01 sucesiones 02
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MATEMÁTICA4° año 2016
Sucesiones
Nombre: 14/03/2016
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Vicki tiene 30 días para entrenar para una
competición de natación. Nada 20 largos el primer
día, y después, cada día nada dos largos más que el
día previo.
Así, nada 22 largos el segundo día, 24 el tercero y así
continúa todos los días.
Para pensar:
¿Cuántos largos nada Vicki:
(a) el décimo día?
(b) el último día?
(c) en total?
Para entender problemas como el anterior,
necesitamos estudiar las SUCESIONES (o
progresiones, o secuencias) y sus sumas, llamadas
SERIES.
A SUCESIONES NUMÉRICASEn Matemática es importante que podamos:
reconocer patrones en una serie de números
describir ese patón con palabras y
continuar
ese patrón
Una lista de números que siguen un patrónes una SUCESIÓN numérica.
Cada número de la sucesión es unTÉRMINO de la sucesión.
Por ejemplo: 3, 7, 11, 15,…. es una sucesión
numérica.
El primer término es 3, el segundo término es 7, el
tercer término es 11, y así sucesivamente.
Podríamos describir esta sucesión de la siguiente
manera: “La sucesión comienza en 3 y cada término
es 4 unidades mayor que el anterior.”
De esta forma, el quinto término es 19 y el sexto es
23.
Ejercicio 1
(1) Escribir los primeros cuatro términos de una
sucesión numérica si comienza:
(a)
con 4 y se añade 9 cada vez.
(b) con 45 y se quita 6 cada vez
(c) con 2 y se multiplica por 3 cada vez
(d)
con 96 y se divide por 2 cada vez
(2) Para cada una de las siguientes sucesiones, escribir
una descripción y encontrar los siguientes dos
términos.
(a) 8, 16, 24, 32, …
(b)
2, 5, 8, 11, …
(c)
36, 31, 26, 21, …
(d)
96, 89, 82, 75, …
(e) 1, 4, 16, 64, …
(f)
2, 6, 18, 54, …
(g)
480, 240, 120, 60, …
(h)
243, 81, 27, 9,…
(3)
Escribir los siguientes tres términos de lassiguientes sucesiones.
(a) 1, 4, 9, 16, …
(b)
1, 8, 27, 64, …
(c)
2, 6, 16, 20, …
(d) 2, 3, 5, 7, 11, …
(e)
2, 4, 7, 11, …
B EL TÉRMINO GENERAL DE
UNA SUCESIÓN NUMÉRICALas sucesiones pueden definirse de alguna de las
siguientes formas:
Haciendo una lista con algunos de los
primeros términos y asumiendo que el patrón
continúa de esa manera.
Dando una descripción escrita.
Utilizando una fórmula que represente el
término general o n-ésimo término.
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Considere la torre ilustrada de ladrillos. La primera fila
tiene tres ladrillos, la segunda fila tiene cuatro
ladrillos, y la tercera fila tiene cinco ladrillos.
Si un representa el número de ladrillos en la fila n,
desde arriba, entonces:
1 3u = 2 4u = 3 5u = 4 6u =
Esta sucesión se puede especificar de las siguientes
maneras:
Haciendo una lista: 3, 4, 5, 6, …
Con palabras: La fila de arriba tiene tres
ladrillos y cada fila sucesiva
por debajo de ella tiene un
ladrillo más.
Usando una fórmula: 2n
u n= +
Es la fórmula general o del
término n-ésimo.
Con una gráfica:
El término general
El término general o término n-ésimo de una sucesión
está representado por un símbolo con un subíndice:
nu , donde n es un número natural: 1,2,3,4,5,...n =
{ }nu representa la secuencia que puede generarse
utilizando nu como el término general.
Por ejemplo: { }2 1n +
genera la sucesión: 3, 5, 7, 9, …
Ejercicio 2
(1) Una sucesión queda definida por 3 2nu n= − .
Encontrar:
(a) 1u (b) 5u (c) 27u
(2) Considerar la sucesión definida por 2 5nu n= + .
Encontrar Los primeros cuatro términos.
(3) Encontrar Los primeros cinco términos de:
(a) { }2n (b)
{ }2 2n + (c) { }2 1n −
(d) { }3 1n +
(e) { }4 3n − (f)
{ }2 11n +
(4) Encontrar Los primeros cinco términos de:
(a) { }2
n (b)
{ }3 2n×
(c)
16
2
n ×
(d) ( ){ }2 n
−
C SUCESIONES ARITMÉTICAS
Una SUCESIÓN RITMÉTIC es unasucesión en la cual cada término se
obtiene de sumarle al término anterior unacantidad fija llamada diferencia común.
Por ejemplo:
2, 5, 8, 11,… Es una sucesión aritmética porque
5 2 8 5 11 8− = − = − =
31, 27, 23,19… Es una sucesión aritmética porque
27 31 23 27 19 23− = − = − =
Definición algebraica
{ } 1n n nu es aritmética u u d +
⇔ − =
Para todos los enteros positivos n, donde d es una
constante llamada diferencia común.
El símbolo ⇔ se lee “si y solo si” y significa que:
{ }
{ }1
1
tan
tan
n n n
n n n
si u es aritmética entonces u u es cons te
si u u es cons te entonces u es aritmética
+
+
→ −
→ −
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El nombre “aritmética”
Si a, b y c son tres términos consecutivos de una
sucesión aritmética entonces:
2
2
b a c b
b b c a
b a c
a cb
− = −
+ = +
= +
+=
Por lo tanto el término del
medio es la media aritmética
de los otros dos términos.
La fórmula del término general
Supongamos que el primer término de una SA es u1 y
la diferencia común es d.
2 1u u d = +
3 2u u d = + ( )3 1u u d d = + + 3 1 2u u d = +
4 3u u d = + ( )3 1 2u u d d = + + 3 1 3u u d = +
5 4u u d = +
nu =
Una SUCESIÓN RITMÉTIC con un primertérmino 1u y diferencia común d , la
fórmula del término general es:
...........................nu =
Ejercicio 3(1) Considerar la sucesión 3 2nu n= − . Encontrar:
(a)
Mostrar que es una sucesión aritmética.
(b)
Encontrar la fórmula del término general.
(c) Encontrar el término 100u de la sucesión.
(d)
¿Es 828 un término de la sucesión?
(e) ¿Es 2341 un término de la sucesión?
(2) Encontrar el décimo término de las sucesiones:
(a) 19, 25, 31, 37, …
(b)
101, 97, 93, 83, …
(3) Encontrar el decimoquinto término de las
sucesiones:
(a) 31, 36, 41, 46, …
(b) 5, – 3, – 11, – 19, …(c)
a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
(4) Considerar la sucesión aritmética 6, 17, 28, 39, 50:
(a) Explicar por qué es aritmética.
(b)
Encontrar la fórmula del término general.
(c)
Encontrar el término 50u
de la sucesión.(d)
¿Es 325 un término de la sucesión?
(e) ¿Es 761 un término de la sucesión?
(5) Considerar la sucesión aritmética 87, 83, 79, 75,…:
(a) Explicar por qué es aritmética.
(b)
Encontrar la fórmula del término general.
(c)
Encontrar el término 40u de la sucesión.
(d)
¿Qué término de la sucesión es – 297?
(6) Considerar la sucesión definida por 3 2nu n= −
(a)
Mostrar que es aritmética.
(b)
Encontrar 1u y d .
(c)
Encontrar el término 57u de la sucesión.
(d)
¿Qué término de la sucesión es el último menor
que 450?
(7) Considerar la sucesión definida por71 7
2n
nu
−=
(e)
Mostrar que es aritmética.
(f) Encontrar 1u y d .
(g) Encontrar el término 75u de la sucesión.
(h) ¿Para qué valores de n los términos de la
sucesión son menores que – 200?