalment ja podem comprovar la cancel∙lació de les quatre forces, escrivint per exemple:(%i10) 7.4*u1+3.2*u2+7.8*u3+6.1*u4,numer;

(%o10) matrix([-1.487180071500071,0.47679340970011,-0.19144025776317])és a dir, multipliquem cada vector unitari pel mòdul de la força llegida a partir del dinamòmetre corresponent. En notació estàndard això equival a 

FAuAFB

uBFCuCFD

uD . La comanda numer s'assegura de que el resultat siga purament numèric.

● El resultat final no es zero a causa dels diversos errors experimentals comesos. Heu d'estimar aquestos errors i veure si el resultat final és consistent amb la vostra estimació

● Repetiu el procediment anterior per a un total de tres muntatges en la configuració espacial dels quatre dinamòmetres.

● Repetiu el procediment anterior per a dues configuració de tres dinamòmetres en una configuració plana

1. Regla del paral·lelogram

Qüestions

1. Podeu prendre els punts A, B, C i D en llocs completament arbitraris o teniu certa capacitat d'elecció? En el segon cas, determineu com afecta eixa elecció a l'error experimental i actueu en conseqüència

2. Com afecta el pes dels dinamòmetres als resultats obtinguts? Justifica el fet de no haver­los inclòs en les consideracions anteriors