89

UNIDADV.ANLISISDETRFICO. Disearunaredde telecomunicacionesqueseacapazdeatender instantneamente todas laspeticionesrecibidasnoeseconmicamenteconveniente,yaquesetendraunaaltainversinenequipoque seutilizara en su totalidad slo si simultneamente todos losusuarios solicitanservicio, lo cual tiene una probabilidad muy de baja de ocurrir. Lo usual es instalar unacantidaddeequipotalquesegaranticeciertacalidaddeservicioalosusuariosdelared.Poresta razn, la red telefnica est compuestadeuna variedadde equipo comn, tales comotroncales,puntosdeconmutacin,receptoresDTMF,etc.

La cantidad exacta de equipo requerida slo se puede calcular en trmino depromedios, debido a la naturaleza aleatoria tanto de los instantes en que se solicitan losservicios,comodeladuracindelosmismos.Llevaracabolosclculosmencionadorequieredelusodeconceptosdeprobabilidadyprocesosestocsticos,ascomodelestudiodeunreadelasmatemticasconocidacomoteoradeteletrficooteoradecolas. En lo que resta de estedocumento se ledenomina recurso o servidor almedio fsicocapazdeatenderunsoloservicio.Porejemplo,enlaredtelefnica,unserviciopuedeserunallamada telefnicayunrecursopuedeserunpuntodeconmutacinouncanaldevoz (unaranuraenTDM,unaportadoraenFDM,etc.).

Se denomina sistema de colas a un conjunto de servidores de uso compartido. Porejemplo,unenlaceE1usadoparatransportarcanalesBsepuedemodelarcomounsistemadecolascon30servidores. Por otra parte, es importantemencionar algunos parmetros de calidad de servicioimportantesenlasredesdetelecomunicaciones:

Probabilidaddeaccedera la red.Generalmente loquesecalculadirectamentenoesestaprobabilidad,sinosucomplemento,laprobabilidaddebloqueo.

TiempodeAccesoalaRed. ProbabilidaddeTerminacinForzada.Representalaprobabilidaddequeunallamada

o sesinde comunicaciones finalice antesque elusuario lodecida.Esunparmetroimportante sobre todo en comunicaciones mviles (por ejemplo telefona celular)debidoalainestabilidaddelcanal.

Tasapromedio.Latransmisindevozrequieredeunatasaconstantealolargodetodalaconversacin,sinembargo, losserviciosdedatossonms flexiblesenestesentido,porloquelatasapuedevariaralolargodeunasesin,peroesconvenientegarantizaralusuarioalgnmnimodetasapromedio.

Retardodepaquetes.Aunqueestmuy relacionado la tasapromedio, lagarantadeestaltimanoimplicaunservicioadecuado.Porejemplo,enunacomunicacindevozsobreprotocolodeInternet(VoIP),unatasapromedionogarantizalacontinuidaddelamisma,ademsserequiereunretardodepaquetemnimo.

90

El tipo de problemas que se discutirn en esta unidad consisten en determinar lacantidadde recursosdelsistema, lacantidadde trficoquesepuedeofrecero lacalidaddeservicio.Generalmentesecalculaunadeestasvariables,mientras lasotrasdossemantienenfijas.Por ejemplo, suponga que se tieneun enlacede 60 canalesde voz entredos centrales(cantidadderecursos)yserequierequelaprobabilidaddebloqueoquepercibenlosusuariosalconectarseconlaotracentralnoexcedael2%(objetivodecalidaddeservicio),entoncessepuededeterminarcuntosusuariossedebensuscribiralacentral(cantidaddetrfico).

5.1CaracterizacindelTrfico.En las redes de telecomunicaciones se le denomina trfico al acumulado de peticiones deserviciodetodoslosusuariosatendidosporlaredoporunapartedeella.Paracaracterizareltrficosedebendefinirpreviamentelossiguientesconceptos:

VolumendeTrficoCursado.Sumade laduracinde todos los servicios atendidosporelsistema.

Intensidad de Trfico Cursado u Ocupacin promedio de recursos (a). Nmero

promediodeserviciosatendidossimultneamente.Sepuedeobtenermediantedividirelvolumendetrficocursadoentreeltiempoquetomcursardichovolumen.Tambinsepuedeinterpretarcomoelnmeropromediodeservidoresocupados.

Intensidad de Trfico Ofrecido (a). Nmero promedio de servicios atendidos

simultneamente,sitodaslaspeticionesfueranatendidas.

Paracomprenderestosconceptos,en lafigura5.1se ilustraunejemplodeprocesodearribodepeticionesdeservicioydeatencindedichaspeticiones.Enesteejemplosesuponequeelsistemaestconformadoportresservidoresyquelaspeticionesquearribancuandoelsistemaestsaturadosebloquean1.

Figura 5.1 Ejemplo de proceso de peticiones de servicio.

1 En las secciones 5.3 (b), 5.4 y 5.5 se ver que el bloqueo no es la nica poltica de atencin para las peticiones que halla al sistema saturado.

TTiieemmppoo

OOccuuppaacciinn ddee rreeccuurrssooss..

DDuurraacciinn ddeell sseerrvviicciioo 22.. DDuurraacciinn ddeell sseerrvviicciioo 11..

11 22 33

ii

ii ii--ssiimmaa ppeettiicciinn ddee sseerrvviicciioo..

FFiinn ddeell sseerrvviicciioo ddee llaa ii--ssiimmaa ppeettiicciinn..

TTiieemmppoo

11 22 55 33 66 77 44 44 66 11 22 33

PPeettiicciinn ddee sseerrvviicciioo bbllooqquueeaaddaa..

OOccuuppaacciinn pprroommeeddiioo..

91

Tomandoencuenta ladefinicindevolumendetrficocursado,sededucequedichoparmetroestrepresentadoenlafiguraporelreabajolacurvaocupacinderecursos,yaquedicharearepresentalasumadelosintervalosdetiempoquecadausuarioutilizalosrecursos.Esteparmetronoesresultatilparamedirlaeficienciadeunsistema,puescuandoeltiempoesmuygrandetiendeainfinito.

Enlafigura,lalneapunteadaeselpromediodelaocupacin,porloquerepresentalaintensidaddetrficocursado(a).Desdeluego,dichopromediosepuedeobtenersumandoelreade laocupacinydividindola entre el tiempo.Aunque a es adimensional se le suelemedir enErlangs.En el ejemplo, a esunpocomenor a2Erlangs.Desdeunpuntodevistaterico se pude afirmar que la mxima intensidad que puede cursar un sistema con nservidoresesdenErlangs,sinembargo,engeneralsermenor(exceptobajocondicionesmuyparticularesquesedescribirnposteriormente).

Enlafigura5.1tambinseilustraunapeticindeservicioquenoesatendidadebidoa

saturacindel sistema.Sisetuvieraunacantidadinfinitadeservidoresosiseatendieraalapeticin hasta que algn servidor se libere, no habra prdida de trfico y por lo tanto laocupacin promedio se incrementara. A este valor mximo de ocupacin promedio se leconocecomointensidaddetrficoofrecido(a)ydependedeladuracindelosserviciosydelafrecuenciaconqueestosarriban,masnodelascaractersticasdelsistema,comosediscuteenelsiguienteprrafo.

Supongaunsistemaqueescapazdeatender todas laspeticionesdeservicioyalque

arribanpeticiones/segundo.Esto implicaqueenun intervaloT segundos se recibiranTpeticionesde servicio.Si laduracinpromediodeestos servicioses segundos,entonceselvolumendetrficoofrecido(yenestecasotambincursado)esTylaintensidaddetrficoofrecidosereducea:

a= (5.1)

Paraun sistema que atiende todas laspeticiones el trfico cursado y el ofrecido soniguales, sin embargo, cuando se analizan sistemas queno cumplan esta caractersticas, a sevuelveunvalorhipottico(laintensidaddetrficocursado,sitodaslaspeticionesseatendieran),sinembargo,seguirdescribiendolaintensidaddeltrficoqueseofrece. Es importante mencionar que el desempeo de un sistema (en trminos de algnparmetrodecalidadeservicio)novaadependerdelvalordeodeporssolos,sinodelproductodeellos.Porejemplo,unsistemasepuedesaturartantoporunaaltatasadearriboscomoporunagranduracindeltiempodeservicio. Hastaestepuntoeltrficoslosehacaracterizadoentrminodedosvalorespromedio:latasadearribos()yladuracinpromediodelosservicios().Estosparmetrosrepresentaninformacinparcialdedosvariablesaleatorias,eltiempoentrearribosyeltiempodeservicio,cuyasdistribucionesdeprobabilidaddeterminanlasherramientasmatemticasnecesariasparaanalizarunsistemadecolas.

92

5.2DistribucionesdeTiempodeArribos.Supongaquesemideladuracindeloslapsosquetranscurrendesdeelinstanteenquearribaunapeticinhastaqueocurre la siguiente.Evidentemente, estamedicin esunavariable esaleatoriayseleconocecomoTiempoEntreArribos(TEA).

EnmuchosanlisisdetrficoseconsideraquelaFDPdelTEAesexponencialnegativaconparmetro:

yueyf yy (5.2)

Donde es la tasade arribos.Como sepuededemostrar, elvalorpromediode estadistribucin(queenestecasorepresentaeltiempoentrearribospromedio)es1/.Enlafigura5.2seofreceunejemploparamostrarqueestaltimainterpretacinescongruente.Dehecho,esta relacin entre tasa de arribos y el tiempo entre arribos promedio es siempre la misma sin importar la distribucin del TEA.

Figura 5.2 Relacin entre la tasa de arribos y el TEA promedio.

Elampliousodeladistribucinexponencialsedebeprincipalmenteadosimportantes

caractersticas: Simplificasignificativamenteelanlisisdesistemasdecolas. DescribeelcomportamientodelTEA,silaspeticionesdeservicioseefectandemanera

independienteyenmuchasaplicacionesestoefectivamenteocurre.

Laprimeracaractersticaenunciadanosedemostrar,peroenlasseccionessiguientesseenfatizar la importanciadeconsiderarla.LasegundasedemuestraenelApndiceCysepuederesumirdelasiguienteforma:

Si laspeticionesdeservicioserealizan independientemente,entonces los instantesen

queocurrenquedandistribuidosuniformementealolargodeltiempo(comoseilustraenlafigura5.3).

Porotraparte,sisetienenpuntosdistribuidosuniformementea lo largodeuna lnea(enestecasodichalneaeseltiempo),entonceslaseparacinentreellos(enestecasoelTEA)esunavariablealeatoriacondistribucinexponencialnegativa[5].

En telefona, tanto convencional como celular, generalmente esta es la distribucin

utilizada,puescadausuariointentaestablecerllamadasenformaindependientedelosdems.Desdeluego,bajosituacionesextraordinarias(porejemplotraslaocurrenciadeunacatstrofenatural) la independencia entre peticiones de servicio desaparece y es posible que ladistribucindelTEAdejedeserexponencialnegativa.

TTiieemmppoo

11 22 55 33 NN--11 NN 44

TT

-- EEnn pprroommeeddiioo ooccuurrrreenn NN aarrrriibbooss ppoorr ccaaddaa TT sseegguunnddooss ((==NN//TT))..

-- LLaa ssuummaa ddee ttooddooss llooss TTEEAA eess TT yy

ddiivviiddiieennddoo eennttrree NN ssee oobbttiieennee eell TTEEAA pprroommeeddiioo ((TT//NN==11//))..

93

Figura 5.3 Ejemplo de TEA con distribucin exponencial negativa. Un ejemplo de proceso de arribos que no cumple la distribucin exponencial es la

transmisindepaquetes en redesdedatos.En este caso a cadapaquete se le consideraunarribo, sin embargo, estos no llegan a un sistema en forma independiente. Por ejemplo ladescargadeunapginadeInternet implica la transmisindeunflujodepaquetes,perounavezquesehadescargadosesuspendelatransmisindeelloshastaquesesolicitaunanuevapgina. En la figura 5.3 se ilustra este proceso. Las referencias [6] a [8] son ejemplos deinnumerablespropuestasparamodelarestecomplejoproceso.

Figura 5.4 Ejemplo de TEA con distribucin diferente a la exponencial negativa.

Enlareferencia[10]sedescribeunproblemaajenoalastelecomunicacionesquepuedeserresueltocon lateoradecolas:semodelan lascaractersticasdeltrficovehicular.Enestetrabajo semuestraque la existenciade semforosevitaque losarribosdeautomvilesaunpunto sean independientes unos de otros, por lo que la distribucin del TEA difiere de laexponencialnegativa.

5.3DistribucionesdeTiempodeDuracindeServicios.

Comosediscutienlaseccin5.1,elTiempodeDuracindeServicios(TDS)esunavariablealeatoriaindispensableparaelanlisisdeunsistemadecolas.Desdeluego,ladistribucindeestavariabledependedelanaturalezadelservicio.

Mediante laobservacinde llamadastelefnicas,sehaencontradoque laduracindeestas tiene una distribucin de probabilidades que se puede aproximar con la exponencialnegativa. Puesto que se ha denotado con al tiempo de servicio promedio, entonces ladistribucindeprobabilidadesdeladuracindellamadastelefnicasquedadadapor:

yueyf yy 11 (5.3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo entre arribos.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tiempo entre paquetes Tiempo entre flujos.

94

Evidentemente, ladistribucinpreviamentedescritanosepuedeutilizarencualquieraplicacin. En algunos procesos efectuados en centrales se puede suponer que por cadallamadaeltiempodeservicionoesunavariablealeatoria,sinounaconstante.

En lo que se refiere a la transmisin de paquetesdedatos, el tiempo de servicio se

puede definir como el tiempo que el paquete ocupa el medio para ser transferido. Dichotiempopuededependerde la longituddelpaquete, elque a suvez est relacionado con elprotocolode comunicacionesalquepertenecen lospaquetes.Porejemplo, en redesATM setransmitenpaquetesdelongitudconstante,porloqueeltiempodeservicio,aligualqueenelejemplodelprrafoanterior,noesunavariablealeatoria,sinounaconstante.ElprotocolodeInternet(IP),porsuparte,permitepaquetesdelongitudvariableymedicionesdelosmismoshan demostrada que la distribucin de su longitud puede aproximarse con la frmula deParetotruncada[10],queseexpresamediante:

mymkmy

mykyk

yf y;

;)(

1

(5.4)

Dondey k sonparmetrospropiosde ladistribucin,m es lamxima longitudde

paquetepermitidaenelprotocoloy(x)eslafuncindeltadeDirac.Enlaecuacin5.4,lavariablealeatoriaestdadaenbits,noentiempo,perotomando

en cuenta la tasa de transmisin por bit, dicha variable puede ser escalada para obtenerefectivamenteladistribucindelTDS.Sinembargo,estesimpleescalamientodedistribucionesimplicaque la tasade transmisinesconstante, locualno siempreocurre,especialmenteentransmisionesinalmbricas,dondelastasasdifierendeusuarioausuarioeinclusoalolargodeunasesin,debidoavariacionesenlacalidaddelcanal.

Enlastransmisionesdepaquetesinclusosepuedeconsiderarqueeltiempodeservicio

incluyelasretransmisionesdebidoabitserrneosyposiblestiemposdeesperaentreellas,loqueredundaendistribucionesdelTDSbastantesofisticadas.Lareferencia[10]esunejemplode este tipo de modelos, en ella se propone la distribucin del TDS para paquetes IPtransmitidosenunsistemacelularCDMA.

5.3(a)ProcesosdeNacimientoyMuerte. Paraestablecerfrmulasquerelacionenalacantidadderecursosyeltrficoofrecidoconlosparmetros de calidad de servicio, se requiere como paso intermedio determinar laprobabilidaddequeel sistema seencuentreenelestado j.Amenosque seespecifiqueotracosa,enestedocumentoseconsideraqueelsistemaestenestadoj,silasumadelosserviciosqueestnsiendoatendidosmslosserviciosenesperasonj.

Unatcnicaquesimplificasignificativamenteelclculodelasprobabilidadesdeestadoes el uso de cadenas deMarkov, sin embargo, la solucin mediante este mtodo implica elanlisis del sistema exclusivamente en el dominio de las probabilidades, por lo que las

95

probabilidadesdeestadonotienendependenciadeltiempo.Estaindependenciadeltiemposeconsigueslosi:

Elsistemaseanalizaenestadoestable,esdecir,sielsistemahaestadooperandoporunintervalo de tiempo lo suficientemente grande, de modo que ya no depende de lacondicionesinicialesy

Si laprobabilidaddequeel sistema cambiedeestadonodependede cunto tiempohayapermanecidoenelestadoactual.

LasegundacondicinslosepuedecumplirsilasdistribucionesdelTEAydelTDSson

exponencialesnegativas.Paraunademostracindeestaafirmacin se sugieren las secciones2.2y2.3de lareferencia [1].Cuandosecumplenestascondicionessedicequeenelsistemaexisteunprocesodenacimientoymuerte.

Lafigura5.5ilustraunacadenadeMarkovparamodelarlosprocesosdenacimientoy

muerteengeneral.Cadaunadelasetapasdelacadenarepresentaunestadodelsistema,jeslatasaovelocidadconlaquesepasadelestadojalestadoj+1ymjeslatasaconlaquesepasadelestadojalestadoj1.AlaprobabilidaddeestarenelestadojsedenotarPj.Porejemplo,supongaunsistemaconsservidoresyKlugaresdeespera,entonceslosposiblesestado(etapasdelacadenadeMarkov)vande0as+K.

Figura 5.5 Cadena de Markov para modelar procesos de nacimiento y muerte. Para determinar la probabilidad de que el sistema se encuentre en cada uno de los

estadossedebeutilizarelconceptodeconservacindeflujo,elcualestablecequelatasaconquesepasadelestadojalestadoj+1debeserigualalatasaalaquesepasadelestadodej+1alestado j. Estas tasas se calculanmultiplicando las tasas ilustradas en la cadena deMarkov(figura5.5)porlaprobabilidaddeestarenelestadorespectivo,esdecir:

11 jjjj PmP (5.5)

Se puedeobservarque si se tieneun sistema conM+1posibles estados, entonces sepueden establecerM ecuacionesde la formade (5.5), con loque se formaun sistemadeMecuaciones, pero con M+1 incgnitas (las probabilidades de estado: P0, P1,, PM). Paracompletarelsistemaseutilizalaecuacindenormalizacin:

1...... 110 jj PPPP (5.6)

En las secciones 5.4 y 5.5 se analizarn cadenas de Markov particulares y se mostrar cmo resolver el respectivo sistema de ecuaciones.

0 1 j

0

. . .

m1

j+1 . . .

1

m2

j1

mj

j

mj+1

j+1

mj+2

96

5.3(b)ClasificacindeSistemasdeColasyNotacindeKendall. Si el nmero de servidores que posee un sistema es menor a la cantidad de fuentes quegeneran el trfico, y se entiende como fuentes de trfico a los posibles usuarios, resultaimposible atender a todas las peticiones de servicio de forma instantnea. Bsicamente sepuedeprocederde2formasconaquellasllamadasquehallenalsistemasaturado:

Negarleselservicio.Setieneunsistemaconbloqueooconprdidas(B=0). Mantenerlas en espera y asignarles servidores cuando sean liberados. Se tiene un

sistemaconretardo.

Enelmodeladodelossistemasconbloqueotambinsedebetomarencuentaquesucedeconlasllamadasquenosonatendidasydependiendodelanaturalezadelservicioanalizadosepuedeconsiderarquelasllamadasbloqueadasregresanalsistemaenformadereintentosobien son eliminadas en forma definitiva. Las clasificaciones mencionadas se ilustran en lafigura5.6.

Figura 5.6. Clasificacin de Sistemas de Colas.

Comoseanalizarenlassiguientesseccionesotraconsideracindesumaimportanciaenelmodeladodesistemasdecolases tomarencuentaque tangrandees lacantidaddeposiblesfuentesdetrficoencomparacinconlacantidadderecursos;cuandolacantidaddefuentesesmuygrandesepuedeaproximarcon infinitoy losanlisissesimplificanconsiderablemente.Tambin es importante mencionar que hay sistemas en los que las peticiones puedenexperimentarbloqueooretardo.

Ademsde lasconsideracionesprevias ladistribucindelTEAydelTDS, lacantidadderecursosyeltamaodelacoladeesperasonparmetrosqueinfluyeneneldesempeodeunsistema.Paradescribir aun sistemamediante estosparmetros sepuedeusar lanotacindeKendall,lacualseexpresadelaformac1/ c2/ s/ K. Donde:

- c1 representa la distribucin del TEA y pueden asignrsele las letras M (arribosMarkovianos, es decir distribucin exponencial negativa) o G (General, es decircualquierotradistribucin).

- c2esladistribucindelTDSypuedeserM(exponencialnegativa),D(Determinstico,esdecirelTDSesconstante)oG(general).

- seselnmerodeservidores.- Keslalongituddelacoladeespera.

SISTEMASDECOLAS.

CONBLOQUEO(DEPRDIDA)

CONRETARDO

LLAMADASBLOQUEDASSEELIMINAN

LLAMADASBLOQUEDASREGRESAN

97

Por ejemplo, si se analiza un sistema M/G/1/K se considera que los arribos sonexponencialesnegativosyladistribucindelTDSpuedesercualquiera,existeunsoloservidoryhayKlugaresdeesperaenlacola.

5.4Sistemasdeprdida.Enestaseccinseanalizarnsistemasconprdidas,esdecir,sistemasquecarecendecoladeespera (K=0) y se supondr que se tienen s servidores.Para estos sistemas elparmetrodecalidaddeserviciomsimportanteeslaprobabilidaddebloqueoyparadeterminarfrmulasquepermitansuclculoserecurriralanlisisdecadenasdeMarkov.Notequeelusodeestatcnica implicaque tantoelTEA comoelTDS sonMarkovianos.En resumen, se analizarnsistemasM/M/s.25.4.1Llamadasquedejanelsistemaynoregresan.La cadenadeMarkovparaun sistemaM/M/s se ilustra en la figura 5.7.Enun sistema conprdidas,siunapeticindeservicioarribacuandoelsistemaestsaturadonopuedeesperaryporlotantoelmximoestadoquesepuedealcanzardichosistemaess.

Figura5.7.CadenadeMarkovparaunsistemaM/M/sconfuentesinfinitas.

En lacadena ilustrada, representa la tasadearribosgeneradapor todas las fuentesdetrfico. Es lgico que cuando algunas de estas fuentes ya estn siendo atendidas, lo queconllevaqueelsistemaestenunestadosuperioracero,latasadearribosdebedisminuiryporlotantolatasaparapasaralestadosuperioradyacentedebesermenora,sinembargo,cuandoelnmerodefuenteseslosuficientementegrande,sepuedehacerlaaproximacindelafigura5.7:considerarquelatasaparasubirdeestadoesconstante.

Ejemplo5.1:Supongaquesetieneunsistemacon10servidoresqueatiendeaslo20usuariosy que cada uno de stos intenta 1 llamada cada 10minutos durante la hora pico.Cuandoningnusuarioestsiendoatendido,latasadearribodellamadasesperadaesde20llamadascada 10minutos (unapor cadausuario), lo que se reduce a 2 llamadasporminuto.Ahorasupongaqueelsistemaestenelestado1,estoimplicaqueslo19usuariospuedensolicitarservicio,por lo que entonces la tasade arribos al sistema (y consecuentemente la tasapara

2 Si la longitud de la cola es cero, se omite en la notacin de Kendall.

0 1 j

. . .

1/

. . .

2/

j/

(j+1)/

s/

s

98

alcanzarelestado2)sereducea1.9llamadas/minutoyassucesivamente.Evidentementeesteesunejemplodesistemaquenopuedemodelarseconlacadenadelafigura5.7.Ejercicio: Repita el ejemplo anterior suponiendo 1000 usuarios. Cul es la tasa de arriboscuandoelsistemaestenestado9?Qupuedeconcluir?

Previamentesedenotcona laduracinpromediodeunservicio.El inversodedicho

tiempo se considera la tasa a la que finalizaun servicio en curso.En casode que existan jserviciosencursolatasaalaquefinalizanlasllamadasesj/.Estafrmulaconcuerdaconelhechodequeamedidaquehaymsserviciosencurso,menostiemposetienequeesperaraquealgunodeellasfinalice,esdecir,latasadefinalizacinseincrementa.

Paralacadenaanalizada,elsistemadeecuacionescorrespondientees:

11 PPo

212 PP

ss PsP 1

1...... 11 ssj PPPPPo Para solucionar se puede proceder recursivamente expresando a P1 en trminos de P0;

despusaP2 entrminosdeP1,queasuvezyaestexpresadaenfuncindeP0,yassucesivamente.Engeneral,laprobabilidaddeestadojquedardadapor:

0!)( P

jP

j

j

ParadeterminarP0sesustituyelaecuacinanteriorenlaecuacindenormalizacin:

s

Pka

k

k

00 1!

sk

P

k

k

0

0

!

1 (5.7)

Finalmentesetiene:

sk

jP

k

k

j

j

0 !)(

!)(

(5.8)

Detodaslasprobabilidadesdeestado,Pstieneparticularimportancia,yaquerepresentala

probabilidaddequeelsistemaestsaturado,enotraspalabras,laprobabilidaddebloqueo:

99

asBsk

as

aP

k

k

s

s ,

!

!

0

(5.9)

La ecuacin 5.8 fuedesarrolladaoriginalmentepor eldansA.K.Erlang,por loque es

comnmenteconocidacomofrmuladeErlangB.Notequeen(5.9)seelproductosepuedesustituirpora,el trficoofrecido,yconestosecorroboraque lacalidaddelservicio (enestecasolaprobabilidaddebloqueo)nodependedeodeporsisolos,sinodesuproducto.

Ejemplo5.2:EnlacentraltelefnicaAsetienen1,500abonados,cadaunodeloscualesintentaenpromediounallamadacada2horashacialacentralB.Lasllamadasduranenpromedio178segundosy lascentralessecomunicanmedianteuna troncalT1.Cules laprobabilidaddebloqueo?Culeslaprobabilidaddequelatroncalsequedevaca?Elproductodelnmerodeabonados (1,500)por la tasade llamadasquecadaunogenera (2llamadascada2horas)esigualalatasadepeticionesdeserviciototal(),estoes,750llamadasporhora,loquetambinsepuedeexpresarcomo12.5llamadasporminuto.Esclaroqueesiguala178 segundos,esdecir2.97minutos,por lo tanto a=37.08Erlangs (notequey seexpresaronenunidadesanlogas,demaneraque suproducto resultadimensional).Puestoque todas estas llamadas se transportanpormediodeuna tramaT1 sedice que el sistemacuentacon24servidores(s).Parahallarlaprobabilidaddebloqueosimplementebastasustituirlosdatosanterioresenlaecuacin(5.9)yseobtienePs=B(24,37.08)=0.39.Laprobabilidaddequelatroncalestvaca,eslaprobabilidaddequeelsistemaestenestadocero,porlotanto,paradeterminarlabastaconsustituirlosvaloresdeaysenlaecuacin(5.7)yseobtieneunvalorP0queparaefectosprcticossepuedeconsiderarcero.

Como se aprecia en el ejemplo anterior el clculo directo de B(s, a) puede ser muyengorroso, por ello algunos textos (entre ellos [3]) incluyen tablas que relacionan laprobabilidaddebloqueocondiversosvaloresdesya.Conayudadeestastablas,obien,pormtodosnumricos,sepuedenresolverproblemasen losque las incgnitassonsoaycuyasolucinexplcitanosepuedeobtenerapartirdelaecuacin(5.9).Ejemplo5.3:Aunsistemaseleofreceuntrficode12Erlangs.Sisedeseaquemenosdel5%delas llamadas sean bloqueadas, Cul es la cantidad mnima de servidores que se debeninstalar?En este caso se conoce B(s, a) y a y se pide determinar s.Resulta prcticamente imposibledespejar a s de la ecuacin (5.9), por lo que se debe proceder numricamente sugiriendovaloreshastaencontrarelvalormnimodestalquePs

100

LafrmuladeErlangBsepuedeexpresarserecursivamente.Apartirde(5.7)setiene:

1

!1

!

!

!!

!

!),( 1

1

0

1

001

sa

sa

ka

sa

sa

ka

sa

ka

asB s

s

k

k

s

s

k

sk

s

s

k

k

saasB

saasB

saasB

asB

,1

,111

,1

1),(1

asB

as

asB

saasB

saasB

asB,1

,1

,11

,1),(

Puesto queB(s, a)dependedeB(s1, a), sedebe establecerun valordepartidapara los

clculositerativos,dichovaloresB(0,a)=1,paratodaa.5.4.2Llamadasquedejanelsistemayregresan.Enmuchossistemas,cuandounapeticindeservicioesbloqueada,despusdeciertoperodosereintenta.Es importantenotarque ladefinicinde tasadearribosde lasseccionesprevias()noincluyeadichasllamadas,demodoquecuandosontomadasencuenta,latasatotalqueelsistemapercibe(lacualsedenotarcon)esmayora.

Sepuededeterminar laprobabilidaddebloqueodeestos sistemasusando la frmuladeErlangB, si se establece la relacin entreyy se suponeque las llamadas se reintentanindefinidashastaquesonatendidas.

Si suponemosque laprobabilidaddebloqueodel sistema estdadaporPB,entonces la

tasaalaquesebloqueanlasllamadasnuevasesPB.Puestoqueestasllamadasregresarnalsistema en formade reintentos, la tasaa laque arriban las llamadasnuevasms lasque sereintentanunavezes+PB.Sinembargo,delasllamadasquesereintentenunaproporcinPBvolveraserrechazada,demodoquelatasadearribos,incluyendoalasllamadasnuevasascomoaaquellasquesonbloqueadasunaodosveces,es+PB+(PB)2.

Tomandoencuentaqueunallamadasereintentaindefinidahastaqueesatendida,setiene

quelatasatotaldearriboses: '

0

'

2'

' 1

...Bk

kBBB P

PPP

(5.11)

Porlotantolaprobabilidaddebloqueodebeestardadapor:

',' sBPB (5.12)

101

Notequeenlasecuaciones(5.11)y(5.12),estenfuncindePByviceversayunasolucin

explcitaesmuycomplicadadehallar,sinembargo,sepuedeusarunmtodo iterativoenelqueinicialmentesesupone=,seevala(5.12)yseobtieneunaprimeraproximacindePB.Estevalorseusaen(5.11)pararecalcularyassucesivamentehastaqueambasecuacionesconvergen.

Estemtodoconvergeslosia=esmenorques(lacapacidaddelsistema),puessidicha

condicinnosecumple,seesthablandodeunsistemainestablealqueseleofreceunacargadetrficomayoralaquepuedesoportar;porlotantolaprobabilidaddebloqueodebetendera1yainfinito.

Ejemplo5.4:Aunsistemacon4servidoresseleofreceunacargade2Erlangs.SisesuponequelasllamadassereintentanhastaquesonatendidasCuleslaprobabilidaddebloqueo?Culeslacargaofrecidaincluyendolosreintentos?Puestoquelosserviciosduranlomismosinimportarsisonnuevososeestnreintentando,sepuedeescribirunaversinde(5.11)multiplicandoambosladosdelaecuacinpor:

'1 BPa

Yse iniciasuponiendo==a,enestecaso2Erlangs.En la tablasiguientese ilustraelresultadodemltiplesiteraciones:

Iteracin. Cargaofrecida()

ProbabilidaddeBloqueo(PB)

1 2 0.09522 2.2105 0.11783 2.2669 0.12394 2.2829 0.1257

Tabla5.1.ClculoiterativodeyPB.

Sepuedeobservarque los incrementosquesufreny PBsoncadavezmenores, loqueindicaquetienden(convergen)aciertovalor.

Paradeterminarcuntas iteraciones sedeben realizar seestablecencriteriosdeerror.UncriteriocomnmenteutilizadoconsisteenestimarladiferenciaporcentualentrelosvaloresdeB de dos iteraciones consecutivas y si dicha diferencia no excede algn porcentaje umbralpredeterminadoseconsideraqueelclculoeslosuficientementepreciso.Ejemplo5.5:Supongaqueseexigeunerrormenoral1%paraelclculodePBenelejemploanterior.Ladiferencia entre losvalores calculados en las iteraciones 3y 4 es 0.12570.1239=0.0018,loquerepresentael1.43%de0.1257,esdecir,con4iteracionesannosehaalcanzadolaprecisin requerida. Si se realiza la iteracin 5 se encuentraPB=0.1262 y en este caso ladiferenciarepresentael0.4%dePB,porloqueseconsideraquecon5iteracionessetieneunabuenaaproximacin.

102

5.4.3Sistemasconfuentesfinitas. Comosecoment,losanlisisllevadosacaboenlassecciones5.4.1y5.4.2aplicanslocuandola cantidad de fuentes de trfico es mucho mayor que el nmero de servidores, el casocontrario se analiza en esta seccin. Al igual que en la seccin 5.4.1 se supondr que lasllamadasquesonbloqueadasnoregresanalsistema.Enlafigura5.8semuestralacadenadeMarkovcorrespondiente.

Figura5.8.CadenadeMarkovparaunsistemaM/M/sconfuentesfinitas.

El parmetro 1,mostrado en la figura, representa la tasa de peticin de servicios quegeneraunasolafuenteyMalnmerodefuentesenelsistema,demodoquecuandoelsistemaestenestadocero,esdecir,ningnusuarioestsiendoatendido, la tasaa laquesesubealestadounoesM1.Puestoquesuponemosunacantidadfinitadefuentes,amedidaquemsusuariosestnsiendoatendidos,menoreslatasaalaquesellegaalestadosuperiorinmediato,hastallegaralatasade(Ms+1)parasubirdelestados1als.Paradeterminarlastasasalaquesepasadeunestadoalinferiorinmediatoseaplicaelmismoelanlisisqueenlaseccin5.4.1(comprenselasfiguras5.8y5.7).

Alplantearlasecuacionesdeconservacindeflujo(vaseecuacin5.5),setiene:

111 PMPo

jPMP 211 11

ss PssMP 11 1 1...... 11 ssj PPPPPo

Resolviendoiterativamenteseobtienequelasprobabilidadesdeestadoson:

skM

jM

P

k

k

j

j

01

1

)(

)(

(5.13)

0 1 j

M1

. . .

1/

. . .

(M1)1

2/

(Mj+1)1

j/

(Mj)1

(j+1)/

(Ms+1)1

s/

s

103

Donde !!!

jjMM

jM

.Yenparticular,laprobabilidaddeestarenelestadoses:

skM

sM

P

k

k

s

s

01

1

)(

)(

(5.14)

SisetomaencuentaquedelasMfuentes,slo(Ms)intentarnaccederalsistemacuando

ste est saturado, se concluyeque laprobabilidaddebloqueodeber ser laprobabilidaddeestarenelestados,peroescaladaporelfactor(Ms)/M,esdecir:

skMs

M

P

k

k

s

B

01

1

)(

)(1

(5.15)

Ejemplo5.6:Enunsistemade10servidoresalquepuedenacceder20usuarioscadaunodelosculesintentaenpromediounserviciocada32minutosycadaservicioduraenpromedio14.3minutoslaprobabilidaddebloqueo,suponiendoquelacantidaddefuentesesinfinita,se calcula usando la ecuacin (5.9). En este caso, la tasa de arribos queda dada por =1M=(20/32) arribos/minuto; =14.3minutos,por lo que Pb=B(10, 8.94)=0.165. Sin embargo,debidoalasdimensionesconmensurablesdesyM,resultamsprecisocalcularPbusandolaecuacin (5.15), de donde resulta Pb=0.150. Los resultados obtenidos concuerdan con loesperado, ya que al considerar fuentes finitas, la tasa de arribos considerada para estadosmayoresaceroesmspequeaquesisesuponenfuentesinfinitas,porloqueesobvioqueelsegundoresultadodebersermenoralprimero.

5.5SistemasdeColadeEspera. Enunagran cantidadde sistemasde trfico laspeticionesde serviciopueden esperar a seratendidosencasodearribarenunmomentoenquetodoslosservidoresestnenuso,ejemplosclsicode ellos sepresentan en equiposde enrutamientodepaquetesdedatos, sistemasdeatencin telefnica a clientes conunnmero limitadodeoperadoreso el accesode trnsitovehicularavas.

En todosestos sistemasdebeexistirunacoladeespera (porejemplo,en losenrutadoresdebehaberlocalidadesdememoriaparaalmacenarlospaquetes)cuyalongitudsemodelaconelparmetroKde lanotacindeKendallyelestadodelsistemasedefinecomo lasumadeusuarios en esperams usuarios en atencin.Como ya se hamencionado previamente, entodos los sistemas analizados en estedocumento se supone que ladistribucindel TEA es

104

exponencialnegativa,conlafinalidaddeanalizarmediantecadenasdeMarkov,yladiscusinsobrelossistemasdecoladeesperanoserlaexcepcin.

Al igual que los sistemas del apartado 5.4, existe una gran variedad demodelos para

sistemasconcoladeespera,loscualespuedendependerde:- Eltamaodelacola(finitooinfinito).- Lapolticadeatencin(porejemplo;primeroenentrar,primerenseratendidoFIFS).- Elnmerodefuentes(finitooinfinito).- El comportamiento de los usuarios (por ejemplo, se pueden modelar usuarios

impacientes, es decir, usuarios que abandonan el sistema, si no son atendidosdespusdeciertotiempo).

En este curso slo se analizarn las variantes con cola infinita y con cola finita, pero

siempresuponiendoquelapolticadeatencinesFIFS,queelnmerodefuentesesinfinitoyquelosusuariosenlacolapermanecenenelsistemahastaquesonatendidos.

Cuandoelsistemasemodelasuponiendoquelalongituddelacolaesinfinita,setieneun

sistemaenelquenoexisteprobabilidaddebloqueoyseanalizarparadosdistribucionesdelTDS:exponencialyfijo(enlassecciones5.5.1y5.5.2,respectivamente).

Porotraparte,silacolaesfinita,existirnusuariosquepuedensufrirretardo(aquellosque

encuentrantodoslosservidoresocupados,perolugaresdisponiblesenlacola)yusuariosquepueden serbloqueados (aquellosque encuentran saturados tantoa los servidores comoa lacola)yelanlisiscorrespondientesedesarrollaenlasseccin5.5.3.

5.5.1Sistemascontiempodeduracindeservicioexponenciales. Como semencion en la seccin 5.3(a), el anlisismediante cadenasdeMarkov slopuedeaplicarse,siseconsideraquelasdistribucionestantodelTEAcomoelTDSsonexponencialesnegativa.Sisehacen lasconsideracionesanterioresysesuponeque la longitudde lacoladeesperaesinfinita,sepuedeplantearlacadenadeMarkovilustradaenlaFigura5.9.

Figura5.9.CadenadeMarkovparaunsistemaM/M/s/.Enlacadenailustradasepuedeapreciarqueseestsuponiendoqueelnmerodefuentes

esinfinito,pueslatasaalaqueseincrementadeestadoesconstante.Porotraparte,paralosestados1as,latasaparadescenderdeestadoeslamismaqueenelanlisisdelaseccin5.4.1,sinembargo,estastasassereducenalaconstantes/paraestadossuperioresdebidoaqueslo

0 j

1/

. . .

j/

(j+1)/

s/

s

s/

s+1

s/

s+2 . . .

s/

1 . . . j1 s1

(s1)/

2/ (j1)/

105

susuariosposeenunrecursoasignadoyporlotantosonlosnicosquecontribuyenalatasademuertedeservicios.

Alplantear las ecuacionesde conservacinde flujoy resolver recursivamente seobtiene

quelasprobabilidadesdeestadoson:

;!

10;!

jsPss

a

sjPj

a

P

osj

j

o

j

j (5.16)

Donde11

0 !!

s

k sksk

kk

o ssa

kaP .

Elanlisisdeestossistemas,generalmente tienesentidosisesuponequeaesmenoras,

puesdenoserassetendraunsistemacuyacapacidadesmenoraltrficoofrecido,ypuestoqueenelmodeloseconsideraqueeltrficonosepuedeperder,laspeticionesseacumularanindefinidamente,demaneraquelalongitudyeltiempodeesperatiendenainfinitoysetieneunsistemainestable.

Sisetomaencuentaque

1;

1 ;1

1

0 b

bbb

k

k y haciendo algunas operaciones algebraicas

se puede obtener que:

sa

saass

aska

P

ss

k

k

o

;0

;!!

11

0 (5.17)

Alcombinarlasecuaciones(5.16)y(5.17)seobservaquecuandoeltrficoofrecidosuperaa

lacapacidaddelsistema,laprobabilidaddeestarenunestadofinitoparticulartiendeacero.Estosedebeaquebajo lascircunstanciasantesdescritas,elsistemapermaneceenunestadosloduranteunlapsomuypequeo,yluegoelestadotiendeaincrementarseindefinidamente,demaneraque cuandoel sistema seobservaporunperodode tiempomuygrande (con laintencindetenerestadsticasrepresentativas)laprobabilidaddeestarenalgnestadotiendeacero.Debidoaloanterior,losanlisisyaplicacionesquesedescribirnenestedocumentoselimitarnalacondicina

106

puedeobservarqueestoesequivalentealaprobabilidaddequeenelmomentodelarribohayasomsusuariosenelsistema,esdecir:

assas

ka

assas

Pass

asPP ss

k

k

s

s

sjjR

!!

! ! 1

0

0 (5.18)

Laecuacinanteriorpuedereescribirsedelasiguientemanera(notequeslosereescribi

eldenominador):

ass

assa

ka

assas

PP sss

k

k

s

sjjR

!!!

!

0

Porlotanto:

asBs asBasasBs ass ass assa

ka

assas

assas

sa

ka

P s

s

k

k

s

sss

k

k

R ,,111,1

!

!

!

!!! 1001

Yfinalmenteseobtieneque:

asBasasBsPR ,1

,

(5.19)Laecuacin(5.19)esconocidacomoFrmuladeErlangCysueledenotarsecomoC(s,a)y

comosepuedeobservarsepuedeobteneratravsdelafrmuladeErlangB.

Ejemplo5.7:Setieneunsistemamodeladoconunacolainfinita,dondearriban8solicitudesdeservicios por hora y en promedio los servicios duran 3minutos. Si queremos que en estesistemael90%delosserviciosseanatendidossinretardosepuedeevaluar(5.19)paravalorescadavezmayoresdeshastaqueseobtengaunvalordePRmenora0.1.Desdeluegosedebetomarencuentaquea==4Erlangs.

Servidores(s)

ProbabilidadderetardoPR=C(s,4)

5 0.556 0.287 0.148 0.06

Estos resultados implican que se requiere instalar 8 servidores para alcanzar el objetivopropuesto.

Otroparmetromuyimportanteparaevaluarsistemasdecolaseselretardopromedio.En

diversostextosesteparmetrosedefinecomolasumadeltiempodeesperapromedio(Te)mseltiempodeserviciopromedioyenestedocumentoseusartambindichadefinicin.Puestoqueen losanlisisaqupresentadosal tiempode serviciopromedioyase lecaracterizcon

107

diversasdistribucionesdeprobabilidades, el siguienteanlisis se enfoca en ladefinicindeltiempodeesperapromedio.

ParadeducirladefinicindeTesepuedepartirdelteoremadeLittle3,elcualestableceque:

eTL (5.20)DondeLeslalongitudpromediodelacoladeesperaysepuedeobtenermediante:

01111 ...22

jsj

sjj

sjjsss PjPsjPsjPPPL

AlsustituirladefinicindePjenlaecuacinanterior,segn(5.16),ytomarencuentaque

20 1 bbbj

j

j

setiene:

021

!P

asssaL

s

Alcompararlaecuacinanteriorcon(5.18)seveque:

asasCaL

, Yalsustituiren(5.20)seobtiene:

asasCTe

, (5.21)Esimportantenotarqueenestaecuacinseutilizlatasatotaldearribosalsistema,porlo

que el resultado representael tiempode esperapromedio incluyendoa losusuariosquenosufrieron retardo. Si se quiere hallar un tiempode esperapromedio que slo incluya a losusuariosqueencuentran losservidoressaturados,sedebesustituira por la tasa de arribos correspondiente a esta situacin, es decir, C(s,a), de donde resulta:

asTe

' (5.22)

5.5.2SistemascontiemposdeduracindeserviciosconstantesLos sistemas con TDS constante son de especial inters debido a que se presentan muycomnmente en la realidad (por ejemplo, enATM se transmiten todas las tramas tienen lamismaduracin).

Puestoqueenestecaso,dichoTDSyanoesunaexponencialnegativa,estossistemasnopuedenanalizarsepormediodecadenasdeMarkov,porloqueenestedocumentoseomiten 3 Un razonamiento simple para entender este teorema es el siguiente: Durante un lapso t deben arriban al sistema t usuarios, entonces el acumulado de todos sus tiempos de espera es tTe. Por otra parte, si en promedio se tienen L usuarios en espera, entonces el acumulado de todos los tiempos de servicio en el lapso t es Lt. Al igualar las dos definiciones anteriores se obtiene (5.19). Para un estudio ms formal de este teorema se sugiere [1].

108

lasdeducciones,pero sepresentan las frmulas reportadas en [3]para algunos importantesparmetrosdedesempeo,paraelcasoparticulars=1.

Enestecasoeltiempodeesperapromedio(incluyendoalosarribosquesufrenretardo

cero)paraunsoloservidorsereducea:

aaTe

12 (5.23)

Paracompararalsistemaanalizadoconrespectoalde laseccinanterior,seevalaa

(5.21)cons=1yseobtieneaaTe

1 ,esdecir,un tiempodeesperadeldoble.Loanteriorse

debeaquecuandoelTDSesexponencial,existelaposibilidaddeserviciosdelargaduracin,mismosqueproducengrandes retardos en losarribos inmediatosposterioresypor lo tantohacenmenoseficientealsistema.

Para teneruna ideamsclaradelcomportamientode los tiemposdeesperasepuedeevaluarsudistribucindeprobabilidades,enlugardeunsimplepromedio.Dichadistribucin,enformaacumulativayparas=1,estdadapor:

k

i

aii

tT i

atTPt etaieF0

!11

(5.24)

Dondekeselenteromsgrandedelcocientet/.Al igualqueen lasseccionesanteriores,sepuedenestablecercalidadesdeservicioen

trminosdelosparmetrosdefinidosen(5.23)y(5.24)yapartirdeellashallar,porejemplo,lamximaintensidaddetrficoqueseledebeofreceralsistema.

5.5.3Sistemasconcolasfinitas.

Enlamayoradelasaplicacionesprcticas,especialmenteenelreadetelecomunicaciones,el nmero de lugares de espera tiene que ser de longitud finita, y aunque los anlisisdesarrolladosenlassecciones5.5.1y5.5.2puedenusarsecomoaproximacionesenestoscasos,tambinesposible,yobviamentemspreciso,plantearunacadenadeMarkovenlaqueK,eltamaomximodelacola,esunnmerofinito.DichacadenaseilustraenlaFigura5.10.

Figura5.10.CadenadeMarkovparaunsistemaM/M/s/K.

s1 s+1

. . .

2/ j/ (j+1)/ (s1)/ (s+2)/ (s+K1)/

0

1/

s/

(s+1)/

s+K1

(s+k)/

s+K 1 . . . j s . . .

109

Al aplicar nuevamente las ecuaciones de conservacin de flujo se obtiene que:

;!

10;!

KsjsPss

a

sjPj

a

P

osj

j

o

j

j (5.25)

Donde

11

0 !!

s

k

Ks

sksk

kk

o ssa

kaP .

Comosemencionpreviamente,enestossistemasexistetantoprobabilidaddebloqueo(la

que equivalea laprobabilidaddeque el sistema est enestado s+K), comoprobabilidadderetardo(equivalentealaprobabilidaddequeelsistemaestenlosestadoss,s+1,,s+K1);lasculessedefinenrespectivamentecomo:

o

Ks

oK

Ks

B Psa

saP

ssaP

!! (5.26)

00

1

1

1

!!P

sa

sa

saP

ssaP

K

sKs

sksk

k

R

(5.27)

Resulta interesante examinar las ecuaciones anteriores para valores extremos de K. Por

ejemplo,paraKigualacero,1

0 !

sk

k

o kaP ;tomandoencuenta(5.26)PbsereduceaB(s,a)y

deacuerdoa(5.27)PR=0;esdecir,elsistemasereduceaunodeprdidascomolosanalizadosenlaseccin5.4.1.

Por otra parte, siK tiende a infinito y se supone a

110

paquetessondevoz,noserecomendaraunvalorgrandeK,pues lasconversacionesnosontolerantesalretardo,peropuedenserloalaprdidadealgunospaquetes.

En la figura 5.11 se muestran PB y PR, para diferentes valores de K, suponiendo a=4.5

Erlangsys=2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

LONGITUD DE LA COLA (K)

PROBABILIDAD DE BLOQUEOPROBABILIDAD DE RETARDO

Figura5.11.ComparacindelasProbabilidadesdeBloqueoyRetardo.

5.5.4Sistemasconcolasentandem

Elconceptocolasentndem,simplementesignificacolasenserie,esdecir,serefierearedesenlasquese tieneunacolaa laentradadeunsistema,pero lasalidadesterepresenta,almenos,parte de la cola a la entrada de un segundo sistema y as sucesivamente. Las redes detelecomunicaciones,yparticularmente la telefnica,sonclarosejemplodesistemasconcolasentndem.

Parailustrarestossistemas,acontinuacinsemuestraunaversinalternativadelaFigura1.1deestasnotas,dondesemuestran losprocesosdearribosa losdistintosnodosde lared.Loscomentariosdelossiguientesprrafosseredactaronsuponiendoelproblemadecalculareltiempoparaestablecerunallamadaentredoselementosdelaredilustrada.

Figura5.12.Ejemplodesistemaconcolasentndem.

PBX

CO1

TO

ProcesodearribosdelPBX

CO2Procesodearribos

deabonados

ProcesodesalidadelaOC1 ProcesodesalidadelaOC2

ProcesodesalidadelaTO

111

Comosepuedeobservar,elsistemadecolasenlaCO1seformaconlacombinacindelosprocesos de arribos que provienen tanto de sus usuarios locales, como del PBX. Algunasllamadassernprocesadassloanivellocal,perootrasserntransferidasalaTO.Hastaestepunto ya es evidente quehay almenosdos colas en serie y,por ejemplo,unproblemadeteletrficonoanalizadohastaelmomentoserahallarelretardopromedioparaestablecerunallamadadesdeunusuariolocaldeCO1hastalaTO.Paraanalizaresteproblemasetendraqueconsiderar conjuntamente el retardo para que un abonado sea atendido por la CO1 con elretardoparaqueunapeticindeCO1seaatendidaporlaTO.

Paraanalizaraestossistemas,sedebenmodelarlascaractersticasdeprobabilidadnoslo

de losprocesosde entrada, sino tambinde losde salida,pues comoya semencion,estosltimosrepresentanlaentradaaotrosistemadecolas.

Un anlisis clsico para este problema es suponer que si a la entradadeun sistema se

tienenarribosmarkovianos,estapropiedadserheredadaporelrespectivoprocesodesalida.Desdeluego,estononecesariamenteocurreenlarealidad.Porejemplo,supongaunsistemadeservidoresqueincluyecoladeesperayqueslocuandolosservidoresyloslugaresenlacolasesaturanenvapeticionesaunsistemadeservidoresauxiliar.Bajoesteesquema,elsistemaauxiliarsloreciberfagasdepeticionesycomosecomentenlaseccin5.2(verFigura5.4)esteprocesoyanoesmarkoviano.

Comoen cualquierotroanlisisde teletrfico, elmodeloque se elijapara representaral

sistemadeberseruncompromisoentrelacomplejidadylasimilitudalfenmenorealqueseestmodelando.

112

Referencias.

[1] R.B.Cooper,IntroductiontoQueueingTheory,Ed.Ceepress,1990.[2] L.Kleinrock,QueueingSystems,VolumeI:Theory,Ed.JohnWiley&Sons,1970.[3] J.Bellamy,DigitalTelephony,3a.Edicin,Ed.JohnWiley&Sons,2000.[4] R.LloydEvans,QoSinIntegrated3GNetworks,Ed.ArtechHouse,2002.[5] A.Papoullis.S.U.Pillai,Probability,RandomVariablesandStochasticsProcesses,Ed.

McGrawHill,2002.[6] L. Muscariello, et al, An MMPPBased Hierarchical Model of Internet Traffic,

IEEECommunicationsSociety,2002[7] W. E. Leland, et al, On the SelfSimilar Nature of Ethernet Traffic, ACM

SIGComm93,Septiembre1993.[8] A.Nogueira,R.Valadas,Analysing theversatilityof the2MMPP trafficmodel,

SecondInternationalsymposiumoncommunicationsystems,networksanddigitalprocessing,Bournemouth,U.K.,Julio2000L.G.RamosLpez,A.A.NezCorona,Simuladordetrficovehicularparalaplaneacindeinfraestructuraurbana,UPIITA,IPN,2008.

[9] S. Z. Ozer, S. Papavassiliou, Performance Analysis of CDMA Systems withIntegratedServices,IEEETransactionsonVehicularTechnology,Vol.52,No.4,pp.823836,Juliode2003.