1Cuaderno de trabajo

2Cuaderno de trabajo

Estimado(a) estudiante:

Este cuaderno es una herramienta que te ayudará en tu proceso de preparación acadé-mica y contribuirá a ejercitar tus conocimientos. En él encontrarás diversas actividades me-diante las cuales podrás reforzar los aprendizajes que has adquirido en la escuela.

Los temas están organizados de forma que los puedas trabajar durante cuatro días conse-cutivos, idealmente de lunes a jueves. El quinto día, el viernes, está reservado para las acti-vidades integradoras, las cuales te servirán para poner en práctica lo que hayas aprendido durante la semana y recordar otros conceptos complementarios. En total serán 20 días de trabajo organizado y eficiente.

En este proceso de aprendizaje te acompañará un tutor —generalmente un familiar—, quien te guiará en las actividades y te ayudará a resolver dudas.

Presentación

3Cuaderno de trabajo

Los temas son:

3.1. Teorema de Pitágoras

3.2. Razones trigonométricas básicas

Actividad integradora

4Cuaderno de trabajo

DÍA 1

Me activo y me concentro

Clones

Rodea los 5 vaqueros que sean exactamente iguales.

TEMA 3.1: Teorema de Pitágoras

Lo que sé sobre el tema

1. ¿Qué figuras ves? 2. ¿Cuántas hay en total? 3. De las figuras que hay, ¿cómo se clasifican por su forma?

Aprendo más

Pitágoras y su teorema

Pitágoras nació alrededor de 569 a.C. en Samos, Jonia, y murió cerca de 475 a.C. Este personaje se considera el primer matemático puro, porque estaba interesado en los principios de las matemáticas y los conceptos de número, triángulo y otras figuras.

En lo que se refiere al concepto del triángulo, demostró que la suma de los ángulos internos de esta figura es igual a180° y que, en el caso del triángulo rectángulo, el cuadrado de la

5Cuaderno de trabajo

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Triángulos

El triángulo es un polígono formado por tres líneas o lados unidos por vértices que forman ángulos internos. Según su amplitud, los ángulos internos se clasifican en:

• Agudo: amplitud menor a 90°• Recto: amplitud igual a 90°• Obtuso: amplitud mayor a 90° y menor a 180°

Los triángulos se clasifican de acuerdo con:

A. La longitud de sus lados• Equilátero: sus tres lados tienen la misma longitud.• Isósceles: solamente dos de sus lados son de igual

longitud.• Escaleno: sus tres lados tienen longitudes diferentes.

B. Sus ángulos internos• Acutángulo: sus tres ángulos internos son agudos. • Rectángulo: uno de sus ángulos internos es recto.• Obtusángulo: uno de sus ángulos internos es obtuso.

El triángulo rectángulo es una figura con numerosas ma-nifestaciones. Se puede observar, por ejemplo, en una ram-pa, en la forma que crea una escoba recargada sobre la pared o en la sombra que proyecta un objeto. Los ejemplos son tantos y las aplicaciones tan diversas que el estudio del triángulo rectángulo es todo un tema en matemáticas (geo-metría y trigonometría).

En un triángulo rectángulo, los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

6Cuaderno de trabajo

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Si a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa, entonces:

Los valores al cuadrado representan el área que se ob-tiene a partir de las longitudes lineales del triángulo de refe-rencia.

El procedimiento general para resolver problemas de longitu-des desconocidas en triángulos rectángulos es el siguiente.

a) Dibuja el triángulo (en caso de que sea necesario). b) Escribe la fórmula del teorema de Pitágoras. c) Sustituye los valores conocidos y despeja la incógni-

ta (según sea el caso).

d) Eleva los valores al cuadrado. e) Realiza la operación (suma o resta, según sea el

caso). f) Calcula la raíz cuadrada.

Cuando el resultado tiene más de dos decimales —y en especial si tiene un valor decimal infinito—, debe usarse el símbolo ≈. Por ejemplo:

Calcula el valor faltante de un triángulo rectángulo cu-yos catetos miden 70 m y 100 m respectivamente.

a) El valor faltante es el de la diagonal del triángulo, es decir, la hipotenusa.

b) a2 + b2 = c2

c) 702 + 1002 = c2

d) 4,900 + 10,000 = c2

e) 14,900 = c2

f) 122 � c (el resultado es 122.06555615700702)

Así pues, la longitud de la línea diagonal del triángulo es aproximadamente 122 metros.

7Cuaderno de trabajo

Ahora veamos los siguientes casos.

Caso 1

Mario está plantando árboles alrededor de un terreno, como se muestra en la imagen, pero no sabe cuánto mide uno de los lados. ¿Cómo podría conocer esa medida?

1. Sustituye los valores en la fórmula; en este caso, x, el valor desconocido, es la c.

a2 + b2 = c2

62 + 82 = c2

2. Realiza la operación.(6) (6) + (8) (8) = c2

36 + 64 = c2

100 = c2

3. Calcula la raíz cuadrada de la suma.

√100 = cx = 10 m

Caso 2

Uriel está construyendo una barra para un bar y decidió co-locar superficies de madera en dos de los lados; ambas miden 1.5 m de ancho y el área de cada superficie se pue-de ver en la imagen. Ahora desea cubrir el tercer lado con una superficie de cristal que tenga el mismo ancho que las superficies de madera.

a) ¿Cuál será la longitud del tercer lado?b) ¿Cuál será el área de la superficie que cubrirá con cristal?

1. Sustituye los valores en la fórmula. En este caso, la x (la variable desconocida) es la a.

a2 + b2 = c2

x2 + (18/1.5)2 = (19.5/1.5)2

2. Despeja la incógnita.a2 = c2 – b2

x2 = (19.5/1.5)2 – (18/1.5)2

8Cuaderno de trabajo

3. Realiza las operaciones.

• Para conocer la longitud del lado que se cubrirá con cristal:

x2 = 169 –144 = 25x = 5 m

• Para conocer el área de la superficie que se deberá cu-brir con cristal:

A = largo x anchoA = 5 x 1.5A = 7.5 m2

Observa que, al tratarse de un área, la unidad de medida es m2.

Practico para comprender mejor

1. Relaciona cada tipo de triángulo con la figura correspon-diente. Luego, explica cuál es el origen del nombre de cada figura y marca los ángulos relevantes para esa ex-plicación.

TIPO DE TRIÁNGULO FIGURA EXPLICACIÓN

Escalenorectángulo

Equiláteroacutángulo

Escalenoacutángulo

Isóscelesobtusángulo

Escalenoobtusángulo

Isóscelesacutángulo

Isóscelesrectángulo

9Cuaderno de trabajo

2. Completa las siguientes expresiones. Toma como refe-rencia la ecuación del teorema de Pitágoras para despe-jar.

DATOS EXPRESIONES

a2 = c2 – ____ b2 = ________

d2 = ________ f2 = e2 + _____

i2 =_________ h2 =_________

k2 =_________ m2 =_________

3. Completa la siguiente tabla.

a b c a2 + b2 = c2

16 12 ____________= 4008 17

15 _____+ 81 =

DÍA 2

Me activo y me concentro

Mundo al revés

Observa con atención la imagen y, en tu libreta, dibuja cómo imaginas este mundo al revés.

Repaso con mi tutor

Comenta con tu tutor la importancia de los triángulos en la vida cotidiana.

10Cuaderno de trabajo

Sigo aprendiendo

A. El inverso del teorema de Pitágoras

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo (ΔABC) satisfacen la ecuación de Pitágoras (a2 + b2 = c2), entonces el triángulo es rectángulo y el ángulo BAC = 90º.

Ejemplo: Un niño quería construir una casita rectangular para su gato. Puso manos a la obra y, cuando terminó, se dispuso a ver si la casita realmente tenía forma rectangular. Entonces, tomó algunas dimensiones y vio que un lado medía 54 pulga-das, el lado adyacente 30 pulgadas y una diagonal 63 pulga-das.

Para saber si la casita realmente es rectangular, sigue los si-guientes pasos.

a) Dibuja el rectángulo con las medidas correspondien-tes.

b) Identifica los valores de a, b y c.a = 30 b = 54 c = 63

c) Calcula el cuadrado de cada uno de los datos.302 = 900 542 = 2916 632 = 3969

d) Suma los lados a y b para comprobar la ecuación.900 + 2916 = 3816

e) Concluye con base en el resultado.3816 ≠ 3969

Conclusión: La casita no es rectangular porque no se

cumple el triple pitagórico.

El triple pitagórico consiste en tres números enteros —a, b, c— que satisfacen la ecuación del teorema de Pitágoras. Cabe resaltar que a + b = c no es equivalente a a2 + b2 = c2. Por ejemplo, si a = 3, b = 4 y c = 5:

a + b = c 3 + 4 = 7 7 ≠ 5a2 + b2 = c2 32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

B. Generalización del teorema de Pitágoras

Como se mencionó, el teorema de Pitágoras se refiere al área que se forma a partir de la medida lineal de cada lado de un

11Cuaderno de trabajo

triángulo rectángulo. Por tanto, en los siguientes ejemplos, el área de X más el área de Y es igual al área de Z.

Área X + Área Y = Área Z

C. Teorema de Pitágoras en el plano cartesiano

De manera general, se puede decir que el plano cartesiano es un sistema de referencia geométrico para la ubicación de puntos en el espacio, ya sean físicos o imaginarios. El plano está formado por rectas paralelas verticales y horizontales, pero tiene dos rectas principales que se presentan a manera de rectas numéricas, una vertical (eje y) y otra horizontal (eje x). Cada vértice en donde se cruzan las líneas recibe el nombre de coordenadas.

Con el teorema de Pitágoras, se puede conocer la distancia que hay entre dos puntos o coordenadas. Por ejemplo, para determinar la distancia que hay del punto en donde está Laura al punto en donde está Rodrigo, sigue los siguientes pasos.

a) Traza una línea que una los dos puntos. b) Traza una línea vertical y otra horizontal a partir de

cada punto para formar un triángulo rectángulo. c) Cuenta los cuadros de cada lado que se formó y, así,

tendrás los datos de los catetos. d) Aplica la fórmula del teorema de Pitágoras. e) Obtén el resultado.

a2 + b2 = c2

32 + 72 = c2

9 + 49 = c58 = c2

7.62 � c

Conclusión: La distancia que hay entre Laura y Rodrigo es de aproximadamente 7.72 puntos.

Vean el video “Teorema de Pitágoras”.

12Cuaderno de trabajo

Practico para comprender mejor

A. Realiza las operaciones necesarias para determinar si los siguientes valores son triples pitagóricos o corresponden a un triángulo rectángulo. Considera el tercer valor como c.

VALORESPROCEDIMIENTO

CONCLUSIÓNa2 + b2 = c2

6, 8, 11

5, 12, 13

16, 30, 34

2, 3, 4

9, 14, 17

10, 24, 26

2.4, 6, 9

B. En tu libreta, calcula las distancias entre los puntos A y B; M y N; y P y Q con base en su posición en el plano car-tesiano.

Me autoevalúo

Lee detenidamente los ejercicios que a continuación se pre-sentan y elige el inciso que contenga la respuesta correcta.

1. Un camión mide 4.5 metros de alto y proyecta una som-bra que termina a 11.2 metros de distancia. ¿Cuánto mide la línea que forma la sombra del camión en el piso?

a) 12.07 m b) 12.14 m c) 13.21 m d) 13.76 m

13Cuaderno de trabajo

2. El entrenador de Roberto le recomendó aumentar los grados de inclinación a su caminadora para mejorar la resistencia en sus piernas. Observa la imagen y determi-na los grados de inclinación de la caminadora.

a) 12° b) 18° c) 32° d) 46°

3. La mesa directiva de la escuela decidió poner una resba-ladilla que mide 3 metros de longitud y se colocará a una altura de 1.8 metros. ¿Qué superficie del piso cubrirá la resbaladilla?

a) 5.7 m b) 3.3 m c) 2.4 m d) 1.9 m

4. ¿Qué ángulo forman los lados y la base del siguiente triangulo isósceles?

a) 24° b) 45° c) 60° d) 78°

5. La distancia de un muro a la base de una escalera que está recargada sobre él es de 4 metros. ¿A qué altura del muro llega la escalera si ésta mide 6.8 metros de largo?

a) 5.2 m b) 5.5 m c) 5.8 m d) 6.4 m

DÍA 3

Me activo y me concentro

Crucigrama

Coloca los dígitos correspondientes a cada definición de manera que en las casillas verdes sólo haya números pares y en las amarillas impares. Como pista, se proporcionan las sumas de algunas columnas y filas de casillas.

PISTASSumas horizontalesA. 30, C. 27, E. 26, G. 20. I. 24, K. 23, M. 16

Sumas verticalesA. 22, C. 34, E. 24, G. 8. I. 19, K. 25, M. 18

14Cuaderno de trabajo

TEMA 3.2: Razones trigonométricas básicas

Lo que sé sobre el tema

Sopa de letras

Encuentra las palabras en la sopa de letras y anótalas en una hoja cuadriculada así como aparecen en la sopa. Pue-den estar en dirección vertical ( , ), horizontal ( ) o diago-nal ( , , ).

ÁNGULOS, COSENO, LONGITUD, CATETOS, RECTÁNGULO, SENO, RAZÓN, AGUDO, TRIGONOMÉTRICA, ADYACENTE, TRIÁNGULO, HIPOTENUSA, OPUESTO, TANGENTE

En tu libreta redacta un texto que relacione todas las palabras con un sentido lógico. Puedes usarlas en singular o plural e incluir otras palabras para completar las ideas.

Aprendo más

Las funciones trigonométricas son las razones de las lon-gitudes de los lados de un triángulo rectángulo ΔABC con respecto a sus ángulos agudos.

• El cateto opuesto es el que está enfrente del ángulo de referencia.

• El cateto adyacente es el que parte del ángulo de refe-rencia.

15Cuaderno de trabajo

Para cualquiera de los ángulos agudos del triángulo rectán-gulo, las razones son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. En el ejemplo del ángulo θ, las razo-nes son:

Ejemplo: Se desea obtener los valores de las relaciones tri-gonométricas cuando sen α = 3

5 y α es un ángulo agudo.

1. Dibuja un triángulo y coloca los valores de sus lados se-gún lo que indica la razón trigonométrica.

2. Determina el valor de x con el teorema de Pitágoras.

a2 + b2 = c2

a2 + x2 = c2

x2 = c2 – a2

x2 = 52 – 32

x2 = 25 – 9x2 = 16x = 4

Hipotenusa (Hip) = 5Cateto opuesto (COp) = 3Cateto adyacente (CAdy) = 4

3. Aplica las relaciones trigonométricas.

sen α = COpHip = 3

5

cos α = CAdyHip = 4

5

tan α = COpCAdy = 3

4

csc α = HipCOp = 5

3

sec α = HipCAdy = 5

4

cot α = CAdyCOp = 4

3

Si en el triángulo rectángulo ΔABC a representa la longitud de BC, b la AC y c la de AB, entonces las razones son para los ángulos A y B.

BC

16Cuaderno de trabajo

En el triángulo rectángulo, los ángulos A y B son comple-mentarios, es decir que A + B = 90º, entonces:

• El seno de un ángulo es igual al coseno del otro.sen A = cos B y sen B = cos A

• La tangente de un ángulo es igual a la cotangente del otro.

tan A = cot B y tan B = cot A

• La secante de un ángulo es igual a la cosecante del otro.sen A = csc B y sec B = csc A

Ejemplo: Una grúa sostiene una canastilla, como se mues-tra en la imagen. Calcula el valor de las razones que se so-licitan.

sen N = 2.55.59 = 0.45 sen M = 5

5.59 = 0.89

cos N = 55.59 = 0.89 cos M = 2.5

5.59 = 0.45

tan N = 2.55 = 0.5 tan M = 5

2.5 = 2

csc N = 5.592.5 = 2.24 csc M = 5.59

5 = 1.12

sec N = 5.595 = 1.12 sec M = 5.59

2.5 = 2.24

cot N = 52.5 = 2 cot M = 2.5

5 = 0.5

Las razones sólo dependen del ángulo de referencia y no del tamaño del triángulo. Por ejemplo, en la figura se observa que los triángulos son similares, por lo que las ra-zones de los lados que corresponden son proporcionales.

Entonces:bc

= b´c´

cb

= c´b´

ac

= a´c´

ca

= c´a´

ba

= b´a´

ab

= a´b´

Por ejemplo, si a = 3, b = 6 y c = 6.7, ¿cuánto valen b´ y c´ si a´ = 1.5?

• Observa los valores semejantes a = 3 y a´ = 1.5.• Calcula el valor constante de proporcionalidad, en este

caso, dividiendo aa´

31.5

= 2.

17Cuaderno de trabajo

• Divide los valores de b y c, respectivamente, entre la constante:

b´ = 62 = 3 y c´ = 6.7

2 = 3.35

• Comprueba los valores que hayas calculado en una de las proporciones, por ejemplo:

66.7

= 33.35

• Para comprobar el resultado, calcula el valor de los se-nos y los cosenos, respectivamente:

Vean el video “Razones trigonométricas”.

Practico para comprender mejor

Sigue las indicaciones y resuelve los ejercicios en tu libreta.

1. Si μ es un ángulo agudo y cot μ = 86

, ¿cuáles son los valores de todas las funciones trigonométricas de μ?

2. Escribe las medidas del triángulo rectángulo que apare-ce en la imagen —considera que cada cuadrado mide 2 cm por lado— y calcula el valor de las siguientes razo-nes trigonométricas.

BC = AC = AB =

sen A = cos A = tan A =

sen B = cos B = tan B =

Observa los resultados y completa:

sen A = = sen B

18Cuaderno de trabajo

3. Observa la figura y completa la tabla. Considera que cada cuadrado de la figura mide 1 cm por lado. Expresa los resultados con hasta cuatro decimales.

TRIÁNGULO ADE AFG AHI ACB

Cateto opuesto al ángulo A

Cateto adyacente al ángulo B

Hipotenusa

Cateto opuesto al ángulo AHipotenusa

Cateto adyacente al ángulo AHipotenusa

Repaso con mi tutor

Intercambia tus aprendizajes acerca del tema con tu tutor.

DÍA 4

Me activo y me concentro

Imaginación espacial

Imagina que tienes un cubo de madera pintado de verde, como se muestra en la figura 1. Después, lo cortas de tal forma que queden 9 cubitos por lado (en total 27), como se observa en la figura 2.

• ¿Cuántos cubitos tendrán una cara pintada de verde?• ¿Cuántos cubitos tendrán dos caras pintadas de verde?• ¿Cuántos cubitos tendrán tres caras pintadas de verde?• ¿Cuántos cubitos se quedarán sin pintar?

19Cuaderno de trabajo

La última y nos vamos

Lee detenidamente los ejercicios que a continuación se pre-sentan y elige el inciso que contenga la respuesta correcta.

1. En el siguiente triángulo, ¿cómo se determina el coseno de β?

a) 714

b) 1415

c) 715

d) 1514

2. ¿A qué altura se encuentra el señalamiento?

a) 4.78 m b) 5.33 m c) 6.43 m d) 7.28 m

3. ¿Cuánto mide el seno de A en el siguiente triángulo rec-tángulo?

a) sen A= 0.58 b) sen A= 0.62 c) sen A= 0.77 d) sen A= 0.81

4. Determina cuánto mide el ángulo x en el siguiente triángu-lo rectángulo.

a) 90° b) 72° c) 62° d) 45°

5. En el siguiente triángulo, ¿cómo se determina el seno de β?

a) 3435 b) 17

35 c) 1734 d) 35

34

20Cuaderno de trabajo

6. ¿Cuánto mide el lado x de la pantalla?

a) 111.27 cm b) 112.70 cm c) 113.20 cm d) 115.50 cm

7. ¿Cuánto mide el coseno de B en el siguiente triángulo rectángulo?

a) cos B=0.6055 b) cos B=0.6302 c) cos B=0.7621 d) cos B=0.7958

8. ¿Cuánto mide el ángulo del vértice que forman las dos hojas de las tijeras que muestra la imagen?

a) 30° b) 40° c) 60° d) 70°

9. ¿Cuánto mide la tangente del ángulo de 60°?

a) 1.74 b) 1.25 c) 0.76 d) 0.57

21Cuaderno de trabajo

10. ¿Cuál es la medida del cateto adyacente al ángulo θ?

a) CAdy = 8.2 b) CAdy + 8.2 c) CAdy < 8.2 d) CAdy � 8.2

11. ¿Cuál de los siguientes grupos de valores NO represen-ta un triple pitagórico?

3, 4, 5 12, 16, 20 6, 8, 10 4, 8, 12A B C D

a) A b) C c) D d) B

12. ¿Cuál de los siguientes triángulos NO es semejante a los demás?

a) D b) C c) B d) A

13. ¿Cuánto mide el seno de α en los tres triángulos seme-jantes del ejercicio anterior?

a) sen α = 0.64 b) sen α = 0.58 c) sen α = 0.50 d) sen α = 0.46

14. Observa el triángulo C del mismo ejercicio. ¿Cuánto mide la cotangente del ángulo α?

a) cot α = 0.52 b) cot α = 0.91 c) cot α = 1.52 d) cot α = 1.91

15. Ahora observa el triángulo B. ¿Cuánto mide la secante del ángulo α?

a) sec α = 0.76 b) sec α = 0.93 c) sec α = 1.3 d) sec α = 1.6

22Cuaderno de trabajo

DÍA 5

Me activo y me concentro

La caja de regalo

Pedro desea enviar de regalo a su primo un telescopio cuyo tubo mide 90 centímetros de largo. Sin embargo, en la empresa de mensajería sólo admiten paquetes que midan máximo 55 centímetros por lado. ¿Cómo puede hacer Pe-dro para enviar el telescopio si no puede cortar o doblar el tubo?

Actividad integradora

La casita del árbol

Imagina que en tu casa hay un árbol y deseas construir en él una casita para que tus invitados puedan compartir mo-mentos agradables.

Las características generales de la casa son:a) Techo en forma de “dos aguas” b) Altura total de la casa (del piso a la parte más alta del

techo): 136 cmc) Capacidad de la casa: mínimo 6 niños de pie con un es-

pacio entre ellos d) Piso de la casa a una altura de 120 cm contados desde

el suelo

Recursos

• Libreta de apuntes• Hojas cuadriculadas (de preferencia) • Hojas blancas• Lápiz, goma y sacapuntas• Lápices de colores• 1 regla• Mucha imaginación

23Cuaderno de trabajo

Procedimiento

1. En una hoja blanca realiza el bosquejo de la casa con las características que se mencionaron. Calcula las medidas con base en la siguiente información y anótalas en los trazos correspondientes.

• La altura del techo debe ser la cuarta parte de la altura total de la casa y deberá exceder la medida de cada lado de la casa por 15 cm.

• El ancho de la casa será la medida que determines se-gún la capacidad que se mencionó en la descripción de las características de la casa (mínimo 6 niños con un es-pacio entre ellos).

• La profundidad de la casa debe medir el triple de la hipo-tenusa del techo.

2. En la hoja cuadriculada, dibuja la casa de manera pro-porcional (por ejemplo, 1 cuadro equivale a 10 cm).

3. En el dibujo, considera una escalera para subir a la casi-ta. Ésta deberá medir 140 cm.

4. En otra hoja, dibuja las figuras que integran a la casita y anota las medidas de cada uno de sus lados.

5. Realiza lo siguiente y responde las preguntas.a) Traza una línea diagonal que una las esquinas de la casa

y anota: • ¿Cuánto miden los ángulos agudos que se forman?

• ¿Cuáles son los valores de las 6 razones trigonomé-tricas?

b) ¿A qué distancia en el suelo estará la base de la escalera de la casita? c) Agrega al diseño de la casita un accesorio cuyas dimen-siones sean semejantes a la figura que se formó con la línea diagonal que trazaste en el inciso a de esta actividad y com-prueba la semejanza entre ambas figuras.

¡Felicidades, lo lograste!