Derivabilidad y continuidad.

Teorema: Si f es una función derivable en a entonces f es continua en a.

Igualmente: Si f es dicontinua en a f no es diferenciable en a.

Esto no significa que si una función es continuas en todo , esta sea derivable en todo ,

veremos un ejemplo después de la siguiente definición.

Def: Derivadas Laterales en un punto :

Derivadas laterales por la derecha: Si f está definida en a, la derivada por la derecha de a se

define como: ( )

( ) ( )

( ) ( )

si existe.

Derivadas laterales por la izquierda: Si f está definida en a, la derivada por la derecha de a

se define como: ( )

( ) ( )

( ) ( )

, si existe.

Def: Una función definida en un intervalo abierto que contiene a es diferenciable en

ssi ( ) y

( ) existen y son iguales.

Como decía anteriormente hay funciones continuas en todos los reales que no son

diferenciables en algún punto.

Por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en

cero.

Veamos:

| | {

Su gráfica es conocida y sabemos que es una función continua en , y específicamente en

Calculemos las derivadas laterales en

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

} ( ) no existe

Podemos resumir que una función no es diferenciable en x=a cuando ocurre cualquiera de

las siguientes situaciones:

1. La función es discontinua en el punto.

2. La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una

recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto

en 0).

3. La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que

pasa por el punto.

Ejercicios resueltos:

Leithold desde pag 109 – 115, propuestos 116 en adelante.

Stewart, Cálculo en una Variable Trascendentes y Tempranas 4ta edición.

Pag 168- 170, propuestos 171- 177

Calculo diferencial e integral Canals, Espinoza, Meda, Perez, Ulín

(http://canek.uam.mx/?secc=2) Pag 264-266, 286, 287

Links de ejercicios resueltos y propuestos.

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.h

tm

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-

linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node5.html