0-0 carátula tomo iilongitud del arco de circunferencia c n (ver figura 2.1); por lo que esperamos...

Universidad Nacional de Río Cuarto

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ciencias Básicas

CCÁÁLLCCUULLOO II

Tomo II - Teórico-Práctico - 2009

El siguiente texto, en un principio, fue recopilado y organizado sobre la base de la

bibliografía indicada en el programa, principalmente por el Prof. Hugo Omar Pajello.

Colaboraron en esta tarea: María Ziletti, Fabián Romero, Ezequiel Podversic, Gabriel Paisio,

Jorge Daghero, María Barlasina, Aldo Chiarvetto, María Beatriz Nieto, Fernando Pajello.

Actualmente el plantel docente a cargo del dictado de la materia, sigue modificando y

ampliando el presente material

Docentes de la asignatura:

Adrián Barone

Alejandra Mendez

Ezequiel Podversic

Fabián Romero

Gabriel Paisio

Jorge Daghero

Jorge Morsetto

Julio Barros

María Ziletti

Carreras:

Ingeniería en Telecomunicaciones

Ingeniería Química

Ingeniería Mecánica

Ingeniería Electricista

ÍNDICE

Unidad 2 ----------------------------------------------------------------------------- 123

Límite ---------------------------------------------------------------------------- 125

Infinitésimos -------------------------------------------------------------------- 143

Álgebra de límites -------------------------------------------------------------- 149

Límites Indeterminados -------------------------------------------------------- 153

Funciones Continuas ------------------------------------------------------------ 159

Unidad 3 -------------------------------------------------------------------------------- 165

Operadores y Derivadas ---------------------------------------------------------- 167

Cálculo de Derivadas ------------------------------------------------------------- 177

Derivadas de Funciones Circulares ---------------------------------------------- 185

Diferencial de una Función ------------------------------------------------------- 191

Unidad 4 -------------------------------------------------------------------------------- 195

Teorema de Rolle ----------------------------------------------------------------- 197

Teorema del Valor Medio Generalizado (Regla de Cauchy) -------------------- 199

Teorema del Valor Medio o de Lagrange ---------------------------------------- 201

Regla de L’Hopital ---------------------------------------------------------------- 203

Teoría de Máximos y Mínimos ---------------------------------------------------- 209

Trabajos Prácticos --------------------------------------------------------------------- 221

Trabajo Práctico No 5 ------------------------------------------------------------- 223





Resultados (Trabajos Prácticos de Unidades 2, 3 y 4) --------------------------------------- 247

UUnniiddaadd 22

Cálculo l - Facultad de Ingeniería - U.N.R.C.

Unidad 2 – 1. Límite [125]

1 LÍMITE

1.1 UN PROBLEMA MOTIVADOR

Encontrar la longitud de la circunferencia de radio R.

Así planteado el problema, no parece un verdadero problema. Desde nuestros primeros años

de escolaridad conocimos que la respuesta es R2π . Pero si nos dicen ahora, que

demostremos que la longitud de la circunferencia, viene dada por esa fórmula, ya no nos

parece tan sencillo dar una respuesta.

Nos va a guiar en esta primera parte de la respuesta a nuestro problema Arquímedes de

Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), quien, entre otras muchas cosas, calculó el valor de π ,

usando los polígonos inscriptos y circunscritos en una circunferencia.

Comencemos por calcular el perímetro de un polígono regular de n lados inscripto en la

circunferencia de radio R. Observar la siguiente figura puede permitirnos activar nuestra

intuición para dar respuesta al problema.

Figura 2.1


[126] Unidad 2 – 1. Límite

Consideremos el triángulo de lados R, R, ln , uno de sus ángulos interiores será n2

nπ

=α . Si

dividimos a este triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos, observar que el ángulo

nα , queda dividido en dos partes iguales, es decir n2

n π=

α.

Siempre considerando el triángulo rectángulo anterior, llegamos a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α=

2senR

2l nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=

nsenR2ln (2-1)

Designemos por nL , el perímetro del polígono inscripto de n lados entonces:

nn lnL =

y reemplazando por la expresión de ln en esta última, nos produce:

3nparan

sennR2Ln ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π= (2-2)

Es interesante fijar un radio, digamos R=1 y ver que a medida que aumentamos el valor de

n el valor del perímetro, se acerca a π2 . Veamos:

R n Ln

1 5 5,877852523 1 10 6,180339887 1 50 6,279051953 1 100 6,282151816 1 1000 6,283174972

Volvemos a la ecuación (2-1), mirando esta fórmula del lado del polígono regular inscripto en

la circunferencia de radio R, vemos que a medida que n crece la longitud del lado decrece.

Por lo cual la longitud de cada lado para valores de n grande se va a parecer bastante a la

longitud del arco de circunferencia Cn (ver figura 2.1); por lo que esperamos que el

perímetro Ln, calculado en (2-2), se parezca a la longitud de la circunferencia, a medida que

n se hace cada vez más grande.

Ahora bien en la expresión (2-2) cuando n se hace grande el seno se hace cada vez más

chico, con lo cual tenemos un producto de un número muy grande, por un número muy

chico, ¡esto es un problema! Porque… ¿cuánto vale este producto si n es muy grande? ¿un

número pequeño? ¿un número grande? ¿cero? ¿uno?

Otras cuestiones que aparecen ahora son:

1) ¿este producto tiene sentido para n indefinidamente?

2) ¿para n indefinidamente grande, Ln se parece a R2π ? ¿O sólo se da si R=1 como en el

ejemplo?



Para contestar estas cuestiones y dar una respuesta definitiva al problema que nos hemos

planteado, recorremos un largo camino (por momentos tortuoso), guiados por Newton-

Leibniz y otros que han contribuido al desarrollo del Cálculo.

Que este camino sea largo, no nos tiene que extrañar, desde Arquímedes a Newton-

Leibniz han transcurrido más de mil ochocientos años. ¡Cuántos años transcurridos, cuánta

matemática creada!

Después de desarrollar la teoría de Límites, que es el tema de este capítulo, podremos dar

una solución al problema planteado.

1.2 DEFINICIONES PRELIMINARES

Entorno de un punto.

Se llama entorno de un punto, o de un valor x0 de la variable x, a todo intervalo que

contenga a dicho punto y cuya amplitud pueda hacerse tan pequeña como se quiera. Es

decir, entorno de un punto x0, es todo intervalo (a, b), tal que:

a < x0 < b

Se denomina entorno simétrico de centro x0 y radio δ, a todo intervalo (x0-δ, x0+δ). Se

simboliza: N (x0 , δ) o también N(x0).

entorno N(x0 , δ) = {x / x - x 0 < δ} ; para: δ > 0.

Se llama semientorno a la izquierda de x0, a todo intervalo:

(x0-δ, x0) = {x0-δ < x < x0}

Por otra parte, semientorno a la derecha de x0, es todo intervalo:

(x0 , x0+δ) = {x0 < x < x0+δ}

Se denomina entorno reducido, a todo entorno que excluye el valor x = x0. En símbolos:

entorno reducido N' (x0 , δ) = {x / 0 < 0xx − < δ}

Gráficamente:

Figura 2.2



1.3 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE

Una de las ideas centrales del cálculo creadas, casi simultáneamente, por Newton y Leibniz,

en el siglo XVII, es la noción de Límite de una función en un punto. Esta noción nos

permitirá definir conceptos tales como: Continuidad, Derivada de una función y otros que,

hacen del Cálculo una herramienta de gran aplicación en la ciencia y en la tecnología.

Para inspirar nuestra definición en lo que daremos en llamar “Límite de una función en un

punto”, comenzamos por un ejemplo. Consideremos la función a variable real:

1x4x4

)x(f2

−−

=

La gráfica de esta función es la que se muestra a continuación:

Figura 2.3

Una pregunta que surge naturalmente es ¿Cuál es su dominio? ¿ya lo pensó?. La respuesta

es que son todos los reales menos el uno o más formalmente { }1)x(fDom −= R puesto que

si reemplazamos por el número 1 en la fórmula de )x(f resulta una expresión que no

podemos calcular, esto es 00

y de acuerdo con las propiedades de los números reales “no se

puede dividir por cero” o lo que es equivalente a decir “el cero no tiene inverso

multiplicativo”.

Es importante que nos quede claro que si tomamos cualquier otro número real “distinto de

uno” al reemplazar en f(x) su valor, la cuenta se puede hacer sin dificultad. Al decir distinto

de uno, podemos pensar en números próximos al “1” como por ejemplo x=0,98 (¿tiene lápiz

y papel? ¿calculadora?, ¡entonces a verificar!). Obtenemos que f(0,98)=7,92.

¿Si tomamos valores muy próximos a “1” los valores de la función se acercan a algún valor

determinado? O por el contrario, ¿los valores que asume la función no se estabilizan hacia

ningún número, cuando el valor de variable se “acerca” a “1”?.



Para ayudar nuestra intuición completamos la siguiente tabla de valores:

x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,02

f(x) 7,92 7,96 7,996 7,9996 No existe 8,0004 8,004 8,04 8,08

Si miramos la tabla, vemos que:

i) “Los valores de la función se acercan al valor 8 cuando los valores de la variable “x” se

acercan al valor 1”

ii) “Los valores de función se van estabilizando al valor 8 a pesar que la función no está

definida en el punto x=1”

Observaciones:

a) ¿De qué manera podemos cuantificar la afirmación dada en i)?

Que los valores de la función f(x) se acerquen al valor 8, significa que la distancia de f(x) a 8

se va haciendo cada vez más chica. Esto es equivalente a pedir que: |f(x)-8| es cada vez

más chico (piense que el valor absoluto es la manera en que medimos la distancia entre

números reales). De forma similar diremos que, “x” se acerca a 1 si |x-1| se hace chico.

b) Que “|f(x)-8| se haga cada vez más chico, cuando |x-1| se hace chico” lo podemos

expresar diciendo que: Si damos un número positivo arbitrario (lo elegimos como nos

guste), digamos 0>ε , podemos encontrar un número positivo “ 0)( >εδ ” que depende del

número 0>ε , que hemos elegido, de tal forma que se cumpla la implicación:

εδ <−<−< 8)x(fentonces1x0si

Analicemos si esta afirmación traduce efectivamente lo que estamos queriendo expresar. Al

ser 0>ε arbitrariamente elegido, lo podemos tomar tan chico como queramos, esto nos

asegura que la distancia de f(x) a 8, medida por |f(x)-8| es chica y por ende los valores de

función se acercan al valor 8. Ahora para que todo ande bien tenemos que encontrar un

número 0)( >εδ que nos asegure que nos acercamos al valor x=1 (sin llegar a tocarlo,

observe que |x-1|>0, nos interesa qué le pasa a la función cerca del número “1” y no lo que

vale en “1”)

Para verificar la implicación planteada, debemos encontrar el número 0>δ , para asegurar

que efectivamente los valores de función se “estabilizan” al valor 8 cuando nos acercamos

tanto como queramos al valor de variable 1. En caso que para cualquier 0>ε , podamos

encontrar el número 0>δ diremos que: “la función tiende a 8 cuando x tiende a 1” o que

“el Límite de la función es 8 cuando x tiende a 1”. A estas expresiones las notaremos:

8)x(flím1x

=→

c) Para fijar ideas acerca de la observación (b), supongamos que 01,0=ε ¿Cómo debemos

tomar 0>δ para que se cumpla que: 01,08)x(fentonces1x0si <−<−< δ ? (2-3)

Para encontrar el número 0)( >εδ , desarrollaremos una técnica llamada “acotación”.



Procedemos como sigue:

i) Suponemos siempre que 1x ≠ .

( )( )

( )

( )

1x48)x(f

1x48)x(f

81x48)x(f

81x

1x1x48)x(f

81x4x4

8)x(f2

−=−

−=−

−+=−

−−

+−=−

−−−

=−

Observar que la tercera igualdad se justifica pues estamos considerando 1x ≠ , es

decir 01x ≠− y podemos simplificar (alegremente) las expresiones semejantes.

Como ε<− 8)x(f , entonces:

ε<− 1x4

De la última expresión podemos despejar y obtener lo que queríamos:

41x1x4

εε <−⇒<−

Como δ<− 1x , entonces:

)(4

εεδ=

Para nuestro caso:

0025,0)01,0(401,0

)01,0( =δ⇒=δ

ii) Veamos que con esta elección de 0025,0=δ se cumple la implicación planteada

en (2-3) ahora ya sabemos que 0025,01x0 <−< , (no olvidar que 1x ≠ ), en

esencia hacemos los mismos pasos que en (i) pero ahora ya sabemos como tomar

“ δ ”.

( ) ( ) ε==⋅<−=−=−+=−−−

=− 01,00025,041x41x481x481x4x4

8)x(f2

Observar que hemos demostrado: 01,08)x(f0025,01x0si <−⇒<−<

iii) Si miramos fijamente los cálculos, se ve que valen para cualquier 0>ε que

tomemos, por lo tanto vale: εε<−⇒<−< 8)x(f

41x0si . Y esto último nos

dice que “El límite cuando x tiende a 1 de la función1x4x4

)x(f2

−−

= , es 8”

En la notación que usaremos, escribimos: 81x4x4

lím2

1x=

−−

→



iv) Miremos gráficamente qué significa: εε<−⇒<−< 8)x(f

41x0si

Esta última implicación es equivalente a (¿tiene lápiz y papel?):

εεεε +<<−⇒≠∧+<<− 8)x(f81x4

1x4

1si

Esta última expresión nos está diciendo que:

Cada vez que el valor de “x” está en el intervalo reducido1: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε−

41,11,

41 Υ ,

entonces: los valores de de imágenes f(x) “caen” en el intervalo ( )εε +− 8,8 , cuyo

centro es el límite de la función en 1, es decir el número real 8.

Figura 2.4

v) Interpretemos que nos está diciendo el gráfico de la figura anterior (no habla

pero, es como si):

Puesto que se cumple que 8)x(flím1x

=→

, cada vez que demos un número positivo

0>ε se verifica que hay un rectángulo (al cual le sacamos la recta vertical x=1) de

la forma ( )εε +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡8,8x

41,11,

41 Υ , del cual la gráfica de la función no se

sale. En este rectángulo donde está contenido el punto (1; 8), punto límite de la

función.

Observar que el área de cada rectángulo se hace tan chica como queramos, con tal

de tomar un 0>ε , suficientemente pequeño y que estos rectángulos contienen al

(1; 8).



Ahora estamos en condiciones de dar la siguiente definición de Límite de una Función en

un punto, esta definición (que por razones obvias) se llama Épsilon-Delta se debe al

matemático alemán Karl Weierstrass (siglo XIX).

1.4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Definición 1

Sea una función f(x) definida en un intervalo R⊆I , salvo quizás en un número x0 contenido

en I. Diremos que el límite de f(x) es L cuando x tiende a x0, y escribimos: L)x(flím0xx

=→

si se

cumple que:

εεε <−⇒δ<−<>δ> L)x(fxx0si,quetal0)(existe,0Dado 0

Observaciones:

1) La frase “salvo quizás” de la definición significa que puede darse el caso que la función sí

esté definida en el punto Ix0 ∈

2) Procediendo de forma similar a lo hecho en el ejemplo vemos que:

εδ <−⇒<−< L)x(fxx0si 0

es equivalente a:

εεδδ +<<−⇒≠∧+<<− L)x(fLxxxxxsi 000

Esto último nos dice que cualquiera sea el épsilon positivo que tomemos siempre podemos

encontrar un número delta también positivo (que depende del épsilon) de forma tal que,

cada vez que tomamos un número real “x”, en el intervalo: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ δδ +− 0000 x,xx,x Υ , se

puede asegurar que la imagen de ese valor, es decir “f(x)”, pertenece al intervalo

( )εε +− L,L .

3) El gráfico correspondiente a lo expresado en la observación (2) es:

Figura 2.5

1 el nombre reducido es porque no se incluye el centro del intervalo, en este caso el número 1



Mirando el gráfico vemos que, la gráfica de f(x) no se sale del rectángulo de base

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ δδ +− 0000 x,xx,x Υ y de altura ( )εε +− L,L .

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo más para ver como funciona la definición.

Demostrar usando la definición que: 1)7x3(lím2x

=+−→

.

Comenzamos por encontrar como depende el δ , del épsilon, para ello, tomamos un 0>ε y

planteamos:

( ) ( ) ε<−−=+=+=−+=− 2x32x36x317x3L)x(f

De la última desigualdad tenemos que:

( ) ( ) δε⇒ε =<−−<−−3

2x2x3

de aquí se ve que, si tomamos 03

>=εδ se cumplirá la implicación deseada. Para muchos al

encontrar la dependencia funcional de delta con épsilon, se da por concluida la demostración.

Para otros (más formalistas), es aquí donde comienza y se procede como sigue:

εεδδεδε =⋅=⋅<+=−+=−<+<=>3

332x367x31)x(f,entonces2x0si,3

y,0Sea

Esto último nos dice que (por definición) 1)7x3(lím2x

=+−→

. Una observación más a este

ejemplo es que la función está definida en el punto x0=-2, podemos calcular efectivamente la

función en ese valor, y vale f(-2)=1, veremos que sólo algunas funciones tienen un

comportamiento tan lindo como ésta.

Ejemplo 2

Complicaremos este ejemplo con respecto al anterior. Mostraremos que la dependencia del

delta con épsilon no siempre es tan sencilla.

Probar por definición que 2)1x3(lím 2

1x=−

→.

Como siempre primero buscamos la dependencia delta-épsilon y luego vemos que, lo hallado

“funcione” bien.

( ) ( )( ) 1x1x31x1x33x321x3L)x(f,0Sea 22 +−=+−=−=−−=−>ε . Ahora bien en

esta expresión aparece además de 1xxx 0 −=− , otra expresión que depende de x, esta

es 1x + , a la cual procedemos a acotar. Para ello fijemos un delta (auxiliar) y con él

trataremos de dar una cota para la expresión 1x + .

Sea 31x111x1,entonces11x0si,1 11 <+<⇒<−<−=<+<= δδ de aquí sale que

31x <+



9εδ ≤

Con lo cual siempre que tomemos delta igual a 1 podemos asegurar la implicación:

0 1 1 1 3Si x x< − < ⇒ + <.

Luego:

( ) 3 1 1 3 1 3 9 1 99

f x L x x x x εδ ε δ− = − + < − = − < = ⇒ =

Elegimos delta como,

1 ,9

mín εδ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

Esta elección nos asegura que se cumplirán que,

1 3 , ( )x y que f x L ε+ < − <.

Vayamos entonces a la demostración (formal).

2(1) (2)

0, m 1, , 0 1 ,9

( ) 3 3 3 1 1 3.3 1 9 1 99

Sea y sea ín si x entonce

f x L x x x x x

εε δ δ

ε ε

⎧ ⎫> = < − <⎨ ⎬⎩ ⎭

− = − = − + < − = − < =

(1) esta desigualdad se cumple pues 1δ ≤ recordar que

(2) por la misma razón que en (1) .

Observación:

Para los dos ejemplos que hemos analizado vimos que, cuando la variable,”x” tiende a un

cierto valor x0, los valores imágenes tienden a un cierto número real “finito”, L.

En el siguiente ejemplo veremos que, pueden ocurrir otras cosas.

Ejemplo 3

Sea la función definida por:

1( )2

f xx

=+

El dominio de definición de esta función es:

( , 2) ( 2, )dom f = −∞ − − +∞U .

Si recordamos la gráfica de esta función racional, es una hipérbola con asíntota vertical en

x=-2.

1 ,9

mín εδ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭



Figura 2.6

Del gráfico vemos que esta función es no acotada. Al acercarnos a x=-2 por números

mayores, esto se dice formalmente “por la derecha de -2”, los valores imágenes se hacen

cada vez más grandes positivamente. Mientras que si nos acercamos por valores menores

que “-2”, se dice “por la izquierda de -2”, los valores imágenes se hacen grandes en valor

absoluto pero, negativos. Para sintetizar las observaciones que hemos realizado vamos a

escribir que:

2

1lim2x x→−= ∞

+

Ahora queremos poner en lenguaje más preciso las ideas expuestas más arriba que,

podemos sintetizar en: “Si nos acercamos al número -2 (ya sea por izquierda o por derecha),

los valores absoluto de las imágenes de la función, se hacen tan grandes como se quiera”

Esto es dado cualquier número positivo M>0, se puede encontrar un número ( ) 0Mδ > , (que

depende del M).para el cual vale la implicación:

10 ( 2)2

x Mx

δ< − − < ⇒ >+

El antecedente de esta implicación nos dice que, vamos acercándonos a -2, siempre que

podamos encontrar ese delta; mientras que el consecuente de la implicación nos indica que

los valores de imágenes de la función en valor absoluto, se hace tan grande como se quiera,

pues el M tomado es arbitrario.

Veamos en este caso como debemos tomar el delta:

1 1 10, 2, ( ) 22 2

Sea M x f x M xx x M

δ> ≠ − = = > ⇒ + < =+ +

.

De la última desigualdad vemos que si tomamos:

1( )MM

δ =



Vemos que cuanto más grande tomemos M, más chico es el delta, con lo cual siempre vamos

a encontrar puntos “x”, suficientemente cerca de -2 de forma tal que el valor absoluto de

f(x) supere al M.

Para concluir la prueba como siempre, una vez que se encontró el valor 0δ > , procedemos

como antes (ahora ya conocemos la dependencia del delta con M):

1 1 1 10 , 0 2 , ( )12 2

Sea M y sea si x entonce f x MM x x

M

δ δ> = < + < = = < =+ +

.

Esto último asegura que:

2

1lim2x x→−= ∞

+

1.5 LÍMITE INFINITO

Definición 2

Diremos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a x0 y escribimos:

0

lim ( )x x

f x→

= ∞

si se cumple:

00, ( ) 0, , 0 ( )Dado M existe M tal que x x f x Mδ δ> > < − < ⇒ >

Figura 2.7

Ejemplo 4

Demostrar por definición que se cumple:

21

3 3lim1x

xx→

+= ∞

−

Comenzamos por estudiar la dependencia del delta con el M.

2

3 13 3 3 30, 1, 1 , ( ) 11 1 11xxSea M x f x M x

x x x Mxδ

++> ≠ − = = = > ⇒ − < =

+ − −−.



Así tomando:

3M

δ =

Se verifica la implicación pedida en la definición 2. Los pasos son muy similares a lo hecho

más arriba pero ahora ya conocemos la dependencia de delta con M.

2

10, 1, 1 . 0 1 ,

3 13 3 3 3( )31 1 11

Sea M x y sea Si x entoncesM

xxf x Mx x xx

M

δ δ> ≠ − = < − <

++= = = > =

+ − −−

Esto demuestra que

21

3 3lim1x

xx→

+= ∞

− .

Observación:

En los dos casos tratados anteriormente vimos como, se comporta la función en las

proximidades de un punto x0. En muchos casos interesa conocer el comportamiento de la

función para “valores grandes” de la variable independiente es decir para x → +∞ (se lee x

tendiendo a más infinito), o bien el comportamiento para x →−∞ . Siempre y cuando la

función se encuentre definida sobre las semirrectas que contengan estos “puntos

impropios” de la recta real, es decir y+∞ −∞ .

1.6 LÍMITE EN EL INFINITO

Definición 3

Sea f(x) definida en un intervalo (0,+∞) diremos que:

lim ( )x

f x L→+∞

=

si se cumple:

0, ( ) 0 , ( )Dado existe N tal que si x N f x Lε ε ε> > > ⇒ − <

Observación:

Vemos que la definición nos dice que podemos encontrar para, cada épsilon que tomemos un

N que depende de ese épsilon, de forma tal que, si tomamos valores de variable mayores

que ese N los valores de imágenes están en ( , )L Lε ε− + . Otra forma de expresar esto es

decir que la gráfica de la función “no se escapa” de la faja (infinita)

( , ) ( , )N L Lε ε+∞ × − + .



Figura 2.8

Ejemplo 5

Demostrar por definición que:

2 5lim 2x

xx→+∞

+=

Hacemos los cálculos para poder hallar la dependencia del N con el épsilon.

2 5 5 5 5 50, 0 , ( ) 2xSea x entonces f x xx x x x

ε εε

+> ≠ = − = = = < ⇒ >

Observar que en la última igualdad hemos sacado las barras de módulo puesto que estamos

en el caso x → +∞ , con lo cual sin pérdida de generalidad podemos suponer x>0. Ahora si

tomamos:

5( )N εε

=

vemos que se cumple la implicación de la definición.

50, 0 0. ,

2 5 5 5 5 5 5 2 5( ) 2 2 lim 25 x

Sea x y seaN Si x N entonces

x xf xx x x x N x

εε

ε

ε→+∞

> ≠ = > >

+ +− = − = = = < = = ⇒ =

Figura 2.9



Definición 4

Sea f(x) definida en un intervalo ( , )a−∞ diremos que:

lim ( )x

f x L→−∞

=

si se cumple:

0, ( ) 0 , ( )Dado existe N tal que si x N f x Lε ε ε> > − > ⇒ − <

Ejemplo 6

a) Probar por definición que se cumple:

2lim 0xx

e→−∞

=.

12 2 2 210, ( ) 0 0 2 ln ln ln

2x x xSea f x e e e x x x Nε ε ε ε ε

−⎛ ⎞⎜ ⎟> − = − = = < ⇒ < ⇒ < ⇒− > =⎜ ⎟⎝ ⎠

Observar que como, x →−∞ ,podemos suponer 0 0x x< ⇒ − > .

Ahora ya hallamos la dependencia de N con épsilon. Probemos entonces la implicación que

nos pide la definición 4.

( ) ( )12

12

2 21ln2 22 2 2

0 ln , ,

( ) 0 0x x x N

Sea y sea N si x N entonces

f x e e e e eε

ε ε

ε ε

−

−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟ −− −− ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟> = − >⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − = = < = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Explíquese cada uno de los pasos del último renglón.

Figura 2.10

b) Ejercicio: Probar por definición que

2 5lim 2x

xx→−∞

+=



Nos faltaría considerar los casos:

) lim ( ) , ) lim ( ) , ) lim ( ) ) lim ( )x x x x

a f x b f x c f x y d f x→+∞ →+∞ →−∞ →−∞

= +∞ = −∞ = +∞ = −∞

Daremos la definición de (a) y es un buen ejercicio ensayar las definiciones de (b), (c) y (d),

hacerlo.

1.7 LÍMITE EN EL INFINITO

Definición 5 a

Sea f(x) definida en un intervalo ( , )a +∞ diremos que:

lim ( )x

f x→+∞

= +∞

si se cumple:

0, ( ) 0 , ( )Dado M existe N M tal que si x N f x M> > > ⇒ >

Ejemplo 7

Probar por definición que se cumple:

2lim xx

e→+∞

= +∞

12 210, ( ) 2 ln ln ln

2xSea M f x e M x M x M x M N

⎛ ⎞⎜ ⎟> = > ⇒ > ⇒ > ⇒ > =⎜ ⎟⎝ ⎠

Observar que como, x →+∞ ,podemos suponer x>0.

Ahora ya hallamos la dependencia de N con M. Probemos entonces la implicación que nos

pide la Definición 5 a.

( ) ( )12

12

2 21ln2 22 2

0 ln , ,

( )M

x x N

Sea M y sea N M si x N entonces

f x e e e e M M⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟> = >⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = > = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Observación: Si miramos la figura 2.10, se puede ver claramente el comportamiento de la

función f(x)=e2x. Cuando x tiende a más infinito está claro que la función crece

indefinidamente; mientras que, si la variable tiende a menos infinito la función se acerca al

eje horizontal de abscisas, es decir tiende a cero.



1.8 LÍMITES LATERALES

Cuando se definió límite de una función, no se impuso ninguna restricción sobre la forma en

que debía tender x a su límite a ahora bien: como a es un valor numérico real o punto del

eje de las abscisas, la variable x puede acercarse o tender a él tanto por la izquierda como

por la derecha. En símbolos:

x → +a ; ( se lee: "x tiende a a por la derecha o por exceso" )

x → −a ; ( se lee: "x tiende a a por la izquierda o por defecto" )

En general, y dado que, la variable x puede acercarse a su límite a tanto por la derecha

como por la izquierda, se definen dos límites laterales para una función y = f(x):

a) Límite lateral izquierdo: iax

L)x(flím =−→

cuando para todo ε > 0, existe otro

número δ > 0, tal que:

si a-δ < x < a ⇒ | f(x) - iL | < ε

b) Límite lateral derecho: dax

L)x(flím =+→

, cuando para todo ε > 0, existe otro

número δ > 0, tal que:

si a < x < a+δ ⇒ | f(x) - dL | < ε

A los límites laterales iL y dL , se los suele simbolizar también con f(a-) y f(a+),

respectivamente.

Para que el límite de una función y=f(x) exista, es necesario que existan los límites laterales

izquierdo y derecho, y que ambos sean iguales.

lím f(x) = L ⇔ lím f(x) = lím f(x) = L x → a x → a- x → a+

1.9 PASO AL LÍMITE

Se denomina paso al límite, a la operación consistente en reemplazar a la variable x por su

límite a, en la función y = f(x), y de esta manera, determinar el límite de la misma.

Ejemplo:

lím 3x = 32 = 8 ; lím cos x = cos 0 = 1 x → 2 x → 0

El límite de una función y=f(x) cuando x→a, se suele denominar “verdadero valor de f(x)

para x=a”, el que, por otra parte, no siempre es igual a f(a).



Ejemplo:

Sea la función: y = f(x) = xx

7x3x2

3

−+

Calculamos el límite: 71x73x

límxx

7x3xlím

2

0x2

3

0x−=

−+

=−

+→→

Calculamos ahora: f(0) = 00

0.70.32

3

−

+ =

00

Como puede observarse, el límite de la función del ejemplo, existe y es distinto de f(0), que,

es en este caso, es una expresión carente de sentido.

Como no siempre f(x) está definida en a, suelen presentarse las siguientes expresiones

indeterminadas 0; 1 ; 0 . ; - ; ; 00 00 ; ∞∞∞∞∞

∞ ∞ .

En estos casos, mediante operaciones algebraicas puede llegar a levantarse la

indeterminación y calcular el límite, lo cual no siempre es fácil.

1.10 ALGUNOS CONCEPTOS IMPORTANTES

Antes de demostrar algunas propiedades de límites de funciones, destaquemos algunos

conceptos básicos muy importantes:

1. El límite de una función es una afirmación sobre el comportamiento de la función en

puntos próximos a a pero no en a mismo

lím f(x) = L x → a

La función puede no estar definida en el punto x = a pero tener límite cuando x→a , o

también , estar definida en x=a pero ser su valor distinto del límite; f(a) ≠ L.

2. Dos funciones que son iguales para todo valor x≠a, tienen el mismo límite cuando x→a.

3. Si una función está comprendida entre otras dos que tienen el mismo límite para x que

tiende a a, la función dada tiene el mismo límite en a.

4. Si una función, en todos los puntos de un intervalo se mantiene constantemente menor (o

mayor) que otra, su límite en un punto cualquiera de ese intervalo será menor o igual

(mayor o igual) que el límite de la otra para dicho punto.

Si f(x) < g(x) ∀ x ∈ (a , b) entonces

lím f(x) ≤ lím g(x) con x0 ∈ (a , b) x→ x0 x→ x0


Unidad 2 – 2. Infinitésimos [143]

2 INFINITÉSIMOS

Se llama infinitésimo, a toda función y = u(x) que tiene por límite a cero (cuando x→ a, o

bien, cuando ∞→x ). Los atributos esenciales de todo infinitésimo, son entonces, la

variabilidad y tener por límite a cero.

Ejemplo 1:

f(x) = sen x, es un infinitésimo para x que tienda a cero. En efecto:

lím sen x = sen 0 = 0 x → 0

Ejemplo 2:

f(x) = x2 - 16, es un infinitésimo para x → 4. En efecto:

lím (x2 - 16) = 0 x → 4

De acuerdo a la definición de límite de una función y = f(x) cuando x→ a, debe verificarse,

entre otras cosas, que:

L)x(f − < ε

para valores de ε tan pequeños como se quiera. Luego, y a medida que la función f(x) se

acerca a su límite L, la diferencia f(x)-L tiende a cero convirtiéndose, de esta manera en un

infinitésimo u(x) cuando x→a.

f(x)-L = u(x) ; en donde: lím u(x) = 0 x →a

luego,

Esta última expresión, constituye una importante propiedad de las funciones con límite, que

expresa: “toda función con límite, es igual a éste límite más un infinitésimo, para x→ a” y

recíprocamente, “una constante más un infinitésimo para x→ a, es igual a una función que

tiene por límite a dicha constante”.

f(x) = L + u(x)


[144] Unidad 2 – 2. Infinitésimos

2.1 COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS

Comparar dos infinitésimos significa comparar la rapidez con que estos tienden a cero.

Para la comparación de dos infinitésimos, es necesario formar el cociente entre ambos y

calcular su límite.

Sean y=u(x), y=v(x), dos infinitésimos para x→a.

a) Si )x(v)x(u

límax→

= k ≠ 0, se dice que u(x) y v(x) son infinitésimos del mismo orden.

b) Si )x(v)x(u

límax→

= 0, se dice que u(x) es de orden superior a v(x).

c) Si ∞=→ v(x)

u(x) lím

ax, se dice que u(x) es de orden inferior a v(x).

d) Si 1v(x)u(x)

límax

=→

, se dice que u(x) y v(x) son infinitésimos equivalentes.

e) Si v(x)u(x)

límax→

no existe, se dice que u(x) y v(x) son infinitésimos no comparables.

Ejemplo:

lím x3xx2x

2

23

+−

= lím 13xx2x2

+−

= 10

= 0

x → 0 x → 0

Luego, el infinitésimo del numerador es de orden superior al del denominador.

Para la comparación de infinitésimos, se acostumbra utilizar como tipos de comparación:

a) Cuando x→0: a los infinitésimo x, x2, x3, ... , xn

que son infinitésimo de 1o, 2o, 3o, ... , n-ésimo orden.

b) Cuando x→∞: a los infinitésimos n32 x

1...,,

x

1,

x

1,

x1

que son infinitésimo de 1o, 2o, 3o, ... , n-ésimo orden.

En ambos casos al infinitésimo de primer orden, x ó x1

, le llamaremos infinitésimo principal.



2.2 PROPIEDADES DE LOS INFINITÉSIMOS

1°) La suma de un número finito de infinitésimos de orden n, n’, n”,....(con n < n’ < n”..), es

otro infinitésimo de orden n, es decir, del mismo orden que el infinitésimo sumado de menor

orden.

Si: lím u1(x) = 0 ; lím u2(x) = 0 ; ... ; lím un(x) = 0 x → a x → a x → a

resulta: lím [ u1(x) + u2(x) + ... + un(x) ] = 0 x → a

2°) El producto de un número finito de infinitésimos de distinto orden es otro infinitésimo

cuyo orden es la suma de los órdenes de los infinitésimos factores.

Si: lím u1(x) = 0 ; lím u2(x) = 0 ; ... ; lím un(x) = 0 x → a x → a x → a

entonces: lím [ u1(x) · u2(x) · ... · un(x) ] = 0 x → a

3º) El producto de un infinitésimo por una función acotada en un entorno del punto a, es

otro infinitésimo.

Si 0)x(ulímax

=→

; M)x(f ≤ )a(x δ∈∀

resulta [ ] 0)x(f)x(ulímax

=⋅→

Corolario: El producto de un infinitésimo por una constante k es un infinitésimo.

Si k)x(f = ; entonces [ ] 0k)x(ulímax

=⋅→

4º) El cociente de un infinitésimo por una función cuyo valor absoluto se conserva superior a

un número fijo 0k > , es un infinitésimo.

Si 0)x(ulímax

=→

; 0k)x(f >>

resulta 0)x(f)x(u

límax

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

Corolario: El cociente de un infinitésimo por una constante k ≠ 0 es un infinitésimo.

Si k)x(f = ; k ≠ 0 ; entonces 0k

)x(ulím

ax=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡→



2.3 INFINITOS

Se llama infinito a toda función que tiene por límite ∞ cuando x→a ó cuando x→∞ .

Ejemplo 1:

x1

es un infinito en x = 0, pues ∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ x

1lím

0x

Ejemplo 2:

tg x es un infinito en 2

xπ

= , pues ∞=π

→

xtglím

2x

Para los infinitos, se establecen criterios de comparación similares a los de los infinitésimos.

Sean y=U(x), e y=V(x), dos infinitos para x→a, es decir:

∞=→

)x(Ulímax

∞=→

)x(Vlímax

a) Si 0k)x(V)x(U

límax

≠=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

, se dice que U(x) y V(x) son infinitos del mismo orden.

b) Si 0)x(V)x(U

límax

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

, se dice que U(x) es de orden inferior a V(x).

c) Si ∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ )x(V

)x(Ulím

ax, se dice que U(x) es de orden superior a V(x).

d) Si 1)x(V)x(U

límax

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

, se dice que U(x) y V(x) son infinitos equivalentes.

e) Si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ )x(V

)x(Ulím

ax, no existe, se dice que U(x) y V(x) son infinitos no comparables.

Para la comparación de infinitos, se acostumbra utilizar como tipo de comparación:

a) Cuando x→∞ : x, x2, x3, ... , xn, que son infinitos de 1o, 2o, 3o, … , n-ésimo orden.

b) Cuando x → 0: n32 x

1,...,

x1

,x1

,x1

, que son infinitos de 1o, 2o, 3o, ... , n-ésimo orden.

En ambos casos, al infinito de primer orden se llama infinito principal.



2.4 PROPIEDADES DE LOS INFINITOS

1º) La suma de varios infinitos del mismo signo, es otro infinito.

Si ∞=∞=∞=→→→

)x(Ulím;...;)x(Ulím;)x(Ulím nax

2ax

1ax

resulta: [ ] ∞=+++→

)x(U...)x(U)x(Ulím n21ax

Observación: la suma de infinitos de distinto signo es una indeterminación.

2º) El producto de varios infinitos es otro infinito.

Si ∞=∞=∞=→→→

)x(Ulím;...;)x(Ulím;)x(Ulím nax

2ax

1ax

resulta: [ ] ∞=⋅⋅⋅→

)x(U...)x(U)x(Ulím n21ax

3º) El producto de un infinito por una función cuyo valor absoluto se conserva superior a un

número fijo 0k > , es otro infinito.

Si ∞=→

)x(Ulímax

; 0k)x(f >>

resulta [ ] ∞=⋅→

)x(f)x(Ulímax

Corolario: El producto de un infinito por una constante k ≠ 0 es un infinito.

Si k)x(f = ; k ≠ 0 entonces: [ ] ∞=⋅→

k)x(Ulímax

4º) El cociente de un infinito por una función acotada en un entorno de un punto a, es un

infinito.

Si ∞=→

)x(Ulímax

; n)x(f ≤

resulta ∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→ )x(f

)x(Ulím

ax

Corolario: El cociente de un infinito por una constante k≠ 0, es un infinito.

Si f(x) = k ; entonces: 0k;k

)x(Ulím

ax≠∞=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡→

.


Unidad 2 – 3. Álgebra de Límite [149]

3 ÁLGEBRA DE LÍMITES

En el cálculo de límites, al efectuar la operación de paso al límite, es necesario tener en

cuenta las siguientes reglas:

a) Límite de una constante:

El límite de una constante es la constante misma. Sea y = f(x) = c

cclímax

=→

b) Límite de una suma:

El límite de una suma de funciones, es igual a la suma de sus límites.

Sea: 1ax

L)x(flím =→

; 2ax

L)x(glím =→

por la propiedad de las funciones con límite:

)x(uL)x(f 11 += ; con: 0)x(ulím 1ax

=→

)x(uL)x(g 22 += ; con: 0)x(ulím 2ax

=→

sumando miembro a miembro:

)x(u)x(uLL)x(g)x(f 2121 +++=+

como la suma de infinitésimos, es otro infinitésimo,

( ) )x(uLL)x(g)x(f 21 ++=+

finalmente, por la propiedad de las funciones con límite

[ ] 21ax

LL)x(g)x(flím +=+→

o, lo que es lo mismo:


[150] Unidad 2 – 3. Álgebra de Límite

[ ] )x(glím)x(flím)x(g)x(flímaxaxax →→→

+=+

c) Límite de un producto:

El límite de un producto de funciones, es igual al producto de sus límites.

Sea: 1ax

L)x(flím =→

; 2ax

L)x(glím =→

por la propiedad de las funciones con límite,

)x(uL)x(f 11 +=

)x(uL)x(g 22 +=

donde )x(u1 y )x(u2 son infinitésimos en x=a

multiplicando miembro a miembro:

)x(u)x(u)x(uL)x(uLLL)x(g)x(f 21211221 ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅

por las propiedades de las operaciones con infinitésimos,

)x(uLL)x(g)x(f 21 +⋅=⋅

finalmente, por la propiedad de las funciones con límite

[ ] 21ax

LL)x(g)x(flím ⋅=⋅→


[ ] )x(glím)x(flím)x(g)x(flímaxaxax →→→

⋅=⋅

d) Límite de un cociente:

El límite de un cociente de funciones, es igual al cociente de sus límites, siempre que el

límite del denominador sea distinto de cero.

Sea: 1ax

L)x(flím =→

; 2ax

L)x(glím =→

; con: 0L2 ≠

por la propiedad de las funciones con límite,

)x(uL)x(f 11 +=

)x(uL)x(g 22 +=

donde )x(u1 y )x(u2 son infinitésimos en x = a


Unidad 2 – 3. Álgebra de Límite [151]

dividiendo miembro a miembro:

)x(uL)x(uL

)x(g)x(f

22

11

++

=

sumando y restando 2

1

LL

al segundo miembro,

2

1

22

11

2

1

LL

)x(uL)x(uL

LL

)x(g)x(f

−++

+=

de donde:

[ ] 222

21211221

2

1

L)x(uL)x(uLLL)x(uLLL

LL

)x(g)x(f

+−−+

+=

cancelando términos semejantes y aplicando las propiedades de los infinitésimos, resulta:

)x(uLL

)x(g)x(f

2

1 +=

finalmente, por la propiedad de las funciones con límite.

2

1

ax LL

)x(g)x(f

lím =→

o, lo mismo:

)x(glím

)x(flím

)x(g)x(f

límax

ax

ax→

→

→=

e) Límite de un logaritmo:

El límite del logaritmo de una función, es igual al logaritmo del límite de la función.

Esta propiedad no la demostraremos, pero la aplicaremos en otras demostraciones.

Sea

L)x(flímax

=→

Entonces

Llog)x(floglím bbax

=→

o también:

)x(flímlog)x(floglímax

bbax →→

=

f) Límite de una potencia:

El límite de una potencia de funciones, es igual al límite de la base elevado al límite del

exponente.


[152] Unidad 2 – 3. Álgebra de Límite

Sean: 1ax

L)x(flím =→

; 2ax

L)x(glím =→

Aplicando logaritmos en base b a la expresión y = ( )[ ] )x(gxf ,

resulta:

[ ])x(flog)x(gylog bb ⋅=

tomando límites

[ ])x(flog)x(glímyloglím bax

bax

⋅=→→

por límite de un logaritmo y por límite de un producto, resulta :

)x(flímlog)x(glímylímlogax

baxax

b→→→

⋅=

reemplazando por sus límites:

1b2ax

b LlogLylímlog ⋅=→

de donde:

2L1b

axb Llogylímlog =

→

tomando antilogaritmos en base b, nos queda:

2L1

axLylím =

→

finalmente, y reemplazando a y por su igual:

[ ] 2L1

)x(g

ax

L)x(flím =→


[ ])x(glím

)x(flím)x(flímax

ax

)x(g

ax

→

→→⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

Corolario 1: si g(x) es una constante n

[ ]n

ax

n

ax

)x(flím)x(flím⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

→→

Corolario 2 : si f(x) es una constante k

)x(glímkklím ax)x(g

ax

→

→

=


Unidad 2 – 4. Límites Indeterminados [153]

4 LÍMITES INDETERMINADOS

Como ya vimos, cuando se realiza la operación de paso al límite de la función, puede

presentarse alguna de las siguientes expresiones carentes de significado aritmético a las que

denominaremos formas indeterminadas, ellos son:

00

; ∞∞

; ∞−∞ ; 0⋅∞ ; ∞1 ; 0∞ ; 00

En un gran número de casos, es posible determinar el verdadero valor de una cualquiera de

las formas indeterminadas, recurriendo a procedimientos algebraicos, o a transformaciones

trigonométricas, o a procedimientos analíticos basados en el operador de derivadas que

veremos mas adelante.

Asumiendo que 0x

lím→ x

a= ∞ (a ≠ 0) y

∞→xlím

xa

=0 ∀ a, la solución algebraica de estos casos

indeterminados se apoya en el hecho de que el límite de una función no depende de su valor

en el punto, el cual puede no existir, sino que indica la “tendencia” de la función a

aproximarse indefinidamente a un único valor.

En consecuencia, si dos funciones tales como 2x

4x2

−

− y x+2 adoptan los mismos valores

para todo x, excepto para x=2, entonces su “tendencia” es la misma y en consecuencia:

( )2xlím2x4x

lím2x

2

2x

+=−−

→→

de manera que si al hacer el paso al límite nos encontramos con una indeterminación, se

puede intentar factorizar la función tratando de cancelar el factor que produce la

indeterminación y tomar límite a la función resultante quedando :

( )( ) ( ) 42xlím2x

2x2xlím

2x4x

lím2x2x

2

2x

=+=−

+−=

−−

→→→


[154] Unidad 2 – 4. Límites Indeterminados

Debe quedar claro que estas funciones no son iguales, pues sus dominios son distintos.

Algunos casos indeterminados fáciles de resolver son:

a) Limite de un cociente de polinomios cuando la variable tiende a cero.

Q(x)P(x)

lím0x→

= 00

se saca factor común a la variable elevada a la menor potencia con que figura en cualquiera

de ellos y se cancela.

Ejemplo 1.

00

5x7x2x3x6x

lím24

35

0x

=−

++

→

entonces :

( )( ) ∞=

→

→=

−++

=−

++

→→02

5x7x23x6x

lím5x7xx

23x6xx lím 3

24

0x3

24

0x

b) Límite de un cociente de polinomios cuando la variable tiende a infinito.

∞∞

=∞→

Q(x)P(x)

límx

se saca factor común a la variable elevada a la mayor potencia con que figura en cualquiera

de ellos y se cancela.

Ejemplo 2:

∞∞

=+++

++

∞→ 52x3x49x

16x8x lím

3

2

x

entonces:

08

x5

x2

3x9x

x1

x6

8 lím

)x5

x2

3x(9x x

)x1

x6

(8 x lím

22

2

x222

22

x

=∞

→

→=

+++

++=

+++

++

∞→∞→



4.1 LÍMITES NOTABLES

Se denomina así algunas expresiones muy especiales que en la operación de paso al límite

adoptan una forma indeterminada. Demostraremos algunas de ellas:

1o)

1x

senx lím

0x

=→

La operación de paso al límite en la función dada, para x → 0, nos conduce a una forma

indeterminada 00

. Para resolver este límite notable, nos basamos en la circunferencia

unidad.

De acuerdo a la figura 2.5, resulta: sen(x)<x<tg(x) en el primer cuadrante, y

tg(x)<x<sen(x) en el cuarto cuadrante, reemplazando tg(x) por su igual x cosx sen

, resulta

respectivamente :

para 2

x0π

<< : xcos

senxx)x(sen <<

para 0x2

<<π

− : )x(senxxcos

senx<<

o sea en el primer cuadrante: xcos

senxx)x(sen <<

y en cuarto cuadrante: )x(senxxcos

senx<<

dividiendo por sen(x), teniendo en cuenta el signo que corresponda a cada cuadrante :

x cos1

x senx

1 << ; 1senx

xx cos

1>>

tomando recíprocas; como las desigualdades tienen el mismo signo, resulta:

1x

x senx cos ; xcos

xsenx

1 <<>>

ordenando las desigualdades cos x 1x

senx<< ; 1

xx sen

< x cos <

aplicando límites para x → 0, por derecha en el primer cuadrante y por izquierda en el

cuarto cuadrante nos queda :

1 límx

x sen límx cos lím

0x0x0x +→+→+→≤≤ y 1lím

xx sen

lím x coslím0x-0x-0x −→→→

≤≤



Nota : El ≤ aparece por la propiedad enunciada anteriormente , luego como:

lím cos x = 1 y lím 1 = 1 x→0 x→0

finalmente, resulta que para ambos casos: 1 ≤ x

senxlím

0x→ ≤ 1 de donde concluimos que:

quiere decir que, sen(x) y x, son infinitésimo equivalentes para x → 0.

Figura 2.5

2o)

ex1

1 límx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∞→

El límite indeterminado 1∞ que acabamos de plantear, tiene como verdadero valor al número

irracional 2,7182818284..., que es el número mas importante del Cálculo Diferencial e

Integral y que denominaremos “número e”.

Este número e = 2,7182818284... es la base de los logaritmos naturales o neperianos.

Si en la expresión anterior reemplazamos x1

por t, obtendremos otra forma de la definición

del número e.

lím 1x

x sen=

x→ 0



Si tx1= ; entonces cuando x → ∞, t → 0

Luego: ( ) et1límx1

1 límt1

0t

x

x

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

→∞→

3o)

xm

m

emx

1 lím =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

∞→

Este límite notable, se deduce de la definición del número e dado en 2o). En efecto, si

sustituimos:

mx

= t ; resulta: t1

xm

= ; m = tx

cuando: m → ∞ , t → 0

Luego: ( )x

t1

0t

tx

0t

m

m

t1límt1límmx

1 lím⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

→→∞→

+=+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

finalmente, por límite de una potencia: ( ) x

x

t1

0t

x

t1

0t

et1límt1lím =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

→

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

→

++

luego:

xm

m

emx

1 lím =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞→

4o)

1'MMarco

'MMcuerda

lím

0'MM arco

=

→

Para resolver este caso de límite notable, nos basamos en la intuición geométrica.

Sea la circunferencia unidad de la figura 2.6.



Figura 2.6

Por construcción, PP' MM' arco MM' <<

y como: MM' = 2 sen(x) ; arco MM' = 2 x ; PP = 2 tg(x),

resulta: 2 sen(x) < 2x < 2 tg(x)

dividiendo por MM' = 2 sen(x) ,

1 < MM'

x2 <

( )( )xsen2

x tg 2 ( )xcos

1

MM'

2x 1 <<⇒

tomando recíprocas, ordenando y aplicando límites para x → 0:

lím cos x ≤ lím x2'MM ≤ lím 1

x→0 x→0 x→0

Cuando x → 0, 2x→ 0; Luego, como: lím cos(x) = cos 0 = 1 y lím 1 = 1 x → 0 x → 0

finalmente, resulta: 1 ≤ lím x2'MM ≤ 1

x → 0

de donde: 1'MMarco

'MMcuerda

lím

0'MM arco

=

→


Unidad 2 – 5. Funciones Continuas [159]

5 FUNCIONES CONTINUAS

5.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Se dice que una función y = f(x) es continua en el punto x = x0 , si y solo si, se verifican las

siguientes condiciones:

a) Existe lím f(x) = L ; (siendo L un valor finito) x → x0

b) Existe f(x0)

c) L = f(x0)

Las tres condiciones anteriores, pueden resumirse en la siguiente expresión:

lím f(x) = f(lím x) = f(x0)

x → x0 x → x0 (2-6)

De otra manera, puede decirse también, que una función y = f(x) es continua en el punto

x=x0, cuando para todo ε > 0 y tan pequeño como se quiera, se puede hallar otro número

δ>0, tal que verifiquen las desigualdades:

| f(x)-f(x0) | < ε ; para: | x - x0 | < δ

Obsérvese que esto, no es ni más ni menos que la definición de límite de una función, con

L = f(x0) y sin la restricción x ≠ x0

Intuitivamente, una función es continua cuando su gráfica no presenta interrupciones, ni

saltos, ni oscilaciones indefinidas.


[160] Unidad 2 – 5. Funciones Continuas

5.2 CONTINUIDAD A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA

Cuando una función y = f(x) solamente está definida para valores de x0 ≤ x , la definición

(2-6) no es aplicable. En ese caso, se dice que la función y = f(x) es continua a la derecha

en el punto x = x0, si y sólo si, se verifica:

lím f(x) = f( +0x ) = f(x0)

x → x0+

En forma análoga, se dice que la función y = f(x) es continua a la izquierda en el punto

x = x0 , si y sólo si, se verifica:

lím f(x) = f( −0x ) = f(x0)

x → x0-

5.3 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Se dice que una función es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando es continua en

todos sus puntos. En particular, cuando y = f(x) esta definida en el intervalo [a,b], la

primera condición de continuidad en sus puntos no se cumple en los extremos a y b. En tales

casos, se dice que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], cuando es

continua en el intervalo abierto (a,b), y además:

lím f(x) = f(a) ; lím f(x) = f(b) x → a+ x → b-

Se dice que una función es continua, cuando lo es en todos los puntos de su dominio de

definición. Así pues, son continuas las funciones polinómicas en x, las funciones sen(x),

cos(x) , ax, etc.

5.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Los teoremas sobre la continuidad de las funciones, se deducen fácilmente de los teoremas

del Álgebra de Límites, ya desarrollados en la sección 2.3.

a) Si y = f(x) e y = g(x), son continuas en el punto x = x0, también lo son:

1°) f(x) + g(x) (la suma)

2°) f(x) - g(x) (la diferencia)

3°) f(x) . g(x) (el producto)

4°) f(x) / g(x) (el cociente) , siempre que: g(x0) ≠ 0

b) La composición de funciones continuas es continua. Es decir, si u = f(x) es

continua en x = x0; si )u(gy = es continua en u = u0 siendo u0 = f(x0), entonces la

función compuesta y = g [ f(x)] es continua en 0xx = .



c) Si y = f(x) es continua en un intervalo [a , b], esta acotada en dicho intervalo.

d) Si una función y = f(x) es continua en un intervalo y es monótona estrictamente

creciente o decreciente, la función inversa y = f -1 (x) es inyectiva, continua y estrictamente

creciente o decreciente.

e) Si y = f(x) es continua en el intervalo [a,b], y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos,

existe por lo menos un valor x = c de la variable, comprendido entre a y b, para el cual

f(c) = 0.

5.5 CONTINUIDAD UNIFORME

Se dice que una función y = f(x) es uniformemente continua en un intervalo (a,b), si

∀ 0>ε ; ∃ δ > 0 / ∀ x1 , ∀ x2 ∈ [a,b] : |f(x1)-f(x2) | < ε ; para: | x1-x2 | < δ

Una función es uniformemente continua en un intervalo, cuando es continua en su intervalo

cerrado.

5.6 FUNCIONES CASICONTINUAS

Se dice que una función y = f(x) es casicontinua en un intervalo (a,b), si y sólo si, existe

una partición del intervalo en un número finito de puntos, tal que la función f(x) sea continua

en cada uno de los subintervalos [ ]i1i x,x − . Toda función f(x) que presente estas

características, posee un número finito de discontinuidades (ver figura 2.7).

Figura 2.7



5.7 FUNCIONES DISCONTINUAS

Se dice que una función y = f(x) es discontinua en un punto x = x0, cuando no se cumple

alguna de las condiciones de continuidad en un punto.

Ejemplo 1:

f(x)=3x9x2

−−

es discontinua en el punto x=3, porque no se cumplen alguna de las

condiciones de continuidad en un punto. En efecto:

1o) lím 3x9x2

−−

= lím )3x(

)3x).(3x(−

−+ = 6 ; entonces existe el )x(flím

3x→

x → 3 x → 3

2o) No existe f(3)=00

33932

=−−

; (el cociente algebraico 00

, carece de todo sentido).

La función no está definida en el punto.

3o) 6 ≠ f(3)

En este caso, la discontinuidad en x=3 se denomina evitable, dado que, si reemplazamos el

valor de la función no definido f(3) por el límite de f(x) cuando x→ 3, la función pasa a ser

continua (ver figura 2.8).

Figura 2.8

La nueva función obtenida se denomina "función redefinida" y difiere de la anterior en el

dominio.



En nuestro ejemplo, la función redefinida será: f(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

≠−−

3xsi6

3xsi3x92x

Ejemplo 2:

f(x)=4x

1−

, es discontinua en el punto x=4 , porque no se cumple ninguna de las

condiciones de continuidad en el punto. En efecto:

1o) lím 4x

1−

= ∞ ; no existe un límite L finito

x → 4

2o) No existe f(4)=01

441

=−

; (el cociente por cero no existe como operación

aritmética)

3o) lím f(x) ≠ f(4) x → 4

En este caso, la discontinuidad en x=4 es no evitable, se denomina infinita, presentando, en

ese punto, un salto infinito (ver figura 2.9)

Figura 2.9



Ejemplo 3:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤≤

=

4 x < 3 : para ; 8 3 x < 2 : para ; 6 2 x < 1 : para ; 4 1 x < 0 : para ; 2

)x(f

Figura 2.10

Se trata de una función escalonada discontinua en los puntos x=1,2,3, porque no existe un

límite único en cada uno de tales puntos. Es decir:

lím f(x) ≠ lím f(x)

x → +0x x → −

0x

En este caso, las discontinuidades observadas son no evitables, se denominan

discontinuidades finitas, presentando en cada uno de los puntos de discontinuidad, un salto

finito.

En conclusión sólo pueden redefinirse para hacerlas continuas, aquellas funciones que tienen

límite.

UUnniiddaadd 33


Unidad 3 – 1. Operadores y Derivadas [167]

1 OPERADORES Y DERIVADAS

1.1 REVISIÓN DE CONCEPTOS

Concepto de operador

Se denomina operador, a todo símbolo que representa una operación a realizar sobre la

expresión sometida a su alcance. Entre los operadores que se utilizan con mayor frecuencia

en el Cálculo Diferencial e Integral, podemos mencionar a los siguientes:

Σ ; Π ; Δ ; dxd

; Ε ; ∫ ; etc. (E significa: Operador Parte Entera de...)

El operador de suma

Cuando todos los términos de una suma se obtienen de una misma expresión, dando valores

enteros sucesivos a una variable ó índice que en ella figura, se representan

sintéticamente, anteponiendo a dicha expresión el operador de suma o sumatorio Σ (sigma

mayúscula), indicando debajo y encima del mismo, los valores extremos que asume la

variable ó índice del operador.

Ejemplo: (2·1 - 3) + (2·2 - 3) + (2·3 - 3) + (2·4 - 3) = ∑=

4

1n

(2n- 3)

Ejemplo: x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + ........ + xk yk = ∑=

k

1i

iiyx

El operador de suma se suele utilizar también, para poner de manifiesto la existencia de una

limitación o restricción que deben verificar los índices de una determinada expresión que se

suma.

Ejemplo: a3 + a2b + ab2 + b3 = ∑=+ 3ji

ji ba


[168] Unidad 3 – 1. Operadores y Derivadas

Mediante el operador de suma, es posible simplificar la estructura de un producto entre

varias sumas que reúnan las condiciones mencionadas. De esta manera, se obtienen los

denominados sumatorios dobles, triples, etc.

Ejemplo: (∑=

m

1i

ix ).(∑=

n

1j

jy ) = ∑∑= =

m

1i

n

1j

jiyx

o también: = ∑==

n,m

1j;1i

jiyx

Ejemplo: ∑∑∑∑∑∑= = ====

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ m

1i

n

1j

p

1k

kji

p

1k

k

n

1j

j

m

1i

i zyxz.y.x

o también = ∑===

p ,n ,m

1k1;j1;i

kji zyx

Propiedades del operador de suma

1°) ∑ ∑= =

=n

1i

n

1i

ii xKx K ; Toda constante puede extraerse fuera del alcance del operador de

suma.

2°) ∑=

=n

1i

nKK ; El sumatorio de n veces la constante K es igual al producto n K.

3°) ∑ ∑ ∑= = =

±=±n

1i

n

1i

n

1i

iiii yx)yx( ; El operador de suma puede distribuirse en una suma

algebraica, aplicándose término a término.

El operador de multiplicación

Cuando todos los factores de un producto se obtienen de una misma expresión, dando

valores enteros sucesivos a una variable o índice que en ella figura, se representan en

forma compacta, anteponiendo a dicha expresión el operador de multiplicación o

multiplicatorio ∏ (pi mayúscula), indicando debajo y encima del mismo, los valores

extremos que asume la variable o índice del operador.

Ejemplo: 13· 23· 33· 43· 53· 63· 73 = ∏=

7

1n

3n

Ejemplo: x1· x2· x3· ... · xk = ∏=

k

1n

nx



Ejemplo: 1 · 2 · 3 · 4 · ... · (n - 1) · n = ∏=

=n

1i

!ni

A esta última expresión, se la suele representar también con el símbolo n! y que se lee:

"factorial de n" ó "n factorial".

El operador de diferencias

Cuando en una función y = f(x), la variable independiente x experimenta un incremento

arbitrario -positivo o negativo-, la función experimenta también un incremento positivo,

negativo o nulo.

El incremento resultante, tanto de la variable independiente como de la función, se

representa abreviadamente anteponiendo al valor original de cada una de ellas, el operador

de diferencia Δ (delta mayúscula).

Δx = (x + h) - x = h

Δf(x) = f(x + h) - f(x) = f(x + Δx) - f(x)

De un modo más general, es posible definir las diferencias sucesivas de la función y = f(x),

en la siguiente forma:

a) Diferencia primera o de primer orden:

Δf(x) = f(x + h) - f(x)

b) Diferencia segunda o de segundo orden:

Δ2 f(x) = Δ[Δf(x)] =

= Δ[f(x+h) – f(x)] =

= Δf(x + h) - Δf(x)

La diferencia de segundo orden se define como la diferencia de la diferencia de primer orden.

c) Diferencia de n-ésimo orden:

Se define como la diferencia de la diferencia de orden (n-1):

Δnf(x) = Δ[Δn-1f(x)]= Δn-1f(x + h) - Δn-1f(x)

Propiedades del operador de diferencia

1) Δ[f(x) + g(x)] = Δf(x) + Δg(x)

Demostración: Δ[f(x) + g(x)] = [f(x + h) + g(x + h)]-[f(x) + g(x)]

= [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]

= Δf(x) + Δg(x)



La diferencia primera de una suma de funciones, es igual a la suma de las diferencias de

cada una de ellas.

2) ΔC = 0 ; siendo C una constante

Demostración: ΔC = C - C = 0

La diferencia primera de una constante, es nula.

3) Δ[C f(x)] = C Δ f(x)

Demostración: Δ[C f(x)] = C f(x + h) - C f(x)

= C [f(x + h) - f(x)]

= C Δf(x)

La diferencia primera del producto de una constante por una función, es igual a la constante

por la diferencia primera de la función.

Incrementos absolutos y relativos de una función

Se llaman incrementos absolutos de la variable independiente x y de la función y=f(x), a

cada una de las diferencias de primer orden:

Δx ; Δf(x)

Por otra parte, se llaman incrementos relativos de la variable independiente y de la función,

a cada uno de los cocientes:

f(x)f(x)

; xx ΔΔ

Los incrementos relativos nos proporcionan una medida del crecimiento, ya sea de la

variable independiente o de la función, por unidad de variable o de función respectivamente.

Cociente de incrementos

El crecimiento medio de la función y = f(x) en el intervalo (x, x + h), viene determinado

por la razón:

h

)x(f)hx(fx

)x(f −+=

ΔΔ

(3–

1)

a la que denominamos cociente de incrementos o cociente incremental.



1.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea y = f(x), una función definida en un punto x0 del intervalo (a, b). Se define a la derivada

de f(x) en el punto x = x0, como el límite del cociente de incrementos, si existe, cuando el

incremento de la variable tiende a cero. En símbolos:

f '(x0) = x

)x(f)xx(flím

x)x(f

lím 00

0x

0

0x Δ−Δ+

=Δ

Δ→Δ→Δ

(3–

2)

o también:

f '(x0) = h

)x(f)hx(flím 00

0h

−+→

La expresión f '(x0), que se lee "derivada primera de f(x) en x0", o más sintéticamente, "f

prima en x0", es una función del valor particular que recibe x, es decir, la derivada es

también una función de la variable independiente x.

Ejemplo: Calcular por definición la derivada de la función f(x) = 2x + 1 en el punto x0 = 1

f(x0 + h) = 2(x0 + h) + 1 ⇒ f(1 + h) = 2(1 + h) + 1

f(x0) = 2 x0 + 1 ⇒ f(1)= 2. 1 +1 =3

h2h

h

2 - 2h 2

h 3 - 1 h) 2(1

h

f(1) - h) f(1

h1) (2x - 1 h) 2(x

h

)f(x - h) f(x 0000 =+

=++

=+

=+++

=+

f '(x0) h

)f(x - h) f(x lím 00

0h

+=

→

f '(1) 2 2 lím h2h

lím h

f(1)- h) f(1 lím

0h0h0h===

+=

→→→

Ejemplo: Calcular por definición la derivada de la función f(x) = 5x2 + 2x en el punto x0 =

2

f '(2) = h

22h h5lím

h 2.2] [5.2 -h)] 2(2 h) [5(2

lím2

0h

22

0h

+=

++++→→

= 22

La derivada primera de una función y = f(x), en el punto x = x0 se puede definir también,

con alguna de las formas equivalentes a (3-2):



h

)f(x - h) f(x lím )(x'f 00

0h0

+=

→

0

0

xx x - x )f(x - f(x)

lím0→

=

00 x0x

x xy

límdxdy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→Δ

En la última notación, 0xdx

dy⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, se lee "derivada de y con respecto a x en x0".

La derivada primera f '(x0), puede simbolizarse también, con alguna de las notaciones:

0

0

xx

00

00 'ydxdy

)x(fdxd

dx)x(df

)f(x D)x('f =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛====

Se dice que una función y = f(x) es derivable en un punto x = x0, cuando existe la derivada

f '(x0). Por extensión, se dice que una función es derivable en un intervalo (a , b), cuando es

derivable en todos los puntos del mismo.

Derivadas a la derecha y a la izquierda

A veces, el cociente de incrementos de la función f(x) en el punto x0, presenta límites

distintos según que el incremento h de la variable independiente, tienda a cero por la

derecha o por la izquierda. Cuando se presenta tal situación, es necesario definir dos

derivadas en el punto x0, a saber:

a) Derivada a la derecha: Se define la derivada a la derecha de f(x) en el punto x=x0,

como:

f +'(x0) h


0h

+=

+→ cuando dicho límite existe.

b) Derivada a la izquierda: Se define la derivada a la izquierda de f(x) en el punto x = x0

como:

f -'(x0) h


0h

+=

−→ cuando existe dicho límite.

Se dice que una función y = f(x) tiene derivada en el punto x = x0, cuando son iguales las

derivadas a la derecha y a la izquierda.

f +'(x0) =f -'(x0) = f '(x0)

Teorema:

Si una función f(x) es derivable en un punto ⇒ es continua en dicho punto



Para que una función sea derivable en un punto, es necesario que la misma sea continua en

dicho punto.

Toda función derivable en un punto es continua, pero, la reciproca no siempre es cierta. O

sea que, la continuidad de una función en un punto, es una condición necesaria pero no

suficiente para la derivabilidad en el mismo.

Ejemplo:

Sea la función f(x) = x =⎩⎨⎧

<≥

0x si x-0 x si x

Esta función es continua en cero pero no es derivable en x=0:

• Es continua; pues

( )0xlím

0xlímxlím

0xlímxlím

0x0x0x

0x0x =∃⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−=

==

→→→

→→

−−

++

y como f(0) = 0 = 0.x en continua es x)x(fxlím0x

==⇒→

• No es derivable, pues si f(x) es derivable en x0 = 0 entonces existe

x)x(f)xx(f

lím 00

0x Δ−Δ+

→Δ pero no es así

=Δ

Δ=

Δ

−Δ+=

Δ

−Δ+=

Δ−Δ+

→Δ→Δ→Δ→Δ x

xlím

x

0x0lím

x

xxxlím

x)x(f)xx(f

lím0x0x

00

0x

00

0x

(0)'f lím 1

x x

lím 0 x si

1 xx

lím 0 x si

0x

0 x∃/⇒∃/∴

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=ΔΔ−

=<Δ

=ΔΔ

=>Δ

→Δ

→Δ

La función derivada

Si una función y = f(x) admite derivada en cada punto del intervalo (a, b), el valor de dicha

derivada es, en general, una nueva función de la variable x, a la que denominaremos función

derivada. En símbolos:

f '(x) = Df(x) = 'ydxdy)x(f

dxd

dx)x(df

=== (∗)

∗ La notación f'(x) se debe a LAGRANGE (1736-1813); D f(x) fue introducido por ARBOGAST (1759-1803); y la notación

dx

)x(df corresponde a Leibniz.



Las notaciones D y dxd

constituyen los operadores simbólicos de la derivada, representando

una determinada operación a realizar con la función f(x) a la cual se aplican. Es necesario

recordar que los operadores no son números y, por lo tanto, no pueden simplificarse.



Derivada infinita

Se dice que la derivada de la función y = f(x) en el punto x = x0 es infinita cuando:

∞=−+

→ h)x(f)hx(f

lím 00

0h

Geométricamente, cuando la derivada de una función es infinita, la curva tiene una asíntota

vertical, es decir, una recta paralela al eje y cuya ecuación es x = x0.

1.3 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Sea y = f(x) una función derivable en el intervalo (a, b), que representamos gráficamente en

un sistema de ejes cartesianos ortogonales.

Consideremos los puntos P = (x0 ; f(x0 )) y Q = (x0 + h ; f(x0 +h))

Figura 3.1

Por definición trigonométrica de tangente, resulta:

(3–3) )(tgh

)x(f)hx(f 00 β=−+

y este valor es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por P y Q

Al tomar límites para h→0, la recta secante que pasa por los puntos P y Q, tiende a

convertirse en la recta tangente a la curva en el punto P. En tal caso, el ángulo β tiende a

convertirse en el ángulo α. Luego:

)(tglímh

)x(f)hx(flím 00

0hβ=

−+α→β→



de donde, al realizar la operación de paso al límite:

f '(x0) = tg (α) (3–

4)

O sea que: "la derivada de una función en un punto, es igual a la tangente trigonométrica del

ángulo que forma la tangente geométrica a la curva en dicho punto, con el sentido positivo

del eje x".

Por otra parte, dado que: f '(x0) = tg (α), este número mide la pendiente de la recta

tangente, puede decirse también que: "la derivada de una función en un punto, es igual al

coeficiente angular o pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto".

1.4 ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL A UNA

CURVA PLANA

La ecuación de una recta que pasa por un punto (x0 ; y0) es y-y0 = m (x-x0).

Dada una función y = f(x) derivable en el punto (x0 ; f(x0)) del intervalo (a , b), una recta

que pase por ese punto tendrá la ecuación y–f(x0) = m (x-x0). Si en particular queremos

que la recta sea tangente a la curva en ese punto, su pendiente m deberá ser m = f '(x0)

de acuerdo a la interpretación geométrica de la derivada. Luego:

y = f '(x0) (x-x0) + f(x0) (3–

5)

es la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f(x) en el punto ( x0 ; f(x0) ).

Se llama “recta normal” a una curva plana en un punto P, a la recta perpendicular a la

recta tangente a la curva en dicho punto.

Como la relación de las pendientes de dos rectas perpendiculares es que su producto da por

resultado -1, o sea m· m´= -1 , entonces la recta normal tendrá por pendiente -(x)'f1

Entonces la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función y = f(x) en el punto

(x0 ; f (x0)), será:

( ) )x(fxx)x´(f

1y 00

0

+−−= (3–

6)



Figura 3.2

Derivadas Sucesivas

Si la función y = f(x) es derivable en el intervalo (a, b), su derivada es una nueva función de

la variable x, por lo tanto, puede aplicársele nuevamente el procedimiento de derivación,

para obtener la derivada segunda o derivada de segundo orden de f(x); cuyas notaciones

son:

D f '(x) =f ''(x) = ==2

2

2

2

dx

yd

dx

)x(fdy''

A su vez, si aplicamos el operador de derivada a la derivada segunda, obtenemos la derivada

tercera o derivada de tercer orden de la función f (x).

D f ''(x) =f ''' (x) ===3

3

3

3

dx

yd

dx

)x(fdy'''

De un modo más general, la derivada de la derivada de orden (n - 1), si existe, nos define la

derivada de n-ésimo orden o derivada de orden n de la función f(x), que se representa:

( ) ( ) )n(n

n

n

n)n()1n( y

dxyd

dx)x(fd

xfxfD ====−


Unidad 3 – 2. Cálculo de Derivadas [177]

2 CÁLCULO DE DERIVADAS

2.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA)

Sea u = f(x) una función continua definida en el intervalo (a, b). Sea, además, y = g(u) otra

función continua definida en el intervalo (f(a), f(b)), y consideremos la función de función o

función compuesta y = g[f(x)].

Vamos a ocuparnos, en esta sección, del cálculo de la derivada de la función compuesta

y = g[f(x)], en términos de las derivadas de f(x) y de g(u) siempre que estas últimas existan

y sean continuas.

Partimos de la identidad: xy

xy

ΔΔ

=ΔΔ

multiplicando y dividiendo por Δu al segundo miembro, resulta:

xu

uy

uu

xy

xy

ΔΔ

⋅ΔΔ

=ΔΔ

⋅ΔΔ

=ΔΔ

finalmente, tomando límites para Δx→0 , en cuyo caso, también Δu→0:

xu

límuy

límxy

lím0x0u0x ΔΔ

⋅ΔΔ

=ΔΔ

→Δ→Δ→Δ

de donde, y por definición de función derivada:

dxdu

dudy

dxdy

⋅= (3-7)

o también; como y = g[f(x)] y u = f(x), resulta:

[ ]u'(u)g'

dxdu

.dug(u) d

dxf(x)g d

⋅==

Esta fórmula, de significativa importancia en el cálculo de derivadas de las funciones

compuestas, recibe el nombre de “regla de la cadena”.


[178] Unidad 3 – 2. Cálculo de Deriva-das

2.2 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Sea y = f(x)= logax ; en donde: a > 0 y a ≠ 1. Por definición, la derivada de esta función

será:

hxlog)hx(log

límh

)x(f)hx(flím)x('f aa

0h0h

−+=

−+=

→→

por propiedad de los logaritmos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

→→ xh

1logh1

límx

hxlog

h1

lím)x('f a0h

a0h

Para eliminar la forma indeterminada ∞⋅0 que se presenta al realizar el paso al límite en la

última expresión, multiplicamos y dividimos por x, y aplicamos la propiedad correspondiente

al logaritmo de una potencia.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=

→→

hx

a0h

a0h x

h1log

x1

límxh

1loghx

x1

lím)x('f

Si hacemos t1

hx

, txh

== . Luego, cuando h→0 , también t→0

y por la propiedad de límite de un logaritmo, la expresión anterior nos queda:

( )t1

0ta t1límlog

x1

)x('f +=→

finalmente, y por definición del número e:

elogx1

)x('f a= (3-8)

Luego elogx1

xlogD aa =

A modo de recordatorio se muestra la gráfica de la función ( )t1

t1y +=



En particular, si y = f(x) = ln x , resulta:

elnx1

xlnD = y como ln e = 1

x1

xlnD = (3-9)

De un modo más general, y por la regla de la cadena:

elogu'u

'y entonces , ulogy si aa == (3-10)

u'u

'y entonces , ulny si == (3-11)

2.3 EL MÉTODO DE DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Sea la función compuesta z = g[f(x)], en donde: z = g(y) = ln y , siendo y = f(x) , entonces

g es una función de x a través de f.

Por aplicación de la regla de la cadena y por la derivada del logaritmo de una función,

resulta:

z = g[f (x)] = ln f (x)

( )[ ] ( )( )

y'y

dxylnd

también o xfx'f

dxxfg d

== (3-12)

Estas fórmulas, conocidas como derivadas logarítmicas de la función y = f(x) se utilizan para

la demostración y el cálculo de derivadas.

2.4 DERIVADA DE UNA CONSTANTE

Sea y = f(x) = c una función constante. Por la segunda propiedad del operador de

diferencia:

0c)x(f =Δ=Δ

de donde: 0x0

x)x(f

=Δ

=Δ

Δ

tomando límites para Δx→0

00límx

)x(flím

0x0x==

ΔΔ

→Δ→Δ

de donde resulta que: si f(x) = c , entonces f '(x) = 0 (3-

13)



La derivada de una constante es igual a cero.

2.5 DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES

Sea y = u + v, una suma de funciones de la misma variable independiente x. Por la primera

propiedad del operador de diferencia

vu)vu(y Δ+Δ=+Δ=Δ

de donde xv

xu

xy

ΔΔ

+ΔΔ

=ΔΔ

tomando límites para Δx→0

xv

límxu

límxy

lím0x0x0x ΔΔ

+ΔΔ

=ΔΔ

→Δ→Δ→Δ

finalmente, y por definición de función derivada:

'v'u'y += (3-14)

o también 'v'u)vu(D +=+

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una de ellas.

De un modo más general, si y=u+v+...+w, en donde u=f1(x), v=f2(x), ..., w=fn(x) resulta:

∑∑==

=n

1i

i

n

1i

i )x(Df)x(fD (3-15)

o también 'w...'v'u)w...vu(D +++=+++

2.6 DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES

Sea y = u⋅v, un producto de funciones de la variable independiente x.

Tomando logaritmos naturales:

vlnuln)vuln(yln +=⋅=

derivando ambos miembros con respecto a x:

v'v

u'u

y'y

+=

de donde ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

v'v

u'u

vuv'v

u'u

y'y

finalmente



'vu'uv'y ⋅+⋅= (3-16)



o también

'vu'uv)vu(D ⋅+⋅=⋅

La derivada de un producto de funciones es igual al segundo factor multiplicado por la

derivada del primero, más el primer factor multiplicado por la derivada del segundo.

De un modo más general, si y = u⋅v⋅....⋅w, resulta

'w...)vu()w...'v(u)w...v('u)w...vu(D ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅

2.7 DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

Sea y = c⋅u , donde c es una constante y u una función de x ; u = f(x)

)x(fcuc ⋅=⋅

Por derivada de un producto, resulta:

0c' :como y 'uc'cu)uc(D =⋅+⋅=⋅

entonces u'cu)D(c ó 'uc'y ⋅=⋅⋅= (3-17)

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la

constante por la derivada de la función.

Derivada de una combinación lineal de funciones

Sea y = c1 f1(x) + c2 f2(x) +...+ cn fn(x), en donde c1, c2, ..., cn son constantes.

Por aplicación de las reglas de derivación (3-14) y (3-17), resulta:

∑ ∑= =

⋅=⋅n

1i

n

1i

iiii )x(Dfc)x(fcD (3-18)

La derivada de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación lineal de las

derivadas de cada una ellas.

2.8 DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES

Sea vu

y = , un cociente de funciones de la variable independiente x. Tomando logaritmos

naturales, resulta:

ln y = ln u – ln v

derivando ambos miembros con respecto a x,



v'v

u'u

y'y

−=

de donde:

⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

v'v

u'u

vu

v'v

u'u

y'y

finalmente,

22 v

'uv'vuvu

D ó v

'uv'vu'y

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (3-19)

La derivada de un cociente de funciones de una misma variable es igual al producto del

divisor por la derivada del dividendo menos el dividendo por la derivada del divisor, dividido

todo por el cuadrado del divisor.

2.9 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL

Sea la función potencial y = f(x) = x n. Tomando logaritmos naturales

0 x ; xlnnyln >∀⋅=

Derivando ambos miembros con respecto a x

x1

ny'y=

de donde

1nn xnx1

xnx1

ny'y −⋅=⋅⋅=⋅⋅=

luego

( ) 1nn1n xnxD ó xn'y −− ⋅=⋅= (3-20)

De un modo más general, si y = un siendo u = f(x), empleando la regla de la cadena

( ) 'uunuD ó u'un'y 1nn1n ⋅⋅=⋅⋅= −− (3-21)

2.10 DERIVADA DE UNA RAÍZ

Sea n1

n xxy == , empleando la derivada de una función potencial

n 1nn1n

nn1

1n1

1n1

xn

1

xn

1

xn

1

xn

1x

n1

'y−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

⋅

=

⋅

=

⋅

=⋅=

luego

( )n 1n

n

n 1n xn

1xD ó

xn

1'y

−−== (3-22)



En el caso particular de la raíz cuadrada, si xy =

x2

1'y =

En el caso más general, si n uy = siendo u = f(x), por la regla de la cadena resulta

( )n 1n

n

n 1n un

'uuD ó

un

'u'y

−−== (3-23)

2.11 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea la función exponencial y = f(x) = ax ; para a > 0, a ≠ 1. Tomando logaritmos naturales,

resulta

ln y = x ln a


alny'y=

de donde

alnaalny'y x==

es decir:

alna)(aD ó alna'y xxx == (3-24)

En el caso más general, si y = au siendo u = f(x), entonces por la regla de la cadena

aln'ua)D(a ó aln'ua'y uuu ⋅⋅=⋅⋅= (3-25)

En el caso particular de la función y = eu, su derivada es

( ) 'ueeD ó 'ue'y uuu ⋅=⋅= (3-26)

2.12 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEL TIPO uv

Sea la función exponencial y = f(x) = uv ; siendo u y v funciones de x. Tomando logaritmos

naturales, resulta

ln y = v ln u




( ) ( )u'u

.vuln'.v'ulnvuln'.v'ulnvy'y

+=+==

de donde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

u'u

.vuln'.vy'y

es decir:

u'u

.vuln'.vu'y v⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (3-27)

2.13 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA

Sea x = g(y) = f--1(y), la función inversa de y = f(x). Si ambas funciones son continuas y

derivables, podemos aplicarle la regla de la cadena.

En efecto, por ser funcionas inversas, resulta

( )( ) ( )[ ]xfgx que sea o xxgof ==

Luego, derivando

dxdf

dfdg

dxdx

⋅=

y como

dxdf

dfdg

1 resulta 1dxdx

⋅==

o también reemplazando g y f por sus iguales

dxdy1

dydx

donde de dxdy

dydx

1 =⋅=

es decir

)y('g1

)x('f y )x('f

1)y('g == (3-28)

La derivada de una función inversa es la recíproca de la derivada de la función directa y,

recíprocamente, la derivada de una función directa es la recíproca de la derivada de la

función inversa.

Ejemplo: Sea x)x(fy == 3 ⇒ f ´ (x) = 3 2x

3 y)y(gx == ⇒ g ´(y) = 3 2y3

1; entonces:

)y(g1

)x(f′

=′ =

3 2y3

11

= 23 63 2 x3x3y3 ==


Unidad 3 – 3. Derivadas de Funciones Circulares [185]

3 DERIVADAS DE FUNCIONES CIRCULARES

3.1 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS

1) Derivada de la función seno:

Sea y = f(x) = sen x. Por definición de función derivada,

hsenxh)sen(xlím

hf(x)h)f(xlím

(x)f0h0h

−+=

−+=′

→→

Por una propiedad de las funciones trigonométricas, transformamos en producto la diferencia

de senos usando la fórmula:

2qp

cos2

qpsen 2q senp sen

+⋅

−=−

Para la cual, haciendo,

hxp += y xq = nos queda:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−+=′

→→ 2h

xcos.

2h

2h

senlím2

xhxcos.

2xhx

senh2lím

)x(f0h0h

De donde, por aplicación de los teoremas del álgebra de límites y por el primer límite

notable, resulta:

xcos)0xcos(.1)x(f =+=′

es decir: xcosy =′ ó xcos)senx(D = (3-

28)

De un modo mas general, y por regla de la cadena si y = sen u , siendo u = f(x)

uucosy ′⋅=′ ó D(sen u)=cos u·u´ (3-29)


[186] Unidad 3 – 3. Derivadas de Funciones Circula-res

2) Derivada de la función coseno:

Sea y = f(x) = cos x. Por la relación pitagórica de las funciones trigonométricas.

sen2 x + cos2 x = 1

en donde:

xsen1xcos 2−=

derivando esta función compuesta, por la regla de la cadena:

senxxcos

xcossenx

xsen12

xcossenx2

xsen12

)xsen1()x(cosy

22

2

−=−=−

−=

−

′−=′=′

es decir: y' = -sen x ó D(cos x) = -sen x (3-

30)

Generalizando, haciendo uso de la regla de la cadena, si y = cos u , siendo u = f(x)

y ' = - sen u . u ' ó D(cos x) = - sen u . u ' (3-

31)

3) Derivada de la función tangente:

Sea xtg)x(fy == Utilizando la relación trigonométrica, xcos

senxxtg =

y, derivando ambos miembros con respecto a x:

( )xcos

1xcos

xsenxcosxcos

)x(cossenx)senx(xcosxtgy

22

22

2=

+=

′−′=′=′

luego xcos

1y 2=′ ó

xcos1

)xtg(D 2= (3-

32)

Si el argumento es una función )x(fu = , aplicando la regla de la cadena, la derivada de

utgy = , será:

ucos

uy 2

′=′ ó

ucosu

)utg(D 2

′= (3-33)

4) Derivada de la función cotangente:

Sea == )x(fy cotg(x) Por una relación trigonométrica, cotg x xtg

1=



Luego, derivando ambos miembros con respecto a x:

y' = (cotg x) '

xcosxsenxcos

1

xtgxcos

1

2

2

2

2

2−=

−

= ,

finalmente, cancelando los divisores, resulta:

xsen1

y2

−=′ ó xsen

1x) D(cotg

2−= (3-

34)

De un modo más general y por la regla de la cadena, si y = cotg u siendo u= f(x) resulta:

usenu

y 2

′−=′ ó

usenu

u)D(cotg 2

′−= (3-

35)

Las derivadas de la secante y de la cosecante se deducen utilizando las siguientes relaciones

trigonométricas:

xcos1

xsec = y xsen

1x cosec =

resultando x tg . x secx)D(sec = y u tg . u sec . u' u)D(sec = (3-

36)

x cotg . x cosec - x)D(cosec = y u cotg . u cosec . u'- u)D(cosec = (3-

37)

3.2 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS.

1) Derivada de la función arcoseno:

Sea y = f(x) = arcsen x , la función inversa es x=sen y

En primer lugar, calculamos:

22 x1ysen1ycosdydx

−=−==

luego, y por derivada de una función inversa, 2x1

1

dydx1

dxdy

−==

es decir, 2x1

1y

−=′ ó

2x1

1)arcsenx(D

−= (3-

38)

De un modo más general, y por regla de la cadena, si y = arcsen u siendo u=f(x) resulta:



2u1

'u'y

−= ó

2u1

'u)uarcsen(D

−= (3-

39)



2) Derivada de la función arco coseno:

Sea y = f(x) = arccos x , la función inversa es x = cos y

En primer lugar, calculamos:

22 x1ycos1senydydx

−−=−−=−=

luego, y por derivada de una función inversa:

2x1

1

dydx1

dxdy

−−==

es decir,

2x1

1'y

−−= ó

2x1

1)x(arccosD

−−= (3-

40)

De un modo mas general, y por regla de la cadena, si y=arccos u , siendo u=f(x) resulta:

2u1

'u'y

−−= ó

2u1

'u)u(arccosD

−−= (3-

41)

3) Derivada de la función arco tangente:

Sea y=arctg x , la función inversa será x = tg y

Derivando con respecto a y y usando la relación pitagórica:

222

2

2

22

2x1ytg1

ycosysen

1ycos

ysenycosycos

1dydx

+=+=+=+

==

Ahora por la relación entre las derivadas de funciones inversas:

2x11

dydx1

dxdy

+==

Luego,

2x11

'y+

= ó 2x11

)xarctg(D+

= (3-42)

De un modo más general, y por la regla de la cadena:

si y = arctg u , siendo u=f(x) resulta:



2u1'u

'y+

= ó 2u1'u

)uarctg(D+

= (3-43)

En forma similar pueden deducirse las derivadas de las funciones arco cotangente, arco

secante y arco cosecante, obteniendo:

2x1-1

x) D(arccotg+

= ó 2u1-u'

u) D(arccotg+

= (3-44)

1x x

1x) D(arcsec

2 −= ó

1u u

u'u) D(arcsec

2 −= (3-45)

1x x

-1x) D(arccosec

2 −= ó

1u u

-u'u) D(arccosec

2 −= (3-46)

Observación: Las derivadas de las funciones inversas tienen validez en las ramas principales

en donde son invertibles.


Unidad 3 – 4. Diferencial de una Función [191]

4 DIFERENCIAL DE UN FUNCIÓN

4.1 DEFINICIÓN

Definiremos como diferencial de la función y = f(x), y lo designaremos con dy, al producto

de la derivada y' por el incremento xΔ de la variable. En símbolos:

dy = y ' Δx (3-47)

4.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Puesto que la derivada y’ mide la tangente trigonométrica del ángulo α que forma la recta

tangente al gráfico de la función con el semieje positivo de las x, resulta, con las notaciones

de la figura 3.3,

y ' ΔxSR

PRSR

αtg === o sea que, SR = y ' Δx

Por consiguiente, SR representa la diferencial de la función.

Como se ve en las 3 figuras, la diferencial SR puede ser mayor, igual o menor que el

incremento de la función QR= yΔ . Sin embargo, es fácil demostrar que cuando 0x →Δ , dy y

yΔ son 2 infinitésimos equivalentes, es decir que su cociente tiende a la unidad.


[192] Unidad 3 – 4. Diferencial de una Función

Figura 3.3

Propiedades:

1) yydy Δ son infinitésimos equivalentes

Demostración:

Siendo dy = y' Δx resulta:

xy

y'y

xy'y

dy

ΔΔΔ

ΔΔ

== ;

tomando límite: 1y'y'

ΔxΔyy'

Límy

dyLím

0Δx0Δx===

Δ →→

2) La diferencial de la variable independiente es igual al incremento de dicha

variable

Demostración:

Si y = f(x) = x ΔxΔx1Δxy'dy =⋅==⇒

Luego Δxdxdf(x) == (3-

48)

Expresión de la derivada como cociente de diferenciales.

Esta última identidad (3-48) nos permite reemplazar en la definición de diferencial, xΔ por

dx, con lo que resulta:

dxdy

y'sea,odx,y'dy ==

Esta notación de la derivada, debida a LEIBNIZ, es extremadamente útil y susceptible a la

generalización.

Invariancia del diferencial.

Hemos visto que es dy = 'y dx para y = f(x), donde x es la variable independiente e y es la

función. Pero si x no es variable independiente sino función de otra variable z, por ejemplo,

la expresión anterior sigue siendo válida.

Así, de y=x2 deducimos dy = 2x dx. Pero si x=sen z, resulta y=sen2 z , la diferencial es:

dy = 2 sen z cos z dz

que se puede escribir, como antes:

dy = 2x dx


Unidad 3 – 4. Diferencial de una Función [193]

En definitiva, la diferencial ( ) dxxf dy ′= es invariante (es decir conserva su forma) cuando la

variable x es una función de otra variable z: x=g(z), con tal de reemplazar dx por g'(z) dz.

4.3 CÁLCULO DE ERRORES MEDIANTE DIFERENCIALES

Si y = f(x), entonces a cada variación de x ( )xΔ corresponde a una variación de y ( )yΔ . De

esta manera si se produce un error en la medición de x, entonces se produce un error en el

valor de la función y. Si el error cometido en x es xΔ , el error cometido en y es yΔ .

Pero ( ) ( )xfxxfy −Δ+=Δ , y como este es un infinitésimo equivalente a dy, resulta más fácil

calcular dy como el error aproximado al error real yΔ .

Como ( ) ( ) ⇒−Δ+=Δ xfxxfy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxx'fxfdyxfyxfxxf +=+≅Δ+=Δ+

Ejemplo:

La medida del diámetro de un circulo es D=13,8 cm, con un error por defecto menor que 0,1

cm. Calcular el error cometido en la determinación de la superficie ( )DSD41

S 2 =π=

(función del diámetro)

El error exacto SΔ sería:

( ) ( ) ( ) 2,1713,841

0,113,841

DSΔDDSΔS 22 =π−+π=−+=

Un cálculo aproximado mediante la diferencial será:

( ) 2,160,113,821

ΔDD21

ΔDDS'dS =⋅⋅π=π==

Ejemplo:

Calcular aproximadamente el valor de 10

Considerando xy = , resulta x2

1'y =

Si se considera x = 9 y 1x =Δ , entonces: 10xxy =Δ+=

Así: xxxy −Δ+=Δ de donde yxxx Δ+=Δ+

Reemplazando yΔ por dy:

( ) xx2

1xxxxdyxxx Δ+=Δ

′+=+≅Δ+

Luego 61

3192

1910 +=+≅

10 16666,3619

=≅

Vale recordar que el valor exacto es ...1622,310 =


[194] Unidad 3 – 4. Diferencial de una Función

4.4 DERIVACIÓN DE FUNCIONES DADAS IMPLÍCITAMENTE

Cuando las variables x e y están vinculadas por una relación F(x,y) = 0 donde no puede

explicitarse la y o nos interesa solamente su valor o el de su derivada en algún punto,

puede, en algunos casos, calcularse la derivada de la función en forma implícita aplicando

formalmente las reglas de diferenciación.

Veamos como se procede en algunos casos:

Ejemplo:

Calcular la derivada de la función implícita F(x,y)=0 dada por la expresión:

03ycosxyx 23 =−+

Debe considerarse que y es una función de x o sea y=f(x) entonces F(x,y)=F(x,f(x))=0

luego como no se conoce f(x), su derivada quedará indicada como 'y

Derivando tendremos: ( ) 0'yysenxycos'yy2xyx3 322 =−+++

agrupando convenientemente: ( ) ycosyx3senyxyx2'y 223 −−=−

luego xsenyyx2

ycosyx3'y

3

22

−+

−=

Ejemplo:

Calcular la pendiente de la recta tangente a la función definida por 1xcoseysene yx =+

en el punto (x;y) = (0;0)

Derivando, tenemos:

( ) 0xsenexcos'ye'yycoseysene yyxx =−+++

evaluando esta expresión en el punto (x;y) = (0;0) obtenemos la pendiente de la recta

tangente en ese punto que es el valor de la derivada 'y resultando:

00sene0cose'y0cose'y0sene 0000 =−++

0'y0'y2 =⇒=∴

UUnniiddaadd 44


Unidad 4 – 1. Teorema de Rolle [197]

1 TEOREMA DE ROLLE∗

Si y=f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y si f(a)=f(b), entonces existe al menos

un punto x0∈(a,b), tal que:

f '(x0) = 0 (4-1)

Demostración:

Para la demostración del teorema, recurriremos a la intuición geométrica:

Caso 1: Si y=f(x)=C (constante), f '(x0) = 0 para cualquier valor x0 ∈ (a,b). Con lo cual se

verifica el teorema.

Caso 2: Sea y=f(x)≠C. Por propiedad de las funciones continuas, al ser continua en un

intervalo cerrado, es acotada, luego, f(x) tiene, al menos, a un valor máximo M y/o a un

valor mínimo m para ciertos valores de x∈(a,b). Supondremos, en este caso, la existencia de

un máximo (para mínimo, se sigue un desarrollo análogo).

Figura 4.1

∗ Michele ROLLE (1652-1719)


[198] Unidad 4 – 1. Teorema de Rolle

Si f(x0)=M (valor máximo), se verifica: f(x0+ h) < f(x0) ∀ h.

Luego:

a) Para h > 0: b) Para h < 0:

0h

)f(xh)f(x 00 <−+

0h

)f(xh)f(x 00 >−+

tomando límite para h → 0

0límh

)f(xh)f(xlím

0h

00

0h ++ →→≤

−+ ; 0lím

h)x(f)hx(f

lím0h

00

0h −− →→≥

−+

Como estos límites representan las derivadas laterales

0)x('f 0 ≤+ ; 0)x('f 0 ≥−

pero siendo la función f(x) derivable por hipótesis, entonces deberá ser:

0)x('f 0 = ; para x0 ∈ (a, b)


Unidad 4 – 2. Teorema del Valor Medio Generalizado (Regla de Cauchy) [199]

2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (REGLA DE CAUCHY) ∗

Si f(x) y g(x) son continuas en [a,b], y derivables en (a,b), existe, al menos un punto

x0∈(a,b) tal que:

)x('g)x('f

)a(g)b(g)a(f)b(f

0

0=−−

para x0 ∈(a, b) (4-2)

en donde: g(a) ≠ g(b) con f’(x) y g’(x) no ambas nulas.

Demostración:

Para demostrar el teorema, definimos una función auxiliar:

))a(g)x(g()a(g)b(g)a(f)b(f

)a(f)x(f)x(G −−−

−−= (4-3)

Esta función es continua en [a,b] y derivable en (a,b), por ser suma y producto de funciones

continuas y derivables en dichos intervalos.

En la función G(x), hacemos x=a y x=b respectivamente, y tenemos:

0))a(g)a(g()a(g)b(g)a(f)b(f

)a(f)a(f)a(G =−−−

−−= ∴ =)a(G 0

0))a(g)b(g()a(g)b(g)a(f)b(f

)a(f)b(f)b(G =−−−

−−= ∴ 0)b(G =

con lo cual se prueba que G(a) = G(b)

Luego y dado que G(x) es continua en [a, b] y derivable en (a,b), y además G(a)=G(b), po-

demos aplicarle el teorema de ROLLE, según el cual existe x0 ∈(a, b), tal que G’(x0)=0.

Calculamos, en primer lugar la derivada de G(x)

∗ Augustin Louis CAUCHY (1789-1857)


[200] Unidad 4 – 2. Teorema del Valor Medio Generalizado (Regla de Cau-chy)

esta derivada deberá ser 0 para algún x0, luego:

⇒=−−

−= 0)x('g)a(g)b(g)a(f)b(f

)x('f)x('G 000 )a(g)b(g)a(f)b(f

)x('g

)x('f

0

0

−−

= x0

∈(a,b)

)x('g)a(g)b(g)a(f)b(f

)x('f)x('G−−

−=


Unidad 4 – 3. Teorema del Valor Medio o de Lagrange [201]

3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE∗

Si y = f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto

x0 ∈(a, b), tal que:

)x('fab

)a(f)b(f0=

−−

con x0 ∈(a,b) (4-4)

El teorema del valor medio constituye un caso particular del teorema de CAUCHY. En efecto,

si en el teorema del valor medio generalizado de CAUCHY, es g(x)=x, resulta:

g(a)=a ; g(b)=b ; g’(x)=1;

reemplazando en (4-2) resulta:

)(x'fabf(a)f(b)

0=−−

x0 ∈(a,b)

El teorema del valor medio suele formularse también, en la siguiente forma, equivalente a

(4-4), conocida como teorema de LAGRANGE o teorema del incremento finito:

f(b)–f(a) = (b-a)·f ’(x0) x0 ∈(a,b)

El teorema de ROLLE es, a su vez, un caso especial del teorema del valor medio.

En efecto, si en (4-4) , f(a)=f(b), resulta:

f ’(x0) = 0 ; x0 ∈(a,b)

∗ Joseph Louis Lagrange (1736-1813)


[202] Unidad 4 – 3. Teorema del Valor Medio o de La-grange

Interpretación geométrica:

Figura 4.2

Como puede verse en la figura la expresión ab

)a(f)b(f−−

mide la pendiente de la recta secante

a la curva por los puntos P y Q, y esta pendiente es igual a la de la recta tangente a la curva

en el punto x0.


Unidad 4 – 4. Regla de L’Hopital [203]

4 REGLA DE L’HOPITAL∗

La regla de L' HOPITAL es un procedimiento analítico basado en el cálculo de derivadas, que

nos permite determinar el verdadero valor de las formas indeterminadas:

00

; ∞∞

; ∞ - ∞ ; ∞ · 0 ; 1∞ ; ∞ 0 ; 00

1) Forma indeterminada 00

Sean las funciones f(x) y g(x), continuas en [a,b] y derivables en (a,b), con g’(x)≠0 en un

entorno reducido de un punto c ∈(a,b)

Si 0)c(f)x(flímcx

==→

y 0)c(g)x(glímcx

==→

entonces se verifica la regla de L'HOPITAL:

)x('g

)x('flím

)x(g

)x(flím

cxcx →→= (4-5)

Demostración:

Si aplicamos el teorema de CAUCHY (4-2) en el subintervalo (c,x) del intervalo (a,b),

resulta:

)x('g)x('f

)c(g)x(g)c(f)x(f

0

0=−−

para c < x0 < x

como f(c)=g(c)=0, nos queda )x('g)x('f

)x(g)x(f

0

0= con c < x0 < x

tomando límites para x→ c :

∗ Cuillaume, François Antoine de, marqués de L´HOPITAL (1661-1704)


[204] Unidad 4 – 4. Regla de L’Hopital

)x('g)x('f

lím)x(g)x(f

lím0

0

cxcx →→=

como x0 ∈(c,x), cuando x→c también x0→c de donde resulta la expresión (4-5) del teorema:

2) Forma indeterminada 00

cuando x→∞

Demostraremos ahora que la regla de L´HOPITAL también puede aplicarse a las

indeterminaciones del tipo 00

, cuando la variable independiente tiende a infinito.

Si 0)x(flímx

=∞→

y 0)x(glímx

=∞→

Entonces, se verifica que:

)x('g)x('f

lím)x(g)x(f

límxx ∞→∞→

= (4-6)

Demostración:

Si sustituímos x = u1

, cuando x→∞ ; u→0, entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=→∞→

u1

g

u1

flím

)x(g)x(f

lím0ux

como la variable del límite tiende a un valor constante, podemos aplicarle la regla de

L´HOPITAL (4-5), con lo cual nos queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=→→→∞→

u1

'g

u1

'flím

u

1u1

'g

u

1u1

'flím

u1

g

u1

flím

)x(g)x(f

lím0u

2

2

0u0ux

finalmente, y al reemplazar u1

por x nos queda la expresión (4-6):

)x('g)x('f

lím)x(g)x(f

límxx ∞→∞→

=

)x('g)x('f

lím)x(g)x(f

límcxcx →→

=



3) Forma indeterminada ∞∞

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables y si ∞=→

)x(flímcx

y ∞=→

)x(glímcx

tendremos una

indeterminación del tipo ∞∞

.

En este caso también se verifica la regla de L´Hopital:

Demostración:

como

)x(f1

)x(g1

)x(g)x(f= , entonces:

)x(f1

)x(g1

lím)x(g)x(f

límcxcx →→

=

pero como esta última indeterminación es de la forma 00

se puede aplicar la regla de

L´Hopital, de lo que resulta:

(x)'f(x)'g

.(g(x))

(f(x))lím

(f(x))

(x)'f(g(x))

(x)'g

lím'

f(x)1

'

g(x)1

límg(x)f(x)

lím2

2

cx

2

2

cxcxcx →→→→=

−

−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

usando propiedades del álgebra de límites y transponiendo términos entre el primer y el

último miembro resulta:

)x('g)x('f

lím)x(g)x(f

límcxcx →→

= que es la Regla de L´Hopital

4) Forma indeterminada ∞⋅0

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables y si ∞==→→

)x(glímy0)x(flímcxcx

, entonces:

∞=→

.0)x(g)x(flímcx

Esta forma indeterminada puede llevarse a la forma 00

ó ∞∞

, según convenga, y luego

aplicar la Regla de L´Hopital.

Esta transformación se logra de la siguiente manera:

'

g(x)1

(x)'flím

g(x)1

f(x)límg(x).f(x)lím

cxcxcx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

→→→

)x(g)x(f

lím)x(g)x(f

límcxcx ′

′=

→→



o también

'

f(x)1

(x)g'lím

f(x)1

g(x)límg(x).f(x)lím

cxcxcx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→→

Resumiendo:

'

f(x)1

(x)'glím

'

g(x)1

(x) 'flímg(x).f(x)lím

cxcxcx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→→ (4-7)

5) Forma indeterminada ∞−∞

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables y si ∞=→

)x(flímcx

y ∞=→

)x(glímcx

, entonces:

∞−∞=−→

))x(g)x(f(límcx

Esta forma indeterminada puede transformarse en la forma indeterminada 00

para luego

aplicar la regla de L´Hopital, esto se logra de la siguiente manera:

)x(g.)x(f)x(g)x(f

)x(g)x(f))x(g.)x(fpor.divy.multip()x(g)x(f−

==− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

)x(f1

)x(g1

)x(g)x(f =

(el límite de esta expresión es una indeterminación de la forma 0⋅∞ ).

=

)x(g)x(f1

)x(f1

)x(g1

−

(el límite de esta es de la forma 00

; por lo que podrá aplicarse la Regla de L’Hopital.)

Resumiendo:

'

g(x)f(x)1

'

f(x)1

g(x)1

límg(x))(f(x)límcxcx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−→→

(4-8)

6) Forma indeterminada 00 0,,1 ∞∞

Si las funciones f(x) y g(x) son derivables y si ∞==→→

)x(glímy1)x(flímcxcx

, entonces:

∞

→= 1)x(flím )x(g

cx



Para resolver este límite indeterminado, aplicamos logaritmo natural y logramos una

indeterminación de la forma 0.∞ ó ∞.0 que luego transformamos en ∞∞

ó00

de acuerdo a

lo visto en 5) para aplicar la regla de L´Hopital y resolver el ejercicio.

El procedimiento es el siguiente:

==→→

)x(fln)x(glím))x(fln(límcxcx

)x(g

De esta manera hemos calculado el límite del logaritmo natural de la expresión que

queríamos, entonces:

L)x(flnlím )x(gcx

=→

luego por propiedad del límite de un logaritmo:

⇒==→→

L)x(flímln)x(flnlím )x(g)x(gcxcx

L

cxe)x(flím )x(g =

→ (4-9)

Para las formas ∞0 y 00 se procede de la misma manera.

Ejemplo:

Calcular el xtgxlím0x→

(forma indeterminada 00)

=∞∞

==∞==→→→→

)(formaxcotg

xlnlím

xtg1xln

lím).0(formaxlnxtglímxlnlím0x0x0x

xtg

0x

xxsen

lím

xsen1

x1

lím2

0x

2

0x−=

−=

→→0

1xcosxsen-2

lím)00

(forma0x

===→

Luego: 1exlím 0

0x

xtg ==→

L'

(f(x)) ln1

(x)g'lím

(f(x)) ln1

g(x)lím

cxcx=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→

L'

g(x)1

(f(x))' lnlím

g(x)1

(f(x)) lnlím

cxcx=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→



7) Aplicación reiterada de la regla de L´Hopital

Si, en particular, 0)x('glímy0)x('flímcxcx

==→→

, siendo f '(x) y g '(x) continuas en [a,b] y

derivables en (a,b) y g’’(x) ≠ 0 en un entorno reducido de c, entonces puede aplicarse la

Regla de L´Hopital en forma reiterada.

.......(x)'g'(x)'' f

lím(x)g'(x)' f

límg(x)f(x)

límcxcxcx

===→→→

Ejemplo:

61

6xcos

límx6

xsenlím

x3xcos1

límx

xsenxlím

0x0x20x30x===

−=

−→→→→

8) Observación:

Antes de aplicar la Regla de L´Hopital debe verificarse que la expresión presenta una

indeterminación y que ésta es del tipo 00

ó ∞∞

, en caso contrario, la regla nos conducirá a un

error.


Unidad 4 – 5. Teoría de Máximos y Mínimos [209]

5 TEORÍA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

5.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Sea y = f(x), una función continua definida en el intervalo (a,b). Se dice que la función f(x)

es creciente en un punto x0 de (a,b), si y solo si, para valores de h positivos e infinitamente

pequeños, se verifica:

f(x0-h) < f(x0) < f(x0+h) ; h > 0 (4-10)

Figura 4.3

Se dice que f(x) es no-decreciente en un punto x0 ∈(a,b) si f(x0–h) ≤ f(x0) ≤ f(x0+h) ; h > 0

De acuerdo a esta definición, es posible, escribir las expresiones equivalentes:

Si h < 0 , f(x0+h) - f(x0) ≤ 0

Si h > 0 , f(x0+h) - f(x0) ≥ 0


[210] Unidad 4 – 5. Teoría de Máximos y Mínimos

Dividiendo miembro a miembro por h resulta:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−+

>

≥−+

<

0h

)x(f)hf(x 0h si

0h

)x(f)hf(x 0h si

00

00

Al tomar límites para h→0 en las dos desigualdades anteriores, obtenemos la derivada

primera de la función en el punto x=x0 , la cual, resulta ser un valor positivo o nulo.

0h

)f(xh)f(xlím 00

0h≥

−+→

En consecuencia si f(x) es no decreciente en x0 , entonces 0)x(f 0 ≥′ .

Luego, si una función es estrictamente creciente en un punto, entonces la derivada

primera de la función en dicho punto es positiva;

0)x('f 0 >

Por extensión diremos que una función f(x) es creciente en el intervalo (a,b) cuando es

creciente en cada uno de los puntos del mismo.

5.2 DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Sea y = f(x) una función continua definida en el intervalo (a , b).

Se dice que f(x) es una función estrictamente decreciente en un punto x0∈(a , b) si para

incrementos positivos h de la variable, se verifica que:

)hx(f)x(f)hx(f 000 +>>− (4-11)

Figura 4.4



Haciendo un razonamiento análogo al anterior, llegamos a que si una función es

estrictamente decreciente en un punto, entonces la derivada primera de la función en dicho

punto es negativa

0)x('f 0 <

Por extensión diremos que f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si es decreciente en cada

punto del mismo.

Observación: Si 0)x('f 0 = no podemos asegurar nada respecto al crecimiento de la función

f(x) en ese punto. Como veremos más adelante la función puede ser monótona creciente o

monótona decreciente o bien presenta en ese punto un máximo o un mínimo relativo.

Ejemplo:

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

1x2x3)x(fy 2 ++==

Primeramente calculamos la derivada primera: f '(x) = 6x + 2

Los valores de x para los cuales 6x+2>0 determinarán el intervalo de crecimiento de la

función.

Los valores de x para los cuales 6x+2<0 determinarán el intervalo de decrecimiento de la

función.

Por ello conviene resolver la ecuación 6x+2=0, el o los valores de x que verifiquen que

0)x('f = determinarán los posibles extremos de dichos intervalos. En nuestro ejemplo:

6x+2=0 , entonces 31

x −= , los posibles intervalos serán ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∞− ,

31

y 31

,

Probando el signo de )x('f en cualquier punto de cada uno de estos intervalos, concluimos

que: la función es creciente en el intervalo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞− ,

31

y decreciente en el intervalo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∞−

31

, .

Ver figura 4.5.



Figura 4.5

OBSERVACIÓN: El siguiente teorema resume lo expuesto en los puntos 5.1 y 5.2.

TEOREMA 1: Sea )x(f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y que admite

derivadas en cada punto de un intervalo abierto (a,b). Tenemos entonces:

a) Si 0)x(f >′ para todo x de (a,b), )x(f es estrictamente creciente en [a,b].

b) Si 0)x(f <′ para todo x de (a,b), )x(f es estrictamente decreciente en [a,b].

c) Si 0)x(f =′ para todo x de (a,b), )x(f es constante en [a,b].

5.3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Se dice que una función y = f(x), continua en el intervalo [a,b] , presenta un máximo

relativo en un punto x0 ∈ (a,b) , si y sólo si, f(x0) > f(x), en un entorno reducido de x0.

En símbolos:

f(x0) > f(x) ; para 0< ⎜ x – x0 ⎜< δ ; δ > 0 (4-12)

Haciendo x–x0=h, resulta x=x0+h . Luego se obtiene una definición equivalente a (4-12).

f(x0) > f(x0 + h) ; para 0< ⎜h ⎜< δ ; δ > 0 (4-13)

o también



f(x0 + h) - f(x0) < 0 ; para 0< ⎜h ⎜< δ (4-14)

Por el contrario, se dice que una función y = f(x), continua en el intervalo [a , b] , presenta

un mínimo relativo en un punto x0 ∈(a,b) , si y solo sí, f(x0) < f(x), en un entorno reducido

de x0. En símbolos:

f(x0) < f(x) ; para 0< ⎜ x – x0 ⎜< δ ; δ > 0 (4-15)

Haciendo x–x0=h, resulta x=x0+h. Luego se obtiene una definición equivalente a (4-15).

f(x0) < f(x0 + h) ; para 0< ⎜h ⎜< δ ; δ > 0

o también

f(x0 + h) - f(x0) > 0 ; para 0< ⎜h ⎜< δ (4-16)

Figura 4.6 Figura 4.7

El término “relativo”, utilizado en ambas definiciones, indica que se compara el valor de la

función en un punto, con los valores que adopta la misma en un entorno reducido de dicho

punto, es decir, en su vecindad únicamente. Los máximos y los mínimos relativos se llaman

también, extremos relativos.

Existencia de máximos y mínimos. Puntos críticos

Sea )x(f una función definida en c. Si ( ) 0c'f = ó si 'f no está definida en c, se dice que c

es un punto crítico de la función )x(f .

Estos “puntos críticos”, tanto en los que se anula la derivada como en aquellos en los que 'f

no está definida, son los que determinan los posibles intervalos de crecimiento y de

decrecimiento de una función y los posibles máximos y/o mínimos relativos.



Cabe destacar que cambios en el crecimiento de una función también se pueden producir en

puntos aislados en los que la función no esté definida, por supuesto que estos puntos no

serán ni máximos ni mínimos al no pertenecer al dominio de la función.

El siguiente teorema nos permite demostrar que se presenta un máximo o un mínimo

relativo siempre que la derivada cambie de signo en un punto crítico.

TEOREMA 2: Supongamos )x(f continua en un intervalo cerrado [a,b] y existe la derivada

)x('f en todo punto del intervalo abierto (a,b), excepto acaso en un punto ( )b,ac ∈ .

a) Si )x('f es positiva para todo cx < y negativa para todo cx > , )x(f tiene un máximo

relativo en c.

b) Si por otra parte, )x('f es negativa para todo cx < y positiva para todo cx > , )x(f

tiene un mínimo relativo en c.

Demostración: En el caso a) el teorema 1 nos dice que )x(f es estrictamente creciente en

[a,c] y estrictamente decreciente en [c,b]. Luego )c(f)x(f < para todo cx ≠ en ( )b,a , con lo

que )x(f tiene un máximo relativo en c.

Esto demuestra a) y la demostración de b) es completamente análoga.

Ejemplo:

La función ( )32

2 4x)x(f −= tiene por dominio todos lo números reales, pero su derivada

( )31

2 4x3

x4)x(f

−

=′ se anula en x=0 y no está definida en 2x ±= .

Por lo tanto se deben analizar los intervalos ( )2, −−∞ , ( )0,2− , ( )2,0 y ( )∞,2 y se encontrará

que es creciente en ( )0,2− y ( )∞,2 y decreciente en los otros dos. Además como )x(f está

definida para todos los números reales, aplicando el teorema anterior se puede demostrar

que )x(f tiene mínimos relativos en 2x −= y 2x = y un máximo relativo en 0x =



Figura 4.8

Ejemplo:

La función 2

4

x

1x)x(f

+= no está definida en 0. Su derivada 4

5

xx2x2

)x('f−

= se anula en

1x ±= pero deben analizarse los intervalos ( )1, −−∞ ; ( )0,1− ; ( )1,0 ; ( )∞,1 . El punto 0x =

se incluye por que en ese punto no está definida la función y esta puede cambiar antes y

después del punto.

Del análisis de estos intervalos se encontrará que la función es decreciente en los ( )1, −−∞ y

( )1,0 y creciente en los otros dos; además tiene mínimos relativos en 1x −= y 1x = . Se

debe observar que a pesar de que hay un cambio en el signo de la derivada antes y después

de 0x = , este no es un punto crítico puesto que )x(f no esta definida allí y por lo tanto no

hay ni máximo ni mínimo.

Figura 4.9

Ejemplo:



Sea la función 3x)x(f = su derivada primera ( ) 23xx'f = es cero en 0x = , pero en este

punto la función no tiene máximo ni mínimo ya que no hay cambio de signo en dicho punto.

Figura 4.10

Criterio de la derivada segunda para el análisis de máximos y mínimos.

El siguiente teorema que estudia el signo de la derivada segunda en un punto crítico, es de

utilidad para conocer la existencia de un máximo o un mínimo.

TEOREMA: Sea c un punto crítico de )x(f en un intervalo abierto (a,b); esto es, supongamos

bca << y que 0)c('f = . Supongamos también que exista la derivada segunda )x(''f en

)b,a( . Tenemos entonces:

a) si )x(''f es negativa en )b,a( , )x(f tiene un máximo relativo en c.

b) si )x(''f es positiva en )b,a( , )x(f tiene un mínimo relativo en c.

Observación: La aplicación de este teorema se restringe a aquellas funciones que poseen

derivada segunda distinta de cero; por lo que en aquellos casos donde la derivada primera

no existe (y por ende tampoco la derivada segunda) o donde la derivada segunda es cero no

podrán ser analizadas por este criterio.

5.4 EXTREMOS ABSOLUTOS

Se dice que una función y = f(x) presenta un máximo absoluto en un punto x0 del intervalo

(a,b), cuando f(x0) > f(x) para todo x de (a,b).

Por el contrario, se dice que una función y = f(x) presenta un mínimo absoluto en un punto

x0 del intervalo (a,b), cuando f(x0) < f(x), para todo x de (a,b).



5.5 ASÍNTOTAS A CURVAS PLANAS

Asíntotas Oblicuas y Horizontales.

En general, se dice que una recta y=mx+b es una asíntota de la curva y=f(x) si la diferencia

f(x)-(mx + b) tiende a cero cuando ∞±→x , es decir:

[ ] 0b)(mxf(x)x

lím =+−∞±→

Para hallar el valor de m basta dividir la función f(x)-(mx+b) por x y calcular el límite del

cociente para ∞±→x , pues como

[ ] 0b)(mxf(x)x

lím =+−∞±→

resulta ( )

0x

bmxf(x)

xlím =

−−

∞±→

Entonces

∴=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

∞±→∞±→∞±→∞±→0

xb

lím m límx

f(x)lím

xb

xx m

xf(x)

límxxxx

mx

f(x)lím

x=

∞±→ (4-21)

Calculado así el valor de m, se calcula el valor de b en virtud de la definición de asíntota

0)bmx)x(f(límx

=−−∞±→

por propiedades de límite

b)mx)x(f(límx

=−∞±→

(4-22)

Si m=0 ⇒ si existe el límite de f(x), (cuando ∞→x y ∞−→x ) la función tendrá una

asíntota horizontal y su ecuación será:

by =

Observación: existen funciones que cumplen con las ecuaciones 4-21 y 4-22 pero solo para

cuando ∞→x o ∞−→x , en este caso encontraremos la asíntota para esa tendencia de la

variable.

Asíntotas Verticales.

Si ∞=→

)x(flímax

, entonces ax = será la ecuación de una asíntota vertical.

Esto ocurre en los puntos de discontinuidad de la función.

5.6 DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD



Se dice que una función y=f(x), continua y derivable en el intervalo (a,b), presenta un punto

de concavidad hacia las “y” negativas ó “hacia abajo” en x0 de (a,b), cuando se verifica que

la recta tangente a la función en ese punto, deja la curva debajo de ella. (figura 4.11).

Figura 4.11

En x0 ∈ (a,b) la curva es cóncava hacia abajo si en un entorno reducido de x0

f(x0 + h) < m(x0 + h) + b (4-17)

La ordenada de la función es menor que la ordenada de la recta tangente

En este punto se cumple además que: 0)x(f 0'' < (4-18)

Se dice que una función y=f(x), continua y derivable en el intervalo (a,b), presenta un punto

de concavidad hacia las “y” positivas en x0 ∈(a,b), o cóncava “hacia arriba”, cuando la recta

tangente a la curva en ese punto, deja el gráfico de la función por arriba de ella (figura 4.12)



Figura 4.12

En x0 ∈(a,b) la curva es cóncava hacia arriba si en un entorno reducido de x0

f(x0 + h) > m(x0 + h) + b (4-19)

La ordenada de la función es mayor que la ordenada de la recta tangente

En este punto se cumple además que: 0)x(f 0'' > (4-20)

5.7 PUNTO DE INFLEXIÓN

DEFINICION: Sea )x(f continua en c. Un punto ( )( )cf,c es un punto de inflexión si existe

un intervalo abierto ( )b,a que contiene a c, de tal suerte que la gráfica de )x(f es, ya sea

a) cóncava hacia arriba en ( )c,a y cóncava hacia abajo en ( )b,c , o

b) cóncava hacia abajo en ( )c,a y cóncava hacia arriba en ( )b,c .

Resumiendo esta definición se puede decir que: Una función )x(fy = , continua en el

intervalo ( )b,a , presenta un punto de inflexión en ( )b,ax0 ∈ , cuando cambia de concavidad

en ese punto.

De la definición anterior y lo visto en el punto 5.6 se puede deducir la siguiente conclusión:

Un punto de inflexión ( )( )cf;c ocurre en un número c para el cual ( ) 0c''f = o bien ( )c''f no

existe.

Observación: En particular, si )x(fy = es continua y derivable en el punto de inflexión, se

observará que en ese punto la tangente atraviesa a la curva por dicho punto (ver figura



4.13). Tener en cuenta que la condición de derivabilidad de la función no es una condición

necesaria para la existencia de un punto de inflexión, pero si esa condición se cumple

entonces la tangente atraviesa a la curva por dicho punto.

Figura 4.13

5.8 INTERVALOS DE CONCAVIDAD

Una función )x(fy = es “cóncava hacia arriba” en el intervalo ( )b,a cuando es cóncava hacia

arriba en cada uno de los puntos del mismo. En forma análoga se puede definir un intervalo

de “concavidad hacia abajo”.

Para determinar los intervalos de concavidad de la función se deben ubicar los “candidatos” a

puntos de inflexión (es decir donde ( ) 0x''f = o donde ( )x''f no existe) y los puntos donde

no esta definida la función.

Estos valores de x definen los intervalos de concavidad, será necesario conocer el signo de la

derivada segunda en cada intervalo para verificar que efectivamente ocurre el cambio de

signo.

Para determinar los puntos de inflexión deben verificarse las siguientes condiciones:

1. Los valores de x que verifican que cual ( ) 0x''f = o bien ( )x''f no existe son los

“posibles” puntos de inflexión.

2. Para verificar si realmente son puntos de inflexión debe evaluarse la derivada segunda a

la izquierda y a la derecha de cada punto. Si se obtienen valores de distinto signo,

entonces es un punto de inflexión.



Resumiendo:

1. Si cual ( ) 0x''f = o bien ( )x''f no existe ⇒ x0 es un posible punto de inflexión.

2. Si ( ) 0hx''f 0 >+ y ( ) 0hx''f O <− , ó ( ) 0hx''f O <+ y ( ) 0hx''f O >− , con h > 0 entonces x0

es punto de inflexión.

TTrraabbaajjooss PPrrááccttiiccooss

((UUnniiddaaddeess 22,, 33 yy 44))


Trabajo Práctico Nro 5 – Límite y Continuidad. [223]

TRABAJO PRÁCTICO NO 5 Límite y Continuidad

Objetivos: - Reconocer la existencia del límite, calcularlo y levantar indeterminaciones

- Reconocer y usar límites notables.

Síntesis Teórica:

Definición de Límite:

0δ(ε)δ0,εLf(x)

axLím >=∃>∀⇔=→

tal que ∀ x ; si 0<| x-a|<δ ⇒ | f(x) -L|<ε

Ejercicio N° 1: En cada una de las siguientes gráficas, marcar sobre el eje de abscisas

el conjunto de puntos cuyas imágenes sean elementos del conjunto B.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

B

B

B

B


[224] Trabajo Práctico Nro 5 – Límite y Continui-dad.

Ejercicio N° 2: Verificar aplicando la definición de límite que: (Ver ejemplo *)

a) ( ) 67x

1xLím =+

−→ b) 9x

3xLím 2

=→

c) 23)(3x

xLím

31

=+−→

Ejercicio N° 3:

a) Sea f(x) = 9x -5. Hallar el valor de δ > 0 tal que:

si | x-1| < δ , entonces | f(x) - 4 | < 101

b) Sea g(x) = 2 2x +1. Hallar el valor de δ >0 tal que: si | x | < δ , entonces |g(x)-g(0) |<21

c) Interpretar gráficamente (a) y (b).

Ejercicio N° 4: Usando la definición de límite, demuestre que :

a) ( )

1x1x

xx0x

Lím2

2

−=−

−→

b) 61

3)9)(x(x

9x6x3x

Lím2

2

=−−

+⋅−→

Ejemplos:

• Usando la definición demostrar que 42x4x

2xLím 2

=−−

→

Esto significa que ∀ ε que cumpla 42x4x2

−−−

< ε debe existir un δ tal que | x-2 | < δ

⇒ ( ) ( )

( ) 42x

2x.2x−

−+−

< ε ; | x+2-4| < ε ; | x-2 | < ε

⇒ ε = δ

• Ídem para ( )

01x

1x1x

Lím2

2

=−

−→

( )1x

1x2

2

−−

< ε para |x-1| < δ ;

en palabras, a partir de la desigualdad de ε, debo encontrar una cota superior δ del 1x − .

( ) ( )( ) ( )1x.1x

1x.1x+−−−

< ε ; 1x1x

+−

< ε

para despejar 1x − debemos acotar 1x + , entonces como | x-1| < δ ; resulta -δ < x-1 < δ ;

si consideramos δ = 1 ⇒ -1 < x-1 < 1



sumando 2 m.a.m. ahora nos queda 1 < x+1 < 3

si tomo | x+1| =1, este valor será la cota inferior máxima (para δ =1);

resulta 1

1x

1x1x −

≤+− < ε

⇒ ε = δ ; δ = mín { 1 ; ε }

Ejercicio N° 5: Aplicando la definición de límite, demostrar que:

a) =→ x

10x

Lím ∞

b) =−→ 3xx

3xLím

∞

Ejercicio N° 6: Calcular los siguientes límites:

a) =

→3x

2xLím

b) =+

→h3x

0hLím

c) =+−

→ 2x7xx

2xLím 2

d) ( )

=−

−→ 1x

1x1x

Lím21 e) =

−−

→ 1x1x

1xLím

2 f) =

−+

−→ 25x5x

5xLím

2

g) =−

−+−→ 1u

1uuuu1u

Lím h) =

−−−−

→ 22 axbabx

axLím

Límites laterales: La existencia del límite de f(x) cuando x → a implica la existencia del

límite por la izquierda f(x)Límax −→

y la del límite por la derecha f(x)Límax +→

, y que ambos

sean iguales .

Ejercicio N° 7: Dado el siguiente gráfico de la función g(t) encontrar: g(t)Límbt→

, si existe,

para b = 1, 2, 3, 4, 0 y ∞



g(t)

t

0.5

1

1.5

1 2 3 4 5

Ejercicio N° 8: Calcular

a) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≠∀−−

=→ 3xsi10

3x,3x9x

f(x) sif(x)

3xLím

2

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<∀+=

>∀−+=

→ 0x,22x0xsi9

0x,2xxf(x) sif(x)

0xLím

2

c) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≠∀++

=→ 1xsi3

1x,1x13x

f(x) sif(x)

1xLím

Ejercicio N° 9: Sabiendo que 21

f(x)2x

Lím =→

y 41

g(x)2x

Lím =→

, calcular:

a) =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

→(x)2ff.g

2xLím

b) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

→(x)

gfgf

2xLím


a) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

→

2x21

2x1x

Lím b) =

→ 2x

12x

Lím

c) =−+

−→ 1u1u

1uLím

d) 0acon,2a2ax2x

2a2x0x

Lím≠=

++

−→



e) =−

−→ 32u

3u3u

Lím f) =

−−

→ 2x2x

2xLím

g) 2x2x3x

x0x

Lím

−+→ = h) =

++

−→ 1x13x

1xLím

i) =+−

+−→ 23x2x

12x2x1x

Lím j) =

−

−→ 1x

1xx1x

Lím

Ejercicio N° 11: Sea f(x) la función representada por el siguiente gráfico:

Obtener:

a) f(x)

1xLím

+→ b)

f(x)

1xLím

−→ c)

f(x)

1xLím

+−→ d)

f(x)

1xLím

−−→

e) ¿Existen f(x)

1xLím→

y f(x)

1xLím

−→ ?. Justificar.

Ejercicio N° 12: Calcule los siguientes límites laterales:

a) f(x)

1xLím→

si 1x1x1x

sisisi

,x

,21

1,x

f(x)2

3

>=<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ −

=

b) h(x)

21

x

Lím

→ si 0x0x

sisi

8,2x1,x

h(x)2

><

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

=

Ejercicio N° 13: Calcular el límite cuando x → a por la derecha y por la izquierda:

Y

X1

-1-21

2

-1

-2

2



a) [ ]x)x(f = , en a = 2 ( [x] = parte entera de x )

b) x)x(f = , en a = 0

c) 3x

1)x(g

−= , en a = 3

e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<∀−

≥∀−=

0x,2x

0x,2x

1

h(x) en a = 2

f) y = x1

e , en a = 0

Ejercicio N° 14: Calcular

a) =+→ x

1

23

10x

Lím b) =

+

+→ x

1

x1

23

210x

Lím

c) =−+

→ 1x1x

1xLím

d) =−−

→ 2x2x

2xLím

e) ⎩⎨⎧

>≤

−+

=→ 3x

3xsisi

1,x1,xf(x)conf(x)

3xLím

2

Ejercicio N° 15:

a) Sea f(x) = 3x

1. Determinar un número N > 0 tal que si x > N entonces f(x) < 0,001 e

interpretar gráficamente.

b) Demostrar por medio de la definición que: 0x1

xLím

=∞→


a) =+−

∞→ + 25

24

2xxxx

xLím

b) =+

+−∞→ + 2xx

15x3xx

Lím2

2

c) =+−

∞→ + baxbax

xLím

4

4

d) =−

+−−∞→ − 1x

1x3xx

Lím2

2



e) =−+

∞→ − 1v1v

vLím

2

3

f) =−+

∞→ 100101

99100

vvvv

vLím

g) =−+

∞→ + 1v1v

vLím

4

5

h) =++++∞→ + 1x16x14x

7xx

Lím2

i) =−

−

∞→ +2

2

x

1x1

x1

x3

xLím

j) ( ) =−+∞→ +

xa)x(xx

Lím

Síntesis Teórica: f(x) es continua en el punto x = x0 si se cumplen:

a) Está definida en x0, es decir ∃ f(x0)

b) Existe 0xx

f(x) Lím→

c) 0xx

0)f(xf(x) Lím

→

=

Ejemplo:

• f(x) = 2x + 1 es continua en x = 2, ya que está definida, existe el límite y además el

f(2)512x2x

Lím ==+→

• f(x) = 2x4x2

−−

es discontinua en x = 2 porque f(2) no está definido y el 4.f(x)

2xLím =→

En este caso la discontinuidad es del tipo evitable, ya que asignando a la función f(x) el

valor de su límite para x → 2, ya es continua. Las curvas de f(x) = 2x4x2

−−

y de

g(x) = x + 2 son idénticas excepto en el punto x = 2, ya que la primera presenta un

“hueco”.

Evitar discontinuidades significa simplemente llenar en forma adecuada dicho “hueco”, para

la cual se debe redefinir la función.

Ejercicio N° 18: Dar los puntos de discontinuidades de las siguientes funciones y definir el

tipo de discontinuidad.

a) y = 2x

1−

b) y = 3z27z3

−−

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−∈−∉∀−=1,1][xsi11,1][x1xxf

2)(

d) y = 1x

23xx2

2

−+−

e) z = ww2

f) xx

3xxf

2

3

)(++

=



g) y = xsen

1 h)

1e

1xf

x)(

−=

Ejercicio N°19:

a) Dar los gráficos de 3 funciones que no sean continuas por razones distintas.

b) Dar algunos ejemplos de funciones que tienen límite en cero, pero que no son continuas

en ese punto. Realizar los gráficos de esas funciones.

c) Dar el gráfico de una función que:

- Este definida en todo R.

- Sea continua en )(8,(3,8),5,3),(,-5),(- ∞−∞ .

- Tenga una discontinuidad evitable en -5 , una no evitable en 3, y otra en 8

donde se aproxima a infinito.

- Sea negativa en (3,8).

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio N° 20: Idem ejercicio Nº 18.

a) 31

xf(x) = b) f(x) = cos x

c) xsenxcos

f(x) = d) 2x2f(x) =

e) 2x2f(x) −= f)

2

x1

2f(x)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Ejercicio N° 21: ¿Cuáles de las siguientes funciones son continuas en el origen?. ¿Cuáles

pueden ser redefinidas para convertirse en continuas ?.¿Cuáles no pueden serlo?. Justifique

su respuesta.

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

0x;x

0x;x1

x.senf(x) b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<=>

=0x;x0x;30x;x

f(x)

21

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0x;0

0x;x1

.senxf(x)21

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠=

0x;0

0x;x1

f(x)



e) 2x

1f(x)

+= f)

2x

1f(x) =

Ejercicio N° 22: Dibuje la gráfica de una función que satisfaga las siguientes condiciones:

a) Su dominio es [0, 7]

b) f(0) = f(2) = f(4) = f(7) = 3

c) La función f es continua, excepto para x =2

d) 1)x(fLím

2x

=−→

y 3)x(fLím

5x

=+→

Ejercicio N° 23: Bosqueje la gráfica de una función f(x) que satisfaga todas las siguientes

condiciones:

a) Dominio [-2, 2]

b) f(-2) = f(-1) = f(1) = f(2) = 1

c) Discontinua en –1 y 1

d) Continua en el intervalo (-1,1)


Trabajo Práctico Nro 6 – Derivadas [233]

TRABAJO PRÁCTICO NO 6 Derivadas

Ejemplo:

Sea 4xxf(x) 23 −−= . Hallar xy

límdxdy

)x(f0x ΔΔ

==′→Δ

Como 4xxy 23 −−= entonces:

( ) ( ) 4xx4ΔxxΔxxΔy 2323 ++−−+−+=

( ) ( ) ( ) 4xx4Δx2xΔxxΔxΔx3xΔx3xxΔy 23223223 ++−−−−−+++=

( ) Δx]Δx2xΔxΔxx33x[Δy 22 −−++=

( )Δx1Δx3x2x3xΔxΔy 2 −++−= ,

Tomando límite:

( )[ ] 2x3xx1x3x2x3xLimxy

Lim 22

0x0x−=Δ−Δ++−=

ΔΔ

→→ ΔΔ

Así:

2x3xdxdy

(x) f 2 −==′

Ejercicio N° 1: Hallar por definición la derivada de:

a) ( )2x1

y−

= b) 25ts = c) 85xxy 2 ++=

d) 4zzy 23 −−= e) 43x32x

y+−

= f) ( )21

12wz +=

Ejercicio N° 2: Sean f, g y h funciones de la misma variable y sabiendo que:

2)1(f −= , 3)1(f =′ , 5)1(g −= , 1)1(g =′ , 2)1(h = , 4)1(h =′

Usando las fórmulas de derivación correspondientes, calcular:

a) ( )(1)f.g.h ′ b) (1)hf.g

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ c) (1)

hfg

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−


[234] Trabajo Práctico Nro 6 – Derivadas

Ejercicio N° 3: Usando las reglas de derivación, calcular las derivadas de las siguientes

funciones:

a) 23 x2xy(x) −= b) ( )( )2x13xy(x) +−=

c) 2x32x3

y(x)+−

= d) ( ) ( )3322 12x4xy(x) −+=

e) ( )212 36xxy(x) ++= f) x seney(x) =

g) 31

21

t

6

t

2f(t) += h) 2 Ln

xy(x) +

π=

i) x seny(x) = j) 2xef(x) =

k) ( )25xxtgy(x) −= l) 2x cos3x seny(x) +=

m) 2x tgy(x) = n) xsecy(x) 3=

ñ) x senxf(x) 2= o) y(x) = Ln (sen x) + tg (x)

p) x ln x b a e a y(x) x) sen(52 += q) y(t) = 2xt1

2x.t

+−

Ejercicio N° 4: Trazando la recta tg a la gráfica en los puntos indicados, estime el valor y el

signo de la derivada de la función:

Ejercicio N° 5: Sabiendo que:

2ee

u senhuu −−

= , 2ee

u coshuu −+

= , ucoshusenh

u tgh =

(senh u se lee seno hiperbólico de u; cosh u se lee coseno hiperbólico de u y tgh u se lee tangente hiperbólica de u)

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) x senhy = b) x coshy = c) x tghy =


Trabajo Práctico Nro 6 – Derivadas [235]

Ejemplo:

2e

2e

u senhyuu −

−==

( )

u'u) (coshy'

2e

2e

u' u'2

e u'

2e

2e

2e

'u senhy'uuuuuu '

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

−−−

Ejercicio N° 6: Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones.

a) x xy = b) xxxy = c) ( ) x Lnx seny = d) x senxy =

Ejercicio N° 7: Calcular las derivadas de las siguientes funciones implícitas:

a) 0yxxyyx 2222 =++− b) 3yxyx 22 =+− c) 1y3xyx 33 =+−

d) 2yxyx =++ e) 0x tgx y seny xa =++ f) 0ey e y xx =+

Ejemplo:

Dada la expresión: 012yxxy =−−+

Derivando respecto de la variable x:

( ) ( )

x21y

y'

02y'1yxy'

dx0d

dx1d

dxdy

2dxdx

ydxdx

dxdy

x

−+

=

=−++

=−−++

Ejercicio N° 8: Hallar una función polinómica que cumpla con:

a(0)f = b(0)'f = c (0)''f = d(0)'''f =

Ejercicio N° 9: El espacio recorrido por una partícula p está descripto por la ecuación: 2t3t15s −=

Hallar la distancia de p al punto de partida cuando la velocidad es nula.

Ejercicio N° 10: La ecuación del espacio recorrido por un punto sobre el eje x es: 3t0.001t5100x −+=


[236] Trabajo Práctico Nro 6 – Derivadas

Hallar la velocidad y la aceleración del punto en los instantes t = 10 y t = 120. Hallar el

espacio y la aceleración en el instante de velocidad nula.


Ejercicio N° 11:

a) Sea 2x3 ex)x('f = , 0)1(f = y 3)1x()x(g 2 ++= calcular ( ) )1('gof

b) Si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=1x1x

f)x(F y 2x)x('f = encontrar )x('F

c) Si )x(f)x(F 3= y 1x1x

)x('f+−

= encontrar )x('F .

Ejercicio N° 12: En qué punto existe la derivada de la siguiente función

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥=

0xsix21

0xsi)xcos()x(f

3

Ejercicio N° 13: Dada la función:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤+=

1xsi4x

1xsix23)x(f

2

Derivable para en todo su dominio de definición encuentre su derivada

Ejercicio N° 14:

a) El peso de un material radiactivo cambia con el tiempo de acuerdo a la siguiente

expresión: P(t) = 100 · 2-t

Donde “t” es el tiempo en segundos y P(t) está dado en gramos desintegrados por segundo.

¿Cuál es la variación del peso respecto del tiempo?.

b) La resistencia total “R” en un circuito eléctrico en paralelo que consta de dos resistores,

con resistencias de R1 y R2, está dada por: R21

R11

R1

+=

Cada resistencia varía con el tiempo. ¿Cómo están relacionadas dtdR

, dt

dR1 y

dtdR2

?

c) Un tanque de aceite en forma de cilindro circular de radio igual a 8 cm se está llenando

según una razón constante de 10 cm3/min. ¿Con qué rapidez sube el nivel de aceite?.

d) Sea “Qd” la longitud de una barra de metal en centímetros y “t” la temperatura en grados

centígrados. La función que expresa “Qd” en términos de “t” es:

Q(t) = 50 + 0,001 t (en centímetros).

¿Cuál es la razón de variación de la longitud de la barra en función de la temperatura?.

e) Demostrar que la función x2

y = es una función decreciente para valores de x > 0


Trabajo Práctico Nro 7 – Recta Tangente y Normal. Diferencial [237]

TRABAJO PRÁCTICO NO 7 Recta Tangente y Normal - Diferencial

Ejemplo:

Hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva:

5x2x)x(f 23 ++= en el punto (2;21)

m20)2('fx4x3)x('f 2

==+=

Recta Tangente → y-21 = 20 (x-2) → y = 20 x - 19

Recta Normal → y-21 = - ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛201

(x-2) → y = - ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛201

x + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20211

Ejercicio N° 1: Hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a las curvas dadas:

a) 5yxy3x 22 =++ en el punto (1 ; 1)

b) 7yx 22 =− en el punto (4 ; -3)

Ejercicio N° 2: Hallar las ecuaciones de las rectas verticales que pasan por los puntos de

las curvas:

a) 5x2x2xy 23 +−+=

b) 3x37

x9x2y 23 −−+=

en donde las tangentes a ellas son paralelas.

Ejercicio N° 3: Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse:

40y9x4 22 =+ , de pendiente m = - ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛92

Ejercicio N° 4: Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las circunferencias:

0yx4x 22 =+− ; 8yx 22 =+

en sus puntos de intersección.

Ejercicio N° 5: Demostrar que las curvas 2xy 3 += , 2x2y 2 += tienen una tangente

común en el punto (0 ; 2).


[238] Trabajo Práctico Nro 7 – Recta Tangente y Normal. Diferencial

Ejercicio N° 6: Calcular dy y yΔ en las siguientes funciones.

a) 1xxy 2 ++= para x =2 y xΔ = 0,01

b) x3xy 2 += para x =1 y xΔ = 0,01

c) 5x2xy 2 +−= para x =2 y xΔ = 0,2

d) x1

y = para x = -1 y xΔ = -0,02

Ejemplo:

001,0xy2xparaxy 2 =Δ==

004,0dy001,022dy

xx2dy

x2'y

=⋅⋅=Δ=

=

( )

( )004001,0y

001,0001,022y

xxx2y

xxxx2xy

xxxy

2

2

222

22

=Δ+⋅⋅=Δ

Δ+Δ=Δ

−Δ+Δ+=Δ

−Δ+=Δ

Ejercicio N° 7: En cada uno de los siguientes casos, calcular un valor aproximado del

número dado por medio del diferencial.

a) 01,9 b) 001,11

c) cos(0,01) d) 0012,1

Ejemplo:

Para calcular el valor aproximado de sen(0,01), tomamos f(x)=senx, x=0, Δx =0,01

01,0dy01,0)0cos(dy

x)0('fdyx)x('fdy

xcos)x('f

=⋅=Δ⋅=Δ⋅=

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) 01,001,0sen

0sen01,001,0senxsendyxxsen

xfdyxxfdyxfxxfdyy

≅

+≅+≅Δ++≅Δ+

≅−Δ+≅Δ

Ejercicio N° 8: La medida del diámetro de un círculo es 3,6 cm., con un error por defecto

menor que 0,1 cm. Calcular el error cometido en la determinación de la superficie.

Ejercicio N° 9: Una bola de hielo de 10 cm. de radio, se derrite hasta que su radio adquiere

el valor de 9,8 cm. Hallar aproximadamente la disminución que experimenta su volumen y

su superficie.

Ejercicio N° 10: Hallar con la ayuda del cálculo diferencial el incremento de 3x cuando x

pasa del valor 5 a 5,01.


Trabajo Práctico Nro 8 – Regla de L’Hopital [239]

TRABAJO PRÁCTICO NO 8 Regla de L’Hopital

Ejemplo 1:

Calcular: 1x

13x2xLím

2

2

1x−

+−

→

Este límite es una indeterminación de la forma 00

Para calcularlo usamos la Regla de L’Hopital: ( )

( ) 21

2x34x

Lím1x

dxd

13x2xdxd

Lím1x1x

2

2

=−

=−

+−

→→

por lo tanto: 21

1x

13x2xLím

2

2

1x

=−

+−

→

Ejemplo 2:

Calcular: xxLím0x→

Está indeterminado de la forma 00

Partiendo de xxLímy0x→

= , aplicando logaritmo natural; por propiedad de límite y de

logaritmos, resulta:

( ) ( )xLnxLímxLnLímxLímLnyLn0x0x0x

xx

→→→

==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

quedando ahora una indeterminación de la forma ( )−∞⋅0 , que podemos expresar como:

x1

xLnLím

0x→

(forma ∞∞

)

aplicando L´Hopital: ( ) 0xLím

x

1x1

Lím0x0x 2

=−=− →→

Entonces: 1xLím1ey0yLn x0

0x

=⇒==⇒=→


[240] Trabajo Práctico Nro 8 – Regla de L’Hopital

Ejercicio N° 1: Calcular los siguientes límites empleando la regla de L'Hopital si fuera

necesario:

a) 29x5x

2x2xxLím2

23

0x −+

−−+→

b) 210x

524x5xLím 2

5

1x −

−+→

c)

9x3x

senLím

0x −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→

d) ( )( )12xLog

1xsenLím1x −

−→

e) ( )xsenx

xacos1Lím0x

−→

f) 12xx

13x2xLím2

23

1x +−

+−→

g) 2x

3xcos4xcosLím0x

−→

h) xxLnLím

0x +→ i)

xcotgxLnLím

0x +→

j) 1x

xLím2

3

x +∞→ k) xLnxLím

0x +→

l) xLnxsenLím

0x +→

m) xxLím0x→

n) xsenxLím0x→

o) ( )xb

ax1Lím0x

+→

p) xLn1

xLím

0x +→

q) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→xsen

1x1

Lím0x

r) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−→

xLn1

1xx

Lím1x

Ejercicio N° 2: Usando la regla de L’Hopital, resolver los siguientes límites. Verificar el

resultado obtenido recordando los límites notables dados en la presente tabla:

● 1x

sen(x)Lím0x

=→

● ex

x1

1Lím

x=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∞→ ● [ ] ex1

Lím X

1

0x=+

→

● 0x!

xaLímx

=∞→

● 0!x

xLímn

x

=∞→

a) =→ 2x

sen(x)Lím0x

b) =→ 4x

sen(5x)Lím0x

c) =−

−→ 1x

1)sen(xLím2

2

1x

d) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

→ 22 x

cos(x)

x

1Lím0x

e) =→ x

(x)senLím 2

0x f) =

→ sen(p.x)sen(x)Lím

0x

g) =−

π→ xsen1

xcosLím

2x

h) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∞→

x

x2

1Lím

x i) =

∞→ x!3Lím x

x

j) =∞→ x!

2xLím 5

x k) [ ] =+

→

X

1

2x1Lím

0x l) =

∞→ 5x!5Lím 3 x

x


Trabajo Práctico Nro 9 – Análisis de Funciones [241]

TRABAJO PRÁCTICO NO 9 Análisis de Funciones

Ejemplo:

( ) 2xexyxf −⋅==

1) Dominio: { }+∞<<∞−= xx/Df

2) Paridad: ( ) ( ) ( ) ( ) impar Esxfexexxf22 xx ⇒=⋅=⋅−−=−− −−−

3) Cortes con los ejes: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒=

=⇒=⋅ −

0y0xorígenalOrdenada

0) ; (0 corte de punto 0x0ex:Ceros 2x

4) Máximos y mínimos:

( ) ( )2xxxx 2x1e2xexey,exy2222

−⋅=−⋅⋅+=′⋅= −−−−

igualando a cero la derivada primera tenemos que:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=−⇒=−⋅−

21

2

21

122x

21

x

21

x:sonsolucioneslas02x102x1e

2

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=∃⇒>

=∃⇒<−⋅⋅= −

21

xenínimom0'' y;x

21

xenáximom0''y;xpara,64xxe''y

2

12x2

5) Puntos de inflexión:

( ) 06x4x06x4x.e''y 33x2

=−⇒=−= −

las soluciones son:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

21

2

21

1

0

23

x

23

x

0x

Los puntos de inflexión serán:

( ) ( )0;0y;x 00 =


[242] Trabajo Práctico Nro 9 – Análisis de Funcio-nes

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2

23

11 e23

;23

y;x

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

23

22 e23

;23

y;x

6) Asíntotas: 2xexy −⋅= ,

En la ecuación de la asíntota, bxmy +⋅= , será:

0m0xex

Límm2x

x

=⇒=⋅

=−

∞→

; 0bexLímb2x

x

=⇒⋅= −

∞→

La recta y=0 es una asíntota horizontal; no tiene asíntotas verticales.

7) Construcción de la gráfica:

Ejercicio N° 1: En las siguientes funciones analizar dominio, paridad, asíntotas y puntos de

corte con los ejes coordenados.

a) 1x1x

y2

−+

= b) 2x

1y

−= c) ( )23x.ey 2x +=

d) x

13xxy

2 +−= e) 3

2

x2y += f) 1x

1xy

2

2

−+

=

Ejercicio N° 2: Hallar para las siguientes funciones: puntos máximos y/o mínimos,

intervalos de crecimiento y decrecimiento.



a) y = 2

2

x4

x

− b) y =

xax)(a 2

−+

c) y = 2x2 ex −

d) y = x1

x + e) y = 2xex3 f) y = 4x4x3x2x 234 +−−+

Ejercicio N° 3: Analizar en los casos que siguen si existen puntos de inflexión y determinar

los intervalos de concavidad.

a) y = 23 x3x − b) y = 2x − c) y = tg x – 4 x

d) y = 2x6x4 +− e) y = 712x12x10x3x 234 −+−−

Ejercicio N° 4: Construir el gráfico aproximado de una función que:

● Tenga un máximo en ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 2;23

.

● Tenga una asíntota oblicua de pendiente positiva que pase por y = -2.

● Tenga una asíntota vertical en x = 4.

● Sea creciente en ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∞−

23

, y ( )∞,6 .

Ejercicio N° 5: Realizar en las siguientes funciones un análisis completo. Trazar su gráfica:

a) y = x1

x − b) y = 2xex2 − c) y =

9x

4x3x2

2

−−−

d) y = 136x15x2x 23 +−− e) y = x1x2 + f) y = sen x

g) y = 2x1x

−−

h) y = x ln x i) y = 7x24x2

+−


j) y = cosh x k) y = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

6π

x3cos j) y = senh x



PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN – Síntesis Teórica

Una de las aplicaciones más frecuentes de la derivación consiste en la determinación de

valores máximos o mínimos. En muchas ocasiones se habla de máximo beneficio, mínimo

costo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia o máxima

distancia. Veamos como resolver un ejemplo:

Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y un área de 108 cm2. ¿Qué

dimensiones producen la caja de máximo volumen?

Solución: Como la base es cuadrada, el volumen de la caja viene dado por:

hxV 2=

Esta ecuación se la llama ecuación primaria porque da una formula para la magnitud que

ha de ser optimizada. El área de la caja es

S = (área de la base) + (área de los cuatro lados)

xh4xS 2 += = 108 (Ecuación secundaria)

Como queremos optimizar V, la expresamos en función de una sola variable. A tal fin

podemos despejar h en la ecuación secundaria, en términos de x, obteniendo x4

x108h

2−= .

Sustituyendo en la ecuación primaria se obtiene

4x

x27x4

x108xhxV

3222 −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

Antes de hallar el valor de x que dará el máximo valor para V, hemos de determinar del

dominio admisible. Es decir, ¿qué valores de x tienen sentido en este problema? Sabemos

que 0V ≥ . Y también que x ha de ser no negativo y el área de la base ( 2xA = ) es a lo

sumo 108. Por lo tanto, el dominio admisible es:

108x0 ≤≤

Para maximizar V, tomamos la derivada primera de la función e igualamos a 0

04x3

27dxdV 2

=−=

108x3 2 =

6x ±=

Evaluando V en x=6, que es el valor que está en el dominio encontramos el valor del

máximo volumen V(6)=108. Volviendo a la igualdad x4

x108h

2−= ya habiendo calculado x

podríamos calcular el valor de h=3. Así las dimensiones de la caja son (6 x 6 x 3) cm.



Podemos plantear una estrategia general para resolver este tipo de problemas en función de

lo visto en el ejemplo anterior.

1. Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar

2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada

3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con una sola variable independiente. Eso

puede exigir utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables

independientes de la ecuación primaria.

4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el

problema planteado tiene sentido.

5. Determinar el deseado valor máximo o mínimo mediante las técnicas de derivación.

Ejercicio N° 6: Resolver los siguientes problemas de optimización

a) Encontrar la superficie del mayor rectángulo que se puede inscribir en un triángulo

rectángulo de base 10 cm. y altura 4 cm.

b) Encontrar el área del mayor rectángulo inscripto en el triángulo formado por los ejes

coordenados y la recta y = 3 x – 2.

c) Hallar el máximo rectángulo con base en el eje x, cuyos dos vértices restantes se

encuentran sobre la parábola y = 2x1 − .

d) Calcular el área del mayor triángulo isósceles que se puede inscribir en la parábola 2x3y −= y el eje x, en la forma indicada en la figura.

e) Se desea construir un recipiente cilíndrico cerrado de un volumen determinado.

¿Cuáles serán las dimensiones del recipiente para ahorrar la mayor cantidad de material?.

f) ¿Cuál es la menor distancia del punto (1 ; 0) a la curva 10x6xy 2 ++= ?.




g) Un depósito abierto de hojalata, con fondo cuadrado debe tener capacidad para V litros.

¿Qué dimensiones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor

cantidad de hojalata?.

h) Determinar que diámetro y deberá tener la abertura de una presa, para que el gasto de

agua por segundo, Q, sea el mayor posible, si:

yhycQ −=

siendo h la profundidad del punto inferior de la abertura. ( h y c son constantes ).

i) Un cartel tiene sus bordes superior e inferior a la altura a y b respectivamente, con

respecto a la visual horizontal de un hombre. ¿A qué distancia debe colocarse este de la

pared para que el ángulo visual determinado por el ojo y los bordes sea máximo?.

j) Un globo se eleva desde la tierra hasta una distancia de 500 m respecto de un observador,

a razón de 200 m/min. ¿Con qué rapidez crece el ángulo de elevación de la línea que une un

observador con el globo cuando éste está a una altura de 1000 m?.

k) Un carro de policía se aproxima a una intersección a 80 pies / seg. Cuando está a 200 pies

de este punto, un carro cruza la intersección, viajando en ángulo recto con respecto a la

dirección en que viaja el carro de policía, a la velocidad de 60 pies/seg. Si el policía dirige el

rayo de luz de su faro hacia el segundo carro, ¿con qué velocidad girará el rayo de luz 2

segundos después, suponiendo que ambos carros mantengan sus velocidades originales?

RReessuullttaaddooss

((TTrraabbaajjooss PPrrááccttiiccooss ddee UUnniiddaaddeess 22 ,, 33 yy 44))


Resultados de Trabajos Prácticos [249]

Trabajo Práctico Nro 5. “Límite y Continuidad”

Ejercicio 1:

La solución es gráfica.

Ejercicio 2:

a) ( ) 67xLím-1x

=+→

ε<−+ 67x para ( ) δ<−−< 1x0

ε<+ 1x δ<+< 1x0

La relación es: δ=ε

b) 9xLím 2

3x

=→

ε<− 9x2 para δ<−< 3x0

( )( ) ε<−+ 3x3x

ε<−+ 3x3x

Para relacionar δ con ε debemos acotar 3x +

Para 1=δ :

73x56163x6113x113x3x <+<⇒+<+−<+−⇒<−<−⇒<−⇒δ<−

Como me interesa que ε sea una cota superior, y 3x + está multiplicando tomaremos el más grande de ambos

límites, o sea 7, por lo tanto:

73x3x73x3x

ε<−⇒ε<−<−+

La relación es: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

=δ7

;1min

c) 3ε

=δ

Ejercicio 3:

a) 901

=δ

b) 21

=δ

c) La solución es gráfica

Ejercicio 4:

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

=δ4

;21

min


[250] Resultados de Trabajos Prácticos

b) { }ε=δ 30;1min

Ejercicio 5:

a) M1

=δ

b) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=δM2

,1min

Ejercicio 6:

a) 6

b) 3x

c) 4

10−

d) 2

e) 21

f) 101

−

g) 1

h) baa4

1

−

Ejercicio 7:

La solución es gráfica.

Ejercicio 8:

a) 6

b) ∃/

c) 2

Ejercicio 9:

a) 83

b) 3

Ejercicio 10:

a) 23

b) 41

c) 0

d) –1

e) 32

1

f) 1

g) 21



h) 3

i) 0

j) 3

Ejercicio 11:

a) 1

b) 2

c) –2

d) –1

Ejercicio 12:

a) No existe

b) -7

Ejercicio 13:

a) derecha: 2; izquierda: 1

b) derecha: 0; izquierda: 0

c) derecha: ∞; izquierda: - ∞

e) derecha: ∞; izquierda: - ∞

f) derecha: ∞; izquierda: 0

Ejercicio 14:

a) No existe (Límites laterales distintos)

b) No existe (Límites laterales distintos)

c) ∞

d) No existe (Límites laterales distintos)

e) No existe (Límites laterales distintos)

Ejercicio 15:

a) 0x1

lím3x=

∞→ , entonces si ε = 0.001 resulta 10x > luego N = 10

b) ∀ ε, ∃ N=ε1

Ejercicio 16:

a) 0

b) 3

c) 1

d) –3

e) -∞

f) 0

g) ∞

h) 87

i) 3

j) 2a



Ejercicio 17:

a) 21

b) 45

c) 1

d) 21

e) 0

f) p1

g) 2

h) e 2

i) 0

j) 0

k) e 2

l) 0

Ejercicio 18:

a) x = 2; discontinuidad no evitable de salto infinito

b) z = 3; discontinuidad evitable

c) x = 1 y x = -1; discontinuidades no evitables de salto finito

d) x = 1; discontinuidad evitable

x = -1; discontinuidad no evitable de salto infinito

e) w = 0 ; discontinuidad evitable

f) x = 0; discontinuidad no evitable de salto infinito

x = -1; discontinuidad no evitable de salto infinito

g) x = kπ ∀ k ∈ Z; discontinuidad no evitable de salto infinito

h) x = 0; discontinuidad no evitable de salto infinito

Ejercicio 20:

a) Es continua en todo su dominio

b) Es continua en todo su dominio

c) x = kπ ∀ k ∈ Z; discontinuidad no evitable de salto infinito

d) Es continua en todo su dominio

e) Es continua en todo su dominio

f) x = 0; discontinuidad evitable

Ejercicio 21:

a) Es continua en x=0 porque f(0) = 0x

lím→

f(x)

b) No es continua en x = 0 porque f(0) ≠ 0x

lím→

f(x). Puede redefinirse

c) Es continua en x=0 porque f(0)=0x

lím→

f(x)



d) No es continua en x=0 porque no existe 0x

lím→

f(x). No puede redefinirse

e) Es continua en x=0 porque f(0)=0x

lím→

f(x)

f) No es continua en x=0 porque no está definida ni tiene límite en ese punto. No puede redefinirse.



Trabajo Práctico Nro 6. “Derivadas”

Ejercicio 1:

a) ( )22x

1y

−−=′

b) t10s =′

c) 5x2y +=′

d) z2z3y 2 −=′

e) ( )24x3

17y

+=′

f) 1w2

1z

+=′

Ejercicio 2:

a) ( ) ( ) 6fgh 1 =′

b) ( )237

hfg

1 −=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

c) ( )169

hfg

1 −=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Ejercicio 3:

a) ( ) x2x6xy 2 −=′

b) ( ) 5x6xy +=′

c) ( ) ( )2x2312

xy+

−=′

d) ( ) ( )( ) ( ) ( )23222332 1x24xx181x24xx4xy −++−+=′

e) ( )3x6x

3xxy

2 ++

+=′

f) ( ) xcosexy xsen=′

g) ( ) 34

23

t2ttf−−

−−=′

h) ( )2x

xyπ

−=′

i) ( ) xcosxy =′

j) ( ) x2exf2x=′

k) ( ) ( )22 x5xcosx101

xy−

−=′

l) ( ) ( ) ( )x2sen2x3cos3xy −=′



m) ( ) ( )22 xcosx2

xy =′

n) ( )x2

1xtgxsec3xy 3=′

ñ) ( ) xcosxxsenx2xy 2+=′

o) ( )xcos

1xsenxcos

xy2

+=′

p) ( ) ( ) ( ) ( )xlnx2

1xlnabx5cosea5xy x5sen2 +

+=′

q) ( )2t1

2x

ty +=′

Ejercicio 5:

a) xcoshy =′

b) xsenhy =′

c) xcosh

1xtgh1y 2

2 =−=′

Ejercicio 6:

a) ( )xln1xx

y2

x

−=′

b) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=′

x1

xln1xlnxxy xxx

c) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=′

xsenxcos

xlnxsenlnx1

xseny xln

d) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=′

xxsen

xlnxcosxy xsen

Ejercicio 7:

a) y2xy2xx2yxy2

y 2

2

+−−+−

=′

b) y2xyx2

y+−+−

=′

c) 2

2

yxyx

y−−

=′

d) 1xy1

y+−−

=′

e) xycos

xy2

ax

xcos1

x2

ysen

xy2

ya

y2

+

−−−

=′

f)

xy2

exe

xy2

ey

x2

ye

yxy

x

xyx

+

−−

=′



Ejercicio 9:

475

Ejercicio 10:

Para t = 10 , v = 4,7 , a = - 0,06

Para t = 120 , v = - 38,2 , a = - 0,72

Para v = 0 , 1000

35000

35000

5100x

3

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+= , 3

5000006,0a −=

Ejercicio 11:

a) 2e

b)5

3

)1x()1x(2

+−

c) 23

3

x3)1x()1x(

+−

Ejercicio 12:

Es derivable para todo x excepto el cero 0.

Ejercicio 13:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

1xsix2

1xsi2)x('f

Ejercicio 14:

a) t2.2Ln100)t(P −−=′

b) ( )

( )212

1221

212

121

RR

dtdR

dtdR

RRdt

dRRR

dtdR

RR

dtdR

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=

c) min/cm64

10

π

d) 001,0dtdQ

=

e) Una función es decreciente si 0f )x( <′ si x2

y = entonces 2x2

y −=′ debe ser negativa pero 0x2

2 <− se

cumple x∀ ya que 0x2 > , luego se cumple para 0x > .



Trabajo Práctico Nro 7. “Recta Tangente y Normal. Diferencial”

Ejercicio 1:

a) Recta Tangente: y = -x + 2 ; Recta Normal: y = x

b) Recta Tangente: 37

x34

y +−= ; Recta Normal: 6x43

y −=

Ejercicio 2:

x = -4.69 ; x = 0.0233

Ejercicio 3:

920

x92

y −−= ; 920

x92

y +−=

Ejercicio 4:

y = - x +4 ; y = x – 4 ; y = 2 ; y = -2

Ejercicio 6:

a) dy = 0.05 ; Δy = 0.0501

b) dy = 0.05 ; Δy = 0.0501

c) dy = 0.4 ; Δy = 0.44

d) dy = 0.02 ; Δy = 0.0196

Ejercicio7:

a) 3.00166

b) 0.999

c) 1

d) 1.0006

Ejercicio 8:

dy = 0.565

Ejercicio 9:

Volumen: dy = 251.2 cm3

Superficie: dy = 12.57 cm2

Ejercicio 10:

dy = 0.75



Trabajo Práctico Nro 8. “Regla de L’Hopital”

Ejercicio 1:

a) 1

b) 1026

c) -3

d) eLog2

1

e) 2a2

f) 3

g) 27

−

h) +∞

i) 0

j) ∞

k) 0

l) 0

m) 1

n) 1

o) abe

p) 1e

q) 0

r) 21

Ejercicio 2:

a) 21

b) 45

c) 1

d) 21



e) 0

f) p1

g) 2

h) e2

i) 0

j) 0

k) e2

l) 0



Trabajo Práctico Nro 9. “Análisis de Funciones”

Ejercicio 1:

a) Dominio = R – {1}

No es Par

No es Impar

Asíntota vertical: x = 1

Asíntota oblicua: y = x + 1

Corte con los ejes: (0 ; -1)

b) Dominio = R – {2}

No es Par

No es Impar


Asíntota horizontal: y = 0

Corte con los ejes: (0 ; 21

− )

c) VER

d) Dominio = R – {0}

No es Par

No es Impar


Asíntota oblicua: y = x – 3

Corte con los ejes: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +0;

253

y0;2

53

e) Dominio = R

Es Par

No es Impar

No tiene Asíntotas

Corte con los ejes: (0 ; 2)

f) Dominio = R – {1 ; - 1}

Es Par

No es Impar

Asíntota vertical: x = 1 y x = -1

Asíntota horizontal: y = 1

Corte con los ejes: (0 ; -1)



Ejercicio 2:

a) Es creciente en el intervalo (0 , 2 )

Es decreciente en el intervalo (-2 , 0 )

Tiene un mínimo en x = 0 , es el punto ( 0 ; 0 )

b) ( considerando a > 0 )

Es creciente en el intervalo (- ∞ , a )

Es decreciente en el intervalo ( a , ∞ )

No tiene máximo ni mínimo

c) Es creciente en los intervalos (- ∞ , -1 ) y ( 0 , 1 )

Es decreciente en los intervalos ( -1 , 0 ) y ( 1 , ∞ )

Tiene un mínimo en x = 0 y es el punto ( 0 ; 0 )

Tiene un máximo en x = 1 y es el punto ( 1 ; e1

)

Tiene un máximo en x = -1 y es el punto ( -1 ; e1

)

d) Es creciente en los intervalos (- ∞ , -1 ) y ( 1 , ∞ )

Es decreciente en los intervalos ( -1 , 0 ) y ( 0 , 1 )


Tiene un máximo en x = -1 y es el punto ( -1 ; -2 )

e) Es creciente en el intervalo (21

− , ∞ )

Es decreciente en el intervalo ( - ∞ , 21

− )

Tiene un mínimo en x = 21

− y es el punto (21

− ; e23

− )

f) Es creciente en los intervalos (- 2 , 21

− ) y ( 1 , ∞ )

Es decreciente en los intervalos ( - ∞ , -2 ) y (21

− , 1 )

Tiene un mínimo en x = -2 y es el punto ( -2 ; 0 )

Tiene un máximo en x = 21


− ; 1681

)




Ejercicio 3:

a) Tiene un punto de inflexión en x = 1 y es el punto ( 1 ; -2 )

La función es cóncava hacia abajo en ( - ∞ , 1 )

La función es cóncava hacia arriba en ( 1 , ∞ )

b) No tiene puntos de inflexión

La función es cóncava hacia abajo en ( 2 , ∞ )

c) Nota: Consideramos solo la rama principal con dominio en ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ππ−

2,

2

Tiene un punto de inflexión en x = 0 y es el punto ( 0 ; 0 )

La función es cóncava hacia abajo en (2π

− , 0 )

La función es cóncava hacia arriba en ( 0 , 2π

)

d) No tiene puntos de inflexión

La función es cóncava hacia arriba en (- ∞ , ∞ )

e) Tiene un punto de inflexión en x = 31


− ; 27322

− )

y otro punto de inflexión en x = 2 que es el punto ( 2 ; - 63 )

La función es cóncava hacia arriba en ( - ∞ , 31

− ) y en ( 2 , ∞ )

La función es cóncava hacia abajo en (31

− , 2 )

0-0 carátula tomo iilongitud del arco de circunferencia c n (ver figura 2.1); por lo que esperamos...

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