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PAU MADRID Matemáticas II

José Manuel del Toro www.matdeltoro.com Resueltos Geometría - 1

Geometría

1) cbbbabcabaaacbaccbabcbaa

0)()()(

0222222

cbcabacbaccbcac

. Sustituyendo:

)(2260)(21619 cbcabacbcaba

13 cbcaba

2) a) Si 0,, cba

, los vectores pueden ser coplanarios, o uno de ellos perpendicular a los otros dos (sin

ser cero ninguno de ellos)

b) Si cbcaba

es FALSO, basta con que uno de ellos sea perpendicular a la diferencia de los

otros dos.

Ejemplo.- Consideremos los vectores )0,1,1(),1,1,3( ba

y )1,3,2(c

4136)1,3,2()1,1,3(

413)0,1,1()1,1,3(

ca

ba

y claramente, cb

3) Sea P el punto medio de AC y Q el de AB

Tomamos el triángulo AOP AP

sen

OP

Asen º45)2/(como P el punto medio de AC

2/

º45

AC

sen

2

)2/()2/(

22)2/(

2/

2/2)2/( Asen

AC

OPAsen

AC

OP

ACOP

Asen

ACOP

Asen

(1)

Tomamos el triángulo OAC 2

º45º452

º180º90º452

AAA (2)

Tomamos el triángulo OPC 2/AC

OP

PC

OPsen por (2)

AC

OPAsen

2

2º45

2

2º45

Asen

AC

OP (3)

Igualando las expresiones (1) y (3): 2

)2/(Asen

2

2º45

Asen

)2/(2

2Asen

2º45

Asen

Desarrollando,

22cos

2

2)2/(º45cos)2/cos(º45)2/(

2

2 Asen

AAsenAsenAsen



Es decir,

22cos

2

2)2/(

2

22

22cos

2

2)2/(

2

2 Asen

AAsen

Asen

AAsen , simplificando,

9

1

cos1

cos1

3

1

cos1

cos1

3

1

22cos

23

22cos

22

A

A

A

AAtg

AAsen

Asen

AAsen

4cos58cos10)cos1(9cos1 AAAA5

4cos A

4) Consideremos ),,( 321 aaaa

y ),,( 321 bbbb

. Se tiene:

),,( 332211 babababa

),,( 332211 babababa

Además

332211

32132

332211

332211 222)()(

bababa

aaa

kji

FF

bababa

bababa

kji

baba

)(222

321

32123

332211

321 ba

bbb

aaa

kji

FF

bababa

aaa

kji

5) a) Falso.- En un plano como mucho existen 2 vectores linealmente independientes

b) Cierto.- Condición necesaria y suficiente de rectas coplanarias.

6) Recta AA’ .- Pto (2,4,5) ; )2,2,1(Av

Recta BB’ .- Pto (3,0,4) ; )0,1,1(Bv

a) Posición relativa Formamos el vector )1,4,1('' BBAA PP

Formamos matrices y estudiamos rangos:

23

13

122

320

610

111

2

2

102

412

111

FFrangFF

FFrang

900

610

111

rang

2)( Mrang , 3*)( Mrang , con lo que las rectas se cruzan

b) 3144)1,2,2(

011

221 BABA vv

kji

vv

;

9

011

221

141

,,''

BABBAA vvPP

;

3

9,,''

BA

BABBAA

vv

vvPPd

3d



7) Sea r la recta de dirección de los rayos del Sol,

yxryx

rA

vr51:

15

1:

)0,1(

)1,5(

015: yxr

Sea ABr la recta que pasa por A y B,

yxryx

rA

vAB

AB33:

31

1:

)0,1(

)3,1(

033:33:31

1:

)0,1(

)3,1(

yxryxryx

rA

vABAB

AB

Sea s la bisectriz de las rectas r y ABr ; )33(10

1

26

15

19

33

251

15

yx

yxyxyx

Nos interesa la recta de pendiente positiva, es decir:

)33(26)15(10)33(10

1

26

15yxyxyx

yx Operando,

026310)26105()10263(: yxs

La recta buscada es la perpendicular a la anterior que pasa por el punto A

Con pendientes,

10263

26105

26105

10263ts mm

Así la recta pedida será )1(10263

26105

xy

8) )3,1,1(a

, )5,3,1(),0,2,1( cb

a) Calculamos 0

531

021

311

, luego sí son linealmente independientes

b) Punto )1,0,1(Q , vectores )5,3,1(),0,2,1( cb

Ecuación del plano,

0

501

32

111

:

z

y

x

032: zyx

9) Sea el ),,( cbau

el vector pedido unitario pedido

Como accacbavu 00)1,0,1(),,(0

Por otra parte ang ( wu

, ) = 60º . Como

4

1

2

1

4

1

22

2

2

2

1),cos(

222 cba

cb

a

wu

wuwu



222

21

cba

cbacomo u

es unitario,

2221 cba , luego, 12 cba

Así tenemos el sistema,

12

0

cba

ca ; resolviendo,

2

2

2

112 bb

Como 2221 cba , sustituyendo los valores de c y b,

2

1

4

11

4

22 22 aaa

Los vectores serán,

2

1,

2

2,

2

1u

;

2

1,

2

2,

2

1u

10) Sea la recta

xz

yxr

21

1: ; un vector director )2,1,1(

102

011

kji

vr

Así r en forma paramétrica será:

21

1:

z

y

x

r ; con lo que un punto genérico de la recta será de la forma

)21,1,( A

a) Sean los puntos )1,0,1(B y )0,0,0(C ,

222222 )21()1(24)1()1(),(2),( CAdBAd , elevando al cuadrado

))21()1((44)1()1( 222222 , operando 3/1

10143 2

, con lo

que )1,0,1( A ó )3/1,3/2,3/1(A (no vale pues no está por debajo del plano XY)

Luego )1,0,1( A

b) YZrP , como

21

1:

z

y

x

r , haciendo 0x , se obtiene )1,1,0(P . Así )0,1,1(PB

con lo que

la recta

1

10

1

1

1

1:

z

y

xzyx

rBP (*)

Consideremos el plano perpendicular a BPr que pasa por )0,0,0(C , 0: Dyx , como pasa

por C, 0:0: yxyx

Si R es la proyección ortogonal de C, BPrR (según (*)) 2

11201

Así

1,

2

1,

2

1R



11) Consideremos los planos,

1

12

1

zyx

yx

zyx

, con matrices,

1

1

1

11

02

11

*M

Discutimos el sistema según el parámetro , para ello formamos el determinante de la matriz M,

2;10230

11

02

113

M

Caso 1.- Si 1 y 2 , 3*)()( MrangMrang , se cortan en un punto

Caso 2.- Si 1 ; 2*)()( MrangMrang , se cortan en una recta

0

1

1

000

012

111

1

1

1

111

012

111

13 rangFFrang

Caso 3.- .- Si 2 ; 3*)(2)( MrangMrang , se cortan dos a dos

1

1

1

110

440

211

3/

3

1

1

330

440

211

2

2

1

1

1

112

022

211

3

13

12rangFrang

FF

FFrang

1

3

1

110

000

211

4 32 rangFF

12) Sean 0543:1 yx , 0922:2 zyx .

a) Consideremos un punto ),,( zyxP cualquiera. Se tiene ),(),( 21 PdPd , entonces:

92255433

144

922

169

543zyxyx

zyxyx

92255433 zyxyx (*)

Existen dos soluciones: 06052219

03052

zyx

zyx (Dos planos)

b) Si )0,,0( yQOYQ , sustituyendo en (*), 925543 yy , también dos soluciones:

11/30602245101512

1545101512

yyyy

yyy

Luego dos puntos )0,15,0( Q y

0,

11

30,0Q



13) )1,3,1( A , )1,3,2(B y )1,3,1( C

a) Plano por los tres puntos. Construimos dos vectores : ),0,6,1(BA

)2,6,0( CA

Ecuación del plano:

0

201

663

011

:

z

y

x

0636: zyx

b)

46

466

46

6

9136

6),(Od

23

463

c)

126

1

131

132

131

6

1,,

6

1COBOAOV

6

14) Consideremos la recta 3

6

2

6

1

12:

zyxr , en paramétricas,

36

26

12

:

z

y

x

r

)30,30,0(120120 AxrA

)15,0,15(30620 ByrB

)0,10,10(20360 CzrC

a) Comparamos módulos de vectores

2340)45,30,15( BABA

1400)30,20,10( CACA

350)15,10,5( CBCB

Con lo que C está entre A y B

b) ),(2

1)( ABrDdABDABS , ),(

2

1)( ACrDdACDACS , ),(

2

1)( BCrDdDCDBCS

Pero A, B y C están en la misma recta r, luego ),( ABrDd ),( ACrDd ),( BCrDd

Así el mayor área será la del triángulo DAB

15) a) )2,1,1( rv

, )1,3,2( n

.

146

3

194411

232),(

nv

nvrsen

r

r

14

21),( rsen

b) Proyección ortogonal de r sobre

2

1

:

z

y

x

r , un punto cualquiera de ella será )2,,1( P .



Calculamos 3/113012)(3)1(2 rP , así

3

2,

3

1,

3

4P

Sea rQ )0,0,1( otro punto de la recta, calcularemos su proyección ortogonal sobre

Construimos recta s , con sQ )0,0,1( . Como 0132: zyx , )1,3,2( sv

; así en

Paramétricas

z

y

x

s 3

21

: . Si 'Q es la proyección de Q sobre , sQ'

14/111401)3(3)21(2

14

1,

14

3,

14

12'Q

Si r’ es la recta proyección ortogonal, será la que pase por P y Q’, o sea

42

25,

42

5,

42

20'' QPvr

,

Simplificando, )5,1,4(25,5,20' rv

. Así 5

3

2

1

3

1

4

3

4

:'´

zyx

r

16) Sea ),,( cbax

; Si )5,3,1()2,2,(

112

)5,3,1()1,1,2(

baaccbcba

kji

x

52

32

1

ba

ac

cb

Resolviendo

ca

cb

23

1 . Como 666 222222 cbacbax

, sustituyendo,

3/2

102536)1()23( 2222 cccccc ; dos soluciones:

)1,2,1( x

ó

3

2,

3

5,

3

5x

17) Sean )8,13,8(P , )8,11,4( Q

a) Si M es el punto medio de PQ, )0,1,2(2

88,

2

1113,

2

48

M

El vector )4,6,3()16,24,12( QP

, luego 0463: Dzyx , como M , 066 D

12D , así 012463: zyx

b) Proyección de O sobre

Construimos recta r perpendicular a que pasa por O(0,0,0),

4

6

3

:4,6,3

z

y

x

rnvr

Si O’ es la proyección de O sobre , 61/12126101216369' rO



Con lo que

61

48,

61

72,

61

36'O

c) )0,0,4(40123 AxxOX

)0,2,0(20126 ByyOY

)3,0,0(30124 CzzOX ; 246

1

300

020

004

6

1V 4

18) )0,,1( A , )2,1,1( B , ),1,1( C

a) Estarán alineados si 0 CABA

R

kji

0)0,0,2(

10

210

, luego no alineados

b) Area 2

1),,( CBA 2

2

1CABA

1

19) 2

1

4

1:

zy

m

xr ; 02: kzyx

a) Si r es perpendicular rv

es paralelo a

k

mn

2

1

4

2

8m ;

2

1k

b) Si r está contenida en 0202420 kmkmnvr

(*)

Como rP )1,0,1( pertenece a , luego 02 k 2k

Volviendo a la expresión (*), 022m 4m

20) Sea el plano 1: zyx ; la recta

z

y

x

r

1

: y el punto P(1,1,0)

a) Sea el plano perpendicular a r 0: Kzy , si 101)0,1,1( KKP

Luego 01: zy ; Sea rQ 2/101 .

Sustituyendo en r:

2

1,

2

1,1Q . Así la recta s pedida es la que pasa por P y Q

)1,1,0()2/1,2/1,0( PQvs

; luego

11

1

0

1:

zyxs

b) Sea P’(a,b,c) simétrico de P respecto de r

Construimos plano perpendicular a r , que pase por P (Tomamos el mismo que en a))



01: zy . Hallamos rQ (de nuevo por a)

2

1,

2

1,1Q

Imponemos que Q sea el punto medio de PP’:

122

1

02

1

2

1

1212

11

cc

bb

aaa

luego, )1,0,1('P

c) Sea P’’(a,b,c) simétrico de P respecto de 1: zyx

Construimos recta t perpendicular a , )1,1,1(tv

, como tP ,

z

y

x

t 1

1

:

Si 3/113111 tM , luego

3

1,

3

3,

3

2M

Imponemos que M sea el punto medio de PP’:

3/223

1

3/12

1

3

2

3/12

1

3

2

cc

bb

aa

luego,

3

2,

3

1,

3

1''P

____________________________________________________________________________-

21) Sean las rectas 2

112:

z

k

yxr ;

2

2

1

:

z

y

x

s

a) Vectores directores de ambas rectas )2,,1( kvr

; )2,1,1( sv

Puntos de las rectas, )1,1,2( rP ; )0,2,1(sP , luego )1,1,1(sr PP

Para que las rectas sean coplanarias,

0330

122

11

111

kk 1k

b) Si 1k , las rectas son coplanarias, como no son paralelas, se cortarán en un punto

plano que las contiene,

0

221

111

112

:

z

y

x

03 yx

c) Sabemos que si 1k las rectas se cortan. Calculemos su punto de corte:

Expresamos rectas en paramétricas:



21

1

2

:

z

y

x

r

2

2

1

:

z

y

x

s Igualando expresiones: 4/3

221

21

12

z

y

x

; 4/1

Punto de corte:

2

1,

4

7,

4

5P .

Si t es la recta pedida, rt , st , con lo que )0,1,1(

211

211

kji

vvv srt

Con lo que 0

2

1

1

4

7

1

4

5

:

zyx

t

22) Sean A, B, C tres puntos del espacio, con CACB 3

a) Como CBACACCBACCAABCAABCACB4

14443 , luego

4

1k

b) Si )1,2,1( A , )9,6,3(B ; tomando ),,( zyxC , si CACB 3

)33,36,33()9,6,3()1,2,1(3)9,6,3( zyxzyxzyxzyx

Igualando componentes, 2/3,3,3/2 zyx ,

2

3,3,

3

2C

23) Tetraedro de vértices )0,1,2(),1,1,1(),0.0.1( CBA y )3,1,0(D

a)

)3,3,1(2

1

113

1102

1

2

1)(

kji

ACABABCS2

19

311

013

110

6

1

3110

0130

1100

0011

6

1

3101

0121

1111

0011

6

1)( 1FFABCDV i

6

7

b) Hallamos plano determinado por A, B y C

)1,1,0(BA

, )0,1,3(CA

, entonces

0

01

11

301

:

z

y

x

0133: zyx

991

193),(Dd

7

19

c) Consideremos las rectas 013

1:

zyxRAC

;

2

1

0

1

1

1:

zyxRBD



Estudiamos su posición relativa:

700

110

031

2

102

110

031

23 rangFFrang

3*)(2)( MrangMrang , las rectas se cruzan

41

7,,),(

BDAC

BDACABRRD BDAC

41

417

7

201

013

110

,,

BDACAB ; )1,6,2(

201

013

kji

BDAC

24) Sea la recta

tz

ty

tx

r 21

1

: y el plano 22: zyx

Sea ' con

''

''

n

vr r

Como además 'r P(1,-1,0) ' . Luego el plano será:

0

11

121

211

:'

z

y

x

02:' zyx

25) a) Sabemos que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto

medio, O, así O = pto medio AC = 2,2,12

13,

2

13,

2

11

O = pto medio BD = si D(x,y,z) )2,2,1(

2

2,

2

2,

2

2 zyx

2

2

0

2/)2(2

2/)2(2

2/)1(1

z

y

x

z

y

x

)2,2,0(D

44)2,2,0(

111

111)(

kji

ABADABCDS 22

b) Construimos vectores lados, )1,1,1(),1,1,1(),1,1,1(),1,1,1( ADCDBCAB

Calculando módulos, 3 CDADBCAB

Ahora bien, 01)1,1,1()1,1,1( ADAB , luego no son perpendiculares, se trata de un rombo

26) Sean las rectas, 2

3

2

1

1:

zyxr ;

1

1

13

2:

zyxs



a) Al estudiar su posición relativa se comprueba que se cruzan.

27

35

98

35,,),(

sr

srsr

vv

vvAAsrd

2

25

Sabemos que

)1,0,2(

)1,1,3(

)3,1,0(

)2,2,1(

s

s

r

r

A

v

A

v

)4,1,2( sr AA

35

113

221

412

,,

sr vvAA

; )7,7,0(

113

221

kji

vv sr

b) Sea t la recta perpendicular a ambas

Calculamos: )7,7,0( srt vvv

Construimos dos planos:

Plano que contiene a la recta r y al vector tv

0

723

721

01

:

z

y

x

024: zyx

Plano que contiene a la recta s y al vector tv

0

711

71

032

:

z

y

x

07332: zyx

La recta pedida será,

07332

024:

zyx

zyxt

c) Sea t la recta que corta a ambas y pasa por P(1,0,0)


Plano que contiene a la recta r y pasa por P:

0

32

12

111

:

z

y

x

0858: zyx

Si )3,1,0(rA , )3,1,1()0,0,1( rPAP

Plano que contiene a la recta s y pasa por P:

0

11

01

131

:

z

y

x

012: zyx

Si )1,0,2( sA , )1,0,1()0,0,1( sPAP


012

0858:

zyx

zyxt



27) a) Para que contengan una recta en común el sistema

3

1

2

zyax

zayx

azyx

tiene que ser compatible

indeterminado. Es decir, 1;20230

11

11

113 aaaa

a

a

a

Caso 1.- Si 1a ; 2*)(1)( MrangMrang , Sª Incompatible

0

1

2

000

000

111

5

5

1

2

000

000

111

3

1

2

111

111

111

23

13

12rangFFrang

FF

FFrang

Caso 2.- Si 2a ; *)(2)( MrangMrang , Sª Compatible Indeterminado

0

1

2

000

330

111

1

1

2

330

330

111

23

1

2

112

121

211

23

13

12rangFFrang

FF

FFrang

Luego 2a

b) Si 2a , la recta común será

0133

02:

zy

zyxt (ver apartado anterior)


1

3

2:

zyxr

;

2

1

1

2

2

1:

zyxs

a) Al estudiar su posición relativa se comprueba que se cruzan.

26

2622

26

22,,),(

sr

srsr

vv

vvAAsrd

13

2611

Sabemos que

)1,2,1(

)2,1,2(

)0,1,2(

)1,2,3(

s

s

r

r

A

v

A

v

)1,3,3( sr AA

22

212

123

133

,,

sr vvAA

; )1,4,3(

212

123

kji

vv sr

b) Perpendicular común

Sea t la recta perpendicular a ambas. Calculamos: )1,4,3( srt vvv



0

11

421

332

:

z

y

x

0193: zyx




0

121

412

321

:

z

y

x

0121187: zyx


0121187

019´3:

zyx

zyxt

29) 013: zyx ; 12

1

6

2:

zyxr

a) Sea ' con

''

''

n

vr r

Como además 'r P(-2,1,0) ' . Luego el plano será:

0

11

321

162

:'

z

y

x

0171675:' zyx

b) Sea

0171675

013:'

zyx

zyxs .Calculamos su vector director )2,1,5(

1675

131

kji

vs

Hallamos un punto de s, sea

1

20

y

xz P(-2,1,0)

Las ecuaciones paramétricas de s serán

2

1

52

:

z

y

x

s

30) Sea ' el plano pedido, :'''

'',

n

BABA

0

111

22

111

z

y

x

022:' yx


1

1

1:

kzyxr

;

13

3:

zx

zyxs ; )3,2,1(

103

111

kji

vs

a) Calculamos )1,1,1(

)1,2,0(

)3,2,1(

),1,1(

)1,1,1(

kAA

A

v

kA

v

sr

s

s

r

r

;



Si r y s son coplanarias

0

131

121

111

k

4k

b) Sea 4k , y el plano que las contiene

0

314

211

111

:

z

y

x

052: zyx

32) 0: zyx ;

21

2

1

:2

1

21

1:

z

y

x

rzyx

r

a) Sea rQ ; Si Q es un punto genérico de r , )21,2,1( Q sustituyendo en el plano

00502121 , luego )1,0,1( Q

b) Sea ' paralelo a 0:' Kzyx (*)

Por otra parte sea '' rQ 5

502121K

KK , con lo que

5

21,

5

2,

51'

KKKQ .

Por último, 215

21

5

21

512)',(

222

KKKQQd , operando,

3

102

5

32

25

92

25

4

25

4

252

5

2

5

2

5

2222222

K

KKKKKKKK

Sustituyendo en (*), 03

10:' zyx 010333:' zyx

33) Sean

4

21

32

:

z

y

x

r y los planos 0232:1 zyx , 02223:2 zyx

a) Posición de r y 1 : 7/36140)4()21(2)32(32 (solución única)

Se cortan en un punto

Posición de r y 2 : 010)4(2)21(2)32(23 (incompatible)

Son paralelos

b) Posición de 1 y 2 : Observando sus ecuaciones, no son paralelos, ni coincidentes, luego se

cortan en una recta

c) ),(),( 22 Pdrd con P un punto cualquiera de r . Sea dicho punto P(2,1,4)

12

32

12

12

12

1

444

8243),( 2Pd

6

3



34) a) Formamos las matrices correspondientes:

313

11

32

k

k

M ;

k

k

k

M 1

3

313

11

32

*

3/1

20352

313

11

322

kkkk

k

M

Caso 1.- Si 2k ; 3*)()(3/1 MrangMrangk , se cortan en un punto

Caso 2. Si 2k , sustituyendo, 2*)()( MrangMrang

5

5

1

070

070

121

3

2

2

3

1

313

232

121

2

1

3

313

121

232

13

12

21 rangFF

FFrangFFrang =

= 23 FF

0

5

1

000

070

121

rang se cortan en una recta

Caso 3. Si 3/1k , sustituyendo, 3*)(2)( MrangMrang

8

3

9

000

313

196

3

1

3

9

939

313

196

3

3/1

1

3

313

13/11

3/132

23 rangFFrangFrang i

El plano 2 y 3 son paralelos y 1 corta a ambos

b) Se cortan en una recta para 2k , dicha recta es:

57

12:

y

zyxt . Un vector director de dicha

recta es

070

121

kji

vt

)1,0,1(

35) Sea el plano 632: zyx

a) Sea ),,(' cbaO simétrico de O(0,0,0) respecto de

Hallamos una recta r , que pase por O,

6

2:

z

y

x

r . Sea rM , sustituyendo

7/314/6614694 ; luego

7

9,

7

6,

7

3M

Imponemos que M sea el punto medio de OO’, entonces

2/7/9

2/7/6

2/7/3

c

b

a

7

18,

7

12,

7

6'O



b) Sea ' , que contiene al eje OZ

Si 'n

es el vector normal de ' ,

OZ

OZ

vnnvn

nn

'

'

')0,1,2(

100

321

kji

Así 02:' Dyx ; como eje OZ ')0,0,0(' O , luego ,0D 02:' yx

c) Sean A, B, C y O(0,0,0) vértices del tetraedro, con:

o )0,0,6(

0

0

6

0

0

632

A

z

y

x

z

y

zyx

OXA

o )0,3,0(

0

3

0

0

0

632

B

z

y

x

z

x

zyx

OYB

o )2,0,0(

2

0

0

0

0

632

C

z

y

x

x

y

zyx

OZC

Volumen tetraedro = 366

1

200

030

006

6

1,,

6

1OCOBOA 6V

36) 422: zyx . Sea 0)0,,( zyxP ,

052

01329423

3

42

144

423),(

yx

yxyx

yxyxPd

37) Sea 222: zyx

Cortes de con los ejes coordenados:

)0,0,(0 aAxA )0,0,1(1222: Aazyx

)0,,0(0 bByB )0,1,0(1222: Bbzyx

),0,0(0 cCzC )2,0,0(2222: Cczyx

a) 9

2),( Od

3

2

b) Sea hr dicha recta, )1,2,2( rhh vr

. Además hrO , entonces

z

y

x

rh 2

2

:

c) Area del tetraedro contenido en es el área del triángulo ABC



1442

1)1,2,2(

2

1

201

0112

1

2

1kji

ACABS2

3

38) Consideremos el punto P(1,3,-1),

a) Sea ),,( zyxX , 3)1()3()1(3),( 222 zyxPXd 9)1()3()1( 222 zyx

b) Sea

41

1

3

:

z

y

x

r , un punto genérico de r sería )41,1,3( P . Como 3),( PXd , se tiene

1

09)42()2()13(3)42()2()13( 222222

.La solución son

dos puntos )1,1,0(P y )3,2,3( P


1

3

1

2

1:

zyxr ;

21

2

1

1:

zyxs

Sabemos que

)0,2,1(

)2,1,1(

)1,1,1(

)4,3,2(

s

s

r

r

A

v

A

v

)1,1,2( sr AA )1,0,2(

211

432

kji

vv sr

a) Perpendicular común

Sea t la recta perpendicular a ambas. Calculamos: ))1,0,2( srt vvv



0

141

031

221

:

z

y

x

016103: zyx


0

12

012

211

:

z

y

x

0925: zyx


0925

016103:

zyx

zyxt

b) 1515

211

432

112

,,

sr vvAA

; 5 sr vv

. Así 5

515

5

15),( srd 53



40) Construimos matrices

6022

224

101

M ;

2

6022

224

101

*M

3/8

201623

6022

224

1012M

Caso 1.- Si 2 ; 3*)()(3/8 MrangMrang , se cortan en un punto

Caso 2. Si 2 , sustituyendo, 3*)(2)( MrangMrang

14

4

2

1400

000

101

6

4

2

4

2

806

404

101

13

12rang

FF

FFrang


Caso 3.- Si 3/8 , sustituyendo, 3*)(2)( MrangMrang

13

12

3

2

10

12

8

2

3/8

10010

21412

101

3

3

3/8

3/2

3/8

3/1003/10

3/23/144

101

FF

FFrang

F

Frang

3/56

32

3/8

000

14140

101

rang


41) Sean las rectas

0

3:

zyx

yxr y

13

3:

zx

zyxs

a) Se puede comprobar que se cruzan. Calculamos sus vectores directores:

)2,1,1(

111

011

kji

vr

; )1,2,1(

012

101

kji

vs

Si t es la recta perpendicular común )1,1,3(

121

211

kji

vvv srt

Como tO )0,0,0( , se tiene 113

:zyx

t

b) Sea tsQ . Expresamos las dos rectas en paramétricas:

z

y

x

s 21

4

:

z

y

x

t

3

: . Hallamos puntos comunes 121

34



Sustituyendo, )1,1,3( Q

42) Familia de planos, 0)1()1(3)2( mzmymmx

a) Operando en la expresión anterior, 0)13(132 zyxmzy

Recta común,

013

0132

zyx

zx

b) Plano que pasa por P(1,1,0). Sustituimos 1 yx , 3

10130 mmz

Para este valor, familia de planos: 0)13(3

1132 zyxzy 0267 zyx

c) Sea

01

012:

zy

zxr )1,1,2(

111

201

kji

vr

Si es paralelo a r, 6/10)1,1,2()33,2,(0 mmmmvnvn rr

Sustituyendo, este valor,

0

6

111

6

132

6

1

6

1zyx

051513: zyx


2

2

1:

zyxr ;

1

2

1

1

3

2:

zyxs

Calculamos

)2,1,2(

)1,1,3(

)0,2,1(

)4,2,2(

s

s

r

r

A

v

A

v

Sea t la recta que corta a ambas y pasa por O(0,0,0)

a) Construimos dos planos:

Plano que contiene a la recta r y pasa por O:

0

04

222

121

:

z

y

x

024: zyx

Si )0,2,1(rA , )0,2,1()0,0,0( rOAO

Plano que contiene a la recta s y pasa por O:

0

212

111

232

:

z

y

x

058: zyx

Si )2,1,2( sA , )2,1,2()0,0,0( sOAO


058

024:

zyx

zyxt



b) Perpendicular común

Sea p la recta perpendicular a ambas. Calculamos: srp vvv

)4,5,3(

113

422

kji


Plano que contiene a la recta r y al vector pv

,

0

44

522

321

:

z

y

x

0357: zyx

Plano que contiene a la recta s y al vector pv

,

0

412

511

332

:

z

y

x

0231815: zyx


0925

016103:

zyx

zyxt

44) Sea

z

y

x

r 3

4

: . Un punto genérico de ella ),3,4( P .

Si Q es su proyección ortogonal sobre el plano 0z , )0,3,4( Q .

2

11

2

11)( OQOPOPQS

21692)0,4,3(1

034

34 4422

kji

5

225225 24 . Luego dos posibilidades:

5

2,

5

23,

5

241P o

5

2,

5

23,

5

242P


7

3

4:

zyxr

;

0422

0552:

zyx

zyxs

Calculamos sus vectores directores:

)1,4,3(rv

, )1,4,3()3,12,9(

212

521

kji

vs

. Es claro que sr vv

, luego son paralelas

46) Sean A(0,1,0), B(1,0,1)



a) Sea 222222 )1()1(),(),(),,( zyxzyxBXdAXdzyxX Elevando al

cuadrado, xyzyxzyx 22)1()1( 222222 0 yx

b) Como 31)1(1),( 222 BAd , Si 3),(),,( AXdzyxX , con lo que

3)1( 222 zyx 3)1( 222 zyx

c) Sea el plano 3: zyx . Si el triángulo ABC tiene que ser rectángulo

con ángulo recto en el vértice A, 0 BACA

,

como 010)1,1,1()0,1,0(),,( zyxzyxzyxC

La recta pedida será

1

3:

zyx

zyxr , que en paramétricas sería,

z

y

x

r 1:

47) Sean los puntos )0,0,1(A , ),0,,0( B )4,0,0(C , )0,0,0(O

a)

12426

42

4001

001

0011

0001

6

1V 3

b) Sea Oh la longitud de la altura del tetraedro OABC correspondiente al vértice O.

Se tiene,

169

12

3412

12),(

222ABCO Odh

13

12d

0123412:0

40

03

111

:)4,0,1(

)0,3,1(

zyx

z

y

x

CD

ABABC

48) Sea el punto )3,2,1( A , la recta

0

01:

z

yxr y el plano 0132: zyx

a) Sea ' el plano pedido.

''

''

'n

vr r

Calculamos vectores: )3,2,1( n

; )0,1,1(

100

011

kji

vr

Como además ')3,2,1( A , el plano será,

0

303

212

111

:'

z

y

x

033:' zyx



b) Sea r en paramétricas,

0

1

:

z

y

x

r , y )0,,1( rP un punto genérico de ella.

Llamamos s a la recta pedida, es paralela a luego nvs

. (*)

Como esta recta pasa por A, si suponemos que rP es el punto de intersección de r y s,

rs PAv

)3,2,11( )3,2,2(

Aplicando (*) 5094220)3,2,1()3,2,2( ; luego )0,5,4( rP

A su vez, )1,1,1()3,3,3()3,25,25( sv

La recta pedida será, 1

3

1

2

1

1:

zyxs

49) Sean los puntos ),2,( A , ),0,,2( B )2,0,( C

a) Consideremos ),2,2( BA

, )2,2,0( CA

, )2,,2( CB

Si A, B y C están alineados, 000

22

220

22

(luego no existe )

b) Calculamos distancias:

83)2()2(),( 2222 BAd

8220),( 222 CAd

83)2()2(),( 2222 CBd

Luego AB = BC, entonces el triángulo es isósceles.

c) Si 0 )0,2,0(A , ),0,0,2(B )2,0,0(C . Formamos )0,2,2( BA

, luego

0

20

222

02

:

z

y

x

02: zyx

111

2),(Od

3

2

50) Consideremos la recta 1

1

1

5

1

3:

zyxr , y el plano 0122: zyx

Pasamos r a paramétricas, y tomamos un punto genérico.

Tomamos un punto genérico de r, )1,5,3( P

Como 3313

1414

1)1(2)5()3(21),(

Pd



Obtenemos dos puntos, )2,2,0(1P , )4,8,6(2 P

51) Sean las rectas

0

3:

zyx

yxr ,

72

4:

yx

zxs Calculamos sus vectores directores:

)2,1,1(

111

011

kji

vr

; )1,2,1(

012

101

kji

vs

Si t es la recta pedida

srt vvv

st

rt )1,1,3(

121

211

kji

Como tP )2,1,2(1

2

1

1

3

2:

zyxt


2

1

1

1:

zyxr ;

083

053:

zx

yxs

a) Sea el plano buscado

)2,1,1( rv

; )1,1,3(

301

031

kji

vs

;

s

r

vs

vr

como )2,1,0(A

0

122

111

31

:

z

y

x

013453: zyx

b) ),(),( sPdsd , tomamos )1,0,5( sP ,

50

32

16259

13415),(sd

5

4

53) Sean las rectas

1

2:

zay

ayxr ,

3

1:

zy

zxs

a) Posición relativa : Calculamos sus vectores directores

),1,(

10

01 aa

a

a

kji

vr

; )1,1,1(

110

101

kji

vs

Un punto de cada uno de ellas es )1,0,2(rA , )0,3,1(sA , así )1,3,1( sr AA

Formamos la matriz 004*

11

311

11

*

aaM

a

a

M

Caso 1.- Si 0a , 2)( Mrang , 3*)( Mrang , las rectas se cruzan



Caso 2.- Si 0a , *)(2)( MrangMrang , las rectas se cortan en un punto

b) Sea 1a ,

sr

srsr

vv

vvAAsrd

,,),( ;

8)2,2,0(

111

111

srsr vv

kji

vv

; 4

111

111

131

,,

srsr vvAA

Así 8

28

8

84

8

4),( srd 2

54) Sean los puntos )1,0,0(A , ),1,0,1( B )2,1,0( C y )0,2,1(D

a) Formamos )2,0,1( BA

, )3,1,0( CA

y calculamos el plano que pasa por A, B y C

01320

321

10

01

:

zyx

z

y

x

.

Sustituyendo D, 07 , luego D , no son coplanarios

b) 0132: zyx (Ver a))

c)

14

147

14

7

194

162),(Dd

2

14

55) Sea el plano 01023: zyx y el punto )3,2,1(P

a) Sea )1,2,3( rr vnvr

. Como además rP , 1

3

2

2

3

1:

zyxr

b) rQ ; La recta r en paramétricas:

3

22

31

:

z

y

x

r ;

Un punto genérico de r, )3,22,31( Q , sustituyendo en :

101414010)3()22(2)31(3 , luego )4,0,2(Q

c) Sea OYR , el eje

0

0

y

xOY , luego )0,,0( tR , sustituyendo en el plano :

50102 yy , con lo que el punto )0,5,0( R

d) Area (PQR)

2

3611969

2

)19,14,3(

452

1232

1kji

RQPQ

2

566

56) Sean los puntos )3,1,1(P , )0,1,0(Q



a) Sea ),,( zyxR , con 222222 )1()3()1()1(),(),( zyxzyxRQdRPd

elevando al cuadrado, 222222 )1()3()1()1( zyxzyx ; operando se obtiene el

plano 053 zx

b) Sea PQrS , con ),(2),( SQdSPd

Construimos la recta que pasa por P y Q, )3,0,1( QP

, luego

33

1

1

:

z

y

x

rPQ

Un punto genérico de esta recta, )33,1,1( S , como ),(2),( SQdSPd , se tiene

222222 )33(0)1(2)333(0)11( elevando al cuadrado y

operando, )102010(410 22 , simplificando, 0483 2 , resolviendo obtenemos

3/2

2 ; con lo que obtenemos dos puntos: )1,1,3/1(;)3,1,1( 21 SS

57) Consideremos las rectas 32

2

1

1:

zyxr

;

43

1

2:

zyxs

Sea t la recta perpendicular a ambas. Calculamos: srt vvv

)1,2,1(

432

321

kji



,

0

13

222

111

:

z

y

x

0224: zyx


,

0

14

231

12

:

z

y

x

027211: zyx


027211

0224:

zyx

zyxt

58) Sea el plano 1:1 zyx y la recta 43

1

2

1:

zyxr

a) Sea 1 rP ; La recta r en paramétricas:

4

31

21

:

z

y

x

r ; luego )4,31,21( P

Sustituyendo en , 1143121 , luego )4,2,3( P

b) Sea Kzyx :212

Sabemos que )4,2,3(1 Pr ; Qr 2



Calculamos el punto Q en función de K (de manera análoga que P en el apartado anterior a))

)4,31,21( Q . Sustituyendo en , K 143121 ,con lo que el punto

Q será, )4,31,21( KKKQ .

Como 29),( QPd 29)1(2929)44()231()321( 2222 KKKK

Luego 0K ó 2K . Así obtenemos dos planos: 0:1 zyx y 2:2 zyx

59) Sea el plano 43 zyx , se pide:

a) Sea r la recta perpendicular a que pasa por O(0,0,0) 131

:zyx

r

z

y

x

r 3:

Sea 11

441149 rM . Se tiene que

11

4,

11

12,

11

4M

Sea ),,(' cbaO el punto simétrico pedido, imponemos que M sea el punto medio de 'OO :

2,

2,

2

cba

11

4,

11

12,

11

4, igualando componentes:

2/11/4

2/11/12

2/11/4

c

b

a

11

8,

11

24,

11

8'O

b) El vector normal del plano 0x , es )0,0,1(n

y el de : )1,3,1(n

;

Se tiene que

11

1

1911

1cos

nn

nn

11

11

c) Calculamos vértices del tetraedro, además del origen:

)0,0,(0 aAxA )0,0,4(443: Aazyx

)0,,0(0 bByB )0,3/4,0(343: Bbzyx

),0,0(0 cCzC )4,0,0(443: Cczyx

3

64

6

1

400

03/40

004

6

1

4001

03/401

0041

0001

6

1)(TV

9

32)( TV

60) a) Sea el plano buscado

)1,3,2(rv

; )1,1,2(sv

;

s

r

vs

vr

como )0,2,1(A

0

11

132

221

:

z

y

x

0242 zx 012: zx

b) Determinar la distancia entre las rectas r y s



),(),( sdsrd (con el plano calculado en el apartado anterior). Es decir, si sP )2,0,2( , se tiene

que:

5

7

41

142),(),( Pdsrd

5

57),( srd

c) Como t es paralela a r )1,3,2( rt vv

, como pasa por O(0,0,0), 132

:zyx

t

z

y

x

t 3

2

:

A su vez, la recta s en paramétricas es:

2

22

:

z

y

x

s Igualando coordenadas:

2

22

3

2

Resolviendo:

1

3

2/1

, lo que es imposible. Luego no se cortan

61) Calculamos

)3,0,3(

)1,1,(

)0,0,0(

),2,1(

s

s

r

r

A

bv

A

av

Además, )3,0,3(sr AA

Si r y s se cortan, son coplanarias, luego

03630

31

012

31

3

31

012

31

ba

a

b

a

b

rang

012 ba

Si r y s son perpendiculares: rv

0)1,1,(),2,1(0 bavs

02 ab

Resolviendo el sistema:

02

012

ab

ba 1a y 1b

62) Sea el plano 0122 zyx . Si ' , se tiene que 022' Kzyx

Como 891

1091913

3

13

414

13),'(

kk

kkk

kkd

Luego la solución serán dos planos: 010221 zyx y 08222 zyx

63) Primero estudiamos posición relativa de la recta y el plano

111

1 zyxr

z

y

x

r

1

: Sustituyendo en el plano 0220121

1 . Con lo que la recta y el plano se cortan en )1,1,2( P

Calculamos ahora el simétrico de un punto cualquiera A de la recta r respecto del plano



Sea rA )0,0,1( y sea ),,(' cbaA su simétrico

Calculamos la recta s perpendicular a 012 zyx que pasa por A:

Si )2,1,1( ss vnvs

, como pasa por A,

2

1

:

z

y

x

s

Calculamos el punto sM ; 3

1260141 .Luego

3

2,

3

1,

3

2M

Imponemos que M sea el punto medio de AA’:

3/22/

3/12/

3/22/)1(

c

b

a

3

4,

3

2,

3

1'A

La recta simétrica r’ pedida será la que pasa por los puntos P y A’:

3

1,

3

1,

3

5'AP

ó bien )1,1,5( . Con lo que

1

1

1

1

5

2'

zyxr

64) a) Sea t la recta perpendicular a ambas. Calculamos: srt vvv

)1,9,13(

411

132

kji


Plano que contiene a la recta r y a tv

,

0

114

931

132

:

z

y

x

0217571112: zyx


,

0

14

91

131

:

z

y

x

0225335: zyx


0225335

0217571112:

zyx

zyxt

b) Como las rectas se cruzan ,

sr

srsr

vv

vvAAsrd

,,),( ; )4,1,0()0,0,0(),4,1,0( srsr AAAA

251)1,9,13( srsr vvvv

; 4

410

411

132

,,

srsr vvAA

Así 251

4),( srd

251

2514



65) a) Sean las rectas : 1

1

2

1

zyxr ,

22

3:

yx

zxs . Se tiene: sv

)1,2,1(

012

101

kji

Como )1,2,1( rv

las rectas son paralelas

)1,1,0( rA . Para hallar un punto de s, hacemos 0x , luego

)3,2,0(

2

3sA

y

z

Formamos )4,3,0( sr AA . Así el plano pedido será:

0

141

231

10

:

z

y

x

01345: zyx

b)

6

50

6

)3,4,5(

141

121

430

),(

kji

v

vAAsAd

s

ss

3

35d

66) a) 66

1

300

020

001

6

1

3001

0201

0011

0001

6

1Vol 1

b) Calculamos el plano que pasa por )0,0,1(P , )0,2,0(Q y )3,0,0(R

)0,2,1(PQ , )3,0,1(PR . Así : 06236:0

30

02

111

:

zyx

z

y

x

Sea )2,3,6( rr vnvr

. Como además rO , 236

:zyx

r

Sea rM ; La recta r en paramétricas:

2

3

6

:

z

y

x

r ;

Un punto genérico de r, )2,3,6( M , sustituyendo en :

49

6064906223366 , luego

49

12,

49

18,

49

36M

Si ),,(' cbaO es el simétrico pedido imponemos que M sea el punto medio de OO’

2,

2,

2

cba

49

12,

49

18,

49


2/49/12

2/49/18

2/49/36

c

b

a

49

24,

49

36,

49

72'O



67) a) )3,1,2(rv

, )1,2,1( rA ,

14

118

14

)1,9,6(

914

312

023

),(

kji

v

vAPsAd

r

rr

7

413d

b) La recta r en paramétricas

31

2

21

:

z

y

x

r . Sea P’(a,b,c) simétrico de P respecto de r

Construimos plano perpendicular a r , que pase por P , )3,1,2( nnvr r

032: Kzyx , si 707)1,0,2( KKP

Luego 0732: zyx ; Sea rQ 07)31(32)21(2

7

4 . Sustituyendo en r:

7

19,

7

10,

7

1Q . Imponemos que Q sea el punto medio de PP’

2

1,

2,

2

2 cba

7

19,

7

10,

7


2/)1(7/19

2/7/10

2/)2(7/1

c

b

a

7

31,

7

20,

7

12'P

68) Consideremos el plano 02542 zayx y la recta : 5

3

2

11

zyxr ,

a) Expresamos la recta r como intersección de dos planos:

3555

31

1222

11

zxz

x

yxy

x

025

012:

zx

yxr

Si .2

2105

1012

2542

*

105

012

42

a

rangMrang

a

rangMrangr

Como

02220

105

012

42

0505

12a

a

M 11a

b) Si 2a )2,1,1()4,2,2(025422 nzyx

Sea )2,1,1( ss vnvs

, como

sP

2

11,0,

2

3

22/11

2/3

:

z

y

x

s



Sea sQ

2

11,2,

2

3 tal que 6),(Qd

61644

252

1142

2

32

624

25822223

1214412 112

1212

. Sustituyendo en Q:

2

7,1,

2

11Q y

2

15,1,

2

52Q

c) Si 2a )4,2,2( n

y )5,2,1(rv

. Así:

3024

18

25411644

)5,2,1()4,2,2(sen

'13º42

69) Expresamos las rectas 1r y 2r en paramétricas

3

1:1

z

y

x

r .;

z

y

x

r

0

:2

a) Sea t la recta perpendicular a ambas. Calculamos: 21 rrt vvv

)1,1,0(

110

001

kji


Plano que contiene a la recta r1 y a tv

,

0

103

101

01

:

z

y

x

04: zy

Plano que contiene a la recta r2 y al vector tv

, : 0

11

11

00

:

z

y

x

0: x


0

04:

x

zyt

b) Como las rectas se cruzan ,

21

2121,,

),( 21

rr

rrrr

vv

vvAArrd

; )3,1,0()0,0,0(),3,1,0(

2121 rrrr AAAA

2)1,1,0(2121 rrrr vvvv

; 2

110

001

310

,,

srsr vvAA

, luego 2

2d 2



70) a) Calculamos ecuación de 2 : 023:0

64

022

10

: 22

zybx

bz

y

x

Si 1 y 2 sean paralelos, 1n

y 2n

también serán paralelos, luego

21

12 a

b2b , 2a

b) Sean 1a y 0b y t la recta intersección de 1 y 2 .

0132

023:

zyx

zyt . En paramétricas:

srt vvv

)3,1,0(

130

132

kji

. Para hallar un punto de t, hacemos en la ecuación 0y ,

)2,0,2/3(

012

02tA

zx

z. Luego:

32

2/3

:

z

y

x

t

c) Si 4a y 2b 0432:1 zyx y 0232:2 zyx . Sea ),,( zyxP , tal que

232432

194

232

194

432),(),( 21 zyxzyx

zyxzyxPdPd .

Imposible24

02264

232432

232432 zyx

zyxzyx

zyxzyx0132: zyx

71) Se consideran las rectas:

)3,2,1(;)1,0,1(

3

2

1

rr Av

z

y

x

r

sv

yx

zyxs

2

12)1,1,1(

101

121

kji

Punto de s: haciendo )1,0,2(;0 sAy


Plano que contiene a la recta r y pasa por P:

0

152

011

11

:

z

y

x

086: zyx

Plano que contiene a la recta s y pasa por P:

0

112

111

12

:

z

y

x

0732: zyx


0732

086:

zyx

zyxt



72) Sean las rectas:

12

22

yx

zyxr

2

1

31

1

zyxs

a) Formamos el vector )2,3,1( aAB . Si la recta t ha de ser paralela a la recta s: ABvs

112

2

3

3

1

1a

a0a

b) Sea el plano pedido. Si r y svs

Calculamos )0,0,1(rA y rv

)5,1,2(

021

112

kji

Así

0

52

13

211

:

z

y

x

017717: zyx

73) Sea 1 y 2 , entonces

21

2

1 nnnnn

nn

)17,19,20(

132

715

kji

Como además el plano ha de para por el origen: 0171920: zyx

74) a) Calculamos los tres vértices del tetraedro que faltan:

2241224732247321 xxxxxzyxzyxrA )1,2,2(A

1224224732

0

02 xxzyx

z

yrB )0,0,12(B

824324732

0

03 yyzyx

z

xrB )0,8,0(C

6

192

080

0012

222

6

1

0801

00121

2221

0001

6

1Vol 32

b) Sea t la recta perpendicular a ambas. Calculamos: srt vvv

)1,3,4(

132

221

kji




Plano que contiene a la recta r1 y a tv

,

0

121

325

411

:

z

y

x

0161178: zyx

Plano que contiene a la recta r2 y al vector tv

, :

0

111

331

42

:

z

y

x

0893: zyx


0893

0161178:

zyx

zyxt

75) Sean los planos 1221 zyx , 122 zyx

a) Como los vectores )2,1,2(1 n

y )2,1,1(2 n

no son paralelos, los planos se cortan en una recta

b) El vector director de la recta que determinan es 21 nn

)3,6,0(

211

212

kji

)1,2,0(

Para hallar un punto de dicha recta: hacemos 0z en 3

2

1

12

12

122

x

yx

yx

zyx

zyx ;

3

1y . Con lo que el punto será

0,

3

1,

3

2P

76) a) Calculamos un punto genérico de2

21

2

1

zy

xr .Para ello expresamos la recta en

paramétricas: )22,1,21(

22

1

21

P

z

y

x

r . Como ),( 1Pd ),( 2Pd , se tiene:

194

1)22(31)21(2

194

122)1(3)21(2Operando:

4/1649

1649649

14

6

14

49

. Con lo que obtenemos dos

puntos: 0,0,3P ,

2

5,

4

5,

2

1'P

b) Calculamos vértices restantes del tetraedro:

2

10120132

0

011 xxzyx

z

yrA

0,0,

2

1A

3

1130132

0

012 yyzyx

z

xrB

0,

3

1,0B



10132

0

013 zzyx

y

xrB )1,0,0(C

3

1

2

1

6

1

1001

03/101

002/11

0001

6

1Vol

36

1

c) Sea 2

21

2

1

zy

xr y 01322 zyx

Construimos el plano 2 con r . Se tendrá que rvnn

2 . Como )3,1,2(2 n

y )2,1,2(rv

n

)0,2,1()0,10,5(

212

312

kji

. Así 02 Dyx , como rP )2,1,1( , sustituyendo

3021 kk , luego 032 yx

La recta proyección ortogonal será 2 , es decir:

0132

032:

zyx

yx

77) a) La recta r en paramétricas

z

y

x

r 1

21

: . Sea P’(a,b,c) simétrico de P respecto de r


02: Kzyx , si 0)1,1,0( KP . Luego 02: zyx ;

Sea rQ 0)1()21(26

1

Sustituyendo en r:

6

1,

6

7,

6

4Q . Imponemos que Q sea el punto medio de PP’

2

1,

2

1,

2

0 cba

6

1,

6

7,

6


2/)1(6/1

2/)1(6/7

2/6/4

c

b

a

3/2

3/10

3/4

c

b

a

3

2,

3

10,

3

4'P

b) Sea t la recta pedida. Como t y

0

0:

y

xs se cortan, si ).0,0( mstM . Como tP )1,1,0(

tmtPM )1,1,0( . Ahora bien como rt 0)1,1,2()1,1,0( mvPM r

0m , luego )0.0,0(M y )1,1,0(tvPM

1

1

1

1

0

zyxt ó

0

0:

zy

xt



78) a) Dados los puntos )1,3,1(1 P , )0,2,(2 aP , )4,5,1(3P y )2,0,2(4P ,formamos los vectores:

)1,1,1(21 aPP , )5,2,0(31 PP y )3,3,1(41 PP

Si los puntos están en el mismo plano los vectores anteriores serán linealmente dependientes. Es decir:

21

28028210

331

520

111

aa

a

3

4a

b)

23643

1036436437437

6

12821

6

17,,

6

1413121

aa

aaaaaPPPPPPV

3

10a y

3

2a

c) Sea con ),(),( 31 PdPd . El punto medio de

2

3,4,131PP .

Por otra parte )5,2,0(31 PP será perpendicular al plano . Luego 052: Kzy .

Como el punto medio anterior está en el plano: 2

310

2

3542 KK .

Sustituyendo en el plano: 02

3152: zy 031104: zy

79) a) Calculamos un punto de cada una de ellas y sus vectores directores

)0,1,2(;)2,5,3(11 rr Av

; )5,3,1(;)0,1,1(

22 rr Av

. Formamos el vector )5,2,3(

21rr AA

Estudiamos rango de la matriz determinada por los tres vectores:

5

2

3

02

15

13

*M

3*)(8

502

215

313

*

MrangM . Como 2

02

15

13

)(

rangMrang

Las rectas se cruzan

b) Como por a) 8

502

215

313

,,

srsr vvAA

, y 12)2,2,2(2121 rrrr vvvv

3

4

32

8

12

8,,),(

21

2121

21

rr

rrrr

vv

vvAArrd

3

34d



;, luego 2

2d 2

80) Expresamos la recta r en paramétricas

32

1

24

:

z

y

x

r . Un punto genérico de r será de la forma:

)32,1,24( P . Como 1),( Pd , se tiene:

1

144

7)32(21)24(2Operando

33213

32

3/113332

3/553332

. sustituyendo estos valores en P

obtenemos

3,

3

8,

3

2P ,

3,

3

2,

3

11P

81) Calculamos un punto y el vector director de las dos rectas

22

2

2

1 zyxr )0,2,1(;)2,2,2( rr Av

sv

zx

yxs

42

4)2,1,1(

102

011

kji

a) Método 1.- Como rvr

, svs

. Además el plano pasa por )4,3,2(A , luego:

Así

0

224

123

122

:

z

y

x

01123: zyx

Método 2.- Al ser las dos rectas paralelas al plano, su vector normal será perpendicular a las dos rectas.

Luego: sr vvn

)2,1,3(

211

222

kji

023: Kzyx . Como )4,3,2(A está en el

plano 11011042323 KKK . Sustituyendo: 01123: zyx , es decir:

01123: zyx

b) Sea t la recta pedida. Como )2,1,3( nvt r

. Además tB )2,1,4( , luego:

2

2

1

1

3

4

zyxt

82) Sean los puntos )1,1,2( P y )2,0,3( Q



a) Si 'P es el simétrico de P respecto de Q , este punto Q es el punto medio de 'PP .

Así si llamamos ),,(' cbaP , se tendrá:

2

1,

2

1,

2

2)2,0,3(

cba

2/)1(2

2/)1(0

2/)2(3

c

b

a

5

1

4

c

b

a

5,1,4' P

b) Sea ),,('' cbaP simétrico de P respecto de 11

1

1

1 zyxr

z

y

x

r 1

1

:


0: Kzyx , si )1,1,2( P 20112 KK .

Luego 02: zyx ;

Sea rM 0211 0 .

Así: )0,1,1(M . Imponemos que sea M el punto medio de ''PP

2

1,

2

1,

2

2 cba 0,1,1 , igualando componentes:

2/)1(0

2/)1(1

2/)2(1

c

b

a

1

1

0

c

b

a

1,1,0'' P

c) Sea ),,(''' cbaP simétrico de P respecto de 3: zyx

Construimos recta n perpendicular a , )1,1,1(nv

, como nP ,

1

1

2

:

z

y

x

n

Si 3/1133112 nN ,

luego

3

2,

3

4,

3

7

3

11,

3

11,

3

12N

Imponemos que N sea el punto medio de '''PP ’:

3/12

1

3

2

3/52

1

3

4

3/82

2

3

7

cc

bb

aa

luego,

3

1,

3

5,

3

8'''P

___________________________________________________________________________-



83) a) Calculamos un punto de cada recta y sus vectores directores

En

1

1

zy

zxr llamamos z

1

1

y

xr

z

y

x

r 1

1

)0,1,1( rA , )1,1,1(rv

En

3

1

z

y

x

s

)3,0,1(sA , )0,1,1( sv

. Calculamos )3,1,0(sr AA discutimos rangos:

1

3

0

00

10

11

3

1

0

10

00

11

3

1

0

10

11

11

2312 rangFFrangFFrang 3*)(2)( MrangMrang

las rectas se cruzan

b) Plano que contiene a P a y la recta r

Como )2,1,2( rPA , 05340

212

11

211

11

zyx

z

y

x

Plano 2 que contiene a )2,0,1(P y a la recta s

Como )1,0,2(sPA 0520

102

01

211

22

zyx

z

y

x


052

0534

zyx

zyxt

c) Sea t la recta buscada. Calculamos )0,1,1(

011

111

kji

vvv srt

Plano 1 que contiene a la recta r y a tv

020

01

11

111

11

zyx

z

y

x

Plano 2 que contiene a la recta s y a tv

30

003

11

111

22

z

z

y

x


03

02

z

zyxt



84) a) Se trata de hallar los puntos de corte de la recta 1

2

1

6

2

4

zyxr con la esfera de centro

)1,2,1( C y radio 26 . Esta esfera tendrá de ecuación: 26)26()1()2()1( 2222 zyx

Expresando la recta en paramétricas

2

6

24

:

z

y

x

r , sustituyendo en la ecuación de la esfera:

26)3()4()23(26)26()12()26()124( 2222222Operando:

4

3/104133 2

Sustituyendo en la ecuación paramétrica de la recta obtenemos dos puntos:

3

12,

3

16,

3

241Q y 42,46,842 Q . Es decir:

3

5,

3

17,

3

101Q y 2,2,42 Q

b) )0,1,2(Q , 2

32

2

1

zy

xr . La distancia de Q a r es:

r

r

v

vPQd

, siendo rP

Tomemos )3,3,3()3,2,1( PQP . A su vez: )9,0,9(

333

212

kji

vPQ r

Con lo que

9

162

212

)9,0,9(

222d 23d

85) Calculamos un punto y el vector director de la recta

rv

zx

yxr

033

012)3,2,1(

103

012

kji

Como )1,1,2(012: nzyx

a) El plano que pasa por r y es perpendicular a tiene como vectores directores rv

y n

. Como además

pasa por P, su ecuación será:

0

311

21

121

z

y

x

02 zyx

b) ),(),( nvsenrang r

84

3

614

3

114941

322d

84

3arcsen

86) a) Con los puntos A, B, C y D formamos los vectores )3,3,2( AB , )2,1,2( BC , )6,6,4( CD y

)1,4,0( DA . Observamos que AB y CD son paralelos pues 23

6

3

6

2

4



Construimos las rectas 3

1

3

2

2

2:

zyxrAB y

6

4

64

2:

zyxrCD

88

596

88

)16,4,18(

363616

664

524

),(),(

kji

CD

CDACrAdrrd CDCDAB

22

149

b) Area (ABC) =

644812

1)8,2,9(

2

1

524

3322

1

2

1kji

ACAB2

149

87) a) Como la esfera es tangente al plano , este es plano tangente en el punto P’. Como PP’ es un

diámetro, )2,2,1('' nPPPP . Luego la recta por P y P’ será:

21

22

1

:'

z

y

x

rPP

El punto '' PPrP sustituyendo 109902)21(2)22(21

Por último, sustituyendo en la ecuación de 'PPr :

121

022

011

z

y

x

)1,0,0('P

b) Si PP’ es un diámetro de la esfera, su punto medio será su centro C y el radio ),( CPdr .

Luego,

2

11,

2

02,

2

01C

0,1,

2

1. El radio:

11

4

1)10()21(1

2

1 22

2

r

2

3

4

9 . Con lo que la ecuación de la esfera será:

4

9)1(

2

1 22

2

zyx

88) Las rectas Ar , Br y Cr es forma continua son:

2

12

1

1

zyxrA ;

1

3

1

2

1

1

zyxrB ;

2

3

1

1

1

1

zyxrC

a) Los vectores )2,,1( Av y )1,1,1(Bv no son paralelos, pues no existe cumpliendo: 1

2

11

1

Con lo que las rectas Ar y Br o se cortan o se cruzan. Como no se pueden cruzar 0),,det( ABvv BA

Como )1,2,1(A y )3,2,1( B , )2,4,0( AB , luego 0220

212

41

011

1



b) Calculamos el plano que pasa por Br y Cr . El vector )0,3,3(

211

111

kji

vvn BA .

Con lo que 033: Kyx . Como 9063 KKB , luego 0933: yx , o lo

que es igual 03: yx .

Si Ar es paralela a , 010)0,1,1()2,,1(nvA1

c) Brang ( , Cr ) ),( CB vvang . Así:

0

63

)211(

411111

)2,1,1()1,1,1(cos º90

89) a) Sea ),,(' cbaP simétrico de )1,0,1(P respecto de 165: zyx .

Construimos una recta s perpendicular a , que pase por P , )6,5,1( ss vnvs

Con lo que

61

5

1

:

z

y

x

s . La recta r en paramétricas será:

0

0

:

z

y

x

r , con )0,0,0(rP

Sea Q el punto de corte de la recta s con el plano : 31

31)1(62551 .

Sustituyendo:

31

13,

31

15,

31

34

31

181,

31

15,

31

31)61,5,1(Q

Imponemos por último que Q sea el punto medio de PP’:

31

13,

31

15,

31

34

2

1,

2,

2

1 cba

Igualando componentes

2/)1(31/13

2/31/15

2/)1(35/34

c

b

a

31/5

31/30

31/17

c

b

a

31

5,

31

30,

31

17'P

b)

r

rr

v

vPPrPd

),(

1

2

1

)1,0,1(

1

010

101

kji

2d

c) Calculamos los tres vértices del tetraedro que faltan:

165

0

0zyx

z

yOXA )0,0,1(A

5/1165

0

0yzyx

z

xOYB )0,5/1,0(B

6/1165

0

0zzyx

y

xOZC )6/1,0,0( C



6

1

5

1

6

1

6/100

05/10

001

6

1

6/1001

05/101

0011

0001

6

1Vol

180

1

-------------------------------------------------------------------------------

90) Sean el plano 022: yx y la recta

22

1:

zy

xr

a) Expresando la recta r en paramétricas:

z

y

x

r 22

1

: . Sustituimos coordenadas de un punto genérico de r en el

plano 102)22(12 , solución única, luego la recta y el plano se cortan en un punto (P(1,0,-1))

b) Sea ' el plano pedido. Como 'rv

, '' n

, y además ')2,0,1( rP

La ecuación del plano ' será:

0

01

122

201

z

y

x

0542' zyx

c) Sea s la recta pedida y ),22,1( rP el punto de corte con la recta r. Como sAPsA r como

la recta s es paralela al plano , 2

50)0,1,2(),21,3(0 nAPnAP rr

Tomando rAP como vector director de la recta s,

2

5,6,3

2

5,

2

521,3sr vAP

Como sA )0,1,2(2/56

1

3

2:

zyxs

91) Sean los puntos A(2,0,-2), B(3,-4,-1), C(5,4,-3) y D(0,1,4)

a) Formamos los vectores )1,4,1( AB y )1,4,3( AC

Área Triángulo ABC =

)16,4,0(2

1

143

1412

1

2

1kji

ACAB 172

b) Formamos el vector )6,1,2(AD

Volumen tetraedro ABCD

1006

1

612

143

141

6

1,,

6

1ADACAB

3

50

92) Sean los planos 012:1 zx , 02:2 zx , 0323:3 zyx



a) El vector director de la recta formada por 1 y 2 será )0,1,0(

101

10221

kji

nnvr

Para hallar un punto común a los dos planos

02

012

zx

zx restando las dos ecuaciones

3003 xx . sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones 5z . Luego podemos

tomar el punto (3,0,-5). La recta en paramétricas será:

5

3

:

z

y

x

r

b) )2,3,1(),0,1,0( 3 nvr

, luego

14

3

4911

)2,3,1()0,1,0(),( 3rsen º53

________________________________________________________________________________________

93) Sea la recta

tz

ty

tx

s

1

22

21

: y el plano 0322: zyx

a) Sustituyendo las ecuaciones de la recta en el plano, 023)1(2)22()21(2 ttt

con lo que la recta no corta al plano, luego la recta u el plano son paralelos.

También: rnvnvnv rrr

0)2,1,2(),1,2,2(

b) ),(),( rPdrd tomando el punto (1,2,1) de r

414

312212

3

5

c) Sea ),,(' cbaP simétrico de )1,2,3(P respecto de 0322: zyx

Construimos una recta s perpendicular a , que pase por P , )2,1,2( ss vnvs

Con lo que en paramétricas

21

2

23

:

z

y

x

s . Sea Q el punto de corte de la recta s con

Sustituyendo en el plano 103)21(2)2()23(2 .

Con lo que )1,3,1()21,12,23( Q

Imponemos por último que Q sea el punto medio de PP’: 1,3,12

1,

2

2,

2

3

cba


2/)1(1

2/)2(3

2/)3(1

c

b

a

3

4

1

c

b

a

3,4,1' P

______________________________________________________________________________________



94) a) Volumen paralelepípedo:

626

626626

51

111

432

,, wvuV

6,0

b) Sea r la recta pedida. Como está incluida en el plano ,0: z )1,0,0( nvr

. Como tiene dirección

perpendicular a )4,1,2( u

, uvr

, luego )0,2,1(

412

100

kji

unvr

Por último como r pasa por )0,1,1( , 02

1

1

1:

zyxr

______________________________________________________________________________________

95) Los plano paralelos a 0122 zyx serán de la forma, 022 Dzyx

La esfera 9)2()1()1( 222 zyx , tiene de radio 3r y de centro )2,1,1(C

Si los planos tienen que ser tangentes a la esfera 3),(Cd

933

441

421D

D

1293

693

DD

DD, luego los planos serán: 0622 zyx y 01222 zyx

______________________________________________________________________________________

96) a) El punto medio de )6,6,4(OP es )3,3,2(M

Sea plano perpendicular a OP que pasa por M, entonces )6,6,4(n

, luego 0664 Dzyx .

Como pasa )3,3,2(M , 4401818803636)2(4 DDD , con lo que

022332044664 zyxzyx

El punto Q pedido es la intersección de

2

38

44

z

y

x

r con el plano hallado.

Sustituyendo en el plano 2022)2(3)38(3)44(2 , luego )4,68,84( Q

es decir, )4,14,4( Q

b)

r

rr

v

vPArPd

),(

29

836

29

)8,24,14(

4916

234

620

kji

29

60612

c) Un punto R genérico de r sería )2,38,44( R . Si O, P y R estuviesen alineados, OP y PR serían

paralelos, luego )6,6,4(OP y )62,32,4( PR proporcionales. Es decir,



62

6

23

6

4

4Tomando dos de las igualdades:

5/6

9/2

65

836

6223

24)23(4

62

6

23

6

23

6

4

4

distintos, luego no existe R

______________________________________________________________________________________

97) a) En paramétricas las rectas son:

tz

ty

tx

r

2

1

2

,

21

4

21

z

y

x

s .

Sus vectores directores son: )2,,1( rv

, )2,4,2(sv

, no son paralelos, luego r y s se cruzan

Como )1,1,1( PQ ,

)24,6,82(

18

242

21

242

21

111

,,),(

kjivv

vvPQsrd

sr

sr

116168

18

)24()6()82(

18

2222

. Como

59

9),( srd , se tendrá:

012016811616823611616859259

9

116168

18 222

2

Resolviendo: 3,5 , como solo interesa el valor positivo: 3

b) )1,1,1( PQ , )2,,1( rv

. si han de ser perpendiculares: PQ 0rv

)1,1,1( 0)2,,1(

021 1

98) Sean los puntos )1,1,1( P , )2,0,1(Q y los planos: ,01 zx ,062 zmy ,03 mzyx

a) Si los planos se han de cortar en una recta 321

,, nnn

han de ser linealmente dependientes, es decir

0,,3,,321321 nnnnnnrang

. Como ),1,1(),6,,0(),1,0,1(

321mnmnn

sustituyendo:

060

11

60

1012 mm

m

m 2m y 3m

b) Si 3m , sea el plano pedido, 21nnn

)3,6,3(

630

101

kji

.



Luego ,0363 Dzyx como además el plano pasa por el punto )1,1,1( P , sustituyendo:

60363 DD , luego 06363 zyx o 022 zyx

c) Sea ),,(' cbaP simétrico de P respecto al plano 01 zx

Construimos una recta s perpendicular a 1 , que pase por P , )1,0,1(1

ss vnvs

Con lo que en paramétricas

1

1

1

:

z

y

x

s . Sea Q el punto de corte de la recta s con 1

Sustituyendo en el plano 10220)1(1 . Con lo que el punto

)0,1,0()11,1,11( Q

Imponemos por último que Q sea el punto medio de PP’: 0,1,02

1,

2

1,

2

1

cba


2/)1(0

2/)1(1

2/)1(0

c

b

a

1

1

1

c

b

a

1,1,1' P

Así: 222 )21()01()11()',( PQd 10d

______________________________________________________________________________________

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