“ todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desalojado”

Arquímedes ( 287– 212 aC)

Arquímedes: contexto histórico

Periodo Jónico: del 700 al 500 a.C.

• Ciudades-estados independientes (Atenas, Esparta, Mileto, Samos,..): siglo IV a.C. los macedonios terminan con hegemonía Atenas

• Los conocimientos son herencia de Egipto y Mesopotamia y se formulan siguiendo el esquema: Hipótesis Teorema Demostración.

• Matemática como ciencia independiente pero muy vinculada con Filosofía.

•Tales de Mileto, Pitágoras, Hippias, Demócrito, Hipócrates,..

Periodo Ateniense: del 500 al 350 a.C.• Pericles(495-429 aC) convierte Atenas en centro creativo del mundo antiguo.

• Se crea el álgebra geométrica.

• Platón, Eudoxo y Aristóteles.

Periodo Helenístico: del 350 al 150 a.C.

• Atenas se consagra a la Filosofía con el epicureismo y el estoicismo.

•Ptolomeo I y su hijo Ptolomeo II hacen Alejandria el nuevo centro del saber:

•El Museo de Alejandría (primera Universidad, cuatro departamentos: Literatura, Matemáticas, Astronomía y Medicina. No de Filosofia), La Biblioteca de Alejandría (más de 400.000 papiros) y el Observatorio Astronómico

• El Museo muy influido por Aristóteles, libres de la teoría de ideales de Platón, la Astronomía y las Matemáticas se desarrollan.

• Euclides, Eratóstenes:, Nicomedes, Apolonio de Perga, Diocles, Menelao, Henón, Tolomeo, Diofanto, Pappus, Theón,, Sóstrato de Cnido, e Hypatia.

Arquímedes: todo empieza en Siracusa

• Fecha nacimiento aprox.año 287 a. C. en Siracusa, Sicilia.

• Hijo del astrónomo Fidias y se cree pariente del rey Hierón II.

• Podría haber sido alto cargo, pero prefirió consagrarse a las matemáticas.

• Discípulo de Euclides en el Museo de Alejandría.

•Muy joven destaca la desecación de los pantanos de Egipto mediante diques móviles y donde hizo su primer gran invento, la coclea, máquina que servía para elevar las aguas y regar ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba el

agua durante las inundaciones.

•No tuvo sucesores inmediatos ni creó una escuela, por lo que sus obras sirvieron como punto de partida para los matemáticos durante muchos siglos• Era una sociedad basada en la explotación de los esclavos. Se consideraba indigno y prohibitivo hacer un uso práctico de la ciencia, pero eran los problemas cotidianos los que le fascinaban a Arquímedes, los que no podía apartar de su mente. En los tiempos de Arquímedes

Avergonzado de esta afición, se negó a llevar un registro de sus artilugios

mecánicos; pero siguió construyéndolos y a ellos debe su fama.

• Regresó a Siracusa, donde siguió sus estudios de geometría y mecánica.

• Arquímedes fue un águila solitaria. Con pocos compartió sus pensamientos: Conon de Samos y Eratóstenes de Cirene.

Arquímedes: porqué es conocido

Físico, ingeniero, inventor y astrónomo

• Uno de los científicos más importantes de la antigüedad

clásica.

• En física: fundamentos de la hidrostática, estática y

el principio de la palanca.

• Diseñó innovadoras máquinas: armas de asedio y

el tornillo de Arquímedes.

Uno de los matemáticos más grandes

• Método de exhaución para calcular el área bajo el arco de

una parábola con el sumatorio de una serie infinita

• Dio la mejor aproximación del número pi

• Definió la espiral que lleva su nombre

• Fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución

• Un sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes: el método de exahución

El método de exhauciónLa mayor parte del trabajo de Arquímedes se refiere al cálculo de áreas de superficies curvas y volúmenes de sólidos, que se obtienen a través de la comparación con áreas y volúmenes de triángulos, rectángulos y cubos.

El Método de Exhauxión se basa en la reducción al absurdo.

Arquímedes aplicaba este método de tres formas distintas.

• Por «aproximación», una sucesión de polígonos regulares se inscribe en la figura curva y se establece que la diferencia de áreas entre la figura curva y los polígonos es menor que una cantidad dada para un número suficientemente grande de lados del polígono regular. Normalmente cada polígono se obtiene del anterior doblando el número de sus lados. Se atribuye a Eudoxo y era usada por Euclides . Las otras dos formas de exhaución, en cambio, son originales de Arquímedes.

• Por «compresión-diferencia», se encierra la figura mediante sucesiones de polígonos regulares inscritos y circunscritos, tales que la diferencia entre ellos puede hacerse menor que cualquier cantidad dada.

• Por «compresión-división», semejante el anterior, salvo en que la razón (división) de las áreas de los polígonos se acerca a la unidad.

Arquímedes: el método mecánico

El método mecánicoArquímedes poseía un método heurístico con el que descubría nuevos teoremas, resultados que luego probaba con el método de exhaución.

• El método mecánico consistía en "pesar" el área o volumen de una figura en un plato de balanza, mientras en el otro ponía una figura de área o volumen conocidos. Y con las distancias de los centros de gravedad al "fulcro" de la balanza y aplicando las leyes de la palanca calculaba el área o volumen.

•Consideraba el área como una suma infinita de segmentos o un volumen como una suma infinita de secciones planas.

• En 1906 Heiberg descubrió el El Palimpsesto de Arquímedes.

• Un palimpsesto es un papel de vitela con texto que ha sido sobreescrito mediante el rascado de la tinta de obras existentes, habitual en la Edad Media.

• El Palimpsesto de Arquímedes tiene: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medida de un círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicos y Stomachion.

Los tres últimos se conocieron entonces por primera vez.

Arquímedes: textos conservados

TRATADOS MATEMÁTICOS-Sobre la esfera y el cilindro

- Sobre los conoides y de los esferoides

- Sobre la cuadratura de la parábola

- Sobre la medida del círculo

- Sobre las espirales

- El Arenario

TRATADOS SOBRE ESTÁTICA E HIDROSTÁTICA

-Sobre el equilibrio de los planos, donde enuncia la ley de la palanca.

-Sobre los cuerpos flotantes, donde enuncia el Principio de Arquímedes.

-El método, sobre teoremas mecánicos.

OBRAS DE MISCELÁNEA MATEMÁTICA

-El problema de los bueyes

-Stomachion o Loculus Archimedius

Arquímedes: sobre la esfera y el cilindro

Sobre la esfera y el cilindroEste texto consta de dos libros dedicados a la geometría y que completan la obra de Euclides. Elabora una geometría del espacio con rigor. Relaciona áreas de distintas figuras.

Busca una relación entre las áreas del cilindro y de la esfera.

Teorema 1: “la superficie de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo”.

Teorema 2: “el volumen de una esfera es igual a cuatro veces el volumen del cono que tiene como base el círculo máximo de la esfera y como altura el radio de la esfera”

Teorema 3: “el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro circunscrito”.

Arquímedes: sobre los conoides y esferoides y sobre espirales

Sobre los conoides y esferoidesEs un trabajo en 32 proposiciones en el que determina el volumen de paraboloides e hiperboloides de revolución (Conoides), así como de Elipsoides de revolución (esferoides)

estratificando en cada paso con cilindros de igual altura.

Sobre espirales

Uno de sus libros más difíciles pues hay problemas no resolublescon regla y compás ( requiere sumas de progresiones aritméticas)

La Espiral de Arquímedes o Uniforme es generada por la combinación de dos movimientos uniformes: uno rectilíneo y otro rotacional, simultáneamente.

Es la curva que describe un punto que se mueve, con velocidad constante, sobre una recta que a su vez gira con velocidad constante.

Su ecuación en coordenadas polares es r=a.Þ donde r es la distancia al origen, a una constante y theta (Þ) es el ángulo girado.

Arquimedes logró trisecar el ángulo utilizando la espiral uniforme. Desgraciadamente, los griegos exigían la resolución usando sólo regla y compás, y su curva no se puede construir sólo con esos instrumentos

Arquímedes: sobre la medida del círculo

Sobre la medida del círculoEl más importante porque calcula el área del círculo y estima el valor de la constante π.

Teorema I:

«El área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferencia del propio círculo»

Teorema III

«La razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro es menor que 3+1/7, pero mayor que 3+10/71».

Las aproximaciones conseguidas servirían durante muchos siglos.

La irracionalidad de π fue demostrada en 1768 por Lambert.

La trascendencia de π (la no existencia de un polinomio algebraico con coeficientes enteros del cual π fuese raíz) fue demostrada por von Lindeman en 1862.

"Puesto que el área del círculo no es ni mayor ni

menor que el área del triángulo, es igual a ella"

Arquímedes demostró que el lado del hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio del círculo; así como que el lado del

cuadrado circunscrito es igual al diámetro del círculo.

Arquímedes: sobre la cuadratura de la parábola

Sobre la cuadratura de la parábola"Muchos han intentado cuadrar el círculo, la elipse o el segmento de una hipérbola.Ninguno parece haber pensado en cuadrar un segmento de una parábola, que es precisamente lo que sí se puede calcular y que yo sí he encontrado".

En este texto de 24 proposiciones, demuestra con dos métodos: “ el área cercada por una parábola y una línea recta es 4/3 del área de un triángulo de igual base y altura”.

Primer método o método de exhaución (proposiciones 1 a 17):

Conclusiones geométricas a partir de métodos de Estática: un área es una suma de segmentos rectilíneos y un volumen una suma de secciones planas. Apunta hacia las técnicas aritméticas de los límites del siglo XIX

En la matemática griega, la suma no se podía obtener directamente ya que se trataba de una suma infinita y esto no era aceptable. Se usaban métodos de 'reducción al absurdo'.

En su cuadratura fue necesario un doble absurdo: que el segmento parabólico no puede

ser ni mayor ni menor que 4/3t0; demostró que tenía que ser precisamente 4/3t0.

Segundo método o método mecánico (proposiciones 18 a 24)

Procedimiento semejante al actual de integración para calcular el área. Divide la región en triángulos y calcula sus áreas hasta aproximarse al área buscada. Apunta hacia los infinitesimales de cuadratura del siglo XVII que condujeron al Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz,

Arquímedes: El Arenario

El ArenarioEl “contador de arena” es un sistema numérico para contar los granos de arena necesarios para llenar el Universo, quería probar que el número de granos de arena del mar es infinito.

El número más grande era 10.000, la miríada, y usó las sucesivas potencias de 10.000

para expresar números muy grandes: la miríada de miríadas, la miríada de miríadas,… Introdujo órdenes de magnitud mayores, hasta que vio podía continuar indefinidamente la

serie de números, uno de los descubrimientos más trascendentales de su época.

El Arenario es tan importante, además, porque contiene referencias a los trabajos de Aristarco, donde por primera vez se expone la teoría heliocéntrica (dos mil años antes que Copérnico).

Como unidad de medida toma el grano de arena, que es la diezmilésima parte de un grano de amapola y 40 de ellos medirían como un centímetro.

Después de demostrar que en una semilla de amapola cabrían 10.00 granos de arena, calculó los granos que llenarían el Universo, es decir, los granos necesarios para llenar la distancia de la Tierra al Sol, que resultó ser 8·1063.

Arquímedes: sobre el equilibrio de los planos

Sobre el equlibrio de los planosDos libros y consta de definiciones, postulados y teoremas (muy euclidiano).

Primer libro: condiciones de equilibrio de la palanca y determinación de los centros de gravedad de algunas figuras planas cerradas (paralelogramos y triángulos).

Segundo libro trata de los centros de gravedad de los segmentos de parábola. El razonamiento que usa es uno de los primeros ejemplos de inducción que se conoce.

Postulados de la Teoría general de la palanca:

1.- El centro de gravedad es único.

2.- El equilibrio se mantiene sustituyendo cuerpos equivalentes.

3.- El equilibrio sólo depende de los pesos y las distancias a las que los cuerpos están colocados respecto al centro de rotación.

4.- Existe equilibrio en el caso particular de simetría completa de pesos y distancias y existe desequilibrio cuando no existe tal simetría.

“ Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo “

Arquímedes: sobre los cuerpos flotantes

Sobre los cuerpos flotantesEn la primera parte, explica la ley del equilibrio de los fluidos.En la segunda parte, calcula las posiciones de equilibrio de las secciones de los paraboloides.

Arquímedes descubrió el principio hidrostático que lleva su nombre, que se enuncia así: Todo cuerpo sumergido en un líquido pierde una parte de su peso, o sufre un empuje de abajo arriba, igual al del volumen de agua que desaloja.

Si el peso del objeto es menor que el del agua que ocupa el mismo volumen, el cuerpo flota. Si es igual, permanece en equilibrio hundido en el líquido, y si es mayor

se hunde”. Dicen que dio con este principio cuando el rey de Siracusa, Hierón II, le ordenó descubrir si una corona que había encargado era de oro macizo, sin romperla ni destruirla.

Preocupado por el problema, Arquímedes se sumergió con ella en el baño, y cuando notó que el agua de la bañera rebosaba, se le ocurrió la idea y corrió desnudo por las calles de Siracusa, mientras gritaba: Eureka (lo encontré).

En 1586, Galileo Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales en aire y agua inspirada en la obra de Arquímedes.

Arquímedes: algunos inventos famosos

El tornillo de ArquímedesEl rey Hierón II le encargó diseñar de un enorme barco, el Siracusia, el más grande de la antigüedad clásica, capaz de cargar 600 personas e incluía jardines, gimnasio y un templo a Afrodita. El tornillo de Arquímedes fue inventado para extraer el agua de la sentina.

Era un mecanismo con una hoja con forma de tornillo dentro de un cilindro. Se hacía girar a mano, y también podía utilizarse para transferir agua desde masas de aguas bajas a canales de irrigación. De hecho, sigue usándose

para bombear líquidos y sólidos semifluidos, como carbón y cereales. La garra (o manus ferrea)

Los romanos acercaban todo lo que podían los barcos al muro para enganchar sus escaleras a las fortificaciones.

Entonces la garra, que consistía en un brazo semejante a una grúa del cual pendía un enorme gancho de metal, se dejaba caer sobre el barco. El brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando la proa del barco fuera del agua y provocando un ingreso del agua por la popa.

Esto causaba confusión, pero con un sistema de polea y cadenas, dejaba caer súbitamente el barco provocando una escoración que podía volcarlo..

Arquímedes: el problema de los bueyes

El problema de los bueyesIncluido en El Arenario, basado en un poema de Homero en la Odisea. Tiene dos partes:

“..cuenta extranjero, la cantidad de bueyes del Sol que pacían en las llanuras de la isla Trinacia repartidos en cuatro hatos: uno blanco, otro negro, otro rubio y otro, a manchas.

En cada hato había toros cuyo número guardaba la siguiente conmensurabilidad : los blancos eran iguales a la mitad mas la tercera parte de los toros negros mas todos los rubios; y que los negros iguales a la cuarta parte mas la quinta parte de los de color

mezclado, mas todos los rubios. Mira con atención que los de color variado restantes eran iguales a la sexta parte mas la séptima de los blancuzcos mas los rubios todos.

Para las bovinas hembras: las de blanco eran iguales a la tercera mas la cuarta parte del rebaño negro entero ; y las negras, a su vez, se igualaban a la cuarta parte mas la quinta

parte de las de color mezclado cuando venían todas al pasto juntamente con los toros . Las de manchas eran de igual número a la quinta parte mas la sexta del rebaño de rubios. Las

rubias iguales a la mitad de la tercera parte mas la séptima parte del rebaño blanco.

Y tú, extranjero, si llegaras a decir cuantas eran las reses del Sol, no serías llamado ignorante, pero tampoco te contarían en el número de los sabios. Así que venga …

“..cuando el número de los toros blancos se mezcla con el de los toros negros, con igual firmeza en profundidad y en grosor en la llanura de las tres esquinas, extendida a lo lejos en todas direcciones, se llenaba con su número. Otra vez, cuando los toros amarillos y los moteados estaban juntos de tal manera que su número empezando en uno se extendía hasta completar una figura triangular, donde no había toros de otros colores mezclados pero ninguno de ellos faltaba. Si eres capaz ¡oh, extranjero! de sacar conclusiones entonces partirás coronado de gloria..”

Se trata de un sistema de 7 ecuaciones con 8 incógnitas y con la condición de que todas las soluciones deben ser números

enteros (ecs. Diofánticas). Hay infinitas soluciones.

Tras varias operaciones se obtiene una ecuación: x2 – q·y2 = 1 (ecuación de Pell), y el menor número total de reses para el que se

cumple es un número de 206545 cifras.

Arquímedes: el stomachión

El StomachiónEs un juego geométrico, un puzzle, formado por una serie de piezas poligonales que completan un rectágulo.

Se creía que era un rompecabezas para niños.

Arquímedes no pretendía juntar las piezas, sino: ¿de cuántas maneras se pueden juntar las 14 piezas para formar un cuadrado? Lo utiliza para escribir un tratado de Combinatoria (que determinar las distintas maneras en que puede ser solucionado un problema dado).

El rompecabezas Stomachion

Consiste en la disección de un cuadrado en 14 piezaspoligonales: 11 triángulos, 2 cuadriláteros y un pentágono

1.- Los vértices de todas las piezas son puntos de la cuadrícula.

2.- La superficie de cada pieza corresponde a un número entero de cuadrados unidad de la cuadrícula.

Para saber más: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Stomachion.asp

Arquímedes: muerte de un sabio

En el año 212 a.C. estalla la segunda Guerra Púnica entre Roma y

Cartago, y Siracusa, la ciudad de Arquímedes, esta situada en medio. El general romano, Marcelo, estaba seguro de una rápida conquista pero Siracusa, gracias a Arquímedes estaba bien preparado para la guerra.

Aprovechando la celebración de una fiesta religiosa en honor de Artemisa, los romanos entran en la ciudad y la saquean, con la orden de Marcelo de respetar la vida de Arquímedes.

La primera noticia que tuvo Arquímedes de que la ciudad había sido tomada fue la sombra de un soldado romano sobre sus dibujos en la arena. Al pisar el soldado sus dibujos, Arquímedes exclamó airadamente: “No borres mis círculos”.

Otros afirman que Arquímedes se negó a obedecer la orden de que le acompañara ante Marcelo, hasta que hubiera resuelto su problema.

El irritado soldado desenvainó su espada y le mató con 70 años.

Maquinaria de guerra de su invención: la garra, la catapulta y un sistema de espejos y lentes que incendiaban los barcos al concentrar los rayos del sol.

La verosimilitud del incendio de las galeras romanas mediante los espejos ardientes ha sido objeto de debate desde la Edad Media. En 1977, D.L.Simms, especialista en combustión, realiza un informe en el que afirma que es imposible, sin embargo, éste no ha sido totalmente aceptado.

Arquímedes en la actualidad

En 1935 se llama «Arquímedes » a un cráter lunar (29.7° N, 4.0° W) ubicado en la zona oriental del Mare Imbrium.

También llevan su nombre la cordillera lunar «Montes de Arquímedes » (25.3° N, 4.6° W) y el asteroide 3600 Arquímedes.

La exclamación ¡ Eureka! es el lema del estado de California. Sin embargo, hace referencia al momento del descubrimiento de oro que desató la Fiebre del oro en California en 1848.

La Medalla Fields lleva un retrato de Arquímedes, junto con su prueba acerca de la relación matemática entre las áreas y volúmenes de la esfera y el cilindro.

La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida a él en latín: "Transire suum pectus mundo que potiri" (Superarse uno mismo y dominar el mundo).

“ todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desalojado”

Arquímedes ( 287– 212 aC)