Sistema Decimal: una muy breve (pero fascinante) introducción

Simón Mochón

Si sienten que sus niños están sólo tratando de adivinar las respuestas a algunas de sus preguntas, lo más seguro es que ellos estén confundidos. Esto es obvio. Lo que no es obvio es que probablemente no es su culpa. El problema es que no se les ha mostrado eso con suficiente claridad y tiempo para que se puedan ir apropiando de las ideas relevantes.

Algo de lo más hermoso y más antiguo de las matemáticas, los sistemas de numeración (y en particular, el sistema decimal), resultan para los niños (y para todo mundo) un tema complicado, si se desea entender sus principios a profundidad. Por favor, lee y relee este escrito de las posibles representaciones del sistema decimal con mucho cuidado para que lo puedas aplicar a tu práctica docente (apóyense unos a otros para tener esto bien comprendido).

Aquí daré una breve introducción a este tema ya que he observado y sigo observando hoy en día concepciones erróneas y lecciones que en vez de aclarar los conceptos del sistema decimal, confunden más a los niños.

Comenzaré preguntando, ¿qué número está representado en el símbolo siguiente: 2-- (un 2 seguido de dos rayitas)? Yo les diré qué número está representado en el símbolo: 2- (un 2 seguido de una rayita) y ustedes, posteriormente, responderán a la primera pregunta. 2- significa “dos grupos” de objetos y que “no sobró nada” al realizar los agrupamientos. (La rayita – es un símbolo que utilicé solamente para recorrer el 2 hacia la izquierda a la segunda posición). Comúnmente en vez de la rayita se utiliza el símbolo cero “0”, pero la idea importante aquí es que el “20” o el “200” derivan su significado exclusivamente del “2 en la segunda o tercera posición” y no de los ceros que tiene enfrente que sirven sólo para recorrerlo.

Para contar rápida e inteligentemente, los humanos han descubierto que agrupando se puede mostrar una cantidad más fácilmente. Trata de contar las monedas de la hoja siguiente enmarcadas en rojo. ¿Ya las contaste? Escribe tu resultado aquí ____ y el tiempo que tardaste: _____ horas. Luego trata de contar las monedas de la misma hoja enmarcadas en verde, sabiendo que las hileras completas están formadas de 10 monedas cada una. (Es la misma cantidad en el marco rojo que en el verde.)

Los grupos pueden ser de 10 piezas (decimal), de 16 piezas (hexadecimal), de 8 piezas (octal), de 5 piezas (quintal), etc. En cada uno de estos sistemas el símbolo 2- representa: “2 grupos de 10 piezas”, “2 grupos de 16 piezas”, “2 grupos de 8 piezas”, “2 grupos de 5 piezas”, etc.

De estas posibilidades, ¿cuál sería la “mejor” cantidad para agrupar? ¿10? ¿16? ¿8? ¿5?... Como estamos acostumbrados a la base 10, otras bases nos resultan mucho más confusas, pero una base pequeña como 4 o 5 tendría muchas ventajas sobre la base 10 (por ejemplo, mucho menos tablas de multiplicar para aprenderse de memoria y por lo cual, más fácil la división).

Dejaré esta discusión general para concentrarme en el sistema decimal.

Lo que no debo hacer en clase

Vamos a empezar con ejemplos de lo que no se deben hacer y luego pasaremos a explicar diferentes posibles maneras de representación del sistema decimal, para que se puedan utilizar como herramientas en clase para lograr un mejor entendimiento.

Primero que nada, la pregunta: ¿cuántas decenas tiene el número 342?, es confusa. Ni yo sabría qué contestar. ¿Quiere el maestro que le diga 4? ¿Quiere el maestro que le diga 34? Hay 3 centenas, 4 decenas y 2 unidades en el número, pero también contiene en total 34 decenas (si no estuvieran agrupadas en centenas). Así, conviene ser muy específico para que el niño sepa exactamente lo que se le está preguntando: ¿Cuántas decenas muestra este número en la posición que les corresponde? ¿Cuántas decenas contiene este número? (Para que no haya confusión, sobre todo con niños pequeños, se debe manejar sólo una pregunta: ¿cuántas decenas muestra el número…? con la única respuesta válida, el 4.)

En clase se revuelven frecuentemente representaciones diferentes lo cual resulta erróneo y muy confuso para el niño. Nuevamente, para el número 342, a veces en clase tienden a escribir:

C D U

300 40 2

¿Puedes decirme por qué está mal esto?

O si se usan fichas (u otro material concreto para las unidades), para representar el número 57, lo hacen de la siguiente manera:

D U

¿Puedes decirme por qué está mal esto?

En el primer ejemplo, el número 342 no tiene 300 centenas (que serían 30,000 unidades) sino solamente 3 centenas. De igual manera, debajo de la “D” de decenas debe aparecer solamente el número 4.

Similarmente, en el segundo ejemplo, el 57 no tiene 50 decenas (representado por las 50 fichas), sino sólo 5. Aquí, bajo la “D” de decenas cada ficha representa una decena y la representación correcta sería:

D U

Cada ficha aquí significa diferente dependiendo de su posición. Por estar debajo de la posición “D”, cada ficha representa ya una decena. Aquí entra la posición en juego, al igual que el 5 tiene un significado diferente en 5, que en 50 o que en 500.

Aquí ponen 50 fichas

Aquí ponen 7 fichas

5 fichas 7 fichas

Para ilustrar que estas representaciones tienen aún puntos más finos, la representación de arriba de “50 fichas” y “7 fichas” para el número 57, sería correcta, si y solamente si, las 50 fichas estuvieran agrupadas (con ligas, bolsas…) en 5 bonches de 10 fichas cada una. En esta representación, algo diferente pero correcta, “un bonche” representa “una decena” y los 5 bonches representarán 5 decenas.

Creo que ya los convencí de que las representaciones del sistema decimal es un tema complicado, sobre todo para el maestro, que tiene la necesidad de entenderlas a fondo para diseñar sus clases de manera aducuada.

En conclusión, en clase debo tener cuidado cuando trabajo con dos representaciones distintas y por lo cual es recomendable no mezclarlas, a menos que se sepa muy bien lo que se está haciendo.

Pero entonces, ¿cuáles son las diferentes representaciones posibles? Abajo ordeno ocho de ellas, de la más concreta a la más abstracta, que ceo son las más utilizadas y útiles.

Diferentes niveles de representación

Brevemente daré abajo ocho diferentes representaciones en orden de menor a mayor abstracción. Se debe en el transcurso de los primeros años de la primaria, comenzar por la primera y en secuencia, terminar con la última. Pero, también, por falta de tiempo, se pueden elegir sólo pocas o algunas, saltando otras o incluso se puede regresar a anteriores de acuerdo a las necesidades de los niños y a un buen juicio del maestro basado en un conocimiento profundo.

Nivel “cero”

No hay nada mejor que comenzar en la vida cotidiana del niño contando objetos con orden. Primero hacia adelante: 1, 2, 3… y posteriormente hacia atrás: 5, 4, 3… (Vamos a contar los niños en el parque. Te di 5 uvas, ¿si te comes una, cuántas quedarán?) Si hacen esto, el cero aparecerá incluso de manera natural (¿Cuántas te quedaron? Nada, lo cual es equivalente al “cero”).

Primer nivel (directo)

Cada unidad se representa con una cosa fija e idéntica (fichas, palitos, frijoles…)

Una decena se representa con 10 unidades agrupadas con una liga, bolsita, pegadas entre sí.

Una centena se representa con 10 decenas agrupadas de alguna manera.

En este nivel se encuentra un material muy bueno, ya diseñado (que cambia de nombre según el país y el que lo produce) en el que las unidades son cubitos pequeños, la decena son barras de 10 cubitos unidos y la centena son tablas cuadradas de 10 barras unidas con 100 unidades visibles en total. Aquí las unidades de millar son cubos que contienen 1000 unidades, pero si un niño puede llegar a millares, muy posiblemente no necesite un material tan explícito como éste.

Segundo nivel (tamaños dan cuenta de las diferentes “unidades compuestas”)

Con fichas, papelitos... de diferente tamaño para representar unidades, decenas, centenas… (entre más grande sea la unidad compuesta –decena, centena…- más grandes deben ser las fichas o papelitos, pero no siempre deben ser necesariamente proporcionales, es decir, una decena no necesita ser 10 veces más grande que la unidad).

Un concepto que debe ser introducido aquí es el de equivalencia. Al inicio, el maestro puede utilizar incluso otras bases (sin decir esto al alumno) como los siguientes ejemplos:

4 de estos papelitos equivalen a uno de estos

6 vasitos de estos equivalen a uno de estos

Diez de estos equivalen a uno de estos

Y

Diez de estos equivalen a uno de estos

Las unidades son siempre los más pequeños.

Un ejercicio bonito para éste y cualquier otro material es comenzar con cierta cantidad (digamos 3) e irle agregando al material un número fijo (digamos 4 o 6) realizando las conversiones de material para que no haya más de 9 de cada uno de los tamaños (en el caso de los triángulos y los vasos, debe haber como máximo 3 o 5 respectivamente, porque al llegar a 4 o 6, se pueden cambiar por el de mayor tamaño).

También se puede ir de regreso, por ejemplo poniendo 2 grandes e ir restando 4 unidades, realizando las conversiones necesarias.

En todo material es importante que el niño se familiarice con él y utilizarlo lo suficiente para que éste pague el tiempo invertido.

Tercer nivel (algo más abstracto con sólo colores)

Aquí, en vez del tamaño, el color de la ficha o papelito define la unidad y cada tipo de agrupación (decena, centena…) Los colores no son importantes pero conviene uniformizarlo en toda la primaria y mejor aún, con los utilizados en los libros de la SEP.

Este tipo de material es muy común en los salones de clase y lo he visto innumerables veces.

Les pido como favor que utilicen el amarillo para las unidades porque es mi color favorito.

Pensándolo mejor, ignoren la línea anterior. Creo que lo más común es utilizar: Unidad- azul, Decena-rojo y Centena-verde. (Para millares conviene utilizar los mismos colores pero con papelitos o fichas más grandes para distinguirlos.)

Utilizando los colores que mencioné en el párrafo anterior, el número 427 se puede representar de muchas formas válidas:

4 verdes 1 rojo 17 azules

3 verdes 12 rojos 7 azules

4 verdes 27 azules

4 verdes 2 rojos 7 azules

Pero, no es difícil convencer a los niños que la última es la mejor por ser la más económica y la que conviene utilizar siempre, a menos que la instrucción cambie.

Cuarto nivel (billetes o monedas)

Los billetes son un material parecido a estos dos últimos tipos anteriores. La diferenciación se hace con el número escrito en ellos (1, 10, 100, 1000…) aún cuando a veces también combinan diferentes tamaños y/o colores.

Conviene que los niños sean muy buenos en hacer cuentas y dar cambio (combinando el cálculo mental con este material) en situaciones realmente reales pero apropiadas para ellos.

Quinto nivel (entra la importantísima idea de posición)

Notarán que en los niveles anteriores se puede mezclar el material (barras, fichas, papelitos, incluso los billetes) sin que el valor del número representado se altere.

De aquí en adelante la posición es importante y sustituye el tamaño y/o el color. Este es el otro concepto muy importante del sistema decimal que se debe desarrollar en los niños (para contrastar, el sistema numérico romano no es posicional –excepto para indicar “agregar” VI y “quitar” IV-).

En este nivel, una misma pieza (ya sea ficha, papelito, palito, frijolito…) representa tanto una unidad como una decena, una centena… El valor de estas piezas está indicado por “la casilla” donde se ponga la pieza.

Los tres números representados arriba son, de izquierda a derecha: el 30 (tres unidades en la segunda posición), el 3 (tres unidades en la primera posición y el 300 (tres unidades en la tercera posición).

Un espacio vacío representa que no hay nada (no necesito aquí del cero).

Este tipo de representación es idónea para mostrar las propiedades del sistema decimal.

El sistema de numeración maya se basa en este principio, sólo que además hay un símbolo para representar el cero (lo cual no es realmente necesario por las casillas mismas).

Sexto nivel (entran los símbolos 1, 2, 3…)

Todavía se utilizan las casillas para representar unidades compuestas (decenas, centenas…), pero en vez de fichas, papelitos… para representar la cantidad en cada una de ellas, se introducen ya los símbolos numéricos:

Nuevamente, los tres números representados arriba son, de izquierda a derecha: el 30, el 3 y el 300. Por las casillas que indican ya la posición, no necesitamos el cero.

Este nivel que no contiene todavía al cero, da una percepción profunda de la escritura de los números y del valor que tiene la posición en ellos.

El mismo efecto se puede obtener utilizando las etiquetas U, D, C… como se hizo al inicio de este escrito cuando ilustramos la representación del número 342 (ver adelante). Sin embargo,

33 3

este tipo de representación pierde el verdadero significado de la posición ya que las etiquetas se pueden intercambiar y tiene el mismo objetivo que los colores o tamaños.

C D U

3 4 2

Hay que notar que en esta representación, tampoco es necesario el cero. El número 300 se puede representar simplemente:

C D U

3  

Séptimo nivel (entra el CERO)

Aquí podemos dejar atrás las casillas, gracias a un símbolo que indica que no hay nada en

esa posición y que permite recorrer las cifras a su posición deseada.

30 3 300

Octavo nivel (escritura desarrollada)

La escritura desarrollada es bien conocida en las escuelas y es muy útil para dar significado a los números. Nuevamente en esta representación el orden no importa, aún cuando es conveniente ordenar las cantidades de mayor a menor. Doy sólo dos ejemplos:

407 se escribe: 400 + 7

358 se escribe: 300 + 50 + 8 o posible, pero no deseable: 50 + 8 + 300

También en esta notación he observado muchos errores de los maestros al utilizarla en clase. Para citar sólo una, para el número 358, el profesor escribió: 300508.

Sobre todo en matemáticas el maestro debe cerciorarse al preparar sus clases de tener un muy buen conocimiento sobre el tópico que va a tratar y todos los conceptos involucrados en él, y estar seguro del conocimiento que piensa ensañar a sus alumnos.

Debo enfatizar que todo lo de arriba es un conocimiento muy importante del maestro que lo debe dominar para que sus clases sean claras. Sobre todo, no conviene revolver diferentes representaciones. Lo que sí se puede hacer es tener dos simultáneas pero definiendo bien dónde acaba una y comienza la otra.