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EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II BLOQUE: ANÁLISIS

1. Septiembre( 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:

>−

≤≤+

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3. Septiembre (2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:

≥+

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5. (Junio 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:

>

≤+−−=

13

12

xsibx

xsiaxx)x(f

a) Calcúlense a y b, para que la función f sea continua y derivable en todos sus puntos. b) Para a=6 y b= ¾ determínese los puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX.

Esbócese la gráfica. c) Para a=6 y b= ¾, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f el

eje OX y la recta vertical x=2. SOL: a) a=5 y b= 1. b) Con OX: (-3,0) y con OY (0,6)

c) ( ) 21

3

2

1

2 243

5646 uLdx

xdxxx∫ ∫

−

+=

++−−

6. (Junio 2010 / OPCIÓN A/ EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por 1

2

−=x

x)x(f

a) Determínense sus asíntotas. b) Calcúlense sus máximos y sus mínimos locales. Esbócese la gráfica de f. c) Calcúlese el área del recinto plano limitado por f y la recta y=x+1.

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SOL: a) A:V: x=1: A.O: y=x+1 b) Máximo local (0,0); mínimo local (2,4), gráfica:

c) 23

2

3

2

2

21

11

1uLdx

xdxx

x

x∫ ∫ =

−=

−−

−

7. (Junio 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:

>+

≤≤−

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Se considera el rectángulo(R) de vértices BOAC, con B(0,b) , O(0,0), A(a,0) y C(a,b) dónde a>0 , b>0 y cuyo vértice C está situado en la parábola de ecuación 122 +−= xy a) Para a=3, determínense las coordenadas de los vértices de (R) y calcúlese el área de (R) . b) Determínense las coordenadas de los vértices de (R ) de manera que el área de (R ) sea

máxima. c) Calcúlese el valor de dicha área máxima SOL:

a) vértices; (0,0), (3,0), (3,3) y (0,3) área de 29u b) Área )a(aA 122 +−= su máximo será para a=2, por lo tanto sus vértices serán (0,0), (2,0), (2, 8) y (0,8 ) c) 216u

9. (modelo 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función ℜ∈++= c,b,asiendocbxax)x(f 23 a) ¿ Qué valores deben de tomar a,b y c para que la gráfica de “f” pase por el punto (0,0=) y

además tenga un máximo en P(1,2)? b) Para a=1, b= -2, c=0, determínese los puntos de corte dela gráfica de “f” con los ejes de

coordenadas. c) Para a=1, b= -2, c=0, calcúlese el área del recinto plano acotado por la gráfica de “f2 y el

eje OX.. SOL: a) a=-4 ; b=6 y c=0 b) Cortes con los ejes: (0,0) y (2,0)

c) ( ) 22

0

23

3

42 udxxx∫ =+−

10. (modelo 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)

(puntuación máxima 3 puntos)

Se considera la curva de la ecuación cartesiana 2xy = a) Calcúlese las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva propuesta es

paralela a la bisectriz del primer cuadrante. b) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva

propuesta, la recta tangente a la curva en el punto (1,1) y el eje OX.

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SOL: a) (1/2,1/4) b) ( ) 250

0

1

50

22

12

112 udxxxdxx

.

.

∫ ∫ =+−+

11. (Septiembre 2009 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) El beneficio semanal (en miles de Euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinado por la función: 1072 −+−= xx)x(B En la que “x” representa los hectolitros de leche desnatada producidos a la semana.

a) Represéntese gráficamente la función B(x) con 0≥x . b) Calcúlense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la

central lechera para maximizar su beneficio. Calcúlense el beneficio máximo. c) Calcúlense las cantidades mínima y máxima de hectolitros de leche desnatada que

debe de producir la central lechera cada semana para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficio negativo)

SOL: a) b) El número de hectolitros será de 3,5, para que el beneficio sea máximo. Este beneficio será de 2250€ . c) Por debajo de 2 hectolitros o por encima de 5 hectolitros se producirán pérdidas. 12. (Septiembre 2009 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

>+−

≤

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SOL:a)

b) recta tangente y-10=2(x-1)

c) ( ) ( ) ( )6

1333

2

169

3

17081159242

3

12

2

3

15

2

2 =++=+−++++∫ ∫ ∫−

− −dxxdxxdxx u2

13. (Junio 2009 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por: axx

x)x(f

−−

−=

2

12

(a) Determínese las asíntotas, especificando los valores del parámetro real “a” para los cuales f tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales, o bien no tiene asíntotas verticales.

(b) Para a=-1, calcúlense los valores de “b” para los cuales se verifica que ∫ =b

dx)x(f0

0

SOL: a) AH: y=0; si a-1/4 hay dos asíntotas verticales. b) b=0 y b=1 14. (Junio 2009 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)

Dada la función real de variable real definida por: ( )22 1−= x)x(f , se pide determinar: (c) Determínese los extremos relativos de f(x). (d) Hállese la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3. (e) Calcúlese el área del recinto del plano acotado por f y el eje OX. SOL: a) Máximo relativo en (0,1); mínimo relativo en (1,0) y en (-1,0)

b) recta tangente y=96x-224 c) 16/15 u2

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15. (MODELO 2008 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)

Dada la función real de variable real definida por: xxx)x(f 96 23 +−= , se pide determinar: (f) Los puntos en los que la gráfica f corta a los ejes de coordenadas. (g) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (h) El área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función de f y el eje OX. SOL: a) (0,0) y (3,0) b) ( ) ( )creciente,,x +∞∪∞−∈∀ 31 , ( ) edecrecient,x 31∈∀

c) 4 u2

16. (MODELO 2008 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)

Dada la función real de variable real definida por:

4

32

2

−=x

x)x(f

a) Calcular sus asíntotas y esbozar la gráfica. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x=0 SOL: a) AV.: x=-2; x= 2: AH: y=3

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b) y=0 recta tangente en x=0

17. (SEPTIEMBRE 2008 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 3dm . La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. ¿Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado? SOL: 10 dm mide la arista de la base y 5 dm la altura de la caja.

18. (SEPTIEMBRE 2008 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) Se considera la función real de variable real definida por:

2,4

2)(

2

2

±≠−

+= xx

xxf

a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense los máximos y mínimos de f y determínense los intervalos de crecimiento.

c) Calcúlese la integral definida: ∫ −5

3

2 )()4( dxxfx

SOL: a) AV. : x = -2; x = 2 A.H. y = 1

b)

−2

1,0M ; f es creciente en ( )0,∞− y decreciente en ( )+∞,0

c) 110/3

19. (JUNIO 2008 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) Calcúlese el área de la región de plano acotada por las gráficas de las funciones reales de variable real:

22 1)(,)( xxgxxxf −=−=

SOL: Área = 224

19u

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20. (JUNIO 2008 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) Se considera la función real de variable real definida por:

0,2

)(2

≠++

= xx

xxxf

d) Determínense las asíntotas de f. e) Calcúlense los máximos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento.

f) Calcúlese la integral definida: ∫2

1)( dxxf

SOL: a) A.V. : x = 0; A.O. y = x+1

b) ( ) ( )122,2122,2 +−− mM ; creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,22, y decreciente

en ( )2,2− c) Equivalente al área comprendida entre f(x), OX , x=1 y x=2 : Área =

2226

5uL

+

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21. (SEPTIEMBRE 2007 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) Dada la función real de variable real definida por

23

)(2

2

+−

−=

xx

xxxf

a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular sus asíntotas si las hubiere. SOL a) }2,1{)( −ℜ=fD .

b) f es continua ( ) ( ) ( )+∞∪∪∞− ,22,11, y discontinua en x=1 y en x=2. c) A.V. : x = 2; A.H. y = 1

22. (SEPTIEMBRE 2007 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)

La gráfica de la función f(x) = ax3 + b x2 + c satisface las siguientes propiedades: 1ª) Pasa por el punto (0, 0) 2ª) Tiene máximo local en el punto (1, 2). Se pide: a) Obtner el valor de los coeficientes a, b y c. b) Hallar el área de la región acotada del plano limitada por la gráfica de la función

xx)x(g 33 +−= , el eje OX y la recta x = 1 SOL: a) a = -4, b = 6, c = 0.

b) ( ) ( ) 20

3

1

0

33

2

7

4

5

4

933 udxxxdxxx∫ ∫

−

=+=+−+−

de 29

23. (JUNIO 2007 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)

Dada la función real de variable real definida por:

( )3

3)(

2

+

−=x

xxf

Se pide: a) Determinar las asíntotas de la función b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento.

SOL: a) A.V. : x = -3; A.O. y = x – 9 b) ( ) ( )0,324,9 mM − c) f es creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,39, y decreciente en ( )3,9−

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24. (JUNIO 2006 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)

Representar la región acotada y limitada por las gráficas de las funciones

)205(2

1)(),205(

2

1)(,

4

5)( 2 +−=+== xxhxxgxxf

y obtener su área.

SOL: Área = 23

70u

25. (SEPTIEMBRE 2006 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)

Dada la función real de variable real definida por

4

16)(

2

2

−

−=x

xxf

a) Encontrar las asíntotas de la función. b) Especificar el signo de la función en las distintas regiones en la que está definida SOL a) A.V. : x = -2, x = 2; A.H. y = 1 c) f es positiva en ( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞− ,42,24, y negativa en ( ) ( )4,22,4 ∪−−

de 29


Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) = 9 – x2 , g(x) = 3 + x y obtener su área.

SOL: Área = 26

95u

de 29


Se considera la función real de variable real definida por : F(x) = x3 – 9x. Se pide:

a) Calcular sus máximos y mínimos relativos, si existen. b) Calcular el área del recinto de plano acotado limitado por la gráfica de la función f y el

eje OX.

SOL: a) ( ) ( )36,336,3 −− mM b) Área = 22

81u

28. (JUNIO 2006 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x2 + 8x. Se pide:

a) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x

b) Calcular el área del recinto plano acotado y limitado por las gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación cartesiana y = x + 8.

SOL: a) P(-3, -15) b) Área = 22

243u

de 29


Se considera la curva de ecuación 12

3

+=x

xy . Se pide:

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa 1=x . b) Hallar las asíntotas de la curva.

SOL: a) 2

1−= xy b) A.V.: No tiene A.H.: No tiene A.O.: xy =



)(2

2

−=x

xxf .

a) Hallar sus asíntotas. b) Calcular sus máximos y sus mínimos relativos, si existen.

SOL: a) A.V.: 3−=x 3=x A.H.: 1=y A.O.: No tiene b) Máximo relativo en (0,0)

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La función x

xxxB

169)(

2 −+−= representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso

de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo.

SOL: Vendiendo 4 artículos se obtiene un beneficio máximo de 1000 €.


a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de xexf −= 2)( en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas.

b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función xxxf 4)( 2 −= , el eje OX y las rectas 1−=x , 4=x .

SOL: a) 22 exey +−=

b) 213uA =

de 29


Se considera la función real de variable real definida por 105)( 23

++−= xaxa

xxf , 0≠a

a) Obtener los valores de a para los cuales la función )(xf tiene un máximo en 1=x . b) Calcular los extremos relativos de )(xf para 3=a y representar la función.

SOL: a) 2

1−=a , 3=a b) Máximo en )

3

37,1( y mínimo en )

3

5,5(


Sean las funciones 82)( 2 −−= xxxf y 42

)(2

++−= xx

xg

a) Calcular )(

)(lim

4 xg

xf

x→.

b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas )(xf y )(xg .

SOL: a) -2 b) 54 2u

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Calcular la integral definida ∫− ++1

1)1|(| dxxx SOL: ( ) 312

1

0

0

1=++ ∫∫− dxxdx Gráficamente la

superficie sombreada.

de 29



4)(

2

2

−

−=

x

xxf

a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas.

SOL: a) ( ] [ )+∞∪−∪−∞− ,2)1,1(2, b) A.V: 1−=x , 1=x A.H: 1=y


Se considera la función 2

)( xxexf = . a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xf en el punto de abscisa 1=x . b) Calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de )(xf para 0≥x , el eje OX y la

recta 2=x .

SOL: a) )23·( −= xey b) )1(2

1 4 −e 2u

de 29


Sea la función 1222

1)(

2

3

−+

+−=

xx

xxf . Se pide:

a) Especificar su dominio de definición. SOL: a) }2,3{)( −−ℜ=fD b) Estudiar su continuidad. b) Salto infinito en 3−=x y 2=x

c) Calcular las asíntotas si las hubiera. c) A.V: 3−=x , 2=x A.O: 2

1

2

1+−= xy

de 29


Sean las funciones 9)( 2 −= xxf y 6)( 2 −−= xxxg . Calcular:

a) )(

)(lim

3 xg

xf

x→

b) Los extremos relativos de ),(xg si existen. c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función ),(xf el eje OX y las rectas

,3=x 6=x .

SOL: a) 6/5 b) Mínimo en

c) 36 2u


Dada la función 21

)(x

xxf

−=

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular sus asíntotas.

de 29

c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xf en 0=x .

SOL: a) Creciente en ),( +∞−∞ b) A.V: 1=x , 1−=x A.H: 0=y c) xy =


Para cada valor de a , se considera la función 2

3)(

2

+

−=

x

axxxf . Se pide:

a) Calcular el valor de a para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = 2. b) Hallar las asíntotas de la curva )(xfy = para el valor 3=a

SOL: a) 18=a b) A.V: 2−=x A.O: 93 −= xy 42. (SEPTIEMBRE 2002 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)

Calcular el valor de 0>a en los siguientes casos:

a) ∫ =+3

0 1

1adx

x b) ∫ =+

a

dxx0

31

1 c) ∫ =+

3

05

1dxax

SOL: a) 4ln=a b) 13 −= ea c) 1

35 −

=e

a


a) Halla las coordenadas del mínimo de la curva 542 −−= xxy . b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los

puntos de intersección de dicha curva con el eje OX.

SOL: a) (2,-9) b) 54 2u

de 29


Se considera la curva de ecuación .43 xxy −= a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus

máximos y mínimos relativos, si existen. b) Representar gráficamente la curva. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX. SOL: a) Corte con OX: (-2,0), (0,0), (2,0) Corte con OY: (0,0) Mínimo:

−

9

316,

3

32 Máximo:

−

9

316,

3

32 c)

8 2u


de 29

San las funciones baxxxf ++= 2)( , cxxg +−= 2)( .

a) Determínense ba, y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (-2,-3) y (1,0).

b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xg en el punto (-2,-3). c) Calcúlese el área de la región limitada por las gráficas de )(xf y )(xg .

SOL: a) 2=a , 3−=b , 1=c b) 54 += xy c) 9 2u


Sea la función 323

12)( xxxf −= . Calcúlense:

a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. b) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. c) El valor de x para el que es máxima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )(xf .

SOL: a) Creciente en )4,0( y decreciente en ),4()0,( +∞∪−∞ b) Máximo en (4, 32/3) y mínimo en (0,0) c) 2=x


Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 3cm , para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Hállense la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible.

SOL: 5 cm de altura y 10 cm de lado de la base


Dada la función 122

1

3

1)( 23 +−+= xxxxf

a) Determínense sus máximos y mínimos relativos. b) Calcúlense sus puntos de inflexión. c) Esbócese su gráfica.

SOL: a) Máximo en (-2, 13/3) y mínimo en (1,-1/6) b) Punto de inflexión en (-1/2, 25/12)

de 29


Dada la función, definida en los reales salvo en 0=x , x

xxf2

3)( −−= , calcúlese:

a) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. b) El área de la región plana acotada limitada por la gráfica de )(xf y el semieje positivo OX.

SOL: a) Mínimo en ( )223,2 +− y máximo en ( )223,2 − b) 2ln22/3 − 2u


Dada la función 2

10330340)(

2

+

−+=

t

ttts definida en los reales, salvo ,2−=t hállese:

a) El valor positivo de t en el que se hace cero la función. b) El valor positivo de t en el que )(ts se hace máximo. c) Las asíntotas de )(ts .

SOL: a) 34=t b) 4=t c) A.V: 2−=t

de 29


Se considera la función

>+

−

≤−

+

=

22

23

21

2

)( 2xsi

x

xx

xsix

x

xf

a) Estúdiese si )(xf es continua en el punto .2=x b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a )(xf en el punto .3=x c) Calcúlense sus asíntotas oblicuas.

SOL: a) No continua en 2=x b) 25

72

25

59−= xy c) 83 −= xy es A.O. cuando

+∞→x


Sea la función dependiente de los parámetros a y b

>−

≤

de 29


Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión 108273)( 2 +−= xxxC . a) ¿Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio, xxCxM /)()( = ? b) Justifíquese que la función coste medio, ),(xM no tiene puntos de inflexión.

SOL: a) 6 unidades b) No tiene puntos de inflexión porque 0)( ≠′′ xM para todo x 54. (SEPTIEMBRE 1999 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)

Sea la función

≤≤−

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