Curso2 1

Cuando encontr a nnn.

Dulcinea Raboso.

1. Valor asinttico de sumas.

A continuacin estudiaremos el valor asinttico de sumas de la formanx

f(n)

donde f : N R. Para ello, antes necesitamos introducir algo de notacin.

1.1. Notacin de Landau.

Por lo general, se desea reemplazar funciones complicadas por otras ms simples y para ello

vamos a necesitar un lenguaje para comparar funciones.

Por ejemplo, cmo es 7x3 12x+ 9 en comparacin con x3?Se dene una nueva relacin, , de modo que

f(x) h(x) cuando x

si podemos encontrar una constante C y x0 tal que

f(x) Ch(x) cuando x > x0.

Por ejemplo,

7x3 12x+ 9 x3 cuando xdonde la constante C = 8 cumple la denicin para x0 = 1.

Si F (x) es una funcin creciente, entonces a b exactamente cuando F (a) F (b). De estemodo se tiene que

exp(

log(x)) x cuando xpuesto que el logaritmo y la raz son ambas funciones crecientes. As

exp(

log(x)) xlog(x) log(x)log(x) log2(x)

y y2

Curso2 2

que es cierto para y > 1 o x > e. Por lo tanto, la relacin es cierta con C = 1.

La clave de la notacin es simplicar expresiones complicadas y suprimir las constantesque no importan. Por esa razn, no tiene sentido preocuparse por la eleccin de C. A veces seescribe simplemente

exp(

log(x)) xcuando es evidente por el contexto que x . Adems, se puede no hacer referencia a lavariable x, por ejemplo, el n-simo nmero triangular, tn = n(n+ 1)/2, satisface

tn n2.La relacin es reexiva: f(x) f(x) siempre es cierto, y es transitiva: Si f(x) g(x)y g(x) h(x), entonces f(x) h(x), pero no es simtrica: f(x) g(x) no signica queg(x) f(x).Podemos introducir un nuevo concepto para comparar funciones, f(x) y g(x), que tenganel mismo tamao, hasta un cierto trmino de error de tamao h(x).Se dice que

f(x) = g(x) +O(h(x)) si |f(x) g(x)| h(x).Por ejemplo,

(x+ 1)2 = x2 +O(x) cuando x,pues

|(x+ 1)2 x2| = |2x+ 1| x.Un ejemplo con un parmetro entero n en lugar de x: el n-simo nmero triangular satisface

tn =n2

2+O(n),

porque tn n2/2 = n(n+ 1)/2 n2/2 = n/2.1) Probar que cuando x,

x

x+ 1= 1 +O

(1x

), cosh(x) = exp(x)/2 +O(exp(x)),

donde cosh(x) = exp(x)+exp(x)2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) Probar que la suma de los cuadrados de los primeros n enteros esnk=1

k2 =n3

3+O(n2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si tenemos un par de funciones tales que f(x) h(x), se puede escribirf(x) = O(h(x)).

Curso2 3

1.2. Frmula de sumacin de Euler.

En muchas aplicaciones, para obtener el valor asinttico de una suma resulta necesaria

compararla con una integral. La frmula de sumacin de Euler proporciona una estimacin del

error cometido en esta aproximacin. En lo que sigue detonaremos por [t] al mayor entero t.

Teorema 1.1 (Frmula de sumacin de Euler) Si f : [y, x] R tiene derivada conti-nua en el intervalo [y, x] entonces tenemos:

(1)

y

Curso2 4

n es un nmero entero. Debido a que k x exactamente cuando k [x], la parte entera dex, esto sigue siendo un nmero triangular, [x]([x] + 1)/2. El problema es que esta funcin devariable real no es continua, al igual que [x] no lo es. Para nes de anlisis, se preere teneruna funcin continua dejando que la O grande absorba la discontinuidad.

Teorema 1.2 Sea 0, entonceskx

k =x+1

+ 1+O(x)

Demostracin: Aplicando la frmula de sumacin de Euler a f(t) = t en el intervalo (1, x]se tiene

kxk =

x1t dt+

x1

(t [t])t1 dt+ 1 (x [x])x

=x+1

+ 1 1+ 1

+O(

x1t1 dt

)+O(x)

=x+1

+ 1+O(x)

2

Teorema 1.3 Para x 1, kx

1

k= log x+ +O

(1x

)donde es una constante que se conoce como la constante de Euler.

Demostracin: Tomando f(t) = 1/t en la frmula de sumacin de Euler en el intervalo (1, x]obtenemos

kx

1

k=

x1

dt

t x1

t [t]t2

dt+ 1 x [x]x

= log x x1

t [t]t2

dt+ 1 +O(1x

)= log x

1

t [t]t2

dt+

x

t [t]t2

dt+ 1 +O(1x

)La integral

1

t[t]t2

dt existe pues est mayorada por1

1t2dt. La otra integral la podemosacotar,

0 x

t [t]t2

dt x

1

t2dt =

1

x

Curso2 5

De este modo, obtenemos la frmula asintticakx

1

k= log x+ 1

1

t [t]t2

dt+O(1x

)Llamando

= 1 1

t [t]t2

dt

obtenemos el resultado. 2

Como consecuencia de este teorema, la constante de Euler se puede denir

(2) = lmn

(1 +

1

2+

1

3+ + 1

n log n

)El valor numrico aproximado de es

0, 5772156649015328606065120900824024310422 . . .Ahora aplicaremos la frmula de sumacin de Euler a las sumas parciales de la funcin zeta.

Teorema 1.4 Si s R, s > 1 y x 1, se tiene la siguiente frmula asinttica:kx

1

ks=x1s

1 s + (s) +O(xs)

Demostracin: Tomando f(t) = ts en la frmula de sumacin de Euler en el intervalo (1, x],se tiene que

kx

1

ks=

x1ts dt s

x1

(t [t])t1s + 1 (x [x])xs

=x1s

1 s 1

1 s + 1 s 1

(t [t])ts+1

dt+O(xs)

Por lo tanto kx

1

ks=x1s

1 s + C(s) +O(xs)

donde

C(s) = 1 +1

s 1 s 1

t [t]ts+1

dt

Como s > 1, cuando x el primer miembro tiene a (s), y vemos que los trminos xs yx1s tienden a cero, de donde (s) = C(s), y se obtiene el resultado. 2

Curso2 6

Corolario 1.5 En las condiciones del teorema anterior se tienek>x

1

ks= O(x1s)

Demostracin: Basta notar quek>x

1

ks= (s)

kx

1

ks=x1s

1 s +O(xs) = O(x1s)

pues xs x1s. 2

1.3. Ideas geomtricas.

En la seccin anterior hemos probado algunas estimaciones. A continuacin vamos a dar

unas ideas geomtricas sobre el tema.

Nmeros triangulares.

Comencemos por la idea geomtrica que se esconde tras la suma asinttica de los nmeros

triangulares. Tenemos que para un nmero real x,kx

k =x2

2+O(x).

Primero, observamos que

x2

2=

x0t dt

es el rea del tringulo grande en la Figura 1. La cantidad por la cual

kx k supera dicho valores el rea sombreada con franjas verticales. Por otro lado, las franjas horizontales muestran el

rea del tringulo no cubierta por cualquiera de los rectngulos, este error tiene el signo opuesto.

De modo que

kx

k x2

2=

[x]k=1

1

2 (x [x])(x+ [x])

2=

[x] + [x]2 x22

Por lo tanto, basta ver que |[x] + [x]2 x2| 2Cx, y esto es cierto tomando C = 1.

Nmeros armonicos.

Curso2 7

Figura 1: Nmeros triangulares.

Podemos ampliar el nmero de armnicos a variable real, tal y como hicimos para los

nmeros triangulares, deniendo

Hx =kx

1

k,

y tomar n = [x].

Lema 1.6 Para todo n > 1,

(3) Hn 1 < log(n) < Hn1.

Demostracin: La idea bsica es geomtrica. Sabemos que log n en el clculo es una integraldenida,

log n =

n1

1

tdt,

por lo que es el rea bajo la curva y = 1/t entre t = 1 y t = n. En primer lugar, Hn 1 =1/2 + 1/3 + + 1/n, y los n 1 rectngulos de ancho 1 y alturas 1/2, 1/3, . . . , 1/n tienen reatotal Hn 1.El diagrama en la parte superior de la Figura 2 muestra el ejemplo de n = 6. Debido a quetodos los rectngulos se sitan bajo la curva y = 1/t, el rea de estos rectngulos es menor queel rea bajo la curva, de modo que Hn 1 < log n. La otra desigualdad es igual de fcil. Se

Curso2 8

Figura 2: Cotas superior e inferior para los nmeros armnicos.

tiene que Hn1 = 1 + 1/2 + + 1/(n 1) y que los n 1 rectngulos de ancho 1 y alturas1, 1/2, . . . , 1/(n 1) tiene rea total Hn1. El caso de n = 6 est en la parte inferior de laFigura 2. Ahora, la curva se ajusta en el marco de los rectngulos, por lo que log n < Hn1. 2

En la notacin O grande, como Hn1 < Hn, se tiene Hn 1 < log n < Hn, de donde

0 < Hn log n < 1,

y por tanto

Hn = log n+O(1).

Curso2 9

Por lo tanto, el nmero de armnicos, Hn, es aproximadamente del mismo tamao que log n.De hecho, ya vimos cmo no solo la diferencia entre ellos es limitada en tamao, en realidad se

tiene una limitacin para ese valor, la constante de Euler .

Figura 3: Prueba geomtrica de la ecuacin (4).

Veamos la idea geomtrica que hay detrs de este valor. Consideremos de nuevo la parte

inferior de la Figura 2, lo que demuestra que log n < Hn1. La diferencia entre Hn1 y log nes el rea por encima de y = 1/t y por debajo de todos los rectngulos. Esta es la reginsombreada que se muestra en la parte superior de la Figura 3. Para cada n, sea En el rea deesta regin, de modo que, numricamente, En = Hn1 log n. En la parte inferior de la Figura3, se ha movido todas las piezas horizontalmente hacia la izquierda, esto no cambia el rea

porque todos ellos encajan en el rectngulo de altura 1 y ancho 1, de este modo vemos que el

En 1.Debido a que esto es cierto para todo n, innitas veces, vemos que el rea de todas laspiezas es un nmero nito menor que 1, que denotamos por .Ahora que estamos seguros de que existe, consideramos (Hn1 log n). Esto es En,

Curso2 10

el rea total de todas, excepto las n primeras piezas. Hasta el valor n, se encajan en el rectnguloentre la altura 1 y la altura 1/n. Esto es slo la parte inferior de Figura 3 de nuevo. As que elresto encaja en un rectngulo entre la altura 1/n y 0, el cual tiene rea 1/n. Esto signica que

0 < (Hn1 log n) < 1/n,de donde

1/n < Hn1 log n < 0.Sumando 1/n se tiene que

0 < Hn log n < 1/ny por tanto

(4) Hn = log n+ +O(1/n).

Factoriales.

Con la notacin O grande vamos a tratar de obtener una estimacin para n!. La idea bsicaes la misma que antes: comparar una suma con una integral. Para obtener una suma a partir

de n!, se usan logaritmos:

log(n!) =nk=1

log k.

La integral de inters a efectos de comparacin ser n1

log t dt = (t log t t)]n1 = n log n n+ 1.

Lema 1.7

log(n!) = n log n n+O(log n).Demostracin: Sean k un nmero entero y t tales que k 1 t k, entonces

log(k 1) log t log k,puesto que el logaritmo es una funcin creciente. Integrando entre t = k 1 y t = k,

(5)

kk1

log(k 1) dt kk1

log t dt kk1

log k dt.

La primera y la ltima integral son constantes en t y se tiene que

log(k 1) kk1

log t dt log k

Curso2 11

de donde

(6) 0 log k kk1

log t dt log k log(k 1).

Podemos ver esto como n 1 desigualdades, con k = 2, 3, . . . , n, para despus sumarlas.nk=2

kk1

log t dt =

21

log t dt+

32

log t dt+ + nn1

log t dt

=

n1

log t dt

mientras que la ltima suma en el lado derecho de (6)

nk=2

(log k log(k 1)) = (log 2 log 1) + (log 3 log 2) + + (log n log(n 1)

= log n log 1 = log n.

Se tiene que

0 nk=2

log k n1

log t dt log n.

Por lo tanto

0 log(n!) (n log n n) log n+ 1 log n.2

Referencias

[1] Apostol, T.M. Introduction to Analytic Number Theory.

[2] Conway, J. Guy, R. The Book of Numbers.

[3] DeBrujin, N. G. Asymptotic Methods in Analysis.

[4] Jerey Stopple. A Primer of Analytic Number Theory.