, representada por r vector uni- tario tangente en se

SECCIÓN 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 859

En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección delmovimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para cualquiercurva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo.

Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si es continua y distinta decero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una curvatenga vector unitario tangente.

Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por

cuando

Solución La derivada de es

Derivada de .

Por tanto, el vector unitario tangente es

Definición de .

Sustituir

Cuando el vector unitario tangente es

como se muestra en la figura 12.20.

En el ejemplo 1, hay que observar que la dirección del vector unitario tangente depende dela orientación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura 12.20 estuviera dada por

aunque también representaría el vector unitario tangente en el punto apuntaría en direc-ción opuesta. Tratar de verificar esto.

Figura 12.20

DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE

Sea una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. El vector uni-tario tangente en se define como

860 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es para-lela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente parahallar la recta tangente a una hélice en un punto.

Hallar y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangentea la hélice dada por

en el punto

Solución La derivada de es lo que implica quePor consiguiente, el vector unitario tangente es

Vector unitario tangente.

En el punto y el vector unitario tangente es

Usando los números directores y y el punto (x1, y1, z1)se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes (dadas con el pará-

metro ).

Esta recta tangente se muestra en la figura 12.21.

En el ejemplo 2 hay una cantidad infinita de vectores que son ortogonales al vectortangente Uno de estos vectores es el vector Esto se desprende de la propiedad7 del teorema 12.2. Es decir,

Normalizando el vector se obtiene un vector especial llamado el vector unitarionormal principal, como se indica en la definición siguiente.

DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL

Sea una curva suave en un intervalo abierto I representada por . Si entonces el vector unitario normal principal en t se define como

sen

sen

sen2

sen

y

x

z

3 3

3

5

6

2, 2, 4( )

Rectatangente

C

Curva:r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk

Figura 12.21


Hallar y para la curva representada por

Solución Derivando, se obtiene

y

lo que implica que el vector unitario tangente es


Usando el teorema 12.2, se deriva con respecto a t para obtener

Por tanto, el vector unitario normal principal es

Vector unitario normal principal.

Cuando el vector unitario normal principal es

como se muestra en la figura 12.22.

El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvasplanas, se puede simplificar el álgebra hallando


y observando que debe ser

o

Como se sigue que tanto como son vectores unitariosnormales. El vector unitario normal principal es el que apunta hacia el lado cóncavo dela curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válidopara curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva en elespacio, el vector apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras queel vector es ortogonal a y apunta hacia la dirección en que gira el objeto, comose muestra en la figura 12.23.

3

1

2

321

y

x

Cr(t) 3ti 2t2jCurva:

5(3i 4j)1T(1)

5 ( 4i 3j)1N(1)

Figura 12.22

Figura 12.23


Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por

Solución De acuerdo con el ejemplo 2, se sabe que el vector unitario tangente es


Así, está dado por

Como se sigue que el vector unitario normal principal es

Vector unitario normal principal.

Nótese que este vector es horizontal y apunta hacia el eje z, como se muestra en lafigura 12.24.

Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo de unacurva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez constante, losvectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece razonable, porque larapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en dirección del movimiento. Estaafirmación se puede verificar observando que

si es una constante. (Ver la propiedad 7 del teorema 12.2.)Sin embargo, si un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y acele-

ración no necesariamente son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proyectil elvector aceleración siempre apunta hacia abajo, sin importar la dirección del movimiento.

En general, parte de la aceleración (la componente tangencial) actúa en la línea delmovimiento y otra parte (la componente normal) actúa perpendicular a la línea del movi-miento. Para determinar estas dos componentes, se pueden usar los vectores unitarios y que juegan un papel análogo a y cuando se representan los vectores en el plano.El teorema siguiente establece que el vector aceleración se encuentra en el plano determi-nado por y

x y

z

1

2

2

1

2

1

1

22

2

2

3

Hélice:r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk

Figura 12.24

TEOREMA 12.4 VECTOR ACELERACIÓN

Si es el vector posición de una curva suave y existe, entonces el vectoraceleración se encuentra en el plano determinado por y

sen

sen

sen

sen

sen


Demostración Para simplificar la notación, se escribe en lugar de en lugar dey así sucesivamente. Como se sigue que

Por derivación, se obtiene

Regla del producto.

Como se expresa mediante una combinación lineal de y se sigue que a está en el plano determinado por y

A los coeficientes de y de en la demostración del teorema 12.4 se les conoce comocomponentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por y

Por tanto, se puede escribir

El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para y

Nótese que se encuentra en el plano de y Por tanto, se puede usarla figura 12.25 para concluir que, en cualquier instante las componentes de la proyeccióndel vector aceleración sobre y sobre N están dadas por y respectivamente. Además, como y se tiene

En los ejercicios 96 y 97 se pide demostrar las otras partes del teorema.

Las fórmulas del teorema 12.5, junto con algunas otras fórmulas de este capítulo, se resu-men en la página 877.Figura 12.25

TEOREMA 12.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN

Si es el vector posición de una curva suave [para la cual existe], entonceslas componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes.

Nótese que A la componente normal de la aceleración también se le llamacomponente centrípeta de la aceleración.

,


Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dadopor

Solución Para empezar se halla la velocidad, la rapidez y la aceleración.

De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es

Componente tangencial de la aceleración.

y como

la componente normal de la aceleración es

Componente normal de la aceleración.

En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alternativa siguiente para .

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por

Solución

De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es

Como se puede usar la fórmula alternativa para la com-ponente normal de la aceleración para obtener

Nótese que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la acele-ración. En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es per-pendicular a la velocidad. Ver la figura 12.26.

Componente normalde la aceleración.

Componente tangen-cial de la aceleración.

Figura 12.26

sen

sen

sen sen

sen2

sen

sen2


En los ejercicios 1 a 4, dibujar el vector unitario tangente y losvectores normales a los puntos dados.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 10, hallar el vector unitario tangente a lacurva en el valor especificado del parámetro.

5. 6.

7.

8.

9.10.

En los ejercicios 11 a 16, hallar el vector unitario tangente yhallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tan-gente a la curva en el espacio en el punto

11.12.13.14.15.16.

P

t

El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por

Vector posición.

Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando 1 y

Solución

Vector velocidad.

Velocidad.

Vector aceleración.

La componente tangencial de la aceleración es

En los instantes especificados, se tiene

En la figura 12.27 se puede ver que, a la altura máxima, cuando la compo-nente tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimientoes horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente hori-zontal de la aceleración.

Componente tangen-cial de la aceleración.

Figura 12.27

sen

sen

sen

sensensen


En los ejercicios 17 y 18, usar un sistema algebraico por compu-tadora para representar la gráfica de la curva en el espacio.Después hallar y un conjunto de ecuaciones paramétricas dela recta tangente a la curva en el espacio en el punto Representar la gráfica de la recta tangente.17.18.

En los ejercicios 19 y 20, hallar un con-junto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la grá-fica en y utilizar las ecuaciones de la recta para apro-ximar 19.20.

En los ejercicios 21 y 22, verificar que las curvas en el espacio secortan en los valores dados de los parámetros. Hallar el ánguloentre los vectores tangentes a las curvas en el punto de intersec-ción.21.

22.

En los ejercicios 23 a 30, encontrar el vector unitario normalprincipal a la curva en el valor especificado del parámetro.23.

24.

25.

26.

27.28.

29.

30.

En los ejercicios 31 a 34, hallar y (si existe)para un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria dada porla función vectorial Usar los resultados para determinar laforma de la trayectoria. ¿Es constante la rapidez del objeto ocambiante?31. 32.33. 34.

En los ejercicios 35 a 44, hallar y para la curvaplana en el instante

35. 36.

37.38.

39.40.

41.

42.43.44.

En los ejercicios 45 a 48, considerar unobjeto que se mueve según la función de posición

45. Hallar y 46. Determinar las direcciones de y en relación con la función

de posición 47. Determinar la rapidez del objeto en cualquier instante y

explicar su valor en relación con el valor de 48. Si la velocidad angular se reduce a la mitad, ¿en qué factor

cambia ?

En los ejercicios 49 a 54, dibujar la gráfica de la curva planadada por la función vectorial, y, en el punto sobre la curva deter-minada por dibujar los vectores T y N. Observar que Napunta hacia el lado cóncavo de la curva.

Función Instante

49.

50.

53.

54.

En los ejercicios 55 a 62, hallar T y en el instantedado para la curva espacial Hallar T( ) y

Resolver para N en la ecuación

Función Instante55.56.

t a aatt

att

51.

52. t0 2r t) 2t 1)i t2j

t014r(t) 4ti 4t2j

t

t a t a t

ttaatt

t

tttt

r t cos 3t i 2 sen 3t j k, t

t 6r t cos t i sen tj,

tt t

Pt

sen

sen

sen

57.

58.

59.

60.61.62. t 0r t) et i 2tj e tk

t 0r t e t sen t i et cos t j et kt 2r t) 2t 1 i t2j 4tk

t 1r t t i t2j t2

2 k

t 1r t) 3ti tj t2k

t 3r t) cos ti sen tj 2tk

sen

sensen sen sen sen

sen

sen

sensensen

sen

sen

sen


En los ejercicios 63 y 66, usar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente la curva espacial. Entonceshallar T y en el instante dado Dibujar y en la curva en el espacio.

Función Instante

71. La figura muestra la trayectoria de unapartícula representada por la función vectorial

La figura muestra también los vectores y en los valores indicados de

a) Hallar y en t 1 y b) En cada uno de los valores indicados de t, determinar si la

rapidez de la partícula aumenta o disminuye. Dar razonespara las respuestas.

72. La fi-gura muestra una partícula que sigue la trayectoria dada por

La figura muestra también los vectores y para y

a) Hallar y en y b) Determinar si la rapidez de la partícula aumenta o dismi-

nuye en cada uno de los valores indicados de t. Dar razonespara las respuestas.

En los ejercicios 73 a 78, hallar los vectores T y N, y el vector uni-tario binormal de la función vectorial en el valordado de

73. 74.

Figura para 73 Figura para 74

79. Hallar las componentes tangen-cial y normal de la aceleración de un proyectil disparado con unángulo con la horizontal y con rapidez inicial ¿Cuáles sonlas componentes cuando el proyectil está en su altura máxima?

80. Utilizar los resultados del ejerci-cio 79 para hallar las componentes tangencial y normal de laaceleración de un proyectil disparado con un ángulo de 45° conla horizontal con rapidez inicial de 150 pies por segundo.¿Cuáles son las componentes cuando el proyectil está en sualtura máxima?

tt

tttatt

67. Definir el vector unitario tangente, el vector unitario normalprincipal, y las componentes tangencial y normal de la ace-leración.

68. ¿Cuál es la relación entre el vector unitario tangente y laorientación de una curva? Explicar.

69. a) Describir el movimiento de una partícula si la compo-nente normal de la aceleración es 0.

b) Describir el movimiento de una partícula si la compo-nente tangencial de la aceleración es 0.

63.

64.

65.

66. t 1r t t2i j 2tk

t 2r t t i 3t2 j t2

2 k

tr t 2 cos t i 1 sen t j t3 k

t 2r t 4t i 3 cos t j 3 sen tk

70. Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria dada por

r(t) 3ti 4tj.

Encontrar v(t), a(t) T(t) y N(t) (si existe). ¿Cuál es la formade la trayectoria? ¿Es constante o variable la velocidad delobjeto?

r t t sen t, 1 cos t .

r t cos t t sen t, sen t t cos t .

r t 2 cos t i 2 sen t j t2 k

75.

76.

77.

78. t0 4r t 3 cos 2t i 3 sen 2t j tk,

t0 3r t 4 sen t i 4 cos t j 2t k,

t0 0r t 2et i et cos t j et sen tk,

t0 4r t i sen t j cos t k,


81. Un proyectil se lanza con veloci-dad inicial de 120 pies por segundo desde 5 pies de altura y conun ángulo de 30° con la horizontal.a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil.b) Usar una herramienta de graficación para representar la

trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance delproyectil.

c) Hallar y d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

e) Usar una herramienta de graficación para representar las fun-ciones escalares y ¿Cómo cambia la velocidad delproyectil cuando y tienen signos opuestos?

82. Un proyectil se lanza con veloci-dad inicial de 220 pies por segundo desde una altura de 4 pies ycon un ángulo de 45° con la horizontal.a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del pro-

yectil.b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayec-

toria y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil.c) Hallar y d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

83. Debido a una tormenta, los contro-ladores aéreos en tierra indican a un piloto que vuela a una alti-tud de 4 millas que efectúe un giro de 90° y ascienda a unaaltitud de 4.2 millas. El modelo de la trayectoria del avióndurante esta maniobra es

donde t es el tiempo en horas y r es la distancia en millas.a) Determinar la rapidez del avión.b) Usar un sistema algebraico por computadora y calcular

y ¿Por qué una de éstas es igual a 0?84. Un avión volando a una altitud de

36 000 pies con rapidez de 600 millas por hora deja caer unabomba. Hallar las componentes tangencial y normal de la ace-leración que actúan sobre la bomba.

85. Un objeto, atado al extremo de unacuerda, gira con rapidez constante, de acuerdo con la función deposición dada en los ejercicios 45 a 48.a) Si la velocidad angular se duplica, ¿cómo se modifica la

componente centrípeta de la aceleración?b) Si la velocidad angular no se modifica pero la longitud de la

cuerda se reduce a la mitad, ¿cómo cambia la componentecentrípeta de la aceleración?

86. Un objeto de masa m se mueve con rapidezconstante v siguiendo una trayectoria circular de radio r. Lafuerza requerida para producir la componente centrípeta de laaceleración se llama fuerza centrípeta y está dada por

La ley de Newton de la gravitación universalestablece que donde d es la distancia entre loscentros de los dos cuerpos de masas M y m, y G es una cons-tante gravitatoria. Usar esta ley para mostrar que la rapidezrequerida para el movimiento circular es

En los ejercicios 87 a 90, usar el resultado delejercicio 86 para hallar la rapidez necesaria para la órbita circular dada alrededor de la Tierra. Tomar millas cúbicas por segundo al cuadrado, y suponer que el radiode la Tierra es 4 000 millas.87. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 115 millas

sobre la superficie de la Tierra.88. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 245 millas

sobre la superficie de la Tierra.89. La órbita de un satélite de detección térmica que viaja a 385

millas sobre la superficie de la Tierra.90. La órbita de un satélite de comunicación que está en órbita

geosíncrona a r millas sobre la superficie de la Tierra. [El satéliterealiza una órbita por día sideral (aproximadamente 23 horas, 56minutos) y, por consiguiente, parece permanecer estacionariosobre un punto en la Tierra.]

En los ejercicios 91 y 92, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que muestre que es falsa.

91. Si el indicador de velocidad de un automóvil es constante,entonces el automóvil no puede estar acelerando.

92. Si en un objeto en movimiento, entonces el objeto semueve en una línea recta.

93. Una partícula sigue una trayectoria dada por r(t) cosh(bt)isenh(bt)j donde b es una constante positiva.a) Mostrar que la trayectoria de la partícula es una hipérbola.b) Mostrar que

94. Mostrar que el vector unitario normal principal N apunta haciael lado cóncavo de una curva plana.

95. Mostrar que en un objeto que se mueve en línea recta el vectores 0.

96. Mostrar que

97. Mostrar que

GM

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Velocidad

sen

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Velocidad

98. Una partícula de masa unitaria se mueve en línea recta bajo laacción de una fuerza que es función de la velocidad v de lapartícula, pero no se conoce la forma de esta función. Se obser-va el movimiento y se encuentra que la distancia x recorrida enel tiempo t está relacionada con t por medio de la fórmula

donde a, b y c tienen valores numéricosdeterminados por la observación del movimiento. Hallar la fun-ción para el rango de v cubierto en el experimento.

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

A-32 Soluciones de los ejercicios impares

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Soluciones de los ejercicios impares A-33

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