C A P T U L O 5

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDACuando estamos jugando o viendo jugar algn deporte no pensamos en cuestiones de cienciao de ingeniera. Sin embargo, el diseo de equipamiento deportivo se ha convertido en unaempresa muy tcnica, con papel importante de las Matemticas. Una comparacin superfi-cial de la raqueta de tenis de madera de 1980 y la Kevlar de 1990 basta para desvelar elimpacto dramtico de la tecnologa en el deporte (vase la fotografa adjunta).

Uno de los principales objetivos en el diseo de una raqueta de tenis es crear un puntodulce lo ms extenso posible. Se llama as a la zona de la raqueta que produce un golpe ideal. Para algunos jugadores, ideal significa mxima potencia, para otros vibracin mnimade la raqueta. Ambos conceptos son traducibles en trminos de problemas de ingeniera sus-ceptibles de ser analizados mediante integrales definidas.

El diseo de una raqueta de tenis comienza por el estudio de la fsica de la colisinentre la raqueta y la bola. A gran velocidad, una pelota de tenis se aplana casi por completo ylas cuerdas de la raqueta se estiran. (Unafotografa notable de este hecho se encuen-tra en Stretching the Limits, de Lee Torrey,donde tambin se dan ms detalles acercadel punto dulce). La manera en que pelota ycordaje recuperan su forma determina lascaractersticas del vuelo resultante de lapelota. Medidas detalladas proporcionangrficas de las fuerzas y desplazamientos delas cuerdas al estirarse y al recuperar suposicin natural (vase figura adjunta). Seobserva que la energa perdida por roza-miento es proporcional al rea entre las doscurvas. Adems, el giro de la raqueta dependede su centro de masa y de su momento deinercia. Si mencionamos esto aqu es porqueel rea entre dos curvas, el centro de masa yel momento de inercia de la raqueta se calcu-lan usando integrales definidas. Discutiremosel rea entre curvas en la seccin 5.1 y el cen-tro de masa y los momentos en la seccin 5.6.

Fuerza

Estiramiento

Recuperacin

Compresin

La colisin entre una raqueta y una pelota determina la velocidad y el giro de la pelotatras ser golpeada. Estas caractersticas determinan, a su vez, la trayectoria de vuelo de lapelota (si se est acertado, una grcil curva hacia la esquina de la pista). En la seccin 5.4veremos cmo calcular la longitud de la curva, mientras que el movimiento de un proyectil(la pelota de tenis, por ejemplo) se analiza en la seccin 5.5. La velocidad de la pelotadepende de una cantidad llamada impulso, que introduciremos en la seccin 5.6.

Este captulo pondr de manifiesto la versatilidad de la integral definida. Aunque serintroducida como un mtodo para calcular el rea bajo una curva, veremos que se utilizapara resolver un espectro muy amplio de situaciones. Las aplicaciones contenidas en estecaptulo son slo una muestra de las que encuentra en Matemticas, Estadstica, Fsica eIngeniera.

Ya hemos considerado la integral definida desde tres perspectivas: grfica (reas consigno), numrica (aproximacin por sumas de Riemann) y terica (teorema fundamental delClculo). Debe tener presentes las tres mientras analizamos cada nueva aplicacin, con espe-cial atencin al papel que desempean en la conexin de cada nuevo problema con la inte-gracin. De ese modo se dar cuenta de que el argumento comn a todas esas aplicaciones esla integral definida.

REA ENTRE CURVAS

Inicialmente, la integral definida se ha introducido, en el Captulo 4, para calcular el reabajo una curva. En particular, para cualquier funcin f(x) 0 y continua en [a, b], queramoshallar el rea bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Empezbamos haciendo una parti-

cin del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura, x = b

n

a. Los puntos de la

particin se denotan por x0 = a, x1 = x0 + x, x2 = x1 + x, y as sucesivamente. Es decir.

xi = x0 + i x, para i = 0, 1, 2, , n.

En cada subintervalo [xi1, xi] construimos un rectngulo de altura f (ci) para algnci Z [xi1, xi], como indica la figura 5.5. La suma de las reas de esos n rectngulos se toma-ba como aproximacin del rea A bajo la curva:

A ; n

i=1

f(ci) x.

Al tomar ms y ms rectngulos, las sumas de sus reas se iban acercando al valorexacto del rea bajo la curva y ese lmite daba lo que se ha llamado integral definida:

A = n

i=1

f(ci) x = ba

f(x) dx.

En esta seccin extenderemos esta nocin. Sean f y g dos funciones continuas en [a, b]tales que f(x) g(x) para todo x en [a, b]. Deseamos hallar el rea entre las curvas y = f(x) ey = g(x) en el intervalo [a, b] (figura 5.2). Puesto que no sabemos an cmo calcularla exac-tamente, vamos a aproximarla usando rectngulos.

Como antes, partimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura, x =b

n

a, tomando como puntos de la particin

xi = a + i x, para i = 0, 1, 2, , n.

Ahora sobre cada subintervalo [xi1, xi] construimos un rectngulo desde la curva infe-rior y = g(x) hasta la curva superior y = f(x) (figura 5.3a). La figura 5.3b indica que el i-si-mo rectngulo tiene altura hi = f(ci) g(ci), para ciertos ci Z [xi1, xi].

As, pues, el rea del i-simo rectngulo es

rea = longitud anchura = hi x = [f(ci) g(ci)] x.

lmn

5.1

340 Captulo 5 Aplicaciones de la integral definida

Figura 5.1

Aproximacin del rea.

Figura 5.2

rea entre dos curvas.

Tomamos la suma de las reas de los rectngulos como aproximacin del valor exactodel rea A entre las dos grficas:

A ; n

i=1

[f(ci) g(ci)] x.

Finalmente, si existe el lmite para n , dar el rea exacta, lo que identificamos comouna integral definida:

rea entre (1.1)dos curvas

Seccin 5.1 rea entre curvas 341

Figura 5.3a

rea aproximada.

Figura 5.3b

rea del i-simo rectngulo.

A = n

i=i

[f(ci) g(ci)] x = ba

[f(x) g(x)] dx.lmn

Ejemplo 1.1 rea entre dos curvas

Calcular el rea acotada por las grficas de y = 3 x e y = x2 9 (figura 5.4).

Solucin La regin, ilustrada en la figura 5.4, viene determinada por la interseccin de doscurvas. Las coordenadas x de los puntos de interseccin sern los lmites de integracin.Para hallarlas, igualamos a cero las dos funciones y resolvemos en x. Se tiene

3 x = x2 9, o sea, 0 = x2 + x 12 = (x 3)(x + 4).

As, pues, las curvas se cortan en x = 4 y en x = 3. Ahora hay que ver cul de las grficas esla frontera superior de la regin. En este caso, la curva superior es y = 3 x. Por tanto, paracada valor de x la altura del rectngulo indicado en la figura 5.4 es

h(x) = (3 x) (x2 9).

No se preocupe por el hecho de que (x2 9) < 0 en parte del intervalo. La altura de un rec-tngulo dado sigue siendo h(x). Por (1.1), el rea entre las curvas viene dada por

A = 34

[(3 x) (x2 9)] dx

= 34

(x2 x + 12) = + 12x3

4

= + 12(3) + 12(4) = .3436(4)2

2

(4)3

3

322

333

x22

x33

Nota 1.1

La frmula (1.1) slo es vlida sif(x) g(x) en el intervalo [a, b]. En general, el rea entre las grfi-cas de f(x) y g(x) viene dada por

ba

|f(x) g(x)| dx.

Ntese que para calcular esta inte-gral hay que calcular primero

dc

[f(x) g(x)] dx

en cada uno de los subintervalosdonde f(x) g(x), despus

dc

[g(x) f(x)] dx

en cada uno de los subintervalosdonde g(x) f(x) y finalmentesumar esas integrales.

Figura 5.4

y = 3 x e y = x2 9.

A veces, la grfica de una de las funciones es curva superior en parte del intervalo einferior en otra, como ocurre en el prximo ejemplo.

Ejemplo 1.2 rea entre dos curvas que se cruzan

Calcular el rea acotada por las grficas de y = x2 e y = 2 x2 en 0 x 2.

Solucin Como siempre, una figura ayuda a adoptar la estrategia adecuada. La figura 5.5muestra que las curvas se cortan en el centro del intervalo, as que ser necesario calculardos integrales, una en el intervalo donde 2 x2 x2 y otra en el intevalo donde x2 2 x2.Parece que se cortan en x = 1, siendo 2 x2 x2 en 0 x 1 y x2 2 x2 en 1 x 2. Parahallar el punto exacto de corte resolvemos x2 = 2 x2, o sea, 2x2 = 2, o x2 = 1, con solucionesx = 1. Pero x = 1 est fuera del intervalo en cuestin, as que el nico punto de intersec-cin que nos interesa est en x = 1. Por (1.1), el rea es

A = 10

[(2 x2) x2] dx + 21

[x2 (2 x2)] dx

= 10

(2 2x2) dx + 21

(2x2 2) dx = 2x 23x3

1

0

+ 23x3 2x

2

1

= 2 (0 0) + 4 2 = + + = 4.

En el ejemplo 1.2, aunque 2 x2 < 0 en una parte del intervalo, el clculo del readepende slo de que 2 x2 x2 o x2 2 x2. Conviene advertir que ese ejemplo estaba pre-parado para que el punto de interseccin fuera fcil de hallar. En el prximo ejemplo, por elcontrario, hay que recurrir a una aproximacin numrica.

Un caso en el que los puntos de interseccin no se conocenEjemplo 1.3 exactamente

Calcular el rea acotada por las grficas de y = cos x e y = x2.

Solucin Antes de nada hemos de determinar los puntos de interseccin de las curvas. Lafigura 5.6 indica que las intersecciones estn cerca de x = 1 y de x = 1. Las interseccionesocurren donde cos x = x2. No sabemos resolver esta ecuacin, de modo que hay que usar algnmtodo de aproximacin. [Por ejemplo, se puede aplicar el mtodo de Newton a los ceros dela ecuacin f(x) = cos x x2 = 0]. Se obtienen as los valores aproximados x = 0,824132, quesern, por tanto, los lmites de integracin.La grfica muestra que, entre esos dos puntos, cos x x2, as que el rea buscada es

A ; 0,8241320,824132

(cos x x2) dx = sen x x30,824132

0,824132

= sen 0,824132 (0,824132)3 sen (0,824132) (0,824132)3; 1,09475.

Ntese que hemos aproximado tanto los lmites de integracin como