05 integral triple

Matematicas II

Grado de Qumicas

Departamento de Matematica Aplicada

Dpto. de Matematica Aplicada.Facultad de Matematicas.

Universidad de Santiago de Compostela.

Grado de Qumicas Matematicas II

Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple.

[Ref.: Steiner, pp. 261-273]

Sea f (x , y , z) una funcion definida en D R3

Vamos a definir tambien la integral triple de f sobre D como un lmite de sumas,as como se hizo para la integral doble.

Se divide el solido D en m paraleleppedos Pk de volumen Vk = xk yk zk .

En cada paraleleppedo tomamos un punto (x?k , y?k , z

?k ) y evaluamos la funcion:

f (x?k , y?k , z

?k ).



Definicion

Se define la integral triple de f sobre el recinto D como el siguientelmite, si existe,

D

f dV = lmm

mk=1

f (x?k , y?k , z

?k ) Vk

Se denota por:

D

f dV ,

D

f (x , y , z) dV ,

D

f (x , y , z) dx dy dz,

D

f (x , y , z) dx dy dz

dV = dx dy dz es el elemento de volumen en coordenadas cartesianas.

Propiedad

Si f (x , y , z) es continua en el recinto D (cerrado y acotado), entonces la integral triplede f sobre D existe.


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. d) Calculo de volumenes

Propiedades

Si f (x , y , z) = 1 en el recinto D, entoncesD

1 dx dy dz = Volumen(D).

Si f (x , y , z) representa la densidad de masa del solido D, entonces la masa totales

Masa(D) =

D

f (x , y , z) dx dy dz.

Unidades de la integral.

Dada una funcion f (con unidades [f ]) dependiente de las variables x (conunidades [x]), y (con unidades [y ]), y z (con unidades [z] ), por definicion deintegral triple, se tiene que las unidades de la integral son

D

f (x , y , z) dx dy dz

= [f ] [x] [y ] [z]



Teorema de Fubini

Si f es una funcion continua en el paraleleppedoD = [a, b] [c , d ] [u, v ], entonces

D

f (x , y , z) dV =

vu

dc

ba

f (x , y , z) dx dy dz =

=

dc

ba

vu

f (x , y , z) dz dx dy = . . .

Hay 6 integrales iteradas cuyo resultado coincide.

El valor de la integral no depende del orden en el cual se haga la integracion si elintegrando es una funcion continua y la region de integracion es un ortoedro decaras paralelas a los planos coordenados.

La integracion ha de hacerse de dentro hacia afuera, ademas hay que tenercuidado de asociar a cada pareja de lmites de integracion la variable deintegracion correcta.

Los metodos de integracion para integrales en una variable se aplicandirectamente en el calculo de integrales iteradas.



Ejemplo

Calcular la integral de f (x , y , z) = 1 + xyz en el ortoedroD = [0, a] [0, b] [0, c]Notese que en este caso solo podemos esbozar un dibujo de la region de integracion yNO del integrando puesto que, al ser una funcion de tres variables, su grafica es unsubconjunto de R4.

I =

D

(1+xyz) dV =

a0

b0

c0

(1 + xyz) dz dy dx =

a0

b0

[z + xy

z2

2

]z=cz=0

dy dx =

a0

b0

(c + xyc2

2) dy dx =

a0

[cy + x

y2

2

c2

2

]y=by=0

dx =

a0

(cb + xb2

2

c2

2) dx =

=

[c b x +

x2

2

b2

2

c2

2

]x=ax=0

= cba +a2

2

b2

2

c2

2= abc +

a2b2c2

8


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (d) Aplicaciones

Ejemplo

El cubo D = [1, 2] [1, 2] [1, 2] tiene densidad de masa(x , y , z) = (1 + x)ez y, expresada en g/cm3. Hallar la masa de dichocubo mediante una integral triple, indicando sus unidades.

Masa =

D

(x , y , z) dV =

21

21

21

((1 + x)ez y) dx dy dz =

=

21

21

ez y

[x +

x2

2

]21

dy dx =5

2

21

21

ez y dy dz =5

2

21

ez[

y2

2

]21

dz =

=5

2

3

2

21

ez dz =15

4[ez ]21 =

15

4(e2 e) g


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (d) Aplicaciones

Ejemplo

El cubo definido por

0 x 1, 0 y 1, 0 z 1,

tiene densidad de masa (x , y , z) = x2 + y 2 + z2, expresada en g/cm3.Hallar la masa del cubo mediante una integral triple, indicando susunidades.

Masa =

D

(x , y , z) dV =

10

10

10

(x2 + y2 + z2) dx dy dz =

=

10

10

[x3

3+ y2 x + z2 x

]10

dy dx =

10

10

(1

3+ y2 + z2) dy dz =

10

[(

1

3y +

y3

3+ z2 y)

]10

dz =

10

(1

3+

1

3+ z2) dz =

[2

3z +

z3

3

]10

= 1 g


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.Repaso de las coordenadas esfericas

[Ref.: Steiner, pag. 258]

1 r es la coordenada radial. Susvalores posibles van desde 0 a +.

2 es la colatitud. Sus valoresposibles van desde 0 a pi.

3 es la longitud. Sus valoresposibles van desde 0 a 2pi.

Las coordenadas esfericas y lascartesianas se relacionan mediante lasecuaciones:

1 x = r sen cos

2 y = r sen sen

3 z = r cos


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones

Cambio de variable a coordenadas esfericas en integrales triples.

Teorema Supongamos que a cada punto (x , y , z) de una region D R3le corresponde un unico punto (r , , ) de una region D en el sistema decoordenadas esfericas; la transformacion T : D D que lleva unconjunto en otro es regular y si f : D R es continua, entonces

D

f (x , y , z) dV =

D

f (r sen cos, r sen sen, r cos ) r 2 sen dr d d.

dr

r sen d

r dEn efecto, el elemento diferencial devolumen en coordenadas esfericas es

dV = r sen d r d dr


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.

Ejemplo

Calcular el volumen de la esfera D de centro (0, 0, 0) y radio a.

En este ejercicio la region de integracion tiene una expresion mas simple encoordenadas esfericas: en efecto, la esfera de centro (0, 0, 0) y radio a, en coordenadasesfericas, se parametriza por

0 r a, 0 pi, 0 2pi



Volumen =

D

1 dV =

2pi0

a0

pi0

r2 sen d dr d =

2pi0

a0

r2 [-cos ]pi0 dr d =

= 2

2pi0

a0

r2 dr d = 2

2pi0

[r3

3

]a0

d =2a3

3

2pi0

d =4

3pia3.



Ejemplo

Evaluar la integral de la funcion f (r , , ) = 1 + r 2 cos2 sen2 en laesfera D de centro el origen y radio a.

Procedemos a calcular la integral en el dominio de integracion (expresado en esfericas)

0 r a, 0 pi, 0 2pi.

D

(1 + r2 cos2 sen2) dV =

2pi0

a0

pi0

(1 + r2 cos2 sen2) r2 sen d dr d =

=

2pi0

a0

r2[cos r2 sen2 cos

3

3

]pi0

dr d =

2pi0

a0

r2(2 +2

3r2 sen2) dr d =

=

2pi0

[2

r3

3+

2

3sen2

r5

5

]a0

d =

2pi0

(2a3

3+

2

3

a5

5sen2 ) d =

4

3pia3 +

2 a5

15pi.



Aplicacion

Cuando la region de integracion es todo el espacio tridimensional, laintegral triple es, en esfericas,

R3

f dV =

2pi0

pi0

0

f (r , , ) r 2 sen dr d d

Notese que da lugar a una integral impropia. Dichas integrales son utilizadas, porejemplo, en qumica cuantica:

Ejemplo

Calcular la integral en R3 de la densidad de probabilidad del orbital 1s del atomo dehidrogeno. La funcion de onda de este orbital es

1s =1pia30

er/a0 (a0 es el radio de Bohr).

Solucion: Tenemos que calcularR3

21s dV =

2pi0

pi0

0

1

pia30e2r/a0 r2 sen dr d d



R3

21s dV =

2pi0

pi0

0

1

pia30e2r/a0 r2 sen dr d d =

2pi0

pi0

1

pia30

2

(2/a0)3sen d d =

2pi0

1

pia30

a304

2 d =4pi

pia30

a304

= 1

La probabilidad de hallar el electron en alguna parte del espacio es igual a la unidad.En los calculos, se uso la igualdad

0ear rn dr =

n!

an+1.



Aplicacion

En mecanica cuantica, si la densidad de probabilidad es el cuadrado del modulo de unafuncion de onda, el valor promedio de una funcion f viene dado por

f =

R3

f ||2 dV ,

se le suele llamar valor esperado de f en el estado .

Ejemplo

Hallar la distancia promedio del electron al nucleo para el orbital 1s del atomo dehidrogeno.

Solucion: En este caso, la distancia del un punto P al origen es f (r , , ) = ry su valor esperado es r1s =

R3

r |1s |2 dV .

r1s =

2pi0

pi0

0

1

pia30e2r/a0 r3 sen dr d d =

=1

pia30

2pi0

pi0

6

(2/a0)4sen d d =

1

pia30

3 a408

2

2pi0

d =4pi

pia30

3 a408

=3

2a0



Ejemplo

Hallar la integral de f (r , , ) = r3 er en todo el espacio.

Solucion:

I =

R3

r3 er dV = 2pi

0

pi0

0

r3 er r2 sen dr d d =

=

2pi0

pi0

5! sen d d = 5! 2

2pi0

d = 240 2pi = 480pi



Ejemplo

El orbital 2pz del atomo de hidrogeno es

2pz = C r er/2a0 cos ,

donde C es una constante. Hallar el valor de C que normaliza dicho orbital.

Solucion: 22pz es la densidad de probabilidad electronica del orbital 2pz , por tanto, suintegral en todo el espacio es igual a 1:

1 =

R322pz dV =

R3

C 2 r2 er/a0 cos2 dV =

=

2pi0

pi0

0

C 2 r2 er/a0 cos2 r2 sen dr d d =C 2 4!

(1/a0)5

2pi0

pi0

cos2 sen d d =

= C 2 4! a50

2pi0

[ cos

3

3

]pi0

d = C 2 4! a502

3

2pi0

d = C 2 4! a502

32pi = C 2 32pi a50

Por tanto, despejando C obtenemos

C =1

4

2pi a50

.


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.Repaso coordenadas cilndricas

[Ref.: Steiner, pag. 270]

1 : Sus valores posibles van desde 0a +.

2 : Sus valores posibles van desde 0a 2pi.

3 z : Sus valores posibles van desde a +.

Las coordenadas cilndricas y lascartesianas se relacionan mediante lasecuaciones:

1 x = cos

2 y = sen

3 z = z


Tema II. Calculo integral de funciones de varias variables.b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones

Cambio de variable a coordenadas cilndricas en integrales triples.

Teorema Supongamos que a cada punto (x , y , z) de una region D R3le corresponde un unico punto (, , z) de una region D en el sistemade coordenadas cilndricas; la transformacion T : D D que lleva unconjunto en otro es regular y si f : D R es continua, entonces

D

f (x , y , z) dV =

D

f ( cos, sen, z) d d dz .

Ejemplo

Calcular el volumen de la region cilndrica C de radio a entre z = 0 yz = b.

Solucion: En este ejercicio la region de integracion tiene una expresion mas simple encoordenadas cilndricas: en efecto, la region cilndrica C de radio a entre z = 0 yz = b, en coordenadas cilndricas, se define por

0 a, 0 2pi, 0 z b



Volumen =

C

1 dV =

2pi0

b0

a0 d dz d =

2pi0

b0

[2

2

]a0

dz d =

=a2

2

2pi0

b0

dz d =a2

2

2pi0

[z]b0 d =a2 b

2

2pi0

d = a2 bpi.



Ejemplo

Integrar la funcion f (x , y , z) = y 2 z3 en la region cilndrica C de radio aentre z = 0 y z = 1.

Solucion: La region cilndrica C de radio a entre z = 0 y z = 1, en coordenadascilndricas, se define por

0 a, 0 2pi, 0 z 1

C

y2 z3 dV =

2pi0

10

a02sen2 z3 d dz d =

2pi0

10

[sen2 z3

4

4

]a0

dz d =

=a4

4

2pi0

10

sen2 z3 dz d =a4

4

2pi0

[sen2

z4

4

]10

d =a4

16

2pi0

sen2 d =a4 pi

16


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