03-esfuerzos

7/24/2019 03-Esfuerzos

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Esfuerzos yEsfuerzos yDeformacionesDeformaciones

InnitesimalesInnitesimalesPirateado por: J. Rodrguez C.Pirateado por: J. Rodrguez C.

Escuela de Ingeniera de MinasEscuela de Ingeniera de Minas

FAIN/UNJBFAIN/UNJB


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FundamentosFundamentos


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!"#eti$o de la mec%nica de!"#eti$o de la mec%nica derocasrocas &e "usca 'redecir los des'lazamientos generados en el&e "usca 'redecir los des'lazamientos generados en el

cuer'o mineralizado y rocacuer'o mineralizado y roca(u)s'ed 'or las(u)s'ed 'or lase*ca$aciones y 'or la 'roducci+n ,e*tracci+n dele*ca$aciones y 'or la 'roducci+n ,e*tracci+n delmineral-.mineral-.

a roca est% sometida a esfuerzos gra$itacionales0a roca est% sometida a esfuerzos gra$itacionales0tect+nicos y otros. 1ay m)todos 'ara denir lostect+nicos y otros. 1ay m)todos 'ara denir losesfuerzos en la mina.esfuerzos en la mina.

E*ca$aci+n es 'e2ue3a relati$o al tama3o de la 4ierra.E*ca$aci+n es 'e2ue3a relati$o al tama3o de la 4ierra.

&e 'uede asumir 2ue ocurre en un semi5es'acio innito0&e 'uede asumir 2ue ocurre en un semi5es'acio innito0su#eto a un estado tensional inicial.su#eto a un estado tensional inicial.

6redicci+n del mo$imiento es difcil6redicci+n del mo$imiento es difcil 2ueremos sa"er si2ueremos sa"er silos des'lazamientos est%n dentro de lmites ace'ta"les.los des'lazamientos est%n dentro de lmites ace'ta"les.


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!"#eti$o de la mec%nica de!"#eti$o de la mec%nica derocasrocas

&e "usca un an%lisis de factores de&e "usca un an%lisis de factores deseguridad y esta"ilidadseguridad y esta"ilidad

Es necesario entender los conce'tos deEs necesario entender los conce'tos de

fuerza0 esfuerzo y deformaci+n.fuerza0 esfuerzo y deformaci+n.

7on#unto de leyes "%sicas87on#unto de leyes "%sicas8 eyes fsicaseyes fsicas

7inem%tica7inem%tica eyes de los materialeseyes de los materiales

mite el%stico8 com'ortamiento des'u)smite el%stico8 com'ortamiento des'u)s

de eso 'uede ser muy diferentede eso 'uede ser muy diferente


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Deniciones informalesDeniciones informales

Mec%nica8 %rea de la fsica 2ue estudia el efecto deMec%nica8 %rea de la fsica 2ue estudia el efecto delas fuerzas so"re los cuer'os.las fuerzas so"re los cuer'os.

Mec%nica de rocas8 rama de la ingeniera 2ue estudiaMec%nica de rocas8 rama de la ingeniera 2ue estudiael efecto de las fuerzas so"re las rocas.el efecto de las fuerzas so"re las rocas.

9oca8 'arte s+lida de la corteza terrestre formada 'or9oca8 'arte s+lida de la corteza terrestre formada 'or"lo2ues s+lidos y duros de gran tama3o0 enca#ados y"lo2ues s+lidos y duros de gran tama3o0 enca#ados yligados entre s. Agregado de minerales.ligados entre s. Agregado de minerales.

&uelo8 acumulaci+n de 'artculas de 'e2ue3o tama3o&uelo8 acumulaci+n de 'artculas de 'e2ue3o tama3o,(asta : o ;


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Macizo rocoso ,roc= mass-8 gran masa de rocaMacizo rocoso ,roc= mass-8 gran masa de rocacom'onente de la corteza terrestre. Est% com'uesto 'or8com'onente de la corteza terrestre. Est% com'uesto 'or8

9oca intacta8 el $olumen de roca 2ue se encuentra entre las9oca intacta8 el $olumen de roca 2ue se encuentra entre lasdiscontinuidades. 4am"i)n se llama matriz rocosa o sustanciadiscontinuidades. 4am"i)n se llama matriz rocosa o sustanciarocosa.rocosa.

Discontinuidades8 fallas0 diaclasas0 'lanos de fractura0 de cli$a#e0Discontinuidades8 fallas0 diaclasas0 'lanos de fractura0 de cli$a#e0etc.etc.

suelo

transicin

roca


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a mec%nica de rocasa mec%nica de rocas

Mec%nica de s+lidos8 asume com'ortamiento idealMec%nica de s+lidos8 asume com'ortamiento ideal 1omog)neo1omog)neo 7ontinuo7ontinuo Is+tro'oIs+tro'o inealineal El%sticoEl%stico

Al tratar con rocas0 se tiene8Al tratar con rocas0 se tiene8 Distinta com'osici+n mineral+gica y 'orosidadDistinta com'osici+n mineral+gica y 'orosidad

(eterog)neo(eterog)neo

MicrosurasMicrosuras discontinuodiscontinuo Distinta orientaci+n de los mineralesDistinta orientaci+n de los minerales anis+tro'oanis+tro'o Mineral alterado0 sometido a meteorizaci+nMineral alterado0 sometido a meteorizaci+n no lineal0 nino lineal0 ni

el%stico>el%stico>


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Al considerar el macizo rocoso8Al considerar el macizo rocoso8 E*isten discontinuidades a distintas escalasE*isten discontinuidades a distintas escalas

E*iste un grado de meteorizaci+n de la rocaE*iste un grado de meteorizaci+n de la roca,agua0 aire-,agua0 aire-

4ect+nica4ect+nica

7laramente0 las condiciones no son ideales7laramente0 las condiciones no son ideales

1omog)neo1omog)neo7ontinuo7ontinuoIs+tro'oIs+tro'oinealineal

El%sticoEl%stico


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1omog)neo1omog)neo7ontinuo7ontinuoIs+tro'oIs+tro'oinealineal

El%sticoEl%stico

1eterog)neo1eterog)neoDiscontinuoDiscontinuoAnis+tro'oAnis+tro'oNo linealNo lineal

No el%sticoNo el%stico?

Al considerar el macizo rocoso8Al considerar el macizo rocoso8 E*isten discontinuidades a distintas escalasE*isten discontinuidades a distintas escalas

E*iste un grado de meteorizaci+n de la rocaE*iste un grado de meteorizaci+n de la roca,agua0 aire-,agua0 aire-

4ect+nica4ect+nica

7laramente0 las condiciones no son ideales7laramente0 las condiciones no son ideales


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El estado mec%nico de un sistema seEl estado mec%nico de un sistema secaracteriza 'or8caracteriza 'or8 a 'osici+n de cada 'arte del sistemaa 'osici+n de cada 'arte del sistema

,coordenadas-,coordenadas-

as fuerzas 2ue se encuentran actuandoas fuerzas 2ue se encuentran actuando a $elocidad de las 'artes del sistema 2uea $elocidad de las 'artes del sistema 2ue

cam"ian de 'osici+ncam"ian de 'osici+n

a diferencia entre dos estados 2uedaa diferencia entre dos estados 2uedadenida 'or8denida 'or8 El cam'o de des'lazamientosEl cam'o de des'lazamientos El cam'o de deformacionesEl cam'o de deformaciones a $ariaci+n en los esfuerzos ,el estado tensional-a $ariaci+n en los esfuerzos ,el estado tensional-


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Des'lazamientosDes'lazamientos

@ector 2ue mide el cam"io en la@ector 2ue mide el cam"io en la'osici+n de un 'unto'osici+n de un 'unto

Des'lazamiento trayectoriaDes'lazamiento trayectoria

uuppffCC ppii

&e dice 2ue un cam'o dedes'lazamientos es (omog)neo si uconstante 'ara todo 'unto en el sistema


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DeformacionesDeformaciones

7am"io en la se'araci+n entre dos7am"io en la se'araci+n entre dos'untos del sistema0 res'ecto a su'untos del sistema0 res'ecto a suse'araci+n inicialse'araci+n inicial

,l ,liiC lC lff- / l- / lii

AdimensionalAdimensional


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FuerzasFuerzas

ra$edadra$edad8 F8 F m g , m g ,$olum)trica$olum)trica-- &u'erciales8 e#ercidas 'or materiales 2ue rodean&u'erciales8 e#ercidas 'or materiales 2ue rodean

el cuer'o y actan so"re las su'erciesel cuer'o y actan so"re las su'ercies

Fuerza com'resi$aFuerza com'resi$a Fuerza traccionalFuerza traccional

,F,F - - ,F G -,F G -

F F


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FuerzasFuerzas

En general se tiene8En general se tiene8

Fuerza normalFuerza normal Fuerza de corte o cizalleFuerza de corte o cizalle

,com'resi$a o traccional-,com'resi$a o traccional-

,con$enci+n de signos-,con$enci+n de signos-

Fuerza de'ende del %rea0 se mide en NFuerza de'ende del %rea0 se mide en N

6or esta raz+n se tra"a#a con esfuerzos6or esta raz+n se tra"a#a con esfuerzos

F F


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7onsideraciones7onsideraciones

Fracturamiento de la rocaFracturamiento de la roca El cam'o de esfuerzos en minera es com'resi$o a diferenciaEl cam'o de esfuerzos en minera es com'resi$o a diferencia

de otros materiales en los cuales est% relacionado con lade otros materiales en los cuales est% relacionado con latracci+ntracci+n

a com'resi+n en con#unto con microfracturas genera zonasa com'resi+n en con#unto con microfracturas genera zonasde alto cizallede alto cizalle

7om'ortamiento es altamente sensi"le al connamiento7om'ortamiento es altamente sensi"le al connamiento Fallamiento 'or cizalle o corteFallamiento 'or cizalle o corte

Efectos de escalaEfectos de escala Naturaleza discontinua del macizo rocosoNaturaleza discontinua del macizo rocoso 9esistencia y 'ro'iedades de deformaci+n del macizo9esistencia y 'ro'iedades de deformaci+n del macizo

de'enden de las 'ro'iedades de la roca intacta y de lasde'enden de las 'ro'iedades de la roca intacta y de lasdiscontinuidadesdiscontinuidades 6erforaci+n6erforaci+n de'ende de 'ro'iedades de roca intactade'ende de 'ro'iedades de roca intacta E*ca$aci+n de tnelE*ca$aci+n de tnel de'ende del com'ortamiento del sistemade'ende del com'ortamiento del sistema

de fracturasde fracturas 6ilar6ilar com'ortamiento seudo5continuocom'ortamiento seudo5continuo

Dicultad 'ara testear macizo rocosoDicultad 'ara testear macizo rocoso


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7onsideraciones7onsideraciones

9esistencia a la tracci+n9esistencia a la tracci+n a roca ,y el concreto- muestra una muy "a#a resistencia a laa roca ,y el concreto- muestra una muy "a#a resistencia a la

tracci+n0 un orden de magnitud menor a la resistencia a latracci+n0 un orden de magnitud menor a la resistencia a lacom'resi+n unia*ialcom'resi+n unia*ial

Discontinuidades 'r%cticamente no tienen resistencia a laDiscontinuidades 'r%cticamente no tienen resistencia a latracci+ntracci+n

Honas 2ue ser%n sometidas a tracci+n al realizarse unaHonas 2ue ser%n sometidas a tracci+n al realizarse unae*ca$aci+n generar%n inesta"ilidades 'ara desconnarsee*ca$aci+n generar%n inesta"ilidades 'ara desconnarse

Efecto del agua su"terr%neaEfecto del agua su"terr%nea Agua en discontinuidades reduce resistencia al corteAgua en discontinuidades reduce resistencia al corte

,fricci+n-,fricci+n- 6uede alterar la roca y reducir su resistencia6uede alterar la roca y reducir su resistencia

Meteorizaci+nMeteorizaci+n Alteraci+n fsica o 2umica de la su'ercie de la roca enAlteraci+n fsica o 2umica de la su'ercie de la roca en

contacto con gas o solucionescontacto con gas o soluciones

9educe calidad de la roca y coeciente de fricci+n9educe calidad de la roca y coeciente de fricci+n


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eyes fsicaseyes fsicas

7onser$aci+n de masa7onser$aci+n de masa Balance de momentum linealBalance de momentum lineal Balance de momentum angularBalance de momentum angular Balance de energaBalance de energa

Balance de entro'aBalance de entro'a

Estas leyes se a'lican a todo ti'o de rocaEstas leyes se a'lican a todo ti'o de rocainde'endiente del ti'o de materialinde'endiente del ti'o de material

6aso de la mec%nica de 'artculas a la6aso de la mec%nica de 'artculas a lamec%nica de cuer'os nitos re2uiere lamec%nica de cuer'os nitos re2uiere laintroducci+n de conce'tos como continuo yintroducci+n de conce'tos como continuo y

esfuerzoesfuerzo


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7once'to de continuo7once'to de continuo

a materia se considera continua (astaa materia se considera continua (astauna di$isi+n innitesimaluna di$isi+n innitesimal

as8as8

JFJF%tomos%tomos

&+lido8&+lido8

JJJJ55J:J:%tomos%tomosK mm

K mm

K mm

7once'to de continuo se a'lica a 'esar de7once'to de continuo se a'lica a 'esar dee*istir discontinuidades>e*istir discontinuidades>


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7once'to de esfuerzo7once'to de esfuerzo

a idea es descri"ir la intensidad de las fuerzasa idea es descri"ir la intensidad de las fuerzasinternas e*istentes en un cuer'o sometido a uninternas e*istentes en un cuer'o sometido a uncon#unto de fuerzas su'erciales.con#unto de fuerzas su'erciales.

Denimos el estado tensional en un 'unto enDenimos el estado tensional en un 'unto ent)rminos de la intensidad areal de las fuerzast)rminos de la intensidad areal de las fuerzas2ue actan en las su'ercies ortogonales de un2ue actan en las su'ercies ortogonales de uncuer'o li"re elemental centrado en el 'unto.cuer'o li"re elemental centrado en el 'unto.

A diferencia de las fuerzas0 los esfuerzos noA diferencia de las fuerzas0 los esfuerzos no'ueden medirse directamente.'ueden medirse directamente.


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7onsideremos un cuer'o sometido a fuerzas7onsideremos un cuer'o sometido a fuerzas660 60 60 >0 >

El cuer'o se encuentra en e2uili"rio ,no seEl cuer'o se encuentra en e2uili"rio ,no sedes'laza-des'laza-

Lueremos sa"er la carga so"re unaLueremos sa"er la carga so"re unasu'ercie interior del cuer'osu'ercie interior del cuer'o


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7ortando el cuer'o0 'odemos7ortando el cuer'o0 'odemosconsiderar la fuerza resultanteconsiderar la fuerza resultante 992ue 'ermite mantener el e2uili"rio >2ue 'ermite mantener el e2uili"rio >

El esfuerzo resultante en el 'unto es8El esfuerzo resultante en el 'unto es8

El $ectorEl $ector 9 se descom'one en una9 se descom'one en unacom'onente normal y otra tangencialcom'onente normal y otra tangenciala la su'ercie8a la su'ercie8

Esfuerzo normalEsfuerzo normal Esfuerzo deEsfuerzo decortecorte


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4ensor ,ni escalar0 ni $ector-4ensor ,ni escalar0 ni $ector- Denido 'or8Denido 'or8

4res com'onentes normales4res com'onentes normales2ue actan 'er'endicular a2ue actan 'er'endicular alas caras de un cu"olas caras de un cu"oelementalelemental

&eis com'onentes de corte&eis com'onentes de corteso"re estas carasso"re estas caras

Nue$eNue$ecom'onentes acom'onentes adeterminardeterminar

7u"o elemental en7u"o elemental en e2uili"rioe2uili"rioesfuerzos de corteesfuerzos de corte

com'lementarios soncom'lementarios sonigualesiguales

&eis&eiscom'onentescom'onentesinde'endientesinde'endientes

Esfuerzos y direccionesEsfuerzos y direcciones'rinci'ales'rinci'ales


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Medidos en 6ascalesMedidos en 6ascales N/mN/mJJ &igno es con$encional&igno es con$encional4erminologa informal 'ara denir el estado4erminologa informal 'ara denir el estado

de esfuerzos de un macizo rocoso8de esfuerzos de un macizo rocoso8


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4erminologa 'ara esfuerzos medidos en la"oratorio es m%s4erminologa 'ara esfuerzos medidos en la"oratorio es m%sclara8clara8 esfuerzo unia*ial ,a'licado en un solo e#e-esfuerzo unia*ial ,a'licado en un solo e#e- "ia*ial ,a'licado so"re dos e#es-"ia*ial ,a'licado so"re dos e#es- tria*ial ,a'licada so"re tres e#es0 con dos de ellos sometidos altria*ial ,a'licada so"re tres e#es0 con dos de ellos sometidos al

mismo esfuerzo usualmente mediante un uido-mismo esfuerzo usualmente mediante un uido-

'olia*ial o tria*ial $erdadero ,cuando los tres esfuerzos a los 2ue'olia*ial o tria*ial $erdadero ,cuando los tres esfuerzos a los 2uese somete la 'ro"eta son efecti$amente diferentes-se somete la 'ro"eta son efecti$amente diferentes- 7ual2uier su'ercie constituye un 'lano 'rinci'al de7ual2uier su'ercie constituye un 'lano 'rinci'al de

esfuerzos ,no (ay esfuerzo de corte-esfuerzos ,no (ay esfuerzo de corte- reorientaci+n localreorientaci+n localdel tensor de esfuerzosdel tensor de esfuerzos E*ca$acionesE*ca$aciones

Fracturas a"iertasFracturas a"iertas

Fracturas con relleno ,en menor grado0 de'ende del relleno-Fracturas con relleno ,en menor grado0 de'ende del relleno- 7once'to de continuo7once'to de continuodenici+n de escala de tra"a#odenici+n de escala de tra"a#o

control estructuralcontrol estructural


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7uer'o en e2uili"rio7uer'o en e2uili"riofuerzas internas fuerzas internas fuerzas e*ternasfuerzas e*ternas

Fuerza e*terna dFFuerza e*terna dFdistri"uida so"re dAdistri"uida so"re dA'roduce la tracci+n 4'roduce la tracci+n 4tal 2ue dF4dAtal 2ue dF4dA

@ectores dF y 4 tienen@ectores dF y 4 tienenla misma direcci+nla misma direcci+n

a su'ercie dA tienea su'ercie dA tieneasociado un $ectorasociado un $ector

normal nnormal n


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!rigen en el $)rtice del!rigen en el $)rtice deltetraedrotetraedro

lados del tetraedrolados del tetraedroson 'lanosson 'lanos

coordenados con %reascoordenados con %reasdA*0 dAy y dAz so"redA*0 dAy y dAz so"relas 2ue actanlas 2ue actantracciones 4*0 4y y 4ztracciones 4*0 4y y 4z

E2uili"rio im'lica8E2uili"rio im'lica8


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4ensor de esfuerzo4ensor de esfuerzo

os elementosos elementos ****00 *y*y0 etc.0 son0 etc.0 soncom'onentes de las tracciones 2ue actancom'onentes de las tracciones 2ue actanso"re los 'lanos coordenados.so"re los 'lanos coordenados. 6rimer su"ndice indica la direcci+n de la normal6rimer su"ndice indica la direcci+n de la normal

a la su'ercie so"re la cual actan los esfuerzosa la su'ercie so"re la cual actan los esfuerzos &egundo su"ndice indica la direcci+n de acci+n&egundo su"ndice indica la direcci+n de acci+n

de la com'onente considerada de la tracci+nde la com'onente considerada de la tracci+n

as com'onentes direccionales del $ectoras com'onentes direccionales del $ector

normal son8 nnormal son8 n**0 n0 nyy0 n0 nzz


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ActanActan normalnormala las su'erciesa las su'erciesasociadas y sonasociadas y son esfuerzos directosesfuerzos directos


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Actan normal a las su'erciesActan normal a las su'erciesasociadas y son esfuerzos directosasociadas y son esfuerzos directos

ActanActan 'aralelo'araleloa las su'erciesa las su'erciesasociadas y sonasociadas y son esfuerzos de corteesfuerzos de corte


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&e re2uiere conocer los esfuerzos relati$o a&e re2uiere conocer los esfuerzos relati$o aun sistema de referencia cual2uiera 'araun sistema de referencia cual2uiera 'araconocer el estado tensional en un 'unto.conocer el estado tensional en un 'unto.

Balance de momentum angular im'licaBalance de momentum angular im'lica

orden de los su"ndices no es rele$anteorden de los su"ndices no es rele$ante

s+lo se re2uiere conocer seis com'onentess+lo se re2uiere conocer seis com'onentes

'ara denir el estado tensional'ara denir el estado tensional


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El esfuerzo se 'uede re'resentarEl esfuerzo se 'uede re'resentarcomo un $ector de seis com'onente ocomo un $ector de seis com'onente oun tensor de nue$e com'onentes8un tensor de nue$e com'onentes8

E f i +tE f i +t


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Esfuerzo is+tro'o yEsfuerzo is+tro'o yde$iat+ricode$iat+rico4ensor de esfuerzos se di$ide en4ensor de esfuerzos se di$ide en

is+tro'ois+tro'o,esf)rico o isotr+'ico- y,esf)rico o isotr+'ico- yde$iat+ricode$iat+rico..

Is+tro'o8 Esfuerzo normal medioIs+tro'o8 Esfuerzo normal medio

De$iat+rico8De$iat+rico8

Esfuerzo normal8 se resta el esfuerzoEsfuerzo normal8 se resta el esfuerzois+tro'ois+tro'o

Esfuerzo de corte8 no cam"ianEsfuerzo de corte8 no cam"ian

E f i +tE f i +t


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Esfuerzo is+tro'o yEsfuerzo is+tro'o yde$iat+ricode$iat+rico

4ensor de esfuerzos4ensor de esfuerzos

De$iat+ricoDe$iat+rico

Is+tro'oIs+tro'o


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Esfuerzos 'rinci'alesEsfuerzos 'rinci'ales

4ensor 'uede rotarse 'ara lle$arlo a4ensor 'uede rotarse 'ara lle$arlo aun sistema de direcciones 'rinci'alesun sistema de direcciones 'rinci'ales4ensor se diagonaliza


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Esfuerzos 'rinci'alesEsfuerzos 'rinci'ales

Direcciones de e#es 0 y : son direccionesDirecciones de e#es 0 y : son direcciones'rinci'ales'rinci'ales

Esfuerzos 'rinci'ales son 'er'endiculares entre s yEsfuerzos 'rinci'ales son 'er'endiculares entre s ynormales a los 'lanos 'rinci'alesnormales a los 'lanos 'rinci'ales

6lanos 'rinci'ales no est%n su#etos a esfuerzos de6lanos 'rinci'ales no est%n su#etos a esfuerzos decortecorte 6lanos 2ue no est%n su#etos a esfuerzos de6lanos 2ue no est%n su#etos a esfuerzos decorte son 'lanos 'rinci'alescorte son 'lanos 'rinci'ales

&i dos esfuerzos 'rinci'ales son iguales0 las&i dos esfuerzos 'rinci'ales son iguales0 lasdirecciones 'rinci'ales no son nicasdirecciones 'rinci'ales no son nicas

&u'ercies de e*ca$aciones en roca 2ue se so'ortan&u'ercies de e*ca$aciones en roca 2ue se so'ortannaturalmente est%n li"res de esfuerzo de corte0 luegonaturalmente est%n li"res de esfuerzo de corte0 luegoson su'ercies 'rinci'ales. Direcci+n normal a lason su'ercies 'rinci'ales. Direcci+n normal a la

i i i l f i lsu'ercie es 'rinci'al con esfuerzo igual a cero.

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