01_tensiones

7/24/2019 01_Tensiones

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TENSIONES

TENSIONES


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1. Definicin

2. Descripcin de un estado tensionala) Tensor de tensiones

b) Sistemas de referencia

c) Tensiones principalesd) Invariantes del estado tensional

ndice


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Definicin del concepto de tensin

Describe la intensidad de las fuerzas internas que se inducen en un slido por

la aplicacin de un conjunto de fuerzas, tanto internas como externas.

Dichas fuerzas son bsicamente de orien ra!itacional " tectnico.

#l efecto de una fuerza depende del rea sobre la que act$a, por lo que

trabajar con fuerzas no es adecuado para cuantificar su efecto.

#l efecto de la fuerza se expresa como tensin %esfuerzo,stress, traction&,

= F/Aque es un !ector independiente de la manitud del rea deaplicacin %pero no de su orientacin&

'a fuerza se puede descomponer en sus componentes normal " cortante al

rea de aplicacin

+= SNF


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(


)ara cuantificar la tensin en el interior del slido se considera un rea

infinitesimal Aasociada a la fuerza actuante.

dA

dF

A

Flim

0A==

'as componentes normal " cortante de la fuerza resultante en dicho punto

tambi*n producen las tensiones normal " cortante a dicha rea.

dA

Nd

A

Nlim

0An == dA

Sd

A

Slim

0A==

n


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+


'as unidades sonfuerza/area, -m2 )a

/nidades habituales %0..& 1 )a 1#4 )a %a !eces se emplea 1 -mm2&

1 5)a 1#3 )a

6tras unidades 1 5p-cm2 7 8.1 )a 1#+ )a

1 9-m27 8.81 )a 1#( )a

:riterio de sinos %-& :ompresiones

%;& 9racciones


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4

Estado tensional en un punto. Tensor de tensiones

)ara estudiar el !ector tensin consideremos un slido en equilibrio esttico

bajo la accin de fuerzas, distribuidas o puntuales

:onsideremos una porcin cualquiera del slido, como por ejemplo la que se

obtendr


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@


)


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A


0i consideramos dos planos distintos,B " C que pasan por ), los !ectores

tensin correspondientes sern iualesE

:aso de ser distintos :mo se podr


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F


)ara cuantificar la tensin en un punto se considera el !olumen elemental en

equilibrio esttico asociado a dicho punto " las tensiones normales " cortantes

en cada una de las caras de dicho !olumen.

'a tensin cortante se di!ide a su !ez en 2 componentes ortoonales que se

definen seGn el sistema de referencia

'as tensiones cortantes se suelen expresar mediantelos s


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'a fiura anterior propone 1A !alores de tensin, pero, son independientes

entre si estos !aloresE

Dado que el paralelep


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11

:onsideremos un tetraedro elemental %que corta al paralelepzlas componentes del !ector tension

en la cara IJ: de area d% " K, L, M las componentesdel !ector unitario normal a la misma

r

x nx xy xz

y xy ny yz

z xz yz nz

dA dA dA dA

dA dA dA dA

dA dA dA dA

= + +

= + +

= + +

Nue admite una cmoda expresin matricial

x x xy xz

y xy y yz

xz yz zz

=

6 bien simblicamente

#l tensor de tensiones depende del sistema de referencia que se adopte, de forma que el mismo

estado tensional en un punto se expresa mediante distintos tensores se$n el sistema de

referencia que se adopte

[ ] [ ] [ ]O u =r r


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Estado tensional en un punto. Ecuaciones de equilibrio

=ijado el triedro de referencia 6x"z, las componentes de la matriz de tensiones

en un punto sern, en eneral, funcin de las coordenadas de dicho punto. 0in

embaro, los !alores que toman esas componentes no pueden ser arbitrarios, "a

que siendo f!la fuerza por unidad de !olumen de componentes %P, Q, R&, lacondicin de equilibrio esttico en el paralelep


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Estado tensional en un punto. Cambio de sistema de referencia

#l objeti!o es expresar un estado tensional referido a unos ejes %x, y, z"en unos

nue!os ejes %l, m, n".

'os nue!os ejes se refieren a los antiuos mediante sus cosenos directores%lx, ly, lz&

%mx, my, mz&

%nx, ny, nz&

%lxes la pro"ecin del !ector unitario paralelo al nue!o eje lsobre el antiuo ejex

/n estado tensional, que se representa mediante el siuiente tensor referido alos ejes %x, y, z"

[ ]

=

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

0e representa iualmente mediante el siuiente tensor referido a los ejes %l, m, n"

[ ]

=

nnmnnl

mnmmlm

nllmll

#


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1(


Inal


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1+


anteniendo la misma orientacin en el espacio de la cara a$c, pero expresando la tensin ten el nue!osistema de referencia (l, m, n"resulta

T

T

T

l ll lm nl x

m lm mm mn y

n nl mn nn z

t

t

t

=

St#U S+U StU

StU " St#U son los !ectores correspondientes a la tensin resultante en la cara a$creferida a los ejes %x, y, z"" %l,

m, n& respecti!amente. SU " S#U son los !ectores normales a la cara a$creferidos a los ejes %x, y, z"" %l, m, n&,

por lo tanto

S#U S+U SU

0iendo SVU la matriz de iro, que tiene la expresin siuiente

[ ]

=

zyx

zyx

zyx

nnn

mmm

lll

+

St#U SU S U


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'as matrices de iro tienen la propiedad de que su in!ersa es iual a su traspuesta SVUW1 SVU9con lo que

StU S+UW1St#U S+U9St#U

SU S+UW1S#U S+U9S#U

#ntonces St#U S+U StU

S+U XSU SUY

S+U SU XS+U9

S#

UY

" como St#U S#U S#U

iualando " eliminado STU S#U S+U SU S+U9

es decir

=

zzz

yyy

xxx

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

zyx

zyx

zyx

nnmnnl

mnmmlm

nllmll

nml

nml

nml

nnn

mmm

lll


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1A

Estado tensional en un punto. Tensiones principales

Interiormente se ha mostrado que el estado tensional en un punto se expresa

mediante 4 componentes %que constitu"en un tensor sim*trico& cu"as manitudes

dependen del sistema de referencia adoptado.

0e ha !isto tambi*n que la tensin resultante tde un estado tensional sobre unplano arbitrario en el interior del slido se puede expresar mediante una tensin

normal " 2 tensiones cortantes ortoonales.

#s de inter*s conocer los 2 planos en los que la componente normal de la tensinresultante es mxima " m


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1F


#l estado tensional en un punto se puede expresar tambi*n mediante las

manitudes de las ! tensiones principalesH

H ms las ! direcciones principales, que por ortoonalidad son 3 !ariables

independientes ms %2 nulos para la direccin principal ma"or, " 1 nulo de

otra direccin principal sobre el plano principal ma"or&.


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Determinacin de las tensiones principales

0ea el plano a$c de la fiura un plano normal a la tensin

resultante pZ si la normal al plano !iene dada por el unitario%x, ", z&, las componentes de la tensin resultante en el planoa$c son

=

zt

t

t

y

x

&

z

y

x

'as componentes de la tensin resultante en el plano a$cestn

relacionadas con el estado tensional " la orientacin del plano

%!er p. F& mediante

=

zt

t

t

y

x

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

z

y

x

Vestando ambas iualdades resulta

=

0

0

0

z

y

x

&zzyzzx

yz&yyxy

zxxy&xx


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'a anterior ecuacin matricial representa un sistema homo*neo de 3 ecuaciones con 3incnitas, x, ", z, " la condicin para que tena solucin no tri!ial es que su determinantesea nulo. Inulando el determinante se obtiene la siuiente ecuacin c$bica

0--- .&,,

&

.

& =+

0iendo 1, 2" 3los [in!ariantes\ del estado tensional %!er p. 1F&, que se definen como

-= * * . = xx* yy* zz

( )2222113322 xyzxyzyyxxzzxxzzyy- ++++=++=

,

xyyy

,

zxyy

,

yzxxzxyzxyzzyyxx.,/. ,- +==


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22



#sta ecuacin c$bica tiene 3 ra


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'omentarios !enerales

'a 1cuantifican la mxima compresin del estado tensional en el punto.

'a 3cuantifica la m


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2(

Estado tensional en un punto. Invariantes

Idems de las tensiones principales, existen unas constantes asociados al estado

tensional que son independientes del sistema de referenciaque se adopte. Dichos !alores son los invariantesdel estado tensional. 'os ms interesantes en

ecnica de Vocas son el primer " el seundo in!ariantes, 1e 2respecti!amente

-= * * . = xx* yy* zz

( ),xy,zx,yzyyxxzzyyzzyy,//..,,- ++++=++=

'os in!ariantes cuantifican el estado tensional de forma lobal, e independiente del

sistema de referencia que se adopte-cuantifica la tensin normal media que ac$a

en un punto

.,

0 -.

.=

++=

,

xyyy

,

zxyy

,

yzxxzxyzxyzzyyxx.,/. ,- +==


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2+


#s habitual di!idir el tensor de tensiones en dos componentes, una parteesf3rica, 4idrost5ticao

6olum3trica, S0U, " una parte des6iadora, SdU, de manera que

SU S0

U ; Sd

U

+

=

0zzyzxz

yz0yyxy

xzxy0xx

0

0

0

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

00

00

00

S0U cuantifica las deformaciones !olum*tricas %cambio de !olumen, no de forma& SdUcuantifica la distorsin %cambio de forma, no de !olumen&.

'os invariantes de SdU son

83

3381

=

++++=++= zzyyxxzzyyxxzzyyxx7

( ) ( ) ( )[ ] =+++++= 222222

241

xyzxyzyyxxxxzzzzyy7

( ) ( ) ( )[ ]2212

13

2

324

1 ++=

( ) ,, -

.

- =


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'omentarios finales

#l primer in!ariante deS0U, , cuantifica lobalmente los efectos de cambio de

volumenen el slido.

#l primer in!ariante de SdU,7, es nulo, por lo que para cuantificar lobalmente los

efectos de cambio de forma o distorsinde un slido se emplea el(2.

Ilunos modelos constituti!os de comportamiento de slidos estn formulados en

estos in!ariantes.

/n estado tensional queda completamente definido con las ! direccionesprincipalesms los ! invariantes que constitu"en 4 !ariables independientes.

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