OBTENCIÓN EN FORMA APROXIMADA

DE LA CUPLA EN

MÁQUINA ASINCRÓNICA TRIFÁSICA

1. Obtención de la Fórmula de Kloss

Cuando no se dispone de curvas aportadas por el fabricante o del motor y de los medios necesarios para realizar los ensayos pertinentes, la denominada fórmula de Kloss es una herramienta útil para obtener, en forma aproximada la cupla en función de la velocidad de un motor asincrónico trifásico.

A continuación se deduce dicha fórmula, se la aplica a un caso concreto y se comparan los resultados así obtenidos con los que resultan del circuito equivalente exacto del motor.

Haciendo un equivalente de Thèvenin del modelo circuital del motor resulta, figura 1:

x R

R'

x'

UT

T T 2

2

s

Figura 1: Circuito equivalente de Thèvenin

llamando:

x x x= +1'2 (1)

despreciando la resistencia RT del mismo, la cupla electromagnética resulta:

T

Rs

I URs

Rs

x

es

T

s≈ =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

3 32

22

2 2

22

2

''

'

'Ω Ω

y el valor máximo se obtiene utilizando el resbalamiento sT :

22'

2

'2

22'

2

'2

33ˆ

xsR

sR

UI

sR

T

T

T

s

T

s

Te

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω=

Ω≈

dividiendo miembro a miembro:

22'

2

22'

2ˆ

xsR

xs

R

ss

TT

T

T

e

e

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

pero de acuerdo al teorema de máxima transferencia de potencia, el máximo de potencia de campo y por consiguiente de cupla se produce cuando:

R

sx R

TT

22

''= = d e d on d e: s x⋅

1

si se reemplaza en la anterior y se ordena:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

1

2

ˆ 22

2

22

22

ss

x

ssx

xx

xsxs

ss

TT

T

T

T

T

e

e

que luego de simplificar y ordenar da la citada fórmula de Kloss:

T

Te

e

ss

ssT

T

+≈

2ˆ (2)

Para obtener la cupla a partir de los datos usuales del motor se deben determinar las dos constantes de la misma:

Te sT y ˆ

para lo cual se dispone de dos condiciones de funcionamiento: la nominal y la de arranque. En funcionamiento nominal:

ΩΩ

nn

en nm

n

ns n

ss

n

nT T

P

sn n

nn

f

p

=⋅

≈ =

=−

=⋅

2

60

2

π

π

donde:

Ωn velocidad nominal en 1/s nn velocidad nominal en rpm Pm potencia mecánica nominal en W sn resbalamiento nominal ns velocidad sincrónica en rpm fn frecuencia nominal Hz p número de pares de polos

y para el arranque:

s Tarr e arrT= =1

donde la cupla de arranque normalmente está dada en tanto por uno. Con estos valores se puede formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

T

n

n

Te

n

TTe

arr

ss

ssT

Ts

sTT

2ˆ

12

ˆ

resolviendo se obtienen la cupla máxima y el resbalamiento correspondiente. Dividiendo miembro a miembro:

( )T

TT

s

s

s

s

ss

arr

narr

T

n

n

T

TT

= =

+

+

01 1

de donde:

2

( )( )1

0

10

1arr

n

narrT

Ts

sTs

−

−±= (3)

y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=

T

n

n

Tne s

sssT

T2

ˆ (4)

Con estas constantes es posible aplicar la fórmula de Kloss y determinar la cupla para cualquier resbalamiento.

2. Ejemplo numérico

A modo de ejemplo se analiza un motor asincrónico trifásico de 12 kW, 380 V, 50 Hz, conexión estrella, de 1430 rpm, cuyos parámetros son:

R x x

R X Rm p

1 1 2

2

0 21 0 76

0 45 28 2 253

= = =

= =

, ,

, ,

'

'

Ω Ω

Ω Ω = Ω

cuyo equivalente de Thèvenin es:

( )( )

( )( )

Ω≈=+=+=

Ω+=+=

++−+

=+

=+

=

≈+=

++−+

=+

=+

=

−=−=−=

5,15003,176,07403,0

7403,02011,0

176,021,003546,0003953,076,021,0

11

1 05,2149252,005,214

176,021,003546,0003953,00220

11

1

3546,0003953,02,28

1253

111

'2

01

1

01

01

01

1

01

10

0

xxx

jjxRZ

jjj

Yzz

Yz

Yz

Z

VjU

jjj

YzU

Yz

UY

U

SjjX

jR

Y

T

TTT

T

T

T

mp

&

&&

&

&&

&&

&

&

&&

&

&&

&&

&

&

para las condiciones de funcionamiento nominal:

sn n

n

n

TP

ns n

s

n s

nm n

n

=−

=−

=

= = =

= = =

1500 1 430

15000 04667

2

60

2 1 430

60149 75

12 000

149 7580 13

1

. .

.,

.,

.

,,

Ω

Ω

π π

Nm

y para el arranque:

3

( ) ( )

( )

s

IU

R R x

P R I

p

T TP

TT

T

arr

arrT

T

carr arr

s s

earr arrcarr

s

arrarr

n

=

=

+ +

=+ +

=

= = ⋅ ⋅ =

= = =

= = = =

= = =

1

214 05

0 2011 0 45 15130 9

3 3 0 45 130 9 23 132

2 50

2157 08

23 132

157 08147 26

147 26

80 1341 837

2

2

2 2 2 2

2 22 2

1

01

'

'

' '

,

, , ,,

, , .

,

.

,,

,

,,

A

W

Nm

01

Ω

Ω

ω π

la cupla electromagnética en función del resbalamiento, obtenida del circuito equivalente exacto de Thèvenin vale:

TU

R

s

RR

sx

eT

sT

=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

3 22

2

22

Ω

'

'

con máximos en:

sR

R xT

T

= ±+

= ±+

= ±22 2 2 2

0 45

0 2011 150 2973

' ,

, ,,

que valen:

Nm 4,333ˆ Nm 2,255ˆ5,12011,02011,0

108,1572

05,2143ˆ

123ˆ

22

2

22

2

−==

+±⋅⋅

=

+±Ω=

eGeM

e

TTs

Te

TT

T

xRR

UT

y aplicando la fórmula de Kloss:

( )( )

sT s

sT

Tarr n

narr

= ±−

−= ±

−

−= ±

01

01

11 837 0 04667

1

0 046671 837

0 302, ,

,,

,

este valor es apenas 1,7% mayor que el exacto, y las cuplas máximas valen:

Nm 5,265ˆ302,0

04667,004667,0

302,02134,80

2ˆ

±=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=

e

T

n

n

Tne

T

ss

ssT

T

en este caso ambos máximos son iguales porque se ha despreciado la resistencia de Thèvenin que es la responsable de la diferencia entre los mismos en la expresión exacta. El valor obtenido es aproximadamente un 4% mayor para motor y 20% menor para generador.

Con estos datos se puede obtener la cupla en función del resbalamiento utilizando la expresión:

T

T

ee

ss

ss

TT

+=

ˆ2 (5)

4

Para una mejor comparación, en la figura 2 se representan las curvas de cupla obtenidas con la fórmula exacta y la de Kloss.

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300 T

e [N

m]

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 s

Exacta

Exacta

Kloss

Kloss

Figura 2: Curvas de cupla en función del resbalamiento

Como la determinación de las constantes de la fórmula de Kloss se hizo a partir de las condiciones de funcionamiento nominal y se arranque, ambas curvas coinciden en los puntos de resbalamiento nominal y de resbalamiento 1.

3. Trazado aproximado

A partir de la expresión de Kloss se puede hacer un trazado aproximado de la curva de cupla en función del resbalamiento, o de la característica externa, velocidad en función de la cupla, de un motor de inducción. en efecto, para valores de resbalamiento próximos a cero, la expresión (5) se puede aproximar a:

ssT

TT

ee

ˆ2≅ (6)

que corresponde a una recta que pasa por el origen con pendiente:

sTT

dsdT e

s

eˆ2

0=

=

(7)

Como en general el resbalamiento con que opera un motor de inducción es menor al 5 % , la expresión (6) puede utilizarse con suficiente exactitud para predecir el comportamiento de la máquina. El trazado de la recta dada por la ecuación (6) se puede realizar fácilmente observando que para un resbalamiento igual a sT

la misma pasa por el punto , ver figura 3. eT2

Si se procede con el circuito equivalente exacto de la figura 1, sin despreciar la resistencia de Thèvenin, la pendiente en el origen resulta:

)1(ˆ220 T

Te

s

e

sRR

Tds

dT+

′=

=

(8)

5

y la ecuación de la recta tangente:

ssR

RTT

T

Tee )1(ˆ2

2+

′= (9)

Tomando valores típicos, la pendiente exacta (8) resulta aproximadamente un 10% mayor que la obtenida a partir de la fórmula de Kloss (7), por lo que para una dada cupla, por ejemplo la nominal, la recta tangente exacta (9), se aleja más de la curva que la recta aproximada (6), conclusión: es preferible usar la expresión aproximada (6) a la exacta (9).

Por otra parte, para valores elevados del resbalamiento, la fórmula de Kloss se aproxima a:

sTsT eTe

1ˆ2= (10)

es decir, una hipérbola que pasa por los puntos:

etc. )2

,4( ),2( )2,( eTeTeT

TsTsTs

como se muestra en la figura 3, donde por comodidad se han normalizado los ejes dividiendo a la cupla por

y al resbalamiento por . eT Ts

Si se desea realizar un trazado aproximado de la curva de cupla, se puede tener en cuenta que:

• en el origen la cupla es nula y la pendiente de la curva es la de la recta (6)

• para la cupla vale y la curva tiene pendiente horizontal Tss = eT

• para la cupla vale: Tss 2=

ee

T

T

T

T

ee TT

ss

ss

TT ˆ8,0

21

12

ˆ2

22

ˆ2=

+=

+=

• y para la cupla resulta: Tss 4=

ee

T

T

T

T

ee TT

ss

ss

TT ˆ4706,0

41

14

ˆ2

44

ˆ2=

+=

+=

valor éste aproximadamente 6 % menor que el 0,5 correspondiente a la hipérbola de la ecuación (10) por lo

que se puede decir que para valores de resbalamiento iguales o mayores a , por ejemplo para el

arranque, la curva coincide con dicha hipérbola. Ts4

Para visualizar lo dicho, en la figura 3, se han representado la recta (6), la hipérbola (10) y la curva dada por la fórmula de Kloss (5).

6

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5

s/sT

T e/T

e m

áx

Figura 3: Obtención de la curva aproximada.

Ing. Norberto A. Lemozy mayo de 2001

7