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TRANSCRIPT
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Matemaacuteticas fi nancieras
00 PRELIMI 00indd I00 PRELIMI 00indd I 112808 24407 AM112808 24407 AM
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Alfredo Diacuteaz MataFacultad de Contaduriacutea y Administracioacuten
Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Viacutector Manuel Aguilera GoacutemezUniversidad Iberoamericana
Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Revisor teacutecnicoMario Luis Cruz Vargas
FACPYA Facultad de Contaduriacutea Puacuteblica y AdministracioacutenUniversidad Autoacutenoma de Nuevo Leoacuten
Matemaacuteticas fi nancierasCuarta edicioacuten
MEacuteXICO bull BOGOTAacute bull BUENOS AIRES bull CARACAS bull GUATEMALA LISBOA bull MADRID bull NUEVA YORK bull SAN JUAN bull SANTIAGO
AUCKLAND bull LONDRES bull MILAacuteN bull SAtildeO PAULO bull MONTREAL bull NUEVA DELHISAN FRANCISCO bull SINGAPUR bull SAN LUIS bull SIDNEY bull TORONTO
00 PRELIMI 00indd III00 PRELIMI 00indd III 112808 24408 AM112808 24408 AM
Director Higher Education Miguel Aacutengel Toledo CastellanosDirector editorial Ricardo A del Bosque AlayoacutenEditor sponsor Jesuacutes Mares ChacoacutenEditora de desarrollo Marcela Rocha MartiacutenezSupervisor de produccioacuten Zeferino Garciacutea Garciacutea
Disentildeo de portada Javier CorteacutesPublix
MATEMAacuteTICAS FINANCIERASCuarta edicioacuten
Prohibida la reproduccioacuten total o parcial de esta obrapor cualquier medio sin la autorizacioacuten escrita del editor
DERECHOS RESERVADOS copy 2008 respecto a la cuarta edicioacuten porMcGRAW-HILLINTERAMERICANA EDITORES SA de CVA Subsidiary of Th e McGraw-Hill Companies Inc Prolongacioacuten Paseo de la Reforma 1015 Torre A Pisos 16 y 17 Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacioacuten Aacutelvaro Obregoacuten CP 01376 Meacutexico D F Miembro de la Caacutemara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg Nuacutem 736
ISBN-13 978-970-10-5920-3ISBN-10 970-10-5920-4(ISBN 970-10-2525-3 de la tercera edicioacuten)(ISBN 968-42-786-8 de la segunda edicioacuten)Copyright copy MMVIII by Alfredo Diacuteaz Mata y Viacutector Manuel Aguilera GoacutemezAll rights reserved
0123456789 09765432108
Impreso en Meacutexico Printed in Mexico
Reimpresioacuten revisada
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Prefacio ix
Capiacutetulo 1 Fundamentos 1
11 Exponentes 2 12 Leyes de los exponentes 2 13 Exponente cero negativo y fraccionario 5 14 Logaritmos 9 15 Caacutelculos con logaritmos 14 16 Redondeo 20 17 Progresiones aritmeacuteticas 20 18 Progresiones geomeacutetricas 24 19 Progresiones geomeacutetricas infi nitas 31 110 Uso de Excel 35 111 Resumen 37
Capiacutetulo 2 Intereacutes simple 47
21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos 48 22 Monto 50 23 Valor actual o presente 50 24 Intereacutes 51 25 Tasa y tipo de intereacutes 54 26 Plazo o tiempo 55 27 Tiempo real y tiempo aproximado 56 28 Descuento 59 29 Graacutefi cas de intereacutes simple 63 210 Ecuaciones de valores equivalentes 66 211 Aplicaciones Ventas a plazo Tarjetas de creacutedito Preacutestamos prendarios (empentildeo) Pagos anticipados de facturas 70 212 Uso de Excel 77 213 Resumen 82
Capiacutetulo 3 Intereacutes compuesto 89
31 Introduccioacuten 90 32 Conceptos baacutesicos 90
CONTENIDO
00 PRELIMI 00indd V00 PRELIMI 00indd V 112808 24408 AM112808 24408 AM
ContenidoVI
33 Monto compuesto 94 34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes 100 35 Valor actual o presente 104 36 Tiempo 114 37 Tasa de intereacutes 117 38 Ecuaciones de valores equivalentes 120 39 Tiempo equivalente 125 310 Aplicaciones 129 311 Uso de Excel 134 312 Resumen 146
Capiacutetulo 4 Anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas 155
41 Introduccioacuten y terminologiacutea 156 42 Tipos de anualidades 156 43 Monto 158 44 Valor actual 161 45 Renta 165 46 Plazo 167 47 Tasa de intereacutes 171 48 Aplicaciones 179 49 Uso de Excel 185 410 Resumen 193
Capiacutetulo 5 Anualidades anticipadas 199
51 Introduccioacuten 200 52 Monto y valor actual 201 53 Renta plazo e intereacutes 205 54 Aplicaciones 212 55 Uso de Excel 215 56 Resumen 222
Capiacutetulo 6 Anualidades diferidas 225
61 Introduccioacuten 226 62 Monto y valor actual 226 63 Renta plazo e intereacutes 230 64 Uso de Excel 238 65 Resumen 241
Capiacutetulo 7 El caso general de anualidades 245
71 Introduccioacuten 246 72 Monto y valor actual 247
00 PRELIMI 00indd VI00 PRELIMI 00indd VI 112808 24409 AM112808 24409 AM
Contenido VII
73 Renta 253 74 Tasa de intereacutes y plazo 255 75 Anualidades generales anticipadas 262 76 Anualidades generales diferidas 264 77 Aplicaciones 267 78 Uso de Excel 279 79 Resumen 298
Capiacutetulo 8 Amortizacioacuten y fondos de amortizacioacuten 303
81 Introduccioacuten 304 82 Tablas de amortizacioacuten 305 83 Importe de los pagos en una amortizacioacuten 306 84 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor 308 85 Nuacutemero de pagos en una amortizacioacuten 310 86 Tasa de intereacutes en una amortizacioacuten 312 87 Otros casos de amortizacioacuten 314 88 Depoacutesitos a un fondo de amortizacioacuten 319 89 Total acumulado en un fondo de amortizacioacuten y saldo insoluto 321 810 Nuacutemero de depoacutesitos en un fondo de amortizacioacuten 322 811 Tasa de intereacutes en un fondo de amortizacioacuten 324 812 Comparacioacuten entre amortizacioacuten y fondo de amortizacioacuten 326 813 Aplicaciones 329 814 Uso de Excel 334 815 Resumen 347
Capiacutetulo 9 Inversioacuten en bolsa de valores 353
91 Introduccioacuten 354 92 Rendimientos de valores bursaacutetiles 354 93 Los valores bursaacutetiles 354 94 Rendimiento de valores que ofrecen ganancias de capital 359 95 Rendimiento de valores que pagan intereses (y que tambieacuten
permiten ganancias de capital) 377 96 Resumen 391
Capiacutetulo 10 Depreciacioacuten 403
101 Introduccioacuten 404 102 Conceptos 404 103 Meacutetodo de liacutenea recta 405 104 Meacutetodo de porcentaje fi jo 408 105 Meacutetodo de suma de diacutegitos 413 106 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicio 418 107 Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten 422 108 Depreciacioacuten en eacutepocas infl acionarias 428
00 PRELIMI 00indd VII00 PRELIMI 00indd VII 112808 24409 AM112808 24409 AM
ContenidoVIII
109 Aplicaciones 431 1010 Uso de Excel 435 1011 Resumen 441
Capiacutetulo 11 Probabilidades y tablas de mortalidad 445
111 Introduccioacuten 446 112 Concepto de probabilidad 446 113 Probabilidad matemaacutetica 446 114 Probabilidad estadiacutestica 450 115 Esperanza matemaacutetica 453 116 Valor actual de un pago contingente 456 117 Tablas de mortalidad 460 118 Aplicaciones 465 119 Uso de Excel 470 1110 Resumen 473
Capiacutetulo 12 Anualidades contingentes 481
121 Introduccioacuten 482 122 Valor actual de un dotal puro 482 123 Anualidades vitalicias vencidas 485 124 Anualidades vitalicias anticipadas 488 125 Anualidades vitalicias diferidas 490 126 Anualidades contingentes temporales 493 127 Aplicaciones 496 128 Resumen 499
Respuestas a los ejercicios de seccioacuten impares 505
Apeacutendice Manejo de tablas 519
1 Mantisas 520 Tabla I Mantisas logaritmos con base 10 529 Tabla II Tabla de mortalidad de hombres Meacutexico 2000 547 Tabla III Tabla de mortalidad de mujeres Meacutexico 2000 550
Iacutendice analiacutetico 553
00 PRELIMI 00indd VIII00 PRELIMI 00indd VIII 112808 24410 AM112808 24410 AM
Las matemaacuteticas fi nancieras tienen aplicacioacuten en la vida cotidiana de las personas y las em-presas por ello resulta imprescindible su cabal comprensioacuten pues los errores que con ellas se cometen tienen repercusioacuten directa en el bolsillo La lectura de esta obra y la solucioacuten de los problemas que en ella se presentan permitiraacuten al lector adquirir los conocimientos nece-sarios para comprender las implicaciones que tienen las variaciones del valor del dinero en el tiempo
Al igual que en las ediciones anteriores la cuarta edicioacuten de Matemaacuteticas fi nancieras tiene como propoacutesito primordial presentar las herramientas matemaacuteticas necesarias para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y circunstancias de la manera maacutes sencilla posible es decir abordando los temas con la menor complejidad matemaacutetica que el tema permite
Con ejemplos didaacutecticos se lleva al lector paso a paso a la solucioacuten de problemas praacutecticos mdashla cual puede ser en forma manual o con el auxilio de una calculadora electroacutenicamdash que se presentan tanto en la vida personal como en la vida de los negocios Una vez que se logra la comprensioacuten de eacutestos la realizacioacuten de los caacutelculos asociados podraacute efectuarse con rapidez utilizando las funciones y capacidades que ofrecen las hojas de caacutelculo electroacutenicas Sin embargo es necesario recalcar la necesidad de entender el planteamiento de los problemas y de la loacutegica para su solucioacuten pues con la misma velocidad con que se puede obtener la solucioacuten correcta a caacutelculos complejos se pueden cometer errores garrafales provocados por un mal planteamiento o una pobre comprensioacuten de la loacutegica de los problemas fi nancieros
En lo esencial se han conservando los temas de las ediciones anteriores haciendo uacutenicamente las precisiones sugeridas por profesores y estudiantes que lo han utilizado
La estructura baacutesica se mantuvo como sigue
bull Introduccioacuten y conceptos baacutesicos (capiacutetulo 1)bull Intereacutes simple e intereacutes compuesto (capiacutetulos 2 y 3)bull Anualidades (capiacutetulos 4 a 7 y 12)bull Amortizacioacuten y tablas de amortizacioacuten (capiacutetulo 8)bull Depreciacioacuten (capiacutetulo 10)bull Inversioacuten en bolsa de valores (capiacutetulo 9)bull Probabilidad y tablas de mortalidad (capiacutetulo 11) que es la base del capiacutetulo 12 que
trata las anualidades contingentes Aquiacute se revisa la tabla de mortalidad de la poblacioacuten mexicana y se incluye una tabla de mortalidad dividida ahora por sexos en hombres y mujeres basada en una publicacioacuten de la Asociacioacuten Mexicana de Instituciones de Seguros AC y de la Asociacioacuten Mexicana de Actuarios AC actualizada al antildeo 2000
PREFACIO
00 PRELIMI 00indd IX00 PRELIMI 00indd IX 112808 24410 AM112808 24410 AM
X
Para esta edicioacuten se revisaron todos los problemas y los ejercicios para incorporar diversas sugerencias de mejora que hemos recibido de profesores y de estudiantes y se modifi caron numerosas cantidades y tasas de intereacutes para adecuarlas a las circunstancias que prevalecen en los mercados fi nancieros
Por otra parte se han hecho adiciones importantes al material que conforma esta nueva edicioacuten
En primer lugar se incluyeron secciones de aplicaciones en varios capiacutetulos que no las teniacutean No se incluyeron en todos porque en alguno no era pertinente (el de introduccioacuten es uno de ellos) y en otros hubiera resultado redundante (como en el de anualidades diferidas) o como el capiacutetulo 9 sobre inversiones bursaacutetiles que es praacutecticamente en su totalidad aplicaciones
En segundo teacutermino se incluyeron secciones de ldquoUso de Excelregrdquo en todos los capiacutetulos por cuando menos dos razones importantes el uso de computadoras es ya una labor cotidiana tanto en el aacutembito laboral como en la escuela y en el hogar y el paquete Excelreg de Microsoft es una herramienta muy uacutetil y ampliamente difundida Y por otra parte tal como puede apreciarse en estas secciones el uso de Excelreg permite importantes ahorros de tiempo y esfuerzo Los ejemplos abundan pero uno notable es en el caacutelculo de tasas en aplicaciones de anualidades Se utilizoacute la versioacuten 2003 de Excelreg
Las secciones con Excelreg estaacuten referidas casi en su totalidad a los ejemplos que ya se resolvieron en el texto donde se presentan los conceptos y los procedimientos de caacutelculo por lo que es faacutecil comparar la resolucioacuten de abundantes ejemplos en forma manual (es decir con calculadora electroacutenica) y utilizando este popular paquete de computacioacuten
En tercer lugar se incluyeron al fi nal de cada capiacutetulo secciones de ldquoMatemaacuteticas en internetrdquo en donde se proporcionan direcciones de sitios de internet en los que se puede encontrar material adicional sobre los temas abordados
Por uacuteltimo se incluyoacute una introduccioacuten a las anualidades crecientes tema que cobra especial intereacutes en el marco de la reforma de los sistemas de pensiones en virtud de la necesidad de crear fondos de jubilacioacuten que puedan ayudar a tener un retiro digno
Agradecimientos
Para la realizacioacuten de este libro hemos contado con la colaboracioacuten de un gran nuacutemero de personas a quienes les expresamos nuestro agradecimiento Queremos reconocer de forma especial al ingeniero Jesuacutes Valdez Cook catedraacutetico del ITESM Campus Saltillo del Instituto Tecnoloacutegico de Saltillo y de la Universidad Autoacutenoma de Coahuila por sus valiosas observaciones y sugerencias a los catedraacuteticos del ITESM Campus Saltillo Victoria Valdeacutes Daacutevila directora de la carrera de Licenciado en Administracioacuten de Empresas al contador puacuteblico Daniel Lozano Casas director de la carrera de Contador Puacuteblico asiacute como a la contadora Silvia Daacutevila Valdeacutes directora de la Divisioacuten de Administracioacuten y Ciencias Sociales al ingeniero Mario Luis Cruz Vargas catedraacutetico de la Universidad Autoacutenoma de Nuevo Leoacuten quien realizoacute una revisioacuten muy minuciosa del material previo a la tercera edicioacuten y al profesor Rauacutel Saacutemano Galindo del Departamento de Ciencias Baacutesicas del Instituto Tecnoloacutegico de Zacatepec Morelos por las correcciones que amablemente nos hizo llegar a los estudiantes del ITESM Campus Saltillo Cristina Goacutemez Morales Felipe Morales Cedillo Isabel Atahisiacute Rodriacuteguez de la Cerda Justo Meacutendez Alemaacuten Mariacutea Esperanza Morales Padilla Martha
Prefacio
00 PRELIMI 00indd X00 PRELIMI 00indd X 112808 24410 AM112808 24410 AM
XI
Patricia Recio Valdeacutes y Susana Aguirre Garciacutea quienes colaboraron en la investigacioacuten de viacutenculos de internet
Se desea tambieacuten extender un amplio reconocimiento a los numerosos profesores y estudiantes de la Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten de la Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico a quienes debemos valiosos comentarios y sugerencias que han ayudado a mejorar las diferentes versiones de este texto en especial al licenciado en Contaduriacutea Francisco Alfonso Morquecho Ortiz
Vaya tambieacuten nuestro agradecimiento a las sentildeoritas Ana Luisa Mendoza Luna y Blanca Yessenia Castillo Juaacuterez quienes colaboraron con la mecanografiacutea e integracioacuten del material
Finalmente pero no menos importante agradecemos tambieacuten a todo el personal de McGraw-HillInteramericana de Meacutexico y en especial a Ricardo del Bosque Alayoacuten a Marcela Rocha Martiacutenez y a Jesuacutes Mares Chacoacuten por hacer posible este libro
Agradecimientos especiales
Matemaacuteticas fi nancieras se ha benefi ciado con la preferencia de los profesores que a lo largo de sus cuatro ediciones la han utilizado y recomendado a sus alumnos Va para ellos nuestro maacutes sincero agradecimiento
Aguilera Antonia Instituto de Estudio Superiores de Chiapas Tuxtla Gutieacuterrez Chiapas
Aguilera Muntildeoz Oswaldo Universidad del Caribe Cancuacuten Quintana Roo
Angulo Conde Cristino Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaBecerril Francisco Nemesio Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten
Universidad Nacional Autoacutenoma de MeacutexicoDistrito Federal
MeacutexicoBermudez Correa Jaime Facultad de Economiacutea
Universidad Nacional Autoacutenoma de MeacutexicoDistrito Federal
MeacutexicoCamacho Bojorquez Joseacute Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaCampos Mariacutea de la Luz Universidad Iberoamericana Distrito Federal
MeacutexicoCampos Gonzaacutelez Iride Instituto Tecnoloacutegico de Cerro Azul VeracruzCaacuterdenas Gonzaacutelez Vilma Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten
Universidad Nacional Autoacutenoma de MeacutexicoDistrito Federal
MeacutexicoCartujano Francisco Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores
de Monterrey Campus Ciudad de MeacutexicoDistrito Federal
MeacutexicoCoretz Lily Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores
de Monterrey Campus CuliacaacutenCuliacaacuten Sinaloa
Fischer Garciacutea Alberto Universidad Iberoamericana Campus Golfo-Centro
Puebla
Garciacutea Mercado Mario Universidad del Valle de Atemajac Guadalajara JaliscoGoacutemez Saacutenchez Joseacute Luis Universidad de Occidente Mazatlaacuten SinaloaHernaacutendez Contreras Georgina Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaHernaacutendez Flores Joseacute Manuel Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten
Universidad Nacional Autoacutenoma de MeacutexicoDistrito Federal
MeacutexicoIbarra Aldaco Martha Sylvia Universidad del Noroeste Campus Hermosillo Hermosillo Sonora
Prefacio
00 PRELIMI 00indd XI00 PRELIMI 00indd XI 112808 24411 AM112808 24411 AM
XII
Justiniano Ferraez Leopoldo Universidad Interamericana para el Desarrollo Quintana RooLoacutepez Cadena Zoila Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaLoacutepez Heras Jorge Antonio Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaLoacutepez Sarabia Pablo Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores
de Monterrey Campus Estado de MeacutexicoDistrito Federal
MeacutexicoLoacutepez Velarde Viacutector Manuel Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaLozano Trillas Joseacute Mariacutea Universidad del Tepeyac Distrito Federal
MeacutexicoMartiacutenez Garciacutea Mariacutea Dolores Universidad Autoacutenoma del Estado de Hidalgo Pachuca HidalgoMartiacutenez Meacutendez Rafaela Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaMedina Marco Antonio Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaMerchant Arroyo Marco Antonio Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaMorales Villatoro Omar Instituto Privado del Sur de Meacutexico ChiapasMustafa Jorge Antonio Centro Hidalguense de Estudios Superiores SC HidalgoNolasco Segura Marco Antonio Universidad Latina MorelosPadilla Lorena Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores
de Monterrey Campus GuadalajaraGuadalajara Jalisco
Peacuterez Castro Luis David Universidad de Occidente Mazatlaacuten SinaloaPeacuterez Grovas Alicia Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores
de Monterrey Campus HidalgoHidalgo
Qui Sandra Escuela de Informaacutetica Universidad Autoacutenoma de Sinaloa
Mazatlaacuten Sinaloa
Ramiacuterez Eliacuteas Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de Meacutexico
Distrito Federal Meacutexico
Ramiacuterez Rodriacuteguez Rafael Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaRojas Rivera Luis Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaRojo Gallardo Alfredo Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaRomero Vidal Rauacutel Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaRuiz Cortez Rodolfo Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaRuiz Morales Mariacutea Elena Universidad Iberoamericana Distrito Federal
MeacutexicoSamano Galindo Rauacutel Instituto Tecnoloacutegico de Zacatepec Zacatepec MorelosSan Romaacuten Iliana Instituto de Estudios Superiores de Tamaulipas TamaulipasSmeke Daniel Universidad Iberoamericana Distrito Federal
MeacutexicoSosa Hamua Yolanda Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaSoto Mariacutea Susuky Tecnoloacutegico de Chihuahua II ChihuahuaSoto Loacutepez Rauacutel Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaVaacutezquez Juaacuterez Patricia Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaVelaacutezquez Celia Tec Milenio Campus Obregoacuten SonoraVelaacutezquez Velaacutezquez Joseacute Luis Universidad Autoacutenoma de Chiapas ChiapasVilla Viacutector Instituto Tecnoloacutegico de Sonora
Campus ObregoacutenSonora
Villagoacutemez M Edith R Universidad Autoacutenoma de Chiapas ChiapasVite Teraacuten Leonardo Universidad Autoacutenoma del Estado de Hidalgo HidalgoZacatenco Pineda Policarpio
RodrigoUniversidad Juaacuterez Autoacutenoma de Tabasco Tabasco
Prefacio
00 PRELIMI 00indd XII00 PRELIMI 00indd XII 112808 24411 AM112808 24411 AM
Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de
bull Explicar queacute son los exponentes los logaritmos y los antilogaritmos
bull Plantear y resolver problemas que impliquen su uso
bull Explicar queacute es una progresioacuten aritmeacutetica y queacute es una progresioacuten geomeacutetrica
bull Plantear y resolver problemas que involucren progresiones
bull Resolver ejercicios de exponentes logaritmos y progresiones mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg
Objetivos 11 Exponentes 12 Leyes de los exponentes 13 Exponente cero negativo
y fraccionario 14 Logaritmos 15 Caacutelculo con logaritmos 16 Redondeo 17 Progresiones aritmeacuteticas 18 Progresiones geomeacutetricas 19 Progresiones geomeacutetricas infinitas 110 Uso de Excel 111 Resumen
Temario
Fundamentos
CAPIacuteTULO1
01 DIAZ MATA 01indd 101 DIAZ MATA 01indd 1 112808 25111 AM112808 25111 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS2
11 Exponentes111 Exponentes enteros positivos
El producto de un nuacutemero real que se multiplica por siacute mismo se denota por a times a o aa Si el mismo nuacutemero vuelve a multiplicarse por siacute mismo se denota como a times a times a o aaa Para sim-plifi car este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notacioacuten abreviada tal que
a times a = a2
a times a times a = a3
a times a times a times a times a = a5
en la que al siacutembolo a se le llama base y al nuacutemero escrito arriba y a la derecha del mismo se le denomina exponente Este uacuteltimo indica el nuacutemero de veces que la base a se toma como factor
Por lo tanto podemos decir que si n es un entero positivo y a es cualquier nuacutemero real
an = a times a times a times hellip a n factores
El teacutermino an se expresa como ldquoa elevado a la n-eacutesima potenciardquo donde a es la base y n es el exponente o potencia
Ejemplo 111
a) a times a times a times a = a4
b) b times b times b = b3
c) a times a times a times b times b = a3b2
d) (minus4)(minus4)(minus4)(minus4) = (minus4)4 = 256 e) (minus2)(minus2)(minus2)(6)(6)(6) = (minus2)3(6)3 = minus1 728 f ) (1 + 005)(1 + 005)(1 + 005)(1 + 005) = (1 + 005)4 = 121550625 g) (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + i)3
h) (1 minus d)(1 minus d) hellip (1 minus d) = (1 minus d)n
12 Leyes de los exponentesSi a y b son nuacutemeros reales distintos de cero y m y n son enteros positivos entonces se pue-den aplicar las siguientes leyes de los exponentes
121 Producto de dos potencias de la misma base
Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base se debe elevar la base a una po-tencia igual a la suma de los exponentes
am times an = am + n (11)
01 DIAZ MATA 01indd 201 DIAZ MATA 01indd 2 112808 25112 AM112808 25112 AM
3
Ejemplo 121
a) a3 times a5 = a3 + 5 = a8 b) a4 times a2 = a4 + 2 = a6 c) 23 times 23 = 23 + 3 = 26 = 64 d) (minus2)2 times (minus2)3 = (minus2)2 + 3 = (minus2)5 = minus32 e) (5)(5)2(5)3 = 51 + 2 + 3 = 56 = 15 625 f ) (1 + i)2(1 + i)15 = (1 + i)2 + 15 = (1 + i)17
122 Cociente de dos potencias de la misma base
Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base es necesario elevar la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador
aa
am
nm n= minus (12)
Ejemplo 122
a) aa
a a5
25 2 3= =minus d)
22
2 2 24
34 3 1= = =minus
b) xx
x x10
410 4 6= =minus e)
22
2 2 0 53
43 4 1= = =minus minus
c) yy
y y2
52 5 3= =minus minus
123 Potencia de una potencia
Para elevar la m-eacutesima potencia de a a la n-eacutesima potencia se debe elevar la base a a una po-tencia igual al producto de los dos exponentes
(am)n = amn (13)
Ejemplo 123
a) ( )a a a2 3 2 3 6= =times d) ( )minus = minus = minus =times3 3 3 7292 3 2 3 6
b) ( )x x x3 5 3 5 15= =times e) ( )minus = minus = minus = minustimes1 1 1 13 3 3 3 9
c) (23)4 = 23 times 4 = 212 = 4 096
12 Leyes de los exponentes
01 DIAZ MATA 01indd 301 DIAZ MATA 01indd 3 112808 25112 AM112808 25112 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS4
124 Potencia del producto de dos factores
Para determinar la n-eacutesima potencia del producto de dos factores se debe encontrar el pro-ducto de cada factor elevado a la n-eacutesima potencia
( )ab a bn n n= (14)
Ejemplo 124
a) (ab)2 = a2b2
b) ( )xy x y3 3 3= c) ( )3 3 814 4 4 4x x x= = d) ( )3 3 272 3 3 2 3 6x x x= =times
e) (2 times 5)2 = 22 times 52 = 4 times 25 = 100
125 Potencia del cociente de dos factores
Para determinar la n-eacutesima potencia del cociente de dos factores es necesario encontrar el co-ciente de cada factor elevado a la n-eacutesima potencia
ab
ab
n n
n
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= (15)
Ejemplo 125
a) ab
ab
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=2 2
2 c) 2
525
8125
3 3
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =
b) xy
xy
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=
4 4
4 d)
2 2 82 3 3 2 3
3
6
3ab
ab
ab
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
times
Ejemplo 126
a) b b b b3 4 3 4 7times = =+
b) x x x x2 6 2 6 8times = =+
c) xx
x x5
35 3 2= =minus
d) yy
y y15
1015 10 5= =minus
e) x yx y
x y xy3 2
23 2= times =minus minus2 1
01 DIAZ MATA 01indd 401 DIAZ MATA 01indd 4 112808 25116 AM112808 25116 AM
5
f ) ( )( )
( ) ( )11
1 15
25 2 3+
+= + = +minusi
ii i
g) (x4)5 = x4 times 5 = x20
h) (y2)6 = y2 times 6 = y12
i) (2a3)4 = 24a3 times 4 = 16a12
j) xy
xy
xy
3
2
2 3 2
2 2
6
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
times
times
k) 2
2 22 3
2 1 3 1 2x yxy
x y xy= times times =minus minus
l) ( )( )2 2
2 83
2
3 3 3
2 23 3 2 3 2xy
xyx y
x yx y xy= = times times =minus minus
13 Exponente cero negativo y fraccionario131 Exponente ceroSi a es un nuacutemero real diferente de cero a0 = 1 Esta aseveracioacuten puede demostrarse aplicando la regla del cociente de dos potencias de la misma base Considere el siguiente cociente
aa
m
m= 1
puesto que todo nuacutemero dividido entre siacute mismo es igual a la unidad Ahora si se aplica la regla del cociente de dos potencias se tiene
aa
a am
mm m= = =minus 0 1
Ejemplo 131
a) (5)0 = 1 b) (3a)0 = 1 c) minus4x0 = minus4(1) = minus4 si x ne 0 d) 00 = No es aplicable
132 Exponente negativoSi n es un entero positivo y a ne 0
aa
nn
minus = 1 (16)
Para comprobar (16) observe que como antes se expusoyy
y y2
52 5 3= =minus minus
y tambieacutenyy
y yy y y y y y
2
5 31= times
times times times times=
13 Exponente cero negativo y fraccionario
01 DIAZ MATA 01indd 501 DIAZ MATA 01indd 5 112808 25121 AM112808 25121 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS6
Por lo tanto
yy
yy
2
53
31= =minus
Numeacutericamente esta relacioacuten puede demostrarse utilizando el siguiente ejemplo
22
2 2
22
816
12
3
43 4 1
3
4
= =
= =
minus minus
Asiacute
22
212
3
41= =minus
Ejemplo 132
a) 33
3 313
19
3
53 5 2
2= = = =minus minus
b) mm
m mm
4
74 7 3
31= = =minus minus
c) ( )( )
( ) ( )( )
11
1 11
1
2
52 5 3
3++
= + = + =+
minus minusii
i ii
133 Exponentes fraccionarios
Sea a la base de una potencia y mn el exponente al cual se encuentra elevada dicha base entonces
a a am n nm
mn = ( ) = (17)
Ejemplo 133
a) a a1 3 3 =
b) x x1 2 =
c) y yn n1 =
d) ( ) ( )64 64 64 4 162 3 23 32
2= = ( ) = =
e) ( )( )
271
27127
13
1 31 3 3
minus = = =
f ) aa
a a a a2
3
1 22 3 1 2 1 1 2 1 1 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = = = =minus minus minus
( )( ) ( ) minusminus = =1 2
1 21 1a a
01 DIAZ MATA 01indd 601 DIAZ MATA 01indd 6 112808 25125 AM112808 25125 AM
7
g) xx
x x x5 2
1 25 2 1 2 4 2 2
= = =minus
h) ( ) y y y y y1 2 2 3 1 2 2 3 2 6 1 3 3= = = =times
El uso de calculadoras electroacutenicas ha simplifi cado la resolucioacuten de problemas aritmeacuteti-cos complejos En la concepcioacuten y manejo de este libro se considera que el estudiante dispone de una calculadora que posee la funcioacuten y x que permite obtener logaritmos y antilogaritmos ya sean naturales o de base 10
Ejemplo 134
Resuelva las siguientes operaciones con el auxilio de una calculadora electroacutenica
a) 15 15 3 872983351 2= =
b) 120 120 2 605171095 1 5= =
c) 125 846 0 35715 6 0 674650
125 8462
4 53
( )( ) ( )
times = timestimes⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟0 127449
59 224 0896 0 13976313
1 3
( )( )
==
16 038946858 277 344134
0 124669901 3
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=
d) 5 000(1 + 005)12 = 5 000(179585633) = 8 979281632
e) 1 000 000 1
1 0 60 5( )+ = 1 000 000(160)minus5 = 1 000 000(009536743) = 95 36743164
f ) ( )
1 0 15 1
0 1516 36653739 1
0 15102 4435
20+ minus = minus = 8826
g) 1 1 0 3250 325
1 0 059957180 325
2 89210minus + = minus =
minus( )
443944
Ejemplo 135
Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de los exponentes y con auxilio de una calculadora electroacutenica
a) 150 1 45024( )+ =i b) 2 1 14( )+ =minusi
( )1450150
24+ =i ( )112
4+ =minusi
( )1 324+ =i ( )
112
1 4
+ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
minus
i
1 3 324 1 24+ = =i i = minusminus( ) 0 5 11 4
i = minus3 11 24 i = 0 18920712 i = 0 04683938
Cuando utilice la calculadora electroacutenica debe revisar el manual En ocasiones le seraacute necesario emplear el inverso del nuacutemero
13 Exponente cero negativo y fraccionario
01 DIAZ MATA 01indd 701 DIAZ MATA 01indd 7 112808 25129 AM112808 25129 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS8
c) 5 000 1 10004( )minus =minusd d) (1 + i)12 = (1 + 015)4
( )110005 000
4minus =minusd (1 + i) = (115)412
1 0 20 1 4minus = minusd ( ) i = (115)13 minus 1 minus = minusd ( )1 49534878 1 i = 004768955 d = minus0 49534878
Ejercicios de las secciones 11 a 131 Simplifique
a) a2 times a5 b) a3 times a8
c) a2 times a4 times a5
d) b times b3 times b2
e) (3b) times (5b2) times (6b3)
f ) cc
3
8
g) cc
8
3
h) a aa
3 4
5times
i) (x3)4
j) x2 times (x5)3
k) ( ) ( )
( )2 4
2
2 3 4
7y y
ytimes
l) 1
3
3
x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
m) (a2b3)4
n) ab
2
3
4⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
o) x xy y
2 3
4
3timestimes
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
p) 3
2
2 3
2
4x y
z
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
q) (105)4(105)10
r) ( ) ( ) ( )
1 30 1 30 1 301 30
2 10 20
2 Simplifique a) x0
b) a0b3
c) a13 times a12
d) bb
3 2
1 2
e) a aa
1 4 3 5
1 2
f ) ( )( )a aminus minus2 3
g) ( )bminus2 5
h) ( )9 2 5xminus minus
i) ( )y1 2 3minus
j) ( )aminus minus2 3 3
k) ( )xx
2 3 3
2minus
l) ( )( ) 27 2561 3 1 4minus minus
m) ( ) ( ) 1 05 1 054 1 2minus minus
n) ab
minus
minus
minus⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
6
1 4
01 DIAZ MATA 01indd 801 DIAZ MATA 01indd 8 112808 25136 AM112808 25136 AM
9
3 Simplifique usando exponentes
a) x3
b) x x23 3( )( ) c)
b b
b
2
3
times
d) c c
c
23 5
63
14 Logaritmos
e) a ab
ab
4 93
3 2
2minus⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟minus
minus
( )
f ) x33 2( )
4 Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electroacutenica
a) 32
b) 2553
c) 0 485 0 364 3
d) 27 9738
3
4
e) ( )
1 0 18 10 18
4+ minus
f ) 8500 1 0 15 4( )+ minus
g) 1 1 0 600 60
5minus + minus( )
h) ( ) ( )1 25 1 301 23minus
i) 0 25 0 64 0 823 4
j) ( )
( ) 128 3525 12
2
1 3minus
5 Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electroacutenica
a) 100 1 2002( )+ =i b) 5 000 1 15003( )+ =i c) 1250 1 25 00060( )+ =i d) 50 000 1 300020( )+ =minusi e) 10 000 1 6 0004( )+ =minusi
f ) ( ) 1 1 604+ =i g) ( ) 1 1 181 4+ =i h) ( )1 1 5010+ minus =i i) ( ) ( )1 1 0 054 12+ = +i j) ( ) ( )1 1 0 3012 2+ = +i
14 Logaritmos141 Defi nicioacuten
Sea N un nuacutemero positivo y b un nuacutemero positivo diferente de 1 entonces el logaritmo en base b del nuacutemero N es el exponente L de la base b tal que bL = N El enunciado de que L es el logaritmo en base b del nuacutemero N se escribe como
L = logbN
Ejemplo 141
3 = log2 8 ya que 23 = 8 4 = log3 81 ya que 34 = 81 2 = log5 25 ya que 52 = 25
01 DIAZ MATA 01indd 901 DIAZ MATA 01indd 9 112808 25145 AM112808 25145 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS10
En la praacutectica comuacuten se utilizan dos tipos de logaritmos naturales cuya base es el nuacutemero e = 2718281829hellip y los logaritmos comunes cuya base es b = 10 Ambos se pueden deter-minar faacutecilmente con ayuda de una calculadora electroacutenica o mediante tablas
Enseguida se mostraraacute la utilizacioacuten de los logaritmos base 10 para simplifi car caacutelcu-los complejos Las leyes y procedimientos generales que aquiacute se trataraacuten tambieacuten se pue-den aplicar a los logaritmos naturales por lo que ambos pueden ser utilizados en forma indistinta
Los logaritmos base 10 se denominan logaritmos comunes y para identifi carlos se utiliza el siacutembolo
L = log10N = log N
Los logaritmos naturales (base e) se simbolizan como sigue
ln = log nat N = logeN = ln
En lo sucesivo la palabra ldquologaritmosrdquo se referiraacute a los logaritmos comunes (base 10) Por defi nicioacuten se tiene
log 1000 = 3 ya que 103 = 1000 log 100 = 2 ya que 102 = 100 log 10 = 1 ya que 101 = 10 log 1 = 0 ya que 100 = 1 log 010 = minus1 ya que 10minus1 = 010 log 0010 = minus2 ya que 10minus2 = 0010 log 00010 = minus3 ya que 10minus3 = 00010
Es necesario destacar que N debe ser un nuacutemero positivo en tanto que el log N puede ser cualquier nuacutemero real positivo negativo o cero
142 Leyes de los logaritmos
Dado que los logaritmos son exponentes de base b las leyes de eacutestos les son aplicables y nos dan como consecuencia tres leyes fundamentales de los logaritmos1
1 Para demostrar estas leyes considere que
A = 10a B = 10b y C = 10c
Por lo tanto log A = a log B = b y log C = c De esto se sigue que A times B times C = 10a times 10b times 10c = 10a + b + c
An = (10a )n = 10an
Con lo que se comprueba que
log (A times B times C) = a + b + c = log A + log B + log C
log AB
= a minus b = log A minus log B
log An = na = n log A
AB
=
10a
10b = 10a minus b
01 DIAZ MATA 01indd 1001 DIAZ MATA 01indd 10 112808 25154 AM112808 25154 AM
11
1 El logaritmo del producto de dos nuacutemeros positivos es igual a la suma de los logaritmos de los nuacutemeros
log (A times B) = log A + log B (18)
2 El logaritmo del cociente de dos nuacutemeros positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
log log logAB
A B⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= minus (19)
3 El logaritmo de un nuacutemero elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del nuacutemero
log An = n log A (110)
donde n puede ser cualquier nuacutemero real
Ejemplo 142
Mediante el empleo de una calculadora electroacutenica o tablas se determina que
log 2 = 0301030 log 3 = 0477121 entonces
a) log log ( ) log log 6 2 3 2 3 0 301030 0 477121 0= times = + = + = 778151 b) log log log log 1 5 3 2 3 2 0 477121 0 301030 0= = minus = minus = 176091 c) log log log ( ) 9 3 2 3 2 0 477121 0 9542422= = = = d) log log ( ) log log 30 3 10 3 10 0 477121 1 1 477= times = + = + = 1121 e) log log ( ) log log (0 02 2 10 2 10 0 3010302 2= times = + = +minus minus minusminus = minus2 1 698970) f ) log log log ( ) 3 3 1 2 3 1 2 0 477121 0 238562 1 2= = = = 11
143 Caracteriacutestica y mantisa
Todo nuacutemero positivo puede ser escrito en la forma de un nuacutemero baacutesico B tal que (1 lt Blt 10) multiplicado por una potencia entera de 10
Por ejemplo
4 354 = 4354 times 103
65 = 65 times 101
32 = 32 times 100
025 = 25 times 10minus1
0078 = 78 times 10minus2
000358 = 358 times 10minus3
Para calcular el logaritmo de un nuacutemero de eacutestos se procede como sigue
Si N = = times4 354 4 354 103 log ( ) log log 4 354 10 4 354 10 0 638888 33 3times = + = +
Si N = = times minus0 00358 3 58 10 3 log ( ) log log 3 58 10 3 58 10 0 553883 33 3times = + = minusminus minus
14 Logaritmos
01 DIAZ MATA 01indd 1101 DIAZ MATA 01indd 11 112808 25154 AM112808 25154 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS12
Ejemplo 143
Determine el nuacutemero baacutesico de los siguientes nuacutemeros a) 20 000 f ) 02 b) 2 000 g) 002 c) 200 h) 0002 d) 20 i) 00002 e) 2 j) 000002
SolucioacutenPuesto que el nuacutemero baacutesico es un nuacutemero B tal que 1 lt B lt 10 multiplicado por una po-tencia entera de 10 se tiene a) 20 000 = 2 times 104 f ) 02 = 2 times 10minus1
b) 2 000 = 2 times 103 g) 002 = 2 times 10minus2
c) 200 = 2 times 102 h) 0002 = 2 times 10minus3
d) 20 = 2 times 101 i) 00002 = 2 times 10minus4
e) 2 = 2 times 100 j) 000002 = 2 times 10minus5
Ejemplo 144
Dado log 2 = 0301030 determine el logaritmo de los nuacutemeros del ejemplo anterior
Solucioacuten Puesto que log 2 = 0301030 se tiene
a) log 20 000 = log ( ) log log 2 10 2 10 0 301030 4 4 3010304 4times = + = + = b) log log ( ) log log 2 2 10 2 10 0 301030 3 33 3000 = times = + = + = 301030 c) d) log log ( ) log log 20 2 10 2 10 0 301030 1 1 31 1= times = + = + = 001030 e) log log ( ) log log 2 2 10 2 10 0 301030 0 0 300 0= times = + = + = 11030 f ) log log ( ) log log 0 2 2 10 2 10 0 301030 11 1= times = + = + =minus minus 11 301030 g) log log ( ) log log 0 02 2 10 2 10 0 301030 22 2= times = + = +minus minus == 2 301030 h) log log ( ) log log 0 002 2 10 2 10 0 3010303 3= times = + = +minus minus 33 3 301030= i) log log ( ) log log 0 0002 2 10 2 10 0 3010304 4= times = + =minus minus ++ =4 4 301030 j) log log ( ) log log 0 00002 2 10 2 10 0 301035 5= times = + =minus minus 00 5 5 301030+ =
Como puede observarse en el ejemplo anterior el logaritmo de un nuacutemero baacutesico es una fraccioacuten decimal no negativa (ya que log 10 = 1 y log 1 = 0) y el logaritmo de una po-tencia entera de 10 es por defi nicioacuten un entero Por lo tanto el logaritmo de un nuacutemero positivo estaraacute constituido por dos partes a) Una parte entera llamada caracteriacutestica La caracteriacutestica es el logaritmo de la poten-
cia entera de 10 y estaacute determinada por la posicioacuten del punto decimal en el nuacutemero La caracteriacutestica puede ser cualquier nuacutemero entero positivo negativo o cero Para N lt 1 la caracteriacutestica es igual al nuacutemero de diacutegitos a la izquierda del punto decimal
log 200 log= times = + = + =( ) log log 2 10 2 10 0 301030 2 22 2 3301030
01 DIAZ MATA 01indd 1201 DIAZ MATA 01indd 12 112808 25157 AM112808 25157 AM
13
menos una unidad [Veacuteanse los casos de a) a e) del ejemplo anterior] Para 0 lt N lt 1 la caracteriacutestica se determina por el lugar que ocupa la primera cifra signifi cativa a la derecha del punto decimal [Veacuteanse los casos ƒ) a j) del ejemplo anterior]
b) Una parte decimal llamada mantisa La mantisa es el logaritmo del nuacutemero baacutesico y estaacute determinada por la secuencia de los diacutegitos del nuacutemero sin importar la posicioacuten del punto decimal La mantisa es un decimal positivo (o cero si el nuacutemero es una po-
tencia entera de 10)2
Ejemplo 145
Determine la caracteriacutestica y la mantisa de los logaritmos de los siguientes nuacutemeros
a) 95984 b) 2735 c) 0026 d) 0004321 e) 6478
SolucioacutenCuando se determina la notacioacuten cientiacutefi ca de un nuacutemero se tiene Nuacutemero Notacioacuten cientiacutefi ca Caracteriacutestica Mantisa 95984 95984 times 102 2 0982199 2735 2735 times 101 1 0436957 0026 2600 times 10minus2 minus2 0414973 0004321 4321 times 10minus3 minus3 0635584 6478 6478 times 100 0 0811441
144 Antilogaritmos
Si L = log N N es llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log NPor ejemplo
200 = antilog 2301030 ya que log 200 = 2301030
05 = antilog 0698970 minus 1 ya que log 05 = 0698970 minus 1
14 Logaritmos
2 Debe destacarse que el logaritmo de un nuacutemero N tal que 0 lt N lt 1 se mostraraacute en la calculadora como un solo nuacute-mero negativo que es el resultado de la suma algebraica de la mantisa positiva y la caracteriacutestica negativa En estos ca-sos el resultado desplegado representa el logaritmo del inverso del nuacutemero que estaacute calculaacutendose por lo cual la parte decimal del nuacutemero negativo que se muestra no representa la mantisa Por ejemplo si
N = 002 = 2 times (10minus2)log N = (log 2 times log 10minus2) = 0301030 minus 2
la calculadora mostraraacute minus1698970 que es el resultado de la suma algebraica de 0301030 minus 2 El algoritmo desplegado es el correspondiente al inverso del nuacutemero que se estaacute buscando
101
101
5 100 021 698970
1 698970 1minus = =
times=
ya que 0698970 = log 5 y log 1 = log 10
01 DIAZ MATA 01indd 1301 DIAZ MATA 01indd 13 112808 25200 AM112808 25200 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS14
El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado mediante el empleo de una calculadora electroacutenica o por medio de tablas
Ejemplo 146
Dado log 837 = 0922725 determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos
a) 2922725 b) 1922725 c) 0922725 minus 3 d) 3922725 e) 0922725 minus 1
Solucioacuten a) antilog 2922725 = 83700 b) antilog 1922725 = 8370 c) antilog 0922725 minus 3 = 0008370 d) antilog 3922725 = 8 37000 e) antilog 0922725 minus 1 = 08370
Ejemplo 147
Utilizando una calculadora electroacutenica determine el antilogaritmo de los siguientes lo-garitmos
L = log N N = antilog L
a) antilog 425 = 17 78279 b) antilog 18 = 630957 c) antilog minus2356547 = 00044 d) antilog minus1277366 = 00528 e) antilog minus0132460 = 0737123 f ) antilog 0132460 = 135662
15 Caacutelculos con logaritmosComo se establecioacute al principio del capiacutetulo los logaritmos han perdido importancia ante el advenimiento de las calculadoras y computadoras electroacutenicas que permiten la realizacioacuten de complejas operaciones aritmeacuteticas con rapidez y precisioacuten Sin embargo auacuten se utilizan para encontrar la solucioacuten de una ecuacioacuten
En esta seccioacuten se presenta una serie de problemas resueltos mediante el uso de loga-ritmos
01 DIAZ MATA 01indd 1401 DIAZ MATA 01indd 14 112808 25200 AM112808 25200 AM
15
Ejemplo 151
Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos
a) 85 15347 274125 386
times
b) ( ) ( )0 03768 6 3544282 6
c) ( ) ( )
( )5 36 67 48
356 27
2 3
2
3
4⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Solucioacuten
a) log log85
85347 15 274125 386
347 + logtimes⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= 115 274 log 125 386minus
= 4931188 + 41839553 5098249= 4
minus016892
antilog 4016892 = 10 39662
b) log[(003768)2( ) ] log log6 354428 2 0 03768 66 = + 66 354428= minus += minus
2 1 423889 6 0 8030762 847( ) ( )
7778 4 818456+
a= 1 970678
nntilog 1970678 = 93471239
c) ( ) ( )
( )( ) (5 36 67 48
356 275 362 3
2
3
42⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= 667 48356 27
3
2
3 4 )
( )
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
log(536)2( )
( )(
67 48
356 2734
23
2
3 4⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= llog log log )
[ (
5 36 3 67 48 2 356 72
34
2 0 72916
+ minus
= 55 3 1 829175 2 2 552327
34
1 45833 5 4
) ( ) ( )]
(
+ minus
= + 887525 5 104654
34
1 841201
1 380901
minus
=
=
)
( )
antiloog 1380901 = 24038147
15 Caacutelculos con logaritmos
01 DIAZ MATA 01indd 1501 DIAZ MATA 01indd 15 112808 25201 AM112808 25201 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS16
Ejemplo 152
Determine el valor de la incoacutegnita i (que representa tasa de intereacutes por periodo) si 1000(1 minus i)3 = 3 000
Solucioacutena) Empleando logaritmos log ) log
) lo1000 + 3 log (1 + 3000
3 log (1 +ii
== gg
)log
3000 log 1000
log (1 +3000 log 1
minus
= minusi
00003
+
+
log ( )
log ( ) (
13 477121 3
31 0 159040
i
i
= minus
=11
1 4422491 4422
+ antilog (0159040)1 +
iii
)
=== 449 1
0 442249 44 22minus
= =i b) Por solucioacuten directa
1000(1 + 3000
(1 +30001000
+
+
i
i
i
i
)
)
( )
(
3
3
31 3
1
=
=
=
= 331 442249571 10 442249 44 22
1 3)
ii= minus= =
Ejemplo 153
Determine d (tasa compuesta anual de depreciacioacuten) si
900(1 minus d)3 = 200Solucioacuten a) Si se emplean logaritmos log ) log
log ( ) log lo900 3 200
3 1 200+ minus =
minus = minuslog (1 d
d gg
log ( )
log ( )
900
12 301030 2 954243
31 0
minus = minus
minus = minus
d
d ( )
2177371
0 605708minus = minusminus =dd
antilog ( 0217737)minusminus
=asymp
10 39429239 43
dd
01 DIAZ MATA 01indd 1601 DIAZ MATA 01indd 16 112808 25202 AM112808 25202 AM
17
b) Por solucioacuten directa
900 200
1 200 900
1 0 222222
3
3
3
(1minus =
minus =
minus =
d
d
d
)
( )
( )
(11 0 222222
1 0 2222221 0 6
3
1 3
minus =
minus =minus =
d
dd
)
( ) ( )( )
0057060 605706 10 39429339 43
minus = minus=asymp
ddd
Ejemplo 154
Determine el valor de n (nuacutemero de periodo de conversioacuten) si n son meses y
1000(1 + 005)n = 5 000
Solucioacutena) Por logaritmos log1000 log (1 005) log 5 000
log (105) l+ + =
=n
n oog 5 000 log1000(0021189) 3698970 3000
minus= minusn 0000
0698070002118932987433 meses
n
nn
=
=asymp
El tiempo en que un capital quintuplicaraacute su valor dada una tasa de intereacutes de 5 mensual es de aproximadamente 33 meses
Este tipo de problemas soacutelo puede resolverse mediante el uso de logaritmos
Ejemplo 155
Determine el valor de n (nuacutemero de periodos de conversioacuten) si n representa semestres y
3 500(1 + 025)minusn = 500 log 3 500 + [minusn log (125)] = log 500 minusn log 125 = log 500 minus log 3 500 minusn(0096910) = 2698970 minus 3544068
n = minusminus
0 8450980 096910
n = 872044 n asymp 872 semestres
15 Caacutelculos con logaritmos
01 DIAZ MATA 01indd 1701 DIAZ MATA 01indd 17 112808 25204 AM112808 25204 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS18
Ejemplo 156
Determine el valor de n (nuacutemero de pagos perioacutedicos) si n son trimestres y
( )
1 0 18 10 18
10+ minus =
n
Solucioacuten a) Por logaritmos
( ) ( )
( )
( )
1 0 18 1 10 0 18
1 0 18 1 1 8
1 0 18
+ minus =
+ minus =
+
n
n
nn
n
n
n
= +
=
=
1 8 1
1 18 2 8
( )
lolog 118 = log 28
gg log
2 81 18
0 4471580 07188
6 2207236
n
nn
=
=asymp 222 pagos trimestrales
Ejemplo 157
Determine el valor de n (nuacutemero de pagos perioacutedicos) si n son antildeos y
1 1 0 500 50
25minus + =
minus( )
n
Solucioacutena) Por logaritmos 1 minus (1 + 050)minusn = 25(050) minus(150)minusn = 125 minus 1 minus(150)minusn = 115 n log 150 = log 115
n = log log
11 51 50
n = 1 0606980 176091
n = 6023569 n = 602 pagos anuales
01 DIAZ MATA 01indd 1801 DIAZ MATA 01indd 18 112808 25205 AM112808 25205 AM
19
Ejercicios de las secciones 14 a 15 6 Determine el logaritmo L
a) L = log ( )3 27 b) L = log ( )5 0 008
c) L = log8 64
Ejercicios de las secciones 14 a 15
d) L = =log 10 1 100
e) L = =log244
7 Determine el nuacutemero N
a) log2 N = 3 b) log5 N = 3 c) log4 N = 12
d) log6 N = 5 e) log10 N = 2
8 Determine la caracteriacutestica de
a) 8 b) 5 210 c) 85 900
d) 325 e) 0018 f ) 4560
9 Determine la mantisa de
a) 2 b) 020 c) 0020
d) 0040 e) 0080 f) 8 000
10 Determine el logaritmo comuacuten de
a) 24 b) 82320 c) 00035 d) 7489 e) 158
f ) 00001 g) 10 000 h) 1 i) 003720 j) 1025
11 Dado log 40 = 1602060 determine el antilogaritmo de
a) 2602060 b) 0602060 c) 0602060 minus 3
12 Determine el antilogaritmo de
a) 25 b) 080 c) 33640
d) minus30000 e) minus003785 f) 19777
13 Mediante el empleo de logaritmos resuelva las operaciones del ejercicio 614 Mediante el empleo de logaritmos resuelva las ecuaciones del ejercicio 5
01 DIAZ MATA 01indd 1901 DIAZ MATA 01indd 19 112808 25207 AM112808 25207 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS20
15 Mediante el empleo de logaritmos resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales
a) 100(1 + 050)n = 500 b) (105)n = 3 c) 3 000(1 + 020)n = 10 000 d) 10 000(1 + 020)minusn = 3 000
e) (160)minusn = 0100 f) (1 + 018)n minus 1 = 035 g) 1 minus (1 + 004)minusn = 0285
16 RedondeoEn este libro se utilizaraacuten las siguientes reglas para redondear
1 El diacutegito retenido permanece sin cambio si los diacutegitos despreciados son menores de 5 000 Ejemplo 013783 se redondea como 01378 si se desean 4 cifras signifi cativas
2 El diacutegito retenido se incrementa en 1 si los diacutegitos despreciados son mayores de 5 000 Ejemplo 068917 se redondea como 069 si se desean soacutelo 2 decimales
3 El diacutegito retenido se convierte en par (se incrementa en 1 cuando es necesario) si los diacute-gitos despreciados son exactamente iguales a 5 000 Ejemplo 0235 se redondearaacute como 024 si se desean 2 decimales en tanto que 014325 se redondearaacute como 01432 si se de-sean 4 decimales
Ejemplo 161
Redondee las siguientes cifras a 2 y 4 decimales
Dos decimales Cuatro decimales
a) 3082207 3082 308221 b) 55517627 555 55518 c) 23562178 236 23562 d) 145349976 1453 145350 e) 1238902 124 12390 f ) 11130500 111 11130
17 Progresiones aritmeacuteticasUna progresioacuten aritmeacutetica es una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que dos nuacute-meros cualesquiera consecutivos de la sucesioacuten estaacuten separados por una misma cantidad lla-mada diferencia comuacuten
1 4 7 10hellip es una progresioacuten aritmeacutetica cuya diferencia comuacuten es 330 25 20 15hellip es una progresioacuten aritmeacutetica cuya diferencia comuacuten es minus5
01 DIAZ MATA 01indd 2001 DIAZ MATA 01indd 20 112808 25210 AM112808 25210 AM
21
Si se considera t1 como el primer teacutermino de una progresioacuten d como la diferencia comuacuten y n el nuacutemero de teacuterminos de la misma se genera una progresioacuten de la forma
t1 t1 + d t1 + 2d t1 + 3dhellip t1 + (n minus 2)d t1 + (n minus 1)d
El uacuteltimo teacutermino de una progresioacuten seraacute igual al primer teacutermino de la misma adiciona-do de (n minus 1) diferencias
u1 = t1 + (n minus 1)d (111)
En una serie de 3 teacuterminos puede verse claramente esto
t1 t1 + d t1 + 2d
El uacuteltimo teacutermino (t1 + 2d) es igual al primer teacutermino (t1) adicionado de (n minus 1) veces la diferencia comuacuten ya que n = 3 n ndash 1 = 2
La suma de una progresioacuten aritmeacutetica puede escribirse como sigue
S = t1 + (t1 + d) + (t1 + 2d) + hellip + (u minus 2d) + (u minus d) + u
pero tambieacuten puede escribirse en forma inversa
S = u + (u minus d) + (u minus 2d) + hellip + (t1 + 2d) + (t1 + d) + t1
Si se suman las dos expresiones teacutermino a teacutermino se tiene
2 S = (t1 + u) + (t1 + u) + hellip + (t1 + u) + (t1 + u) 2 S = (t1 + u)
S = n2(t1 + u) (112)
Asiacute la suma de una progresioacuten aritmeacutetica de n teacuterminos es igual a la suma del primero y el uacuteltimo teacutermino multiplicado por n y dividido entre dos
Sustituyendo (111) en (112) se tiene
Sn
t n d= + minus⎡⎣ ⎤⎦211 ( ) ] (113)
Simplifi cando S = n2[2t1 + (n minus 1)d]
Ejemplo 171
Determine el 10o teacutermino y la suma de la siguiente progresioacuten aritmeacutetica 3 7 11hellip
Solucioacuten a) Se determina el uacuteltimo teacutermino aplicando (111) y se considera t1 = 3 n = 10 y d = 4
u = t1 + (n minus 1)d u = 3 + (10 minus 1)4 u = 3 + 36 u = 39
17 Progresiones aritmeacuteticas
01 DIAZ MATA 01indd 2101 DIAZ MATA 01indd 21 112808 25210 AM112808 25210 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS22
b) Para determinar la suma se aplica la foacutermula (112)
S = n2(t1 + u) S = 102(3 + 39) S = 5(42) S = 210
Una alternativa de caacutelculo es la foacutermula (113)
S = n2[2t1 + (n minus 1)d] S = 102[2(3) + (10 minus 1)4] S = 5[6 + (9)(4)] S = 5(42) S = 210
Ejemplo 172
Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de la progresioacuten aritmeacutetica 48 45 42hellip si cuen-ta con 15 teacuterminos
Solucioacutena) Se determina el uacuteltimo teacutermino Para ello se debe aplicar (111) considerando que t1 = 48
n = 15 y d = minus3
u t n duuu
= + minus= minus minus= + minus=
1 148 15 1 348 14 34
( ))( )
( )( )+(
88 42 6minus =
b) La suma se determina aplicando (112)
S n t uSSS
= +===
( ) )
( )
215 27 5 54405
1
(48+6
Ejemplo 173
El primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica es t1 = minus2 mientras que el uacuteltimo es u = 48 y la suma S = 253 Determine n y d
SolucioacutenSustituyendo en (112) se tiene
( 2 48S n t u
n== minus
( ) )2
253 21 +
+(( )( ) ( )
253 2 46
506 46 11== =
nn
01 DIAZ MATA 01indd 2201 DIAZ MATA 01indd 22 112808 25211 AM112808 25211 AM
23
En (111) se sustituyen los datos conocidos y se determina du t n d
dd
d
= + minus= minus +== =
1 12
50 1050 10 5
( ))
48 (11 1minus
Ejemplo 174
Conocidos t5 = 27 t7 = 35 determine t1 y S7
Solucioacutent t d
t t d7 1
5 1
6 35
4 27
= + == + =
Restando la ecuacioacuten t5 de t7 se tiene que
( ) ( )
t d t dd
d
1 16 4 35 272 8
8 2 4
+ minus + ==
= =
minus
Para determinar t1 se sustituye en cualquier ecuacioacuten y se tiene
t dttt
1
1
1
1
6 356 4 3535 2411
+ =+ == minus=
( )
La suma se determina sustituyendo los valores conocidos en (112)S
S
S
7
7
7
7 2 11 35
3 5 46
161
= +==
( )
( )
Ejemplo 175
Se recibe un preacutestamo bancario de $12 000 el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1000 maacutes intereses sobre saldos insolutos a razoacuten de 5 mensual iquestQueacute cantidad de intereses se paga en total
SolucioacutenEl primer pago que debe hacerse seraacute de $1000 de capital maacutes $600 de intereses (5 de 12 000) El segundo seraacute de $1000 maacutes $550 (5 de 11000) el tercero de 1000 maacutes 500 (5 de 10 000) y asiacute sucesivamente
t1 = 600 d = minus50 n = 12
17 Progresiones aritmeacuteticas
01 DIAZ MATA 01indd 2301 DIAZ MATA 01indd 23 112808 25212 AM112808 25212 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS24
Aplicando la foacutermula (113) se tiene
S n t n dS
= + minus= + minus minus
[ ( ) ] [ ( ) ( )( )]2 2 1
12 2 2 600 12 1 501
SSSS
= + minus==
6 1[ ( )200 550 ](650)6
3900
Deberaacute pagar $3 900 de intereses
Ejercicios de la seccioacuten 1716 Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de las progresiones siguientes
a) 11 23 35hellip 12 teacuterminos b) 5 minus3 minus11hellip 10 teacuterminos c) 12 58 34hellip 7 teacuterminos d) 14 112 minus112hellip 20 teacuterminos e) 100 105 110hellip 12 teacuterminos
17 Determine la suma de
a) Los nuacutemeros pares de 1 a 100 b) Los nuacutemeros nones de 9 a 100 c) Los nuacutemeros enteros muacuteltiplos de 5 de 10 a 500
18 En una progresioacuten aritmeacutetica se tiene
a) t1 = 8 t5 = 36 determine d t10 y S10 b) t5 = 60 t10 = 5 determine d t1 y S10 c) t3 = 8tn = 9n = 8 determine d t1 y S8 d) tn = minus5d = minus14n = 12 determine t1 y Sn
19 Una empresa recibe un preacutestamo bancario de $30 000 que acuerda liquidar en 10 pagos semestrales maacutes intereses sobre saldos insolutos de 10 semestral iquestQueacute cantidad total de intereses debe pagar
18 Progresiones geomeacutetricasUna progresioacuten geomeacutetrica es una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que dos nuacute-meros consecutivos cualesquiera de ella guardan un cociente o una razoacuten comuacuten En otras palabras esto quiere decir que cualquier teacutermino posterior se puede obtener del anterior mul-tiplicaacutendolo por un nuacutemero constante llamado cociente o razoacuten comuacuten
3 6 12 24 48hellip es una progresioacuten geomeacutetrica cuya razoacuten comuacuten es 2 minus2 8 minus32 128hellip es una progresioacuten geomeacutetrica cuya razoacuten comuacuten es minus4 t tr tr2 tr3 tr4hellip es una progresioacuten geomeacutetrica cuya razoacuten comuacuten es r
01 DIAZ MATA 01indd 2401 DIAZ MATA 01indd 24 112808 25215 AM112808 25215 AM
25
Tomando el uacuteltimo ejemplo se puede generar una progresioacuten geomeacutetrica con 6 teacuter-minos
t1 t1r t1r2 t1r3 t1r4 t1r5
De ella se desprende que el uacuteltimo teacutermino es igual a
u = t1rn minus 1 (114)
y que una progresioacuten con n teacuterminos adoptaraacute la forma
t1 t1r t1r2 hellip t1rn minus 3 t1rn minus 2 t1rn minus 1
La suma de esta progresioacuten es igual a
S = t1 + t1r + t1r2 + hellip t1rn minus 3 + t1rn minus 2 + t1rn minus 1
Luego si se multiplican ambos lados de la ecuacioacuten por r se tiene
rS t r t r t r t r t r t rn n n= + + +hellip+ + +minus minus1 1
21
31
21
11
Se resta la segunda expresioacuten de la primera se tiene
S rS t t r t r t r t r t r t rnminus = + minus + minus +hellip+ minusminus1 1 1 1
21
21
21( ) ( ) ( nn n n nt r t r t rminus minus minus+ minus minus2
11
11
1) ( )
S rS t t rnminus = minus1 1
Por lo que
S r t t rn( )1 1 1minus = minus
St t r
rt
rr
n n=
minusminus
= minusminus
1 111
11
( )
S trr
n= minus
minus111
( ) (115)
Es conveniente utilizar la foacutermula anterior cuando r lt 1 y la expresioacuten
S trr
n= minus
minus11
1( )
(115ʹ)
cuando r gt 1Una progresioacuten geomeacutetrica seraacute creciente si la razoacuten comuacuten r es positiva mayor que 1
Ejemplo 181
Genere una progresioacuten de 5 teacuterminos con t r1 3 4= =y
Solucioacuten3 12 48 192 768
Una progresioacuten geomeacutetrica seraacute decreciente si la razoacuten comuacuten r es positiva menor que 1
18 Progresiones geomeacutetricas
01 DIAZ MATA 01indd 2501 DIAZ MATA 01indd 25 112808 25215 AM112808 25215 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS26
Ejemplo 182
Genere una progresioacuten geomeacutetrica de 5 teacuterminos con t r1 80 1 4= =y
Solucioacuten 80 20 5 125 03125
Ejemplo 183
Encuentre el deacutecimo teacutermino y la suma de los primeros 10 teacuterminos de las siguientes progresiones
a) 1 2 4 8 b) ( ) ( ) ( )1 0 04 1 0 04 1 0 041 2 3+ + + hellipminus minus minus
Solucioacuten a) Para determinar el deacutecimo teacutermino se aplica la foacutermula (114) con t r1 1 2= =
u t r
u
uu
n=
=
== =
minus
minus1
1
10 1
9
1 2
1 21 512 512
( )
( )( )
La suma de la progresioacuten se obtiene aplicando la foacutermula (115ʹ)
S trr
S
S
S
n= minus
minus
= minusminus
= minus
=
1
10
11
12 12 1
11 1
11
( )
( )
024
023
b) En la segunda progresioacuten se tiene que
t r n11 11 04 1 04 10= = =minus minus( ) ( ) y
Para calcular el deacutecimo teacutermino se aplica (114)
u t r
u
u
n=
=
=
minus
minus minus minus
minus
11
1 1 10 1
1
1 04 1 04
1 04
( ) [( ) ]
( ) (11 04
1 040 675564
9
10
)
( )
minus
minus==
uu
01 DIAZ MATA 01indd 2601 DIAZ MATA 01indd 26 112808 25219 AM112808 25219 AM
27
La suma se determina aplicando la foacutermula (115) pues r lt 1
S trr
S
n= minus
minus
= minusminus
minusminus
1
11 10
11
1 041 1 04
1 1 04( )
[( ) ]( )minusminus
minusminus
minus= minus
minustimes
1
110
11 04
1 1 041 1 04
1 041 04
S ( )( )( )
S
S
= minusminus
= minus
minus
minus
( )( )
( )( )
1 041 1 04
1 04 1 041 1 04
010
0
110 10
1 04 11 1 04
0 041 0 675554
0 048
( )
minus= minus
= minus =
minus
S 110896
Ejemplo 184
Una progresioacuten geomeacutetrica tiene como primero y uacuteltimo teacuterminos t1 = 80 tn = 114 r = 12Determine n y S
SolucioacutenSustituyendo los valores conocidos en (114)
u t rn
n
n
=
=
=
=
minus
minus
minus
11
1
1
114 80(12)
320 (12)
164 (
5
112) 1n minus
si se pone 164 en funcioacuten de 12 se tiene
164 = (12)6 (ya que 26 = 64)
Por lo tanto
(12) (12)1 6
6 17
1 6n
nnn
minus =minus =
= +=
18 Progresiones geomeacutetricas
01 DIAZ MATA 01indd 2701 DIAZ MATA 01indd 27 112808 25222 AM112808 25222 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS28
Se aplica (115) para determinar la suma
S trr
S
n= minus
minus
= minusminus
=
1
7
11
801 1 21 1 2
800 992188
0( )( )
55
158 75S =
Ejemplo 185
Una progresioacuten geomeacutetrica cuenta entre sus teacuterminos con t t3 68 51= =y 2 Determine t8 y S8
SolucioacutenSe tiene que t t rn
n= minus1 1
t t r3 12 8= = y t t r6 1
5 512= =
De la primera ecuacioacuten se despeja tr1 28= y se sustituye en la segunda ecuacioacuten
8
5122
5
rr =
8512
8 512
512 8
64
5
2
3
3
3
rrr
r
r
r
=
=
=
=
=
(( ) 644
1 3
r =
Sustituyendo
t r
tt
t
12
12
1
1
8
4 816 8
816
12
=
==
= =
( )( )
01 DIAZ MATA 01indd 2801 DIAZ MATA 01indd 28 112808 25223 AM112808 25223 AM
29
Para determinar t8 se aplica (114)
u t r
u
uuu
n=
=
===
minus
minus1
1
8 1
7
1 2 4
1 2 41 2 168
( )
( ) ( 384)1192
La suma se calcula utilizando (115ʹ)
S trr
S
S
n= minus
minus
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
minusminus
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
8
11
12
4 14 1
12
6553533
92250S = 10
Ejemplo 186
La infl acioacuten de un paiacutes se ha incrementado 40 en promedio durante los uacuteltimos 5 antildeos iquestCuaacutel es el precio actual de un bien que teniacutea un precio de $100 hace 5 antildeos
Solucioacuten
n = 6 t1 100= t6 = r = +( )1 0 40
Aplicando (114) se tiene
u t r
u
uu
n=
=
==
minus
minus1
1
6 1
5
100 1 40
100 1 40100 5 3
( )
( )( 77824
537 82)
u =
Puede esperarse que el precio del bien se haya maacutes que quintuplicado en ese periodo dada una infl acioacuten promedio de 40 puesto que dicha infl acioacuten se va calculando sobre la del antildeo anterior que a su vez lo fue sobre la del antildeo previo y asiacute sucesivamente
18 Progresiones geomeacutetricas
01 DIAZ MATA 01indd 2901 DIAZ MATA 01indd 29 112808 25227 AM112808 25227 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS30
Ejemplo 187
La infl acioacuten de un paiacutes latinoamericano se ha incrementado 4 en promedio durante los uacuteltimos 5 antildeos iquestCuaacutel es el precio actual de un bien que teniacutea un precio de $100 hace 5 antildeos
Solucioacuten
n = 6 t1 100= t6 = r = +( )1 0 04
Aplicando (114) se tiene
u t r
u
uu
n=
=
==
minus
minus1
1
6 1
5
100 1 04
100 1 04100 1 2
( )
( )( 1166529
121 67)
u =
Como puede observarse al comparar el resultado de este ejemplo con el del ejemplo in-mediato anterior los efectos de tasas elevadas de infl acioacuten son muy importantes puesto que con una tasa de infl acioacuten anual de 4 el precio del bien se incrementaraacute 2167 en 5 antildeos en tanto que con un incremento anual de 40 los precios se incrementan 43782 durante el mismo periodo
Ejercicios de la seccioacuten 1820 Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de las siguientes progresiones
a) 7 35 175hellip 10 teacuterminos b) 5 minus20 80hellip 8 teacuterminos c) 23 215 275hellip 15 teacuterminos d) 34 minus14 112hellip 12 teacuterminos
21 En una progresioacuten geomeacutetrica se tiene
a) t1 = 4 t6 = 972 determine r t8 y S8 b) t3 = 20 t7 = 1620 determine r t1 y S7 c) t5 = 8 tn = 05 n = 9 determine r t1 y S8 d) tn = minus18 r = minus14 n = 8 determine t1 y S8 e) t1 = 104 r = 104 determine t12 y S12
22 Un jugador de ajedrez solicitoacute al rey despueacutes de haberle ensentildeado este juego que en pago le diese 1 grano de trigo por el primer cuadro 2 por el segundo 4 por el ter-cero 8 por el cuarto y asiacute sucesivamente iquestCuaacutentos granos debiacutea darle por el cuadro nuacutemero 32 iquestCuaacutentos granos debiacutea darle por los cuadros 1 al 32 Imagine la canti-dad si el tablero de ajedrez tiene 64 cuadros
01 DIAZ MATA 01indd 3001 DIAZ MATA 01indd 30 112808 25230 AM112808 25230 AM
31
23 Un equipo de coacutemputo con valor de $10 000 es depreciado cada mes 10 de su valor al comienzo del mes iquestCuaacutel seraacute la depreciacioacuten en el 12o mes
24 Una persona deposita en un banco $5 000 El banco le paga un intereacutes mensual de 3 sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes Si dicho intereacutes se reinvierte mes a mes en la misma cuenta iquestqueacute cantidad habraacute reunido al cabo de un antildeo
19 Progresiones geomeacutetricas infi nitasConsidere la progresioacuten geomeacutetrica
1 12 14 18hellip
cuyo primer teacutermino es 1 y cuya razoacuten es r 12 La suma de los primeros n teacuterminos es
S
S
S
n
n
n
n
n
= minusminus
=minus
minusminus
=
1 1 21 1 2
11 1 2
1 21 1 2
11
( )
( )
221 21 2
2 1 2 1
minus
= minus minus
( )
( )
n
nnS
Para cualquier n la diferencia 2 minus Sn = (12)n minus 1 es positiva y se reduce a medida que crece n Si n crece sin liacutemite (tiende al infi nito) se dice que S se aproxima a 2 como liacutemite
liacutem Sn = 2
n rarr infin
En el caso de una progresioacuten geomeacutetrica del tipo
t1 t1r t1r2 t1r3hellip
la suma de los primeros n teacuterminos puede escribirse como
S trr
tr
t rrn
n n
= minusminus
=minus
minusminus1
1 111 1 1
19 Progresiones geomeacutetricas infi nitas
01 DIAZ MATA 01indd 3101 DIAZ MATA 01indd 31 112808 25232 AM112808 25232 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS32
Cuando (minus1 lt r lt 1) si n crece infi nitamente el teacutermino en rn tiende a 0 y Sn tiende a t
r1
1minus
Asiacute se dice que
St
rr=
minusminus lt lt1
11 1cuando (116)
y se le considera la suma de una progresioacuten geomeacutetrica infi nita
Ejemplo 191
Determine la suma de la progresioacuten geomeacutetrica infi nita1 13 19 127hellip
SolucioacutenSe tiene que t1 = 1 r = 13 y ya que (minus1 lt r lt 1 ) se aplica la foacutermula (116)
( )
minus lt lt
=minus
=minus
=
=
1 1
11
1 1 31
2 31 5
1
r
St
r
S
S
S
Ejemplo 192
Determine la suma de la progresioacuten geomeacutetrica infi nita
114
116
164
1256
hellip
Solucioacutent1 1= r = 14 ya que ( minus lt lt1 1r )
S
S
S
=minus
=
=
11 1 41
3 44 3
Ejemplo 193
Determine la suma de la progresioacuten geomeacutetrica infi nita
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 3 4+ + + +minus minus minus minusi i i i
01 DIAZ MATA 01indd 3201 DIAZ MATA 01indd 32 112808 25234 AM112808 25234 AM
33
Solucioacuten
t i r i11 11 1= + = +minus minus( ) ( )y
Aplicando la foacutermula (116) se tiene que
Si
i= +
minus +
minus
minus( )
( )1
1 1
1
1
Si se multiplican el numerador y el denominador por (1 + i) se tiene
Si
iii
= +minus +
times ++
minus
minus( )
( )( )( )
11 1
11
1
1
Aplicando las leyes de los exponentes se tiene
Si
i ii
i i= +
+ minus += +
+ minus +
minus
minus +( )
( ) ( )( )
( ) (1
1 11
1 1
1 1
1 1
0+
))
( )
0
11 1
1
Si
Si
=+ minus
=
Ejemplo 194
Transforme 0555555hellip en una fraccioacuten propia3
SolucioacutenEl nuacutemero 0555555hellip puede escribirse como la suma de 050 + 005 + 0005 +hellip Asiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica infi nita en la cual t1 = 050 y r = 010 Aplicando la foacutermula (116) se tiene
St
r=
minus=
minus= =1
10 5
1 0 10 50 9
59
19 Progresiones geomeacutetricas infi nitas
3 Fraccioacuten propia es aquella en que el numerador es menor que el denominador Ejemplos
12
34
25
810
Toda fraccioacuten propia es menor que la unidad
01 DIAZ MATA 01indd 3301 DIAZ MATA 01indd 33 112808 25237 AM112808 25237 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS34
Ejemplo 195
Transforme 2533333 a un nuacutemero mixto4
SolucioacutenEl nuacutemero 2533333hellip puede escribirse como la suma de 2 + 05 + 003 + 0003 + 00003hellip
Tambieacuten puede escribirse como 25
103
1003
1 0003
10 000+ + + + hellip
Asiacute se tiene la suma de un nuacutemero entero (2) una fraccioacuten 510
y una progresioacuten infi nita
que tiene como primer teacutermino t1 = 003 y como razoacuten r = 010Al aplicar la foacutermula (116) a la progresioacuten infi nita se tiene
2533333hellip = + +minus
= + +minus
25
10 12
510
0 031 0 1
1tr
2533333hellip = + + = + +25
100 030 9
25
103
90
2533333hellip = 245 3
90+ +
2533333hellip = 24890
4 Fraccioacuten impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador Ejemplos
52
43
75
109
Toda fraccioacuten impropia es mayor que la unidad y puede escribirse con la suma de un nuacutemero natural maacutes una frac-cioacuten dando origen a los nuacutemeros mixtos
53
123
123
= + =
72
312
312
= + =
01 DIAZ MATA 01indd 3401 DIAZ MATA 01indd 34 112808 25239 AM112808 25239 AM
35
Ejercicios de la seccioacuten 1925 Determine la suma de las progresiones geomeacutetricas infinitas siguientes
a) 02 002 0002 00002hellip b) 04 004 0004 00004hellip c) 1 15 125hellip d) 1 minus14 116 minus164 e) ( ) ( ) ( )1 05 1 05 1 051 2 3minus minus minus hellip
26 Transforme en fraccioacuten propia o nuacutemero mixto los siguientes valores
a) 1111111hellip d) 0353535 g) 2522222 b) 2055555hellip e) 0777777 h) 1848484 c) 30681818hellip f) 0141414 i) 0202020
27 Se deja caer una pelota de hule de una altura de 30 metros Si cada rebote llega a 23 de la altura de la cual cae iquestcuaacutentos metros habraacute recorrido hasta alcanzar el reposo
110 Uso de ExcelEl paquete Excel cuenta con funciones especiacutefi cas para calcular logaritmos y antilogaritmos naturales cuenta tambieacuten con una funcioacuten para calcular logaritmos base 10 y permite asimis-mo determinar el logaritmo de cualquier nuacutemero en la base que se quiera elegir
Estas funciones pueden activarse desde la opcioacuten InsertarFuncioacuten que se encuentra en el menuacute principal de Excel
o bien oprimiendo el botoacuten fx que se localiza en la barra inmediata superior a las celdas de la hoja de caacutelculo a la que se suele denominar ldquobarra de comandosrdquo Una vez que se accesa esta
110 Uso de Excel
01 DIAZ MATA 01indd 3501 DIAZ MATA 01indd 35 112808 25241 AM112808 25241 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS36
opcioacuten se selecciona la categoriacutea de funciones Matemaacuteticas y Trigonomeacutetricas y entre ellas aparecen las relacionadas a exponentes y logaritmos
El uso de estas funciones se ilustra en el siguiente ejemplo
Para encontrar el antilogaritmo de un nuacutemero de base distinta al nuacutemero e se debe emplear una foacutermula con el siguiente formato
b Land
Donde
b = baseand = siacutembolo de exponenciacioacutenL = logaritmo
01 DIAZ MATA 01indd 3601 DIAZ MATA 01indd 36 112808 25243 AM112808 25243 AM
37
En los ejemplos que se ofrecen en la imagen anterior se muestran las foacutermulas para calcular el antilogaritmo del nuacutemero 2 con base 2 y 10 Asiacute el antilogaritmo se determina como sigue
Antilogaritmo de 1 en base 2
Foacutermula Resultado
= 2and1 2
Antilogaritmo de 0301029995663981 en base 10
Foacutermula Resultado
= 10and0301029995663981 2
Excel puede ser tambieacuten de utilidad para construir progresiones aritmeacuteticas y geomeacutetricas pues permite probar de manera raacutepida y sencilla los valores de ellas una vez que se conocen los valores de t y d en el caso de las progresiones aritmeacuteticas asiacute como los valores de t1 y r en el caso de las progresiones geomeacutetricas
111 ResumenEn este capiacutetulo se han estudiado tres temas que resultan baacutesicos para comprender y manejar las matemaacuteticas financieras
a) Los exponentes y sus leyesb) Logaritmos y antilogaritmosc) Progresiones aritmeacuteticas y geomeacutetricas
Un exponente nos indica el nuacutemero de veces que un valor llamado base debe multiplicarse por siacute mismo y se expresa en su forma general como an donde a es la base y n el exponente
Las operaciones que involucran exponentes estaacuten regidas por las siguientes leyes
1 a a am n m ntimes = +
2 aa
am
nm n= minus
3 ( )a am n mn=4 ( )ab a bn n n=
5 ab
ab
n n
n
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
111 Resumen
01 DIAZ MATA 01indd 3701 DIAZ MATA 01indd 37 112808 25243 AM112808 25243 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS38
6 a0 = 1
7 aa
nn
minus = 1
8 a a am n nm
mn = ( ) =
Un logaritmo es el exponente al cual debe elevarse una base para obtener un nuacutemero determinado
bL = N
Como exponentes que son los logaritmos se sujetan a las leyes que los rigen y en virtud de ello son de gran utilidad para simplificar caacutelculos aritmeacuteticos
Tres leyes fundamentales de los logaritmos se derivan de la aplicacioacuten de las leyes de los exponentes
1 log (A times B) = log A + log B
2 log log logAB
A B= minus
3 log An = n log A
Asiacute al aplicar logaritmos la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros se convierte en la suma de sus logaritmos un cociente en una resta y una potencia en una multiplicacioacuten
Una progresioacuten aritmeacutetica es una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que cua-lesquiera dos nuacutemeros consecutivos de la sucesioacuten estaacuten separados por una misma cantidad llamada diferencia comuacuten
Las progresiones aritmeacuteticas son la base teoacuterica del intereacutes y del descuento simplesLas progresiones geomeacutetricas son a su vez la base del intereacutes compuesto y las anualidades
y se definen como una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que cualesquiera dos nuacutemeros consecutivos de la misma guarden un cociente o razoacuten comuacuten
En una progresioacuten geomeacutetrica cualquier nuacutemero posterior se puede obtener del anterior multiplicaacutendolo por un nuacutemero constante llamado cociente o razoacuten comuacuten
Si se ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe
bull Comprender el concepto de exponentebull Conocer y aplicar las leyes de los exponentesbull Comprender el concepto de logaritmosbull Determinar el logaritmo comuacuten de un nuacutemerobull Comprender el concepto de caracteriacutesticabull Comprender el concepto de mantisabull Conocer y aplicar las leyes de los exponentes
Comprobacioacuten del capiacutetulo
01 DIAZ MATA 01indd 3801 DIAZ MATA 01indd 38 112808 25245 AM112808 25245 AM
39
bull Determinar el antilogaritmo de un logaritmobull Efectuar caacutelculos utilizando logaritmosbull Comprender el concepto de progresioacuten aritmeacuteticabull Comprender el concepto de progresioacuten geomeacutetricabull Comprender el concepto de progresioacuten geomeacutetrica infinitabull Resolver ejercicios que involucren exponentes logaritmos y progresiones utilizando
hoja de caacutelculo Microsoft Excel
Foacutermulas importantes
Teacuterminos y conceptos importantesbull Antilogaritmobull Basebull Caracteriacutesticabull Cociente o razoacuten comuacutenbull Diferencia comuacutenbull Exponentebull Exponente cero
bull Exponente fraccionariobull Exponente negativobull Logaritmobull Mantisabull Progresioacuten aritmeacuteticabull Progresioacuten geomeacutetricabull Progresioacuten geomeacutetrica infinita
Foacutermulas importantesExponentes
am times an = am + n (11)aa
am
nm n= minus (12)
(am)n = amn (13)
(ab)n = anbn (14)
ab
ab
n n
n
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= (15)
aa
nn
minus = 1 (16)
a am n mn = (17)
Logaritmos
log (A times B) = log A + log B (18)
log log logAB
A B⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= minus (19)
log An = n log A (110)
Progresiones aritmeacuteticas
u = t1 + (n minus 1)d (111)
Sn
t u= +2 1( ) (112)
Sn
t n d= + minus2
2 11[ ( ) ] (113)
Progresiones geomeacutetricas
u = t1rn minus 1 (114)
S trr
rn
= minusminus
lt111
1( )
para (115)
S trr
rn
= minusminus
gt11
11
( )para (115ʹ)
Progresiones geomeacutetricas infinitas
St
rr=
minusminus lt lt1
11 1cuando ( ) (116)
01 DIAZ MATA 01indd 3901 DIAZ MATA 01indd 39 112808 25247 AM112808 25247 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS40
1 Simplifique
a) ax a x4 3 5times
b) a y b y2 5 2 5times
c) a x a y x y3 4 2 3 2 6times times
d) ( )( )( )3 5 25 2 6x x x
e) yy
2
f ) yy
5
6
g) ( ) ( )x y xy
y y
2 3 5
4 3times
times
h) ( )d2 5
i) ( ) ( )i i3 3 2 3times
j) ( ) ( )( )( )39 9
2 4 3 5
4 4 2x xx x
Ejercicios complementarios
k) 52
3x
x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
l) ( )x y3 5 2
m) xy
3
5
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n) x y x y
y y
2 3 2 4
5 2
3timestimes
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
o) 2 5
3 5
3Z
x y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
p) ( ) ( )1 0 06 1 0 063 12+ times +
q) ( ) ( ) ( )( )
1 80 1 80 1 801 80
5 3 2times times
2 Simplifique
a) 10
b) (5a)0 times (3a2)0 h) ( ) ( )y yminus minus minus3 5 2 2
i) ( )aminus minus1 4 2
j) ( )aminus2 5
k) ( )( )
y y
y
minus minus
minus
4 7 4 7 7
1 5
l) ( )( ) 125 1251 5 2 5minus minus
m) ( ) ( )1 0 075 1 0 0755+ times +minus
n) ( ) ( )
( )1 60 1 60
1 60
4 1
0
minus minustimes +
3 Simplifique hasta la miacutenima expresioacuten
a) minus5(5)minus2 =
b) minus =minus4 2a
c) ( )minus =minus4 2a
d) ( )
( )
minus times
times=
minus
minus2 22
4 2 4
2 2 4a aa a
e) x x
x x
minus minus
minus minus
( ) times ( )( ) times ( )
=2 4 1 4 2
1 2 4 2 4 4
c) b b1 5 1 4 times
d) bb
1 5
1 4
e) b b
b
3 4 6 8
1 4
1 4
times⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
f ) ( )( )( )x x xminus minus2 5 3
g) ( )yminus2 3
01 DIAZ MATA 01indd 4001 DIAZ MATA 01indd 40 112808 25251 AM112808 25251 AM
41
f ) 4 2
4 2 4
0 4
2minus
minus=
minus
minus( )
g) ( ) 64 2 3 =
h) ( ) minus =64 2 3
i) ( ) 64 2 3minus =
j) ( ) minus =minus64 2 3
k) 27 13 1 3
3 1 6
1
aa
( ) times⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
minus
minus
minus
( )
l) 8 3 3 3 1 3 1 2
x y zminus minus( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
Ejercicios complementarios
m) a ba b
minus minus
minus minus+ =
1 1
1 1
n) 24
6427
2
2
1 2 3
3
1 3xx
xy
minus minus minus⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
divide⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=
o) minus( ) =minus
8 3 1 3x
p) a x ax x
x
minus( )⎡⎣
⎤⎦ times minus⎡⎣ ⎤⎦ =
1 3 35 22 3
1 6 1 6 2
1 6
q) x y a b a b
a
3 1 2 6 1 4 3 3 1 4 2
1 4
3
27
⎡⎣
⎤⎦ times ⎡
⎣⎤⎦ times
⎡⎣
⎤⎦
minus minus
bbxy x y
⎡⎣
⎤⎦
times ⎡⎣
⎤⎦ =minus1
2 3 4 4 1 2
4 Simplifique usando exponentes
a) x y2 3
b) y xminus33 54
c) a a
a
3 42
105
times
d) b a b
a b
3 2 53
3 74
3times⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
minus
5 Determine el valor de las incoacutegnitas en las siguientes ecuaciones
a) 5x + 1 = 32x
b) ( ) ( ) 1 0 02 10 765163 1 2+ =n
c) 100 1 0 12 ( )x x= +
d) 5001 0 04 1
1 0 04 13000
1 4( )
( ) + minus+ minus
=x
e) 250 51 0 01 1
0 01= + minus( )
y
f ) 250 51 1 0 01
0 01= minus + minus( )
n
6 Determine el logaritmo L
a) L = log2 (512)
01 DIAZ MATA 01indd 4101 DIAZ MATA 01indd 41 112808 25302 AM112808 25302 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS42
b) L = log4 164
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
c) L = log5 35 125
d) L = log10 10 000
7 Determine el nuacutemero N
a) log2 N = 0 d) log9 N = 12 b) log3 N = minus3 e) log10 N = 0 c) log5 N = minus1 f ) log10 N = 32
8 Determine la caracteriacutestica de
a) 125 f ) 354 b) 347 250 g) 1 348 c) 00000578 h) 40 d) 475862475 i) 17235 e) 03 j) 10005
9 Determine la mantisa de
a) 3 f ) 050 b) 30 g) 4 c) 300 h) 160 d) 3 000 i) 9 e) 00003 j) 2 700
10 Determine el logaritmo comuacuten de
a) 318 f ) 1000 000 b) 600 g) 45 372 000 c) 8 524 h) 00000045 d) 0375 i) 355 e) 732 j) 40
11 Determine el antilogaritmo de
a)⎯1301030 f )⎯2602060 b) 1301030 g) minus0901090 c) minus1301030 h) 3275 d) 0 i) 22335 e) 425 j) 0901090
12 Exprese las siguientes relaciones con un solo logaritmo
a) (log ) (log ) (log )4 6 10minus + =
b) ( log ) ( log ) log4 2 6 3 23minus + =
01 DIAZ MATA 01indd 4201 DIAZ MATA 01indd 42 112808 25310 AM112808 25310 AM
43
c) ( log ) ( log ) ( log )12
1613
6413
27minus + =
d) (log )5 1minus = e) (log )5 1minus = f ) (log ) (log ) (log )10 5 20minus + =
13 Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales mediante el empleo de logaritmos
a) 1(1 + 080)n = 10 e) 1(1 + 075)minusn = 010 b) (1 + 075)n = 5 f ) 100(1 + 100)minusn = 1 c) 1000(1 + 0075)n = 10 000 g) (1 + 020)n = 2 d) 1(1 + 050)minusn = 010 h) 1 minus (1 + 005)minusn = 05
14 Determine la suma de las siguientes progresiones
a) 50 60 70 80 90 100 b) 32 24 16 8
c) 14
38
12
58
34
d) minus minus minus minus minus minus16
14
13
512
12
712
15 iquestQueacute cantidad de intereses pagaraacute un tarjetahabiente bancario si adeuda $8 800 y los li-quidaraacute en 11 pagos mensuales maacutes intereses sobre saldos insolutos a razoacuten de 5 men-sual iquestCuaacutel seraacute el importe del uacuteltimo pago
16 Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de las siguientes progresiones
a) 5 40 320hellip 5 teacuterminos b) minus3 12 minus48hellip 8 teacuterminos
c) 17
149
1343
hellip 7 teacuterminos
d) 23
29
227
minus hellip 10 teacuterminos
17 Un padre de familia decide formar un fondo de ahorro que paga 3 de intereacutes mensual con el fin de costear los estudios profesionales de su hijo de 8 antildeos Inicia el fondo con $500 y determina depositar en eacutel el doble de lo que exista depositado en cada cumpleantildeos de su hijo y hasta que eacuteste cumpla dieciocho antildeos iquestQueacute cantidad deberaacute depositar enel decimoquinto aniversario iquestQueacute cantidad deberaacute depositar en el decimoctavo antildeo iquestCuaacutento dinero habraacute depositado al finalizar el antildeo nuacutemero dieciocho
18 La moneda de un paiacutes se ha devaluado con respecto al doacutelar a razoacuten de 2 mensual du-rante el uacuteltimo antildeo Suponiendo que este factor de devaluacioacuten se mantuviera constante durante el proacuteximo antildeo iquestcuaacutel seraacute la paridad de dicha moneda al cabo de 12 meses si ac-tualmente es de 100 unidades por un doacutelar
Ejercicios complementarios
01 DIAZ MATA 01indd 4301 DIAZ MATA 01indd 43 112808 25312 AM112808 25312 AM
CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS44
19 Bajo el supuesto de una tasa de inflacioacuten de 2 mensual constante iquestcuaacutel seraacute el poder adquisitivo de $1 al cabo de 12 meses
20 Determine la suma de las progresiones geomeacutetricas siguientes a) 5 05 005 0005hellip b) 1 110 1100hellip c) minus1 110 minus1100hellip d) (1 + 050)0 (1 + 050)minus1 (1 + 050)minus2hellip 21 El Sr Peacuterez debe $8 000 Toma la decisioacuten de pagar $800 al final de cada 6 meses para dis-
minuir la deuda pero ademaacutes debe pagar 2 por concepto de intereses iquestCuaacutel seraacute el intereacutes total que debe pagar
22 iquestCuaacutel seraacute el tiempo que emplearaacute una persona en saldar una deuda de $2 000 si paga $250 la primera semana $260 la segunda $270 la tercera y asiacute sucesivamente
23 Una motocicleta con un costo inicial de $40 000 se deprecia a una tasa de 5 anual sobre el valor contable al inicio del ejercicio iquestCuaacutel seraacute su valor contable al final del 5o antildeo
24 Una investigacioacuten arrojoacute que la poblacioacuten de una ciudad se incrementaraacute 8 anual duran-te 5 antildeos Calcule el porcentaje total en que aumentaraacute la poblacioacuten al final de los cinco antildeos
11 Exponentes
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmEliges la materia de Matemaacuteticas Financieras Tema 2
httpwwwgaleoncomstudent_starexpyrad01htmEsta paacutegina contiene informacioacuten y ejemplos sobre exponentes y radicales
12 Leyes de los exponentes
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmEliges la materia de Matemaacuteticas Financieras Tema 2
httpwwwgaleoncomstudent_starexpyrad01htmEsta paacutegina contiene informacioacuten y ejemplos sobre exponentes y radicales
13 Exponente cero negativo y fraccionario
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmEliges la materia de Matemaacuteticas Financieras Tema 2
httpwwwgaleoncomstudent_starexpyrad01htmEsta paacutegina contiene informacioacuten y ejemplos sobre exponentes y radicales
Matemaacuteticas en internet Fundamentos
01 DIAZ MATA 01indd 4401 DIAZ MATA 01indd 44 112808 25314 AM112808 25314 AM
45
17 Progresiones aritmeacuteticas
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxprogreshtmprogaritExplicacioacuten sobre las progresiones aritmeacuteticas y ejercicios resueltos
httpwwwsectormatematicacleducsuperiorhtmEn la seccioacuten de Educacioacuten Superior encontraraacutes algunas secciones sobre progresiones arit-meacuteticas
18 Progresiones geomeacutetricas
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxprogreshtmprogeomExplicacioacuten sobre las progresiones geomeacutetricas y ejercicios resueltos
httpwwwsectormatematicacleducsuperiorhtmEn la seccioacuten de Educacioacuten Superior encontraraacutes algunas secciones sobre progresiones geo-meacutetricas
Matemaacuteticas en internet
01 DIAZ MATA 01indd 4501 DIAZ MATA 01indd 45 112808 25314 AM112808 25314 AM
01 DIAZ MATA 01indd 4601 DIAZ MATA 01indd 46 112808 25314 AM112808 25314 AM
Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de
bull Explicar los conceptos de intereacutes simple tiem-po capital monto valor actual tasa de inte-reacutes intereacutes descuento y ecuaciones de valores equivalentes
bull Distinguir y explicar la diferencia entre des-cuento real y descuento comercial asiacute como entre tiempo real y tiempo aproximado
bull Plantear y resolver ejemplos de caacutelculo de tasa de intereacutes tiempo capital monto valor actual y descuento a intereacutes simple
bull Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a intereacutes simple
bull Resolver ejercicios y aplicaciones de inte-reacutes simple utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg
Objetivos 21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos 22 Monto 23 Valor actual o presente 24 Intereacutes 25 Tasa y tipo de intereacutes 26 Plazo o tiempo 27 Tiempo real y tiempo aproximado 28 Descuento 29 Graacuteficas de intereacutes simple 210 Ecuaciones de valores equivalentes 211 Aplicaciones 212 Uso de Excel 213 Resumen
Temario
Intereacutes simple
CAPIacuteTULO2
02 DIAZ MATA 02indd 4702 DIAZ MATA 02indd 47 112808 25414 AM112808 25414 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE48
21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicosSuponga la siguiente situacioacuten El sentildeor Loacutepez obtiene un preacutestamo por $20 000 que solicitoacute a un banco y acuerda pa-garlo despueacutes de dos meses entregaacutendole al banco $20 400 Este caso permite ejemplifi car una operacioacuten en la que interviene el intereacutes simple El supuesto fundamental del cual se parte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo el sentildeor Loacutepez obtuvo inicialmente $20 000 y pagoacute dos meses despueacutes $20 400 esto es los $20 000 que le prestaron maacutes $400 de intereacutes que de acuerdo con el supuesto baacutesico es la cantidad en que aumentoacute el valor del preacutestamo original en dos meses Desde el punto de vista del banco esos intereses son su ganancia por el hecho de haber invertido su dinero en el preacutestamo y desde el punto de vista del sentildeor Loacutepez son el costo de haber utilizado los $20 000 durante dos meses Los elementos que intervienen en una operacioacuten de intereacutes son de acuerdo con el mismo ejemplo
C = el capital que se invierte = $20 000 t = el tiempo o plazo = dos meses I = el intereacutes simple = $400 M = el monto = capital maacutes intereses = $20 400 i = la tasa de intereacutes
La tasa de intereacutes refleja la relacioacuten que existe entre los intereses y el capital en el ejemplo
i = =40020 000
0 02
Si se le multiplica por 100 este cociente indica que el capital ganoacute 2 de intereacutes en dos me-ses pues $400 es 2 de $20 000 Luego para convertir a la misma base se acostumbra expresar tanto la tasa de intereacutes i como el tiempo t en unidades de antildeo por lo que seguacuten el ejemplo t = 2 meses y si el antildeo tiene 12 meses el tiempo expresado en unidades de antildeo es
t = 212 = 16
Y la tasa de intereacutes si es de 002 por bimestre en 6 bimestres seraacute
i = 002 (6) = 012 o expresado en porcentaje 012 times 100 = 12 anual
Tambieacuten se diferencia entre
a) la tasa de intereacutes 012 (expresada en decimales) yb) el tipo de intereacutes 12 (expresado en porcentaje)
Es importante observar que ambas son soacutelo expresiones distintas de lo mismo soacutelo que la primera es la forma algebraica de plantearlo mientras que su expresioacuten porcentual es la que maacutes se utiliza cuando se le maneja verbalmente Ademaacutes tambieacuten es de uso comuacuten hablar de ta-sas porcentuales de intereacutes (por ejemplo ldquocon una tasa de 9 anualrdquo)
02 DIAZ MATA 02indd 4802 DIAZ MATA 02indd 48 112808 25415 AM112808 25415 AM
49
En resumen y abundando sobre el ejemplo
C = $20 000 I = $400 t = 16 i = 012 M = $20 400
y se puede observar que en general
M = C + I (21) 20 400 = 20 000 + 400
El monto es igual al capital maacutes los intereses
I = C i t (22) 400 = 20 000 (012) (16)
El intereacutes es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo Combinando las dos expresiones anteriores
M = C + Cit (23)
M = C(1 + it) = 20 000[1 + 012(16)] = 20 000(102) = 20 400
Al factor (1 + it) se le conoce como factor de acumulacioacuten con intereacutes simple Otra relacioacuten que se puede observar es la siguiente
M = C (1 + it) (24)
CM
itM it=
+= + = =minus minus
( )( ) ( ) (
11 20 400 1 02 20 400 0 91 1 880392)
C = 20 000
Este caso podriacutea pensarse con las mismas cantidades en los siguientes teacuterminos el sentildeor Chaacutevez tiene una deuda de $20 400 que debe pagar dentro de dos meses Si la operacioacuten estaacute pac-tada a 12 anual de intereacutes simple iquestcuaacutento deberiacutea pagar para saldar su deuda el diacutea de hoy La respuesta es desde luego $20 000 En este caso se comprenderaacute por queacute se acostumbra llamar a esta cantidad valor actual de la deuda o lo que es lo mismo valor actual de la opera-cioacuten Es necesario observar que el capital y el valor actual representan lo mismo soacutelo que en contextos diferentes el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener despueacutes un monto superior y el valor actual es precisamente el que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura En uacuteltima instancia ambos conceptos se pue-den pensar y plantear uno en funcioacuten del otro Maacutes adelante se presentan otros ejemplos para ilustrar de manera maacutes clara los diversos conceptos que se han explicado hasta aquiacute
21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos
02 DIAZ MATA 02indd 4902 DIAZ MATA 02indd 49 112808 25415 AM112808 25415 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE50
22 Monto Ejemplo 221
Un comerciante adquiere un lote de mercanciacutea con valor de $3 500 que acuerda liquidar mediante un pago de inmediato de $1500 y un pago fi nal 4 meses despueacutes Acepta pagar 10 de intereacutes anual simple sobre el saldo iquestCuaacutento deberaacute pagar dentro de 4 meses
Solucioacuten C = 3 500 minus 1500 = 2 000 i = 010 t = 412 = 13
M = 2 000[1 + (010)(13)] = 2 000(1033333) = $2 06667
Deberaacute pagar $2 06667 de los cuales $2 000 son el capital que adeuda y $6667 los intereses de 4 meses
Ejemplo 222
Una persona deposita $150 000 en un fondo de inversiones bursaacutetiles que garantiza un rendimiento de 08 mensual Si retira su depoacutesito 24 diacuteas despueacutes iquestcuaacutento recibe
Solucioacuten C = 150 000 i = 08 mensual t = 2430 M = 150 000[1 + (0008)(45)] = 150 000(1 + 00064) = 150 960
Observe que en este caso se plantea tanto el tiempo como la tasa en meses
23 Valor actual o presenteEl valor actual que equivale al capital se puede encontrar despejando C en la foacutermula del monto (24) como sigue
CM
it=
+1
Ejemplo 231
Una persona participa en una ldquotandardquo y le toca cobrar en el decimoctavo mes Si dentro de 18 meses recibiraacute $30 000 iquestcuaacutel es el valor actual de su tanda con un intereacutes simple de 20 anual
02 DIAZ MATA 02indd 5002 DIAZ MATA 02indd 50 112808 25416 AM112808 25416 AM
51
SolucioacutenM = $30 000 es un monto pues se trata de una cantidad de la que se dispondraacute en
una fecha futura t = 1812 = 15 i = 20 anual M = C(1 + it)
CM
it=
+=
+⎡⎣ ⎤⎦( ) ( ( ))130 000
1 0 2 1 5
C = 30 000130 = $23 07692
En este caso $23 07692 es el valor actual de $30 000 realizables dentro de 18 meses con 20 anual de intereacutes simple
Ejemplo 232
Un individuo comproacute un automoacutevil nuevo por el cual pagoacute $195 000 el primero de ene-ro y lo vende el primero de junio del antildeo siguiente en $256 000 Aparte del uso que ya le dio del seguro que pagoacute otros gastos que hizo considerando soacutelo los valores de compra y venta iquestfue una inversioacuten conveniente la operacioacuten que realizoacute si la tasa de intereacutes de mercado era de 11
SolucioacutenEn este caso para evaluar la conveniencia se calcula el valor actual de $256 000 17 me-ses atraacutes a una tasa similar a las vigentes en ese lapso para comparar esa cantidad con lo que pagoacute
Pagado el primero de enero Valor actual de $256 000 17 meses antes a 11 anual simple
195 000 C =+
=256 0001 1 12 0 11
256 0001 155833( )( ) 7
C = $22148528
Ganoacute $26 48528 resultado de restar a $22148528 (precio de venta) los $195 000 del precio de compra al haber invertido en el automoacutevil en vez de haberlo hecho en una in-versioacuten bancaria o bursaacutetil que habriacutea tenido el mismo rendimiento del mercado
24 Intereacutes Ejemplo 241
Una persona obtiene un preacutestamo de $50 000 y acepta liquidarlo antildeo y medio des-pueacutes Acuerda que mientras exista el adeudo pagaraacute un intereacutes simple mensual de 15 iquestCuaacutento deberaacute pagar de intereacutes cada mes
24 Intereacutes
02 DIAZ MATA 02indd 5102 DIAZ MATA 02indd 51 112808 25417 AM112808 25417 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE52
Solucioacuten a) C = 50 000 t = 1 mes i = 15 = 0015 I = 50 000(0015)(1) = $750
Tendraacute que pagar $750 mensualesPuesto que la tasa de intereacutes y el plazo estaacuten expresados en meses (la misma unidad
para ambos conceptos) el caacutelculo del intereacutes es directo
b) Para resolver este mismo ejemplo pero expresando las cantidades en periodos anua-les (ya no mensuales) se debe proceder de la siguiente manera
Solucioacuten C = 50 000 t = 112 i = (0015)(12) = 018 anual I = 50 000112)(018) = $750
Ejemplo 242
Si alguien deposita $75 000 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 135 mensual sim-ple iquestcuaacutento recibiraacute mensualmente de intereses
Solucioacuten C = $75 000 i = 00135 mensual I = $75 000(00135)(1) I = $101250 mensuales
Ejercicios de las secciones 21 a 24
1 Se obtiene un creacutedito por $180 000 a 160 diacuteas con 15 de intereacutes anual simple iquestQueacute cantidad debe pagar al vencerse su deuda
2 iquestQueacute cantidad por concepto de intereacutes simple mensual produce un capital de $40 000 a un intereacutes de 13 anual simple
3 Si una persona deposita hoy $50 000 a plazo fijo con 220 de intereacutes mensual y no retira su depoacutesito y reinvierte sus intereses iquestcuaacutento tendraacute en su cuenta 3 meses des-pueacutes si la tasa de intereacutes no variacutea
4 Una persona adquiere hoy un automoacutevil que cuesta $220 000 Si suponemos que el vehiacuteculo aumenta su valor en forma constante y a razoacuten de 02 mensual iquestcuaacutel seraacute su valor despueacutes de 2 meses
5 Mariacutea Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 antildeos Supone que el enganche que tendraacute que pagar en esas fechas seraacute de $60 000 Si desea tener esa cantidad dentro
02 DIAZ MATA 02indd 5202 DIAZ MATA 02indd 52 112808 25418 AM112808 25418 AM
53
de 2 antildeos iquestqueacute suma debe invertir en su depoacutesito de renta fija que rinde 08 de inte-reacutes mensual simple
6 iquestQueacute cantidad debe invertir hoy a 18 de intereacutes simple mensual para tener $20 000 dentro de dos meses
7 iquestCuaacutel es el valor de un pagareacute por $5 000 que vence el 15 de septiembre si se considera un intereacutes de 5 anual simple y hoy es 11 de julio
8 Para terminar de saldar una deuda una persona debe pagar $3 500 el 15 de julio iquestCon queacute cantidad pagada hoy 13 de marzo liquidariacutea su deuda si se considera un intereacutes de 6 anual
9 Un mes despueacutes de haber obtenido un preacutestamo Joseacute Luis debe pagar exactamente $850 iquestCuaacutento obtuvo en preacutestamo si el pago que debe hacer incluye intereses de 18 anual
10 iquestCuaacutel es el valor actual de una letra de cambio de $ 9 000 que vence dentro de 60 diacuteas si la tasa de intereacutes es de 17 anual
11 Una persona que cobra $5 000 mensuales de sueldo es despedida por problemas finan-cieros de la empresa En consecuencia se le paga su correspondiente indemnizacioacuten que incluye 3 meses de sueldo diacuteas por antiguumledad y descuentos por impuestos lo que arroja un saldo neto de $45 000 iquestQueacute ingreso fijo mensual le representariacutea al ahora desempleado depositar el monto de su liquidacioacuten en una inversioacuten que paga 18 de intereacutes simple anual
12 iquestQueacute cantidad de dinero colocada en una inversioacuten de renta fija que paga 10 de in-tereacutes simple anual produce intereses mensuales de $450
13 iquestCuaacutento debe pagar por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $22 000 si la liquida 6 meses despueacutes y le cobran intereses a razoacuten de 16 anual simple
14 iquestCuaacutento tendriacutea que pagar mensualmente por concepto de intereses una persona que adeuda $7 500 si le cobran 8 simple semestral
15 Salomeacute tiene 2 deudas a) Le debe $80 000 a un banco que cobra 15 mensual b) Comproacute a creacutedito un automoacutevil pagoacute determinado enganche y le quedoacute un saldo
de $125 000 que comenzaraacute a pagar dentro de 8 meses mientras tanto debe pagar 12 de intereacutes simple anual durante ese lapso
iquestCuaacutento pagaraacute en los proacuteximos seis meses por concepto de intereses16 Los movimientos de la cuenta de creacutedito de un cliente fueron
Saldo registrado el 14 de febrero $ 450 Cargo el 27 de febrero $ 150 Abono el 31 de marzo $ 400 Cargo el 15 de abril $1000 Cargo el 30 de abril $ 100 Si el almaceacuten cobra 14 anual de intereacutes iquestqueacute cantidad deberaacute pagar el cliente el
15 de mayo para saldar la cuenta
Ejercicios de las secciones 21 a 24
02 DIAZ MATA 02indd 5302 DIAZ MATA 02indd 53 112808 25418 AM112808 25418 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE54
17 iquestCuaacutel es el saldo al 1o de junio de una cuenta de creacutedito a la que se le carga mensual-mente 18 de intereacutes simple anual y que ha tenido los siguientes movimientos
1 de marzo saldo $850 15 de marzo abono $150 31 de marzo cargo $450 15 de mayo abono $200 31 de mayo abono $250
18 Diez por ciento anual es un tipo razonable de intereacutes de rendimiento del dinero Por ello iquestcuaacutel de las tres ofertas de venta siguientes es maacutes conveniente para la compra de un terreno
a) $90 000 al contado b) $45 000 al contado y el saldo en dos pagareacutes uno por $25 000 a 30 diacuteas y otro por
la misma cantidad a 60 diacuteas c) $30 000 al contado y un pagareacute de $64 000 a 30 diacuteas
19 A las tasas vigentes iquestcuaacutento rinde de intereses mensuales un milloacuten de pesos en un depoacutesito a plazo fijo de
a) 28 diacuteas b) 91 diacuteas c) 180 diacuteas
20 A las tasas vigentes iquestqueacute cantidad se recibiriacutea al final de la transaccioacuten por un pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento por $50 000 a un plazo de 3 meses
25 Tasa y tipo de intereacutes Ejemplo 251
Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1500 Paga un en-ganche de $800 y acuerda pagar otros $750 tres meses despueacutes iquestQueacute tipo de intereacutes sim-ple pagoacute
SolucioacutenC = 1500 minus 800 = 700 la cantidad que queda debiendo
t = 312 = 025 I = $750 minus $700 = $50
y con I = Cit
$50 = $700 i(025) $50 = i(700)(025) = 175i i = (50175) i = 0285714
Pagoacute un intereacutes de 2857 anual
02 DIAZ MATA 02indd 5402 DIAZ MATA 02indd 54 112808 25419 AM112808 25419 AM
55
Ejemplo 252
Una persona comproacute un automoacutevil el 1 de enero en $195 000 y lo vendioacute 17 meses des-pueacutes en $256 000 iquestQueacute tasa de intereacutes simple anual le rindioacute su inversioacuten
Solucioacuten C = 195 000 M = 256 000 t = 1712 antildeos i = de M = C(1 + it) 256 000 = 195 000[1 + i(1712)]
256 000195 000
= 1 + 1712 i = 1312821
1712
1 312821 1 0 312821i = minus =
i = =12 0 31282117
0 220814( )
La tasa es de 02208 anual simpleObserve que si se hubiera preguntado el tipo de intereacutes la respuesta hubiera sido
convirtiendo simplemente a porcentaje
2208 de intereacutes anual simple
Ejemplo 253
iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple mensual equivalente a una tasa de 54 anual
i = =0 5412
0 045
o 45 mensual
Ejemplo 254
iquestCuaacutel es el tipo de intereacutes mensual simple equivalente a una tasa de 0165 semestral
i = = =0 1656
0 0275 2 75
mensual
26 Plazo o tiempo Ejemplo 261
iquestEn cuaacutento tiempo se duplica un capital invertido a una tasa de 19 de intereacutes anual simple
De M = C(1 + it) suponiendo M = 2 y C = 1 2 = 1[1 + (019)t]
26 Plazo o tiempo
02 DIAZ MATA 02indd 5502 DIAZ MATA 02indd 55 112808 25419 AM112808 25419 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE56
1 + 019 t = 2 019 t = 2 minus 1 = 1 t = 1019 t = 526 antildeos
026 antildeos = 365 (026) diacuteas = 949 diacuteas t = 5 antildeos y 95 diacuteas aproximadamente
Observe que para resolver este problema soacutelo se necesitoacute suponer un monto igual al doble de cualquier capital Si se utiliza M = 30 C = 15
30 = 15(1 + 019 t) 3015 = 1 + 019 t 2 = 1 + 019 t que es la misma expresioacuten anterior
Ejemplo 262
iquestEn cuaacutento tiempo se acumulariacutean $5 000 si se depositaran hoy $3 000 en un fondo que paga 12 simple mensual M = 5 000 C = 3 000 i = 0012 mensual
5 000 = 3 000(1 + 0012t)
5 0003000
1 0 012= + t
1666667 = 1 + 0012 t 0012 t = 0666667 t = 06666670012 t = 5556 meses Como la tasa i estaba dada en meses el resultado que se obtiene en t tambieacuten estaacute en me-ses y 056 meses = 056 (30) diacuteas = 168 diacuteas entonces se deben depositar hoy $3 000 a 12 mensual simple durante 55 meses y 17 diacuteas aproximadamente para acumular la cantidad solicitada
27 Tiempo real y tiempo aproximadoExisten situaciones en las que el plazo de una operacioacuten se especifi ca mediante fechas en lugar de mencionar un nuacutemero de meses o antildeos
Ejemplo 271
iquestCuaacutel seraacute el monto el 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del mismo antildeo en una cuenta de ahorros que paga 19 anual simple C = 10 000 i = 019 t =
02 DIAZ MATA 02indd 5602 DIAZ MATA 02indd 56 112808 25421 AM112808 25421 AM
57
a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el nuacutemero de diacuteas que transcurren entre las dos fechas (observe que el 15 de mayo no se incluye ya que si se deposita y retira una cantidad el mismo diacutea no se ganan intereses)
16 diacuteas de mayo 30 diacuteas de junio 31 diacuteas de julio 31 diacuteas de agosto 30 diacuteas de septiembre 31 diacuteas de octubre 30 diacuteas de noviembre 24 diacuteas de diciembre 223
y t = 223365
M = 10 000[1 + (019)(223365)] M = 10 000(1116082) M = 1116082
b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada contando meses enteros de 30 diacuteas y antildeos de 360 diacuteas
Por lo tanto del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses maacutes 9 diacuteas del 16 de di-ciembre al 24 de diciembre
7(30) + 9 = 219 diacuteas
t = 219360 M = 10 000 [1 + 019(219360)] = = 10 000(1115583) = 11 15583Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen se utiliza el caacutelculo aproximado del tiempo debido a que es maacutes sencillo y es comuacuten su uso en transacciones comerciales
Ejemplo 272
El 11 de julio se fi rmoacute un pagareacute por $1 700 con 18 de intereacutes iquestEn queacute fecha los intereses llegaraacuten a $150 a) Con tiempo exacto I = 150 C = 1 700 i = 018 I = Cit 150 = $1 700(018) t 150 = $306 t
t = =150306
0 490196 antildeos pues la tasa estaacute en antildeos
27 Tiempo real y tiempo aproximado
02 DIAZ MATA 02indd 5702 DIAZ MATA 02indd 57 112808 25422 AM112808 25422 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE58
0490196(365) = 17892 o aproximando 179 diacuteas
Al 31 de julio 20 Al 31 de agosto 20 + 31 = 51 Al 30 de septiembre 51 + 30 = 81 Al 31 de octubre 81 + 31 = 112 Al 30 de noviembre 112 + 30 = 142 Al 31 de diciembre 142 + 31 = 173 Al 6 de enero 173 + 6 = 179
El 6 de enero del antildeo siguiente se acumulan $150 de intereses
b) Con tiempo aproximado
t = 0490196 [igual que en a)]0490196(360) = 17647 o aproximando 177 diacuteas
Como sabemos 177 diacuteas son 5 meses y 27 diacuteas por lo que del 11 de julio maacutes cinco me-ses = 11 de diciembre A partir de esta fecha maacutes 27 diacuteas = 7 de enero
Ejercicios de las secciones 25 a 27
21 Encuentre el intereacutes simple a) real y b) aproximado u ordinario de un preacutestamo de $1500 a 60 diacuteas con 15 de intereacutes
simple22 iquestQueacute forma de calcular el tiempo real u ordinario produce una mayor cantidad de
intereses23 De acuerdo con el tiempo ordinario iquestcuaacutentos diacuteas transcurren desde el 15 de marzo
hasta el 18 de diciembre24 De acuerdo con el criterio real iquestcuaacutento tiempo transcurre desde el 14 de mayo hasta
el 15 de noviembre25 iquestA queacute tasa de intereacutes simple anual $2 500 acumulan intereses por $250 en 6 meses26 iquestA queacute tasa de intereacutes simple se duplica un capital en 20 meses27 iquestEn queacute tiempo $2 000 se convierten en $2 500 a 14 de intereacutes simple anual28 Una persona le prestoacute $400 a un amigo y 4 meses despueacutes le cobroacute $410 iquestQueacute tasa
anual de intereacutes pagoacute el amigo29 El sentildeor Martiacutenez obtiene un preacutestamo por $2 000 y paga despueacutes de 8 meses $2 200
iquestQueacute tasa de intereacutes mensual simple le cobraron30 Una bicicleta cuesta $800 Un comprador paga $500 al contado y el resto a 60 diacuteas
con un recargo de 5 sobre el precio al contado iquestQueacute tasa de intereacutes anual simple le aplicaron
02 DIAZ MATA 02indd 5802 DIAZ MATA 02indd 58 112808 25422 AM112808 25422 AM
59
31 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple proporcional bimestral equivalente a una tasa de 16 anual
32 iquestCuaacutel es la tasa simple anual equivalente a una tasa trimestral simple de 533 iquestCuaacutel es la fecha de vencimiento de un pagareacute firmado el 15 de junio a un plazo de
180 diacuteas34 Una sentildeora reembolsa $20508 por un pagareacute de $185 firmado el 10 de mayo con
38 de intereacutes simple anual iquestCuaacutendo lo pagoacute35 Una persona adquiere una licuadora que cuesta $320 el 14 de agosto y la paga el 26 de
noviembre con un abono de $350 iquestQueacute tasa de intereacutes simple anual exacto pagoacute36 El 15 de febrero se firmoacute un pagareacute de $1500 con 22 de intereacutes simple anual iquestEn
queacute fecha los intereses sumaraacuten $40037 Investigue queacute tasa de intereacutes simple mensual carga alguna tienda de departamentos
sobre cuentas de creacutedito corriente38 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple anual que pagan los Bonos del Ahorro Nacional si
duplican la inversioacuten en cinco antildeos
28 DescuentoEl descuento es una operacioacuten de creacutedito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias que consta en que eacutestas adquieren letras de cambio o pagareacutes de cuyo valor nomi-nal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengariacutea el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento Con esta operacioacuten se anticipa el valor actual del documento Existen baacutesicamente dos formas de calcular el descuento
bull El descuento comercialbull El descuento real o justo
281 Descuento comercial
En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento como se ilustra en el siguiente ejemplo
Ejemplo 281
Observe el pagareacute que aparece en la siguiente paacuteginaSi el banco realiza operaciones de descuento a 20 anual y si el sentildeor Diacuteaz desea
descontar el documento el 15 de junio los $185 000 (el valor nominal del pagareacute) deven-garaacuten los siguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que se adelanta el valor actual del documento
descuento = D
D = Mit = Mdt (25)
28 Descuento
02 DIAZ MATA 02indd 5902 DIAZ MATA 02indd 59 112808 25423 AM112808 25423 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE60
En consecuencia $6 16667 es el descuento que se aplica
valor nominal 185 00000menos descuento 6 16667 valor anticipado 178 83333
Por lo tanto el sentildeor Diacuteaz recibe $178 83333 que es el valor comercial del documento el 15 de junio ya que se aplicoacute el descuento comercial Tal como se habiacutea sentildealado al principio el descuento se calculoacute con base en el valor nominal del pagareacute
Ejemplo 282
Una empresa descontoacute en un banco un pagareacute Recibioacute $166 66667 Si el tipo de descuen-to es de 30 y el pagareacute venciacutea 4 meses despueacutes de su descuento iquestcuaacutel era el valor nomi-nal del documento en la fecha de su vencimiento
SolucioacutenAquiacute C = 166 66667 d = 030 t = 412 de antildeo = 13 de antildeo
Se sabe que el descuento (D) = Mdt y M = C + D
D = (C + D) dt = Cdt + Ddt D minus Ddt = Cdt
Nuacutem 0000 Meacutexico DF a 10 de mayo de 20 XX $ 185 000
Por este PAGAREacute prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden
de Alfredo Diacuteaz Villanueva el diacutea 15 de agosto de 20XX la cantidad de ciento ochenta y cinco mil pesos 00100 valor recibido en
mercanciacutea a mi (nuestra) entera satisfaccioacuten
En caso de que no pague(mos) puntualmente me(nos) obligo(amos) a cubrir mensual por con-cepto de intereses moratorios sin que por eso se entienda prorrogado el plazo Este documento for-ma parte de una serie de documentos por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta aplicar el artiacuteculo 79 en relacioacuten con el No 174 de la Ley General de Tiacutetulos y Operaciones de Creacutedito
Alma Gonzaacutelez Nava
en donde d representa la tasa de descuento
185 000(212)(020) = 185 000(0033333) = 6 16667
02 DIAZ MATA 02indd 6002 DIAZ MATA 02indd 60 112808 25423 AM112808 25423 AM
61
D(1 minus dt) = Cdt
DCdt
dt=
minus1
D =minus
=166 666 67 0 30 1 31 0 30 1 3
166 666 ( )( )( )( )
667 0 101 0 10
16 666 670 90
( )
minus
= =
D = $18 51852
Por lo tanto el valor del pagareacute en su fecha de vencimiento es
166 66667 + 18 51852 = $185 18519
Ejemplo 283
Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $94505 Si el tipo de descuento es de 25 y el valor nominal del documento era de $1 000 iquestcuaacutento tiempo faltaba para el vencimiento
Solucioacuten M = 1 000 C = 94505 d = 025 D = 1 000 minus 94505 D = 5495 D = Mdt 5495 = 1 000(025)t
t = 54 95250
= 021980 de antildeo = 021980(12)meses asymp 264 meses
064 meses (30) = 1920 o aproximando 19 diacuteas
El plazo es de 2 meses y 19 diacuteas
282 Descuento real o justo
A diferencia del descuento comercial el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa y no sobre el valor nominal
Ejemplo 284
Con los datos del ejemplo 281
M = $185 000 t = 212 d = 020
28 Descuento
02 DIAZ MATA 02indd 6102 DIAZ MATA 02indd 61 112808 25424 AM112808 25424 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE62
SolucioacutenDe acuerdo con el descuento real sustituyendo en la foacutermula del monto a intereacutes simple (el intereacutes real)
185 000 = C[1 + 020(212)] 185 000 = C(1 + 0033333)
C = =185 0001 033333
179 032 26
Por lo que el descuento asciende a
185 000 minus 179 03226 = $5 96774
que es un tanto inferior al descuento comercial
Ejemplo 285
Datos del ejemplo 282
C = 166 66667 d = 030 t = 13
Solucioacuten M = 166 666 67[1 + 03(13)] M = 166 66667(110) M = $183 33334
Si la operacioacuten se hubiera llevado a cabo bajo descuento real el valor nominal del pagareacute habriacutea sido de $183 33334
Observe la diferencia con los resultados obtenidos en el ejemplo 282 bajo descuen-to comercial
Descuento justo = $183 33334 minus 166 66667 = 16 66667Descuento comercial = 185 18519 minus 166 66667 = 18 51852
El descuento justo equivale a 10 del capital en tanto que el descuento comercial equi-vale a 10 del monto
Ejemplo 286
Datos del ejemplo 283
M = 1 000 C = 94505 d = 025
02 DIAZ MATA 02indd 6202 DIAZ MATA 02indd 62 112808 25425 AM112808 25425 AM
63
Solucioacuten M = C(1 + dt) 1 000 = 94505(1 + 025t)
1 000945 05
1 0 25
( )= + t
1058145 = 1 + 025t 1058145 minus 1 = 025t
0 058145
0 25
= t
t = 0232580
0232580 antildeos = 279096 meses = 2 meses 2372 diacuteas
Plazo con descuento comercial 2 meses y 19 diacuteasPlazo con descuento real asymp 2 meses y 24 diacuteas
29 Graacutefi cas de intereacutes simpleGrafi car I y M en un sistema de coordenadas rectangulares ayuda a observar lo que le ocurre al dinero con el tiempo
291 Graacutefi ca de I
Ya se vio que I = CitSi se supone que C = 1Entonces I = it
De esta forma la graacutefi ca de los valores de I en funcioacuten del tiempo son liacuteneas rectas que pasan por el origen y que tienen como pendiente i como puede apreciarse en la graacutefi ca A
GRAacuteFICA A
29 Graacutefi cas de intereacutes simple
I
1
05
1 2 3 t (antildeos)
60
40
30
02 DIAZ MATA 02indd 6302 DIAZ MATA 02indd 63 112808 25426 AM112808 25426 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE64
GRAacuteFICA B
Observe que como era de esperarse la recta sube maacutes raacutepidamente (el intereacutes es mayor) cuando la pendiente (la tasa de intereacutes) es mayor
292 Graacutefi ca de M
De M = C(1 + it)Si C = 1 M = 1 + it
y (1 + it) representa el monto de $1 para diferentes valores de i de t (graacutefi ca B) Al igual que en la graacutefi ca del intereacutes la recta sube con mayor rapidez (el monto es mayor) cuando la pendiente (la tasa de intereacutes) es mayor
Ejercicios de las secciones 28 y 29
39 Elabore una graacutefica del intereacutes que se produce en un mes con un capital de $1 000 in-vertidos en depoacutesitos a plazo fijo de
a) 60 diacuteas b) 90 diacuteas c) 180 diacuteas d) 360 diacuteas40 Confeccione otras graacuteficas con las mismas alternativas anteriores pero considerando
el monto41 iquestCuaacutel es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5 meses y
que tiene un valor nominal de $3 850 si se le descuenta a una tasa de 18 tres meses antes de su vencimiento
42 iquestCuaacutel es el descuento real del documento del ejercicio 4143 Si se descuenta el documento de la paacutegina siguiente a una tasa de 23 el 29 de
agosto a) iquestCuaacutel seriacutea el descuento comercial b) iquestCuaacutel seriacutea el descuento justo
M
2
1 2 3 t (antildeos)
60
40
3015
$1
050
02 DIAZ MATA 02indd 6402 DIAZ MATA 02indd 64 112808 25427 AM112808 25427 AM
65
44 iquestEn queacute fecha se descontoacute un documento con valor nominal de $3 000 si su fecha de vencimiento era el 29 de diciembre el tipo de descuento 15 y el descuento comer-cial fue de $11250
45 iquestEn queacute fecha se descontoacute un documento con valor nominal de $5 750 si su fecha de vencimiento era el 15 de octubre el tipo de descuento comercial 32 y el descuento de $53156
46 iquestEn queacute fecha se descontoacute un documento con valor nominal de $1250 si su fecha de ven-cimiento era el 27 de junio el tipo de descuento 42 y se recibieron $121792 netos
47 iquestQueacute tasa de descuento real se aplicoacute a un documento con valor nominal de $700 si se descontoacute 60 diacuteas antes de su vencimiento y se recibieron $66667 netos Considere a) tiempo aproximado y b) tiempo real
48 iquestQueacute tasa de descuento real se aplicoacute a un documento con valor nominal de $1000 si se descontoacute 45 diacuteas antes de su vencimiento y el descuento fue de $3048
49 iquestQueacute tasa de descuento comercial se aplicoacute a un documento con valor nominal de $1 750 si se descontoacute 90 diacuteas antes de su vencimiento y se recibieron $1 59250 netos
50 iquestQueacute tasa de descuento comercial se aplicoacute a un documento con valor nominal de $38 500 si se descontoacute 15 diacuteas antes de su vencimiento y el descuento fue de $315
51 iquestCuaacutel es el valor nominal de un pagareacute por el cual se recibieron $143979 si se des-contoacute comercialmente a un tipo de 17 85 diacuteas antes de su vencimiento
52 iquestCuaacutel era el valor nominal de un documento que se descontoacute comercialmente 2 meses antes de su vencimiento si el tipo de descuento fue de 18 y el descuento importoacute $150
53 iquestCon cuaacutentos diacuteas de anticipacioacuten se descontoacute un documento cuyo valor era de $4 270 si el tipo de descuento comercial fue de 27 y el descuento aplicado fue de $28822
54 iquestCon queacute anticipacioacuten se descontoacute un documento cuyo valor nominal era de $1300 con tipo de descuento comercial de 35 si la cantidad neta recibida fue de $1 15404
Nuacutem 0000 Zihuatanejo Gro a 10 de marzo de 20 XX $ 580 000
Por este PAGAREacute prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden
de Alfonso Martiacutenez Saacutenchez el diacutea 18 de octubre de 20XX la cantidad de quinientos ochenta mil pesos 00100 valor recibido en efec-tivo a mi (nuestra) entera satisfaccioacuten
En caso de que no pague(mos) puntualmente me(nos) obligo(amos) a cubrir mensual por con-cepto de intereses moratorios sin que por eso se entienda prorrogado el plazo Este documento forma parte de una serie de documentos por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta a aplicar el artiacuteculo 79 en relacioacuten con el No 174 de la Ley General de Tiacutetulos y Operaciones de Creacutedito
Ejercicios de las secciones 28 y 29
02 DIAZ MATA 02indd 6502 DIAZ MATA 02indd 65 112808 25427 AM112808 25427 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE66
55 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute con valor nominal de $3 500 por el cual se recibieron $3 42086 netos el 14 de julio si el tipo comercial de descuento aplicado fue de 22
56 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute con valor nominal de $240 000 por el que se recibieron $227 68000 el 14 de diciembre si el tipo de descuento aplicado fue de 22
57 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute nominal de $17 000 que se descontoacute co-mercialmente a una tasa de 27 el 12 de enero cuyo descuento ascendioacute a $42075
58 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute con valor nominal de $748 que fue descontado a tasa real el 17 de octubre a 115 y cuyo descuento ascendioacute a $1569
59 El sentildeor Loacutepez le debe al sentildeor Montiel $5 000 Eacuteste acepta como pago un documen-to a 90 diacuteas si el sentildeor Montiel puede descontarlo de inmediato en un banco que aplica un tipo de descuento de 30 anual simple iquestcuaacutel debe ser el valor nominal del documento para que el sentildeor Montiel reciba del banco los $5 000 adeudados
60 Si un banco desea ganar 15 de intereacutes simple en el descuento de documentos iquestqueacute tasa de descuento debe utilizar si el plazo es de a) 3 meses y b) 9 meses
61 El Banco del Norte descuenta a un cliente a una tasa de 20 un pagareacute con valor no-minal de $2 500 000 que vence en 60 diacuteas Ese diacutea dicho banco descuenta en el Banco Agriacutecola ese mismo documento a una tasa de 18 iquestCuaacutel fue la utilidad que obtuvo
62 iquestCuaacutel es el precio de colocacioacuten de un certificado de tesoreriacutea (CETE) con valor nominal de $10 que se coloca a una tasa de descuento de 9 y que tiene un ven-cimiento a 28 diacuteas
210 Ecuaciones de valores equivalentesEs un caso muy frecuente y por eso importante que en las operaciones fi nancieras haya dos o maacutes transacciones diferentes que deben replantearse para transformarlas en una operacioacuten uacutenica Este documento de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los maacutes importantes en matemaacuteticas fi nancieras por lo que es necesario asegurarse de que se comprenda cabalmente En todos los demaacutes temas se encontraraacuten abundantes ejemplos de este concepto En su forma maacutes simple podriacutea considerarse por ejemplo que la foacutermula del monto a in-tereacutes simple es una ecuacioacuten de valores equivalentes ya que
M = C(1 + it)El monto M es equivalente a un capital C colocado a un tiempo t y a una tasa i Enseguida se presentan otros ejemplos
Ejemplo 2101
Una empresa fi rma un pagareacute por $120 000 a 90 diacuteas a 25 Treinta diacuteas despueacutes con-trae una deuda por $100 000 para pagarla 2 meses despueacutes sin intereses Dos meses despueacutes de la primera fecha acuerda con un acreedor pagar $150 000 en ese momento y para saldar el resto de su deuda hacer un pago fi nal 3 meses despueacutes de la uacuteltima fecha con intereacutes de 30 Determine el pago fi nal convenido
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SolucioacutenEn primer lugar conviene identifi car que las operaciones implicadas son cuatro dos de contratacioacuten de deuda y dos de pago Por otro lado observe que el valor total de las opera-ciones de adeudo debe ser igual al valor total de las operaciones de pago
Operaciones de contratacioacuten de deuda
Operaciones de pago
I $120 000 a 90 diacuteas a 25 A $150 000 dos meses despueacutes
II 30 diacuteas despueacutes $100 000 a dos meses sin intereacutes
B Pago fi nal (desconocido) cinco meses despueacutes de la primera fecha
Con base en el cuadro anterior se puede plantear la equivalencia en este simple ejemplo comoI + II = A + B
De esta idea proviene el nombre de ecuaciones equivalentesSe acostumbra utilizar lo que se conoce como ldquodiagramas de tiempo y valorrdquo para repre-
sentar la situacioacuten graacutefi camente
Sobre la recta se representa el tiempo en este caso en meses
bull Sobre el tiempo 0 estaacute marcada la operacioacuten Ibull Sobre el tiempo 1 estaacute marcada la operacioacuten IIbull Sobre el tiempo 2 estaacute marcada la operacioacuten Abull Sobre el tiempo 5 estaacute marcada la operacioacuten B
En esta uacuteltima operacioacuten la X representa la cantidad que se trata de calcularAhora bien para determinar la equivalencia es necesario encontrar el valor de las dife-
rentes operaciones en una sola fecha para que sea posible compararlas Esto es asiacute porque como se sabe el valor del dinero es diferente en tiempos diferentes y las operaciones estaacuten planteadas en tiempos distintos
La fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones se co-noce como fecha focal y en el ejemplo es faacutecil ver que resulta conveniente escoger como fecha focal el momento en que se debe realizar el pago fi nal para saldar todas las opera-ciones (cinco meses despueacutes de la primera fecha) Asiacute
I El valor de la operacioacuten I dentro de 3 meses es
120 000[1 + (025)(312)] = 120 000(10625) = 127 500 que es su valor a los 90 diacuteas (3 meses)
120 000 100 000 150 000 X I II A B
0 1 2 3 4 5
210 Ecuaciones de valores equivalentes
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CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE68
y luego de su valor a 60 diacuteas hasta el quinto mes (2 meses maacutes) a 30 que fue lo conve-nido para saldar la operacioacuten
127 500[1 + (030)(212)] = 127 500(10500) = 133 875
La operacioacuten I (120 000 en el tiempo 0) equivalente a $133 875 en 5 meses
II Para la operacioacuten II
Esta operacioacuten se contratoacute sin intereses por lo cual vale 100 000 dos meses antes de la fecha focal en la cual su valor seraacute
100 000[1 + (030)(212)] = 100 000(10500) = 105 000
A Para eacutesta los $150 000 que pagoacute a los 2 meses valen al quinto mes
150 000[1 + (030)(312)] = 150 000(1075) = $161250
B Finalmente X se realizaraacute en la fecha focal por lo que estaraacute dado a su valor en ese momento
De regreso al planteamiento de la ecuacioacuten de valores equivalentes
Valor total de las deudas = valor total de los pagos
I + II = A + B 133 875 + 105 000 = 161250 + X X = 133 875 + 105 000 minus 161250 X = 77 625que es la cantidad que habraacute de pagar esa persona en el quinto mes para saldar todas las operaciones
Ahora conviene observar en forma resumida todo lo que se hizo para llegar a la solucioacuten
Valor total de las deudas = valor total de los pagos
I + II = A + B 133 875 + 105 000 = 161250 + X
27 500(10500) + 100 000(10500) = 150 000(10750) + X120 000(10625)(10500) + 100 000(10500) = 150 000(10750) + X120 000[1 + (025)(312)][1 + (030(212)] + 100 000[1 + (030)(212)] = 150 000[1 + (030)(312)] + X
Esta expresioacuten representa el planteamiento completo donde a cada cantidad se le aplicaraacuten los valores correspondientes de tiempos y tasas de intereacutes para encontrar su va-lor en la fecha focal
En los casos de intereacutes simple es muy importante identifi car la fecha focal de acuerdo con lo pactado en las operaciones pues el cambio de fecha focal produce variaciones en las cantidades Esto se ilustra en el siguiente ejemplo
Ejemplo 2102
Resuelva el ejemplo 2101 utilizando como fecha focal el cuarto mes en vez del quinto
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SolucioacutenDeudas = Pagos
120 000[1 + (025)(312)][1 + (03)(112)] + 100 000[1 + (03)(112)] =
150 000[1 + (03)(212)] + X
1 0 3 1 12+ ( )( )
120 000(10625)(10250) + 100 000(10250) = 150 000(10500) + X
1 0250
130 68750 + 102 500 = 157 500 + X
1 0250
23318750 minus 157 500 = X
1 0250
X = 75 68750(10250)X = 77 57969
Esta cantidad es diferente a la que se encontroacute utilizando el quinto mes como fecha focal Este ejemplo indica que en el caso de las ecuaciones de valores equivalentes a intereacutes simple las fechas focales diferentes producen resultados diferentes
Ejemplo 2103
Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000 con 40 de intereacutes simple que vence dentro de 4 meses Ademaacutes debe pagar otra deuda de $150 000 contraiacuteda hace 2 meses con 35 de intereacutes simple y que vence dentro de dos meses Considerando un intereacutes de 42 iquestqueacute pago deberaacute hacer hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100 000 dentro de 6 meses
SolucioacutenLas deudas son $200 000 de 8 meses antes que vence dentro de 4 meses a 40 y de $150 000 de 2 meses antes que vence dentro de 2 meses a 35 los pagos son X hoy $100 000 den-tro de 6 meses
La fecha focal es el diacutea de hoyEl diagrama de tiempo y valor es
ndash8 ndash7 ndash6 ndash5 ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3 4 5 6 X 100 000
200 000 150 000
210 Ecuaciones de valores equivalentes
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CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE70
A su vencimiento el valor de la primera deuda es
200 000[1 + 040(1212)]200 000 (14) = 280 000
mientras que su valor en la fecha focal asciende a
280 0001 0 42 4 12
280 0001 14
245 614 04+
= =( )( )
A su vencimiento el valor de la segunda deuda es
150 000[1 + 035(412)] = 167 500
y su valor en la fecha focal
167 5001 0 42 2 12
167 5001 07
156542 06+
= =( )( )
El valor de $100 000 en la fecha focal es
100 0001 0 42 6 12
100 0001 21
82 644 63+
= =( )( )
en donde
X = 245 61404 + 156 54206 minus 82 64463 X = 319 51147
211 Aplicaciones Ventas a plazo Tarjetas de creacutedito Preacutestamos prendarios (empentildeo) Pagos anticipados de facturas
Ejemplo 2111
Suponga que una persona tiene una cuenta de creacutedito en un almaceacuten sobre la que paga 18 de intereacutes y que muestra los siguientes movimientos en los uacuteltimos meses
Saldo al 1 de junio $4 000 Abono el 16 de junio $2 000 Cargo el 11 de julio $2 500 Cargo el 31 de julio $ 150 Abono el 15 de agosto $2 000
Calcule el saldo al 15 de septiembre
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SolucioacutenDel 1 al 16 de junio el saldo de $4 000 causa intereacutes y llega a un monto de
4 000[1 + 018(15360)] = 4 000(10075)
4 030 monto al 16 de junio (2 000) menos lo abonado el 16 de junio
2 030 Este saldo causa intereacutes durante 25 diacuteas por lo que se convierte en un monto de
2 030 [1 + 018(25360)] = 2 030(10125) = 2 05538
2 05538 Saldo al 11 de julio antes del cargo maacutes 2 500 el cargo causado el 11 de julio
4 55538 Saldo al 11 de julio Este saldo que incluye el cargo del 11 de julio causa in-tereacutes durante 20 diacuteas y llega el 31 de julio a un monto de
4 55538 [1 + 018(20360)] = 4 60093
4 60093 Saldo al 31 de julio antes del cargo maacutes 150 el cargo causado el 31 de julio
4 75093 Saldo al 31 de julio que el 15 de agosto se convierte en un monto de
4 75093 [1 + 018(15360)] = 4 75093(10075)
4 78656 2 000 menos el abono del 15 de agosto
2 78656 saldo que crece al 15 de septiembre a un monto de
2 78656 [1 + 018(112)] = 2 78656(10150)
2 82835 que es el saldo al 15 de septiembre
Ejemplo 2112
A continuacioacuten se analiza la forma en que se calculan los intereses que se cargan a los cuen-tahabientes de tarjetas de creacutedito En este caso particular observe los estados de cuenta de un tarjetahabiente bancario que se muestran a continuacioacuten
Se puede observar que el cuerpo de ese estado de cuenta estaacute dividido en tres seccio-nes dos yuxtapuestas en la parte superior y una tercera seccioacuten en la parte inferior que tie-ne como encabezado ldquoDetalle de operacionesrdquo
211 Aplicaciones
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CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE72
La seccioacuten de la parte superior izquierda a la que para simplifi car se denominaraacute ldquola izquierdardquo sentildeala en su parte superior que la ldquotasa personal anualizadardquo es de 3368 en tanto que en la parte inferior de la seccioacuten derecha se anota que la ldquotasa mensual de int por creacuteditordquo es de 290
Lo primero que es necesario observar es la incongruencia entre estas dos tasas ya que la ldquotasa anualizadardquo correspondiente a 290 mensual es de 290 times 12=3480 que no corresponde con 3368 que se anota en la otra seccioacuten Esta tasa la de 3368 corres-ponderiacutea a una tasa mensual de 336812=2806667 que se redondeariacutea a 281 Ademaacutes como se ilustra maacutes adelante ninguna de estas dos tasas es la que se utilizoacute para calcular los intereses
En la seccioacuten izquierda se puede ver que el saldo anterior de la cuenta fue de $9 43518 y que soacutelo se hicieron pagos y depoacutesitos por $1 00000 por lo que correspondiacutea cobrar inte-reses en este estado de cuenta lo cual se hizo por un total de $34087 maacutes $4523 de ldquoIVA por intereses y comisionesrdquo como se puede apreciar en la seccioacuten izquierda
Se ilustra enseguida la forma en la que se calculan estos intereses con intereacutes simple Se resumen las operaciones en el cuadro siguiente
Fecha PesosDiacuteas
transcurridos Intereses Saldo Tasa
16-ago 9 43518 9 882057237 003116225-ago 2223025-ago 4211525-ago 1441325-ago 1 18000 11 490965705-sep minus1 00000 11 13130 10 6222616-sep 11753 11 12137067716-sep 1499116-sep 1 1110016-sep 3015316-sep 393416-sep 4523 340872941 12 16730
El cuadro reproduce baacutesicamente la parte inferior del estado de cuenta sin incluir los conceptos En la columna de diacuteas transcurridos se muestran los diacuteas que pasaron en-tre el 16 de agosto y las fechas de las operaciones correspondientes (16 de agosto es la fe-cha de corte seguacuten se puede apreciar en la fecha del saldo anterior en la seccioacuten izquierda y tambieacuten en la seccioacuten derecha donde se marca que el periodo es del 17 de agosto al 16 de septiembre)
Como los intereses se van calculando de manera acumulada hasta la siguiente ope-racioacuten los $882057237 que aparecen en la cuarta columna se calcularon con la tasa del 0031162 que es la que hace que se obtengan los intereses cargados en este estado de
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73211 Aplicaciones
cuenta y que se anota en el primer rengloacuten de la uacuteltima columna y durante los 9 diacuteas que transcurrieron hasta el 25 de agosto la siguiente fecha en la que hubo movimientos Esos $882057237 son entonces los intereses simples de $9 43518 durante nueve diacuteas a esa tasa de 0031162 o 9 43518 times 0031162 times 930 = $882057237
Por su parte los $11 4909657 que aparecen como primer saldo en el sexto rengloacuten son la suma del saldo anterior (9 43518) maacutes los intereses generados por esta cantidad entre el 16 y el 25 de agosto ($882057237) maacutes los cuatro cargos del 25 de agosto
9 43518 + 882057237 + 22230 + 42115 + 14413 + 1 180 = $11 49097
Y este saldo generoacute intereses del 25 de agosto hasta el 5 de septiembre (11 diacuteas) por 11 490965700311621130 = 13130 que es la cantidad que aparece en el cuarto rengloacuten y seacuteptima columna Como en esta fecha del 5 de septiembre se abonaron $1 000 a la cuenta el nuevo saldo es el saldo anterior maacutes los intereses generados menos este pago que arro-ja los $10 62226 que aparecen como saldo abajo del anterior 11 4909657 + 13130 minus 1 000 = 10 62226
Finalmente este uacuteltimo saldo generoacute otros 11 diacuteas de intereses del 5 al 16 de septiem-bre la fecha de corte 10 62226 times 0031162 times 1130 = 121370716 que es la cantidad que aparece como intereses el 16 de septiembre La cantidad que aparece en el uacuteltimo rengloacuten de la columna de intereses es de $34087 que aparecen como intereses en la seccioacuten izquierda del estado de cuenta que se estaacute analizando
D E T A L L E D E O P E R A C I O N E S
FECHA CONCEPTO POBLACION MONEDA PESOS RFC EXTRANJERA
AGO25 LIVERPOOL PERISU 11 13 MEXICO DF 22230AGO25 LIVERPOOL PERISU 11 13 MEXICO DF 42115AGO25 SEARS PERISUR 11 12 CIUDAD DE ME 14413AGO25 LOS CAMPOS D LA BELLEZ CBE 021011IM7 118000SEP05 SU ABONO GRACIAS 100000ndashSEP16 PALACIO HIERRO 02 12 11753SEP16 PALACIO HIERRO 02 12 14991SEP16 MARTI 06 09 111100SEP16 INTERES GRAVABLE 30153SEP16 INTERES EXENTO 3934SEP16 IVA POR INTERESES Y CO MISIONES 4523
Tasa personalanualizada 3368
SALDO ANTERIOR 943518SUS PAGOS Y DEPOSITOS 100000-SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 334602COMISIONES 000INTERESES POR CREDITO 34087IVA POR INT Y COMIS 4523SALDO ACTUAL 1216730
PERIODO DEL 17-AGO-2007 AL 16-SEP-2007FECHA DE CORTE 16-SEP-2007
LIMITE DE CREDITO 8150000 CREDITO DISPONIBLE 6189400 TASA MENSUAL DE INT POR CREDITO 290
CONTADOR PERSONALPago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Tasa de Intereacutes NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3
NIVEL CUMPLIDO
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CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE74
Como puede verse de lo anterior y como ya se habiacutea apuntado antes los intereses que cobra este banco (Banamex) no soacutelo no corresponden con los anunciados (que no son congruentes entre siacute) sino que ademaacutes son superiores a cualquiera de los dos anunciados 312 mensual contra 281 y 290 que se anuncian Si se realizan estas mismas ope-raciones con las tasas anunciadas se obtienen $30707 y $31600 de intereses respectiva-mente (Veacutease fi gura de la paacutegina anterior)
Ejemplo 2113Una persona acude al Nacional Monte de Piedad a empentildear un televisor para lo cual pre-senta el aparato y la correspondiente factura El valuador que examina la prenda le ofrece un preacutestamo de $1500 que es aceptado por el solicitante Si esta institucioacuten carga 25 mensual sobre el preacutestamo iquestcuaacutento deberaacute pagar el duentildeo del televisor para recuperar el aparato despueacutes de 50 diacuteas de otorgado el preacutestamo
SolucioacutenEacuteste es un caso de monto en donde
C = 1500 i = 0025 mensual t = 5030 meses
M = 1500[1 + 0025(5030)] = 1500(10417) M = $156250
Ejemplo 2114
Para tratar de lograr el pronto pago de sus facturas los proveedores ofrecen descuento por el pago anticipado Asiacute 510 n30 podriacutean ser los teacuterminos impresos en una factura los cuales indican que se otorga un descuento de 5 si se paga a maacutes tardar en 10 diacuteas y n30 sentildeala que si se paga en un plazo de 10 a 30 diacuteas se debe cubrir el importe neto
Si un comerciante recibe una factura por $12 000 en esos teacuterminos
a) iquestLe conviene obtener un preacutestamo con intereses a 30 para pagar la factura al deacutecimo diacutea
b) iquestCuaacutel es la mayor tasa de intereacutes simple seguacuten la que le convendriacutea obtener creacutedito para aprovechar el descuento
Solucioacuten a) Si paga en 10 diacuteas obtiene un descuento de
12 000(005) = $600
y pagariacutea 12 000 minus 600 = $11400
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75Ejercicios de las secciones 210 y 211
Si utiliza el dinero prestado tendriacutea que utilizarlo 20 diacuteas de cuando paga a cuando vence el importe neto de la factura Hacer esto le costariacutea
I = 11400(030)(20360) = $190
y como lo que le cuesta el preacutestamo es inferior a lo que se ahorra siacute le convendriacutea pagar con el preacutestamo a los 10 diacuteas ya que ahorrariacutea
600 minus 190 = $410
b) Si lo que ahorra por el pronto pago son $600 la mayor tasa que podriacutea aceptar seriacutea la que produjera intereses por esa cantidad de un capital de $11 400 en 20 diacuteas
600 = 11400(i)20360 600 = 11400(005555556)i 600 = 63333i i = 09474 anual simple
Ejercicios de las secciones 210 y 211
63 Una persona debe pagar $2 500 en 3 meses y $8 500 en 6 meses iquestQueacute cantidad deberaacute pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 12 simple
64 La sentildeora Moreno adeuda $5 000 que ya incluyen intereses y debe pagarlos den-tro de 8 meses Si hace un pago de $3 000 dentro de 2 meses iquestcuaacutento deberaacute pagar al cabo de los 8 meses si se considera la operacioacuten a una tasa de 30 anual y se usa como fecha focal dentro de 8 meses
65 El sentildeor Goacutemez presta el 14 de julio $3 500 a 5 meses y medio a 10 de intereacutes sim-ple Tambieacuten presta 4 meses despueacutes otros $2 000 con 14 de intereacutes y vencimiento a 3 meses Si considerara para la equivalencia una tasa de 15 iquestqueacute cantidad recibi-da por el sentildeor Goacutemez el 14 de diciembre liquidariacutea esos preacutestamos
66 Bajo el supuesto de que el Nacional Monte de Piedad cobra 55 mensual por los preacutestamos que hace sobre prendas pignoradas iquestcuaacutento tendriacutea que pagar dentro de 3 meses una persona que empentildeoacute hace un mes un televisor por el que le prestaron $800 y que el diacutea de hoy empentildea un reloj por el que le prestan $750
67 El sentildeor Garciacutea firma tres pagareacutes
bull Uno por $400 para pagarlo en 4 meses con 25 de intereacutes anual bull Otro por $195 para pagarlo en 9 meses con una tasa de 20 anual bull Un tercero por $350 para pagarlo en 5 meses sin intereses
Si al cabo de 3 meses decide liquidar los 3 documentos mediante la entrega de $450 en ese momento y un pago final 6 meses despueacutes iquestcuaacutel seraacute el importe de este pago si la operacioacuten de equivalencia se calcula con intereses de 21 anual
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CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE76
68 Una persona debe liquidar dentro de 8 meses una deuda $500 que ya incluye los inte-reses $450 contratados hoy a una tasa de 24 para pagar dentro de 6 meses Si decide saldar sus deudas con 2 pagos iguales uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un antildeo y la operacioacuten se calcula con una tasa de 25 iquestcuaacutel seraacute el importe de esos 2 pa-gos iguales si se usa como fecha focal
a) dentro de 10 meses b) dentro de un antildeo
Comente la diferencia entre los resultados de a) y b)
69 Si una persona invierte hoy cierta cantidad en un proyecto que le redituacutea $50 000 al cabo de 4 meses y $30 000 despueacutes de 6 meses iquestqueacute cantidad tendriacutea que haber in-vertido para lograr un rendimiento de 16 sobre su inversioacuten
70 Una pareja de recieacuten casados adquiere un refrigerador que cuesta $2 200 y paga $800 al contado El saldo debe ser cubierto mediante 3 pagos iguales a los 30 60 y 90 diacuteas Si el intereacutes que se le cobra es de 30 anual simple iquesta cuaacutento asciende cada uno de esos pagos
71 Una persona tiene dos opciones para pagar un preacutestamo
bull pagar $2 000 a los 5 meses y $3 000 a los 10 meses o bull pagar $X a los 3 meses y $3X a los 8
Si las operaciones son equivalentes y el dinero vale 18 anual simple encuentre X usando como fecha focal dentro de 8 meses
72 Un usuario del Nacional Monte de Piedad empentildeoacute una alhaja el 15 de diciembre y la rescatoacute el 15 de febrero del antildeo siguiente con un pago de $207 Si esa institucioacuten co-bra 45 mensual iquestcuaacutento le prestaron al cliente por su alhaja
73 iquestCuaacutel seriacutea el precio al contado de un automoacutevil que se pagoacute con un
bull enganche de $48 500 bull abono de $38 500 realizado 6 meses despueacutes de la compra bull pago final de $35 500 ocho meses despueacutes de la compra
si el costo del preacutestamo fue de 2 mensual simple
74 El 16 de junio una persona contrajo una deuda por $3 000 para pagarla el 16 de octu-bre con intereses de 29 simple anual La deuda se documenta mediante un pagareacute en el que se especifica ademaacutes de las condiciones de la operacioacuten una claacuteusula que sentildeala que en caso de mora el deudor deberaacute pagar 5 de intereacutes mensual iquestCuaacutento deberaacute cobrar el acreedor si el deudor le paga el 5 de noviembre
75 El sentildeor Rodriacuteguez firma un pagareacute por $675 a 8 meses de plazo e intereacutes de 10 Si efectuacutea dos pagos antes del vencimiento uno por $150 a los 2 meses y otro por $200 a los 4 meses iquestcuaacutel es el saldo que debe pagar al vencerse el pagareacute
76 En un almaceacuten se vende un comedor en $4 850 al contado A un plazo de 3 meses se vende mediante 3 pagos mensuales de $174440 iquestQueacute tasa de intereacutes simple men-sual se cobra en el plan a creacutedito Utilice como fecha focal el diacutea de la compra
02 DIAZ MATA 02indd 7602 DIAZ MATA 02indd 76 112808 25434 AM112808 25434 AM
77212 Uso de Excel
77 Observe el siguiente estado de cuenta de un usuario de tarjetas de creacutedito iquestCuaacutel fue la tasa de intereacutes que se cobroacute
212 Uso de ExcelAunque el paquete Excel no tiene funciones especiacutefi cas para intereacutes simple (la mayoriacutea de ellas son para anualidades y depreciacioacuten como se ve en los capiacutetulos correspondientes a estos te-mas) dada la sencillez del tema tambieacuten es faacutecil elaborar mecanismos para resolver este tipo de situaciones
2121 Caacutelculo de M C i o t a partir de la foacutermula del monto a intereacutes simple M = C(1 + it)
Para resolver problemas que impliquen a cualquiera de las variables que intervienen en el in-tereacutes simple monto capital intereacutes tasa de intereacutes o tiempo se pueden usar cuatro columnas y tres renglones de Excel de la siguiente manera
A B C D
1 M C i t2
3 =B2(1+C2D2) =A2(1+C2D2) =(A2B2minus1)D2 =(A2B2minus1)C2
D E T A L L E D E O P E R A C I O N E S
FECHA CONCEPTO POBLACION MONEDA PESOS RFC EXTRANJERA
DIC03 SU ABONO GRACIAS 470000ndashDIC16 INTERES GRAVABLE 35651DIC16 INTERES EXENTO 9375DIC16 IVA POR INTERESES Y CO MISIONES 5348DIC16 PALACIO HIERRO 05 12 11753DIC16 PALACIO HIERRO 05 12 14991DIC16 LIVERPOOL 02 13 13461DIC16 MARTI 09 09 111100
SALDO ANTERIOR 1565731SUS PAGOS Y DEPOSITOS 470000-SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 151305COMISIONES 000INTERESES POR CREDITO 45026IVA POR INT Y COMIS 5348SALDO ACTUAL 1297410
PERIODO DEL 17-NOV-2007 AL 16-DIC-2007FECHA DE CORTE 16-DIC-2007
LIMITE DE CREDITO 8150000 CREDITO DISPONIBLE 6517296 TASA MENSUAL DE INT POR CREDITO 331
Tasa PersonalAnualizada 3980
CONTADOR PERSONALPago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Tasa de Intereacutes NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3
NIVEL CUMPLIDO
02 DIAZ MATA 02indd 7702 DIAZ MATA 02indd 77 112808 25434 AM112808 25434 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE78
El primer rengloacuten contiene la identifi cacioacuten de los posibles valores que se buscan en el segun-do se deben introducir los valores conocidos y soacutelo debe quedar vaciacutea la celda del valor que se busca (lo cual se ilustra enseguida con ejemplos) mientras que en las cuatro celdas del tercer rengloacuten se introducen las foacutermulas del caacutelculo de cada incoacutegnita En la celda A3 aparece la foacutermula del monto M C it= +( )1 en teacuterminos de los valores de las celdas del rengloacuten 2 mientras que en las celdas B3 C3 y D3 estaacuten las foacutermulas para calcular el capital o valor presente la tasa de intereacutes y el tiempo seguacuten su procedimiento de caacutelculo el cual se determina despejando en la foacutermula del monto
Para el capital
CM
it=
+1
Para la tasa de intereacutes y el tiempo
1
1
1
1
+ =
= minus
=minus
=minus
itMC
itMC
i
MC
t
t
MC
i
La foacutermula del monto de la celda A3 indica que se multiplica el valor que se introduzca en B2 (el capital) por la suma de 1 maacutes el producto del valor de la celda C2 (la tasa de intereacutes) por el valor de la celda D2 (el tiempo o plazo de la operacioacuten) Para ilustrar lo anterior si se construye un cuadro en Excel como el que se muestra y se introducen en las celdas B2 C2 y D2 los valores del ejemplo 221 que habla de un comerciante que debe $2 000 que tiene que pagar cuatro meses despueacutes con intereses a una tasa de 10 anual simple es necesario introducir estos datos en el cuadro como sigue
A B C D
1 M C i t2 2 000 01 4123 2 06667 000 minus300 minus1000
02 DIAZ MATA 02indd 7802 DIAZ MATA 02indd 78 112808 25434 AM112808 25434 AM
79
Esta operacioacuten da un resultado de $2 06667 en la celda A3 que es precisamente el monto que el comerciante debe pagar Los valores de minus3 y de minus10 que aparecen en las celdas no son de tomar en cuenta y se producen simplemente como resultado de los caacutelculos de las foacutermu-las correspondientes Por ejemplo en la foacutermula de la tasa de intereacutes primero se calcula MC que arroja un resultado de cero Despueacutes se le resta el uno a este cero y se produce minus1 para fi -nalmente dividir este valor entre 033 (con maacutes decimales en la hoja de Excel) operacioacuten que es igual a minus3 valor que no tiene sentido en el ejemplo ya que como se acaba de ilustrar se calcula para un monto de cero Algo similar ocurre con el minus10 de la celda D3 Hay dos detalles que es importante tener presente En primer lugar cuando se introduce ldquo412rdquo en la celda D2 Excel automaacuteticamente hace la operacioacuten y muestra ldquo033333rdquo en la cel-da En segundo teacutermino cuando el cuadro de solucioacuten soacutelo tiene las foacutermulas y el rengloacuten 2 estaacute completamente vaciacuteo Excel lee soacutelo ceros en el rengloacuten y pone el aviso de ldquoiexclDIV0rdquo en las celdas C3 y D3 porque se produce la operacioacuten invaacutelida de divisioacuten entre cero pero por supuesto no es importante porque el hecho es que no hay valores reales en las celdas de ese rengloacuten 2 Sin embargo por otra parte se puede ver que el valor que se busca es faacutecilmente identi-fi cable por su valor mismo y porque estaacute en la celda de la columna que tiene el rengloacuten 2 en blanco (con lo que Excel lee ldquocerordquo) En el ejemplo 222 los datos eran C = 150 000 i = 08 mensual y t = 24 diacuteas Sustituyendo estos valores en el cuadro de Excel se obtiene el resultado del monto que se buscaba y que era de $150 960 en la celda A3
A B C D
1 M C i t2 150 000 0008 24303 150 960 000 minus125 minus125
El ejemplo 231 de valor presente con M = $30 000 t = 1812 e i = 20 anual se resuelve de la siguiente manera
A B C D
1 M C i t2 30 000 02 1503 000 23 07692 iexclDIV0 iexclDIV0
El valor presente de $23 07692 aparece ahora en la correspondiente celda B3 de valor presente
212 Uso de Excel
02 DIAZ MATA 02indd 7902 DIAZ MATA 02indd 79 112808 25436 AM112808 25436 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE80
Ejercicio propuestoComplementar el cuadro de Excel que se sugiere con dos columnas que permitan encontrar el intereacutes ganado en dinero I con las dos posibles formas de calcularlo
I = Cit e I = M minus C
2122 Determinacioacuten del tiempo exacto entre dos fechasExcel es muy uacutetil cuando se desea saber el nuacutemero exacto de diacuteas que transcurren entre dos fe-chas ya que basta con plantear su simple diferencia (resta) En el ejemplo 271 se determinoacute el nuacutemero de diacuteas transcurridos entre el 15 de mayo y el 24 de diciembre de cierto antildeo (observe que puede ser cualquier antildeo sin que importe si es bisiesto o no ya que no entra el mes de febre-ro en los caacutelculos) Si se anotan estas dos fechas en dos celdas contiguas y en la tercera se anota la diferencia se obtiene el valor de 223 diacuteas que transcurren y que en el ejemplo se calculoacute en forma un tanto laboriosa manualmente Las celdas podriacutean tener la siguiente apariencia
A B C
1 24122005 15052005 223
En la celda C1 se anota la foacutermula ldquo=A1minusB1rdquo Ahora es importante tener presente que para que esta operacioacuten funcione adecuadamente las celdas A1 y B1 deben tener formato de fecha y la celda C1 debe tener formato de nuacutemero Para ensayar el mecanismo calcule el nuacutemero de diacuteas que usted ha vivido hasta ahora
2123 Descuento comercialYa se explicoacute que la foacutermula para calcular el descuento comercial es D
Cdtdt
=minus1
y al igual que
se hizo con las variables del intereacutes simple se pueden insertar en celdas de un libro de Excel las foacutermulas para calcular cualquiera de las variables de este tipo de descuento En el ejem-plo 282 se buscaba determinar el descuento comercial de un pagareacute por el cual se recibieron $166 66667 con tipo de descuento de 30 anual y vencimiento a cuatro meses Si se insertan estos valores en las celdas B2 C2 y D2 y se inserta la foacutermula del descuento en la celda A3 se obtiene el resultado de $18 51852 que ya se calculoacute en el texto En el cuadro siguiente se ano-tan estos datos y las foacutermulas correspondientes para calcular cada uno de los valores del des-cuento comercial
A B C D
1 D C d t2 166 66667 030 412
3=(B2C2D2)
(1minusC2D2)=(A3(1minusC2D2))(C2D2)
=A3(B2D2 A3C2)
=A3(B2C2+A3C2)
02 DIAZ MATA 02indd 8002 DIAZ MATA 02indd 80 112808 25436 AM112808 25436 AM
81
Los despejes correspondientes son
Para C = 166 66667 en la celda B3
D Cdtdt
Cdt D dt
C D dtdt
=minus
= minus
= minus
111
( )( )
La foacutermula = (A3(1minusC2D2))(C2D2) = 166 66667
Para d
DCdt
dtD dt CdtD Ddt Cdt
Cdt Ddt Dd Ct
=minus
minus =minus =+ =+
11( )
( DDt D
dD
Ct Dt
) =
=+
En la celda C3 la foacutermula = A3(C2D2A3D2) = 03
Finalmente para t
DCdt
dtD dt CdtD Ddt Cdt
Cdt Ddt Dt Cd
=minus
minus =minus =+ =+
11( )
( DDd D
tD
Cd Dd
) =
=+
En la celda D3 la foacutermula = A3(B2C2+A3C2) = 033
Eacutestas son las foacutermulas en formato de Excel que estaacuten en las celdas B3 C3 y D3 del cuadro an-terior Con ellas se puede encontrar el valor del tiempo que faltaba para el vencimiento del documento que se analiza en el ejemplo 283 con D = 5495 d = 025 y C = 94505 y que es el 02198 de la celda D3 como se muestra enseguida
212 Uso de Excel
02 DIAZ MATA 02indd 8102 DIAZ MATA 02indd 81 112808 25437 AM112808 25437 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE82
A B C D
1 D C d t2 5495 94505 0253 000 iexclDIV0 iexclDIV0 02198
No se ilustra adicionalmente el descuento justo porque se resuelve como se anota en el texto con la foacutermula del intereacutes simple que se analizoacute al principio de la seccioacuten
213 ResumenEn este capiacutetulo se revisoacute el importante concepto del intereacutes simple y que se refi ere baacutesica-mente al aumento del valor del dinero con el transcurso del tiempo Se revisaron e ilustraron los conceptos de capital o valor actual monto tasa y tipo de in-tereacutes y tiempo o plazo y se expresoacute su interrelacioacuten en lo que podriacuteamos llamar la foacutermula elemental del intereacutes simple
M = C (1 + it)
que como tambieacuten se vio si se conocen tres de sus incoacutegnitas y se despeja la restante se puede determinar su valor Se mencionoacute por otro lado la diferencia que se presenta entre los resultados cuando se hacen los caacutelculos con tiempo real y con tiempo aproximado o comercial Se habloacute del descuento que es una operacioacuten que consiste en anticipar el cobro de un documento Por su enorme importancia en las matemaacuteticas fi nancieras se ilustroacute cuidadosamente el concepto de las ecuaciones de valores equivalentes a traveacutes de las cuales se plantea con base en una fecha focal determinada la equivalencia de un conjunto de operaciones de contrata-cioacuten de deudas por un lado y por el otro un conjunto de operaciones de pago Finalmente se vieron algunas aplicaciones del intereacutes simple a operaciones como compras a creacutedito manejo de tarjetas de creacutedito empentildeo de artiacuteculos varios etceacutetera
Si se ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe
bull Comprender el concepto de intereacutes simplebull Identificar situaciones en las que se trate de encontrar el valor de
monto valor actual tasa de intereacutes tiempo o plazo
Comprobacioacuten del capiacutetulo
02 DIAZ MATA 02indd 8202 DIAZ MATA 02indd 82 112808 25438 AM112808 25438 AM
83
bull Explicar la diferencia entre tiempo real y tiempo aproximadobull Comprender el concepto de descuentobull Plantear y resolver ejemplos en los que se aplique la operacioacuten de descuentobull Explicar la diferencia entre descuento real o justo y descuento comercialbull Plantear y resolver ecuaciones de valores equivalentesbull Explicar queacute es una fecha focal bull Resolver ejercicios y aplicaciones de intereacutes simple utilizando la hoja de caacutelculo de
Microsoft Excel
bull Capitalbull Descuentobull Descuento real o justo y descuento comercialbull Ecuaciones de valores equivalentesbull Fecha focal
bull Montobull Tasa de intereacutesbull Tiempo o plazobull Tiempo real y tiempo aproximadobull Tipo de intereacutesbull Valor actual
M = C + I (21) I = Cit (22) M = C + Cit (23)
M = C(1 + it) (24) D = Mdt (25)
1 iquestQueacute es el intereacutes simple 2 Explique los siguientes conceptos monto capital intereacutes valor actual tasa de intereacutes tipo de intereacutes ecuaciones de valores
equivalentes 3 iquestCuaacutel es el monto a los 10 meses de un capital de $185 000 colocado a 18 simple anual 4 iquestA queacute tasa de intereacutes se invirtioacute un capital de $475 000 que se convirtioacute en un monto de
$700 625 al cabo de 9 meses y medio 5 iquestDurante cuaacutento tiempo estuvo invertido un capital de $850 que se convirtioacute en un monto
de $983 a 27 anual simple 6 iquestCuaacutel es el valor actual de $1350 cobrables dentro de 4 meses con 35 anual simple de intereacutes 7 iquestCuaacutel es el monto real de $1000 invertidos a una tasa de 025 simple anual del 14 de agosto
al 29 de noviembre 8 iquestCuaacutel es el valor actual aproximado o comercial de $1800 cobrables el 29 de agosto si la
tasa es de 038 anual simple y hoy es 2 de febrero 9 iquestCuaacutento produce de intereacutes simple al mes un capital de $2 500 invertido en valores de renta
fija que rinde 358 anual
Ejercicios complementarios
Ejercicios complementarios
Teacuterminos y conceptos importantes
Foacutermulas importantes
02 DIAZ MATA 02indd 8302 DIAZ MATA 02indd 83 112808 25439 AM112808 25439 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE84
10 iquestQueacute tasa de descuento real se aplicoacute a un pagareacute que venciacutea el 7 de junio con valor nominal de $175 000 y que al descontarlo el 7 de marzo produjo un valor neto de $149 57265
11 iquestCuaacutento recibiriacutea una persona si descuenta comercialmente un pagareacute que vence dentro de 4 meses que fue contratado hace 2 meses en $1500 con intereacutes a 315 anual si la tasa de descuento que se aplica es de 30 anual
12 iquestCuaacutendo vence un pagareacute que se descuenta hoy a una tasa de 165 anual simple que tiene valor de $74 900 a su vencimiento y produce un descuento comercial de $188810
13 Una persona compra en un almaceacuten bull una lavadora de $4 750 paga un enganche de $800 y conviene en pagar el saldo 2 meses
despueacutes bull una estufa de $1920 sin enganche para pagarla con un solo abono a los 3 meses y bull una licuadora de $363 sin enganche para pagarla en dos abonos iguales a los 4 y 5 meses Si el almaceacuten cobra 27 simple anual sobre esta clase de operaciones iquestcuaacutel seriacutea el pago
uacutenico realizado un mes despueacutes que saldariacutea todas las deudas
FECHA CONCEPTO POBLACION MONEDA PESOS RFC EXTRANJERA
JUL25 LIVERPOOL PERISU 10 13 MEXICO DF 22230JUL25 LIVERPOOL PERISU 10 13 MEXICO DF 42115JUL25 SEARS PERISUR 10 12 CIUDAD DE ME 14413JUL26 SEARS PERISUR SRM 4711069N3 15920JUL27 REST LA MANSION ORD 900905T42 67500JUL29 FIESTA INN ACAPULCO PPO 9412076U4 413136AGO04 CAMPANITA PERISUR 1 ACA 800211FU1 132660AGO04 EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 62352AGO04 EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 141036AGO04 EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 179900AGO05 SU ABONO GRACIAS 170000ndashAGO05 SU ABONO GRACIAS 100000ndashAGO06 ABONO POR CARGOS PARCI 141036ndashAGO06 ABONO POR CARGOS PARCI 179900ndashAGO16 PALACIO HIERRO 01 12 11753AGO16 PALACIO HIERRO 01 12 14991AGO16 SUPERCENTER 12 12 35999AGO16 MARTI 05 09 111100
D E T A L L E D E O P E R A C I O N E S
SALDO ANTERIOR 269349SUS PAGOS Y DEPOSITOS 590936-SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 1265105COMISIONES 000INTERESES POR CREDITO 000IVA POR INT Y COMIS 000SALDO ACTUAL 943518
PERIODO DEL 17-JUL-2007 AL 16-AGO-2007FECHA DE CORTE 16-AGO-2007
LIMITE DE CREDITO 8150000 CREDITO DISPONIBLE 6246010 TASA MENSUAL DE INT POR CREDITO 215
Tasa personalanualizada 2499
CONTADOR PERSONALPago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Tasa de Intereacutes NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3
NIVEL CUMPLIDO
02 DIAZ MATA 02indd 8402 DIAZ MATA 02indd 84 112808 25439 AM112808 25439 AM
85Matemaacuteticas en internet
21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos
httpwwwenplenitudcomnotaasparticuloid=562Valor del dinero en el tiempo
wwwescolarcommatem18intereshtmEjemplo del caacutelculo del intereacutes simple como aplicacioacuten de una regla de tres simple
httpmsiplceorgjahumadamrsg1010unidad5uni5sec1sld004htmDiapositivas acerca de la defi nicioacuten de intereacutes simple y ejercicio praacutectico
httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno205interesalintereshtmConceptos baacutesicos y ejercicio ilustrativo de intereacutes simple
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza2htmConceptos baacutesicos de intereacutes simple y ejercicios ilustrativos
httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtmEn la seccioacuten de Contenido encontraraacute ligas que tratan sobre los tipos de intereacutes (simple y compuesto) y algunos ejemplos
httpwwwbanamexcomEncontraraacute las uacuteltimas subastas de Cetes las tasas de intereacutes mexicanas y las tasas de intereacutes internacionales Con esta informacioacuten le seraacute posible plantear problemas con las tasas actua-lizadas diacutea con diacutea
22 Monto
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza3htmEjercicios nuacutemeros 2 3 y 4
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn Tema 3 ejemplo 1
Matemaacuteticas en internet Intereacutes simple
14 Cuando una prenda que ha sido pignorada no se desempentildea antes de 5 meses la institucioacuten la saca a remate puacuteblico para su venta con el fin de recuperar el preacutestamo otorgado y los in-tereses Del dinero que obtiene con la venta descuenta estos dos conceptos y el resto se lo en-trega al cliente que empentildeoacute la prenda Si una persona empentildea un anillo de brillantes y recibe $1950 por concepto de preacutestamo y no desempentildea su joya y si la institucioacuten la vende en re-mate 5 meses despueacutes en $3 000 iquestcuaacutento le devuelve al cliente si el intereacutes que cobra es de 4 mensual
15 En la paacutegina anterior aparece el estado de cuenta correspondiente a un ejercicio mensual de un usuario de tarjeta de creacutedito Si el cliente no ha realizado otras compras aparte de las que aparecen en dicho estado y no realiza ninguacuten pago iquestcuaacutento le cobraraacute el banco de intereses en el proacuteximo ejercicio si carga 25 sobre el saldo promedio
02 DIAZ MATA 02indd 8502 DIAZ MATA 02indd 85 112808 25439 AM112808 25439 AM
CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE86
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 1 2 4 9 12 16 22 23 y 24
23 Valor actual o presente
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 2
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 3 5 y 7
24 Intereacutes
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza3htmEjercicio nuacutem 1
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 3
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 11 13 y 15
25 Tasas y tipo de intereacutes
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza3htmEjercicio nuacutem 5 Caacutelculo de tasas anuales equivalentes
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 8 10 y 16
26 Plazo o tiempo
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problema 6
28 Descuento
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElige en la materia de Matemaacuteticas fi nancieras tema 5
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza7htmConcepto de descuento comercial deduccioacuten de foacutermula y ejercicios ilustrativos
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza8htmEjercicios de descuento comercial
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza9htmTeoriacutea y ejercicios ilustrativos sobre descuento real o racional
02 DIAZ MATA 02indd 8602 DIAZ MATA 02indd 86 112808 25440 AM112808 25440 AM
87
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplos 9 10 11 y 12
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 14 17 18 19 20 21 y 25
210 Ecuaciones de valores equivalentes
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 9 y 14
Matemaacuteticas en internet
02 DIAZ MATA 02indd 8702 DIAZ MATA 02indd 87 112808 25440 AM112808 25440 AM
02 DIAZ MATA 02indd 8802 DIAZ MATA 02indd 88 112808 25440 AM112808 25440 AM
Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de
bull Explicar los conceptos del valor del dinero en el tiempo
bull Distinguir y explicar la diferencia entre monto simple y monto compuesto entre tasa de inte-reacutes nominal y tasa de intereacutes efectiva
bull Comprender y explicar los conceptos de perio-do de capitalizacioacuten frecuencia de conversioacuten y tiempo equivalente
bull Plantear y resolver ejemplos de caacutelculos de monto compuesto valor actual tasas de inte-reacutes nominal efectiva y equivalentes y plazo
bull Plantear y resolver ejemplos de caacutelculo de mon-to compuesto valor actual tasa de intereacutes no-minal efectiva y equivalentes
bull Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a intereacutes compuesto
bull Resolver ejercicios y aplicaciones de intereacutes compuesto utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg
Objetivos 31 Introduccioacuten 32 Conceptos baacutesicos 33 Monto compuesto 34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas
equivalentes 35 Valor actual o presente 36 Tiempo 37 Tasa de intereacutes 38 Ecuaciones de valores equivalentes 39 Tiempo equivalente 310 Aplicaciones 311 Uso de Excel 312 Resumen
Temario
Intereacutes compuesto
CAPIacuteTULO3
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO90
31 IntroduccioacutenEl dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios Cuando se generan excedentes de efectivo se ahorran durante un pe-riodo determinado a fi n de ganar un intereacutes que aumente el capital original disponible en otras ocasiones en cambio se tiene necesidad de recursos fi nancieros durante un tiempo y se debe pagar un intereacutes por su uso
En periodos cortos por lo general se utiliza como ya se vio el intereacutes simple En periodos largos sin embargo se utilizaraacute casi exclusivamente el intereacutes compuesto
32 Conceptos baacutesicosEn el intereacutes simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variacioacuten alguna durante todo el tiempo que dura la operacioacuten En el intereacutes compuesto en cambio los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo intereacutes adicional en el siguiente lapso
En este caso se dice que el intereacutes se capitaliza y que se estaacute en presencia de una opera-cioacuten de intereacutes compuesto
En estas operaciones el capital no es constante a traveacutes del tiempo pues aumenta al fi nal de cada periodo por la adicioacuten de los intereacutes ganados de acuerdo con la tasa convenida
Esta diferencia puede captarse con claridad por medio del ejemplo siguiente
Ejemplo 321
Suponga que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga 10 de intereacutes se-mestral (20 de intereacutes anual) iquestCuaacutel seraacute el intereacutes ganado al cabo de 6 meses
I = Cit I = 100 000(010)(1) I = 10 000
Suponga que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes convertible trimestralmente iquestCuaacutel seraacute el intereacutes ganado al cabo de 6 me-ses (Nota La tasa de intereacutes nominal es la misma en ambos casos 5 trimestral = 20 anual)
i trimestral20 anual
4 trimestres5= =
1er trimestre I = Cit I = 100 000(005)(1) I = 5 000 2o trimestre I = (C + I)it I = (100 000 + 5 000)(005)(1) I = 105 000 (005)(1)
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I = 5 250 I total = I 1er trimestre + I 2o trimestre I total = 5 000 + 5 250 I = 10 250
En este caso el intereacutes es superior al que se ganoacute en el anterior pues al fi nal del 1er trimestre al capital original se le suma el intereacutes ganado con lo cual el total del segun-do trimestre seraacute superior al del primero
Por lo tanto el capital se incrementa por la adicioacuten de los intereses al fi nal de cada periodo y eacutestos a su vez se incrementan pues son calculados sobre una base cada vez mayor La cantidad acumulada al fi nal de la operacioacuten se conoce como monto compuesto La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el intereacutes compuesto
321 Periodo de capitalizacioacuten
El intereacutes puede ser convertido en capital anual semestral trimestral y mensual etc A dicho periodo se le da el nombre de ldquoperiodo de capitalizacioacutenrdquo Al nuacutemero de veces que el intereacutes se capitaliza durante un antildeo se le denomina frecuencia de conversioacuten
Ejemplo 322
iquestCuaacutel es la frecuencia de conversioacuten de un depoacutesito bancario que paga 5 de intereacutes capi-talizable trimestralmente
un antildeoun trimestre
meses3 meses
= =12
4
La frecuencia de conversioacuten es igual a 4 El periodo de capitalizacioacuten es trimestral
322 Tasa de intereacutes compuesto
Por lo general la tasa de intereacutes se expresa en forma anual Ademaacutes junto con ella se indica si es necesario su periodo de capitalizacioacuten
28 anual capitalizable mensualmente 10 anual capitalizable semestralmente 6 anual capitalizable trimestralmente
Si el intereacutes se expresa sin mencioacuten alguna respecto de su capitalizacioacuten se entiende que eacutesta es anual
Es muy importante que para la solucioacuten de cualquier problema de intereacutes compuesto el intereacutes anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalizacioacuten que se establezca si el intereacutes se capitaliza mensualmente el intereacutes anual debe transformarse en intereacutes mensual si es trimestralmente a intereacutes trimestral etceacutetera
El periodo de capitalizacioacuten y la tasa de intereacutes compuesto siempre deben ser equivalen-tes Asiacute en el ejemplo inicial el intereacutes de 20 anual fue transformado en intereacutes trimestral de 5 para hacerlo equivalente al periodo de capitalizacioacuten que alliacute se mencionaba
32 Conceptos baacutesicos
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO92
En este momento pueden establecerse dos conclusiones
a) El intereacutes compuesto es mayor que el intereacutes simple Esto se debe a que el primero gana intereses por siacute mismo en tanto que el segundo no
b) A mayor frecuencia de conversioacuten mayor seraacute el intereacutes que se obtenga si la tasa anual nominal es igual asiacute un depoacutesito bancario que obtenga intereses en forma mensual ten-draacute mayor rendimiento que uno que los capitalice trimestralmente y eacuteste a su vez seraacute mayor que otro que los logre cada semestre
En forma maacutes clara se observa el comportamiento del intereacutes simple y el intereacutes com-puesto en una graacutefi ca Considere el siguiente ejemplo
Ejemplo 323
Un depoacutesito de $100 000 a 5 antildeos La tasa de intereacutes es la misma en ambos casos 20 anual En el intereacutes simple eacuteste no se capitaliza en tanto que el intereacutes compuesto lo hace cada antildeo (Vea la graacutefi ca 31)
GRAacuteFICA 31
Monto
250 000
200 000
100 000
0 1 2 3 4 5 Tiempo
ICIS1
ICIS2
ICIS3
IC
IS4
IC
IS5
⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎩
⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎩
⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎩
⎧⎪⎨⎪ ⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
IC = Intereacutes compuesto IS = Intereacutes simple
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎪⎨⎪ ⎩
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93
AntildeoMonto a intereacutes simple
M = C(1 + it)Monto a intereacutes compuesto
M = C(1 + i)n
0 100 000 100 0001 120 000 120 0002 140 000 144 0003 160 000 172 8004 180 000 207 3605 200 000 248 832
El monto a intereacutes simple crece en forma aritmeacutetica y su graacutefi ca es una liacutenea rec-ta Sus incrementos son constantes y el intereacutes del quinto antildeo es igual al del primero Su ecuacioacuten es la de una liacutenea recta cuya pendiente o razoacuten de incremento estaacute dada por la tasa de intereacutes
y = b + mx M = C + It It = (Ci)t M = 100 000 + 20 000(t)
En cambio una cantidad que se coloca a intereacutes compuesto crece en forma geomeacute-trica y su graacutefi ca corresponde a la de una funcioacuten exponencial
M = C(1 + i)n
M = 100 000(1 + 020)n
Sus incrementos son variables Como se puede apreciar en la graacutefi ca cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior Su ecuacioacuten es la de una liacutenea curva que asciende a velocidad cada vez mayor
Ejercicios de las secciones 31 y 32
1 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes por periodo de a) 30 anual capitalizable mensualmente b) 16 anual capitalizable trimestralmente c) 2 trimestral d) 15 anual e) 18 anual capitalizable semestralmente f ) 18 anual capitalizable mensualmente g) 05 mensual
2 iquestCuaacutel es la frecuencia de conversioacuten de los ejemplos del problema anterior 3 Elabore la graacutefica que muestre el crecimiento de una inversioacuten de $1000 en un antildeo
si se deposita en una cuenta de valores que paga a) 10 anual convertible semestralmente b) 20 anual convertible semestralmente
Ejercicios de las secciones 31 y 32
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO94
c) 30 anual convertible trimestralmente d) 40 anual convertible trimestralmente e) 50 anual convertible trimestralmente f ) 50 anual convertible mensualmente g) 60 anual convertible mensualmente h) 70 anual convertible mensualmente i) 80 anual convertible mensualmente
33 Monto compuestoEl monto compuesto como ya se ha explicado es el resultado que se obtiene al sumar al ca-pital original el intereacutes compuesto Si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se desea conocer el monto M del cual se dispondraacute al fi nal del periodo soacutelo debe agregaacutersele el intereacutes I ganado
M = C + I (31) pero I = Cit cuando t = 1 I = Ci por lo que M = C + Ci que factorizando da
M = C(1 + i) (32)
Como puede verse el monto de un capital al fi nal de un periodo se obtiene multiplicaacuten-dolo por el factor (1 + i) De esta manera al fi nal del segundo periodo se tiene que
M = C(1 + i)(1 + i)
capital al iniciar el 2o periodo
M = C(1 + i)2
Al fi nal del tercer periodo se tiene que
M = C(1 + i)2(1 + i)
y asiacute sucesivamente Esta sucesioacuten de montos forma una progresioacuten geomeacutetrica cuyo n-eacutesimo teacutermino es igual a
M = C(1 + i)n (33)
Esta ecuacioacuten se conoce como foacutermula del monto a intereacutes compuesto
Ejemplo 331
Se depositan $50 000 en un banco a una tasa de intereacutes de 18 anual capitalizable men-sualmente iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado en 2 antildeos
⎧ ⎨ ⎩
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SolucioacutenComo se establecioacute previamente con la foacutermula (33) el monto a intereacutes compuesto se calcula mediante la ecuacioacuten
M = C(1 + i)n
Se destaca nuevamente que la defi nicioacuten de periodo debe ser la misma para i y para nAsiacute para calcular la tasa de intereacutes mensual se divide la tasa anual entre la frecuencia
de conversioacuten
i = Tasa de intereacutes anualFrecuencia de converssioacuten
(34)
i = = =01812
0 015 1 5
Para determinar n se multiplica el lapso en antildeos por la frecuencia de conversioacuten
n = 2(12) n = 24
asiacute M = 50 000 (1 + 0015)24
En este momento surge una interesante pregunta iquestcoacutemo evaluar (1 + 0015)24Existen cuatro alternativas
a) Utilizar papel y laacutepiz y realizar la operacioacuten 24 veces Resulta lenta y poco praacutectica b) Resolver la ecuacioacuten utilizando logaritmos c) Utilizar las tablas que se encuentran al fi nal del libro en ellas se encuentra el factor del
monto a intereacutes compuesto (1 + i)n para una i y una n determinadas Esta opcioacuten es sencilla pero en una eacutepoca de tasas variables como la que se vive puede darse el caso de que dichas tablas no incluyan la que interesa
d) Emplear una calculadora electroacutenica Eacuteste es el medio maacutes praacutectico y preciso y como se mencionoacute anteriormente seraacute el que se utilice en los caacutelculos de este libro
Factor de monto a intereacutes compuesto = (1 + 0015)24 = 1429503
M = 50 000 (1429503) M = 7147514
En dos antildeos la inversioacuten de $50 000 se transformaraacute en un monto de $7147514 por la generacioacuten de un intereacutes compuesto de $2147514
Ejemplo 332
Se depositan en una caja de ahorros $100 000 a una tasa de intereacutes de 48 capitalizable mensualmente
a) iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado a intereacutes compuesto en un periodo de nueve meses b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de intereacutes de
30 anual capitalizable mensualmente iquestcuaacutel seriacutea el pago que se debe efectuar al cabo de los mismos 9 meses
33 Monto compuesto
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO96
Solucioacuten a) Depoacutesito
Se aplica la foacutermula del monto a intereacutes compuesto (33)
M = C(1 + i)n
Como se vio en el ejemplo 331 debe determinarse la tasa de intereacutes mensual dividiendo la tasa anual entre la frecuencia de conversioacuten
i = Tasa de intereacutes anualFrecuencia de conversioacuten
i = =0 04812
0 004
Puesto que el tiempo de inversioacuten estaacute ya expresado en meses se tienen todos los elemen-tos necesarios para plantear y resolver el ejemplo
C = 100 000 i = 0004 t = 9
Asiacute se sustituyen los valores en la foacutermula (33) y se tiene
M = C(1 + i)n
M = 100 000(1 + 0004)9
M = 100 000 (1036581) M = 103 65810
Por lo tanto un depoacutesito de $100 000 rendiraacute $3 65810 de intereacutes y acumularaacute un monto de $103 65810 al cabo de nueve meses
b) Preacutestamo
Para aplicar la foacutermula
M = C(1 + i)n
es necesario determinar la tasa de intereacutes para lo cual se divide la tasa anual entre la fre-cuencia de conversioacuten
i = Tasa de intereacutes anualFrecuencia de conversioacuten
i = =0 3012
0 025
Con ello se tienen ya todos los datos necesarios para aplicar dicha foacutermula
C = 100 000 i = 0025 t = 9
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Asiacute se sustituyen los valores en la foacutermula (33) y se tiene
M = C(1 + i)n
M = 100 000(1 + 0025)9
M = 100 000 (1248863) M = 124 88630
La diferencia que existe entre el monto derivado del preacutestamo ($124 88630) y el montoque debe pagar al ahorrador ($103 65810) esto es la cantidad de $2122820 constituye la utilidad del intermediario fi nanciero en este caso de la caja de ahorros
Ejemplo 333
Se obtiene un preacutestamo bancario de $1500 000 a un plazo de un antildeo y con intereacutes de 12 convertible trimestralmente iquestCuaacutel es el monto que deberaacute liquidarse
SolucioacutenSe determina primero la tasa de intereacutes por periodo de conversioacuten
i = =012
40 03
El nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten n es igual a 1 antildeo times 4 = 4
M = C(1 + i)n
M = 1500 000 (1 + 003)4
M = 1500 000 (1125509) M = 1688 26322
Deberaacute liquidarse al banco la cantidad de $1688 26322
331 Monto compuesto con periodo de intereacutes fraccionario
La foacutermula (33) se deriva del supuesto de que n es entero En teoriacutea puede aplicarse tambieacuten en el caso de que n sea fraccionario pero para resolverlo soacutelo puede recurrirse al uso de loga-ritmos o de la calculadora
Ejemplo 334
Se decide liquidar el preacutestamo del ejemplo anterior en forma anticipada luego del trans-curso de 7 meses y medio iquestCuaacutel es la cantidad que debe pagarse
Solucioacuten 753 meses = 25 trimestres M = 1 500 000 (1 + 003)25
M = 1 500 000 (1076696) M = 1 615 04386
33 Monto compuesto
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO98
Una forma praacutectica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a los periodos completos de conversioacuten y aumentar el intereacutes simple por el periodo frac-cionario de conversioacuten a la tasa estipulada
I compuesto I simple
M = C(1 + i)n(1 + it) M = 1 500 000 (1 + 003)2[1 + (003)(05)] M = 1 500 000 (1060900)(1015) M = 1 615 22025
La diferencia resultante seguacuten la tasa de intereacutes y del tiempo puede llegar a ser signifi -cativa por lo que siempre que sea posible se recomienda el empleo de la foacutermula (33)
Ejemplo 335
Se contrata un preacutestamo bancario de habilitacioacuten y aviacuteo por 150 000 pesos El plazo de pago es de 3 antildeos La tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmente
iquestCuaacutel es la cantidad que deberaacute liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses
SolucioacutenPor el meacutetodo exacto
periodo de pagoperiodo de capitalizacioacuten
mese= 15 ssmeses
semestres6
2 5=
M = C(1 + i)n
M = 150(1 + 010)25
M = 150(1269059) M = 190358810
Deben liquidarse $190 35881
Nota La magnitud de las cifras a veces provoca confusiones y errores por el manejo de los ceros Por esta razoacuten se recomienda siempre que sea posible eliminar ceros y mane-jar cifras en miles o millones de pesos en los procesos de solucioacuten de los problemas Esta praacutectica se ha adoptado en la redaccioacuten del presente texto y se encontraraacute a lo largo del mismo en varios ejemplos
Cabe sentildealar que si bien se utilizan cifras simplifi cadas en los procesos de solucioacuten el resultado fi nal se expresa en su magnitud original
Por el meacutetodo aproximado
M = C(1 + i)n(1 + it) M = 150 000(1 + 010)2[1 + 010(36)] M = 150 000(110)2[1 + 010(050)] M = 150 000(110)2(105) M = 190 57500
En este caso la diferencia entre un meacutetodo y otro importa $21619
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Ejercicios de la seccioacuten 33 4 Determine el intereacutes que gana en un antildeo un depoacutesito de $1000 en
a) Una cuenta de ahorros que paga 20 de intereacutes anual simple b) Una cuenta de ahorros que paga 10 de intereacutes semestral simple c) Una cuenta de ahorros que paga 20 de intereacutes anual compuesto se mestralmente d) Una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes anual convertible trimestralmente e) Una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes anual pagadero mensualmente f ) Una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes anual convertible diariamente
5 Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valo-res que paga 15 anual convertible mensualmente a) Al cabo de un antildeo b) Al cabo de dos antildeos c) Al cabo de tres antildeos d) Al cabo de cinco antildeos
6 Determine el intereacutes simple y el intereacutes compuesto que ganariacutea un depoacutesito de $100 000 si el tipo de intereacutes fuese de 5 y el plazo del depoacutesito 5 antildeos iquestQueacute conclu-siones puede presentar
7 Tabule el crecimiento de $1 a 1 5 10 15 y 20 antildeos si los tipos de intereacutes compuesto anual son 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
8 Considere que las tasas de intereacutes del ejemplo anterior son tasas anuales de inflacioacuten iquestQueacute sucederiacutea con los precios iquestQueacute conclusiones puede emitir
9 iquestCuaacutento dinero debe pagarse a un banco que hizo un preacutestamo de $300 000 si se reembolsa al antildeo capital e intereacutes y la tasa aplicada es de 024 anual convertible trimestralmente
10 iquestQueacute cantidad deberiacutea liquidarse en caso de que el preacutestamo del ejemplo anterior se pagara al cabo de 10 meses
11 Una persona deposita su dinero en el banco a plazo de 2 antildeos y a una tasa de 015 convertible semestralmente Debido a una emergencia debe retirar su dinero al cabo de 15 meses iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado que se le entregue si depositoacute $12 000 Utilice el meacutetodo exacto y el meacutetodo aproximado
12 iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado en una cuenta de valores que paga 12 de intereacutes mensual si se hicieran los siguientes movimientos durante el antildeo y se desea conocer su saldo al 31 de diciembre
Fecha Importe Tipo de movimiento
15-02 15 000 Apertura15-05 3 000 Depoacutesito15-07 1500 Retiro15-09 2 000 Retiro15-12 2 500 Depoacutesito
Ejercicios de la seccioacuten 33
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO100
13 La poblacioacuten de un estado ha crecido a una tasa anual de 28 durante los uacuteltimos 5 antildeos Si el nuacutemero actual de habitantes es de 3 825 000 iquestcuaacutel seraacute su poblacioacuten en 5 10 y 20 antildeos considerando a) que la tasa de crecimiento poblacional no cambia b) que la poblacioacuten crece a 28 los primeros 5 antildeos 25 los siguientes 5 antildeos y
20 los uacuteltimos antildeos14 El ingreso anual por habitante en el estado anterior es de 5 000 doacutelares iquestCuaacutel seraacute
su ingreso anual en 5 10 15 y 20 antildeos si se considera que el PIB crece a un ritmo de 35 anual promedio y la poblacioacuten crece a 28
34 Tasa nominal tasa efectivay tasas equivalentes
Cuando se realiza una operacioacuten fi nanciera se pacta una tasa de intereacutes anual que rige durante el lapso que dure la operacioacuten que se denomina tasa nominal de intereacutes
Sin embargo si el intereacutes se capitaliza en forma semestral trimestral o mensual la canti-dad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual Cuando esto sucede se puede determinar una tasa efectiva anual
Dos tasas de intereacutes anuales con diferentes periodos de capitalizacioacuten seraacuten equivalentes si al cabo de un antildeo producen el mismo intereacutes compuesto
Ejemplo 341
iquestCuaacutel es la tasa efectiva de intereacutes que se recibe de un depoacutesito bancario de $1000 pactado a 18 de intereacutes anual convertible mensualmente
Solucioacuten
M
MM
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= +=
1000 10 1812
1000 1 0 015
12
12
( )11000 1 1956181195 62
1195 62 1000
( )
MI M CI
== minus= minus
II
iIC
i
=
=
= =
195 62
195 621000
0 1956
La tasa efectiva de intereacutes es de 1956
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101
La tasa equivalente a una tasa anual de 18 convertible mensualmente es de 1956 convertible anualmente
La relacioacuten entre ambas tasas puede verse como sigue sea i la tasa anual efectiva de in-tereacutes j la tasa de intereacutes anual nominal y m el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten al antildeo
Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo intereacutes al cabo de un antildeo
Por lo tanto C(1 + i) = C(1 + jm)mDividiendo ambos miembros de la ecuacioacuten entre C tenemos
(1 + i) = (1 + jm)m
i = (1 + jm)m minus 1 (35)
Retomando el ejemplo anterior
i = (1 + 01812)12 minus 1i = (1 + 0015)12 minus 1
i = (1195618) minus 1 i = 0195618 i = 1956
Ejemplo 342
iquestCuaacutel es la tasa efectiva que se paga por un preacutestamo bancario de $250 000 que se pactoacute a 16 de intereacutes anual convertible trimestralmente
SolucioacutenAplicando directamente la foacutermula (35) se tiene
i = (1 + jm)m minus 1 i = (1 + 0164)4 minus 1 i = (1 + 004)4 minus 1 i = (1169859) minus 1 i = 0169859 i = 1698
Ejemplo 343
Determinar la tasa nominal j convertible trimestralmente que produce un rendimiento de 40 anual
SolucioacutenEn este caso la tasa de intereacutes efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de infl acioacuten es-perada en el antildeo) y se desea conocer la tasa nominal j convertible trimestralmente que
34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO102
produciraacute dicho rendimiento Aplicando nuevamente la ecuacioacuten (35) se despeja en ella j
i = (1 + jm)m minus 1
(1 + i) = (1 + jm)m
( )1+ im = (1 + jm)
(1 + i)1m = (1 + jm)
(1 + i)1m minus 1 = jm
m[(1 + i)1m minus 1] = j
j = 4[(1 + 040)14 minus 1] j = 4[(1087757) minus 1] j = 4(0087757) j = 03510 j = 3510
La tasa nominal j convertible trimestralmente que produce 40 efectivo es de 3510
Ejemplo 344
iquestCuaacutel es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14 con-vertible trimestralmente
SolucioacutenPuesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazo anual
a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva
i = (1 + j12)12
b) Una tasa nominal de 14 convertible trimestralmente es igual a una tasa anual efectiva
i = (1 + 0144)4
Igualando ambas tasas efectivas se tiene
(1 + j12)12 = (1 + 0144)4
(1 + j12)1212 = (1 + 0144)412
(1 + j12) = (1 + 0035)13
j = 12[(1 + 0035)13 minus 1] j = 12(1011533 minus 1) j = 0138398
03 DIAZ MATA 03indd 10203 DIAZ MATA 03indd 102 112808 25606 AM112808 25606 AM
103
Por lo tanto una tasa nominal de 1384 convertible mensualmente es equivalente a una tasa nominal de 14 convertible trimestralmente
Otra vez puede verse que a mayor frecuencia de conversioacuten se obtiene un rendimiento mayor
Ejemplo 345
iquestA queacute tasa nominal convertible trimestralmente un capital de $30 000 creceraacute hasta $100 000 en 5 antildeos
SolucioacutenSe aplica la foacutermula (33) y se tiene
M = C(1 + i)n
100 000 = 30 000 (1 + i)n
100
1000
30 000= +( )i n
Pero (1 + i)n = (1 + jm)mn
donde n = 5 antildeos y m = 4
Asiacute (1 + j4)20 = 100 00030 000
(1 + j4) = (3333333)120
j = 4[(3333333)120 minus 1] j = 4(1062048 minus 1) j = 024819
Se requiere una tasa nominal de 2482 convertible trimestralmente para que un capi-tal de $30 000 se convierta en un monto de $100 000 en un plazo de 5 antildeos
Ejercicios de la seccioacuten 34
15 Determine la tasa de intereacutes efectiva que se recibe de un depoacutesito bancario si la tasa nominal es de 6 y se convierte
a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente d) Mensualmente e) Diariamente
Ejercicios de la seccioacuten 34
03 DIAZ MATA 03indd 10303 DIAZ MATA 03indd 103 112808 25607 AM112808 25607 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO104
16 Determine la tasa nominal que produce un rendimiento de 10 anual efectivo si el intereacutes se convierte a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente d) Mensualmente e) Diariamente
17 Determine la tasa nominal j convertible trimestralmente que resulte equivalente a una tasa de 15 convertible semestralmente
18 iquestQueacute tasa nominal j convertible mensualmente resulta equivalente a una tasa de 4 convertible trimestralmente
19 iquestQueacute tasa de intereacutes mensual resulta equivalente a una tasa de 12 semestral20 iquestQueacute tasa de intereacutes trimestral resulta equivalente a una tasa mensual de 221 iquestQueacute tasa de intereacutes anual resulta equivalente a una tasa de 4 trimestral22 iquestQueacute tasa de intereacutes simple mensual es equivalente a una tasa de intereacutes nominal j = 18
convertible anualmente si se invierte el dinero durante a) un antildeo b) dos antildeos c) tres antildeos
23 iquestQueacute tasa de intereacutes simple anual corresponderiacutea a los incisos del problema anterior24 Un banco ofrece los siguientes depoacutesitos y tasas de intereacutes
a) j12 = 930 b) j4 = 950 c) j2 = 980
iquestCuaacutel es la mejor alternativa25 iquestA queacute tasa de inflacioacuten anual compuesta mensualmente se triplicariacutean los precios en
a) 3 antildeos b) 5 antildeos c) 10 antildeos
35 Valor actual o presenteEn ocasiones se conoce cuaacutel es el monto que debe pagarse o que se desea reunir y se quiere deter-minar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de intereacutes determi-nada para llegar a tener dicho monto se estaacute entonces en presencia de un problema denominado de valor actual o valor presente
El valor actual muestra como su nombre lo indica cuaacutel es el valor en un momento deter-minado de una cantidad que se recibiraacute o pagaraacute en un tiempo posterior
03 DIAZ MATA 03indd 10403 DIAZ MATA 03indd 104 112808 25608 AM112808 25608 AM
105
Para calcularlo se retorna a la foacutermula (33)
M = C(1 + i)n
en la cual se despeja el capital C
CM
iM i
nn=
+= + minus
( )( )
11 (36)
Generalizando puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables involucradas monto (M) capital (C) tiempo (n) y tasa de intereacutes (i) puede calcularse la cuarta
Ejemplo 351
iquestCuaacutento debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50 000 dentro de 3 antildeos y la tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmente
SolucioacutenAplicando la foacutermula (36)
CM
i n=
+( )1 M = 50 000 i = 10 semestral (20 anual entre 2) n = 6 semestres (3 antildeos times 2)
C
C
C
=+
=
=
501 0 1050
28
6000
0001771561
22370
( )
Deben depositarse $28 22370 a fi n de contar con $50 000 en un plazo de 3 antildeos si la tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmente
Ejemplo 352
Juan Peacuterez desea adquirir una casa con valor de $850 000 Le pidieron que entregue 50 de anticipo y 50 en un plazo de un antildeo y medio al teacutermino de la construccioacuten y entrega del inmueble iquestCuaacutento dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garan-tizar la liquidacioacuten de su adeudo si la tasa de intereacutes vigente es de 6 anual capitalizable mensualmente
SolucioacutenJuan Peacuterez paga en este momento $425 000 (50 de la operacioacuten) y debe pagar otro tanto en un plazo de antildeo y medio como se aprecia en la siguiente graacutefi ca
35 Valor actual o presente
03 DIAZ MATA 03indd 10503 DIAZ MATA 03indd 105 112808 25608 AM112808 25608 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO106
Para calcular la cantidad que debe depositar se utiliza la foacutermula (36) considerando que
i
n
C
= = =
= times =
=
0 0612
0 005 0 5
12 1 5
antildeos 18 mesesMM
iM i
CC
nn
( )( )
( )1
1
425 000 1 005425 000
18
+= +
==
minus
minus
(( )0 914136
388507 87C =
A fi n de garantizar el pago de su adeudo Juan debe depositar $388 50787 los cuales con la reinversioacuten de los intereses se incrementaraacuten hasta formar el monto de $425 000 en un plazo de antildeo y medio
Como se ve en estos ejemplos C es el valor presente o valor actual de M Esto es puede considerarse que el capital C y el monto M son dos valores equivalentes dada una determi-nada tasa de intereacutes y un periodo tambieacuten determinado En el ejemplo anterior para Juan Peacuterez resultariacutea equivalente pagar $388 50787 en este momento o $425 000 dentro de un antildeo y medio dada una tasa de intereacutes de 6 anual capitalizable mensualmente Es decir cualquiera de las dos operaciones de pago le resultariacutea igual
Este hecho nos remite el valor del dinero en el tiempo no es lo mismo tener $100 hoy que tener $100 dentro de un antildeo pues su valor adquisitivo no es equivalente Este fe-noacutemeno es particularmente claro en paiacuteses en los que la infl acioacuten se ha acelerado de ma-nera sustancial y en los cuales la desvalorizacioacuten del dinero ocurre casi diacutea a diacutea
Como consumidor prefi ero tener mi dinero hoy y no mantildeana mucho menos dentro de un antildeo
En el campo de los negocios es indispensable considerar esos efectos pues muchas veces se realizan inversiones en el momento presente que generan fl ujos de efectivo que se recibiraacuten dentro de uno o maacutes antildeos El valor presente de dichos fl ujos deberaacute compararse con la inversioacuten que se estaacute realizando (tambieacuten a valor presente) y para lograrlo se deben des-contar ambos inversioacuten e ingresos a fi n de poderlos comparar en forma equivalente en el momento presente
425 000 425 000
0 1 1frac12
GRAacuteFICA 32
03 DIAZ MATA 03indd 10603 DIAZ MATA 03indd 106 112808 25610 AM112808 25610 AM
107
Ejemplo 353
La Compantildeiacutea de Novedades Actuales planea realizar una inversioacuten de $50 000 para pro-ducir un artiacuteculo de moda que espera le genere ingresos de $80 000 dentro de 2 antildeos Si se considera una infl acioacuten promedio de 25 anual iquestconviene la inversioacuten
SolucioacutenSe comparan los $50 000 que se deben invertir en el momento presente con los $80 000 que se espera recibir en 2 antildeos Para hacerlo es necesario que ambas cantidades sean equivalentes Se traen a valor presente los $80 000 y asiacute se tiene una misma base de com-paracioacuten La tasa de infl acioacuten se acumula de la misma forma que el intereacutes Aplicando la foacutermula (36)
C = M(1 + i)minusn
C = 80 000(1 + 025)minus2
C = 80 000(064) C = 51200
Los $80 000 que la empresa recibiraacute en dos antildeos equivalen a $51200 descontados de la infl acioacuten Este valor presente de los ingresos se compara con el valor presente de la in-versioacuten que es de $50 000 y muestra que efectivamente se lograraacute una utilidad de $1200y que por lo tanto conviene invertir
Ejemplo 354
Una compantildeiacutea minera ha descubierto una veta de manganeso en un paiacutes latinoameri-cano y debe decidir la conveniencia o inconveniencia de su explotacioacuten A fi n de poder benefi ciar el mineral es necesario realizar una inversioacuten de $350 000 Sus analistas fi nan-cieros estiman que la veta produciraacute soacutelo durante 3 antildeos y de acuerdo con el precio vi-gente del metal los ingresos seriacutean los siguientes
1er antildeo 100 000 2o antildeo 200 000 3er antildeo 300 000
Si la tasa de infl acioacuten promedio de los proacuteximos tres antildeos es de 40 iquestresulta renta-ble la inversioacuten
SolucioacutenPara tener una idea maacutes clara de la operacioacuten se puede elaborar una graacutefi ca de tiempo y valor (Vea la graacutefi ca 33 en la paacutegina siguiente)
Se traen a valor presente los ingresos que se espera recibir en el futuro utilizando la tasa de infl acioacuten y se comparan con la inversioacuten inicial
35 Valor actual o presente
03 DIAZ MATA 03indd 10703 DIAZ MATA 03indd 107 112808 25611 AM112808 25611 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO108
GRAacuteFICA 33
1er antildeo = $100 000 C = M(1 + i)minus1
C = 100 000(1 + 040)minus1
C = 100 000(071428571) C = 7142857
2o antildeo = $200 000 C = M(1 + i)minus2
C = 200 000(1 + 040)minus2
C = 200 000(051020408) C = 102 04082
3er antildeo = $300 000 C = M(1 + i)minus3
C = 300 000(1 + 040)minus3
C = 300 000(036443149) C = 109 32945
La suma del valor presente de los ingresos esperados en los proacuteximos antildeos es
7142857 + 102 04082 + 109 32945 = $282 79884
El valor presente de los ingresos ($282 79884) es menor al de la inversioacuten necesaria para su explotacioacuten ($350 000) Por lo tanto a la compantildeiacutea no le conviene explotar la veta a menos que el precio del metal se incremente y con eacutel sus ingresos esperados
351 Valor actual de deudas que devengan intereacutes
En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan intereacutes y de las cuales se quiere conocer su valor en un momento anterior a su liquidacioacuten
Inversioacuten 350 000
0 1 2 3 antildeos Ingresos 100 000 200 000 300 000
03 DIAZ MATA 03indd 10803 DIAZ MATA 03indd 108 112808 25611 AM112808 25611 AM
109
Para solucionar estos problemas en primer lugar se debe determinar el monto original de la deuda y a partir de eacutel calcular el valor actual
Ejemplo 355
Se otorga un preacutestamo de $2 000 000 para liquidar una maquinaria y se fi rma un docu-mento a plazo de un antildeo con intereacutes de 15 A fi n de recuperar el efectivo en forma inme-diata se descuenta dicho documento en un banco a una tasa de 2 mensual
a) iquestQueacute cantidad es la que se recibe b) iquestQueacute tasa de intereacutes efectiva debe pagar la compantildeiacutea para fi nanciarse
Solucioacuten M = C(1 + i)n
M = 2 000 000(1 + 015)1
M = 2 000 000(115) M = 2 300 000
El monto nominal de la deuda es de $2 300 000
a) Se calcula el valor actual
C = M(1 + i)minusn
C = 2 300 000(102)minus12
C = 2 300 000(0788493) C = $1813 53430
b) Tasa de intereacutes efectiva
Valor de la maquinaria = $2 000 00000Preacutestamo otorgado por el banco = 1813 53430Intereacutes pagado por la empresa que vendioacute la maquinaria = 186 46570
Costo para la empresa que vendioacute la maquinaria
iIC
= = 186 465 702 000 000
i = 0093233 = 932
La tasa de intereacutes efectiva que debe pagar la compantildeiacutea para fi nanciarse a traveacutes de los documentos es de 932 anual
Ejemplo 356
Se descuenta en un banco un documento de $500 000 con vencimiento a 3 meses que de-venga 2 de intereacutes mensual El banco lo descuenta a una tasa de 22 anual iquestCuaacutel es la cantidad que se recibe
35 Valor actual o presente
03 DIAZ MATA 03indd 10903 DIAZ MATA 03indd 109 112808 25611 AM112808 25611 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO110
Solucioacutena) Se calcula el monto original
M = C(1 + i)n
M = 500(1 + 002)3
M = 500(1061208) M = 530 604
b) Se calcula el valor actual
C = M(1 + i)minusn
C = 530 604(1 + 022)minus312
C = 530 604(122)minus025
C = 530 604(0951503) C = 504 87116
En este caso a diferencia del anterior la tasa de intereacutes cobrada por el banco es menor que la que se cargoacute en el valor del documento El acreedor tuvo un benefi cio adicional
Ejemplo 357
Un documento por $1000 000 debe pagarse en 36 meses lapso durante el cual generaraacute in-tereses a 12 convertible mensualmente Se descuenta en el banco y eacuteste carga un intereacutes de 16 convertible trimestralmente iquestCuaacutel es la cantidad que se recibe iquestCuaacutel fue la utilidad o peacuterdida que generoacute la operacioacuten
SolucioacutenEsta situacioacuten involucra dos problemas que deben resolverse en forma separada para vi-sualizarlo maacutes claramente se recurre a una graacutefi ca de tiempo y valor (Vea la graacutefi ca 34)
En primer lugar debe calcularse el monto total de la deuda dados
C = $1000 000 J12 = 12 i = 1 mensual n = 36 M = (1 + i)n
M = 1000 000 (1 + 001)36
M = 1000 000 (1430769) M = 1430 769
GRAacuteFICA 34
M = C (1 + 01212 )
36
1 000 000 Meses
0 1 2
34 35 36
C = M (1 + 016
4 )ndash12
03 DIAZ MATA 03indd 11003 DIAZ MATA 03indd 110 112808 25612 AM112808 25612 AM
111
Acto seguido se procede a calcular el valor actual del monto obtenido en funcioacuten de la tasa de descuento dados M = 1430 769 J4 = 16 i = 4 n = 12 C = M(1 + i)minusn
C = 1430 769(1 + 004)minus12
C = 1430 769(0624597) C = 893 65410
La cantidad neta que se recibe del banco asciende a $893 65410 Hay una peacuterdida de $106 34590 en la operacioacuten (1000 000 minus 893 65410)
Ejemplo 358
En la compra de una maquinaria se fi rma un documento por $75 000 a pagar en 3 antildeos con una tasa de intereacutes de 125 semestral Luego del transcurso de 10 meses de la fi rma se decide descontarlo en el banco y eacuteste carga un intereacutes de 28 convertible trimestral-mente iquestCuaacutel es la cantidad neta que se recibe
SolucioacutenEn este caso al igual que en el anterior se involucran dos problemas a) uno de monto y b) uno de descuento
Utilizando una graacutefi ca de tiempo y valor se tiene
GRAacuteFICA 35
a) Se determina en primer lugar el monto a pagar C = 75 000 i = 125 n = 6 M = C(1 + i)n
M = 75 000(1 + 0125)6
M = 75 000(2027286) M = 152 04649 b) A partir del monto obtenido se procede a descontar de acuerdo con la tasa fi jada por
el banco M = 152 04649 J4 = 28 i = 7 n = 26 meses = 866666667 trimestres (263)
35 Valor actual o presente
75 000 Meses
0 2 4 6 8 10
34 35 36
C(1 + 0125)6
C = M (1 + 028
4 )ndash263
03 DIAZ MATA 03indd 11103 DIAZ MATA 03indd 111 112808 25612 AM112808 25612 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO112
En este caso se presenta ademaacutes el problema de periodos de intereacutes fraccionario y puede resolverse en forma exacta o en forma aproximada
b1) Exacta
C = M(1 + i)minusn
C = 152 04649(1 + 007)minus8666667
C = 152 04649(0556340) C = 84 58961
b2) Aproximada
Cuando se tienen periodos de intereacutes fraccionario en problemas de intereacutes compuesto se descuenta hasta el periodo completo que incluya aquel que se estaacute buscando y posterior-mente se adiciona el tiempo faltante utilizando el intereacutes simple Con base en una graacutefi -ca de tiempo y valor
GRAacuteFICA 36
C = M(1 + i)minusn
C = 152 04649(1 + 007)minus9
C = 152 04649(0543934) C = 82 70322
El valor actual a 9 meses seraacute de $82 70322A dicho valor se le acumula el intereacutes simple por un mes para ubicarlo en el tiempo
fi jado
M = C(1 + it) M = 82 70322[1 + (007)(13)] M = 82 70322(1023333) M = 84 63293
que es la cantidad que se obtiene con descuento aproximado y la cual como puede verse arroja una diferencia de
84 63293 minus 84 58961 = 4332
con respecto a la que se obtiene mediante el meacutetodo exacto
M = C[1 + (007)(13)]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Trimestres
C = M(1 + 007)ndash9
03 DIAZ MATA 03indd 11203 DIAZ MATA 03indd 112 112808 25613 AM112808 25613 AM
113
Ejercicios de la seccioacuten 3526 iquestCuaacutento dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de
$250 000 en un plazo de 2 antildeos y la tasa de intereacutes es de 9 convertible mensual-mente
27 iquestQueacute cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de preacutestamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18 convertible trimes-tralmente y tiene vencimiento en 18 meses
28 iquestCuaacutel es el valor presente de $1000 que se cobraraacuten al cabo de un antildeo si la tasa de in-tereacutes compuesto trimestralmente es a) 10 b) 20 c) 30 d) 50 e) 100
29 iquestCuaacutel es el valor presente de $1000 que se cobraraacuten en un antildeo si la tasa de intereacutes es de 15 convertible a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente
30 Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagareacute que incluye intereses a ra-zoacuten de 3 trimestral y que seraacute pagadero al cabo de un antildeo iquestQueacute cantidad puede obtenerse por eacutel si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de intereacutes de 12 con-vertible mensualmente
31 Una distribuidora de automoacuteviles ofrece a sus clientes 10 de descuento en la com-pra al contado de un automoacutevil nuevo o bien 50 del precio al contado y 50 a 6 meses sin descuento y sin intereses iquestQueacute alternativa debe escogerse si el dinero pue-de ser invertido a una tasa de intereacutes mensual de a) 2 b) 3 c) 4
32 Una empresa dedicada al comercio internacional desea incrementar sus operacio-nes para lo cual estudia dos proyectos alternativos Los flujos netos de efectivo pre-supuestados son
ProyectoInversioacuten requerida
Flujo neto de efectivo al fi n de
Antildeo 1 Antildeo 2 Antildeo 3
A 80 000 20 000 35 000 60 000
B 75 000 45 000 30 000 25 000
Ejercicios de la seccioacuten 35
03 DIAZ MATA 03indd 11303 DIAZ MATA 03indd 113 112808 25613 AM112808 25613 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO114
iquestQueacute alternativa se debe escoger si la compantildeiacutea puede obtener en otro tipo de inver-sioacuten rendimientos de a) 15 b) 20
33 En una operacioacuten de exportacioacuten una empresa recibe un pagareacute por 285 000 doacutelares a 180 diacuteas de plazo que devenga un intereacutes mensual de 1 A fin de contar con recur-sos liacutequidos la empresa descuenta el documento en su banco y eacuteste lo acepta cargando un intereacutes de 10 anual convertible trimestralmente iquestCuaacutel es el importe neto que re-cibe la empresa
34 Por la venta de una casa una compantildeiacutea inmobiliaria recibe un pagareacute por $140 000 con vencimiento a 5 antildeos que devenga intereses a razoacuten de 10 anual convertible semestralmente iquestQueacute cantidad recibiraacute la empresa si al cabo de un antildeo descuenta el documento en su banco y eacuteste le cobra 16 de intereacutes anual
35 Una empresa obtiene un preacutestamo de habilitacioacuten por $150 000 el cual documenta con un pagareacute con vencimiento a 3 antildeos y que estipula intereses trimestrales de 6 liqui-dables al teacutermino de la operacioacuten Al cabo de 3 meses el banco aceptante negocia el documento y es descontado con un intereacutes de 28 anual convertible semestralmente iquestQueacute importe recibe el banco Determiacutenelo utilizando el meacutetodo exacto y el meacutetodo aproximado
36 TiempoComo ya se mencionoacute la foacutermula 33 puede utilizarse para resolver cualquier problema de in-tereacutes compuesto pues en ella estaacuten involucradas todas las variables que lo determinan monto capital tiempo y tasa de intereacutes conociendo tres de ellas se despeja y determina la cuarta
Se veraacuten enseguida dos ejemplos de coacutemo solucionar problemas en los que se desconoce el tiempo
Ejemplo 361
iquestEn cuaacutento tiempo se duplicaraacute una inversioacuten de $1000 si se considera una tasa de intereacutes
a) de 36 anual convertible mensualmente y b) de 24 anual tambieacuten convertible mensualmente
SolucioacutenPara resolver este tipo de problemas es necesario recurrir al uso de los logaritmos Con base en la foacutermula (33) se tiene
M = C(1 + i)n
se despeja (1 + i)n y se obtiene
MC = (1 + i)n = factor de acumulacioacuten del monto a intereacutes compuesto Aplicando loga-ritmos
03 DIAZ MATA 03indd 11403 DIAZ MATA 03indd 114 112808 25613 AM112808 25613 AM
115
log factor = n log (1 + i)
log factorlog (1 + )i
n= (37)
a) Ahora dado que j12 = 036
el intereacutes mensual es i = 003
Tambieacuten como se quiere encontrar el tiempo en el que se duplica un capital dado
MCi n
=
+ =
2
1 2( )
y
De donde
n = loglog ( )
21 03
El logaritmo base 10 del factor 2 es 0301030 y el logaritmo base 10 de 103 es 0012837
n
n
=
=
0 3010300 01283723 45
Se necesitan 2345 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de 3 mensual
b) Si la tasa de intereacutes es de 24 anual se tiene
M = C(1 + i)n
MC = (1 + i)n
2 0001000
1 0 02
2 1 022 1 02
= +
==
( )
( )log log
log
n
n
n22
1 020 3010300 00860035 00
log
=
=
=
n
n
n
Si la tasa de intereacutes es de 24 anual convertible mensualmente se necesitaraacuten 35 meses para duplicar el capital
Debe destacarse que la conclusioacuten anterior es vaacutelida sin que importe a cuaacutento as-ciende el capital invertido pues lo que se considera es el factor de acumulacioacuten del monto a intereacutes compuesto y no la cantidad invertida en siacute
36 Tiempo
03 DIAZ MATA 03indd 11503 DIAZ MATA 03indd 115 112808 25614 AM112808 25614 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO116
Ejemplo 362
iquestEn cuaacutento tiempo reduce $100 su valor adquisitivo a 50 dada una infl acioacuten anual de a) 50 b) 10 c) 30 d) 100
Solucioacuten a) En forma aprioriacutestica hay quienes sentildealaraacuten que la respuesta al problema anterior (in-
fl acioacuten de 50) es de un antildeo perohellip iexclestaacuten equivocados
Aplicando la foacutermula (33) se tiene
M = C(1 + i)n
Se conoce que M = 1 pues es la cantidad absoluta de la que se dispondraacute en el fu-turo Se conoce tambieacuten que C = 050 pues es el poder adquisitivo actual del peso que se recibiraacute en el futuro La tasa de infl acioacuten i = 050
MC = (1 + i)n
1 000 50
1 0 50
2 1 502 1 50
( )
( )log log
= +
==
n
n
nllog
log
21 50
0 3010300 1760911 71
=
=
=
n
n
n
Este resultado indica que el valor adquisitivo de $1 se veraacute reducido a $050 en 171 antildeos dada una infl acioacuten de 50
b) Para determinar en el caso de 10 de infl acioacuten se sigue el mismo procedimiento
MC = (1 + i)n
2 = (1 + 010)n
loglog
21 10
0 3010300 0413927 27
=
=
=
n
n
n
Si la infl acioacuten disminuye a 10 tomaraacute 727 antildeos que la moneda reduzca su valor real a la mitad
03 DIAZ MATA 03indd 11603 DIAZ MATA 03indd 116 112808 25616 AM112808 25616 AM
117
c) Si sube a 30 se tiene
2 = (1 + 030)n
loglog
21 30
0 3010300 1139432 64
=
=
=
n
n
n
Con la infl acioacuten de 30 el lapso se reduce a 264 antildeos
d) Si sube a 100 se tiene
2 = (1 + 1)n
loglog
22
0 3010300 301030
=
=
n
n
Si la infl acioacuten es de 100 en soacutelo un antildeo la moneda reduciraacute su poder adquisiti-vo a la mitad
37 Tasa de intereacutesPara determinar la tasa de intereacutes conociendo las otras variables se despeja en la foacutermula (33) y se resuelve
Ejemplo 371
iquestA queacute tasa de intereacutes se deben depositar $15 000 para disponer de $50 000 en un plazo de 5 antildeos Considere que los intereses se capitalizan
a) semestralmente b) trimestralmente c) mensualmente
Solucioacutena) Se despeja la foacutermula (33)
M = C(1 + i)n
MC = (1 + i)n
M C i
M C i
n
n
= +
minus =
1
1 (38)
37 Tasa de intereacutes
03 DIAZ MATA 03indd 11703 DIAZ MATA 03indd 117 112808 25617 AM112808 25617 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO118
n = 5 antildeos times 2 = 10 semestres
50 00015 000
110 minus = i
3 33333333 110 minus = i
(333333333)110 minus 1 = i 112794487 minus 1 = i 012794487 = i i = 1279
Dada una tasa de 1279 semestral (2558 anual nominal) $15 000 se conver-tiraacuten en $50 000 en 5 antildeos
b) Si el intereacutes se capitaliza en forma trimestral se tiene
M C in minus =1n = 5 antildeos times 4 = 20 trimestres
50 00015 000
120 minus = i
3 33333333 120 minus = i (333333333)120 minus 1 = i 106204749 minus 1 = i i = 006204749 i = 620
Si la frecuencia de conversioacuten se incrementa la tasa anual nominal requerida dis-minuye a 248 (006204749 times 4 = 024818996)
c) Si el intereacutes se capitaliza cada mes
i M C
i
ii
n= minus
= minus
= minus=
1
50 00015 000
1
3 33333333 11
60
60
02026889 10 020268892 03
minus==
ii
Si la frecuencia de conversioacuten es mensual la tasa requerida es de 203 y la tasa anual disminuye a 2432
Con este ejemplo se demuestra una de las conclusiones que previamente se ha-biacutean apuntado a mayor frecuencia de conversioacuten corresponde un mayor intereacutes
03 DIAZ MATA 03indd 11803 DIAZ MATA 03indd 118 112808 25618 AM112808 25618 AM
119
compuesto Por lo tanto para generar una misma cantidad de intereses ($35 000 en el caso anterior) se requiere una tasa de intereacutes menor cuando la frecuencia de conversioacuten es mayor
Ejercicios de las secciones 36 y 37
Tiempo36 iquestEn cuaacutento tiempo se duplica un capital si la tasa de intereacutes efectiva anual es de
a) 10 e) 50 b) 20 f ) 70 c) 30 g) 100 d) 40
37 iquestEn cuaacutento tiempo se duplica un capital si la tasa de intereacutes es de 6 y se compone a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente
38 iquestEn queacute tiempo se reduce a la mitad el valor adquisitivo de la moneda si la inflacioacuten es de a) 5 d) 25 b) 10 e) 35 c) 20 f ) 50
39 Una inversioacuten duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de intereacutes iquestEn cuaacutento tiempo lo triplicaraacute
40 Se realiza una inversioacuten de $50 000 en un banco el diacutea 1o de febrero iquestEn queacute fecha valdraacute $55 000 si la tasa de intereacutes es de 15 compuesta mensualmente
41 Si la tasa de intereacutes es de 12 convertible mensualmente durante el primer semestre del antildeo y asciende a 15 durante el segundo semestre iquesten queacute fecha valdraacute $55 000 la inversioacuten del caso anterior
Tasa de intereacutes42 iquestA queacute tasa de intereacutes un capital quintuplica su valor en 10 antildeos43 iquestQueacute tasa de intereacutes nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementa-
do a $50 000 en 3 antildeos si dicho intereacutes se capitaliza a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente
Ejercicios de las secciones 36 y 37
03 DIAZ MATA 03indd 11903 DIAZ MATA 03indd 119 112808 25621 AM112808 25621 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO120
44 Pablo Peacuterez depositoacute $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 antildeos y 9 meses Actualmente tiene $208 862 y desea saber cuaacutel es la tasa de intereacutes que ha ganado si la capitalizacioacuten es trimestral
45 La poblacioacuten de una ciudad se ha duplicado en 10 antildeos iquestCuaacutel ha sido su tasa de cre-cimiento poblacional
46 iquestCuaacutel debe ser la tasa de natalidad de un paiacutes para que duplique su poblacioacuten a) cada 30 antildeos b) cada 40 antildeos c) cada 50 antildeos
38 Ecuaciones de valores equivalentesComo se ha visto a lo largo del capiacutetulo el dinero tiene un valor distinto en el tiempo no es lo mismo tener $1 en este momento que tenerlo dentro de un antildeo pues dependiendo de la tasa de infl acioacuten vigente eacuteste veraacute reducido su valor en mayor o menor grado
Para compensar esa peacuterdida de valor al capital original se le agregan intereses a fi n de que el monto futuro sea equivalente en cuanto a poder adquisitivo al capital actual
Esta relacioacuten de equivalencia se expresa como se muestra en la graacutefi ca 37Asiacute un capital C es equivalente a un monto M a un plazo t considerando una tasa de
intereacutes iSi se tiene un capital de $100 y una tasa de intereacutes de 50 anual el monto equivalente
a dicho capital seraacute de $150 Esto es el poder adquisitivo de $100 seraacute equivalente al de $150 dentro de un antildeo
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 050)1
M = 100(150) M = 150
Asiacute puede decirse que un monto de $150 dentro de un antildeo es equivalente a un capital C de $100 el diacutea de hoy pues
CM
i
C
C
C
n=
+
=+
=
=
( )
( )
1150
1 0 501501 50100
1
03 DIAZ MATA 03indd 12003 DIAZ MATA 03indd 120 112808 25621 AM112808 25621 AM
121
GRAacuteFICA 37
De la misma forma en que se establece una relacioacuten de dos valores en el tiempo pue-de establecerse una relacioacuten de equivalencia entre dos fl ujos de efectivo que deben pagarse o recibirse en distintos momentos La operacioacuten que se conforma se llama ecuacioacuten de valores equivalentes
Una ecuacioacuten de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha de com-paracioacuten o fecha focal dos fl ujos distintos de efectivo Observe que se habla de dos fl ujos de efectivo y no de dos cantidades pues un fl ujo de efectivo puede estar constituido por una o maacutes cantidades que se pagan o se reciben en distintos momentos del tiempo
Tome el siguiente ejemplo iquestQueacute cantidad debe pagarse trimestralmente para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de $100 dada una tasa de intereacutes de 2 mensual
En este caso se tienen dos conjuntos de obligaciones
a) la cantidad original constituida por los 3 pagos mensuales y b) el pago trimestral X con el que se desea sustituir aqueacutella
Esto puede observarse en la graacutefi ca 38 de tiempo y valor
GRAacuteFICA 38
El valor del pago X debe ser equivalente al valor de los 3 pagos de $100 dada una tasa de intereacutes de 2 y una fecha determinada (fecha focal)
X = (100 + I1) + (100 + I2) + (100 + I3)
fl ujo 1 fl ujo 2
Ecuacioacuten de valores equivalentes
38 Ecuaciones de valores equivalentes
X
1 2 3 +100 +100 +100
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎧ ⎨ ⎩
C asymp MC + I = M
C M
t
03 DIAZ MATA 03indd 12103 DIAZ MATA 03indd 121 112808 25622 AM112808 25622 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO122
Para resolver este problema lo primero que debe hacerse es determinar la fecha focal en la cual se van a comparar los fl ujos de efectivo En el capiacutetulo anterior se sentildealoacute que cuando se trata de intereacutes simple dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha pue-den no serlo en otra En el caso de intereacutes compuesto por el contrario dos fl ujos de efectivo que son equivalentes en una fecha lo seraacuten en cualquier otra y por ello puede seleccionarse cualquier fecha para efectuar la comparacioacuten A fi n de simplifi car conviene tomar el tercer mes (Vea la graacutefi ca 39)
GRAacuteFICA 39
En esa fecha focal se igualan todos los valores
X = 100(102)2 + 100(102)1 + 100 X = 10404 + 102 + 100 X = 30604
Por lo tanto un pago de $30604 al cabo de 3 meses es equivalente a 3 pagos mensuales de $100 cada uno
Se mencionoacute que puede tomarse cualquier otra fecha y el resultado seraacute el mismo Para comprobarlo considere como fecha focal el mes 0 y efectuacutee la operacioacuten (Vea la graacutefi ca 310)
GRAacuteFICA 310
En este caso todos los valores deben igualarse en la fecha focal 0 y para ello se calcula su valor actual o presente el pago X deberaacute descontarse por 3 meses en tanto que los pagos de $100 deberaacuten descontarse por 1 2 y 3 meses
X 0 1 2 FF 100 100 100
X
0 1 2 3 FF +100 +100 +100
03 DIAZ MATA 03indd 12203 DIAZ MATA 03indd 122 112808 25622 AM112808 25622 AM
123
X( ) ( ) ( )1 0 02 100 1 0 02 100 1 0 02 1003 1 2+ = + + + +minus minus minus (( )( ) ( ) (
1 0 020 942322 100 0 980392 100 0
3+= +
minus
X 9961169 100 0 94232298 039220 96 116880
) ( )
+
= +X
++ =
=
94 2322300 942322
288 3883300 942322
306
X 04
El resultado como puede observarse es exactamente el mismo
Ejemplo 381
Una empresa tiene una deuda bancaria de $500 000 pagadera en dos abonos de $250 000 cada uno a 3 y 6 meses Desea liquidarla en 3 pagos bimestrales si el primero es de $100 000 y el segundo es de $200 000 iquestcuaacutento importaraacute el tercero considerando una tasa de 36 anual convertible mensualmente
SolucioacutenEl primer paso para resolver una ecuacioacuten de valores equivalente es realizar la graacutefi ca de tiempo y valor a fi n de poder plantear el problema
GRAacuteFICA 311
Una vez elaborada la graacutefi ca se procede a determinar la fecha focal (en este caso se selec-cionoacute el mes 6) y a plantear la ecuacioacuten en funcioacuten de tal fecha
250 1 0 03 250 100 1 0 03 200 1 0 033 4 2( ) ( ) ( )+ + = + + + + XX
250 1 092727 250 100 1 125509 200 1 060( ) ( ) ( + = + 99273182 250 000 112551 212180
523182 32
)++ = + +
=
XX
44 731523182 324 731198 451
+= minus=
XXX
El tercer pago deberaacute ser de $198 451
38 Ecuaciones de valores equivalentes
250 000 250 000 FF 0 1 2 3 4 5 6 100 000 200 000 X
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
fl ujo A fl ujo B
03 DIAZ MATA 03indd 12303 DIAZ MATA 03indd 123 112808 25623 AM112808 25623 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO124
Ejemplo 382
Para comprar un automoacutevil se suscriben tres documentos de $15 000 a pagar a 30 60 y 90 diacuteas Se decide liquidar la deuda con dos pagos iguales a 30 y 60 diacuteas considerando una tasa de intereacutes de 15 mensual iquestCuaacutel es el importe de cada pago
Solucioacutena) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor (Vea la graacutefi ca 312)
GRAacuteFICA 312
b) Se determina la fecha focal (en este caso se seleccionoacute el mes 1) c) Se plantea la ecuacioacuten de valor
X + X(1 + 0015)minus1 = 15 000 + 15 000(1 + 0015)minus1 + 15 000(1 + 0015)minus2
X + X(0985221) = 15 000 + 15 000(0985221) + 15 000(0970661) 1985221X = 15 000 + 14 77832 + 14 55993
X = 44 338 261 985221
X = 22 33416
Se deben pagar dos abonos de $22 33416 para saldar la deuda
Ejemplo 383
Se decide pagar la compra de una maquinaria con valor de $100 000 en dos pagos de $50 000 a 6 meses y un antildeo maacutes intereses calculados a 40 de intereacutes anual convertible semestral-mente Luego del transcurso de un trimestre se renegocia la compra y se determina pagarla mediante tres pagos trimestrales el primero por $30 000 el segundo por $50 000 y el tercero por la diferencia considerando en este segundo fl ujo un intereacutes de 44 convertible trimes-tralmente iquestCuaacutel es el importe del uacuteltimo pago
Solucioacutena) En primer lugar debe determinarse el importe de los dos primeros pagos incluidos
sus intereses
15 000 15 000 15 000
0 1 2 3 X X
03 DIAZ MATA 03indd 12403 DIAZ MATA 03indd 124 112808 25624 AM112808 25624 AM
125
GRAacuteFICA 313
Pago 1 = 50 000 (1 + 020)1
Pago 1 = 50 000(120) Pago 1 = 60 000
Pago 2 = 50 000(1 + 020)2
Pago 2 = 50 000(144) Pago 2 = 72 000
b) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor
GRAacuteFICA 314
c) Se determina la fecha focal d) Se plantea la ecuacioacuten de valores equivalentes
X + 30 000(1 + 011)2 + 50 000(1 + 011)1 = 60 000(1 + 011)1 + 72 000(1 + 011)minus1
X + 30 000(12321) + 50 000(111) = 60 000(111) + 72 000(0900901)X + 36 963 + 55 500 = 66 600 + 64 86486X + 92 463 = 13146486X = 13146486 minus 92 46300X = 39 00186
La operacioacuten se liquida con el pago de $39 00186
39 Tiempo equivalenteEn ocasiones se desea liquidar un conjunto de obligaciones con un pago uacutenico igual a la suma de las distintas deudas La fecha en la cual pueden ser liquidadas con dicho pago uacutenico se conoce
39 Tiempo equivalente
50 000 + I1 50 000 + I2
0 6 12
60 000 72 000 0 3 6 9 FF 12 30 000 50 000 X
03 DIAZ MATA 03indd 12503 DIAZ MATA 03indd 125 112808 25624 AM112808 25624 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO126
como fecha de vencimiento promedio de las deudas Al tiempo que falta transcurrir hasta la fecha de vencimiento promedio se le conoce como tiempo equivalente
Ejemplo 391
Una compantildeiacutea adeuda al banco $150 000 con vencimiento a 2 trimestres y $250 000 con vencimiento a 6 trimestres Desea liquidar la deuda con un pago uacutenico iquestCuaacutel es el tiempo equivalente suponiendo un intereacutes de 45 trimestral
Solucioacutena) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor
GRAacuteFICA 315
b) Se plantea la ecuacioacuten de valor
(150 000 + 250 000)(1 + 0045)x = 150 000(1 + 0045)minus2 + 250 000(1 + 0045)minus6
(400 000)(1 + 0045)x = 150 000(0915730) + 250 000(0767896)(400 000)(1045)x = 137 35949 + 19197393400 000(1045)x = 329 33343
( )
1 045329 333 43
400 000x =
(1045)x = 082333357 X log 1045 = log 082333357 X(001911629) = minus008442418
X =minus
= minus0 08442418
0 019116294 41634752
X = 44163
Este resultado indica que para liquidar la deuda con un pago uacutenico se deberaacuten entre-gar $400 000 transcurridos 441 trimestres (aproximadamente un antildeo y 37 diacuteas)
El signo negativo no se toma ya que se utilizoacute el cologaritmo de 082333357 El logaritmo de 082333357 es propia-mente ndash19155758234 y 09155758234 minus 1 = minus0084422418
0 2 4 6 8 10 12 Trimestres 150 000 250 000 X
400 000(1 + 0045)x
03 DIAZ MATA 03indd 12603 DIAZ MATA 03indd 126 112808 25625 AM112808 25625 AM
127
Ejemplo 392
El perfi l de adeudos de un paiacutes latinoamericano con la Banca Internacional es el siguiente en millones de doacutelares (MDD) 1er antildeo 5 000 MDD 2o antildeo 7 000 MDD 3er antildeo 8 000 MDD 20 000 MDD
Estos montos incluyen capital e intereses de 10 anual Si se desea liquidar la deuda con un pago uacutenico iquestcuaacutel seraacute el tiempo equivalente
Solucioacutena) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor
GRAacuteFICA 316
b) Se plantea la ecuacioacuten de valor
(5 000 + 7 000 + 8 000)(1 + 010)x = 5 000(1 + 010)minus1 + 7 000(1 + 010)minus2 + 8 000 (1 + 010)minus3
(20 000)(1 + 010)x = 5 000(090909091) + 7 000(082644630) + 8 000(075131480)(20 000)(110)x = 4 54545 + 5 78512 + 6 0105220 000(110)x = 16 34109
( )
( )
1 1016 341 09
20 000
1 10 0 8170548
x
x
=
=c) Se resuelve por logaritmos naturales
X ln 110 = ln 08170545 X(009531018) = minus020204948
X
X
=minus
= minus
=
0 2020490 09531018
2 11990996
2 12
Este resultado indica que para liquidar la deuda con un pago uacutenico se deberaacuten en-
tregar 20 000 MDD transcurridos 212 antildeos (2 antildeos y 43 diacuteas aproximadamente)
39 Tiempo equivalente
20 000(1 + 010)x
0 1 2 3 antildeos 5 000 7 000 8 000
03 DIAZ MATA 03indd 12703 DIAZ MATA 03indd 127 112808 25626 AM112808 25626 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO128
Ejercicios de las secciones 38 y 39Ecuaciones de valores equivalentes
47 En la compra de un televisor con valor de $3 00000 se pagan $1500 al contado y se firma un documento por la diferencia a pagar en 6 meses con un intereacutes de 2 men-sual iquestCuaacutel es el importe del documento
48 El comprador del caso anterior decide pagar el saldo con dos abonos iguales a 3 y 6 me-ses iquestCuaacutel es el importe de dichos pagos si se considera un intereacutes de 6 trimestral
49 Un documento con valor de $180 000 debe liquidarse en un plazo de 3 antildeos y medio Determine los valores equivalentes si la deuda se liquida a) en un antildeo b) en 4 antildeosConsidere una tasa de intereacutes de 22 capitalizable trimestralmente
50 Se compra un terreno campestre Se pagan $50 000 de enganche y se firman dos do-cumentos por igual cantidad a pagar en 1 y 2 antildeos iquestQueacute suma debe entregarse para liquidar la compra al cabo de un antildeo si la tasa de intereacutes es a) 15 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
51 Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $30 000 a 6 meses y otro de $50 000 en un antildeo y medio iquestQueacute cantidad debe pagar para liquidar la deuda en un solo pago a) en este momento b) en un antildeo c) en un antildeo y medioLa tasa de intereacutes vigente es de 20 convertible mensualmente
52 Una empresa vende una maquinaria en $35 000 Le pagan $15 000 al contado y lefirman dos documentos por $10 000 cada uno con vencimiento a 6 y 12 meses iquestQueacute cantidad liquidaraacute la deuda al cabo de 6 meses si se aplica un intereacutes de 30 conver-tible mensualmente
53 Mariacutea debe $15 000 a pagar en un antildeo Abona $2 000 al cabo de 3 meses y $3 000 a los 6 meses iquestQueacute cantidad debe entregar a los 9 meses para liquidar la deuda si se consi-dera un intereacutes de 15 mensual
54 Andreacutes solicita un preacutestamo de 158 000 doacutelares para la compra de una casa Ofrece pagar 20 000 en un antildeo 30 000 en 2 antildeos y el saldo a 3 antildeosiquestQueacute cantidad debe pagar para liquidar la deuda si la tasa de intereacutes es de a) J4 = 8 b) J4 = 12 c) J4 = 15
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310 AplicacionesEn la praacutectica comercial y fi nanciera cotidiana encontramos una gran cantidad de operaciones a las que se aplica el monto a intereacutes compuesto asiacute como el valor actual a intereacutes compuesto
3101 Monto a intereacutes compuesto
La aplicacioacuten maacutes comuacuten del monto a intereacutes compuesto es la determinacioacuten del monto que se obtendraacute cuando se realiza un depoacutesito de dinero en una institucioacuten fi nanciera por el cual se recibe un intereacutes que se capitaliza en forma perioacutedica (diaria mensual trimestral etc) Los instrumentos fi nancieros de este tipo son los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimien-to que se ilustran a continuacioacuten comparaacutendolos con los Certifi cados de Depoacutesito (Cedes)
Cedes y pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento
Los Certifi cados de Depoacutesito (Cedes) son instrumentos fi nancieros a traveacutes de los cuales se pueden realizar inversiones desde 63 hasta 378 diacuteas y en los cuales los intereses devengados se pagan al inversionista en forma mensual Su mecaacutenica de operacioacuten es la siguiente
Ejemplo 3101
Se depositan $100 000 en un certifi cado de depoacutesito a 3 meses que paga un intereacutes de 6 anual convertible mensualmente Determine el intereacutes mensual y el monto que recibiraacute el inversionista al cabo de los tres meses si los intereses ganados no son reinvertidos
Certifi cado de depoacutesito
Inversioacuten C
Tiempo 0 1 2 3
Intereses I I I
Reembolso de capital C
Pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento
Inversioacuten C
Tiempo 0 1 2 3
Intereses I
Reembolso de capital C
310 Aplicaciones
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO130
SolucioacutenDado que los intereses se pagan mensualmente y no se reinvierten se estaacute en presencia de un problema de intereacutes simple ya que el capital permanece sin cambio a lo largo de toda la vida de la inversioacuten El intereacutes mensual se calcula aplicando la foacutermula
I = Cit
Por lo tanto se tiene
I = Cit I = 100 000(00612)(1) I = 100 000(0005)(1) I = 500
Asiacute el intereacutes mensual que se recibe es de $500 y el monto del principal que se resti-tuye al cabo de los tres meses es de $100 000 cantidad que se invirtioacute
Ejemplo 3102
Se depositan $100 000 en un pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento a 3 meses que paga un intereacutes de 6 anual convertible mensualmente Determine el intereacutes men-sual y el monto que recibiraacute el inversionista al cabo de los tres meses
SolucioacutenEn este caso como el nombre del instrumento lo indica los intereses se pagan al vencimien-to generando un monto compuesto El pago mensual de intereses es 0 y el monto al cabo de los tres meses se determina recurriendo a la foacutermula de intereacutes compuesto
M = C(1 + i)n
M = 100 000(1 + (00612))3
M = 100 000(1 + 0005)3
M = 100 000(1015075125) M = 10150751
El inversionista recibiraacute $10150751 al cabo de tres meses Existe un diferencial de in-tereacutes de 751 entre el pagado en forma mensual en el Cede del ejemplo 3101 y el recibido en el ejemplo 3102 producto de la reinversioacuten mensual de los intereses ganados
Las principales diferencias que existen entre los Cedes y los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento son
bull Estos uacuteltimos se invierten a partir de 1 diacutea de plazo en Cedes a partir de 2 meses bull En los pagareacutes los rendimientos se reciben al vencimiento de la inversioacuten en Cedes
los intereses son liquidados cada mes al inversionista
3102 Valor actual a intereacutes compuesto
Las operaciones fi nancieras donde se utiliza con mayor frecuencia este tipo de aplicacioacuten se relacionan con descuentos por pronto pago donde debe compararse un fl ujo de pagos futuro con un pago presente
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Ejemplo 3103
Una tienda de departamentos ofrece 10 de descuento o 3 meses sin intereses en la com-pra de sus artiacuteculos en el departamento de computacioacuten Se desea adquirir una compu-tadora que tiene un valor de $12 000 Si se tiene el dinero para adquirirla al contado iquestcuaacutel alternativa es la maacutes adecuada suponiendo que la tasa de intereacutes del mercado es de 12 anual convertible mensualmente
SolucioacutenEn este caso es necesario comparar el valor actual de tres pagos futuros de $4 000 cada uno a uno dos y tres meses con un pago en el momento presente equivalente a 90 del precio de lista de $12 000 El problema se ilustra a continuacioacuten
Determinacioacuten del pago de contado
C M dt= minus( )1 C = minus12 000 1 0 10 1( ( )) C = minus12 000 1 0 10( ) C = 12 000 0 90( ) C = 10 800
Determinacioacuten del valor presente de los pagos mensuales
Para determinar el valor presente de los pagos mensuales es necesario sumar el valor pre-sente del pago al fi n del mes 1 maacutes el valor presente del pago al fi n del mes 2 maacutes el valor presente del pago al fi n del mes 3 Para determinar cada uno de estos valores se aplica la foacutermula (36) que se vio en el texto
C M i n= + minus( )1
El primer pago se realiza al fi nal del primer mes por lo que habraacute que determinar su va-lor actual descontando los intereses generados en un periodo
C = + minus4 000 1 0 01 1( ) C = minus4 000 1 01 1( ) C = 4 000 0 990099( ) C = 3960 3960
310 Aplicaciones
Precio de contado 12 000 ndash 10
Tiempo 0 1 2 3
Pago a plazos 4 000 4 000 4 000
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO132
El segundo pago se realiza al fi nal del segundo mes por lo que habraacute que determinar su valor actual descontando los intereses generados en dos periodos
C = + minus4 000 1 0 01 2( ) C = minus4 000 1 01 2( ) C = 4 000 0 980296( ) C = 3921 1842
El tercer pago se realiza al fi nal del tercer mes por lo que habraacute que determinar su valor actual descontando los intereses generados en tres periodos
C = + minus4 000 1 0 01 3( ) C = minus4 000 1 01 3( ) C = 4 000 0 970590( ) C = 3882 3606
La suma de los valores actuales es por lo tanto
C = + + =3960 40 3921 18 3882 36 11763 94
Por lo tanto es maacutes conveniente adquirir el bien al contado que aprovechar los pagos ldquosin interesesrdquo puesto que su valor actual es superior por 96394 pesos con respecto al que se obtiene pagando al contado
3103 Valor actual neto
Para realizar la evaluacioacuten de un proyecto de inversioacuten las herramientas que se utilizan con maacutes frecuencia son
bull Tiempo simple de recuperacioacutenbull Tiempo ajustado de recuperacioacutenbull Valor actual neto (VAN) o valor presente neto (VPN) y bull Tasa interna de rendimiento
En este capiacutetulo se explicaraacute coacutemo puede determinarse el valor actual neto de un proyecto mientras que en el siguiente se abundaraacute sobre este tema y se ilustraraacute la tasa interna de ren-dimiento (TIR)
El valor actual neto de un proyecto de inversioacuten es el valor actual de todos los fl ujos de efectivo relacionados con el proyecto En otras palabras es el valor presente de todos sus costos (egresos) y sus ingresos desde su principio y hasta su terminacioacuten Esta cuestioacuten se ilustra en el siguiente ejemplo
Ejemplo 3104
Determine el valor actual neto de un proyecto de inversioacuten que requiere un desembolso inmediato de $10 800 y genera fl ujos de $4 000 mensuales durante tres meses suponiendo que la tasa de intereacutes del mercado fuese a) 12 b) 36 c) 72
a) Como puede apreciarse el ejemplo anterior puede analizarse desde el punto de vista de la tienda departamental como un proyecto de inversioacuten pues invierte $10 800 (el dinero
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que podriacutea recibir si vendiera el producto al contado) a cambio de un fl ujo esperado de tres pagos mensuales iguales de $4 000 cada uno El proyecto se ilustra a continuacioacuten
La inversioacuten se representa con un fl ujo negativo (minus10 800) en tanto que los in-gresos se representan con signo positivo (+4 000)
A una tasa de 12 anual convertible mensualmente el proyecto de inversioacuten re-sulta altamente rentable para la tienda puesto que los $10 800 que invierte le generan un fl ujo de ingresos cuyo valor actual neto importa $1176394 El valor actual neto del proyecto es de $96394 ($1176394 minus $10 800)
Este resultado indica que la empresa estaacute incrementando su valor en $96394
b) Sin embargo este valor actual neto depende de la tasa de intereacutes que se encuentre vi-gente en el mercado Asiacute suponiendo que dicha tasa fuese de 36 iquestcuaacutel seriacutea el valor actual neto del proyecto
SolucioacutenSiguiendo el mismo procedimiento que se utilizoacute en el ejemplo anterior se tiene
La tasa de intereacutes de mercado es de 36 anual lo que equivale a 3 mensual
VAN = VAF0 + VAF1 + VAF2 + VAF3VAN = minus10 800(1 + 003)0 + 4 000(1 + 003)minus1 + 4 000(1 + 003)minus2 + 4 000(1 + 003)minus3 VAN = minus10 800(10000) + 4 000(0970873) + 4 000(0942596) + 4 000(0915142) VAN = minus10 800 + 3 88349 + 3 77038 + 3 66057 VAN = 51444
310 Aplicaciones
Inversioacuten ndash10 800
Tiempo 0 1 2 3
Ingresos 4 000 4 000 4 000
Inversioacuten ndash10 800
Tiempo 0 1 2 3
Ingresos 4 000 4 000 4 000
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO134
El valor actual neto del proyecto es de $51444 a una tasa de intereacutes de 36 anual con-vertible mensualmente Ello quiere decir que si la empresa puede conseguir fondos para fi nanciar su proyecto a una tasa de 36 tendriacutea una utilidad de $51444
c) Si la tasa del mercado fuese de 72 iquestcuaacutel seriacutea el valor actual neto del proyecto
SolucioacutenSiguiendo el mismo procedimiento utilizado en los incisos anteriores se tiene
La tasa de intereacutes de mercado es de 72 anual lo que equivale a 6 mensual
VAN = VAF0 + VAF1 + VAF2 + VAF3VAN = minus10 800(1 + 006)0 + 4 000(1 + 006)minus1 + 4 000(1 + 006)minus2 + 4 000(1 + 006)minus3 VAN = minus10 800(10000) + 4 000(0943396) + 4 000(0889996) + 4 000(0839619) VAN = minus10 800 + 3 77358 + 3 55998 + 3 35848 VAN = minus10796
El valor actual neto del proyecto si la tasa de intereacutes fuese de 72 es negativo (minus10796) Si la tasa de intereacutes del mercado fuese de 72 no le convendriacutea a la tienda invertir en ese proyecto pues recibiriacutea un valor menor al que invertiriacutea Como puede ob-servarse de los nuacutemeros anteriores la tienda departamental carga una tasa de intereacutes cer-cana a 70 a todos aquellos clientes que deciden aprovechar sus pagos ldquosin interesesrdquo
311 Uso de ExcelEn esta seccioacuten se resuelven los ejercicios del capiacutetulo utilizando funciones de Excel disentildea-das para simplifi car el caacutelculo de una serie de pagos perioacutedicos conocidos como anualidades pero que pueden aplicarse para resolver problemas de intereacutes compuesto en combinacioacuten con las capacidades normales de caacutelculo de esta hoja de trabajo Las funciones que se aplican a ejercicios de intereacutes compuesto son
bull Monto a intereacutes compuesto o valor futuro (VF)bull Capital o valor actual (VA)bull Valor actual neto (VNA)bull Tasa interna de rendimiento (TIR)
En las subsecciones siguientes se revisan aplicaciones de cada una de ellas
Inversioacuten ndash10 800
Tiempo 0 1 2 3
Pago a plazos 4 000 4 000 4 000
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3111 Conceptos baacutesicos (seccioacuten 32)
En el ejemplo 323 se muestra la determinacioacuten del monto a intereacutes simple y el monto a inte-reacutes compuesto de un depoacutesito de $100 000 a 5 antildeos considerando en ambos casos una tasa de intereacutes de 20 anual Este ejemplo puede resolverse mediante la utilizacioacuten de las capacidades normales de la hoja de caacutelculo Excelreg como se muestra a continuacioacuten
La foacutermula aplicable al intereacutes simple se muestra en la celda B5 mientras que la foacutermula aplicable al intereacutes compuesto se presenta en la celda C5 En el primer caso se utiliza la siguiente foacutermula
=($B$4(1+$B$3A5))
donde $B$4 indica la celda que contiene el capital que se invierte (100 000) Se utilizan los signos de ldquo$rdquo antes de la letra B y del nuacutemero 4 para indicar que se desea mantener constante tanto la columna como la fi la a que se hace referencia sin que importe si la foacutermula es copia-da a celdas de columnas o fi las diferentes
La celda $B$3 contiene la tasa de intereacutes aplicable escrita como tanto por uno Puede igualmente escribirse como tanto por ciento tal como se muestra en la columna C3 Ambos valores son equivalentes
La celda A5 contiene el periodo transcurrido En este caso es igual a 1 Esta celda es la uacutenica a la que no se le incluyeron signos de ldquo$rdquo puesto que se requiere que cambie al ser copiada en distintas fi las para indicar el nuacutemero de periodos transcurridos (1 2 3hellip etceacutetera)
Para calcular el monto a intereacutes compuesto se utiliza la siguiente foacutermula
=($C$4(1+$C$3)^A5)
En este caso $C$4 indica la celda que contiene el capital que se invierte (100 000) La cel-da $C$3 contiene la tasa de intereacutes aplicable escrita como tanto por ciento y la celda A5 con-tiene el periodo transcurrido que es igual a 1 como en el caso del monto a intereacutes simple En la foacutermula del intereacutes simple se utiliza el signo de multiplicacioacuten sentildealado por el asterisco () para indicar la operacioacuten defi nida por las literales it en tanto que en el caso del intereacutes compuesto se utiliza el signo de exponenciacioacuten indicado por el acento circunfl ejo (^) para indicar que el va-lor (1 + i) se elevaraacute a la potencia que corresponda al nuacutemero de periodos que se mantiene un dinero invertido
311 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO136
3112 Monto compuesto (VF) (seccioacuten 33)
La foacutermula de Excel para calcular el monto compuesto de una anualidad o valor futuro (VF) que se utilizaraacute en esta seccioacuten para calcular el monto a intereacutes compuesto de un pago uacutenico es
VF(tasanperpagovatipo)
en donde
Tasa es la tasa de intereacutes por periodo expresada como tanto por unoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodoVa es el capital o valor actual total de una serie de pagos futuros
Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el monto a intereacutes compuesto sin embargo dado que en el caso que nos ocupa se trata de un solo pago o depoacute-sito y no de un conjunto de pagos perioacutedicos el valor ldquoPagordquo debe omitirse y seraacute necesario capturar el importe del pago o depoacutesito en el lugar del capital o valor actual (Va) pues Excel permite la posibilidad de calcular el monto de la anualidad si se conoce tal valor actual (Va) Cabe remarcar que el valor del ldquoPagordquo deberaacute omitirse o indicar 0 pues de lo contrario Excel calcularaacute el monto de tantos pagos como periodos de acumulacioacuten existan lo cual arrojaraacute evidentemente un resultado falso Esta situacioacuten se ilustra maacutes adelante
Tipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 e indica cuaacuten-do vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de un pago vencido como es un paraacute-metro optativo si se omite el monto se calcula para un pago vencido Si se anota 1 se calcula como un pago anticipado Para efectos de la determinacioacuten del monto a intereacutes compuesto puede omitirse ya que el caacutelculo se realiza a partir del capital o valor actual y no a partir de un pago anticipado o vencido por lo que se obtendraacute ideacutentico resultado asiacute se anote un 1 o un 0
El ejemplo 331 se refi ere a un depoacutesito de $50 000 por un periodo de dos antildeos a una tasa de intereacutes de 18 capitalizable mensualmente Entonces si se introduce
=VF(01812212minus50000)
en alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $7147514 que es igual a los $7147514 que se obtuvieron en el texto
Las opciones para la solucioacuten de este ejemplo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten
Es importante hacer las siguientes observaciones
bull La tasa se expresa como tanto por uno (018) por lo cual en razoacuten de que el ejemplo se-ntildeala que se trata de una tasa anual capitalizable mensualmente deberaacute dividirse entre 12 para determinar la tasa mensual aplicable (01812)
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bull En el nuacutemero de periodos (nper) se indica el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten que se tienen Para ello se multiplica el nuacutemero de antildeos (2) por la frecuencia de conversioacuten anual (12) con lo cual se tiene la cifra que aparece en la foacutermula (212)
bull El pago como ya se indicoacute es 0 Este dato puede omitirse sin que el resultado se altere como se observa en la foacutermula de la columna D (Note que en la foacutermula Excel que se ilustra en la celda D3 hay una doble coma despueacutes del nuacutemero 212 lo cual indica que se omitioacute el valor de la renta mensual)
bull En el capital o valor actual (Va) se anotoacute ldquominus50 000rdquo una cantidad negativa porque Excel considera salidas de capital (cantidades negativas) a los pagos o depoacutesitos Aunque esto no parece tener mucho sentido en estos ejemplos es un procedimiento estaacutendar en Excel y se aprecia mejor su utilidad en las funciones como la de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) en la cual se consideran fl ujos de efectivo tanto de entrada (+) como de salida (minus) Se ven ejemplos de esta funcioacuten de Excel en la seccioacuten 49 de ldquoAplicacionesrdquo
La funcioacuten de Excel puede insertarse tambieacuten desde el menuacute Insertarfuncioacuten En ella se selecciona la categoriacutea ldquoFinancierasrdquo y en la lista que aparece se selecciona la funcioacuten que se re-quiera En este caso por ejemplo la funcioacuten ldquoVFrdquo
Una vez que se selecciona la funcioacuten VF aparece una ventana en la cual se pueden cap-turar los datos relativos a la Tasa Nuacutemero de periodos (Nper) Pago y Valor actual (Va) En la parte inferior derecha de los recuadros aparece el resultado de acuerdo con los datos inser-tados = 714751406 Al oprimir el botoacuten de Aceptar la foacutermula asiacute integrada apareceraacute en la celda de la hoja de Excel
311 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO138
Es importante observar que esta forma de utilizar la foacutermula del valor futuro o monto de Excel equivale a aplicar la foacutermula del monto a intereacutes compuesto de una cantidad [foacutermula (33)] o
M = C(1 + i)n = 50 000(1015)24 = $7147514
la cual puede de igual manera utilizarse en Excel ya sea haciendo referencia a datos captura-dos en celdas previamente defi nidas o bien capturando dichos datos directamente en la foacutermu-la como se ilustra a continuacioacuten
En el ejemplo 332 se determina el monto de un depoacutesito de $100 000 y el monto de un preacutestamo por la misma cantidad en una caja de ahorros considerando las distintas tasas que se aplican a operaciones pasivas (depoacutesitos de ahorradores) y a operaciones activas (preacutesta-mos de la caja de ahorros) La solucioacuten que proporciona Excel se ilustra a continuacioacuten
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que son praacutecticamente los mismos resultados que se presentaron en el texto (las pequentildeas di-ferencias de centavos se deben a redondeos)
En el ejemplo 333 se solicita el monto de un preacutestamo bancario de $1500 000 que debe liquidarse en el plazo de un antildeo con intereacutes de 12 convertible trimestralmente Sustituyendo directamente en una celda de la hoja de caacutelculo los datos de la foacutermula (33) se tiene
que es exactamente el resultado que se tiene en el textoEn el ejemplo 334 se determina el pago que se debe efectuar para liquidar el preacutestamo
anterior bajo el supuesto de que se paga en forma anticipada al transcurrir siete meses y me-dio despueacutes de que se otorgoacute Las opciones de solucioacuten se ilustran a continuacioacuten
los resultados son ideacutenticos a los que se presentaron en el textoEl ejemplo 335 es similar al anterior pues se pide determinar el monto que se debe ero-
gar para liquidar un preacutestamo de habilitacioacuten y aviacuteo de $150 000 que se contratoacute a una tasa de 20 anual convertible semestralmente y que se liquida al cabo de 15 meses (25 semestres)
3113 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes (seccioacuten 34)
En el ejemplo 341 se busca la tasa efectiva de intereacutes que se recibe de un depoacutesito bancario pactado a 18 de intereacutes anual convertible mensualmente Para determinarla se debe calcular
311 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO140
el monto que se acumula al cabo del tiempo pactado y se compara el intereacutes ganado con el ca-pital original aportado En Excel se determina como se ilustra a continuacioacuten
El intereacutes ganado asciende a $19562 y al compararlo con el capital original aportado permite determinar la tasa efectiva de 1956 que aparece en el texto
La relacioacuten que se establece entre la tasa efectiva y la tasa nominal que se presenta en la segunda parte del ejemplo y que se muestra con la ecuacioacuten (35)
i j m m= + minus( )1 1
puede resolverse en Excel como se ilustra a continuacioacuten
En el ejemplo 342 se tiene que j = 016 y m = 4 Para efectos de determinar la tasa efectiva resulta irrelevante el dato del capital del preacutestamo La solucioacuten en Excel es la siguiente
En el ejemplo 343 se pide determinar la tasa nominal (j) convertible trimestralmen-te dada una tasa de intereacutes efectiva (i) de 40 anual Para ello se despeja la foacutermula (35) la cual queda como sigue
j m i m= + minus[( ) ]1 11
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El planteamiento en Excel es el siguiente
3114 Valor actual o presente (seccioacuten 35)
La foacutermula para calcular el valor actual con Excel es
VA(tasanperpagovftipo)
donde
Tasa es la tasa de intereacutes por periodoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodo Vf es el monto o valor futuro total de una serie de pagos futuros
Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el valor actual de una anualidad sin embargo Excel permite la posibilidad de calcular el valor actual de la anua-lidad si se conoce el monto (Vf) por ello si se anota el valor Vf de un pago uacutenico se puede obtener su Valor actual (Va) Ya se ilustroacute esta situacioacuten en el caso del caacutelculo del monto y se ilustra para el caso del valor actual maacutes adelante
Tipo Al igual que para calcular el monto o valor futuro se puede anotar (es un valor opta-tivo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Dado que en este caso se estaacute capturando el Valor futuro (Vf) y no el importe de los pagos perioacutedicos resulta irrelevante este dato Su aplicacioacuten se estudiaraacute en el capiacutetulo 4 (anualidades vencidas) asiacute como en el capiacute-tulo 5 (anualidades anticipadas)
En el ejemplo 351 se pregunta cuaacutel es el capital que debe depositarse en un banco si se desea tener $50 000 en tres antildeos y la tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmen-te La foacutermula aplicable es la (36)
CM
iM i
nn=
+= + minus
( )( )
11
Entonces en Excel el resultado se puede obtener mediante tres viacuteas como se muestra a continuacioacuten
311 Uso de Excel
03 DIAZ MATA 03indd 14103 DIAZ MATA 03indd 141 112808 25640 AM112808 25640 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO142
que produce el resultado de $28 22370 que aparece en el textoEn el ejemplo 352 se busca el valor actual de un pago de $425 000 que debe realizarse en
el plazo de antildeo y medio considerando que se puede obtener un intereacutes de 6 anual conver-tible mensualmente Se tiene entonces que
El ejemplo 353 ilustra el caso de la determinacioacuten del valor presente de un fl ujo de $80 000 que se espera recibir en el plazo de dos antildeos con una tasa infl acionaria de 25 En Excel puede resolverse mediante la funcioacuten de Valor actual (Va) o bien a traveacutes de la inte-gracioacuten directa de los valores mediante foacutermulas como se ilustra a continuacioacuten
Cualquiera de las alternativas produce el resultado ya reportado en el texto
3115 Valor actual de deudas que devengan intereacutes
En el caso de deudas que devengan intereacutes se debe determinar primero un monto a intereacutes compuesto y posteriormente determinar un valor actual a partir de eacutel
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143
En el ejemplo 355 se presenta el caso de un preacutestamo de 2 000 000 por el que se fi rma un documento a plazo de un antildeo con intereacutes de 15 global A fi n de recuperar el efectivo la empresa vendedora descuenta el documento en un banco a una tasa de 2 mensual Se pide determinar el importe neto que recibe la vendedora y la tasa de intereacutes efectiva que debe pagar por el fi nanciamiento
El planteamiento en Excel es el siguiente
Estos datos son los mismos que se tienen en el texto y que sirven de base para determinar la tasa de intereacutes efectiva de 932
El ejemplo 356 se refi ere a un documento con un valor nominal de $500 000 con vencimien-to a 3 meses que devenga 2 de intereacutes mensual y que es descontado a una tasa de 22 anual
El planteamiento en Excel es el siguiente
Los valores que se obtienen son ideacutenticos a los que se muestran en el cuerpo del capiacutetulo
El ejemplo 357 presenta el caso de un documento de $1000 000 que debe pagarse en 36 meses y que genera intereses a 12 anual convertible mensualmente Se pide calcular la canti-dad que se recibiriacutea si se descuenta a una tasa de 16 anual convertible trimestralmente
311 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO144
La solucioacuten en Excel es la siguiente
Las diferencias de centavos se deben a los redondeos
3116 Tiempo (seccioacuten 36)Para calcular el tiempo se utiliza la foacutermula (33) del monto a intereacutes compuesto pues a par-tir de ella se puede despejar cualquier incoacutegnita Para solucionar estos problemas es necesario utilizar logaritmos
En el ejemplo 361 se pide calcular el tiempo en el que se duplicaraacute una inversioacuten de $1000 000 con tasas de intereacutes de 36 y de 24 anual convertibles mensualmente
A partir de la foacutermula (33)M C i n= +( )1
se despeja la incoacutegnita n con lo cual se obtiene la foacutermula (37)
n
MC
i=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
log
log ( )1El planteamiento del problema en Excel se presenta como sigue
El ejemplo 362 pide se determine el tiempo en el cual $1 reduce su valor adquisitivo a 50 dada una infl acioacuten de a) 50 b) 10 c) 30 d) 100
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145
3117 Tasa de intereacutes (seccioacuten 37)Para calcular la tasa de intereacutes se parte tambieacuten de la foacutermula (33) del monto a intereacutes com-puesto en la cual se despeja la incoacutegnita (i) con lo cual se obtiene la foacutermula (38)
M = C(1 + i)n (33)
i M C M Cn n= minus = minus 1 11( ) (38)
En el ejemplo 371 se pregunta cuaacutel es la tasa de intereacutes a la que se deben depositar $15 000 para acumular $50 000 en un plazo de 5 antildeos con intereses que se capitalizan
a) semestralmente b) trimestralmente yc) mensualmente
311 Uso de Excel
03 DIAZ MATA 03indd 14503 DIAZ MATA 03indd 145 112808 25642 AM112808 25642 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO146
312 ResumenEn este capiacutetulo se introdujo el concepto de intereacutes compuesto fundamental para el manejo de operaciones fi nancieras a mediano y largo plazos
En el intereacutes compuesto los intereses generados por un capital se suman perioacutedicamente a eacutel en lapsos previamente establecidos a los que se denomina periodos de capitalizacioacuten A su vez el intereacutes capitalizado genera un nuevo intereacutes y asiacute el crecimiento que se produce es expo-nencial a diferencia del intereacutes simple que guarda un comportamiento lineal
El monto compuesto seraacute el que se obtenga al antildeadir al capital original el intereacutes compues-to generado y se determinaraacute utilizando la foacutermula
M = C(1 + i)n
donde i = tasa de intereacutes por periodo y n = nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten
Cuando se trabaja con intereacutes compuesto es de importancia fundamental que la tasa de intereacutes que se maneje sea exactamente la del periodo de capitalizacioacuten establecido
Las tasas de intereacutes se expresan comuacutenmente en forma anual que indica cuando es nece-sario sus periodos de capitalizacioacuten La tasa asiacute expresada recibe el nombre de tasa nominal = Jm donde J es la tasa nominal anual y m es el nuacutemero de veces que se capitaliza durante el antildeo (frecuencia de conversioacuten) y debe distinguirse de la tasa efectiva por periodo i que expresa el intereacutes efectivo generado (puede ser mensual semestral anual etc) Se dice que dos tasas son equivalentes cuando producen el mismo intereacutes efectivo en un periodo determinado
Las ecuaciones de valores equivalentes que se presentaron en el capiacutetulo 2 se aplicaron en eacuteste a la resolucioacuten de problemas en los que es necesario igualar dos fl ujos de efectivo (in-gresos y egresos) utilizando intereacutes compuesto A diferencia del intereacutes simple se demostroacute que el resultado seraacute el mismo sin importar la fecha focal que se seleccione para igualar los fl ujos
Al fi nal se estudioacute el concepto de tiempo equivalente y se indicoacute que especifi ca la fecha en la cual pueden ser liquidadas con un pago uacutenico dos o maacutes deudas
Si se ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe
bull Comprender el concepto de intereacutes compuestobull Diferenciar al intereacutes compuesto del intereacutes simplebull Comprender los conceptos de periodo de capitalizacioacuten frecuencia de conversioacuten tasa
de intereacutes compuesto y monto compuestobull Calcular el monto compuesto de un capitalbull Comprender los conceptos de tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentesbull Calcular las tasas anterioresbull Determinar el valor actual o presente de un monto compuestobull Determinar la tasa de intereacutes en problemas que involucren intereacutes compuesto
Comprobacioacuten del capiacutetulo
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147
bull Calcular el tiempo en problemas de intereacutes compuestobull Comprender el concepto de ecuacioacuten de valor y resolver ejercicios que impliquen su
usobull Resolver ejemplos de tiempo equivalentebull Resolver ejercicios y aplicaciones de intereacutes compuesto utilizando la hoja de caacutelculo de
Microsoft Excel
bull Ecuaciones de valores equivalentes bull Tasa de intereacutes por periodo = ibull Frecuencia de conversioacuten bull Tasa efectiva anual = ebull Graacutefi cas de tiempo y valor bull Tasa nominal = Jmbull Intereacutes compuesto = I bull Tasas equivalentesbull Monto compuesto = M bull Tiempo equivalentebull Periodo de capitalizacioacuten bull Valor actual o capital = C
M = C + I (31) n = log (factor monto a intereacutes compuesto)log (1 + )i
(37)M = C(1 + i)n (33) i = (1 + jm)m minus 1 (35) i M Cn= minus 1 (38)
CM
iM i
nn=
+= + minus
( )( )
11 (36)
1 Se invierte $20 000 en una cuenta bancaria Determine el monto compuesto al cabo de 5 antildeos si la tasa promedio de intereacutes convertible mensualmente es de a) 15 b) 25 c) 38 d) 54
2 iquestCuaacutel es el monto de una inversioacuten de $100 000 al cabo de un antildeo si se deposita en una cuenta bancaria que paga 30 de intereacutes convertible
a) anualmente b) semestralmente c) trimestralmente d) mensualmente
Teacuterminos y conceptos importantes
Foacutermulas importantes
Ejercicios complementarios
Ejercicios complementarios
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CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO148
3 Los precios de la canasta baacutesica de alimentacioacuten se han incrementado a una tasa anual de 25 durante 3 antildeos Si el precio actual es de $765 iquestcuaacutel era su valor hace 3 antildeos
4 Se desea formar un fondo de $250 000 al cabo de 2 antildeos iquestQueacute cantidad debe depositarse hoy si el banco paga un intereacutes de
a) 10 convertible mensualmente b) 20 convertible semestralmente c) 23 anual 5 Los salarios miacutenimos se han incrementado a una tasa de 13 anual promedio duran-
te los uacuteltimos 4 antildeos Si continuara dicha tendencia iquesten queacute tiempo se triplicaraacute su valor nominal
6 El precio de las casas y terrenos se ha duplicado en 3 antildeos iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes anual que ha ganado
7 Un paiacutes posee cinco refineriacuteas para proveerse de combustible Su produccioacuten actual es de 1000 000 barriles diarios y trabajan a 80 de su capacidad Si el crecimiento promedio del consumo ha sido de 4 anual iquesten queacute tiempo requeriraacute dicho paiacutes poner en opera-cioacuten una nueva refineriacutea
8 iquestCuaacutel es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a a) una tasa de 11 anual b) una tasa de 18 anual convertible semestralmente c) una tasa de 32 anual convertible trimestralmente 9 Una deuda de $400 000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120 diacuteas iquestCuaacutel
es el importe de dichos pagos si la tasa de intereacutes anual es de 26 con capitalizacioacuten bimestral
10 iquestEn queacute tiempo puede ser liquidada con un pago uacutenico una deuda de $27 500 pagaderos en un antildeo y $38 450 pagaderos en dos antildeos si la tasa de intereacutes es de
a) 10 anual b) 20 anual c) 30 anual d) 50 anual11 Determine el periodo de capitalizacioacuten y la frecuencia de conversioacuten de a) una inversioacuten en certificados de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten con vencimientos cada
91 diacuteas b) una inversioacuten en cuenta de ahorros que paga intereses de 20 anual semestralmente c) una inversioacuten en pagareacutes liquidables cada 28 diacuteas12 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes por periodo de capitalizacioacuten de las siguientes inversiones a) 6 capitalizable mensualmente b) 18 capitalizable trimestralmente c) 22 capitalizable anualmente d) 22 capitalizable semestralmente13 Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversioacuten a) Depoacutesitos a plazo fijo de un antildeo 120 b) Depoacutesitos a plazo fijo capitalizable mensualmente 115
03 DIAZ MATA 03indd 14803 DIAZ MATA 03indd 148 112808 25645 AM112808 25645 AM
149
c) Depoacutesitos a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 116 d) Depoacutesitos a plazo fijo con intereacutes capitalizable semestralmente 118
Si se desea invertir $50 000 iquestcuaacutel es la mejor alternativa
14 iquestCuaacutel seraacute el monto de los $50 000 del ejercicio anterior si se depositan durante 10 antildeos en
a) una cuenta de valores al 22 capitalizable mensualmente b) una cuenta de valores al 275 capitalizable mensualmente c) una cuenta de valores al 30 capitalizable mensualmente d) una cuenta de valores al 35 capitalizable mensualmente e) una cuenta de valores al 40 capitalizable mensualmente
15 a) iquestCuaacutel seraacute el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan $50 000 durante 10 antildeos si la tasa de intereacutes es de 8 capitalizable semestralmente
b) iquestCuaacutel seraacute el monto en 15 antildeos c) iquestEn 20 antildeos
16 Una persona desea formar un fondo de ahorros para su vejez Deposita $10 000 en una cuenta que paga 12 anual convertible mensualmente iquestCuaacutel seraacute el monto de que dis-ponga al cabo de 25 antildeos
17 Las ventas al menudeo se han incrementado a razoacuten de 3 anual Si en el antildeo se vendie-ron 100 000 unidades iquestcuaacuteles son las ventas estimadas para dentro de 5 antildeos si se man-tiene el ritmo de crecimiento
18 En una ciudad el crecimiento del nuacutemero de automoacuteviles ha sido de 6 anual promedio durante los uacuteltimos 5 antildeos De continuar la tendencia iquestcuaacutel seraacute el nuacutemero de automoacutevi-les que circularaacuten dentro de 10 antildeos si actualmente existen dos millones de vehiacuteculos
19 Una persona deposita $5 000 en una cuenta de ahorros que paga 10 de intereacutes anual convertible semestralmente iquestCuaacutel seraacute el importe reunido despueacutes de 28 meses Calcule por el meacutetodo exacto y por el aproximado
20 Determine la tasa efectiva de intereacutes anual equivalente a
a) 20 capitalizable semestralmente b) 20 capitalizable mensualmente c) 30 capitalizable mensualmente d) 40 capitalizable mensualmente e) 50 capitalizable trimestralmente f ) 50 capitalizable mensualmente g) 60 capitalizable trimestralmente h) 60 capitalizable mensualmente i ) 60 capitalizable semanalmente
21 Determine la tasa nominal de intereacutes Jm equivalente a una tasa efectiva de
a) i = 15 m = 1 b) i = 15 m = 2 c) i = 15 m = 4 d) i = 15 m = 12 e) i = 26 m = 12
Ejercicios complementarios
03 DIAZ MATA 03indd 14903 DIAZ MATA 03indd 149 112808 25645 AM112808 25645 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO150
f ) i = 12 m = 4 g) i = 35 m = 12 h) i = 9 m = 422 Determine a) la tasa nominal de intereacutes J4 equivalente a J12 = 14 b) la tasa nominal de intereacutes J4 equivalente a J12 = 18 c) la tasa nominal de intereacutes J4 equivalente a J2 = 10 d) la tasa nominal de intereacutes J6 equivalente a J4 = 8 e) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J4 = 12 f ) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J4 = 15 g) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J12 = 20 h) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J4 = 2423 Determine la tasa efectiva de intereacutes equivalente a una tasa nominal de 18 compuesta a) anualmente b) semestralmente c) cuatrimestralmente d) trimestralmente e) bimestralmente f ) anualmente g) mensualmente h) semanalmente iquestCuaacutel es la diferencia entre la tasa efectiva con capitalizacioacuten anual y la tasa efectiva
semanal24 Una firma de venta de automoacuteviles ofrece dos planes de pago al contado $135 000 a pla-
zos $40 000 de enganche y dos pagos de $52 500 a 3 y 6 meses iquestQueacute alternativa es maacutes conveniente si la tasa de intereacutes es de
a) J4 = 10 b) J4 = 20 c) J4 = 30 d) J4 = 40 e) Indique el valor actual de los pagos a plazos25 Alejandra obtuvo un preacutestamo de $4 300 y acuerda liquidarlo mediante tres pagos a 1 2
y 3 meses con un intereacutes de 2 mensual El segundo pago seraacute el doble del primero y el tercero el doble del segundo iquestCuaacutel es el importe de los pagos
26 Determine las tasas efectivas de intereacutes equivalente a tasas nominales J de 16 y 20 compuestas
a) anualmente b) semestralmente c) cuatrimestralmente d) trimestralmente e) bimestralmente f ) anualmente
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151
g) mensualmente h) semanalmente iquestCuaacutel es la diferencia entre las tasas efectivas con capitalizacioacuten anual y las que se capita-
lizan mensualmente27 iquestA queacute tasa de intereacutes nominal convertible mensualmente debe invertirse un capital para
que eacuteste se duplique en a) 5 antildeos b) 4 antildeos c) 3 antildeos d) 2 antildeos e) 1 antildeo28 iquestQueacute alternativa de inversioacuten es maacutes rentable a) un depoacutesito a 6 meses con tasa de intereacutes de 75 convertible semestralmente o uno
con tasa de 725 convertible mensualmente b) un depoacutesito a 12 meses con tasa de intereacutes de 10 convertible anualmente o uno con
tasa de 95 convertible mensualmente29 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple equivalente a una tasa de 14 convertible a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente si invierte un capital durante 3 antildeos30 Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibiraacuten dentro de a) 1 antildeo b) 2 antildeos c) 3 antildeos d) 5 antildeos e) 10 antildeos si la tasa de intereacutes es de 30 anual31 Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibiraacuten dentro de cinco antildeos si la tasa de
intereacutes anual es a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 f ) 75 g) 10032 Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibiraacuten dentro de tres antildeos si la tasa de in-
tereacutes es de 15 compuesta a) anualmente b) semestralmente c) cuatrimestralmente
Ejercicios complementarios
03 DIAZ MATA 03indd 15103 DIAZ MATA 03indd 151 112808 25646 AM112808 25646 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO152
d) trimestralmente e) bimestralmente f ) mensualmente g) diariamente si invierte un capital durante 3 antildeos33 Determine el valor actual de a) $10 000 pagaderos en 6 meses a 18 convertible mensualmente b) $50 000 pagaderos en 3 antildeos a 20 convertible trimestralmente c) $120 000 pagaderos en 18 meses a 22 convertible trimestralmente d) $400 000 pagaderos en 2 antildeos a 40 convertible trimestralmente34 iquestCuaacutento dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $100 000 dentro de
2 antildeos si la tasa de intereacutes vigente es de a) 6 convertible mensualmente b) 10 convertible trimestralmente c) 12 convertible semestralmente d) 14 convertible anualmente e) iquestQueacute alternativa es la maacutes conveniente35 iquestQueacute cantidad se debe pagar hoy por una deuda a 36 meses si la tasa de intereacutes es de 17
anual capitalizable trimestralmente y el monto es de $44 85036 Un documento de $180 000 a plazo de 24 meses es descontado en el banco a una tasa de
22 convertible trimestralmente iquestCuaacutel es la cantidad que se recibe37 Un banco descuenta un documento de $48 000 con vencimiento a 20 meses aplicando
una tasa de intereacutes de 14 convertible mensualmente A su vez el banco redescuenta el documento en una institucioacuten financiera que le carga 12 de intereacutes convertible trimes-tralmente iquestCuaacutel es su utilidad en la operacioacuten Aplique el meacutetodo exacto para el periodo fraccionario de intereacutes
38 Determine el valor actual de una deuda de $200 000 a pagar en 3 antildeos y 4 meses si la tasa de intereacutes vigente es de 19 convertible trimestralmente Utilice ambos meacutetodos para de-terminar el resultado
39 Se desea descontar un pagareacute con valor de $175 000 en 105 diacuteas El banco carga una tasa de 165 convertible mensualmente Determine el capital utilizando ambos meacutetodos
32 Conceptos baacutesicos
httpmsiplceorgjahumadamrsg1010unidad5uni5sec1sld004htmDiapositivas acerca de la defi nicioacuten de intereacutes compuesto y ejercicio praacutectico
httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno205interesalintereshtmConceptos baacutesicos y problemas ilustrativos de intereacutes compuesto
Matemaacuteticas en internet Intereacutes compuesto
03 DIAZ MATA 03indd 15203 DIAZ MATA 03indd 152 112808 25646 AM112808 25646 AM
153
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza4htmConceptos baacutesicos de intereacutes compuesto deduccioacuten de las foacutermulas de intereacutes compuesto y monto
httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtmEn la seccioacuten de Contenido encontraraacute una liga que trata sobre los tipos de intereacutes (simple y compuesto) y algunos ejemplos
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElija la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 6
33 Monto
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza6htmEjercicio nuacutem 3
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 5
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 1 2 4 5 y 17
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElija la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 6 ejercicios I II III IV VI VII y VIII
34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxinterescomphtmEjercicios sobre intereacutes compuesto tasa nominal de intereacutes tasa efectiva y tasa equivalente
httpwwwenplenitudcomnotaasparticuloid=565Caacutelculo de la tasa de intereacutes efectiva
httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno205interesalintereshtmConceptos tasa efectiva y tasa nominal ejercicios ilustrativos de su caacutelculo
httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza6htmEjercicio nuacutem 2 Conversioacuten de una tasa anual a tasas equivalentes en diferentes periodos
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 16 y 17
35 Valor actual o presente
httpwwwenplenitudcomnotaasparticuloid=563Problemas baacutesicos para calcular un valor futuro un valor presente requerido VF que se pue-de acumular y caacutelculo de pagos perioacutedicos
Matemaacuteticas en internet
03 DIAZ MATA 03indd 15303 DIAZ MATA 03indd 153 112808 25646 AM112808 25646 AM
CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO154
httpwwwfi nanzas2000eucomcofi nanzas2000eucalculoshtmlCalculadora fi nanciera que permite introducir la combinacioacuten de datos como valor presente valor futuro tasa de intereacutes (compuesta) pagos y periodos y obtener como resultado una de estas variables que sea desconocida
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplos 6 14 y 15
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 6 9 11 12 13 14 y 18
36 Tiempo
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 8
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 3 y 10
37 Tasa de intereacutes
httpwwwfi nanzas2000eucomcofi nanzas2000eucalculoshtmlCalculadora fi nanciera que permite introducir la combinacioacuten de datos como valor presente valor futuro tasa de intereacutes (compuesta) pagos y periodos y obtener como resultado una de estas variables que sea desconocida
httpusuarioslycosesmatematicsegundahtmejeEjercicios de intereacutes compuesto
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 7
httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 7 8 y 15
03 DIAZ MATA 03indd 15403 DIAZ MATA 03indd 154 112808 25647 AM112808 25647 AM
Anualidades simples ciertasvencidas e inmediatas
Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de
bull Identificar definir y explicar los diferentes ti-pos de anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas (ASCVI)
bull Plantear e identificar situaciones en las que se apliquen las ASCVI
bull Interpretar planteamientos de anualidades de este tipo
bull Plantear y resolver problemas con este tipo de anualidades y encontrar el monto el valor actual el intereacutes el plazo o la tasa de intereacutes seguacuten sea el caso
bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anuali-dades simples ciertas vencidas e inmediatas mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg
Objetivos 41 Introduccioacuten y terminologiacutea 42 Tipos de anualidades 43 Monto 44 Valor actual 45 Renta 46 Plazo 47 Tasa de intereacutes 48 Aplicaciones 49 Uso de Excel 410 Resumen
Temario
CAPIacuteTULO4
04 DIAZ MATA 04indd 15504 DIAZ MATA 04indd 155 112808 25853 AM112808 25853 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS156
41 Introduccioacuten y terminologiacuteaEn general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos igua-les Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema aunque no siempre se refi eran a periodos anuales de pago Algunos ejemplos de anualidades son bull Los pagos mensuales por rentabull El cobro quincenal o semanal de sueldosbull Los abonos mensuales a una cuenta de creacuteditobull Los pagos anuales de primas de poacutelizas de seguro de vida
Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer pe-riodo de pago y el fi nal del uacuteltimo Renta es el nombre que se da al pago perioacutedico que se hace Tambieacuten hay ocasiones en las que se habla de anualidades que o no tienen pagos iguales o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales Estas aplicaciones se manejan en forma especial como se veraacute maacutes adelante
42 Tipos de anualidadesLa variacioacuten de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas Por ello conviene clasifi carlas de acuerdo con diversos criterios
Criterio Tipos de anualidades
a) Tiempo ciertascontingentes
b) Intereses simplesgenerales
c) Pagos vencidas anticipadas
d) Iniciacioacuten inmediatasdiferidas
a) Tiempo Este criterio de clasifi cacioacuten se refi ere a las fechas de iniciacioacuten y de terminacioacuten de las anualidades
bull Anualidad cierta Sus fechas son fi jas y se estipulan de antemano Por ejemplo al rea-lizar una compra a creacutedito se fi ja tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago como la fecha para efectuar el uacuteltimo
bull Anualidad contingente La fecha del primer pago la fecha del uacuteltimo pago o ambas no se fi jan de antemano depende de alguacuten hecho que se sabe que ocurriraacute pero no se sabe cuaacutendo Un caso comuacuten de este tipo de anualidades son las rentas vitalicias que se otor-gan a un coacutenyuge tras la muerte del otro El inicio de la renta se produce al morir el coacuten-yuge pues se sabe que eacuteste moriraacute pero no se sabe cuaacutendo
b) Intereses En este caso bull Anualidad simple Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalizacioacuten de los
intereses Es el tipo que seraacute analizado en este capiacutetulo Un ejemplo muy simple seriacutea el pago de una renta mensual X con intereses de 18 mensuales
04 DIAZ MATA 04indd 15604 DIAZ MATA 04indd 156 112808 25853 AM112808 25853 AM
157
bull Anualidad general A diferencia de la anterior el periodo de pago no coincide con el pe-riodo de capitalizacioacuten el pago de una renta semestral con intereses de 30 anuales
c) Pagos De acuerdo con los pagos
bull Anualidad vencida Tambieacuten se le conoce como anualidad ordinaria y como su primer nombre lo indica se trata de casos en los que los pagos se efectuacutean a su vencimiento es decir al fi nal de cada periodo de pago
bull Anualidad anticipada Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo
d) Iniciacioacuten De acuerdo con el momento en que se inicia
bull Anualidad inmediata Es el caso maacutes comuacuten La realizacioacuten de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalizacioacuten del trato hoy se com-pra a creacutedito un artiacuteculo que se va a pagar en mensualidades la primera de las cuales debe realizarse en ese momento o un mes despueacutes de adquirida la mercanciacutea (antici-pada o vencida)
bull Anualidad diferida Se pospone la realizacioacuten de los cobros o pagos se adquiere hoy un artiacuteculo a creacutedito para pagar con abonos mensuales el primero de los cuales debe efectuarse 6 meses despueacutes de adquirida la mercanciacutea
De acuerdo con las anteriores clasifi caciones se pueden distinguir diversos tipos de anualidades vencidas inmediatas diferidas ciertas anticipadas inmediatas diferidas simples vencidas inmediatas diferidas contingentes anticipadas inmediatas diferidas Anualidades vencidas inmediatas diferidas ciertas anticipadas inmediatas diferidas generales vencidas inmediatas diferidas contingentes anticipadas inmediatas diferidas
De estos 16 tipos de anualidades el maacutes comuacuten es el de las simples ciertas vencidas e in-mediatas que por esta razoacuten se analizaraacute en primer lugar en la seccioacuten siguiente En capiacutetulos posteriores se revisan los otros tipos
42 Tipos de anualidades
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎨⎩
⎧⎪⎨⎪⎩
⎧⎪⎨⎪⎩
⎧⎪⎨⎪⎩
⎧⎪⎨⎪⎩
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
04 DIAZ MATA 04indd 15704 DIAZ MATA 04indd 157 112808 25853 AM112808 25853 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS158
43 MontoDada su importancia vale la pena destacar las caracteriacutesticas de este tipo de anualidades
bull Simples el periodo de pago coincide con el de capitalizacioacutenbull Ciertas las fechas de los pagos son conocidas y fi jadas con anticipacioacutenbull Vencidas los pagos se realizan al fi nal de los correspondientes periodosbull Inmediatas los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se realiza la
operacioacuten
Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son
R La renta o pago por periodoC El valor actual o capital de la anualidad Es el valor total de los pagos en el momento
presenteM El valor en el momento de su vencimiento o monto Es el valor de todos los pagos al fi nal
de la operacioacuten
Para ilustrar la deduccioacuten de la foacutermula del monto de una anualidad se utilizaraacute un ejem-plo (a partir de aquiacute y en el resto del capiacutetulo el teacutermino anualidad se referiraacute a las simples ciertas vencidas e inmediatas)
Ejemplo 431
iquestQueacute cantidad se acumulariacutea en un semestre si se depositaran $100 000 al fi nalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6 anual convertible mensualmente
SolucioacutenPrimero se representa la situacioacuten en un diagrama de tiempo y valor
GRAacuteFICA 41
El intereacutes por periodo i es 00612 = 0005 y el monto de la anualidad debe ser igual a la suma de los montos de cada uno de los depoacutesitos al fi nal del semestre Asiacute se muestra mediante curvas en el diagrama donde el uacuteltimo depoacutesito no aumenta por intereacutes puesto que se deposita en el sexto mes
En teacuterminos del monto a intereacutes compuesto ya conocido el planteamiento seriacutea
M = 100 000(1005)5 + 100 000(1005)4 + 100 000(1005)3 + 100 000 (1005)2 + 100 000(1005) + 100 000
100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000
04 DIAZ MATA 04indd 15804 DIAZ MATA 04indd 158 112808 25854 AM112808 25854 AM
159
o invirtiendo el orden
M = 100 000 + 100 000(1005) + 100 000(1005)2 + 100 000(1005)3 + 100 000(1005)4 + 100 000(1005)5
M = 100 000 + 100 000 (1005) + 100 000(1010025) + 100 000(1015075125) + 100 000(1020150501) + 100 000(1025251253)
M = 100 000 + 100 500 + 10100250 + 10150751 + 102 01505 + 102 52513M = $607 55019
En este planteamiento con el orden invertido se puede ver que el monto es una pro-gresioacuten geomeacutetrica Y de lo que se vio en el capiacutetulo 1 tenemos que
t1 = 100 000 el primer teacutermino r = 1005 la razoacuten n = 6 el nuacutemero de teacuterminos
De la foacutermula (115) que se vio en el capiacutetulo 1 sobre la suma de los teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica
S trr
t t rr
n n
= minusminus
=minusminus1
1 111 1
( )
Sustituimos los teacuterminos de anualidades
MR R i
iR i
iR
n
n
= minus +minus +
= minus +minus minus
= minus +
( )( )
[ ( ) ] [ (
11 11 11 1
1 1 iii
Ri
i
n n) ] ( )minus
= minus +minus
1 1
Multiplicando tanto el numerador como el denominador de la fraccioacuten por minus1 se obtiene
M Rii
n= + minus( )1 1
(41)
que es la versioacuten de esta foacutermula que comuacutenmente se utilizaAl aplicarla para resolver el ejemplo anterior
M = minus =1000001 005 1
0 005100000 6 075501879
6( )
( ) == 607550 19
resultado que es igual al que se obtuvo antes
Ejemplo 432
iquestCuaacutel es el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 antildeos y medio en una cuenta bancaria que rinde 12 capitalizable semestralmente
43 Monto
04 DIAZ MATA 04indd 15904 DIAZ MATA 04indd 159 112808 25854 AM112808 25854 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS160
Solucioacuten R = 20 000 i = 0122 = 006 n = 45(2) = 9
M = minus = =20 0001 06 1
0 0620 000
0 689478960 06
209( )
0000 11 49131598( )
M = 229 82632
Ejemplo 433
El doctor Gonzaacutelez deposita $100 al mes de haber nacido su hijo Continuacutea haciendo de-poacutesitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 antildeos para en ese diacutea en-tregarle lo acumulado como herencia Si durante los primeros 6 antildeos de vida del hijo la cuenta pagoacute 9 anual convertible mensualmente y durante los 12 antildeos restantes pagoacute 1 mensual iquestcuaacutento recibioacute el hijo a los 18 antildeos
Solucioacuten R = 100 n = 18(12) = 216 i = 00912 = 00075 en los primeros 6 antildeos i = 001 en los uacuteltimos 12
Primero se calcula lo que se acumuloacute durante los primeros 6 antildeos con un intereacutes men-sual de 075
M = minus = =1001 0075 1
0 0075100 95 0070 9500 7
72( )
( ) 00
Esta suma es la que se acumuloacute hasta el fi nal del sexto antildeo Para determinar el resto es necesario construir un diagrama de tiempo
GRAacuteFICA 42
El total acumulado al fi nal seriacutea igual al valor de $9 50070 en el mes 216 maacutes el monto de las anualidades 72 a 216
9500 70 1 01 1001 01 1
0 01144
144 ( )
( )
+ minus
9 50070(4190616) + 100(319061559) = 39 81379 + 3190616 = 7171995
9 50070 100
100 100
100 100
100
72 73 74 75
214 215 216
04 DIAZ MATA 04indd 16004 DIAZ MATA 04indd 160 112808 25856 AM112808 25856 AM
161
44 Valor actual
Ejemplo 441
iquestCuaacutel es el valor actual de una renta trimestral de $4 500 depositada al fi nal de cada uno de siete trimestres si la tasa de intereacutes es de 9 trimestral
Solucioacuten C = R = 4 500 i = 009 n = 7
GRAacuteFICA 43
Eacuteste es el caso inverso del monto El valor actual de la anualidad seriacutea la suma de los valores actuales de las siete rentas o
C = 4 500(109)minus1 + 4 500(109)minus2 + 4 500(109)minus3 + 4 500(109)minus4 + 4 500(109)minus5
+ 4 500(109)minus6 + 4 500(109)minus7
C = 4 500(091743119) + 4 500(084167999) + 4 500(077218348) + 4 500(070842521) + 4 500(064993139) + 4 500(059626733) + 4 500(054703424)
C = 412844 + 3 78756 + 3 47483 + 318791 + 2 92469 + 2 68320 + 2 46165 C = 22 64828
Y al igual que antes puede verse que esa suma de teacuterminos es una progresioacuten geomeacute-trica con
t1 = 4 500(109)minus1 = R(1 + i)minus1
n = 7 r = (109)minus1 = (1 + i)minus1
St t r
r
n
=minusminus
= minusminus minus1 1
1 1
14 500 1 09 4 500 1 09 1 09( ) ( ) ( ))
( )
minus
minusminus
7
11 1 09 S = 22 64828
Y la correspondiente foacutermula
CR i R i i
i
n= + minus + +
minus +=
minus minus minus
minus( ) ( ) [( ) ]
( )1 1 1
1 1
1 1 1
1
44 Valor actual
0 1 2 3 4 5 6 7
C 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500
04 DIAZ MATA 04indd 16104 DIAZ MATA 04indd 161 112808 25857 AM112808 25857 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS162
C
R i R i i
i
n= + minus + +
minus+
minus minus minus( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1 11
1 1
C
R i i
i
n= + minus +
+
minus minus( ) [ ( ) ]1 1 11
1
1
Ci R i i
i
n= + + minus +minus minus( ) ( ) [ ( ) ]1 1 1 11
C Ri
iA
n= minus + =
minus1 1( ) (42)
que es la foacutermula maacutes comuacuten del valor actual de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas
Utilizando esta foacutermula para resolver el mismo ejemplo 441
C
C
= minus =
=
minus4 500
1 1 090 09
4 500 5 03295284
22 64
7( )
( )
88 28
Ejemplo 442
iquestCuaacutel es el valor en efectivo de una anualidad de $1000 que se pagan al fi nal de cada 3 meses durante 5 antildeos suponiendo un intereacutes anual de 16 convertible trimestralmente
Solucioacuten R = 1000 n = 5(4) = 20(5 por 4 trimestres cada antildeo) i = 0164 = 004
C = minus minus1000
1 1 040 04
20( )
C = 1000(13590326) C = $13 59033
Ejemplo 443
iquestQueacute es maacutes conveniente para comprar un automoacutevil
a) pagar $260 000 al contado o b) $130 000 de enganche y $12 000 al fi nal de cada uno de los 12 meses siguientes si el
intereacutes se calcula a razoacuten de 18 convertible mensualmente
SolucioacutenPara resolver este problema debe compararse el precio al contado con la suma del enganche y el valor actual de los abonos mensuales en el plan de creacutedito
04 DIAZ MATA 04indd 16204 DIAZ MATA 04indd 162 112808 25858 AM112808 25858 AM
163
Cb = + minus minus130 000 12 000
1 0 18 120 18 12
12( )
Cb = + minus minus130 000 12 0001 1 015
0 015
12( )
Cb = 130 000 + 12 000(10907505) Cb = 130 000 + 130 89006 Cb = 260 89006
que es el valor actual total de la operacioacuten a creacutedito Como el valor a creacutedito es mayor conviene maacutes comprar al contado
Ejemplo 444
Encuentre el importe pagado en valor actual por un aparato electroacutenico por el cual se entregoacute un enganche de $1400 se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $160 y un uacuteltimo pago al fi nal del octavo mes por $230 si se considera un intereacutes de 27 anual con capitalizacioacuten mensual
SolucioacutenEl importe es igual a
a) enganche + b) el valor actual de la anualidad con renta de 160 + c) el valor actual del pago fi nal
Si i = 02712 = 00225 entonces
C = + minus⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
+minus
1400 1601 1 0225
0 0225230 1
7( )
( 00225 8)minus
C = 1400 + 160(6410246) + 230(0836938) C = 1400 + 102564 + 19250 C = $2 61814
Ejemplo 445
iquestCuaacutel es el valor actual de un refrigerador adquirido mediante 52 abonos semanales ldquochiqui-titosrdquo vencidos de $240 Considere un intereacutes anual de 15 convertible semanalmente
SolucioacutenIntereacutes semanal
i = 01552 = 0002885 n = 52
44 Valor actual
04 DIAZ MATA 04indd 16304 DIAZ MATA 04indd 163 112808 25901 AM112808 25901 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS164
C
C
= minus +
=
minus240
1 1 0 0028850 002885
2400 139123
52( )
00 002885
C = 240(48222987) C = 1157352
Ejemplo 446
iquestCuaacutel es el valor actual del refrigerador del ejemplo anterior si se realiza un pago inme-diato y 51 abonos semanales El pago semanal y la tasa de intereacutes son los mismos que se enuncian en ese problema
SolucioacutenEl importe es igual a
a) El pago inmediato (enganche) + b) El valor actual de una anualidad de 51 pagos semanales
Si i = 01552 = 0002885 n = 51y R = $240entonces
C = + minus + minus240 240
1 1 0 0028850 002885
51( )
C = + minus240 240
1 0 8633600 002885
C = +240 2400 1366400 002885
C = 240 + 240(47362111) C = 240 + 1136691 C = 1160691
Este valor es ligeramente superior al del ejemplo anterior en razoacuten del primer pago que se realiza en forma inmediata
Ejercicios de las secciones 41 a 44
De los planteamientos 1 a 5 diga a queacute tipo de anualidad pertenecen y por queacute 1 Una mina en explotacioacuten tiene una produccioacuten anual de 600 000 doacutelares y se calcula
que se agotaraacute en 5 antildeos iquestCuaacutel es el valor actual de la produccioacuten si el rendimiento del dinero es de 11 anual
2 El pago de la renta de una casa habitacioacuten
04 DIAZ MATA 04indd 16404 DIAZ MATA 04indd 164 112808 25902 AM112808 25902 AM
165
3 Una persona adquiere en septiembre un televisor a creacutedito y acepta liquidar su pre-cio mediante pagos entregados al principio de cada uno de 12 bimestres comenzan-do en enero del antildeo siguiente y con intereses de 20 anual efectivo
4 Una pensioacuten por jubilacioacuten que asigna cierta cantidad trimestral 5 Se vende un camioacuten en mensualidades que deben liquidarse cada primer diacutea de mes
a partir del proacuteximo mes con intereses de 12 anual con capitalizacioacuten quincenal 6 Calcule el monto y el valor actual de las siguientes anualidades simples ciertas ven-
cidas e inmediatasa) $20 000 semestrales durante 4 antildeos y medio a 10 capitalizable semestralmenteb) $40 000 anuales durante 6 antildeos a una tasa anual de 14c) $500 mensuales durante 7 antildeos y 5 meses a una tasa anual de 8 capitalizable
mensualmente 7 El sentildeor Loacutepez deposita $150 000 cada fin de antildeo en una cuenta de ahorros que abona
4 de intereacutes iquestCuaacutento habraacute ahorrado al hacer el cuarto depoacutesito 8 Calcule el valor actual de un terreno con un intereacutes de 15 con capitalizacioacuten men-
sual si se vendioacute con las siguientes condicionesbull $40 000 de enganchebull mensualidades vencidas por $ 2 250 durante 425 antildeosbull un pago final de $25 000 un mes despueacutes de la uacuteltima mensualidad
9 Si se calculan los intereses a una tasa de 22 convertible trimestralmente iquestqueacute pago uacutenico de inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $800 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses
10 En la compra de un automoacutevil nuevo que cuesta $145 000 al licenciado Ugalde le re-ciben su automoacutevil usado en $55 000 iquestLe convendriacutea pagar el resto en 36 mensuali-dades vencidas de $3 500 si lo maacutes que se desea pagar de intereacutes es 2 mensual
11 iquestQueacute cantidad se deberiacutea depositar el 31 de enero del antildeo 1 para poder hacer 15 reti-ros mensuales de $5 000 a partir del uacuteltimo diacutea de febrero de ese antildeo si la cuenta en que se deposita paga 9 de intereacutes convertible cada mes
12 Si un taxi rinde $3 850 mensuales vencidos y se considera que esa cantidad es cons-tante por tiempo indefinido pues incluye gastos depreciacioacuten mantenimiento etc iquestQueacute cantidad maacutexima deberaacute invertirse en el vehiacuteculo si se desea obtener un rendi-miento de 30 anual efectivo sobre la inversioacuten por un periodo de 3 antildeos
45 RentaSe conoce como renta al pago perioacutedico que se realiza a intervalos iguales
Ejemplo 451
Una persona adquiere hoy a creacutedito una computadora cuyo precio es de $19 750 y con-viene en pagarla con 4 mensualidades vencidas iquestCuaacutento tendraacute que pagar cada mes si se le cobran 18 mensual de intereacutes
45 Renta
04 DIAZ MATA 04indd 16504 DIAZ MATA 04indd 165 112808 25904 AM112808 25904 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS166
SolucioacutenSe puede ver que los datos con que se cuenta son
C = 19 750 R = i = 18 n = 4
y despejando en la foacutermula (42) que se vio en la seccioacuten anterior
A Ri
i
n= minus + minus1 1( )
RAi
i n=
minus +=
minus=
minus minus1 119 750 0 0181 1 018
355 54( )
( )( )
000 068873
R = $516167
Ejemplo 452
iquestCuaacutento debe invertir el sentildeor Juaacuterez al fi nal de cada mes durante los proacuteximos 7 antildeos en un fondo que paga 135 convertible mensualmente con el objeto de acumular $100 000 al realizar el uacuteltimo depoacutesito
Solucioacuten R = M = 100 000 i = 013512 = 001125 n = 12(7) = 84
100 0001 01125 1
0 01125138 602198
84= minus =R R
( )
( )
R = =100 000138 602198
721 49
$
Ejemplo 453
Una persona debe pagar $3 000 al fi nal de cada antildeo durante varios antildeos iquestCuaacutento tendriacutea que pagar a fi nes de cada mes para sustituir el pago anual si se considera un intereacutes de 25 anual convertible mensualmente
SolucioacutenSe puede considerar que la renta de cada antildeo es un monto y que el pago mensual es la renta de cada anualidad
R = i = 02512 = 0020833 M = 3 000 n = 12
04 DIAZ MATA 04indd 16604 DIAZ MATA 04indd 166 112808 25904 AM112808 25904 AM
167
3000
1 020833 10 020833
13 47511412
= minus =
=
R R
R
( )
( )
3300013 475137
222 63
$ =
46 PlazoEl plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del nuacutemero de periodos de pago n
Ejemplo 461
iquestCuaacutentos pagos de $60796 al fi nal de mes tendriacutea que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $8 500 si da $2 550 de enganche y acuerda pagar 24 de intereacutes capitalizable men-sualmente sobre el saldo
Solucioacuten
nRCi
C
=== minus == =
=
607 968500 2550 5 9500 24 12 0 02
RRi
i
n
n
1 1
5 950 607 961 1 02
0 025 950 0
minus +
= minus
minus
minus
( )
( )
( )
( )
( )
(
02607 96
1 1 02
0 195736 1 1 02
= minus
minus = minus
minus
minus
n
n
11 02 0 804263431
1 020 80426343
1 02
)
( )
(
minus =
=
n
n
))
log log
n
n
= =
=
10 80426343
1 24337370
1 02 1 2433373691 24337369
1 020 094601670 00
n = =log
log 8860017
11n =
Muchas veces a diferencia del ejemplo anterior el nuacutemero de periodos no es entero
46 Plazo
04 DIAZ MATA 04indd 16704 DIAZ MATA 04indd 167 112808 25906 AM112808 25906 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS168
Ejemplo 462
iquestCuaacutentos pagos bimestrales vencidos de $1550 se tendriacutean que hacer para saldar una deuda pagadera hoy de $8 000 cuyo intereacutes es de 275 bimestral
Solucioacuten R = 1550 C = 8 000 i = 275 n =
8 000 1550
1 1 02750 0275
8 000 0 02751550
= minus minus( )
( )
n
== minus =minus1 1 0275 0 14193548( ) n
minus(10275)minusn = 014193548 minus1 = minus085806451 (10275)minusn = 085806451 minusn log 10275 = log 085806451
minus =
= minus
n
n
log log
log lo
0 858064511 0275
0 85806451gg
1 02750 06648006
0 01178183= minus minus
n = minus(minus5642592) n = 5642592
Antes de continuar con la solucioacuten conviene observar las distintas formas en que se re-solvieron este ejemplo y el anterior para evitar confusiones En el ejemplo 461 se convir-
tioacute la expresioacuten (102)minusn en nn
= 11 02
que es equivalente
En este ejemplo 462 se despeja la n directamente de (10275)minusn para obtener minusn log (10275)
Estos dos procedimientos son vaacutelidos y arrojan los mismos resultados Se invita al lector a resolver estos dos ejemplos con el otro meacutetodo para verifi car esta afi rmacioacuten
Volviendo al resultado que se obtuvo aquiacute
n = 5642592
al igual que en casos anteriores en los que se ha encontrado que el nuacutemero de pagos o pe-riodos es fraccionario se pueden hacer dos cosas
a) hacer cinco pagos de $1550 y un sexto pago menor b) realizar cuatro pagos de $1550 y un pago fi nal mayor
A saber
a) Al cabo del quinto pago el valor de todos los abonos (a su valor futuro) seriacutea
15501 0275 1
0 02758188 13
5( )
minus =
04 DIAZ MATA 04indd 16804 DIAZ MATA 04indd 168 112808 25907 AM112808 25907 AM
169
mientras que el valor del adeudo despueacutes de 5 bimestres seriacutea
8 000(10275)5 = 916219
Por lo tanto el valor del adeudo fi nal del quinto bimestre inmediatamente despueacutes de efectuar el pago correspondiente seriacutea
916219 minus 818813 = 97406
El valor de esta cantidad un mes despueacutes seriacutea
97406(10275) = 100084
cantidad que deberiacutea pagarse al cabo del sexto bimestre b) Si se hicieran cuatro pagos de $1550 su monto en el momento de hacer el cuarto pago
seriacutea
15501 0275 1
0 02756 460 47
4( )
minus =
y el valor del adeudo
8 000(10275)4 = 8 91697
El saldo al cuarto bimestre seriacutea
8 91697 minus 6 46047 = $2 45650
Y al teacutermino del quinto bimestre seriacutea necesario pagar
2 45650(10275) = 2 52405
para saldar completamente la deuda
Ejemplo 463
Con referencia al ejemplo anterior observe que en a) y b) se encontroacute el pago fi nal que es necesario hacer mediante la determinacioacuten del valor futuro (monto) tanto de los pa-gos como del adeudo
En este ejemplo se mostraraacute que se obtienen los mismos resultados si se calculan sus correspondientes valores actuales Para ilustrar esto se utilizaraacute el caso a) en el que se de-cide hacer 5 pagos completos y un pago fi nal menor
El valor actual de los 5 pagos completos es
15501 1 0 0275
0 02751550 4 612582 714
5minus + = =minus( )
( ) 99 50
Y dado que el valor actual de la deuda es de $8 000 el saldo de la operacioacuten a su valor actual es
8 000 minus 714950 = 85050
46 Plazo
04 DIAZ MATA 04indd 16904 DIAZ MATA 04indd 169 112808 25909 AM112808 25909 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS170
Saldo que llevado a su valor despueacutes de 6 bimestres (que es cuando hay que hacer el uacutel-timo pago) es
85050(10275)6 = 85050(1176768) = 100084
que es la misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo anterior
Ejemplo 464
iquestCuaacutentos pagos mensuales de $45 000 seriacutean necesarios para liquidar una deuda de $2 000 000 contraiacuteda hoy con intereses de 30 anual convertible mensualmente
Solucioacuten C = 2 000 000 R = 45 000 i = 03012 = 00250 n =
Los intereses que genera la deuda cada mes son
I = Ci I = 2 000 000(00250) = 50 000
La deuda no puede pagarse con mensualidades de $45 000 porque lo que genera por concepto de intereses es superior Por esto para reducir el adeudo seriacutea necesario pagar mensualidades por cantidades superiores a $50 000
Ejemplo 465
Una persona desea acumular $300 000 Para reunir esa cantidad decide hacer depoacutesitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde 12 anual convertible tri-mestralmente Si deposita $5 000 cada fi n de trimestre iquestdentro de cuaacutento tiempo habraacute acumulado la cantidad que desea
SolucioacutenObserve que como se trata de una cantidad ($300 000) realizable a futuro se estaacute hablando de monto
M = 300 000 R = 5 000 i = 0124 = 003 n =
300 000 5 0001 03 1
0 03300 000 0 03
5 0001
= minus
+ =
( )
( )
n
(( )1 03 n
04 DIAZ MATA 04indd 17004 DIAZ MATA 04indd 170 112808 25909 AM112808 25909 AM
171
28 = (103)n
n log 103 = log 28
n = =log log
2 8
1 030 4471580 012837
n = 3483 trimestres o sea 3483(3) = 1045 asymp 105 meses
Esa persona podriacutea contar con los $300 000 aproximadamente dentro de ocho antildeos y nueve meses
47 Tasa de intereacutesPara terminar este tema se veraacuten algunos ejemplos en los cuales lo que se busca es determi-nar la tasa de intereacutes que se paga
Ejemplo 471
Lucero de la Mantildeana debe pagar hoy $350 000 Como no tiene esa cantidad disponible platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62 000 el primero de ellos dentro de un mes iquestQueacute tasa de intereacutes va a pagar
Solucioacuten R = $62 000 C = $350 000 n = 6 i =
350 000 62 0001 1
1 1 350 00062 00
6
6
= minus +
minus + =
minus
minus
( )
( )
ii
ii 00
5 645161=
Como no es posible despejar i se tiene que seguir un procedimiento de aproxima-cioacuten de dos pasos para encontrar su valor
1 Ensayar valores en la expresioacuten donde se encuentra
ii
i= minus +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
minus1 1 6( )
para encontrar dos valores de ella que esteacuten cercanos a 5645161 uno mayor y otro menor
2 Interpolar entre los dos valores encontrados en el paso anterior para determinar el valor
de i Entonces en primer lugar se ensayan los valores para 1 1 6minus + minus( )i
i
47 Tasa de intereacutes
04 DIAZ MATA 04indd 17104 DIAZ MATA 04indd 171 112808 25910 AM112808 25910 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS172
Si i = 002 entonces 1 1 1 1 02
0 025 601431
6 6minus + = minus =minus minus( ) ( )
ii
que es bastante cercano al valor de 5645161 que se busca Se continuacutea ensayando va-lores para aproximar maacutes Cabe destacar que como se expuso en el capiacutetulo anterior al disminuir la tasa de intereacutes se incrementa el valor presente y viceversa al incre-mentarse la tasa de intereacutes disminuye el valor presente
Si i = 0017 entonces 1 1 017
0 0175 658585
6minus =minus( )
Este valor es mayor que el que se busca ahora uno un poco menor para lo cual se in-crementa la tasa de intereacutes
Si i = 0018 entonces 1 1 018
0 0185 639435
6minus + =minus( )
Si i = 00175 entonces 1 1 0 0175
0 01755 648998
6minus + =minus( )
Ahora ya se tienen dos valores muy cercanos al valor deseado uno mayor y otro me-nor El segundo paso es interpolar entre estos dos valores para determinar en forma maacutes exacta la tasa de intereacutes que se necesita
El razonamiento es el siguiente
bull Se necesita encontrar el valor de i que haga que 1 1 6minus + minus( )i
i sea igual a 5645161
porque esta i es la que hace que se cumplan las condiciones planteadas en el ejem-plo y es por lo tanto la i que se busca
bull Ya se determinoacute en el paso anterior que
si i = 00175 entonces 1 1 0175
0 01755 648998
6minus =minus( )
y que
si i = 0018 entonces 1 1 018
0 0185 639435
6minus =minus( )
De donde se concluye que la tasa i que se busca estaacute entre 0018 y 00175
Para ilustrar el procedimiento se muestran las condiciones descritas en los paacuterrafos anteriores mediante un diagrama
GRAacuteFICA 44
5639435 5645161 5648998
0018 i 00175
04 DIAZ MATA 04indd 17204 DIAZ MATA 04indd 172 112808 25912 AM112808 25912 AM
173
Lo que se haraacute a partir de este diagrama para encontrar un valor maacutes preciso de i es plantear una proporcioacuten y para comprender mejor este procedimiento se repasaraacuten las relaciones existentes entre las cantidades que aparecen en el esquema anterior
Puede calcularse
5648998 minus 5639435 = 0009563 es la ldquodistancia totalrdquo entre estas dos cantida-des 5645161 minus 5639435 = 0005726 es tambieacuten la ldquodistanciardquo que hay entre estas dos cantidades
Y
5 645161 5 6394355 648998 5 639435
0 005726
minusminus
=00 009563
0 59876608
=
lo que signifi ca que 0005726 (el numerador) representa aproximadamente 599 de la distancia total y como esta proporcioacuten debe ser cierta tambieacuten para la ldquodistancia totalrdquo entre las tasas entonces la tasa que se busca (vea la graacutefi ca 44) debe ser igual a 0018 menos 597 de la ldquodistancia totalrdquo entre las tasas
0018 minus 0598766(0018 minus 00175) = 0017700
Se puede verifi car que esta tasa da una mejor aproximacioacuten del factor
1 1 01770 0177
5 6451696minus =
minus( )
que es praacutecticamente igual al valor que se buscaPor ello entonces la respuesta del ejemplo es que la persona pagaraacute 177 mensualEl procedimiento de interpolacioacuten se puede resumir de la siguiente manera
5 645161 5 6394355 648998 5 639435
0 0180
minus
minus= minusi
0175 0 0180 0057260 009563
0 0180 0005
minus
= minusminusi
Este proceso de interpolacioacuten se puede visualizar graacutefi camente de la siguiente manera
47 Tasa de intereacutes
5648998 i1 = 00175
0005726 00002
5645161 i 00005
0009563
5639435 i2 = 00180
G Aacute C 4 504 DIAZ MATA 04indd 17304 DIAZ MATA 04indd 173 112808 25914 AM112808 25914 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS174
En esta expresioacuten 00005 es la ldquodistancia totalrdquo entre las tasas y lo que se hizo entonces fue igualar la proporcioacuten de distancias
0 598766080 018
0 0005
= minusminusi
i minus 0018 = minus00005(059876608) i = 0018 minus (0000299) i = 0017701
Ejemplo 472
Dos almacenes A y B venden el mismo modelo de lavadora al mismo precio de $6 000A la vende a $600 mensuales durante 12 meses y B mediante un pago de $8 640 den-
tro de un antildeo Determine cuaacutel es el plan maacutes conveniente comparando las tasas anuales efectivas de las dos alternativas
Solucioacutena) Almaceacuten A
C = 6 000 n = 12 i = R = 600
6 000 6001 1
1 1 6 000600
10
12
12
= minus +
minus + = =
minus
minus
( )
( )
ii
ii
Ensayando valores
Si i = minus =minus
0 051 1 05
0 058 863251
12
( )
i
i
= minus =
= minus
minus0 06
1 1 060 06
8 383844
0 041 1
12
( )
( 0040 04
9 385074
0 031 1 03
0 03
12
12
)
( )
minus
minus
=
= minus =i 99 954004
0 0251 1 025
0 02510 25776
12
( )
i = minus =
minus55
0 0291 1 029
0 02910 013686
12i = minus =
minus
( )
04 DIAZ MATA 04indd 17404 DIAZ MATA 04indd 174 112808 25915 AM112808 25915 AM
175
y
GRAacuteFICA 45
10 013686 1010 013686 9 954004
0 0290 029
minusminus
= minus iminusminus
= minusminus
0 030
0 2293150 029
0 001
i
minus0000229 = 0029 minus i i = 0029 + 0000229 i = 0029229
Eacutesta es la tasa efectiva mensual La tasa efectiva anual es
(1029229)12 minus 1 = 0413006 = 4130
b) Almaceacuten B
M = 8 640 C = 6 000 n = 1 antildeo M = C(1 + i) 8 640 = 6 000(1 + i)
18 6406 000
1 44+ = =i
i = 144 minus 1 = 044 = 44
Por ello es maacutes conveniente el plan del almaceacuten A
Ejemplo 473
iquestA queacute tasa nominal convertible semestralmente se acumulan $500 000 en el momento de realizar el uacuteltimo de 15 depoacutesitos semestrales de $10 000
Solucioacuten M = 500 000 R = 10 000 n = 15 i =
500 000 10 0001 115
= + minus( )ii
47 Tasa de intereacutes
10013686 10 9954004
0029 i 003
04 DIAZ MATA 04indd 17504 DIAZ MATA 04indd 175 112808 25917 AM112808 25917 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS176
( )1 1 500 000
10 00050
15+ minus = =ii
Al ensayar valores de i (altos ya que es semestral)
i = 015 ( )
1 15 1
0 1547 580411
15 minus =
i = 016 ( )
1 16 1
0 1651 659505
15 minus =
Afi nando la aproximacioacuten
i = 0157 ( )
1 157 1
0 15750 398200
15 minus =
i = 01560 ( )
1 156 1
0 15649 985044
15 minus =
i = 01561 ( )
1 1561 1
0 156150 026197
15 minus =
Para interpolar
GRAacuteFICA 46
50 49 98504450 026197 49 985044
0 15600 1
minusminus
= minus
i5561 0 1560
0 0149560 041153
0 15600 0001
minus
= minus
i
0363424(00001) = i minus 01560 i = 01560 + 0000036 i = 0156036
Comprobando el resultado anterior
( )
1 156036 1
0 15603649 99985
15 minus = o aproximando 50
Por lo tanto se requiere una tasa de 0156036(2) = 0312072 3121 aproximada-mente (nominal anual) para hacer que el monto de 15 pagos semestrales de $10 000 sea $500 000
49985044 50 50026197
01560 i 01561
04 DIAZ MATA 04indd 17604 DIAZ MATA 04indd 176 112808 25918 AM112808 25918 AM
177
Ejercicios de las secciones 45 a 4713 Una empresa contrata una deuda de $100 000 con un banco Si eacuteste carga a este tipo
de preacutestamos 22 anual convertible mensualmente iquestcuaacutento tendriacutea que pagar men-sualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses
14 El sentildeor Luna adquirioacute una casa en condominio y acordoacute pagar aparte de cierta can-tidad mensual anualidades de $95 000 Si acaba de realizar el trato hoy mismo de manera que debe liquidar la primera anualidad exactamente dentro de un antildeo y de-cide hacer depoacutesitos trimestrales en un fondo de inversioacuten que paga 1 trimestral iquestde cuaacutento tendriacutean que ser sus depoacutesitos para poder acumular a fin de antildeo la cantidad que necesita
15 Una persona contratoacute una deuda que le obliga a pagar $150 000 el 1o de enero de cada uno de varios antildeos Como ahora se da cuenta de que le seriacutea maacutes faacutecil pagar mediante abonos trimestrales vencidos iquestde cuaacutento tendriacutean que ser los pagos en el nuevo plan si se considera un intereacutes de 8 convertible trimestralmente
16 Hoy es 15 de marzo Dentro de 3 antildeos el 15 de noviembre el primogeacutenito del sentildeor Mendoza cumpliraacute la mayoriacutea de edad y desea regalarle una motocicleta que calcula costaraacute en ese tiempo (dentro de 3 antildeos) unos $80 000 Para adquirirla decide aho-rrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde 035 mensual Si la tasa de rendimiento no cambiara en ese tiempo iquestcuaacutento tendriacutea que ahorrar el padre cada mes para poder adquirir la motocicleta
17 Para saldar un preacutestamo de $785 000 contratado hoy el deudor acuerda hacer 5 pa-gos semestrales iguales y vencidos y finalmente un pago uacutenico de $300 000 2 antildeos despueacutes de realizado el uacuteltimo pago semestral iquestDe cuaacutento deberaacute ser cada uno de los pagos iguales si el intereacutes es de 25 capitalizable semestralmente
18 El 12 de abril de este antildeo la sentildeorita Soto deposita $20 000 en una cuenta bancaria que paga 05 bimestral de intereacutes Si comienza a hacer depoacutesitos bimestrales igua-les a partir del 12 de junio y acumula $130 238 inmediatamente despueacutes de realizar el depoacutesito del 12 de diciembre del antildeo siguiente iquestde cuaacutento fueron sus depoacutesitos
19 La sentildeora Jimeacutenez desea vender un comedor que posee y que considera vale $35 000 Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestasa) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $3100b) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $2 250
con intereses a razoacuten de 144 anuales convertibles mensualmente iquestCuaacutel oferta le con-viene maacutes
20 iquestEn cuaacutento tiempo se acumularaacuten $200 000 mediante depoacutesitos bimestrales venci-dos de $5 000 si se invierten a una tasa de 7 anual convertible bimestralmente
21 Una deuda de $850 contraiacuteda hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales igua-les y vencidos de $185 Si el intereacutes es de 39 trimestral calcule el nuacutemero de pa-gos completos y el valor del pago final menor que se deben efectuar para saldar el compromiso
Ejercicios de las secciones 45 a 47
04 DIAZ MATA 04indd 17704 DIAZ MATA 04indd 177 112808 25920 AM112808 25920 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS178
22 Para pagar una deuda de $525 000 contraiacuteda hoy se deben abonar mensualidades de $15 000 comenzando dentro de un mes Si el intereacutes que se cobra es de 27 capitali-zable cada mes determine el nuacutemero de pagos iguales y el valor del pago final mayor que saldan la deuda
23 El 12 de septiembre la doctora Gudintildeo adquiere un automoacutevil usado en $118 000 Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de $414853 Si se considera un intereacutes de 16 anual convertible con la misma periodicidad que los pagos iquestcuaacuten-do terminaraacute de pagar
24 Como beneficiario de un plan de jubilacioacuten el sentildeor Domiacutenguez puede recibir $160 000 de inmediato o $40 000 ahora y el resto en pagos de $6 000 cada 3 meses Si la compantildeiacutea paga un intereacutes de 6 anual convertible cada 3 mesesa) iquestCuaacutentos pagos completos recibiraacute el sentildeor Domiacutenguezb) iquestCon queacute cantidad adicional al uacuteltimo pago completo le liquidaraacuten el total de su
jubilacioacutenc) iquestCon queacute pago final realizado 3 meses despueacutes del uacuteltimo pago de $6 000 le liqui-
daraacuten el total25 Si un trabajador ahorra $100 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8 anual
convertible mensualmentea) iquestEn queacute tiempo reuniraacute $1000b) Si desea reunir esa cantidad en un periodo exacto de meses iquestcuaacutentos depoacutesitos
completos de $100 debe hacer y de queacute cantidad (mayor de $100) debe ser el uacutel-timo depoacutesito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $1000
26 El 8 de enero se pagoacute el uacuteltimo abono mensual vencido de $82914 Con este abo-no se liquidoacute totalmente una deuda que ascendiacutea a $7 500 Si la operacioacuten se pactoacute a 224 anual de intereacutes convertible mensualmentea) iquestCuaacutendo se hizo el primer pago mensualb) iquestA queacute plazo se pactoacute la operacioacuten
27 iquestA queacute intereacutes se deben hacer depoacutesitos semestrales de $1000 para acumular $8 000 en 3 antildeos
28 Una deuda de $5 000 contraiacuteda hoy se pagaraacute mediante 5 abonos mensuales venci-dos de $107623 iquestA queacute tasa nominal anual se debe pactar la operacioacuten
29 Una persona adquirioacute mediante 24 abonos quincenales de $280 un televisor que al contado costaba $5 250a) iquestQueacute tasa nominal anual pagoacuteb) iquestQueacute tasa efectiva quincenal pagoacutec) iquestQueacute tasa efectiva anual pagoacute
30 Un automoacutevil cuesta $238150 Se vende con 50 de enganche y 6 mensualidades de $20 97190 iquestQueacute intereacutes efectivo mensual se cobra
31 En dos almacenes se vende el mismo modelo de cocina integral con igual precio al contado $ 9 995 Las condiciones del creacutedito son
04 DIAZ MATA 04indd 17804 DIAZ MATA 04indd 178 112808 25920 AM112808 25920 AM
179
bull El almaceacuten ldquoLa Gangardquo la vende mediante 8 mensualidades de $1395bull El almaceacuten ldquoLa Bagatelardquo la vende a 12 mensualidades de $995 a) iquestEn queacute almaceacuten es maacutes conveniente comprar la cocina b) iquestQueacute diferencia existe entre las tasas mensuales efectivas que se aplican en los
dos casos32 Ana Isabel desea adquirir una computadora y para tomar la mejor decisioacuten compara
las alternativas que existen en el mercadoa) La empresa ldquoRompepreciosrdquo ofrece la computadora ldquoCompactardquo a soacutelo $22 995 u
8 pagos de $3 245b) La casa ldquoClub de Preciosrdquo ofrece la misma computadora ldquoCompactardquo a $23 700 al
contado o mediante 6 pagos de $3 950 sin interesesSi la tasa de intereacutes del mercado es de 15 iquestcuaacutel alternativa es la mejor para Ana Isabel
33 Juan Carlos estaacute planeando sus proacuteximas vacaciones Encuentra la promocioacuten de un banco que ofrece viajes todo incluido a destinos de playa mediante un enganche de $99855 y 48 pagos semanales de $182a) iquestCuaacutel es el valor presente del viaje si el banco le carga un intereacutes de 12 semanalb) iquestCuaacutento deberiacutea ahorrar durante 48 semanas en una cuenta que paga 10 de in-
tereacutes anual convertible semanalmente si deseara pagar el viaje al contado y eacuteste le costara $5 900
c) iquestQueacute le sugeririacutea usted a Juan Carlos
48 AplicacionesSon muy abundantes las aplicaciones de las anualidades simples ciertas vencidas e inmedia-tas Tal como se vio en algunos de los ejemplos de este capiacutetulo una aplicacioacuten harto comuacuten son los planes de compra de toda clase de bienes a creacutedito (automoacuteviles bienes raiacuteces apara-tos electrodomeacutesticos etceacutetera)
Ademaacutes existen aplicaciones que son muy uacutetiles en el tema de fi nanzas corporativas en especial las que se utilizan en el tema de evaluacioacuten de proyectos de inversioacuten Cuando se ana-liza un proyecto de inversioacuten se realizan investigaciones de mercado estudios teacutecnicos y de riesgo ademaacutes de estudios econoacutemicos en los que se incluyen anaacutelisis fi nancieros que tienen relacioacuten con el rendimiento o utilidad que se espera obtener con el proyecto Los dos meacuteto-dos de evaluacioacuten fi nanciera de proyectos de inversioacuten que maacutes comuacutenmente aparecen en los textos que tratan este tema1 son el del valor actual neto (VAN) tambieacuten conocido como valor presente neto (VPN) la tasa interna de retorno o tasa interna de rendimiento (TIR) y el pe-riodo de recuperacioacuten
1 Vea por ejemplo Emery Douglas R Administracioacuten fi nanciera corporativa Prentice Hall Meacutexico 2000 Gallagher Timothy J Administracioacuten fi nanciera Colombia 2001 o Ross Stephen A Westerfi eld Randolph W y Jaffe Jeffrey F Finanzas corporativas Irwin Espantildea 1995 Brealey Scott y Brigham Eugene F Fundamentos de administracioacuten fi nanciera 12a ed McGraw-HillInteramericana de Meacutexico 2001
48 Aplicaciones
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS180
Por lo general esta evaluacioacuten fi nanciera de proyectos de inversioacuten se hace con base en los fl ujos de efectivo asociados al proyecto que se pueden agrupar en cuatro categoriacuteas baacutesicas
bull Inversioacuten inicial netabull Flujos de efectivo futuros producto de la operacioacuten del proyectobull Flujos de efectivo no operativos como por ejemplo los que se requieren para una repa-
racioacuten importantebull Valor neto de recuperacioacuten que es el valor al que se pueden vender al teacutermino del pro-
yecto los activos de valor considerable que pudiera haber sido necesario adquirir como parte del proyecto
A continuacioacuten se explican varios ejemplos de los tres meacutetodos de evaluacioacuten de proyec-tos de inversioacuten
481 Valor actual neto
El valor actual neto de un proyecto de inversioacuten es el valor actual de todos los fl ujos de efectivo relacionados con el proyecto En otras palabras es el valor presente de todos sus costos (egre-sos) y sus ingresos desde su principio y hasta su terminacioacuten Esta situacioacuten se ilustra en el ejemplo siguiente
Ejemplo 481
Suponga que se planea comprar un edifi cio para remodelarlo y venderlo para obtener una utilidad Su precio es de $4 200 000 y se requeririacutea invertir $3 000 000 maacutes para reno-varlo durante los seis meses siguientes a razoacuten de $500 000 cada mes Al cabo de los seis meses se calcula que se le podriacutea vender en $9100 000 iquestEs eacutesta una inversioacuten atractiva desde el punto de vista fi nanciero Se ilustra enseguida coacutemo se contesta esta pregunta utilizando el criterio del valor actual neto
Para calcular el VAN se utiliza una tasa que se conoce como el ldquocosto de capitalrdquo2 cuya determinacioacuten puede ser complicada pero si se utiliza como costo del capital simplemente la tasa de intereacutes que se tendriacutea que pagar si se obtiene dinero en preacutestamo de alguacuten banco se podriacutea fi jar ese costo de capital en por ejemplo 18 anual capitalizable mensualmen-te Con esos elementos el valor actual neto de este proyecto de inversioacuten se calcula como sigue
2 El costo del capital corresponde a la retribucioacuten que reciben los inversionistas por proveer recursos fi nancie-ros a la empresa es decir el pago que obtienen tanto acreedores (proveedores bancos acreedores bursaacutetiles acreedores diversos) como accionistas Los acreedores reciben intereses a cambio de proveer fondos a la em-presa en forma de deuda los accionistas reciben dividendos a cambio del capital que aportan en su empresaAhora bien para evaluar el costo del capital es necesario determinar el precio de los recursos financieros
aportados el cual se mide en trminos de tasa El costo del capital ser entonces la tasa que se paga por losrecursos financieros aportados a la empresa Sin embargo hay dos tipos de recursos (deuda y capital propio)cada uno con su tasa El costo del capital ser por lo tanto similar al promedio de los costos de la deuda (inte-reses) y del capital propio (dividendos) es decir similar al promedio de ambas tasas
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181
VAN = minus minus minus +minus
4 200 000 500 0001 1 015
0 0159100 000
6( )
(( )1 015 6minus
En la expresioacuten anterior el primer teacutermino del lado derecho es el costo de compra del edifi cio el segundo es el valor actual de los seis desembolsos mensuales para remode-larlo (bajo el supuesto de que se realizan al fi nal de cada mes) y fi nalmente el tercer teacuter-mino es el valor actual del efectivo que se obtiene con la venta del inmueble Observe los signos negativos de los desembolsos y el signo positivo de los ingresos y que todas las cantidades estaacuten dadas a valor presente
Este valor actual neto es
VAN = minus minus minus +4 200 000 500 0001 0 914542
0 0159100 000
(00 9145422
4 200 000 2 848593 5 8 322 333 95
)
=
= minus minus + = $$ 1273740 37
Por lo tanto como el valor presente neto es positivo el proyecto es atractivo en teacutermi-nos fi nancieros En otras palabras si en las condiciones de mercado prevalecientes se puede considerar razonable un costo de capital de 18 anual convertible mensualmente conviene realizar este proyecto de inversioacuten y si no hay alteraciones a lo estimado se podriacutea esperar obtener una utilidad neta de $1273 74037 a valor actual Esto es si el inversionista pidiera prestado todo el dinero que requiere para adquirir y remodelar el inmueble al venderlo po-driacutea liquidar el capital que obtuvo en preacutestamo y los intereses correspondientes pero ade-maacutes le quedariacutea dicha ganancia a valor actual
Es necesario resaltar que el criterio para decidir si se emprende o no el proyecto debe basarse en el caraacutecter del VAN es decir si es positivo o negativo
El criterio para decidir si se lleva a cabo o no un proyecto de acuerdo con el valor actual neto es el siguiente
Valor actual neto Decisioacuten
Positivo Llevar a cabo el proyecto
Negativo No llevar a cabo el proyecto
482 Tasa interna de rendimiento (TIR)
La TIR es la tasa a la cual el valor actual de los ingresos del proyecto es igual al valor actual de los egresos El criterio para tomar decisiones con base en este meacutetodo es emprender el pro-yecto cuando la TIR sea superior al costo de capital que es expresado en forma sencilla un promedio ponderado de los costos de todos los fondos con los que opera una organizacioacuten principalmente capital y deuda
48 Aplicaciones
Costo de
compra
Valor actual de desembolsos
mensuales
Valor actual de venta del
inmueble
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS182
Ejemplo 482
Con el mismo ejemplo anterior el planteamiento seriacutea como sigue
4 200 000 500 0001 1
9100 000 16
+ minus + = +minus( )
( )TIR
TIRTIR minusminus6
Del lado izquierdo se encuentran los egresos y del lado derecho los ingresos Por su parte la TIR se encuentra cuando se resuelve esta ecuacioacuten empezando por simplifi carla hasta donde sea posible
91 1 51 1
4266
( )( )+ minus minus + =minus
minusTIR
TIRTIR
Se puede resolver esta ecuacioacuten mediante ensayo y error con una calculadora para encontrar su valor de 005172837 que es la tasa interna de rendimiento mensual ya que los fl ujos de efectivo estaacuten planteados en meses La TIR anual seriacutea
TIR = 105172812 minus1 = 0831 u 8316
Como esta tasa es (considerablemente) superior al costo de capital entonces de acuerdo con el criterio de la TIR el proyecto se debe llevar a cabo
Sin embargo debido a que el meacutetodo manual de ensayo y error (con calculadora) es muy laborioso se reserva la resolucioacuten para la seccioacuten siguiente en donde se ilustra el procedimiento para resolverlo mediante la funcioacuten de Excel que se denomina precisa-mente TIR que lo simplifi ca de manera considerable
En este punto vale la pena hacer notar que estos dos primeros meacutetodos que se ejem-plifi caron pueden ser equivalentes en algunos casos como cuando se trata de proyec-tos independientes en los que la seleccioacuten de un proyecto no depende de la seleccioacuten de otros proyectos y son tambieacuten equivalentes en casos de proyectos convencionales en los que existen desembolsos iniciales en efectivo y una serie de fl ujos futuros (de ingresos y egresos) tambieacuten en efectivo como en el ejemplo que se presentoacute antes
Sin embargo cuando los proyectos que se evaluacutean no son independientes sino que uno depende del otro estos dos criterios de evaluacioacuten no son equivalentes Tampoco se los puede aplicar indistintamente a casos en los que se evaluacutean proyectos de distinto ta-mantildeo o proyectos cuyos fl ujos de efectivo son considerablemente diferentes por ejemplo cuando uno de ellos ofrece fl ujos de ingresos soacutelo hacia el fi nal del proyecto y el otro lospromete durante toda la vida del plan porque en estos casos intervienen tambieacuten cues-tiones relacionadas con las necesidades de fl ujo de caja de la empresa entre otras
Costo de
compra
Valor actual de desembolsos
mensuales
Valor actual de venta del
inmueble
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
+ =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Egresos Ingresos
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183
Los detalles de estas consideraciones escapan del alcance de este texto por lo que para ahondar en ellos se sugiere consultar algunas de las obras mencionadas en la nota de pie de paacutegina anterior o en alguacuten otro relacionado con el tema
483 Periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten
El periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten puede ser simple o ajustado El primero se calcula simplemente sumando todos los fl ujos de efectivo esperados (sin tomar en cuenta el tiempo en el que se realizan o en otras palabras sin considerar las diferencias de valor en diferentes tiempos) progresivamente hasta que la suma iguale al desembolso inicial La diferencia entre este momento y el momento en el que se inicia el proyecto es lo que se conoce como periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten
Este meacutetodo puede ser de utilidad como informacioacuten adicional para evaluar algunos pro-yectos especiacutefi cos pero como no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo carece de in-tereacutes en este texto de matemaacuteticas fi nancieras por lo que se deja su anaacutelisis hasta aquiacute
Por su parte el periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten ajustado siacute toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo Para determinarlo se calcula el valor actual de cada uno de los fl u-jos de ingresos esperados en el futuro y se suman progresivamente hasta que la suma iguale el desembolso inicial Dado que toma en cuenta la peacuterdida del valor que sufre el dinero por el transcurso del tiempo proporciona una medida maacutes acertada del riesgo involucrado en un pro-yecto de inversioacuten Se ilustra su aplicacioacuten en el siguiente ejemplo
Ejemplo 483
De regreso al proyecto de inversioacuten en un edifi cio por el cual se pagan $4 200 000 se invier-ten $500 000 al fi nal de cada uno de seis meses para fi nalmente venderlo en $9100 000 tambieacuten seis meses despueacutes el periodo de recuperacioacuten es claramente seis meses que es cuando se supone que se realiza la venta y con ella se recibe el pago
Por otro lado vale la pena hacer hincapieacute en que en ocasiones los fl ujos de efectivo pueden no estar conformados por cantidades que constituyan anualidades como en los $500 000 mensuales durante 6 meses que se manejaron en los dos ejemplos anteriores Por ello se ilustra otro caso comuacuten en el siguiente ejemplo
Ejemplo 484
Este ejemplo estaacute adaptado de un texto sobre proyectos de inversioacuten3 Se evaluacutea un pro-yecto que implica una inversioacuten inicial total de $360 millones de pesos suma que incluye entre otros conceptos terreno construccioacuten equipo maquinaria y mobiliario Se han estimado fl ujos anuales de ingresos de $160 $143 $170 $162 $154 y $147 millones de pesos los cuales se determinaron restaacutendole a los ingresos por ventas los costos de produccioacuten los gastos fi jos y los impuestos y a los que por otro lado se les sumaron
48 Aplicaciones
3 Baca Urbina Gabriel Evaluacioacuten de proyectos 3a ed McGraw-Hill Meacutexico 1995 p 198
04 DIAZ MATA 04indd 18304 DIAZ MATA 04indd 183 112808 25924 AM112808 25924 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS184
las depreciaciones Es necesario determinar la decisioacuten que se debe tomar mediante los tres meacutetodos de evaluacioacuten de proyectos de inversioacuten que se han expuesto y utilizando 20 anual de costo de capital
SolucioacutenI De acuerdo con el meacutetodo del periodo de recuperacioacutenComo se invirtieron inicialmente $360 millones en el proyecto es necesario determinar cuaacutendo se recupera esta cantidad a su valor actual es decir a la misma fecha (periodo) en la que se hizo el desembolso Para hacer esta operacioacuten paso por paso al fi nal del pri-mer antildeo se tendriacutea un ingreso de $160 (millones en lo sucesivo se ahorra la mencioacuten de los millones para abreviar la exposicioacuten) los cuales a valor actual seriacutean
VA1 = 160(12)minus1 = $13333
Con esa cantidad evidentemente no se cubre el desembolso inicial Ahora al fi nal del segundo antildeo se obtiene un ingreso de $143 que a valor actual son
VA2 = 143(12)minus2 = $9931
con lo que se tiene un acumulado de valor actual de ingresos de $13333 + 9931 = $23264 monto auacuten inferior a la cantidad que inicialmente se invirtioacute en el proyecto A continua-cioacuten con los ingresos del tercer antildeo se tiene un nuevo valor actual de
VA3 = 170(12)minus3 = $9838
Ahora se tiene un total de ingresos del proyecto a valor actual de 13333 + 9931 + 9838 = $33102 el cual tampoco es sufi ciente para recuperar la inversioacuten inicial Sin em-bargo se observa que ya es una cantidad cercana a la inversioacuten realizada para arrancar el proyecto (360) y se sabe que si se suma el valor actual de los ingresos del cuarto antildeo VA4 = 162(12)minus4 = $7813 se lograraacute un total de $33102 + $7813 = $40915 que ahora siacute superaraacute la inversioacuten inicial lo que indica que el periodo de recuperacioacuten estaacute entre 3 y 4 antildeos
Para aproximar en forma sencilla el periodo de recuperacioacuten de esta inversioacuten se puede hacer una interpolacioacuten simple de la siguiente manera
360 331 02409 15 331 02
34 3
3
328 98
minusminus
= minusminus
= minus
= +
xx
x778 13
3 0 37 3 37
= + =
Este resultado signifi ca que la inversioacuten inicial de $360 millones se recuperariacutea en aproximadamente 337 antildeos o sea tambieacuten aproximadamente en 3 antildeos 4 meses y 13 diacuteas informacioacuten que tambieacuten seriacutea uacutetil para evaluar la conveniencia o inconveniencia de emprender el proyecto Por otro lado tambieacuten es necesario mencionar que existen si-tuaciones reales maacutes complicadas que la planteada en este ejercicio y que requieren de aproximaciones maacutes detalladas del periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten pero el pro-cedimiento baacutesico se ilustra claramente en los caacutelculos anteriores
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185
II De acuerdo con el meacutetodo del valor actual netoEl valor actual neto se encuentra mediante la siguiente ecuacioacuten
VAN = minus360 + 160(12)minus1 + 143(12)minus2 + 170(12)minus3 + 162(12)minus4 + 154(12)minus5 + 147(12)minus6 VAN = minus360 + 133333 + 99305 + 9838 + 78125 + 61889 + 4923 = $160259
Por lo tanto como el valor actual neto es positivo este criterio de evaluacioacuten indica que se debe emprender el proyecto
III De acuerdo con el meacutetodo de la tasa interna de rendimientoAhora si se utiliza la TIR para encontrarla es necesario resolver la siguiente ecuacioacuten
360 = 160(1 + TIR)minus1 + 143(1 + TIR)minus2 + 170(1 + TIR)minus3 + 162(1 + TIR)minus4 + 154(1 + TIR)minus5 + 147(1 + TIR)minus6
Resolver esta ecuacioacuten manualmente implicariacutea hacer ensayos con distintas tasas hasta encontrar la que la resuelve y que es TIR = 3689 Sin embargo tal como se ilustra en la seccioacuten siguiente es mucho maacutes faacutecil hacerlo con la funcioacuten TIR de Excel
Ademaacutes como esta TIR de 3689 es superior al costo de capital que es de 20 se debe concluir que es conveniente emprender el proyecto
49 Uso de ExcelEn esta seccioacuten se resuelven algunos ejercicios utilizando funciones de Excel especialmente dise-ntildeadas para aplicarse a anualidades en combinacioacuten con las capacidades normales de caacutelculo de esta hoja de trabajo Las funciones que se aplican a las anualidades son
bull Monto o valor futuro (VF)bull Capital o valor actual (VA)bull Renta (PAGO)bull Plazo (NPER)bull Tasa de intereacutes (TASA)bull Valor actual neto (VNA)bull Tasa interna de rendimiento (TIR)
En las subsecciones siguientes se explican aplicaciones de cada una de ellas
491 Monto o valor futuro (VF) (seccioacuten 43)
La foacutermula de Excel para calcular el monto o valor futuro (VF) es
VF(tasanperpagovatipo)
en donde
Tasa es la tasa de intereacutes por periodoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodo Va es el capital o valor actual total de una serie de pagos futuros
49 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS186
Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el monto de la anua-lidad sin embargo Excel permite la posibilidad determinarla conociendo el valor actual (Va) por ello si se anota el valor del pago no se requiere Va y a la inversa si se incluye el valor ac-tual se debe omitir el pago Esta cuestioacuten se ilustra maacutes adelante
Tipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de una anualidad vencida (que es el caso que se estudia en esta seccioacuten) como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para una anualidad vencida Si se anota un 1 entonces se calcula como una anuali-dad anticipada (este caso se estudia en el capiacutetulo 5)
En el ejemplo 431 se considera una anualidad de $100 000 durante seis meses y con una tasa de 005 mensual Entonces si se introduce
=VF(00056minus100 000)
en alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $607 55019 que es igual a los $607 55019 que se obtuvo en el texto
Es importante observar que en la foacutermula anterior se anotaron ldquominus100 000rdquo una cantidad negativa porque Excel considera salidas de capital (cantidades negativas) a los pagos Aunque esta cuestioacuten no parece tener mucho sentido en estos ejemplos es un procedimiento estaacutendar en Excel y se aprecia mejor su utilidad en las funciones como la de la Tasa interna de rendi-miento (TIR) en la cual se consideran fl ujos de efectivo tanto de entrada (+) como de salida (minus) Se ven ejemplos de esta funcioacuten de Excel en la seccioacuten 48 de ldquoAplicacionesrdquo
Ahora sabemos que el valor actual o capital de un monto de $607 55019 seis meses an-tes con un intereacutes de 05 mensual es de
C = 607 55019(1005)minus6 = 607 55019(0970 518) = $589 63844
Y entonces si se introduce la foacutermula siguiente de Excel
=VF(00056minus589 63844)
Se obtiene $607 55015 que es el monto correspondiente (Observe que en la foacutermula ante-rior de Excel hay una doble coma despueacutes del nuacutemero 6 lo cual indica que se omitioacute el valor de la renta mensual y que el valor actual se considera como una salida de capital y por ello se le anota con signo negativo)
Es importante observar que esta forma de utilizar la foacutermula del valor futuro o monto de Excel equivale a aplicar la foacutermula del monto a intereacutes compuesto de una cantidad [foacutermula (33) del capiacutetulo 3] o
M = C(1 + i)n = 589 63844(1005)6 = $607 55019
En el ejemplo 432 se busca el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 antildeos y medio a 12 capitalizable semestralmente En Excel
=VF(0069minus20 000) produce el valor de $229 82632 que es el mismo que se obtuvo en el texto
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187
En el ejemplo 433 se tiene R = 100 n = 216 i = 00075 en los primeros 6 antildeos (72 meses) e i = 002 en los uacuteltimos 12 antildeos (144 meses) El planteamiento completo en Excel es el siguiente
=(VF(0007572minus100)(101^144))+VF(001144minus100)
que arroja $71 71995 que es igual al resultado que se obtuvo en el textoEn la foacutermula anterior la primera parte VF(0007572minus100) es el monto de los primeros
72 depoacutesitos (erogaciones) de $100 a una tasa de 075 que multiplicado por (101^144) da el monto de estos primeros depoacutesitos al fi nal del periodo Si a esto se le suma el monto de los uacutel-timos 144 meses de depoacutesitos VF(001144minus100) se tiene el resultado deseado
492 Capital o valor actual (VA) (seccioacuten 44)
La foacutermula para calcular el valor actual con Excel es
VA(tasanperpagovftipo)
en donde
Tasa tasa de intereacutes por periodoNper nuacutemero total de periodos de pagoPago pago que se efectuacutea cada periodo Vf es el monto o valor futuro total de una serie de pagos futuros
Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el valor actual de la anualidad sin embargo Excel permite la posibilidad de calcular el valor actual de la anuali-dad conociendo el monto (Vf) por ello si se anota el valor del pago no se requiere Vf y a la inversa si se incluye el monto se debe omitir el pago Ya se ilustroacute esta cuestioacuten para el caacutelculo del monto y se ilustra para el caso del valor actual maacutes adelante
Tipo Al igual que para el caacutelculo del monto o valor futuro se puede anotar (es un valor op-tativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se cal-cula el monto de una anualidad vencida (que es el caso que se estudia en esta seccioacuten) como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para una anualidad vencida Si se anota un 1 entonces se calcula como una anualidad anticipada (este caso se estudia en el capiacutetulo 5)
En el ejemplo 441 se tienen siete rentas trimestrales de $4 500 con una tasa de 9 tri-mestral y se busca el valor actual o capital Entonces en Excel
=VA(0097minus 4 500)
que produce el resultado de $22 64829 praacutecticamente igual al que se obtuvo antesAhora de lo que ya se estudioacute sobre intereacutes compuesto se sabe que el valor futuro de es-
tos $22 64829 siete trimestres despueacutes a una tasa de 9 trimestral es
M = 22 64829(109)7 = 22 64829(1828039) = 41 40196
Ademaacutes conociendo este valor se puede obtener el valor actual con Excel mediante la siguiente foacutermula
=VA(0097minus 41 40196)
49 Uso de Excel
04 DIAZ MATA 04indd 18704 DIAZ MATA 04indd 187 112808 25926 AM112808 25926 AM
CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS188
Y al igual que sucedioacute con la foacutermula del monto o valor futuro esta forma de utilizar la foacutermula del valor actual (capital) de Excel equivale a aplicar la foacutermula del valor actual de una cantidad que se vio en el capiacutetulo 3 [foacutermula (36)] o
C = M(1 + i)minusn = 41 40196(109)minus7 = 22 64829
En el ejemplo 442 se busca el valor actual de una renta de $1000 al fi nal de cada 3 meses durante 5 antildeos a una tasa de 16 anual convertible trimestralmente En Excel
=VA(004201000)
que produce el resultado que ya se encontroacute de $13 59033En el ejemplo 443 se encuentra con Excel el valor del inciso b) ($130 000 de enganche y
12 mensualidades de $12 000 a 15 mensual) con la siguiente funcioacuten
=130 000+VA(00151212 000)
que produce $260 89006 cantidad que comparada con los $260 000 del precio al contado conduce a la conclusioacuten de que es mejor comprar al contado
En el ejemplo 444 se busca el precio que se pagoacute por un aparato por el que se abonaron $1400 de enganche 7 pagos mensuales vencidos de $160 y un pago fi nal al octavo mes de $230 con tasa de 27 anual capitalizable mensualmente Con Excel
=1400+VA(027127minus160)+(230((1+02712)^(minus8)))
que produce el mismo resultado que aparece en el texto $2 61814 Se ilustra en este caso que es posible plantear las funciones de Excel con alguna opera-
cioacuten lo cual ahorra la necesidad de hacerla antes de plantear la funcioacuten Ademaacutes la tasa es de 27 anual capitalizable mensualmente y se pudo haber realizado la divisioacuten de 02712 = 00225 para obtener la tasa mensual y anotar este valor en la funcioacuten de Excel Sin embargo tambieacuten se puede anotar la tasa como se hizo aquiacute simplemente planteando la operacioacuten ldquo02712rdquo con lo que Excel trabaja con el resultado
En el ejemplo 445 se busca el valor actual de un refrigerador por el que se pagaron 52 abonos semanales ldquochiquititosrdquo vencidos de $240 con intereacutes de 15 anual convertible sema-nalmente Con Excel
=VA(0155252minus240)
que produce el resultado de $1157363 que es praacutecticamente igual a los $1157352 que se en-contraron en el texto
El ejemplo 446 trata sobre el mismo refrigerador del ejemplo anterior pero se paga un primer abono inmediatamente (que corresponderiacutea a un enganche) y 51 pagos semanales de $240 con tasa de 15 convertible semanalmente El valor actual de este aparato es con Excel
=240+VA(0155251minus240)
Esta foacutermula que produce el valor de $1160702 que es praacutecticamente igual al que se deter-minoacute en el texto
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493 Renta (seccioacuten 45)
Para calcular la renta o pago perioacutedico de una anualidad se utiliza la siguiente funcioacuten de Excel
PAGO(tasanpervavftipo)
En esta funcioacuten al igual que con las anteriores ldquovf rdquo el valor futuro y ldquotipordquo son paraacuteme-tros optativos Ademaacutes tambieacuten igual que antes si se anota el valor futuro en la funcioacuten se debe omitir el valor actual y si se omite el tipo Excel hace los caacutelculos para determinar una anualidad vencida
En el ejemplo 451 se desea calcular la renta que se debe pagar para comprar una compu-tadora que cuesta $19 750 a pagar en 4 mensualidades con una tasa de 18 mensual
=PAGO(00184minus19 750)
que arroja el resultado que se busca $516167En el ejemplo 452 se quiere saber cuaacutento debe invertir una persona al fi nal de cada mes
durante 7 antildeos para acumular $100 000 a una tasa de 135 anual convertible mensualmen-te La siguiente funcioacuten de Excel arroja el resultado que se busca $72149
=PAGO(013512712minus100 000)
Observe de nuevo en esta funcioacuten que el valor de $100 000 aparece con signo negativo con lo que el resultado de $72149 aparece como positivo si se cambia el signo a los $100 000 el pago resultante aparece con signo negativo Por otra parte las operaciones tanto de la tasa como del nuacutemero de periodos estaacuten planteados en teacuterminos de las operaciones ldquo013512rdquo y ldquo712rdquo lo cual evita la necesidad de hacer operaciones antes de introducir los datos a la foacutermu-la Ademaacutes hay una doble coma despueacutes del 12 lo cual indica a la vez que se omite el valor actual y que la cantidad que sigue los $100 000 son un monto o valor futuro
En el ejemplo 453 se trata de determinar la renta mensual con intereses de 25 anual convertible mensualmente que sustituya una renta anual de $3 000 Con Excel
=PAGO(02512123 000) se obtiene el pago de $22263 con signo negativo
494 Plazo (seccioacuten 46)
La funcioacuten de Excel que calcula el nuacutemero de pagos de una anualidad es
NPER(tasa pago va vf tipo)
Y al igual que con la funcioacuten anterior el monto o valor futuro ldquovf rdquo y el tipo de anualidad son paraacutemetros optativos
En el ejemplo 461 se quiere determinar el nuacutemero de pagos de $60796 que se deben ha-cer para pagar una lavadora que cuesta $8 500 dando un enganche de $2 550 con intereacutes de 24 anual capitalizable mensualmente La foacutermula de Excel
=NPER(02412minus607968 500minus2 550)
49 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS190
produce el resultado de n = 11 que se busca Dos detalles importantes con respecto a esta funcioacuten en primer lugar evita hacer las laboriosas manipulaciones con logaritmos como se ilustroacute en el texto y por otro lado algo que se debe tener presente es que precisamente por la loacutegica de las operaciones aquiacute es necesario poner los pagos con signo negativo porque si no se hace asiacute se obtienen resultados erroacuteneos
En el ejemplo 462 se busca determinar cuaacutentos pagos bimestrales vencidos de $1550 se deben hacer para saldar una deuda de $8 000 pagadera hoy (valor actual) con intereacutes de 275 bimestral La foacutermula
=NPER(00275minus15508 000)
produce el resultado de 5642592 igual al que se encontroacute en el texto 5642592En el ejemplo 465 en el que se pregunta dentro de cuaacutento tiempo habraacute acumulado
$300 000 una persona que hace depoacutesitos trimestrales vencidos de $5 000 a una tasa de 12 convertible trimestralmente En este caso
=NPER(0124minus5 000300 000)
produce el resultado de 3483 trimestres que se busca
495 Tasa de intereacutes (seccioacuten 47)
La funcioacuten de Excel que calcula la tasa de intereacutes de una anualidad es
TASA(nperpagovavftipoestimar)
En ella vuelven a aparecer los paraacutemetros que ya se han utilizado ldquonperrdquo nuacutemero de pe-riodos ldquopagordquo la renta perioacutedica ldquovardquo el valor actual todos ellos valores necesarios para los caacutelculos Y como valores optativos ldquovf rdquo el valor futuro o monto ldquotipordquo el tipo de anualidad que como se vio antes si se omiten se hacen los caacutelculos para anualidades vencidas y si se anota un ldquo1rdquo se hacen los caacutelculos para anualidades anticipadas
Finalmente aparece un nuevo paraacutemetro optativo mdashldquoestimarrdquomdash que es el valor que Excel utiliza para arrancar como estimacioacuten inicial de la tasa Como es un paraacutemetro optativo se puede omitir y si no se le incluye Excel empieza con 10 como estimacioacuten inicial En gene-ral lo maacutes faacutecil es por supuesto no utilizar este paraacutemetro
En el ejemplo 471 se intenta determinar la tasa de intereacutes involucrada en el pago de un valor actual de $350 000 mediante 6 abonos mensuales de $62 000 Con Excel
=TASA(6minus62 000350 000)
produce el resultado que se busca 0017700 igual al 0017701 que se encontroacute en el textoLo primero que resalta aquiacute es la enorme utilidad de esta funcioacuten dados los laboriosos
caacutelculos que es necesario realizar si se hacen las operaciones en forma manual con una calcu-ladora (la resolucioacuten de este ejercicio requirioacute dos paacuteginas y media en el texto)
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En el ejemplo 472 el almaceacuten A vende la lavadora que tiene precio de $6 000 mediante 12 pagos mensuales de $600 La tasa que se busca que es de 002922931 de acuerdo a lo que se encontroacute mediante el proceso de ensayo y error maacutes interpolacioacuten del texto se encuentra faacutecilmente con Excel usando la foacutermula
=TASA(12minus6006 000)
la cual produce el resultado de 0029229 que es de nuevo praacutecticamente igual a la que se en-controacute en el texto Para encontrar la tasa efectiva anual correspondiente a esta tasa mensual se utiliza la siguiente operacioacuten en Excel
= 1029229^12minus1 que da como resultado 0413007 o 413 anual
Por otra parte para encontrar la tasa efectiva anual que se carga en el almaceacuten B con un pago fi nal de $8 840 en Excel
=(8 6406 000minus1)100 produce la tasa de 44 con lo que se llega a la conclusioacuten de que conviene comprar en el almaceacuten A
Para encontrar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual se acumulan $500 000 en el momento de realizar el 15o depoacutesito de $10 000 que plantea el ejemplo 473
=2TASA(15minus10 000500 000)
operacioacuten que da como resultado 0312072 que es el mismo valor que se encontroacute en el texto
496 Aplicaciones (seccioacuten 48)
En el ejemplo de los meacutetodos de evaluacioacuten de proyectos de inversioacuten se analizaba la compra de un edifi cio en $4 200 000 seis erogaciones mensuales de $500 000 para remozamiento del edifi cio y un ingreso de $9100 000 por la venta del inmueble al cabo de seis meses
Excel tiene dos funciones especiacutefi cas para calcular los dos criterios fi nancieros de evalua-cioacuten de proyectos mdashel valor actual neto y la tasa interna de rendimientomdash que se explican enseguida
Valor actual neto
La funcioacuten que calcula este valor en Excel tiene la siguiente sintaxis
VNA(tasavalor1valor2 )
Es faacutecil observar que los paraacutemetros que requiere son en primer lugar la tasa a la que en fi nanzas se denomina formalmente ldquocosto de capitalrdquo y las cantidades de ingresos y egresos con signo positivo y negativo respectivamente en el orden exacto en el que se presentan Para el ejemplo 481 del proyecto del edifi cio la funcioacuten seriacutea
=minus42+VNA(01812minus5minus5minus5minus5minus586)
Observe que se le quitaron cinco ceros (se les dividioacute entre 100 000) a todas las cantida-des para simplifi car los datos
49 Uso de Excel
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS192
Ahora con respecto a la foacutermula anterior en primer lugar es necesario tener presente que como los caacutelculos que hace Excel comienzan al fi nal del primer periodo cuando haya un movimiento de capital al principio de eacutel (como los $4 200 000 que se pagan por el edifi cio) esa cantidad se debe plantear fuera del VNA porque ya estaacute dada a su valor actual Ademaacutes en este caso se deben restar 42 porque fue una erogacioacuten La tasa por periodo mensual es 01815 = 0015 se plantean soacutelo cinco erogaciones de 5(00000) porque al fi nal del sexto mes se gas-taron otros 5(00000) pero a la vez se recibieron 91(00000) por la venta del edifi cio con lo que se tuvo un ingreso neto de 86(00000)
La foacutermula anterior produce el resultado de $1273740369 que multiplicado por 100 000 para volverlo a las unidades originales da el valor de $1273 74037 que es exactamente el mismo valor que se obtuvo con el procedimiento de calculadora de la seccioacuten anterior aunque por otro lado se puede observar que esta funcioacuten de Excel facilita considerablemente las operaciones
Ahora para resolver el ejemplo 484 sobre un proyecto de inversioacuten con fl ujos de efectivo desiguales se utiliza la siguiente forma de la funcioacuten VNA
=VNA(02160143170162154147)minus360
la cual produce el valor de $16026 que difi ere ligeramente del valor que se encontroacute en la sec-cioacuten anterior por diferencias en el redondeo Y al igual que antes como el valor actual neto es positivo este criterio de evaluacioacuten indica que se debe emprender el proyecto
Tasa interna de rendimiento
Como se vio en la seccioacuten anterior la tasa interna de rendimiento (TIR) es la que iguala en un punto del tiempo el total de los egresos al total de los ingresos Con los datos del ejemplo anterior que se ilustroacute como ejemplo 482 la siguiente ecuacioacuten plantea las circunstancias
4 200 000 500 0001 1
9100 000 16
+ minus + = +minus( )
( )TIR
TIRTIR minusminus6
Si se simplifi ca se tiene
91 1 51 1
4266
( )( )+ minus minus + =minus
minusTIR
TIRTIR
La funcioacuten de Excel que permite resolver planteamientos de este tipo es precisamente la que se llama TIR y que tiene la siguiente sintaxis
TIR(valoresestimar)
El paraacutemetro ldquovaloresrdquo se debe especifi car como un rango de celdas de una hoja de Excel en donde se listen de arriba hacia abajo en el orden en el que se presentan los egresos y los ingresos del proyecto mientras que el paraacutemetro ldquoestimarrdquo se usa para dar un valor inicial a Excel para que realice los ensayos aproximativos para encontrar la tasa que se busca Por lo general no es necesario utilizar este paraacutemetro con lo que Excel arranca con una estima-cioacuten inicial de la tasa de 10 Sin embargo si Excel no encuentra la tasa partiendo de esta estimacioacuten inicial y despueacutes de 20 ensayos aparece en la celda correspondiente el mensaje ldquoiexclNUMrdquo el cual indica que no se encontroacute la tasa En estos casos es necesario dar un valor
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al paraacutemetro ldquoestimarrdquo maacutes cercano al verdadero valor de la TIR para que Excel lo pueda de-terminar en menos de esos 20 ensayos
Para encontrar la TIR en el ejemplo del edifi cio se podriacutean introducir los fl ujos de egresose ingresos de la siguiente manera
minus42minus5minus5minus5minus5minus586
Y se anotariacutea la siguiente funcioacuten en cualquier otra celda
=TIR(A1A7)
Esta forma especiacutefi ca de la funcioacuten muestra que esos fl ujos estariacutean colocados en las cel-das A1 hasta A7 Esta funcioacuten arroja como resultado 0051728 que seriacutea como se vio en el texto la TIR mensual Por su parte la TIR anual seriacutea
TIR = 105172812 minus1 = 08317 u 8317
que como es considerablemente superior al costo de capital indica que siacute se debe emprender el proyecto
Ahora para encontrar la TIR del proyecto de inversioacuten planteado en la seccioacuten anterior como ejemplo 483 se colocan las correspondientes cantidades en 7 celdas como de la A1 a la A7 como sigue
minus360160143170162154147
Y con la funcioacuten
=TIR(A1A7)
se obtiene el resultado de 3689 que como es superior al costo de capital de 20 sentildeala que es conveniente emprender el proyecto
410 ResumenEn este capiacutetulo se introdujo el concepto de anualidades un conjunto de pagos iguales reali-zados a intervalos iguales
410 Resumen
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS194
Se mencionoacute que resulta conveniente identifi car los diferentes tipos de ellas clasifi caacutendo-las de acuerdo con cuatro criterios
bull Tiempo anualidades ciertas y anualidades contingentesbull Intereses simples y generalesbull Pagos anualidades vencidas y anticipadasbull Iniciacioacuten inmediatas y diferidas
La combinacioacuten de estas caracteriacutesticas da lugar a los diversos tipos de anualidades Se explicaron las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas Se derivaron las foacutermulas para calcular su monto y su valor actual o capital y se ilustraron diversos casos en los que fue necesario calcular esos dos conceptos asiacute como tambieacuten el plazo la renta y la tasa de intereacutes
Si ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe
bull Identificar y explicar las diversas caracteriacutesticas que definen a los distintos tipos de anualidades
bull Identificar y plantear situaciones que pueden representarse mediante una anualidad simple cierta vencida e inmediata
bull Plantear y resolver ejemplos de este tipo de anualidadesbull Resolver ejercicios y aplicaciones de anualidades simples ciertas vencidas e inmedia-
tas utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoft Excel
M Rii
n= + minus( )1 1
(41) C Ri
i
n= minus + minus1 1( )
(42)
Comprobacioacuten del capiacutetulo
Teacuterminos y conceptos importantes
Foacutermulas importantes
bull Anualidadbull Anualidades anticipadas ciertas contingentes diferidas generales inmediatas simples vencidas
bull Montobull Valor actualbull Rentabull Plazobull Tasa de intereacutes de una anualidad simple cierta vencida inmediata
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1 iquestQueacute es una anualidad simple contingente vencida y diferida 2 iquestQueacute es una anualidad general cierta anticipada e inmediata 3 iquestCuaacutel es el tipo maacutes comuacuten de anualidad Explique queacute clase de anualidad representan los planteamientos 4 a 8 4 Una pensioacuten vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total y que asigna cierta can-
tidad mensual 5 Un depoacutesito quincenal en una cuenta de ahorros que paga 5 capitalizable mensualmente 6 Una persona subarrienda un negocio El subarrendatario acuerda pagarle cierta cantidad dia-
ria con 3 mensual capitalizable diariamente iquestQueacute renta equivale a $30 00000 mensuales 7 La adquisicioacuten de un departamento en condominio cuyo enganche se paga mediante 6
pagos bimestrales de $102 500 La entrega del inmueble tiene lugar al realizarse el sexto pago bimestral
8 La compra a creacutedito de un automoacutevil El intereacutes que se carga es 2 mensual global y los pagos se hacen cada mes
Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas 9 iquestCuaacutel es el monto de 18 depoacutesitos mensuales de $5 000 en una cuenta de inversioacuten que
paga 03 mensual10 iquestCuaacutel es el valor actual de 18 pagos mensuales de $5 000 si se consideran intereses de
03 mensual11 iquestQueacute relacioacuten existe entre las preguntas 9 y 10 Expreacutesela en forma de ecuacioacuten12 La profesora Veacutelez ha retirado de su cuenta de inversiones 40 mensualidades de $3 275 Si la
cuenta de inversiones rinde 4 convertible mensualmente iquestcuaacutento teniacutea en su cuenta de in-versiones un mes antes de realizar el primer retiro
(Desde que empezoacute a hacer los retiros no hizo ninguacuten depoacutesito)13 El diacutea 1o se depositaron $7 000 en una inversioacuten que paga 7 convertible mensualmente
Ademaacutes a) se depositaron comenzando un mes despueacutes $1000 mensuales durante 1 antildeo b) Al final del mes 19 se depositaron $12 000 iquestCuaacutel es el monto de todas estas inversiones al final del mes 2414 Si se calculan intereses a razoacuten de 12 anual convertible cada 2 meses iquestqueacute pago uacutenico
realizado dentro de 30 meses es equivalente a 15 pagos bimestrales de $8 50015 Si se desea obtener un rendimiento de 40 capitalizable mensualmente sobre una inver-
sioacuten riesgosa iquestcuaacutel es la cantidad maacutexima que deberiacutea invertirse en una operacioacuten que se espera pague $10 000 mensuales al final de cada uno de los 8 meses siguientes
16 En una cuenta que rinde 025 mensual se hicieron los siguientes depoacutesitos a) 5 de $1750 cada fin de mes el primero al cabo de un mes b) 8 de $1450 cada fin de mes el primero de eacutestos al cabo de 4 meses iquestCuaacutel es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del decimosegundo mes17 iquestQueacute renta pagada durante cada uno de 12 bimestres es equivalente a un valor actual de
$100 000 si se consideran intereses a una tasa de 04 bimestral
Ejercicios complementarios
Ejercicios complementarios
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS196
18 iquestQueacute renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular $10 000 al cabo del deacutecimo mes si se consideran intereses a razoacuten de 7 convertible cada mes
19 Si se vende un terreno en $228 000 al contado o mediante 12 pagos semestrales iguales con 20 anual convertible semestralmente iquestde cuaacutento seriacutean los pagos en el plan a creacutedito
20 Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustariacutea adquirir al sentildeor Loacutepez seraacute de $170 000 dentro de un antildeo iquestqueacute cantidad deberiacutea depositar cada mes en una inversioacuten que rinde 3 convertible mensualmente
21 El 12 de abril la sentildeorita Peacuterez obtiene un preacutestamo de $30 000 que acuerda reembolsar mediante pagos iguales cada mes Comienza los pagos el 12 del mayo y hace el uacuteltimo el 12 de diciembre del antildeo siguiente Si se le cobran intereses de 18 mensual iquestcuaacutento debe pagar cada mes
22 Se deben pagar $78 500 el 23 de agosto del antildeo proacuteximo Si hoy es 23 de febrero iquestcuaacutel debe ser el importe de los depoacutesitos bimestrales a una cuenta de inversioacuten que rinde 1 bimestral para tener el 23 de agosto del antildeo siguiente en el momento de realizar el uacutelti-mo depoacutesito la cantidad que se debe pagar y si el primer depoacutesito se hace el 23 de abril de este antildeo
23 El 2 de enero se obtiene un preacutestamo de $324 000 Se va a pagar con 6 abonos mensuales iguales el primero el 2 de febrero maacutes $112 000 adicionales al uacuteltimo abono mensual Si el intereacutes acordado es de 18 convertible mensualmente iquestcuaacutel debe ser el importe de los pagos mensuales
24 Un televisor se vende con las siguientes condiciones en dos tiendas a) En la tienda A cuesta $7 500 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades
vencidas e iguales con intereses de 3 mensual b) En la tienda B cuesta $ 8 000 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades
vencidas e iguales con intereses de 24 mensual Si se desea comprar el aparato mediante creacutedito iquesten queacute tienda conviene adquirirlo25 iquestEn cuaacutento tiempo se acumulan $180 000 mediante depoacutesitos semestrales de $9 81650 en
una inversioacuten que rinde 07 mensual26 iquestEn cuaacutento tiempo se acumulan $5 000 si se ahorran $200 mensuales y los ahorros ganan
08 mensual de intereacutes27 iquestCuaacutentos pagos de $136 21125 seriacutea necesario hacer cada fin de antildeo para liquidar una
deuda de $450 000 si el intereacutes es de 30 anual28 Rodolfo le vende a su hermana Silvia un departamento El trato se formaliza hoy y se fija
el valor del inmueble en $290 000 para dentro de un antildeo que es cuando se va a hacer el traslado de dominio Para pagar Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de $25 000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operacioacuten iquestCuaacutentas mensuali-dades iguales deberaacute pagar y cuaacutel debe ser el importe del pago final mayor si acordaron un intereacutes de 15 mensual Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes
29 Existen dos planes para la compra de un automoacutevil a) Precio al contado $135 000 y mensualidades de $713560 con una tasa de intereacutes de
2 mensual hasta terminar de pagar b) Precio al contado $139 000 30 de enganche y 18 mensualidades de $5 55156 iquestCuaacutel de los dos planes de creacutedito conviene maacutes
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30 iquestA queacute intereacutes efectivo anual se tendriacutea que colocar una serie de 15 depoacutesitos bimestrales vencidos de $13 84044 para que en el momento de hacer el uacuteltimo depoacutesito se acumula-ran $250 000
31 Para pagar una deuda de $950 000 se abonan 7 mensualidades vencidas de $149 62066 iquestQueacute tasa nominal convertible mensualmente se cargoacute en la operacioacuten
32 iquestA queacute tasa efectiva bimestral se cobroacute un creacutedito de $42 000 si se cubrioacute mediante 18 pa-gos bimestrales vencidos de $3 37188
33 Un mueble fino se vende en $18 600 al contado o a creacutedito con un pago inicial de $1860 y 6 abonos mensuales vencidos de $2 999 iquestCuaacutel es el intereacutes nominal anual convertible mensualmente que se carga en la venta a creacutedito
34 iquestCuaacutel seraacute el monto que acumule Tatiana si realiza 14 depoacutesitos catorcenales de $14 000 cada uno en una cuenta de inversioacuten que rinde 14 de intereacutes anual nominal capitaliza-ble cada 14 diacuteas
35 Yuri desea ayudar a su mamaacute con los gastos del hogar y considera la posibilidad de ad-quirir una maacutequina de coser la cual le ofrecen con un enganche de $50623 y 24 abonos ldquofacilitosrdquo de $156 iquestCuaacutel es el precio al contado de la maacutequina si el banco le cobra un in-tereacutes de 45 mensual convertible quincenalmente
41 Introduccioacuten y terminologiacutea
httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtmEn la seccioacuten de Contenido encontraraacute en la seccioacuten de Educacioacuten baacutesica una liga que trata sobre anualidades
42 Tipos de anualidades
httpwwwbanamexcomEncontraraacute simuladores personales (creacutedito automotriz creacutedito hipotecario creacutedito adela plan personal de pagos) en donde hay una clara aplicacioacuten del tema de anualidades
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElige la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 7
httpconsecocomcspspanish_sitecalculatorsdefaultcalculatorshtmEncontraraacute informacioacuten importante con aplicacioacuten a casos reales sobre anualidades fi jas y va-riables Inclusive en algunas situaciones podraacute tener acceso a calculadoras por ejemplo para planear su retiro para saber cuaacutento ahorrar para gastos futuros etceacutetera
43 Monto
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 16
Matemaacuteticas en internet
Matemaacuteticas en internet Anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas
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CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS198
httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 2 y 13
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElige la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 7 ejercicios 1 2 y 3
httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblemas 2 y 6
44 Valor actual
httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno2010anualidadeshtmConceptos y aplicaciones anualidades ordinarias y anticipadas
httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxanualidades1htmAnualidades clasifi cacioacuten ejercicios para calcular el valor actual de las anualidades ejerci-cios 4 5 y 6
httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 6 y 11
httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblema 4
45 Renta
httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 17
httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 1 3 7 8 9 12 14 15 16 y 18
httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblemas 7 8 9 y 11
46 Plazo
httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblema 12
47 Tasa de intereacutes
httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 4 5 10 y 17
httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblemas 2 y 10
04 DIAZ MATA 04indd 19804 DIAZ MATA 04indd 198 112808 25931 AM112808 25931 AM
Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de
bull Definir y explicar queacute son las anualidades sim-ples ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI)
bull Plantear anualidades de este tipobull Identificar situaciones que pueden represen-
tarse mediante ASCAIbull Resolver problemas de anualidades anticipa-
das que impliquen el caacutelculo de
Monto Valor actual Renta Plazo Intereacutes Tasa de intereacutes
bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anuali-dades anticipadas mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg
Objetivos 51 Introduccioacuten 52 Monto y valor actual 53 Renta plazo intereacutes y tasa de
intereacutes 54 Aplicaciones 55 Uso de Excel 56 Resumen
Temario
Anualidades anticipadas
CAPIacuteTULO5
05 DIAZ MATA 05indd 19905 DIAZ MATA 05indd 199 112808 30029 AM112808 30029 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS200
51 IntroduccioacutenComo se expuso en el capiacutetulo anterior las anualidades se clasifi can de acuerdo con cuatro criterios
Criterio Tipo de anualidad
a) intereses simples y generales
b) tiempo ciertas y contingentes
c) pagos vencidas y anticipadas
d) iniciacioacuten inmediatas y diferidas
A partir de estas cuatro caracteriacutesticas se pueden presentar 16 tipos distintos de anualida-des de las cuales las maacutes comunes son las simples ciertas vencidas e inmediatas (ASCVI) que se estudiaron en el capiacutetulo anterior Aunque hay varias maneras de resolver los otros 15 tipos de anualidades para simplifi car el anaacutelisis se acostumbra abordarlas a partir de las foacutermulas ya vistas de las ASCVI
Para analizar los tipos de anualidades que restan por revisarse se les dividiraacute en cuatro grupos principales que son el objeto de este capiacutetulo y los siguientes
bull Anualidades anticipadasbull Anualidades diferidasbull Caso general de las anualidadesbull Anualidades contingentes
Por lo tanto en este capiacutetulo se hablaraacute de las anualidades anticipadas que seraacuten vistas en su caso simple (cuando el periodo de pago coincida con el de la capitalizacioacuten) ya que el caso general se analiza en otro capiacutetulo
Ademaacutes dado que las anualidades contingentes se analizan tambieacuten en otro capiacutetulo las anualidades anticipadas que se estudian en eacuteste son el caso cierto es decir son aquellas en las que se conocen con certeza las fechas de los periodos
Por ello en este capiacutetulo se veraacuten
bull Anualidades simples ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI)
Y como se observaraacute enseguida se haraacute mediante las foacutermulas ya conocidas de las anua-lidades simples ciertas vencidas e inmediatas (ASCVI)
M Rii
n= + minus( )1 1
(41)
C Ri
i
n= minus + minus1 1( )
(42)
05 DIAZ MATA 05indd 20005 DIAZ MATA 05indd 200 112808 30030 AM112808 30030 AM
201
52 Monto y valor actualRevisando las caracteriacutesticas de estas anualidades puede decirse que son
bull Simples porque el periodo de pago corresponde al de capitalizacioacutenbull Ciertas porque las fechas y los plazos son fi jos y se conocen con anterioridadbull Anticipadas porque el inicio de los pagos o depoacutesitos se hacen al principio de los perio-
dos de pago y capitalizacioacuten (por anticipado)bull Inmediatas porque los pagos o depoacutesitos se inician en el mismo periodo en el que se forma-
liza la operacioacuten
Resulta uacutetil comparar mediante diagramas las anualidades vencidas y las anticipadas para comprender mejor la diferencia
Ejemplo 521
Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250 al principio de cada mes Si la cuenta paga 03 mensual de intereacutes iquestcuaacutento habraacute ahorrado durante el primer antildeo
Solucioacuten
GRAacuteFICA 51
Si se observa el diagrama puede apreciarse que al considerar los 12 depoacutesitos de $250 como si fuera una anualidad vencida (como si el inicio de plazo hubiera sido en el perio-do minus1) la aplicacioacuten de la foacutermula del monto hace que se obtenga el valor de la anualidad en el periodo 11
M Rii
n=
+ minus= minus = minus( ) ( )
1 1
2501 003 1
0 003250
1 036612 110 003
M = 250(12199993) M = $3 050
52 Monto y valor actual
250 250 250 250 250 250 ndash1 0 1 2 3 10 11 12
R R R R R 0 1 2 n ndash 2 n ndash 1 n periodos Anualidad vencida
R R R R R 0 1 2 n ndash 2 n ndash 1 n periodos Anualidad anticipada
05 DIAZ MATA 05indd 20105 DIAZ MATA 05indd 201 112808 30031 AM112808 30031 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS202
que seriacutea el monto el 1 de diciembre del antildeo en el momento de hacer el uacuteltimo depoacutesito Pero como se busca el monto al fi nal del plazo es decir un mes despueacutes hay que calcular el valor de este monto al cabo de un mes o
M = 3 050(1003) = $3 05915
que es el monto que se buscaY la foacutermula seriacutea entonces
M Rii
in
= + minus +( )( )
1 11 (51)
Ejemplo 522
Otra manera de resolver el ejemplo anterior
n = 12 R = 250 i = 0003
De nueva cuenta si se considera que el plazo comienza en el periodo minus1 y se calcula el monto de 13 (trece) depoacutesitos se tendriacutea el siguiente caso
GRAacuteFICA 52
M Rii
n= + minus( )1 1
y( ) ( )
1 1 1 003 1
0 0031 03971 1
0 003
13 13+ minus = minus = minus =ii
113 236593
que nos da el factor de acumulacioacuten de 13 depoacutesitos pero como el uacuteltimo que se realiza al fi nal del plazo (fi nales de diciembre) no estaacute incluido en una anualidad anticipada y ademaacutes estaacute a su valor real en esa fecha simplemente se resta al factor de acumulacioacuten para encontrar el valor que se busca
M Ri
i
n=
+ minusminus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+( )1 11
1 (52)
= minus minus⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = minus250
1 003 10 003
1 250 13 23659313( )
( 11)
M = 250(12236593) = $3 05915
que es el mismo valor que se encontroacute antesEste meacutetodo es pues equivalente al anterior
250 250 250 250 250 250 0 1 2 10 11 12
05 DIAZ MATA 05indd 20205 DIAZ MATA 05indd 202 112808 30032 AM112808 30032 AM
203
Ejemplo 523
Encuentre el monto de 6 pagos semestrales anticipados de $14 500 si el intereacutes es de 19 convertible semestralmente
Solucioacuten n = 6 i = 0192 = 0095 R = 14 500
Meacutetodo 1
M Rii
in
= + minus + = minus( )( )
( )
( 1 1
1 14 5001 095 1
0 0951 09
655)
M = 14 500(7618857)(1095) = 14 500(8342648) M = 120 96840
Meacutetodo 2
M Ri
i
n= + minus minus
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= minus+( ) ( )
1 11 14 500
1 095 10 0
1 7
9951minus
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
M = 14 500(9342648 minus1) = 14 500(8342648) M = 120 96840
Observe entonces que
( )
( )( )1 1
11 1
11+ minus
+ =+ minus
minus+i
ii
ii
n n
Ejemplo 524
Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $2 750 de renta por anticipado Como desea librarse del compromiso mensual de la renta decide proponer una renta anual equivalente y tambieacuten anticipada Si se calculan los intereses a razoacuten de 1560 convertible mensualmente iquestde cuaacutento deberaacute ser la renta anual
SolucioacutenEacuteste es el caso del valor actual de una anualidad anticipada
n = 12 R = 2 750 i = 0156012 = 00130 C =
52 Monto y valor actual
05 DIAZ MATA 05indd 20305 DIAZ MATA 05indd 203 112808 30034 AM112808 30034 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS204
En un diagrama
GRAacuteFICA 53
Observe que este caso se puede resolver calculando el valor actual de 11 rentas vencidas de $2 750 (las uacuteltimas rentas del antildeo) y sumaacutendole la primera renta que ya estaacute a su valor presente
C R Ri
i
n= +
minus + minus +1 1 1( )
C = + minus minus +2 750 2 750
1 1 0130 013
12 1( )
( )
C = + minus minus2 750 2 750
1 1 0130 013
11( )
( )
C = 2 750 + (2 750)(10188218) C = 2 750 + 28 01760 C = 30 76760
Observe que
C R Ri
i
n= + minus + minus +1 1 1( )
factorizando R
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( ) (53)
entonces
C = + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +R
ii
n1
1 1 1( )
= + minus⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
minus +2 750 1
1 1 0130 013
12 1( )
C = 2 750(1 + 10188218) C = 2 750(11188218) C = 30 76760 que es la misma respuesta que se obtuvo antes
A 2 750 2 750 2 750
2 750 2 750
0 1 2 10 11 12
05 DIAZ MATA 05indd 20405 DIAZ MATA 05indd 204 112808 30035 AM112808 30035 AM
205
Ejemplo 525
Calcule el valor actual de 9 pagos semestrales de $50 000 con intereacutes de 528 semestral
a) Si se hacen por anticipadob) Si se hacen vencidosc) Determine y explique la diferencia entre a) y b)
Solucioacuten C = n = 9 R = 50 000 i = 00528
a) C = + minus⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
minus +50 000 1
1 1 05280 0528
9 1( )
C = 50 000(1 + 6390684) C = $369 53420
b) C = minus minus=50 000
1 1 05280 0528
50 000 7 0200279( )
)(
C = $35100135
c) 369 53420 minus 35100135 = $18 53285
Es mayor el valor actual de los pagos anticipados por $18 53285 dado que los pagos se hacen antes y comienzan a generar intereses maacutes pronto Se puede ver que $18 53287 son los intereses generados por $35100135 en un semestre (la diferencia de centavos se debe al redondeo)
35100135(00528) = 18 53287
53 Renta plazo intereacutes y tasa de intereacutesCuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos se utilizan las foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas con las modifi caciones que se introdujeron en la seccioacuten anterior
Ejemplo 531
En una tienda se vende una bicicleta por $1800 al contado o mediante 5 abonos mensua-les anticipados Si el intereacutes que aplica la tienda es de 324 convertible mensualmente calcule el valor del pago
53 Renta plazo e intereacutes
05 DIAZ MATA 05indd 20505 DIAZ MATA 05indd 205 112808 30038 AM112808 30038 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS206
Solucioacuten n = 5 i = 032412 = 0027 C = 1800
C Ri
i
n= +
minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
minus +1
1 1 1( ) (53)
R
Ci
i
n=
+minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=+ minusminus + minus +
11 1
1 800
11 1 0271 5 1( ) ( )
00 027
R =1 800
4 743920 R = $37943
Ejemplo 532
La sentildeora Gavaldoacuten debe pagar $90 000 dentro de 2 antildeos y para reunir esta cantidad de-cide hacer 12 depoacutesitos bimestrales en una cuenta de inversioacuten que rinde 12 bimestral de intereacutes iquestDe cuaacutento deben ser sus depoacutesitos si hoy realiza el primero
Solucioacuten n = 12 i = 0012 R = M = 90 000
M Ri
i
n= + minus minus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+( )1 11
1
(52)
RM
ii
n=+ minus minus
=minus minus
+( ) ( )
1 11
90 0001 012 1
0 0121
1 13
=90 000
12 978447 R = $6 93457
Ejemplo 533
En un almaceacuten se vende un mueble de comedor por $4 600 al contado o mediante pagos mensuales anticipados de $51169 Si el intereacutes es de 2940 convertible mensualmente iquestcuaacutentos pagos es necesario hacer
05 DIAZ MATA 05indd 20605 DIAZ MATA 05indd 206 112808 30039 AM112808 30039 AM
207
Solucioacuten C = 4 600 n = i = 0294012 = 00245 R = 51169
C Ri
i
n= +
minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
minus +1
1 1 1( ) (53)
C Ri
i
n
( )= + minus + minus +1
1 1 1
(C R i i n ) ( )minus = minus + minus +1 1 1 1
( ) ( )Ci R i i nminus = minus + minus +1 1 1
( ) ( )1 11+ = + minusminus +i i Ci Rn
(minusn + 1) log (1 + i) = log [1 + i minus (CiR)]
minus + =+ minus⎡⎣ ⎤⎦
+n
i Ci R
i1
1
1
log ( )
log ( )
ni Ci R
iminus = minus
+ minus⎡⎣ ⎤⎦+
11
1
log ( )
log( )
ni Ci R
i= minus
+ minus⎡⎣ ⎤⎦+
11
1
log ( )
log( ) (54)
n = minus+ minus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
11 0 0245
4 600 0 0245511 69
log ( )
log(( )1 0245
n = minus minus1
1 0245 0 2202511 0245
log ( )log
n = minus10 804249
1 0245log( )
log( )
= minusminus
10 094609
0 010512
n = 1 + 9 n = 10 habriacutea que hacer 10 pagos
Ejemplo 534
La sentildeora Ramiacuterez piensa jubilarse luego de reunir $2 000 000 mediante depoacutesitos men-suales de $5 000 de las ganancias que obtiene de su negocio Si invierte sus depoacutesitos a una tasa de intereacutes de 025 mensual e inicia a partir del diacutea de hoy iquesten cuaacutento tiempo reuniraacute la cantidad que desea
53 Renta plazo e intereacutes
05 DIAZ MATA 05indd 20705 DIAZ MATA 05indd 207 112808 30041 AM112808 30041 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS208
Solucioacuten R = 5 000
M = 2 000 000 i = 00025
M Ri
i
n=
+ minusminus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+( )1 11
1 (52)
2 000 000 5 0001 0025 1
0 00251
1= minus minus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+( )
n
2 000 0005 000
1 0 0025 1 1 0025+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
+ = ( ))n + 1
(10025)n + 1 = 20025 (n + 1) ln (10025) = ln 20025
n = minus = minus =lnln
2 00251 0025
10 6943960 002497
1 278
09 1minus
n = 27709
Entonces en 277 meses y aproximadamente 3 diacuteas reuniriacutea lo que desea La sentildeora Ramiacuterez deberaacute ahorrar poco maacutes de 23 antildeos para poder reunir su fondo de jubilacioacuten
Ejemplo 535
iquestA queacute tasa de intereacutes anual 6 depoacutesitos anuales anticipados de $25 000 equivalen a un valor actual de $75 000
Solucioacuten C = 75 000
R = 25 000 n = 6 i =
C Ri
i
n= +
minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
minus +1
1 1 1( )
75 000 25 000 11 1 6 1
= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +( )ii
75 00025 000
11 1 5
minus = minus + minus( )ii
21 1 5
=minus + minus( )i
i
Al igual que se ha hecho antes i se determina mediante un proceso de interpolacioacuten cuyo primer paso consiste en aproximarla mediante ensayos
05 DIAZ MATA 05indd 20805 DIAZ MATA 05indd 208 112808 30046 AM112808 30046 AM
209
Si i = 0501 1
1 736625515minus +
=minus( )
i
i
i = 040 = 203516392i = 041 = 200138079i = 0411 = 199805612i = 04105 = 199971725
y al interpolar
GRAacuteFICA 54
i minus
minus= minus0 4100
0 4105 0 41002 2 00138079
1 9997172
55 2 00138079minus
i minus = minus
minus=0 4100
0 00050 001380790 00166354
0 830
003114
i minus 04100 = 083003114(00005) = 000041502 i = 041041502
o aproximadamente 4104 anual
Ejemplo 536
iquestA queacute tasa de intereacutes anual 15 depoacutesitos anuales anticipados de $800 acumulan un monto de $200 000
SolucioacutenM = 200 000
n = 15 R = 800 i =
M Ri
i
n=
+ minusminus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+( )1 11
1 (52)
200 000 8001 1
116
= + minus minus⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
( )ii
200 000800
11 116
+ = + minus( )ii
2511 116
=+ minus( )i
i
53 Renta plazo e intereacutes
04100 i 04105
200138079 2 199971725
05 DIAZ MATA 05indd 20905 DIAZ MATA 05indd 209 112808 30049 AM112808 30049 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS210
Al ensayar valores
Si i = 030( )
1 1
218 472203116+ minus
=ii
si i = 030 ( )1 116+ minusi
i = 2184722031
i = 035 = 3448969512i = 032 = 2623556798i = 031 = 2394234901i = 0315 = 250631167i = 03155 = 2517799928i = 03152 = 251090076i = 031515 = 2509752711i = 031516 = 250998228i = 0315161 = 2510005238i = 03151605 = 2509993759i = 03151608 = 2510000646i = 031516075 = 2509999498
E interpolando
GRAacuteFICA 55
i minusminus
= minus0 315160750 31516080 0 31516075
251 250 9
9999498251 0000646 250 9999498 minus
i minus = =0 315160750 00000005
0 00005020 0001148
0
43728223
i minus 031516075 = 043728223(000000005) = 000000002 i minus 031516075 = 000000002 i = 031516075 + 000000002 i = 031516077
o 3152 aproximadamente
Verifi cando
8001 31516077 1
0 315160771 2
16
( ) minus
minus⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= 000 000
031516075 i 031516080
2509999498 251 2510000646
05 DIAZ MATA 05indd 21005 DIAZ MATA 05indd 210 112808 30052 AM112808 30052 AM
211
En este ejemplo la aproximacioacuten fue tan prolongada mediante los ensayos porque las cifras del monto y el plazo eran grandes si no se hubiera hecho la aproximacioacuten tan deta-llada el error debido a la interpolacioacuten seriacutea considerable
Debe destacarse el monto tan grande que se obtiene a partir de un depoacutesito relativa-mente pequentildeo Ello ejemplifi ca los efectos de las altas tasas de infl acioacuten y de intereacutes
Ejercicios del capiacutetulo 5
1 En las mismas condiciones iquestqueacute tipo de anualidades produce un monto mayor una vencida o una anticipada iquestPor queacute
2 En las mismas condiciones iquestqueacute tipo de anualidades genera un valor actual mayor una vencida o una anticipada iquestPor queacute
3 iquestCuaacutel es la renta semestral adelantada equivalente a una renta mensual adelantada de $660 si el intereacutes es de 2252 anual convertible mensualmente
4 Cada 2 meses el diacutea 25 se depositan $1000 en un fondo de inversioacuten que paga 4 convertible bimestralmente iquestCuaacutento se habraacute acumulado en el fondo un instante antes de realizar el vigesimocuarto depoacutesito
5 Un arquitecto desea ahorrar $4 000 mensuales durante 5 antildeos Si sus ahorros ganan 54 convertible mensualmente iquestcuaacutento habraacute acumulado al mes siguiente del uacutelti-mo depoacutesito
6 Una empresa debe cubrir el 23 de octubre un pagareacute que emitioacute Para cumplir con su obligacioacuten se depositaron $8 71652 los diacuteas 23 de los meses de enero a septiembre en una cuenta que paga 06 mensual de intereacutes Si con lo acumulado en la cuenta se liquidoacute el pagareacute iquestcuaacutel era el valor de eacuteste en su fecha de vencimiento
7 Para adquirir un automoacutevil a creacutedito se deben pagar 48 abonos mensuales de $4 900 comenzando en el momento de la entrega del vehiacuteculo Si los intereses que se cobran son a razoacuten de 15 convertible cada mes iquestcuaacutel es el valor al contado de los pagos
8 iquestQueacute conviene maacutes para quien cobra a) recibir 14 pagos mensuales vencidos de $102644 o b) recibir 14 pagos mensuales anticipados de $1000 si el intereacutes es de 15 mensual
9 Un profesional joven desea reunir $300 000 en 5 antildeos para dedicarse a viajar un tiem-po Si puede depositar cierta cantidad a 132 capitalizable al mes y bajo el supuesto de que en todo ese tiempo no cambia la tasa de intereacutes iquestcuaacutento deberaacute depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad que desea exactamente antes de realizar el uacutel-timo depoacutesito
10 iquestQueacute renta anual anticipada es equivalente a una renta mensual anticipada de $680 a una tasa de 25 convertible mensualmente
11 iquestEl monto de una anualidad anticipada es igual al monto a intereacutes compuesto de su valor actual Ilustre la respuesta con un ejemplo
Ejercicios del capiacutetulo 5
05 DIAZ MATA 05indd 21105 DIAZ MATA 05indd 211 112808 30054 AM112808 30054 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS212
12 iquestA queacute tasa de intereacutes efectivo anual 10 pagos mensuales anticipados de $600 se con-vierten en un monto de $7 000
13 Una empresa de seguros hace preacutestamos a sus empleados con maacutes de 10 antildeos de an-tiguumledad y cierto nivel de sueldo en las siguientes condiciones
Importe del preacutestamo $10 000 Plazo 18 meses Pago 18 abonos mensuales de $62863 comenzando en el momento de entregar el
preacutestamo iquestQue intereacutes anual convertible mensualmente les cobra14 Considere las dos operaciones siguientes
a) 5 pagos semestrales anticipados de $2 250 para liquidar un monto de $16 000 que teniacutea este valor un semestre despueacutes del uacuteltimo pago
b) 30 pagos mensuales anticipados de $89572 para liquidar un valor actual de $20 000 iquestEn queacute operacioacuten se pagoacute maacutes intereacutes15 iquestCon cuaacutentos pagos anticipados de $62384 realizados cada principio de mes se al-
canza un monto de $15 000 si el dinero rinde 297 mensual16 Para pagar la adquisicioacuten de una computadora con precio de $18 000 una empresa
hizo pagos iguales de $315046 al comienzo de cada uno de 6 meses a partir del mo-mento en que se recibioacute el equipo iquestqueacute tasa mensual de intereacutes pagoacute
17 El administrador del club de futbol ldquoLos Invenciblesrdquo estaacute evaluando la compra de un nuevo autobuacutes para transportar a los jugadores Una arrendadora financiera le ofrece un plan de compra mediante el pago de 36 mensualidades anticipadas de $19 68235 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes nominal anual que carga la arrendadora si el precio del auto-buacutes es de $485 750
18 Si ademaacutes de las 36 mensualidades anticipadas el equipo debe pagar 5 del valor del autobuacutes como opcioacuten de compra un mes despueacutes de concluido el pago de los abonos mensuales iquestcuaacutel seriacutea el valor actual de los pagos que deben realizarse para adquirir el autobuacutes
19 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes que se paga en la compra de una computadora que se ofrece mediante 96 pagos fijos semanales de $285 si tiene un valor al contado de $17 71075
20 iquestCuaacutel es el valor actual de los pagos que se erogariacutean para adquirir la computadora del ejemplo anterior si a) la tasa de intereacutes del mercado fuera de 36 anual b) la tasa de intereacutes fuera de 24 anual c) la tasa de intereacutes fuera de 12 anual d) Comente los resultados
54 AplicacionesLas aplicaciones de las anualidades simples ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI) son di-versas pero se destacan las compras a plazo con enganche las compras de seguros y los pagos de renta Una aplicacioacuten comuacuten se ilustra a continuacioacuten
05 DIAZ MATA 05indd 21205 DIAZ MATA 05indd 212 112808 30054 AM112808 30054 AM
213
541 Compras a plazo con enganche
Como herramienta promocional muchas tiendas que venden en abonos ofrecen a sus clien-tes pagos a plazo ldquosin interesesrdquo o bien descuentos sobre los precios de lista si se realiza el pago al contado El sobreprecio que existe entre el precio con descuento y el precio ldquoal contadordquo que en la praacutectica comercial suele ser muy elevado constituye el intereacutes que carga la tienda por la venta a plazos como se ilustra en el ejemplo siguiente cuya informacioacuten fue tomada de internet
Ejemplo 541
Una tienda de departamentos ofrece en venta un televisor El precio al contado es de $5 999 o bien puede adquirirse mediante 24 pagos quincenales de 310
bull iquestCuaacutel es el sobreprecio que aplica la tienda en sus ventas a creacutedito si se considera que la tasa de intereacutes del mercado es de 6 anual y los pagos se realizan en forma anticipada
bull iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes quincenal que carga la tienda por la compra a plazos bull iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes efectiva anual que cobra la tienda
En este caso se estaacute en presencia de una anualidad simple cierta anticipada e in-mediata (ASCAI) Por su parte el valor actual de los pagos quincenales que realizariacutea el comprador se determina utilizando la foacutermula (53)
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
En la misma se sustituyen los valores conocidos
Pago perioacutedico = $310Nuacutemero de periodos = 24Tasa de intereacutes = 6 anual convertible quincenalmente = 624
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
C = + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +310 1
1 1 0 06 240 06 24
24 1( )
C = + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus310 1
1 1 0 00250 0025
23( )
C = + minus⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥310 1
1 0 9441900 0025( )
C = +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥310 1
0 0558100 0025
54 Aplicaciones
05 DIAZ MATA 05indd 21305 DIAZ MATA 05indd 213 112808 30055 AM112808 30055 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS214
C = 310[1 + 223241] C = 310[233241] C = 7 23048
Asiacute el valor actual de los 24 pagos quincenales anticipados que realiza el compra-dor seriacutea de $7 23048 dada una tasa de intereacutes de mercado de 6 anual capitalizable quincenalmente El sobreprecio que debe asumir el comprador es de $123148 esto es 7 23048 minus 5 99900
Para determinar la tasa de intereacutes que aplica la tienda es necesario observar el pro-cedimiento descrito en el ejemplo 535 donde se ensayan valores para distintos valores de i considerando que
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
y
CR
ii
nminus = minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
5 999310
11 1 23
minus = minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus( )ii
18 35161 1 23
( )= minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minusii
Ensayando valores de i se tiene
Si i = 002 1 1
18 292223minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
minus( )
ii
Si i = 0019 1 1
18 493423minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
minus( )
ii
Si i = 00195 1 1
18 392423minus +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
minus( )
ii
Por lo tanto la tasa de intereacutes se encuentra entre 00195 y 002 Interpolando se puede comprobar que la tasa que iguala ambos valores es 00197 Por lo tanto la tasa de intereacutes quincenal que cobra la tienda es de 197 y la tasa de intereacutes efectiva seriacutea
ie = (1 + i)n minus 1ie = (1 + 00197)24 minus 1
ie = 15971 minus 1 ie = 15971 minus 1
ie = 05971 = 5971
05 DIAZ MATA 05indd 21405 DIAZ MATA 05indd 214 112808 30057 AM112808 30057 AM
215
En consecuencia la tasa de intereacutes efectiva anual que cobra la tienda es de 5971 que resulta sumamente elevada cuando las condiciones de infl acioacuten no superan 5-10 anual
55 Uso de ExcelAl igual que en el capiacutetulo 4 en esta seccioacuten se resuelven los ejercicios del capiacutetulo mediante el empleo de funciones de Excel disentildeadas para simplifi car el caacutelculo de una serie de pagos perioacute-dicos conocidos como anualidades En el caso de las anualidades anticipadas estas foacutermulas se aplicaraacuten en combinacioacuten con las capacidades normales de caacutelculo de esta hoja de trabajo
Las funciones que se aplican a ejercicios de anualidades anticipadas son
bull Monto de una anualidad (VF)bull Capital o valor actual de una anualidad (VA)
En las subsecciones siguientes se revisan aplicaciones de cada una de ellas
551 Monto y valor actual (seccioacuten 52)
En el ejemplo 521 se muestra la determinacioacuten del monto de un depoacutesito mensual anticipado de $250 durante un antildeo Para resolverlo se aplica la foacutermula del monto de una anualidad sim-ple cierta vencida e inmediata adicionaacutendole el intereacutes devengado por un periodo adicional puesto que el pago se realiza de manera anticipada con lo que se tiene la foacutermula (51)
M Rii
in
= + minus⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
+( )( )
1 11 (51)
En la hoja de caacutelculo de Excel este problema se soluciona como se ha visto en secciones anteriores mediante las operaciones aritmeacuteticas de Excel (suma resta multiplicacioacuten divi-sioacuten y exponenciacioacuten) o bien utilizando sus funciones predefi nidas
La foacutermula de Excel para calcular el monto compuesto de una anualidad o valor futuro (VF) que se estudioacute en secciones anteriores es
VF(tasanperpagovatipo)
en donde
tasa es la tasa de intereacutes por periodo expresada como tanto por unonper es el nuacutemero total de periodos de pagopago es el pago que se efectuacutea cada periodo va es el capital o valor actual total de una serie de pagos futurostipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacuten-do vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de un pago vencido como es un pa-raacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para un pago vencido Si se anota un 1entonces se calcula como un pago anticipado Para los efectos de las anualidades anticipadas que se estudian en esta seccioacuten deberaacute capturarse siempre un 1
55 Uso de Excel
05 DIAZ MATA 05indd 21505 DIAZ MATA 05indd 215 112808 30100 AM112808 30100 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS216
Sustituyendo los valores del ejemplo 521 se tiene
=VF(000312minus2501)
En alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $3 05915 que es igual a resultado que se obtuvo en el texto Las opciones para la solucioacuten de este ejemplo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten
Los resultados que arrojan son praacutecticamente iguales y la pequentildea diferencia se debe al redondeo
Es importante hacer aquiacute las siguientes observaciones
bull La tasa se expresa como tanto por uno (0003) que equivale al 03 mensual estipulado en el ejemplo
bull En el nuacutemero de periodos (nper) se indica el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten que se consideran En este caso 12 meses
bull El pago como ya se indicoacute es 250 y se anota precedido de un signo negativo puesto que se trata de una erogacioacuten del obrero ahorrador
bull El capital o valor actual (Va) se dejoacute en blanco por lo que aparecen dos comas juntasbull El tipo de la anualidad es anticipada por lo que se anotoacute el nuacutemero 1
En el caso de la foacutermula que aparece en la columna D es recomendable iniciar su cons-truccioacuten a partir de la foacutermula (1 + i)n la cual se expresa en Excel como (1 + i)^n y a partir de la misma eslabonar las operaciones de suma resta multiplicacioacuten o divisioacuten que se requieran encerrando cada una con su pareacutentesis correspondiente
En el ejemplo 522 se determina el monto del depoacutesito utilizando la foacutermula de una anualidad simple cierta vencida e inmediata de 13 pagos a la cual se le descuenta el valor del uacuteltimo pago que no se realiza puesto que soacutelo se efectuaron doce pagos (uno anticipado y once vencidos)
La foacutermula aplicable es la (52)
M Rii
n= + minus minus
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
( )1 11
05 DIAZ MATA 05indd 21605 DIAZ MATA 05indd 216 112808 30101 AM112808 30101 AM
217
La solucioacuten en Excel se ilustra a continuacioacuten
que son praacutecticamente los mismos resultados que se presentaron en el texto (las pequentildeas dife-rencias se deben a redondeos)
En el ejemplo 523 se solicita el monto de seis pagos semestrales anticipados de $14 500 si el intereacutes es de 19 convertible semestralmente La solucioacuten en Excel se presenta a continuacioacuten
que es exactamente el resultado que se tiene en el textoEn el ejemplo 524 se pide determinar una renta anual anticipada que sustituya a una
renta mensual de $2 750 considerando una tasa de 1560 convertible mensualmente A con-tinuacioacuten se muestra la solucioacuten cuando se utilizan las opciones que ofrece Excel tomando en consideracioacuten que en este caso se solicita el Valor actual o Valor presente por lo que se utili-zaraacute la funcioacuten VA de la hoja de caacutelculo
VA(tasanperpagovftipo)
donde
tasa es la tasa de intereacutes por periodonper es el nuacutemero total de periodos de pagopago es el pago que se efectuacutea cada periodo vf es el monto o valor futuro total de una serie de pagos futuros tipo es el tipo de anualidad vencida (0) anticipada (1)
asiacute como la foacutermula (53) para determinar el valor presente de una anualidad anticipada
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( ) (53)
55 Uso de Excel
05 DIAZ MATA 05indd 21705 DIAZ MATA 05indd 217 112808 30102 AM112808 30102 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS218
Los resultados como se puede apreciar son ideacutenticos a los que se presentaron en el textoEn el ejemplo 525 se pide calcular el valor actual de 9 pagos semestrales de $50 000 con in-
tereacutes de 528 semestral con pagos anticipados y vencidos La solucioacuten en Excel se ilustra a continuacioacuten
Pagos anticipados
Pagos vencidos
Los resultados son ideacutenticos a los que se muestran en el desarrollo de la seccioacuten
552 Renta plazo intereacutes y tasa de intereacutes (seccioacuten 53)
Como se menciona en la seccioacuten 53 para conocer cualquiera de estos tres conceptos se uti-lizan las foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas con las modifi ca-ciones vistas en la seccioacuten 52
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
A Ri
i
n= minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus1 1( )
05 DIAZ MATA 05indd 21805 DIAZ MATA 05indd 218 112808 30102 AM112808 30102 AM
219
En el ejemplo 531 se pide determinar el importe del pago de cada uno de cinco abonos mensuales para adquirir una bicicleta cuyo valor al contado es de $1800 si la tasa de intereacutes que aplica la tienda es de 324 anual convertible mensualmente La solucioacuten en Excel es la siguiente
El ejemplo 532 plantea el problema de la determinacioacuten del pago anticipado bimestral que debe realizarse para reunir un monto de $90 000 en un plazo de dos antildeos si la tasa de in-tereacutes que paga es de 12 bimestral La solucioacuten se ilustra en el siguiente cuadro utilizando los operadores matemaacuteticos de Excel (+ minus ^)
El resultado que se obtiene es la misma cantidad que aparece en el textoEl ejemplo 533 ilustra la determinacioacuten del nuacutemero de pagos mensuales anticipados de
$51169 que se requiere efectuar para adquirir un comedor que vale $4 600 al contado si la tasa de intereacutes que aplica la tienda es de 2940 anual convertible mensualmente Para resol-verlo se parte de la foacutermula (53)
C Ri
i
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
de la cual se despeja n con lo cual se obtiene la foacutermula (54)
ni Ci R
i= minus + minus
+1
11
log [ ( )]log ( )
55 Uso de Excel
RC
ii
n=
+ minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( )
RM
ii
n=
+ minus minus+( )1 1
11
05 DIAZ MATA 05indd 21905 DIAZ MATA 05indd 219 112808 30104 AM112808 30104 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS220
que seraacute resuelta con la funcioacuten de logaritmo y con los operadores propios de la hoja de Excel como se ilustra a continuacioacuten
El resultado muestra que deben hacerse 10 pagosLa foacutermula de la funcioacuten de logaritmo es la siguiente
LOG(nuacutemerobase)
donde
nuacutemero es el nuacutemero real positivo para el que se desea obtener el logaritmo ybase es la base del logaritmo Si se omite se supone que es 10
Asiacute en el ejemplo el logaritmo base 10 de (1 + i) se expresa como sigue
LOG((1+029412)10)
El ejemplo 534 ilustra el caso de un fondo de jubilacioacuten que paga 025 mensual de in-tereacutes en el cual se desea acumular $2 000 000 mediante depoacutesitos mensuales anticipados de $5 000 Y se desea conocer el tiempo que se requiere
Para solucionar este problema se recurrioacute a los logaritmos naturales a fi n de demostrar que es equivalente el empleo de logaritmos naturales logaritmos base 10 o cualquiera otra base que se considere uacutetil en un caso particular La foacutermula de la funcioacuten de Excel de los loga-ritmos naturales es
LN(nuacutemero)
donde
Nuacutemero es el nuacutemero real positivo para el que se desea obtener el logaritmo
Dado que la base seraacute siempre la misma uacutenicamente se requiere dar el nuacutemero del cual se desea obtener el logaritmo
BaseNuacutemero
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
05 DIAZ MATA 05indd 22005 DIAZ MATA 05indd 220 112808 30106 AM112808 30106 AM
221
La solucioacuten en Excel se muestra a continuacioacuten
El resultado que se muestra 27710 meses es praacutecticamente el mismo del textoPara determinar la tasa de intereacutes que se plantea en los ejemplos 535 y 536 existe la fun-
cioacuten de Excel denominada TASA que contiene los siguientes argumentos
TASA(nperpagovavftipoestimar)
donde
nper es el nuacutemero total de periodos de pago en una anualidadpago es el pago efectuado en cada periodo que no puede variar durante la vida de la anuali-dad Por lo general el argumento pago incluye el capital y el intereacutes pero no incluye ninguacuten otro arancel o impuesto Si se omite el argumento pago deberaacute incluirse el argumento vfva es el valor actual es decir el valor que tiene actualmente una serie de pagos futurosvf es el valor futuro o el saldo en efectivo que se desea lograr despueacutes de efectuar el uacuteltimo pago Si el argumento vf se omite se supone que el valor es 0 (por ejemplo el valor futuro de un preacutestamo es 0)tipo es el nuacutemero 0 o 1 e indica el vencimiento de los pagos
Defi na tipo como Si los pagos vencen
0 u omitido Al final del periodo
1 Al inicio del periodo
estimar es la estimacioacuten de la tasa de intereacutes
bull Si el argumento estimar se omite se supone que es 10 bull Si TASA no converge trate de usar diferentes valores para el argumento estimar TASA
generalmente converge si el argumento estimar se encuentra entre 0 y 1
El sistema realiza una serie de aproximaciones sucesivas para determinar el valor de i y en caso de que no converja con su valor despueacutes de realizar diez iteraciones devolveraacute la le-yenda iexclNUM
55 Uso de Excel
05 DIAZ MATA 05indd 22105 DIAZ MATA 05indd 221 112808 30106 AM112808 30106 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS222
56 ResumenEn este capiacutetulo se revisaron las anualidades
bull Simples el periodo de pago corresponde al de capitalizacioacutenbull Ciertas las fechas y los plazos son fi jos y se conocen con anticipacioacutenbull Anticipadas el inicio de los pagos o depoacutesitos se hacen al principio de los periodosbull Inmediatas los pagos o depoacutesitos se inician en el mismo periodo en el que se formaliza la
operacioacuten
Se vio que este tipo de anualidades se pueden manejar con las ya conocidas foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas y que soacutelo se requieren pequentildeas modifi -caciones para tomar en cuenta que los pagos o depoacutesitos se hacen por anticipado
Si se ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe
bull Explicar queacute es una anualidad simple cierta anticipada e inmediata (ASCAI)bull Identificar situaciones que puedan representarse mediante este tipo de anualidadesbull Plantear problemas de este tipobull Resolver ejemplos que impliquen su uso y determinar el monto el valor actual o capital
la tasa de intereacutes y el plazo seguacuten sea necesariobull Resolver ejercicios y aplicaciones de anualidades anticipadas utilizando la hoja de caacutelcu-
lo de Microsoftreg Excelreg
bull Anualidad anticipada
M Rii
in
= + minus +( )( )
1 11 (51) C R
ii
n= + minus +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus +1
1 1 1( ) (53)
M Ri
i
n=
+ minusminus
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+( )1 11
1
(52) ni Ci R
i= minus
+ minus⎡⎣ ⎤⎦+
11
1
log ( )
log( ) (54)
Teacuterminos y conceptos importantes
Foacutermulas importantes
Comprobacioacuten del capiacutetulo
05 DIAZ MATA 05indd 22205 DIAZ MATA 05indd 222 112808 30106 AM112808 30106 AM
223
1 Explique queacute es una anualidad simple cierta anticipada e inmediata 2 Deacute un ejemplo de este tipo de anualidad 3 En el caso de una anualidad mensual anticipada de $1000 durante 15 meses a 1 men-
sual calcule monto y valor actual iquestQueacute relacioacuten existe entre ambos 4 iquestA queacute renta anual anticipada equivale una renta trimestral anticipada de $995 si el inte-
reacutes es de 10 convertible cada 3 meses 5 Con su nuevo negocio Julio obtiene utilidades mensuales superiores a los $3 000 Para
crear una reserva con el objeto de ampliar sus actividades decide hacer depoacutesitos men-suales de $500 en un fondo de inversioacuten que paga 143 mensual iquestCuaacutento habraacute acumu-lado exactamente antes de realizar el trigeacutesimo abono
6 Si se puede adquirir un artiacuteculo pagando $500 de inmediato y 4 abonos bimestrales por la misma cantidad iquestcuaacutel es su valor al contado si se consideran intereses a razoacuten de 32 convertible con la misma periodicidad que los pagos
7 El costo de una poacuteliza grupal de seguro para automoacuteviles es de $220 mensuales que se de-ben pagar por adelantado Si se aplican intereses a 13 anual convertible cada mes iquestcuaacutel es el valor anual de la poacuteliza que tambieacuten se debe pagar por adelantado
8 Para saldar una deuda el doctor Domiacutenguez acuerda pagar $675 al principio de cada uno de 36 meses Si el intereacutes es de 18 convertible mensualmente iquestcuaacutel es el valor de los pa-gos que faltan
a) exactamente antes de realizar el quinto pago b) exactamente antes de hacer el decimoquinto pago c) Si despueacutes de hacer 5 pagos deja de hacer otros 4 iquestcuaacutento tendriacutea que pagar al ven-
cimiento del siguiente pago para ponerse al corriente 9 Se renta un terreno comercial por $15 650 anuales anticipados a 162 convertible men-
sualmente iquestCuaacutel es la renta mensual anticipada equivalente10 El 3 de marzo se adquirioacute un equipo de sonido que teniacutea un precio al contado de $12 350
y se acordoacute pagarlo mediante abonos bimestrales comenzando en el momento de la ad-quisicioacuten y para terminar el 3 de enero del antildeo siguiente Si los intereses ascienden a 236 convertible bimestralmente iquestde cuaacutento fueron los pagos
11 iquestCon queacute depoacutesito semestral anticipado se acumula un monto de $35 000 justamente an-tes de realizar el deacutecimo si se consideran intereses de 75 semestral
12 El 14 de enero Montserrat contrajo un preacutestamo por $5 000 que convino en liquidar me-diante abonos mensuales anticipados de $54108 comenzando en el momento de realizar la operacioacuten Si el intereacutes convenido fue de 18 mensual iquesten queacute fecha terminaraacute de pagar
13 Con un pago de $58179 realizado el 27 de octubre se termina de pagar una deuda que teniacutea un valor de $5 550 en su fecha de vencimiento el 27 de noviembre siguiente Si la operacioacuten se realizoacute a 19 mensual y se hicieron pagos iguales mensuales anticipados iquesten queacute fecha se realizoacute el primero de ellos
14 Para comprar un abrigo que cuesta $7 995 al contado se ofrece el siguiente plan de creacutedito 7 pagos mensuales de $1270 a partir del momento de la compra iquestQueacute intereacutes se carga en la operacioacuten
Ejercicios complementarios
Ejercicios complementarios
05 DIAZ MATA 05indd 22305 DIAZ MATA 05indd 223 112808 30108 AM112808 30108 AM
CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS224
15 Se ofrecen en venta casas a creacutedito que se entregan un antildeo despueacutes de hecha la solicitud En el momento de la entrega se debe pagar un enganche de $22 500 Si la compantildeiacutea acep-ta recibir a cambio del enganche 12 mensualidades anticipadas de $2 00050 iquestqueacute tipo de intereacutes anual convertible mensualmente es el que paga la compantildeiacutea
httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno2010anualidadeshtmConceptos y aplicaciones anualidades ordinarias y anticipadas
httpusuarioslycosesmatematicsegundahtmeje1Ejercicios de anualidades anticipadas
httpwwwfordcreditcommxfi nanciamientoindexhtmlAplicacioacuten praacutectica de las anualidades anticipadas para el fi nanciamiento de un automoacutevil
Matemaacuteticas en internet Anualidades anticipadas
05 DIAZ MATA 05indd 22405 DIAZ MATA 05indd 224 112808 30108 AM112808 30108 AM
Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de
bull Definir y explicar queacute es una anualidad diferidabull Identificar y planear operaciones que pue-
dan resolverse mediante los meacutetodos de las anualidades diferidas
bull Planear y resolver problemas de anualidades diferidas que impliquen el caacutelculo de
Monto Valor actual Renta Plazo Intereacutes Tasa de intereacutes
bull Planear y resolver problemas de anualidades diferidas que impliquen operaciones equiva-lentes
bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anuali-dades diferidas utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg
Objetivos 61 Introduccioacuten 62 Monto y valor actual 63 Renta plazo intereacutes y tasa de
intereacutes 64 Uso de Excel 65 Resumen
Temario
Anualidades diferidas
CAPIacuteTULO6
06 DIAZ MATA 06indd 22506 DIAZ MATA 06indd 225 112808 30233 AM112808 30233 AM
CAPIacuteTULO 6 ANUALIDADES DIFERIDAS226
61 IntroduccioacutenYa se han explicado los casos de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas y las anticipadas en los capiacutetulos 4 y 5 En eacuteste se analizan las anualidades diferidas
Al igual que en el capiacutetulo anterior se reduce el anaacutelisis a las anualidades simples y ciertas ya que sus contrapartes los casos generales y contingentes son materia de otros capiacutetulos
Tal como se vio al presentar la clasifi cacioacuten de las anualidades las diferidas surgen del criterio de clasifi cacioacuten referente al momento en que se inician los pagos o abonos
Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depoacutesitos se pospone para un periodo posterior al de la formalizacioacuten de la operacioacuten Al igual que con las anualidades anticipadas tampoco se requieren nuevas foacutermulas ya que se manejan las mis-mas expresiones que se utilizan para las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas Soacutelo es necesario hacer las modifi caciones pertinentes para considerar la postergacioacuten del inicio de los pagos o depoacutesitos
62 Monto y valor actualSe ilustran estos conceptos a traveacutes de los siguientes ejemplos
Ejemplo 621
En octubre un almaceacuten ofrece al puacuteblico un plan de venta de ldquoCompre ahora y pague despueacutesrdquo Con este plan el arquitecto Serviacuten adquiere un escritorio que recibe el 1o de noviembre y que debe pagar mediante 12 mensualidades de $180 a partir del 1o de enero del antildeo siguiente Si se considera un intereacutes de 36 anual convertible mensualmente iquestcuaacutel es el valor al contado del mueble
Solucioacuten
El pago se pospone durante un periodo Si consideramos soacutelo los 12 pagos (de enero a diciembre del antildeo siguiente)
C Ri
i
n= minus + = minus + =
minus minus1 1180
1 1 0 36 120 36 12
1812( ) ( )
00
1 1 030 03
180 9 954004 1 791 72
12minus
= =
minus( )
( ) $ C
Es decir $1 79172 seriacutea el valor al 1o de diciembre ya que se calculoacute el valor ac-tual de una anualidad vencida (la foacutermula de siempre) durante 12 periodos y el inicio del primero de ellos es precisamente el 1o de diciembre Lo uacutenico que resta hacer es
Nov 1 Dic 1 Ene 1 Feb 1 Nov 1 Dic 1
C 180 180
180 180
06 DIAZ MATA 06indd 22606 DIAZ MATA 06indd 226 112808 30234 AM112808 30234 AM
227
calcular el valor actual de 1 79172 en un mes atraacutes que es cuando el comprador reci-bioacute el escritorio
C = 1 79172(103)minus1 = 1 79172(0970874) C = 1 73954
y en resumen
C = minus minusminus180
1 1 030 03
1 0312
1( )
( )
C = 180(9954004)(0970874) C = $1 73954
Como puede verse en este ejemplo y los restantes del capiacutetulo en el caso de las anua-lidades diferidas lo que se hace es encontrar el valor actual (o monto) de la anualidad vencida e inmediata correspondiente (1 79172 en este caso) y luego trasladarla tantos pe-riodos hacia atraacutes como sea necesario Esto es en otras palabras el planteamiento de la ecuacioacuten de equivalencia apropiada
Ejemplo 622
Calcular el valor actual de una renta semestral de $6 000 durante 7 antildeos si el primer pago semestral se realiza dentro de 3 antildeos y el intereacutes es de 17 semestral
Solucioacuten
Aunque ya hemos sentildealado y apreciado su importancia conviene aquiacute destacar la uti-lidad de los diagramas de tiempo y valor para representar las caracteriacutesticas de las situa-ciones que se analizan ya que en este ejemplo hubiera sido faacutecil caer en la conclusioacuten de que el uacuteltimo pago seraacute en la fecha 20 y no la 19 Como se ve en la graacutefi ca ldquodurante 7 antildeosrdquo equivale a ldquodurante 14 semestresrdquo y 14 pagos semestrales que se inician al fi nal del sexto periodo (ldquodentro de 3 antildeosrdquo) terminaraacuten con el pago realizado al fi nal del periodo 19 (para verifi car esta afi rmacioacuten se sugiere contar los pagos uno por uno) Entonces
C
C
= minus
=
minusminus6 000
1 1 170 17
1 17
6 000 5 22929
145( )
( )
( 99 0 45611114 310 85
)( )C =
62 Monto y valor actual
Semestres
Hoy 1 2 3 4 5 6 7
17 18 19
6 000 6 000 6 000 6 000 6 000
06 DIAZ MATA 06indd 22706 DIAZ MATA 06indd 227 112808 30234 AM112808 30234 AM
CAPIacuteTULO 6 ANUALIDADES DIFERIDAS228
Observe tambieacuten que aun cuando se hacen 14 pagos de $6 000 su valor actual es soacutelo ligeramente superior al de dos de ellos (14 31085) por la elevada tasa de intereacutes y el pro-longado plazo
Ejemplo 623
iquestCuaacutel es el monto de la anualidad planteada en el ejemplo 622 En forma graacutefi ca de nuevo
El monto se puede calcular como el de una anualidad vencida y en este caso la pos-posicioacuten en realidad ya no tiene efecto sobre el comportamiento de la anualidad Por ello la consideracioacuten de si la anualidad es diferida o inmediata carece de intereacutes cuando lo que se requiere determinar es el monto
M Rii
M
n= + minus
= minus =
( )
( )
(
1 1
6 0001 17 1
0 176 000 47 10
1422672
282 616 03
)
M =
y ya que conocemos el valor actual de la operacioacuten se puede tambieacuten calcular el monto como el valor a futuro del valor actual o
M = $14 31085(117)19 = 14 31085(19748375) M = $282 61603
Ejemplo 624
El 12 de enero una persona acuerda pagar su deuda mediante 8 pagos mensuales de $3 500 el primero de los cuales debe efectuar el 12 de julio del mismo antildeo Si despueacutes de realizar el quinto pago deja de hacer dos pagos iquestqueacute monto uacutenico deberaacute entregar al vencer el uacuteltimo pago pactado originalmente para saldar completamente su deuda si el intereacutes es de 2160 con capitalizacioacuten mensual
1 2 3 4 5 6
18 19
6 000 6 000 6 000
06 DIAZ MATA 06indd 22806 DIAZ MATA 06indd 228 112808 30235 AM112808 30235 AM
229
Solucioacuten
i = =0 216012
0 0180
El monto de su deuda al 12 de febrero seriacutea
M = minus =35001 0180 1
0 018029 828 95
8( )
= $29 82895
El valor de lo que en realidad pagoacute tambieacuten al 12 de febrero seriacutea
M = minus
=
3500 1 0180 10 0180
1 0180
3500 5 183
53( )
( )
( 2269 1 05497819138 82
)( )$ =
Por lo tanto lo que debe pagar el 12 de febrero para saldar su deuda es
29 82895 minus 1913882 = $10 69013
Resumiendo en la ecuacioacuten de valores equivalentes correspondiente si denotamos por x el pago que se debe hacer
x = minus minus minus3500 1 0180 10 0180
35001 0180 1
0 01
8 5( )
( ) 880
1 0180 10 690 133( ) $ =
62 Monto y valor actual
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
menos
1 2 3 4 5 6 7 8
12 ene 12 jul 12 ago 12 sep 12 oct 12 nov 12 dic 12 ene 12 feb
Lo pactado
3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500
Lo sucedido
3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 mdash mdash
El valor de la deuda el valor de lo pagado al 12 de a su vencimiento febrero inmediatamente (12 de febrero del antes de hacer el segundo antildeo) pago final
06 DIAZ MATA 06indd 22906 DIAZ MATA 06indd 229 112808 30236 AM112808 30236 AM
CAPIacuteTULO 6 ANUALIDADES DIFERIDAS230
63 Renta plazo intereacutes y tasa de intereacutes
Ejemplo 631
El 14 de mayo del antildeo 1 se depositaron $100 000 en un fondo de inversiones con el objeto de retirar 10 mensualidades a partir del 14 de febrero del antildeo 3 Si los intereses que gana la inversioacuten son de 1752 capitalizable cada mes hallar el valor de las mensualidades que se podraacuten retirar
Solucioacuten
i = 0175212 = 001460
La ecuacioacuten de equivalencia seriacutea
100 0001 1 01460
0 014601 01460
1020= minus minus
minusX( )
( )
En donde (1) nos dariacutea el valor actual de una renta vencida al 14 de enero del antildeo 3 cantidad que multiplicada por (2) nos dariacutea el valor actual al 14 de mayo del antildeo 1 que es cuando se hizo el depoacutesito Observe que esta expresioacuten es equivalente a
100 000 1 014601 1 01460
0 0146020
10( )
( )
= minus minusX
en donde el primer teacutermino nos da el valor de la inversioacuten al 14 de enero del antildeo 3 y algebraicamente esta uacuteltima expresioacuten se obtiene multiplicando ambos teacuterminos de la primera expresioacuten por (101460)20 [Para el segundo teacutermino (101460)minus20 (101460)20 = (101460)0 = 1] y
100 000 1 014601 1 01460
0 01460100
2010
( )( )
= minus minus
X
0000 1 336279 9 241758100 000 1 3362
( ) ( )(
=
=
X
X
y779
9 24175814 459 19
)
$ =
1 2 8 9 10
14-V-1 14-VI-1 14-XII-2 14-I-3 14-II-3 14-III-3 14-IX-3 14-X-3 14-XI-3
X X
X X X
20 meses 10 mensualidades vencidas
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2
06 DIAZ MATA 06indd 23006 DIAZ MATA 06indd 230 112808 30238 AM112808 30238 AM
231
Ejemplo 632
El valor al contado de una mesa de billar es de $22 000 Se puede adquirir a creacutedito me-diante 6 pagos bimestrales el primero de los cuales debe realizarse 6 meses despueacutes de la adquisicioacuten Si el intereacutes que se carga es de 4 bimestral iquestde cuaacutento deben ser los pagos
Solucioacuten
22 000 (104)2 = X1 1 04
0 04
6minus⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus( )
22 000(104)2 es el monto al teacutermino del segundo bimestre Esta cantidad equivale al va-lor actual de los pagos bimestrales planteados eacutestos como una anualidad vencida
22 000 1 0816 5 24213722 000 1 0816
5 24
( ) ( )( )
= X
X22137
4 539 22=
Planteado de la otra manera
22 000 = (104)minus2 X1 1 04
0 04
6minus⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
minus( )
22 000 = (0924556)[X(5242137)]
X = = =22 0000 924556 5 242137
22 0004 846650( )( )
$44 539 22
63 Renta plazo e intereacutes
0 1 2 3 4 5 6 8 9 bimestres
22 000 X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 1 2 3 4 5 6 8 9
22 000 X1 X2 X3 X4 X5 X6
ff
ff
06 DIAZ MATA 06indd 23106 DIAZ MATA 06indd 231 112808 30239 AM112808 30239 AM
CAPIacuteTULO 6 ANUALIDADES DIFERIDAS232
Ejemplo 633
Si se depositan hoy $8 000 en una cuenta de inversiones que paga 6 capitalizable men-sualmente iquestcuaacutentos retiros mensuales de $500 se podraacuten hacer comenzando dentro de 6 meses
Solucioacuten
i = 00612 = 0005
Primero se calcula el valor del depoacutesito inicial al fi nal del quinto mes
8 000(1005)5 = 8 20201
Ahora podemos plantear una anualidad vencida
8 202 01 5001 1 0050 005
( )
= minus minusn
1 8 202 01 0 005500
1 005minus = minus ( ) n
minus091798 = 1005minusn
minusn log 1005 = log 091798
n = minus = =log
log
0 917981 005
0 0371670 002166
17 1592280
La respuesta matemaacutetica seriacutea entonces 1716 retiros y en la praacutectica lo que se puede hacer es como se ha visto antes
a) Retirar 17 mensualidades de $500 y una decimoctava de
x = minus minus⎡
⎣⎢⎢
⎤8 202 01 1 005 500
1 0050 005
11717
( )( )
⎦⎦⎥⎥( )1 005
x = (8 92778 minus 8 84865)(1005) x = 7913(1005) = $7953
0 1 2 3 4 5 6 7 n
8 000 500 500
500
06 DIAZ MATA 06indd 23206 DIAZ MATA 06indd 232 112808 30241 AM112808 30241 AM
23363 Renta plazo e intereacutes
b) Retirar 16 mensualidades de $500 y una decimoseacuteptima de
8 202 01 1 005 5001 005 1
0 0058 883 316
16 ( )
( )
minus minus = 66 8 307 12 576 24minus = $
Ejemplo 634
Pedro Paacuteramo contrae hoy una deuda de $10 075 que debe pagar mediante un abono de $3 000 dentro de 3 meses y despueacutes tantos pagos mensuales de $725 como sean necesa-rios hasta saldar el total comenzando dentro de 6 meses Si el intereacutes al que se contratoacute el preacutestamo es de 3768 capitalizable mensualmente iquestcuaacutentos pagos mensuales debe hacer
Solucioacuten
i = 0376812 = 00314
Valor de la deuda en el momento de hacer el pago de $3 000
10 075(10314)3 minus 3 000 = 11 05418 minus 3 000 = 8 05418
El valor de este saldo de la deuda al quinto mes es equivalente al valor actual de las n mensualidades de $725 Para determinarlo se calcula dicho valor a partir del que se de-terminoacute al tercer mes
$8 05418(10314)2 = $8 56792
Ahora para calcular el nuacutemero de pagos
8567 92 7251 1 0314
0 0314
( )
= minus minusn
8567 92 0 0314
7251 1 0314
( )( )minus = minus minusn
(10314)minusn = 0628920 minusn log (10314) = log 0628920
n = minus = minus minuslog log
0 6289201 0314
0 2014050 013427
n = 15
Hoy 1 2 3 4 5 6 7 n
10 075 3 000 725 725
725
06 DIAZ MATA 06indd 23306 DIAZ MATA 06indd 233 112808 30243 AM112808 30243 AM
CAPIacuteTULO 6 ANUALIDADES DIFERIDAS234
Ejemplo 635
Si para pagar una deuda de $25 000 se hacen 5 pagos mensuales de $7 000 comenzando 8 meses despueacutes de formalizar la operacioacuten iquestcuaacutel fue la tasa de intereacutes que se cobroacute
Solucioacuten
25 000 1 7 0001 1
1 11
75
5
7
( )( )
( )( )
+ = minus +
minus ++
=
minus
minus
ii
ii
i i225 0007 000
3 571429=
y al igual que hicimos antes con las anualidades vencidas e inmediatas debemos ensayar
valores de i en 1 1
1
5
7minus +
+
minus( )( )
ii i
para encontrar dos entre los cuales se encuentra 3571429 y
despueacutes aproximar i mediante una interpolacioacuten lineal
1 11
5
7minus +
+
minus( )( )
ii i
es igual a
Si i = 005 = 3076878 i = 004 = 3383019 i = 003 = 3723721 i = 0035 = 3548790 i = 0034 = 3583026
y para interpolar entre estos dos valores
i minusminus
= minus0 0340 035 0 034
3 571429 3 5830263 54879
00 3 5830260 034
0 0010 338737
0 034 0 3
minusminus =
= +
i
i 338737 0 0010 034339
( )i =
0034 i 0035
3583026 3571429 3548790
0 1 7 8 9 10 11 12 meses
25 000 7 000 7 000 7 000 7 000 7 000
06 DIAZ MATA 06indd 23406 DIAZ MATA 06indd 234 112808 30244 AM112808 30244 AM