05. la elipse

•

••

• •

•

•P

P

V’

V

F’

F

Cd1

d2d3

d4

x

• • • ••

•

VV’

P

CF’ Fc

bb2+c2

y

La elipseAl igual que en las cónicas anteriores, vamos a dar la definición de una elipse sin

coordenadas. En efecto:

Definición: Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dospuntos fijos (focos) permanece constante.

d1 + d2 = Kd3 + d4 = K

F’, F : FocosV’,V : VérticesC : Centro

Fig. 1 Fig. 2

Los puntos de intersección de la recta que pasa por los focos con la elipse se llaman vérticesV’,V. La cuerda que une los vértices se denomina eje mayor i su punto medio se llama centro C.La cuerda perpendicular al eje mayor i que pasa por el centro recibe el nombre de eje menor.

A. Ecuación en coordenadas cartesianas.

Cuando los ejes coordenados son paralelos a los ejes mayor i menor, indudablemente susecuaciones se simplifican:

1° Supongamos que el eje mayor es horizontal (eje menor vertical). Consideremos el centro C =(h, k), los vértices V’ = (h – a, k), V = (h + a, k), los focos F’ = (h – c, k), F = (h + c, k), i P = (x,y) un punto cualquiera sobre la elipse, donde a = distancia (positiva) del centro a un vértice i c =distancia (positiva) del centro a un foco. Observe la figura 2 (note que a>c).

Por definición de elipse: d(P, F’) + d(P, F) = K; esto es:

Kkychxkychx 2222 . En particular, si P coincide con uno de los

vértices, digamos V’, entonces d(V’, F’) + d(V’, F) = K, lo que implica que (a – c) + (a + c) = 2a,es decir, K = 2a, luego al simplificar la ecuación:

a2kychxkychx 2222 se tiene: (a2–c2) (x – h)2 + a2 (y – k)2 = a2 (a2

– c2). Como a2cb2 22 , entonces b2 = a2 – c2, luego la ecuación anterior se convierte en b2 (x –h)2 + a2 (y – k)2 = a2b2, que dividiendo ambos miembros entre a2 b2 resulta:

1

b

ky

a

hx2

2

2

2

MATEMÁTICA BASICA II 2

Lic. José L. Estrada P. UNAJMA

x

22 cb F

cb

C

F'

V'

V

P

y

V'= (-a,0)

y

xc

ba

F= (c,0)F'= (-c,0)

V= (a,0)

Ladorecto

y

x

acb

F'= (0,-c)

F= (c,0)

V= (0,a)

V'= (0,-a)

Lado recto

donde 2a es la longitud del eje mayor i 2b es la longitud del eje menor. Esta ecuación se llamaecuación canónica (ecuación estándar) de la elipse.

2° Suponga que el eje mayor es vertical (eje menor horizontal). Siguiendo un proceso totalmenteanálogo al caso anterior se deduce que la ecuación canónica adopta la forma:

1

a

ky

b

hx2

2

2

2

donde : C = (h, k) es el centro, V’ = (h, k – a), V = (h, k + a) son los vértices, F’= (h, k–c), F = (h,k + c) son los focos. Observe la figura 3

Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

Cuando el centro C = (h, k) coincide con el origen (0,0), entonces las ecuaciones sereducen a:

1b

y

a

x2

2

2

2 i 1

a

y

b

x2

2

2

2

llamadas también ecuaciones canónicas reducidas (ecuaciones normales) de la elipse. Vea lasfiguras 4 i 5

La longitud de cada lado recto viene dada por:a

b2R.L

2

En efecto, de 1b

y

a

x2

2

2

2 se tiene 22 xa

a

by , i como los focos tienen abscisa x = c,

entonces 22 caa

by o lo que es lo mismo

a

by

2 , ya que bca 22 . Por tanto el lado

recto será L.R = 2y; esto esa

b2R.L

2 .

B. Aplicaciones

LA ELIPSE 3No existe duda de los múltiples usos de las formas elípticas:

1. En astronomía, J. Kepler (1571,1630), un astrónomo alemán descubrió que los planetas semueven en órbitas elípticas, con el sol en un foco. Así mismo, la luna i otros satélites giranalrededor de la tierra también en una órbita elíptica con la tierra en uno de los focos. Apropósito la distancia máxima i mínima de la tierra a la luna reciben el nombre de apogeo iperigeo respectivamente.

Fig. 6 Fig. 7

2. En física, los electrones orbitan en forma elíptica alrededor del núcleo del átomo.

3. En la industria, las maquinas utilizan engranajes elípticos i levas elípticas, para transferir unavelocidad de rotación constante a una variable i viceversa. Vea la figura 7

4. En arquitectura o ingeniería, se usan diseños acústicos basados en la propiedad reflectante de laelipse. Cualquier sonido o luz que se emita de un foco se refleja en la elipse i pasa por el otrofoco. Una de las cámaras del capitolio de Washington D.C. tiene una bóveda elíptica y se lellama el “cuarto de los murmullos” porque si se murmura en un foco se puede oír confacilidad desde el otro foco. Véase las figura 8. Este principio se basa en la propiedadreflectante expuesta en la figura 9. donde =

Fig. 8 Fig. 9

5. En los negocios, las elipses se comportan como curvas de oferta i demanda. Algunas curvas detransformación de producto de la empresa se manejan por medio de elipses.

C. Excentricidad.

En el estudio de las cónicas existe una propiedad llamada “excentricidad”, que sedesigna mediante el numero real “e” >0. Las parábolas, elípses e hipérbolas (que veremos más

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 2

0

2

T

Luna

Tierra

Perigeo Apogeo

Engranajes elípticos



adelante ésta última) se pueden definir en términos de e, un punto fijo (foco) i una recta fija que nocontenga al foco (directriz), de la siguiente manera: “el conjunto de puntos de un plano cuyadistancia a un punto fijo sea e veces su distancia a una recta fija”. Es una parábola si e = 1, es unaelipse si e < 1, es una hipérbola si e > 1. Para las tres figuras siguientes se tiene d(P, F) = e d(P, L),donde F es un foco i L la directriz.

Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12

La excentricidad de una elipse se define como la razón e =a

c , donde 22 bac .

Cuando e está cerca de 1, entonces c está cerca de a; es decir, b se hará pequeño, i se tiene unaelipse delgada i muy excéntrica. En cambio cuando e está próximo a 0, c también está próximo a 0i b se aproxima a a, luego la elipse se hará amplia, resultando casi una circunferencia.

D. Ecuación general

Cuando en la ecuación cuadrática en dos variables: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 setiene B = 0, A i C del mismo signo, entonces representa una elipse cuyos ejes mayor i menor sonparalelos a los ejes ordenados o pueden ser un punto o ningún lugar geométrico.

Ejemplo 1:(a) Reducir la ecuación general a la forma canónica i encuentre las coordenadas del centro,

vértices i focos, las longitudes del eje mayor i menor, el lado recto i la excentricidad de: 9x2 +4y2 – 8y – 32=0

(b) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son (0, –5), (0,5) i la suma de distancias a los focosdesde un punto cualquiera de la elipse sea 14.

(c) Encontrar la ecuación de los puntos del plano, tales que disten del punto (2,0) la mitad de sudistancia a la recta x = 8. Identificar la figura geométrica.

Solución :

(a) Completando cuadrados: 9x2 + 4 (y2–2y+1) = 32 + 4 ó 9x2 + 4(y –1)2 = 36 ⇒

19

1y

4

0x 22

. De aquí que a = 3, b = 2, c = 5ba 22 . Centro de la elipse: C =

(0,1); vértices : V’ = (h, k – a) = (0, –2), V = (h, k + a) = (0,4); focos: F’ = (h, k – c) = 51,0 , 51,0ck,hF ; longitud del eje mayor: 2a = 6; longitud del eje menor

2b = 4; lado recto:3

8

a

b2 2

; excentricidad :3

5

a

ce . Figura 13

F

L

e = 1

P

P

F

Le < 1 e > 1

L

P

F

LA ELIPSE 5

Fig. 13 Fig. 14

(b) Por condición del problema d(P,F) + d(P,F’) = 14 ⇒ 145y0x5y0x 2222 . Podemos simplificar esta ecuación i se tiene el resultado.

Optamos por otro método: Como la constante 14 = 2a, entonces a = 7, luego b =

242549ca 22 . Por tanto 1a

y

b

x2

2

2

2 0 ⇒ 1

49

y

24

x 22 . Figura 14

(c) En general, la condición d(P, F) = ed(P, L) aplicada primero con P = V i después con P =

V’ produce respectivamente:

)ak(eca

)ak(ecaFigura 15.

Fig. 15 Fig. 16

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos como solución c = ae,e

ak . Luego la ecuación

de una directriz ese

ax . En particular, referente a nuestro problema de d(P, F) = ed(P, L)

se tiene: 2

22

e

axeyaex

, simplificando

1)e1(a

y

a

x22

2

2

2

, donde 1–e2 > 0 ie

a8 , entonces a = 4. Reemplazando estos valores se

obtiene 112

y

16

x 22 , Figura 16.

P = (x,y)(0,5)

(0,-5)

x

y

x

(0,4)

(0,2)

(0,1)

F’

F

y

Directriz: L Directriz: L

F’=(-c,0)

F = (c,0)V’ = (-a,0)

V = (a,0)

x = k

F = (ae,0)

P = (x,y)

e

ax

x x

y y



Ejemplo 2. El cometa Halley tiene una órbita elíptica con diámetro mayor i menorrespectivamente de 36.18 UA i 9.12 UA (1 UA es la unidad astronómica, la distancia media de latierra al sol) ¿Cuál es su máximo acercamiento al Sol? (suponiendo al sol en uno de sus focos).

Solución : Ya que 2a = 36.18, entonces a = 18.09.Además 2b = 9.12, entonces b = 4.56. La ecuación

1b

y

a

x2

2

2

2 ⇒ 1

79.20

y

25.327

x 22 , además

51.17bac 22 , luego el máximo acercamientose produce cuando el cometa se sitúa en el vértice V,i determinamos mediante a – c = 0.58 UA. Figura 17

Ejemplo 3. La ecuación de una familia de elipses es kx2 + 4y2 + 6x – 8y – 5 = 0. Hallar la ecuaciónde un elemento de la familia de manera que tenga excentricidad ½.

Solución : Transformando a la forma canónica:k

945)1y2y(4)

k

9x

k

6x(k 2

22 ⇒

k

)1k(9)1y(4)

k

3x(k 22

. Dividiendo entrek

)1k(9 : 1

4k

1)9(k1)-(y

k

)1k(9

)k

3x( 2

2

2

, que es de

la forma 1b

1)-(y

a

)k

3x(

2

2

2

2

, donde a2 =2k

)1k(9 , b2 =

k4

)1k(9 . Pero e =

a

c; esto es,

2

1

a

c ,

de donde4

1

a

c2

2

, a2 = 4c2. Pero c2 = a2 – b2 , luego a2 = 4(a2 – b2); es decir, 3a2 = 4b2. Por tanto

k4

)1k(94

k

)1k(93

2implica que

k

1

k

32 , k2 – 3k = 0 ⇒ k = 0 o k = 3. No puede ser k =

0, luego k = 3. En consecuencia, la elipse es:

3x2 + 4y2 + 6x – 8y – 5 = 0.

E J E R C I C I O S1. Hallar el centro, los focos, los vértices i la excentricidad de:

(a) 1

25

5y

9

1x 22

(b) 9x2 + 4y2 + 36x – 24y + 36 = 0

(c) 16x2 + 25y2 – 12x + 50y + 31 = 0 (d) 12x2 + 20y2 – 12x + 40y – 37 = 0

2. Hallar una ecuación que describa cada elipse:(a) Centro (0,0), foco (2,0), vértice (3,0). (b)Vértices (5,0), (–5,0); excentricidad 3/5.(c) Vértices (0,2), (4,2); eje menor con longitud 2.(d) Vértices (3,1), (3,9); eje menor con longitud 6.

Sol

Cometa

V

Fig. 17

LA ELIPSE 7

3. (Astronomía).(a) La Luna gira alrededor de la Tierra según una órbita elíptica con la Tierra en uno de los

focos. Si las longitudes de los ejes mayor i menor son 774000 km. i 773000 km.respectivamente. ¿Cuáles son el apogeo i el perigeo entre los centros de la Tierra i laLuna?.

(b) La máxima distancia de la Tierra al Sol es de 94.56 millones de millas i su distanciamínima es de 91.45 millones de millas. ¿Cuál es la excentricidad de la órbita i cuáles sonlos diámetros mayor i menor?.

4. El satélite ruso “Sputnik I” fue puesto en órbita en octubre de 1957, de forma que susdistancias máxima i mínima de la superficie de la Tierra eran 583 millas i 132 millasrespectivamente. ¿Cuál es la excentricidad de esta órbita?.

5. El satélite norteamericano “Explorer 18” se lanzó en noviembre de 1963. Las distanciasmáxima i mínima de su órbita a la superficie de la Tierra eran 122000 millas i 119 millasrespectivamente.(a) Hallar la excentricidad de la órbita.(b) Hallar la ecuación que describa la órbita.

6. Un segmento de 9 pulgadas de longitud se mueve de forma que uno de los extremos estásiempre sobre el eje y, mientras que el otro siempre está sobre el eje x. Hallar la ecuación de lacurva que describe el punto del segmento que está a una distancia de 6 pulgadas del extremoque se mueve sobre el eje y.

7. La órbita del cometa Kahoutek es una elipse con excentricidad e = 0.999925 i con el Sol comouno de sus focos. Si su distancia mínima al Sol es 0.13 UA. ¿Cuál es la máxima distancia alSol?.

8. (Ingeniería) El arco semielíptico del puente de concreto que se muestra en el dibujo siguiente,figura 18, tiene un claro de 12 pies sobre el agua i se abre una distancia de 40 pies. Encontrar laecuación de la elipse con respecto a un sistema de coordenadas con el centro de la elipse en elorigen i el eje mayor sobre el eje x. El eje y apunta hacia arriba i el eje x hacia la derecha. ¿Quéaltura libra el puente a 5 pies de la orilla del río?

Fig. 18 Fig. 19

9. (Diseño). (a) Se va a cortar una cubierta, de mesa elíptica de una hoja de madera terciada(triplay) de 4x8 pies (ver figura 19). Para dibujar la elipse sobre la hoja de madera, ¿a quédistancia de los bordes deben colocarse los focos?. ¿De qué longitud será el pedazo de cuerda

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

F’ F

Cordón



que se sujetará a los focos para producir la elipse?. Halle las respuestas con dos cifrasdecimales.(b) Una bola colocada en un foco de una mesa de billar elíptica es disparada con tan tremendafuerza que continúa rebotando sobre las bandas indefinidamente. ¿Cuál será su trayectoriafinal?

10. (a) Encontrar la ecuación del conjunto de puntos del plano cuya distancia de (4,0) es 2/3de su distancia a la recta x = 9. Identificar la figura geométrica.

(b) Encontrar la ecuación de los puntos del plano, tales que disten del punto (0,9) lastres cuartas partes de su distancia a la recta y = 16. Identificar la figura geométrica.

11. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los cuatro puntos: (1,3), (–1,4), (0, 3– 3 /2), (–3,3)i tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados.

12. La ecuación de una familia de elipses es 4x2 + 9y2 + ax + by – 11 = 0. Hallar la ecuación delelemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) i (5,1).

13. El punto medio de una cuerda de la elipse x2 + 4y2 – 6x – 8y – 3 = 0 es el punto (5,2). Hallar laecuación de la cuerda.

14. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (3, –1) a la elipse 2x2 + 3y2 + x – y – 5= 0.

15. Dada la elipse x2 + 3y2 + 3x – 4y – 3 = 0, hallar los valores de k para los cuales las rectas de lafamilia 5x + 2y + k = 0:(a) Cortan a la elipse en dos puntos diferentes.(b) Son tangentes a la elipse(c) No cortan a la elipse.

16. Por el punto (2,7) se trazan tangentes a la elipse 2x2 + y2 + 2x – 3y – 2 = 0. Hallar lascoordenadas de los puntos de contacto.

17. Los focos de una elipse son: (2,2), (8,2). La ecuación de una tangente a la misma es x + 2y – 21= 0. Hallar la ecuación de la elipse.

18. Hallar la ecuación de la elipse que es concéntrica con la circunferencia x2 + y2 – 2x – 4y – 4 =0, sabiendo que su eje mayor es paralelo al eje de ordenadas i que es dos veces la longitud deleje menor, siendo este último igual al diámetro de la circunferencia.

19. Si los vértices de una elipse son (–3, –1), (5, –1) i su excentricidad e = 3/4, hallar su ecuaciónusando la definición.

20. Una compañía produce x i y cantidades de dos clases diferentes de un artículo utilizando elmismo proceso de producción. La curva de transformación de producto para la materia primautilizada está dada por 5 x2 + 2y2 = 8.(a) ¿Cuáles son las mayores cantidades x i y que se pueden producir?.(b) ¿Qué cantidades x i y se deben producir para que y = (3/4)x?.

05. la elipse

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