Resumen –– Las ondas longitudinales están presentes en una plétora de actividades cotidianas; desde el habla hasta la geoposición satelital. Sin embargo, no con frecuencia se detiene uno a pensar en las naturaleza de éstas. El presente papel tiene como objetivo el estudio y la ilustración de tres fenómenos con los cuales usualmente se encuentra uno. En la teoría músical, en la cocina, y en la práctica musical.

Palabras Clave – Difracción, Interferencia, Onda estacionaria, Onda longitudinal, Sobretono

Abstract –– Longitudinal waves are present in a plethora of mundane activities; ranging from speech all the way through global positioning systems. Unfortunately, it is unfrecuent for someone to ponder on the nature and significance of such phenomena. Thus, the present paper has a fixed objective, the study and illustration of waves in a musical and culinary context.

Keywords –– Diffraction, Interference, Longitudinal Wave, Overtone, Stationary Wave

I. INTRODUCCIÓN

Una de las maneras más sencillas de ilustrar el comportamiento de

una onda es con una cuerda fija que, por uno de sus extremos, se

mueve de arriba a abajo. A lo largo de esta, se crean crestas y

valles. Si la cuerda fuese infinitamente larga, entonces la onda sería

de naturaleza progresiva. Es decir, viajaría indefinidamente en un

medio sin fronteras. De lo contrario, si el medio fuera limitado en

extensión, las ondas se reflejarían y la vibración de la cuerda sería

la combinación de estas moviéndose de un lado a otro. Bajo ciertas

condiciones, se llega a formar una onda estacionaria. Las ondas

que se generan en una cuerda son ondas de naturaleza transversal

donde los desplazamientos u oscilaciones que se generan en el

medio son perpendiculares a la dirección de propagación de la

onda. Las ondas sonoras son de naturaleza longitudinal; un fluido

puede mantener, únicamente, ondas longitudinales porque es

incapaz de soportar el esfuerzo de corte o cizalladura que es

característico de las ondas transversales. En un sólido, pueden

viajar ambos tipos de ondas. Cuando tomamos al movimiento de

una onda como una sucesión de valles y crestas estamos, de hecho,

observando el movimiento vibratorio en el medio de los

osciladores individuales. En particular, a todos esos osciladores en

un plano del medio que, en determinado momento, comparten la

misma fase de vibración. Si todas las vibraciones están restringidas

a un plano, la onda se dice ser de plano polarizado. Si tomamos un

plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda y

todos los osciladores dentro de ese plano tienen la misma fase,

entonces podremos ver como ese plano de fase común progresa en

el medio. Sobre tal plano, todos los parámetros descriptivos del

movimiento ondulatorio se mantienen constantes. Las crestas y los

valles son planos de máxima amplitud de oscilación que se

encuentran π rad fuera de fase; una cresta es un plano de amplitud

máxima positiva, mientras que un valle es un plano de amplitud

máxima negativa. Al formular tal movimiento ondulatorio en

términos matemáticos tendremos que relacionar la diferencia de

fases entre dos planos cualesquiera y su separación física en el

espacio.

Figura 1. Atributos físicos de una onda.

Los osciladores individuales que conforman al medio no progresan

a través de éste siguiendo a las ondas. Su movimiento es armónico

simple, limitado a oscilaciones, transversal o longitudinal, con

respecto a sus posiciones de equilibrio. Es sus relaciones de fase lo

que observamos como ondas, no su movimiento progresivo a

través del medio. Existen tres velocidades en el movimiento

ondulatorio. Cada una, aunque conectada matemáticamente con las

otras, de distinta definición. Estas son,

Representaciones físicas de los atributos de las ondas longitudinales.

C. A. Parga Navarrete Ondas, Calor y Fluídos, ESFM-IPN, México D.F., México

E-mail del autor: cpargan1400@alumno.ipn.mx

1. La velocidad de la partícula. El movimiento armónico

simple de los osciladores con respecto a la posición de

equilibrio.

2. La velocidad de onda o fase. La velocidad con la cual

planos de fase, crestas, o valles, equivalentes progresan

en el medio.

3. La velocidad de grupo.

Consideremos el desplazamiento vertical y de una sección muy

pequeña de una cuerda uniforme. Esta sección es regida por

movimientos armónicos simples; es un oscilador. El

desplazamiento y será, por supuesto, variable con respecto al

tiempo y también con respecto a x, la posición a lo largo de la

cuerda en la cual escogemos observar la oscilación. La ecuación de

onda relacionará, por lo tanto, el desplazamiento y de un solo

oscilador a la distancia x y el tiempo t. Consideraremos sólo las

ondas presentes en el plano de éste papel (bidimensionales) para

que así las ondas transversales sobre la cuerda sean de plano

polarizado. La masa de una cuerda uniforme por unidad de

longitud o densidad lineal es ρ, y una tensión constante T existe a

lo largo de toda la cuerda –A pesar de ser un poco extensible. Para

que lo anterior se útil ocupamos tomar en cuenta una longitud y

una oscilación tan pequeñas tal que a final de cuentas, podamos

linealizar la ecuación resultante. Ergo, el efecto de la gravedad se

desprecia.

Figura 2. Elemento de cuerda desplazo de longitud ds ≈ dx.

Consecuentemente en la figura 2 las fuerzas que actúan en el

elemento curvo de longitud ds son T en un ángulo θ al eje, en un

extremo del elemento, y T en un ángulo θ + dθ en el otro extremo.

La longitud del elemento curvo es

… (1)

con las limitaciones impuestas, δy/ δx es tan pequeña que es propio

ignorar su cuadrado y tomar ds = dx. La masa del elemento de

cuerda es ρds = ρdx. Su ecuación de movimiento se encuentra en

una de las leyes de Newton, fuerza es igual a masa por aceleración.

La fuerza perpendicular sobre el elemento dx es Tsen(θ + dθ) -

Tsen(θ) en la dirección y positiva, que es igual al producto de ρdx

(masa) por δ2y/ δx2 (aceleración). Como θ es muy pequeño sen θ ≈

tan θ = δy/ δx. Tal que la fuerza está dada por

… (2)

Donde los subíndices se refieren al punto en el cual se evalúa la

diferenciación parcial. La diferencia entre los dos términos dentro

del corchete define al coeficiente diferencia de la derivada parcial

δy/ δx por el intervalo espacial dx. La fuerza, entonces es

… (3)

La ecuación del movimiento del pequeño elemento dx se torna,

entonces

… (4)

Dando

… (5)

Donde T/ρ posee las dimensiones de la velocidad al cuadrado.

Gracias a esto, se sigue que c, en la ecuación anterior, es la

velocidad. Esta, (5), es la ecuación de onda. Relaciona la

aceleración de un oscilador armónico simple en un medio a la

segunda derivada de su desplazamiento con respecto a su posición

x en ese mismo medio. La posición del término c2 en la ecuación

siempre se encuentra con un análisis dimensional.

II. METODOLOGÍA

a. Ondas Estacionarias en una Cuerda.

El comportamiento de las ondas sobre un par de cuerdas (blanca y

negra), asumidas uniformes, constituidas por distintos materiales.

Si el lector no mal recuerda, fue con éste ejemplo que derivamos la

ecuación de onda en la introducción de la actual narración.

El experimento demanda,

1. Medir las constantes de la longitud de la cuerda, l, y la

densidad lineal de la cuerda, µ, dada por el cociente de la

masa de la cuerda, m, entre la longitud de la cuerda, l.

2. Atar el extremo de la cuerda a un vibrador mecánico.

3. En el otro extremo colocar peso suficiente para generar la

mínima tensión posible.

4. Establecer una onda estacionaria.

5. Contar el número de lóbulos.

6. Hallar el valor de la longitud de onda.

7. Repetir los pasos cuatro a cinco aumentando cada vez el

peso hasta que ya no sea posible aumentarlo más.

b. Velocidad del Sonido.

El sonido son ondas longitudinales y omnidireccionales que se

propagan en todo material. Más precisamente, son ondas de

compresión producidas por la vibración de un cuerpo. Como tal, es

normal que posea un atributo común a todas las ondas, velocidad.

Sin embargo, surge el problema de cómo obtener una cifra que la

represente. ¿Existe un método directo? Desafortunadamente, no.

Afortunadamente, el método indirecto que expondremos seguirá

las líneas teóricas expuestas anteriormente. Antes de empezar

introduciremos una fórmula que será clave para el desarrollo

fructífero del experimento; la fórmula de la velocidad.

… (6)

donde es la velocidad, es la frecuencia, y es la longitud de

onda. Cerremos un tubo por uno de sus extremos y llenémoslo de

agua. Si controlamos el nivel, podemos crear una onda estacionaria

en ciertos puntos de éste. Entonces, la superficie del agua se

convierte en un nodo y el extremo abierto un anti-nodo.

c. Tubo en Llamas.

En el experimento anterior se observó que es lo que pasa con las

ondas dentro de un tubo con uno de los extremos cerrados. Para el

actual experimento, cerraremos ambos extremos del tubo y lo

llenaremos de un fluido combustible que reaccionará acorde a las

propiedades de la onda estacionaria que se genere dentro del tubo.

Grosso modo, sobre los nodos la presión del fluido será máxima y

en los antinodos, la presión mínima. Ahora, asumamos que el tubo

presenta pequeñas incisiones uniformes en la superficie de las

cuales el fluido contenido puede escapar; si se le prende fuego,

entonces éste actuará acorde a los anterior descrito.

El procedimiento,

1. Abrir el gas y encender la llama.

2. Variar la frecuencia y encontrar una onda estacionaria.

3. Medir la distancia, d, entre dos nodos sucesivos y

calcular la longitud de onda, λ.

4. Variar la frecuencia para encontrar el mayor número de

ondas estacionarias posibles.

5. Encontrar la longitud de onda para cada caso.

III. RESULTADOS

a. Ondas Estacionarias en una Cuerda.

Una vez completada la fase experimental del experimento, nos

compete hacer un análisis físico y estadístico de lo

documentado. En primer lugar, se encuentran las tablas de

cada una de las cuerdas.T λ n l m

(N) (-) (-) (m) (g)

0.49 0.334545 11 1.84 0.05

0.59 0.368 10 1.84 0.06

0.69 0.368 10 1.84 0.07

0.78 0.368 10 1.84 0.08

0.88 0.408889 9 1.84 0.09

0.98 0.408889 9 1.84 0.10

1.08 0.46 8 1.84 0.11

1.18 0.46 8 1.84 0.12

1.28 0.525714 7 1.84 0.13

1.37 0.525714 7 1.84 0.14

1.47 0.525714 7 1.84 0.15

1.57 0.525714 7 1.84 0.16

1.67 0.613333 6 1.84 0.17

1.77 0.613333 6 1.84 0.18

1.86 0.613333 6 1.84 0.19

1.96 0.613333 6 1.84 0.20

Tabla 1. Datos tomados del comportamiento de la cuerda

negra.T λ n l m Fre

(N) (-) (-) (m) (g) (Hz)

2.45 3.7600 1 1.88 0.05 07.000

2.45 1.8800 2 1.88 0.06 14.000

2.45 1.2533 3 1.88 0.07 21.000

2.45 0.9400 4 1.88 0.08 27.300

2.45 0.7520 5 1.88 0.09 34.100

2.45 0.6267 6 1.88 0.10 41.000

2.45 0.5371 7 1.88 0.11 48.000

2.45 0.4700 8 1.88 0.12 55.000

2.45 0.4178 9 1.88 0.13 62.100

2.45 0.3760 10 1.88 0.14 68.500

2.45 0.3418 11 1.88 0.15 75.200

2.45 0.3133 12 1.88 0.16 0.3133

Tabla 2. Datos tomados del comportamiento de la cuerda blanca.

La densidad de las cuerdas está dada por 0.000436kg/m para la

negra y 0.004528kg/m para la blanca. Es decir, la cuerda blanca es

mucho más densa que la negra por un factor cercano al diez. Ahora

bien, la frecuencia del experimento con cuerda negra es

desconocida por lo que es necesario realizar un análisis de los datos

proporcionados.

Figura 3. Función ajustada cuando se grafica T vs λ.

Acorde a la función ajustada que se muestra en la figura 3, el valor

de la frecuencia para la cuerda negra es de 4.592 ± 0.2487.

b. Velocidad del Sonido.

Los datos obtenidos después de terminar la sesión

experimental son

l λ

(Hz) (m) (m)

1024.00 0.176 0.35

512.00 0.335 0.67

480.00 0.357 0.71

426.70 0.405 0.81

384.00 0.450 0.90

341.00 0.498 1.00

Tabla 3. Datos experimentales del sobre-tono per frecuencia.

Dado lo anterior, con un ajuste sencillo se obtiene el valor de la

pendiente, pues, como lo muestra (6), la velocidad es equivalente a

la pendiente de la función ajustada. En la figura 4 se aprecia

gráficamente el fenómeno del cual se habla en esta sección.

Figura 4. Función ajustada cuando se grafica f vs λ.

De la gráfica, inmediatamente notamos que la pendiente es

negativa. Cosa en directa contradicción con la definición de

aquello que buscamos. En la literatura física, la velocidad de las

ondas sonoras en la atmósfera terrestre es de 343 m/s (a 20 °C de

temperatura, con 50 % de humedad y a nivel del mar). Sin

embargo, en nuestro ensayo, el resultado no es sólo negativo si no

inverosímil en magnitud. Resultando en una ecuación de la

siguiente forma,

Y = -1053*X + 1307 … (7)

Para concluir, acorde a la función del ajuste, la velocidad del

sonido es de -1053m/s… es válido decir que el experimento ha sido

un fracaso y es menester evaluar la causa.

c. Tubo en Llamas.

Los datos arrojados son

l λ

(Hz) (m) (m)460 0.31 0.62600 0.22 0.44920 0.15 0.3

1050 0.13 0.26Tabla 4. Datos experimentales del tubo en llamas.

Y su análisis correspondiente es

Figura 5. Función cuando se grafica f vs λ para el tubo en llamas.Donde la ecuación resultante es

Y = -1622*X + 1414 … (8)

Que comparada con (7) arroja una diferencia entre pendientes de

casi 600m/s, cantidad para nada despreciable.

IV.DISCUSIÓN

Se retoma la premisa de éste papel como discusión. Las ondas están presentes en todos lados. En la teoría músical (experimento dos) como el fundamento de la armonía como relaciones matemáticas entre frecuencia, en la cocina (experimento tres) como la válvula que regula la flama de la estufa, en la ejecución musical (experimento 1) como la vibración de la cuerda de cualquier instrumento. ¿Acaso estos ejemplos tan predominantes no son suficientes para alentar el estudio aunque sea frívolo de tal fenómeno?

V. CONCLUSIONES

Aunque de resultado incorrecto, se ha visto que la velocidad del sonido es fácilmente calculable en base a las propiedades de onda estacionaria. Así mismo, la influencia que el nodo (y antinodo) tiene en la presión de un fluído y, finalmente, cómo es que inciden y se reflejan las ondas en el medio.

REFERENCIAS

H.J., Pain; P., Rankin. Introduction to Vibrations and Waves. 1° ed. Vol. 1. 1 vols. John Wiley & Sons, Ltd, 2015.