Ejemplo 5.23

De 2000 usuarios de “Tv Cable”, 1000 tienen el paquete completo (P1) de 120 canales de TV , 600 tienen el paquete intermedio (P2) de 50 canales y el resto el paquete básico (P3) de 25 canales. De los registros de pagos se sabe que son morosos el 3% , el 4% y el % de los usuarios respectivamente en cada paquete. Si se elige un usuarios al zar de la lista de los usuarios de “TV Cable”,a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea usuario moroso?B) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el paquete intermedio, si el usuario es moroso?

SOLUCIÓNSean los eventos: Ai = “El usuario tiene el paquete P1”, i = 1,2,3. B = “El usuario es moroso”

Las probabilidades P(Ai) y P( B/Ai) se ubican en el diagrama de árbol que sigue, donde,

P(A1) = 1000/ 2000= 0.5, P(A2) = 600/2000=0.3, P(A3) = 400/2000 =0.2P(B/A1) = 0.03 , P(B/A2) = 0.04, P(B/A3) = 0.05 P(Ai) P( B/A i) P(Ai) x P( B/Ai)

0.5 A1 0.03 B 0.5 x 0.03

0.3 A2 0.04 B 0.3 x 0.04

0.2 A3 0.05 B 0.2 x 0.05 Total P(B) = 0.037

a) La probabilidad de que el usuario sea moroso, es la probabilidad total:

P(B) = P(A1) x P(B/A1) + P(A2) x P(B/A2) + P(A3) x P(B/A3) P(B) = 0.5 x 0.003 + 0.3 x 0.04 + 0.2 x 0.05 = 0.037

b) La probabilidad de que el usuario tenga el paquete intermedio, es por Bayes:

P(A2/B) = P(A2) P(B/A2 ) = 0.3 x 0.04 = 0.3243 P(B) 0.037 Observe que “la probabilidad de P(A2/B) es la probabilidad resultante de la rama 2 sobre la probabilidad total”

Ejemplo 5.24

Las probabilidades de que los socios S1 y S2 sean elegidos presidente de su club son respectivamente 0.4 y 0.6. Las probabilidades de que se aumenten las cuotas mensuales de los socios son de 0.9 si sele elegido S1 y de 0.2 si sale elegido S2.

a) Si hay un aumento en la cuota mensual de los socios, ¿Cómo modifica este evento las probabilidades de que salgan elegidos los socios S1 y S2? B) Si no hay un aumento en la cuota mensual de los socios ¿Cómo actualiza este evento las posibilidades de elección de los socios S1 y S2?

SOLUCIÓNSean los eventos: Ai= “Sale elegido socio Si”, i = 1,2,3. B = “Se incrementan las cuotas mensuales de los socios” De los datos se tienen las siguientes probabilidades que están indicadas además, en el diagrama de árbol:

P(A1) =0.4, P(A2) = 0.6 , P(B/A1) = 0.9 , P(B/A2) = 0.2, P(Bc/A1) = 0.1, P(Bc/A2) = 0.2

0.4 A1 0.9 B

0.1 B c

0.6 A2 0.2 B 0.8 B c

Por lo tanto, las probabilidades de que se incrementen y no se incrementen las cuotas están respectivamente por:

a) La probabilidad de que el usuario sea moroso, es la probabilidad total:

P(B) = P(A1) x P(B/A1) + P(A2) x P(B/A2) = 0.4 x 0.9 + 0.6 x 0.2 = 0.38

P(Bc) = P(A1) x P(Bc/A1) + P(A2) x P(Bc/A2) = 0.4 x 0.1 + 0.6 x 0.8 = 0.52

Observe que P(BC) = 1 - P(B)

a)La actualización de las probabilidades previas de A1 y A2 si se incrementan las cuotas son respectivamente:

P (A1/ B) = P (A1) x P(B/A1) = 0.4 x 0.9 = 0.75 P(A2/B) = P (A2) x P (B/A2) = 0.6 x 0.2 = 0.25 P (B ) 0.48 P (B ) 0.48

La probabilidad de S1 se actualiza de 0.4 a 0.75 y la de S2 de 0.6 a 0.25. En consecuencia, se puede concluir que, si seaumentan las cuotas mensuales, probablemente el socio S2 no sea elegido presidente de su club.

b) La actualización de las probabilidades previas de A1 y A2 si no incrementan las cuotas son respectivamente:

P(A1/Bc) = 0.4 x 0.1 = 0.0769 y P(A2/Bc) = 0.6 x 0.8 = 0.09231 0.52 0.52

La probabilidad de S1 se actualiza de 0.4 a 0.0769 y la de S2 de 0.6 a 0.9231. Se puede concluir que, si no se aumentanlas cuotas mensuales, probablemente el socio S1 no sea elegido presidente de su club.

Ejemplo 5.25 (Taller de probabilidades)

Un mismo tipo de artículo es producido diariamente por cada una de las 4 máquinas de M1, M2, M3 y M4 de un fabricantey trasportados por el sistema de producción a una bandeja donde se “mezclan” en forma aleatoria. En un día cualquiera: M1

produce el doble de M4, M3 produce el triple de M4, mientras, que M1 produce la mitad de M2. Las producciones nodefectuosas son respectivamente 95%, 95%, 90% para las máquina M1, M2, M3.

a) Si se sabe que hay una probabilidad igual a 27 casos sobre 100 de que un artículo escogido al azar de la producción de un día sea a la vez de maquina M3 y no defectuoso, ¿Cuál es el porcentaje de producción no de defectuosa de esta

máquina?

b) Si se sabe que hay una probabilidad igual a 0.93 de que cualquier artículo escogido de la producción de un día resulte no defectuosos, ¿ Cuál es el porcentaje de producción no defectuosa de la máquina M4?

c) Si se escoge un artículo cualquiera de la producción de un día y resulta defectuoso, ¿Cómo actualiza este evento, el porcentaje de producción diaria de cada una de las 4 máquinas?

d) Presente estos resultados en una tabla de contingencia que resulta del cruce de las variables máquina y calidad.

e) Suponga ahora que un diariamente se producen 1000 artículos. Si se escogen 10 artículos de la máquina M1 antes de que lleguen a la bandeja, ¿Cuál es la probabilidad de que dos resulten defectuosos?

f) Si seleccionan 14 artículos de la producción de un día y resultan no defectuosos, ¿Qué probabilidad hay que sean 2 de M1, 3 de M2 y 4 de M3?

SOLUCIÓN

Sean los eventos: Ai = “El artículo extraído es producido por la máquina M1”, donde, i = 1,2,3, 4. B = “El artículo extraído es no defectuoso”

Si # (A4) = x, entonces, #(A1) = 2x, #(A3) = 3x, #(A2) = 4x, y #(Ω) = 10x,

Por lo tanto, P(A1) = 2/10, P(A2) = 4/10, P(A3) = 3/10, y P(A4) = 1/10,

Además, P(B/ A1) = 0.95, P(B/ A2) = 0.95,

a) De P( A3ΩB) = P(A3) x P( B/A3) se obtiene, P(B/A3) = 0.90, donde, P(A3ΩB)= 0.27

b) Aplicando la regla de la probabilidad total ( se recomienda hacer un diagrama de árbol)

P(B) = P(A1) X P(B/A1) + P(A2) X P(B/ A2) + P(A3) X P(B/ A3) + P(A4) X P(B/A4)

De donde se resulta que el porcentaje de producción no defectuosa de la máquina M4 es,

P(B/14) = 0.90

c) El porcentaje de producción defectuosa o la probabilidad de un artículo escogido al azar resulte defectuoso es: P(Bc) =1 –P(B) = 0.07 o también ( en un diagrama de árbol)

P(Bc) = 0.2 x 0.5 + 0.4 x 0.5 + 0.3 x 0.10 + 0.1 x 0.10 = 0.07

Observe que aplicar la regla de Bayes para obtener las probabilidades actualizadas P(Ai/Bc), i= 1,2,3,4, es dividir la probabilidad resultante de cada rama Ai, entre la probabilidad total 0.07, resultando las probabilidades respectivas; 0.14286, 0.28571, 0.42857, 0.14286.

d) La tabla de contingencia que resulta del cruce de variables; Máquina y calidad en términos de probabilidades es:

Máquinas

Calidad

A1 A2 A3 A4 Total

Bc 0.01 0.02 0.03 0.01 0.07

B 0.19 0.38 0.27 0.09 0.93

Total 0.20 0.40 0.30 0.10 1.00

e) Si se producen diariamente 1000 artículos, entonces, la máquina M1 produce 200 de los cuales 10 son defectuosos. Por lo tanto la probabilidad de que ocurran 2 defectuosos de 10 escogidas de la máquina M1 es:

C2

10 x C 8

190 / C 10 200

f) Si se producen diariamente 1000 artículos, la producción no defectuosa de las máquina M1 , M2, M3 y M4 son respectivamente 190, 380, 270 y 90. Por lo tanto, de 14 escogido artículos de la producción de un día, la probabilidad de que 2,3,4 y 5 no defectuosos sean respectivamente de las máquina M1 , M2, M3 y M4 es:

C2

190 x C 3

380 x C 4 270 x C 5

90 / C 14 1000

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

La probabilidad de que la compañía B tenga éxito al comercializar un producto es de 0.95 siempre que competidora lacompañía A no intervenga en el mercado y es de sólo 0.15 si la Cía. A interviene en el mercado. Si se estima en 0.7 laprobabilidad de que la Cía., intervenga en el mercado.

a) ¿Qué probabilidad hay de que la Cía. B tenga éxito? b)Si la compañía B no tuviera éxito, ¡cómo se cambia la probabilidad de que la Cía. A intervenga en el mercado?

SOLUCION

Sean los eventos B= “La Cía. B tiene éxito” y A= “La Cía. A interviene en el mercado”. Los datos del problema indican lassiguientes probabilidades.

P(A) = 0.7, P(Ac)= 0.3, P(B/A)= 0.15 y P(B/Ac)=0.95

Además, P(Bc/A)= 0.85 , P(Bc/Ac)= 0.05

a) Entonces, la probabilidad de que a Cía. A tenga éxito es: P(B) = P(A) x P(B/A) + P(Ac) x P(B/Ac) = 0.7 x 0.15 + 0.3 x 0.95= 0.39

b) La probabilidad de que a Cía. A no tenga éxito es:

P(Bc) = P(A) x P(Bc/A) + P(A2) x P(Bc/Ac) = 0.7 x 0.85 + 0.3 x 0.05= 0.61

Esto es, subiría de 0.7 a 0.975

EJERCICIO 2De un proceso de producción se sabe que durante cuatro décimas partes de tiempo su porcentaje de produccióndefectuosa es 20% y durante el resto del tiempo de proceso( seis décimas partes de tiempo) su porcentajes deproducción defectuosa es 15%. Si de la producción total que consiste de 20 unidades se escogen tres unidades alazar a la vez y se encuentran dos unidades defectuosas, ¿Cómo modifica este evento las probabilidades previas departición de los tiempos de producción?

SOLUCIONSean los eventos

A1= “Calidad de 20% defectuoso” , A2= 2 Calidad del 15% defectuosos” y B= “Dos defectuosos en la muestra de tres”

Entonces: P(A1) = 0.4, P(A2)= 0.6

P(B/A1) = C2 4

x C 1 16 / C3

20 y P(B/A2)= C2

3 x C 1 17 / C3

20

Además, P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) = 69/1140

Por lo tanto, P(A1/B) = 38.4/69 = 0.56 y P(A2/B) = 30.6/69= 0.44

Esto es , la calidad del 20% defectuoso tienen probabilidad corregida igual a 0.56, mientras que la calidad 15%

defectuoso tiene la probabilidad corregida igual a 0.44

EJERCIICO 3

El control de calidad de lotes de 12 unidades de un producto consiste de dos etapas. En la primera etapa se escoge del

lote un artículo al zar, si resulta bueno ( no defectuoso) se devuelve esta unidad al lote t si resulta defectuoso se lo

reemplaza por uno bueno. En cualquiera de los dos casos se pasa el lotes al segundo control.

Si se controla un lote que tiene x unidades defectuosas,

a) ¿?Cuántos artículos defectuosos contiene inicialmente el lote si se sabe que este pasa al segundo control con una proporción artículos buenos igual a 61/72?

b) Si en el segundo control, el lote es rechazado, cuando se encuentran al menos dos unidades defectuosas en una muestra al azar de 3 artículos escogidos a la vez y aceptado en caso contrario, ¿?Cuál es la probabilidad de que el lote sea rechazado?

SOLUCIÓN

a) Sean los eventos, Di = “ El artículo escogido es defectuosos en el control i” , i = 1,2

Bi= “El artículo escogido es bueno en el control i”, i = 1,2

La probabilidad de que un artículo escogido en el segundo control resulte bueno es P(B2). Por un lado, se tiene P(B2) 0

61/72 y por otro lado. ( regla de la probabilidad total)

P(B2)= P(D1) x P(B2/D1) + P(B1) x P( B2/B1)

P(B2)= x/12 X 13 - x/12 + 12- x/ 12 X 12-x /12 = -11x + 144 / (12)²

Entonces, - 11+ 1444 / (12)² = 61 / 72 , de donde x= 2

b) El lote es rechazado en el segundo control, si en la terma de artículos extraídos del lote resultan al menos dos

defectuosos.

La composición del lote para el segundo control sería: 1 defectuoso y 11 buenos con probabilidad 2/12, y 2 defectuosos y

10 buenos con probabilidad 10/12. Por lo tanto,

P(rechazar el lote) = 2/ 12 x 0 + 10/12 x C2 2

x C 1 10 / C3 12 = 0.0378

EJERCICIO 4

Un vendedor tiene una lista de 5 clientes a quienes frecuentemente les ofrece un producto la probabilidad de que un

cliente le compre el producto en cada ocasión está dada por : (i-1), donde, i= 1,2,3,4,5 es el código del cliente

a) ¿Qué probabilidad hay de que un cliente de su lista le compre el producto, una primera vez?

b) Si un cliente de su lista le compra el producto la primera vez, ¿ Con qué probabilidad en una segunda ocasión el

cliente seleccionado al zar que resulta comprando el producto, sea el mismo cliente que compró la primera vez?

SOLUCION

Sea ele evento, Ai = “El i-esimo cliente escogido de la lista”, i= 1,2,3,4,5. Entonces,

P(Ai ) = 1/5

Si B es el evento: “ El cliente le compra el producto por primera vez”. Entonces, la probabilidad de que el i-esimo cliente

escogido le compre el producto por primera vez es:

P(B/Ai) = ( i-1) / 4, donde, i= 1,2,3,4,5

a) La probabilidad de que un cliente cualquiera de su lista le compre el producto por primera vez es:

5

P(B) = £ P (Ai) x P(B/A) = 1/5 x ( 0/4 +1/4+2/4+3/4+4/4) = 1/ 2

i =1

b) Si un cliente le compra el producto por primera vez, la probabilidad de que haya sido el i-ésimo cliente de su lista está

dada por ( probabilidad modificada por Bayes)

P(Ai/B) = (1/5 x i-4 / 4) / ½ = i -1/10 , donde i= 1,2,3,4,5

La probabilidad de que cada cliente seleccionado una segunda vez le compre el producto es igual a (i-1)/4,

independientemente de que sea el mismo o no de la primera vez.

Sea el evento C = “El cliente seleccionado en la segunda ocasión que le compra el producto es el mismo que le compró el

producto por primera vez”

Entonces, la probabilidad de que el i-ésimo cliente escogido por segunda ves les compre el producto es igual a:

P(C/(Ai/B)) = (i- 1) / 4 para. i= 1,2,3,4,5

Luego, la probabilidad de que un cliente cualquiera seleccionado la segunda vez que le compra el producto, sea el mismo

seleccionado la primera vez que le compró el producto, es la probabilidad total.:

5

P(c) = £ P(Ai/B x P(C/ (Ai/ B) x P(c/(Ai /B) = 0/10 x 0/4 + 1/10 x ¼ + 2/10 x 2/4 + 3/10 x ¾+ 4/10 x 4/4 = 3 /4

i =1

EJERCICIOS

1.- Si A y B son dos eventos tales que P(A) = 5/8, P(B) = ¾ y P(B/A)= 2/3, calcule, P(A/Bc). Ilustrar con un gráfica. Rp. 1/2

2.- Si A y B son dos eventos tales que P(A) = 3/15, P(B/A) = 15 y P(A∩B) = 1/15, calcule, P(A∩BC). Ilustrar con una

gráfica. Rp. 4/15

3. (Taller de probabilidad condicional) En una muestra de 120 loretanos se encontró que el 60% sufre alguna

enfermedad, el 30% tienen al menos 30 años, y el 20% del total son menores de 30 años y sanos. Si uno de tales

loretanos es escogido al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que,

a) Sufra alguna enfermedad y tenga al menos 30 años?

b) Sufra alguna enfermedad si tiene al menos de 30 años?

c) Tenga menos de 30 años y sea sano?

Rp. a) 12/120, b) 12/36, c) 24/120

4. De 200 clientes de crédito de una tienda comercial, 100 tienen créditos menores que $200, 15 tienen créditos de al

menos $ 500, y 110 tiene créditos menores de 4 años. Además 30 clientes tienen créditos de al menos 4 y de 200 a

menos de $500 y 10 clientes tienen créditos de al menos $500 y menos de 4 años.

a) Si se elige un cliente al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga crédito menos de 4 años si tiene saldo de

crédito de menos de $200?

b) Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito, ¿Cuál es la probabilidad de que uno

tenga saldo de crédito de $500 o más?

Rp. a) 45/100, b)C51 C85

1 c) C902

5. En una encuesta de opinión se encontró el 25% de loes electores votarían por el candidato E. D e los que no

votarían el E el 20% son mujeres. Además, 7 de cada 10 electores son hombres.

a) Si se elige un elector al azar y resulta ser mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que no vote por E?

b) Si se elige un elector ala zar y resulta ser hombre; ¡cuál es la probabilidad de que vote por E?

c) Si se eligen 3 electores ala zar, ¿Qué probabilidad hay que dos voten a favor de E?Rp. a) 0.15/0.30, b)1/7 , c) 3x (0.252)x0.75

6. De los 80 objetos que tiene un lote recibido por un comerciante, 2 de cada 5 son del proveedor A y el resto del

proveedor B. Además, el 12.5% de objetos de cada proveedor tienen fallas. Si se inspecciona cuatro objetos del lote

escogidos al azar a la vez, ¿Cuál es la probabilidad de,

a) Al menos uno tenga fallas si los tres son de B?

b) Dos provengan de A, si los tres tienen fallas?Rp. a) 1-(c 4

42 / c 4 48), b) c 2

4 c 1 6 / c 3

10

7. Un proceso de producción utiliza dos máquinas M1 y M2, las cuales no operan simultáneamente. La segunda

empieza a funcionar automáticamente cuando la primera falla. Si la probabilidad de que falle la primera máquina es

igual a 0.2 y la probabilidad de falla la segunda es igual a 0.3, ¿qué probabilidad hay de que el proceso de producción

no esté funcionando?. Ilustrar con una gráfica.Rp. Mi: falla máquina i: 1,2, P(M1∩M2)= P(M1P(M2M1)= 00.2x0.3=0.06

8. En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo A y 40 de tipo B. Si se extraen el lote 5 artículos al azar uno por uno si

reposición, cuál es la probabilidad DE QUE

a) ¿Al menos uno de estos sea de tipo A?

b) ¿A lo más 4 sean de tipo B ?Rp. a) P(al menos uno de tipo A)=1-P(ninguno de tipo A)=0.69, b)0.69

9. Sólo una de las 10 llaves que lleva una persona, abre la cerradura de su puerta. El prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas. Calcule la probabilidad de que llave que abre la cerradura de su puertaa) Sea la segunda llave escogidab) Sea la quinta llave escogida

Rp. a) 0.8, b) 0.1

10. En un urna hay tres balotas numeradas de 1 a 3. Las balotas se sacan al azar una a una y sin reemplazo. Si la balota numerada con r se saca en la r-ésima extracción se considera un éxito. Calcule la probabilidad de obtenera)Tres éxitos, b) Un éxito, c) Dos éxitos

Rp. a) 1/6, b)0.5, c)0

11. Se prueba un lote de 48 focos uno por uno ( sin reposición). Si el lote contiene dos focos defectuosos, ¿cuál es laprobabilidad de que el último defectuoso se detecte en la tercera prueba?

Rp. P(D1B2D3)+P(B1D2D3)=0.0018

12. La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules, mientras que la urna 2 contiene una bola roja y tres azules. Unabola es seleccionada aleatoriamente de la urna 1 y colocada en la urna2. Luego una bola es seleccionada al azar de la urna2 y colocada en la urna1. Si ahora es seleccionada al azar de la urna 1, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja?

Rp. 9/20

13. Una urna contiene 5 fichas rojas y algunas fichas blancas. Se extrae ala azar un ficha de la urna y se reemplaza por unadel otro tipo. Luego se saca de la urna una segunda ficha. Determine el número de fichas blancas en la urna si se sabe quela probabilidad de que la segunda ficha sea roja es 0.5.

Rp. 5

14. Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos se toman dos objetos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos se rechaza el lote; si los dos son buenos se acepta el lote y si sólo uno es bueno se toman otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo, se rechaza. Calcule la probabilidad de aceptar el lote si este contiene 3 objetos defectuosos.

Rp. 36/66+(27/66)(44/45)

15. Sean A y B son dos eventos tales que P(A)=1/3 y P(AUB)=11/21. Calcule P(B)

a) S i los eventos A y B son excluyentes.

b) Si los eventos A y B son independientes.Rp. a) 4/21, b)2/7

16. Sea ele espacio muestral Ω=w1, w2, w3, w4 donde,

P(w1 =1/4, P(w2 =1/4, P(w3 =1/4, P(w4 =1/4,

Si A= w1, w2,, B= w1, w3,, C= w1, w4,, ¿Son los eventos A,B y C independientes?

Rp. No, pues P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)

17. Compruebe que:

a) Si el evento B es independiente del evento A, entonces A es independiente de B.

b) Ay B son eventos independientes si y sólo si,

P(A∩A)=P(A)XP(B)

a) Ay B son eventos independientes, entonces P(B/A)=P(B/Ac)

18. Un negocio es tal que su probabilidad de éxito es p. Si el negocio se realiza dos veces de manera independiente,

¿qué valor de p hace máxima la probabilidad de obtener éxito

a) Una sola vez?

b) B) Al menos una vez?Rp. a) Prob=2p(1-p), es máxima si p=1/2, b) Prob=2p(1-p)+p2, es máximo si p=1

19. Pruebe que todo evento de probabilidad cero o uno es independiente de cualquier otro evento.Rp. Si P(A)=0, de A∩BCA, P(A∩B)=0=P8A)P(B), Si P(A)=1, de P(B)=P(A∩B)+P(AcB), P(A∩B)=P(B)=P(A)P(B), ya que P(AcB) ≤ P(Ac)=0

20. Un fabricante aplica un procedimiento de control de calidad que es confiables en 98%. Es decir identifica

correctamente a un objeto como defectuoso o no defectuoso con una probabilidad de 0.98%. En un esfuerzo por

reducir la probabilidad de error en el control, a coda objete se somete a dos controles independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuoso no pase ambas controles?

b) ¿Cuál es la probabilidad que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de que no pases por lo menos uno de los

dos controles?

c) Si el objeto fue detectado como defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya ocurrido en el segundo control?Rp. a) 0.02x0.02 b) 0.98x0.02+0.02x0.98+0.98x0.98=0.9996 c)0.02x0.98/0.9996

21. Una urna contiene 10 objetos idénticos numerados de 1 a10. Un juego consiste en sacar ala azar tales objetos y

termina cuando sale el numerado con uno.

a)Si se escogen uno o por uno, ¿cuál es la probabilidad de que el juego termine en la quinta extracción si es sin

reposición?, y si es con reposición?

b)¿Cuáles la probabilidad de que el juego termine si se escogen 5 objetos a la vez?Rp. a)0.1, 94/105, b)0.5

22. (Taller de eventos independientes). Un grupo inversionista puede invertir en tres proyectos A, B y C

independientemente, son probabilidades de éxito respectivamente 0.4, 0.5, y 0.3.m Si se el grupo invierte en los tres

proyectos, ¿qué probabilidad hay de que tenga éxito en

a) Dos de los tres proyectos?

b) Al menos uno de los tres proyectos?

c) Ninguno de los tres proyectos?Rp. a) 0.29, b) 0.79, c) 0.21

23. Un proceso de producción consiste de dos máquinas A y B que trabajan de manera independiente. Si en un

momento cualquiera la probabilidad de que la maquina B esté en mal estado es ¼ y la probabilidad de que sólo la

máquina A esté en mal estado es 3/10, ¿cuál es la probabilidad de que sólo la máquina B esté en malas condiciones?

Ilustrar con una gráfica. Rp. 3/20

24. En los circuitos de la figuras que siguen. La probabilidad de que cada llaves se cierre (haya pase) es p, donde

0<p<1. Si todas las llaves se cierran o abren en forma independiente, calcule la probabilidad de que haya de E a S en

a) y en b)

1 2 3

a) E S b) E S

2 3 4 5Rp. a) p(1+p-p2). b) 2p3-p5

25. Un experimento se realiza tanta veces en forma independiente hasta obtener el primer éxito. Se sabe que la

probabilidad de éxito en cada intento, es de 95 sobre 100 si se siguen correctamente las instrucciones y es de 20

sobre 100 si no se siguen correctamente las instrucciones. Calcule la probabilidad de alcanzar el éxito en tres intentos

a lo más

a) Si se siguen correctamente las instrucciones cada vez.

b) Si no se siguen correctamente las instrucciones cada vez.Rp. a)0.999875, b)0.488

26. Calcule la probabilidad de que un mensaje de n(n≥1) dígitos binarios (0y 1) sea incorrecto, si la probabilidad de

recibir un dígito incorrecto es p y si los dígitos se reciben en forma independiente.Rp. 1-(1-p)n

27. Suponga que un sistema funciona si al menos una de sus componentes funciona. Si las componentes trabajan

independientemente y si la probabilidad que falle cada una es de 0.01, ¿Cuántas componentes debería tener el

sistema para que no falle con probabilidad de 0.9999?Rp.2

28. S i la probabilidad de que un peatón sufra un accidente de tránsito es 1/100 en cada ocasión, ¡cuál es la

probabilidad de que sufra un accidente en al menos uno de 100 ocasiones independientes?Rp. 1-(99/100)100=1-0.366=0.634

29. Un experimento aleatorio se repite sucesivamente en forma independiente hasta que ocurra el tercer éxito. Si la

probabilidad de éxito en cada prueba igual a 0.25, ¿cuál es la probabilidad de que el experimento termine en la décima

prueba?Rp. C2

9 (0.25)3 (0.75)7

30. Respecto al partido de futbol que protagonizarán los equipos A y B el próximo domingo, se piensa lo siguiente: de

todas maneras se abrirá el marcador y cualquiera de los dos equipos tiene igual probabilidad de hacerlo. Si A anota el

primer gol, la probabilidad de que el próximo también sea de A es 2/3 contra 1/3 de que sea de B; en cambio si B es el

que anota, primero el gol, habrá un segundo gol que puede ser con igual probabilidad para cualquier bando. Si el

marcador llega a ponerse dos a cero a favor de cualquier equipo la desmoralización de uno y la apatía del otro

impedirían que haya más goles; en cambio si llega a ponerse 1-1, puede ocurrir tres cosas con iguales probabilidades:

que A anote y gane 2-1, que B anote y gane 2-1 o que no haya más goles. Use un diagrama de árbol para calcular:

a) La probabilidad de que B gane.

b) La probabilidad de que B haya abierto el marcador dado que ganó el partido.Rp. a) P(B gane)= 1 /2 x 1/3 x 1/3 + ½ x ½ +1/2 x1/2 x 1/3 = 14/36 b) (1/4 + 1/4 ) / 14/36

31. Las 200 prendas de vestir que elabora diariamente una empresa textil de Gamarra, lo realizan tres operarios. El

operario C produce el 50% del total mientras que el operario A produce 50% más que el operario B. Registros

anteriores indican que los porcentajes de producción defectuosa son respectivamente10%, 12.5% y 55 para los

operarios A, B y C. Al final de cada día las prendas producidas por cada operario se depositan en una caja donde se

mezclan en forma aleatoria.

a) Si antes que se depositen en la caja se escogen al azar 10 prendas una por una sin reposición producidas por el

operario A, ¿cuál es la probabilidad de que 2 resulten defectuosas?

b) Si se escoge de la caja una prenda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte defectuosa?. Y si la prenda

escogida resulta defectuosa, ¿cómo cambia este hecho los porcentajes de producción previas de los tres operarios?.

Resuelva el problema aplicando un diagrama de árbol.

c) Presente los resultados del problema en una tabla de contingencia. Luego si se escogen de la caja 7 prendas al azar

y si resultan defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean del operario A y sean de B?Rp. a) C2

6 C854 / C10

60, b) 0.3 x 0.1+ 0.2x0.125 + 0.5x0.05=0.08, probabilidades actualizadas: 0.375, 0.3125, c) C26 C3

5 C25 / C7

16

32. Suponga que en cierta región del país la probabilidad de que un adulto mayor de 40 años tenga cáncer es 0.05. La

probabilidad de que el diagnóstico sea correcto 0.80, y de que sea errado es 0.20. Si se elige al azar a uno de estos

adultos, calcule la probabilidad de que

a) Se le diagnostique cáncer.

b) Si se le diagnostica cáncer, tenga realmente tal enfermedad. Presente los resultados en una tabla cruzada de enfermedad y diagnóstico.

Rp. a)0.23 b)0.04/0.23=0.1739

33. (Taller de probabilidades de Bayes) Ante una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas donde sólo una es la

respuesta correcta, un examinado, puede saber la respuesta o no saberla en absoluto o tener dudas. Si no sabe,

marca al azar. Sin duda, reduce las alternativas a 3 de las cuales una es la correcta y luego, responde ala azar. Datos

previos indican que el 50% de los examinados saben la respuesta y el 20% no saben en absoluto.

a) ¿Qué porcentaje de examinados tiene dudas con la pregunta?

b) Dado que examinado tiene dudas, ¿cuál es la probabilidad de que acierte en la pregunta?

c) Calcule la probabilidad de que acierte la pregunta

d) Si acertó la pregunta, ¿qué probabilidad hay de que no haya sabido la respuesta?Rp. a)0.3, b)1/3, c)0.5x1+0.2x0.2+0.3x(1/3)=0.64, d)0.04/0.64

34. Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de la calidad excepcional, mientras

que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de

producción del fabricante B es limitada, y por esta razón sólo el 30% de la mercadería le es permitido adquirir del

fabricante B, mientras que el resto la adquiere de A. Si se inspecciona un embarque que acaba de llegar y

a) Si resulta que es de calidad excepcional, ¿ cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A?

b) Si resulta que no es de calidad excepcional, ¿ cómo debería modificar los porcentajes de adquisición de cada fabricante?

Rp. a)0.42/0.69, b) de A 0.903, de B 0.097

35. El gerente de mercadotecnia de una compañía estudia el lanzamiento de nuevo producto al mercado. El cuenta

con la siguiente información: En el pasado el 40% de los productos introducidos por la compañía ha tenido gran éxito,

el 35% éxito moderado y el 25% ha fracasado. Además, se tiene un nivel de informe favorables, del 80% de los

productos que han tenido gran éxito, del 60% de los que han tenido éxito moderado y del 30% de los que fracasaron El

gerente tiene las siguientes inquietudes que usted debe resolverlo

a) ¿Qué porcentaje de los productos tiene un informe favorable?. Aplique un diagrama de árbol.

b) Actualice las probabilidades de los tres niveles de éxito: Gran éxito, éxito moderado y fracaso. ¡cuál de los tres niveles de éxito es ahora más probable?

c) Presente los resultados de este problema en una tabla de cruce de las variables: Nivel de éxito y Nivel de informe.

Rp. a)0.40x0.8+0.35x0.6+0.25x0.3=0.605, b)0.529, 0.347, 0.124

36. Una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes: Bajo, Medio y Alto. Se sabe que la

clase bajo o media son el 90% del total, y la clase media o alta son el 40% del total. De los primeros sondeos

realizados para las próximas elecciones, se infiere que el porcentaje de electores a favor del candidato Verde es igual

a: 30% si es de clase Baja, 50% si es de clase Media y 70% si es de clase Alta

a) Si luego se elige al azar a un elector de esta población y se encuentre que está a favor del candidato Verde, ¿cómo cambia este evento los porcentajes previos de los tres estratos?

b) Si la población consiste de 2000 electores, desarrolle una tabla de doble entrada con los resultados del inciso a).

Luego, si se escogen 5 electores al azar y resultan de la clase alta, ¿qué probabilidad hay de que 2 de ellos estén a

favor de Verde? Rp. a) B=0.6, M=03, A=0.1, b)0.6x0.3+0.3x0.5+0.1x0.7=0.4, 0.18/0.04=0.45, 0.15/0.4=0.375, 0.07/0.4=0.175, b) C2

140 C360 / C5

200

37. Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina está bien ajustada en un periodo, el

80% de los objetos producidos pasan el control de calidad, de otro modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado que el

90% de los periodos la máquina está bien ajustada. De los 25 objetos producidos en un solo periodo se escogen 3 al

azar y a la vez para el control de calidad.

a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad?

b) Si solo 2 pasen el control de calidad ¿Cuál es la probabilidad de que los objetos hayan sido producidos cuando la máquina estaba en un periodo de buen ajuste?

Rp. a)960/2300, b)855/960

38. El departamento de ventas de un hipo mercado reportó que el 20% de sus ventas son pagadas en efectivo, el 35 5

con cheque y 45% con tarjeta de crédito. El 30% de las compras en efectivo, el 80% de las compras con cheques y el

70% de las compras con tarjeta son por más de $60.

a) Si la señora Peña acaba de comprar en ese hipo mercado por un monto de $100, ¿cuál es la probabilidad de que

haya pagado con tarjeta de crédito?

b) Si tres clientes acaban de comprar en tal hipermercado, ¿cuál es la probabilidad de que sólo uno de ellos haya

comprado por más de $600?

c) Si tres clientes acaban de comprar en el hipermercado y sólo uno lo hizo por más de $60, en base a este resultado,

¿qué modificación acerca de los porcentajes de modos de pagos debería hacer el hipermercado?Rp. a)0.315/0.655, b)3x0.655x(0.345)2, c) de Efectivo=0.0882/0.165, de cheque=0.0336/0.165, de Tarjeta=0.0432/0.165

39. A un candidato le han indicado que obtendría el 60% de los votos con probabilidad 0.2 el 45% de los votos con

probabilidad de 0.3 y el 70% de los votos con probabilidad 0.5. Si al pregunta su opinión a 4 electores se obtiene que 2

votarían por el candidato, ¿cómo modifica este resultado la probabilidad de que el candidato obtenga el 60% de votos?

Rp. 0.2 C24 0.620.42+ 0.3 C2

4 0.4520.552 + 0.5C24 0.720.32 =0.1095, 0.06912/0.10955=0.63, sube 3%

40 Con respecto a la publicidad de un producto, la agencia encargada afirma que el 2% de los compradores vio la

Publicidad por periódico, el 20% lo vio por televisión y el 1% lo vio en los dos medios.

a) ¿Qué porcentajes de los compradores vio la publicidad del producto?, ¿qué porcentaje no lo vio?

b) Si además el porcentaje de consumidores que compra el producto es uno de cada tres que vio la publicidad y uno de cada diez que no vio la publicidad, ¿qué porcentaje de consumidores compra el producto?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un consumidor no compre el producto si no vio la publicidad?

Sugerencia: Desarrolle una tabla de doble entradaRp. a)0.21, 0.79. b)0.21(1/3)+0.79(1/10)=0.149, c)0.711/0.79

41. Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio. La probabilidad

de que lo llame cualquiera de sus 3 clientes en forma independiente es 0.3. Además, la probabilidad de realizar el

negocio es de 0.20 si llama un cliente, es de 0.4 si llaman dos clientes y es de 0.8 si llaman los 3 clientes. Si ninguno

de los 3 le llama, no realiza el negocio.

a) Calcule la probabilidad de que realice el negocio.

b) Si el gerente realizó el negocio, ¿Cuántas clientes es más probable que le hayan llamado?

Rp. Si Ai: “llaman i clientes”, i=0,1,2,3 entonces, P(Ai)= Ci3(0.3)i (0.7) 3-i

Si B: “Realiza negocio”, P(B/ A())= 0, P(B/ A1)= 0.2, P(B/ A2)= 0.4, P(B/ A3)= 0.8

a) 0+0.0882+0.0756+0.0216=0.1854. b) 1 pues es 0.0882/0.1854 es la mayor prob. De Bayes

42. Laboratorio de computación

Utilice la hoja de datos del apéndice B para realizar un cruce(tabla de contingencia) de la variables x 10=“Automóvil de

la familia” con la variable x6=“Ingreso familiar” dividida en tres categorías: A :Hasta 18000, B:Más de 1800 hasta 5400,

C: Más de 5400.

a) Si se escoge un estudiante al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga automóvil?, Presente la solución con un diagrama de árbol?

b) Si el estudiante automóvil, ¿cómo cambia este evento las probabilidades de las categorías de ingresos A, B,C?

Ejemplo 6.1

Sea Ω el espacio muestral que resulta del experimento aleatorio de lanzar al aire una moneda tres veces consecutivas

y observar la cara superior. Entonces,

Ω= SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC,CCS, CCC

Si se define en Ω la variable X=“Número de caras obtenida”, entonces, X es una variable aleatoria cuyo rengo es el

conjunto de sus valores posibles, Rx=0,1,2,3 , En efecto,

X= 0, corresponde al evento elemental SSS

X= 1, corresponde a los eventos elementales SSC SCS y CSS

X= 2, corresponde a los eventos elementales SCC CSC y CCS

X= 3, corresponde al evento elemental CCC

Ejemplo 6.2

Sea Ω el espacio muestral que resulta de lanzar un dado sucesivamente hasta obtener el primer dos. Entonces,

Ω= E, FE, FFE, FFEE, …ETC…

donde, el éxito es E=“Sale dos” y el fracaso es F=“No sale dos”, en cada lanzamiento. Si se define en Ω la variables

Y=“Número de lanzamientos realizados hasta que ocurra el primer éxito, entonces, Y es una variable aleatoria, cuyo

rango es el conjunto de sus valores posibles, Ry= 1, 2…etc…. Esta variable ejecuta las siguientes asignaciones:

Y(E)=1, Y(FE) =2, Y(FFE)=3,…etc...

En algunos casos el resultado w de un experimento aleatorio es ya la característica numérica que queremos anotar.

Este ocurre cuando la variable aleatoria X es la función identidad, esto es X(w)= w, como se describe en el siguiente

ejemplo

Ejemplo 6.3

Sea Ω el espacio muestral que resulta del control de la vida útil de un producto. Entonces, Ω= w £ R/w ≥0. Si se

define en Ω la variable X=“Tiempo de vida útil del producto”, entonces, X es la variables aleatoria identidad cuyo

rango es el conjunto:

Rx = Ω = w £ R/w ≥0.

NOTA. La variable aleatoria es pues, una función que atribuye a cada evento elemental de Ω un número que no es

aleatorio o imprevisible si no fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo espacio muestral

se define la variable aleatoria.

Esta función puede estar definida por una ley o una regla o por un conjunto de números reales atribuidos mediante

dicha ley o regla.

En la mayoría de las aplicaciones, se está más interesado en los valores que toma la variable, ignorando

completamente, el espacio muestral en el que se define.

El rango Rx no es un espacio muestral, sin embargo se pueden asignar probabilidades a sus valores.

EJEMPLO 6.8

Si de la urna que contiene 3 ficha rojas y un ficha azul se sacan al azar las fichas una por una sucesivamente,

determine la distribución de probabilidades del número de intentos necesarios hasta que ocurra la segunda ficha roja,

si las fichas se escogen

a)Una por una sin reposición.

b) Una por una con reposición.

SOLUCION

Sea X la variable aleatoria que denota el número de intentos hasta que ocurra la segunda ficha roja.

a) Si se escogen una por una sin reposición , el rango de X es el conjunto finito RX=2,3.

Entonces , la distribución de probabilidades de X está dada por:

f(2) = P [X=2]=P(RR)= 3/4 x 2/3= ½

f(2) = P [X=3]=P(RAR o ARR)= 3/4 x 1/3 x 2/2) +(1/4 x 3/3 x 2/2) = ½

b) Si se escogen una por una con reposición, entonces el rango de X es el conjunto infinito RX=2,3,4,…,etc. Si K £ RX,

Entonces, X=K indica que la segunda ficha roja ocurre en la k-ésima extracción con probabilidad p=3/4. En las K-1

extracciones anteriores ocurren en forma independiente, la otra ficha roja con probabilidad p=3/4 y k-2 fichas azules

con probabilidad q=1/4. Luego, la función de probabilidad de X está dada por:

f(k) = P [X=k]=(C1 k-1 q k-2 p)p= C1 k-1 q k-2 p2 K= 2,3,…,etc.

EJEMPLO 6.9

De la urna que contiene 3 ficha rojas y un ficha azul se sacan al azar las fichas una por una sucesivamente con

reposición. Si X es la variables aleatoria definida como el número de intentos necesarios hasta que ocurra la primera

ficha azul.

a) Determine la función de distribución acumulativa F(x) de X.

b) Aplicando F(x) calcule la probabilidad P [2 < X≤ 20]

SOLUCION

a) La función distribución F(x) de X está descrita por:

Observe que:

a) La probabilidad

EJEMPLO 6.10

El número de llamadas que recibe un teléfono celular en periodos de 10 minutos es una variables X cuya función de

probabilidad está definida por:

f(x) = P [X=x]=(c3x / x! , x=0,1,2,…etc…

Obtenga el valor de la constante c y aplicando la función de distribución acumulativa de X, calcule la probabilidad de

que el celular reciba más de 2 llamadas en un periodo cualquiera de 10 minutos.

SOLUCION

Cada probabilidad f(x) debe ser mayor o igual que cero, entonces c≥0.

Además, la suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno. Entonces, aplicando:

Se tiene que, donde resulta c=e -3

EJEMPLO 6.11

Un inversionista puede participar en un negocio 4 veces y de manera independiente. Cada vez que participa gana o

pierde $5000 con la misma probabilidad. Él comienza con$10000 y dejará de participar en el negocio si pierde todo su

dinero o si gana $15000 ( ósea si termina con $25000) Halle la distribución de probabilidad de la utilidad del

inversionista y calcule la media de la distribución.

SOLUCION

Sean: U la variable que representa la utilidad del inversionista

P el evento “pierde”, cuya probabilidad es ½

G el evento “gana” , cuya probabilidad es ½

Se sugiere al lector, dibujar un diagrama de árbol para calcular los valores de la utilidad y sus probabilidades

respectivas.

De un diagrama de árbol, se obtienen los siguientes valores de U ( montos finales menos capital):

- 10,000 si ocurre PP o PGPP o GPPP, cuya probabilidad total es 6/16

- 0 si ocurre PGPG o PGGP o GPPG o GPGP o GGPP Con probabilidad total a 5/16

- 10,000 si ocurre GGPG o GPGG o PGGG con probabilidad total igual a 3/16

- 15,000 en el caso que ocurra GGG cuya probabilidad total es 2/16

Por lo tanto, la distribución de probabilidades de la utilidad es:

Y la media de la utilidad es u=0

Utilidad U - 10000 0 15000

Probabilidades 6/16 5/16 2/16

Ejemplo 7.1

La probabilidad de que cualquier pieza producida por una máquina pase con éxito una prueba de con trol es 0.9. Si

controlan 10 de tales piezas y si X denota el número de piezas que no pasan la prueba de control de los 10 escogidos

al zar:

a) Defina el modelo de probabilidades de X. ¿Qué número de piezas es más probable que no pase el control?

b) Calcule el número de pieza que se espera no pasen ele control. ¿Es cierto que la desviación estándar de la distribución de X es menor que 0.9?

c) Obtenga la función de distribución acumulativa F(x) de X y aplicando ésta calcule los cuartiles de la distribución de probabilidades de X.

SOLUCION

a) Cada una de las 10 piezas puede ser un éxito (E: no pasa la prueba) con probabilidad 0.1 o un fracaso (F:pasa la

prueba) con probabilidad 0.9.

La variable aleatoria X= Número de éxitos en n=10, se distribuye según el modelo de la probabilidad binomial B(n=10,

p=0.1), y su función de probabilidad es:

Al desarrollarse la distribución para cada valor de la variable, se ve que el valor más probable es X=1, ya que

P[X=1]=0.3874, es mayor que las demás probabilidades.

b) El número de piezas que se espera no pasen el control es:

La desviación estándar de la distribución no es menor que 0.9. Su valor es:

c) La función de distribución acumulativa de la binomial es definida por:

Para calcular los cuartiles de la distribución , grafique la función acumulativa(ojiva discreta), luego, aplicando la gráfica

obtenga:

Otro método, es resolver la ecuación: F(x)=k, donde, k=0.25, 0.50 y 0.75 respectivamente para Q 1, Q2 y Q3. Para

cada caso, la solución x de la ecuación es:

x=mínimo xi Є Rx / F(xi) ≥ k

Ejemplo 7.2

En una tienda de alquiler de automóviles, cada vez que un cliente alquile un automóvil debe pagar como mínimo $4.

Además, si alquila un auto tipo A debe pagar $15 más, y si alquila un auto tipo no A debe pagar $5 más. La

probabilidad de que cualquier cliente alquile un auto tipo A es constante e igual a 0.7. Si cada uno de 5 clientes alquila

un auto en esa tienda:

a) Determine la distribución de probabilidades del número de clientes que alquilen automóviles tipo A.

b) Defina la función utilidad y calcule la utilidad que espera la tienda si cada vez alquila 5 automóviles.

SOLUCION

a) Si X es el número de clientes de 5 que alquilan automóviles tipo A, entonces ,sus valores posibles son: 0,1,2,3,4. La probabilidad de que un cliente alquila un automóvil tipo A es p=P(E)=0.7. Por lo tanto , la distribución de X es binomial B(n=5, p=0.7) esto es,

b) La utilidad U que producen a la tienda los cinco clientes, se define por:

U =5 x 4 +15X +(5-X) x 5 = 45 +10X, x=0,1,2,3,4,5

Y dado que E(X) = np = 5 x 0.7 = 3.5, la utilidad esperada por el alquiler de 5 autos cada vez es:

E(U) = 45 +10E(X) = 45+10 x 3.5 =80 dólares

Ejemplo 7.3

Suponga que una producción de pollos bebé ha dado 10% de pollitos hembras.

a) Si la producción es llenada al azar en cajas de n pollos bebé cada una, halle el valor de n de manera que la probabilidad de que no haya pollos bebé hembras en la caja sea igual a 0.0798

b) Si cada caja contiene 24 pollos bebé, obtenga la ley de probabilidad del número de pollos bebé hembras por caja, ¿Cuál es el número esperado de pollitos hembras por caja?

c) Si un criador de pollos recibe 20 cajas de 24 pollos bebé cada una, defina el modelo de probabilidad del número de cajas que no contengan pollitos hembras. Aplique el modelo para calcular el número de cajas que espera el criador no contengan pollos bebé hembras.

SOLUCION

a) Si X es la variable que denota el número de pollos bebes hembras por caja que contiene n pollos bebé, entonces los valores posibles de X son; 0,1,2,…n.

La probabilidad de que un pollo bebé de la producción sea hembra es p=0.1.

Entonces, cada pollo bebé es colocado en la caja con probabilidad p=0.1 de que sea hembra y con probabilidad

q=1p=0.9 de que no sea hembra. Además, las selecciones son independientes, esto se debe a que el número de

pollos bebés producidos se considera muy grande(población infinita). Luego X~B(n, p = 0.1). Entonces, de

b) Sea Y el número de pollitos hembras por caja de 24 pollitos. Los valores posibles de Y son: 0,1,2,…24.

Luego, Y~B(n=24, p=0.1), esto es:

El número esperado de pollitos hembras por caja es np=24 x 0.1=2.4

c) Sea W el número de cajas que no contengan pollitos bebés hembras. Entonces, W~B(n=20, p), donde p la

probabilidad de que cada caja de 24 no contenga pollitos hembras, entonces,

El número esperado de cajas que no contengan pollitos hembras es:

Ejemplo 7.7(Comparación de los modelos binomial e hipergeométrico)

En un taller sobre modelos de probabilidad se escogen 4 fichas al azar de una urna que contiene 10 fichas similares,

de las cuales 7 son rojas y 3 son azules. Se X la variables aleatoria que se define como el número de fichas azules

escogidas:

a) Obtenga el modelos de probabilidad de la variable aleatoria X, si las fichas son escogidas:

A1) Una por una sin reposición

A2) Una por una con reposición

b) ¿Qué probabilidad existe de que resulten escogidas por lo menos dos fichas azules?

c) Determine el modelo de probabilidad de X, si la urna contiene un número no determinado de fichas, pero que contienen las mismas proporciones dadas de colores

SOLUCION

Si la urna contiene el número finito N =10 fichas (población finita) de las cuales r =3 son azules, entonces, se tienen los

siguientes modelos de probabilidad:

a1) Si las 4 fichas son escogidas una por una sin devolución, entonces, cada selección es un evento dependiente

de la anterior. Los valores posibles de X son:0,1,2,3 y su modelo de probabilidad es la hipergeométrica:

X~H(N=10, n=4, r=3). Esto es, su función de probabilidad está dada por:

a2) Si las 4 fichas se escogen una por una con devolución, entonces, cada selección es un evento independiente de la

anterior. Los valores posibles de X son, 0,1,2,3,4 y su modelo de probabilidad es binomial, X~B(4, p) con probabilidad

de éxito p = 3/10=0.3, esto es, su función de probabilidades está dada por:

b) La probabilidad de que resulten por lo menos 2 fichas azules depende del modelo de probabilidad que define el

modo de selección de fichas:

Si las fichas se escogen una por una sin reposición se tiene que:

Y si se escogen una por una con reposición se tiene:

c) Si la urna contiene un número indeterminado de fichas(población infinita), donde la proporción de fichas azules es

p = 0.3, entonces la selección de cada de las fichas , una por una ya sea con o sin reposición, es un evento

independiente del anterior.

Los valores posibles de X son entonces, 0,1,2,3,4 y el modelo de probabilidad en cualquiera de los casos con o sin

reposición es la binomial B(4, p). Por lo tanto , la función de probabilidad de X es:

Ejemplo 7.8

Una empresa importadora recibe semanalmente un embarque de 500 unidades de un producto. La empresa controla la

calidad del producto probando 10 unidades del producto escogidos al azar de cada embarque(se entiende uno por uno

sin reposición) y observa el número X de unidades que no cumplen las especificaciones. Si los embarques semanales

tienen 90% de unidades que cumplen las especificaciones.

a) Obtenga el modelo de probabilidad de X. ¿Con qué probabilidad se rechazado el embarque de una semana cualquiera?

b) Si el costo de la inspección por embarque en soles, está definido por: C=2+4X+X2 , calcule el costo esperado.

c) Calcule la probabilidad de que el costo de inspección por embarque sea de al menos 38 soles. Aplique comparativamente tanto el modelo hipergeométrico, así como su aproximación binomial.

SOLUCION

a) De las

Ejemplo 7.1 0

La empresa textil P&C produce un tipo de tela en rollos de 100 metro. El número de defectos que se puede encontrar

al desarrollarse la tela es una variables aleatoria de Poisson con un promedio de 4 defectos por cada 20 metro de tela.

a) ¿Qué probabilidad hay de que al desenrollar un rollo de tela cualquiera se encuentre menos de tres defectos en los primeros 50 metros?

b) Calcule la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentre defectos en el primer segmente de 5 metros de tela.

c) Si se desenrollan 5 rollos de tela escogidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela en al menos dos de ellos?

SOLUCION

Sea X el número de defectos que se encuentran en un segmento de 20 metros al desenrollar la tela y que ocurre con

promedio λ=4. Entonces, la probabilidad de encontrar k defectos en un segmento de 20 x t metros de tela es:

donde, λt es el promedio de defectos en el segmento de 20 x t metro de tela.

a) El promedio del número de defectos en los primeros 50 metros de tela es λt=4x2.4=10 (donde, t=2.5 extiende la

longitud de 20 a 50 metros) y la probabilidad de que se encuentren menos de tres defectos en los primeros 50 metros

de tela es:

b) El promedio

b) El promedio del número de defectos en los primeros 5

EJERCICIOS

1.La probabilidad de que cada vehículo se demore más de 5 minutos en pasar la garita de peaje es constante igual a

p. Si X es el número de vehículos que se demoran más de 5 minutos en pasar la garita de peaje de n que pasan por la

garita.

a)¿Cuál es el modelo de probabilidad adecuado de X ?

b) ¿Qué probabilidad hay de que al menos 3 vehículos se demoren más de 5 minutos para pasar la garita si E(X)=3 y

Var(X)=2.4?

2. (Taller de la distribución binomial). Se seleccionan al azar 3 artículos uno por uno sin reposición de una

producción que contiene el 10% de defectuosos. Sea X= Número de artículos defectuosos en la selección

a)Describa el modelo de la probabilidad del X. ¿Cuántas unidades defectuosas es más probable que contenga la

selección?

b) Grafique la distribución de X y describa su forma. Luego, calcule su media y su varianza.

c) Grafique la función de distribución acumulada de X y aplique la gráfica para calcular los tres cuartiles de la

distribución.

3. En una producción de cierto tipo de objeto, la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es 0.2. Si en una

muestra de n de tales objetos escogidos al zar uno por uno sin reposición, se espera que haya un defectuoso,

a) ¿Qué probabilidad hay de que ocurra efectivamente un objeto defectuoso?

b) ¿Cuántos objetos defectuosos es más probable que ocurra?

4. El 75% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 80%

de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. El 60% del total de la mercadería lo adquiere

de A y el resto de B. Si se seleccionan al zar 4 unidades de la mercadería, ¿qué probabilidad hay de que se

encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional?

5. En una empresa donde los empelados son 80% hombre y 20% mujeres, están realmente aptos para jubilarse el

10% de las mujeres y el 10% de los hombres. De cinco solicitudes presentadas para jubilarse, ¿cuál es la probabilidad

de que al menos dos estén realmente aptos para jubilarse?

6. En una corporación el 25% del total de sus empleados conocen de gestión administrativa. Si se seleccionan 12

empleados al azar de esa corporación,

a) Determine la distribución de probabilidades del número de empleados de la selección, que tengan conocimientos de gestión administrativa. Calcule su media y su varianza.

b) Si cada empleado de la corporación tienen un sueldo fijo de 1200 soles y un adicional de 500 soles si conoce de gestión administrativa y de sólo 150 en caso contrario, ¿Cuánto es el sueldo promedio de los 12 empleados seleccionados?

c) Describa el modelo de probabilidad adecuado si la corporación tiene 20 empleados en total, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los empleados seleccionados tenga conocimientos de gestión administrativa?

7. Un vendedor a domicilio compra diariamente 10 unidades de un producto a $2 cada una. Por cada producto gana

$13 si lo vende o pierde $1 además del costo si no lo vende en el día. Si la probabilidad de venta de cada unidad es

0.2 y si las ventas son independientes.

a) Obtenga la distribución de la probabilidad del número de unidades vendidas.

b) Calcule la utilidad esperada del vendedor.

8. El servidor de un sistema bancario asigna cada transacción al azar y con igual probabilidad, a una de cinco

posiciones de memoria: 1,2,3,4,5. Si al terminar el periodo nocturno de un día se han registrado 15 transacciones,

¿Cuál es la probabilidad de que el número de transiciones efectuadas a las posiciones de memoria par sea mayor que

3?

9. La secretaria de la compañía P&C debería llegar a la oficina a las 8 de la mañana, pero, se retrasa 15 minutos en el

20% de las veces. El gerente de la compañía que no llega si no hasta las 10 de la mañana llama ocasionalmente a la

oficina entre las 8 y 8.15 de la mañana. Calcule la probabilidad de que por lo menos en una de 5 mañanas que llama el

gerente no encuentra a la secretaria.

10. La empresa2Ceramicas” tiene tres líneas de producción operativas A1 , A2, A3 , las que a su vez tienen

respectivamente una probabilidad igual a 0.1, 0.15, 0.05 de producir una unidad defectuosa. La mitad de la producción

es realizada por la línea A1 , mientras que el 60% de la producción restante lo realiza la máquina A2, pero todas las

unidades producidas llegan a un ambiente para el control y empaque.

a) ¿Qué porcentajes de unidades defectuosas tiene la producción?

b) Si se selecciona una muestra de 20 unidades de la producción, ¿Qué probabilidad hay de se encuentre una unidad defectuosa, si todas las unidades de la muestra provienen de una misma línea de producción?

11. Una prueba de aptitud consta de 12 preguntas con 4 alternativas cada una, de las cuales sólo una es la correcta. Si

usted contesta al azar y en forma independiente todas las preguntas.

a) Obtenga el modelo de probabilidad del número de respuestas correctas. Calcules su media y su varianza.

b) Suponga que cada pregunta correctamente contestada vale 5 puntos y que por cada pregunta mal contestada se descuenta k puntos. Defina la nota del alumno y calcule el valor de K si se sabe que la media o esperado de la nota es 12.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno, obtenga la máxima nota 60?. Use el valor de K calculado en b)?

12. Una agencia de viajes observa que el 20% de las reservas de pasajes para viajar al interior no se hacen efectivas.

Si la compañía decide acepar reservas por un 20% más de los 15 cupos que posee, calcule el porcentaje de clientes

que habiendo hechos su reservas se quedarían sin viajar.

13. El tiempo de duración X, en meses, de un producto tienen la siguiente función de densidad:

a) ¿Qué probabilidad hay de que el producto dure más de 4 meses?

b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos una de cada 10 unidades del producto dure más de 4 meses?. Asuma independencia de duraciones.

c) Un sistema que tiene n unidades del producto funciona, si al menos una unidad funciona. Halle el valor aproximado de n si se sabe que el sistema sigue funcionando después de 4 meses en el 90% de los casos.

d) Si el costo de cada unidad del producto está dado por C=2+(30-x)2 ¿Cuánto es el costo esperado por unidad del producto?

Distribución de probabilidad Hipergeométrica

21. (Taller de la distribución Hipergeométrica). Se selecciona una muestra al azar y la vez de 2 artículos de un lote

que contiene 11 de los cuales 3 son defectuosos y el resto buenos. Si X es la variable que denota el número de

defectuosos en la muestra.

a) Describa el modelo de probabilidad del X. ¿Cuántas unidades defectuosas es más probable que contenga la muestra?

b) Grafique la distribución y describa su forma. Luego, calcule su media y su varianza.

c) Grafique la función de distribución acumulada de X y aplicando la gráfica calcule los tres cuartiles de la distribución.

22. Se escogen 5 artículos ala azar uno a uno sin reposición de un lote que contiene 20 unidades de un producto. Si el

20% de los artículos de la caja no están aptos para su venta

a) Determine el modelo de probabilidad adecuado del número artículos no aptos para su venta de los 5 escogidos y

calcule su media y su varianza.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 5 artículos no sea apto para su venta?

c) Describa el modelo de probabilidad adecuado del número artículos no aptos para su venta si los 5 artículos se

escogen uno por uno con reposición y calcule su media y varianza.

23. Un determinado producto industrial es recibido por un consumidor en lotes de 20 unidades. El escoge 5 artículos a

la zar uno por uno sin sustitución de un lote y lo rechaza si encuentra al menos dos defectuosos, en caso contrario

acepta el lote.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que rechace un lote que tiene 1 unidad defectuosa. Justifique su respuesta.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que acepte un lote que tiene 3 unidades defectuosas?

24. Una ensambladora de computadoras recibe lotes de 10 tarjeta cada uno de un tipo específico, en la proporción

30% de marca A 70% de marca B. Se sabe que el porcentajes de producción defectuosa es el 40% para la marca A

de 10% para la marca B. Si se prueban 3 tarjetas extraídas ala zar una a una y sin reposición de un lote elegido al

azar. Calcular la probabilidad de no encontrar tarjetas defectuosas.

25. Un jurado de 9 jueces va a decidir la inocencia o culpabilidad de un reo. Suponga que 6 votan por la inocencia y el

resto por la culpabilidad.

a) Calcule la media y la varianza del número de votos por la inocencia de 3 jueces de los 9.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya votos por la inocencia de 3 jueces de los 9?

26. Un lote grande de N sacos de café de un quintal contiene 10% de sacos con impurezas. Del lote se cargan a un

camión 20 sacos escogidos al azar.

a) Determine la distribución de probabilidad del número de saco de café con impurezas escogidos. ¿Cuántos sacos de café con impurezas se espera cargar al camión si se cargan muchas veces?

b) Si N=1,000, calcule aproximadamente la probabilidad de que se haya cargado a lo más 6 sacos con impurezas.

27. Un consumidor recibe lotes de 20 piezas de un fabricante. El control de calidad del consumidor consiste en tomar

una muestra de 3 piezas al azar una por una sin reposición de un lote. Si en la muestra encuentra al menos una

defectuosa, rechaza el lote; en caso contrario escoge otras 2 de los 17 que quedan. Si en la segunda muestra

encuentra al menos una defectuosa, rechaza el lote; en caso contrario lo acepta. Calcule la probabilidad de que

rechace un lote que contiene el 25% de piezas defectuosas.

28. Un fabricante que produce semanalmente 1000 unidades de cierto tipo de articulo, controla la calidad de la

producción seleccionando al zar una muestra de 20 artículos uno por uno sin reposición y adoptando la siguiente regla

de decisión: Acepta que el porcentajes de producción defectuosa es 2% si en la muestra encuentra a lo más un

artículo defectuoso y rechaza que el porcentaje de producción defectuosa es 2% en caso contrario. ¿Cuál es la

probabilidad de que decida aceptar que el porcentajes de producción defectuosa es el 2% en una semana que tiene 50

defectuosos de la producción total?

Distribución de probabilidad Poisson

29. El número promedio de automóviles que llegan a una garita de peaje es de 120 por hora.

a) Calcule la probabilidad de que un minuto cualquiera no llegue automóvil alguno.

b) Calcule la probabilidad de que en el periodo de 3 minutos lleguen más de 5 automóviles.

c) Si tal garita puede atender a un máximo de 3 automóviles en 30 según dos, calcule la probabilidad de que en un medio minuto dado lleguen más automóviles de lo que puede atender.

30. Un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 3 bacterias por centímetro cúbico. Calcule la probabilidad

de que una muestra,

a) de 1/3 de centímetro cúbico no contenga bacteria alguna.

b) De 2 centímetros cúbicos contenga por lo menos una bacteria.

31. El número de accidente de trabajo que se producen por semana en una fábrica sigue la ley de Poisson de manera

que la probabilidad de que ocurran 2 accidentes es igual a 3/2 de la probabilidad de que ocurra un accidente. Calcule

la probabilidad de que no ocurran en semanas consecutivas.

32. El banco “A&H” atiende todos los días de 8 am. a 4 pm. y se sabe que el número de clientes por día que van a

solicitar un préstamo por más de $10,000 tiene una distribución de Poisson con una media de 3 clientes por día.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $10,000?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos de cuatro días, hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $10, 000?

33. La demanda semanal de cierto producto tiene una distribución de Poisson. Actualmente su media es 3 por

persona. Se estima que después de una campaña publicitaria, el valor esperado de la demanda se duplicará con

probabilidad de 0.8 y se triplicará con probabilidad 0.2.¿Cuál es la probabilidad de que después de la campaña la

demanda sea igual 4?

34. El número de personas que cada día se aloja en el hotel “P&C” es una variables aleatoria X tiene distribución de

Poisson con parámetro λ que puede ser:

Igual a 20 con probabilidad 0.5

Igual a 15 con probabilidad 0.3

Igual a 10 con probabilidad 0.2

a) Determine p[X=k], donde k=1,2,…,etc.

b) Calcule el valor esperado de X.

35. Cierto tipo de cerámica para enchapado de pared puede tener un número X de punto defectuosos que sigue un

distribución de Poisson con una media de 3 puntos defectuosos por unidad. El precio por unidad de la cerámica es $1

si X=0, de 60.70 si X=1 o 2 y de $0.1 si X>2. Calcule el precio esperado por unidad de cerámica.

36. El número de usuarios que acuden a cierta base de datos confidencial sigue una distribución de Poisson con una

medio de dos usuarios por hora.

a) Calcular la probabilidad de que entre las 8am. y el mediodía acudan más de dos usuarios.

b) Si un operador de la base de datos trabaja todos los días de 8am. Hasta el mediodía, ¿Cuál es la probabilidad de que este operador tenga que esperar más de 7 días hasta observar el primer día en el cual acceden más de dos usuarios?

37. Cierta panadería dispone de una masa con frutas confitadas para hacer 2000 panetones . Agrega 2, 000 pasas de

uvas a la masa y la mezcla bien. Suponga que el número de pasas es una variable aleatoria de Poisson con un

promedio de 10 pasas por panetón.

a) Calcule la probabilidad de que un panetón cualquiera no contenga ninguna pasa.

b) ¿Cuántos panetones se espera que contengan 6 pasas?

c) Suponga que en tal producción hay 15 panetones con a lo más 6 pasas, si un cliente adquiere 5 panetones, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan más de 6 pasas?

38. Una compañía de seguros estima que el 0.1% de los habitantes de una gran ciudad fallece cada año en accidentes

de tránsito. Calcule la probabilidad aproximada de que la compañía tenga que pagar en un año a más de 10 de sus

3,000 asegurados contra tales accidentes.

39. Suponga que la probabilidad de que una soldadura resulte defectuosas en una conexión dada de un sistema es

0.001. Calcule la probabilidad aproximada de que se presente a lo más 2 soldaduras con defectos en un sistema que

tiene 5,000 conexiones soldadas independientemente.

40. Un libro de n páginas contiene un promedio λ errores de impresión por página. Calcule la probabilidad que por lo

menos una página contenga por menos k+1 errores.

Ejemplo 7.14

Obtenga las probabilidad , dados los siguientes valores de Z

a) P[Z≤1.28]

b) P[0.81≤Z ≤ 1.94]

c) P[Z ≤ 2.17]

d) P[-0.46 ≤ Z ≤ 2.21]

e) P[Z ≥ -0.68]

f) P[Z > 2.05]

g) P[-2.04 ≤ Z ≤ 2.04]

h) P[Z ≤ 1.676]

SOLUCION

Se sugiere hacer una gráfica para cada caso

a) P[Z≤1.28]= Φ (1.28)=0.8997

b) Φ (1.94) - Φ (0.81)= 0.9738 – 0.7919= 0.1828

c) P[Z ≤ 2.17] = 1- Φ (2.17)= 1- 0.985= 0.0150( esta es, una cola en lado izquierdo)

d) Φ (2.21) - Φ (-0.46)= Φ (2.21) –(1- Φ (-0.46))= 0.9864 – 0.3228= 0.6636

e) P[Z ≥ -0.68]= P[Z ≥ 0.68]= Φ (0.68)= 0.7517

f) P[Z > 2.04]= 1- P[Z > 2.04]=1-0.9793= 0.0207 ( esta es, una cola en lado derecho)

g) P[-2.04 ≤ Z ≤ 2.04]= Φ (2.04) - Φ (2.04) =1-2x0.0207=0.9586 (esto es, 1-2xcola)

h) Un procedimiento es aproximar z a dos decimales, en este caso,

P[Z ≤ 1.676]≡P[Z ≤ 1.68]=0.9535

Si se requiere de mayor precisión, se puede usar el siguiente proceso de aproximación por interpolación lineal (ya

que se interpola en el tercer decimal y por tanto pedazo de curva es “suavizada” por un segmento de longitud muy

pequeña):

Valores de Z: 1.67 ≤ 1.676 ≤ 1.68

Áreas respectivas: 0.9525 ≤ Φ(1.676) ≤ 0.9535

Luego, resultando Φ(1.676) ≤ 0.9531

Ejemplo 7.15

Obtenga los valores z de Z para las siguientes probabilidades dadas:

a) P[Z ≤ z]= 0.8621

b) P[Z ≤ z]= 0.2236

c) P[-z ≤ Z ≤ z]= 0.9500

d) P[-z ≤ Z ≤ z]= 0.9900

e) P[-z ≤ Z ≤ z]= 0.9000

f) P[Z ≤ z]= 0.9800

SOLUCION

a) P[Z ≤ z]= 0.8621 se cumple sólo si, z=1.09

b) P[Z ≤ z]= 0.2236 se cumple sólo si, z=0.76 (observe que el área < 0.5)

c) P[-z ≤ Z ≤ z]= 0.9500 implica , P[Z ≤ z]= 0.9750 implica, z=1.96

d) P[-z ≤ Z ≤ z]= 0.9900 implica , P[Z ≤ z]= 0.9950

Por interpolación se tiene:

Áreas respectivas;

Entonces,

Por interpolación se tiene:

Valores de Z: 2.57 ≤ z ≤ 2.58

Áreas respectivas; 0.9949 ≤ 0.9950 ≤ 0.9951

Entonces, resultando z= 2.575

NOTA. Adoptaremos el siguiente convenio. Si el área dada no está en la tabla, se toma el área vecina más cercana.

Si hay dos áreas vecinas a la misma “ distancia”, entonces, el valor buscado de z será la semisuma de los valores de z

correspondientes. En el inciso d) el área 0.9950 se halla a igual distancia de 0.9949 que da z=2.57 y de 0.9951 que da

z=2.58, entonces , z=2.575, es la semisuma de los dos.

e) P[-z ≤ Z ≤ z]= 0.9000 implica P[Z ≤ z]= 0.9500. El área 0.9500 se halla a igual distancia de 0.9495 que da z=1.64 y

de 0.9505 que da z=1.65, entonces z= 1.645, es la semisuma de los dos.

f) P[Z ≤ z]= 0.9800 implica z=2.05, ya que el área más cercana a 0.9800 es 0.9798

Ejemplo 7.16

Si la variable X tiene distribución normal N(µ,δ2)

a) Compruebe que el área comprendida

a1) Entre µ- δ y µ+δ es 68.26%

a2) Entre µ- 2δ y µ+2δ es 95.44%

a3) Entre µ- 3δ y µ+3δ es 99.74%

b) Determine el intervalo µ- kδ ≤ X ≤ µ+ kδ que contenga el 50% del área total. Esto es halle el valor de k de X tal que,

P[µ- kδ ≤ X ≤ µ+ kδ ]= 0-5000

SOLUCION

NOTA. En el análisis descriptivo de distribuciones de frecuencias relativas se aplica el resultado a) para cualquier

distribución simétrica. Pero, si la distribución de X no es normal o no es simétrica, por Chebyshev se tiene que

Ejemplo 7.17

El ingreso monetario mensual por hogar en una región se distribuye según el modelo de la probabilidad normal con

media &600 y desviación estándar $100.

a) ¿Qué porcentaje de hogares de la región tiene ingresos menores de $400.

b) Si todos los hogares ubicados en el 5% superior de los ingresos están obligados a pagar un impuesto, ¿a partir de que ingreso están obligados?

c) Si todos los hogares de la región paga un bono de seguridad ciudadanía que consiste en 0.25% de su ingreso más 4 dólares, ¿Qué porcentaje de los hogares paga más de $5.125?

SOLUCION

Se X la variable que define la población de los ingresos monetarios por hogar. Se sabe que X~ N(600,(100)2)

Luego, 2.28% de los hogares de la región tiene ingresos menores de $400.

b) Se debe calcular el percentil 95 de la distribución de los ingresos. Esto es, se debe hallar el valor de k de X tal que

P[X ≤ k]=0.95.Entonces, se tiene que

c) El monto está dado por: B=0.0025X+4, entonces,

Ejemplo 7.18

La duración(en meses de 30 días) de fotos que produce una compañía se distribuyen según el modelo de la

probabilidad normal. Si el 18.41% de estos focos duran menos de 8.2 meses y el 6.86% duran al menos 13 meses.

a) Calcule la media y la varianza de la duración de los focos.

b) Halle el cuarto inferior(Q1) de la duración de los focos.

c) Si el costo de cada foco es S/.10 y se vende en S/.25, pero garantizado la devolución total del dinero si dura menos de 8 meses, ¿Cuánto es la utilidad esperada por foco?

d) Si mediante un nuevo proceso se logra aumentar la duración en 10% más 15 días, ¿Qué

porcentaje de focos duran ahora menos de medio año?

SOLUCION

Sea X la variable aleatoria que denota la duración de los focos. Se sabe que la distribución de X es normal. Sus

parámetros µ y δ2 se van a determinar previamente.

a) Si el 18.41% duran menos de 8.2 meses, entonces P[X<8.2]=0.1841. Luego,

de donde se obtiene, y µ-0.9δ=8.2…..(1)

Si el 6.685 duran al menos 13 meses, entonces, P[X ≥ 13]=0.0668

Luego,

De donde resulta, y µ+ 1.50δ=13…..(2)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

µ=10 y δ=2

b) El cuartil1 Q1, satisface la condición P[X ≤ Q1]=0.25, entonces,

De P[Z<(Q1-10)/2]=0.25, resulta , Q1=8.66

c) La utilidad U= - 10 si X<8, U= 15 si X≥ 8. Luego , la utilidad esperada es:

E(U)= -10P[X < 8]+15P[X ≥ -8]= 10P[Z≥-1]+ 15P[Z ≥ -1]

E(U)= -10 x0.1587 + 15x0.8413= 11.03

d) Si Y es la duración con el nuevo proceso, entonces, Y=1.1X + 0.5 y

P[Y < 6]= P[X < 5]= P[Z < -2.5]=0.0062

Ejemplo 7.19

En un proceso de fabricación de arandelas se sabe que el diámetro interior tiene un rango de valores que va de 12.319

mm. Hasta 13.081 mm. El propósito para el que se destinan están arandelas permiten una tolerancia en el diámetro de

12.6 mm. A 12.9 mm., de otro modo las arandelas se consideran defectuosas. Si el diámetro de las arandelas es una

variable aleatoria con distribución normal de media 12.7 mm.

a) Calcule el porcentaje de arandelas defectuosas producidas.

b) ¿Cuántas arandelas no defectuosas se espera en una producción de 2000 de tales arandelas?

SOLUCION

Se X la variable aleatoria que denota el diámetro interior de las arandelas. Se sabe que X tiene distribución

N(12.5, δ2)

Para determinar la desviación estándar de la distribución aplicamos la relación δ ≡ R/6, donde , R es el rango de

valores de la variable X.

En efecto comprobando que:

Luego, 2.28% de los hogares de la región tiene ingresos menores de $400.

b) Se debe calcular el percentil 95 de la distribución de los ingresos. Esto es, se debe hallar el valor de k de X tal que

P[X ≤ k]=0.95.Entonces, se tiene que:

P[µ - 3δ ≤ X ≤ µ +3δ]=0.9974

Es decir, casi el 100% del área total de la distribución se incluye en el intervalo

Por otro lado, el rango R de valores de la variable X es aproximadamente:

De los datos, R=Xmax –Xmin= 13.081 – 12.319 0.762

Luego,

La probabilidad de arandelas no defectuosas es el número

EJEMPLO 7.19 B

La cantidad en gramos que se pierde por envase en el llenado sistemático de un producto es una variable aleatoria X

cuyo modelo de probabilidad es definido por:

¿Qué probabilidad hay de que la cantidad perdida esté entre 0 y 1.5 gramos?

SOLUCIÓN

No es complicado verificar que la función de densidad de probabilidad corresponde a una normal con media

Distribución de probabilidad normal

7.(Taller acerca de la distribución normal). La demanda diaria , en kilogramos, de un producto se distribuyen según el

modelo de la probabilidad normal con una media de 50 y un desviación estándar de 10.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de un día cualquiera esté entre los 46 y 54 kilogramos?. Ilustrar con una gráfica

b) ¿Qué cantidad del producto debe hacer diariamente a fin de satisfacer la demanda en el 89.8% de los meses?

c) Si la utilidad diaria(en soles) del producto está dada por U=2.4X+20, ¿con qué probabilidad la utilidad de un día cualquiera supera los 170 soles?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda total de 3 días supere los 116 kilogramos?Rp. a) 0.3108, b) 62,7 kg., c) P[U>170] = P[x>62.5]= P[Z>1.25]=0.1056, d) 0.9750

8. Los puntajes resultantes de un prueba de conocimientos aplicados a 120 alumnos se distribuyen según el modelo de

la probabilidad normal con una media de 80 puntos.

a) Calcule la desviación estándar si el 6.68% de ellos obtienen menos de 59 puntos.

b) ¿Qué puntaje máximo se requiere en esta prueba para estar en el cuarto inferior? Y ¿Qué puntaje mínimo se requiere para estar en el cuarto superior?

c) ¿Cuántos alumnos se encuentran entre el cuartil 1 y el cuartil 3?Rp. a) Z=(59-80) / δ=-1.5, da δ=-14, b) Q1= 70.62, Q3= 89.38, c) 0.50x120=60

9. Cierto líquido industrial contiene un porcentaje X por galón de un compuesto particular cuya distribución es normal

con una media de 15% y una desviación estándar de 3%. El fabricante tiene una utilidad neta de $0.15, si 9<X<21, de

$0.10, si 21≤X≤27, y una pérdida de $05, si 3≤X≤9, calcule la utilidad esperada por galón. Rp. valores: -0.05, 0.15, 0.10, prob.: 0.0228, 0.9544, 0.0228, Esperad: 0.14$

10. Los resultado de un examen de comportamiento agresivo aplicado a 400 adolescentes se distribuye según el

modelo de la probabilidad normal con una media igual a 35 puntos.

a) Obtenga la desviación estándar de la distribución si el 84.13% de los adolescentes obtienen al menos 30 puntos ¿Cuántos adolescentes obtienen entre 26 y 44 puntos?

b) ¿Qué probabilidad hay de que 3 a 5 adolescentes obtengan al menos 31.4 puntos? Suponga independencia de los puntajes

Rp. a) P[X ≥ 30]= P[Z≥ (30-35)/δ]=0.8413, (30-35)/δ=-1, δ=5, P[26≤X≤44]= P[-1.8 ≤X≤1.8]=1-2x 0.0359= 0.9282,

b) 10 x(0.1003)2x(0.8997)3

11. En un trabajo estadístico se ha logrado determinar que los tipos de cambio oficial del dólar USA en soles (X)

durante 360 días de cotización del año 2006, se distribuyeron según el modelo de probabilidad normal con un media

de 3.225 soles y una desviación estándar de 0.025 soles

a) ¿En cuántos de estos días se cotizó el dólar por más de 3.179 soles?

b) Si para el próximo año se proyecta un tipo de cambio Y dado por Y=0.98X+0.012, ¿Cuál es la probabilidad de que el dólar se cotice por menos de 3.132?

Rp. a) Prob=0.9671, 360x0.971=348.156, b)Y=0.98X+0.012, P[Y<3.132]= P[X<3.184]=0.0495

12. Las calificaciones 400 alumnos en una prueba final de Estadística se distribuyen según el modelo de probabilidad

13. normal con una media de 12.

a) Obtenga aproximadamente la desviación estándar de la distribución si la nota mínima es 6 y la máxima 18.

b) Si la nota aprobatoria es 11, ¿Cuántos alumnos aprobaron el curso?

c) ¿Qué nota como mínimo debería tener un alumno para estar ubicado en el quinto superior?

d) ¿Qué rango percentil tiene un alumno cuya nota es 14?, ¿Indique su orden de mérito.

13. Los puntajes de una prueba de aptitud académica están distribuidos normalmente con una media de 60 y una desviación estándar de 10 puntos.

d) Si el 12.3% de los alumnos con mayor puntajes reciben el calificativo A y 20% de alumnos con menor nota reciben el calificativo C, calcule el mínimo puntajes que debe tener un alumno para recibir una A, y el máximo puntaje que debe tener para recibir una C.

e) Si el resto de los alumnos recibe el calificativo B, y si el total de alumnos es igual a 90, ¿Cuántos alumnos recibieron el calificativo, A,B,C?

14. Las calificaciones de una prueba final de Matemáticas Básica tienen distribución normal con una medial igual a 8.

Si el 6.68% de los examinados tienen nota aprobatoria(mayor o igual a 11), ¿Cómo debe modificarse cada nota para

conseguir un 45% de aprobados?

15. El ingreso monetario mensual por hogar en una comunidad se distribuye según el modelo de la probabilidad normal

con una media de $400 y desviación estándar $50.

a) Todos los hogares que están en el décimo superior de los ingresos mensuales pagan una contribución de solidaridad, ¡a partir de que ingreso lo hacen?

b) Si cada hogar ahorra mensualmente el 25% de su ingreso menos $50, ¿Qué porcentaje de ahorros superan los %75?

c) ¿Qué probabilidad hay de que uno de dos hogares cualesquiera tenga un ingreso mayor a $498 y el otro menor que $302?. Asuma independencia.

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16. Una pieza es considerada defectuosa y por lo tanto rechazada si su diámetro es mayor que 2.02 cm. O es menor

que 1.98cm. Suponga que los diámetros tiene distribución normal con media de 2 cm. y desviación estándar de

0.01cm.

a) ¿Cuántas piezas de 10000 se espera sean rechazadas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 piezas de 4 sean rechazadas si las 4 piezas se escogen una a una sin reposición de un número desconocido de piezas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta pieza buena sea la sexta probada si las piezas se escogen una a una sin reposición de un número desconocido de piezas?

17. Un exportador recibe sacos de café de un quintal al mismo tiempo de los proveedores A(Chanchamayo) y

B(Quillabamba). El 40% recibe de A y el resto de B. El porcentajes de granos con impurezas por saco es una variable

aleatoria cuyo modelo de probabilidad es normal con media y desviación estándar respectivas de 6% y 2% para A , y

de 8% y 3% para B.

a) ¿Qué probabilidad hay de que el porcentaje de granos con impurezas de un saco cualquiera supere el 10%?

b) Si el porcentaje de granos con impurezas supera el 10%, ¿qué probabilidad hay de provenga de Chanchamayo’

18. Una fábrica cuenta con 3 máquina: A, B, C, donde la máquina A produce diariamente el triple de B y está el doble

de C. Además se sabe que el peso de los artículos producidos por A se distribuye exponencialmente con una media de

5kg, el peso de los productos por B se distribuyen uniformemente entre 3kg y 8kg, mientras que el peso de los

producidos por C se distribuye normalmente con una media de 6kg y una desviación estándar de 2kg. Estos artículos

llegan a una bandeja donde se juntan aleatoriamente. Si se extrae de la bandeja un artículo al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que pese a lo más 5kg?

b) Si pesa más de 5kg, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A?

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19. El monto de los consumos que registra una cajera de un supermercado en un día cualquiera es una variable

aleatoria que tiene distribución normal con media $200 y desviación estándar $50.

a) En este supermercado sólo el 5% de los clientes se considera un excelente cliente y por tanto como promoción puede recibir un 10% de descuento, ¿a partir de que consumo un cliente se beneficiaría de la promoción?

b) Actualmente el 30% de los clientes tiene un consumo considerado como mínimo. La empresa considera que en base a la promoción en unos meses sólo el 20% de los clientes consumirán debajo de ese monto, ¿Cuánto dinero adicional tendrá que gastar cada cliente para que esto se cumpla?

20. Suponga que el monto del consumo por persona en un restaurante se distribuye normalmente con una desviación

estándar igual a $5. Si se sabe que el 15.87% de los clientes consumen por más de $15 y que 112 personas pagaron

menos de $7.1, ¿Cuántas personas comieron en el restaurante?Rp. µ=$10, 400 personas

21. Una empresa está construyendo 200 casas en la urbanización “El Cerro”. El material empleado en las redes de

desagüe es tal que el 18.41% de las tuberías tienen periodos de duración NO exceden los 8.2 años y que el 6.68%

tienen de duración que exceden 13 años. Considerando que la distribución de probabilidad de los periodos de duración

de estas tuberías es normal,

a) Calcule la media y la varianza de esta distribución. Luego, calcule el porcentaje de casas que necesitaran cambiar sus tuberías de desagüe después de los 15 años.

b) Cada casa construye la empresa a un costo de $10,000 y lo vende en $25,000, pero si la tubería de desagüe dura menos de 8 años, la empresa adiciona a su costo $1000, ¿Cuánta utilidad por casa espera obtener la empresa?

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22. Los pesos de los posible usuarios de un ascensor constituyen una población cuya distribución es normal con una

media de 70kg. y una desviación estándar de 10kg. Si el ascensor admite como `peso máximo 585kg.

a) ¿Cuál es la probabilidad el peso total de 10 usuarios supere ese peso máximo?

b) ¿Cuántas personas a la vez pueden usar el ascensor de manera que sea 0.0668 la probabilidad de que el peso total no supere el máximo permitido?

23. Se ha determinado que los salarios, en dólares, de las parejas de esposos son independientes y que la distribución

es N(350, 502) para los hombres y N(250, 352) para las mujeres

a) ¿Con que probabilidad el salario de una pareja de esposos supera los $270?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el salario del esposo sea superior al de su esposa?

c) Qué probabilidad existe de que cada salario sea mayor $300?

24. El peso de una caja de 12 botellas de gaseosa con contenido consiste de los siguientes pesos en kilogramos: El

peso de las botellas de vidrio cuya distribución es normal de media 0.4 y desviación estándar 0.01. El peso del

contenido cuya distribución es normal con media 0.7 y desviación estándar 0.05 y el peso de la caja vacía con

distribución normal de media 2 y desviación estándar 0.05.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de una caja de gaseosas pese menos de 15kg.?

b) ¿ Con que probabilidad 8 de 10 de estas cajas de gaseosa pesan menos de 15kg.?

25. Cierto tipo de artículo tienen un precio de venta fijo de 25 unidades monetarias(u.m.) y un costo variable que es

N(5,1). ¿ Cuál es la probabilidad de que la venta de 6artículos origine una utilidad neta total mayor que 125 u.m.?

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