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UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

CAMPUS IRAPUATO - SALAMANCA

DIVISION DE INGENIERIAS

“Analisis de funciones modales usando entropıa para

la deteccion de fallas en motores de induccion”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRA EN INGENIERIA ELECTRICA

(Opcion: Instrumentacion y Sistemas Digitales)

PRESENTA:

Ing. Yulimar Lorena Roa Teran

DIRECTOR:

Dr. David Camarena Martınez

Salamanca, Guanajuato Noviembre 2017

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Dedicatoria

A Dios Todopoderoso por guiar todos mis pasos.

A mis padres, hermanos y sobrina, apoyo y fuente de inspiracion en todos mis logros.

Yulimar Lorena Roa Teran

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Agradecimientos

Al M.I. Jesus Joaquın Yanez Borjas, por confiar en mi y recomendarme pararealizar los estudios de maestrıa en la Universidad de Guanajuato, DICIS.

A mi asesor de tesis, Dr. David Camarena Martınez, por su apoyo y orientacion enel desarrollo de este trabajo de tesis.

Al Dr. Juan Gabriel Avina Cervantes, por brindarme la oportunidad de realizarestudios de maestrıa en la Universidad de Guanajuato, DICIS.

A mis companeros de maestrıa, por el apoyo y ayuda brindada en los momentosrequeridos. En especial a Lubin y a Ricardo por las orientaciones brindadas para eldesarrollo de este trabajo.

A Moises, por su apoyo y companıa.

Yulimar Lorena Roa Teran

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Agradecimientos Institucionales

Expreso mi mas sincera gratitud a la Universidad de Guanajuato, especialmentea la Division de Ingenierıas del Campus Irapuato - Salamanca por la formacion y elapoyo que he recibido. A todos los profesores, mis agradecimientos por su arduo trabajodurante estos dos anos que me permitieron obtener el grado de Maestra en Ingenierıa.

Este trabajo fue realizado gracias al apoyo recibido del Consejo Nacional de Cienciay Tecnologıa de Mexico, CONACYT, con la beca otorgada en la convocatoria titulada“BECAS NACIONALES 2015 TERCER PERIODO”, bajo el numero de becario718689.

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Tambien, agradezco al laboratorio de procesamiento digital de senales (digital signalprocessing, DSP) por brindarme un espacio de trabajo comodo y agradable.

Resumen

Los motores de induccion son partes esenciales de la industria. La fiabilidady disponibilidad de estas maquinas electricas se pueden mejorar significativamentemediante la instalacion de sistemas de diagnostico que supervisen la condicion detrabajo en dichos dispositivos. Debido a esto, la deteccion temprana de fallas de motoresde induccion ha sido una tarea de constante investigacion en el area de procesamientodigital de senales. Por lo general, el diagnostico se realiza analizando senales devibracion del motor en estado estacionario o durante el transitorio de arranque. Estainvestigacion propone una metodologıa basada en el metodo de descomposicion desenales llamado descomposicion empırica de modos por conjuntos completos (completeensemble empirical mode decomposition, CEEMD) y entropıa de informacion para ladeteccion de fallas en motores de induccion a traves del analisis de senales de vibracion.La metodologıa propuesta consta de varios pasos. En primer lugar, se utiliza la CEEMDpara descomponer las senales en varias funciones de modo intrınseco. Posteriormente, serealiza un proceso de extraccion de caracterısticas, a traves de parametros estadısticos yde complejidad. Finalmente, se entrenan tres algoritmos de clasificacion para determinarcual de ellos es mejor para identificar la condicion de operacion del motor de induccion.Esta metodologıa se desarrollo utilizando un software matematico y se valido medianteel uso de senales de vibracion reales. Los resultados del uso de la metodologıa propuestamuestran que puede utilizarse para detectar fallas de barra rota, defecto en rodamientosy desbalance de carga.

Palabras clave: motores de induccion, deteccion de fallas, CEEMD, extraccion decaracterısticas, entropıa de informacion, SVM, AdaBoost.

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Abstract

Induction motors are essential parts of the industry. The reliability and availabilityof these electrical machines can be significantly improved by the installation of diagnosissystems to monitoring the work condition in these devices. Due to this, early detectionof induction motors faults has been under constant research in the digital signalprocessing field. Usually, the diagnosis is performed by analyzing vibration signals at asteady-state motor operation or during a start-up transient. This research proposes amethodology based on the complete ensemble empirical mode decomposition (CEEMD)method and information entropy for fault detection in induction motors through theanalysis of vibration signals. The proposed methodology consists of several steps.First, the CEEMD is used for decomposing the signals into several intrinsic modefunctions. Subsequently, a feature extraction process is performed through statisticaland complexity parameters. Finally, three classification algorithms are trained todetermine which of them is better to identify the induction motor work condition. Thismethodology was developed by using a mathematical software and it was validated byusing real vibration signals. The results of using the proposed methodology show thatit can be used to detect broken rotor bar, bearing defects and unbalanced load.

Index terms: induction motors, fault detection, CEEMD, feature extraction,information entropy, SVM, AdaBoost.

vii

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Generalidades 7

2.1. Motores de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Senales de vibracion en los motores de induccion . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Fallas en motores de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Barra rota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2. Desbalance de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3. Defecto en rodamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Metodologıa de analisis de funciones modales 19

3.1. Descomposicion de modo empırico por conjuntos completos . . . . . . . 20

3.2. Extraccion de caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1. Entropıa de informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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INDICE GENERAL ix

3.3. Clasificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1. Maquinas de soporte vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2. AdaBoost (adaptative boosting) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.3. Arboles de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Descripcion del procedimiento propuesto 51

4.1. Sistema de adquisicion de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Descomposicion de las senales de vibracion . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. Extraccion de caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Clasificacion e identificacion de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.1. Maquinas de soporte vectorial (SVMs) . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.2. AdaBoost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.3. Arboles de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Resultados 61

5.1. Descomposicion de las senales de vibracion . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2. Extraccion de caracterısticas - Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1. Extraccion de parametro de complejidad. Entropıa. . . . . . . . 68

5.2.2. Extraccion de parametro estadıstico de dispersion. Desviacionestandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3. Clasificacion e identificacion de fallas - Resultados . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1. Fase de entrenamiento - Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.2. Fase de pruebas - Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6. Conclusiones 99

Bibliografıa 101

Indice de figuras

2.1. Estator y rotor de un motor de induccion [35]. . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Campo magnetico giratorio que se produce en el estator [35]. . . . . . . 8

2.3. Corriente inducida y fuerza de Lorentz en el rotor [35]. . . . . . . . . . 9

2.4. Partes de un motor de induccion [39]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5. a) Dibujo de la jaula de ardilla de un rotor [44]. b) Rotor de jaula deardilla tıpico [45]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6. Espectro de las senales de vibracion de un motor con falla de barra rotay condicion sano [46]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7. Espectro de las senales de vibracion de un motor con falla por desbalancede carga. Condicion de operacion: carga completa. Vibracion axial [49]. 14

2.8. a) Rodamiento tıpico [51]. b) Partes de un rodamiento [36]. . . . . . . . 15

2.9. Componentes de un rodamiento con sus dimensiones correspondientes [55]. 17

3.1. Procedimiento para el analisis de las senales de vibracion. . . . . . . . . 19

3.2. EMD aplicada a una senal compuesta por dos ondas seno: a) la senaloriginal, b) envolventes superior e inferior (rojo) y la media (azulpunteado), c) la primera descomposicion y d) el primer residuo [60]. . . 22

3.3. Ejemplo de clasificacion binaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. a) Espacio de caracterısticas con dos clases. b) Multiples lıneas deseparacion entre muestras de dos clases diferentes. . . . . . . . . . . . . 30

3.5. Espacio de caracterısticas con linea recta de separacion entre clases. . . 30

x

INDICE DE FIGURAS xi

3.6. Vectores de soporte de cada clase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.7. Margen de separacion entre clases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.8. Modificacion de los vectores de soporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.9. Modificacion de las muestras que no son vectores de soporte. . . . . . . 33

3.10. Conjuntos no linealmente separables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.11. Muestras erroneamente clasificadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.12. Transformacion del espacio de caracterısticas. . . . . . . . . . . . . . . 35

3.13. Funcion de clasificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.14. Condiciones de clasificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.15. Arbol de decision sencillo que facilita la tarea de clasificacion paraasignacion de tıtulo al nombre [83]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1. Procedimiento propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Fallas inducidas artificialmente a) Barra rota (BR), b) Defecto enrodamientos (DR), c) Desbalance de carga (DC). . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Fallas multiples y combinadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Esquema general del proceso de descomposicion de las senales devibracion para cada condicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5. Esquema general del proceso de extraccion de caracterısticas. . . . . . . 57

5.1. Senal de vibracion del motor con condicion BR DC DR. . . . . . . . . 62

5.2. Descomposicion de la senal de vibracion del motor con condicionBR DC DR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3. Representacion de los valores del parametro media correspondientes atodos los ejes en la IMF 5 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . 65

5.4. Representacion de los valores del parametro coeficiente de asimetrıacorrespondientes a todos los ejes en la IMF 5 de las pruebas realizadas. 66

INDICE DE FIGURAS xii

5.5. Representacion de los valores del parametro coeficiente de curtosiscorrespondientes a todos los ejes en la IMF 5 de las pruebas realizadas. 67

5.6. Procedimiento para la extraccion del valor de entropıa de Shannon acada modo o IMF obtenido en la descomposicion. . . . . . . . . . . . . 68

5.7. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes a todos los ejes en la IMF 1 de las pruebas realizadas. 70

5.8. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes al eje x en la IMF 2 de las pruebas realizadas. . . . . 71

5.9. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes a los ejes y y z en la IMF 2 de las pruebas realizadas. 72

5.10. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes al eje z en la IMF 4 de las pruebas realizadas. . . . . . 73

5.11. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes a los ejes y y z en la IMF 5 de las pruebas realizadas. 74

5.12. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes a los ejes x y y en la IMF 6 de las pruebas realizadas. 75

5.13. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes al eje z en la IMF 6 de las pruebas realizadas. . . . . . 76

5.14. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıacorrespondientes a todos los ejes en la IMF 7 de las pruebas realizadas. 77

5.15. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje x en la IMF 1 de las pruebas realizadas. . . . . 79

5.16. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes a los ejes y y z en la IMF 1 de las pruebas realizadas. 80



5.19. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje x en la IMF 6 de las pruebas realizadas. . . . . 83

INDICE DE FIGURAS xiii

5.20. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje y en la IMF 6 de las pruebas realizadas. . . . . . 84

5.21. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje y en la IMF 7 de las pruebas realizadas. . . . . . 85

5.22. Comportamiento de la perdida por resubstitucion de AdaBoost. . . . . 90

5.23. Matriz de confusion para SVM con 20 valores sinteticos. . . . . . . . . 93



5.26. Matriz de confusion para AdaBoost con 20 valores sinteticos. . . . . . . 95

5.27. Matriz de confusion para AdaBoost con 50 valores sinteticos. . . . . . . 95

5.28. Matriz de confusion para AdaBoost con 100 valores sinteticos. . . . . . 96

5.29. Matriz de confusion para arboles de decision con 20 valores sinteticos. . 97

5.30. Matriz de confusion para arboles de decision con 50 valores sinteticos. . 97

5.31. Matriz de confusion para arboles de decision con 100 valores sinteticos. 98

Indice de tablas

2.1. Caracterısticas de las senales de vibracion en motores con fallas en losrodamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Tipos de funciones Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1. Senales obtenidas en la adquisicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de entropıa en la IMF1 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69



5.4. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de entropıa del eje z enla IMF 4 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de entropıa de los ejesy y z en la IMF 5 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . . . . . 73




xiv

INDICE DE TABLAS xv

5.9. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandaren la IMF 1 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.10. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandaren la IMF 1 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.11. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandarde los ejes y y z en la IMF 4 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . 80



5.14. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandarde los ejes x y y en la IMF 6 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . 83

5.15. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandardel eje y en la IMF 7 de las pruebas realizadas. . . . . . . . . . . . . . 84

Capıtulo 1

Introduccion

Los procesos en la industria demandan maquinaria con alto desempeno, concualidades que garanticen un mejor aprovechamiento de tiempo y recursos, ademas,que no genere altos costos por danos en los equipos. En este sentido, en los ultimosanos, ha surgido una creciente demanda de motores de induccion ya que; debido asus caracterısticas de robustez, bajo costo, facil mantenimiento y que la fuente dealimentacion que requieren es accesible; se han convertido en elementos clave de laindustria, siendo el mas usado el del tipo jaula de ardilla. Sin embargo, como cualquierdispositivo, los motores de induccion presentan limitaciones que, si se exceden, podrıangenerar fallas en sus componentes principales, el rotor y el estator [1].

Las fallas en motores de induccion deben ser corregidas inmediatamente al serdetectadas puesto que un motor defectuoso representa un riesgo por las consecuenciasque generarıa, como una interrupcion de los procesos industriales, una baja en laproduccion y, en casos extremos, danos a los componentes que esten alrededor o, incluso,poner en riesgo la vida de los operarios. Un procedimiento continuo de inspeccion dela condicion de trabajo de los motores puede detectar fallas electricas y mecanicas atiempo, con lo cual se evitarıan altos costos de reparaciones y paradas no programadas[2]. En consecuencia, la tendencia de las investigaciones en el area ha sido desarrollarmetodologıas y procedimientos para proveer el mantenimiento adecuado a los motoresde induccion y otorgarles estabilidad en el funcionamiento.

Haciendo uso de senales de voltaje, corriente y vibracion obtenidas a partir demotores de induccion, diferentes metodologıas han sido propuestas para la deteccionde fallas, en las cuales fueron aplicadas diversas tecnicas de analisis en frecuencia y entiempo-frecuencia. Por ejemplo, en [2], fue propuesto un procedimiento de deteccion defallas multiples en motores de induccion mediante la medicion de senales de corrientey de vibracion obtenidas durante la etapa del transitorio y estado estacionario dearranque de la maquina. Para el analisis de estas senales, fueron utilizadas las tecnicas

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

de la transformada rapida de Fourier (fast Fourier transform, FFT) y la transformadaWavelet discreta (discrete Wavelet transform, DWT). Por otro lado, en [3], fueronempleadas las senales de corriente del estator para detectar falla de barra rota en unmotor jaula de ardilla. En este caso, el procedimiento consistio en la aplicacion de DWTa las senales de corriente para calcular la energıa asociada a la falla del rotor en el anchode banda de la frecuencia donde se localiza la falla.

No obstante, las tecnicas tradicionales de procesamiento de senales, que incluyenanalisis en el dominio de tiempo y en el dominio de la frecuencia, se basan en que elproceso que genera las senales es estacionario y lineal, lo cual no ocurre en la mayorıade los casos, ya que las fallas en motores son de caracter no estacionario y generaneventos transitorios [4]. Ademas, tecnicas como la FFT poseen resolucion de frecuencialimitada, fuga espectral y baja tolerancia al ruido [5]. Considerando las desventajas delas tecnicas previamente mencionadas, se han hecho avances referentes a los metodosde analisis tiempo-frecuencia y se han aplicado al diagnostico de las fallas en motoresde induccion. Entre estos avances se encuentra la transformada Hilbert Huang que usala descomposicion de modo empırico (empirical mode decomposition, EMD), propuestaen 1998 por Huang [6], que corresponde a un metodo adaptativo de analisis en tiempo,adecuado a senales no lineales y no estacionarias [7].

EMD descompone la senal complicada (senal no estacionaria) en un conjunto decomponentes completos y casi ortogonales (senales estacionarias, aproximadamente)llamados funciones de modo intrınseco (intrinsec mode functions, IMFs) [8]. Estas IMFsrepresentan el modo oscilatorio natural embebido en la senal y sirven como las funcionesde base, que son determinadas por la propia senal que fue descompuesta [4]. Desde quela EMD fue propuesta en 1998, ha sido estudiada y aplicada en diversas areas como elcontrol de procesos [9], medicina y biologıa [10], reconocimiento de voz, identificacion delsistema, etc. A pesar de las ventajas que posee y el aporte en numerosas investigaciones,la EMD presenta limitaciones para descomponer senales en las cuales los rangos deamplitud-frequencia se encuentran muy cerca unos de otros [11]. La mezcla de modoses el nombre que recibe el principal problema que presenta la EMD, y es un fenomenocausado por la aparicion de diferentes escalas de tiempo que se encuentran mezcladasen un unico componente IMF, lo que introducira variaciones adicionales, y ficticias, enla IMF resultante y en los valores de frecuencia instantanea [12].

Para corregir el problema de la mezcla de modos, Wu y Huang [13] plantearonun nuevo metodo basado en EMD, llamado descomposicion de modo empırico porconjuntos (ensemble empirical mode decomposition, EEMD). En este caso, con EEMDse anade ruido blanco finito a la senal original. La finalidad del ruido anadido es proveerun marco de referencia uniforme en el espacio tiempo-frecuencia para que la porcionde la senal que se obtiene en la descomposicion coincida con escalas aptas de una IMF[13]. Sin embargo, esa porcion de ruido que se le anade a la senal ocasiona que la senal


reconstruida desde los IMFs contenga ruido residual, y diversas realizaciones de la senalcon ruido pueden producir diferente cantidad de modos [14].

Con la finalidad de superar los efectos del ruido que presenta EEMD, fue propuestopor Torres et al. [14] un algoritmo denominado descomposicion de modo empıricopor conjuntos completos (complete ensemble empirical mode decomposition, CEEMD).Este nuevo metodo consiste en anadir ruido pero en cada etapa del proceso, y ladescomposicion final toma en cuenta un unico residuo para obtener cada modo [5].Las ventajas de este metodo, comparado con EMD y EEMD, es que se logra unacompleta reconstruccion de la senal original, se producen menos modos que en EEMDy la cantidad de iteraciones es la mitad comparado con EEMD, lo que representa unmenor gasto de procedimientos de computo [14]. Por lo tanto, esta tecnica es adecuadapara el procesamiento de las senales en metodologıas de deteccion de fallas en motores.CEEMD ha sido aplicado en diversas investigaciones, como en [15] donde emplean lassenales de corriente del estator de un motor de induccion, para el estudio y evaluacion dela condicion de trabajo de la maquina con la finalidad de detectar falla de barras rotas.En [5] tambien aplican CEEMD para el desarrollo de una metodologıa de deteccionde fallas diversas en motores que funcionan en estado estacionario, para ello empleanlas senales de vibracion y los sonidos acusticos provenientes del motor. En otras areascomo economıa [16] y estudios sısmicos [17] tambien se ha usado CEEMD.

El procesamiento que se realiza con CEEMD no extrae directamente informacionrelevante de las senales. Por tanto, es necesario extraer caracterısticas para crear unabase de datos de la informacion contenida en las senales, con la cual preparar los datosde entrada que se requieren para la correcta clasificacion de las fallas. Segun la definicionde [18], el proceso mediante el cual se representan las medidas originales de una senalen atributos mas eficaces, se denomina extraccion de caracterısticas. Normalmente, lascaracterısticas que se obtienen son valores numericos utilizables para el aprendizajeautomatico, mediante los cuales se reduce la cantidad de recursos que se requieren paradescribir el extenso conjunto de datos que contiene la senal de vibracion del motor.Existen diversos tipos de caracterısticas a extraer de las senales, entre ellas se cuentan losparametros estadısticos; media, desviacion estandar, coeficiente de asimetrıa, curtosis;y parametros de complejidad; entropıa, dimension fractal, exponente de Lyapunov.

La informacion de entropıa es un parametro de complejidad eficaz que describe lacantidad de incertidumbre de un sistema, ha sido utilizada en muchas aplicaciones,como comunicaciones, ciencias espaciales y mecanica. En el diagnostico de fallas enmotores tambien se ha usado, como en [19], donde extraen el valor de entropıa de lassenales de vibracion para detectar fallas multiples y combinadas en maquinas rotativas.En [20], usan entropıa para detectar falla en los rodamientos del motor. Tambien, otrasinvestigaciones [21] [22] usan informacion de entropıa para detectar otro tipo de fallasen motores.


Otro enfoque que se aplica en el diagnostico de la condicion de trabajo de los motoreses el procedimiento de clasificacion, con el cual es posible catalogar y etiquetar lasfallas para su correcta identificacion. El procesamiento de las senales de vibracion y laextraccion de valores caracterısticos a traves de parametros como la entropıa, permitenobtener un conjunto de datos particulares con respecto a las senales correspondientesa cada falla y con esto es posible implementar un procedimiento de clasificacion. Sehan propuesto varias tecnicas para resolver el problema de clasificacion, entre las cualesse incluyen arboles de decision [23], redes neuronales [24], el metodo k -nn (k-nearestneighbor) [25], clasificador Bayesiano [26] y maquinas de soporte vectorial (supportvector machines, SVMs) [27]. Los clasificadores han sido extensamente usados en areasde reconocimiento de patrones, procesamiento de imagenes [28] y tambien para ladeteccion de fallas en motores como, por ejemplo, en [29] realizan una metodologıapara detectar falla de barras rotas y para clasificar la gravedad de la falla utilizandohomogeneidad. A su vez, en [30] usan SVMs para detectar fallas en rodamientos pormedio del analisis de vibraciones durante el arranque del motor.

1.1. Objetivos

1.1.1. Objetivo general

Disenar una metodologıa, combinando una tecnica de descomposicion de senales einformacion de entropıa, aplicada a senales de vibracion para la deteccion de fallasmultiples y combinadas en motores de induccion.

1.1.2. Objetivos especıficos

1. Realizar pruebas de la metodologıa propuesta en senales de vibracion provenientesde diversas condiciones de falla de un motor de induccion.

2. Encontrar un metodo eficiente de clasificacion automatica para las diferentes fallasde un motor de induccion.

3. Realizar una comparacion del porcentaje de efectividad de la metodologıapropuesta, en la deteccion y clasificacion de fallas multiples y combinadas delos motores de induccion, con respecto a las reportadas anteriormente.


1.2. Justificacion

Los motores de induccion son elementos claves para los diversos procesos que se llevana cabo en la industria. Son baratos, robustos y mas faciles para hacerles mantenimiento,comparado con otras alternativas. Su uso no se limita a la industria, sino que tambienson empleados en el hogar para tareas sencillas como la distribucion del agua. Sinembargo, los motores de induccion son sensibles a fallas, las cuales afectan su correctofuncionamiento, ponen en riesgo el entorno de operacion de la maquina y ocasionaperdidas en los procesos. Las fallas mas comunes que presentan los motores vanrelacionadas con defectos de las partes que los conforman, como el estator, el rotor,los rodamientos, el eje giratorio, los devanados del estator, etc.

En los ultimos anos, los estudios basados en la deteccion temprana de fallasen motores han experimentado un gran crecimiento. El objetivo principal de estasinvestigaciones ha sido estudiar y procesar las senales de voltaje, corriente o vibracionde la maquina con la finalidad de desarrollar metodologıas para la identificacion yprevencion de fallas. De esta manera, es posible minimizar los efectos de un motordanado y realizar mantenimientos preventivos.

A diferencia de los sonidos y movimientos normales de un motor, las fallas, el uso yel desgaste, causan diferentes ruidos y vibraciones con diferente amplitud y frecuencia.Cada falla, ya sea electrica o mecanica, presente en el motor produce una vibracioncon una frecuencia especıfica [31]. Por tanto, mediante el estudio de las senales devibracion, que describen las caracterısticas dinamicas del motor, se pueden detectaresas frecuencias especıficas, con las cuales es posible identificar el tipo de falla quepresenta la maquina.

Las senales de vibracion se obtienen del motor mediante diversos sensores, comoacelerometros. Para el estudio de estas senales se emplean metodos de analisis enfrecuencia o tiempo-frecuencia, como la transformada de Fourier, la descomposicionde modo empırico (EMD), la transformada de Wavelet, entre otras. Recientemente, elmetodo de descomposicion de modo empırico por conjuntos complementarios (CEEMD)ha sido usado para el seguimiento de la condicion de trabajo de los motores deinduccion [15, 32, 33]. A traves de este metodo se extraen los diversos modos deoscilacion que contiene la senal de vibracion y con procedimientos de extraccionde caracterısticas, como entropıa, media, desviacion estandar, entre otros, es posibleconstruir un descriptor para clasificar y etiquetar las fallas.

Es por ello que, en este trabajo se propone una metodologıa para la identificacionde fallas multiples y combinadas en motores, mediante la integracion del metodode descomposicion de senales, CEEMD, con entropıa, para extraer caracterısticasrelevantes de las senales, y un clasificador para la identificacion de las condiciones deoperacion barra rota, defectos en rodamientos, desbalance de carga y su combinacion


correspondiente, ası como tambien un estado de motor sano para comparacion. Lacontribucion de este trabajo es un enfoque diferente, en el area de procesamiento desenales, para el seguimiento de la condicion de trabajo y la deteccion automatica defallas en motores de induccion.

1.3. Estructura del trabajo

El trabajo de tesis se encuentra organizado en cinco capıtulos, los cuales se describenbrevemente a continuacion:

Capıtulo I. Introduccion. Contiene una breve resena de los trabajos previos que sehan realizado en el area de estudio, seguido por los objetivos propuestos para el trabajoy, finalmente, se expone el motivo de la realizacion de esta investigacion.

Capıtulo II. Generalidades. Se especifican los conceptos asociados a los motores deinduccion y sus fallas mas comunes. A su vez, se realiza una breve descripcion de losterminos correspondientes a las senales de vibracion en motores de induccion.

Capıtulo III. Metodologıa de analisis de funciones modales. Se especifican losconceptos asociados a las tecnicas de procesamiento de senales que se emplearon.Ademas, una breve descripcion de la importancia de la extraccion de caracterısticasen senales. Finalmente, algunos algoritmos de aprendizaje de maquina, enfocados en eldesarrollo de clasificadores, son descritos.

Capıtulo IV. Descripcion del procedimiento propuesto. Se describe el procedimiento,basado en las tecnicas de procesamiento de senales, extraccion de caracterısticas yclasificadores, realizado para el diagnostico de la condicion de trabajo de los motoresde induccion.

Capıtulo V. Resultados. Se exponen los resultados obtenidos luego de aplicado elprocedimiento propuesto.

Capıtulo VI. Conclusiones. Contiene las conclusiones correspondientes a losresultados obtenidos, basadas en la metodologıa planteada.

Capıtulo 2

Generalidades

A continuacion se presenta una breve descripcion de los conceptos basicos que seemplean para la realizacion de esta investigacion. Ademas, se describen los terminosconcernientes a fallas en motores de induccion y sus caracterısticas mas relevantes.

2.1. Motores de induccion

Los dispositivos electricos considerados maquinas de corriente alterna (CA) rotativasse dividen en dos grupos. El primero de ellos es el de los generadores, los cualesconvierten energıa mecanica en energıa electrica, y el segundo grupo son los motores,encargados de convertir energıa electrica en energıa mecanica. A su vez, las maquinasde CA se dividen en dos clases principales, por un lado, estan las maquinas sıncronasy, por otro lado, las maquinas de induccion o asıncronas.

En primer lugar, las maquinas sıncronas comprenden los motores y generadores,dispositivos a los cuales se les suministra la corriente de campo magnetico por mediode una fuente de potencia de CA que es externa. En segundo lugar, las maquinasasıncronas o de induccion son motores y generadores cuya corriente de campo magneticose suministra a sus devanados de campo por medio de induccion magnetica (acciontransformadora) [34]. Sin embargo, una maquina asıncrona presenta muchas desventajascomo generador y rara vez se utiliza de este modo, por lo tanto, se les llama solamentemotores de induccion.

Los motores de induccion son las maquinas electricas mas comunmente usadas.Tienen dos partes principales, el estator y el rotor, como se muestra en la Figura2.1, de [35]. El estator es la parte estacionaria y el rotor es la parte giratoria [36].El estator se hace apilando finas laminas ranuradas de acero muy permeable dentro

7

CAPITULO 2. GENERALIDADES 8

de una carcasa de acero. En las ranuras de estas laminas se ubican los devanadosdel estator [34]. El rotor esta ubicado en el interior del estator de forma coaxial, yconsiste en un conjunto de finas laminas ranuradas, llamadas laminaciones, de sustanciaelectromagnetica (nucleo especial de acero), y se disponen juntas presionadas en formade una trayectoria magnetica cilındrica. En las ranuras de estas laminaciones se ubicanlas barras conductoras.

Figura 2.1. Estator y rotor de un motor de induccion [35].

El funcionamiento de un motor de induccion consiste en que, cuando una corrientetrifasica de CA pasa a traves de los devanados del estator, se produce un campomagnetico giratorio [37], como se observa en la Figura 2.2, de [35]. Este campo magneticoinduce, de acuerdo con la ley de Faraday, una fuerza electro motriz (FEM) en el rotor. LaFEM genera una corriente en las barras del rotor, que se encuentran cortocircuitadaspor anillos a cada extremo. La corriente que circula por las barras, inmersas en uncampo magnetico, produce una fuerza magnetica (fuerza de Lorentz), gracias a la cualel rotor empieza a girar. En la Figura 2.3, de [35], se ilustra este proceso. Por esarazon, es conocido como motor de induccion, la electricidad es inducida en el rotorpor induccion magnetica, en lugar de producirse por conexiones electricas directas, y lapotencia mecanica rotacional se transfiere a traves del eje del rotor. De modo que, enun motor de induccion, la energıa electrica entra por el estator y pasa al rotor, dondese produce la energıa mecanica.

Figura 2.2. Campo magnetico giratorio que se produce en el estator [35].


Figura 2.3. Corriente inducida y fuerza de Lorentz en el rotor [35].

Otra de las partes principales de un motor de induccion son los rodamientos (ocojinetes). La maquina contiene dos, uno se ubica en el extremo de conduccion y otroen el de no conduccion, y se usan como apoyo para el eje giratorio. El uso de losrodamientos es apropiado para ubicar correctamente el rotor dentro del estator y paraminimizar la friccion [38]. Adicionalmente, el motor contiene lo siguiente, el eje giratorio(hecho de acero) para transmitir el torque a la carga; ventilador, ubicado en el extremode no conduccion, y se encarga del enfriamiento tanto para el estator como para elrotor; y por ultimo, una caja de terminales, ubicada en la parte superior o a amboslados, para recibir las conexiones de la fuente de alimentacion electrica. En la Figura2.4, de [39], se puede apreciar la ubicacion de las partes mencionadas.

Figura 2.4. Partes de un motor de induccion [39].


2.2. Senales de vibracion en los motores de

induccion

Una vibracion se puede definir como la oscilacion de un cuerpo con respecto a unpunto de referencia (equilibrio), o como cualquier movimiento que se repite despuesde un intervalo de tiempo [40]. Desde el punto de vista energetico, la vibracion es unfenomeno que alterna el intercambio entre energıa potencial y energıa cinetica [41].Todos los cuerpos presentan una senal de vibracion en la cual dejan ver cada una desus caracterısticas, las cuales pueden ser evidencia de algun defecto y, en muchos casos,afecta grandemente la naturaleza de los disenos de ingenierıa.

Las maquinas rotativas generan vibraciones como parte normal de su actividad. Cadamaquina presenta una vibracion caracterıstica que la hace unica, se conoce como firmade vibracion. Esta senal contiene la informacion de cada uno de los componentes delmotor debido a que esta condicionada por el diseno, fabricacion, uso y desgaste de esoscomponentes. Por lo tanto, una senal de vibracion capturada de un motor se componede la suma de las vibraciones de cada una de sus partes.

Las vibraciones se clasifican en tres grupos:

1. Vibracion simple. Su base principal en el dominio del tiempo son las ondassinusoidales y, por lo tanto, en su espectro aparece una sola frecuencia. Son lasmas simples y son la representacion de las oscilaciones puras. Los parametros quedefinen este tipo de vibracion son la frecuencia, que indica el perıodo de oscilacionde la senal; la amplitud, corresponde a la intensidad de la vibracion e indica laseveridad de la misma; y la fase.

2. Vibracion compuesta. Es la suma de varias vibraciones simples. Normalmente lavibracion que presenta un motor de induccion es una compuesta de una serie devibraciones simples asociadas a sus componentes internos en movimiento. Por lotanto, la forma de onda de este tipo de vibracion puede llegar a ser muy compleja,siendo difıcil de interpretar.

3. Vibracion aleatoria. No cumple con patrones especiales que se repitanconstantemente, siendo demasiado difıcil detectar donde comienza y dondetermina un ciclo. El patron que las caracteriza se interpreta mejor en el espectrode frecuencias de la senal.

La vibracion aleatoria es el patron que distingue las senales de vibracion provenientesde un motor de induccion, las cuales se caracterizan por su amplitud y frecuencia. Enprimer lugar, la amplitud muestra que tan fuerte es la vibracion y, en segundo lugar,la frecuencia muestra la tasa de oscilacion de la vibracion. Ambas proveen informacion


para identificar la raız de la vibracion [31]. Normalmente, estas senales se emplean paraestudiar la condicion de trabajo del motor y para detectar las fallas que este presenta,debido a que describen las caracterısticas dinamicas de la maquina [42].

2.3. Fallas en motores de induccion

Los motores de induccion forman parte de la maquinaria clave en la industria, suuso es muy comun y representan un componente importante para los diversos procesos.Sin embargo, estos motores normalmente estan expuestos a ambientes ruidosos y bajouna alta demanda de trabajo. Por lo tanto, su buen funcionamiento se pone en riesgoya que son maquinas susceptibles a diferentes e indeseables tipos de fallas, como laselectricas, mecanicas y de medio ambiente. Las partes mas vulnerables a fallas en losmotores son los rodamientos, las barras del rotor y el eje giratorio [43]. En este trabajose consideran tres de las mas comunes, las cuales estan relacionadas con las partesmencionadas anteriormente, y se describen a continuacion.

2.3.1. Barra rota

El rotor de un motor de induccion puede estar construido de dos formas diferentes.Una es la construccion del tipo jaula de ardilla o rotor de jaula, como se observa enla figura 2.5a, de [44]. Y la otra es la de rotor devanado, la cual, por su construccion,tamano y mantenimiento, poco se usa [34]. Un rotor de jaula consta de una serie debarras conductoras que se encuentran ubicadas en las ranuras de las laminaciones quecomponen el rotor y estan cortocircuitadas por anillos en sus extremos. La Figura 2.5b,de [45], ilustra a detalle un rotor de jaula de ardilla con las partes que lo componen.

La falla de barra rota se presenta cuando, por diversas causas, una de las barrasse encuentra parcialmente agrietada o completamente rota. Las causas por las cualesocurre esta falla son diversas, entre ellas se cuentan los defectos durante el proceso defabricacion; tensiones termicas y mecanicas, estas ultimas ocasionadas por fallas en losrodamientos; arranque frecuente del motor al voltaje nominal y tambien por el desgasteque se produce en el metal del cual estan hechas las barras.


(a) (b)

Figura 2.5. a) Dibujo de la jaula de ardilla de un rotor [44]. b) Rotor de jaula de ardillatıpico [45].

Una barra rota es el mayor defecto que puede presentar el rotor de un motor deinduccion. Una vez que se rompe una barra, la condicion de las otras barras tambien sepone en riesgo por el deterioro progresivo que surge debido a mayores tensiones [46]. Estafalla es perceptible en el motor debido a que altera la perturbacion del campo magneticoen el rotor, intensificando las modulaciones del par y las vibraciones del motor, las cualespueden ser medidas mediante sensores de vibracion, como acelerometros, localizados enla carcasa del motor.

Si existe una barra de rotor rota, la corriente no fluira por esta. Como resultado,el campo magnetico en el rotor alrededor de esa barra en particular no existira [31].La fuerza aplicada en ese lado del rotor sera diferente a la del otro lado, con lo que secrea una fuerza magnetica desequilibrada que gira al tiempo de la velocidad de rotaciony modula a una frecuencia igual a la frecuencia de deslizamiento multiplicada por elnumero de polos, la cual se conoce como frecuencia de paso de polo, fp [47].

El espectro de la senal de vibracion, proveniente de un motor que presenta fallade barra rota, tendra amplitudes incrementadas en la frecuencia de rotacion, fr, y susbandas laterales, fbrb, [46]:

fbrb = fr ± fp (2.1)

donde, la frecuencia de paso de polo (fp) se define como:

fp = (fsync − fr) · P (2.2)

siendo P el numero de polos del motor y fsync la velocidad sıncrona, la cual correspondea la velocidad de rotacion del campo magnetico en una maquina rotatoria y viene dadapor [34]:

fsync =120 · feP

(2.3)


donde, fe corresponde a la frecuencia, en Hz, de la red electrica a la que se encuentraconectado el motor. Las bandas laterales se producen tambien en armonicos mas altos dela velocidad de rotacion (2fr, 3fr, . . .). En la Figura 2.6, de [46], se muestra el espectrode la senales de vibracion obtenidas cuando el motor presenta falla de barra rota ycuando se encuentra en condicion sano.

Figura 2.6. Espectro de las senales de vibracion de un motor con falla de barra rota ycondicion sano [46].

En el espectro de la Figura 2.6, se puede apreciar que cuando el rotor tiene unade sus barras rotas, las amplitudes se incrementan tanto en la frecuencia de rotacioncomo en las bandas laterales que se especifican en (2.1), a diferencia de la condicion deun motor sano que solo tiene amplitud incrementada en la frecuencia de rotacion. Enconsecuencia, a traves del estudio de las senales de vibracion es posible determinar siun motor presenta alguna condicion que pueda afectar su correcto funcionamiento.

2.3.2. Desbalance de carga

La energıa que se obtiene de un motor de induccion es energıa mecanica rotativa,que se conoce como par-motor o torque y se ejerce sobre el eje giratorio, o eje detransmision de potencia. Como consecuencia, lo que la carga demanda del motor es elpar o la tendencia de una fuerza para girar un objeto alrededor de un eje.


La falla por desbalance se presenta cuando la carga mecanica del motor de induccionno se encuentra uniformemente distribuida, tomando el centro de masa fuera del eje delmotor [48]. Esta falla es considerada como la mayor causa de excentricidades dinamicaso estaticas, o la propagacion de defectos en los rodamientos [49]. Entre las principalescausas de este tipo de falla se encuentran los defectos de fabricacion, desalineamientointerno, curvatura del eje, o tambien puede ocurrir luego de un largo periodo deoperacion debido a la adicion o sustraccion asimetrica de masa alrededor del centrode rotacion del rotor.

Los problemas mecanicos que se presenten en la carga del motor pueden causaroscilaciones de velocidad que modulan el motor, ademas, estos desbalances en el rotor,inducen componentes armonicos especıficos en cantidades electricas, electromagneticasy mecanicas [50]. El efecto que genera la falla de desbalance en las senales de vibraciondel motor, corresponde a un aumento significativo de la amplitud en la frecuencia derotacion, fr. La Figura 2.7, de [49], muestra el espectro centrado en esta frecuencia,fr. El espectro mostrado fue extraıdo de [49] donde se realizan pruebas experimentalespara un motor con desbalance de carga.

Figura 2.7. Espectro de las senales de vibracion de un motor con falla por desbalance decarga. Condicion de operacion: carga completa. Vibracion axial [49].

En la Figura 2.7, se puede observar un incremento significativo de la amplitud delespectro para la condicion de desbalance con respecto a la de motor sano. La variacionobservada en las senales de vibracion ante la presencia de un desbalance de carga,


permite emplear estas senales para el estudio de la condicion de trabajo de los motoresde induccion.

2.3.3. Defecto en rodamientos

El eje giratorio de un motor de induccion se sostiene mediante rodamientos, para ellose emplean dos juegos, cada uno ubicado en los extremos del motor. Ademas de sostenerel eje, con los rodamientos es posible mantener al rotor correctamente localizado parahacerlo girar libremente y sin aumentar las fricciones. Cada juego consiste en dos anillos,uno interno y otro externo, y en el medio de estos dos anillos se ubican pequenas esferas,las cuales sirven como elementos rodantes. En la Figura 2.8a, de [51], se muestra unrodamiento tıpico. Normalmente, el anillo interno se une al eje y la carga se transmitea traves de las esferas giratorias, permitiendo la reduccion de friccion [36]; la Figura2.8b, de [36], muestra a detalle las partes de un rodamiento.

(a) (b)

Figura 2.8. a) Rodamiento tıpico [51]. b) Partes de un rodamiento [36].

Un defecto en rodamientos se presenta cuando existe cualquier dano fısico en lasuperficie de los anillos, en los elementos rodantes (esferas) o en el soporte de las esferas[52]. Las principales causas de estas fallas, ademas de vibraciones, excentricidadesdinamicas o estaticas, son:

1. Corrosion debido a la exposicion de los rodamientos a una atmosfera corrosiva oa fluidos corrosivos como acidos y agua, entre otros [53].

2. Lubricacion inadecuada por falta de lubricante y la consecuente aparicion dealtas temperaturas. Con el uso, se pierde la propiedad del lıquido lubricante,provocando un desgaste excesivo de las esferas y anillos y, por lo tanto, unsobrecalentamiento [52].


3. La contaminacion corresponde a una de las mayores causas de defectos en losrodamientos, ya que genera altas vibraciones y desgaste. Los lubricantes secontaminan debido a partıculas presentes en ambientes industriales.

4. El desgaste debido al movimiento constante que experimentan los rodamientos, locual genera la fractura de los elementos que lo componen, esparciendo partıculasdel material.

5. Cargas excesivas, ajustes muy apretados y subidas de temperatura. Estos factorespueden generar la degradacion e incluso acabar con el lubricante.

En la industria, los defectos en rodamientos son el modo de falla mas comun en losmotores electricos. Reportes demuestran que cerca del 45 % de los fallos que se presentanen las maquinas de induccion son causados por rodamientos defectuosos [54]. Ademas,estas fallas se presentan de manera progresiva con el tiempo y causan aumento de lavibracion del motor, pudiendo ocasionar un paro inesperado de la maquina.

Los rodamientos defectuosos son considerados una falla localizada que puedeproducir frecuencias de vibracion mecanica especıficas, relacionadas tanto con lageometrıa del rodamiento como con la velocidad. Las frecuencias que correspondena defectos en los anillos interno, (fi), y externo, (fo), del rodamiento son [54]:

fi =N

2fr

(1 +

BD

PDcos(α)

)(2.4)

fo =N

2fr

(1− BD

PDcos(α)

)(2.5)

donde, fr es la frecuencia rotacional o velocidad del motor, BD es el diametro de lasesferas, PD es el diametro del soporte de las esferas, N es el numero de esferas y α esel angulo de contacto de las esferas con los anillos.

Ademas de estas frecuencias, tambien estan las de los defectos en las esferas, fb, yen el soporte de estas, fc, las cuales se describen ası [55]:

fb =PD

2BDfr(1−

BD2

PD2cos2(α)) (2.6)

fc =fr2

(1− BD

PDcos(α)) (2.7)


En la Figura 2.9, de [55], se muestran a detalle los componentes de un rodamientocon las dimensiones correspondientes, necesarias para las frecuencias previamentemencionadas.

Figura 2.9. Componentes de un rodamiento con sus dimensiones correspondientes [55].

Para (2.4) y (2.5) es necesario contar con informacion detallada de las caracterısticasde los rodamientos, la cual podrıa no estar disponible. En tal caso, si se cuenta conrodamientos que contengan entre seis y 12 esferas, y las fallas sean periodicas, es posiblesustituir esas ecuaciones por las siguientes [54]:

fi = 0,6Nfr (2.8)

fo = 0,4Nfr (2.9)

Cuando los rodamientos contengan defectos, en las senales de vibracion se generaranalgunas de las frecuencias definidas en (2.6) - (2.9). La Tabla 2.1, extracto de la que seencuentra en [56], resume las caracterısticas de estas senales en presencia de alguna delas fallas previamente mencionadas.


Tabla 2.1. Caracterısticas de las senales de vibracion en motores con fallas en los rodamientos

Ubicacion de la falla Frecuencia en el espectro Observaciones

Condicion sano fr, fo, fi

Bajo la condicion sano puedetener las frecuencias fr, fo, fi ysus armonicos correspondientes, laamplitud es pequena y no destacaninguna frecuencia.

Esferas 2fb, fo, fi

Para casos severos estas frequenciaspueden ser moduladas por 2fb, fc, yla frecuencia natural puede alterarsetambien.

Anillos fo, fi

Un incremento severo en los defectosgenera armonicos de valores altosdonde destacan las frecuenciasdefinidas para fallas en los anillos ysi hay poca compensacion tambienapareceran armonicos en 2fb.

En un motor de induccion, la presencia de una barra rota, un desbalance de cargao un rodamiento defectuoso, se refleja en su modo de operacion. Especıficamente,las vibraciones del motor cambian, volviendose mas intensas, generando un mayorconsumo de energıa o un desgaste de las partes que lo conforman. En este sentido, unprocedimiento de analisis de las senales de vibracion del motor, que permita extraer lamayor cantidad de informacion de ellas, es requerido para prevenir danos o evitar futurasinterrupciones de la maquina. Es por ello que, en el siguiente capıtulo se presentan losmetodos de analisis de senales, propuestos en este trabajo de investigacion, para ladeteccion, por medio de senales de vibracion, de las fallas expuestas anteriormente,tanto de forma individual como combinadas.

Capıtulo 3

Metodologıa de analisis defunciones modales

El estado de operacion de un motor de induccion se refleja en las vibraciones quegenera constantemente. De este modo, y como se ha mencionado, la presencia de unabarra rota, un desbalance de carga o un rodamiento defectuoso es perceptible si serealiza un analisis en frecuencia, o en tiempo, de las senales de vibracion del motor.Considerando esto, para el tratamiento de las senales de vibracion, provenientes deun motor que presenta condicion de falla, fueron usados los metodos que se presentanen este capıtulo, estructurado en tres partes principales. En primer lugar, se describeel metodo de descomposicion de senales. Seguidamente, se describe la extraccion decaracterısticas, como procedimiento para resumir la informacion contenida en los modosobtenidos durante la descomposicion. Finalmente, los tres algoritmos de clasificacion,usados para identificar y etiquetar fallas y para validar las caracterısticas seleccionadasen la etapa anterior, son descritos. En el diagrama de bloques de la Figura 3.1, semuestra un esquema general de estos metodos a emplear, en conjunto, para el analisisde las senales.

Figura 3.1. Procedimiento para el analisis de las senales de vibracion.

19

CAPITULO 3. METODOLOGIA DE ANALISIS DE FUNCIONES MODALES 20

3.1. Descomposicion de modo empırico por

conjuntos completos

Las maquinas rotativas generan vibraciones como parte normal de su actividad. Sinembargo, cuando alguno de los componentes de la maquina presenta un defecto o unafalla, las caracterısticas de esas vibraciones cambian, permitiendo que, a traves de unestudio detallado, se pueda identificar el lugar y el tipo de falla, realizar la reparacioncorrespondiente y planificar programas de mantenimiento. El analisis de las vibracionesse basa en interpretar las senales de vibracion, caracterizadas por ciertos valores deaceleracion, velocidad y desplazamiento, con los cuales se puede obtener informacionde la vibracion [57].

Las senales que se obtienen de las maquinas rotativas, como motores de induccion,pueden clasificarse como estacionarias o no estacionarias [15]. En primer lugar, lassenales estacionarias se caracterizan por sus propiedades estadısticas invariables enel tiempo, y pueden ser estudiadas correctamente usando tecnicas espectrales comola transformada rapida de Fourier (fast Fourier transform, FFT). En segundo lugar,las senales no estacionarias son esencialmente transitorias, lo cual hace invalida lasuposicion de la estacionariedad de la senal por la FFT, reduciendo ası su efectividad[15].

Por otro lado, aunque muchos fenomenos pueden ser aproximados por sistemaslineales, tambien tienen la tendencia a ser no lineales cuando las variaciones en amplitudse hacen finitas [6]. Esta situacion ocurre con las senales de vibracion del motor, quepresentan la propiedad de no linealidad, ya que el sistema que las genera no cumple conlas propiedades de superposicion y escalamiento, por lo tanto, se deben usar metodosdinamicos no lineales para el procesamiento y analisis correspondiente [58].

La descomposicion de modo empırico (empirical mode decomposition, EMD) es unmetodo adaptativo mediante el cual cualquier conjunto de datos complicados puededescomponerse en un numero finito de funciones de modo intrınseco (intrinsic modefunctions, IMFs). El metodo esta basado en las escalas de tiempo fısicas de la senal,las cuales caracterizan las oscilaciones del sistema y tambien permiten aplicar ladescomposicion en senales provenientes de procesos no estacionarios y no lineales [6].

Las IMFs reciben su nombre debido a que son una representacion de los modosde oscilacion que contiene la senal descompuesta. Por lo tanto, la IMF en cada ciclo,definido por los cruces por cero, contiene un modo de oscilacion, para lo cual satisfacelas siguientes condiciones [6]:

1. En todo el conjunto de datos, el numero de extremos y el numero de cruces porcero deben ser iguales o diferir como maximo en uno. Es decir, el numero de polosy ceros es igual o difieren como maximo por uno.


2. En cualquier punto, el valor medio de la envolvente definida por los maximoslocales y la envolvente definida por los mınimos locales es cero. Es decir, laenvolvente superior e inferior deben ser simetricas respecto a la lınea de tiempo.

El principio basico del metodo de EMD, descrito en [59], es analizar una senalx(t) entre dos extremos consecutivos (mınimos o maximos) y definir una parte dealta frecuencia local, llamada detalle, d(t), y una tendencia local, a(t), tal que x(t) =d(t) + a(t). La primera IMF esta compuesta de los detalles locales, d(t), obtenidos detodos los extremos consecutivos de x(t). El procedimiento de separacion de alta contrael de baja frecuencia se repite de forma iterativa sobre el residuo a(t), dando lugar aun nuevo IMF y a un nuevo residuo.

De acuerdo con [59], el procedimiento propuesto por Huang et al. en [6] paradescomponer la senal de entrada x(t) se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Identificar todos los extremos (mınimos y maximos locales) de x(t).

2. Obtener la envolventes superior (emax(t)) e inferior (emin(t)) por medio de lainterpolacion de los maximos y los mınimos locales, respectivamente.

3. Calcular la tendencia local como el valor medio entre la envolvente superior y laenvolvente inferior, ası a(t) = (emin(t) + emax(t))/2.

4. Calcular el componente de detalle como d(t) = x(t)− a(t).

5. Iterar sobre la tendencia local que queda como residuo, a(t).

Las IMFs deben tener valor medio cero y todos sus maximos y mınimos locales debenser positivos y negativos, respectivamente, esto de acuerdo a las condiciones definidaspreviamente para la IMF. Si el componente de detalle, que se obtiene en el paso cuatro,no sigue las condiciones mencionadas, entonces los pasos uno al cuatro se repiten usandod(t) en lugar de x(t). Este proceso, denominado sifting, se repite hasta que el nuevod(t) es considerado como una IMF. Para el siguiente IMF, el proceso sifting se aplicasobre el residuo a(t) = x(t)− d(t) [59].

Tal como senala Zao et al. en [59], a partir del procedimiento de EMD, se puedeobservar que el numero total de extremos es reducido de una IMF a la siguiente.La forma de onda de cada modo puede interpretarse como una senal de amplitud yfrecuencia modulada con valor medio de cero. La primera IMF tendra oscilaciones masrapidas que la segunda, la cual a su vez sera de fluctuaciones mas rapidas que la tercera,y ası sucesivamente con todas las IMFs obtenidas. Esto significa que, a cada intervalode tiempo, la EMD realiza una separacion de alta frecuencia contra baja frecuencia


entre todas las IMFs. Por lo tanto, los primeros modos presentaran el contenido de altafrecuencia de la senal y la ultima componente tendra la menor frecuencia.

Debido a que el procedimiento de EMD se aplica solamente si hay, por lo menos,dos extremos en el ultimo residuo a(t) calculado, cualquier senal de entrada x(t) puededescomponerse en un numero finito de IMFs. Si la m-esima IMF es expresada comoIMFm y un total de M IMFs son extraıdas de x(t), entonces

x(t) =M∑m=1

IMFm(t) + r(t), (3.1)

donde, r(t) es el ultimo residuo obtenido del procedimiento de EMD. En la Figura 3.2,de [60], se muestra una representacion grafica del procedimiento que desarrolla la EMD,empleando una onda compuesta por dos senales senoidales a diferentes frecuencias.

Figura 3.2. EMD aplicada a una senal compuesta por dos ondas seno: a) la senal original, b)envolventes superior e inferior (rojo) y la media (azul punteado), c) la primera descomposiciony d) el primer residuo [60].

Las senales de voltaje, corriente y vibracion que se obtienen de un motor deinduccion, presentan caracterısticas complejas y con una simple observacion no essuficiente para extraer de ellas informacion con la cual estudiar la condicion de trabajode estos motores. Es por ello que, la descomposicion mediante EMD es un buenprocedimiento para obtener informacion relevante de estas senales, las cuales, por serde naturaleza no lineales y no estacionarias, no admiten el uso de metodos como la


FFT. Sin embargo, EMD presenta un problema denominado la mezcla de modos, en elcual una unica IMF consta de senales con escalas muy dispares o una senal de escalasimilar que reside en diferentes componentes IMF [13].

Para solucionar el problema de la mezcla de modos, fue propuesto un nuevo metodode analisis de datos asistido por ruido [61], basado en EMD, denominado descomposicionde modo empırico por conjuntos (ensemble empirical mode decomposition, EEMD). Coneste metodo se anade ruido blanco gaussiano, de amplitud finita, a la senal original antesde iniciar el proceso de descomposicion. La ventaja de anadir ruido blanco esta en que,gracias a la caracterıstica estadıstica de distribucion uniforme del ruido, la senal conruido blanco se vuelve continua en diferentes escalas de tiempo evitando que se generenescalas dispares. El proceso de EEMD, presentado en [61], es el siguiente:

1. A la senal original, x(t), se le anade ruido blanco,

y(t) = x(t) + εw(t), (3.2)

donde, y(t) es una senal artificial; ε es la amplitud del ruido anadido, la cual es unafraccion del valor de desviacion estandar de la senal original; w(t) es la serie aleatoria deruido blanco, cuya distribucion normal es de media cero y desviacion estandar constante.

2. A traves del procedimiento original de EMD se descompone la nueva senalartificial, y(t), en IMFs.

3. Se repiten los pasos uno y dos N cantidad de veces con diferentes series de ruidoblanco. Con cada repeticion se obtiene un componente del conjuntos de IMFs dela forma:

{{c1j(t)}, {c2j(t)}, {c3j(t)}, . . . , {cNj (t)}}

donde, j = (1, 2, 3, . . . , n) es el numero de IMFs, N representa el numero del conjuntoy {c1j(t)} es el componente de IMFs luego de desarrollar EMD la primera vez.

4. Se calcula el valor medio del conjunto de las IMFs correspondientes, cj(t), de ladescomposicion como el resultado final de:

cj(t) =1

N

N∑b=1

cbj(t) (3.3)

De acuerdo con (3.3), el resultado final indica que cada modo de EEMD es el valormedio del conjunto de componentes IMF. Por otro lado, en EEMD, el numero de


conjuntos y la amplitud del ruido tienen dos parametros esenciales. La relacion entrela cantidad de conjuntos, la amplitud del ruido y el efecto del ruido anadido se obtienepor medio de la siguiente regla:

εn =ε√N

(3.4)

oln(εn) +

ε

2ln(N) = 0 (3.5)

donde, εn es el valor de la desviacion estandar de la diferencia entre la senal de entraday las IMFs correspondientes.

Como ya se ha visto, mediante EEMD se realiza el mismo procedimiento de EMDpero sobre un conjunto de senales con ruido gaussiano [14]. Anadir ruido gaussianoresuelve el problema de la mezcla de modos mediante el relleno de todo el espaciotiempo-frecuencia; sin embargo, este procedimiento genera otros problemas y es quela senal reconstruida contiene residuos de ruido y a diferentes realizaciones de lasenal mas ruido se puede producir diferente cantidad de modos. Con la finalidad desolucionar este nuevo problema, un nuevo metodo fue propuesto por Torres et al.[14] denominado descomposicion de modo empırico por conjuntos completos (completeensemble empirical mode decomposition, CEEMD). A traves de CEEMD, se provee unamejor reconstruccion de la senal original sin el problema de la mezcla de modos y sintanto gasto de procesamiento en hardware. El procedimiento, segun [15], es el siguiente:

En primer lugar, se anade un porcentaje de ruido blanco gaussiano a la senal que sequiere descomponer y se obtiene la primera componente EMD de la senal con ruido. Ladescomposicion se repite N veces usando diferentes realizaciones de ruido y se calcula lamedia de todo el conjunto para determinarla como la primera descomposicion (IMF1)de la senal original. Entonces,

IMF1 =1

N

N∑i=1

Ei[x(t) + εwi] (3.6)

donde, IMF1 es la primera componente EMD de la senal original x(t); wi es el ruidoblanco gaussiano de media cero y varianza unitaria; ε es un coeficiente fijo; Ei producela i-esima componente IMF y N es el numero de realizaciones. Luego, el primer residuode la senal r1 se define por:

r1 = x(t)− IMF1 (3.7)

Seguidamente, se realizan las descomposiciones r1 + εE1[wi], i = 1, 2, . . . , N ; hastaque se cumpla con la primera condicion para que sea una componente IMF adecuada ydefinir la media del conjunto como la segunda componente IMF2,

IMF2 =1

N

N∑i=1

E1[r1 + εE1[wi]] (3.8)


Para k = 2, 3, . . . , K, se calcula el k-iesimo residuo: rk = rk−1 − IMFk, luego seextrae la primera componente IMF de rk + εEk[wi], N = 1, 2, . . . , N y se calcula otravez la media del conjunto para obtener la componente IMFk+1 de la senal original,

IMFk+1 =1

N

N∑i=1

Ei[rk + εEk[wi]] (3.9)

El proceso continua hasta que el ultimo residuo no tiene mas de dos polos o ceros,produciendo:

R = x(t)−K∑k=1

IMFk (3.10)

donde, R es el residuo final y K es el total de componentes IMF encontradas. Porultimo, la senal original puede ser expresada como:

x(t) =K∑k=1

IMFk +R (3.11)

A partir de (3.11) se puede considerar CEEMD como un metodo de descomposicioncompleto, que comparado con los EMD y EEMD, no solo resuelve el problema de lamezcla de modos sino que tambien provee una buena reconstruccion de la senal original.

3.2. Extraccion de caracterısticas

El diagnostico de fallas en los motores de induccion se realiza por medio del estudiode las caracterısticas representativas existentes en las senales de voltaje, corriente ovibracion, provenientes de un motor con determinadas condiciones de operacion. Estascaracterısticas van relacionadas con el comportamiento de la senal, tanto en el dominiodel tiempo como en el de la frecuencia, con las variaciones de amplitud, con los modosde oscilacion, etc.

El proceso mediante el cual se representan las medidas originales de una senal enatributos mas eficaces, se denomina extraccion de caracterısticas [18]. Normalmente,las caracterısticas que se obtienen son valores numericos utilizables para el aprendizajeautomatico, y mediante los cuales se reduce la cantidad de recursos que se requierenpara describir el extenso conjunto de datos que contiene la senal de voltaje, corrienteo vibracion del motor. Al arreglo de esos valores numericos se le denomina vector decaracterısticas y son comunmente usados en las areas de reconocimiento de patronesy aprendizaje de maquina. Tambien, para el desarrollo de metodologıas confiables dediagnostico y deteccion de fallas, se emplean vectores de caracterısticas, algunos de


alta dimension a fin de evitar el riesgo de perder informacion de las senales que seapotencialmente necesaria [62].

Un vector de caracterısticas se compone de valores numericos representativos deun objeto en especıfico, por ejemplo; si el objeto fuera una imagen, los pıxeles de laimagen representarıan uno de los valores caracterısticos; si el objeto fuera una senal, susvalores caracterısticos podrıan ser estadısticos como la desviacion estandar, la media,entre otros; valores propios de la senal como su valor cuadratico medio o valores queesten directamente relacionados con la naturaleza de la senal, como los parametros decomplejidad.

Las senales, por su naturaleza, pueden presentar un comportamiento muy aleatorio,mientras que otras parecen demostrar la aparicion de ciertos patrones en variosintervalos [63]. Para comparar series de tiempo y distinguir su comportamiento regular,caotico y aleatorio, fueron desarrolladas las medidas de complejidad [64]. De este modo,la evaluacion de la complejidad o la variabilidad de una senal, ofrece ciertas ventajasen el procesamiento de senales. Por un lado, la complejidad es una descripcion intuitivay, como consecuencia, facilita la interpretacion de los resultados de una medicion. Porotro lado, las medidas invariantes permiten la comparacion entre diferentes condiciones,ya que son insensibles a medidas absolutas, como la amplitud y la frecuencia [63]. Losprincipales parametros de complejidad son: entropıa, dimension fractal y exponente deLyapunov. Para el caso que ocupa este trabajo, se usa la informacion de entropıa comoparametro de complejidad para la extraccion de caracterısticas relevantes en las senalesde vibracion de un motor con diferentes condiciones de operacion.

3.2.1. Entropıa de informacion

La teorıa de la informacion de Shannon, llamada solamente teorıa de la informacion,fue propuesta en 1948 por C.E. Shannon [65], y es una medida de la cantidad deincertidumbre contenida en cualquier senal aleatoria. En [65], Shannon propuso unamedida de la cantidad de informacion en una distribucion, a la que llamo ‘entropıa’. Laentropıa, H(P ), de una distribucion P mide la incertidumbre inherente en P , es decir,el concepto de entropıa se concibe como la cantidad de desorden que contiene o liberaun sistema.

En [66] ejemplifican el concepto de la siguiente forma: imagine a un observador quesabe que X esta distribuido de acuerdo con P , el observador advierte que X = x.La entropıa de P representa la incertidumbre del observador sobre el resultado de xantes de que el observe. Ahora, imagine al observador como un receptor del mensajeque transporta el valor de X. Desde estos dos puntos de vista, la entropıa representala cantidad media de informacion que el observador ha obtenido despues de recibirun resultado de x de la variable aleatoria X. Como indican en [67] cuanto mayor sea


la entropıa de informacion, mayor sera el grado de desorden de informacion. De estaforma, se puede hablar de la cantidad de informacion que lleva una senal y la definicionmatematica es la siguiente:

Consideremos un evento aleatorio (o variable aleatoria) B con n posibles resultadosB1, B2, B3, . . ., Bi, y cada Bi con una probabilidad p(Bi) (con i = 1, 2, 3, . . . , n),entonces la entropıa de informacion H(B) de un evento aleatorio B esta dada por [65]:

H(B) = −n∑i=1

p(Bi)log2(p(Bi)) (3.12)

donde, 0 ≤ p(Bi) ≤ 1,∑n

i=1 p(Bi) = 1.

La expresion definida en (3.12) da una idea de la cantidad de informacion y mide conmayor precision la aleatoriedad, por tanto, si un evento tiene probabilidad p(Bi) = 1,entonces H = 0 lo que refleja que no hay mucha informacion. A su vez, dicha expresionsera aplicada a las funciones modales o IMFs, descritas en la ecuacion (3.9), y obtenidasluego de realizar la descomposicion mediante CEEMD. De la misma forma, estos valoresde entropıa, obtenidos de cada IMF, seran los que se utilicen como caracterısticas parael procedimiento de clasificacion e identificacion de fallas. Como se observa en (3.12),H(B) depende solamente de la probabilidad del evento y la unidad con la cual se midela entropıa es bits cuando se usan logaritmos de base 2, por otro lado, si la entropıa semide usando logaritmos naturales o neperianos, su unidad es el nat.

3.3. Clasificadores

Las fallas que se presentan en los motores de induccion generan caracterısticasespecıficas en las senales que describen el comportamiento de la maquina como lasde voltaje, corriente o vibracion. Como se menciono previamente, en el espectro de lassenales de vibracion aparecen amplitudes elevadas en frecuencias donde normalmenteno aparecerıan si el motor estuviera operando bajo condiciones normales de operacion osin fallas. Por tanto, a traves de las senales del motor se pueden extraer caracterısticasrelevantes referentes al comportamiento del dispositivo, con las cuales establecer unconjunto de patrones para procedimientos de clasificacion, identificacion y etiquetadode las fallas.

Una de las partes esenciales en todo procedimiento de deteccion de fallas es elreferente al proceso de clasificacion. Para las areas de aprendizaje de maquina yestadıstica, la clasificacion representa el problema de identificar la categorıa a lacual pertenece un nuevo dato, considerando un entrenamiento previo, en el cual lapertenencia de un conjunto de datos en una categorıa en especıfico ya se ha establecido[68]. En terminos de aprendizaje de maquina, el proceso de clasificacion es considerado


una instancia del aprendizaje supervisado [69]. Para implementar la clasificacion seusa un algoritmo conocido como clasificador, cuyos componentes, y en general deaprendizaje de maquina, son los datos de entrenamiento, correspondientes a un conjuntode datos que se emplean para entrenar un modelo, compuestos de variables de entrada(vector de caracterısticas) y salida conocida (objetivo o target); los datos de prueba,que representan los datos utilizados para probar el rendimiento del modelo despuesde haber sido entrenado; las caracterısticas, son las variables de entrada de datos deentrenamiento que se emplean para entrenar un modelo, por ejemplo, edad, ingresos,monto del prestamo, etc.; el objetivo, salida del modelo entrenado, por ejemplo, riesgode incumplimiento.

De este modo, los clasificadores han sido extensamente usados en diversas areasde investigacion, como procesamiento de imagenes, reconocimiento de patrones oprocesamiento de senales. Entre los algoritmos de clasificacion mas comunes seencuentran los arboles de decision, las redes neuronales, el metodo de k -nn (o k-nearestneighbor) y las maquinas de soporte vectorial, los cuales se pueden implementar parala clasificacion en dos clases, clasificador binario; o para la clasificacion en mas de dosclases, clasificador multiclase. A continuacion, se explicaran a detalle los clasificadoresbasados en maquinas de soporte vectorial, AdaBoost y arbol de decision.

3.3.1. Maquinas de soporte vectorial

Las maquinas de soporte vectorial (support vector machines, SVMs) son unconjunto de algoritmos de aprendizaje supervisado que generan funciones de mapeode entrada-salida a partir de un conjunto de datos, ya etiquetados, de entrenamiento.Las funciones de mapeo pueden ser de clasificacion o de regresion [70]. Los algoritmosfueron introducidos por Vapnik en 1995 [68] para resolver tareas de aprendizaje demaquina tales como regresion y reconocimiento de patrones.

El sistema de aprendizaje de las SVMs emplea un espacio de caracterısticas de altadimension, donde el algoritmo de aprendizaje reconoce patrones complejos a partir deconjuntos de datos y predice las clasificaciones de otros datos no vistos previamente,realizando aprendizaje discriminativo [71] para resolver problemas de clasificacion yregresion, por lo tanto, las SVMs estan divididas en:

1. Clasificacion de soporte vectorial (support vector classification, SVC), el cual esusado para describir la clasificacion mediante metodos de soporte vectorial.

2. Regresion de soporte vectorial (support vector regression, SVR), que se empleapara describir regresion por medio de metodos de soporte vectorial.

Los algoritmos de clasificacion que se obtienen a partir de las maquinas de soportevectorial pertenecen a la familia de clasificadores lineales generalizados, la cual tiene


tanto la capacidad de minimizar el error de clasificacion empırico como de maximizarel margen geometrico [72].

En su formulacion basica, SVM corresponde a un clasificador binario y lineal. Porun lado, un clasificador binario es aquel que permite distinguir unicamente entre dosclases, por ejemplo, en la Figura 3.3, distinguir entre la clase frutas y verduras de colorrojo y la clase frutas y verduras de otros colores. Por otro lado, un clasificador lineal esaquel en el que la frontera de clasificacion es una lınea recta en un espacio bidimensionaly, en general, en un espacio multidimensional, es un hiperplano [73].

Figura 3.3. Ejemplo de clasificacion binaria.

Existen procedimientos de clasificacion donde se requiere hacer la distincion de losobjetos en mas de dos clases, es decir, se requiere un clasificador multiclase, para lo cual,la formulacion basica de SVM se modifica con la finalidad de extender el clasificadora un problema de clasificacion de mas de dos clases. Tambien, algunos procedimientospresentan la particularidad de que las clases no pueden separarse de forma perfectacon una frontera lineal y, al igual que con el aspecto anterior, la formulacion basica semodifica para tratar con conjuntos de datos que no se puedan separar de forma lineal.

3.3.1.1. Conjuntos linealmente separables

Para el caso en el que se tienen dos clases y se quiere definir una frontera lineal entreellas, no va a existir una manera unica de generar un hiperplano de separacion. Enel ejemplo de la Figura 3.4a, representacion de la que se encuentra en [74], se puedentrazar lıneas de separacion entre las muestras de la clase uno y las muestras de la clasedos, obedeciendo diferentes criterios, como se observa en la Figura 3.4b, representacionde la que se encuentra en [75], donde se trazan diversas lıneas para separar las clases.Para construir estas lıneas de separacion, existen los modelos discriminativos, cuyoobjetivo es clasificar las muestras por medio de un conjunto de entrenamiento que seasuficientemente representativo. SVM es un ejemplo de estos modelos discriminativos[73].


(a) (b)

Figura 3.4. a) Espacio de caracterısticas con dos clases. b) Multiples lıneas de separacionentre muestras de dos clases diferentes.

SVM puede describirse como un sistema de clasificacion binaria cuya solucion es unclasificador lineal. Dentro de los clasificadores lineales, la caracterıstica principal de losSVMs es que la solucion se basa en lo que se conoce como margen maximo a partir delos vectores de soporte [70]. Resumiendo, como clasificador lineal, la solucion del SVMsera un hiperplano que divide el espacio en dos regiones y que para dos dimensiones, esuna lınea recta como se observa en la Figura 3.5, representacion de la que se encuentraen [74].

Figura 3.5. Espacio de caracterısticas con linea recta de separacion entre clases.

El modo de encontrar esta lınea (o hiperplano) en el SVM es encontrar la frontera apartir de las muestras de entrenamiento. La particularidad especıfica del SVM es quecalcula el hiperplano (la solucion) tomando en cuenta, solamente, un numero limitadode muestras del conjunto de entrenamiento con unas propiedades concretas. A estasmuestras, de gran importancia, se les denomina vectores de soporte [70]. Por tanto,cada clase tendra un conjunto de vectores de soporte, los cuales se muestran en elejemplo de la Figura 3.6, representacion de la que se encuentra en [74].


Los vectores de soporte se eligen de manera que la distancia entre los planos que loscontienen, sea maxima. A esta distancia se le conoce con el nombre de margen. Conesta condicion de margen maximo, se logra definir la region mas amplia del espacio decaracterısticas que separa las dos clases y que, ademas, esta carente de muestras [76].

Figura 3.6. Vectores de soporte de cada clase.

Por lo tanto, la region de separacion queda definida por los dos hiperplanos quecontienen a los vectores de soporte, ilustrados en la Figura 3.7, representacion de la quese encuentra en [75]. Para lo cual, el plano intermedio de la region representa la soluciondel clasificador SVM y que, en terminos matematicos, se plantea como un problema deoptimizacion donde la funcion a optimizar es el margen.

Figura 3.7. Margen de separacion entre clases.

A traves de la formulacion del problema de optimizacion, se obtiene el maximomargen de seguridad para la clasificacion de nuevas muestras que no pertenecen alconjunto de entrenamiento del clasificador. Por esta razon, cualquier eleccion alternativade los vectores de soporte y, por lo tanto, cualquier solucion alternativa al hiperplanode separacion entre clases da como resultados un margen mas estrecho [70], lo cual no


representa una solucion optima ya que se tendrıa un margen de seguridad menor en laclasificacion de muestras que se encuentren proximas a la frontera entre clases.

La solucion, basada en el uso de vectores de soporte, proporciona a SVM algunaspropiedades importantes:

∗ Por un lado, debido a que el hiperplano solucion depende, unicamente, de laeleccion de los vectores de soporte, si se desplazan las muestras asociadas a losvectores de soporte, se modifica la solucion del SVM, como se puede ver en laFigura 3.8 [70].

Figura 3.8. Modificacion de los vectores de soporte.

∗ Por otro lado, y debido a que las muestras que no son vectores de soporte nointervienen en la definicion de la frontera de separacion, si se desplaza cualquiermuestra que no sea un vector de soporte, la solucion del SVM permaneceinalterada, como se observa en la Figura 3.9 [70].


Figura 3.9. Modificacion de las muestras que no son vectores de soporte.

Estas dos caracterısticas proporcionan al SVM cierta robustez estadıstica y,particularmente, lo hacen robusto a lo que se conoce como overfitting, que es unacondicion con la cual se pierde la capacidad de generalizacion, para otros datos, debidoa un ajuste elevado a la muestras de entrenamiento. Sin embargo, el SVM generalizade una manera robusta sin que se vea influido por outliers que se encuentren fuera dela zona donde estan definidos los vectores de soporte [73].

Esta explicacion del modelo basico del SVM como clasificador lineal sirve,unicamente, para clasificar conjuntos que sean linealmente separables y tambiencompletamente separables, es decir, sin solapamiento entre las clases. A continuacionse explica el modelo para el caso de clasificaciones entre clases del tipo que se muestraen la Figura 3.10, representacion de la que se encuentra en [77].

Figura 3.10. Conjuntos no linealmente separables.


3.3.1.2. Conjuntos no linealmente separables

Para que el clasificador SVM pueda ser eficiente en problemas donde los datos no seancompletamente separables o linealmente separables (los mas habituales en conjuntos dedatos reales), existen dos alternativas [73]:

∗ Por un lado, permitir un cierto solapamiento entre las clases a partir de relajar lacondicion de margen maximo. Procedimiento que se conoce como margen suave(soft margin).

∗ Por otro lado, extender el modelo a conjuntos que no sean lineamente separablesmediante la transformacion del espacio de caracterısticas original en otro espacioque sı sea linealmente separable. Proceso que se conoce como truco del kernel(kernel trick).

Margen suave

Esta relajacion de la condicion del margen implica que algunas muestras caigandentro de la zona del margen, es decir, que queden erroneamente clasificadas. En laFigura 3.11, representacion de la que se encuentra en [78], se ilustra un ejemplo de estaalternativa [73].

Figura 3.11. Muestras erroneamente clasificadas.

La ventaja que otorga este procedimiento es que el SVM se hace robusto al ruidoasociado a la muestras y va a permitir tener cierta tolerancia a errores, de manera quese puede gestionar el problema de solapamiento de clases y trabajar con conjuntos queno sean separables. Esta tolerancia a errores, matematicamente, se gestiona mediante loque se conoce como slack variables [71] y lleva consigo un factor de regularizacion que


controla la compensacion entre errores de entrenamiento y los margenes rıgidos, creandoası un margen blando (soft margin) que permita algunos errores en la clasificacion a lavez que los penaliza.

Truco del kernel

Para el caso de conjuntos que no sean linealmente separables, el esquema de SVM seaplica realizando un mapeo del conjunto de caracterısticas desde el espacio original, enel que los datos no son linealmente separables, a un espacio de dimension superior, enel que los datos sı van a ser linealmente separables. En la Figura 3.12, representacion dela que se encuentra en [79], se ilustra un ejemplo de dos clases que, en una dimensionno son separables de forma lineal, pero que cuando se transforma a un espacio de dosdimensiones se vuelve un problema que sı es linealmente separable y, por tanto, se puederesolver utilizando SVM de forma estandar [73]. La ventaja con este procedimientoes que no es necesario encontrar la transformacion de un espacio a otro, ya que laformulacion matematica del SVM facilita los procedimientos por medio del productoescalar y el truco del kernel.

Figura 3.12. Transformacion del espacio de caracterısticas.

3.3.1.3. Formulacion matematica

Para un conjunto de caracterısticas, representativas de una senal y agrupadas enun vector denotado por xi ∈ Rn, i = 1 . . .M, donde M es el numero de muestras deentrenamiento y n es el numero de caracterısticas extraıdas, la solucion al hiperplanode separacion entre clases, para un clasificador lineal SVM, se expresa de la siguientemanera [70]:

wT ·xi + b = 0 (3.13)

donde, w es el vector ortogonal al hiperplano y b representa el coeficiente de intersecciono sesgo de desplazamiento.


A partir de este hiperplano solucion, en un clasificador que sea lineal y binario, lasmuestras positivas van a ser aquellas que, cuando se aplica la formulacion del hiperplanose obtiene un valor mayor que cero (wT ·xi + b > 0); mientras que, para las muestrasnegativas, se obtiene un valor menor que cero (wT ·xi + b < 0), como se ilustra en laFigura 3.13. De esta manera, la funcion de clasificacion se puede expresar mediante(3.14), dependiendo del signo al aplicar el hiperplano a las muestras [70].

f(x) = sgn(wT ·xi + b) (3.14)

En el caso de SVM, este hiperplano solucion corresponde al hiperplano medio entrelos dos hiperplanos que contienen los vectores de soporte, denotados por h+ y h−. Estosdos hiperplanos se definen en (3.15) [76], como hiperplanos paralelos al hiperplanosolucion, lo cual se ilustra en la Figura 3.13, representacion de la que se encuentra en[70].

h+ → wT ·xi + b = +1h− → wT ·xi + b = −1

(3.15)

En este caso, +1 y −1 es de eleccion arbitraria, lo cual mantiene la generalidad ypara cualquier otra opcion genera el mismo resultado.

Figura 3.13. Funcion de clasificacion.

Seguidamente, la condicion de clasificacion, en el caso del SVM, va a implicar quetodas las muestras que esten correctamente clasificadas van a ubicarse en la zona masalla del margen de cada clase, representada por las areas en gris de la Figura 3.14.Por lo tanto, todas las muestras positivas deben cumplir la condicion que se indica en(3.16a), y todas las muestras negativas deben cumplir la que se indica en (3.16b) [70].

wT ·xi + b ≥ +1 (3.16a)


wT ·xi + b ≤ −1 (3.16b)

Asumiendo que las muestras positivas se identifican con +1 y las negativas con−1, las condiciones de clasificacion de (3.16a) y (3.16b) se pueden integrar en unaunica condicion de clasificacion, la cual tienen que cumplir todas las muestras deentrenamiento y se expresa de la siguiente forma [70]:

yi(wT ·xi + b) ≥ 1 (3.17)

donde, yi = ±1 corresponde al valor de salida o categorıas asociadas de xi.

Figura 3.14. Condiciones de clasificacion.

Ası, el margen, que esta delimitado por la region verde en la Figura 3.14, se puedecalcular a partir de la distancia entre los dos planos, h+ y h−, del siguiente modo:

d+ = d− =|wx+ b|||w||

=1

||w||(3.18)

y, por consiguiente, el margen viene dado por la suma de las distancias d+ y d−, ası[70]:

margen = d+ + d− = 21

||w||(3.19)

y depende unicamente de w.

Como se menciono anteriormente, en un clasificador SVM lineal, el mejor hiperplanoes aquel que tiene el mayor margen de separacion entre las clases. A fin de encontrarel mejor hiperplano para la clasificacion, el margen, representado en (3.19), se debemaximizar o, lo que es equivalente, se debe minimizar el problema inverso [80],representado por la siguiente funcion:


Φ(w) =1

2||w||2 (3.20)

la cual es proporcional al producto escalar ||w||2 = wTw.

Ademas, esta minimizacion estara sujeta a la condicion de clasificacion que tienenque cumplir todas las muestras de entrenamiento y que esta definida en (3.17). Comoresultado de esto, se genera un problema de optimizacion cuadratica que se resuelve demanera estandar y se plantea de la siguiente forma [73]:

Minimizarw,b

Φ(w) = 12||w||2

Sujeto a yi(wT ·xi + b) ≥ 1, i = 1, . . .M

(3.21)

Desarrollo matematico del problema de optimizacion cuadratica de SVM lineal

Como ya se ha visto, la solucion del SVM consiste en obtener los valores wy b del hiperplano solucion, representado por (3.13), a traves del problema deoptimizacion descrito en (3.21). El anterior, es un problema clasico de optimizacion deprogramacion cuadratica (Quadratic Programming, QP, optimization) con restriccionesde desigualdad, que se resuelve por medio de los puntos de inflexion de la funcionauxiliar conocida como Lagrangiano (L) [70], cuya formulacion general es la siguiente:

L(X,α) = f(X) +∑j

αjg(X) ∀αj ≥ 0 (3.22)

donde, f(X) es la funcion que se quiere optimizar, g(X) representa las restriccionesa las cuales esta sujeta la optimizacion y αj son los multiplicadores de Lagrange.De esta forma, haciendo la equivalencia de estos parametros con los del problema deoptimizacion de (3.21) y recordando que , se tiene que:

f(X)→ Φ(w)g(X)→ yi(w

T ·xi + b)− 1 ≥ 0(3.23)

Con esta transformacion, la solucion al problema de optimizacion se obtiene, demanera general, primero, minimizando el Lagrangiano con respecto a las variablesde la funcion (3.13), es decir de w y b y, despues, maximizando con respecto a losmultiplicadores αj [70], de la siguiente forma:

Minimizarw,b

Φ(w) = 12wTw

Sujeto a yi(wT ·xi + b) ≥ 1

}⇒ max

α(minw,b

(w, b, α)) (3.24)

formulacion que recibe el nombre de SVM primal, por estar en el espacio de losparametros w y b (espacio primal).


Luego, el Lagrangiano se crea, siguiendo las equivalencias de (3.23), a partir de lafuncion Φ(w) a minimizar y de la condicion de clasificacion yi(w

T ·xi + b) − 1 ≥ 0multiplicada por los coeficientes de Lagrange (αj), con lo cual se obtiene la siguienteexpresion [70]:

L(w, b, α) =1

2wTw −

M∑i=1

αi[yi(wTxi + b)− 1] (3.25)

Por otra parte, la minimizacion del Lagrangiano y la busqueda de los puntos deinflexion de la funcion implica que [70]:

∂L

∂w= w −

M∑i=1

αiyixi = 0 ⇒ w =M∑i=1

αiyixi (3.26)

∂L

∂b= −

M∑i=1

αiyi = 0 ⇒M∑i=1

αiyi = 0 αi ≥ 0 (3.27)

Seguidamente, bajo condiciones de convexidad, se puede incluir en la funcion (3.25)el valor obtenido para w en (3.26), con lo que se obtiene una nueva expresion para elLagrangiano que, luego de desarrollar matematicamente, queda de la siguiente forma:

L(w, b, α) = −1

2

∑i

∑j

αiαjyiyjxTi xj +

∑i

αi

=M∑i=1

αi −1

2

M∑i,j=1

yiyjαiαjxTi xj (3.28)

y recibe el nombre de Lagrangiano dual (Ld(α)), ya que su formulacion esta en el espaciode los multiplicadores de Lagrange, el cual se conoce como espacio dual [70].

Para encontrar el mejor hiperplano de separacion entre clases, Ld(α) debe sermaximizado con respecto a valores αi positivos y con respecto a la restriccion deigualdad de (3.27), con lo cual se genera un nuevo problema de optimizacion, conocidocomo SVM dual y que tiene la siguiente formulacion [70]:

Maximizarα

Θ(α) =M∑i=1

αi −1

2

M∑i,j=1

yiyjαiαjxTi xj

Sujeto a

M∑i=1

αiyi = 0, αi ≥ 0 (3.29)


Finalmente, y a modo de resumen, a partir del SVM original (SVM primal),representado en (3.24), se obtiene un nuevo problema de optimizacion (SVM dual)cuya solucion, por un lado, se consigue empleando algun metodo numerico estandar y,por otro lado, representa la solucion del SVM. A su vez, por medio de esta solucion seobtienen los valores optimos de los multiplicadores αi que, como se ha visto, mediante(3.26) y (3.13), permiten encontrar la formulacion del hiperplano solucion (w y b,respectivamente) y, por lo tanto, definir la funcion de clasificacion ya sea, en formadirecta, a partir de los parametros del hiperplano (3.30a) o, en forma indirecta, a partirde los multiplicadores αi y los vectores de soporte (3.30b).

f(x) = sgn(wT ·x+ b) (3.30a)

f(x) = sgn

(M∑i=1

yiαixTxi + b

)(3.30b)

A partir de la formulacion del SVM, se extraen las siguientes propiedades:

1. La solucion de w viene dada como una combinacion lineal de las muestras deentrenamiento (3.26). Por lo tanto, y debido a que los multiplicadores de Lagrange(αi) son todos positivos o nulos, la solucion para el hiperplano (w) va a ser lacombinacion lineal, unicamente, de aquellas muestras que tengan asociado unmultiplicador αi > 0, siendo estas muestras de entrenamiento las que definen losvectores de soporte. O, dicho de otra forma, aquellas muestras de entrenamientoque no tengan un αi = 0 seran los vectores de soporte [70].

2. En la formulacion dual se puede observar que las muestran; tanto en la formulaciondel problema de optimizacion (3.29), como en la funcion de clasificacion (3.30b);aparecen, unicamente, como productos escalares. Esta propiedad es la que seutiliza para adaptar el problema al caso de conjuntos no linealmente separables,mediante el uso del truco del kernel [73].

3. La solucion del SVM es no parametrica, es decir, no hay necesidad de ajustarningun parametro durante el entrenamiento. Sin embargo, en los casos dondelos conjuntos no son linealmente separables y donde se quiera tener tolerancia aerrores de clasificacion, sı es necesario realizar el ajuste de algunos parametros[73].

Caso no linealmente separable. El truco del kernel

Mediante el algoritmo original de hiperplano de margen maximo presentadopor Vapnik en 1963 [81], se construye un clasificador lineal binario. Sin embargo,normalmente, los datos representativos de los casos de estudio reales no se presentanen dos dimensiones, por lo tanto, un algoritmo de clasificacion SVM debe tratar con


problemas donde existen mas de dos variables predictoras, curvas de separacion nolineales, conjuntos de datos que no pueden ser completamente separados o clasificacionesen mas de dos dimensiones. Es por ello que, en 1992, fue propuesto por Boser et. alun procedimiento para crear clasificadores no lineales [82] que se aplica al metodo delhiperplano de margen maximo y recibe el nombre de kernel trick.

Con este nuevo procedimiento, el algoritmo resultante es, formalmente, similar al quese emplea para tratar conjuntos linealmente separables. La estrategia consiste en utilizaruna funcion de mapeo, identificada como ϕ(x), para aumentar la dimensionalidaddel espacio de caracterısticas con la esperanza de que, en este nuevo espacio decaracterısticas, las clases sean linealmente separables. Para lograrlo, se realiza un mapeode los vectores de entrada x ∈ Rn en vectores ϕ(x) pertenecientes a un espacio decaracterısticas, F , de mayor dimension (donde ϕ representa el mapeado: Rn → Rf ).Este nuevo espacio de caracterısticas se representa de la siguiente forma [70]:

x ∈ Rn → ϕ(x) = [φ1(x), φ2(x), . . . , φn(x)]T ∈ Rf ], (3.31)

Por medio de este mapeo, se espera que, en un espacio ϕ, el algoritmo de aprendizajesea capaz de separar linealmente los datos de x mediante la aplicacion de la formulacionde SVM presentada previamente. Tambien, se espera que este planteamiento vuelvaa conducir a la solucion del problema de optimizacion cuadratica con restriccionessimilares en un espacio ϕ [70].

Para llevar a cabo este procedimiento, debido a que en la formulacion del SVM dual(3.29) los vectores de datos aparecen unicamente como productos escalares (xTi xj), serasuficiente definir una funcion kernel (K(x, z)) que represente el producto escalar en elespacio mapeado por ϕ(x). De esta forma, no va a ser necesario definir explıcitamentela funcion ϕ(x), sino que sera suficiente con encontrar esta funcion kernel, representadaen (3.32) [70], entre dos muestras.

K(xi, xj) = ϕ(xi)Tϕ(xj) = [φ1(xi), φ2(xi), . . . , φn(xi)]

T [φ1(xj), φ2(xj), . . . , φn(xj)](3.32)

Debido a que esta funcion kernel representa un producto escalar, se puede integrarde forma directa en la solucion del SVM (3.29) sustituyendo a los productos escalaresentre las muestras en la formulacion original, tanto en la funcion a optimizar como enla funcion de clasificacion. Por consiguiente, la formulacion queda de la siguiente forma:

Maximizarα

Θ(α) =M∑i=1

αi −1

2

M∑i,j=1

yiyjαiαjK(xi, xj) (3.33a)

b = yi − wTϕ(xi) = yi −M∑i,j=1

yiαiK(xi, xj) (3.33b)


f(x) = sgn

(M∑i=1

yiαiK(xi, xj) + b

)(3.33c)

Existen diferentes ejemplos de funciones kernel que en la practica resultan de granutilidad, de forma que, no hay que buscar una funcion de kernel para cada problemadistinto. Entre las funciones kernel mas habituales, destacan las que se muestran acontinuacion, en la Tabla 3.1, extracto de la que se presenta en [70].

Tabla 3.1. Tipos de funciones Kernel

Funcion Kernel Tipo de clasificador

K(xi, xj) = xTi xj Lineal.

K(xi, xj) = e(−||xi−xj ||2) Funcion de base radial (Gaussiano).

K(xi, xj) = (xTi xj + 1)d Polinomial completo de grado d entero positivo.K(xi, xj) = tanh(p1x

Ti xj + p2) Sigmoide o perceptron multicapa con p1 > 0 y p2 < 0.

K(xi, xj) = 1√||xi−xj ||2+β

Funcion multicuadratica inversa.

De las funciones presentadas, se puede observar que la funcion de kernel define unafuncion de similitud entre dos muestras. Siendo este el valor que se requiere tanto parala solucion del SVM (3.33a), como para despues aplicarlo en la funcion de clasificacion(3.33c). Por otro lado, las funciones kernel introducen nuevos parametros, como p1, p2 yβ, cuyos valores optimos se encuentran durante el aprendizaje del clasificador utilizandovalidacion cruzada.

3.3.2. AdaBoost (adaptative boosting)

AdaBoost, o adaptative boosting, consiste en un algoritmo de aprendizaje de maquinaque tiene como principio de operacion un metodo general denominado Boosting,mediante el cual se mejora la precision de cualquier algoritmo de aprendizaje por mediode la creacion de un clasificador fuerte a partir de una serie de clasificadores debiles [83].Para esto, se realiza la construccion de un modelo a partir de los datos de entrenamiento,luego se crea un segundo modelo que intenta corregir los errores del primer modelo.Finalmente, ambos modelos se unen hasta que el conjunto de entrenamiento se prediceperfectamente o un numero maximo de modelos han sido agregados [84].

Boosting se basa en que encontrar muchas reglas aproximadas puede ser mucho masfacil que encontrar una unica regla de prediccion muy precisa. Para aplicar Boostingse debe iniciar con un metodo o algoritmo mediante el cual encontrar dichas reglas


aproximadas. El algoritmo basado en Boosting hace un llamado de estos algoritmosde aprendizaje “debiles” o “de base” en repetidas ocasiones, siempre que se le da unsubconjunto diferente de los ejemplos de entrenamiento. Cada vez que es llamado, elalgoritmo de aprendizaje de base genera una nueva regla de prediccion debil, y luegode varias rondas, el algoritmo Boosting debe combinar estas reglas debiles en una unicaregla de prediccion que, se espera, sera mucho mas precisa que cualquier otra de lasreglas debiles [85].

Tal y como se ha mencionado, se requiere de un algoritmo que este basado en Boostingpara implementar el proceso descrito anteriormente. Se han propuestos varios, entreellos, el de mayor renombre es AdaBoost, propuesto por Schapire y Freund en 1995[83], como un metodo general para generar un clasificador “fuerte” a partir de unconjunto de clasificadores “debiles”. Este algoritmo puede ser utilizado para reducirsignificativamente el error de cualquier algoritmo de aprendizaje que, consistentemente,genera clasificadores cuyo rendimiento es un poco mejor que la prediccion aleatoria [84].

La premisa bajo la cual fue propuesto AdaBoost es que “dos cabezas son mejores queuna”, de modo que, la esencia del aprendizaje combinado y el viejo dicho es coincidenteya que producir una gran cantidad de clasificadores “debiles” y combinarlos bajo ciertasreglas para obtener un unico clasificador “fuerte”, generara excelente resultados declasificacion [86]. De este modo, AdaBoost es considerado el clasificador de mayor exitoen el aprendizaje combinado o de conjunto y corresponde a la tecnica del algoritmode aprendizaje de maquina en la cual el “clasificador debil” es aprendiz, y cuyosresultados de la clasificacion seran cercanos a los de las etiquetas reales, mientras queun “clasificador fuerte” contendra resultados cuya coincidencia, con las etiquetas reales,sera perfecta [87].

De este modo, mediante AdaBoost, los clasificadores debiles son seleccionadosde forma iterativa a partir de un numero de clasificadores debiles candidatos,posteriormente son combinados de forma lineal para formar un clasificador fuerte. Paraello, el conjunto de clasificadores debiles se expresa de la siguiente forma [88]:

H = {hf} (3.34)

Por otro lado, el conjunto de datos de la muestra de entrenamiento se expresa ası:

{(x1, y1), . . . , (xi, yi), . . . , (xn, yn)} (3.35)

donde, xi representa el i-esimo vector de caracterısticas; yi ∈ {+1,−1} es la etiquetadel i-esimo vector de caracterısticas, que indica si el vector de caracterısticas presentaun comportamiento u otro; y n es el tamano del conjunto de datos.

Por otra parte, {w1, . . . , wi, . . . , wn} corresponde a los pesos de las muestras queindican el grado de importancia de las muestras y, en terminos estadısticos, representan


una estimacion de la distribucion de la muestra. Seguidamente, el procedimiento deAdaBoost, expuesto en [88], se describe de la siguiente forma:

1. Inicializar los pesos, wi(1) = 1/n (i = 1, . . . , n) satisfaciendo la condicion∑ni=1wi(1) = 1.

2. Examinar para t = 1, . . . , T lo siguiente:

a. Establecer εj como la suma de los errores de clasificacion ponderados paralos clasificadores debiles hj.

εj =n∑i=1

wi(t)[yi 6= hj(xi)] (3.36)

Escoger, a partir de los clasificadores debiles construidos, el clasificador debil,h(t), que minimiza la suma de los errores de clasificacion ponderados, del siguientemodo:

h(t) = arg minhj∈H

εj (3.37)

b. Calcular la suma de los errores de clasificacion ponderados, ε(t), para elclasificador debil, h(t), que ha sido escogido.

c. Establecer

α(t) =1

2log

(1− ε(t)ε(t)

)(3.38)

d. Actualizar los pesos de la siguiente forma:

wi(t+ 1) =wi(t) exp(−α(t)yih(t)(xi))

Z(t)(3.39)

donde, Z(t) corresponde a un factor de normalizacion que se define ası:

Z(t) =n∑k=1

wk(t) exp(−α(t)yih(t)(xk)) (3.40)

3. Finalmente, el clasificador fuerte se define por:

H(x) = sgn

(T∑t=1

α(t)h(t)(x)

)(3.41)

De este procedimiento, en el paso dos, se puede observar que los pasos siguientesse ejecutaran por t = 1, . . . , T , siendo T el numero de ciclos de aprendizaje para losclasificadores debiles.

Finalmente, entre las ventajas que presenta AdaBoost como procedimiento declasificacion se pueden mencionar [88]:


∗ Corrige las clasificaciones erroneas que realizan los clasificadores debiles, porlo tanto, es menos susceptible a overfitting comparado con la mayorıa de losalgoritmos de aprendizaje.

∗ Existen conjuntos de datos reales que pueden presentar diversos tipos decaracterısticas, lo cual dificulta encontrar relaciones entre ellas. Es por ello que,mediante la combinacion de clasificadores debiles, aplicada a diversos tipos decaracterısticas, en la construccion de clasificadores fuertes, hace que la relacionentre las caracterısticas diversas sea manejada de forma natural sin necesidad deconversiones entre estas.

∗ Si se usan clasificadores debiles simples, AdaBoost resultara un algoritmo rapido.Lo anterior lo convierte en uno de los algoritmos mas populares en el area dereconocimiento de patrones.

3.3.3. Arboles de decision

Los arboles de decision corresponden a un modelo predictivo que se emplea para elaprendizaje de maquina con el objetivo de predecir el valor de una variable destino enfuncion de diversas variables de entrada [89]. A su vez, se refiere tanto a un modeloconcreto de decision, utilizado para apoyar la toma de decisiones, como a un metodopara construir dichos modelos automaticamente a partir de datos. Por un lado, comomodelo, los arboles de decision se refieren a una estructura concreta de informaciono conocimiento, que sirve para dar soporte en la toma de decisiones en tareas declasificacion y regresion. Por otro lado, como metodo, comprende varias tecnicas paraconstruir modelos de arboles de decision de forma automatizada empleando algoritmosy medidas de diversas areas, como la estadıstica, el aprendizaje de maquina y lainteligencia artificial [90].

Debido a las ventajas sustanciales de flexibilidad, intuicion, sencillez y eficienciacomputacional que presentan, las tecnicas de aprendizaje basadas en arboles de decisionse han utilizado con exito para resolver una amplia gama de problemas de clasificacion.Segun Friedl y Brodley en [91], los arboles de decision se definen como un procedimientode clasificacion que divide, de forma recursiva, un conjunto de datos (o espacio decaracterısticas) en subdivisiones mas pequenas basandose en un conjunto de pruebasdefinidas.

La estructura representativa de los arboles de decision esta compuesta de nodos yramas que conectan los nodos [92]. Se distinguen dos tipos de nodos basicos: nodoshoja y nodos no-hoja (el nodo raız es un nodo no-hoja especial). Por un lado, cadanodo no-hoja, tambien conocido como nodo terminal, es etiquetado con un atributo ouna pregunta y las ramas que emanan de este tipo de nodo corresponden a los posibles


valores del atributo o las respuestas a la pregunta. Por otro lado, los nodos hoja sonetiquetados con una clase o categorıa [90].

En la Figura 3.15, de [90], se ilustra una estructura de un arbol de decision basado enun ejemplo simple de asignacion de tıtulo al nombre, el cual, por un lado, contiene tresnodos hoja con las etiquetas Senor, Senora y Senorita; y dos nodos no-hoja identificadoscon los atributos Genero (este es el nodo raız) y Estado civil. Por otro lado, las ramasson etiquetadas con los valores de los atributos correspondientes: masculino y femenino(para el atributo Genero); casado y no casado (para el atributo Estado civil).

Cabe destacar que, un arbol de decision cuyos nodos hoja son identificados conetiquetas de clase discretas se denomina arbol de clasificacion. Caso contrario, si seemplean valores continuos o rangos de valores, se denomina arbol de regresion [90]. Asu vez, una estructura de arbol de decision representa un grafo acıclico dirigido quesatisface las siguientes propiedades:

1. Hay exactamente un nodo, denominado la raız, en el cual no entran bordes(ramas).

2. Cada nodo, diferente de la raız, tiene exactamente un borde entrante (rama).

3. Existe un unico camino desde la raız a cada uno de los otros nodos.

Tambien, cada camino desde el nodo raız a un nodo hoja puede ser interpretadocomo una regla de decision, la cual contiene una condicion y su parte de conclusioncorrespondiente. Esto puede ser expresado mediante la notacion IF-THEN o el sımbolopara implicacion logica, de la siguiente forma [90]:

IF condicion THEN conclusion

condicion⇒ conclusion

Para lo cual, si la informacion de entrada cumple con todas las condiciones descritas,se afirma la conclusion correspondiente. Por lo tanto, la estructura de decision se puedeformular como un conjunto de reglas de decision, como se ilustra en la Figura 3.15, de[90].

Es importante mencionar que, normalmente, los arboles de decision se visualizan conel nodo raız en la parte superior y los nodos-hoja en la parte inferior, como se ilustraen la Figura 3.15. Sin embargo, es posible encontrar estructuras con el nodo raız en laparte inferior del diagrama y los nodos-hoja en la parte superior.


Figura 3.15. Arbol de decision sencillo que facilita la tarea de clasificacion para asignacionde tıtulo al nombre [83].

3.3.3.1. Construccion de los arboles de decision

Existen dos enfoques basico para la construccion de arboles de decision. En primerlugar, se pueden generar de forma manual, pero este es un procedimiento que requieretiempo y un esfuerzo considerable. En segundo lugar, los arboles de decision se puedenconstruir, automaticamente, a partir de los datos disponibles mediante algoritmosadecuados de aprendizaje de maquina, para lo cual se requieren de dos pasos basicos,que son:

1. Obtener los datos del problema que involucra la toma de decisiones o fenomenoestudiado.

2. Deducir el arbol de decision (o el equivalente conjunto de reglas de decision)mediante un proceso inductivo que generaliza a partir de los datos.

Para el proceso de construccion del arbol de decision, el algoritmo de aprendizajedetermina, a partir de los datos o instancias, que atributo debe colocarse en el nodo raız,con lo cual proporciona una idea del atributo que tiene la influencia mas fuerte, respectoa los datos o instancias subyacentes. De este modo, el aprendizaje por arboles de decision


generaliza a partir de las observaciones, mediante un proceso de induccion que tomacomo entrada un conjunto de observaciones especıficas o instancias, y genera sobreellas, reglas generales. Para facilitar el aprendizaje automatizado, las observaciones oinstancias de aprendizaje (denominadas conjunto de entrenamiento) suelen expresarseen una tabla, donde una fila representa una instancia y una columna representa, o unatributo y sus valores, o las etiquetas de clase [90].

Haciendo uso de las instancias de entrenamiento como entrada, el algoritmo deaprendizaje genera un modelo de arboles de decision por medio de la division recursivade las instancias a traves de los siguientes pasos principales [90]:

1. Inicializar. Proporciona el conjunto completo de observaciones (conjunto deentrenamiento) como entrada al algoritmo de aprendizaje del arbol de decision.

2. Analizar atributos. Determina el atributo que produce el grupo o particion masuniforme de instancias basado en la etiqueta de clase de las instancias.

3. Crear el nodo. Si se alcanza el umbral de uniformidad predefinido, crea un nodohoja y lo etiqueta con el rotulo de la clase correspondiente. De lo contrario, creaun nodo no-hoja que prueba el atributo, asigna a ese nodo los datos de la particioncorrespondiente y regresa al paso dos.

El resultado final del procedimiento de aprendizaje del arbol de decision descritoanteriormente es un modelo de arbol de decision en el que la totalidad, o la mayorıa, delos datos de un nodo hoja muestran la misma etiqueta de clase. Por otro lado, un reto enel aprendizaje de arboles de decision es maximizar la uniformidad o pureza de los datosasignados a los nodos hoja del modelo, asegurando, a su vez, que el modelo generalizabien a datos invisibles, es decir, datos que no aparecen en el conjunto de entrenamiento.Lo cual se conoce como habilidad de generalizacion o sesgo de compensacion [90].

En resumen, la asignacion del atributo al nodo considerado es la parte crucial delalgoritmo de construccion del arbol de decision. Por lo general, la eleccion del atributo sebasa en medidas de uniformidad, pureza y homogeneidad, de referencia para el procesodescrito previamente, y que se calculan sobre el correspondiente conjunto de datos deentrenamiento. Entre estas medidas se encuentran: ganancia de informacion (basadoen la teorıa de la informacion o entropıa de Shannon), impureza de Gini, reduccion dela varianza y distancia de Kolmogorov-Smirnov [93]. Existen dos tipos de arboles dedecision: binario y no binario. Para el caso binario, los nodos se dividen en dos nodossecundarios y las ramas son etiquetadas por algunos subconjuntos complementarios delgrupo de posibles valores para los atributos. Para el caso no binario, los nodos se dividenen la misma cantidad de nodos como posibles valores para que los atributos existan ycada rama se etiqueta con cada valor posible.


Existen diversos algoritmos de aprendizaje de arboles de decision, los cuales difierenen dos topicos: tipo de arbol (binario o no binario) y tipo de medida. Algunos de estosalgoritmos son:

1. ID3 (iterative dichotomiser 3 ), propuesto por Quinlan en 1986 [92], producearboles no binarios. Emplea la teorıa de informacion (o entropıa de Shannon) comomedida de impureza, por lo que, la funcion de medicion se denomina ganancia deinformacion [93]. A traves de este procedimiento se obtiene el algoritmo basicode particion recursiva para un numero arbitrario de clases y para atributos convalores discretos

2. C4.5 (sucesor de ID3 y su version actualizada), propuesto por Quinlan en 1993,[94], tambien se basa en la entropıa de informacion de Shannon. Mediante estealgoritmo es propuesta una funcion adicional denominada informacion dividida,que toma valores altos para atributos con grandes dominios [93]. Ademas, C4.5incorpora varias mejoras de significativa importancia, las cuales son necesariaspara abordar problemas reales, incluyendo el manejo de valores numericos yatributos faltantes, evitar overfitting y mejorar la escalabilidad [95].

Cabe destacar que, ambos algoritmos (ID3 y C4.5), eligen la prueba que extrae lacantidad maxima de informacion de un conjunto de casos, dada la restriccion de quesolo se probara un atributo [96].

3. CART (classification and regression tree), propuesto por Breiman et. al en 1984[23]. Mediante este algoritmo se construyen arboles de decision binarios, paraello se divide un nodo en dos nodos secundarios repetidamente, comenzandocon el nodo raız que contiene toda la muestra de aprendizaje. El algoritmoemplea el ındice economico de Gini como criterio para elegir las mejores variablescaracterısticas [97].

Los arboles de decision tambien son usados con frecuencia como parte de metodoscompuestos, entre ellos random forests [98], o AdaBoost [83].

Para concluir, los metodos presentados previamente se adaptan adecuadamente alos requerimientos de este trabajo de investigacion, especıficamente para el tratamientode las senales de vibracion. Lo anterior debido a que, en primer lugar, con CEEMD esposible extraer los modos de oscilacion intrınsecos presentes en las senales de vibracion.Con la extraccion de estos modos se obtienen dos ventajas de singular importancia. Porun lado, se genera una mayor cantidad de muestras de una misma senal para futurasinferencias estadısticas. Por otro lado, cada modo contiene informacion especıficareferente al comportamiento de la senal, lo cual, sumado al proceso de extraccion decaracterısticas, permite establecer un patron de comportamiento de cada condicion de


operacion del motor estudiada. En segundo lugar, con la extraccion de caracterısticasse obtiene un vector de valores representativos de las senales de vibracion del motor,que sirven para la validacion a realizar en la siguiente etapa. Finalmente, mediante losalgoritmos de clasificacion y el vector de caracterısticas, obtenido en la etapa anterior,se identifican y etiquetan las diferentes condiciones de operacion estudiadas, ademas,se valida la seleccion de caracterısticas y se aprueba la pertinencia de la metodologıapropuesta para un futuro conjunto de datos. El procedimiento de aplicacion de estosmetodos, a senales de vibracion reales, se muestra a continuacion en el siguiente capıtulo.

Capıtulo 4

Descripcion del procedimientopropuesto

La deteccion de fallas en motores de induccion es objeto de estudio continuo para losprocedimientos de vigilancia y control de la maquinaria en la industria. Una metodologıaadecuada para la inspeccion de los motores, evitarıa perdida de tiempos en la producciony aumento de los costos por reparacion de equipos. Tambien, para el mantenimientopreventivo de los motores es una ventaja contar con estos procedimientos puesto quese reducen los tiempos de paradas programadas.

Para el desarrollo de procedimientos de deteccion de fallas se requiere de unestudio detallado de las caracterısticas de los motores bajo determinadas condicionesde operacion. Las senales de vibracion de un motor estan compuestas por la sumade las vibraciones de cada una de las partes que lo conforman. Por medio de estassenales, se pueden estudiar las caracterısticas dinamicas de los motores [19]. Por esarazon, dichas senales se emplean en los procedimientos de vigilancia y control de lacondicion de trabajo de estas maquinas, y tambien para la deteccion de fallas quepudieran presentar.

En lo concerniente a esta investigacion, un procedimiento para la deteccion de fallasen motores de induccion es propuesto, para ello se emplean las senales de vibracion deun motor con diferentes condiciones de operacion: sano, con barra rota, con desbalancede carga y con defecto en rodamientos, ademas de la combinacion de estas ultimastres. La metodologıa propuesta consiste en tres etapas, en las cuales se procesan yanalizan las senales de vibracion para el logro de los objetivos planteados. En primerlugar, se realiza la descomposicion de las senales. Seguidamente, se extraen, de cadasenal descompuesta, un parametro de complejidad y varios parametros estadısticos (deposicion, de dispersion y de forma) para construir con ellos un vector de caracterısticasque resuma la informacion contenida en las senales. Finalmente, se usa ese vector

51

CAPITULO 4. DESCRIPCION DEL PROCEDIMIENTO PROPUESTO 52

de caracterısticas como entrada a tres clasificadores para identificar y etiquetar lasfallas. En el diagrama de bloques de la Figura 4.1, se muestra un esquema general delprocedimiento.

Figura 4.1. Procedimiento propuesto.

Las etapas de la Figura 4.1 se describen a continuacion:

4.1. Sistema de adquisicion de datos

Las senales de vibracion que se usaron son las provenientes de los tres ejes (Ax, Ayy Az) de un motor de induccion trifasico modelo WEG 00136APE48T, con capacidadde 1 hp, dos polos, 28 barras y alimentado por una fuente de CA de 220 V a 60Hz. Un alternador ordinario, que representa el 25 % de la carga total del motor, seempleo como carga mecanica. Para la adquisicion de las senales de vibracion fueusado un acelerometro triaxial modelo LIS3L02AS4, basado en la tecnologıa MEMS(Micro-Electro-Mechanical Systems), fabricado por STMicroelectronics.

El sistema de adquisicion de datos constaba de un convertidor analogico-digital de 12bits, cuatro canales, con salida serial, modelo ADS7841. El sistema de instrumentacionempleaba una frecuencia de muestreo de 1.5 kHz para obtener 4096 muestras (encada eje) durante la etapa del transitorio de arranque del motor. Para sincronizar laadquisicion de datos con el encendido y apagado del motor, este fue controlado porun rele. Ademas, para adquirir las senales se realizaron 20 pruebas por condicion deoperacion y por eje del motor, para ocho condiciones de operacion (siete fallas y la


condicion sano) y tres ejes (x, y y z ). De este modo, se obtuvieron un total de 480senales, clasificadas por condicion, eje y numero de prueba como se observa en la Tabla4.1.

Tabla 4.1. Senales obtenidas en la adquisicion.

No condicionEjes

x y z

1. BRPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

2. BR DCPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

3. BR DC DRPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

4. BR DRPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

5. DCPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

6. DRPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

7. DR DCPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

8. HLTPrueba1, . . . , P rueba1, . . . , P rueba1, . . . ,P rueba20 Prueba20 Prueba20

De la Tabla 4.1, HLT hace referencia a la condicion sano, BR a la condicion barrarota, DC a la condicion desbalance de carga y DR a la condicion defecto en rodamientos.Seguidamente, y con la finalidad de extraer las senales de vibracion para cada condicion,las fallas fueron artificialmente inducidas en las partes del motor correspondientes(barras del rotor, eje de rotacion y rodamientos) de la siguiente forma:

Fallas individuales

La condicion de barra rota (BR) se produjo artificialmente mediante la perforacionde un hoyo de 2.0 mm de diametro para causar una rotura parcial de la barra. La Figura4.2a muestra el rotor con una barra rota usado durante la adquisicion de las senales.Para el caso de la condicion de falla por defecto en rodamientos (DR), se perforo unhoyo de 1.19 mm de diametro en el anillo externo del rodamiento, para lo cual se empleouna broca de tungsteno. En la Figura 4.2b se muestra el dano artificial que se le hizoal rodamiento. La condicion de desbalance de carga (DC ) se produjo anadiendo unamasa a una polea del motor. En la Figura 4.2c, se puede observar como queda la poleacon la masa anadida.


Figura 4.2. Fallas inducidas artificialmente a) Barra rota (BR), b) Defecto en rodamientos(DR), c) Desbalance de carga (DC).

Fallas multiples y combinadas

Las fallas multiples y combinadas se obtuvieron mezclando cada falla individual conuna o dos de las fallas restantes. Por tanto, se obtuvieron senales para la siguientescombinaciones: barra rota con desbalance de carga (BR DC); barra rota con defectoen rodamientos (BR DR); defecto en rodamientos con desbalance de carga (DR DC);barra rota con desbalance de carga y con defecto en rodamientos (BR DC DR). En laFigura 4.3 se muestran las diferentes combinaciones para las fallas multiples.

Figura 4.3. Fallas multiples y combinadas.


4.2. Descomposicion de las senales de vibracion

La descomposicion de las senales se realizo con la finalidad de obtener los modos deoscilacion intrınsecos, fısicamente significativos, de las senales de vibracion del motor.El metodo de descomposicion usado fue el de CEEMD. En este procedimiento fueronusadas las 480 senales de vibracion, las cuales, como se habıa mencionado, estanclasificadas por condicion, eje y numero de prueba.

El algoritmo para la descomposicion de las senales mediante CEEMD fue presentadoen el ICASSP-11 (International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing,2011 ) por Torres et al. en [14] y se encuentra disponible de forma gratuita para su usoen Matlab R© en [99]. El algoritmo es llamado desde su funcion principal, ceemd.m,desde la cual se obtienen los modos de la senal, la forma de usarla es la siguiente:

[modes its] = ceemd(x,Nstd,NR,MaxIter);

donde, “modes” contiene en forma de matriz, los modos fısicamente significativos quese obtuvieron de la descomposicion, cada columna de esta matriz es un modo. Por suparte, “its” es el numero de iteraciones del proceso sifting por cada modo por cadarealizacion (una columna para cada realizacion). Los parametros de la funcion son lossiguientes:

∗ x: senal que se quiere descomponer.

∗ Nstd: desviacion estandar del ruido anadido.

∗ NR: numero de realizaciones o cantidad de veces que se realiza la descomposicionpara encontrar los modos correctos.

∗ MaxIter: numero maximo de iteraciones permitidas para el proceso sifting.

Un esquema general del procedimiento que se realiza mediante CEEMD se muestraa continuacion:


Figura 4.4. Esquema general del proceso de descomposicion de las senales de vibracion paracada condicion.

Como se menciono previamente, en el procedimiento de captura de las senales, seobtuvieron un total de 480 senales de vibracion clasificadas por condicion, eje y numerode prueba. A cada una de estas 480 senales se les realizo la descomposicion, para locual el algoritmo determina, de acuerdo a las condiciones que debe cumplir una IMF,cuantos modos obtener. Tal como se observa en el diagrama de la Figura 4.4, se obtienensiete modos para cada senal.

4.3. Extraccion de caracterısticas

El proceso de extraccion de caracterısticas consiste en representar las medidasoriginales de una senal en atributos mas eficaces, los cuales resumen la cantidadde recursos que se requieren para describir el comportamiento de las senales devibracion del motor. Por lo tanto, y considerando que los modos de oscilacion obtenidosmediante el proceso de descomposicion no dejan ver, de forma directa, las caracterısticasrelevantes e identificativas de las senales; sino que cada uno de ellos es una parteintrınseca de la senal de vibracion original; varios parametros estadısticos (de posicion,de dispersion y de forma) y un parametro de complejidad (la entropıa) son calculadosa partir de cada uno de estos modos de oscilacion, para construir un vector decaracterısticas que resuma, de forma eficaz, los atributos que presentan las senalesde vibracion obtenidas con cada condicion de operacion del motor.

Entre el conjunto de parametros estadısticos considerados, se encuentran:

∗ De posicion: la media.

∗ De dispersion: la desviacion estandar.

∗ De forma: el coeficiente de asimetrıa y el coeficiente de curtosis o apuntamiento.


Un esquema de este proceso se muestra a continuacion en la Figura 4.5.

Figura 4.5. Esquema general del proceso de extraccion de caracterısticas.

En el esquema de la Figura 4.5 se observa que cada parametro (estadıstico y decomplejidad) fue calculado a partir de cada uno de los siete modos correspondientes acada senal de vibracion obtenida en cada una de las 20 pruebas realizadas, por eje, aun motor con ocho condiciones de operacion distintas.

Ademas de resumir los recursos que se requieren para describir el comportamientode las senales de vibracion, por medio de estos parametros se construye un patronque identifica si el motor tiene un comportamiento normal o si presenta alguna falla.Por lo tanto, con este patron sera posible determinar si un futuro conjunto de senales,diferentes a las obtenidas, presenta una condicion de operacion u otra.

Tambien, este procesamiento estadıstico simple esta basado en un analisisdiscriminante que se emplea para identificar el conjunto de caracterısticas robustasque proporcionan la mayor discriminacion entre las categorıas de fallas, representadasmediante las senales de vibracion del motor. Por consiguiente, haciendo uso deciertos criterios de seleccion de caracterısticas, algunos parametros de los calculados,que contengan poca informacion discriminante, seran descartados, resultando en unsubconjunto de caracterısticas con un numero reducido de parametros.


4.4. Clasificacion e identificacion de fallas

El vector de caracterısticas, obtenido a partir de los parametros estadısticos y decomplejidad mencionados previamente, representa el punto de partida para el proceso declasificacion e identificacion de la condicion de operacion del motor. Para este proceso,con la finalidad de obtener suficientes resultados que demuestren la pertinencia delmetodo propuesto, fueron empleados los siguientes tres algoritmos de clasificacion:

1. Maquinas de soporte vectorial (support vector machines, SVMs).

2. Arboles de decision.

3. AdaBoost (adaptative boosting).

Cada uno de estos algoritmos es entrenado para obtener clasificadores con lacapacidad de identificar la condicion de operacion sano, la presencia de alguna fallaindividual o sus posibles combinaciones. El conjunto de datos de entrenamiento paracada algoritmo contiene lo siguiente:

∗ Como variables de entrada: los modos de oscilacion (o IMFs) correspondientes alos parametros estadısticos y de complejidad escogidos en la etapa anterior.

∗ Como salida conocida (u objetivo): las condiciones de operacion del motor, ocho entotal. Cada una de las cuales contiene 20 valores diferentes por variable de entrada,debido a que durante el proceso de adquisicion de senales fueron realizadas 20pruebas.

Siendo ocho salidas conocidas (u objetivos) se requieren clasificadores multiclase, quesoporten conjuntos de datos que no esten linealmente separados. Los tres algoritmosde clasificacion mencionados previamente se ajustan de forma correcta con esterequerimiento. La configuracion de cada algoritmo se realizo empleando las funcionescorrespondientes del toolbox de estadıstica y aprendizaje de maquina de Matlab R© , dela siguiente forma:

4.4.1. Maquinas de soporte vectorial (SVMs)

Para obtener un clasificador multiclase basado en SVMs, se llevaron a cabo lossiguientes pasos:


1. Definir la plantilla de aprendizaje que requiere el algoritmo SVM. En este casose consideran conjuntos de datos no linealmente separables, para lo cual se usa eltruco del kernel. Se especifica mediante el comando de Matlab “templateSVM”,de la siguiente forma:

svm temp = templateSVM(’KernelFunction’,’polynomial’,...

’PolynomialOrder’,3);

donde, “svm temp” es la plantilla de aprendizaje y los parametros de la funcionson los siguientes:

∗ ’KernelFunction’: indica que se va a definir una funcion detransformacion (funcion kernel) para tratar con conjuntos de datos nolinealmente separables.

∗ ’polynomial’: hace referencia al tipo de funcion kernel a utilizar, la cualrequiere de un grado (tal y como se mostro previamente en la Tabla 3.1).

∗ ’PolynomialOrder’,3: se usa para definir el grado de la funcion kernel.

2. Definir los parametros para entrenar el algoritmo. En este caso se emplea lafuncion “fitcecoc” que retorna un clasificador basado en el modelo de codigosde salida de correccion de errores (error-correcting output codes, ECOC) para elaprendizaje multiclase. Este modelo reduce el problema de clasificacion de tres omas clases a un conjunto de clasificadores binarios [100]. La funcion se define dela siguiente forma:

Model = fitcecoc(mt valsel,v,’Learners’,svm temp);

donde, “Model” corresponde al modelo de clasificacion basado en ECOC y losparametros definidos para esta funcion son los siguientes:

∗ mt valsel: corresponde al conjunto de datos de entrenamiento.

∗ v: es un vector columna que contiene las etiquetas de clases, es decir, de lasocho condiciones de operacion para las cuales se entrena el clasificador.

∗ ’Learners’: indica que los clasificadores binarios, del modelo ECOC,deben usar la plantilla de aprendizaje svm temp.

4.4.2. AdaBoost

Para obtener un clasificador multiclase, basado en AdaBoost, el unico paso consistioen lo siguiente:


Definir el modelo de clasificacion. Se realiza mediante la funcion“fitensemble”, la cual retorna un modelo entrenado con multiples algoritmosde aprendizaje para clasificacion o regresion. Los requerimientos fueronespecificados con los siguientes parametros:

model ada = fitensemble(mt valsel,v,’Bag’,T,’Tree’,...

’Type’,’Classification’);

donde, “model ada” es el modelo de clasificacion y los parametros de la funcionson:

∗ mt valsel y v: son los datos de entrenamiento y las etiquetas de clases,respectivamente.

∗ ’Bag’: define el metodo para unir los clasificadores debiles, los cualestendran T ciclos de aprendizaje.

∗ ’Tree’: para definir el tipo de clasificadores debiles a utilizar.

∗ ’Type’,’Classification’: indica que la tarea a realizar es laclasificacion.

4.4.3. Arboles de decision

Para obtener un clasificador basado en arboles de decision se realizo lo siguiente:

Definir el clasificador. Se realiza empleando la funcion “fitctree”, la cualprovee un clasificador basado en arboles de decision para clasificacion multiclase.Los parametros especificados fueron los siguientes:

Model adec = fitctree(mt valsel,v);

donde, “mt valsel” y “v” son los datos de entrenamiento y las etiquetas declases, respectivamente.

Los resultados obtenidos luego de realizar los procedimientos descritos previamente,se muestran a continuacion en el siguiente capıtulo.

Capıtulo 5

Resultados

La deteccion temprana de fallas en motores de induccion actualmente representauna tarea de alta demanda, debido a la importancia de estas maquinas en la industria.Muchos son los eventos indeseados que se evitarıan, gracias a un correcto procedimientode deteccion y prevencion de fallas no solo de los motores, sino de toda la maquinaria dela industria en general. En particular, la metodologıa propuesta en este trabajo permitela correcta deteccion de ocho condiciones de operacion de los motores de induccion.

El desarrollo de este capıtulo esta enfocado en la presentacion de los resultadosobtenidos luego de aplicar el procedimiento propuesto en esta investigacion. Parallevar a cabo cada paso de la metodologıa, fueron empleadas las senales de vibracioncorrespondientes a las ocho condiciones de operacion de un motor de induccion trifasico,las cuales son, siete condiciones de falla y una condicion de motor sano. Las senales seobtuvieron de un banco de prueba en el cual fueron realizadas 20 pruebas con la finalidadde tener una mayor cantidad de muestras ya que, siguiendo la estadıstica, mientrasmayor es el numero de muestras en una poblacion, mejores resultan las inferenciashechas a partir de los calculos estadısticos.

La estructura del capıtulo se divide en tres etapas de acuerdo a la metodologıapropuesta. Se presentan, en primer lugar, los resultados concernientes a ladescomposicion de las senales de vibracion mediante CEEMD. Seguidamente, los datosde la extraccion de caracterısticas de los modos obtenidos en la descomposicion. Y porultimo, las matrices de confusion referentes al proceso de clasificacion e identificacionde las fallas. A continuacion, se desarrollan las etapas previamente mencionadas.

61

CAPITULO 5. RESULTADOS 62

5.1. Descomposicion de las senales de vibracion

A partir del metodo de descomposicion, CEEMD, aplicado a las senales de vibracion,de cada condicion del motor, se obtuvieron los diferentes modos de oscilacion intrınsecos(IMFs). Se obtuvieron siete modos en total, el primero de ellos contiene el modo deoscilacion mas rapido de la senal original y el ultimo contiene el mas lento. A su vez, estoscontienen informacion de gran utilidad con la cual es posible establecer un patron parala clasificacion e identificacion de fallas en motores. Los valores de cada descomposicionse guardan en una matriz de 4096 × 7, una columna por modo, cada uno de 4096muestras de longitud.

En la Figura 5.1 se muestra la senal de vibracion correspondiente a la condicionde falla multiple, barra rota con desbalance de carga y defecto en rodamientos.Seguidamente, en la Figura 5.2, se muestran los modos obtenidos luego de aplicar ladescomposicion a la senal de vibracion de la Figura 5.1.

Tiempo [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

m/s

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

Señal de vibración

Condición: BR_DC_DR

Figura 5.1. Senal de vibracion del motor con condicion BR DC DR.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

1

[m/s

2]

-10

0

10

CEEMD

Condición: BR_DC_DR

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

2

[m/s

2]

-505

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

3

[m/s

2]

-505

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

4

[m/s

2]

-505

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

5

[m/s

2]

-202

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

6

[m/s

2]

-101

Tiempo [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

IMF

7

[m/s

2]

-101

Figura 5.2. Descomposicion de la senal de vibracion del motor con condicion BR DC DR.

Todas las senales de vibracion, de cada condicion, fueron descompuestas a laforma que se observa en la Figura 5.2, de las cuales se obtuvieron 3300 modos,aproximadamente. En resumen, son siete modos por condicion, eje y numero de prueba.


5.2. Extraccion de caracterısticas - Resultados

A traves de diversas investigaciones se ha podido constatar que, por medio deun conjunto de caracterısticas, es posible representar completamente la informacioncontenida en las senales de vibracion referentes a fallas en motores de induccion. Y conesta informacion, proveer un diagnostico completo de la condicion de operacion de estetipo de motores [101].

En esta investigacion, con la finalidad de crear un vector de caracterısticasrepresentativo de la informacion contenida en los modos de oscilacion obtenidos durantela descomposicion, fue extraıdo un conjunto de parametros el cual estuvo compuestode parametros estadısticos como la media, la desviacion estandar, el coeficiente deasimetrıa y el coeficiente de curtosis o apuntamiento, ası como tambien de la entropıacomo parametro de complejidad.

Todos estos parametros fueron evaluados considerando cuan separados entre sı seencontraban los valores correspondientes a las condiciones de operacion del motor quese estan tratando. De este modo, por medio de este grado de separacion es posibleidentificar si la caracterıstica (o parametro) sirve como un buen factor discriminante ono en el proceso de clasificacion e identificacion de fallas con otras senales diferentes.En base a esto, unos parametros fueron seleccionados para formar parte del vector decaracterısticas mientras que otros se descartaron.

Para representar estos valores fueron usadas campanas gaussianas debido a que,con estas graficas, ademas de observar la distribucion de los valores alrededor de suvalor medio, se puede apreciar cuales tienen solapamiento unos con otros y cuales seencuentran mas separados entre sı. Por un lado, para los parametros estadısticos deposicion y de forma se obtuvo lo siguiente:

∗ Media. Presenta valores muy unidos entre sı. A traves de la Figura 5.3 se puedeobservar el comportamiento para cada condicion referente a todos los ejes de unmodo en especıfico. Los demas modos presentan un comportamiento similar. Porlo tanto, este parametro se descarta para el vector de caracterısticas.


Media [m/s2]

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

100

200

300IMF 5, eje x.

Media [m/s2]

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robab

ilida

d

0

200

400

600IMF 5, eje y.

Media [m/s2]

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

200

400IMF 5, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.3. Representacion de los valores del parametro media correspondientes a todos losejes en la IMF 5 de las pruebas realizadas.

∗ Coeficiente de asimetrıa (skewness). Las graficas expuestas en la Figura 5.4 dejanver cuan unidos se encuentran los valores entre cada condicion de operacion. Adiferencia del anterior, y solo en algunos modos, existe un poco mas de separacion.Sin embargo, esta no era suficiente para considerar este parametro como unacaracterıstica con buen factor discriminante.


Coeficiente de asimetría [m/s2]

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

10

20

30IMF 5, eje x.


-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

10

20

30IMF 5, eje y.


-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

10

20

30

IMF 5, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.4. Representacion de los valores del parametro coeficiente de asimetrıacorrespondientes a todos los ejes en la IMF 5 de las pruebas realizadas.

∗ Coeficiente de curtosis o apuntamiento. En este caso, todos los modos presentaronvalores muy unidos entre sı. Una muestra de ello es presentada en la Figura 5.5, enlas cuales se observa el comportamiento de los valores de cada condicion para lostres ejes de un modo en especıfico. En estas graficas, a pesar de que el eje z muestravalores un poco separados, los demas modos presentan un comportamiento masparecido al del eje y. Considerando esto, la curtosis tambien se descarta para elvector de caracterısticas.


Coeficiente de curtosis [m/s2]

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

1

2

3

4IMF 5, eje x.


-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

1

2IMF 5, eje y.


0 1 2 3 4 5 6

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

1

2

3IMF 5, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.5. Representacion de los valores del parametro coeficiente de curtosiscorrespondientes a todos los ejes en la IMF 5 de las pruebas realizadas.

Tomando en cuenta las afirmaciones anteriores, estos tres parametros son descartadosdebido a que puede ser muy forzado para un clasificador identificar a que clase (ocondicion) pertenece una senal diferente si se emplean estos valores como patrones dedecision.

Por otro lado, el parametro estadıstico de dispersion, desviacion estandar, y elparametro de complejidad, entropıa, cuyos valores sı presentaron mayor separacionentre las condiciones de operacion, sı fueron considerados para formar parte del vector


de caracterısticas. Es importante destacar que, aun cuando estos valores presentan unbuen grado de discriminacion, fue aplicado un segundo proceso de seleccion, tambienconsiderando separacion entre condiciones, pero, en este caso, fueron descartadosalgunos modos (o IMFs) y algunos ejes tambien. De forma general, el calculo de estosvalores, las graficas y los resultados obtenidos se muestran a continuacion.

5.2.1. Extraccion de parametro de complejidad. Entropıa.

Para la extraccion de entropıa, se realizo en Matlab R© un algoritmo basado en laEcuacion (3.12), que define la entropıa o teorıa de la informacion de Shannon [65]. Elalgoritmo tiene el siguiente procedimiento:

Figura 5.6. Procedimiento para la extraccion del valor de entropıa de Shannon a cada modoo IMF obtenido en la descomposicion.

Del esquema de la Figura 5.6, en la primera etapa se leen los datos contenidos en elvector columna que contiene los valores numericos de cada modo o IMF. En la segundaetapa, se realiza un redondeo de esos valores con la finalidad de tener valores enterospara el calculo de las probabilidades siguientes. En la tercera etapa, se calculan lasfrecuencias de ocurrencia de cada valor, a traves de un histograma, con la finalidadde obtener un panorama de la distribucion de cada valor con respecto a las muestrasobtenidas. En la cuarta etapa, se calculan las probabilidades de ocurrencia de cada valorde la senal, empleando la definicion basica de probabilidad, numero de casos favorablesentre el numero de casos posibles. Finalmente, se aplica la sumatoria definida en laEcuacion (3.12) para calcular la entropıa de Shannon. Este procedimiento se realiza deforma iterativa a cada modo de cada condicion. Los resultados obtenidos se presentana continuacion.

5.2.1.1. Resultados obtenidos

La entropıa de informacion de Shannon, o simplemente entropıa de informacion,mide el nivel de peculiaridad de las senales o combinaciones. La representacion deeste parametro tambien se realizo mediante campanas gaussianas, pero en este caso


para seleccionar cuales IMFs eran las mas apropiados para formar parte del vector decaracterısticas. Para comenzar, en la Tabla 5.1, se presentan los valores de media ydesviacion estandar, requeridos para construir las campanas gaussianas, referentes acada condicion de operacion del motor, cada eje, y a la IMF 1.

Tabla 5.1. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de entropıa en la IMF 1 de laspruebas realizadas.

No condicionEjes

x y z

1. BRµ = 10,4772 µ = 10,5902 µ = 11,0059σ = 0,0925 σ = 0,1356 σ = 0,0242

2. BR DCµ = 10,9482 µ = 10,9736 µ = 11,0573σ = 0,0355 σ = 0,0470 σ = 0,0539

3. BR DC DRµ = 10,9293 µ = 10,9069 µ = 10,9299σ = 0,0510 σ = 0,0318 σ = 0,0588

4. BR DRµ = 10,9174 µ = 10,9096 µ = 10,9307σ = 0,0366 σ = 0,1080 σ = 0,0344

5. DCµ = 10,9525 µ = 10,7084 µ = 10,8841σ = 0,0343 σ = 0,0465 σ = 0,0424

6. DRµ = 10,8328 µ = 10,9123 µ = 11,0355σ = 0,0304 σ = 0,0229 σ = 0,0176

7. DR DCµ = 10,9751 µ = 10,9811 µ = 10,9786σ = 0,0224 σ = 0,0262 σ = 0,0408

8. HLTµ = 10,6752 µ = 10,5028 µ = 10,8σ = 0,1161 σ = 0,0642 σ = 0,0305

La representacion correspondiente a los datos de la Tabla 5.1, se muestra en la Figura5.7. En este caso, los valores de entropıa se encuentran muy cerca unos con otros, portanto, a efectos de un proceso de clasificacion se requieren mas valores para formarun vector de caracterısticas bien definido, para ello se toman en cuenta los valores deentropıa referentes a las IMFs restantes.


Entropía

9.5 10 10.5 11 11.5 12

Funció

n

de d

ensid

ad

de

pro

babili

dad

0

10

20IMF 1, eje x.

Entropía

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

10

20IMF 1, eje y.

Entropía

10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.6

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

10

20

30IMF 1, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.7. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientes atodos los ejes en la IMF 1 de las pruebas realizadas.

Seguidamente, en las Tablas 5.2 y 5.3, se muestran los resultados de la IMF 2.


No condicionEjes

x y z

1. BRµ = 10,48 µ = 10,5902 µ = 11,0059σ = 0,2004 σ = 0,1356 σ = 0,0242



No condicionEjes

x y z

2. BR DCµ = 10,5547 µ = 10,9736 µ = 11,0573σ = 0,0846 σ = 0,0470 σ = 0,0539

3. BR DC DRµ = 10,5044 µ = 10,9069 µ = 10,9299σ = 0,0617 σ = 0,0318 σ = 0,0588

4. BR DRµ = 10,6265 µ = 10,9096 µ = 10,9307σ = 0,0883 σ = 0,1080 σ = 0,0344

5. DCµ = 10,5531 µ = 10,7084 µ = 10,8841σ = 0,0895 σ = 0,0465 σ = 0,0424

6. DRµ = 10,6169 µ = 10,9123 µ = 11,0355σ = 0,0584 σ = 0,0229 σ = 0,0176

7. DR DCµ = 10,5378 µ = 10,9811 µ = 10,9786σ = 0,1149 σ = 0,0262 σ = 0,0408

8. HLTµ = 10,5365 µ = 10,5028 µ = 10,8σ = 0,0558 σ = 0,0642 σ = 0,0305

Las Figuras 5.8 y 5.9 muestran la representacion grafica de los valores de las Tablas5.2 y 5.3. En estos casos, como en el anterior, los valores estan muy cercanos entre sı.La misma situacion ocurre con los valores de todos los ejes de la IMF 3, los ejes x y yde la IMF 4, el eje x de la IMF 5, por lo tanto, estos seran descartados para el procesode clasificacion.

Entropía

8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13

Fu

nció

n

de

densid

ad

de

pro

babili

dad

0

2

4

6

8IMF 2, eje x.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.8. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientesal eje x en la IMF 2 de las pruebas realizadas.


Entropía

9.5 10 10.5 11 11.5 12

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

roba

bili

dad

0

5

10

15IMF 2, eje y.

Entropía

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

dad

0

5

10IMF 2, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.9. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientes alos ejes y y z en la IMF 2 de las pruebas realizadas.

Por otro lado, los valores del eje z de la IMF 4, los ejes y y z de la IMF 5, los detodos los ejes de las IMFs 6 y 7, sı fueron considerados para el vector de caracterısticasdel proceso de clasificacion. Los valores de entropıa correspondientes al eje z de la IMF4, se muestran a continuacion en la Tabla 5.4.

Tabla 5.4. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de entropıa del eje z en la IMF4 de las pruebas realizadas.

No condicion Eje z

1. BR µ = 8,9241 , σ = 0,1407

2. BR DC µ = 10,0136 , σ = 0,0685

3. BR DC DR µ = 10,3607 , σ = 0,1138

4. BR DR µ = 10,5284 , σ = 0,1147

5. DC µ = 10,1324 , σ = 0,1006

6. DR µ = 9,9290 , σ = 0,0945

7. DR DC µ = 10,4240 , σ = 0,1763

8. HLT µ = 9,4750 , σ = 0,0896


Seguidamente, en la Figura 5.10 se muestran las campanas de Gauss correspondientesa los valores de entropıa presentados en la Tabla 5.4.

Entropía

7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

dad

0

2

4

6IMF 4, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.10. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientesal eje z en la IMF 4 de las pruebas realizadas.

En la Figura 5.10, es perceptible que los valores de entropıa se encuentran masseparados entre ellos, por tanto este conjunto de datos sı es mas apropiado para elvector de caracterısticas. A continuacion se muestran los valores de los ejes y y z de laIMF 5.

Tabla 5.5. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de entropıa de los ejes y y z enla IMF 5 de las pruebas realizadas.

No condicionEjes

y z

1. BR µ = 8,5587 , σ = 0,1189 µ = 9,0796 , σ = 0,1064

2. BR DC µ = 9,9229 , σ = 0,1141 µ = 10,5020 , σ = 0,0892

3. BR DC DR µ = 9,8946 , σ = 0,1162 µ = 10,6283 , σ = 0,0865

4. BR DR µ = 9,7082 , σ = 0,0710 µ = 10,0709 , σ = 0,1240

5. DC µ = 9,7305 , σ = 0,2047 µ = 10,7627 , σ = 0,0441

6. DR µ = 9,6807 , σ = 0,0984 µ = 9,6973 , σ = 0,0682

7. DR DC µ = 10,2488 , σ = 0,1327 µ = 10,5620 , σ = 0,1078

8. HLT µ = 9,1737 , σ = 0,1119 µ = 9,1208 , σ = 0,1034

Para los datos presentados en la Tabla 5.5, la representacion es la que se muestra acontinuacion.


Entropía

7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

da

d

0

2

4

6IMF 5, eje y.

Entropía

8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

da

d

0

5

10IMF 5, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.11. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientesa los ejes y y z en la IMF 5 de las pruebas realizadas.

En la Figura 5.11, se observa una mayor separacion de los valores. Sin embargo,hay situaciones como la que se presenta entre las condiciones BR y HLT (curvas azuly negro, respectivamente) del eje z, en las cuales las graficas estan casi solapadas, eneste caso, se puede compensar con la inclusion de los valores del eje y u otros valorescaracterısticos. Los resultados correspondientes a todos los ejes de la IMF 6 se presentana continuacion en las Tablas 5.6 y 5.7.


No condicionEjes

x y z

1. BRµ = 8,6787 µ = 8,0079 µ = 8,4905σ = 0,1632 σ = 0,1438 σ = 0,1564

2. BR DCµ = 9,9548 µ = 9,6210 µ = 9,6621σ = 0,1663 σ = 0,1158 σ = 0,2616

3. BR DC DRµ = 10,2884 µ = 9,6853 µ = 10,1571σ = 0,1182 σ = 0,0819 σ = 0,0907



No condicionEjes

x y z

4. BR DRµ = 9,6504 µ = 9,1259 µ = 9,6036σ = 0,0961 σ = 0,1462 σ = 0,1548

5. DCµ = 9,5673 µ = 9,1290 µ = 9,5991σ = 0,2441 σ = 0,1680 σ = 0,2106

6. DRµ = 9,3006 µ = 9,2195 µ = 9,3292σ = 0,1054 σ = 0,1265 σ = 0,0877

7. DR DCµ = 9,7955 µ = 9,8038 µ = 10,0792σ = 0,0998 σ = 0,0981 σ = 0,1861

8. HLTµ = 8,7151 µ = 8,7406 µ = 8,3792σ = 0,1770 σ = 0,1094 σ = 0,1174

Seguidamente, las Figuras 5.12 y 5.13 muestran la representacion grafica de losvalores referentes a los ejes x y y y al eje z de la IMF 6, respectivamente.

Entropía

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

da

d

0

2

4

6IMF 6, eje x.

Entropía

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

da

d

0

2

4

6IMF 6, eje y.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.12. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientesa los ejes x y y en la IMF 6 de las pruebas realizadas.


Entropía

6 7 8 9 10 11 12 13

Fun

ció

n

de d

en

sid

ad

de p

rob

ab

ilid

ad

0

1

2

3

4

5IMF 6, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.13. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientesal eje z en la IMF 6 de las pruebas realizadas.

Finalmente, para complementar los valores representados en las Figuras 5.12 y 5.13,se muestran en la Tabla 5.8, los valores de entropıa referentes a todos los ejes de la IMF7.


No condicionEjes

x y z

1. BRµ = 8,6290 µ = 8,1089 µ = 8,4870σ = 0,1374 σ = 0,1613 σ = 0,1734

2. BR DCµ = 9,8843 µ = 9,6974 µ = 9,6398σ = 0,0965 σ = 0,1052 σ = 0,1349

3. BR DC DRµ = 9,8829 µ = 9,5024 µ = 9,9538σ = 0,0783 σ = 0,0662 σ = 0,1077

4. BR DRµ = 9,7825 µ = 9,1694 µ = 9,6382σ = 0,0574 σ = 0,0663 σ = 0,1782

5. DCµ = 9,7145 µ = 9,1936 µ = 9,6248σ = 0,0602 σ = 0,0871 σ = 0,1135

6. DRµ = 9,3236 µ = 9,4533 µ = 9,4238σ = 0,0798 σ = 0,0505 σ = 0,0696

7. DR DCµ = 9,9504 µ = 10,0368 µ = 10,0985σ = 0,0712 σ = 0,1634 σ = 0,1517

8. HLTµ = 8,5411 µ = 8,7260 µ = 8,2543σ = 0,0970 σ = 0,1086 σ = 0,1014


Seguidamente, la representacion de estos valores se muestran en la Figura 5.14.

Entropía

8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

Fun

ció

n

de d

en

sid

ad

de p

robab

ilida

d

0

5

10IMF 7, eje x.

Entropía

7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

Fu

nció

n

de

den

sid

ad

de

pro

babili

dad

0

5

10IMF 7, eje y.

Entropía

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

dad

0

2

4

6IMF 7, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.14. Representacion de los valores de la caracterıstica de entropıa correspondientesa todos los ejes en la IMF 7 de las pruebas realizadas.

Como se observa en la Figura 5.14, estos valores de entropıa presentan solapamientode unos con otros. A pesar de esto, el parametro estadıstico de dispersion, la desviacionestandar, presenta un comportamiento favorable que ayuda a complementar los valoresobtenidos con la entropıa. La informacion referente al parametro de desviacion estandarcomo parte del vector de caracterısticas se muestra a continuacion.


5.2.2. Extraccion de parametro estadıstico de dispersion.Desviacion estandar

La medida que se obtiene con el calculo de la desviacion estandar representa el gradode dispersion de los datos con respecto al valor promedio de estos. En este caso, seemplea la desviacion estandar como parametro caracterıstico para complementar, juntocon la entropıa, el vector de caracterısticas representativas que se usa en el proceso declasificacion de las fallas. Para el calculo de la desviacion estandar se empleo la funcionbasica de Matlab R©, std(x), siendo x el vector que contiene los valores de la senalcorrespondiente a cada modo obtenido mediante CEEMD. Para el calculo de este valor,Matlab R© se basa en la formula general definida para la desviacion estandar, que es lasiguiente:

s =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

|Ai − µ|2 (5.1)

donde, A es un vector de variables aleatorias, N es la dimension del vector y µ es elvalor medio de A, el cual se define se la siguiente forma:

µ =1

N

N∑i=1

Ai (5.2)

5.2.2.1. Resultados obtenidos

La desviacion estandar, o desviacion tıpica, fue extraıda a partir de los modoso IMFs obtenidos de la descomposicion con la finalidad de definir otro parametrodescriptivo de la informacion contenida en las senales de vibracion. Los resultados deeste procedimiento se presentan a continuacion. Inicialmente, en las Tablas 5.9 y 5.10,se muestran los valores para la IMF 1.

Tabla 5.9. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandar en la IMF1 de las pruebas realizadas.

No condicionEjes

x y z

1. BRµ = 0,6072 µ = 0,6275 µ = 2,6935σ = 0,0733 σ = 0,0660 σ = 0,2863

2. BR DCµ = 2,2660 µ = 3,1195 µ = 3,6869σ = 0,0664 σ = 0,1831 σ = 0,2306

3. BR DC DRµ = 2,2443 µ = 1,9240 µ = 2,2384σ = 0,0273 σ = 0,0619 σ = 0,1159


Tabla 5.10. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandar en laIMF 1 de las pruebas realizadas.

No condicionEjes

x y z

4. BR DRµ = 1,6679 µ = 1,7431 µ = 2,0088σ = 0,0783 σ = 0,1517 σ = 0,1434

5. DCµ = 1,8034 µ = 1,1659 µ = 1,9514σ = 0,0424 σ = 0,0412 σ = 0,0661

6. DRµ = 1,9521 µ = 2,0374 µ = 3,7111σ = 0,0846 σ = 0,0237 σ = 0,0177

7. DR DCµ = 2,6856 µ = 3,6335 µ = 3,9603σ = 0,0957 σ = 0,2473 σ = 0,1309

8. HLTµ = 0,7614 µ = 0,8854 µ = 1,2472σ = 0,0637 σ = 0,0561 σ = 0,0869

La representacion de estos valores se muestra en las Figuras 5.15 y 5.16 para el ejex y para los ejes y y z, respectivamente. En este caso, al igual que con la entropıa, hayvalores que se sobreponen unos con otros, dificultando, de este modo, escoger cuales soncorrectos para el proceso de clasificacion y cuales no. En este sentido, se han descartadotodos los valores referentes a los tres ejes de la IMF 2 y de la IMF 3, el eje x de la IMF4 y de la IMF 5, el eje z de la IMF 6 y los ejes x y z de la IMF 7.

Desviación estándar [m/s2]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Funció

n

de d

ensid

ad

de p

robabili

da

d

0

5

10

15IMF 1, eje x.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.15. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje x en la IMF 1 de las pruebas realizadas.



-1 0 1 2 3 4 5 6

Fu

nció

n

de d

ensid

ad

de p

roba

bili

dad

0

5

10

15

20IMF 1, eje y.


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Fun

ció

n

de d

ensid

ad

de p

rob

abili

dad

0

10

20

30

IMF 1, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.16. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes a los ejes y y z en la IMF 1 de las pruebas realizadas.

En las Figuras 5.15 y 5.16, se observa que los valores se presentan con mayorseparacion entre sı. Para compensar los que se solapan, fueron utilizados los referentesa los ejes y y z de la IMF 4 y de la IMF 5, los ejes x y y de la IMF 6 y el eje y de laIMF 7. Los resultados correspondientes a la IMF 4 se presentan a continuacion en lasTablas 5.11 y 5.12.

Tabla 5.11. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandar de losejes y y z en la IMF 4 de las pruebas realizadas.

No condicionEjes

y z

1. BR µ = 0,1906 , σ = 0,0185 µ = 0,1350 , σ = 0,0141

2. BR DC µ = 0,4244 , σ = 0,0297 µ = 0,3209 , σ = 0,0188

3. BR DC DR µ = 0,4915 , σ = 0,0377 µ = 0,4547 , σ = 0,0287

4. BR DR µ = 0,3597 , σ = 0,0184 µ = 0,5767 , σ = 0,0521



No condicionEjes

y z

5. DC µ = 0,4029 , σ = 0,0225 µ = 0,3641 , σ = 0,0311

6. DR µ = 0,4573 , σ = 0,0224 µ = 0,2952 , σ = 0,0236

7. DR DC µ = 0,5755 , σ = 0,0478 µ = 0,5958 , σ = 0,1268

8. HLT µ = 0,3777 , σ = 0,0387 µ = 0,1993 , σ = 0,0135

Y la representacion de estos valores se muestra en la Figura 5.17.


-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Fun

ció

n

de d

ensid

ad

de p

roba

bili

dad

0

10

20

30IMF 4, eje y.


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Fun

ció

n

de d

ensid

ad

de p

rob

abili

dad

0

10

20

30IMF 4, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT


Para la IMF 5 fueron seleccionados los valores de desviacion estandar referentes alos ejes y y z, estos resultados se muestran a continuacion en la Tabla 5.13.



No condicionEjes

y z

1. BR µ = 0,0996 , σ = 0,0090 µ = 0,1457 , σ = 0,0113

2. BR DC µ = 0,2957 , σ = 0,0284 µ = 0,4878 , σ = 0,0385

3. BR DC DR µ = 0,2943 , σ = 0,0221 µ = 0,5905 , σ = 0,0440

4. BR DR µ = 0,2416 , σ = 0,0153 µ = 0,3382 , σ = 0,0343

5. DC µ = 0,2529 , σ = 0,0411 µ = 0,6331 , σ = 0,0305

6. DR µ = 0,2386 , σ = 0,0181 µ = 0,2392 , σ = 0,0126

7. DR DC µ = 0,3997 , σ = 0,0496 µ = 0,5690 , σ = 0,0738

8. HLT µ = 0,1624 , σ = 0,0140 µ = 0,1490 , σ = 0,0121

La representacion de los valores de la Tabla 5.13, se muestran en la Figura 5.18.


-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fun

ció

n

de

den

sid

ad

de

pro

ba

bili

dad

0

20

40

60IMF 5, eje y.


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Fun

ció

n

de d

en

sid

ad

de p

roba

bili

dad

0

10

20

30

40IMF 5, eje z.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT



Los resultados presentados en la Figura 5.18 tambien presentan solapamiento unoscon otros. Por tanto, fueron considerados mas valores, como los de los ejes x y y delIMF 6 que se presentan en la Tabla 5.14.

Tabla 5.14. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandar de losejes x y y en la IMF 6 de las pruebas realizadas.

No condicionEjes

x y

1. BR µ = 0,1104 , σ = 0,0128 µ = 0,0673 , σ = 0,0065

2. BR DC µ = 0,3045 , σ = 0,0444 µ = 0,2256 , σ = 0,0220

3. BR DC DR µ = 0,4006 , σ = 0,0406 µ = 0,2348 , σ = 0,0156

4. BR DR µ = 0,2387 , σ = 0,0210 µ = 0,1518 , σ = 0,0172

5. DC µ = 0,2396 , σ = 0,0369 µ = 0,1535 , σ = 0,0200

6. DR µ = 0,1745 , σ = 0,0137 µ = 0,1623 , σ = 0,0154

7. DR DC µ = 0,2639 , σ = 0,0207 µ = 0,2636 , σ = 0,0216

8. HLT µ = 0,1112 , σ = 0,0143 µ = 0,1139 , σ = 0,0092

La representacion de los valores de la Tabla 5.14 se muestra en las Figuras 5.19 y5.20.


-0.5 0 0.5 1

Fu

nció

n

de

de

nsid

ad

de

pro

ba

bili

dad

0

10

20

30

40IMF 6, eje x.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.19. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje x en la IMF 6 de las pruebas realizadas.



-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Fun

ció

n

de d

en

sid

ad

de p

rob

ab

ilid

ad

0

20

40

60

80IMF 6, eje y.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.20. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje y en la IMF 6 de las pruebas realizadas.

Para complementar los valores representados en las Figuras 5.19 y 5.20 y todos losanteriores, tambien se emplearon los del eje y de la IMF 7 cuyos resultados se muestrana continuacion en la Tabla 5.15.

Tabla 5.15. Media y desviacion estandar de la caracterıstica de desviacion estandar del ejey en la IMF 7 de las pruebas realizadas.

No condicion Eje y

1. BR µ = 0,0796 , σ = 0,0103

2. BR DC µ = 0,2430 , σ = 0,0216

3. BR DC DR µ = 0,2058 , σ = 0,0108

4. BR DR µ = 0,1602 , σ = 0,0077

5. DC µ = 0,1623 , σ = 0,0115

6. DR µ = 0,1999 , σ = 0,0094

7. DR DC µ = 0,3237 , σ = 0,0427

8. HLT µ = 0,1180 , σ = 0,0086

Finalmente, la representacion de estos valores es la que se muestra en la Figura 5.21.



-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Fun

ció

n

de d

en

sid

ad

de p

rob

ab

ilid

ad

0

20

40

60IMF 7, eje y.

1.BR

2.BR DC

3.BR DC DR

4.BR DR

5.DC

6.DR

7.DR DC

8.HLT

Figura 5.21. Representacion de los valores de la caracterıstica de desviacion estandarcorrespondientes al eje y en la IMF 7 de las pruebas realizadas.

Luego de realizar todo el analisis correspondiente para seleccionar los valores de losparametros, los IMFs y los ejes mas apropiados, el vector de caracterısticas usado parael entrenamiento de los clasificadores en la siguiente etapa queda compuesto por:

∗ Variables de entrada o caracterısticas.

X Parametro estadıstico de dispersion, desviacion estandar. Compuesta de losIMFs y los ejes con mayor separacion entre los valores del parametro para cadacondicion de operacion. Estos son los 10 valores de desviacion estandar en:

1. Eje x de IMF 1. 6. Eje y de IMF 5.2. Eje y de IMF 1. 7. Eje z de IMF 5.3. Eje z de IMF 1. 8. Eje x de IMF 6.4. Eje y de IMF 4. 9. Eje y de IMF 6.5. Eje z de IMF 4. 10. Eje y de IMF 7.

X Parametro de complejidad, entropıa. Compuesta de los IMFs y los ejescon mayor separacion entre los valores del parametro para cada condicion deoperacion. Estos son los nueve valores de entropıa en:

1. Eje z de IMF 4. 6. Eje z de IMF 6.2. Eje y de IMF 5. 7. Eje x de IMF 7.3. Eje z de IMF 5. 8. Eje y de IMF 7.4. Eje x de IMF 6. 9. Eje z de IMF 7.5. Eje y de IMF 6.


∗ Variables de salida conocida u objetivo. Son las condiciones de operacion delmotor, ocho en total y cada una con 20 valores diferentes por variable de entrada.

Por lo tanto, se obtiene una matriz de caracterısticas compuesta de 19 columnas,cada una correspondiente a las variables de entrada, y 160 filas, 20 filas por condicionde operacion.

5.3. Clasificacion e identificacion de fallas -

Resultados

En esta etapa fueron entrenados y probados tres algoritmos de clasificacion,maquinas de soporte vectorial, AdaBoost y arboles de decision. La finalidad de esteproceso es, que a partir de las senales de vibracion correspondientes a las ochocondiciones de operacion del motor, entrenar los clasificadores para diferentes senalesque se obtengan con la finalidad de realizar un diagnostico de la condicion de trabajode los motores. Esta etapa se desarrollo en dos fases, una de entrenamiento y otra deprueba. A continuacion se muestran los resultados obtenidos en cada fase.

Para el entrenamiento, fue usada la matriz de caracterısticas obtenida a partirde los parametros estadıstico y de complejidad; desviacion estandar y entropıa,respectivamente; los IMFs y los ejes con los valores mas adecuados de acuerdo al gradode separacion entre cada condicion de operacion de entrenamiento. Para la prueba,fueron usados valores sinteticos generados a partir de los valores de entropıa y desviacionestandar contenidos en la matriz de caracterısticas usada para el entrenamiento.

5.3.1. Fase de entrenamiento - Resultados

En esta fase, cada algoritmo de clasificacion fue entrenado con la matriz decaracterısticas obtenida a partir de los parametros estadıstico y de complejidad;desviacion estandar y entropıa, respectivamente; los IMFs y los ejes con los valoresmas adecuados de acuerdo al grado de separacion entre cada condicion de operacion deentrenamiento.

Despues de realizar el entrenamiento correspondiente a cada algoritmo, se llevo acabo un proceso de validacion de cada uno con la finalidad de comprobar cuan predictivoes el modelo obtenido. Los metodos usados para esta validacion fueron los siguientes:

1. Error de resubstitucion. Corresponde a la tasa de error de clasificacion que seobtiene al usar los datos de entrenamiento. Es decir, la perdida calculada para los


datos con los cuales fue entrenado el algoritmo. Dado que el calculo de este errores sobre los datos de entrenamiento, la medida que se obtiene es muy optimista.Sin embargo, la motivacion para obtener esta medida fue para asegurar que losparametros con los cuales se entreno el algoritmo fueran correctos para los datosde entrenamiento.

Dado que esta medida del error de resubstitucion es bastante optimista, otrosmetodos para medir el desempeno de los algoritmos fueron usados. En este caso,fue empleada la validacion cruzada, la cual, segun [102], remueve el optimismo de laresubstitucion empleando datos de prueba que no son usados durante el diseno delclasificador.

2. Validacion cruzada. Este metodo consiste en dividir los datos en dos subconjuntos,uno para el entrenamiento del algoritmo y otro para probar el desempeno.En especıfico, fue usada la validacion cruzada de k iteraciones, conocida comok-fold cross-validation, en la cual, siguiendo la definicion expuesta en [103], losdatos iniciales son divididos de forma aleatoria en k subconjuntos o “folds”mutuamente excluyentes, D1, D2, . . . , Dk, de igual tamano, aproximadamente.El proceso de entrenamiento y prueba se realiza k veces. En la iteracion i, laparticion Di es reservada como conjunto de prueba, y las particiones restantesse usan de forma colectiva para entrenar el modelo. Por lo tanto, en la primeraiteracion, los subconjuntos D2, . . . , Dk sirven de forma colectiva como el conjuntode entrenamiento para obtener el primer modelo, el cual es probado con D1; en lasegunda iteracion se entrena con los subconjuntos D1, D3, . . . , Dk y se prueba conD2; y ası sucesivamente. En este proceso, cada muestra se usa el mismo numerode veces para entrenamiento y una sola vez para prueba.

3. Validacion cruzada dejando uno por fuera. Tambien conocida como Leave-one-outcross-validation, LOOCV. Es un caso especial de la validacion anterior en la cualk se ajusta al numero de tuplas iniciales. Es decir, se separan los datos de formaque en cada iteracion se tenga una sola muestra para los datos de prueba y todoel resto queda para los datos de entrenamiento.

De estos ultimos dos metodos, se obtiene una medida del error de clasificacion queindica cuanto se equivoca el clasificador en la prediccion de la clase a la cual pertenecenlos valores de prueba. A continuacion se muestran los resultados correspondientes deestas medidas para cada algoritmo de clasificacion utilizado.


5.3.1.1. Maquinas de soporte vectorial (SVMs) - Resultados deentrenamiento

Luego de realizar el entrenamiento correspondiente al algoritmo SVM mediante lospasos expuestos en el capıtulo anterior, se obtuvieron los siguientes resultados:

1. Error de resubstitucion. Para calcularlo se utilizo el comando deMatlab R© resubLoss(Model), que tiene como parametro el modelo declasificacion que se obtuvo luego de entrenar el algoritmo. El valor resultantefue de 0 % de error, lo cual indica que, como se esperaba, el algoritmo es capazde predecir correctamente las clases a las cuales pertenecen las muestras deentrenamiento. Ademas, este resultado indica que los parametros establecidospara obtener el modelo se adaptan correctamente con el conjunto de datos deentrenamiento.

2. Validacion cruzada de k iteraciones. Para obtener los resultados correspondientesa esta medida, fueron considerados dos valores diferentes de k. El calculo se realizomediante el comando de Matlab R© , crossval, cuyos parametros fueron lossiguientes:

cvmdl svm = crossval(Model svm,’kfold’,k);

donde, cvmdl svm es el modelo de validacion cruzada obtenido, contiene lacantidad de caracterısticas con las cuales fue entrenado el algoritmo, ademas delnumero de observaciones realizadas para la validacion, el nombre de las clases paralas predicciones, entre otros; Model svm corresponde al modelo de clasificacion;’kfold’ se usa para definir el tipo de validacion cruzada a realizar; y k paradefinir el numero de subconjuntos o “folds” a utilizar. Los resultados, para dosvalores de k diferentes, se muestran a continuacion.

k kfoldLoss(cvmdl svm)

5 0 %10 0 %

Con estos resultados, se demuestra que, aun cuando el algoritmo emplea un numeromayor o menor de datos de entrenamiento y prueba, es capaz de predecir correctamentela clase a la cual pertenece una muestra especıfica del conjunto de datos de prueba quese obtuvo con cada valor diferente de k.

3. Validacion cruzada dejando uno fuera, LOOCV. Ası como el caso anterior, estavalidacion fue calculada empleando el comando de Matlab R© , crossval con


“Leaveout” en lugar de “kfold” para definir la validacion tipo LOOCV. Elresultado obtenido fue de 0 %.

De este resultado y todos los anteriores se concluye que, el algoritmo de clasificacionbasado en SVMs genera predicciones exitosas en la identificacion de las clasescorrespondientes a los valores de prueba que se obtuvieron del conjunto de datosde entrenamiento. Esta afirmacion indica que, posiblemente, el clasificador basado enSVM sea capaz de identificar y etiquetar, con errores muy mınimos, conjuntos de datosdiferentes.

5.3.1.2. AdaBoost - Resultados de entrenamiento

Al igual que con el algoritmo anterior, las medidas de validacion para AdaBoostfueron el error de resubstitucion, validacion cruzada de k iteraciones y dejando unofuera. A su vez, tal y como se menciono previamente, AdaBoost utiliza varios ciclosde aprendizaje para una determinada cantidad de clasificadores debiles. Por lo tanto,tambien se muestra una grafica en la cual se refleja el comportamiento de la perdida deresubstitucion acumulada sobre el numero de ciclos de aprendizaje. A continuacion semuestran los resultados de cada metodo de validacion.

1. Error de resubstitucion. El valor obtenido para esta medida fue de 0 %. Con lo cualse demuestra que, al probar con los mismos valores con los cuales fue entrenadoel algoritmo, esta medida se usa para comprobar la pertinencia de los parametrosestablecidos durante el entrenamiento, con los datos correspondientes de la matrizde caracterısticas.

2. Validacion cruzada de k iteraciones. Con este metodo se utilizaron los mismosvalores que se usaron con SVM, esto motivado a que se procuraron valores de kcon los cuales se obtuviera un numero entero de subconjuntos de entrenamientoy prueba. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

k kfoldLoss(cvmdl ada)

5 0,063 %10 0 %

En este caso, el resultado obtenido con k = 5, un error mınimo diferente de cero,indica que, de todas las clases, el algoritmo identifico la gran mayorıa para el conjunto dedatos de prueba y que con datos diferentes, las predicciones seran bastante aproximadas.Por su parte, con k = 10, si se obtuvo un error exacto de cero, lo que indica que, para


AdaBoost, mientras mayor sean los datos del conjunto de entrenamiento, mejores seranlas predicciones futuras a conjuntos de datos diferentes.

3. Validacion cruzada dejando uno fuera, LOOCV. El valor del error obtenido paraeste caso fue de 0 %, con lo cual se comprueba que, como ocurre con un kfold de10, con este algoritmo, mientras mayor es el numero de datos de entrenamiento,mejores seran las predicciones sobre un conjunto de datos diferentes.

4. Curva de comportamiento de la perdida por resubstitucion. La grafica que semuestra a continuacion en la Figura 5.22, refleja como se comporta la medida delerror por resubstitucion de los datos de entrenamiento, a medida que se aumenta lacantidad de ciclos de aprendizaje para los clasificadores debiles que usa AdaBoostpara la creacion de un clasificador fuerte.

Ciclos de aprendizaje para los learners

0 5 10 15 20

Pérd

ida d

e r

esustitu

ció

n

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Figura 5.22. Comportamiento de la perdida por resubstitucion de AdaBoost.

En este grafica, se observa que a mayor cantidad de ciclos de aprendizaje menores la perdida por resubstitucion. Esto se debe a que, en cada ciclo de aprendizaje, losclasificadores debiles que emplea AdaBoost corrigen los errores del modelo obtenido enel ciclo anterior y ası sucesivamente hasta que el conjunto de entrenamiento se prediceperfectamente o hasta que se agota la cantidad de clasificadores debiles.

5.3.1.3. Arboles de decision - Resultados de entrenamiento

Para este algoritmo se emplearon los mismos metodos de validacion que con losalgoritmos anteriores. A continuacion se muestran los resultados correspondientes.


1. Error de resubstitucion. El resultado de esta medida fue de 0 % y, al igual quecon los casos anteriores, esto comprueba que los parametros definidos para elalgoritmo se ajustan correctamente a los datos de entrenamiento.

2. Validacion cruzada de k iteraciones. Al igual que en los casos anteriores, se usarondos valores de k, los resultados se muestran a continuacion:

k kfoldLoss(cvmdl adec)

5 0,0438 %10 0,05 %

Mediante los resultados de validacion cruzada obtenidos con k=5 y k=10, se observaque, a pesar de no ser tan exactos como lo fue para los dos algoritmos previos, sı es unbuen valor. Esta diferencia con respecto a SVM y AdaBoost se debe a que, arboles dedecision, por tratarse de un procedimiento donde la distincion entre clases se hace pormedio de condiciones simples de decision, puede ser muy sensible cuando los valores,representativos de las clases, son muy cercanos entre sı y la diferencia entre uno y otroes muy pequena, del orden de los decimales.

Sin embargo, ambos son buenos valores con los cuales se comprueba la pertinenciade los parametros definidos para el algoritmo con los datos de entrenamiento y tambien,con datos diferentes para predicciones futuras.

3. Validacion cruzada dejando uno fuera, LOOCV. En este caso se obtuvo un error de0,0313 %, el cual, tampoco es tan exacto como en SVM y AdaBoost. Esta situacionse debe al procedimiento que realiza arboles de decision para clasificar. Ademas,se comprueba que, por mas que se aumente la cantidad de datos entrenamiento,si los valores de cada clase son muy cercanos entre sı, el algoritmo tendra erroresde clasificacion mınimos.

5.3.2. Fase de pruebas - Resultados

Una vez concluido el proceso de entrenamiento y validacion de cada algoritmo declasificacion, se procedio a realizar la prueba de cada modelo obtenido. El conjunto dedatos de prueba, para cada condicion de operacion, fue obtenido de forma sintetica alproducir aleatoriamente n valores de las caracterısticas desviacion estandar y entropıa,dentro del rango [µ−σ, µ+σ], donde µ es la media y σ es la desviacion estandar de losvalores de ambas caracterısticas extraıdas de los modos de oscilacion de las senales devibracion reales, obtenidas en las 20 pruebas que se realizaron durante la adquisicionde senales.


Para validar esta fase, se emplearon matrices de confusion que se obtuvieron a partirde los modelos de clasificacion de cada algoritmo con los valores de prueba generados deforma sintetica. En cada matriz se refleja el desempeno de cada algoritmo, por mediode la cantidad de datos acertados y errados durante la clasificacion, para cada clase. Esimportante recordar que cada clase representa una condicion de operacion del motor enespecıfico, de la siguiente forma:

˜ Clase 1: condicion de motor con barra rota.

˜ Clase 2: condicion de motor con barra rota y desbalance de carga.

˜ Clase 3: condicion de motor con barra rota, desbalance de carga y defecto enrodamientos.

˜ Clase 4: condicion de motor con barra rota y defecto en rodamientos.

˜ Clase 5: condicion de motor con desbalance de carga.

˜ Clase 6: condicion de motor con defecto en rodamientos.

˜ Clase 7: condicion de motor con defecto en rodamientos y desbalance de carga.

˜ Clase 8: condicion de motor sano.

Ademas, se emplearon tres tamanos para el conjunto de datos de prueba, es decirse usaron tres valores distintos de n. En las matrices obtenidas, cada fila representael numero de predicciones de cada clase, mientras que cada columna representa a lasinstancias en la clase real. Los resultados se muestran a continuacion.

5.3.2.1. Matrız de confusion para el algoritmo de maquinas de soportevectorial (SVMs)

X Para n = 20.


Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

se p

red

ich

a

1

2

3

4

5

6

7

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0

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0

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0

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100%

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0

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20

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20

12.5%

0

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0

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20

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0

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20

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20

12.5%

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0

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20

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20

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100%

0.0%

100%

0.0%

Matríz de confusión para SVM

Figura 5.23. Matriz de confusion para SVM con 20 valores sinteticos.

X Para n = 50.

Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

se p

red

ich

a

1

2

3

4

5

6

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50

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48

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2

0.5%

0

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96.0%

4.0%

0

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0

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50

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0

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0.0%

100%

0.0%

96.2%

3.8%

100%

0.0%

99.5%

0.5%




X Para n = 100.

Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

se p

red

ich

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1

2

3

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5

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98

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0

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0

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2

0.3%

0

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98.0%

2.0%

0

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0

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100

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0

0.0%

0

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0

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0

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0

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0

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0

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0

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100

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0

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0

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0

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0

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100

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100%

0.0%

100%

0.0%

100%

0.0%

98.0%

2.0%

100%

0.0%

99.8%

0.2%



Con los resultados obtenidos para cada tamano de los valores sinteticos se compruebaque, mediante las caracterısticas de desviacion estandar y entropıa, es posible identificarcon mas de 99 % de efectividad las ocho condiciones de operacion del motor propuestas.La condicion que presenta menor porcentaje de acierto es la de motor con barra rota ydesbalance de carga, como se refleja en las matrices de las Figuras 5.24 y 5.25 donde seobserva que predicen erroneamente dos muestras y la asigna a la clase siete o condicionde motor con defecto en rodamientos y desbalance de carga. Sin embargo, el error enesta prediccion se ubica entre el 2 % y 4 %, lo cual no representa un gran riesgo parapredicciones futuras con conjuntos de datos diferentes.

5.3.2.2. Matrız de confusion para el algoritmo AdaBoost

X Para n = 20.


Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

se p

red

ich

a

1

2

3

4

5

6

7

8

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20

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20

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20

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20

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100%

0.0%

100%

0.0%

Matríz de confusión para AdaBoost

Figura 5.26. Matriz de confusion para AdaBoost con 20 valores sinteticos.

X Para n = 50.

Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

se p

red

ich

a

1

2

3

4

5

6

7

8

50

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49

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0

0.0%

1

0.3%

0

0.0%

98.0%

2.0%

0

0.0%

0

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50

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0

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0

0.0%

0

0.0%

0

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X Para n = 100.

Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

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En este caso, al igual que con SVM, el algoritmo falla, con un mınimo error, en laprediccion de una muestra que corresponde a la clase dos asignandola a la clase siete,como se refleja en la matriz correspondiente a 50 muestras de prueba, Figura 5.27.Sin embargo, el error en la prediccion es mınimo y el algoritmo es capaz de predecircorrectamente los casos donde estas condiciones de operacion estan aisladas (clases uno,cinco y seis).

5.3.2.3. Matrız de confusion para el algoritmo de arboles de decision

X Para n = 20.


Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

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95.2%

4.8%

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1.9%

Matríz de confusión para árbol de decisión

Figura 5.29. Matriz de confusion para arboles de decision con 20 valores sinteticos.

X Para n = 50.

Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

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2.0%

96.2%

3.8%

98.0%

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Matríz de confusion para árbol de decisión



X Para n = 100.

Clase real

1 2 3 4 5 6 7 8

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1.7%

Matríz de confusión para árbol de decisión


En este caso, al igual que en los anteriores, se observa que las clases dos y sieteson las menos distinguibles entre sı. Ambas clases contienen la condicion de motor condesbalance de carga, ya que su deteccion depende de cuan grave sea la falla y tambiende la carga mecanica del motor; cuanto mayor es la gravedad de la falla y la cargamecanica, mas facil la deteccion. Para el resto de las predicciones, y en comparacioncon SVM y AdaBoost, el algoritmo de arboles de decision no genera un buen clasificadorque detecte de forma efectiva las condiciones de operacion propuestas. A pesar de que elporcentaje de error, para los tres tamanos del conjunto de datos de prueba, es mınimo,se prefieren los algoritmos de SVM o AdaBoost para futuras predicciones con conjuntosde datos diferentes.

Es perceptible el grado de efectividad que presentan los dos algoritmos iniciales,SVM y AdaBoost, por encima de arboles de decision. Esta diferencia se debe al modode operacion de cada algoritmo. En primer lugar, SVM define un margen de clasificacionconsiderando las muestras que se ubican mas cercana a la frontera entre clases, conocidascomo vectores de soporte. En segundo lugar, la metodologıa de operacion de AdaBoostconsiste en que, en cada ciclo de aprendizaje, los clasificadores debiles corrigen loserrores generados en el ciclo anterior. Estas caracterısticas, tanto de SVM como deAdaBoost, le otorgan a estos algoritmos mayor preferencia por encima de clasificadoresbasados en arboles de decision, cuyo rendimiento se refleja en los resultados mostradospreviamente.

Capıtulo 6

Conclusiones

En este trabajo es propuesta una metodologıa para la deteccion de fallas multiples ycombinadas en motores de induccion. El trabajo esta orientado al uso del procesamientode senales para supervisar la condicion de operacion de estos dispositivos, mediante elanalisis de las senales de vibracion provenientes de un motor con diferentes condicionesde operacion.

A traves de los resultados obtenidos se demostro la factibilidad en la deteccion defallas, como barra rota, defectos en rodamientos, desbalance de carga o la combinacionde estas tres, en motores de induccion que operan en estado estable, por medio delanalisis de las senales de vibracion. Para este analisis, fue usada la descomposicion demodo empırico por conjuntos completos, CEEMD, con la cual fue posible la separacionde las senales en sus modos de oscilacion intrınsecos, o IMFs, fısicamente significativos.

Con esta descomposicion, ademas de extraer los modos de oscilacion, fue posiblegenerar una mayor cantidad de muestras para las inferencias estadısticas y decomplejidad que se realizaron posteriormente con la extraccion de caracterısticasrepresentativas de la informacion contenida en los modos.

La extraccion de los parametros estadısticos y de complejidad, desviacion estandary entropıa, respectivamente, permitio construir una matriz de caracterısticas queresumıan, eficazmente y con buen grado de discriminacion, el conjunto de datos einformacion presentes en las senales referentes a cada una de las condiciones deoperacion del motor.

A partir de los clasificadores obtenidos, se valido la extraccion y posterior seleccionde caracterısticas que resumen la informacion contenida en las senales de vibracionde entrenamiento. Ademas, los clasificadores permiten la identificacion y el etiquetadode las ocho condiciones de operacion propuestas en este trabajo. Tanto SVM como

99

CAPITULO 6. CONCLUSIONES 100

AdaBoost presentaron errores de clasificacion mınimos, los cuales demuestran lapertinencia de uno u otro algoritmo para futuras predicciones con conjuntos de datosdiferentes.

La combinacion de un metodo de descomposicion de senales, como CEEMD, juntocon la extraccion de caracterısticas como informacion de entropıa y un algoritmo declasificacion como SVM o AdaBoost resulto ser altamente eficiente en la deteccion defallas individuales y combinadas. Los resultados presentados demuestran que, como seha probado en investigaciones previas, la informacion de entropıa es adecuada paraabordar problemas complejos ası como tambien para el diagnostico de la condicion deoperacion de motores de induccion.

Es importante mencionar que, para realizar una comparacion de la metodologıapropuesta con trabajos anteriores, es necesario contar con los metodos o el conjuntode datos empleados en dichos trabajos. Es por ello que, estas comparaciones noson presentadas. Sin embargo, con los clasificadores fue validada la seleccion decaracterısticas, realizada para la identificacion de la condicion de operacion en motoresde induccion.

Finalmente, el aporte de esta investigacion es una metodologıa basada en laextraccion de parametros, caracterısticos de una senal como la entropıa y la desviacionestandar, a partir de los modos de oscilacion presentes en senales de vibracion reales,referentes a un motor con diferentes condiciones de operacion. A su vez, el uso dealgoritmos de aprendizaje de maquina para la clasificacion y posterior identificacion dela condicion de trabajo de los motores de induccion.

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