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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

CARACTERIZACIÓN MORFOLÓGICA Y GEOMÉTRICADE CURVAS TIPO PARA DISEÑO DE PANTALLAS ACÚSTICAS TUBULARES Y SU APLICACIÓN AL CAMPO DE LA PROTECCIÓN AMBIENTAL EN LA

INGENIERÍA CIVIL

TOMO I

TESIS DOCTORAL

JOSE Mª DEL CAMPO YAGÜE

Madrid, Diciembre de 2.001

I

PLANTEAMIENTO Y APORTACIONES MÁS

RELEVANTES

1. INTRODUCCIÓN

El desarrollo económico y social, a veces excesivamente rápido, que se ha

producido en las últimas décadas ha generado una serie de problemas

medioambientales generalmente más acuciantes en el entorno de las grandes

ciudades. Dentro de este contexto y debido a este desarrollo exponencial de las

actividades humanas, la contaminación acústica se ha convertido en uno de los

problemas de peor solución, tanto a nivel de reducción como de atenuación, por lo

que el diseño de pantallas acústicas está siendo uno de los objetivos prioritarios en

la lucha contra la contaminación sonora.

Actualmente el término “barrera acústica” se utiliza para designar a los

elementos u obstáculos que protegen del ruido a un determinado receptor respecto

de una fuente sonora.

La expresión más extendida para designar a las barreras acústicas es la de

pantallas acústicas, entendiéndose por éstas, muros de espesor relativamente

pequeño concebidos como barreras acústicas.

Hasta la fecha los avances en el diseño de estas pantallas han sido notables

y ya se cuentan por cientos los kilómetros de las mismas que han sido construidas e

instaladas, sobre todo en la periferia de las grandes ciudades cerca de las llamadas

vías de tráfico rápido.

II

Estos avances se han centrado sobre todo en el diseño de materiales de gran

poder de absorción de las ondas, como método principal de atenuación, o bien en la

forma geométrica de la superficie expuesta al tráfico, formas que por medio de

reflexiones son capaces de anular o mitigar parte de la energía transportada por las

ondas sonoras.

A la vista de estos resultados las actuales pantallas acústicas reducen el nivel

sonoro por atenuación, pero no son capaces de anular la onda incidente. Por otro

lado, los últimos estudios de la tecnología japonesa en estos temas es el análisis del

problema de borde, ya que este fenómeno de difracción es uno de los causantes

principales del nivel sonoro en el trasdós de la pantalla. Pese a que es imposible

anular este efecto de borde los estudios se han encauzado a intentar obtener una

forma de la sección de la pantalla en su parte superior que sea capaz de mitigar este

efecto, bien por interferencia entre las ondas incidentes o bien por superposición de

diversos fenómenos de difracciones.

En este orden de cosas entra a escena el concepto de pantalla tubular, como

una nueva pantalla perforada que anula ondas sonoras basándose en el efecto físico

de los tubos de Kundt. Su funcionamiento es debido a la propiedad de las ondas

sonoras de producir resonancias al transmitirse dentro de cavidades de diferentes

secciones tipo. Este tipo de pantallas se olvida del concepto clásico de pantalla

acústica y su forma de atenuar el sonido y pasa al cálculo de la atenuación por

eliminación de frecuencias.

III

2. METODOLOGÍA Y APORTACIONES MÁS RELEVANTES

Esta tesis ofrece una nueva visión de este tipo de pantallas tubulares,

optimizando su funcionamiento en función de la longitud de las cavidades tubulares,

que han de ser diseñadas no de forma rectilínea, sino según directrices de curvas

conocidas.

El método operativo consistirá en aplicar las propiedades morfológicas de

estas curvas a la propagación de ondas dentro de cavidades curvilíneas, obteniendo

una serie de funciones de onda transmitidas y otras anuladas, lo que permite evaluar

el porcentaje de energía que es capaz de anular cada tipo de curva para un espesor

prefijado de pantalla.

Este planteamiento nos permite elaborar un método de diseño y optimización

por consideraciones exclusivamente geométricas, en función de un número muy

reducido de parámetros, entre los que destaca la frecuencia que se presenta con

mayor asiduidad, que es la principal causante del nivel sonoro.

Asimismo, el método está apoyado en gran manera en un soporte gráfico, lo

que le hace de sencilla aplicación incluso entre técnicos no excesivamente

acostumbrados a trabajar con ondas sonoras.

En su primera etapa se ha realizado un análisis exhaustivo del estado de

avance de la técnica en este campo, realizando un inventario de los distintos tipos y

características, así como las situaciones más idóneas de utilización.

La segunda etapa se basa en el análisis estructural y geométrico de curvas

características con el fin de utilizarlas en el diseño de un tipo peculiar y novedoso de

pantalla acústica, la pantalla tubular. Esta pantalla, que reduce el nivel sonoro por

eliminación de las ondas incidentes en el interior por medio de tubos de Kundt,

IV

necesita una gama de espesores peculiar, por lo que en la actualidad las hace

costosas por sus diferentes dimensiones geométricas.

El hecho de incorporar las curvas genéricas en el diseño de las cavidades

permitirá mantener un espesor constante a la pantalla, variando únicamente el tipo

de curva, e incluso el tramo de la misma, en función de las frecuencias

predominantes de la onda incidente.

La tercera fase de la tesis consiste en la aplicación de toda la teoría expuesta

en la fase anterior al diseño de pantallas tubulares para lo que se prevé el diseño de

una metodología secuencial que dé paso a un programa informático para analizar el

tipo de curva a utilizar en cada tipo de pantalla según los condicionantes de la

misma.

La cuarta y última fase consisten en la aplicación de la metodología anterior a

un caso real en una vía en la que se conocen las frecuencias predominantes,

calculándose la longitud de tubo óptima que hace máxima la atenuación de energía

de la onda sonora.

Así mismo, se hace necesario la elaboración de un programa informático que

incluya los siguientes apartados.

- Descripción geométrica de las curvas.

- Cálculo de longitudes de una línea o por integración, o en su defecto

una base de datos con longitudes de curva en función de sus

parámetros.

Esto facilita en gran manera los cálculos posteriores, y permite obtener el

espesor óptimo de pantalla de forma muy sencilla.

V

Como resumen final, las aportaciones más relevantes que incorpora esta tesis

son las siguientes:

Desarrollo práctico de la teoría global de pantallas acústicas tubulares.

Aplicación de la geometría clásica, en el concepto de longitudes de curvas

tipo, a las técnicas de ingeniería del medio ambiente lo que representa un

avance cualitativo notable ya que hasta la fecha no se había planteado la

interacción de dos disciplinas en apariencia tan dispares y de conceptos

tan heterogéneos.

Desarrollo de un método secuencial que es capaz de engarzar el análisis

acústico de un cierto flujo de tráfico vehicular con el análisis geométrico de

curvas tipo y dotar así al futuro diseñador de pantallas acústicas de una

poderosa herramienta que le permita variar la tipología y forma de la

pantalla en función de parámetros que pueden variar de manera aleatoria.

VI

AGRADECIMIENTOS

La realización de una tesis doctoral es un trabajo arduo, largo, y a menudo

desalentador. A veces parece que se ve el final y otras hay que empezar de nuevo

desde prácticamente el principio. A esto, hay que sumarle el azaroso devenir de la

vida a lo largo de los años de desarrollo de la tesis y la componente anímica y

personal tan variable e indefectiblemente cambiante. Después de estas primeras

líneas, podría parecer que lo que se halla dentro de estas páginas y su entorno han

sido una de las peores fases de mi vida. Ni mucho menos. He pasado buenos y

malos ratos, decepciones y satisfacciones; pero si he de hacer el balance del

trabajo, el saldo es ampliamente positivo. No sólo por las personas que han

contribuido con sus comentarios, decisiones, información aportada... sino la inmensa

cantidad de gente que he tenido el placer de conocer y conversar a lo largo de este

tiempo y que han colaborado de manera más o menos directa con ilusión, cariño y

apoyo.

A ellos dedico esta tesis.

Gracias a todas las asociaciones, organismos y empresas que han facilitado

de algún modo mi labor: AENA, ATC, CAM, CEDEX, Colegio de Caminos,

Constructora Hispánica, ESTI de CCyP UAX, ETSI de CCyP UPM; GIF y Uralita.

Gracias especiales sin excepción a todas las personas de los departamentos

de “Ingeniería y Morfología del Terreno” e “Ingeniería Civil: Ordenación del Territorio,

Urbanismo y Medio Ambiente” de la UPM por su apoyo y paciencia durante mi viaje

a caballo entre ambos.

Gracias muy especiales a Boni, Jaime, Saso y Paco, por haber tenido la

oportunidad de conoceros como amigos a lo largo de esta travesía (y otras).

VII

Gracias extra especiales a Manuel, Javier, Rafa, Antonio y Jesús, por estar

“siempre ahí”.

Gracias muy, muy, muy especiales a D. José Domínguez de Posada (y Dª

Luisa Esteban), D. José Luis Ruiz Virumbrales y D. Antonio Bellver Sánchez por su

apoyo constante, su desgaste en el desbroce mental que supone estar conmigo y su

amistad. No menos, D. Manuel Sánchez Sanjurjo, mi agradecimiento personal por

los muchos amaneceres en que hemos coincidido trabajando.

Supongo que nada tengo que decir de mi familia, sin ellos nada podría haber

sucedido. A mi lado día y noche, soportando y contando los días, sacrificando

nuestro efímero tiempo de vida separados por papeles... Os quiero.

A Vicen, Myriam, Isabel y Vicentito, “mi segunda familia”; por aquello que sólo

los que te quieren te pueden dar.

A Carlos Herrero García, por haberte conocido.

Por último, mi agradecimiento personal más profundo y sincero hacia D.

Miguel Aguiló Alonso y D. Luis Méndez Valentín, codirectores de esta tesis, quienes,

haciendo gala de su dedicación y fuertes dosis de paciencia han contribuido de

forma notable a que este trabajo de investigación se haya podido iniciar, desarrollar

y concluir felizmente.

Gracias.

VIII

INDÍCE

TOMO I

PLANTEAMIENTO Y APORTACIONES MÁS RELEVANTES..................................................... I

AGRADECIMIENTOS..................................................................................................................VI

ÍNDICE........................................................................................................................................VIII

LISTA DE TABLAS.....................................................................................................................XII

LISTA DE FIGURAS..................................................................................................................XIII

CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS .......................................................................... 1

CAPÍTULO 2. BASES TEÓRICAS. .............................................................................................. 9

2.1. ECUACIONES FUNDAMENTALES..............................................................................................9

2.1.1. Introducción ............................................................................................................ 9

2.1.2. Definiciones previas ............................................................................................. 10

2.1.3. La Ecuación del movimiento ondulatorio.............................................................. 12

2.2. ONDAS SONORAS:.........................................................................................................15

2.2.1. Introducción .......................................................................................................... 15

2.2.2. Ondas sonoras ..................................................................................................... 16

2.2.3. La ecuación de onda para el sonido .................................................................... 17

2.2.4. Conductos de longitud finita ................................................................................. 20

2.2.5. Energía cinética y potencial en ondas sonoras.................................................... 22

2.2.6. Cualidades del sonido .......................................................................................... 24

2.2.7. La absorción del sonido........................................................................................ 25

2.2.8. Ondas planas longitudinales. Escala en decibelios ............................................. 27

2.2.9. Ondas acusticas. .................................................................................................. 33

IX

2.3.TUBOS SONOROS ................................................................................................................36

2.3.1. Introducción .......................................................................................................... 36

2.3.2. Vibraciones en tubos ............................................................................................ 38

2.3.3. El experimento de Kundt ...................................................................................... 43

2.4.RESONADORES: ............................................................................................................. 46

2.4.1. Introducción .......................................................................................................... 46

2.4.2. Teoría de resonadores ......................................................................................... 49

2.4.3. Energía cinética....................................................................................................50

2.4.4. Conductividad en los cuellos ................................................................................ 51

2.4.5. Tubos de revolución ............................................................................................. 54

2.4.6. Absorción del sonido por resonadores.................................................................57

2.5. FILTROS ACUSTICOS. PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN TUBO ................................................58

2.6. EL RUIDO ACUSTICO............................................................................................................60

CAPÍTULO 3. LAS BARRERAS ACÚSTICAS. ......................................................................... 68

3.1. LAS BARRERAS ACÚSTICAS. ....................................................................................... 68

3.1.1. Efecto de apantallamiento. Transmisión del sonido a través de una pantalla ..... 69

3.1.2. Tipos de barreras acústicas ................................................................................. 70

3.2. EFICACIA ACUSTICA DE LAS PANTALLAS...................................................................72

3.2.1. Elección de los materiales. transmisión y absorción ........................................... 73

3.2.1.1. Comportamiento frente a la transmisión............................................... 73

3.2.1.2. Características absorbentes................................................................. 76

3.2.1.3. Pantallas reflectantes y pantallas absorbentes .................................... 78

3.2.2. Dimensionamiento geométrico. ............................................................................ 81

3.2.2.1. Cálculo de la altura de la pantalla ........................................................ 83

3.2.2.2. Longitud de la pantalla.......................................................................... 84

3.2.2.3. Ubicación de la pantalla con respecto a la vía de circulación .............. 87

3.2.3. Recomendaciones sobre el diseño geométrico de las pantallas. ........................ 90

3.3. ELEMENTOS Y MATERIALES CONSTRUCTIVOS ........................................................ 92

3.3.1. Pantallas reflectantes ........................................................................................... 93

3.3.2. Pantallas absorbentes .......................................................................................... 99

3.3.3. Las "soluciones tipo"...........................................................................................102

X

3.4.DIQUES DE TIERRA.......................................................................................................103

3.4.1. Ventajas e inconvenientes de los diques de tierra ............................................103

3.4.2. Dimensionamiento de los diques de tierra .........................................................106

3.4.3. Mantenimiento de los diques de tierra. Plantaciones.........................................107

3.4.4. Las construcciones especiales...........................................................................108

3.4.5. Las pantallas vegetales ......................................................................................109

CAPÍTULO 4. PANTALLAS ACÚSTICAS TUBULARES........................................................ 111

4.1. INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................111

4.2. FASE DE DISEÑO TEÓRICO........................................................................................117

4.3. CÁLCULO DE LA LONGITUD ÓPTIMA DEL TUBO .....................................................118

CAPÍTULO 5. FASE DE APLICACIÓN.................................................................................... 128

5.1. INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................128

5.2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA LÍNEA...........................................................129

5.3. CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE UNA LÍNEA......................................................131

5.4. CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS NO ELIMINADAS ................................................133

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES .............................................................................................. 156

BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................... 163

XI

INDÍCE DE ANEJOS

TOMO II

ANEJO I: DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE CURVAS ...............................................................

ANEJO II: CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA LÍNEA...........................................................

ANEJO III: CÁLCULO DE FRECUENCIAS NO ELIMINADAS .....................................................

XII

LISTA DE TABLAS

Tabla. 4.1.- Valores de l(e) para un espesor estándar de 0’1 m. Tabla. 4.2.- Valores de l(e) para un espesor estándar de 0’2 m. Tabla. 4.3.- Valores de l(e) para un espesor estándar de 0’15 m. Tabla. 4.4.- Cálculo de frecuencias que atraviesan un tubo de espesor predeterminado.

Valores de 0’11 a 0’20 m. Tabla. 4.5.- Cálculo de frecuencias que atraviesan un tubo de espesor predeterminado.

Valores de 0’21 a 0’30 m. Tabla. 5.1.- Cálculo de las longitudes de las curvas Tabla. 6.1.- Longitud y espesor de pantalla para un rango de frecuencias dado. Curva

tipo: Elipse. Tabla. 6.2.- Longitud y espesor de pantalla para un rango de frecuencias dado. Curva

tipo: Hipérbola. Tabla. 6.3.- Frecuencias no anuladas. Tabla. 6.4.- Curvas óptimas para frecuencias entre 500 y 5000 Hz.

XIII

LISTA DE FIGURAS

Fig. 2.1.- Transmisión de ondas sonoras a lo largo de un tubo recto uniforme. Fig. 2.2.- Diagrama para sumar niveles en decibelios. Fig. 2.3.- Diagrama para determinar el nivel de presión sonora real de una fuente

sonora en un ambiente ruidoso. Fig. 2.4.- Ondas esféricas. Fig. 2.5.- Frente de ondas de una onda esférica. Fig. 2.6.- El experimento de Kundt. Fig. 2.7.- Movimiento de un fluido incompresible a través de un canal dado. Fig. 2.8.- Curvas para el cálculo de la sonoridad total de Stevens. Fig. 3.1.- Transmisión de una onda a través de una pantalla. Fig. 3.2.- Reflexiones a evitar en pantallas acústicas (1). Fig. 3.3.- Reflexiones a evitar en pantallas acústicas (2). Fig. 3.4.- Esquema geométrico de la atenuación. Fig. 3.5.- Ábaco Maekawa. Fig. 3.6.- Altura eficaz de una pantalla. Fig. 3.7.- Pantalla de longitud finita. Fig.3.8. Dimensiones mínimas de una pantalla de longitud finita. Fig.3.9. Esquema de ubicación de una pantalla (1). Fig.3.10. Esquema de ubicación de una pantalla (2). Fig.3.11. Diseño geométrico de una pantalla. Fig.3.12. Pantalla prefabricada de hormigón. Fig.3.13. Pantalla de madera. Fig.3.14. Pantalla metálica.

XIV

Fig.3.15. Pantalla de metacrilato (1). Fig.3.16. Pantalla de metacrilato (2). Fig.3.17. Pantalla absorbente (Lado vecinos). Fig.3.18. Pantalla absorbente (Lado vehículos). Fig.3.19. Diques de tierra (1). Fig.3.20. Diques de tierra (2). Fig. 3.21.- Comparación de las alturas de un dique y una pantalla. Fig. 3.22.- Pantalla vegetal con dique de tierra. Fig. 3.23.- Pantalla vegetal. Fig. 3.24.- Cobertura vegetal sobre pantalla acústica. Fig. 4.1.- Secciones tipo de las pantallas acústicas tubulares. Fig. 4.2.- Forma y disposición de las cavidades en una pantalla tubular (1). Fig. 4.3.- Detalle de funcionamiento de la pantalla acústica tubular. Fig. 4.4.- Forma y disposición de las cavidades en una pantalla tubular (2). Fig. 4.5.- Longitud de una curva en ecuaciones cartesianas. Fig. 4.6.- Desarrollo de una onda en el interior de un tubo. Fig. 4.7.- Diagrama de frecuencias. Rangos de frecuencias predominantes. Fig. 4.8.- Tipología de tubos según los extremos.

1

CAPÍTULO 1

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Desde las épocas más remotas de nuestra historia, los fenómenos acústicos

han formado parte del ambiente de la vida humana, puesto que la mayor parte de los

organismos vivos producen sonidos, y responden a su vez a los mismos, esto nos

hace suponer que el hombre primitivo, al refugiarse contra los elementos descubriría

la acústica en diferentes refugios naturales de la superficie terrestre, y en su

necesidad de comunicación con otros seres de su misma especie, produciría

diferentes sonidos guturales. De forma análoga podemos considerar que en el

desarrollo de los instrumentos musicales, intervino la producción inadvertida de

efectos acústicos, como por ejemplo, el sonido originado al ser golpeados los

troncos huecos por algunos de los enormes animales de la época, con esta idea

podríamos pensar que se creaba el tambor; también podemos suponer que los

instrumentos de guerra y de caza, proporcionarían los conocimientos necesarios

sobre diferentes fenómenos acústicos.

En estos encuentros naturales, con las cavernas el instrumento de percusión,

la cuerda, la garganta humana, está los elementos de la acústica. La acústica como

una ciencia apareció en el momento en que los sabios de la antigüedad empezaron

a diferenciar los sonidos más o menos puros.

En el siglo VI antes de nuestra era Pitágoras1 y sus discípulos observaron

que el ruido de los martillos al golpear el yunque, variaba con el peso de los mismos,

a partir de este fenómeno, descubrieron que existía una relación entre las cuerdas

vibrantes y el tono de los sonidos que emitían.

1 de Vaux, Carra.(1894) Les mechaniques. Ed. Herón

Cap. 1: Antecedentes Históricos

2

Alrededor del año 330, Aristóteles estudió el fenómeno del eco, explicándolo

debido a la reflexión de los sonidos; mas tarde Heron de Alejandría enseñó que los

sonidos son vibraciones longitudinales que se propagan a través del aire.

Al principio de nuestra era, Lucio Anneo Séneca añadía que dicha

propagación, solo era posible gracias a la naturaleza elástica del aire; por último, en

el siglo XI Claudio Ptolomeo reunía en sus "Armónicos", todos los conocimientos

adquiridos hasta entonces sobre esta materia, explicando que los sonidos se

producían principalmente como consecuencia de los choques y del rápido

movimiento vibratorio que de ellos resultaba2.

En el curso de los siglos posteriores, la Acústica apenas progresó, hasta que

en 1638 Galileo Galilei le dio un nuevo impulso, poniendo de manifiesto que el tono

depende de la frecuencia de las oscilaciones que originan los sonidos, de la masa

de cuerpo vibrante, de la longitud y de la tensión a la que está sometido,

descubriendo también que las cuerdas pueden vibrar por resonancia, estudiando las

ondas estacionarias.

El Abad francés Pierre Gasseus3 observó que la velocidad de propagación de

los sonidos, es siempre la misma, independientemente de que estos sean débiles o

fuertes y cualquiera que sea su timbre. Por la misma época otro religioso francés,

Marín Mersané, alumno de Galileo, determinó la frecuencia de las distintas notas,

indicándolas principales propiedades de los tubos sonoros, descubriendo a su vez

que las cuerdas al vibrar a su propia frecuencia dan simultáneamente, armónicos

superiores al fundamental. De forma análoga estudió el "eco", intentando medir la

velocidad de propagación del sonido en el aire, determinando el tiempo transcurrido

entre su emisión y la recepción del mismo, los resultados obtenidos fueron

imprecisos, como lo fueron también los que obtuvo la Academia de Florencia en

1660.

2 Dike. (1907) Una Historia sobre la ciencia Romana experimental. Ed. Leipzig 3 Clacet,M. (1960) La ciencia en la Edad Media. Ed. Madison


3

En la segunda mitad del siglo XVII se aclararon los conocimientos sobre las

ondas sonoras y su propagación, considerándolas como un movimiento ondulatorio,

pero antes la Acústica se enriqueció con las valiosas aportaciones contenidas en la

"Misurgia Universalis" publicada en 1650, y la "Phonurgia" en1673, obras del jesuita

alemán Atanasio Kirche.

De esta forma llegamos al año 1683, en el que Newton se encuentra en

posesión de los elementos que permiten calcular la velocidad del sonido en función

de la densidad, y de otras características del medio a través del cual se propagan las

ondas sonoras. Mientras tanto, Huygens explicó la base común entre los fenómenos

luminosos y sonoros, en ambos casos explicó, que trata de vibraciones

longitudinales del medio, éter en el caso de la luz y partículas elásticas en el caso

del sonido. A su vez el físico alemán O.Von Guerike descubrió un hecho

fundamental, agitando una campanilla en el interior de una campana neumática,

demostrando que el sonido, contrariamente a lo que ocurre con la luz, no se

propagaba por el vacío, escapándosele la conclusión lógica de este experimento,

siendo Boyle quien posteriormente, atribuyó la propagación de los sonidos a la

elasticidad del aire.

En 1706 Stancari recurrió a una copia directa del invento de R. Hooke4

consistente en una rueda de una sierra rotativa, contra la que estaba aprisionada un

junco, demostrando que la frecuencia se podía calcular a partir del número de Teeth

y de la velocidad de rotación. Posteriormente, en 1830, L.Savart usó la rueda para

determinar la frecuencia de un sonido. La velocidad del sonido se estudió de nuevo

por una comisión de la Academia Francesa en 1738, obteniendo unos resultados de

580,31 m/s a 0º C. La medida indirecta de la frecuencia se revisó por J. Robinson,

quien construyó una sirena que producía tonos musicales de frecuencia variable.

En comparación con lo adelantado en el siglo XVIII, el avance del siglo XIX

fue enorme, siendo apreciado todo esto por James Loudon en el año 1901. El

profesor Loudon vio que el primer avance significativo fue el trabajo de Chladni en

1802 determinando el tipo de onda de los cuerpos vibrantes, para lo cual utilizó un


4

experimento que consistía en hacer vibrar con un arco de violín unas placas

espolvoreadas con arena fina, obteniendo unas figuras sonoras que indicaban la

localización de los nodos y vientres, basándose en estas figuras para explicar la

propagación de los sonidos en los sólidos, aunque no logrando sus propósitos por

falta de conocimientos teóricos. También realizó experimentos sobre las vibraciones

longitudinales y transversales de varillas, barras y láminas. Estos estudios

interesaron a Wheanstone, quien en 1833 obtuvo una teoría que explicaba las líneas

nodales cuya existencia se debía a las superposiciones de vibraciones

transversales.

En 1807 T. Young5 registró las vibraciones de los sólidos, así como las de las

cuerdas vibrantes, determinando con anticipación el principio del fonógrafo,

mediante el cual se puede medir sin dificultad las frecuencias de las vibraciones de

los cuerpos sonoros, estas vibraciones permiten también de una forma sencilla

medir intervalos de tiempo.

En 1857 E. Scott obtuvo el fonoautógrafo, que consistía en un brazo

terminado en un diafragma flexible, por medio de un medidor de nivel, mediante un

punzón que se movía al unísono con un movimiento del diafragma, registrando el

movimiento de vaivén en una superficie. Este fue el primer empleo de un diafragma

para recoger el sonido, a partir de entonces, los diafragmas han jugado un papel

importante, en todas las medidas acústicas. Aproximadamente en este mismo año

Leconte descubrió accidentalmente la "llama sensible", que daba un procedimiento

no muy preciso para determinar la intensidad de las ondas sonoras. Una llama

sonoro sensible se produce al girar un chorro de gas, hasta que la llama está justo

debajo del punto de inestabilidad, la perturbación del aire alrededor del chorro

producido por una onda sonora rompe la línea de movimiento del aire, resultando

una modificación en la forma de la llama que se ve afectada en gran medida por los

cambios de intensidad en la onda.

4 Daumas, M. (1965) Historia general de las técnicas. Ed. Paris 5 Mendizabal. (1906) Optica y acústica. Ed. Moreno S.A


5

Durante la exposición que se celebró en Londres en 1862 R.Koenig presentó

una colección de fonogramas que representaban sus trabajos de perfeccionamiento

del fonoautógrafo de Scot. El Kaleidófono fue inventado por Wheanstone en 1827,

que consistía en un método óptico para el estudio de los movimientos vibratorios

mediante las curvas obtenidas al componer dos movimientos vibratorios

perpendiculares, el que más contribuyó al desarrollo de este invento fue Lissanjous

mediante su libro "Memoria sobre el estudio óptico de los movimientos vibratorios"; a

través de este método se puede determinar con precisión la diferencia de fase de los

dos movimientos vibratorios. El primer procedimiento óptico para determinar la

resistencia de una onda sonora fue descrito por Biot en 1820 y desarrollado

posteriormente por Kundt en 1864 y Machen 1872. El segundo procedimiento,

también óptico, se debe a Toepler y Boltzman, dado a conocer en 1870,este

consistía en producir franjas de interferencias por combinación de dos rayas

luminosas intermitentes, originadas por un sólo foco luminoso, una atravesaba el

aire en estado normal y la otra a través de un punto nodal de una columna de aire en

estado vibratorio. El movimiento de las bandas de interferencia era un movimiento

que se podía hacer lento o rápido, dependiendo de la longitud, pudiéndose medir el

movimiento del aire en un punto nodal mediante un procedimiento estroboscópico.

En 1819 se inventó la sirena de Cagniar de la Tour, mediante la cual se puede

medir directamente el número de vibraciones de los sonidos. La forma actual de la

sirena se debe en primer lugar a los trabajos de Seebek en 1841 y también a los de

Koenig en 1867, quién publicó un estudio sobre sus experimentos en 1881.

En 1882 Rayleigh dio a conocer un nuevo instrumento de precisión por el

inventado y que permitía medir la resistencia de una onda sonora, el denominado

disco de Rayleigh. Loudon hizo un resumen sobre los avances realizados en el siglo

XIX, utilizándose todos estos instrumentos para medir la velocidad de las partículas,

las cualidades del sonido, velocidad del sonido, etc. Loudon describió con

detenimiento las investigaciones de Victor Regnault, quien entre 1860 y 1870

determinó la velocidad del sonido haciendo uso de procedimientos eléctricos y un

método gráfico para medir los intervalos entre la emisión sonora y su recepción en

un punto distante.


6

La primera norma sobre el tono fundada por el Gobierno francés en 1859,

como 435 Hz a 201C. Lissanjous preparó su norma así como Koenig quien

construyó un tonómetro universal, que acabó en 1867, con una gama desde 16Hz a

90 kHz. Koenig usó su tonómetro como fuente sonora para determinar los limites de

audición en el aire, llegando a la conclusión de que los mismos estaban en función

de la intensidad del sonido, situados alrededor de 13 Hz y 17,5 Hz. Hemholtz

demostró que si la frecuencia de un sonido es muy baja (fundamental acompañado

de una serie de armónicos), la frecuencia fundamental puede resultar inaudible por

si misma, mientras que los armónicos se oyen distintamente.

En el siglo XIX W. H. Eccles de acuerdo con los avances de la electricidad y

de la acústica, descubrió el micrófono, el tubo amplificador de vacío, la producción

de ondas sonoras, los filtros y la teoría matemática de los circuitos eléctricos, así

como la propagación de las ondas electromagnéticas, siendo esto la base de la

acústica moderna.

Hasta 1916 solo se habían utilizado cuatro métodos para determinar de una

forma absoluta la intensidad acústica:

1) el método de las placas de Rayleigh, para determinar la velocidad

vibratoria de una onda;

2) el método de medida del incremento depresión de una pared

reflectante de acuerdo con la teoría de Rayleigh y las técnicas

experimentales de Altberg;

3) el método de medida de la presión acústica y

4) variaciones del método haciendo uso de la interferencia óptica.

A pesar de que el teléfono se inventó en 1876, hasta 1908 no se publicó un

informe sobre la medida relativa de la intensidad acústica por equipos electrónicos.

En 1913 H.O. Taylor en su búsqueda por encontrar un método de medida de la


7

intensidad del sonido, estudió todos los trabajos, incluyendo los receptores

telefónicos, los galvanómetros de campos fuertes y débiles, etc.

Arnold y Crandallfueron los primeros que introdujeron los instrumentos de

medida modernos dentro de la acústica en 1917, estos contribuyeron a su vez con el

termófono, que es un transductor termoelectroacústico que sirve como norma para la

presión acústica. Wente contribuyó con un micrófono electrostático con una ancha

gama de frecuencias, buena estabilidad y la posibilidad de poder calibrarlo

fácilmente con un termófono6.

En el siglo XX se inventó el auricular, en 1920 los auriculares de alta fidelidad

fueron constantes en su respuesta sobre los 4.000 Hz, el ajuste de estas unidades

hizo que el altavoz y otros instrumentos fueran de gran valor para los experimentos

acústicos.

Al final del siglo XIX Sabine realizó el primer estudio del sonido en auditorios,

introduciendo las medidas para determinar la absorción y transmisión del sonido en

los límites de un recinto. En 1921 Kennelly y Kurokawa estudiaron un método para la

medida de la impedancia acústica usando el principio de la reacción acústica de las

vibraciones sobre un diafragma. El desarrollo de los instrumentos de medida de

ruido ha alcanzado un nivel muy alto, debido al serio problema que plantea en la

sociedad moderna los elevados niveles de ruido que produce una sociedad tan

tecnificada.

Durante la segunda guerra mundial, la acústica submarina experimentó una

gran actividad, apareciendo un gran número de laboratorios, protegidos por los

gobiernos, para investigar los problemas acústicos asociados con operaciones

militares submarinas. Según se ha podido apreciar, la acústica ha sido precedida por

grandes avances a través de observaciones empíricas, a lo largo del tiempo. La

música, la arquitectura, la ingeniería, la medicina, la lingüística, etc. buscan la

acústica como una herramienta de trabajo, por ejemplo para realizar: a) proyectos de

auditorios, b) estudios de grabación sonora, c) percepción subjetiva de sonidos, d)


8

producción artificial de la voz, e) aislamiento contra el ruido, f) utilización de la

acústica en la medicina, etc.

La acústica incluye la generación, transmisión, recepción, absorción,

conversión, detección, reproducción y control del sonido. De las posibles divisiones

que se pueden hacer de la acústica, una es atendiendo al rango de frecuencias, de

la siguiente forma:

Infrasonidos 0 Hz < f < 20 Hz

Sonidos audibles 20 Hz < f < 20 kHz

Ultrasonidos f > 20 kHz

6 Daumas, M. (1965) Historia general de las técnicas. Ed. París

9

CAPÍTULO 2

BASES TEORICAS

2.1. ECUACIONES FUNDAMENTALES

2.1.1. INTRODUCCIÓN

El objeto de este capitulo es estudiar los movimientos ondulatorios de forma

global, para llegar a plantear la ecuación fundamental de los movimientos

ondulatorios. Por ello debemos comenzar haciendo hincapié en las dos

características más representativas de este tipo de movimientos: por una parte, la

propagación de la energía a puntos distantes, y por otra, la perturbación a través del

medio sin que este en su totalidad sufra desplazamiento alguno.

Es decir, el movimiento ondulatorio estudia la propagación de las

perturbaciones en el espacio. Las partículas que constituyen el medio, no se

propagan con la perturbación, sino que se limitan a transmitirla, para lo cual vibran

alrededor de su posición de equilibrio. Por lo tanto: "Existe un transporte de energía

pero no de materia".1

Son estas propiedades, que se mantiene en cualquier medio, las que nos van

a permitir relacionarlos, pues los movimientos ondulatorios están regidos por una

ecuación diferencial. El problema matemático consiste en resolver esta ecuación del

movimiento ondulatorio con las adecuadas condiciones de contorno.

1 Sears y Zemansky.(1970) Fisica. Ed. Aguilar

Cap. 2: Bases Teóricas

10

2.1.2. DEFINICIONES PREVIAS

Para analizar las características generales del movimiento ondulatorio,

debemos aclarar previamente una serie de conceptos fundamentales:

En primer lugar definiremos onda como la descripción física de las

perturbaciones que se propagan, desde un punto en un medio, a otros puntos, sin

que el medio sufra desplazamiento alguno. En términos generales las ondas se

describen por medio de sus amplitudes y de cómo estas varían en el espacio y en

el tiempo. La definición de la amplitud de una onda implica la solución de la

ecuación de onda, con las condiciones frontera particulares de cada caso2.

Si consideramos una función =f(x), y reemplazamos x por x-a, obtenemos la

función =f(x-a), sin embargo la curva no ha cambiado, si a es positiva significa que

la curva se desplaza, sin deformación hacia la derecha, una cantidad a.

Análogamente tenemos que =f(x+a) corresponde a un desplazamiento rígido de a

hacia la izquierda.

Si a=c·t, donde t es el tiempo y v la velocidad, (x-c·t) representa una curva

que se mueve hacia la derecha con velocidad c, llamada velocidad de fase.

Concluimos entonces que una expresión matemática de la forma: (x,t)=f(x+c·t)

describe un movimiento ondulatorio.

Un caso especialmente interesante es aquel en el cual (x,t) es una función

armónica, tal como:

(x,t)=o·senk(x-v·t)

2 Landau y Lifshitz. (1978) Fluid mechanics. Ed. Reverté


11

El valor máximo de la perturbación o, se llama amplitud. El perfil de onda se

repite a distancias regulares 2./k llamadas longitud de onda, . Con lo que la

perturbación será:

=o·sen2/(x-v·t)

El tiempo que emplea una onda completa en pasar por un punto se llama

periodo, T:

La frecuencia, , es el número de ondas que pasan por la unidad de tiempo,

por tanto, será la inversa del periodo:

=1/T ; =c/ ; c=·

Con lo que la ecuación queda:

=o·sen2 (x/-t/)

=o·sen2 (x/-·t)

Otro concepto que podemos introducir es el de número de ondas, n, que es

el número de ondas contenidas en una unidad de distancia. Será por tanto, la

inversa de la longitud de onda: n=1/ , y podemos escribir la ecuación:

= o·sen2·(n.x-·t)

Si componemos dos ondas semejantes:

= o·sen2·(n·x-·t)

2·c·T =2 T=/c


12

= o·sen 2·(n·x-·t)+

Aunque una onda no sea armónica, si el perfil de onda se repite con

regularidad, las definiciones de longitud de onda, periodo, frecuencias y numero de

ondas son validas.

Una onda plana es aquella en que la perturbación es constante en todos los

puntos de un plano trazado perpendicularmente a la dirección de propagación. Este

plano es un frente de onda que se propaga con una velocidad v. Si la dirección de

propagación es tal que l;m;n son los cosenos directores, entonces la ecuación de los

frentes de ondas es:

L·x+m·y+n·z=cte

2.1.3. LA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

A continuación debemos explorar la posibilidad de encontrar una ecuación

diferencial que sea aplicable a todo tipo de movimiento ondulatorio. Así, cada vez

que reconozcamos que un campo particular satisface tal ecuación, podemos estar

seguros que el mismo se propaga a través del espacio con una velocidad definida y

sin distorsión. Recíprocamente, si un campo se propaga a través del espacio con

una velocidad definida y sin distorsión, estamos en condiciones de describir tal

campo por medio de un conjunto de ecuaciones compatibles con la ecuación de

onda3.

Si la expresión =0 (lx+my+nz-ct) es una solución particular del movimiento

ondulatorio, se comprueba fácilmente que satisface la ecuación:

2 = 2 + 2 + 2 = 1. 2 x2 y2 z2 c2 t2


13

Según las direcciones +x o -x:

La solución general de la ecuación tiene la forma: (x,t)=f1(x-c·t)+f2(x+c·t)

De este modo la solución general a nuestra ecuación podemos expresarla

como la superposición de dos movimientos que se propagan en la misma dirección

pero en sentidos opuestos. Para una onda que se propaga en un solo sentido,

aparecerá una sola de las funciones. Sin embargo, cuando tengamos una onda

incidente que se propaga según +x y una onda reflejada que se propaga según -x,

se debe usar la forma general.

Se cumple así el principio de superposición, que afirma que cuando todas

las ecuaciones pertenecientes son lineales, podemos superponer cualquier numero

de soluciones individuales para formar nuevas funciones que son solución.

Un ejemplo particular se obtiene sumando dos ondas armónicas que marchan

en direcciones diferentes con la misma amplitud y velocidad:

=0·sen 2(nx-ct)+0 sen2(nx+ct) = 20·sen (2nx )· cos (2cx)

A estas ondas se las denomina ondas estacionarias, para distinguirlas de

las ondas progresivas. Su nombre se debe a que su perfil de onda no se adelanta.

De este modo se anula siempre en los puntos x=1/4n; 3/4n; 5/4n.... llamados

nodos y los puntos intermedios en donde la amplitud es máxima se llaman

antinodos o vientres. La distancia entre dos nodos sucesivos o antinodos

sucesivos es n2

1 que es la mitad de la longitud de onda

En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen

los elementos. Una onda estacionaria no puede tener cualquier longitud de onda.

Solo puede tener alguna de las longitudes específicas que satisfacen las

condiciones de contorno.

3 Rayleigh. (1926) Theory of sound. Ed. Maxmillan and Co.

2 = 1. 2 x2 c2 t2


14

Dado que la longitud de onda esta relacionada con su longitud de onda por

medio de la expresión =c/, la frecuencia de una onda estacionaria esta restringida

a una serie de valores específicos. Estas frecuencias se denominan frecuencias

naturales. La frecuencia natural más baja se denomina se conoce como frecuencia

fundamental, siendo las frecuencias naturales múltiplos enteros de la frecuencia

fundamental4.

Podemos usar también ondas estacionarias en tres dimensiones :

=0cos

2

(lx+my+nz-ct) +0cos2/ (lx+my+nz+ct) ;

=20.cos

2

(lx+my+nz).cos (2vt/)

En este caso la perturbación se anula siempre en los planos

l.x+m.y+n.z=/4; 3/4;... llamados planos nodales.

A continuación vamos a obtener algunos tipos especiales de soluciones a la

ecuación del movimiento ondulatorio. Las soluciones las podemos dividir en dos

tipos principales, según sean ondas progresivas o estacionarias.

La ecuación a resolver es:

4 Rayleigh. (1926) Theory of sound. Ed. Maxmillan and Co

2 = 1. 2 x2 c2 t2


15

2.2. ONDAS SONORAS


Las ondas sonoras pertenecen a las llamadas ondas elásticas en las cuales la

perturbación se propaga con una velocidad que depende de las propiedades

elásticas del medio5.

El sonido involucra el desplazamiento de átomos y moléculas del medio en el

cual se propaga. Este desplazamiento se debe a un movimiento colectivo ordenado

en el cual todos los átomos de un pequeño volumen experimentan esencialmente el

mismo desplazamiento. A este movimiento ordenado se superpone la agitación

molecular en los líquidos y en los gases. Como resultado final la intensidad del

sonido se atenúa mientras la onda se propaga, porque parte de su energía se

disipa en los choques entre moléculas del medio.

A este respecto debemos tener muy en cuenta los problemas que las ondas

tienen en los fluidos compresibles. El paso de una onda sonora a través de un gas

va acompañado de un movimiento oscilatorio de partículas en la dirección de

propagación de la onda. Estas ondas son, por tanto, longitudinales. Puesto que la

densidad no es constante, sino que está relacionada con la presión P,

necesitaremos conocer esta relación.

Si las compresiones y enrarecimientos se suceden tan lentamente que la

temperatura permanece constante, es decir, si se trata de un cambio isotérmico, la

relación entre presión y densidad vendrá dada por la expresión: P= K· (proceso

lento).

5 Coulson, C.A. (1941) Ondas. Ed. Dossat S.A.


16

Pero normalmente no es posible introducir ningún flujo de calor que mantenga

la temperatura constante, por tanto, el cambio es adiabático, y la relación: P= K·

(proceso real) donde K y son constantes que dependen del gas en particular.

2.2.2. ONDAS SONORAS

A lo largo de este capitulo vamos a ver que las ondas sonoras se propagan en

forma de compresiones y dilataciones longitudinales, las cuales producen

variaciones de presión y densidad debido a la acumulación o enrarecimiento de las

partículas del medio.

Sí una onda sonora armónica que se propaga en la dirección de x vendrá

descrita por: (x,t)=0·sen(t-nx). Donde 0 representa el módulo máximo del

desplazamiento, n=2/ es el número de ondas y la frecuencia angular. Si la

velocidad de onda es c, entonces =n·c. Derivando la expresión anterior respecto

del tiempo obtenemos:

c(x,t)=0·cos(·t-n·x)= cmax.sen(·t-n·x)

Por otra parte, si existe una onda sonora en el fluido, la presión del fluido

también varía. Para hallar esta variación de presión partimos de la aceleración

instantánea, que es la derivada segunda del desplazamiento :

a(x,t)=2(x,t)/t2 = -· cmax.·sen(t-n·x)

Con lo que la fuerza neta en la dirección de la propagación es:

a.dm=-ds·dx··cmax.·sen(t-nx)


17

Y la diferencia de presiones entre las dos caras del elemento diferencial es:

dp=a·dm/ds = -.· cmax.·sen(t-n·x)·dx

Ecuación que integrada conduce a:

p-p0= - · /n · cmax.·cos(t-n·x)

2.2.3. LA ECUACIÓN DE ONDA PARA EL SONIDO

Existen importantes diferencias entre la propagación de las ondas sonoras, y

la propagación de una onda cualquiera en un fluido, pues nos encontramos ante el

inconveniente de la compresibilidad del aire.

A continuación vamos a estudiar el problema de la transmisión de ondas

sonoras a lo largo de un tubo recto uniforme, problema análogo al de las vibraciones

longitudinales de una varilla. Vamos a suponer que el movimiento de las partículas

tiene lugar únicamente en la dirección del tubo, y que la velocidad y el

desplazamiento son los mismos para todos los puntos de la misma sección recta.

Suponemos el área de la sección recta del tubo de valor la unidad. Si consideramos

el movimiento de la porción de gas encerrada entre los planos P y Q, separados una

distancia dx, pues el plano P dista x de un cierto origen6. (Figura 2.1)

6 Berkeley. (1969) Ondas, physics course. Ed. Reverté


18

0

lim

x

Figura 2.1. Transmisión de ondas sonoras a lo largo de un tubo recto uniforme

Durante la vibración el plano P se desplaza una distancia , con lo que el

plano Q se desplazará +d, por lo tanto la longitud entre P´Q´ es dx+d.

Vamos hallar ahora la ecuación del movimiento del gas en P´Q´. Para esto

necesitamos conocer la masa y la presión en los dos extremos.

La masa es la misma que la del elemento no perturbado PQ, es decir, 0·dx,

donde 0 es la densidad media normal. Para obtener la presión p´ imaginemos que

el elemento dx se contrae hasta anularse, esto nos da la densidad local:

0x/(x+) = 0(1-/x)

Si despreciamos las potencias de /x y definimos la condensación s

como:

s= -/x =(-0)/ 0 =0 (1-s)

P·dx

O

x

P’·(dx + d)

O

x +


19

La fuerza neta que actúa sobre el elemento P´Q´ es pP´-pQ´ , y por lo tanto la

ecuación del movimiento:

0·dx·d2/dt2 = pP´-pQ´=(-p/x )·dx

Esto es:

0·d2/dt2 = pP´-pQ´= -p/x; 0·d

2/dt2 =-(p/)·(/x)= 0·(p/)· (2/x2)

Resulta entonces que satisface la ecuación de movimiento ondulatorio:

2/x2= (2/t2)·1/c2 ;donde c2=dp/d

Esta ecuación muestra que las ondas de cualquier forma se transmitirán en

ambas direcciones con velocidad:

Así, si el medio es un gas y las compresiones y las dilataciones que en el se

producen son adiabáticas, la velocidad de propagación del sonido en él, es:

siendo p la presión del gas no perturbado y el coeficiente adiabático.

Debemos estudiar ahora las condiciones de contorno. Para un tubo infinito no

existen tales condiciones de contorno, pero para uno rígidamente cerrado en x=x0

deberemos tener =0, puesto que en un contorno fijo las partículas de gas no

pueden moverse.

Otro tipo común de condición de contorno es la que se da en el extremo

abierto. Si suponemos que las ondas del interior del tubo no extienden su influencia

d

dp

p


20

al aire más allá del extremo del tubo, entonces en todos los extremos abiertos la

presión debe tener el valor de la atmósfera, y por tanto: d/dx=0. Puesto que las

ondas se extienden algo fuera del tubo, esta última ecuación no es estrictamente

exacta, pero se trata de una buena aproximación.

Resumiendo:

Condiciones de contorno: = 0 para un extremo cerrado.

d/dx = 0 para el extremo abierto.

2.2.4. CONDUCTOS DE LONGITUD FINITA

Aplicamos estas ecuaciones para hallar los modos normales de vibración de

un gas en un tubo de longitud l. Estas ondas serán naturalmente de tipo

estacionario7.

1º.caso. cerrado por ambos extremos: x=0;x=l.

Este problema es el mismo matemáticamente, que el de las vibraciones

transversales de una cuerda de longitud l, fija por sus extremos. Teniendo en cuenta

la condición de extremo cerrado, la ecuación nos queda: =0·sen

(r..x/l)·cos(r··c·t/l +) donde r=1,2,.. Con lo que la frecuencia fundamental será 2l/c.

2º.caso.cerrado en x=0 y abierto en x=l (tubo taponado).

7 Fin, Alonso.(1977) Mecánica y ondas. Ed. Fondo Educativo Interamericano. S.A

2/x2= (2/t2)·1/c2 en el tubo y

c2=dp/d


21

Teniendo en cuenta que la condición de extremo abierto y la de extremo

cerrado dan: =0 para x=0, y d/dx=0 para x=l. Los modos normales son:

=0·sen(r+1/2)·(.x/l)·cos(r+1/2)·(·t·c/l +) donde r=0,1,2,.. Donde la frecuencia

fundamental será 4l/c.

3º.caso. Abierto por ambos extremos: x=0 y en x=l.

Tenemos que satisfacer la condición de extremo abierto d/dx=0 para x=0 y

para x=l. De esta manera obtenemos que los modos normales son: =0·cos

(r··x/l)·cos(r··c·t/l +) donde r=1,2,....En este caso la frecuencia fundamental

obtenida es 2l/c.

En cada caso la solución completa consistirá en la superposición de un

número arbitrario de términos del tipo apropiado, con diferente r. Los armónicos

están en una relación sencilla con el fundamental, lo que explica el agradable

sonido de un tubo de órgano.

Vamos a resolver ahora otro problema más complicado. Trataremos de hallar

los modos normales de un tubo cuya sección tiene área unidad, cerrado en un

extremo por un contorno rígido y en el otro por una masa M que puede moverse

libremente a lo largo del tubo. Tomaremos como x=0 el extremo fijo, y la posición

normal de equilibrio de la masa móvil M será x=l. Tenemos que resolver la ecuación

típica del movimiento ondulatorio con las condiciones de contorno de extremo

cerrado en x=0 con =0, y para el extremo x=l se debe cumplir que el exceso de

presión en el interior p-p0, debe ser responsable de la aceleración de la masa M.

Esto implica: p-p0=M·2/t2, cuando x=l.

La primera condición queda resuelta de la forma:

)··)·cos((· tcnnxsenA

Para la segunda condición:


22

d

d

dpdp

Con lo que la condición se convierte en:

M·2/t2= -c20/x

Despejando estas condiciones, y tras pequeñas simplificaciones obtenemos:

n·l·tg(n·l)=l·0/M

Los valores admisibles de n son las raíces de esta ecuación. Existe una

infinidad de ellos, y cuando M=0, de manera que el tubo se encuentre efectivamente

abierto al aire por un extremo, obtenemos la ecuación correspondiente, ya

estudiada. Para M=, el tubo estará cerrado por ambos extremos, obteniendo la

ecuación adecuada, también vista con anterioridad.

2.2.5. ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIAL EN ONDAS SONORAS

La energía cinética será como siempre 1/2··u2·dV, donde dV es un

elemento de volumen. Podemos poner =0 sin perder exactitud. En términos de

potencial de velocidades podemos escribir:

02

2

1·)·(

2

1dV 2.dV+ ds.

2

10

Esta expresión resulta ser el teorema de Green, tomando la integral de

superficie sobre el contorno del gas. Existe también Energía potencial porque cada

pequeño volumen está comprimido, y se almacena trabajo en el proceso. Para


23

calcularlo consideramos un pequeño volumen V0, que durante el paso de una onda

se convierte en V1. Si s1 es el valor correspondiente de la condensación, tendremos:

V1=V0.(1-s1)

Siendo V y s valores intermedios simultáneos. De esta forma podemos

escribir el trabajo realizado al comprimir el volumen de V0 a V1 : - dVp. como:

p=p0+(dp/d)(-0)= +c20s

Así la energía potencial puede escribirse:

dsVscpso ·)··( 00

20 =0V0s1+1/2·c20V0s1

2=0(V0-V1)+1/20V0s1

2

Esta es la contribución que proporciona el volumen a la energía potencial. La

energía potencial total puede hallarse por integración. El primer término se anulará

en este proceso, pues supone el cambio total de volumen del gas que podemos

considerar nulo. De este modo, llegamos a la conclusión de que la energía potencial

es

1/2·c20V0s12·dV

Así se demuestra que para una onda progresiva energía potencial y cinética

coincidirán, sin embargo en ondas estacionarias, donde esto no se cumple, su suma

es constante8.

8 Fin, Alonso. (1977) Mecánica y ondas. Ed. Fondo Educativo Interamericano


24

2.2.6. CUALIDADES DEL SONIDO

Hasta ahora hemos estado tratando estas ondas de forma teórica, atendiendo

a su calidad de vibración. Es interesante encontrar las relaciones existentes entre las

características de las vibraciones y de las cualidades del sonido que percibimos

como consecuencia de las mismas9.

Comenzamos por distinguir entre ruido y sonido. Se ha llegado a la conclusión

de que lo que llamamos ruido se origina cuando se produce una vibración de gran

amplitud seguida de otras amplitudes rápidamente decrecientes, y en cambio, se

produce un sonido cuando las vibraciones son muy numerosas, de amplitud que

decrece muy lentamente, esto es, muy poco amortiguadas. Aunque desde el punto

de vista físico no hemos hecho ninguna distinción entre ruido y sonido, en lo que

sigue vamos a tratar los sonidos en su acepción más restringida.

En un sonido se distinguen tres cualidades fundamentales: altura, intensidad y

timbre. La altura es la propiedad que hace que nos refiramos más graves (bajos), y

más agudos (altos), las sucesivas notas de la escala musical se diferencian en su

altura. Sin embargo una misma nota puede oírse con más o menos intensidad

dependiendo de nuestra posición respecto del foco emisor, esta es la característica

que designamos con el nombre de intensidad. También el sonido varía según la

naturaleza del emisor, esta cualidad es el timbre.



25

2.2.7. LA ABSORCIÓN DEL SONIDO

La propagación de las ondas sonoras no se realiza nunca sin pérdidas, sino

como ya vimos esta sometida a una amortiguación, es decir, se nos va a ir

modificando las características de presión y velocidad de la onda a lo largo del

espacio, según nos alejamos del foco. Las causas de esta amortiguación son

variadas.

Amortiguación de propagación:

No es esta una amortiguación propiamente dicha , ya que no está unida a una

pérdida de energía. Se trata más bien de una disminución de la amplitud del

sonido, originada por la distribución del sonido en un volumen mayor. La

densidad de energía en una onda disminuye forzosamente de forma

inversamente proporcional al cuadrado del radio r.

Amortiguación clásica:

Por clásica entendemos aquella que es atribuible a la viscosidad del medio, es

decir, al roce interno y a la transmisión del calor. Es evidente que se pierde

energía sonora por la viscosidad.

Amortiguación molecular:

En la mayor parte de los medios, la amortiguación del sonido es mucho mayor

que la que podríamos esperar debido a la viscosidad. De esta amortiguación

superior es responsable en todos los casos un proceso de relajación molecular.


26

Si se modifica en un gas o en un liquido la presión, se modifica también con

ello la energía de cada una de las moléculas. Puesto que a la presión sólo

contribuyen los grados de libertad de movimientos de mis moléculas, la

variación de presión únicamente les afectará a estos, perturbando su equilibrio.

El reajuste de este equilibrio de energía entre grados de libertad internos y

externos no puede realizarse instantáneamente, sino que precisa de un

determinado tiempo, que depende del número de choques y de la probabilidad

de excitación del medio. Así por ejemplo, si por expansión se resta energía al

grado de libertad externa de un gas, en el intervalo de tiempo, que se

denomina tiempo de relajación, una parte de energía de los grados de libertad

internos pasará de nuevo al grado de libertad externo. La presión reducida por

la expansión aumentará de nuevo algo por el reajuste de equilibrio. En el caso

de una compresión repentina el proceso sucede a la inversa.

Siguiendo con este análisis, si vamos modificando el volumen V de una gas

encerrado en un cilindro la presión P ira variando de forma que en el proceso

se va a perder una determinada cantidad de energía. Estas perdidas de

energía serán mínimas con frecuencias bajas, mientras que con altas

frecuencias no es de esperar gran amortiguación. En unos cambios de presión

tan rápidos no puede realizarse ya reajuste de equilibrio. A causa de ello el

medio es algo más firme y la velocidad del sonido algo mayor.

Si bien la amortiguación molecular en el aire alcanza ya valores considerables

con frecuencias altas, es de importancia secundaria para la propagación del

sonido en el mismo. En el aire libre la propagación del sonido esta influida por

la reflexión y absorción en la vegetación y edificaciones, así como por los

gradientes de viento y temperatura. Todos los obstáculos cuyas dimensiones

sean grandes en comparación a la longitud de onda reflejan el sonido10.



27

2.2.8. ONDAS PLANAS LONGITUDINALES. ESCALA EN DECIBELIOS

Es frecuente en el trabajo experimental al estudiar los fenómenos acústicos,

en vez de utilizar las magnitudes presión e intensidad acústica, el emplear escalas

logarítmicas como niveles acústicos. Esto se debe al rango de presiones e

intensidades acústicas con el que frecuentemente se trabaja, por ejemplo para el

rango audible la intensidad varía desde 10-12 a 10 w/m2, por lo que se usa una

escala logarítmica con el fin de comprimir este rango de intensidades tan amplio.

Otra razón se debe a que el oído humano desde el punto de vista subjetivo tiene una

respuesta de tipo logarítmico y no lineal, cuando percibe una perturbación acústica.

Debido al empleo en acústica de niveles de tipo logarítmico es por lo que los

términos multiplicativos que aparecen en las ecuaciones fundamentales, son

términos aditivos en las ecuaciones logarítmicas correspondientes. La escala

logarítmica usada más comúnmente para describir niveles acústicos, es la escala de

decibelios (dB). El nivel de intensidad LI, de una intensidad I se define como:

en el aire Ire = 10-12 w/m2 es la intensidad de referencia11.

Puesto que la intensidad y la presión eficaz están relacionadas para las ondas

planas, podemos escribir:

donde Pre = 0,00002 N/m2 es la presión de referencia que se emplea para

calcular los niveles de presión acústica en el aire.

11 Coulson, C.A. (1941) Ondas. Ed. Dossat S.A.

dBIre

IL

lg101

dBpp

Lre

p

lg20


28

Otro término es el nivel de potencia acústica dado por:

donde Pre = 10-12 w

Una relación de 10 en la potencia corresponde a una diferencia de nivel de 10

dB igualmente una relación de 100 equivale a una diferencia de 20 dB. Las

relaciones de niveles de potencia menores que 1 son audibles, significando que los

niveles son negativos, como por ejemplo, una relación de potencias de 0,1 equivale

a una diferencia de –10 dB.

Como vemos la magnitud del nivel de potencia acústica nunca se debe indicar

sin especificar el valor de la potencia de referencia utilizada. No debemos confundir

el nivel de potencia con el nivel de intensidad, ya que el nivel de potencia está

relacionado logarítmicamente con la potencia total radiada por la fuente. También se

pueden dar los niveles de otras magnitudes, como el nivel de densidad de energía:

donde ere = 10-12 j/m3

Nivel de aceleración vibratoria,

donde are = 10-5 m/s2

Nivel de velocidad vibratoria,

donde vre = 10-8 m/s

dBPP

Lre

p

log10

dBe

eL

ree

lg10

dBaa

Lre

a

lg20

dBvv

Lre

v

lg20


29

Nivel de desplazamiento,

donde x re = 10-11 m

Nivel de fuerza,

donde F re = 10-6 N

Nivel de energía,

donde Ere = 10-2 J

El término nivel de intensidad no se usa cuando se refiere a la medida de

ondas en el agua. Sin embargo, como ya hemos mencionado anteriormente, se

suelen usar dos presiones de referencia para dar los niveles de presión acústica en

el agua, una presión pe = 0,0002 microbar se suele usar en los equipos diseñados

para la medida del ruido de los barcos y otros ruidos bajo el agua, y la otra presión

pe = 1 microbar se emplea en los equipos diseñados para la calibración e

investigación de las características acústicas de los transductores sonar e

hidrófonos. Estas dos presiones de referencia pueden originar confusión, por lo que

siempre se pone el nivel, a continuación se da re(referencia) 0,0002 microbar o re 1

microbar. Para sumar dos o más niveles de presión, bien sean tonos puros o bandas

de ruidos, se puede hacer tanto analítica como gráficamente. En el primer

procedimiento, dados los niveles L1 y L2, se encontrará el nivel total LT de la

siguiente forma:

L1 = 10 log(I1/Ire)

dBLre

lg20

dBFF

Lre

f

lg20

dBEE

Lre

E

lg10


30

L2 = 10 log(I2/Ire)

siendo:

I1= Ire10 0,1L1

I2= Ire 10 0,1I2

donde IT es de la forma:

IT = I1 + I2 = Ire (10 0,1L1 +10 0,1I2)

y, por consiguiente, el nivel total se obtendrá:

Lt = 10 log(IT/Ire)

Un procedimiento más sencillo es a partir de la gráfica de la Figura 2.212, en la

que se pueden sumar dos niveles de presión Li y Li+1,donde Li > Li +1, operando de

la siguiente forma:

1) Se calcula la diferencia de nivel de presión entre Li y Li +1.

2) Esta diferencia se lleva al eje de abscisas y se sube hasta la intersección

con la curva de la figura, trazando una línea horizontal hasta el eje vertical.

3) El valor encontrado en este eje, se suma al mayor de los niveles Li.

4) Este nuevo valor del nivel de presión Li + DL, se sumará por el mismo

procedimiento con el siguiente nivel. Este proceso se repetirá hasta obtener

la suma de todos los niveles.

12 Cheremisinoff. Encyclopedia of fluid mechanics. Ed. Mir, Moscú


31

Figura 2.2. Diagrama para sumar niveles en dB

Si se desea determinar el verdadero nivel de presión acústica de una fuente LS, en

un ambiente ruidoso con un nivel determinado LN, el proceso a seguir es empleando

el diagrama de la Figura 2.312.

12 Cheremisinoff. Encyclopedia of fluid mechanics. Ed. Mir, Moscú


32

Figura 2.3.Diagrama para determinar el nivel de presión sonora real de una

fuente sonora en un ambiente ruidoso.

El procedimiento es el siguiente:

1) Se obtiene el nivel de ruido total LS+N,

2) Se obtiene el nivel de ruido ambiental LN,

3) Se calcula la diferencia entre los dos niveles L S+N-L N. Si esta diferencia es

menor de 3 dB, no se puede conocer con precisión el nivel de la fuente, ya

que el ruido ambiental es muy elevado. Si el valor está comprendido entre 3 y

10 dB, se tendrá que efectuar una corrección, y si esta diferencia es mayor

que 10 dB no se necesita corrección, por el efecto relativo del ruido ambiental

despreciable.

4) Si es necesario efectuar una corrección la diferencia L S+N-L N se lleva al eje

de abscisas y se sube hasta encontrar la curva de referencia.


33

5) El valor LN obtenido se resta del nivel total L S+N, siendo este nuevo valor, el

nivel real de la fuente.

2.2.9. ONDAS ACÚSTICAS

Previamente hemos estudiado la propagación de las ondas elásticas en el

caso particular de los sistemas lineales, o sea cuando la propagación se realiza en

una sola dimensión. La propagación en dos dimensiones se nos presenta cuando las

ondas se propagan a través de una superficie, y en tres cuando la propagación se

realiza en un medio extendido en todas direcciones. Se vuelve a encontrar en todos

los casos la distinción entre vibraciones longitudinales y transversales, la noción de

longitud de onda y las relaciones entre las velocidades de propagación y las

propiedades elásticas del medio. Consideraremos medios homogéneos e isótropos a

aquellos cuya densidad es uniforme y cuyas propiedades elásticas son las mismas

en todas las direcciones.

Para tener una idea más simple de la propagación, por ejemplo en el caso de

un fluido, imaginaremos una esfera de radio muy pequeño que tiene su centro en el

punto 0 (Figura 2.4) y que se encuentra en una atmósfera ilimitada, homogénea e

isótropa, se hincha muy rápidamente la esfera, por lo que su radio aumenta en un

cierto valor, manteniéndose después constante. El aire que rodea a esta esfera sufre

una brusca compresión y la perturbación se propaga de forma análoga en todas las

direcciones; a una fuente de este tipo se le llama Aradiador isotrópico13.

13 Sears y Zemansky. (1970) Física. Ed. Aguilar


34

Figura 2.4. Ondas esféricas

En un instante dado la perturbación alcanza los puntos de la superficie de una

esfera centrada en el punto 0, en este caso la onda es esférica. En general, se

denomina frente de onda o superficie de onda al lugar geométrico de los puntos

alcanzados en el mismo instante por la perturbación, salida de una fuente puntual. Si

la perturbación provocada en 0 es periódica, el conjunto de todos los puntos del

medio que se encuentran en el mismo estado de vibración constituye una familia de

superficies esféricas concéntricas, separadas entre sí por un espacio igual al de la

longitud de onda. Esto lo obtenemos haciendo que el radio de la esfera sufra

contracciones y dilataciones periódicas (esfera pulsante).

De hecho, puesto que los fluidos perfectos no pueden reaccionar más que a

compresiones o dilataciones, las únicas vibraciones capaces de propagarse en este

medio son las longitudinales, y el movimiento vibratorio de cada punto P de un fluido

se hace en la dirección de propagación, es decir del radio OP, que es normal a la

onda.

En los casos de pulsaciones periódicas, las superficies de onda juegan un

papel importante; la definición dada anteriormente permanece siempre válida,

aunque se puede dar también la siguiente definición de frente de onda como el lugar

geométrico de los puntos en los que las vibraciones tienen la misma fase en el

mismo instante, por lo que todos los puntos de una superficie de onda tienen

movimientos concordantes.

Un caso un poco más complicado es aquel en el que la fuente está formada

por un punto vibrante de 0´ a 0´´, siendo las vibraciones transmitidas longitudinales.


35

La compresión es máxima en la dirección 0´0´´ o sea en C, (Figura 2.4), mientras

que es nula en la dirección perpendicular D. En la esfera S la fase es en todos los

puntos la misma en el mismo instante, es decir, que el desplazamiento es en todos

los puntos la misma fracción de amplitud correspondiente, pero esta amplitud

disminuye ella misma de C a D. Por tanto, no se pueden considerar los estados

vibratorios como completamente idénticos en todos los puntos de una porción de la

esfera, a no ser que esta porción de superficie sea suficientemente pequeña,

aunque la definición de las superficies de onda como superficies equifásicas

permanece válida. Si se examina el movimiento de los puntos situados muy lejos de

la fuente, según un pequeño ángulo sólido cuyo vértice es la fuente de la

perturbación (Figura 2.5), se puede confundir la porción Q de la superficie esférica

con la parte correspondiente del plano tangente; o sea, a gran distancia de la fuente

las proporciones de superficie de onda se pueden considerar como frentes de ondas

planas, lo que nos llevaría a los casos anteriores. La línea normal a los frentes de

onda en cada uno de sus puntos se conoce con el nombre de rayo.

Para la obtención de la expresión del desplazamiento de las partículas se

utilizan en este caso tres ecuaciones básicas como son: la de continuidad, la de

propiedades elásticas y la de esfuerzos para fluidos14.

Figura 2.5. Frente de ondas de una onda esférica

14 Gettys, Keller, Skove. Física clásica y moderna.


36

2.3.TUBOS SONOROS


Los tubos sonoros son tubos capaces de producir sonidos por vibración de la

columna de gas que hay en su interior. Este fenómeno es análogo a la transmisión

de ondas estacionarias transversales en las cuerdas. Las cuerdas sonoras tensas

entran en vibración transversal cuando uno de sus puntos se aparta de la posición

de equilibrio con desplazamiento perpendicular a la cuerda. La tensión, transmitida a

lo largo de ella, origina fuerzas que llevan a las partículas a la posición de equilibrio y

la rebasan por inercia hasta que adquiere la cuerda una posición simétrica a la

primera. La amplitud de la vibración se amortigua por efecto de los rozamientos. En

la cuerda se produce así, dos nodos en sus extremos y un vientre en el centro.

Si en el centro de la cuerda se pone un caballete que impide vibrar al punto

de la cuerda en él que se apoya, la vibración tendrá tres nodos y dos vientres. Si el

caballete se coloca a un tercio del extremo, ahora el sistema tendrá cuatro nodos y

tres vientres. Puesto que la distancia entre dos nodos consecutivos es /2, la

longitud de la cuerda es, en cada caso: L=/2, L=2/2; L=3/2.....En general: K/2.

Considerando =c/, se obtiene: L=K/2=K/2 c/, siendo el valor de la velocidad de

propagación del sonido en una cuerda, de radio r y tensa por una fuerza F:

Sustituyendo este valor en la formula anterior, después de despejar la frecuencia ,

obtenemos:

Esta expresión se conoce con el nombre de ley de Mersene: la frecuencia del

sonido en una cuerda es:

F

rc

1

F

Lr

K

L

cK

2.2

.


37

1º. Inversamente proporcional a la longitud.

2º.Inversamente proporcional a su radio.

3º.Directamente proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza que la tensa.

4º.Inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su densidad.

5º.En una cuerda se puede producir el sonido fundamental (K=1)y todos los

armónicos(K=2,3,etc.) Al pulsar una cuerda se producen en ella varios de

los primeros armónicos. En los instrumentos cuyas cuerdas tienen una

longitud fija(piano, arpa, etc.) cada una de ellas emite un sonido

característico. En el violín, guitarra, etc., la longitud de la cuerda varía al

modificar los dedos del músico la posición de uno de sus extremos,

emitiéndose sonidos muy variados.

Volviendo al caso de los tubos tenemos, por un lado, los tubos de flauta en los

que el aire penetra por su orificio inferior A y sale por B, siendo la vibración del bisel

del orificio B la que origina la vibración de su columna de aire. Y por otro, los tubos

de lengüeta donde el aire insuflado por A abre y cierra sucesivamente la lengüeta L,

entrando en vibración el gas interior del tubo.

Las ondas longitudinales originadas en el aire junto a la lengüeta o al pico de

la flauta se propaga a lo largo del tubo, reflejándose en su extremo opuesto contra la

pared que lo cierra, o en la propia atmósfera si el tubo es abierto, ya que el aire

condensado o dilatado tiene distinta densidad que el atmosférico. Las ondas

incidentes y las reflejadas originan en su interferencia, ondas estacionarias. Se

demuestra experimentalmente su existencia moviendo, a lo largo de un tubo que

tiene una pared de vidrio, una membrana sujeta por unos hilos, sobre la cual hay

una materia pulverulenta ligera, en los vientres el polvillo salta y en los nodos

permanece en reposo. Los tubos de flauta pueden ser abiertos o cerrados en el

extremo opuesto por el que se insufla el aire. Los de lengüeta son necesariamente

abiertos para dar salida al aire15.

15 Fouille, A. (1954) Physique des vibration. Ed. Dunod, París


38

Si el tubo es abierto, el aire vibra con su máxima amplitud en sus extremos

originándose en ellos vientres. Como la longitud entre vientres es /2, la longitud de

los tubos será: L= /2, 2/2, 3/2, dependiendo del número de vientres que

queramos. Observamos así la completa analogía que existe con las cuerdas,

analogía que se verá reflejada igualmente en las formulas y propiedades que vamos

a ir demostrando posteriormente.

Para finalizar trataremos de medir la influencia que sobre la velocidad del

sonido tienen factores ambientales como la temperatura, la humedad relativa, etc.

Para ello usamos el tubo de Kundt, cuyos principios físicos se basan en las

vibraciones de la varilla que transmite al embolo; émbolo móvil con el que vamos

modificando la longitud del tubo a nuestra conveniencia.

2.3.2. VIBRACIONES EN TUBOS

Hasta ahora hemos considerado la solución de nuestra ecuación fundamental

cuando la velocidad potencial en un fluido ilimitado es función de una única

coordenada espacial. En la ausencia de fricción ningún cambio sería ocasionado por

la introducción de una serie de superficies cilíndricas cuyas líneas generatrices

discurren paralelas a dicha coordenada. Pero incluso cuando las superficies son

ásperas el fluido no tiende a moverse a través de ellas. Si estos cilindros se

presentan cerrados, en cuanto a su sección transversal se refiere, se dará un

importante movimiento axial de aire dentro del tubo. Dicha corriente, una vez

cumplidas las condiciones externas del cilindro, será independiente de lo que ocurra

en el exterior.

Considerando una vibración armónica simple, sabemos que si:

022

2

k

dx

d


39

donde k=2/

La solución la podemos escribir de dos formas:

de las cuales siempre podemos quedarnos con la parte real. La primera forma

es conveniente cuando la vibración sea estacionaria, o casi, y la segunda cuando el

movimiento se reduzca a una onda progresiva, positiva o negativa. Las constantes A

y B en nuestra solución simbólica deben ser complejas, y así la solución final en

términos de cantidades reales estará formada por cuatro constantes:

=(Acoskx+Bsenkx)·cost+(Ccoskx+Dsenkx)·sent

Si existe algún punto en el que ó d/dx sea permanentemente 0, al ser la

relación A:B real, entonces la vibración es estacionaria, lo que supone que todos los

puntos estarán simultáneamente en fase, si suponemos que tenemos un nudo en

nuestro origen.

Entonces cuando X=0 d/dx se anula lo que implica que B=0.

Así nos queda:

A·coskx·eint; d/dx=-k·senkx eint

De esta forma si sustituimos p.ei por la constante A y eliminamos la parte

imaginaria , tenemos:

=P·cos kx·cos(t+)

d/dx=-k.P·senkx·cos(nt+)

intint )·(·cos eBeAeekxBsenkxA ikxikx


40

Estudiando estas ecuaciones vemos que d/dx se anula si senx=0, lo que

implica que los nodos se sitúan a distancias x=1/2n del nodo origen, siendo n una

constante entera positiva o negativa. Si en cualquiera de estos puntos infinitamente

alejados colocamos una barra plana rígida perpendicular al movimiento en el tubo,

este movimiento no sufre alteración alguna. Entre cada par de nodos consecutivos,

hay un vientre o lugar de presión constante. En cualquiera de estos vientres

podemos abrir comunicación con la atmósfera externa, sin que se produzca

intercambio alguno con el exterior. Los vientres son los lugares de máxima velocidad

y los nodos los de máxima presión. El intervalo se repite cada longitud .

Si hay un nodo en x=l, al igual que en el origen, senkl=0, ó =2l/m, donde m

es un entero positivo. El mayor tono que puede ser transmitido por el aire de un tubo

doblemente cerrado de longitud 2I es por tanto el que tenga de longitud de onda 2l.

Este lo podemos observar llenando un tubo de un gas cualquiera , pero la frecuencia

o el lugar del tono en la escala musical depende también de la naturaleza del gas en

particular. El período de tiempo vendrá dado por:

=/a=2·l/a

Los otros tonos posibles en un tubo doblemente cerrado son submúltiplos de

este tono mayor, y el sistema completo forma una escala armónica.

Si ahora suponemos, sin pararnos por el momento a poner condiciones, que

en el punto x=l hay un vientre en lugar de un nodo. Es la ecuación cosKl=0 la que

nos da =4·l/2m+1 siendo m cero o entero positivo. En este caso el tono mas grave

tiene una longitud de onda igual a cuatro veces la longitud del tubo desde el nudo al

vientre, y los otros tonos forman con este una escala armónica de los cuales todos

los vientres de orden par desaparecen.

Por medio de una barrera rígida podemos asegurar la existencia de un nodo,

sin embargo la constancia de la presión, sólo la podemos asegurar

aproximadamente y con ello sólo los vientres se podrán situar aproximados. En

muchos casos la variación de presión en un tubo puede ser pequeña por permitir la


41

libre circulación con el aire exterior. Así Euler y Lagrange asimilaron la constancia de

la presión como condición en los extremos abiertos de los tubos16.

Volveremos al problema del tubo abierto para investigar de forma más

rigurosa las condiciones que deben satisfacer los extremos. Pero para nuestro

propósito inmediato será suficiente saber que el extremo abierto puede ser tratado

como un vientre si el diámetro del tubo es despreciable en comparación con la

longitud de onda, igualándose la presión en el extremo abierto a la atmosférica

independientemente del movimiento en el interior. Cuando hay una fuente

independiente de sonido, la presión en el extremo del tubo es la misma que en el

resto, siempre y cuando la fuente sea externa al tubo. El impedimento para asegurar

el cumplimiento de esta condición de vientre es el que la inercia de la maquinaria

requiere que se mantenga presión. Para propósitos teóricos podemos eliminar esta

dificultad e imaginar un pistón de compresión sin masa. La suposición de un vientre

en el extremo abierto supone, por tanto, despreciar la inercia del aire exterior.

Hemos visto que la existencia de un nodo en cualquier parte de un tubo

supone la existencia de una serie de nodos a intervalos iguales /2, que entre par de

nodos consecutivos debe haber un vientre, y que la vibración completa debe ser

estacionaria. A la misma conclusión llegamos si en vez de suponer la existencia de

un nodo suponemos la existencia de un vientre. Pero puede ocurrir, que no

tengamos ni nodo ni vientre del que partir, como en el caso de una onda progresiva

negativa o positiva. En vibraciones estacionarias no hay transferencias a lo largo del

conducto en ninguna dirección, pues la energía no puede atravesar los nodos o los

vientres.

La relación entre la longitud de un tubo abierto o cerrado y la longitud de onda

de la columna de aire debe ser estudiada siguiendo el movimiento de una pulsación,

entendida esta como la de una onda confinada dentro de los limites del tubo y

compuesta de un fluido uniformemente condensado o modificado. Desde este punto



42

de vista parece necesario hacer un análisis cuidadoso de las circunstancias bajo las

cuales van a tener lugar las variaciones.

En el primer supuesto de que sea una pulsación condensada la que viaje en

dirección positiva hacia una barrera fija transversal al tubo, al no poder escapar la

energía contenida en el tubo esta onda se verá reflejada, recordemos que en una

onda condensada no hay perdida de fluido. A esta misma conclusión podemos llegar

teniendo en cuenta el efecto barrera. Este efecto es imitado por la introducción de

una onda similar y equidistante moviéndose en dirección negativa. Estas dos ondas

condensadas se propagan en direcciones contrarias, teniendo el fluido velocidades

iguales y contrarias, por lo tanto se neutralizaran cuando se superponen.

Si la onda reflejada de la negativa es interrumpida por una segunda barrera,

se da una reflexión similar y la onda todavía sigue siendo condensada, esta vez de

carácter positiva. Cuando la onda ha viajado una distancia igual a dos veces la

longitud del tubo, el estado original de las cosas se restituye y el mismo ciclo se

repite indefinidamente. Hemos aprendido, por tanto, que el periodo dentro de un

tubo doblemente cerrado es el tiempo que tarda la pulsación en recorrer dos veces

el tubo17.

El caso de un tubo abierto es algo diferente. Una onda suplementaria negativa

es necesaria para imitar el efecto del extremo abierto, debe ser evidentemente una

onda modificada capaz de neutralizar la presión positiva de la onda primaria

condensada, y así en la reflexión la onda cambia su carácter de condensada a

modificada y de modificada a condensada.

Otra forma de considerar el problema va a ser a partir del momento, en que el

movimiento de una pulsación condensada positiva, y en ausencia de las fuerzas

necesarias no se verá modificado por la reflexión. Pero el movimiento negativo de la

onda reflejada está indisolublemente conectado con el movimiento modificado.



43

Cuando ambos extremos del tubo están cerrados la pulsación viaja a través

del conducto, restaurando completamente el estado original una vez haya recorrido

dos veces la longitud del tubo, sufriendo por tanto dos procesos de reflexión. Y así,

la relación entre la longitud y el periodo es la misma que si el tubo tuviera los dos

extremos cerrados. El carácter original de la pulsación no será recuperado hasta que

se produzcan dos reflexiones desde el extremo abierto. De este modo, el periodo

será el tiempo requerido para que la pulsación recorra cuatro veces la longitud del

tubo18*.

2.3.3. EL EXPERIMENTO DE KUNDT

La investigación experimental de ondas dentro de tubos fue realizada con

considerable éxito por Kundt. La generación de estas ondas resultó relativamente

sencilla, pero no ocurrió lo mismo con el método para analizarlas. Kundt descubrió

que los nodos de las ondas estacionarias pueden ser localizados gracias a la

acumulación de polvo a su alrededor, es decir, si introducimos una pequeña

cantidad de arena muy fina en el interior del tubo de cristal - tubo sonoro - que

contiene aire en vibración, se ira acumulando rápidamente en los nodos a lo largo

del tubo.

18 Ohaniam. (1935) Physics. Ed. New York


44

Figura 2.6. El experimento de Kundt

Con el tiempo se ha ido modificando este experimento, se ha añadido un

tapón móvil con el propósito de ir modificando la longitud del tubo. El otro extremo

del tubo será taponado con un corcho a través del cual pasa la vibración. La fricción

convertirá estas modulaciones en el modo mayor, de manera que el punto central

será un nodo, y el extremo interior cerrado con un corcho reproducirá la vibración del

aire del tubo. Por medio del taponador la longitud de la columna de aire podrá ser

ajustada para aumentar las vibraciones tanto como queramos, hasta que el intervalo

entre el tapón y el extremo del tubo sea un múltiplo de la mitad de la longitud de

onda del sonido19.

Con este aparato Kundt fue capaz de comparar la longitud de onda del mismo

sonido en varios gases, relacionando las velocidades de propagación, pero los

resultados no fueron enteramente satisfactorios. Se encontraron con que los

intervalos entre las acumulaciones de polvo no eran exactamente iguales, y lo que

era peor, la dirección del sonido no era constante de un experimento a otro. Estos

defectos eran producidos por la comunicación de movimientos en el tubo a través

del corcho. La inevitable variación en el montaje de los aparatos hace que se

modifique la distribución de los amontonamientos de polvo.

19 Ohaniam. (1935) Physics. Ed. New york

NODO ( Acumulación de polvo)


45

Para solucionar este problema Kundt reemplazo el corcho por una especie de

caucho rodeado con seda, obteniendo de esta manera una junta flexible, y

eliminando a la vez el riesgo de alteraciones en las vibraciones de uno y otro lado.

Con lo que se hace posible la excitación de las dos partes simultáneamente con un

mismo sonido. Una ventaja colateral de este nuevo sistema es la eliminación de las

correcciones debidas a temperatura, que teníamos que introducir.

En este doble aparato mejorado, la transmisión del sonido a través del tubo

será causada por la fricción aplicada cerca del medio, y así los nodos se formaran

en los puntos situados a un cuarto de la longitud del tubo. La conexión de estos

puntos se realizó con tubos de onda independientes, mejorados con tapones

ajustados. Es evidente que las figuras de polvo formadas en los dos tubos

corresponden a la misma dirección y por lo tanto la comparación de intervalos nos

conduce a una correcta determinación de las velocidades de propagación.

Los resultados obtenidos a partir de este experimento pueden resumirse en

los siguientes puntos:

a) La velocidad del sonido en un tubo disminuye con el diámetro. Sin

embargo sobre un determinado diámetro los cambios no son

perceptibles.

b) La velocidad disminuye con el incremento de la longitud de onda.

c) El polvo acumulado disminuye con la velocidad.

d) En un tubo de cristal el efecto del espolvoreado aumenta cuando

dicho conducto se encuentra muy dividido, y además se agita con

vigor.

e) Ensanchando el interior del tubo o incrementando su superficie

disminuirá la velocidad.

f) En un tubo ancho estos cambios de velocidad no son de gran

importancia, por lo que tendremos que usar métodos más

específicos.


46

g) La influencia de la intensidad la intensidad de sonido en la velocidad

no puede ser modificada.

h) Con excepción de la del primero, la longitud de onda de los tonos

no pueden ser modificados por el modo de excitación.

i) En tubos anchos la velocidad es independiente de la presión, pero

en tubos estrechos la velocidad se incrementa con la presión.

j) Todos los cambios observados en la velocidad se deben a la

fricción, y especialmente al intercambio de calor entre el aire y los

contornos del tubo.

2.4. RESONADORES


Vamos a tratar los resonadores y los fundamentos en los que se basan desde

una óptica teórico-física, que iremos abandonando a medida que profundicemos en

sus aplicaciones técnicas.

Para explicar el concepto de resonancia en la mecánica clásica se utilizan

algunos ejemplos ya típicos como el del columpio o el del puente vibrante. En la

acústica se entiende por resonancia al fenómeno que tiene lugar cuando un sistema

acústico recibe la acción de una fuerza impulsora periódica externa, cuya frecuencia

es igual a la frecuencia natural de la oscilación libre del sistema, haciendo que la

amplitud del sistema se haga mayor.

De este modo si en las proximidades de un cuerpo (cuerda, tubo de órgano,

silbato, etc.) cuya frecuencia propia de vibración es n se hace vibrar otro con

frecuencia n o muy próxima a ella, el primer cuerpo también vibra. En caso de vibrar

los dos cuerpos con frecuencias próximas pueden obtenerse pulsaciones que en el


47

caso del sonido se perciben como un sonido de frecuencia igual a la diferencia de

ambas frecuencias componentes y de intensidad variable. Así para cualquier análisis

de los sistemas vibrantes impulsados resulta esencial cierto conocimiento, tanto de

la frecuencia como de la agudeza de la resonancia. Cuando un sistema vibrante es

agudamente resonante, se requiere una sintonización cuidadosa para obtener la

condición de resonancia20

Pero no solo se obtiene resonancia cuando la frecuencia propia del

“resonador”, nombre que recibe el cuerpo que vibra por resonancia, es igual a la del

emisor del sonido original, sino también cuando la relación entre estas frecuencias

es sencilla, por ejemplo 1:2; 1:3. La intensidad del sonido emitido por resonancia es,

en estos casos menor que cuando las frecuencias son iguales (1:1), y es tanto

menor cuanto más complicada sea la relación.

Antes de profundizar en el conocimiento de estos fenómenos de resonancia

es fundamental dejar claras algunas de las propiedades del sonido. Según dijimos,

una de las características del sonido es su timbre. Este depende de que los sonidos

estén compuestos por una frecuencia determinada, y otras que son múltiplos de

esta, 2n, 3n,etc. La frecuencia menor se llama fundamental, y las otras constituyen

los tonos superiores de la fundamental. Como vimos, cuando la relación entre la

frecuencia de un tono superior y el fundamental es sencilla 2, 3, 4,.. se dice que ese

tono superior es armónico. Los sonidos armónicos están formados por un tono

fundamental y uno o varios armónicos. Cada frecuencia determinada corresponde a

un tono simple. El número de tonos simples, sus frecuencias y la intensidad relativa

de los mismos es lo que constituye el timbre21.

Para completar esta introducción al mundo de los resonadores, vamos a

resumir estas propiedades del sonido en una ley enunciada en el año 1843 por




48

George S. Ohm, razón por la cual se le conoce con el nombre de ley de Ohm de la

acústica. Dicha ley establece que:

1º. Todos lo tonos musicales corresponden a ondas periódicas.

2º. El oído solo percibe vibraciones armónicas como tonos simples.

3º. Todas las variedades de timbre se deben a combinaciones se deben a

combinaciones particulares de tonos superiores al fundamental en mayor o

menor medida y cuyas frecuencias están en relación sencilla con la del

timbre.

4º. Un tono musical complejo puede descomponerse en un conjunto de sonidos

simples.

La ley añade algo que ya hemos dicho en apartados anteriores, que el ruido

se debe a una vibración no periódica o a una vibración demasiado compleja o de

duración demasiado corta para que pueda ser analizada por el oído. Cuando

medimos o expresamos “la frecuencia” de un sonido, medimos o expresamos en

realidad, la del tono fundamental. Esta es por otro lado la frecuencia que el oído

percibe.

Debíamos recordar estas características, aunque solo fuera por encima, pues

los resonadores acústicos tienen como una de sus principales funciones la de medir

sonidos.


49

2.4.2. TEORÍA DE RESONADORES

En un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro, tenemos un ejemplo

de una masa de aire dotado con la propiedad de vibrar en un determinado periodo,

con más o menos independencia de la atmósfera. Si el aire entre los extremos del

tubo no tuviera masa, el movimiento del interior del conducto tendería a modificarse,

y el contenido de la columna de aire podría cambiar a un comportamiento más

complejo no sujeto a disipación. En los experimentos actuales el aire exterior no

puede librarse de estas modificaciones, no obstante cuando el diámetro del

conducto es pequeño, los cambios producidos en el transcurso de cortos períodos

pueden considerarse insignificantes, y es entonces cuando las vibraciones, una vez

excitadas en el conducto, tienen un cierto grado de persistencia.

Cuanto más estrecho es el canal de comunicación entre el medio interior y el

exterior mayor es la independencia entre ellos. Dichos canales representan

resonadores, que en presencia de una fuente de sonido hacen que el aire contenido,

vibre según la fuente de excitación. Con amplitudes dependientes de los distintos

valores de los periodos naturales de vibración. Cuando la fuente de un sonido cesa

el resonador produce las vibraciones acumuladas como si estuviesen en el interior

del conducto, de esta forma da la sensación de que existiese una segunda fuente de

vibración, por un corto periodo de tiempo. Esto muestra que la teoría de resonadores

constituye una importante rama dentro de la acústica22.

Podemos estudiar el experimento de un cilindro fijo dentro del cual un pistón

se mueve sin fricción; suponiendo que en la cara más alejada del pistón el aire

queda sin inercia, manteniéndose por tanto constante la presión. Cuando el pistón



50

entra en vibraciones de largos periodos, el aire contenido en dicho tubo llegará a

tener la condición de equilibrio (densidad uniforme) correspondiente a la posición

momentánea del pistón. De esta forma si la masa del pistón oscilante es mucho

mayor que la del aire contenido en el interior del cilindro, la oscilación natural

resultante de un desplazamiento ocurrirá de forma próxima a la que tendrá sin la

inercia del aire.

Si nos referimos al estudio de la energía cinética y potencial; la cinética se

calculará sin tener en cuenta la inercia y la potencial considerando la condensación

del aire uniforme. Bajo las circunstancias contempladas, el aire actúa como un

muelle en virtud a su resistencia a la compresión o dilatación. La forma del contenido

del recipiente es por tanto inmaterial, y el periodo de vibración permanece

constante23.

2.4.3. ENERGÍA CINÉTICA

La energía cinética del movimiento de un fluido incompresible a través de un

canal dado puede ser expresada en términos de densidad, y de velocidad de

transferencia . Por debajo de las circunstancias contempladas el carácter del

movimiento es siempre el mismo, donde el periodo vendrá dado por la expresión:

T=1/2x2/c, siendo la constante c, dependiente de la naturaleza del canal y referida a

una dimensión (Figura 2.7).

La naturaleza de la constante c la entenderemos mejor haciendo una analogía

con un problema eléctrico cuyas condiciones son matemáticamente idénticas.

Vamos a suponer que el fluido es reemplazado por un material uniforme conductor, y

que la superficie interior del conducto se sustituye por un aislante. Sabemos que si

existe una diferencia de potencial creada por una batería, manteniendo dicho



51

potencial entre las caras, una corriente atravesará la apertura con magnitud

proporcional a dicha diferencia de potencial. La medida de la corriente total se

llamará conductividad del canal, así tenemos que nuestra constante c representa la

conductividad del sonido.

Figura 2.7. Movimiento de un fluido incompresible a través de un canal dado

2.4.4. CONDUCTIVIDAD EN LOS CUELLOS

Muchos resonadores usados en la práctica tienen cuellos de más o menos

longitud, e incluso cuando no hay nada que podamos llamar cuello, la delgadez de la

cavidad no puede ser negada. Debemos por tanto examinar la conductividad de los

canales formados por estrechos cilindros, o por planos paralelos muy próximos. Para

la resolución del problema de forma rigurosa, debemos obtener suficiente

información de las consecuencias prácticas. Si tenemos dos placas de espesor L, y

el radio del cilindro es R, la resistencia del canal se obtiene introduciendo unos

discos infinitamente delgados con perfecta conductividad entre A y B.

MAYOR PRESIÓN MENOR PRESIÓN


52

Entre los lados A y B el movimiento es el mismo que hemos estudiado,

cuando la obstrucción es infinitamente delgada el flujo entre E y B es uniforme, la

resistencia total será:

o lo que es lo mismo:

Si es la corrección que debemos añadir a L cuando tengamos un extremo

abierto: =R/4

Esta corrección no es del todo cierta, pero podemos usarla cuando L sea muy

pequeña en comparación con R24.

El límite superior de la resistencia debe ser calculado desde el movimiento

hipotético del fluido. Para estas suposiciones debemos suponer infinitamente

delgados los pistones introducidos en A y B, el efecto de estos, es hacer la velocidad

uniforme, perpendicular a estas caras. Dentro del tubo el flujo debe seguir siendo

uniforme, pero con el espacio exterior no tenemos ningún problema a considerar.

Para determinar el movimiento de un fluido rodeado por un plano infinito,

sabemos que la velocidad sobre el área circular del plano tiene un valor constante y

sobre el resto de la frontera es cero.

El potencial será tratado igualmente según su doble distribución, por un lado

sobre disco y por otro sobre el resto.

La densidad en general no será constante, sin embargo, al ser proporcional a

d/dn es constante.


2.2

1

R

L

R

RL

Rc

.2/1

. 2


53

La energía cinética del movimiento:

La integral abarca todo el área del circulo, donde:

Si tomamos la densidad como d/dn=2· y la razón requerida viene

expresada por P/3.R4, donde P representa el potencial de un conductor circular de

densidad la unidad y radio R.

El método más simple cara calcular P se basa en considerar que este

potencial representa el trabajo requerido para atravesar el disco infinitesimal. Si

tomamos coordenadas polares (,) , el polo estará en el borde del disco cuyo radio

es a, la expresión del potencial del polo será: ddU . , los limites de van de 0

a 2acos, y los de de -1/2 a 1/2.

Así U=4a

El limite de la resistencia es, por tanto, 8/32R. Como conclusión podemos

afirmar que la resistencia total del canal va a ser menor que: RR

L22 3

16

.

De acuerdo con nuestros resultados, vemos que25:

R/4<<8R/3 (en radianes) ó 849.R>>785.R


dn

dR

ds

corriente

cinéticaEnergía

422

..2

dsdnd

dsdnd

.21

..21


54

Se observa que es la corrección para un extremo. La resistencia completa

corresponde a una longitud L+2 teniendo este una sección R2. Cuando L es muy

grande en relación con R, debemos tomar simplemente c=R2/L

En este caso tendríamos que:R

SL .2

La corrección para un extremo abierto es una función de L, coincide con el

límite más bajo cuando varia. Cuando L aumenta, aumenta, pero con L infinito,

tiene como límite superior 8R/3. Considerando así el movimiento en cualquier mitad

del tubo la energía cinética será mayor que lo correspondiente únicamente a la

longitud del tubo. Si, dicho de otro forma, la pieza se deforma y los extremos libres

se acercan, el movimiento continua como antes, la energía cinética disminuye más

que la debida a la longitud. Así cuando L= , no será 8R/3, porque la velocidad

normal en el extremo, lejos de ser constante, se incrementa desde el centro al

borde, donde es infinita.

2.4.5. TUBOS DE REVOLUCIÓN

Por otro lado, hay muy pocas formas de canal cuya conductividad pueda ser

determinada matemáticamente, sin embargo cuando la forma es aproximadamente

cilíndrica podemos obtener los límites en los que se mueve esta resistencia26.

Un límite inferior de la resistencia de cualquier conductor aproximadamente

recto se puede obtener mediante la introducción imaginaria de una número infinito

de planos perfectamente conductores y de dirección perpendicular al eje. Si S

representa el área de la sección en un punto x la resistencia entre dos secciones



55

distante d, será dx/S y por lo tanto la resistencia completa es mayor que: dxS 1 , al

menos si el conductor es verdaderamente cilíndrico.

A continuación debemos encontrar un límite superior, que vamos a calcular a

partir de la energía cinética de la corriente, con la hipótesis de que la velocidad será

uniforme y paralela al eje del conducto. Este hipotético movimiento podría seguirse

con la introducción de un número infinito de pistones rígidos moviéndose libremente,

y el resultado así calculado será necesariamente el verdadero, al menos si la

sección es absolutamente constante. Vamos a suponer por simplificación del

problema que el canal es simétrico respecto del eje, en cuyo caso, por supuesto, el

movimiento del fluido es simétrico también.

Si U es la corriente total, la velocidad axial en un punto x cualquiera vendrá

dada por: u=S-1U. Con lo que la velocidad radial v se determinará a través de la

ecuación de continuidad:

Así:

r·v=const.-dx

dSrU

12·

2

1

o si no hubiera fuente de fluido sobre el eje:

v=dx

dSrU

12·

2

1

La energía cinética puede ser ahora calculada por simple integración:

dxSUSdxu 122 ; dxdx

dSy

Udxdrrrv ·)(

8

.···2

214

22

0)()(

dr

rvd

dx

rud


56

Si y es el radio del canal en el punto x, tal que S=·R2:

dx

dx

dy

ycorriente

cinéticaE2

22 2

11

.

1..2

Esta es la ecuación que da un límite superior a la resistencia. El primer

término corresponde a la componente de velocidad n, que es la misma que la

previamente obtenida ara el límite más abajo. La diferencia entre los dos límites

vendría dada por la siguiente expresión:

dxdx

dy

y

2

2

1

2

1

En canales casi cilíndricos dy/dx es una cantidad muy pequeña y por tanto los

límites son muy próximos.

En este caso no es necesario que la sección sea constante. El éxito de la

aproximación en éste y casos similares depende del hecho de que la cantidad a

estimar sea la mínima. Ninguna aproximación razonable al movimiento real es un

resultado muy cercano al verdadero de acuerdo con los principios de cálculo

diferencial.

Por medio de las propiedades del potencial y de las funciones de flujo, el

presente problema admite nuevas aproximaciones. Si y representan los valores

de estas funciones y en cualquier punto x, r; y u y v son las velocidades axial y

transversal respectivamente:

De esta manera, y por eliminación nos quedan las siguientes ecuaciones:

01

2

2

2

2

dx

d

dr

d

rdr

d ; 0

12

2

2

2

dx

d

dr

d

rdr

d

dx

d

rdr

dv

dr

d

rdx

du

1;

1


57

2.4.6. ABSORCIÓN DEL SONIDO POR RESONADORES

La actuación de un resonador cuando se encuentra bajo la influencia de una

fuente de sonido unísona a él emitiendo con su misma frecuencia, es un punto de

gran importancia muy discutido entre conocedores de la acústica.

Hay casos donde un resonador absorbe sonidos, como atrayendo las

vibraciones y dispersándolas de regiones que de otra forma podrían ser afectadas.

Por ejemplo, si suponemos una fuente de sonido en B, situado en un tubo de cristal

a una distancia ¼ desde el extremo cerrado, desde un punto externo A, no

demasiado cerca de la entrada al tubo, el efecto es mínimo. Esta es una

consecuencia inmediata del principio de reciprocidad, porque si A fuera la fuente, no

habría variación del potencial en B27.

Podemos eliminar la restricción, de no poner la fuente demasiado cerca de la

entrada al tubo, si en vez de usar una fuente puntual, usamos una fuente distribuida

en toda la sección transversal. Por el contrario, para cualquier tamaño y forma de la

sección, no hay distribución en el exterior. Esto es claro desde el punto de vista de la

teoría de vibraciones en una dimensión.

Para la forma recíproca de esta propiedad, usamos la función de Helmholtz.

Tomando para el potencial de velocidad de la vibración. Esta formula es necesaria

para demostrar que cuando no se emite energía, es decir que la fuente no trabaja, p

requiere primero que no haya variación de presión en la fuente - lo que es imposible

en el caso de una fuente simple -, y segundo que la parte variable de la presión

tenga la misma fase exactamente que la aceleración y ninguna componente de la

velocidad.

27 Berkeley. (1968) Ondas, physics course. Ed. Reverté


58

Otros ejemplos de la absorción de sonidos por resonadores, podemos

hallarlos a partir de una cierta modificación del tubo de interferencias de Hersehel´s,

usado por Quincke para eliminar determinados tonos.

2.5. FILTROS ACUSTICOS. PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UN TUBO

Si las dimensiones de los elementos de un sistema acústico son grandes

frente a la longitud de onda, no se puede tratar el sistema como uno de constantes

concentradas, sino como uno de constantes distribuidas. El sistema más sencillo de

este tipo es aquel en el que las ondas planas se propagan a través de un tubo. Si las

ondas se propagan en la dirección positiva de las X, la relación entre la presión

acústica y la velocidad de la partícula está dada por la impedancia característica del

medio; estando dada la impedancia acústica de una sección transversal del tubo S

por:

Podemos considerar que el medio en el tubo tiene una inertancia distribuida

por unidad de longitud M1 (M1 = Do/S) y una compliancia distribuida por una unidad

de longitud C1 (C1 =S/Doc2). Como vemos, a partir de estos términos obtendremos

el valor de la impedancia acústica de las ondas planas en un tubo28.

Supongamos que en el punto x dentro de un tubo la impedancia acústica

cambia de su valor característico o c/S al valor de Zx, que puede ser real o

complejo, dependiendo de la naturaleza del cambio que se presenta en el tubo. Si la

onda inicial que viaja en la dirección de X esta dada por:

28 Blum,Roller. (1954) Mecánica, ondas y termodinámica. Ed. Harvar University Press

S

pc

vS

p

U

p

ˆˆ

ˆˆˆ


59

valor de la presión de la onda incidente en un punto x, al encontrarse la

discontinuidad se producirá una onda reflejada que viajara en la dirección negativa

de X, y cuyo valor en el mismo punto será:

Las velocidades volumétricas del flujo del fluido que corresponden a estas dos

ondas estarán dadas por:

S

cpp

U ii

0

ˆˆ y

S

cpp

U rr

0

ˆˆ

Cuando ambas ondas están presentes la variación de fase origina que la

impedancia acústica varíe de un punto a otro dentro del tubo, mientras que tiene el

mismo valor en todos los puntos cuando sólo se propaga la onda incidente. Una

expresión general de la impedancia acústica incluyendo la onda reflejada es:

o bien:

Cuando no existen pérdidas se puede cambiar el origen de coordenadas para

que coincida con la posición del cambio de impedancias, si lo hacemos para x = 0, la

ecuación anterior tendrá la forma:

hxtji epp i

0ˆˆ

hxtjr epp r

0ˆˆ

rpip

rpip

S

cp

rUiU

rpipZ

ˆˆ

ˆˆ·ˆˆˆˆˆ 0

jhxr

jhxi

jhxr

jhxi

x epep

epep

S

cpZ

00

00

ˆ

ˆ·ˆ 0

ri

ri

pp

pp

Scp

Z00

000

ˆ

ˆ·ˆ 0


60

o también:

El coeficiente de reflexión de potencia at, en un punto donde la impedancia

acústica cambia, está dado por:

donde Zo = Ro+ j Xo. Por otro lado, el coeficiente de transmisión de potencia

acústica t será: (t =1-r).

Como podemos observar, estas ecuaciones son análogas a las que

obtuvimos cuando estudiamos los fenómenos de reflexión y transmisión para

incidencia normal sobre la superficie de un sólido, con la única diferencia de que la

impedancia acústica se ha sustituido por la impedancia acústica específica.

2.6. EL RUIDO ACUSTICO

Los sonidos se pueden clasificar también por su respuesta subjetiva, así los

más usuales, como por ejemplo la palabra, pueden considerarse como sonidos,

siempre que los niveles de presión sonora que producen no sean excesivos, ya que

en este caso se tendrían que denominar ruidos, entendiendo por tal, todo sonido no

deseado. Ciertos sonidos agradables se clasifican generalmente como musicales,

aunque pueden convertirse en ruido, de acuerdo con la definición anterior. Por tanto,

vemos que la diferencia entre sonido agradable y sonido molesto, depende tanto del

nivel de presión sonora, como de la respuesta subjetiva. El grado de molestia de un

ScZ

ScZ

p

P

i

r

/ˆ/ˆ

ˆ

ˆ

00

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

0

/

/

XScR

XScR

p

p

i

rI

022

00

00

)/(

/4

XScR

ScRt


61

ruido depende principalmente de su nivel de presión sonora, siendo la respuesta

subjetiva, dependiente de la naturaleza del sonido29.

En cualquier lugar existe ruido procedente de diferentes fuentes, unas

próximas y otras lejanas, puede venir reflejado por las superficies, e incluso una

parte de él puede proceder de todas las direcciones. De acuerdo con lo expuesto, el

ruido total asociado con un determinado entorno se llama "ruido ambiental".

El ruido se puede clasificar de diferentes formas, una por ejemplo en función

del nivel de presión sonora:

a) de elevado nivel de intensidad (nivel de ruido >100 DbA), produce dolor y

pérdida de audición, debiendo de eliminarse;

b) de nivel de intensidad intermedia (50 DbA < nivel de ruido < 100 DbA),

estos ruidos se pueden soportar, aunque son molestos;

c) de pequeño nivel de intensidad (nivel de ruido < 50 DbA), no producen

trastornos físicos.

El cero absoluto no se obtendrá nunca, y además se debe de evitar, puesto

que afecta al sistema nervioso humano. Los ruidos se producen en unos focos

sonoros o fuentes (calle, televisor, discoteca, etc), se transmiten a través de un

medio (cuerpos sólidos, líquidos, aire), y por último llegan al receptor (un individuo,

una comunidad, etc). Se puede decir, que cuando la salida de un foco sonoro se ve

influenciada por el medio o el receptor, la impedancia de radiación del foco, ha sido

29 Rayleigl. (1926) Theory of sound. Ed. Maxmillan y Co.


62

alterada por su entorno, de forma análoga la reacción del receptor depende de las

características del medio y de la fuente30.

Se puede suponer que muchos ruidos complejos, están formados por una

gran número de componentes, distribuidas continuamente en el espectro de

frecuencias. Es conveniente a veces, emplear el nivel del espectro de presión

acústica Lps, que es el nivel de presión acústica en una banda de 1 Hz de ancho. El

nivel de presión en la banda Lband, es el nivel de presión acústica dentro de una

banda limitada por dos frecuencias, f2 y f1, siendo su ancho f2- f1.

En general, la conversión de un nivel de presión en una banda, al

correspondiente en otra, se realiza restando del primer nivel, diez veces el logaritmo

del cociente de los respectivos anchos de banda. Por ejemplo, un nivel de presión

en banda L50, se ha medido con un ancho de banda Df = f2 - f1 = 50 Hz, y si se desea

saber el nivel de presión en una banda de 25 Hz de ancho, centrada

geométricamente dentro de la banda de 50 Hz, su valor será:

De una forma similar, se puede calcular el nivel de presión acústica en una

banda de 1 Hz, o nivel de espectro de presión acústica Lps, a partir de un nivel de

presión acústica en banda Lband, medido en una banda de ancho Df = f2 - f1:

Para efectuar medidas de ruido se utilizan medidores de nivel de presión

sonora (sonómetros), en los que la presión se transforma en tensión por medio de

30 Rayleigl. (1926) Theory of sound. Ed. Maxmillan y Co.

dBLLL 32550

log10 505025

dBf

LL bandps 1log10


63

un micrófono, un voltímetro asociado al aparato proporciona la lectura en una escala

graduada en dB.

Como ya hemos visto anteriormente, los factores que determinan el nivel de

sonoridad de un sonido son tan complejos que son necesarios grandes estudios, ya

que el oído no presenta la misma sensibilidad a todas las frecuencias (máxima entre

2.000 y 5.000 Hz) este fenómeno es más acusado para los niveles de presión bajos

que altos. Es lógico pensar que es relativamente sencillo diseñar un circuito

electrónico, cuya sensibilidad con la frecuencia fuera análoga a la del oído humano,

la ya mencionadas curvas de ponderación A,B,C.

Los sonidos cuyo espectro de frecuencias es amplio, como el de un reactor,

parecen más fuertes que tonos puros o bandas estrechas de ruido, aunque ambas

tengan el mismo nivel de presión. Las pruebas que se realizan para comprobar este

hecho, empiezan por someter al oyente a la audición de una banda estrecha de

ruido centrada en una frecuencia determinada fo. Se va aumentando

progresivamente el ancho de banda mientras se reduce la intensidad acústica, con

el fin de mantener el mismo nivel de presión. Existe un cierto punto a partir del cual

se siente mayor sonoridad, este punto define el llamado ancho de banda crítico.

Para anchos de banda menores del crítico, la sonoridad es la misma, para los

mayores la sonoridad aumenta proporcionalmente con el ancho de banda. Para

cada frecuencia central se define un ancho de banda crítico diferente, que se

determina en forma empírica. No obstante, se ha comprobado que cada ancho de

banda viene a ser un intervalo de frecuencia de 100 mel, es decir 1 bark, luego 1

bark, es la anchura de una banda crítica.

Aunque la energía en casi todos los tipos de ruido de fondo tienen una

distribución continua sobre un ancho de banda de frecuencias, esta distribución no

es uniforme. La forma de variación de la intensidad con la frecuencia se representa

mediante un gráfico que muestra el espectro sonoro de ruido. En abcisas tenemos

frecuencias y en ordenadas el nivel espectral del sonido para cada frecuencia. Para

una frecuencia específica f, el nivel del espectro de intensidad se define como el


64

nivel de intensidad del sonido contenido en una banda de ancho de frecuencia de 1

Hz, centrada a la frecuencia f, viniendo dado por la expresión:

donde Ire = 10-12 w/m2 y f = ancho de banda del filtro en Hz.

Como LI es el nivel de intensidad sonora, la expresión anterior podemos

escribirla:

LIS = LI - 10 lg f dB

Cuando el nivel del espectro de ruido es relativamente constante, la

intensidad de una banda estrecha de este ruido, es directamente proporcional al

ancho de banda, y por tanto, el enmascaramiento expresado en dB aumenta

directamente con 10 log f. Se conoce como ancho de banda crítica, a un ancho de

banda extendido que incluye todas las frecuencias del ruido que excitan la misma

región de la membrana basilar, para enmascarar un tono puro. El ancho de banda

crítico es función de la frecuencia del tono puro que enmascara. El ancho de banda

crítico fc y el espectro medio del nivel Lab están relacionados por la expresión:

Lcb = Lpb + 10 lg fc dB

Para tratar de efectuar medidas de ruido que tengan en cuenta el

enmascaramiento se siguen diversos métodos, como los de Zwicker y Stevens, en

éste último se utilizan una familia de curvas (Figura 2.8), en combinación con

medidas de ruido efectuadas a través de un filtro de un tercio, media o una octava.

En cada banda, una vez determinado el nivel de presión sonora, se halla la

sonoridad parcial; estas sonoridades parciales se llaman índices de sonoridad y su

valor es:

St = Sm + 0,3 (S - Sm)

dBflreA

lLis

lg10


65

donde: Sm es el índice de sonoridad máximo; S es la suma de todos los

índices de sonoridad; St es el nivel de sonoridad en sonos.

Para realizar el estudio de diferentes sonidos, en personas jóvenes, el campo

de frecuencias audibles se puede descomponer en tres zonas:

a) sonidos graves (20-360 Hz),

b) sonidos medios (360-1.400 Hz) y

c) sonidos agudos (1.400-20.000 Hz).

Cuando dos sonidos tienen como frecuencias respectivas f1 y f2, se dice que

se encuentran separados por el intervalo f2/f1, y que definen la banda de frecuencias

de anchura Df = f2 - f1 (f2 > f1).


66

Fig.2.8. Curvas para el cálculo de la sonoridad total de acuerdo con Stevens


67

Los filtros utilizados para analizar el ruido eliminan los componentes cuyas

frecuencias están por debajo y por encima de unos límites o frecuencias de corte

propias de cada filtro (filtro paso banda). Las componentes cuyas frecuencias están

comprendidas entre ambas frecuencias de corte, pasan a través del filtro; esta

banda de frecuencia permitida se llama banda de paso, y la diferencia entre ambas

frecuencias de corte es el ancho de banda.

Los filtros empleados para medidas de ruido, tienen unas bandas de paso de

acuerdo a normas internacionales ISO-R. 266, y la española UNE 74002/78 sobre

frecuencias preferentes en medidas acústicas DIN 45401, ANSI S1.6 - 1.967. En

todos los casos la relación de frecuencias es de 2/1, que define el intervalo

denominado "octava" en el que una frecuencia es el doble de la otra, llamándose

bandas de paso en octavas. En estos filtros, el ancho de banda aumenta con la

frecuencia.

68

CAPITULO 3

LAS BARRERAS ACUSTICAS

3.1. LAS BARRERAS ACÚSTICAS

El término barrera acústica se utiliza para designar a los elementos u

obstáculos que por su situación y características protegen del ruido a un

determinado receptor respecto de una determinada fuente sonora. Existen en la

literatura técnica y en el lenguaje hablado de uso corriente multitud de términos para

denominar a las barreras acústicas: pantallas acústicas, barreras o pantallas

antiruido, obras de protección contra el ruido, dispositivos antiruido, muros de

protección contra el ruido, etc.

En España no existe una unanimidad en cuanto a los términos a utilizar. El

término mas extendido es el de pantallas acústicas, si bien algunos técnicos

prefieren designar como barreras acústicas al conjunto de dispositivos de

protección contra el ruido reservando el término pantallas acústicas para los muros

de espesor relativamente pequeño concebidos como barreras acústicas, con el

objeto de diferenciarlas de otro tipo de barreras (diques de tierra, cubriciones de

calzada, soluciones mixtas, etc.)

Cap. 3: Barreras Acústicas

69

3.1.1. EFECTO DE APANTALLAMIENTO. TRANSMISIÓN DEL SONIDO A

TRAVÉS DE UNA PANTALLA

Al interponer un obstáculo sólido entre el foco emisor y el receptor se produce

en la zona en que este último está situado un efecto de atenuación del ruido, debido

a ciertos fenómenos inducidos por la presencia del obstáculo. La energía acústica

incidente sobre el obstáculo es en parte disipada o encaminada en otras direcciones,

por lo que la energía que alcanza la zona del receptor es inferior a la que lo haría si

no estuviera el obstáculo. Los fenómenos que se producen son los siguientes:

- Parte de la energía acústica se refleja al incidir sobre el obstáculo, siguiendo

leyes similares a las de la Optica.

- Parte de la energía acústica puede ser absorbida por el obstáculo,

disipándose en otras formas de energía.

- Parte de la energía es transmitida al otro lado del obstáculo

- Parte de la energía es difractada por los bordes del obstáculo, produciéndose

un cambio de trayectoria en la propagación del sonido

La energía que recibe un receptor situado tras el obstáculo es la resultante de

la energía de la onda directa que recibe, la energía de la onda transmitida y la

energía de la onda difractada.1

En el caso de que el obstáculo o barrera tenga unas dimensiones tales que la

energía recibida directamente por el receptor sea despreciable, la atenuación del


70

ruido que proporciona la barrera al receptor depende fundamentalmente de la

energía difractada y de la energía transmitida. En la práctica, las barreras acústicas

son capaces de conseguir que la energía de la onda transmitida sea muy inferior a la

aportación de energía por parte de la onda difractada.

Como resultado de todos estos fenómenos, las barreras acústicas producen

un efecto de atenuación del sonido en la zona del receptor. Esta atenuación

depende fundamentalmente de las dimensiones de la barrera que son las que

determinan la aportación de la energía directa y la difractada, y del aislamiento que

aporta la barrera al oponerse a la transmisión del sonido, que depende

fundamentalmente de sus materiales y, en menor medida, de su espesor.

3.1.2 TIPOS DE BARRERAS ACÚSTICAS

Existen numerosas clasificaciones de las barreras acústicas en función de

criterios tales como su comportamiento acústico frente a la absorción, sus

características estructurales, sus materiales constitutivos, su altura, su forma, etc.

En general se suelen clasificar según dos criterios: su comportamiento

acústico en relación con la absorción y sus características constructivas.

La absorción (A) de una barrera acústica se define como:

A = 10 log (Ei / (Ei - Ea))

donde A se expresa en decibelios, E¡ es la energía incidente sobre la pantalla,

y E, la energía absorbida. En función del valor de A, las barreras serán más o menos

absorbentes. La clasificación más extendida es la que considera como barreras

absorbentes a las que presentan un índice de absorción A igual o superior a 4 dB(A)

1 Trigueros, José. Curso de Ruido. CEDEX..


71

y reflectantes a las que tienen un índice inferior a 4dB(A). Sin embargo, la tendencia

actual es considerar que cada barrera ofrece un cierto grado de absorción en función

del valor de A, y se evita referirse a ellas simplemente como absorbentes o

reflectantes.

Las clasificaciones según sus características constructivas son las más

extendidas, aunque difieren notablemente de unos autores a otros. Una posible

clasificación es la siguiente:

- Pantallas acústicas: son las barreras o muros constituidas por elementos de

pared relativamente delgada, verticales o inclinados, con distinto grado de

absorción y que ofrecen gran resistencia a la transmisión del sonido. Son las

más usuales. Las pantallas pueden adoptar numerosas formas y utilizar

diversos materiales: hormigón, elementos metálicos, madera, vidrio,

materiales plásticos, materiales cerámicas, elementos prefabricados con

material absorbente (fibra de vidrio, lana mineral), etc.

- Diques de tierra: son los obstáculos formados por tierra con grandes

espesores en la base, que en general están recubiertos de tierra vegetal

donde pueden crecer las plantas.

- Cubriciones parciales o totales de la calzada o vía de circulación.

- Construcciones especiales: se trata de soluciones mixtas dique de tierra +

pantalla acústica, muros con relleno de tierra y vegetación, etc. Proceden de

la combinación de alguno de los tipos anteriores.

- Pantallas vegetales: son las constituidas por masas de vegetación muy

densas. No son eficaces salvo que se implanten en una banda de anchura

considerable.


72

3.2. EFICACIA ACÚSTICA DE LAS PANTALLAS

La eficacia acústica de una pantalla está determinada por la atenuación

sonora que ésta proporciona frente a una determinada fuente. Los factores que

influyen en la eficacia de una pantalla son los siguientes:

a) El aislamiento acústico y el carácter absorbente o reflectante de la pantalla,

determinados principalmente por sus materiales constitutivos.

b) Sus dimensiones geométricas, fundamentalmente su altura y su longitud.

c) Su situación relativa con relación a la fuente y a la zona a proteger, y la presencia

de obstáculos en el lugar de su implantación.

Así pues, la elección de materiales adecuados para el diseño de los

elementos que constituyen la pantalla, no condiciona por sí sola la eficacia acústica

de la misma. De hecho, la finalidad de las pantallas acústicas es obtener una

limitación en el ruido percibido en la zona que se desea proteger, evitando en la

medida de lo posible que la energía sonora alcance de manera directa al receptor,

por lo que además de asegurar la calidad de aislamiento acústico de los materiales

de la pantalla, es preciso dotarla de una altura y longitud suficientes, evitar que se

produzcan reflexiones no deseadas, y situarla en la posición en la que su eficacia

sea máxima.2

2 Segues, Fernando..Curso de Ruido. CEDEX


73

3.2.1. ELECCIÓN DE LOS MATERIALES. TRANSMISIÓN Y ABSORCIÓN

La elección de los materiales viene condicionada por dos propiedades

acústicas exigibles a las pantallas: su comportamiento frente a la transmisión sonora

y las cualidades de absorción del conjunto de la pantalla.

3.2.1.1. COMPORTAMIENTO FRENTE A LA TRANSMISIÓN

En presencia de una pantalla, la onda sonora emitida por la fuente (S) se

reparte en varios trayectos elementales. Uno de ellos es el de la transmisión de la

onda a través de la pantalla (Figura 3.1).


74

Fig.3.1. Transmisión de una onda a través de una pantalla

El receptor (R) percibe una parte de la energía sonora que ha sido transmitida

a través del obstáculo. Para que la protección del receptor sea máxima hay que

conseguir que la energía transmitida sea lo más pequeña posible. Esta energía

transmitida depende fundamentalmente de las características de los materiales que

constituyen el dispositivo protector.

Se define como perdidas en la transmisión TL al valor resultante de la

expresión:

TL = 10 log (Ei / F )

donde, E¡ es la energía incidente sobre la pantalla y F, la energía transmitida.


75

TL se expresa en decibelios, y refleja la cantidad de energía perdida en la

transmisión, del sonido a través de una pared o superficie cualquiera. La norma 150

R- 144 define el índice de reducción acústica R de una partición como:

R=SPL1 – SPL2 + 10 log Sw /A

donde, R se expresa en decibelios, SPL1 es el nivel de presión sonora en la

zona de emisión, SPL2 es el nivel de presión sonora en la zona de recepción, S, la

superficie del elemento separador, y A la absorción total del local receptor. En

condiciones de propagación del sonido en campo libre

TL = R = SPL1 – SPL2

El índice TL caracteriza la capacidad de una pantalla para oponerse a la

transmisión de ruido, y depende del espectro de la onda incidente. Este índice se

expresa en dB (A), por bandas de frecuencia, o bien de manera global para un

espectro de ruido determinado.

En el caso del ruido del tráfico de carretera se utiliza para definir el coeficiente

global TL, el denominando espectro del ruido de carretera normalizado, cuyas

características varían según los diferentes países.

En la práctica, no es necesario intentar obtener atenuaciones en la

transmisión muy fuertes, ya que se puede admitir que una pantalla acústica se

opone suficientemente a la transmisión cuando la energía transmitida es

despreciable frente a la energía que llega al receptor por otros caminos (difracción,

reflexión, directamente). Se considera que la energía transmitida es despreciable

cuando su nivel de presión sonora es inferior en 10 dB(A) al nivel sonoro resultante

de los restantes caminos acústicos que llegan hasta el receptor.

En la actualidad, la eficacia total de las pantallas acústicas es raramente

superior a 15 dB(A), por lo que suele ser suficiente exigir a las pantallas un índice de


76

atenuación en la transmisión R igual o superior a 25 dB(A) para el espectro de ruido

de carretera normalizado3.

3.2.1.2. CARACTERÍSTICAS ABSORBENTES

En presencia de una pantalla, una parte de la energía sonora puede ser

absorbida por transformación en energía calorífica. La cantidad de energía

absorbida depende del material que constituye la pantalla y del espesor de la misma.

En el caso límite, los materiales que presentan excelentes características de

absorción, son capaces de absorber prácticamente toda la energía acústica,

resultando despreciable la energía que se refleja en la pantalla.

Todos los materiales absorben parte de la energía que contiene la onda

sonora incidente. Esta absorción se caracteriza por un factor denominado coeficiente

de absorción a, que depende de la frecuencia, y se define como la relación existente

entre la energía acústica absorbida y la energía acústica incidente.

= Energ. absorbida/ Energ. incidente

El coeficiente de absorción de un material depende del espectro sonoro de la

onda incidente, de la naturaleza del material, y, en menor medida, de las

condiciones de humedad y temperatura.

Generalmente se distinguen tres grandes categorías de materiales

absorbentes:

- Materiales fibrosos de porosidad abierta

- Materiales elásticos o absorbedores de membrana

3 Trigueros, José. Curso de Ruido. CEDEX. .


77

- Resonadores

El poder de absorción de los distintos materiales se determina midiendo el

coeficiente de absorción (denominado - Sabine) para cada una de las bandas de

frecuencia normalizadas.

En la actualidad, los absorbentes empleados son esencialmente materiales

fibrosos o porosos: lanas minerales de fibras, expandidos o paneles perforados con

dimensiones de los orificios adecuadas. En principio, las cualidades absorbentes de

una pantalla acústica, pueden ser descritas cuantitativamente, por medio del índice

denominado absorción (A), que se define como:

A = 10 log ( Ei/(Ei-Ea) )

donde, A se expresa en decibelios, E¡ es la energía incidente sobre la

pantalla, y Ea la energía absorbida. A es conocido también como "pérdidas por

reflexión".

En función de los valores de A, se pueden clasificar las pantallas según su

comportamiento frente a la absorción. ¡-a clasificación más extendida es la de la

norma alemana ZTV-LSW 88:

1. Altamente absorbentes A > 8 dB

2. Absorbentes 4 < A < 8 dB

3. Reflectantes A < 4 dB

El hecho de que una pantalla sea muy absorbente no indica en principio que

se trate de una pantalla de mayor calidad. En cada caso el encargado del diseño de


78

la barrera antiruido deberá decidir cuál es el grado de absorción exigible según las

circunstancias concretas.

3.2.1.3. PANTALLAS REFLECTANTES Y PANTALLAS ABSORBENTES

El problema de las reflexiones producidas por las pantallas acústicas adquiere

una importancia fundamental cuando existen posibles receptores del ruido situados,

con relación a la pantalla, en el mismo lado de la fuente sonora. La instalación de

una pantalla no debe implicar un crecimiento de las molestias por efecto de las

reflexiones en la población situada frente a la pantalla (Figura 3.2). Por lo tanto, cada

vez que exista la posibilidad de que las ondas reflejadas alcancen zonas sensibles al

ruido que se desea proteger, será preciso adoptar alguna de las siguientes

precauciones:

- Inclinar la pantalla para orientar adecuadamente las posibles reflexiones

- Utilizar materiales absorbentes en la fabricación de la pantalla

- Proteger la zona afectada por las reflexiones con una nueva pantalla


79

Fig.3.2. Reflexiones a evitar en pantallas acústicas (1)

En general, la solución más eficaz para evitar los efectos perjudiciales de

ondas reflejadas por las pantallas consiste en utilizar en su construcción materiales

altamente absorbentes. Esta solución implica un aumento considerable en el coste

de las pantallas. En algunos casos, una solución aceptable puede consistir en

inclinar una pantalla poco absorbente, de manera que las reflexiones sean

encaminadas hacia zonas poco sensibles al ruido. En este caso se recomienda que

la inclinación sea de al menos 15 grados con relación a la vertical.


80

Fig.3.3. Reflexiones a evitar en pantallas acústicas (2)

Uno de las situaciones típicas en las que los efectos de las reflexiones sobre

las pantallas pueden producir efectos no deseados es el caso de dos pantallas frente

a frente a ambos lados de una vía de circulación (Figura 3.3). El "Centre Scientifique

et Technique du Batimentent" (C.S.T.B.) de Grenoble (Francia) ha establecido una

serie de recomendaciones en cuanto a los sistemas de protección a adoptar en

estas situaciones, las cuales se resumen a continuación.

a) H > L/5: Es recomendable utilizar materiales absorbentes en las pantallas.

b) L/5 > H > L/10: La decisión de utilizar material absorbente depende del

entorno y de la posibilidad de inclinar las pantallas. Es recomendable estudiar

la eficacia de ambas soluciones.

c) L /10 > H > L/20: La inclinación de las pantallas es preferible a la utilización

de los materiales absorbentes, ya que resulta en general más eficaz.

d) H < L/20: La utilización de materiales absorbentes o la inclinación de las

pantallas apenas afecta al resultado final.


81

donde: H = altura de las pantallas

L = distancia entre dos pantallas situadas frente a frente

Es preciso recordar que al inclinar una pantalla hacia el exterior, la altura

eficaz de la misma disminuye, por lo que para conseguir la misma eficacia acústica

que una pantalla vertical, es preciso aumentar ligeramente la altura de las mismas.

Por otra parte, si la inclinación de la pared reflectante se consigue mediante el

fraccionamiento de la superficie en planos inclinados consecutivos, conviene tener

presente que para que la eficacia de las reflexiones sea la adecuada, tanto para las

altas frecuencias como para las bajas frecuencias, los planos inclinados deberán

tener una altura mínima de 2,50 metros.4

3.2.2. DIMENSIONAMIENTO GEOMÉTRICO

Las pantallas acústicas actúan difractando la onda incidente de forma que

proporcionan diferentes atenuaciones según las frecuencias de la onda incidente,

creando una zona de sombra acústica.

La resolución matemática de los planteamientos teóricos (principio de

Huygens-Fresnel) de la difracción de las ondas por efecto de las pantallas resulta

excesivamente compleja. En la práctica, para el dimensionamiento y cálculo de la

eficacia acústica de las pantallas, se utilizan tablas de resultados, obtenidos

experimentalmente, que son trasladables de manera aproximada a las situaciones

reales.

4 Hall. Attitudes toward noise barries.Transportation Research Report.


82

Para poder abordar el cálculo de la eficacia de las pantallas de un modo que

resulte operativo, es preciso establecer una serie de hipótesis simplificadoras del

fenómeno acústico, que permitan, si bien de un modo meramente aproximativo,

obtener las relaciones entre la eficacia de la pantalla y los parámetros

fundamentales que influyen en la misma.

Dentro del marco de estas hipótesis, la atenuación producida por las pantallas

depende fundamentalmente de los siguientes parámetros (Fig. 3.4):

Fig.3.4. Esquema geométrico de la atenuación

- Número de Fresnel N = 2/, donde es la longitud de onda del sonido incidente,

y , la diferencia entre el camino más corto para ir de la fuente al receptor

pasando por los bordes de la pantalla y la distancia en línea recta entre fuente y

receptor = A+B-d.

- Altura de la pantalla.

- Longitud de la pantalla.

- Situación relativa con respecto a la pantalla de la fuente (S) y del receptor (R).

- Factor de reflexión de la pantalla.

- Ángulos que forman los rayos sonoros con relación al paramento y extremos de

la pantalla.


83

- Coeficiente de absorción del suelo en la zona protegida, que influye sobre la

magnitud de las reflexiones en la zona del receptor.

El procedimiento general de cálculo se basa en considerar que la pantalla

acústica tiene una longitud infinita, y posteriormente efectuar correcciones en función

de la longitud real de la misma.

3.2.2.1. CÁLCULO DE LA ALTURA DE LA PANTALLA

Uno de los métodos más extendidos de cálculo se basa en la utilización del

ábaco de MAEKAWA. Se trata de un ábaco que refleja los resultados

experimentales sobre pantallas reflectantes de altura limitada y superior a 2 metros

(Figura 3.5).

Fig.3.5. Ábaco Maekawa

El ábaco establece la relación existente entre el número de Fresnel y la

atenuación aportada por la pantalla. A partir del ábaco podemos determinar para una

atenuación determinada el valor (En ruido del tráfico de carretera puede utilizarse


84

de manera general = 0,50 m), y en función de éste, la altura eficaz h de la pantalla

(Figura 3.6).

Fig.3.6. Altura eficaz de una pantalla

El ábaco de MAEKAWA presenta sin embargo una serie de restricciones en

su utilización:

a) Las distancias entre la fuente y la pantalla, y entre el receptor y la pantalla,

deben ser grandes con relación a la longitud de onda del sonido incidente

b) Las distancias entre la fuente y la pantalla, y el receptor y la pantalla deben

ser similares

c) Las pantallas tienen una longitud semi-infinita longitud muy superior a la altura

y a las dimensiones del área a proteger.

3.2.2.2. LONGITUD DE LA PANTALLA

Los métodos anteriormente mencionados permiten evaluar la atenuación

debida a la difracción pura, es decir, para una fuente en presencia de una pantalla

de longitud infinita. Sin embargo, el dimensionamiento de una pantalla acústica

consiste, no solamente en la determinación de su altura, sino también en el de su

longitud.


85

Fig.3.7. Pantalla de longitud finita

En la práctica, el dimensionamiento de la longitud de las pantallas se realiza

mediante la adopción de simplificaciones que permiten una estimación rápida de la

longitud en función de la atenuación deseada.

El método más utilizado consiste en considerar que el nivel sonoro que se

alcanza en el punto donde está situado el receptor es el resultado de la suma

energética de los niveles correspondientes a tres segmentos de fuente lineal (Figura

3.7): dos segmentos que corresponden a una propagación directa del ruido a ambos

lados de la pantalla, y un segmento que corresponde a la zona de protección de la

pantalla.

La energía correspondiente a los segmentos laterales se calcula a partir de la

expresión:

L(+) = Ld + 10 log ((+)/180)

donde, Ld es el nivel sonoro producido por la carretera a la distancia d a la

que está situado el receptor, y y los ángulos de recepción directa del sonido.

RECEPTOR

PANTALLA


86

La energía correspondiente a la zona protegida por la pantalla se calcula:

L(p) = Ld + ( 10 log p/180) - Atenuación (inf.)

donde, Ld tiene el mismo significado que en la expresión anterior, p es el

ángulo de cobertura de la pantalla, y la atenuación expresada en db(A) es la

resultante de aplicar cualquiera de los métodos anteriores de cálculo de la eficacia

de una pantalla de longitud infinita.

El nivel sonoro resultante como consecuencia del efecto de una pantalla de

longitud finita será:

L = L(+) + L(p) (SUMA ENERGETICA)

Dado que + = 180 – p, conociendo el nivel sonoro deseado para el punto

receptor y la atenuación proporcionada por la pantalla considerada infinita, podemos

obtener el valor de p y por tanto la longitud l de la pantalla.

Existen ábacos simplificados como el que incluye la "Guide du bruit des

transports terrestres" (CETUR, Francia) con ayuda de los cuales se puede calcular la

eficacia de una pantalla de longitud finita 1 en función del ángulo realmente cubierto

por la pantalla y la atenuación que produciría en las mismas circunstancias una

pantalla de longitud infinita.

La figura 3.8 muestra las dimensiones mínimas que debe tener una pantalla,

siendo el emisor una fuente rectilínea (carretera, ferrocarril...).


87

Fig.3.8. Dimensiones mínimas de una pantalla de longitud finita

3.2.2.3. UBICACIÓN DE LA PANTALLA CON RESPECTO A LA VÍA DE

CIRCULACIÓN

Para obtener un máximo de eficacia acústica conviene que las pantallas se

hallen situadas lo más próximo posible a la fuente sonora. En gran parte de los

casos, la colocación de las pantallas estará condicionada por la disponibilidad de

terreno y por la necesidad de garantizar ciertas condiciones de seguridad para el

tráfico de la vía de circulación.

Siempre que sea posible, y dependiendo de las características de la zona que

se desee proteger, se tenderá a colocar las pantallas en el borde de las plataformas

de las carreteras, de modo que no se afecte a la circulación. En las vías de

circulación en las que exista un desmonte o una trinchera, la eficacia máxima se

obtendrá situando las pantallas en la parte alta del desmonte o en la coronación de

los muros de contención de tierras.

En la figura 3.9 vemos una simulación en 3D de la ubicación de una pantalla

mediante el modelo Mithra V-4.01, y en la figura 3.10 podemos observar la ubicación


88

de una pantalla en relación a la zona a proteger. Se puede observar la variación en

el diseño geométrico respecto de ambas pantallas, tratándose éste punto en el

epígrafe siguiente.

Fig.3.9. Esquema de ubicación de una pantalla (1)


89

Fig.3.10. Esquema de ubicación de una pantalla (2)


90

3.2.3. RECOMENDACIONES SOBRE EL DISEÑO GEOMÉTRICO DE LAS

PANTALLAS.

La eficacia de una pantalla acústica depende entre otros factores, de su altura

y de su longitud. En principio este par de factores, h y 1, se pueden combinar de

multitud de maneras para obtener la eficacia deseada. En general, el proceso de

diseño geométrico de las pantallas, comienza por establecer la longitud de la

pantalla en función de la extensión de la zona a proteger. Se considera que la

longitud tiene que ser tal que el ángulo de cubrición proporcionado al receptor sea

superior a 160 grados, es decir que la proporción del ángulo protegido sea superior

al 90 por ciento. Cuando se realizan pantallas acústicas paralelas a las vías de

circulación, una buena atenuación del ruido exigirá que la longitud de las pantallas

sea tal que en los extremos de la zona a proteger, la pantalla se prolongue hasta al

menos una longitud superior a 150 m, y que para proteger un único edificio,

difícilmente se conseguirán buenas eficacias con longitudes de pantalla inferiores a

300 m, como vimos anteriormente en la figura 3.8. Para reducir la longitud será

preciso cerrar los laterales del receptor con muros perpendiculares a la vía de

circulación para atenuar la energía directa recibida por los extremos laterales de la

pantalla (Figura 3.11).


91

Fig.3.11. Diseño geométrico de una pantalla

En lo referente a la altura de las pantallas, de una manera general, debe ser

tal que desde la zona a proteger la pantalla oculte la carretera, es decir, que los

posibles receptores estén situados en la zona interior limitada por la línea de

sombra, con lo que se asegura que la energía recibida por el receptor proviene de

fenómenos de difracción y reflexión, y no de propagación libre directa. En la práctica,

salvo en casos excepcionales, la altura mínima de la pantalla no debe ser inferior, en

general, a 2 m. Por lo que respecta a las alturas máximas, no se suelen sobrepasar

los 6-7 m, ya que a partir de estas alturas, además del enorme costo que supone la

obra, la gran intrusión visual en el entorno que supone la presencia de la pantalla,

desaconseja su instalación.

Un adecuado diseño geométrico de las pantallas acústicas incluye así mismo

un tratamiento de las extremidades de las mismas. En general es recomendable


92

crear zonas de transición en los extremos de las pantallas, bien sea en forma de

pendientes regulares que disminuyan progresivamente la altura de la pantalla, bien

por medio de elementos discontinuos de alturas decrecientes5.

3.3. ELEMENTOS Y MATERIALES CONSTRUCTIVOS

Las primeras pantallas acústicas fueron instaladas en Europa hace

aproximadamente 20 años. Desde entonces, la experiencia adquirida ha permitido

experimentar un gran número de soluciones técnicas y tratamientos estéticos,

habiéndose utilizado una gran variedad de materiales para su realización. Las

exigencias en materia de lucha contra el ruido, cada vez más apremiantes, han

impulsado a los técnicos y fabricantes a investigar sobre el comportamiento de los

materiales frente al ruido, desarrollando elementos constructivos específicos para

ser utilizados en la construcción de pantallas acústicas.

La elección del tipo de material o materiales para una pantalla está

determinada por varios factores:

- Por razones acústicas, los elementos constitutivos de una pantalla deben

presentar buenas características de aislamiento.

- Dependiendo de los casos, podrá exigirse a los materiales que tengan una

cierta capacidad de absorción.

- Por razones de seguridad y durabilidad, los elementos deben ofrecer una

resistencia a los agentes climatológicos y otros agentes externos (fuego, agentes

contaminantes, etc.).

5 Vallet; Noiset. Eficacia de las barreras acústicas.


93

- En determinadas situaciones, y por razones medioambientales los materiales

deberán presentar un color y una textura determinada, ser transparentes o

translúcidos, o presentar una apariencia determinada.

Las primeras pantallas acústicas estaban realizadas básicamente con un

único material: hormigón, metal, madera, plástico, ladrillo, etc. Con el paso del

tiempo y con la finalidad de obtener un mejor comportamiento acústico de las

pantallas, se introdujeron elementos nuevos, resultantes de la combinación de varios

materiales: paneles tipo sándwich con material absorbente, mezclas vegetalizadas

de tierra y materiales sintéticos, mezclas de hormigón y de virutas de madera, etc.

En la actualidad las firmas fabricantes desarrollan y patentan sus propios elementos

y materiales constructivos, existiendo una amplia gama de opciones en el mercado.

Los materiales más utilizados tradicionalmente en la construcción de pantallas

acústicas son el hormigón, la madera, los materiales metálicos, los compuestos

plásticos, el vidrio, y los Materiales cerámicos, y como elementos absorbentes la

lana mineral y la fibra de vidrio.

3.3.1. PANTALLAS REFLECTANTES

a) Pantallas de hormigón

El hormigón es un elemento tradicionalmente presente en las obras civiles, y

se conocen bien sus procesos de fabricación y comportamiento resistente. Desde el

punto de vista acústico, el hormigón ha sido utilizado con profusión en la realización

de pantallas reflectantes, aunque en la actualidad existen elementos de hormigón

combinado con otros materiales que presentan características de absorción

considerables.


94

La gran mayoría de las pantallas de hormigón se construyen a partir de

paneles prefabricados, de fácil ensamblaje y colocación. El espesor medio de las

pantallas suele oscilar entre los 4 y 6 cm.

Las pantallas de hormigón ofrecen enormes posibilidades de tratamiento de

sus paramentos (pinturas, relieves, granulados, fácil acoplamiento de otros

materiales, etc.), lo que permite obtener buenas soluciones desde el punto de vista

estético (Figura 3.12.

Fig.3.12. Pantalla prefabricada de hormigón

b) Pantallas de madera

Las pantallas de madera han sido utilizadas con profusión en algunos países

nórdicos y centroeuropeos dada el valor estético de este material, que tiene una

gran aceptación por parte de la población. Para asegurar una buena eficacia de la

pantalla debe asegurarse que el material resista el ataque de los agentes externos.

Se suelen utilizar dos tipos de soluciones:


95

Maderas de alta densidad. Se trata de maderas exóticas y tropicales,

que resisten bien a la intemperie y poseen una gran durabilidad sin

necesidad de tratamiento

Maderas tratadas par su uso en exteriores. En general se suelen

utilizar formando paredes dobles con una lámina de aire en su interior

para garantizar unas buenas condiciones de aislamiento

Fig.3.13. Pantalla de madera


96

c) Pantallas metálicas

En general se utilizan combinadas con elementos absorbentes. Las pantallas

metálicas reflectantes más usuales están constituidas por cajones metálicos de

paredes delgadas con una lámina de aire en su interior de varios centímetros (10- 15

cms).

Los paramentos de las pantallas tienen que sufrir un tratamiento anti-

corrosión para resistir el ataque de los agentes corrosivos a la intemperie (Figura

3.13).

Fig.3.14. Pantalla metálica


97

d) Pantallas transparentes

Las pantallas de vidrio, junto con las de materiales plásticos transparentes,

son las soluciones utilizadas cuando, por razones estéticas o de seguridad, se

quiere asegurar un amplio grado de visibilidad a través de las pantallas.

Los elementos transparentes ofrecen en general buenas características de

inserción en el entorno. Permiten liberar espacios visuales, tanto para los usuarios

de la vía de circulación como para la población ribereña.

El vidrio es un material que posee unas magníficas cualidades de durabilidad

y autolimpieza, pero presenta el inconveniente de su escasa resistencia a los

impactos. En las pantallas se recomienda utilizar vidrio colado de espesor superior a

1cm que en caso de rotura se fragmenta en pequeños trozos poco cortantes.

La utilización de paneles de vidrio para la construcción de pantallas obliga a

adoptar precauciones a la hora del montaje, debido precisamente a la fragilidad de

este material. Por otro lado, a pesar de que el uso de vidrio colado puede evitar que

se produzcan accidentes graves, la rotura de un panel una vez construida la obra,

supone un trastorno grave en el plan de mantenimiento ya que la eficacia de la

correspondiente zona de la pantalla será nula hasta que no se produzca la

reposición de la parte dañada. Además, los paneles deben ser periódicamente

limpiados para asegurar una adecuada transparencia de la pantalla. Todos estos

factores hacen que la implantación de estas pantallas tenga un coste global bastante

elevado.

Los materiales plásticos transparentes son más resistentes que el vidrio a los

impactos y bastante más baratos. Los más utilizados son los policarbonatos y los

metacrilatos. El policarbonato ofrece una muy buena resistencia a los choques, a los

cambios climatológicos, y al fuego. Es capaz de soportar deformaciones de cierta


98

magnitud sin deteriorarse, y presenta la ventaja que en caso de choque brusco no

estalla. Sus inconvenientes son su elevado coste, su susceptibilidad a ser rayado, y

la pérdida de transparencia.

El metacrilato es sensiblemente más barato que el policarbonato y ofrece

mejores condiciones de durabilidad de la transparencia. Sin embargo, es bastante

sensible a las variaciones de la temperatura, puede estallar ante un choque brusco,

y al igual que el policarbonato, se raya con relativa facilidad.

Los materiales plásticos transparentes se utilizan en la construcción de

pantallas en paneles de espesores entre 8 y 10 mm. Su gran inconveniente es su

elevado coste de mantenimiento.

Las pantallas transparentes son muy populares entre la población, sobre todo

entre los usuarios de las vías de circulación, ya que les permiten contemplar el

paisaje a través de ellas, y alivia la sensación de "túnel" que producen las pantallas

opacas.

Fig.3.15. Pantalla de metacrilato (1)


99

Fig.3.16. Pantalla de metacrilato (2)

3.3.2. PANTALLAS ABSORBENTES

Las pantallas acústicas absorbentes se construyen normalmente con

elementos resultantes de la combinación de varios materiales. En general, una parte

de los materiales tienen una misión resistente, y el resto son materiales absorbentes.

Los materiales absorbentes más utilizados son materiales fibrosos como la

fibra de vidrio y la lana mineral, y los materiales porosos como ciertos materiales

cerámicas de porosidad abierta. En otros casos la absorción se consigue por medio

de sistemas resonadores (ladrillos perforados).

En la actualidad existen multitud de elementos absorbentes complejos, gran

parte de ellos sujetos a patentes de fabricación de las empresas. Los más

extendidos son los elementos tipo "sándwich", que consisten en cajones formados

por paredes delgadas resistentes que encierran en su interior material absorbente

fibroso. Normalmente la pared del lado de la vía de circulación está perforada y se

colocan películas de materiales sintéticos para proteger el material absorbente.


100

En la práctica, las pantallas absorbentes están constituidas por elementos

bastante complejos, especialmente diseñados para ser utilizados en la construcción

de pantallas acústicas. Es por esto por lo que cada vez se reclama en todo los

países con mayor insistencia la puesta a punto de métodos y pruebas de ensayo

acústico y resistente normalizadas con el fin de que tanto los fabricantes como los

receptores de la obra puedan. garantizar que las soluciones utilizadas tienen el

comportamiento requerido en cada caso.

En la página siguiente podemos ver un esquema de dichas pantallas,

observando asimismo la perspectiva del lado de los vehículos y la del lado de los

vecinos, siendo este último acabado muy importante (Figuras 3.16 y 3.17).


101

Fig.3.17. Pantalla absorbente (Lado vecinos)

Fig.3.18. Pantalla absorbente (Lado vehículos)


102

3.3.3. LAS “SOLUCIONES TIPO”

La experiencia existente en el contexto europeo sobre la utilización de

pantallas acústicas como solución a los problemas derivados de la contaminación

sonora originada por las infraestructuras de transporte se caracteriza por una

general aprobación en cuanto a su eficacia, y por la existencia de una gran

heterogeneidad en las soluciones y tipos de materiales adoptados.

Las investigaciones y programas emprendidos en la actualidad se orientan

hacia la homogeneización de los tipos de pantallas a utilizar. Se pretende,

aprovechando la experiencia adquirida, optimizar las soluciones existentes, creando

“soluciones tipo" que permitan una racionalización de los procesos de fabricación de

los elementos constituyentes de las pantallas y una reducción en sus costes finales.

Por otra parte, la existencia de estas soluciones tipo permitirá un mayor control

sobre las características mecánicas y acústicas de las pantallas, garantizando su

eficacia.

La utilización de elementos modulares ofrece un gran número de ventajas.

Pueden utilizarse con independencia de la altura y longitud de la pantalla, y

generalmente abaratan el coste de fabricación al tratarse de elementos repetitivos

que pueden ser comercializados fácilmente.

Otra característica deseable para las soluciones tipo de pantallas, es que

sean polivalentes, es decir, capaces de adaptarse a distintas situaciones

medioambientales, ofreciendo una buena calidad de inserción en el entorno6.

6 Hall. Traffic noise barriers.


103

3.4. DIQUES DE TIERRA

3.4.1. VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LOS DIQUES DE TIERRA

Los diques de tierra pueden ser considerados como pantallas acústicas de

características especiales. Su espesor es mayor que el de las pantallas

convencionales, y varía en función de la altura. Pueden aportar la misma eficacia

acústica que los muros verticales, y presentan una serie ventajas de importancia:

- Son barreras acústicas de carácter ligeramente absorbente, y presentan la

ventaja de encaminar las posibles reflexiones hacia lo alto, debido a la

inclinación de los taludes.

- Al estar constituidas por material procedente del terreno, pueden ser

recubiertas con tierra vegetal y plantaciones

- El coste del material de construcción es relativamente pequeño, y pueden ser

lugar de destino de los excedentes del movimiento de tierras cuando se

construyen a la vez que la infraestructura de transporte.

- Su aceptación por parte de la población es muy alta

Sin embargo, la utilización de diques de tierra presenta una serie de

limitaciones que hacen que su instalación no sea muy recomendable en numerosos

casos. Entre las limitaciones y desventajas que presenta la instalación de diques de

tierra cabe señalar las siguientes:

- La ocupación de espacio. Este tipo de barreras exige la disponibilidad de una

gran superficie de terreno en los bordes de las vías de circulación.


104

Frecuentemente, y sobre todo en áreas urbanas y periurbanas, no existen

franjas de terreno libre lo suficientemente anchas como para permitir la

instalación de diques de tierra.

- El coste de la expropiación. En muchos de los casos en los que existe espacio

disponible para la construcción de diques de tierra, los costes de la

expropiación pueden aumentar el montate total de la obra hasta valores muy

superiores al coste de instalación de una pantalla acústica convencional que

produciría la misma atenuación.

- La inserción en el entorno. Desde el punto de vista estético, sobre todo en

zonas en donde existe edificación, puede lograrse una mayor inserción de la

barrera en el entorno utilizando materiales artificiales.

- El mantenimiento. En zonas poco propicias para el crecimiento de la

vegetación, los costes de riego y replantaciones pueden elevar notablemente

los costes de mantenimiento.

De todo lo expuesto se deduce que la elección entre una pantalla acústica o

de un dique de tierra depende de caso específico y es preciso tener en cuenta

factores como el coste total de la obra (expropiaciones + construcción +

mantenimiento), la ocupación del suelo y la inserción en el entorno7.

En las figuras 3.18 y 3.19 podemos ver dos ejemplos de utilización de los

diques de tierra.

7 Curso sobre reducción de ruido en el entorno de las carreteras.CEDEX.


105

Fig.3.19. Diques de tierra (1)

Fig.3.20. Diques de tierra (2)


106

3.4.2. DIMENSIONAMIENTO DE LOS DIQUES DE TIERRA

Para el calculo de la altura de los diques de tierra se utilizará el concepto de

pantalla vertical equivalente, que consiste en asimilar el dique de tierra a una

pantalla delgada situada en el plano vertical que pasa por la coronación del dique.

En el caso de que el dique tenga una plataforma en su coronación, la pantalla

equivalente se situará en el plano de la arista del dique más próxima a la vía de

circulación.

Los procedimientos para el dimensionamiento geométrico de este tipo de

barreras son por lo tanto los mismos que los ya descritos para las pantallas.

Fig.3.21. Comparación de las alturas de un dique y una pantalla

En la práctica, la altura de los diques de tierra suele ser superior a la de las

pantallas acústicas (Figura 3.20). La base de los diques requiere mucho espacio, por

lo que el plano vertical donde se sitúa la pantalla equivalente resulta relativamente

alejado de la vía de circulación. Al alejarse de la fuente de ruido, es preciso

aumentar la altura para conseguir la misma eficacia acústica. La elección de las

pendientes laterales de los diques de tierra dependerá de la estabilidad del material

utilizado y de la disponibilidad de espacio. en principio, las pendientes suaves

implican un aumento del espesor del dique y una atenuación mayor del sonido por

efecto de aumento de la superficie de absorción. sin embargo, esta atenuación es de


107

escasa importancia, y la atenuación depende fundamentalmente de la altura del

dique.

Otra ventaja de utilizar pendientes suaves es la de aumentar el ángulo de

reflexión con lo que se evita que el sonido reflejado pueda alcanzar zonas habitadas.

sin embargo, la utilización de estas pendientes supone un aumento del volumen de

la obra, y por lo tanto de su coste, además de aumentarse notablemente la

superficie ocupada.

Teniendo en cuenta estos factores, la experiencia recomienda utilizar

pendientes no superiores a 1/1. El límite inferior vendrá dado en cada caso por la

disponibilidad de espacio y el coste de expropiación. En general no se suelen utilizar

pendientes inferiores a 2/3.

3.4.3. MANTENIMIENTO DE LOS DIQUES DE TIERRA. PLANTACIONES

Los diques de tierra estarán generalmente recubiertos de vegetación, ya que

ésta es una de las ventajas fundamentales de este tipo de barreras acústicas. Estas

plantaciones obligan a disponer de mecanismos de mantenimiento que pueden

aumentar notablemente el coste global de la obra.

En general, las plantaciones deberán conservarse en buen estado, puesto

que los condicionantes estéticos son una de las bases para elegir la construcción de

un dique de tierra. Se recomienda establecer plantaciones que definan al menos dos

de los estratos de la vegetación: el estrato arbóreo y el estrato herbáceo.

Las especies plantadas se seleccionaran entre la tipología de vegetación de

la zona, y se procurará plantar especies resistentes a los agentes contaminantes de

la zona, en especial a los derivados de la presencia de la vía de circulación.


108

Al igual que en el caso de las pantallas acústicas, la presencia de un dique de

tierra puede aumentar el riesgo de accidentes tanto para los vehículos como para la

población ribereña. En el primer caso, deberá tenerse en cuenta que la presencia de

árboles próximos a la vía puede representar un aumento del riesgo de colisión al

salirse los vehículos de la vía.

En el lado de la zona habitada, se pueden producir accidentes con bastante

facilidad, ya que si las pendientes son relativamente suaves, el dique no representa

un obstáculo físico insalvable. Para prevenir caídas conviene instalar barreras de

seguridad en la coronación del dique, y si la pendiente es relativamente fuerte, en la

base del dique.

3.4.4. LAS CONSTRUCCIONES ESPECIALES

Cualquier combinación de pantallas, diques de tierra y elementos vegetales,

puede ser una barrera acústica aceptable, si se aseguran las condiciones de

dimensionamiento acústico exigidas a las pantallas acústicas convencionales. Las

soluciones son múltiples, y en general se basan en poder plantar vegetación y

conseguir así unos buenos resultados estéticos. Es preciso tener en cuenta que la

aportación de la vegetación a la eficacia acústica de la pantalla es prácticamente

despreciable.

Para mejorar el aspecto estético en la zona habitada, y en los casos en los

que no se disponga de espacio suficiente para construir un dique de tierra, pueden

utilizarse soluciones mixtas consistentes en combinar una pantalla acústica con un

terraplén de tierra en el lado de la zona habitada (Figura 3.21). También puede

disminuirse el espacio ocupado por un dique de tierra mediante la construcción en

su coronación de una pantalla acústica de pequeña altura. De este modo se

mantendrán las ventajas estéticas que ofrece el dique de tierra y se disminuirán

notablemente su volumen y el espacio ocupado.


109

Fig.3.22. Pantalla vegetal con dique de tierra

3.4.5. LAS PANTALLAS VEGETALES

En general la atenuación producida por las masas de vegetación es muy

pequeña. Se suele admitir que 10 metros de vegetación densa en todos sus estratos

(herbáceo, arbustivo y arbóreo) aportan una atenuación de 1 dB(A). Para conseguir

eficacias similares a las de los otros de barreras seria preciso establecer pantallas

vegetales de más de 100 metros de anchura.

Este tipo de soluciones raramente resultan viables tan sólo en algunas

situaciones muy concretas, en las que la atenuación exigida a la barrera sea

pequeña (inferior a 5 dB(A), algunas configuraciones de vegetación densa con

predominancia del estrato arbóreo (bosques) pueden resultar interesantes (Figuras

3.22 y 3.23).


110

Fig.3.23. Pantalla vegetal

Fig.3.24. Cobertura vegetal sobre pantalla acústica

111

CAPITULO 4

PANTALLAS ACUSTICAS TUBULARES

4.1.INTRODUCCIÓN

Como hemos visto anteriormente, el efecto de apuntalamiento producido por

las barreras acústicas, se basa en los fenómenos siguientes:

a) Al interponer un obstáculo sólido entre el foco emisor y el receptor, parte de la

energía acústica se refleja al incidir sobre el obstáculo, siguiendo leyes

similares a las de la óptica.

b) Parte de la energía acústica puede ser absorbida por el obstáculo,

disipándose en otras formas de energía.

c) Parte de la energía es transmitida al otro lado del obstáculo.

d) Parte de la energía es difractada por los bordes del obstáculo, produciéndose

un cambio de trayectoria en la propagación del sonido.

La atenuación del ruido que proporciona la barrera al receptor depende

fundamentalmente de la energía difractada y de la energía transmitida. En la práctica

las barreras acústicas son capaces de conseguir que la energía de la onda

transmitida sea muy inferior a la aportación de energía por parte de la onda

difractada.

Como consecuencia de todos estos fenómenos, las barreras acústicas

producen un efecto de atenuación del sonido en la zona del receptor. Esta

atenuación hasta ahora se ha considerado que depende de las dimensiones de la

Cap. 4: Pantallas acústicas tubulares

112

barrera de los materiales constructivos de la misma, y en menor medida de su

espesor.

Aunque antes se ha mencionado una clasificación de las barreras es

necesario recurrir a clasificarlas de nuevo según su comportamiento acústico en

relación a la absorción, y sus características constructivas para ver con nitidez la

diferencia de las pantallas citadas con las pantallas tubulares que se proponen a

continuación.

a) Clasificación teniendo en cuenta la absorción:

La absorción A de una barrera acústica se define como:

A = 10 · log Ei / Ei - Ea

donde:

Ei es la energía incidente en la pantalla

Ea es la energía absorbida por la pantalla.

A se expresa en decibelios

La clasificación más extendida es la siguiente:

- Barreras absorbentes: A > 4 dB(A)

- Barreras reflectantes: A < 4 dB(A)

b) Clasificación según sus características constructivas

- Pantalla acústica: Barreras o muros constituidos por elementos de

pared relativamente delgada, y que ofrecen gran resistencia a la

transmisión del sonido. Pueden estar construidas de distintos

materiales: hormigón, elementos metálicos, madera, vidrio, plásticos…


113

- Diques de Tierra: Obstáculos de grandes espesores en la base, que en

general están recubiertos de tierra vegetal.

- Cubriciones parciales o totales de la calzada o vía de circulación.

- Construcciones especiales: Soluciones mixtas combinando los diques

de tierra con las pantallas acústicas.

- Pantallas vegetales: Constituidas por masas de vegetación muy

densas. No son eficaces salvo que la anchura de las mismas sea muy

grandes.1

Hasta la fecha los avances en el diseño de estas pantallas han sido notables

y ya se cuentan por cientos los kilómetros de las mismas que han sido construidas e

instaladas, sobre todo en la periferia de las grandes ciudades cerca de las llamadas

vías de tráfico rápido.

Estos avances se han centrado sobre todo en el diseño de materiales de gran

poder de absorción de las ondas, como método principal de atenuación, o bien en la

forma geométrica de la superficie expuesta al tráfico, formas que por medio de

reflexiones son capaces de anular o mitigar parte de la energía transportada por las

ondas sonoras.

A la vista de estos resultados las actuales pantallas acústicas reducen el nivel

sonoro por atenuación, pero no son capaces de anular la onda incidente. Por otro

lado, los últimos estudios de la tecnología japonesa en estos temas es el análisis del

problema de borde, ya que este fenómeno de difracción es uno de los causantes

principales del nivel sonoro en el trasdós de la pantalla. Pese a que es imposible

1 CEDEX. Curso de Ruido.Fernando Segues 1997


114

anular este efecto de borde los estudios se han encauzado a intentar obtener una

forma de la sección de la pantalla en su parte superior que sea capaz de mitigar este

efecto, bien por interferencia entre las ondas incidentes o bien por superposición de

diversos fenómenos de difracciones.

En este orden de cosas entra a escena el concepto de pantalla tubular, como

una nueva pantalla perforada que anula ondas sonoras basándose en el efecto físico

de los tubos de Kundt. Su funcionamiento es debido a la propiedad de las ondas

sonoras de producir resonancias al transmitirse dentro de cavidades de diferentes

secciones tipo.

Fig.4.1. Secciones tipo de las pantallas acústicas tubulares

El fenómeno consiste en la transmisión del sonido en el aire existente dentro

de la cavidad. Este hecho no tendría especial importancia, si no fuese por la

particularidad que se produce en su interior, consistente en que por un tubo de

longitud prefijada sólo pueden transmitirse ondas sonoras cuya longitud de onda

debe cumplir una cierta condición. Es de hacer notar que Kundt definió con claridad

el concepto de tubo sonoro al definir todas las cavidades de forma regular en que su

longitud era igual o superior a diez veces su diámetro.


115

Fig.4.2. Forma y disposición de las cavidades en una pantalla tubular (1)

Si la cavidad tiene un extremo abierto, las partículas de aire tienen en él un

movimiento relativamente libre, produciéndose un punto de perturbación máxima o

antinodo.

Así, las frecuencias de las ondas sonoras que se pueden transmitir por una

cavidad alargada cuyos extremos están abiertos están espaciadas uniformemente.

Si se disponen estas cavidades situándose en dirección normal a las

superficies de onda, o sea, en dirección aproximadamente paralela a la dirección de

la fuente lineal de ruido, ocurrirá que si denominamos L a la longitud de la cavidad,

valor que coincide con la anchura de la pantalla, sólo podrán atravesar estas

cavidades ondas cuya longitud de onda valga:

2·L , L, 2·L/3;… 2·L/p siendo p = 1,2,3…

Dado que el ruido producido por el tráfico rodado tiene frecuencias molestas

para la audición entre 50 y 10.000 Hz, tomando una longitud de L = 10 cm, sólo

podrán transmitirse longitudes de onda de valor:


116

0’2 m, 0’10 m, 0’066 m, etc

siendo sus frecuencias respectivas:

1700, 3400, 5100, 6800 y 8500 Hz.

Esto nos dice que de todos los sonidos que llegasen a un extremo de la

pantalla sólo cinco de ellos se transmitirán al otro lado de la misma.

Ante estos resultados la energía transmitida a través de la pantalla tubular es

muy inferior a la que se transmite a través de una pantalla compacta, convencional,

lo que produce una disminución del nivel sonoro, mayor que el producido por las

pantallas utilizadas en la actualidad.

Fig.4.3. Detalle de funcionamiento de la pantalla acústica tubular

Además de la ventaja antes apuntada, la pantalla tubular disminuye en gran

medida la obstrucción visual producida por las pantallas convencionales.


117

Por otro lado, dado su carácter tubular, el ahorro de material para su

ejecución es muy importante, pudiéndose alcanzar disminuciones de hasta un 60 %

según la forma y disposición de las cavidades.

Fig.4.4. Forma y disposición de las cavidades en una pantalla tubular (2)

Asimismo, el empuje debido al viento soportado por la pantalla tubular, se

reduce en gran manera en comparación con el soportado por las pantallas

compactas, lo que permite unas dimensiones más esbeltas y un peso reducido.2

4.2. FASE DE DISEÑO TEÓRICO

En función de una determinada longitud de onda o frecuencia predominante,

obtendremos la longitud óptima del tubo. Tomaremos las cuatro longitudes de onda

que más se repiten en el espectro y a través de un desarrollo estadístico mediante

intervalos de confianza obtendremos el valor más probable, así como el intervalo de

valores que más asegure el suceso afirmativo en el 95% de los casos.

2 Pantallas acústicas tubulares. Rafael Magro Andrade.1998


118

Una vez generado el intervalo, calcularemos la longitud apropiada para

minimizar la energía en ese intervalo y la compararemos a la longitud de las curvas

antes analizadas, calculando cuales de ellas y que intervalos son susceptibles de ser

utilizados.

4.3. CÁLCULO DE LA LONGITUD ÓPTIMA DEL TUBO

Para una frecuencia dada, siempre existirá un valor de la longitud que sólo

permita transmitir frecuencias suficientemente alejadas de la frecuencia original, lo

que garantiza con el nivel de confianza mencionado en capítulos anteriores, que esa

frecuencia no va a atravesar la pantalla.

Sea una curva de ecuación y = f(x) en un sistema de referencia x,y. Vamos a

calcular la longitud de la curva en coordenadas cartesianas:

ds = dx i + dy j


119

Fig.4.5. Longitud de una curva en ecuaciones cartesianas

Aplicando la teoría de cálculo diferencial, la longitud de la curva viene dada

por la expresión:

si el espesor de la pared es e, quedaría:

Veamos la relación de este espesor con la frecuencia de la onda que incide

sobre la pared.

Si llamamos a la frecuencia y a la longitud de onda tenemos que

v = = 340 m/s

= 340/ (2)

y = f(x)

x

y

e

dxxfxlx

0

' )(1)(

)1()(1)(0

' dxxfele


120

Dado que el tubo que atraviesa el muro tiene ambos extremos abiertos

podemos decir que solo se transmitirá por él aquellas ondas que cumplan la

condición:

l(e) = p /2 o sea = 2 l(e) / p (3)

siendo p un número entero.

La condición de que p sea entero viene dada por la condición de los tubos de

Kundt que al tener dos extremos abiertos presentan máximos de onda en los

mismos. Esto hace que según se aprecia en la figura siguiente en toda la longitud

del tubo se debe desarrollar una onda formada únicamente por vientres completos lo

que hace que p se un número entero.

Operando con la ecuación (2) tenemos: 340/ = 2 l(e)/ p

l(e) = 170p / (4)

Fig.4.6. Desarrollo de una onda en el interior de un tubo

/2 /4

l(e)


121

Por motivos de diseño vamos a limitar la longitud l (e) a doble del espesor por

lo que se debe cumplir que

e l(e) 2e ,

Como queda definido en el desarrollo teórico de los tubos de Kundt, el

diámetro de los mismos no tiene influencia alguna en la transmisión de la onda, ya

que al ser esta una onda de presión se transmite con igual frecuencia

independientemente de su amplitud que en caso de ser afectada por el diámetro

sería de forma escasa.

En cualquier caso aunque no hay una relación exacta entre el diámetro y la

longitud para considerar un orificio como tubo, Kundt dio una regla aproximada de

manera que consideraba tubo a todo orificio en que la longitud en igual o superior a

diez veces el diámetro.

La forma de la onda o sea el valor de p no depende en ningún caso de e,

pudiéndose transmitir por un tubo de longitud l, cualquier onda que cumpla la

condición (2) sin restricción alguna del valor de p.

Vamos a ver que frecuencias cumplen dicha condición según los valores de

p.

Ya que las frecuencias audibles oscilan entre 50 y 20.000 Hz, pero las que

producen mayor energía acústica se encuentran entre los 50 y los 5000 Hz,

tendremos unos valores para l(e) dado un espesor estándar de e= 10cm y para ellos

obtendremos las frecuencias que atraviesan el tubo. Estas frecuencias son:


122

e = 0.1

0.1 = 170 p / = 1700 p

p = 1 1700

p = 2 3400

p = 3 5100

Tabla. 4.1.- Valores de l(e) para un espesor estándar de 0’1 m.

e = 0.2

0.2 = 1700 p / = 850 p

p = 1 850

p = 2 1700

p = 3 2550

p = 4 3400

p = 5 4250

p = 6 5100



123

Si tomamos un valor intermedio e = 0.15

E = 0.15

0.15 = 1700 p / = 1133 p

p = 1 1133

p = 2 2667

p = 3 3400

p = 4 4532

p = 5 5665


A la vista de estos datos vamos a realizar un estudio tomando como valores

desde p=1 hasta p=6, ya que fuera de este rango las frecuencias obtenidas quedan

fuera de los intervalos molestos.

En otro orden de cosas, cuando se realiza un análisis de frecuencias, el

resultado obtenido es una banda de frecuencias predominante, sin embargo puede

existir otro intervalo de frecuencia de nuevo rango y distanciado del grupo principal,

lo que podría asemejarse a un diagrama del tipo siguiente:


124

a b c

Fig.4.7. Diagrama de frecuencias. Rango de frecuencias predominantes

Esta distribución nos obligaría a plantear tres estudios diferentes, lo que nos

daría tres longitudes posibles de curvas, aunque puede ocurrir que una misma

longitud anulase dos o más rangos de frecuencias. Por ello vamos a realizar el

análisis tomando una longitud dada como base y observando que rangos son

anulados por esa longitud de curva.

Partiendo de un espesor teórico de pantalla de 0,10 m, si tomamos 0.1 l

0.20, tendríamos que se escucharía las frecuencias que cumplan la condición:

= 170p / l

Vamos a estudiar que frecuencias pasarían a lo largo del tubo, tomando los

valores posibles de l con intervalo de 1 cm y ver que valores de p, ofrecen

frecuencias dentro del espectro audible y sobre todo dentro del intervalo 500-5000

Hz, que es el más conflictivo.

Para ello variamos el espesor del muro entre 0,11 y 0,2 metros y vemos como

se comporta respecto de las frecuencias transmitidas a través de él.

Obtenemos así los valores siguientes:


125

CALCULO DE FRECUENCIAS QUE ATRAVIESAN UN TUBO DE ESPESOR PREDETERMINADO

1 2 3 4 5 6

0,11 1545,45 3090,91 4636,36 6181,82 7727,27 9272,73 0,12 1416,67 2833,33 4250,00 5666,67 7083,33 8500,00 0,13 1307,69 2615,38 3923,08 5230,77 6538,46 7846,15 0,14 1214,29 2428,57 3642,86 4857,14 6071,43 7285,71 0,15 1133,33 2266,67 3400,00 4533,33 5666,67 6800,00 0,16 1062,50 2125,00 3187,50 4250,00 5312,50 6375,00 0,17 1000,00 2000,00 3000,00 4000,00 5000,00 6000,00 0,18 944,44 1888,89 2833,33 3777,78 4722,22 5666,67 0,19 894,74 1789,47 2684,21 3578,95 4473,68 5368,42 0,2 850 1700 2550 3400 4250 5100

Tabla. 4.4.- Cálculo de frecuencias que atraviesan un tubo de espesor

predeterminado. Valores de 0’11 a 0’20 m.

En estos datos vemos que para una longitud de 11cm el intervalo de

frecuencias es 1545 – 9272, con un rango aproximado de 7727 Hz, mientras que

para longitudes de 20 cm el intervalo es 850 – 5100, con un rango de 4250 Hz,

prácticamente la mitad del anterior.

Sin embargo, dentro del primer rango, solo hay tres frecuencias del intervalo

prefijado, numero que aumenta a cinco en el segundo intervalo.

Esto nos dice que según aumentamos el espesor del muro, este se comporta

peor desde el punto de vista de las frecuencias transmitidas por lo que se ha

decidido adoptar 0,11 m. Como espesor óptimo de muro.

Sin embargo vamos a realizar un segundo análisis con espesores superiores

a 20 cm, hasta 30 cm. para ver el comportamiento del muro y poder ratificar el

espesor anterior.


126

CALCULO DE FRECUENCIAS QUE ATRAVIESAN UN TUBO DE ESPESOR PREDETERMINADO

1 2 3 4 5 6

0,21 809,52 1619,05 2428,57 3238,10 4047,62 4857,14

0,22 772,73 1545,45 2318,18 3090,91 3863,64 4636,36 0,23 739,13 1478,26 2217,39 2956,52 3695,65 4434,78

0,24 708,33 1416,67 2125,00 2833,33 3541,67 4250,00 0,25 680,00 1360,00 2040,00 2720,00 3400,00 4080,00 0,26 653,85 1307,69 1961,54 2615,38 3269,23 3923,08 0,27 629,63 1259,26 1888,89 2518,52 3148,15 3777,78 0,28 607,14 1214,29 1821,43 2428,57 3035,71 3642,86 0,29 586,21 1172,41 1758,62 2344,83 2931,03 3517,24 0,3 809,52 1619,05 2428,57 3238,10 4047,62 4857,14

Tabla. 4.5.- Cálculo de frecuencias que atraviesan un tubo de espesor

predeterminado. Valores de 0’21 a 0’30 m.

De estos resultados vemos que la tónica general planteada anteriormente se

mantiene inalterable, llegando a intervalos de 586-3517 con un rango de 2931 Hz, lo

que hace que las frecuencias peligrosas se concentren demasiado por lo que la

probabilidad de efectividad se reduce en gran medida.

Una vez realizado el estudio para todas las longitudes de curva comprendidas

entre 0.1 y 0.30 m, se concluye que la longitud óptima es 0.11 cm, longitud que será

utilizada de ahora en adelante para el resto de los cálculos, sin menoscabo de

utilizar otras para comprobación de los resultados obtenidos.

Un cálculo similar se podría hacer no sólo con tubos abiertos – abiertos, sino

con tubos abiertos – cerrados y cerrados – cerrados como se ve en la figura 4.8.


127

Fig.4.8. Tipología de tubos según los extremos

Abierto- abierto Cerrado-abierto Cerrado-cerrado

128

CAPÍTULO 5

FASE DE APLICACION

5.1. INTRODUCCIÓN

Este capítulo está dividido en tres partes muy diferenciadas y presenta el

desarrollo práctico de la teoría expuesta en capítulos anteriores. En primer lugar

analizaremos las características geométricas de una serie de curvas tipo: ecuación,

forma y propiedades morfológicas, que han de tener especial importancia en la

elección del tipo de curva a utilizar en cada pantalla.

En segundo lugar se calcularán las longitudes que presenta cada tipo de

curva para un rango de espesores de pantalla comprendidos entre 0,1 y 0,2 metros;

aunque ya se vio anteriormente que el espesor óptimo de pantalla parecía ser 0,11

metros se ha considerado necesario realizar el estudio completo para ampliar así la

metodología a otros rangos de frecuencias diferentes al tratado en los capítulos

anteriores.

Con este análisis tenemos en nuestro poder una base de datos (curvas-

longitudes) que permite adoptar una curva en función de su longitud de manera muy

sencilla.

Por último utilizando la base de datos anterior y aplicando la teoría

desarrollada en el capítulo 4, podemos calcular las frecuencias que pasan a través

de las diferentes pantallas tubulares diseñadas con cada curva y cada espesor lo

que nos permitirá obtener los resultados finales que pueden ser aplicados a

cualquier caso real.

Cap. 5: Fase de aplicación

129

5.2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA LÍNEA

Para poder determinar la longitud de una línea dentro de un espesor de

pantalla es necesario conocer sus características geométricas y sus ecuaciones,

tanto cartesianas como paramétricas. Para ello, se han elegido 63 curvas tipo y en

función de sus características, elegiremos un número inferior con el que se realizará

el resto del estudio.

En el ANEJO I: “Descripción geométrica de curvas” se incluye la información

relativa a las 63 curvas estudiadas.

La denominación de dichas curvas se encuentra en la página siguiente:


130

1. Astroide 2. Bicornea 3. Cardioide 4. Cartesiana Oval 5. Casiniana Oval 6. Catenaria 7. Sextica de Cayley 8. Círculo 9. Cisoide 10. Cochleoide 11. Conchoide 12. Conchoide de Sluze 13. Cicloide 14. Curva del Diablo 15. Docle Hoja 16. Curvas de Concha de Dúrer 17. Curva del Ocho 18. Elipse 19. Epicicloida 20. Epitrochoida 21. Espiral Equiangular 22. Espiral de Fermat 23. Folium 24. Folium de Descartes 25. Nefroide de Freeth 26. Curva Frecuencia 27. Hipérbola 28. Espiral Hiperbólica 29. Hipocicloide 30. Hipotrochoide 31. Involuta de un Círculo 32. Kampyle de Eudoxus

33. Curva Kappa 34. Curvas Lame 35. Lemniscata de Bernoulli 36. Caracol de Pascal 37. Curvas Lissajous 38. Lituus 39. Parábola Semi-cúbica de Neile 40. Nefroide 41. Parábolas Divergentes de Newton 42. Parábola 43. Perlas de Sluze 44. Curvas de Plateau 45. Curva de Persecución 46. Cuadrática de Hippias 47. Cuartica en forma de Pera 48. Curvas de Rodonea 49. Estrofoide Derecha 50. Serpentina 51. Espiral Sinusoidal 52. Espiral de Arquímedes 53. Secciones Espíricas 54. Línea Recta 55. Curva de Talbot 56. Tractrix 57. Tricúspide 58. Tridente de Newton 59. Trifolium 60. Trisectriz de McLaurin 61. Cúbica de Tschirnhaus 62. Curva de Watt 63. Bruja de Agnesi


131

5.3. CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE UNA LÍNEA

De las 63 curvas tipo, se han escogido las 22 curvas siguientes, atendiendo a

los siguientes criterios:

- Forma de la curva: se han evitado curvas que en espesores superiores a 20

cm (eje x), tuvieran longitudes superiores al doble de la abscisa.

- Curvas más representativas: se han escogido las curvas más usuales, por su

simplicidad y facilidad a la hora de la ejecución material, sin menoscabo de la

introducción de otra serie de curvas menos conocidas, pero también de

construcción sencilla.

Este estudio, se podría haber ampliado a las 63 curvas, pero dado lo sistemático

del método, no se ha estimado oportuno.

A continuación calcularemos analítica y gráficamente las longitudes que

presentan las 22 curvas elegidas, según el rango de espesores (0,10 – 0,20 m)

adoptado para las pantallas. Las longitudes se han obtenido mediante el programa

MAPLE, así como los gráficos respectivos.

Para los gráficos se han adoptado dos escalas diferentes para permitir una mejor

visualización de las curvas. La primera escala tiene un rango entre o y 0’1 metros, la

segunda va de 0 a 0’2 metros. Esta segunda escala se ha adoptado para permitir

una mejor visualización de la curva.

Los resultados aparecen en la tabla 5.1 y los cálculos y gráficos se han ubicado

en el ANEJO II: “Cálculo de la longitud de una línea”.


132

Tab

la 5

.1.C

álcu

lo d

e la

s lo

ngitu

des

de

las

curv

as


133

5.4. CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS NO ELIMINADAS

Basándonos en la teoría expuesta en el capítulo 4, calcularemos las

frecuencias no eliminadas por la pantalla. Para ello y aunque se diseñó un espesor

óptimo de 0,11 m, se ha estimado oportuno hacer el análisis para todo el rango de

espesores comprendidos entre 0,1 y 0,2 m, para dar así una visión global de la

metodología empleada.

Se ha elegido para cada una de las 22 curvas anteriores espesores de

pantalla de 0,10, 0,11… hasta 0,20 m.

Para estos espesores se han obtenido las longitudes de cada una de las 22

curvas y en cada caso se han calculado las frecuencias no eliminadas. Estas

frecuencias se han representado en las tablas siguientes, y se han realizado gráficos

de barras que permiten una rápida visualización de aquellas frecuencias que se

encuentran dentro de los rangos que se puedan considerar como más molestos en

lo que se refiere a nivel acústico.

En las hojas siguientes se exponen las tablas con todas estas frecuencias y

un único gráfico (el correspondiente a la longitud para 0’1m de espesor de pantalla);

el resto de ellos se encuentran en el ANEJO III: “Cálculo de frecuencias no

eliminadas”.

Para todos los cálculos, se ha creado una rutina con el programa Microsoft

Excel.


134


135


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137


138


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140


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156

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES

Esta tesis ha planteado una metodología para el cálculo de pantallas

acústicas. La problemática que plantea el diseño de estas pantallas no es la

reducción del nivel sonoro, aspecto ya estudiado en extremo en trabajos anteriores

(como se expuso anteriormente en otros capítulos de esta tesis), sino la peligrosidad

que se genera en su ubicación debido al empuje del viento, lo que conlleva la

utilización de pantallas de una altura máxima.

Las pantallas tubulares eliminan este peligro ya que el empuje del viento se

reduce en gran manera debido a que la sección ofrecida al viento es mucho menor,

lo que permite obtener alturas mayores de diseño y por lo tanto aumentar su

efectividad.

Sin embargo, las pantallas acústicas tubulares de conducto recto tenían el

problema de la rigidez de diseño a la hora de dotar a la misma de un espesor idóneo

para cada rango de frecuencias analizado, teniendo que recurrir en todo caso a

inclinar el orificio según la dirección de onda reduciendo así su efectividad.

Con la metodología aquí expuesta se propone crear una base de datos

eminentemente geométrica que permita acoplar este tipo de pantallas a cualquier

rango de frecuencias analizado, esto es, dar solución a cualquier sonido sin

limitaciones en el tipo de fuente que lo emita.

En la actualidad los estudios de ruido debido al tráfico rodado se realizan

mediante sonómetros de medición continua y discriminador de frecuencias, o sea no

solo permiten calcular la Laeq de 8 horas y la Laeq media diaria sino que permiten

calcular en un cierto intervalo de tiempo las frecuencias que han aparecido más

Cap. 6: Conclusiones

157

veces durante el tiempo del estudio, incluso permiten conocer que frecuencia ha

aparecido durante un intervalo superior a uno prefijado y sobre todo aquellas

frecuencias que más han contribuido al nivel de LAeq medido.

En los estudios reales estas frecuencias suelen ser dos o tres como máximo y

raras veces superan el número de cinco. Esa aquí donde la metodología antes

expuesta adquiere mayor potencia y eficacia ya que permite diseñar el espesor de la

pantalla para anular esas frecuencias predominantes.

Este diseño además permite elegir varios espesores de proyecto, ya que el

hecho de adoptar para la forma longitudinal del tubo de la pantalla tubular una u otra

curva hace que el espesor varíe aunque las frecuencias anuladas sean las mismas.

Por ejemplo, si en el estudio acústico las frecuencias predominantes fueran

850 y 4500 Hz, podríamos adoptar diferentes curvas, veamos algunas de ellas:

Si decidiéramos utilizar una elipse, tendríamos:

ELIPSE

LONGITUD ESPESOR DE PANTALLA (m)

0,208 0,19

0,167 0,16

0,133 0,13

0,101 0,10

Tabla. 6.1.- Longitud y espesor de pantalla para un rango de frecuencias dado.

Curva tipo: Elipse


158

Sin embargo si optamos por motivos constructivos utilizar una hipérbola, los

resultados serian los siguientes:

HIPERBOLA

LONGITUD ESPESOR DE PANTALLA (m)

0,25 0,20

0,216 0,17

0,17 0,13

0,159 0,12

0,136 0,10

Tabla. 6.2.- Longitud y espesor de pantalla para un rango de frecuencias dado.

Curva tipo: Hipérbola

Como puede apreciase, el método permite elegir cualquier espesor de

pantalla entre 0,10 y 0,20 con solo adoptar la curva determinada y aún más

podríamos ser capaces de elegir una longitud predeterminada y diseñar una curva

por ordenador que se adapte a esa longitud y por la tanto sería apta para anular las

frecuencias predominantes.

Tal como se vio en el capitulo 4 de esta tesis el espesor idóneo genérico para

un rango de frecuencias prefijadas entre 500 y 5000Hz era de 0,11 m. Si en ese

rango aparecieran como frecuencias predominantes las 850 y 4500 Hz, solo

tendríamos que referirnos a cada una de las tablas del apartado 5.4. y ver cual es la

curva optima (para un espesor de 0’11 m) para anular las dos frecuencias

predominantes.


159

A la vista de esas tablas, las frecuencias que no son eliminadas y son más

próximas a 850 y 4500 Hz para todas las curvas en estudio son:

CURVA FRECUENCIA NO ANULADA

Astroide 845

Bruja de Agnesi 643

Cardiode 4322

Catenaria 5112

Cicloide 4197

Circunferencia 4396

Cisoide de Diocles 3893

Cocleoide 4396

Cuadrifolio 580

Cuartica periforme 4358

Curva de distribución normal 4594

Curva de persecución 915

Curva Kappa 4396

Elipse 4594

Espiral Hipérbolica 4180

Estrofoide recta 4927

Hipérbola 4625

Kampilea de Eudoxo 843

Lemniscata de Geromo 4755

Parábola 4513

Parábola semicúbica de Neile 965

Trisectriz de McLaurin 4146

Tabla 6.3.- Frecuencias no anuladas.


160

En esta tabla puede apreciarse que las curvas idóneas para anular las

anteriores frecuencias predominantes son catenaria y la cisoide de Diócles (por ser

las más alejadas de 850 y 4500 Hz), aunque comprobando su longitud es mejor

utilizar una catenaria ya que además su desarrollo es mucho más simple que la otra.

Esta metodología nos permite una rápida evaluación de la curva óptima para

un cierto rango de frecuencias al margen de las frecuencias predominantes en el

ámbito del estudio; por ejemplo para el rango 500 – 5000 Hz, repetiríamos el cálculo

anterior y obtendríamos una tabla similar a la que se presenta a continuación en la

que se han marcado con una X, aquellas frecuencias que se aproximan a múltiplos

de 500 y que son anuladas por una pantalla de espesor el óptimo de 0,11 m.

Se ha tomado como frecuencia no anulada aquella que se aproxima en ± 200

Hz a la de referencia.

Los resultados se muestran en la tabla 6.4.


161

CURVAS OPTIMAS PARA FRECUENCIAS ENTRE 500 Y 5000 HZ

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Astroide X X X X X X

Bruja de Agnesi X X X X X X

Cardiode X X X X X X X

Catenaria X X X X X X X X

Cicloide X X X X X

Circunferencia X X X X X X X X

Cisoide de Diocles X X X X X X X

Cocleoide X X X X X X X

Cuadrifolio X X X X X

Cuartica periforme X X X X X

Curva de distribución normal X X X X X X X

Curva de Persecución X X X X X X X

Curva Kappa X X X X X X

Elipse X X X X X X

Espiral Hiperbólica X X X X X X X

Estrofoide recta X X X X X X X

Hipérbola X X X X X

Kampilea de Eudoxo X X X X X

Lemniscata de Geromo X X X X X X X X

Parábola X X X X X X X

Parábola Semicúbica de Neile X X X X X

Trisectriz de McLaurin X X X X

Tabla 6.4.- Curvas óptimas para frecuencias entre 500 y 5000 Hz.

Estos resultados nos permite concluir que para este rango de frecuencias y

con un salto de 500 Hz, o sea para este conjunto de frecuencias fundamentales la

curva óptima es la CIRCUNFERENCIA ya que podría ser utilizada en ocho de las

diez frecuencias planteadas, excepto en la de 1500 y 2000 Hz .


162

Sin embargo para frecuencias menores de 2500 Hz. Podríamos haber

utilizado una catenaria o una estrofoide.

Dada la sencillez que presenta la primera de ellas no cabe duda que sería la

curva elegida.

Por el contrario para frecuencias superiores a 1500 Hz, la curva idónea es la

curva de persecución, pero dado que no es una curva de ecuación sencilla

merecería la pena utilizar una circunferencia dada su extrema sencillez.

En resumen, un análisis similar a este se podría realizar con un rango de

frecuencias más amplio y con un salto inferior, por ejemplo con frecuencias

comprendidas entre 50 y 5000 Hz que son las que más afectan al oído humano, y un

salto de 50 Hz. tendríamos un total de 100 frecuencias, lo que nos daría un espectro

de resultados más que suficiente para elaborar cualquier análisis acústico.

163

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APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA LA DETERMINACIÓN DEL CAMPO ACÚSTICO EN LA ZONA DE SOMBRA DE UNA BARRERA Sanchis Sabater, A.; Giménez Pérez, A.; Marín Sanchis, A.; Solana Quirós, P.E. Laboratorio De Acústica Industrial Escuela Técnica Superior De Ingenieros Industriales Universidad Politécnica De Valencia Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 96 Barcelona. Octubre, 1996 APLICACIÓN DE LAS BARRERAS ACÚSTICAS PROVISTAS DE UNA CUMBRERA CILÍNDRICA EN EL APANTALLAMIENTO DEL TRÁFICO RODADO Pfretzschner, J.; Simón, F. Instituto De Acústica (Csic), Madrid Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 96 Barcelona. Octubre, 1996 PANTALLAS ACÚSTICAS ABSORBENTES REALIZADAS CON GRANZA DE GOMA Pfretzschner, J.; Simón, F.; Moreno,A.; De La Colina, C.; Rodríguez, R Instituto De Acústica (Csic), Madrid Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 96 Barcelona. Octubre, 1996 ESTUDIOS DEL AISLAMIENTO PRODUCIDOS POR PANTALLAS DE DIFERENTES CARACTERÍSTICAS Marín Sanchís, A.; Sanchís Sabater, A., Gimenez Pérez, A. Laboratorio De Acústica Industrial Escuela Técnica Superior De Ingenieros Industriales Universidad Politécnica De Valencia Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 95 La Coruña. Noviembre, 1995 ESTUDIO ACÚSTICO DE BARRERAS Barti Domingo, R.; Servera Planisi, J. Dpto. De Acústica Ingeniería La Salle Universidad Ramon Llull, Barcelona Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 95 La Coruña. Noviembre, 1995 NUEVA NORMATIVA EUROPEA PARA BARRERAS ANTI-RUIDO EN CARRETERAS. CARACTERÍSTICAS ACÚSTICAS Alegre Marrades, D.; Dpto. De Sistemas De Protección Ambiental . Tecpresa Pérez López, A.; Aislamientos Ryme S.A. Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 93 Valladolid. Noviembre, 1993

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NUEVA NORMATIVA EUROPEA PARA BARRERAS ANTIRRUIDO EN CARRETERAS. CARACTERÍSTICAS NO ACÚSTICAS Alegre Marrades, D.; Dpto. De Sistemas De Protección Ambiental. Tecpresa Pérez López, A.; Aislamientos Ryme S.A. Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 93 Valladolid. Noviembre, 1993 VIABILIDAD DE UN ÍNDICE DE CALIFICACIÓN DEL GRADO DE APANTALLAMIENTO INTRODUCIDO POR LAS BARRERAS ANTI-RUIDO Pfretzschner, J.; Simón, F. Insttituto De Acústica (Csic). Madrid Jornadas Nacionales De Acústica, Tecniacústica 92 Pamplona. Noviembre, 1992 NOISE IMPACT OF HIGHWAYS: CORRECTIVE DEVICES Clairbois, J.P. Acoustical Technologies. Brussels Jornadas Técnicas De Ruido Ambiental En El Medio Urbano Barcelona. Abril, 1990 JORNADAS INFORMATIVAS SOBRE PANTALLAS ANTI-RUIDO Política Europea en Materia de Sistemas Reductores de Sonido. Legislación Nacional: José Manuel Sanz Sa Ministerio de Medio Ambiente. Las Corporaciones Locales ante la Problemática del Ruido Javier Calma Calma, Ayuntamiento de Zaragoza. Cálculo y dimensionamiento de Pantallas, José Salvador Santiago Páez. Instituto de Acústica del Centro de Física Aplicada. Modelos Matemáticos, Fernando Segués Echazarreta. CEDEX Normativa de Producto, Dámaso M. Alegre Marrades..

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

CARACTERIZACIÓN MORFOLÓGICA Y GEOMÉTRICA DE CURVAS TIPO PARA DISEÑO DE PANTALLAS ACÚSTICAS TUBULARES Y SU APLICACIÓN AL CAMPO DE LA PROTECCIÓN AMBIENTAL EN LA

INGENIERÍA CIVIL

TOMO II: ANEJOS

TESIS DOCTORAL

JOSE Mª DEL CAMPO YAGÜE

Madrid, Diciembre de 2.001

ANEJO I

DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE

CURVAS

1. ASTROIDE Ecuaciones: Cartesiana: x 2/3+y 2/3= a 2/3

Paramétrica: x = a cos3(t), y = a sin3 (t) Gráfica:

Características: La astroide fue estudiada primero por Johann Bernoulli en 1691-92. También aparece en la correspondencia de Leibniz en 1715. A veces es llamada la tetracúspide por la razón obvia de sus cuatro picos. La astroide adquirió su presente nombre en 1836 en un libro publicado en Viena. Ha sido conocida por varios nombres en la literatura, incluso después de 1836, incluyéndose entre estos cubocicloide y paraciclo. La longitud de la astroide es 6a y su área 3a2/8. El gradiente de la tangente T desde el punto con el parámetro p es -tan(p). La ecuación de esta tangente T es: x sin(p) + y cos(p) = a sin(2p)/2 Si se deja que T corte el eje x y el eje y en X e Y respectivamente, entonces la longitud XY es una constante y es igual a a. Puede ser formada girando un circulo de radio a/4 en el interior de un circulo de radio a.

También pude ser formada como la envolvente producida cuando un segmento es movido con cada extremo en uno de los dos ejes perpendiculares. Esto es por lo tanto una glisseta.

2. BICORNEA Ecuaciones: y2 (a2 - x2) = (x2 + 2ay - a) 2 Gráfica:

Características: La bicornea (También llamada el cocked-hat) es el nombre de una colección de curvas cuárticas estudiadas por Sylvester en 1864. Las mismas curvas fueron estudiadas por Cayley en 1867. La bicornea particular dada por Sylvester y Cayley es una cuártica diferente de la dada aquí, pero esta, con una fórmula simple, tiene esencialmente la misma forma.

3. CARDIOIDE Ecuaciones: Cartesiana : (x2+y2-2ax) 2 = 4a2 (x2+y2)

Polares: r = 2a(1+cos()) Gráfica:

Características: La cardioide (un nombre usado por de Castillon en un papel en la Transacción Filosófica de la Real Sociedad en 1741) es una curva que es el locus de un punto en la circunferencia de un circulo girando alrededor de la circunferencia de un circulo de igual radio. Desde luego, el nombre significa “forma de corazón”. Su longitud fue encontrada por La Hire en 1708, y él, por lo tanto tiene algo por lo que reclamar que fue su descubridor. En la curva de arriba la longitud es 16a. Es un caso especial de la Limacon de Pascal (Etienne Pascal) y así en un sentido, su estudio nos remite bastante antes de Castillon o La Hire. Hay exactamente tres tangentes paralelas a la cardioide con un gradiente dado. También las tangentes al final de cualquier cuerda que van hasta el final de la cúspide están en los ángulos correctos. La longitud de cualquier cuerda a través de la cúspide es 4a y el área de la cardioide es 6a2. Podemos fácilmente dar las ecuaciones paramétricas para la cardioide:

x = a(2cos(t) - cos(2t)), y = a(2sin(t) - sin(2t)) La curva pedal de la cardioide, donde la cúspide es el punto pedal, es la Sextica de Cayley. Si la cúspide de la cardioide es tomado como centro de inversión, la cardioide se invierte a una parábola.

4. CARTESIANA OVAL Ecuaciones: Cartesianas: ((1-m2)(x2+y2)+2m2cx+a2-m2c2) 2 =4a2 (x2+y2) Gráfica:

Características: Esta curva consiste en dos óvalos por lo que podría ser llamada óvalos cartesianos. Es el locus de un punto P cuya distancias s y t de dos puntos fijados S y T satisfacen:

s + mt = a

Cuando c es la distancia entre S y T entonces la curva puede ser expresada en la forma dada arriba. Las curvas fueron estudiadas primero por Descartes en 1637 y son llamadas a veces los Ovalos de Descartes. La curva fue también estudiada por Newton en su clasificación de curvas cúbicas. El Ovalo Cartesiano tiene la ecuación bipolar r + mr' =a. Si m = 1 entonces el Ovalo Cartesiano es un cónico central mientras que si m = a/c entonces la curva es un Limacon de Pascal (Étienne Pascal). En este caso el óvalo de dentro toca el de fuera.

5. CASINIANA OVAL Ecuaciones: Cartesianas: (x2+y2) 2 - 2a2 (x2-y2) – a4 + c4 = 0 Gráfica:

Características: Los Ovalos Casinianos son el locus de un punto P que se mueve de forma que el producto de su distancia de dos puntos fijados S y T es una constante c2. La forma de la curva depende de c/a. si c > a entonces la curva consiste en dos lazos. Si c < a entonces la curva consiste en un solo lazo. El caso donde c = a produce una lemniscata de Bernoulli (una figura con ocho tipos de curva introducida por Jacob Bernoulli). La curva fue primero investigada por Cassini en 1680 cuando el estaba estudiando los movimientos relativos de la tierra y el sol. Cassini creía que el Sol viajaba alrededor de la Tierra en uno de estos óvalos, con la tierra en un foco del ovalo. Cassini presento sus curvas 14 años antes que Jacob Bernoulli describiera su lemniscata. Los Ovalos Casinianos son curvas analigmáticas. Son definidos por la ecuación bipolar rr' = k2. Incluso curvas más increíbles son producidas por el locus de un punto el producto de cuyas distancias de 3 o más puntos fijados es una constante.

6. CATENARIA Ecuaciones: Cartesianas: y = a cosh(x/a) Gráfica:

Características: La catenaria es la forma de una cadena flexible perfecta suspendida en sus extremos e influida por la gravedad. Su ecuación fue obtenida por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691. Ellos estaban respondiendo a un reto puesto por Jacob Bernoulli para encontrar la ecuación de la “curva -cadena”. Huygens fue el primero en usar el termino “catenaria" en una carta a Leibniz en 1690 y David Gregory escribió un tratado de la catenaria en 1690. Jungius (1669) desmintió la afirmación de Galileo que la curva de una cadena que colgara por efecto de la gravedad podría ser una parábola. La catenaria es el locus del foco de una parábola girando alrededor de una línea recta. La catenaria es la evolución de la tractrix. Es el locus del punto medio de un segmento vertical entre las curvas e y e. Euler enseño en 1744 que una catenaria girada sobre su asintota genera la mínima superficie de revolución.

7. SEXTICA DE CAYLEY Ecuaciones: Cartesiana: 4(x2+y2-ax)3 = 27a2(x2+y2) 2

Polar: r = 4a cos3(/3) Gráfica:

Características: Fue descubierta por Maclaurin pero estudiada por Cayley. El nombre de sextica de Cayley se debe a R. C. Archibald quien intentó clasificar las curvas en un articulo publicado en 1900. La evolución de la Sextica de Cayley es una nefroide.

8. CIRCULO Ecuaciones: Cartesiana: x2 + y2 = a2

Paramétrica: x = a cos(t), y = a sin(t)

Polar: r = a Gráfica:

Características: El estudio del círculo nos lleva mas allá de la historia registrada. La invención de la rueda es un descubrimiento fundamental de las propiedades del circulo. Los griegos consideraban a los egipcios como los inventores de la geometría. El escribano ahmes, autor del papiro Rhind, da la regla para determinar el área de un circulo el cual se corresponde a = 256/81 o aproximadamente 3’16. Los primeros teoremas sobre círculos son atribuidos a Thales sobre 650 AC. El Libro III de Euclides, Elementos, trata de propiedades de círculos y problemas de inscribir y circunscribir polígonos. Uno de los problemas de los matemáticos Griegos era encontrar un cuadrado con el mismo área que un círculo dado. Varias de las curvas famosas vistas en este parte fueron primero estudiadas en un intento de resolver este problema. Anaxagoras en 450 AC es el primer matemático del que se tienen documentos que estudió este problema. El problema de encontrar el área de un círculo nos lleva a la integración. Para el círculo con la fórmula dada arriba el área es a2 y la longitud de la curva es 2ª.

La pedal de un círculo es una cardioide si el punto pedal es tomado de la circunferencia, y es una limacon si el punto pedal no está en circunferencia. La cáustica de un círculo con un punto radiante en la circunferencia es una cardioide, mientras que si los rayos son paralelos entonces la cáustica es una nefroide. Apollonio, sobre 240 AC, demostró efectivamente que la ecuación bipolar r = kr' representa un sistema de círculos coaxiales según varia k. En términos de ecuaciones bipolares mr2+ nr'2= c2 representa un círculo cuyo centro divide el segmento entre los dos puntos fijados del sistema en el radio de n a m.

9. CISOIDE Ecuaciones: Cartesiana: y2 = x3/(2a-x)

Polar: r = 2a tan()sin() Gráfica:

Características: Esta curva (significa forma de hiedra) fue inventada por Diocles sobre 180 AC en conexión con su intento de duplicar el cubo por métodos geométricos. El nombre apareció en el trabajo de Geminus sobre 100 años antes. Fermat y Roberval construyeron la tangente en 1634. Huygens y Wallis encontraron en 1658 que el área entre la curva y su asintota era de 3 a2 . De un punto dado hay de una a tres tangentes a la cisoide. La Cisoide de Diocles es la ruleta del vértice de una parábola girando en una parábola igual. Newton dio un método de dibujar la Cisoide de Diocles usando dos segmentos de igual longitud en ángulos rectos. Si son movidos de tal forma que un segmento siempre pase a través de un punto fijo y el final del otro segmento se deslice a lo largo de una línea recta, el punto medio del segmento que se desliza dibuja una Cisoide de Diocles. Diocles fue un contemporáneo de Nicomedes. El estudio la cisoide en un intento de resolver el problema de encontrar la longitud de un lado del cubo que tenga dos veces el volumen de un cubo dado. También

estudió el problema de Arquimedes de cortar una esfera por un plano de tal forma que el volumen de los segmentos tendrá un radio dado.

La curva pedal de la cisoide, cuando el punto pedal esta en el eje mas allá de la asintota, a una distancia de la cúspide cuatro veces a la del asintota, es una cardioide. Si la cúspide de la cisoide es tomada como centro de inversión, la cisoide se invierte a una parábola. La cáustica de la cisoide donde el punto radiante es tomado como (8a,0) es una cardioide. Si el punto P y Q están en la cisoide de tal forma que PQ sustenta un ángulo recto en O entonces el locus de la intersección de las tangentes de P y Q permanece en el circulo con diámetro (a/2,0), (2a,0).

10. COCHLEOIDE Ecuaciones: Polar : r = a sin()/ Gráfica:

Características: El nombre significa “forma de serpiente”. Fue tratada por J. Peckein 1700. La forma dada aquí se debe a un belga J. Neuberg. El nombre tiene su origen en 1884 en Benthan y Falkenburg. Los puntos de contacto de las tangentes paralelas a la cochloide se apoyan en una estrofoide.

11. CONCHOIDE Ecuaciones: Cartesiana: (x-b)2(x2+y2)-a2x2 = 0

Polar: r = a + b sec() Gráfica:

Características: El nombre significa “forma de caparazón” y fue estudiado por el matemático griego Nicomedes sobre 200 AC en relación al problema de duplicación del cubo. Nicomedes reconoció las tres formas distintas vistas en esta familia. Nicomedes fue un geómetra menor quien trabajo sobre180 AC. Su principal invención fue la conchoide adjudicada a el por Pappus. Puede ser usada, como Nicomedes entendió, para resolver los problemas de duplicación del cubo y para hacer la trisectriz a un angulo. Newton dijo que debía ser una curva estándar. La conchoide tenia x = b como una asintota y el área entre cada rama y la asintota es infinito. El área del lazo es: b(a2-b2) - 2ab log((a+a2-b2)/b) + a2cos-1(b/a). La conchoide fue usada en la construcción de edificios antiguos. La sección vertical de la columnas fue hecha en la forma del lazo de la conchoide.

12. CONCHOIDE DE SLUZE Ecuaciones: Cartesiana: a(x-a)(x2+y2) = k2x2

Polar : a(r cos()-a) = k2cos2 () Gráfica:

Características: Esta curva fue construida primero por René de Sluze en 1662. René Francois Walter - Barón de Sluze - fue un hombre importante en la iglesia y también como matemático. Contribuyó a la geometría de espirales y al significado de la geometría: También inventó un método para determinar puntos de inflexión e una curva.

13. CICLOIDE Ecuaciones: Cartesiana Paramétrica: x = at - h sin(t), y = a - h cos(t) Gráfica:

Características: La cicloide es el locus de un punto a una distancia h del centro de un circulo de radio a que rueda a lo largo de una línea recta. Si h < a es una cicloide cortate, mientras que si h > a es una cicloide prolate. La curva dibujada arriba tiene a=h. La cicloide fue estudiada primero por Cusa cuando estaba intentando encontrar el área de un circulo por integración. Mersenne dio la primera definición propia de la cicloide y estableció las propiedades obvias como la longitud de la base es igual a la circunferencia del circulo que la rodea. Mersenne intentó encontrar el área bajo la curva por integración pero falló. Pasó la pregunta a otros matemáticos. La curva fue nombrada por Galileo en 1599. En 1639 escribió a Torricelli sobre la cicloide diciendo que el había estudiado sus propiedades durante 40 años. Galileo intento encontrar el área comparándola a la del circulo que generaba. Después de que fallara intentando encontrar un método matemático recurrió a pesar piezas de metal cortadas en la forma de la cicloide. Encontró que el radio de estos pesos era aproximadamente 3 a 1 pero decidió que no era exactamente 3, de hecho él sospechó (equivocadamente) que el radio no era racional.

Mersenne propuso el problema del área a Roberval en 1628 y, aunque fallo al principio, fue resuelto por Roberval en 1634. Si a = h entonces el área bajo un arco es 3a2. Roberval, orgulloso de su resultado, escribió a Descartes contándoselo. Descartes le contesto que el resultado era curioso pero que si el no se había fijado antes era porque no causaría dificultad a cualquier geómetra moderadamente habilidoso. Descartes retó a Roberval que encontrara un método de dibujar una tangente a la cicloide habiendo descubierto el mismo como dibujar una. Roberval falló pero Fermat, que estaba incluido en el reto, tuvo éxito. Es importante señalar que Torricelli independientemente descubrió el área de una cicloide y Viviani encontró un método para construir una tangente. En 1658 Pascal, después de un largo tiempo dedicado a la religión ignorando las matemáticas, empezó a pensar sobre problemas matemáticos de nuevo en una noche en la que fue incapaz de dormir a causa del dolor. Resolvió el problema del área de cualquier segmento del cicloide y el centro de gravedad de cualquier segmento. También resolvió los problemas del volumen y área de la superficie del sólido de revolución formado al rotar el cicloide sobre los ejes x. Pascal publicó un desafío (bajo el nombre de Dettonville) ofreciendo dos regalos por solucionar estos problemas. Wallis y Lalouère lo intentaron pero ninguno tuvo éxito. Sluze, Ricci, Huygens, Wren y Fermat comunicaron sus descubrimientos a Pascal pero sin entrar en el desafío. La contribución de Wren fue la más remarcable ya que encontró la longitud del arco siendo esta 8a. Pascal publicó sus propias soluciones a su desafío junto con una extensión del resultado de Wren. La cicloide tiene la propiedad que una partícula P deslizándose en una cicloide mostrara un movimiento armónico simple y el periodo será independiente del punto en el que empiece. Esta es la propiedad tautocroma y fue descubierta por Huygens en 1673 (oscilación Horologica). Él construyo el primer reloj de péndulo con un mecanismo para asegurar que el péndulo era isocrono forzando al péndulo a balancearse en un arco cicloide. Sin embargo esto presenta demasiados problemas mecánicos para hacerlo practico. Desargues propuso dientes cicloides para engranajes de ruedas en el 1630. En 1696 Johann Bernoulli, en Acta Eruditorum, preguntó que curva satisfacía la propiedad del braquistocrono. Él ya conocía esta propiedad de la cicloide y publicó su solución en 1697. También era conocida por Leibniz, Newton, Jacob Bernoulli y de l'Hôpital. Fue uno de los primeros problemas variacionales y su investigación fue el punto de comienzo para el desarrollo de las variaciones de calculo

La cáustica de la cicloide, cuando los rayos son paralelos al eje x es una cicloide con el doble de arcos. La evoluta e involuta de una cicloide es una cicloide idéntica. De hecho la evoluta fue estudiada por Huygens y a causa de este trabajo desarrollo una teoría general de evolutas de curvas.

14. CURVA DEL DIABLO Ecuaciones: Cartesiana: y4-x4+a y2+b x2= 0

Polar (caso especial): r = ((25-24tan2())/(1-tan2()))1/2 Gráfica:

Características: La curva del diablo fue estudiada por G. Cramer en 1750 y por Lacroix en 1810. Aparece en los Anales de Nouvelles en 1858. Gabriel Cramer (1704-1752) fue un matemático Suizo. Se convirtió en profesor de matemáticas en Génova y escribió un trabajo de física; y en el que también hablaba de geometría y de historia de las matemáticas. Es mas conocido por su trabajo con los determinantes (1750) pero también contribuyó al estudio de las curvas algebraicas (1750).

15. DOBLE HOJA Ecuaciones: Cartesiana: (x2+y2) 2 = 4axy2

Polar: r = 4a cossin2 Gráfica:

Características: Hay tres formas especiales de la hoja, la hoja simple, la hoja doble y la triple. Estas se corresponden a los casos:

b = 4a, b = 0, b = a respectivamente en la fórmula para el caso general.

El dibujo de arriba es la doble hoja La doble hoja es la curva pedal donde el punto pedal es el punto medio de uno de los tres lados curvados.

16. CURVAS DE CONCHA DE DÜRER Ecuaciones: Cartesiana: (x2 + xy +ax - b2) 2 = (b2- x2)(x-y+a) 2 Gráfica:

Características: Estas curvas aparecen en el trabajo de Dürer (1525). Dürer llama la curva 'ein muschellini' lo cual significa una conchoide, pero como no es una verdadera conchoide se la llama curva de concha de Dürer. Él construyó la curva de la siguiente forma: Dibujó dos líneas QRP y P'QR de longitud 16 unidades donde Q (q,0) y R (r,0) donde q+r=13. El locus de P y P´ es la curva. Dürer solo encontró una de las dos ramas de la curva. La cubierta de las líneas QRP y P'QR es una parábola y la curva es por lo tanto una gliseta de un punto en un segmento que se desliza entre una parábola y una de sus tangentes.

17.CURVA DEL OCHO Ecuaciones: Cartesiana: x4 = a2(x2-y2)

Polar : r2 = a2cos(2)sec4() Gráfica:

Características: Esta curva es también conocida como la lemniscata de Geromo.

18. ELIPSE Ecuaciones: Cartesiana: x2/a2 + y2/b2 = 1

Paramétrica: x = a cos(t), y = b sin(t) Gráfica:

Características: La elipse fue estudiada por primera vez por Menaechmus. Euclides escribió sobre la elipse y su nombre le fue dado por Apolonio. El foco y las directrices de la elipse fueron considerados por Pappus. Kepler, en 1602, dijo que él creía que la órbita de Marte era oval, después descubrió que era una elipse que tenia como foco el sol. De hecho fue Kepler quien introdujo la palabra foco y publicó su descubrimiento en 1609. La excentricidad de las órbitas planetarias es pequeña (son casi círculos). La excentricidad de Marte es 1/11 y la de la tierra1/60. En 1705 Halley demostró que el cometa que hoy lleva su nombre se movía en una órbita elíptica alrededor del sol. La excentricidad del cometa de Halley es 0.9675 por lo que es casi una parábola (excentricidad 1). El área de la elipse es a·b. No hay una fórmula exacta para la longitud de una elipse en funciones elementales y esto llevó al estudio de las funciones elípticas. Ramanujan, en 1914, dio la longitud aproximada.

(3(a+b)- ((a+3b)(3a+b))) La curva pedal de una elipse, con su foco como punto pedal, es un circulo.

La evoluta de una elipse con la ecuación dada arriba es la curva de Lame.

(ax)2/3 + (by) 2/3 = (a - b) 2/3

19. EPICICLOIDA Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = (a + b) cos(t) - b cos((a/b +1)t),

y = (a + b) sin(t) - b sin((a/b +1)t) Gráfica:

Características: Hay cuatro curvas que están estrechamente relacionadas, estas son la epicicloida, la epitrochoida, la hipocicloida y la hipotrochoida y son dibujadas por un punto P en un circulo de radio b que gira alrededor de un circulo fijo de radio a. La figura de arriba es un ejemplo de epicicloida, en esta, el circulo de radio b gira en el exterior del circulo de radio a. El punto P esta en la circunferencia del circulo de radio b. En el ejemplo dibujado aquí a = 8 y b = 5. Estas curvas fueron estudiadas por Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton(1686), de L'Hôpital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781). Casos especiales son a = b donde una cardioide es obtenida y a = 2b donde se obtiene una nefroide. Si a = (m-1)b donde m es una integral, entonces la longitud de la epicicloida es 8mb y su área es b2(m2+m). La curva pedal, cuando el punto pedal es el centro, es una curva rodonea. La evoluta de una epicicloide es una epicicloide similar, en el ejemplo de arriba seria una epicicloide similar pero mas pequeña.

20. EPITROCHOIDA Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = (a + b) cos(t) - c cos((a/b +1)t),

y = (a + b) sin(t) – c sin((a/b +1)t) Gráfica:

Características: Hay cuatro curvas que están estrechamente relacionadas, éstas son la epicicloida, la epitrochoida, la hipocicloida y la hipotrochoida y son dibujadas por un punto P en un círculo de radio b que gira alrededor de un circulo fijo de radio a. La figura de arriba es un ejemplo de epitrochoida, en esta, el círculo de radio b gira en el exterior del circulo de radio a. El punto P esta a una distancia c del centro del círculo de radio b. En el ejemplo a = 5, b = 3 y c = 5 (por lo que P está dentro del círculo de radio a). Un ejemplo de epitrochoida aparece en el trabajo de Dürer (1525). Él las llamo líneas de araña por las líneas que usaba para construir las curvas. Estas curvas fueron estudiadas por la Hire, Desargues, Leibniz y Newton entre otros.

21. ESPIRAL EQUIANGULAR Ecuaciones: Polar: r = a exp( cot a) Gráfica:

Características: La espiral equiangular fue inventada por Descartes en 1638. Torricelli trabajó en ella independientemente y encontró la longitud de la curva. Si P es un punto en la espiral entonces la longitud de la espiral de P al origen es finito. De hecho, del punto P el cual está a una distancia d del origen medido a lo largo un radio vector, la distancia de P al polo es d sec a. Jacob Bernoulli en 1692 lo llamó 'spira mirabilis' y está grabado en su tumba en Basel. En su libro Crecimiento y forma, D'Arcy Thompson dedicó un capítulo entero a esta curva y describió su aparición en la naturaleza, como en la concha de algunos moluscos, como el resultado de un cono enrollándose sobre si mismo, contrastándolo con la Espiral de Arquímedes la cual se forma enrollando un cilindro como un marinero enrolla una cuerda sobre la cubierta. La espiral hace un ángulo constante a con cualquier radio vector. En el caso especial donde a =/2 uno obtiene un circulo. En la curva representada arriba a = 7/16. Por lo tanto, la longitud de la curva de un punto a una distancia d del origen a lo largo de un radio vector es aproximadamente 5.126d. Cualquier radio desde el origen se encuentra con la espiral a una distancia que va en progresión geométrica. El pedal de una espiral equiangular, cuando el punto pedal es el polo, es una espiral equiangular idéntica.

La evoluta y la involuta de una espiral equiangular es una espiral equiangular idéntica, esto fue descubierto por Johann Bernoulli.

22. ESPIRAL DE FERMAT Ecuaciones: Polar: r2 = a2 Gráfica:

Características: Esta espiral fue estudiada por Fermat en 1636. Para cualquier valor positivo de hay dos valores de r correspondientes, siendo uno el negativo del otro. Por lo tanto la espiral resultante será simétrica respecto a la línea y = -x como puede verse en la curva de arriba. La inversa de la espiral de Fermat cuando el polo es tomado como centro de la inversión, es la espiral r2 = a2/ Por razones técnicas, cuando las evolutas, involutas, inversas y pedales son dibujadas sólo una de las dos ramas de la espiral es dibujada.

23. FOLIUM Ecuaciones: Cartesiana: (x2+y2)(y2+x(x+b)) = 4axy2

Polar: r = -b cos + 4a cos sin2 Gráfica:

Características: La forma general del folium viene dada por la formula dada arriba. La palabra folium significa forma de hoja. Hay tres formas especiales del folium, el simple, el doble y el triple. Se corresponden a los casos:

b = 4a, b = 0, b = a respectivamente en la formula dada arriba.

La gráfica dibujada arriba es el folium simple. El folium simple es la curva pedal de la tricúspide donde el punto pedal es una de las cúspides.

24. FOLIUM DE DESCARTES Ecuaciones: Cartesiana: x3+y3 = 3axy

Paramétrica: x = 3at/(1+t3), y = 3at2/(1+t3) Gráfica:

Características: Este folium fue estudiado por Descartes por primera vez en 1638 pero, aunque encontró la forma correcta de la curva en el primer cuadrante, él creía que esta forma de hoja era repetida en los cuatro cuadrantes como los pétalos de una flor. El problema de determinar la tangente de la curva fue propuesto por Roberval quien también, equivocadamente creía que la curva tenía la forma de una flor de jazmín. Su nombre de flor de jazmín fue cambiado después.

El folium tiene una asintota de x+y+a = 0. Las ecuaciones de la tangente en el punto con t = p son p(p3 - 2)x + (1 - 2p3)y + 3ap2 0. La curva pasa a través del origen en t = 0 y se aproxima al origen una segunda vez cuando t tiende a infinito.

25. NEFROIDE DE FREETH Ecuaciones: Polar r = a(1 + 2sin(/2)) Gráfica:

Características: Esta es una estrofoide de un circulo con el polo O en el centro del circulo y el punto fijo P en la circunferencia del circulo. En el dibujo de arriba, O es el origen y P es el nodo donde la curva se cruza con ella misma tres veces. Si la línea a través de P paralela al eje y corta la nefroide en A entonces el ángulo AOP es 3/7. Esto se puede usar para construir una figura regular de 7 lados. T J Freeth (1819-1904) fue un matemático Ingles. En un escrito publicado por la London Mathematical Society en 1879 él describía varias estrofoides, incluyendo la estrofoide de una trisectriz.

26. CURVA FRECUENCIA Ecuaciones: Cartesiana: y = (2) exp(-x2/2) Gráfica:

Características: Esta curva, la curva normal de error, se originó con de Moivre en 1733. Fue estudiada también por Laplace y Gauss. El nombre de curva frecuencia se aplica también a una gran variedad de curvas.

27. HIPERBOLA Ecuaciones: Cartesiana: x2/a2 - y2/b2 = 1

Paramétrica: x = a sec(t), y = b tan(t) Gráfica:

Características: Un caso especial de hipérbola fue estudiado por Menaechmus. Este caso especial era xy = ab, donde las asíntotas están en los ángulos rectos y esta forma particular de hipérbola es conocida como hipérbola rectangular. Euclid y Aristaeus escribieron sobre la hipérbola general pero solo estudiaron una rama de ella. El nombre actual de la hipérbola le fue dado por Apolonio quien fue el primero en estudiar las dos ramas de ella. El foco y las directrices fueron estudiados por Pappus. La curva pedal de una hipérbola con su foco como punto pedal es un circulo. El pedal de una hipérbola rectangular con su centro como punto pedal es una lemniscata. La evoluta de una hipérbola con la ecuación dada arriba es la curva de Lamé

(ax)2/3 - (by) 2/3 = (a + b) 2/3. De un punto entre las dos ramas de la evoluta se pueden dibujar dos normales a la hipérbola, pero de un punto mas allá de la evoluta se pueden dibujar cuatro normales.

Si el centro de una hipérbola rectangular es tomado como centro de inversión, se invierte a una lemniscata. Si en vez de este tomamos el vértice, se invierte a una etrofoide recta. Si el foco de una hipérbola es tomado como centro de inversión, la hipérbola se invierte a una limacon. En este ultimo caso, si las asintotas de la hipérbola hacen un ángulo de /3 con el eje que corta a la hipérbola, entonces se invierte a una Trisectriz de Maclaurin.

28. ESPIRAL HIPERBOLICA Ecuaciones: Polar : r = a/ Gráfica:

Características: La espiral hiperbólica se originó con Pierre Varignon en 1704. Fue estudiada por Johann Bernoulli entre 1710 y 1713 y también por Cotes en 1722. La roulette del polo de una espiral hiperbólica girando en una línea recta es una tractrix. Pierre Varignon (1654-1722) fue profesor de matemáticas en el Collège Mazarin y después en Collège Royal. Fue atraído a las matemáticas leyendo a Euclides y la Geometría de Descartes. Fue uno de los primeros escolares franceses en reconocer el valor del calculo. Sus grandes aportaciones fueron a la mecánica. Si cogemos el polo como centro de inversión la espiral hiperbólica r =a/ se invierte a la espiral de Arquímedes r =a.

29. HIPOCICLOIDE Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = (a - b) cos(t) + b cos((a/b -1)t),

y = (a - b) sin(t) - b sin((a/b -1)t) Gráfica:

Características: Hay cuatro curvas que están muy relacionadas, son la epicicloida, la epitrochoida, la hipocicloida, y la hipotrochoida, y se trazan a partir de un punto P en un circulo de radio b que gira alrededor de un circulo fijo de radio a. Para la hipocicloida, que es la del dibujo de arriba, el circulo de radio b gira en el interior del circulo de radio a. El punto P está en la circunferencia de del circulo de radio b. En el ejemplo a= 5 y b = 3. Estas curvas fueron estudiadas por Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695),Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781). Casos especiales son cuando a = 3b donde se obtiene una tricúspide, y a = 4b donde se obtiene una astroide. Si a = (n+1)b donde n es una integral, entonces la longitud de la epicicloida es 8nb y su área b2(n2-n). La curva pedal, cuando el punto pedal es el centro, es una rodonea. La evoluta de una hipocicloida es un hipocicloida similar.

30. HIPOTROCHOIDE Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = (a - b) cos(t) + c cos((a/b -1)t),

y = (a - b) sin(t) - c sin((a/b -1)t) Gráfica:

Características: Hay cuatro curvas que están muy relacionadas, son la epicicloida, la epitrochoida, la hipocicloida, y la hipotrochoida, y se trazan a partir de un punto P en un círculo de radio b que gira alrededor de un círculo fijo de radio a. Para la hipotrochoida, que es la del dibujo de arriba, el círculo de radio b gira en el interior del círculo de radio a. El punto P esta a una distancia c del centro del círculo de radio b. En este ejemplo a = 5, b = 7 y c = 2.2. Estas curvas fueron estudiadas por la Hire, Desargues, Leibniz y Newton entre otros.

31. INVOLUTA DE UN CIRCULO Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = a(cos(t)+t sin(t)),

y = a(sin(t)-t cos(t)) Gráfica:

Características: La involuta de un círculo es el camino trazado por fuera por un punto en una línea recta que gira alrededor de un círculo. Fue estudiado por Huygens cuando consideró relojes sin péndulo que podían ser usados en los barcos en el mar. El uso la involuta de un círculo en su primer reloj de péndulo en un intento de forzar al péndulo a balancearse en la forma de una cicloide. Encontrar un reloj que pudiera mantener la exactitud en el mar fue un problema que se trato de solucionar durante muchos años. El problema era de gran importancia ya que si GMT se podía conocer a partir de un reloj, entonces ya que el tiempo local se podía calcular fácilmente por el sol, la longitud podría ser medida fácilmente. La pedal de la involuta de un círculo, con el centro como punto pedal, es una Espiral de Arquímedes. La evoluta de la involuta de un círculo es un círculo.

32. KAMPYLE DE EUDOXUS Ecuaciones: Cartesiana: a2x4 = b4 (x2+y2)

Polar : r = b2/(a cos2 ()) Gráfica:

Características: Fue estudiada por Eudoxus en relación con el clásico problema de la duplicación del cubo. Eudoxus fue un pupilo de Platón. Su principal trabajo fue en astronomía. Fue el primero en describir las constelaciones e inventó el astrolabio. Introdujo en Grecia el estudio de la astronomía matemática. Eudoxus encontró formulas para medir pirámides, conos y cilindros..

33. CURVA KAPPA Ecuaciones: Cartesiana: y2(x2+y2) = a2x2

Polar : r = a cot() Gráfica:

Características: La curva kappa se llama también curva de Gutschoven. Fue estudiada primero por G. van Gutschoven sobre 1662. También fue estudiada por Newton y unos años después por Johann Bernoulli.

34. CURVAS LAME Ecuaciones: Cartesiana: (x/a)n + (y/b) n = 1 Gráfica:

Características: En 1818 Lamé estudió estas curvas con la ecuación que aparece arriba. Consideró más curvas generales que aquellas donde n es una integral. Si n es un numero racional entonces la curva es algebraica pero si es irracional, la curva es trascendental. La curva de arriba es el caso donde n = 4. Para integrales pares la curva se aproxima a un rectángulo según aumenta n. Para integrales con valores de n impares la curva se parece al caso de valores pares pero en el cuadrante positivo, pero va hasta el infinito en el segundo y cuarto cuadrantes. El caso con n = 2/3 es la astroide , mientras el caso con n = 3 es el llamado bruja de Agnesi. El caso con n = 5/2 ha sido asociado con el arquitecto Danés y poeta Piet Hein (inventor del cubo Soma) bajo el nombre de superelipse y ha sido usado para una gran variedad de objetivos, incluyendo puentes de autopistas y aplicaciones arquitectónicas.

35. LEMNISCATA DE BERNOULLI Ecuaciones: Cartesiana: (x2+y2) 2 = a2 (x2-y2)

Polar: r2 = a2cos(2) Gráfica:

Características: En 1694 Jacob Bernoulli publicó un articulo en Acta Eruditorum de una curva con la forma de un 8, o de un nudo, a la cual nombro con el nombre latín de lemniscus. Jacob Bernoulli no se dió cuenta que la curva que él estaba describiendo era un caso especial de la Casiniana Oval, la cual había sido descrita por Cassini en 1680. Las propiedades generales de la lemniscata fueron descubiertas por Giovanni Fagnano en 1750. Las investigaciones de Euler de la longitud del arco de la curva (1751) llevaron a una de las funciones elípticas. Invirtiendo la lemniscata en un círculo centrado en el origen y tocando la lemniscata donde corta al eje x, da lugar a una hipérbola rectangular. La ecuación bipolar de la lemniscata es rr' = a2/2.

36. CARACOL DE PASCAL Ecuaciones: Cartesiana: (x2+y2-2ax) 2 = b2 (x2+y2)

Polar: r = b + 2a cos() Gráfica:

Características: La Limacon de Pascal fue descubierta por Étienne Pascal y nombrada por Roberval en 1650 cuando la uso como ejemplo de sus métodos de dibujar tangentes. El nombre 'limacon' viene del latín limax que significa 'un caracol'. Étienne Pascal se escribía con Mersenne cuya casa era un sitio de reunión para famosos geómetras incluyendo Roberval. Dürer debe llevarse los honores de descubrir la curva ya que él dió un método para dibujarla, aunque él no la llamó limacon, en Underweysung der Messung publicado en 1525. Cuando b = 2a entonces la limacon se convierte en una cardioide mientras que si b = a entonces se convierte en una trisectriz. Aunque esta trisectriz no es la trisectriz de Maclaurin.

Si b 2a entonces el área de la limacon es (2a2+k2). Si b = a (el caso dibujado arriba con a = b = 1) entonces el área del lazo interior es a2(-33/2) y el área entre los lazos es a2(+33).

La limacon es una curva analigmática. La limacon es también la catacaustica de un círculo cuando los rayos de luz vienen de un punto a una distancia finita de la circunferencia. Esto fue demostrado por Thomas de St Laurent en 1826.

37. CURVAS LISSAJOUS Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana : x = a sin(nt+c), y = b sin(t) Gráfica:

Características: Las curvas de Lissajous o las figuras de Lissajous son a veces llamadas curvas de Bowditch después de que este las considerara en 1815. Fueron estudiadas en mas detalle por Jules-Antoine Lissajous en 1857. Las curvas de Lissajous tienen aplicaciones en física, astronomía y otras ciencias. Nathaniel Bowditch (1773-1838) fue un americano que aprendió latín para estudiar los principios de Newton, y después otros idiomas para estudiar matemáticas en esos idiomas. Su traducción de Mécanique céleste de Laplace le dio una reputación internacional.

38. LITUUS Ecuaciones: Polar: r2 = a2/ Gráfica:

Características: La curva Lituus se originó con Cotes en 1722. Lituus significa “gancho”. Maclaurin usó el termino en su libro Harmonia Mensurarum en 1722. El lituus es el locus del punto P moviéndose de tal manera que el área del sector circular permanece constante. Roger Cotes (1682-1716) murió a los 34 años habiendo publicado sólo dos memorias durante su vida. Nombrado profesor de Cambridge a los 24 años, su trabajo fue publicado sólo después de morir. Cotes descubrió entre otras cosas, un método de integrar fracciones racionales con denominadores binomiales.

39. PARABOLA SEMI-CUBICA DE NEILE Ecuaciones: Cartesiana: y3 = a x2 Gráfica:

Características: Esta curva, a veces llamada la parábola semicúbica, fue descubierta por William Neile en 1657. Fue la primera curva algebraica en tener la longitud de su arco calculada. Wallis publicó el método en 1659 dando a Neile el crédito. Solo las longitudes de arco de curvas trascendentales como la cicloide y la espiral logarítmica habían sido calculadas antes que esta. El escritor Alemán Van Heuraet usó la curva para una construcción más general. William Neile nació en Bishopsthrope en 1637. Fue alumno de Wallis y demostró ser una gran promesa. Desafortunadamente Neile murrio a una edad temprana en 1670 antes de haber alcanzado otras conclusiones. En 1687 Leibniz preguntó por la curva a lo largo de la cual una partícula pudiera descender por la fuerza de la gravedad de tal forma que se moviera las mismas distancias verticales en los mismos tiempos. Huygens demostró que la parábola semicúbica x3 =ay2 satisfacía esta propiedad. Por esto es una curva isocrona. La parábola semicúbica es la evoluta de una parábola.

40. NEFROIDE Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = a(3cos(t)-cos(3t)),

y = a(3sin(t)-sin(3t)) Gráfica:

Características: El nombre de nefroide, que significa forma de huevo. Fue usada para la epicicloide de dos cúspides por Proctor en 1878. La nefroide es la epicicloide formada por un circulo de radio a girando externamente en un circulo fijo de radio 2 a. La nefroide tiene una longitud de 24a y un área de 122. Huygens, en 1678, demostró que la nefroide es la cáustica de un círculo cuando la fuente de luz está en el infinito. Esto lo publicó en Traité de la lumière en 1690. La explicación de porque ocurría esto no se descubrió hasta que se usó la teoría de ondas de la luz. Airy proporcionó la prueba teórica en 1838. R. A. Proctor fue un matemático inglés. Nació en 1837 y murió en1888. En 1878 publicó en Londres “The geometry of cycloids”. La involuta de la nefroide es la sextica de Cayley u otra nefroide ya que son curvas paralelas.

41. PARABOLAS DIVERGENTES DE NEWTON Ecuaciones: Cartesiana: ay2 = x(x2 - 2bx +c), a > 0 Gráfica:

Características: La clasificación de Newton de las curvas cúbicas aparece en “Curves by Sir Isaac Newton” publicado en Londres en1710. En esta clasificación, Newton da cuatro clases de ecuaciones. La tercera clase de ecuaciones es la que aparece arriba la cual Newton divide en cinco especies, y da un gráfico típico para cada especie. Los cinco tipos dependen de las raíces del cubo de x en la parte derecha de la ecuación.

(i) Todas las raíces son reales y desiguales: entonces la figura es una parábola divergente con la forma de una campana con un ovalo en su vértice. Este es el caso que aparece dibujado arriba. (ii) Dos de las raíces son iguales: se formará una parábola, (iii) Las tres raíces son iguales: es el caso de la parábola semicúbica. (iv) Solo hay una raíz real: si dos de las raíces son imposibles, será una parábola pura con forma de campana.

42. PARABOLA Ecuaciones: Cartesiana: y = ax2 + bx + c Gráfica:

Características: La parábola fue estudiada por Menaechmus quien era pupilo de Platón y Eudoxus. Intentó duplicar el cubo, intentando encontrar la cara de un cubo que tuviera un área que fuera el doble que la de un cubo dado. Intentó x3 = 2 por métodos geométricos. Los métodos geométricos de regla y compás no pueden resolver esto (pero Menaechmus no lo sabía). Menaechmus lo resolvió encontrando la intersección de las dos parábolas x2= y y y2 = 2x. Euclides escribió sobre la parábola y su nombre se lo debemos a Apolonio. El foco y la directriz de una parábola fueron estudiados por Pappus. Pascal consideró la parábola como una proyección de un circulo y Galileo demostró que los proyectiles seguían rutas parabólicas. Gregory y Newton consideraron las propiedades de una parábola la cual traía rayos de luz paralelos a un foco. El pedal de la parábola con su vértice como punto pedal es una cisoide. El pedal de una parábola con su foco como punto pedal es una línea recta. Con el pie de la directriz como punto pedal es una estrofoide recta (una estrofoide oblicua para cualquier otro punto de la directriz). La curva pedal cuando el punto pedal es la imagen del foco en la directriz es una Trisectriz de Maclaurin.

La evoluta de una parábola es la parábola de Neile. De un punto sobre la evoluta se pueden dibujar tres normales a la parábola, mientras que solo se puede dibujar una desde un punto bajo la evoluta. Si el foco de la parábola es cogido como centro de inversión, la parábola se invierte a una cardioide. Si el vértice de una parábola es cogido como centro de inversión, la parábola se invierte a una cisoide de Diocles. La cáustica de la parábola con los rayos perpendiculares al eje de la parábola es la Cubica de Tschirnhaus.

43. PERLAS DE SLUZE Ecuaciones: Cartesiana: yn = k(a - x)pxm Gráfica:

Características: Las curvas con la ecuación dada arriba, donde n, p y m son integrales, fue estudiada por Sluze entre 1657y 1698. El nombre de Perlas de Sluze le fue dado a estas curvas por Blaise Pascal. La curva dibujada arriba tiene: n = 4, k = 2, a = 4, p = 3, m = 2.

44. CURVAS DE PLATEAU Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = a sin(m+n)t / sin(m-n)t,

y = 2a sin(mt)sin(nt) / sin(m-n)t Gráfica:

Características: Esta curva fue estudiada por el físico y matemático Belga Joseph Plateau. Si m = 2n las curvas de Plateau se convierten en un circulo de centro(1,0) y radio 2. El caso particular dibujado arriba corresponde a los parámetros m = 5, n = 3.

45. CURVA DE PERSECUCION Ecuaciones: Cartesiana: y = cx2-log(x) Gráfica:

Características: Si A se mueve a lo largo de una curva entonces P describe una curva de persecución si P esta directamente bajo A, y A y P se mueven con velocidades uniformes. Esto fue estudiado por el científico Francés Pierre Bouguer en 1732. El caso de arriba es donde A está en una línea recta y fue estudiado Arthur Bernhart. Pierre Bouguer fue el primero que trató de medir la densidad de la tierra usando la desviación de una cuerda de plomo debida a la atracción de una montaña. Hizo medidas en Perú en 1740. Este método fue usado de una manera mas eficiente por el astrónomo Maskelyne y colocó la densidad entre 4.5 y 5.

46. CUADRATICA DE HIPPIAS Ecuaciones: Cartesiana: y = x cot(x/2a)

Polar: r = 2a/(sin()) Gráfica:

Características: La cuadrática fue descubierta por Hipias de Elis en 430 AC. La usó para hacer la trisectriz de un ángulo y cuadrar el circulo. La curva puede ser usada para dividir un ángulo en cualquier numero de partes iguales. Después fue estudiada por Dinostratus en 350 AC quien usó la curva para cuadrar el circulo. Hippias de Elis fue un filósofo que viajaba de sitio en sitio y cobraba por sus servicios. Platón le describió como un hombre arrogante y ostentoso. Tenia un conocimiento superficial de muchas cosas. Su única contribución a las matemáticas parece haber sido la cuadrática.

47. CUARTICA EN FORMA DE PERA Ecuaciones: Cartesiana: b2y2 = x3 (a-x) Gráfica:

Características: Fue estudiada por G. de Longchamps en 1886. G. de Longchamps tiene otras curvas a las que dió nombre.

48. CURVAS DE RODONEA Ecuaciones: Polar: r = a sin(k) Gráfica:

Características: Estas curvas fueron así nombradas por el matemático Italiano Guido Grandi entre 1723 y 1728 porque se parecían a rosas. Cuando k es una integral hay k o 2k pétalos dependiendo de si k es par o impar. Si k es un número irracional, entonces el número de pétalos es infinito. La Quadrifolium es la curva de rodonea con k = 2. Tiene la ecuación polar r = a sin(2) y la cartesiana (x2+ y2) 3 = 4 a2x2y2. Luigi Guido Grandi fue un miembro de la orden de los Camaldolites. Se convirtió en profesor de filosofía en 1700 y profesor de matemáticas en 1714 en la Universidad de Pisa. Grandi fue el autor de un gran numero de trabajos de geometría en los cuales consideraba las analogías del circulo y la hipérbola equilateral. También consideró las curvas de doble curvatura en la esfera y la cuadratura de partes de una superficie esférica.

49. ESTROFOIDE DERECHA Ecuaciones: Cartesiana: y2 = x2 (a-x)/(a+x)

Polar : r = a cos(2)/cos() Gráfica:

Características: Apareció por primera vez en el trabajo de Isaac Barrow in 1670. Sin embargo, Torricelli describe la curva en sus cartas hacia el 1645 y Roberval la encontró como el locus del foco de la cónica obtenida cuando el plano que corta al cono rota sobre la tangente por su vértice. El nombre (significa “campana con torsión”') fue propuesto por Montucci en 1846. La estrofoide general tiene una ecuación r = b sin(a-2)/sin(a-). El caso particular de la estrofoide recta donde a = /2 y la ecuación, en cartesianas y polares es el dado arriba. El área del lazo de la estrofoide recta es a2(4-)/2 y el área entre la curva y su asintota es a2(4-)/2. Si dejamos a C ser el circulo con el centro en el punto donde la estrofoide recta corta al eje x y como radio la distancia de ese punto al origen, entonces la estrofoide es invariante a la inversión en el circulo C.Por esto la estrofoide es una curva analigmática.

50. SERPENTINA Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x2y+aby-a2x = 0, ab > 0 Gráfica:

Características: Fue nombrada y estudiada por Newton en 1701. Está contenida en su clasificación de curvas cúbicas la cual aparecía en “Curves by Sir Isaac Newton” en “Lexicon Technicum by John Harris” publicado en Londres en 1710. Newton demuestra que la curva f(x,y) = 0, donde f(x,y)es una cúbica, puede ser dividida de una a cuatro formas normales. La primera de estas es una ecuación de la forma:

xy2 + ey = ax2 + bx2 + cx + d. Este es el caso mas duro de la clasificación y la serpentina es uno de los subcasos de esta primera forma normal. La serpentina fue estudiada por de L'Hôpital y Huygens en 1692.

51. ESPIRAL SINUSOIDAL Ecuaciones: Polar: rp = ap cos(p) Gráfica:

Características: Las espirales sinusoidales pueden tener cualquier número racional p en la fórmula dada arriba. Muchas curvas estándar tienen lugar como espirales sinusoidales.

SI p = -1 tenemos una línea. SI p = 1 tenemos un circulo. SI p = 1/2 tenemos una cardioide. SI p = -1/2 tenemos una parábola. SI p = -2 tenemos una hipérbola. SI p = 2 tenemos una lemniscata de Bernoulli (Jacob Bernoulli).

Las espirales sinusoidales fueron estudiadas primero por Maclaurin. No son espirales verdaderas. La curva pedal de las espirales sinusoidales, cuando el punto pedal es el polo, es otra espiral sinusoidal. La espiral sinusoidal rp = a p cos(p) se invierte a r p = a p /cos(p) si el centro de la inversión es tomado como el polo.

52. ESPIRAL DE ARQUIMEDES Ecuaciones: Polar: r = a Gráfica:

Características:

Fue estudiada por Arquímedes sobre 225 AC. Ya había sido estudiada por su amigo Conon. Arquímedes fue capaz de sacar la longitud de varias de las tangentes de la espiral. Puede ser usada para hacer la trisectriz de un ángulo y para cuadrar el círculo. La curva puede ser usada como una cam para convertir movimiento angular uniforme en movimiento angular lineal. El cam consiste en un arco de la espiral sobre el eje x junto con su reflejo en el eje x. Rotando esto sobre su centro con velocidad angular uniforme dará lugar a un movimiento lineal uniforme del punto donde se cruza con el eje y. Si tomamos el polo como centro de inversión, la espiral de r =a se invierte a una espiral hiperbólica r =a/.

53. SECCIONES ESPIRICAS Ecuaciones: Cartesiana: (r2 - a2 + c2 + x2 + y2) 2 = 4r2 (x2 + c2) Gráfica:

Características:

Después de que Menaechmus construyera las secciones cónicas cortando un cono con un plano hacia el 150 AC. El matemático Griego Perseo investigó las curvas obtenidas cortando un torus por un plano el cual era paralelo a la línea que pasaba por el centro del agujero del torus. En la fórmula de la curva dada arriba el torus está formado por un círculo de radio a cuyo centro es girado a lo largo de un círculo de radio r. El valor de c da la distancia del plano cortante al centro del torus. Cuando c = 0 la curva consiste en dos círculos de radio a cuyos centros están en (r,0) y (-r,0). Si c = r+a la curva consiste en un punto, llamado origen, mientras que si c > r+a ningún punto permanece en la curva.

54. LINEA RECTA Ecuaciones: Cartesiana: y = mx + c

Paramétrica: x = at + b, y = ct +d Gráfica:

Características: La línea recta es una de las curvas que se estudió antes, pero Euclides en sus Elementos, aunque dedicómucho estudio a la línea recta, no la consideraba una curva. De hecho nadie había dado una definición de curva hasta Jordan en su “Cours d'Analyse” en 1893. La inversa de una línea recta es un circulo si el centro de inversión no está en la línea. El pedal negativo de la línea recta es una parábola si el punto pedal no está en la línea. Como las normales a la línea recta nunca se cortan y las tangentes coinciden con la curva, evolutas,involutas y las curvas pedales no interesan.

55. CURVA DE TALBOT Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = (a2+f2sin2 (t))cos(t)/a,

y = (a2-2f2+f2sin2 (t))sin(t)/b Gráfica:

Características: Esta curva fue investigada por Talbot. La curva de Talbot es la pedal negativa de una elipse con respecto a su centro. Tiene cuatro cúspides y dos nodos proporcionan que el cuadrado de la excentricidad de la elipse sea superior a 1/2.

56. TRACTRIX Ecuaciones: Paramétrica Cartesiana: x = 1/cosh(t), y = t - tanh(t) Gráfica:

Características: La tractrix es llamada a veces tractory o curva equitangencial. Fue estudiada por Huygens en 1692 que la dió su nombre. Después Leibniz, Johann Bernoulli y otros estudiaron la curva. El estudio de la tractrix empezó con el siguiente problema de Leibniz: ¿Cuál es el camino de un objeto arrastrado por un plano horizontal por una cuerda de longitud constante cuando el final de la cuerda no está unido al objeto que se mueve a lo largo de una línea recta en el plano? Resolvió el problema usando el hecho de que el eje es una asintota a la tractrix. La evoluta de una tractrix es una catenaria. Entre las propiedades de la tractrix está el hecho de que la longitud de una tangente de su punto de contacto a una asíntota es constante. El área entre la tractrix y su asíntota es finito. Cuando una tractrix es girada sobre su asíntota, da lugar a una seudoesfera. Ésta es una superficie de curvatura negativa constante y fue usada Beltrami en 1868 en su realización de la geometría no Euclidea.

57. TRICUSPIDE Ecuaciones: Cartesiana: (x2+y2+12ax+9a2) 2 = 4a(2x+3a) 2

Paramétrica: x = a(2cos(t)+cos(2t)), y = a(2sin(t)-sin(2t)) Gráfica:

Características: La tricúspide o deltoide fue considerada por Euler en 1745 en conexión con un problema óptico. También fue investigada por Steiner en 1856 y a veces se la llama la hipocicloida de Steiner. La longitud de la tangente a la tricúspide, medida entre los puntos P y Q en los cuales corta la curva de nuevo es constante e igual a 4a. Si se dibujan las tangentes a P y Q son ángulos rectos. La longitud de la curva es 16a y el área que cierra es 2 a2. La forma paramétrica de la cúspide ocurre en t = 0, 2/3 y 4/3. Hay una gran similaridad entre la forma paramétrica de la tricúspide y la forma paramétrica de la cardioide. La pedal de tricúspide, donde el punto pedal es la cúspide, es un simple folium. La pedal donde el punto pedal es el vértice, es un doble folium. Si el punto pedal está en el triángulo equilateral inscrito entonces la pedal es un trifolium. La cáustica de la tricúspide, donde los rayos son paralelos en cualquier dirección, es una astroide.

58. TRIDENTE DE NEWTON Ecuaciones: Cartesiana: xy = cx3+dx2+ex+f Gráfica:

Características: Esta curva fue investigada por Newton y también por Descartes. A veces se la llama la parábola de Descartes, aunque no sea una parábola. El nombre de tridente se le debe a Newton. Esta curva aparece en los estudios de Newton de los cúbicos. Esta contenida en su clasificación de las curvas cúbicas que aparece en “Curves” por Sir Isaac Newton, en “Lexicon Technicum” por John Harris publicado en Londres en 1710. Newton fue el primero en tomar un estudio sintemático de las ecuaciones cúbicas y las clasificó en 72 casos. De hecho le faltaron seis casos en su clasificación. El tridente es el 66 y Newton le da un gráfico prácticamente idéntico al que aparece arriba. Newton establece algunas propiedades a su tridente. Por ejemplo, dice que tiene cuatro piernas infinitas y que el eje y es una asíntota de las dos que van hacia partes opuestas. También comenta que es la parábola por la cual Descartes construyó ecuaciones de seis dimensiones. La clasificación de Newton fue criticada por Euler porque le faltaban principios generales. Plücker dió después una clasificación mas detallada con 219 tipos.

59. TRIFOLIUM Ecuaciones: Cartesiana: (x2+y2)(y2+x(x+a)) = 4axy2

Polar: r = a cos (4sin2 - 1) Gráfica:

Características: La forma general del folium es dada por la fórmula: (x2+y2)(y2+x(x+b)) = 4axy2 o, en coordenadas polares: r = -b cos + 4a cos sin2 . La palabra folium significa forma de hoja. Hay tres formas especiales de la hoja, la hoja simple, la hojadoble y la triple. Estas se corresponden a los casos:

b = 4a, b = 0, b = a, respectivamente en la fórmula para el caso general.

La gráfica de arriba es el trifolium.

60. TRISECTRIZ DE MACLAURIN Ecuaciones: Cartesiana: y2(a+x) = x2 (3a-x)

Polar: r = 2a sin(3)/sin(2) Gráfica:

Características: Fue estudiada por Colin Maclaurin en 1742. Como muchas otras, fue estudiada para encontrar unasolución a un antiguo problema Griego, éste relacionado con la trisectriz de un ángulo, de ahí el nombrede esta curva. La trisectriz de Maclaurin es una curva analigmática. Otra forma de la ecuación es r = a sec(/3) donde el origen está dentro del lazo y el punto de cruce está enel eje x negativo. Las tangentes a la curva en el origen hacen ángulos de +/-60º con el eje x. El área del lazo es 33a2 y la distancia desde el origen al punto donde la curva corta al eje x es 3a. Es la curva pedal de la parábola donde el punto pedal es tomado como el reflejo del foco en la directriz.

61. CUBICA DE TSCHIRNHAUS Ecuaciones: Cartesiana: 3a y2 = x(x-a) 2 Gráfica:

Características: Fue investigada por Tschirnhaus, de L'Hôpital y Catalan. También se la conoce a veces como la cúbica deL'Hôpital's o la trisectriz de Catalán. El nombre de la cúbica de Tschirnhaus fue dado en un escrito de R C Archibald en 1900 donde intentabaclasificar las curvas. La cubica de Tschirnhaus es la pedal negativa de la parábola con respecto al foco de la parábola. La cáustica de la cúbica de Tschirnhaus donde el punto radiante es el polo, es la parábola semicúbica deNeile.

62. CURVA DE WATT Ecuaciones: Polar: r2 = b2 - (a sin() (c2 - a2cos2 () )1/2 Gráfica:

Características:

La curva debe su nombre a James Watt (1736- 1819), el ingeniero Escocés que inventó la maquina de vapor. De hecho la curva viene de las uniones de las varas que conectaban dos ruedas de igual diámetro. Si tenemos dos ruedas de radio b con sus centros separados 2a, suponemos que una varilla de longitud 2c esta unida por lo extremos a las circunferencia de las dos ruedas y dejamos que P sea el punto medio de la varilla. Entonces la curva de Watt C es el locus de P. Si a = c entonces C es un circulo de radio b con una figura de “ocho” en el interior. Sylvester, Kempe y Cayley llevaron mas allá la geometría asociada a la teoría de las uniones en el 1870.

63. BRUJA DE AGNESI Ecuaciones: Cartesiana: y(x2+a2) = a2

Paramétrica: x = at, y = a/(1+t2) Gráfica:

Características: Fue estudiada y nombrada 'versiera' (bruja en italiano') por María Agnesi en 1748 en su libro “Istituzioni Analitiche”. Se la conoce también como 'Cubica d'Agnesi' o 'Agnésienne'. Se cree que Agnesi confundió una antigua palabra italiana que significaba “libre de movimiento” con otra que significaba “bruja”. La curva fue estudiada antes por Fermat y Guido Grandi en 1703. La curva permanece entre y = 0 y y = a. Tiene puntos de inflexión en y = 3a/4. La línea y = 0 es una asíntota de la curva. La tangente a la Bruja de Agnesi en el punto con el parámetro p es:

(p2+1)2 y + 2px = a(3p2+1).

ASTROIDE

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,188 904,255 1808,511 2712,766 3617,021 4521,277 5425,532

0,201 845,771 1691,542 2537,313 3383,085 4228,856 5074,627

0,213 798,122 1596,244 2394,366 3192,488 3990,610 4788,732

0,225 755,556 1511,111 2266,667 3022,222 3777,778 4533,333

0,236 720,339 1440,678 2161,017 2881,356 3601,695 4322,034

0,247 688,259 1376,518 2064,777 2753,036 3441,296 4129,555

0,258 658,915 1317,829 1976,744 2635,659 3294,574 3953,488

0,269 631,970 1263,941 1895,911 2527,881 3159,851 3791,822

0,279 609,319 1218,638 1827,957 2437,276 3046,595 3655,914

0,289 588,235 1176,471 1764,706 2352,941 2941,176 3529,412

0,300 566,667 1133,333 1700,000 2266,667 2833,333 3400,000

1

904,255

1808,511

2712,766

3617,021

4521,277

5425,532

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.1.1 Curva astroide para l=0.188

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

845,771

1691,542

2537,313

3383,085

4228,856

5074,627

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.1.2 Curva astroide para l=201

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

798,122

1596,244

2394,366

3192,488

3990,610

4788,732

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

755,556

1511,111

2266,667

3022,222

3777,778

4533,333

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

720,3391440,678

2161,0172881,356

3601,695

4322,034

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

688,2591376,518

2064,7772753,036

3441,296

4129,555

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

658,9151317,829

1976,7442635,659

3294,5743953,488

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

631,9701263,941

1895,9112527,881

3159,8513791,822

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

609,3191218,638

1827,9572437,276

3046,5953655,914

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

588,2351176,471

1764,7062352,941

2941,1763529,412

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

566,6671133,333

1700,0002266,667

2833,3333400,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

BRUJA DE AGNESI

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,230 739,130 1478,261 2217,391 2956,522 3695,652 4434,783

0,264 643,939 1287,879 1931,818 2575,758 3219,697 3863,636

0,298 570,470 1140,940 1711,409 2281,879 2852,349 3422,819

0,331 513,595 1027,190 1540,785 2054,381 2567,976 3081,571

0,365 465,753 931,507 1397,260 1863,014 2328,767 2794,521

0,398 427,136 854,271 1281,407 1708,543 2135,678 2562,814

0,429 396,270 792,541 1188,811 1585,082 1981,352 2377,622

0,460 369,565 739,130 1108,696 1478,261 1847,826 2217,391

0,490 346,939 693,878 1040,816 1387,755 1734,694 2081,633

0,519 327,553 655,106 982,659 1310,212 1637,765 1965,318

0,546 311,355 622,711 934,066 1245,421 1556,777 1868,132

1

739,1301478,261

2217,3912956,522

3695,652

4434,783

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.2.1 Curva bruja de Agnesi para l=0.230

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

643,9391287,879

1931,8182575,758

3219,6973863,636

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

570,4701140,940

1711,4092281,879

2852,3493422,819

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

513,5951027,190

1540,7852054,381

2567,9763081,571

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

465,753931,507

1397,2601863,014

2328,7672794,521

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

427,136854,2711281,407

1708,5432135,678

2562,814

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

396,270792,5411188,8111585,0821981,3522377,622

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

369,565739,1301108,6961478,2611847,8262217,391

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

346,939693,8781040,8161387,7551734,6942081,633

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

327,553655,106982,6591310,2121637,7651965,318

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

311,355622,711934,0661245,4211556,7771868,132

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CARDIOIDE

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,108 1574,074 3148,148 4722,222 6296,296 7870,370 9444,444

0,118 1440,678 2881,356 4322,034 5762,712 7203,390 8644,068

0,129 1317,829 2635,659 3953,488 5271,318 6589,147 7906,977

0,140 1214,286 2428,571 3642,857 4857,143 6071,429 7285,714

0,151 1125,828 2251,656 3377,483 4503,311 5629,139 6754,967

0,163 1042,945 2085,890 3128,834 4171,779 5214,724 6257,669

0,177 960,452 1920,904 2881,356 3841,808 4802,260 5762,712

0,191 890,052 1780,105 2670,157 3560,209 4450,262 5340,314

0,208 817,308 1634,615 2451,923 3269,231 4086,538 4903,846

0,230 739,130 1478,261 2217,391 2956,522 3695,652 4434,783

0,282 602,837 1205,674 1808,511 2411,348 3014,184 3617,021

1

1574,074

3148,148

4722,222

6296,296

7870,370

9444,444

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.3.1 Curva cardioide para l=0.108

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1440,678

2881,356

4322,034

5762,712

7203,390

8644,068

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1317,829

2635,659

3953,488

5271,318

6589,147

7906,977

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1214,286

2428,571

3642,857

4857,143

6071,429

7285,714

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1125,828

2251,656

3377,483

4503,311

5629,139

6754,967

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1042,945

2085,890

3128,834

4171,779

5214,724

6257,669

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

960,452

1920,904

2881,356

3841,808

4802,260

5762,712

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

890,052

1780,105

2670,157

3560,209

4450,262

5340,314

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

817,308

1634,615

2451,923

3269,231

4086,538

4903,846

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

739,1301478,261

2217,391

2956,522

3695,652

4434,783

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

602,8371205,674

1808,5112411,348

3014,1843617,021

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CATENARIA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,117 1452,991 2905,983 4358,974 5811,966 7264,957 8717,949

0,133 1278,195 2556,391 3834,586 5112,782 6390,977 7669,173

0,150 1133,333 2266,667 3400,000 4533,333 5666,667 6800,000

0,169 1005,917 2011,834 3017,751 4023,669 5029,586 6035,503

0,190 894,737 1789,474 2684,211 3578,947 4473,684 5368,421

0,212 801,887 1603,774 2405,660 3207,547 4009,434 4811,321

0,237 717,300 1434,599 2151,899 2869,198 3586,498 4303,797

0,264 643,939 1287,879 1931,818 2575,758 3219,697 3863,636

0,294 578,231 1156,463 1734,694 2312,925 2891,156 3469,388

0,326 521,472 1042,945 1564,417 2085,890 2607,362 3128,834

0,362 469,613 939,227 1408,840 1878,453 2348,066 2817,680

1

1452,991

2905,983

4358,974

5811,966

7264,957

8717,949

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.4.1 Curva catenaria para l=0.117

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1278,195

2556,391

3834,586

5112,782

6390,977

7669,173

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1133,333

2266,667

3400,000

4533,333

5666,667

6800,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1005,917

2011,834

3017,751

4023,669

5029,586

6035,503

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

894,737

1789,474

2684,211

3578,947

4473,684

5368,421

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

801,887

1603,774

2405,660

3207,547

4009,434

4811,321

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

717,3001434,599

2151,8992869,198

3586,498

4303,797

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

643,9391287,879

1931,8182575,758

3219,6973863,636

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

578,2311156,463

1734,6942312,925

2891,1563469,388

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

521,4721042,945

1564,4172085,890

2607,3623128,834

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

469,613939,227

1408,8401878,453

2348,0662817,680

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CICLOIDE

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,151 1125,828 2251,656 3377,483 4503,311 5629,139 6754,967

0,162 1049,383 2098,765 3148,148 4197,531 5246,914 6296,296

0,173 982,659 1965,318 2947,977 3930,636 4913,295 5895,954

0,183 928,962 1857,923 2786,885 3715,847 4644,809 5573,770

0,194 876,289 1752,577 2628,866 3505,155 4381,443 5257,732

0,204 833,333 1666,667 2500,000 3333,333 4166,667 5000,000

0,214 794,393 1588,785 2383,178 3177,570 3971,963 4766,355

0,224 758,929 1517,857 2276,786 3035,714 3794,643 4553,571

0,234 726,496 1452,991 2179,487 2905,983 3632,479 4358,974

0,244 696,721 1393,443 2090,164 2786,885 3483,607 4180,328

0,254 669,291 1338,583 2007,874 2677,165 3346,457 4015,748

1

1125,828

2251,656

3377,483

4503,311

5629,139

6754,967

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.5.1 Curva cicloide para l=0.151

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1049,383

2098,765

3148,148

4197,531

5246,914

6296,296

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

982,659

1965,318

2947,977

3930,636

4913,295

5895,954

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

928,962

1857,923

2786,885

3715,847

4644,809

5573,770

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

876,289

1752,577

2628,866

3505,155

4381,443

5257,732

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

833,333

1666,667

2500,000

3333,333

4166,667

5000,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

794,393

1588,785

2383,178

3177,570

3971,963

4766,355

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

758,929

1517,857

2276,786

3035,714

3794,643

4553,571

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

726,4961452,991

2179,4872905,983

3632,479

4358,974

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

696,7211393,443

2090,1642786,885

3483,607

4180,328

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

669,2911338,583

2007,8742677,165

3346,4574015,748

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CIRCUNFERENCIA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,104 1634,615 3269,231 4903,846 6538,462 8173,077 9807,692

0,116 1465,517 2931,034 4396,552 5862,069 7327,586 8793,103

0,128 1328,125 2656,250 3984,375 5312,500 6640,625 7968,750

0,141 1205,674 2411,348 3617,021 4822,695 6028,369 7234,043

0,155 1096,774 2193,548 3290,323 4387,097 5483,871 6580,645

0,169 1005,917 2011,834 3017,751 4023,669 5029,586 6035,503

0,185 918,919 1837,838 2756,757 3675,676 4594,595 5513,514

0,203 837,438 1674,877 2512,315 3349,754 4187,192 5024,631

0,223 762,332 1524,664 2286,996 3049,327 3811,659 4573,991

0,250 680,000 1360,000 2040,000 2720,000 3400,000 4080,000

0,314 541,401 1082,803 1624,204 2165,605 2707,006 3248,408

1

1634,615

3269,231

4903,846

6538,462

8173,077

9807,692

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.6.1 Curva circunferencia para l=0.104

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1465,517

2931,034

4396,552

5862,069

7327,586

8793,103

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1328,125

2656,250

3984,375

5312,500

6640,625

7968,750

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1205,674

2411,348

3617,021

4822,695

6028,369

7234,043

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1096,774

2193,548

3290,323

4387,097

5483,871

6580,645

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1005,917

2011,834

3017,751

4023,669

5029,586

6035,503

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

918,919

1837,838

2756,757

3675,676

4594,595

5513,514

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

837,438

1674,877

2512,315

3349,754

4187,192

5024,631

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

762,3321524,664

2286,996

3049,327

3811,659

4573,991

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

680,0001360,000

2040,0002720,000

3400,0004080,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

541,4011082,803

1624,2042165,605

2707,0063248,408

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CISOIDE DE DIOCLES

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,117 1452,991 2905,983 4358,974 5811,966 7264,957 8717,949

0,131 1297,710 2595,420 3893,130 5190,840 6488,550 7786,260

0,146 1164,384 2328,767 3493,151 4657,534 5821,918 6986,301

0,161 1055,901 2111,801 3167,702 4223,602 5279,503 6335,404

0,177 960,452 1920,904 2881,356 3841,808 4802,260 5762,712

0,194 876,289 1752,577 2628,866 3505,155 4381,443 5257,732

0,211 805,687 1611,374 2417,062 3222,749 4028,436 4834,123

0,230 739,130 1478,261 2217,391 2956,522 3695,652 4434,783

0,249 682,731 1365,462 2048,193 2730,924 3413,655 4096,386

0,270 629,630 1259,259 1888,889 2518,519 3148,148 3777,778

0,292 582,192 1164,384 1746,575 2328,767 2910,959 3493,151

1

1452,991

2905,983

4358,974

5811,966

7264,957

8717,949

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.7.1 Curva cisoide de Diocles para l=0.117

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1297,710

2595,420

3893,130

5190,840

6488,550

7786,260

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1164,384

2328,767

3493,151

4657,534

5821,918

6986,301

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1055,901

2111,801

3167,702

4223,602

5279,503

6335,404

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

960,452

1920,904

2881,356

3841,808

4802,260

5762,712

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

876,289

1752,577

2628,866

3505,155

4381,443

5257,732

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

805,687

1611,374

2417,062

3222,749

4028,436

4834,123

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

739,1301478,261

2217,391

2956,522

3695,652

4434,783

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

682,7311365,462

2048,1932730,924

3413,6554096,386

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

629,6301259,259

1888,8892518,519

3148,1483777,778

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

582,1921164,384

1746,5752328,767

2910,9593493,151

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

COCLEOIDE

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,106 1603,774 3207,547 4811,321 6415,094 8018,868 9622,642

0,116 1465,517 2931,034 4396,552 5862,069 7327,586 8793,103

0,126 1349,206 2698,413 4047,619 5396,825 6746,032 8095,238

0,136 1250,000 2500,000 3750,000 5000,000 6250,000 7500,000

0,146 1164,384 2328,767 3493,151 4657,534 5821,918 6986,301

0,156 1089,744 2179,487 3269,231 4358,974 5448,718 6538,462

0,166 1024,096 2048,193 3072,289 4096,386 5120,482 6144,578

0,176 965,909 1931,818 2897,727 3863,636 4829,545 5795,455

0,187 909,091 1818,182 2727,273 3636,364 4545,455 5454,545

0,197 862,944 1725,888 2588,832 3451,777 4314,721 5177,665

0,207 821,256 1642,512 2463,768 3285,024 4106,280 4927,536

1

1603,774

3207,547

4811,321

6415,094

8018,868

9622,642

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.8.1 Curva Cocleoide para l=0.106

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1465,517

2931,034

4396,552

5862,069

7327,586

8793,103

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1349,206

2698,413

4047,619

5396,825

6746,032

8095,238

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1250,000

2500,000

3750,000

5000,000

6250,000

7500,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1164,384

2328,767

3493,151

4657,534

5821,918

6986,301

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1089,744

2179,487

3269,231

4358,974

5448,718

6538,462

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1024,096

2048,193

3072,289

4096,386

5120,482

6144,578

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

965,909

1931,818

2897,727

3863,636

4829,545

5795,455

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

909,091

1818,182

2727,273

3636,364

4545,455

5454,545

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

862,944

1725,888

2588,832

3451,777

4314,721

5177,665

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

821,256

1642,512

2463,768

3285,024

4106,280

4927,536

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CUADRIFOLIO

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,280 607,143 1214,286 1821,429 2428,571 3035,714 3642,857

0,293 580,205 1160,410 1740,614 2320,819 2901,024 3481,229

0,306 555,556 1111,111 1666,667 2222,222 2777,778 3333,333

0,319 532,915 1065,831 1598,746 2131,661 2664,577 3197,492

0,331 513,595 1027,190 1540,785 2054,381 2567,976 3081,571

0,342 497,076 994,152 1491,228 1988,304 2485,380 2982,456

0,353 481,586 963,173 1444,759 1926,346 2407,932 2889,518

0,363 468,320 936,639 1404,959 1873,278 2341,598 2809,917

0,374 454,545 909,091 1363,636 1818,182 2272,727 2727,273

0,384 442,708 885,417 1328,125 1770,833 2213,542 2656,250

0,395 430,380 860,759 1291,139 1721,519 2151,899 2582,278

1

607,1431214,286

1821,4292428,571

3035,7143642,857

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.9.1 Curva Cuadrifolio para l=0.280

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

580,2051160,410

1740,6142320,819

2901,0243481,229

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

555,5561111,111

1666,6672222,222

2777,7783333,333

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

532,9151065,831

1598,7462131,661

2664,5773197,492

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

513,5951027,190

1540,7852054,381

2567,9763081,571

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

497,076994,152

1491,2281988,304

2485,3802982,456

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

481,586963,173

1444,7591926,346

2407,9322889,518

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

468,320936,639

1404,9591873,278

2341,5982809,917

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

454,545909,0911363,636

1818,1822272,727

2727,273

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

442,708885,4171328,125

1770,8332213,542

2656,250

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

430,380860,7591291,139

1721,5192151,899

2582,278

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CUARTICA PERIFORME

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,142 1197,183 2394,366 3591,549 4788,732 5985,915 7183,099

0,156 1089,744 2179,487 3269,231 4358,974 5448,718 6538,462

0,169 1005,917 2011,834 3017,751 4023,669 5029,586 6035,503

0,181 939,227 1878,453 2817,680 3756,906 4696,133 5635,359

0,192 885,417 1770,833 2656,250 3541,667 4427,083 5312,500

0,202 841,584 1683,168 2524,752 3366,337 4207,921 5049,505

0,212 801,887 1603,774 2405,660 3207,547 4009,434 4811,321

0,224 758,929 1517,857 2276,786 3035,714 3794,643 4553,571

0,241 705,394 1410,788 2116,183 2821,577 3526,971 4232,365

0,268 634,328 1268,657 1902,985 2537,313 3171,642 3805,970

0,352 482,955 965,909 1448,864 1931,818 2414,773 2897,727

1

1197,183

2394,366

3591,549

4788,732

5985,915

7183,099

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.10.1 Curva Cuartica Periforme para l=0.142

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1089,744

2179,487

3269,231

4358,974

5448,718

6538,462

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1005,917

2011,834

3017,751

4023,669

5029,586

6035,503

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

939,227

1878,453

2817,680

3756,906

4696,133

5635,359

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

885,417

1770,833

2656,250

3541,667

4427,083

5312,500

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

841,584

1683,168

2524,752

3366,337

4207,921

5049,505

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

801,887

1603,774

2405,660

3207,547

4009,434

4811,321

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

758,929

1517,857

2276,786

3035,714

3794,643

4553,571

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

705,3941410,788

2116,1832821,577

3526,971

4232,365

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

634,3281268,657

1902,9852537,313

3171,6423805,970

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

482,955965,909

1448,8641931,818

2414,7732897,727

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CURVA DE DISTRIBUCION NORMAL

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,101 1683,168 3366,337 5049,505 6732,673 8415,842 10099,010

0,111 1531,532 3063,063 4594,595 6126,126 7657,658 9189,189

0,121 1404,959 2809,917 4214,876 5619,835 7024,793 8429,752

0,132 1287,879 2575,758 3863,636 5151,515 6439,394 7727,273

0,142 1197,183 2394,366 3591,549 4788,732 5985,915 7183,099

0,153 1111,111 2222,222 3333,333 4444,444 5555,556 6666,667

0,164 1036,585 2073,171 3109,756 4146,341 5182,927 6219,512

0,174 977,011 1954,023 2931,034 3908,046 4885,057 5862,069

0,185 918,919 1837,838 2756,757 3675,676 4594,595 5513,514

0,196 867,347 1734,694 2602,041 3469,388 4336,735 5204,082

0,207 821,256 1642,512 2463,768 3285,024 4106,280 4927,536

1

1683,168

3366,337

5049,505

6732,673

8415,842

10099,010

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.11.1 Curva de distrribución normal para l=0.101

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1531,532

3063,063

4594,595

6126,126

7657,658

9189,189

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1404,959

2809,917

4214,876

5619,835

7024,793

8429,752

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1287,879

2575,758

3863,636

5151,515

6439,394

7727,273

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1197,183

2394,366

3591,549

4788,732

5985,915

7183,099

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1111,111

2222,222

3333,333

4444,444

5555,556

6666,667

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1036,585

2073,171

3109,756

4146,341

5182,927

6219,512

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

977,011

1954,023

2931,034

3908,046

4885,057

5862,069

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

918,919

1837,838

2756,757

3675,676

4594,595

5513,514

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

867,347

1734,694

2602,041

3469,388

4336,735

5204,082

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

821,256

1642,512

2463,768

3285,024

4106,280

4927,536

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CURVA DE PERSECUCIÓN

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,694 244,957 489,914 734,870 979,827 1224,784 1469,741

0,743 228,802 457,604 686,406 915,209 1144,011 1372,813

0,790 215,190 430,380 645,570 860,759 1075,949 1291,139

0,835 203,593 407,186 610,778 814,371 1017,964 1221,557

0,877 193,843 387,685 581,528 775,371 969,213 1163,056

0,918 185,185 370,370 555,556 740,741 925,926 1111,111

0,958 177,453 354,906 532,359 709,812 887,265 1064,718

0,996 170,683 341,365 512,048 682,731 853,414 1024,096

1,033 164,569 329,138 493,708 658,277 822,846 987,415

1,068 159,176 318,352 477,528 636,704 795,880 955,056

1,102 154,265 308,530 462,795 617,060 771,325 925,590

1

244,957489,914734,870979,8271224,7841469,741500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.12.1 Curva de persecución para l=0.694

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

228,802457,604686,406915,2091144,0111372,813500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

215,190430,380645,570860,7591075,9491291,139500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

203,593407,186610,778814,3711017,9641221,557500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

193,843387,685581,528775,371969,2131163,056500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

185,185370,370555,556740,741925,9261111,111500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

177,453354,906532,359709,812887,2651064,718500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

170,683341,365512,048682,731853,4141024,096500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

164,569329,138493,708658,277822,846987,415500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

159,176318,352477,528636,704795,880955,056500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

154,265308,530462,795617,060771,325925,590500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

CURVA KAPPA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,220 772,727 1545,455 2318,182 3090,909 3863,636 4636,364

0,232 732,759 1465,517 2198,276 2931,034 3663,793 4396,552

0,245 693,878 1387,755 2081,633 2775,510 3469,388 4163,265

0,257 661,479 1322,957 1984,436 2645,914 3307,393 3968,872

0,269 631,970 1263,941 1895,911 2527,881 3159,851 3791,822

0,281 604,982 1209,964 1814,947 2419,929 3024,911 3629,893

0,292 582,192 1164,384 1746,575 2328,767 2910,959 3493,151

0,304 559,211 1118,421 1677,632 2236,842 2796,053 3355,263

0,315 539,683 1079,365 1619,048 2158,730 2698,413 3238,095

0,326 521,472 1042,945 1564,417 2085,890 2607,362 3128,834

0,338 502,959 1005,917 1508,876 2011,834 2514,793 3017,751

1

772,7271545,455

2318,182

3090,909

3863,636

4636,364

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.13.1 Curva Kappa para l=0.220

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

732,7591465,517

2198,276

2931,034

3663,793

4396,552

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

693,8781387,755

2081,6332775,510

3469,3884163,265

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

661,4791322,957

1984,4362645,914

3307,3933968,872

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

631,9701263,941

1895,9112527,881

3159,8513791,822

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

604,9821209,964

1814,9472419,929

3024,9113629,893

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

582,1921164,384

1746,5752328,767

2910,9593493,151

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

559,2111118,421

1677,6322236,842

2796,0533355,263

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

539,6831079,365

1619,0482158,730

2698,4133238,095

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

521,4721042,945

1564,4172085,890

2607,3623128,834

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

502,9591005,917

1508,8762011,834

2514,7933017,751

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

ELIPSE

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,101 1683,168 3366,337 5049,505 6732,673 8415,842 10099,010

0,111 1531,532 3063,063 4594,595 6126,126 7657,658 9189,189

0,122 1393,443 2786,885 4180,328 5573,770 6967,213 8360,656

0,133 1278,195 2556,391 3834,586 5112,782 6390,977 7669,173

0,144 1180,556 2361,111 3541,667 4722,222 5902,778 7083,333

0,155 1096,774 2193,548 3290,323 4387,097 5483,871 6580,645

0,167 1017,964 2035,928 3053,892 4071,856 5089,820 6107,784

0,179 949,721 1899,441 2849,162 3798,883 4748,603 5698,324

0,193 880,829 1761,658 2642,487 3523,316 4404,145 5284,974

0,208 817,308 1634,615 2451,923 3269,231 4086,538 4903,846

0,242 702,479 1404,959 2107,438 2809,917 3512,397 4214,876

1

1683,168

3366,337

5049,505

6732,673

8415,842

10099,010

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.14.1 Curva Elipse para l=0.101

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1531,532

3063,063

4594,595

6126,126

7657,658

9189,189

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1393,443

2786,885

4180,328

5573,770

6967,213

8360,656

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1278,195

2556,391

3834,586

5112,782

6390,977

7669,173

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1180,556

2361,111

3541,667

4722,222

5902,778

7083,333

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1096,774

2193,548

3290,323

4387,097

5483,871

6580,645

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1017,964

2035,928

3053,892

4071,856

5089,820

6107,784

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

949,721

1899,441

2849,162

3798,883

4748,603

5698,324

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

880,829

1761,658

2642,487

3523,316

4404,145

5284,974

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

817,308

1634,615

2451,923

3269,231

4086,538

4903,846

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

702,4791404,959

2107,4382809,917

3512,3974214,876

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

ESPIRAL HIPERBÓLICA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,111 1531,532 3063,063 4594,595 6126,126 7657,658 9189,189

0,122 1393,443 2786,885 4180,328 5573,770 6967,213 8360,656

0,133 1278,195 2556,391 3834,586 5112,782 6390,977 7669,173

0,143 1188,811 2377,622 3566,434 4755,245 5944,056 7132,867

0,154 1103,896 2207,792 3311,688 4415,584 5519,481 6623,377

0,164 1036,585 2073,171 3109,756 4146,341 5182,927 6219,512

0,174 977,011 1954,023 2931,034 3908,046 4885,057 5862,069

0,185 918,919 1837,838 2756,757 3675,676 4594,595 5513,514

0,195 871,795 1743,590 2615,385 3487,179 4358,974 5230,769

0,205 829,268 1658,537 2487,805 3317,073 4146,341 4975,610

0,216 787,037 1574,074 2361,111 3148,148 3935,185 4722,222

1

1531,532

3063,063

4594,595

6126,126

7657,658

9189,189

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.15.1 Curva Espiral Hiperbólica para l=0.111

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1393,443

2786,885

4180,328

5573,770

6967,213

8360,656

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1278,195

2556,391

3834,586

5112,782

6390,977

7669,173

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1188,811

2377,622

3566,434

4755,245

5944,056

7132,867

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1103,896

2207,792

3311,688

4415,584

5519,481

6623,377

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1036,585

2073,171

3109,756

4146,341

5182,927

6219,512

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

977,011

1954,023

2931,034

3908,046

4885,057

5862,069

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

918,919

1837,838

2756,757

3675,676

4594,595

5513,514

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

871,795

1743,590

2615,385

3487,179

4358,974

5230,769

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

829,268

1658,537

2487,805

3317,073

4146,341

4975,610

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

787,037

1574,074

2361,111

3148,148

3935,185

4722,222

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

ESTROFOIDE RECTA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,127 1338,583 2677,165 4015,748 5354,331 6692,913 8031,496

0,138 1231,884 2463,768 3695,652 4927,536 6159,420 7391,304

0,149 1140,940 2281,879 3422,819 4563,758 5704,698 6845,638

0,160 1062,500 2125,000 3187,500 4250,000 5312,500 6375,000

0,171 994,152 1988,304 2982,456 3976,608 4970,760 5964,912

0,182 934,066 1868,132 2802,198 3736,264 4670,330 5604,396

0,192 885,417 1770,833 2656,250 3541,667 4427,083 5312,500

0,203 837,438 1674,877 2512,315 3349,754 4187,192 5024,631

0,214 794,393 1588,785 2383,178 3177,570 3971,963 4766,355

0,224 758,929 1517,857 2276,786 3035,714 3794,643 4553,571

0,234 726,496 1452,991 2179,487 2905,983 3632,479 4358,974

1

1338,583

2677,165

4015,748

5354,331

6692,913

8031,496

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.16.1 Curva Estrofoide Recta para l=0.127

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1231,884

2463,768

3695,652

4927,536

6159,420

7391,304

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1140,940

2281,879

3422,819

4563,758

5704,698

6845,638

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1062,500

2125,000

3187,500

4250,000

5312,500

6375,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

994,152

1988,304

2982,456

3976,608

4970,760

5964,912

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

934,066

1868,132

2802,198

3736,264

4670,330

5604,396

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

885,417

1770,833

2656,250

3541,667

4427,083

5312,500

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

837,438

1674,877

2512,315

3349,754

4187,192

5024,631

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

794,393

1588,785

2383,178

3177,570

3971,963

4766,355

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

758,929

1517,857

2276,786

3035,714

3794,643

4553,571

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

726,4961452,991

2179,4872905,983

3632,479

4358,974

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

HIPÉRBOLA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,136 1250,000 2500,000 3750,000 5000,000 6250,000 7500,000

0,147 1156,463 2312,925 3469,388 4625,850 5782,313 6938,776

0,159 1069,182 2138,365 3207,547 4276,730 5345,912 6415,094

0,170 1000,000 2000,000 3000,000 4000,000 5000,000 6000,000

0,182 934,066 1868,132 2802,198 3736,264 4670,330 5604,396

0,193 880,829 1761,658 2642,487 3523,316 4404,145 5284,974

0,204 833,333 1666,667 2500,000 3333,333 4166,667 5000,000

0,216 787,037 1574,074 2361,111 3148,148 3935,185 4722,222

0,227 748,899 1497,797 2246,696 2995,595 3744,493 4493,392

0,238 714,286 1428,571 2142,857 2857,143 3571,429 4285,714

0,250 680,000 1360,000 2040,000 2720,000 3400,000 4080,000

1

1250,000

2500,000

3750,000

5000,000

6250,000

7500,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.17.1 Curva Hipérbola para l=0.136

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1156,463

2312,925

3469,388

4625,850

5782,313

6938,776

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1069,182

2138,365

3207,547

4276,730

5345,912

6415,094

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1000,000

2000,000

3000,000

4000,000

5000,000

6000,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

934,066

1868,132

2802,198

3736,264

4670,330

5604,396

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

880,829

1761,658

2642,487

3523,316

4404,145

5284,974

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

833,333

1666,667

2500,000

3333,333

4166,667

5000,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

787,037

1574,074

2361,111

3148,148

3935,185

4722,222

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

748,8991497,797

2246,696

2995,595

3744,493

4493,392

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

714,2861428,571

2142,8572857,143

3571,429

4285,714

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

680,0001360,000

2040,0002720,000

3400,0004080,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

KAMPILEA DE EUDOXO

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,361 470,914 941,828 1412,742 1883,657 2354,571 2825,485

0,403 421,836 843,672 1265,509 1687,345 2109,181 2531,017

0,447 380,313 760,626 1140,940 1521,253 1901,566 2281,879

0,494 344,130 688,259 1032,389 1376,518 1720,648 2064,777

0,542 313,653 627,306 940,959 1254,613 1568,266 1881,919

0,593 286,678 573,356 860,034 1146,712 1433,390 1720,067

0,645 263,566 527,132 790,698 1054,264 1317,829 1581,395

0,699 243,205 486,409 729,614 972,818 1216,023 1459,227

0,755 225,166 450,331 675,497 900,662 1125,828 1350,993

0,813 209,102 418,204 627,306 836,408 1045,510 1254,613

0,873 194,731 389,462 584,192 778,923 973,654 1168,385

1

470,914941,828

1412,7421883,657

2354,5712825,485

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.18.1 Curva Kampilea de Eudoxo para l=0.361

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

421,836843,6721265,509

1687,3452109,181

2531,017

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

380,313760,6261140,9401521,2531901,5662281,879

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

344,130688,2591032,3891376,5181720,6482064,777

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

313,653627,306940,9591254,6131568,2661881,919

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

286,678573,356860,0341146,7121433,3901720,067

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

263,566527,132790,6981054,2641317,8291581,395500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

243,205486,409729,614972,8181216,0231459,227500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

225,166450,331675,497900,6621125,8281350,993500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

209,102418,204627,306836,4081045,5101254,613500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

194,731389,462584,192778,923973,6541168,385500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

LEMNISCATA DE GEROMO

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,132 1287,879 2575,758 3863,636 5151,515 6439,394 7727,273

0,143 1188,811 2377,622 3566,434 4755,245 5944,056 7132,867

0,154 1103,896 2207,792 3311,688 4415,584 5519,481 6623,377

0,165 1030,303 2060,606 3090,909 4121,212 5151,515 6181,818

0,175 971,429 1942,857 2914,286 3885,714 4857,143 5828,571

0,185 918,919 1837,838 2756,757 3675,676 4594,595 5513,514

0,195 871,795 1743,590 2615,385 3487,179 4358,974 5230,769

0,207 821,256 1642,512 2463,768 3285,024 4106,280 4927,536

0,222 765,766 1531,532 2297,297 3063,063 3828,829 4594,595

0,244 696,721 1393,443 2090,164 2786,885 3483,607 4180,328

0,304 559,211 1118,421 1677,632 2236,842 2796,053 3355,263

1

1287,879

2575,758

3863,636

5151,515

6439,394

7727,273

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.19.1 Curva Lemniscata de Geromo para l=0.132

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1188,811

2377,622

3566,434

4755,245

5944,056

7132,867

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1103,896

2207,792

3311,688

4415,584

5519,481

6623,377

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1030,303

2060,606

3090,909

4121,212

5151,515

6181,818

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

971,429

1942,857

2914,286

3885,714

4857,143

5828,571

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

918,919

1837,838

2756,757

3675,676

4594,595

5513,514

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

871,795

1743,590

2615,385

3487,179

4358,974

5230,769

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

821,256

1642,512

2463,768

3285,024

4106,280

4927,536

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

765,766

1531,532

2297,297

3063,063

3828,829

4594,595

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

696,7211393,443

2090,1642786,885

3483,607

4180,328

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

559,2111118,421

1677,6322236,842

2796,0533355,263

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.19.11Curva Lemniscata de Geromo para l=0.304

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

PARABOLA SEMICÚBICA DE NEILE

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,101 1683,168 3366,337 5049,505 6732,673 8415,842 10099,010

0,176 965,909 1931,818 2897,727 3863,636 4829,545 5795,455

0,189 899,471 1798,942 2698,413 3597,884 4497,354 5396,825

0,201 845,771 1691,542 2537,313 3383,085 4228,856 5074,627

0,214 794,393 1588,785 2383,178 3177,570 3971,963 4766,355

0,226 752,212 1504,425 2256,637 3008,850 3761,062 4513,274

0,239 711,297 1422,594 2133,891 2845,188 3556,485 4267,782

0,251 677,291 1354,582 2031,873 2709,163 3386,454 4063,745

0,263 646,388 1292,776 1939,163 2585,551 3231,939 3878,327

0,275 618,182 1236,364 1854,545 2472,727 3090,909 3709,091

0,287 592,334 1184,669 1777,003 2369,338 2961,672 3554,007

1

1683,168

3366,337

5049,505

6732,673

8415,842

10099,010

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.20.1 Curva Parábola semicúbica de Neile para l=0.101

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

965,909

1931,818

2897,727

3863,636

4829,545

5795,455

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

899,471

1798,942

2698,413

3597,884

4497,354

5396,825

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

845,771

1691,542

2537,313

3383,085

4228,856

5074,627

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

794,393

1588,785

2383,178

3177,570

3971,963

4766,355

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

752,212

1504,425

2256,637

3008,850

3761,062

4513,274

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

711,2971422,594

2133,8912845,188

3556,485

4267,782

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

677,2911354,582

2031,8732709,163

3386,4544063,745

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

646,3881292,776

1939,1632585,551

3231,9393878,327

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

618,1821236,364

1854,5452472,727

3090,9093709,091

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

592,3341184,669

1777,0032369,338

2961,6723554,007

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

PARÁBOLA

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,102 1666,667 3333,333 5000,000 6666,667 8333,333 10000,000

0,113 1504,425 3008,850 4513,274 6017,699 7522,124 9026,549

0,124 1370,968 2741,935 4112,903 5483,871 6854,839 8225,806

0,135 1259,259 2518,519 3777,778 5037,037 6296,296 7555,556

0,147 1156,463 2312,925 3469,388 4625,850 5782,313 6938,776

0,158 1075,949 2151,899 3227,848 4303,797 5379,747 6455,696

0,170 1000,000 2000,000 3000,000 4000,000 5000,000 6000,000

0,182 934,066 1868,132 2802,198 3736,264 4670,330 5604,396

0,194 876,289 1752,577 2628,866 3505,155 4381,443 5257,732

0,206 825,243 1650,485 2475,728 3300,971 4126,214 4951,456

0,219 776,256 1552,511 2328,767 3105,023 3881,279 4657,534

1

1666,667

3333,333

5000,000

6666,667

8333,333

10000,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.21.1 Curva Parábola para l=0.102

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1504,425

3008,850

4513,274

6017,699

7522,124

9026,549

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1370,968

2741,935

4112,903

5483,871

6854,839

8225,806

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1259,259

2518,519

3777,778

5037,037

6296,296

7555,556

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1156,463

2312,925

3469,388

4625,850

5782,313

6938,776

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1075,949

2151,899

3227,848

4303,797

5379,747

6455,696

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1000,000

2000,000

3000,000

4000,000

5000,000

6000,000

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

934,066

1868,132

2802,198

3736,264

4670,330

5604,396

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

876,289

1752,577

2628,866

3505,155

4381,443

5257,732

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

825,243

1650,485

2475,728

3300,971

4126,214

4951,456

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

776,256

1552,511

2328,767

3105,023

3881,279

4657,534

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

TRISECTRIZ DE MCLAURIN

l 170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0,152 1118,421 2236,842 3355,263 4473,684 5592,105 6710,526

0,164 1036,585 2073,171 3109,756 4146,341 5182,927 6219,512

0,176 965,909 1931,818 2897,727 3863,636 4829,545 5795,455

0,187 909,091 1818,182 2727,273 3636,364 4545,455 5454,545

0,198 858,586 1717,172 2575,758 3434,343 4292,929 5151,515

0,209 813,397 1626,794 2440,191 3253,589 4066,986 4880,383

0,220 772,727 1545,455 2318,182 3090,909 3863,636 4636,364

0,231 735,931 1471,861 2207,792 2943,723 3679,654 4415,584

0,241 705,394 1410,788 2116,183 2821,577 3526,971 4232,365

0,251 677,291 1354,582 2031,873 2709,163 3386,454 4063,745

0,261 651,341 1302,682 1954,023 2605,364 3256,705 3908,046

1

1118,421

2236,842

3355,263

4473,684

5592,105

6710,526

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l

A-2.22.1 Curva Trisectriz de Mclaurin para l=0.152

170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

1036,585

2073,171

3109,756

4146,341

5182,927

6219,512

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

965,909

1931,818

2897,727

3863,636

4829,545

5795,455

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

909,091

1818,182

2727,273

3636,364

4545,455

5454,545

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

858,586

1717,172

2575,758

3434,343

4292,929

5151,515

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

813,397

1626,794

2440,191

3253,589

4066,986

4880,383

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

772,727

1545,455

2318,182

3090,909

3863,636

4636,364

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

735,9311471,861

2207,792

2943,723

3679,654

4415,584

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

705,3941410,788

2116,1832821,577

3526,971

4232,365

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

677,2911354,582

2031,8732709,163

3386,4544063,745

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

1

651,3411302,682

1954,0232605,364

3256,7053908,046

500

1500

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

valores de l


170/l 340/l 510/l 680/l 850/l 1020/l

0000. portada tomo i

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