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Tema: Transporte en SemiconductoresElectrnica Fsica - Juan E. Carceller

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Transporte de carga en Semiconductores - Ecuacin de transporte de Boltzmann - I

En equilibrio termodinmico : N=k

f ( k ) f (k ) d3 k

83

V cr

n= 183

f (k )d 3k

n( r , p , t ) t

n t

=(n t )v+(n t )F+(

n t )Col

: Funcin de distribucin de Fermi- Dirac. Representa el nmero de electrones por estado cuntico. (En otros casos podra ser la de Bose-Einstein o Maxwell-Boltzmann).

f (k )

Fuera del equilibrio: La funcin de distribucin ha de incluir dependencias con .r , p (= k ), t

n ( r , p , t )( r , p)

Sea d3r d3p el nmero de electrones (o huecos) que hay en un volumen del espacio de las fases d3r d3p en torno de en un instante t :

- Los electrones se mueven con velocidad Entran y salen de d3r - Sobre los electrones actan fuerzas que cambian su momento Entran y salen de d3p

- Los electrones en este elemento de volumen experimentan colisiones con otros electrones, fonones, impurezas... que los sacan de d3r d3p. Electrones de otros elementos de volumen llegarn a ste debido a sus colisiones.

v (t)= r (t )

p : F= p


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Transporte de carga en Semiconductores - Ecuacin de transporte de Boltzmann - II

n t

=v r nF k n+(n t )Col

n=n (xv x t , yv y t , zv z t , pxF x t , pyF y t , pzF z t )n (x , y , z , px , py , pz)

lm t0

n t

(n t )v+(n t )F=( r n)v( p n)F

Si ponemos es la densidad de electrones por estado :

f t

+v r f +F k f=( f t )Col Ecuacin de transporte de Boltzmann

Sea la densidad de electrones que hay en el volumen considerado en t0. Al cabo de t, los electrones del volumen han salido, y han entrado los que estaban en

n [ r (t 0) , p (t 0)]

r (t0 t ), p (t0 t ). El cambio en n debido a F y a v en este intervalo es:

n ( r , k )=f ( r , k )(83 /V cris) f k


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Transporte de carga en Semiconductores - Ecuacin de transporte de Boltzmann - III

f t

+v r f +F k f=( f t )Col

( f t )Col= {W (k 'k )f (k ' )[1f ( k )]W ( kk ' )f ( k )[1f ( k ' )] }d3 k '

En general:

Aproximacion: tiempo de relajacin: ( f t )Col=ff 0

Caso ms simple: = 0, f uniforme dfdt =

f f 0 f f 0=C e

t

De la aproximacin del tiempo de relajacin (con campos elctricos) se obtienen los modelos ms simples de transporte.

F

La ecuacin de transporte es integro-diferencial. Muy dificil de tratar.


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Transporte de carga en Semiconductores

Movilidad de portadores:

- En ausencia de aplicados, el movimiento de los electrones es aleatorio debido a: * interaccin con las vibraciones de la red: interaccin electrn - fonn. * Interaccin con impurezas ionizadas (culombiana y apantallada). * Interaccin con impurezas neutras. * Rugosidad superficial ... * Cualquier defecto que rompa la idealidad del cristal.

- Cuando hay aplicado, cada electrn experimenta una fuerza neta = . Los choques anteriores continan y aumentan, pero en promedio sobre el conjunto de electrones, adquieren una velocidad media proporcional a :

v n=nE y v p=pE n , p : MOVILIDAD de los electrones, huecosJ n=q n v n=q nn En EJ p= q p v p=q pp Ep E

J= J n J p=np E= E=q nnpp E

(La justificacin de la movilidad desde primeros principios se obtiene a partir de la ecuacin de transporte de Boltzmann)

En general: J=( ij )E

q E

E

E

E


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Algunas propiedades de la movilidad

n=qnm *cn

; p=qpm *cp

n,p: Tiempo (constante) de relajacin del momento de los electrones o huecos.

m*cn,cp: Masa efectiva de conduccin de electrones o huecos.

Para Si, Ge: 1m *cn

=13 1m * l 2m * t

Regla de Mathiessen: Cuando hay varios efectos de scattering que introducen, por separado, movilidades 1, 2 , 3 .., la movilidad resultante se obtiene de:

1=

11

12

13

La velocidad originada por el campo electrco y limitada por la movilidad se denominavelocidad de arrastre (drift velocity), y a las corrientes que se originan, corrientes de arrastre (drift current).

Para GaAs: m*cn = m*n

Para huecos la situacin es ms complicada:Hay que utilizar la poblacin de cada banda:p = pn+ pp = q (plh lh +phh hh )


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Dependencia de la movilidad con la Temperatura:

1=

1phon+

1 imp

A baja T: - Los tomos de la red se mueven con poca amplitud.- Los portadores tienen poca energa y se mueven lentamente.- Domina el scattering por impurezas.- Al aumentar T, aumenta la velocidad de los portadores y las impurezas dispersan menos.

A alta T: - La velocidad de los portadores es elevada y las impurezas apenas les afectan.- Los tomos de la red se mueven con gran amplitud y domina el scattering por vibraciones de la red: por fonones.

Normalmente intervienen otros mecanismos de scattering: rugosidad superficial, scatering no culombiano... La dependencia trmica de presenta otros valores del exponente.

(Culombiano) (Fonones acstcos)

Efecto del scattering culombiano por impurezas y por fonones acsticos:


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Dependencia de lamovilidad con la concentracin de impurezas

Concentracin de impurezas = Na + Nd


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Efectos de Campo Elctrico Alto

Cuando , los portadores sedenominan calientes (hot carriers).

Otros efectos: * A altos campos y en distancias muy cortas: velocity overshoot.* Decrecimiento de la velocidad con por cambio de valle (de la B.C.) de los portadores en GaAs

v n , pv th

E

102 103 104 105

105

106

107

E (V/cm)

v d (

cm/s

)

A altos campos, la velocidad de arrastre se satura. Para electrones:

=(E ); J=q nv=q n(E )E=Cte

A bajos campos elctricos:

v=() E ; =Cte .Comportamiento hmico.

Comportamiento no-Ohmico.

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