03 problem as e static a vectorial

50 Captulo 1: Esttica vectorial plana

1.8.- Problemas ejemplo

Problema ejemplo 1

Para la estructura mostrada en la Figura P1.1, sometida a las acciones exteriores que se

indican, obtnganse

1. Las reacciones en las articulaciones A y C

2. Las fuerzas interiores que actan en la articulacin B.

Figura P1.1

RESOLUCIN

1. La Figura P1.2 ilustra el proceso del clculo de las reacciones. Aplicando las condiciones de

equilibrio para las fuerzas que actan en direccin horizontal (x) y en direccin vertical (y) sobre la

estructura completa se obtiene

= + = + = 0 10 0'6 1 2 0 5 ,x x x x xF A C A C (P1.1)

25 m

10 T

2 T6 mT

3 m

6 m

2 m

1 T

A

C

B

4 m

sen = 06

cos = 08

Captulo 1: Esttica vectorial plana 51

= + = + = 0 10 0'8 0 8 ,y y y y yF A C A C (P1.2)

Separando las dos barras por la articulacin B y planteando el equilibrio de momentos de las

fuerzas que actan sobre la barra AB respecto a la articulacin B se llega a

= + + = + = (barra ) 0 4 3 1 2 10 2'5 0 3 4 27 .B y x x yM AB A A A A (P1.3)

Repitiendo este proceso para la barra BC se obtiene

= + = = (barra ) 0 6 2 3 6 0 0 T .B x xM BC C C (P1.4)

Figura P1.2

Sustituyendo el resultado de la ecuacin (P1.4) en la ecuacin (P1.1), la componente

horizontal de la reaccin en A resulta

= 5 T .xA (P1.5)

Sustituyendo ahora el resultado de la ecuacin (P1.5) en la ecuacin (P1.3) se obtiene

+ = =15 4 27 3 T .y yA A (P1.6)

25 m

10 T

2 T6 mT

3 m

6 m

2 m

1 T

A

C

B

4 m

sen = 0.6

cos = 0.8

Cx

Cy

Ax

Ay


Por ltimo, sustituyendo de la ecuacin (P1.5) en la ecuacin (P1.2), la reaccin vertical en C

queda de la forma

+ = =3 8 5 T .y yC C (P1.7)

2. En la Figura P1.3 se muestran las fuerzas que actan sobre las barras AB (Figura P1.3a) y BC

(Figura P1.3b) cuando se aslan las barras.

(a) (b)

Figura P1.3

Aplicando la condicin de equilibrio para fuerzas horizontales en la Figura (P1.3b) se obtiene

= = = (barra ) 0 2 0 2 T .x x xF BC B B (P1.8)

Aplicando la condicin de equilibrio para fuerzas horizontales y verticales en la Figura (P1.3a)

se deduce

= + = = (barra ) 0 10 0'6 1 5 0 2 T ,x x xF AB B B (P1.9)

= + = = (barra ) 0 3 10 0'8 0 5 T .y y yF AB B B (P1.10)

25 m

10 T 2 m

1 T

A

B

Bx

By

By

Bx

5 T

3 T 4 m

3 m

2 T6 mT

5 T

C

B

3 m

6 m


Problema ejemplo 2

En la Figura P2.1 se muestra una estructura de barras articuladas, que se sujeta a una pared

vertical mediante una articulacin en A y un apoyo en C. El peso de las barras que forman la

estructura es de 100 N/m, y se encuentra sometida a las cargas puntuales indicadas. Calclese el

valor de las reacciones en los apoyos y la fuerzas internas que se ejercen sobre las articulaciones de

las tres barras que forman la estructura.

2 m 1 m

4 m

4000 N

4800 N

Figura P2.1

RESOLUCIN:

Las reacciones en los apoyos (Figura P2.2) se calculan mediante las ecuaciones de equilibrio

para la estructura completa

Figura P2.2

= + = 0 0 ,x A CF H H (P2.1)

= = 0 400 300 4800 4500 0 ,y AF V (P2.2)

A B

C

HC

4500 N 400 N

300 N

4800 N

y

x

VA

HA


= = 0 4 4800 1'5 4000 2 300 1'5 500 1'5 0 .A CM H (P2.3)

Resolviendo este sistema se obtiene

= = =4200 N , 10000 N , 4200 N ,A A CH V H (P2.4)

donde el signo negativo de HA significa que esta fuerza tiene en realidad sentido contrario al

que se ha supuesto en la Figura P2.2.

Para calcular las fuerzas internas se desmonta la estructura y se consideran los diagramas de

slido libre de cada barra por separado. Estos diagramas se muestran en la Figura P2.3.

Figura P2.3

En el diagrama de slido libre de la barra AB, considerando el equilibrio de momentos

respecto a los puntos A y B se obtienen las ecuaciones

= = = 0 3 300 1'5 2 4800 0 3350 N ,A y yM B B (P2.5)

= + = = 0 3 10000 3 300 1'5 4800 1 0 8250 N .B y yM A A (P2.6)

En el diagrama de slido libre de la barra AC, tomando momentos respecto a los puntos A y C

se llega a

= + = = = 0 4 4 0 4200 N ,A C x x CM H C C H (P2.7)

= = = 0 4 0 0 .C x xM A A (P2.8)

4800 N

300 N By 4500 N

C

y

x

y

x

y

x

Bx B VA

HA

Ay

Ax

A

Cx HC

C Cy

400 N

Ax A

Ay By

Bx B

Cx

Cy


En este mismo diagrama, considerando el equilibrio en la direccin vertical, se obtiene

= = + = 400 0 400 7850 N ,y y y yC A C A (P2.9)

Volviendo ahora al diagrama de slido libre de la barra AB, el equilibrio de fuerzas en

direccin horizontal conduce a

+ + = = =0 4200 N .A x x x A xH A B B H A (P2.10)

En la Figura P2.4 se muestran los diagramas de slido libre de las tres barras con los valores

numricos de las fuerzas calculadas. El lector puede comprobar que las tres barras se encuentran en

equilibrio de fuerzas y momentos.

Figura P2.4

Conviene destacar un aspecto interesante del problema. En la resolucin de las fuerzas

internas se ha supuesto que las reacciones de HA y VA actan sobre el punto A de la barra AB, y que

la reaccin HC acta sobre el punto C de la barra AC. El lector puede comprobar que los valores

finales de las fuerzas que actan sobre cada elemento no varan si se supone que estas reacciones

externas actan sobre otra barra articulada en el mismo nudo. Por ejemplo, se obtendrn los mismos

esquemas de fuerzas si se supone que HA y VA actan sobre el punto A de la barra AC y que HC

acta sobre el punto C de la barra CB.

4200 N4800 N

300 N 3350 N 4500 N

C

B 10000 N

A

C

400 N

A B

8250 N

8250 N

4200 N

4200 N 4200 N

7850 N

3350 N

4200 N

4200 N

7850 N


Problema ejemplo 3

La Figura P3.1 representa una estructura de apuntalamiento de fachadas formada por un

bloque de hormign de 4m4m1.05m y 420 KN de peso, apoyado en el suelo, y por un entramado

de barras metlicas (de peso despreciable), articuladas entre s y al bloque de hormign. Sabiendo

que la estructura est sometida a las fuerzas que se indican con su direccin y sentido, y que el

coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo es = 015, obtngase:

1. El valor mximo de P que mantiene el sistema en equilibrio.

2. Tomando P = 1 T, la posicin de la reaccin normal N que ejerce el suelo sobre el bloque.

Figura P3.1

RESOLUCIN:

1. En la Figura P3.2 se muestra el diagrama de slido libre del conjunto formado por el bloque y la

estructura.

Las ecuaciones de equilibrio del conjunto son

= = = 0 3 0 3 .x R RF P F F P (P3.1)

= = = 0 420 0 420 KN .yF N N (P3.2)

4 m

6 m

6 m

2P

P

A B

C D

E F

4 m


= + = =840 420 2 16 10 420 2 420 0 .

420QPM P P x x (P3.3)

Para que el conjunto no deslice se ha de cumplir

= 3 0 '15 420 63 KN 21KN .RF N P P (P3.4)

Para que no vuelque, la condicin es

840 420 0 20 KN .

420Px P (P3.5)

Figura P3.2

Por lo tanto, cualquier valor de P comprendido entre 0 y 20 KN mantendra el sistema en

equilibrio. Un valor superior a ste hara que el sistema volcara alrededor del vrtice inferior derecho

del bloque. Luego el valor mximo de P para que el sistema est en equilibrio es P = 20 KN.

Haciendo P = 10 KN en la ecuacin (P3.3) se obtiene

= 1m .x (P3.6)

x

4 m

6 m

6 m

2P

P

A B

C D

E F

4 m2 m

2 m

420 KN

N

FR Q


Problema ejemplo 4

Una viga AB pesa 1000 Kp y su longitud es de 8 m. Se encuentra en equilibrio apoyada en

una pared rugosa en A y sujeta por un cable en B, tal como muestra la Figura P4.1. Sobre la viga se

puede deslizar sin rozamiento un colgador en el que se coloca un peso P = 2000 Kp. Cuando la carga

se encuentra a 6 m de la pared

1. Calclese la tensin del cable y la reaccin de la pared

2. Si se toma como coeficiente de rozamiento entre la viga y la pared = 05, determnese a partir de qu distancia de sta habr que colocar P para que la viga no deslice

Figura P4.1

RESOLUCIN

1. En la Figura P4.2 se muestra el diagrama de slido libre de la viga AB en la situacin indicada en el

apartado 1 del enunciado. Aplicando las condiciones de equilibrio a este diagrama se obtiene

= = = 0 cos30 0 cos30 ,xF N T N T (P4.1)

= + = = 0 1000 2000 sen30 0 3000 sen30 ,y R RF F T F T (P4.2)

= + = = =160000 1000 4 2000 6 sen30 8 0 4000 Kp .

4AM T T (P4.3)

Sustituyendo el resultado de la ecuacin (P4.3) en las ecuaciones (P4.1-2) se llega a

= =

34000 3464'10 Kp ,2

N (P4.4)

P

x

y

A B

viga colgador

60

8 m


= =3000 4000sen30 1000 Kp .RF (P4.5)

Figura P4.2

2. Se supone ahora que la viga se encuentra en situacin de deslizamiento inminente (Figura P4.3).

En esas condiciones se cumple

= = = 0 cos30 0 cos30 ,xF N T N T (P4.6)

= = =0'5 0'5 cos30 ,R RF N F N T (P4.7)

= + = = 0 3000 sen30 0 3000 sen30 .y R RF F T F T (P4.8)

Resolviendo las ecuaciones (P4.7-8) para FR y T se llega a

= =1392'3 Kp , 3215'39 Kp .RF T (P4.9)

Figura P4.3

Tomando momentos respecto a A, la distancia pedida resulta

= + = = =3215'39 sen30 8 40000 1000 4 2000 sen30 8 0 4'43 m .

2000AM x T x (P4.10)

Por tanto, la carga deber situarse en x 443 m.

Tsen30

x

A B

6 m 4 m

Tcos30

FR

N

y

1000 Kp

2000 Kp

30

Tsen30

x

A B

Tcos30

FR

N

y

1000 Kp

2000 Kp

4 m

x


Problema ejemplo 5

Las dos piezas homogneas A y B que se muestran en la Figura P5.1 estn apoyadas entre

s y en el suelo horizontal, con un coeficiente de rozamiento = 05. El peso de la pieza A es de 600 Kp, y el de la B de 50 Kp. Una fuerza horizontal F est aplicada sobre B a una altura de 15 m del

suelo.

1. Calclese el valor mximo de F para que exista equilibrio, comprobando que no se produce

deslizamiento de B sobre A, ni de A sobre el suelo

2. En el caso de F = 0, determnese la distancia d del punto O a la reaccin vertical del suelo sobre

la pieza A.

Figura P5.1

RESOLUCIN

1. En la Figura P5.2 se muestran las fuerzas que actan sobre el bloque B. Sea F1 la fuerza F

mxima que hace que B no deslice sobre A (deslizamiento inminente).

Figura P5.2

B

A

x O

y F 3 m

3 m

6 m

6 m

6 m 6 m

50 Kp

F1

FRAB NAB

B


Planteando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas se obtiene

= = = 0 50 0 50 Kp ,y AB ABF N N (P5.1)

= = = 1 10 0 .x RAB RABF F F F F (P5.2)

En la situacin de deslizamiento inminente se cumple

= = = = =1 0'5 50 25 Kp .RAB AB RAB ABF N F F N (P5.3)

Sea F2 la fuerza mxima que hace que B no vuelque sobre A. En la situacin de vuelco

inminente, la reaccin normal de A sobre B est aplicada en el punto S (Figura P5.3).

Figura P5.3

Tomando momentos respecto al punto S de las fuerzas que actan sobre B se obtiene

= = = 2 20 50 3 3 0 50 Kp .SM F F (P5.4)

Por tanto, el valor mximo de F compatible con el equilibrio de B sobre A es F1 = 25 Kp, ya que un

valor superior hara que B deslizara sobre A.

Por otra parte, queda la posibilidad de que el conjunto formado por A y B deslice o vuelque.

En la Figura P5.4 se muestra el conjunto formado por las dos piezas en la situacin de

deslizamiento inminente. F3 es la fuerza mxima que hace que el conjunto no deslice respecto al

suelo. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas conducen a

= = + + = 0 50 200 400 650 Kp ,yF N (P5.5)

= = = = 3 30 0 0'5 650 325 Kp .x RF F F F (P5.6)

50 Kp

F2

FRAB NAB

B

S

6 m

3 m


Figura P5.4

Sea F4 la fuerza mxima que hace que el conjunto formado por las dos piezas no vuelque. En

la situacin de vuelco inminente, la reaccin normal del suelo sobre el bloque A est aplicada en el

punto T (Figura P5.5).

Figura P5.5

Planteando el equilibrio de momentos respecto al punto T se llega a

= = = 4 40 400 3 200 3 50 3 15 0 30 Kp .TM F F (P5.7)

Por tanto, la fuerza F mxima compatible con el equilibrio pedida es F1, ya que a partir de ese

valor, la pieza B deslizara sobre la A.

En la Figura P5.6 se muestra el esquema de fuerzas que acta sobre el conjunto formado por

los dos bloques en la situacin propuesta en el apartado 2 del enunciado.

F4

50 Kp

N

FR

B

200 Kp

400 Kp

A

x

y

O

3 m

3 m

6 m

6 m

6 m 6 m

T

F3

N

FR

B

200 Kp

400 Kp

A

x

y

O

50 Kp


Figura P5.6

El equlibrio de fuerzas que actan sobre el conjunto conduce a

= = + + = 0 50 200 400 650 Kp ,yF N (P5.8)

Tomando momentos de las fuerzas respecto al punto O se obtiene

= = = 0 400 3 200 9 50 9 0 1'62 cm .OM N x x (P5.9)

50 Kp

N

B

200 Kp

400 Kp

A

x

y

O

x


Problema ejemplo 6

Una escalera de tijera est formada por dos tramos iguales AC y BC, de longitud L = 4 m,

unidos en C por una rtula (Figura P6.1). La escalera se apoya en A y B en un suelo horizontal

rugoso, de coeficiente de rozamiento esttico . Sus tramos forman un ngulo = 60 con la horizontal. Un individo de peso P sube por una escalera encontrndose a una distancia x del punto A,

medida sobre la horizontal.

Calclese el coeficiente de rozamiento necesario en los apoyos A y B, supuesto el mismo,

para que al subir el individuo la escalera se mantenga en equilibrio (supngase que el peso de la

escalera es despreciable ante el peso P del individuo).

Figura P6.1

RESOLUCIN

En la Figura P6.2 se muestra el diagrama de slido libre de la escalera.

Las ecuaciones de equilibrio son

= = 0 0 ,x RA RBF F F (P6.1)

= + = 0 0 ,y A BF N N P (P6.2)

= = 0 4 0 .A BM N P x (P6.3)

En estas ecuaciones, las incgnitas son NA, NB, FRA y FRB. Como el nmero de incgnitas

es mayor que el de ecuaciones, no es posible resolverlo todava.

P

A B

C

y

x

60

x

60

L = 4 m


Figura P6.2

Planteando el equilibrio de momentos de las fuerzas que actan sobre la parte BC de la

escalera respecto a la articulacin C, se obtiene una cuarta ecuacin

= = = 0 2 sen60 0 2 2 3 0 ,B B RB B RBM N F L N F (P6.4)

con la que ya es posible despejar NA, NB, FRA y FRB en funcin de P y de x. El resultado es

= = = =

3 , (4 ) , .12 4 4RA RB A B

P PF F Px N x N x (P6.5)

Las ecuaciones (P6.5) indican que las fuerzas de rozamiento en A y en B son siempre iguales

y que la normal en A es siempre mayor que en B salvo para x = 4 m (cuando el peso P se aplica en

C), en que ambas fuerzas son iguales. Por tanto, el lmite de deslizamiento inminente es

= ,RB BF N (P6.6)

ya que NA > NB, y la escalera deslizar antes en B excepto si P se aplica en C (x = 4 m), en el que el

deslizamiento se producir en ambos puntos.

Para una posicin dada, el coeficiente de rozamiento mnimo viene dado por

= = =RBB

FN

3 0'577 .3

(P6.7)

P

A B

C

y

x

60

x

60

NB NA

FRBFRA

2 m 2 m

L = 4 m


Problema ejemplo 7

Un bloque prismtico rectangular se apoya con rozamiento ( = 0.3) en un tablero inclinado 30 con la horizontal. Este tablero est articulado en un lado, y sujeto en el punto medio del lado

opuesto a un cable inextensible que pasa por una polea sin rozamiento y se sujeta en el bloque, tal

como muestra la seccin por el plano de simetra de la Figura P7.1. Si el peso del bloque es P = 2000

N y el peso del tablero P/4 = 500 N, calclese:

1. La tensin del cable que mantiene el sistema en equilibrio en esta posicin.

2. La fuerza de rozamiento entre bloque y tablero.

3. La posicin de la reaccin normal del tablero sobre el bloque.

Figura P7.1

RESOLUCIN:

1. Aislando el conjunto formado por el bloque y el tablero se obtiene el diagrama de slido libre que

se muestra en la Figura P7.2. Planteando el equilibrio de momentos en el punto A se llega a

+ + =cos30 cos30 sen30 cos30 0 .4 2 2 12 6P L L L LP P T T L (P7.1)

Despejando de la ecuacin, la tensin T de la cuerda resulta

= =

15 3 2 1428'7 N .8 3 3 1PT (P7.2)

L/3

L/3

L/3

L/6 30


Figura P7.2

2. En la Figura P7.3 se muestra el diagrama de slido libre del bloque. Las ecuaciones de equilibrio

de fuerzas en direccin paralela y perpendicular al tablero y momentos respecto al punto C conducen

a

= = =sen30 0 428'7 N ,2R RPT P F F T (P7.3)

= =3cos30 0 .

2N P N P (P7.4)

+ = =3 1 0 0'70 m .

6 2 6 2 12L L LN x T P P x (P7.5)

Figura P7.3

A

Ay

Ax

Psen30 Pcos30

P/4

T T

L/3

L/3

L/3

L/6

Psen30 Pcos30

T L/3

L/6

FR L/12 x N

L/6

C


Problema ejemplo 8

Dada la estructura de barras articuladas de la Figura P8.1, sometida a las cargas indicadas,

1. Calclese el torsor de las cargas en el punto B.

2. Redzcase el sistema de cargas a un solo vector.

Exprese los resultados en el sistema de referencia mostrado.

10 2 KNA

B

45

3030

2 m 2 m2 m2 m

10 2 KN

20 KN

30 KN

C

D

E

F

G

H

K

y

x

Figura P8.1

RESOLUCIN:

1. La resultante de las cargas es

( ) ( )= + =

+ = +

10 2 cos 45 10 2 sen45 10cos60 10 sen60 20 30

35 (20 5 3) KN 35 11'34 KN .

R i j i j i j

i j i j (P8.1)

Las distancias CD, EF y GH son

= =6 tan30 2 3 m ,CD (P8.2)

= =

34 tan30 4 m ,3

EF (P8.3)

10 KN


= =

32 tan30 2 m ,3

GH (P8.4)

El momento del sistema respecto al punto B resulta

= + + + =

= + =

2 2 1 3 3 310 2 2 3 10 2 2 10 4 10 4 20 2 30 82 2 2 3 2 3

(220 20 3) KNm 254.64 KNm .

BM k

k k

(P8.5)

El torsor de las cargas en el punto B queda de la forma

( ) = += =

35 11'34 KN.

254 '64 KNm B

B

R i jT

M k (P8.6)

2. Si la lnea de accin de la resultante pasa por un punto Q(x, y, z), el momento de la resultante

respecto al punto B es

= = = + + +

( ) ( 20 5 3) 35 (20 5 3 35 ) .

35 20 5 3 0B

i j kM R BQ R x y z z i z j x x y k (P8.7)

Imponiendo que el momento de la resultante respecto al punto B sea igual al momento

resultante del sistema respecto al mismo punto se llega a

+ =

==

+ = + + = +

( 20 5 3) 0 0 ,35 0

20 5 3 35 220 20 3 (4 3) 7 4(11 3) .

z zz

x x y x y

(P8.8)

As, la reduccin pedida es la resultante sobre el eje central dado por la ecuacin (P8.8).

03 problem as e static a vectorial

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