El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberáser considerado una versión final.Para hacer comentarios y sugerencias, o reportar errores, enviar maila Alejandro D. Zylberberg <alejandro@probabilidad.com.ar>Versión Actualizada al: 1 de junio de 2004

Aproximación de Binomial y Poisson porNormalPara calcular probabilidades de distribuciones discretas con números grandes, espreciso sumar muchos términos, lo cual puede resultar poco práctico. Sin embargolas características de algunas distribuciones, como la binomial y la Poisson,permiten muy buenas aproximaciones mediante la distribución normal. Y como ladistribución normal se puede obtener de una tabla, el problema de sumar una grancantidad de términos queda reducido a buscar uno o dos valores en una tabla.A continuación se presentan los métodos y justificaciones de cómo efectuar talesaproximaciones.

Aproximación de la distribución binomial por la distribución normal

Si X es una variable distribuida binomialmente, con n ≥ 10 y p cercano a 0,5

entonces la variable aleatoria )1( ppn

npXY

−−=

tiene una distribuciónaproximadamente normal estándar.

Esto es válido porque si p es cercano a 0,5 y n es lo suficientemente grande(generalmente se pide n ≥ 10) entonces la forma de la distribución binomial, a pesarde ser discreta, se parece mucho a la de la una distribución normal. El cambio devariable Y no es otra cosa que la estandarización de esa variable aproximadamentenormal (ya que n.p es la media de X y que el denominador es el desvío de X).

En el gráfico vemos una variable binomial(n = 100 ; p = 0,5) junto con una variable normal(µ = 50 ; σ = 5).

Esta propiedad nos permite utilizar una variable normal estándar, que se encuentratabulada, para ahorrarnos la engorrosa tarea de sumar una cantidad elevada detérminos de probabilidades binomiales, especialmente cuando n es muy grande y lacantidad de éxitos está lejos de 0 y lejos de n, con lo cual la sumatoria tiene muchostérminos aunque se intente restar del 1 en vez de sumar.

Queda por hacer una observación antes de poder utilizar esta propiedad. Al estaraproximando una distribución discreta por una continua, lo que se hace es tomarintervalos de la continua, que representan los valores puntuales de la discreta. Porejemplo, consideraremos que la discreta vale 43, si la continua tiene cualquier valorentre 42,5 y 43,5. Entonces la probabilidad de que la discreta esté entre 8 y 12 no esla probabilidad de que la continua esté entre 8 y 12 sino de que esté entre 7,5 y12,5. Considerar esto se conoce como "corrección por continuidad".

Ejemplo:Se tiene una variable aleatoria X:Bi(n = 50 ; p = 0,4). ¿Cuál es la probabilidad deque X sea menor a 20?

Podríamos hacer

xnx

xx

ppx

nxXPXP −

==

−

===< ∑∑ )1()()20(

19

0

19

0. Esto

demandaría sumar 20 términos, y arroja el resultado 0,44648Sin embargo, y a menos que se necesite el resultado exacto, podemos usar laaproximación normal para resolver el problema. Estamos buscando P(X < 20), locual es igual a:P(0 ≤ X ≤ 19)Hacemos la corrección por continuidad:P(0 ≤ X ≤ 19) ≅ P(-0,5 ≤ X ≤ 19,5)Tomamos el cambio de variables:

)1( ppn

npXY

−−=

con lo cual Y tendrá una distribución aproximadamente normal estándar.Dejamos X en función de Y:

npYppnX +−= )1(

Luego reemplazamos X por su definición en términos de Y en la probabilidad queestábamos buscando:

( )14,092,5)1(

5,19

)1(

5,0)5,195,0( −≤≤−=

−−≤≤

−−−=≤≤− YP

ppn

npY

ppn

npPXP

Lo cual, por propiedades de la función de distribución acumulada queda:P(-5,92 ≤ Y ≤ -0,14) = FY(-0,14) - FY(-5,92)Como estamos considerando a Y una normal estándar, entonces:

FY(-0,14) - FY(-5,92) = Φ(-0,14) - Φ(-5,92) = (1 - Φ(0,14)) - (1 - Φ(5,92))= Φ(5,92) - Φ(0,14) = 1 - 0,55567 = 0,44433Observemos que el resultado aproximado 0,44433 es prácticamente igual alresultado exacto 0,44648.

Demostración

Se provee esta demostración porque constituye un buen ejemplo de aplicación delteorema central del límite.Si X es la cantidad de éxitos en una muestra en n experimentos de Bernoulli,entonces X es una variable aleatoria cuya distribución se conoce como binomial.Toda variable binomial es en esencia la suma de n variables de Bernoulli (unos yceros). Como vimos para la distribución binomial:E(X) = n.pσx

2 = n.p.(1-p)También vimos que, por el teorema central del límite, para n lo suficientementegrande, la suma de n variables tiene aproximadamente una distribución normal, condeterminadas media y varianza. Particularmente cuando X es binomial, si

5)p1(ny5np ≥−≥(lo cual también garantiza que p esté lo suficientemente

alejada de 0 y 1 para que no se "aplaste") entonces su ditribución se puede

aproximar por una normal, con media n.p y desvío )p1.(p.n −

. Queda:( ))p1.(p.n;p.nN:X − (aproximadamente).

Luego, tomando el cambio de variables )1( ppn

npXY

−−=

, Y tiene una distribuciónaproximadamente normal estándar.

Aproximación de la distribución de Poisson por la distribución normal

Si X es una variable de Poisson, con µ >> 1, entonces la variable aleatoria

µµ−= X

Y

tiene una distribución aproximadamente normal estándar.

Esto es válido porque si µ es mucho mayor que 1, entonces la forma de ladistribución de Poisson, a pesar de ser discreta, se parece mucho a la de la unadistribución normal. El cambio de variable Y no es otra cosa que la estandarizaciónde esa variable aproximadamente normal (ya que µ es a la vez la media y la varianzade X)

En el gráfico vemos una variable de Poisson(µ = 50) junto con una variable normal(µ = 50 ; σ = 50

).

Esta propiedad nos permite utilizar una variable normal estándar, que se encuentratabulada, para ahorrarnos la engorrosa tarea de sumar una cantidad elevada detérminos de probabilidades de Poisson al calcular probabilidades acumuladas,especialmente cuando necesitamos calcular la probabilidad acumulada para un valorque esté lejos del cero.

Queda por hacer una observación antes de poder utilizar esta propiedad. Al estaraproximando una distribución discreta por una continua, lo que se hace es tomarintervalos de la continua, que representan los valores puntuales de la discreta. Porejemplo, consideraremos que la discreta vale 43, si la continua tiene cualquier valorentre 42,5 y 43,5. Entonces la probabilidad de que la discreta esté entre 8 y 12 no esla probabilidad de que la continua esté entre 8 y 12 sino de que esté entre 7,5 y12,5. Considerar esto se conoce como "corrección por continuidad".

Ejemplo:Se tiene una variable aleatoria X:Pois(µ = 60). ¿Cuál es la probabilidad de que X seamenor a 70?

Podríamos hacer

∑∑=

−

=

===<69

0

69

0 !)()70(

x

x

x x

exXPXP

µµ

. Esto demandaríasumar 70 términos, y arroja el resultado 0,88821.Sin embargo, y a menos que se necesite el resultado exacto, podemos usar laaproximación normal para resolver el problema. Estamos buscando P(X < 70), locual es igual a:P(0 ≤ X ≤ 69)Hacemos la corrección por continuidad:P(0 ≤ X ≤ 69) ≅ P(-0,5 ≤ X ≤ 69,5)Tomamos el cambio de variables:

µµ−= X

Y

con lo cual Y tendrá una distribución aproximadamente normal estándar.Dejamos X en función de Y:

µµ += YX

Luego reemplazamos X por su definición en términos de Y en la probabilidad queestábamos buscando:

( )23,181,75,695,0

)5,695,0( ≤≤−=

−≤≤−−=≤≤− YPYPXPµ

µµ

µ

Lo cual, por propiedades de la función de distribución acumulada queda:P(-7.81 ≤ Y ≤ 1,23) = FY(1,23) - FY(-7,81)Como estamos considerando a Y una normal estándar, entonces:FY(1,23) - FY(-7,81) = Φ(1,23) - Φ(-7,81) = Φ(1,23) - (1 - Φ(7,81))= Φ(1,23) + Φ(7,81) - 1 = 0,89065 + 1 - 1 = 0,89065Observemos que el resultado aproximado 0,89065 es prácticamente igual alresultado exacto 0,88821.

Problemas típicos

Deben considerarse modelos de problemas típicos los dos ejemplos dados en estasección.

Este material se encuentra en etapa de corrección y no deberá serconsiderado una versión final.Para hacer comentarios y sugerencias, o reportar errores, enviar maila Alejandro D. Zylberberg <alejandro@probabilidad.com.ar>Versión Actualizada al: 1 de junio de 2004