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7/25/2019 1 2009 Apcn8 Algebra II Usach PDF

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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERA

PRIMER SEMESTRE 2009

Para Curso LGEBRA II- USACH Material N8

2.6.- Bases y Dimensin en Espacios Vectoriales Finitos.

En este subttulo haremos una teora de los conjuntos generadores ms ptimos y su

relacin con la dimensin de un espacio vectorial. Aprenderemos a escribir los vectores en

funcin de estos generadores y estudiaremos los subespacios de acuerdo a sus bases y

dimensiones. Relacionaremos a los espacios con el Cuerpo de escalares mediante ellenguaje de vectores coordenados y quedaremos a un paso de la idea de Isomorfismos de

espacios vectoriales.

Definicin:

Sea V(IK) un espacio vectorial y B = { }kbn

1k=un subconjunto de V.

Diremos queBes una base del espacio Vsi y slo si:

1.- = V (Bgenera al espacio V)2.- Bes conjunto l.i.

Observaciones: a) Por la convencin que deca que genera a {0v}podemos decir que es

base de {0v}ya que, adems, es l.i.

b) Si S genera a V, pero es l.d., entonces Sposee al menos un subconjunto que

es base de V.

Ejemplo: B = {(1, 1, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 1)}es una base deIR3, pues:

1) es l.i. ya que (1, 1, 1) + (2, 1, 0) + (0, 1, 1) = (0, 0, 0), significa que:

0

0

02

=+

=++

=+

, cuyo determinante principal resulta:

|A| =

101

111

021

=

001

211

121

=21

12 = 5,

de donde, necesariamente, == = 0. Luego,Bes l.i.

2) Consideremos cualquier v = (x, y, z)IR3. Si existen , , IRpara los cuales

(x, y, z) = (1, 1, 1) + (2, 1, 0) + (0, 1, 1), podremos decir que < B > = IR3.

Luego, debemos resolver

z

y

x2

=+

=++

=+

.

Pero, como |A| 0, segn lo hecho arriba, el sistemaAx = v, tiene solucin nicaque se expresa en trminos de x, y, z. Resuelva Usted el sistema lineal y obtendr

que cualquiera sea el vector (x, y, z) de IR3, existen escalares

5

z3y2x

5

zyx2

5

z2y2x ++=

+=

+= ,, con los cuales (x, y, z)se escribe:

5

z2y2x + (1, 1, 1)+5

zyx2 + (2, 1, 0) +5

z3y2x ++ (0, 1, 1)

En conclusin, < B > = IR3. De 1) y 2) se deduce queBes una base paraIR

3.

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2.6.1.- Teoremas de Bases y Dimensin.

De la definicin de bases y de las propiedades de ellas como conjuntos l.i. surgen varios

teoremas que facilitan y organizan el estudio y caracterizacin de los espacios vectoriales y

sus subespacios propios. Expondremos y demostraremos los de uso ms frecuente.

2.6.1.1.- En un espacio vectorial finito, ningn conjunto l.i. tiene ms vectores que una desus bases.

Sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito B = de{ }kbn

1k=

vectores independientes (Bes una base de V). Afirmamos que todo conjunto Sen

Vque seal.i.ser finito y con un nmero de vectores nunca superior a n, que es

la cardinalidad deB.

Demostracin:

Debemos probar que todo conjunto en V, con ms denvectores, ser l.d.

Consideremos T = jv

m

1j= con m > n.

ComoBes base de V, existen escalares aijenIKtales que:

vj= . Y, para cualesquiera escalares =

n

1i

iijba 1,2,..... ,mse tiene:

1v1+2v2+ ... +mvm ==

m

1j

jjv

= = =

m

1j

n

1i

iijj ba

= ( ) = =

m

1j

n

1i

ijij ba

=i

n

1i

m

1j

jij ba = =

Si exigimos que =0entonces = 0=

m

1j

jjv i

n

1i

m

1j

jij ba = =

Y, comoBes l.i., se concluye que = 0, j = 1,...,m=

n

1i

jija

Pero sabemos que en un sistema homogneo con menos ecuaciones que

incgnitas (m > n)la solucin es mltiple y, por lo tanto, los escalares jno son necesariamente ceros.

En conclusin, = 0, con al menos un escalar =

m

1j

jjv k 0, lo cual

significa que Tes l.d.cuando tiene ms vectores que una base de V.

En definitiva, no puede haber conjuntos l.i. con ms vectores que

cualquier base de V.

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Consecuencias: Es posible destacar al menos dos consecuencias interesantes de este teorema:

a) SiBes base de V, entoncesBes conjunto l.i. maximalen V.

Es inmediato que todo conjunto Tque contenga aBy tenga ms de n

vectores, ser l.d. pues, el vector que se le agregue a B ser

obviamente dependiente. Luego, las bases son los ms grandes

conjuntos l.i.del espacio vectorial.

b) Las bases de un mismo espacio tienen igual nmero de vectores.

Por el teorema 2.6.1.1.-, siBB1es base con nvectores yB2B es base con

mvectores, entonces:

i) comoBB1es l.i., yB2B es base, se concluye que n m;

ii) comoBB2es l.i., yB1B es base, se concluye que m n;por lo tanto, m = n.

De esta consecuencia surge la posibilidad de definir la dimensin de

un espacio vectorial. Ella nos indicar el nmero de vectores

necesarios para generar al espacio y tambin el nmero de escalares

o coordenadas suficientes para caracterizar a un vector del espacio

como c.l.de una determinada base de l.

Definicin:

Si todas las bases de un espacio vectorial V tienen la

misma cantidad de vectores, es posible definir la

Dimensin de V como el nmero de vectores que

contiene cualquier base de V. Se anotar dimV.

c)Sea Ves un espacio vectorial con base de nvectores y SV,

1.- Si Scontiene ms de nvectores, ser l.d.

2.- Si Scontiene menos de nvectores no puede generar a V.

Note que si B es base de un espacio vectorial V entonces, si se le

quita un vector ya no es capaz de generar a Vy si se le agrega un

vector ya no ser l.i.

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2.6.1.2.- Si a un conjunto l.i. que no genera al espacio vectorial que lo contiene se le

agrega un vector que no genera, se obtiene un nuevo conjunto l.i.

Consideremos un conjunto S que siendo l.i. no llega a generar al espacio

vectorial Vque lo contiene. Afirmamos que, al agregar a S un vector vque

no pertenece a < S >, se obtiene un nuevo conjunto l.i.

Demostracin:

ConS ={ } y v< S >. Veamos si S {v}es conjunto l.i.ivm

1i=

Sean 1, 2, ..., my escalares tales que:

1v1+ 2v2+ ... + mvm+v = 0

Necesariamente = 0, pues en caso contrario se despejara vcomo c.l.deSnegando el hecho de que vno es generado por S.

Pero, si = 0, tenemos que 1v1+ 2v2+ ... + mvm= 0y como Ses l.i.

concluimos que 1= 2= ... = m= 0.

Consecuencias: Podemos destacar tres situaciones derivadas de este teorema, unas ms

directas que las otras.

Consideremos un subespacio W en un espacio vectorial V de dimensin

finita. Afirmamos que todo conjunto l.i. de W es finito y forma parte de

alguna base de W.

a)

Baste decir que todo conjuntol.i.de Wlo es tambin de V, y entonces debe

tener a lo ms tantos vectores como una base de V. Lo que demuestra que

ese conjunto es finito.Adems, usando el teorema 2.6.1.2.-, si agregamos vectores no generados

por ese conjunto llegaremos, en algn momento, a tener un conjunto l.i. con

tantos vectores como la dimensin finita de W, es decir, tendremos una base

de W que contiene a nuestro conjunto.

b) Si W es subespacio propio de V, espacio vectorial de dimensin finita,

entoncesdimW < dimV.

Por la consecuencia a) anterior y el teorema 2.6.1.2.-, una base de W no

puede tener ms vectores que dimV. Luego, dimWes finita y dimW dimV.

Y como W es subespacio propio de V, existe vector v de V que no esgenerado por una baseBde Wy al agregarlo a esa base se tiene un conjunto

B{v}que es l.i.en V. Por esta razn, dimW < dimV.

c) En un espacio vectorial Vde dimensin finita, todo conjunto Sde vectores

l.i.forma parte de una base de Vo de una base de cualquier subespacio de

Vque lo contenga.

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En particular, si Ses l.i. entonces es base de< S >.

Si S tiene k vectores y no genera a V entonces se puede expandir

agregndole dimV kvectores como indica el teorema 2.6.1.2.-, hasta que

junto a Slleguen a generar a V.

Si S es subconjunto de W, s.e.v. de V, y S no genera a W, se agregarndimW kvectores, como se hizo para V.

2.6.1.3.- En un espacio vectorial, la dimensin de la suma de dos s.e.v. finitos se

relaciona con las dimensiones de esos s.e.v. y de su interseccin.

Si W1,W2V,entonces dim(W1+W2) = dimW1+dimW2dim(W1W2).

Demostracin:

Por las consecuencias a) y c) del teorema 2.6.1.2.- podemos afirmar que

W1W2tiene una base finita {u1, u2, ..., uk}que se puede expandir hasta

llegar a {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm}, base de W1, y tambin expandir a {u1,u2, ..., uk, w1, w2, ..., wn}, base de W2.

Si probamos que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm, w1, w2, ..., wn} es l.i.

tendremos una base para W1+W2, pues ya es un generador.

Supongamos que + + = 0.=

k

1i

iiu =

m

1i

iiv=

n

1i

ii w

Entonces, al despejar = + resulta que

pertenecera a W

=

n

1i

ii w =

k

1i

iiu =

m

1i

iiv =

n

1i

ii w

1. Pero, como tambin est en W2, se deduce

que = para ciertos escalares =

n

1i

ii w =

k

1i

iiu 1, 2, ...k.

Pero como sabemos que {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wn}es l.i., resulta que

i= 0, i = 1,...,n.

As, en el despeje de arriba se tiene que + = 0, y como

{u

=

k

1i

iiu =

m

1i

iiv

1, u2, ...,uk, v1, v2, ..., vm}tambin es l.i., llegamos a que los escalares i

= 0, i = 1,..., k ; i= 0, i = 1,..., m.

Y hemos probado que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vm, w1, w2, ..., wn}es base

de W1+W2.

Finalmente: dimW1+dimW2 = (k + m) + (k + n)

= k + (m + k + n)

= dim(W1W2) + dim(W1+W2)

Con lo que, ordenando la identidad, demostramos el teorema.

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Consecuencias: Podemos destacar cuatro situaciones derivadas de este teorema.

a) Se hace razonable la convencin para el s.e.v. trivial {0v}respecto de

su base, que lo lleva a tener dim{0v} = 0, por cuanto es coherente

con la teora de dimensiones.

b) Si W1W2= {0v} entonces dim(W1+W2) = dimW1+dimW2.

c) Si ocurre que W1+W2= V, con W1W2= {0v}, diremos que W1+ W2

es Suma Directay anotaremos W1W2.

d) Si BB1es base de W1yB2B es base de W2 ,y tantoW1como W2 son

s.e.v. de V entonces:i) = W1 y = W2.

ii) = W1+ W2.Note queB1B BB2genera al espacio sumapero no es necesariamente una base pues podra no ser l.i. Lo que

se puede asegurar es que un subconjunto de B1

B BB2s ser base.Bastar con eliminar los vectores dependientesuno a uno hasta

obtener un conjunto l.i.maximal.

iii) Teniendo una base para W1+ W2, se puede obtener dim(W1W2)

= dimW1+dimW2 dim(W1+W2), con lo que se sabe cuantos

vectores buscar para una base de W1W2.

Ejemplo: Dados W1= {(x, y, z, u)IR4/ x 2y = 0 y + z u = 0},y

W2= {(x, y, z, z x)IR4, x, y, z IR }, dos s.e.v. deIR4(IR),

a)Obtengamos una base y la dimensin para W1y paraW2.

b)Obtengamos una base y la dimensin para W1W2.

c)Determinemos la dimensin de W1+ W2, una forma caracterstica para sus vectores y

una base para W1+ W2.

Respondamos de acuerdo a lo indicado en las consecuencias de arriba:

a) Para W1, una forma caracterstica para sus vectores surge de despejar las variablesque aparezcan slo en una de sus condiciones, es decir:

de 1 ecuacin,x = 2y; de 2 ecuacin, u = y + z, y, z IR

Luego, (2y, y, z, y + z) W1, y, z IR

Y, al descomponer como c.l.: (2y, y, z, y + z) = y(2, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1),y, z IR

Luego, W1= , con generadores l.i. por construccin.

De lo cual,BB1= {(2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}es basedeW1y dimW1= 2.

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Para W2, como nos dan una forma caracterstica para los vectores de W2, podemos

descomponer de inmediato:

(x, y, z, z x) = x(1, 0, 0, 1) + y(0, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1), x, y, zIR

Luego, W2 = , con generadores l.i. por

construccin.De lo cual,BB2= {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}es basedeW2y dimW2= 3.

b) Para obtener W1W2:

1.- Por condiciones o formas generadas:

Si v = (x, y, z, u)W1W2, entonces cumple condicin para estar en W1y en W2por separado,

(x, y, z, u)es tal quex 2y = 0 y + z u = 0 (por estar enW1),

y, u = z x (por estar en W2).

Luego, (x, y, z, u)W1W2, si y slo six = 2y y + z = z x;

de dondex = y = 0 u = z.

(0, 0, z, z) W1W2, zIR

Por lo tanto,W1W2= y dim(W1W2) = 1.

2.- Por bases:

Los vectores de W1W2 son c.l. de ambas bases a la vez y con distintosescalares, en general:

(2,1,0,1) +(0,0,1,1) = (1,0,0, 1) + (0,1,0,0) + (0,0,1,1)

de donde: 2= = = += +

y se concluye que: = = 0 = .

Por lo cual:(0, 0,,)W1W2, IR

Por lo tanto,W1W2= y dim(W1W2) = 1.

c) Para la dimensin de W1+ W2:

Por teorema:

dim (W1+ W2) = dim W1+ dim W2 dim (W1W2)

= 2 + 3 1

= 4

dim(W1+ W2) = 4 = dimIR4

W1+ W2 = IR4

Una base puede ser: 1.- la cannica: BBW1 + W2 = {e1, e2, e3, e4}

2.- Conociendo bases de W1yW2:

W1+ W2=

W1+W2=.

Ud. puede ver si son l.i. por determinantes o por rango.

BBW1+W2 = {(2,1,0,1),(0,0,1,1),1,0,0,1),(0,1,0,0)}

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2.6.2.- Bases Ordenadas y Vectores Coordenados.

Si imponemos un orden determinado a los vectores de una base Bde un espacio vectorial

V(IK), podremos establecer un lenguaje relativo a esa base para representar a cada uno de

los vectores vde dicho espacio vectorial. Veremos un teorema que nos permitir relacionar

un juego nico de escalares de IK con un nico vector v de V, segn esa especfica base

ordenada B. Esto permitir establecer una correspondencia biunvoca entre dos espacios

vectoriales que estn definidos sobre un mismo cuerpo de escalares y que tengan igual

dimensin, llevndonos al concepto de Isomorfismo entre espacios vectoriales.

2.6.2.1.- SiBes una base ordenada de un espacio vectorial V(IK), entonces cada vector de

Vse escribe de modo nico como c.l. de la baseB.

Demostracin:

Si B = {b1, b2, ..., bn} es una base ordenada de un espacio vectorial V(IK),

entonces: vV, ! {1, 2, ..., n}IK/ v = =

n

1i

iib

Supongamos que para un cierto vector vV existen al menos dos conjuntos deescalares distintos que permiten escribirlo como c.l. deB.

Sean {1, 2,..., n} y {1, 2,..., n} IKesos dos conjuntos de escalares y las c.l.

respectivas v = y v = con =

n

1i

iib =

n

1i

iib iial menos para un valor de i.

Luego, = y, sucesivamente se deduce que:=

n

1i

iib =

n

1i

iib

= 0=

n

1i

iib =

n

1i

iib

= 0( )=

n

1i

iiii bb

= 0, peroBes basey, por tanto, es l.i.=

n

1i

iii b)(

Luego, ii= 0, i = 1,..., n. Y, en definitiva, i=i, i = 1,..., n.

Con lo cual, hemos llegado a una contradiccin puesto que partimos asumiendo

que ii, al menos para un valor de i.

Y como lo que nos llev a este absurdo fue suponer que haba dos c.l.deBquepodan representar a v, debemos dar por demostrado que la representacin de v

comoc.l.deBes nica.

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Definicin:

Sea B = una base ordenada del espacio vectorial V(IK). Por el teorema de arriba,{ }ibn

1i =

sabemos que para cada vector vV existir una nica n upla en IKn que representar al

vector ven el lenguaje de la baseBy le llamaremos Vector Coordenado de v, segn la base

B, anotndolo vB= (B 1, 2, 3,...., n)si se tiene que = v.=

n

1i

iib

Ejemplo: Sea B = {b1 = x2 + 1, b2 = x + 2, b3 = x

2 3x} una base ordenada para el espacio

vectorial P2[x] = {ax2+ bx + c / a, b, cIR}. Escribamos a p(x) = 5x2 4x + 3 como

vector coordenado [p(x)]By verifiquemos desarrollando la c.l.segn la baseB.B

Respuesta: Consideremos que existen escalares , , enIR tales que p(x), como c.l. de B, se

escribe: b1+b2+ b3= p(x). Luego, sustituyendo, se tiene que

(x2 + 1) + (x + 2) + (x2 3x) = 5x2 4x + 3, lo que nos lleva al sistema

32

43

5

=+

==+

cuya solucin es =5

19,=

5

2 , =

5

6.

Luego, [p(x)]B = (B5

19,

5

2 ,

5

6) es el vector coordenado dep(x) en base B y Ud.

Verifique haciendo el desarrollo de la c.l. pedido.

2.6.2.1.- Cambio de Base. Si B y C son bases ordenadas de un espacio vectorial V(IK),y se

conoce el vector coordenado vBde un vector vde V, segn la baseB, entonces se puede

obtener el vector coordenado v

B

Cpara ese mismo vector.

Si se conocevB= (B 1, 2, ..., n), entonces para obtenervCse resuelve el sistema deecuaciones lineales con incgnitas escalaresx1, x2, ..., xnque surge de la igualdad

de c.l. parav: ==

=n

1i

ii

n

1i

ii bcx

Ejemplo: EnIR3sean B = {b1= (1, 1, 1), b2= (1, 1, 2), b3= (0, 1, 1)}y

C = {c1= (1, 0, 1), c2= (0, 1, 1), c3= (1, 1, 0)}.

ObtengavCsabiendo quevB= (1, 2, 3). Determine ven base cannica.B

Respuesta: Sea vC= (x, y, z). Luego, vse escribe como c.l. deBy de C, generando la ecuacin:v = xc1+ yc2+ zc3= 1b1+ 2b2+ 3b3.Es decir:(x + z, y + z, x + y) = (3, 6, 6).

Que al resolver, entrega: x =2

3, y =

2

9, z =

2

3.Luego,vC= (

2

3,

2

9,

2

3), y

(3, 6, 6)era ven base cannica.

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