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Representación simbólica y angular del entorno

Segundo Semestre

Ing. Jorge Hernández Sánchez

Colegio de Educación Profesional Técnica del Estado de México Plantel del Sol Clave 014


PROGRAMA DEL MÓDULO: Representación simbólica y angularUnidad I. Maneja aplicaciones algebraicas de funciones trascendentes1.1Emplea las funciones exponenciales y logarítmicas para la representación algebraica de situaciones de su entorno.A. Aplicación de funciones exponenciales.Definición y gráfica.Dominio y rango.B. Aplicación de funciones logarítmicas.Definición de logaritmos.Propiedades de los logaritmos.Tipos de logaritmos.Cambios de base1.2 Resuelve las ecuaciones exponenciales y logarítmicas para solucionar situaciones de su entorno.A. Solución de ecuaciones exponenciales.Desarrollo algebraico.Desarrollo gráfico.Solución.B. Solución de ecuaciones logarítmicas.Desarrollo algebraico.Representación gráfica.Solución de ecuaciones logarítmicas.Resolución de problemas mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Unidad II. Modelado de superficies y espacios2.1 Ubica e identifica figuras en el espacio mediante sus características geométricas A. Identificación de las propiedades de los triángulos.Clasificación.Por sus lados.Por sus ángulosCaracterísticas.Relación entre sus lados y ángulos.Puntos y rectas notables.B. Identificación de las propiedades de los cuadriláterosCaracterísticas.Clasificación.Cóncavos.Convexos.C. Identificación de propiedades de los polígonos de más de cuatro ladosRegularesIrregularesDescomposición de polígonos en triángulos2.2 Explica y demuestra el modo en que las figuras son congruentes entre sí, mediante el análisis de sus dimensiones y componentes.A. Aplicación de los postulados de congruencia y semejanza de triángulos.Teorema de Pitágoras.


Representación simbólica y angular del entorno Conjetura de Fermat.B. Transformación de figuras planas.Traslación de figuras planas.Simetría respecto a un puntoSimetría respecto a un eje.Rotación respecto a un punto.Rotación respecto a un eje.2.3 Interpreta y resuelve situaciones de espacios y superficies de acuerdo con sus procedimientos geométricos. A. Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares e irregulares.Obtención de los términos en las fórmulas sobre el perímetro y área de polígonos regulares e irregulares.Relación entre el perímetro y el área de los polígonos regulares e irregulares.B. Identificación de los elementos y las propiedades de la circunferencia.Elementos.Diámetro, Radio, Arco, Cuerda., Tangente y Secante.PropiedadesPerímetro, Área.C. Cálculo de volúmenes geométricos.Tetraedro, Hexaedro, Prisma triangular, Prima cuadrangular recto, Cono, Cilindro y Esfera.Unidad III. Uso de Trigonometría3.1 Representa de manera gráfica y algebraica situaciones de la vida cotidiana mediante el uso de razones y funciones trigonométricas.A. Identificación de razones y funciones trigonométricas.Definición de razones.Ángulo en posición normal y Valores notables de 30°, 45° y 60°.Determinación de razones a partir de un punto en el plano.B. Resolución del triangulo rectángulo.Solución mediante razones y Ley de senos y cosenos.C. Definición en el plano cartesiano.Ángulo de referencia, Signos y valores en diferentes cuadrantes, Gráficas, D. Identificación en el círculo unitario, Segmentos, Dominio y rango y Análisis.E. Aplicación de las funciones trigonométricas.Concepto.Elementos.Graficación3.2 Determina identidades y ecuaciones trigonométricas, calculando los valores de sus variables para la interpretación de situaciones.A. Definición de las identidades trigonométricas fundamentalesDeducción y demostración a partir de las razones fundamentalesDeducción de las identidades de argumento compuestoDoble y MitadDemostración y aplicación de las identidadesFunciones inversasB. Solución de ecuaciones trigonométricasDirectamente y Utilizando identidades trigonométricas.

REGLAS DEL CURSO


Ing. Jorge Hernández Sánchez Deberás tener el 80% de asistencia para ser evaluado.

Deberás estar atento al pasar lista, si no contestas cuando se te nombre tienes falta.

El no asistir no es pretexto para no cumplir, si faltas deberás preguntar que se vio en

clase y cual fue la actividad realizada y la evidencia a presentar.

Se revisará el cuaderno sin previo aviso, así que deberás tenerlo siempre el corriente.

En el cuaderno se integra el portafolio de evidencia del trabajo realizado, si lo pierdes,

también pierdes la evidencia contenida hasta ese momento en el mismo.

Toda evidencia de aprendizaje como cuadernos, tareas, investigaciones, trabajos, etc.,

deberán estar completos, con buena presentación, asentando nombre, grupo y matrícula,

además de entregarse en las fechas establecidas, de lo contrario no se registraran en la

base de datos.

Los trabajos anteriores deberán integrarse en el cuaderno de la materia.

Si se te sorprende haciendo tareas de otra materia o con objetos que no son de la

clase (como maquillaje, radios, celulares, etc) se te recogerán y serán devueltos en

Orientación Educativa.

La tolerancia para entrar al salón con asistencia es de 10 minutos empezando la hora

de clase, después de este tiempo, puedes pasar teniendo la falta correspondiente.

Se debe conservar el mobiliario, instalaciones y equipo, si lo deterioras deberás

repararlo.

Debes conservar el orden y la alineación de las sillas en clase, si las mueves por

cualquier motivo, las ordenaras al finalizar la actividad.

No debes comer en clase, para ello se tienen lugares destinados para tal fin.

El padre de familia es un elemento valioso dentro del proceso enseñanza aprendizaje,

teniendo varias responsabilidades, entre ellas el compromiso de vigilar el buen

desempeño de su hijo (a) en el transcurso del semestre, y dar seguimiento a su

desarrollo, firmando de enterado en la evaluación obtenida en las listas de cotejo que se

encuentran en el cuaderno de su hijo (a), para su registro en la base de datos vía Internet

de la institución y la bitácora de clase correspondiente.

Firma del alumno Firma del padre o tutor Firma del profesor

Fecha de _______________________de 20 .


Representación simbólica y angular del entorno Unidad I. Maneja aplicaciones algebraicas de funciones trascendentesResultado de aprendizaje 1.1Emplea las funciones exponenciales y logarítmicas para la representación algebraica de situaciones de su entorno.

Logaritmos

Representación gráfica de logaritmos en varias bases:el rojo representa el logaritmo en base e,el verde corresponde a la base 10,y el púrpura al de la base 1,7.

Se llama logaritmo de un número, al exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.Por ejemplo, el logaritmo con base b de un número N es el exponente x al que hay que elevar esa misma base para que nos dé dicho número N: log b N = x ↔ N = bx La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b> 0, b ≠ 1).log10 1 = 0 100 = 1log10 10 = 1 101 = 10log10 100 = 2 102 = 100log10 1000 = 3 103 = 1000log10 100000 = 4 104 = 10000, entonces el logaritmo es exponenteOperaciones con logaritmos Ejemplo 1: Multiplicamos 10 x 100Aplicando logaritmos log (ab) = log (a) + log (b)log (10 x 100) = log (10) + log (100) = 1 + 2 = 3, aplicando antilogaritmo a 3 el resultado de la multiplicación es 1000

Ejemplo 2: Dividamos 1000 / 10Aplicando logaritmos log (a/b) = log (a) – log (b)


Ing. Jorge Hernández Sánchez log (1000 / 10) = log (1000) – log (10) = 3 – 1 = 2, aplicando antilogaritmo a 2 el resultado de la división es 100

Ejemplo 3: Realiza la potencia 102

Aplicando logaritmos log (an) = n log (a) log (102) = 2 log (10) = 2(1) = 2, aplicando antilogaritmo a 2 el resultado de la potencia es 100Ejemplo 4: Realiza la raíz √100Aplicando logaritmos log (x√a) = log (a) / x log (√100) = log (100)/2 = 2/2 = 1, aplicando antilogaritmo a 1el resultado de la raíz es 10

Aplicaciones del logaritmoCalcula la hipotenusa y el área del triángulo rectángulo de base 4 y altura 3 unidades.Para calcular la hipotenusa utilizaremos: Hipotenusa = √base2 + altura2

Aplicando logaritmos a √42 + 32

log √42 + 32 = log (42 + 32) / 2 = log (9+16))/2 = log 25/2 = 1.3979/ 2 = 0.6989Aplicando antilogaritmo a 0.6989 = 5, entonces la hipotenusa mide 5 unidades

Para calcular el área tenemos Área = base X altura / 2 = 4 x 3 / 2, aplicando logaritmoslog [(4)(3)) / 2 = log4 + log3 – log 2= 0.47712+0.602059 – 0.301029 = 0.77813125Aplicando antilogaritmo a 0.77813125 = 6, entonces el área mide 6 unidades

IntroducciónDado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.Por ejemplo: 34 = 81 → log3 81 = 4Propiedades de los logaritmosEl logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.log (ab) = log (a) + log (b)El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.log (a/b) = log (a) – log (b)El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.log (ax) = x log (a)El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.log (x√y) = log (y) / x

Logaritmo en base b (cambio de base)Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):logb (x) = logk (x) / logk (b) en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k = x, obtendremos:


Representación simbólica y angular del entorno logb (x) = 1 / logx (b)1.2 Resuelve las ecuaciones exponenciales y logarítmicas para solucionar situaciones de su entorno.A. Solución de ecuaciones exponenciales.B. Solución de ecuaciones logarítmicas.Los logaritmos son una herramienta muy útil para solución de ciertas ecuaciones, como las siguientes:Ejemplo 1. Resuelve la siguiente ecuación 22x – 1= 4Aplicando logaritmos log 22x – 1 = log 4(2x – 1) log 2 = log 4 2x – 1 = log 4 / log 22x – 1 = 2X = (2 + 1) / 2 = 3/2 = 1.5

Ejemplo 2. 42x – 2= 8Aplicando logaritmos log 42x – 2 = log 8(2x – 2) log 4 = log 8 2x – 2 = log 8 / log 42x – 2 = 1.5X = (1.5 + 2) / 2 = 3.5/2 = 1.75

Unidad II. Modelado de superficies y espacios2.1 Ubica e identifica figuras para ubicarlos en un determinado espacioA. Identificación de las propiedades de los triángulos.Definición de triángulo. Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es el polígono o figura geométrica formada por tres lados que forman a su vez, entre sí tres ángulos; por tal razón el triángulo es un subconjunto de los polígonos.

Clasificación:De acuerdo a sus lados:Equilátero. Tres lados iguales.Isósceles. 2 lados iguales.Escaleno. 0 lados iguales.

De acuerdo a sus ángulos:Acutángulo. 3 ángulos interiores agudosRectángulo. 1 ángulo recto.Obtusángulo. 1 ángulo obtuso.

Los acutángulos y obtusángulos se denominan oblicuángulos, por que no tienen ángulos interiores de 90°


Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4


Propiedades. Puntos Notables y Rectas del Triángulo. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia: a< b + c; a > b – c La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale 180°. Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso, y entonces los otros dos en consecuencia son agudos. Si tuviera sólo un ángulo agudo y los otros dos rctos u obtusos, esntre los tres sumarían más de 180°.

Puntos notables y Rectas del Triángulo.Bisectriz es la semirecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.Incentro. Es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. Fig. 1Mediatriz de un segmento. Es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Fig. 2Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita. Fig. 2Altura. Es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Fig. 3Ortocentro. Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Fig. 3Mediana. Es el segmento comprendido entre el vértice y el punto medio del lado opuesto. Fig. 4Baricentro. Es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Fig. 4

Área de un Triángulo. Es igual a la mitad del producto de su base por su altura,


Representación simbólica y angular del entorno a continuación se muestran las expresiones más comunes de acuerdo al tipo de triángulo.

Teorema del Cateto. Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir: c2 = a · m, b2 = a · n y h2 = m · n

Teorema de Pitágoras.”La suma del cuadrado de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa”. a2 = b2 + c2 en donde:

c = ( a2 + b2 ) ½ a = ( c2 – b2 ) ½ b = ( c2 + a2 ) ½ Polígonos.Definición. Proviene de las raíces griegas “polis” que significa “muchos” y “gonia” que significa “ángulos”; por lo tanto, es un trazo que contiene muchos ángulos, también se define como la figura plana limitada por una curva cerrada, llamada poligonal o contorno.

B. Identificación de las propiedades de los cuadriláteros.Definición. Polígonos limitados por cuatro lados y que además formas entre sí cuatro ángulos.

Notación. Se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices. Notación: Polígono ABCD, Cuadrilátero ABCD.

Clasificación: Se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al paralelismo de sus lados opuestos.

Lados opuestos paralelos: Paralelogramos Cuadrados Rectángulos Rombos RomboidesSólo dos de sus lados son paralelos (bases): Trapecios T. Escaleno. T. Isósceles. T. Rectángulo.


Ing. Jorge Hernández Sánchez Cuadriláteros que no tienen lados paralelos entre sí: Trapezoides. Simétricos. Asimétricos.

C. Identificación de propiedades de los polígonos de más de cuatro lados.Definición de Polígonos. Trazo que contiene muchos ángulos.Clasificación de los polígonos.1. Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono:

a.Cóncavos. Cuando tienen algún ángulo entrante, es decir, uno o más de sus ángulos interiores son mayores de 180°; también se pueden cruzar sus lados, en cuyo caso se les denomina “polígonos estrellados”.b.Convexos. Cuando tienen todos sus ángulos salientes, es decir, tienen ángulos menores a 180°.

2.Según la regularidad de sus elementos: Regulares e Irregulares.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.

Regulares. Son todos los que tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos. b.Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, cuando no son regulares.

3. Según el número de lados: algunos polígonos reciben nombres específicos.


Representación simbólica y angular del entorno No. de lados Nombre3 triángulos4 cuadriláteros5 pentágonos6 hexágonos7 heptágonos8 octágonos9 nonágonos ó eneágonos10 decágonos11 endecágono12 dodecágono

En más de 12 lados, el polígono se denomina de “n lados” por ejemplo polígono de trece lados, de catorce lados, etc.Descomposición de polígonos en triángulos.Ejemplo: Calcula el área del polígono ABCDE mostrado.

2.2 Explica y demuestra el modo en que las figuras son congruentes entre sí, mediante el análisis de sus dimensiones y componentes. B. Transformación de figuras planas. Traslación, simetría y rotación.Definición de igualdad de un Triángulo.Criterios de congruencia:Criterio 1. Tienen los tres lados respectivamente iguales. “LLL”Criterio 2. Tiene un ángulo igual y dos lados que lo forman. “LAL”Criterio 3. Tienen dos ángulos iguales y el lado que los une. “ALA”

Criterios de semejanza:Criterio 1. Tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales. “AA”Criterio 2. Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. “ALL”Criterio 3. Tienen los tres lados proporcionales. “LLL”

A. Aplicación de los postulados de congruencia y semejanza de triángulos. 2.3 Interpreta y resuelve situaciones de espacios y superficies de acuerdo con sus procedimientos geométricos.A.Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares. En todos los polígonos regulares el perímetro se encuentra multiplicando el número de lados n por la magnitud de uno de sus lados.Perímetro = n l n= número de lados l = magnitud de uno de sus lados.


El área se calcula multiplicando el perímetro por la apotema y luego dividiendo entre dos. Área = Perímetro x apotema / 2Ejemplo: Calcula el perímetro y área de un octágono de lado 6 cm. y apotema 10 cm.Perímetro = 8 x 6 cm. = 48 cm.Área = 48 cm. x 10 cm. / 2 = 480cm2 / 2 = 240 cm2

Para polígonos irregulares se debe dividir la figura (cortar) en formas geométricas conocidas para calcular el área total.

B. Identificación de los elementos y las propiedades de la circunferencia.Definición de Circunferencia. Curva cerrada y plana en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro.

Elementos de la circunferencia.Círculo. Es la parte de un plano limitada por una circunferencia. Radio. Segmento que tiene por extremos el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.Arco. Curva limitada por dos puntos en la circunferencia llamados extremos.Cuerda. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro. Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia.Sector Circular. Parte del círculo limitada por un arco y los radios de sus extremos.Segmento Circular. Porción de un círculo limitada por un arco y su cuerda.

Perímetro. Longitud de una circunferencia. Si extendemos en forma lineal la magnitud de una circunferencia y medirla con su propio diámetro,

comprobaríamos que cabe 3.14159 veces, es decir, que es el número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia, entonces el perímetro de una circunferencia es x diámetro. P = D.

El área del círculo se calcula mediante la expresión: A = r2

C. Cálculo de volúmenes geométricos. Prismas y Pirámides.Figuras Sólidas. Son los cuerpos que tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto. Todos los puntos que están dentro del sólido se llaman interiores, los que están fuera exteriores y los que están sobre las caras son llamados puntos frontera.

Poliedros. Son figuras sólidas que tienen todas sus caras planas.Partes de un Poliedro. Si se tienen dos polígonos iguales unidos por segmentos de

Ing. Jorge Hernández Sánchezrecta generamos un poliedro llamado Prisma. Cabe hacer notar que todas las caras laterales son rectángulos ó paralelogramos.

Cuando el poliedro converge en un vértice (cúspide) común y sólo tiene una base, sus caras serán triángulos, denominándose Pirámide. Las caras se unen por medio de segmentos llamados Aristas y estas a su vez se unen por medio de puntos llamados Vértices.

Áreas y Volúmenes de Prismas.Área de un sólido = Área de sus carasVolumen = Área de la base por su alturaÁrea Base = n x r2 x seno (180° / n) x coseno (180° / n)

Pirámide Volumen = (Área Base x Altura) / 3Área Lateral = AL = ½ Perímetro de la base x apotema

Ejemplo: Calcule el área total y el volumen de la figura mostrada

Área base= 6 x 52 x seno (180/6) x coseno(180/6) = 6 x 25 x 0.5 x 0.866 = 64.95 u2

Área cara = 10 x 5 = 50 u2

Área total = (64.95 x 2) + (50 x 6) = 429.9 u2

Volumen = Área de la base x Altura = 64,95 x 10 = 649.5 u2

Representación simbólica y angular del entorno Tabla de áreas y volúmenes de Prismas y Pirámides.

Ing. Jorge Hernández SánchezEsferas, Cilindros y Conos.Definición de Cono. Superficie engendrada por una recta móvil (Generatriz) que pasa por un punto fijo (Vértice) y se apoya en una curva cerrada (Directriz).

Cuadrado = a2

Rectángulo = ab

Paralelogramo = bh

Trapezoide = (h/2) (b1 + b2)

Ing. Jorge Hernández SánchezUnidad III. Uso de la trigonometría3.1 Representa de manera grafica y algebraica situaciones de la vida cotidiana mediante el uso de razones y funciones trigonométricas.

A. Identificación de razones y funciones trigonométricas.Ángulo en posición normal.Angulo: es la abertura formada por la unión de 2 semirrectas en un mismo punto llamado vértice; las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo.

Es la figura geométrica formada por 2 rayos que tiene un punto común llamado vértice. El ángulo se obtiene por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen.La posición original de la semirrecta se denomina lado inicial y la posición final se denomina lado terminal o final.La rotación del ángulo se puede efectuar en 2 sentidos; en el sentido contrario a las manecillas del reloj, en éste caso el ángulo es positivo y girando en el sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo.

Medición de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la separación o abertura que hay entre ellos.

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida o Amplitud Patrón. Para medir los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y el circular.

Representación simbólica y angular del entorno a. Sistema Sexagesimal. Creado por los Sumerios, dividiendo la circunferencia en 360 partes iguales, que correspondían a cada uno de los días del año.Cada grado es igual a 1/360 del ángulo de una vuelta de la circunferencia. Un

grado se divide en 60 partes iguales, llamados minutos y estos se dividen en 60 dando lugar a los segundos.La simbología esta dada por: grado °, minuto ‘ y segundo “.1°= 60’ = 3600”b. Sistema Circular. La unidad fundamental es el radián, el cual se define: un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

1 radián = 57° 17’ 45” aproximadamenteSiendo; = 3,141592654 y R = 1Longitud del arco AB es igual al radio ( r ) de la circunferencia; ∟AOB = 1 radian.

Si 360° = 2 rad entonces 1 radian = 57.2957° ≈ 57.3°REGLA: Para convertir de radianes a grados se tiene que multiplicar por el factor 57.3, y de grados a radianes dividir entre 57.3.Valores Notables.

Utilizando una calculadora científica o tablas del seno natural se obtiene una tabla como la que se ilustra a continuación, que graficándola en un plano cartesiano, nos mostrará el mismo gráfico.

Utilizando como base el Teorema de Pitágoras y las características del cuadrado y el triángulo, podemos construir fácilmente las relaciones trigonométricas de los ángulos de 45°, 30° y 60°, como se ilustra a continuación.

ángulo (grados) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 =

0


ángulo (radianes) 0 /6 /3 /2 2/3 5/6 7/6 4/3 3/2 5/3 11/6 2

= 0

sen(a) (0/4)

(1/4)

(3/4)

(4/4)

(3/4)

(1/4)

(0/4)

-(1/4)

-(3/4)

-(4/4)

-(3/4)

-(1/4)

(0/4)

cos(a) (4/4)

(3/4)

(1/4)

(0/4)

-(1/4)

-(3/4)

-(4/4)

-(3/4)

-(1/4)

(0/4)

(1/4) (3/4) (4/4

)

tan(a) (0/4)

(1/3)

(3/1)

(4/0)

-(3/1)

-(1/3)

-(0/4)

(1/3)

(3/1)

(4/0)

-(3/1)

-(1/3)

(0/4)

B. Resolución del triángulo rectángulo.Trigonometría: Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre sus elementos (lados y ángulos).La trigonometría se fundamenta en relaciones llamadas funciones trigonométricas, definidas como “las razones entre elementos rectilíneos relacionados a un ángulo, cuya variación depende de la magnitud del ángulo”.Razón. Es el resultado de comparar dos cantidades entre sí. También se define como la división indicada de la primera cantidad por la segunda.

Razones trigonométricas. Existen seis razones entre los lados de un triángulo, relacionándolas a un ángulo. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación. Seno α = cateto opuesto / hipotenusa

Coseno α = cateto adyacente / hipotenusaTangente α = cateto opuesto / cateto adyacenteCotangente α = cateto adyacente / cateto opuestoSecante α = hipotenusa / cateto adyacente Cosecante α = hipotenusa / cateto opuesto

Completando:

Representación simbólica y angular del entorno Sen A = a / cCos A = b / cTan A = a / bCot A = b / aSec A = c / bCsc A = c / a

Sen B = b / cCos B = a / c Tan B = b / a Cot B = a / bSec B = c / aCsc B = c / b

Sen A = Cos BCos A = Sen B Tan A = Cot B Sen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1

Triángulos Oblicuángulos. En la clasificación de triángulos se observó que los triángulos oblicuángulos están compuestos por los triángulos acutángulos (tienen 3 ángulos interiores agudos) y los triángulos obtusángulos (tienen 1 ángulo agudo), se puede decir entonces que los triángulos oblicuángulos son aquellos triángulos que no tienen un ángulo recto.

La herramienta que nos permite resolver este tipo de triángulos son las conocidas como leyes del seno y del coseno.

Ley de los Senos. Es la relación de los lados de un triángulo con el seno del ángulo opuesto a ese lado, su expresión matemática esta por:

Ley de los Cosenos. Relaciona los lados de un triángulo con el coseno del ángulo opuesto a ese lado, su expresión matemática es:

a2 = b2 + c2 – 2bc·cos A cos A = (b2 + c2 – a2) / 2bcb2 = a2 + c2 – 2ac·cos B cos B = (a2 + c2 – b2) / 2acc2 = a2 + b2 – 2ab·cos C cos C = (a2 + b2 – c 2) / 2ab

Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Estos triángulos no tienen un ángulo de 90° y las razones trigonométricas no se aplican directamente, así que usaremos las leyes de los senos y cosenos para su solución.

Existen 4 casos para la resolución de triángulos oblicuángulos.

Representación simbólica y angular del entorno Caso 1. Conociendo un lado a y dos ángulos A y BC = 180° – (A + B)b = a sen B / sen Ac = a sen C / sen A

Caso 2. Conociendo dos lados a y b y un ángulo opuesto A.sen B = b sen A / a entonces B = sen-1 ( valor anterior )C = 180° – (A + B)c= a sen C / sen A

Caso 3. Conociendo dos lados a y b y el ángulo C comprendido entre ellos.c = √ (a2 + b2 – 2ab cos c)cos A = (b2 + c2 – a2) / 2bc A = cos-1 (resultado anterior)B = 180° – (A + C)

Caso 4. Conociendo tres lados a, b y c.cos A = (b2 + c2 – a2) / 2bc A = cos-1 (resultado anterior)cos B = (a2 + c2 – b2) / 2ac B = cos-1 (resultado anterior)C = 180° – (A + B)

Ejemplos:C= 180° – (120 + 30) = 30°b = 50 x sen 30 / sen 120 = 25 / 0.866 = 28.86c = 50 x sen 30 / sen 120 = 25 / 0.866 28.66 CASO 1

C= 180° – (20 + 40) = 120° b = 11 sen 120 / sen 40 = 3.76 / 0.642 = 5.85 c = 11 sen 20 / sen 40 = 9.5262 / 0.6427 = 14.82 CASO 1

cos A =(49.252+81.252–46,752)/2x49.25x81.25 = 6841.56 / 8003.125 = 0.8548A = cos-10.8548 = 31.25°cos B =(46.752+81.252–49.252)/2x46.75x81.25B = cos-1 0.8373 = 33.13°C = 180° – (31.25 + 33.13) = 115.62° CASO 4

c = √ (702 + 402 – 2x70x40 cos 50°)c = √ 2900.3893 = 53.85cos A = (402 + 53.852 – 702) / (2x 40x53.85)A = cos-1 (-0.0927) = 95.32°B = 180° – ( 50° + 95.32°) = 34.68° CASO 3

Ing. Jorge Hernández SánchezAplicación de la solución de triángulos oblicuángulos.Un invernadero tiene 30 m de ancho y las vigas diagonales forman ángulos de 25° y 60° con respecto a la vigueta soporte de la estructura. Haga un diagrama y calcule la longitud de cada viga.

C. Signos y valores en diferentes cuadrantesEn la tabla siguiente se muestran los signos correspondientes a las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

Signo de las funciones en los cuatro cuadrantes I II III IV

sen + + - -cos + - - +tan + - + -

ctan + - + -sec + - - +csc + + - -

Representación simbólica y angular del entorno Gráficas de funciones trigonométricas.Para representar las funciones trigonométricas, utilizaremos el perímetro de la circunferencia de radio unidad eje x (abscisas), coincidiendo el origen del sistema con 0°. Marcando todas las abscisas del ángulo variable y las ordenadas de la función trigonométrica correspondiente, uniendo todos los puntos obtendremos su representación gráfica.

Función Seno

Función coseno

Función tangente

Ing. Jorge Hernández SánchezFrecuencia, Amplitud y Periodo.En general una función del tipo y= a seno x o y = a coseno x tiene un periodo P= 360°/ | b |Ejemplo: encuentra el periodo de y = ½ seno xPeriodo = 360° / 1 = 360°

La Amplitud (A) se calcula como A= | a | De la función anterior A = ½

La Frecuencia se define como F = 1 / P, del ejemplo F = 1 / 360°El procedimiento anterior se puede reducir en tres preguntas1. ¿Qué tan alto es? A = a = ± 0.5 el valor máximo es de 0.5 y el mínimo – 0.52. ¿Que tan larga es la función? P = 360° / b = 360° / 1 = 360° el ciclo tiene 360°3. ¿Qué tan seguido se presenta un ciclo? F = 1 / P = 1 / 360° un ciclo cada 360°D. Círculo Trigonométrico.Sea una circunferencia de radio 1 (unitaria), centrada en las coordenadas cartesianas (origen). Considerando un ángulo designado por θ, formado por el eje X (abscisas) y el radio entre l centro, O y el punto B de la circunferencia. Entonces, como la proyección del punto B sobre el eje de las X será el punto

A, es posible definir un triángulo rectángulo OAB, con el segmento OB como Hipotenusa y los segmentos OA y AB como catetos. Entonces:

Sen Ө = AB / OB = AB / 1 = AB Cos Ө =

OA / OB =

OA / 1 = OA

Representación simbólica y angular del entorno Tan Ө = AB / OA por semejanza

Tan Ө = AB / OA = CD / 1 = CD

Ing. Jorge Hernández Sánchez3.2 Determina identidades y ecuaciones trigonométricas, calculando los valores de sus variables para la interpretación de situaciones.A. Deducción y demostración a partir de las razones fundamentalesIdentidades trigonométricas fundamentales.En matemáticas identidad es una igualdad que se verifica siempre, cualquiera que sea la magnitud de las variables que contiene. A continuación se presentan las expresiones trigonométricas en función de ángulos importantes, así como el teorema de Pitágoras.Teorema de Pitágorasc = √ (a² + b²)a = √(c² – b²) b = √(a² – c²)Suma de dos ángulos sen ( A + B ) = sen A cos B + cos A sen B cos ( A + B ) = cos A cos B - sen A sen B tan ( A + B ) = [ tan A + tan B ] / [1- tan A tan B ]Diferencia de dos ángulos sen ( A – B ) = sen A cos B - cos A sen B cos ( A – B ) = cos A cos B + sen A sen B tan ( A – B ) = [ tan A - tan B ] / [1+ tan A tan B]Doble de un ángulo sen 2A = 2sen A cos B cos 2A = cos2 A – sen2 A tan 2A = 2 tan A / [1- tan2 A ]Ángulo mitadsen A/2 = [( 1 – cos A ) / 2]1/2 cos A/2 = [( 1 + cos A ) / 2]1/2

tan A/2 = [( 1–- cos A )/ (1+ cos A)]1/2

Identidades Pitagóricassen2 A + cos2 a = 1sec2 A = 1+ tan2 acsc2 A = 1+ cot2 atan A = sen A / cos A csc2 A = 1 + cot2 Atan2 + 1 = 1 / cos2 A = sec2 AIdentidades recíprocossen A csc A = 1 cos A sec A = 1 tan A cot A = 1 csc A = 1 / sen Asen A = 1 / csc Acos A = 1 / sec Asec A = 1 / cos Atan A = 1 / cot Acot A = 1 / tan AIdentidades cocientestan A = sen A / cos A cot A = cos A / sen A Suma de senos

Representación simbólica y angular del entorno sen A + sen B = 2sen o.5 ( A+ B ) cos 0.5 (A - B) sen A - sen B = 2sen o.5 ( A – B ) cos 0.5 (A + B) Triple de un ángulo sen 3A = 3sen A – 4 sen3 A cos 3A = 4cos3 A – 3cos A tan 3A = (3 tan A – tan3 A) / [1- 3tan2 A ]Ley de los cosenosc2 = a2 + b2 – 2ab·cos C cos C = a2 + b2 – c2 / 2aba2 = b2 + c2 – 2bc·cos A cos A = b2 + c2 – a2 / 2bcb2 = a2 + c2 – 2ac·cos B cos B = a2 + c2 – b2 / 2acEjercicios. 1. Demuestre que sen2 A + cos2 A = 1sen2 A = (Sen A)2

sen2 A + cos2 A = a2 / c2 + b2 / c2 = (a2 + b2) / c2 = c2 / c2 =12. 1 + tan2 A = sec2 A3. sen (1 +cot A) = sen A + cos A4. sen A cot A = cos A5. cot 2 A = 1 / (sec2 A – 1)6. tan A / cot A = (1 – cos2 A) / cos2 A7. sec A / csc A = tan A8. sen2 A – cos2 = 2 sen2 A – 1 9. (sen A + cos A)2 = 1 + 2 cos A sen A10. sen2 A + 2 cos2 A = 1 + cos2 A11. (1 / sen2 A) + (1 / cos2) = 1 / sen2 A cos2 A12. tan A / cot A = tan2 A

Deducción de las identidades de argumento compuestoDoble de un ángulo sen 2A = 2sen A cos B cos 2A = cos2 A – sen2 A tan 2A = 2 tan A / [1- tan2 A ]

Ángulo mitad

Ing. Jorge Hernández Sánchezsen A/2 = [( 1 – cos A ) / 2]1/2 cos A/2 = [( 1 + cos A ) / 2]1/2

tan A/2 = [( 1–- cos A )/ (1+ cos A)]1/2

Demostración y aplicación de las identidadesEn esta parte se demostrarán las principales identidades, utilizando las expresiones y las relaciones pitagóricas vistas anteriormente.

Ejemplo: Demostrar que tangente A = Seno A / Coseno ASi sabemos que: Tangente A = a / bSeno A = a / cCoseno A = b / cEntonces, Tangente A = a/c / b /c haciendo la división tenemosa /b y sabemos que a/b es Tangente A, por lo queTangente A = tangente A

Funciones Trigonométricas Inversas La expresión seno-1 se denomina “seno inverso de x” o “arco seno de x”, lo que significa “θ es el ángulo cuyo seno es x”.Se aplica en la determinación del valor del ángulo de una función trigonométrica, cuando se conoce su valor natural. Ejemplo: cual es el ángulo cuyo seno es 0.7660

Arcsen 0.7660 = seno-1 0.7660 es el ángulo 50°sen-1 0.7660 = 50°

B. Solución de Ecuaciones Trigonométricas.Las ecuaciones como sen A = ½ se les llama ecuaciones trigonométricas. En estas se debe encontrar la medida del ángulo, dado el valor de uno de las magnitudes de las funciones trigonométricas del ángulo que satisfacen la ecuación.

Directamente. Ejemplo 1. Calcula todos los valores de A entre 0° y 360° para Sen A = ½. Usando la gráfica del seno se observa que 30° y 150° tienen la magnitud de ½ o 0.5.

Con la calculadora sen–1 = 30° por complemento y de acuerdo a los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes, se sabe que el seno es positivo en el 1° y 3er cuadrante, entonces A = 30° y 150°.

Utilizando identidades trigonométricas. Ejemplo 2. (cos A – 0.5)(cos A + 0.866) = 0 para 0 ≤ A ≤ 360°(cos A – 0.5)(cos A + 0.866) = 0 algún factor es ceroSi cos A – 0.5 = 0Cos A = 0.5A = cos–10.5 = 60° y A = 300°

Si cos A + 0.866 = 0Cos A = – 0.866A = cos–10.866 = 150° y A = 210°

jorgehernandez014d.files.wordpress.com · web view3.1 representa de manera gráfica y algebraica...

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