sucesiones 2
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sea / 0 5A x N x
y la función: ( ) 2 1f x x
1.Encuentra los elementos de la función.
2.Grafica de las formas que conoces.
Pon en juego tus
conocimientos previos
1. una sucesión numérica se caracteriza por tener como términos a los números , distribuidos y ordenados de acuerdo a una ley de formación.
Veamos:
1° 2° 3° 4°……… n°
1t 2t 3t 4t nt Término de una sucesión
Donde :nt Término general o enésimo termino.
Ejemplos:
2 3nt n -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; ….. 2
( ) 1nf n 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; ……
DEFINICIÓN .-una sucesión de números reales es una función f: N en R
definida en el conjunto N = { 1 ; 2 ; 3 ; ….} de números naturales y que va
formando valores en el conjunto R de los números reales.
12
34
N Rt
113
5
2 3nt n
Ejemplo 1
La sucesión para el cual : 22 1nt n
Los términos son: 1 ;7 ; 17 ; 31 ; …..
Ejemplo 2
La sucesión para el cual: 2
1nt
n
Los términos son: 1 1 1
1; ; ; ;......4 9 16
nt
Ejemplo 3
La sucesión para el cual: 3 1n
nt
Los términos son: 2 ; 8 ; 26 ; 80 ; ……..
Ejemplo 4
Es cribe el término enésimo o ley de formación de las sucesiones:
a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; …..
b) 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….
c) – 6 ; - 1 ; 4 ; 9 ; 14 ; …..
d) 3 11 9
3; ; ; ;.....4 27 32
e) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ….. 2n
nt
2
3
2n
nt
n
3 1nt n
5 2nt n
5 11nt n
1; 2; 3 ; 4 ;………..n De los números naturales
2; 4; 6; 8; 10;……..
1 ; 3 ; 5; 7 ; 9; ……
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ……
2n De los números pares
2n - 1 De los números impares
2n De los números cuadrados
1; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; …..3n De los cubos perfectos
1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ….. 1
2
n n De los números triangulares
1; 4; 10; 20; 35; ………. 1 2
6
n n n De los números tetraédricos
1; 5; 12; 22; ……..
3 1
2
n n De los números pentagonales
0 ;1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …… Sucesión de FIBONACCI
SUCESIÓN ARITMÉTICA LINEAL O DE PRIMER ORDEN
Es aquella en el cual fijado el primer término; cada término siguiente; a
partir del segundo, se obtiene sumando al término anterior un número
llamado «diferencia común» o razón aritmética constante de la
sucesión
Ejemplo 1:
Elijamos un primer termino: 3 y una razón 4
3; 7; 11; 15; 19,……….
La ley de formación es: 4 1n
t n
Ahora encuentra la ley de formación o termino enésimo de las siguientes
sucesiones.
a) 9; 16; 23; 30; 37;…..
b) 33; 21; 9; - 3; - 15; …..
c) - 3; 2; 7; 12;…….
Ejemplo 2 :
En la sucesión:
145; 141; 137; 133; ……… 69
a) El término enésimo.
b) Encuentra la cantidad de términos de la sucesión.
c) El primer término negativo.
Desarrollo:
a) 4 149n
t n
b) 4 149n
t n
69 = 4n + 149
n = 20
c) Cálculo del término negativo.
como: 4 149n
t n
Entonces:
- 4n + 149 < 0
149
4n 37,254 n
384(38) 149 3t
Ejemplo 3:
Dada la sucesión: - 147; -139 ; - 131; ……..1035
Encuentra:
a) El término enésimo.
b) Cantidad de términos de la sucesión.
c) El segundo término positivo.
SUCESIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO ORDEN
La sucesión cuadrática o de segundo orden son aquellas cuyo término
enésimo es de la forma:
2
nt an bn c 0a n ¥
Ejemplo 1:
encuentra los términos para : 22 3 1
nt n n
n 1 2 3 4 …..
0 3 10 21 …….. nt
0; 3 ; 10 ; 21 ; …………..
Ejemplo 2:
Encuentra los términos para: 2 2
nt n n
23 1
nt n y
Ejemplo 3:
Encuentra el término enésimo o ley de formación de la siguiente
sucesión:
0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ………
Desarrollo:
0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ………
+ 1 + 3 + 5 + 7
+2 +2 +2+2
- 1
1
r
l
to
Como es de segundo orden, será de la forma:
2
nt an bn c
2
ra b l a
0c t
21
2a 1 1b c = 1
Entonces:
2 2 1
nt n n
Ejemplo 2 :
Encuentra el término enésimo de la siguiente sucesión:
a) 5; 11; 19; 41; ………….
b) 3; 2; 3; 6; 11; 18; …….
c) 2; 7; 13; 20; 28; ……..
Conocimiento previo:
Se tiene las siguientes sucesiones:
a) 2; 5; 8; 11;……….
b) 7; 12; 17; ………..
c) - 6; - 1 ; 4; 9; 14;……
1 4 9 16; ; ; ;.........
2 3 4 5
7 9 11 13; ; ; ;........
2 3 4 5
d)
e )
1. Encuentra el término enésimo o ley de formación.
2. ¿ Que puedes afirmar de los tres primeros sucesiones?
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión lineal de primer orden, en la cual fijado el primer término; cada
término siguiente , a partir del segundo, se obtiene sumando al termino anterior
un número llamado: diferencia o razón aritmético constante de la sucesión.
Ejemplo 1 :
Se tiene la sucesión :
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ……
+2 +2 +2 +2
Es lineal y se denomina progresión aritmética, pues tiene su razón aritmético
constante r = 2
Ejemplo 2
-2 ; - 5 ; - 8 ; - 11 ; ……… r = - 3
Ejemplo 3
3 ; 1 ; - 1 ; - 3 ; - 5 ; …. r = - 2
Cálculo del término enésimo de una P.A.
Sea la P.A:
1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t
+r +r +r
Se observa lo siguiente:
2 1t t r
3 1 2t t r
4 1 3t t r
1 ( 1)nt t n r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Donde:
1 :t
:ntPrimer término
Último término, término
general o enésimo término
n : número de términos
r : es la razón aritmético
Ejemplo 1
En cada caso encuentra la ley de formación:
a) 8 ; 3 ; - 2 ; - 7 ; - 12 ; … r = - 5 5 13nt n
b) - 18 ; - 15 ; - 12 ; - 9 ; …. 3 21nt n
Ejemplo 2
En la P.A . encuentra la cantidad de términos:
9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; ….. ; 142
Desarrollo:
Sabemos que:
1 ( 1)nt t n r
142 = 9 + ( n – 1 ) 7
142 – = 9 + 7n - 7
142 - 2 = 7n
20 = n
Otra forma: ley de formación
7 2nt n
142 = 7n + 2 n = 20
Calculo de la suma de los términos de una P.A.
Se tiene la P.A.
1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t
1 2 3 4 .... nS t t t t t
Aplicaremos la siguiente fórmula:
1( )
2
nt t nS
Ejemplo 1
Encuentra la suma de los 20 primeros términos de las
siguientes P.A:
a) 4 ; 7 ; 13 ; …..
Demostración: (Método gaussiano)
Sumemos los 100 primeros números naturales
S = 1 + 2 + 3 + ….. … 98 +99 + 100
S= 100 + 99 + 98…….. + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 + ….. 101 + 101 + 101
2S = 101( 100 )
101 100
2S
1( )
2
nt t nS
Desarrollo:
1( )
2
nt t nS
Hallando el último término:
3 4nt n
20 3(20) 4t
20 64t
(4 64)20
2S
680S
Ejemplo 2
Halla la suma de los 25 primeros términos
En la P.A.
7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….
Desarrollo:
Hallando el último término:
5 2nt n
25 5(25) 2t
25 127t
(7 127)25
2S
1675S
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es la sucesión en la cual, dado un primer término diferente de cero, cada término
que continúa a partir del segundo, se obtiene del inmediato anterior al
Multiplicarlo por un número diferente de cero llamado cociente común o razón
geométrica de la sucesión.
Ejemplo 1
2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; ….
3 3 3 3
-3 ; - 6 ; - 12 ; - 24 ; ….
Ejemplo 2
r = 3
r = 2
2 2 2
Término enésimo de una progresión geométrica
Se tiene la siguiente P.G:
5 ; 15 ; 45 ; 135 ; ….
3 3 3Se observa que:
1
2 5 3t 2
3 5 3t 3
4 5 3t .
.
.
.
.
.
.
.
.1
1
n
nt t r
Donde:
:nt Término enésimo.
1t : primer término
r : razón
n : número de términos.
Ejemplo 1
Encuentra el término 10 de la P.G. siguiente:
2 ; 8 ; 32 ; 128 ; ….
Desarrollo:
Sabemos :
1
1
n
nt t r
1 2t , r = 4 y n = 10
10 1
10 2 4t
9
10 2 4t
Ejemplo 2
Halla el término enésimo de la P.G
1/3 ; 1 ; 3 ; 12 ; ……
Desarrollo:
11.3
3
n
nt
Se tiene:
1
1
n
nt t r
Ejemplo 3
Halla el término enésimo de la P.G
60 ; 15 ; 15/4 ; 18/8 ; …
Desarrollo:
Se tiene:
11
604
n
nt
Ejemplo 4
En una P.G. se tiene que el término 6 es 1/32 y r = 1/2. Halla el primer término.
Desarrollo:
1
1
n
nt t r
6 1
1
1 1
32 2t
1
1 1
32 32t
1 1t