1.-Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones:

Solución:

2.-Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtenga

Solución:

Hallamos los límites laterales:

Hallamos los límites laterales:

3.-Resuelve los límites siguientes y representa los resultados obtenidos:

Solución:

Ejercicio nº 4.- Dada la gráfica de la función f (x), halla:

a) El dominio y el recorrido de f (x).

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Los puntos singulares, indicando si son máximos o mínimos. Solución: a) Dominio = R

c) Es creciente en (−1, 0) ∪ (1, +∞) y decreciente en (−∞, −1) ∪ (0, 1) d) Tiene un máximo en (0, 1) y dos mínimos en (−1, −1) y (1, −1 5.-Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 − 2x + 3 b) f(x) = 31 − x Solución:

·Puntos de corte con los ejes:

·Hallamos algún otro punto:

x -1 2 3

y 6 3 6

·La gráfica es:

b) Hacemos una tabla de valores:

x -1 0 1 2 3

y 9 3 1 1/3 1/9

·La gráfica es:

6.-Dada la función:

a) Estudia su continuidad. b) Dibuja su gráfica. Solución: a) ·Si x ≠ 0, la función es continua. ·Si x = 0:

Es una función continua. b) ·Si x ≤ 0, es un trozo de parábola. ·Si x > 0, es un trozo de recta. La gráfica es:

7.-Un muelle mide 7 cm cuando colgamos de él un peso de 10 gramos, y mide 13 cm cuando colgamos de él un peso de 80 gramos. a) Estima, mediante interpolación lineal, cuánto medirá si colgamos de él un peso de 50 gramos. b) Escribe la ecuación de la recta que nos da la longitud, y, en función del peso que colgamos, x. c) Representa gráficamente la función anterior Solución: a) Sabemos que f (10) = 7 y que f (80) = 13. Por tanto:

Luego:

Al colgar un peso de 50 gramos, medirá unos 10,43 cm. b) Hemos obtenido que:

c) La gráfica será:

8.-Halla la derivada de las funciones:

Solución:

9.-Halla la ecuación de la recta de pendiente −4 que sea tangente a la curva f (x) = x4 + 2. Solución:

·La recta será:

10.-

Solución:

La derivada no se anula en ningún punto, por lo que tenemos solo en cuenta el punto de discontinuidad, x = 0 para estudiar su signo:

La función es creciente en (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 11-Halla las asíntotas

Solución: ·Asíntota horizontal: y = 1

·Asíntota vertical: x = 0

12.-Determina los puntos de tangente horizontal de la función f(x) = x4 - 8x2 + 1. Represéntalos gráficamente. Solución:

· Estudiamos el signo de la derivada

Mínimo en (−2, −15) y en (2, −15), y máximo en (0, 1). 13 -Dada la función f (x) = x4 − 2x2 + 1, halla: a) El dominio. b) Los puntos de corte con los ejes.

d) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. e) Los puntos singulares de la función. Después, realiza un esbozo de la función.

Solución: a) Domino = b) Con el eje Y → x = 0 → f (0) = 1 → (0, 1)

d) Calculamos la derivada: f′ (x) = 4x3 − 4x

Estudiamos el signo de la derivada:

f (x) es decreciente en (−∞, −1) ∪ (0, 1) y creciente en (−1, 0) ∪ (1, +∞). e) La función tiene un máximo en (0, 1) y dos mínimos en (−1, 0) y (1, 0).

14.-

Solución: Buscamos los valores x tales que −x2 + 3x ≥ 0.

Estudiamos el signo de la función:

Dominio = [0, 3] 15.-Estudia la continuidad de esta función:

Solución:

intervalo −1 < x < 2 (asíntota vertical en x = 0).

Estudiamos la continuidad en los puntos de ruptura: · En x = −1:

La función es discontinua en x = −1. · En x = 2:

Por tanto, f (x) es continua en todo R excepto en x = 0 y x = −1. 16.-Deriva la siguiente función y simplifica si es posible:

Solución:

17.-Busca un punto de la parábola f (x) = x 2 − 1 en el que la recta tangente a esa curva sea paralela a la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (4, 15). Solución:

El valor de la derivada en el punto que buscamos debe ser igual a 3.

18.-Los dueños de un cine han comprobado que el número de entradas que se venden diariamente depende de su precio, según la función:

n(p) = 5 400 − 500 p donde p representa el precio en euros y n (p) el número de entradas vendidas cada semana. a) Halla la función I (p) que nos da los ingresos diarios del cine en función del precio p de la entrada. b) El precio que debe tener la entrada para que los ingresos sean máximos. Solución: a) El número de entradas vendidas cada semana es (5 400 − 500p), y el precio de cada entrada es p. Por tanto, I (p) = (5 400 − 500p) p = 5 400p − 500p2 b) I (p) = 5 400p − 500p2 Como se trata de una parábola de ramas descendentes, el máximo se encontrará en el vértice.

I (5,40)= 5 400 · 5,40 − 500 × 5,402= 14 580 € Para que los ingresos sean máximos, la entrada debe valer 5,40 €, y los ingresos ascenderán a 14 580 €.