1 3. introducción a la lógica difusa jorge cabrera gámez departamento de informática y sistemas...

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3. Introducción a la LógicaDifusa

Jorge Cabrera GámezDepartamento de Informática y Sistemas

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria© Todos los derechos reservados

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Contenidos

3. Introducción a la Lógica Difusa

3.1 Teoría de conjuntos difusos

3.2 Inferencia en lógica difusa

3.3 Un caso de estudio

3.4 Bibliografía básica: [Cox-94], [Bend-96].

3

Introducción a la Lógica Borrosa

Teoría de conjuntosdifusos / borrosos(Fuzzy set theory)

L. Zadeh, 1965

Modelos difusos de

representación y tratamiento

de la incertidumbre

Definición. Conjunto: La reunión de todos los elementos que verifican una condición

“El conjunto de todos los elementos de Y que verifican A(x)”

)}(|{ xAYxA

4


Definición. Conjunto: La reunión de todos los elementos que verifican una condición

“El conjunto de todos los elementos de Y que verifican A(x)”

)}(|{ xAYxA

Teoría clásica de conjuntos (Crisp set theory)

}1,0{)( xA

0)( x

A

1)( xA

“No pertenece”

“Sí pertenece”

pertenencia de x al conjunto A

Teoría de conjuntos difusos (Fuzzy set theory)

]1,0[)( xA

Existe un rango de grados de pertenencia entre las posibilidades extremas

5


Idea Un conjunto difuso es un conjunto cuya fronteras no están bien definidas

(subjetividad, vaguedad, imprecisión, ...)

y, por tanto, la pertenencia o no de un elemento al mismo contiene una cierta incertidumbre

Bayes

Aleatoriedad de eventos definidos de

manera precisa

Conjuntos Difusos

Subjetividad en la calificación de eventos no

aleatorios

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Ejemplo:

Sea el conjunto de las personas consideradas “altas” definido sobre el conjunto de la población española, y consideremos un elemento del mismo denominado “pepe”. La cuestión de si pepe pertenece o no al conjunto de las personas “altas” puede resolverse atendiendo a la medida altura(pepe) y una función que mide la posibilidad de ser considerado alto en base a la altura.

1.0

0.5

0.0

alto(altura)

1.0 1.5 2.0 altura (m)

))(()( pepealturaAlto

pepeAlto

7

Definición de la Función de posibilidad (Función de pertenencia)

1. Como una función de cualquier conjunto de parámetros pk(x) del elemento x.

2. Por enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto

donde

– no representa una suma, sino una agregación de pares.

– a(x)/x no representa ningún cociente, sino un par (posibilidad/elemento)

))(,),...(),(()(21

xpxpxpxnAA

Ux

AxxA /)(

Ejemplo:Sea el ejemplo anterior donde se definía el conjunto de personas “altas”. Si el conjunto de posibles alturas se representa por un conjunto de alturas discretas, U, tal que,

U= { 1.30, 1.50, 1.70, 1.90, 2.10 }podemos definir la distribución de posibilidad de “ser alto” sobre el conjunto U como:ALTO = 0.0/1.30 + 0.2/1.50 + 0.5/1.70 + 0.8/1.90 + 1.0/2.10

8

Algunas funciones de pertenencia muy utilizadas

0,,),,;(

bcxc

abax

minmaxcbaxTriangular

1.0

0.5

0.0

0 50 100

)80,60,20;(xTriangular

9


0,,1,),,,;(

cdxd

abax

minmaxdcbaxlTrapezoida

)95,60,20,10;(xlTrapezoida

1.0

0.5

0.0

0 50 100

10


2),;(

cxecxGaussiana

)50,20;(xGaussiana

1.0

0.5

0.0

0 50 100

11


b

acx

cbaxCampana2

1

1),,;(

)50,4,20;(xCampana

1.0

0.5

0.0

0 50 100

12


)(1

1),;(

cxae

caxSigmoide

)50,2.0;(xSigmoide

1.0

0.5

0.0

0 50 100

13

Modificadores (Hedges)

Es posible introducir conjuntos difusos por transformación lingüística de uno dado. Algunos de los más frecuentes son:

muy A 2)()( x

Ax

Amuy

más_o_menos A 5.0)()(

__x

Ax

Amenosomás

no A )(1)( xA

xAno

En general, pueden introducirse nuevas clases de cualificadores o modificadores en la forma:

))(()( xAtFx

At

14

Extensión cilíndrica

En el caso de que se quiera realizar la composición de dos conjuntos cuyas bases de parámetros sean diferentes, será necesario definir una base de parámetros comunes.

A este proceso se le denomina Extensión Cilíndrica.

Sea una distribución posibilista del conjunto A sobre el parámetro definido por U1, dada por:

U1 = { 1, 2, 5 }

Y sea otra distribución posibilista del conjunto B sobre el parámetro definido por U2, tal que:

U2 = { 8, 10, 15 }

5/6.02/7.01/3.0/)(11

11 Ux

A xx

15/3.010/7.08/0.1/)(22

22 Ux

B xx

15

Extensión cilíndrica

Se define la extensión cilíndrica de A sobre el producto cartesiano de los parámetros U1 y U2, dado por U3 = U1xU2 como:

U2

8 10 15

1 (1,8) (1,10) (1,15)

U1 2 (2,8) (2,10) (2,15)

5 (5,8) (5,10) (5,15)

))15,5()10,5()8,5/((6.0

))15,2()10,2()8,2/((7.0

))15,1()10,1()8,1/((3.0/)(3

Ux

A xx

))15,5()15,2()15,1/((3.0

))10,5()10,2()10,1/((7.0

))8,5()8,2()8,1/((0.1/)(3

Ux

B xx

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Proyección

Es el proceso inverso al de Extensión cilíndrica. De él se obtiene una distribución posibilista sobre un conjunto de parámetros inferior de acuerdo con:

donde sup es el valor supremo sobre el parámetro xn.

)},...,,({sup),...,,( 21121´ nAx

nA xxxxxxn

Ejemplo: Sea la distribución posibilista A(x,y) dada por:

A = 1.0/(1, 3) + 0.9/(1, 6) + 0.8/(1, 9) 0.7/(5, 3) + 0.6/(5, 6) + 0.5/(5, 9)

0.4/(8, 3) + 0.3/(8, 6) + 0.2/(8, 9)

tiene una proyección sobre Y, A´(x), dada por:

A´= 1.0/1 + 0.7/5 + 0.4/8

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Reglas de Composición

Dados los conjuntos A y B, cuyas distribuciones de posibilidad son conocidas se define la distribución de posibilidad de una composición de ambas como:

A*B(x) = F*(A(x), B(x))

Unión: AB(x) = F(A(x), B(x))

Intersección: AB(x) = F(A(x), B(x))

Complemento: ¬A(x) = F ¬(A(x))

F(A(x), B(x)) S-norma

F(A(x), B(x)) T-norma

Normalmente las funciones AB(x), AB(x) y ¬A(x) serán dependientes de la semántica del conjunto. Sin embargo, se pueden simplificar tales funciones suponiendo que dependen solamente de las distribuciones de los conjuntos A y B por separado.

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Simplificación 1: Comportamiento monótono

)()( xxBA BA

Por ejemplo: coches_veloces coches

)_()_(_ cochemicochemi cochevelocescoches

Dado que se verifica: A A BB A BA B AA B B

entonces por la simplificación anterior deben verificarse también:A(x) AB(x)B(x) AB(x)AB(x) A(x)AB(x) B(x)

AB(x) max(A(x), B(x))

A B(x) min(A(x), B(x))

Esto implica que deben cumplirselas siguienes restricciones sobre las operaciones de unión e intersección

19

Simplificación 2: Definición del complementario

Para definir la distribución del conjunto complementario se asume la siguiente simplificación:

1)()( xx AA

Lo que equivale a:

)(1)( xx AA

20

Operadores de Zadeh:

Zadeh estableció como definición de las leyes de pertenencia a los conjuntos intersección y unión las cotas máximas y mínimas respectivamente de dichos conjuntos:

AB(x) max(A(x), B(x))

AB(x) min(A(x), B(x))

AB(x) = max(A(x), B(x))

AB(x) = min(A(x), B(x))

¬A(x) = 1 - A(x)

Estas definiciones no están exentas de paradojas, por ejemplo:

A¬A(x) = max(A(x), 1 - A(x)) 1

Un elemento puede no pertenecer “del todo” a un conjunto y su complementario

A¬A(x) = min(A(x), 1 - A(x)) 0

Un elemento puede pertenecer a un conjunto y su complementario

21

ppp bamax1

1)1()1(,01 ppp bamax1

1,0 ),( p

ababba

)1(1)2(

))(1( abbaab

),0(

1)1)(1(

1log111

sss ba

s

1)1)(1(

1logsss ba

s ),0( s

www bamin 1)(,1

www bamin1

)1()1(,11 ),0( w

),1,1()1,,(

bamaxbaminabba

),,( bamaxab

)1,0(

1

11

11

1

1

ba

),0( 1

11

11

1

1

ba

Uniones difusas Intersecciones difusas Rango

22

Lógica Difusa

• Se construye a partir de la teoría de conjuntos difusos• El grado de verdad o certeza de una proposición p es un valor en el contínuo [0,1]

proposición p: X es A

p(x) = A(x)

Para completar el cálculo de proposiciones se definen los conectores AND, OR y NOT

p q : (X es A) (Y es B)p q : (X es A) (Y es B) p: (X es A)

23

Lógica Difusa

Para completar el cálculo de proposiciones se definen los conectores AND, OR y NOT

p q : (X es A) (Y es B)p q : (X es A) (Y es B) p: (X es A)

Puede ocurrir que las distribuciones posibilistas p y q no estén definidas sobre la misma base de parámetros. En ese caso es necesario extender cilíndricamente dichas distribuciones.

Por otro lado debe recordarse que :pq(x) max(p(x), q(x))

pq(x) min(p(x), q(x))

24

Lógica Difusa

En general, definiremos las funciones and(), or() y not() como:

pq(x) = or(p(x), q(x))

pq(x) = and(p(x), q(x))

¬p(x) = not(p(x))

En el caso más general:

pq(x,y) = or(p(x), q(y))

pq(x,y) = and(p(x), q(y))

Las funciones and(), or() y not() son dependientes de la semántica de las proposiciones o Universo del Discurso. Deben verificar en cualquier caso las siguientes relaciones para ser compatibles con los valores booleanos en el límite de no borrosidad:

25

Lógica Difusa

Las funciones and(), or() y not() son dependientes de la semántica de las proposiciones o Universo del Discurso. Deben verificar en cualquier caso las siguientes relaciones para ser compatibles con los valores booleanos en el límite de no borrosidad:

or(1, u) = 1or(0, u) = uand(1, u) = uand(0, u) = 0not(1) = 0not(0) = 1

Un conjunto muy amplio de funciones cumplen estas restricciones.

Dos modelos muy empleados son los siguientes

Modelo de Zadeh:

or1(u, v) = max(u, v)and1(u, v) = min(u, v)not(u) = 1 - u

Modelo Pseudoprobabilístico:

or2(u, v) = u + v - u·vand2(u, v) = u·vnot(u) = 1 - u

26

Lógica Booleana

A) p p 1

B) p p 0

C) p (q r) (p q) r

D) p (q r) (p q) r

E) p (q r) (p q) (p r)

F) p (q r) (p q) (p r)

G) (p q) p q

H) (p q) p q

Modelo de Zadeh

or1(u, v) = max(u, v)and1(u, v) = min(u, v)not(u) = 1 - u

A) max(u, 1- u) 1

B) min(u, 1 - u) 0

C)

D)

E)

F)

G)

H)

27

Lógica Booleana

A) p p 1

B) p p 0

C) p (q r) (p q) r

D) p (q r) (p q) r

E) p (q r) (p q) (p r)

F) p (q r) (p q) (p r)

G) (p q) p q

H) (p q) p q

Modelo Pseudoprobabilístico

or2(u, v) = u + v -u·vand2(u, v) = u·vnot(u) = 1 - u

A) u + (1- u) - u·(1-u) 1

B) u·(1 - u) 0

C)

D)

E)

F)

G)

H)

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Demostración de la primera ley de Morgan

p q=max(p,q)

p q p 1 - p 1 - p

p < q q 1 - q 1 - q

(p q)=1-max(p,q) p q = min(1-p,1-q)

(p q) p q

p q

p+ q - p·q 1 - p - q + p·q (1 - p)(1 - q) = 1 - p - q + p·q

(p q) p q

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Inferencia Difusa

La operación de implicación se puede expresar en la forma:

p q : si (X es A) entonces (Y es B)

donde A y B son variables lingüísticas definidas como conjuntos difusos sobre los universos de discurso de X e Y respectivamente.

Ejemplos:

• Si la presión es baja entonces el volumen es grande

• Si el tomate es rojo entonces está maduro

• Si la velocidad es alta entonces frenar ligeramente

30

Inferencia Difusa

El principal problema para establecer un valor de certeza a este operador estriba en definir una interpretación del mismo.

Sea imp() una función que proporciona la certeza en una fórmula con implicación. Veamos posibles interpretaciones:

31

A) Basada en la equivalencia siguiente, válida en el límite booleano p q ¬ p q

p q p q ¬ p ¬p q ¬ q p ¬q ¬(p ¬q)

T T T F T F F TT F F F F T T FF T T T T F F TF F T T T T F T

))()),((())(),((),( yqxpnotoryqxpimpyxqp

De acuerdo con esta interpretación y según los operadores ya definidos:

imp1(u, v) = max(1 - u, v)imp2(u, v) = (1 - u) + v - (1 - u)·v

))))((),((())(),((),( yqnotxpandnotyqxpimpyxqp

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B) Basada en la idea: “La certeza del consecuente es superior o igual a la conjunción del antecedente e implicación”

p (p q) q (modus ponens)

)()))(),((),(( yqyqxpimpxpand vvuimpuand )),(,(

B1) min(u, imp(u, v)) v

B2) u * imp(u, v)) v

vuv

vuvuimp

1),(3

vuuv

vuvuimp

1),(4

C) Implicación de Lukasiewicz

imp5(u, v) = min(1 - u + v, 1)

33

Modus Ponens

Empleando alguna de las definiciones anteriores de implicación es posible definir el proceso de inferencia difusa empleando “modus ponens”.

p (p q) q

Dadas las certezas de un antecedente y la de la implicación, la determinación de la certeza del consecuente se realiza en base a una función generadora del modus ponens que denominaremos mod() La función mod() debe verificar una serie de propiedades, algunas de las cuales son las siguientes:

a) mod(u, imp(u, v)) v

b) mod(1, 1) = 1

c) mod(0, u) = v

d) u v mod(u, w) mod(v, w)

a) La función mod() tiene como cota superior la certeza del consecuente

b) Este es el límite booleano del modus ponens

c) De un antecedente completamente falso puede concluirse cualquier cosa

d) La función mod() debe ser monótona creciente con la certeza del antecedente

34

Funciones generadoras del modus ponens que resultan de las definiciones de la función implicación presentadas anteriormente:

uvv

uvvuvumaxvuimp

1

10),(1mod),1(),(1

0)0,1(

00),(2mod1),(2

uvumax

uvuvuuvuimp

),(),(3mod1

),(3 vuminvuvuv

vuvuimp

vuvuvuuv

vuvuimp

),(4mod1

),(4

)0,1(),(5mod)1,1(),(5 vumaxvuvuminvuimp

35

Todas estas expresiones son válidas para la realización de inferencia en casos análogos al siguiente:

regla: si (x es A) entonces (y es B)premisa: (x es A)

(y es B)

),( yxqp)(xp

)(yq

Y también en casos como el siguiente, donde A y A’ poseen la misma base de parámetros:

regla: si (x es A) entonces (y es B)premisa: (x es A’ )

(y es B’)

),( yxqp)(

'x

p

)('y

q

),(),('

modsup)('

yxqpxpx

yq

regla: si (el coche es viejo) entonces (el coche es ruidoso)premisa: (el coche es bastante viejo)

(el coche es bastante ruidoso)

36

Razonamiento difuso basado en la composición Max-Min

Sean A y A’ conjuntos difusos en X y sea B otro conjunto difuso en Y. Supongamos que la implicación difusa (A B) definida sobre X x Y se expresa como:

))(),((),( yB

xA

minyxBA

Nótese que esta definición de la implicación no es sino una expresión equivalente a imp3(u, v).

vuv

vuuvuminumin )),(,(

Consideremos la regla,si (x es A) entonces (y es B)

y la premisa (x es A’ )

El conjunto difuso inducido B’, se define según hemos visto como

),(),(

'modsup)(

'yx

BAx

Axy

B

),()(

'yx

BAx

Ax

37

1. Una regla con un único antecedente

)(

)()()('

))(),((),('

sup)('

yB

w

yB

xA

xAx

yB

xA

minxA

minx

yB

Para este caso la ecuación anterior se transforma en:

donde w representa un índice de compatibilidad entre la premisa y el antecedente de la regla.

x

A A’

x

w

B

B’

38

si (x es A) y (y es B) entonces (z es C) (x es A’ ) y (y es B’ )

(z es C’ )

2. Una regla con dos antecedentes

Una regla de este tipo puede representarse por una implicación A x B C de manera que:

)(),(),(),,( zC

yB

xA

minzyxCAxB

)(),(),(,)('

),(',

sup

),,(,)('

),(',

sup)('

zC

yB

xA

minyB

xA

minminyx

zyxCAxB

yB

xA

minminyx

zC

39

)(),(),(,)(

'),(

',sup)(

'z

Cy

Bx

Aminy

Bx

Aminmin

yxz

C

)(21

)()()('

)()('

)()()()('

)(',

)()()()('

)(',)(

'

zC

ww

zC

yB

yByx

Ax

Ax

zC

yB

xA

yB

xAyx

zC

yB

xA

yB

xAyxz

C

donde w1 w2 se puede asociar con el grado de satisfacción o intensidad de disparo de la regla

40

x

A A’

x

w1

C

C’

)(21

)()()('

)()('

)()()()('

)(',

)()()()('

)(',)(

'

zC

ww

zC

yB

yByx

Ax

Ax

zC

yB

xA

yB

xAyx

zC

yB

xA

yB

xAyxz

C

2. Una regla con dos antecedentes

x

B B’

w2

min

41

3. Múltiples reglas con múltiples antecedentes

La interpretación de múltiples reglas se toma usualmente como la unión de las inferencias difusas obtenidas de cada una de las reglas.

hecho: (x es A’ ) y (y es B’ )regla 1: si (x es A1) y (y es B1) entonces (z es C1)regla 2: si (x es A2) y (y es B2) entonces (z es C2)

consecuencia: (Z es C’ )

Resulta intuitivo observar que del caso anterior C’ = C1 C2

42

x

A1 A’

x

w11

C1

C’1

x

B1 B’

w12

min

x

A2 A’

x

w21C2

C’2

x

B2 B’

w22

x

C’

max

43

Cuando una regla difusa asume la forma

“si (x es A) o (y es B) entonces (z es C)”

la intensidad de disparo de la regla (w) viene dada por el máximo de los grados de correspondencia de los antecedentes. Esto es:

donde:

)(21)(' zCwwzC

)(')('1 xAxAxw )(')('2 yByByw

44

Métodos de concentración (Defuzzification)

La utilización de reglas de inferencia difusas produce, tras la evaluación, un conjunto difuso para cada variable del modelo:

Ejemplo:

si (x es X) entonces (D es A) si (y es Y) entonces (D es B) si (z es Z) entonces (D es C)

El conjunto resultante D es un conjunto difuso que representa a una cierta variable D a la que normalmente es necesario asignar un valor escalar.

x

A

y

B

y

C

y

D

Valor escalar

45

Métodos de concentración (Defuzzification)

x

menor de maximos

media de maximos

mayor de maximos

centroide

Posibles medidas

Todos son métodos heurísticos para encontrar “el valor” que mejor representa o sintetiza la información contenida en el conjunto difuso.

Uno de los más empleados:

Centroide:

iix

iixix

d)(

)(

46

Un caso de estudio:

Control Difuso de una turbina de vapor

Introducción:

Se pretende controlar la inyección de

combustible en una turbina de vapor al objeto

de mantener constante la velocidad. La

cantidad de combustible que se consume por

unidad de tiempo (tasa de consumo) se

incrementa o disminuye mediante la apertura

o cierre, repectivamente, de la válvula de

inyección en función de la temperatura y la

presión en la caldera.

47

Se pretende controlar la inyección de combustible en una turbina de vapor al objeto de mantener constante la velocidad. La cantidad de combustible que se consume por unidad de tiempo (tasa de consumo) se incrementa o disminuye mediante la apertura o cierre, repectivamente, de la válvula de inyección en función de la temperatura y la presión en la caldera.

Sensor de temperatura

Sensor de presión

Controlador de la

válvula de inyección

Planta de la turbina

P(t)

T(t)

Sensores

Sensor RPM

RPM(t)

I(t)

Sensor RPM

RPM(t)

48

1. Descomponer cada variable del modelo en un conjunto de regiones difusas (vocabulario de cada variable)

110 220 330 ºC

1

MU

Y_B

AJA

BA

JA

OPTIM

A

ALT

A

MU

Y_A

LTA

TEMPERATURA

49

10 120 230 Kg/m2

1

MU

Y_B

AJA

BA

JA

OPTIM

A

ALT

A

MU

Y_A

LTA

PRESIÓN

50 -60 0 60 cm/sg

1 CE

RR

AR

_MU

CH

O (

CM

)

CE

RR

AR

(C

)

DE

JAR

_IG

UA

L (O

K)

AB

RIR

(A

)

AB

RIR

_MU

CH

O (

AM

)

ACCIONES SOBRE LA VÁLVULA

CE

RR

AR

_UN

_PO

CO

(C

P)

AB

RIR

_UN

_PO

CO

(A

P)

51

2. Sintetizar las reglas de control (base de conocimiento)

Por ejemplo:

[R1] Si la temperatura es baja y la presión es muy_bajaentonces la acción sobre la válvula es abrir_mucho

[R2] Si la temperatura es baja y la presión es bajaentonces la acción sobre la válvula es abrir

[R3] Si la temperatura es baja y la presión es óptimaentonces la acción sobre la válvula es dejar_igual

[R4] Si la temperatura es baja y la presión es altaentonces la acción sobre la válvula es cerrar

52

3. El Algoritmo

A. Leer los sensores de presión y temperaturaB. Hacer solución(x) = 0C. Para todas la reglas cuyos antecedentes no sean nulos

C.1 Obtener el mínimo de todos los predicados conectados por operadores conjuntivos (AND) en el antecedente de la regla.

Pcerteza = min(E1, E2, ..., En)

C.2 Obtener la certeza de la regla control(x) = min( regla(x), Pcerteza )

C.3 Asignar el conjunto difuso obtenido en control(x) al conjunto solución mediante una operación de máximo (OR)

solución(x) = max( solución(x), control(x) )

D. Concentrar solución(x) (p.e. obteniendo el centroide) para obtener el valor escalar que requiere la acción de control.

53

Veamos como funciona

Supongamos que tras leer los sensores, la presión cae dentro del dominio de los conjuntos difusos OPTIMA y BAJA; y la temperatura se incluye dentro del conjunto difuso BAJA.

Las reglas cuyos antecedentes no son nulos son:

[R2] Si la temperatura es baja y la presión es bajaentonces la acción sobre la válvula es abrir

[R3] Si la temperatura es baja y la presión es óptimaentonces la acción sobre la válvula es dejar_igual

54

110 220 330 ºC

1

MU

Y_B

AJA

BA

JA

OPTIM

A

ALT

A

MU

Y_A

LTA

10 120 230 Kg/m2

1

MU

Y_B

AJA

BA

JA

OPTIM

A

ALT

A

MU

Y_A

LTA

-60 0 60 cm/sg

1

CER

RA

R_M

UC

HO

(C

M)

CER

RA

R (

C)

DEJA

R_I

GU

AL

(OK

)

AB

RIR

(A

)

AB

RIR

_MU

CH

O (

AM

)

CER

RA

R_U

N_P

OC

O (

CP)

AB

RIR

_UN

_PO

CO

(A

P)

55

110 220 330 ºC

1 BAJA

10 120 230 Kg/m2

1 BAJA

-60 0 60 cm/sg

1 ABRIR (A)

0.480.57

110 220 330 ºC

1 BAJA

10 120 230 Kg/m2

1 OPTIMA

-60 0 60 cm/sg

1 DEJAR_IGUAL (OK)

Temperatura Presión

Acciones de controlsobre la vávula

-60 0 60 cm/sg

1 DEJAR_IGUAL (OK)

Centroide= 23 cm/sg

0.48

0.25

56

Bibliografía.

[Cox-94] E. CoxThe Fuzzy Systems HandbookAcademic Press, 1994

[Bend-96] E. BenderMathematical Methods in Artificial IntelligenceIEEE Computer Society Press, 1996.

1 3. introducción a la lógica difusa jorge cabrera gámez departamento de informática y sistemas...

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