@ angel prieto benitoapuntes 1º bachillerato ct1 probabilidad tema 15

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

PROBABILIDAD

Tema 15


PROBABILIDAD TOTAL

Tema 15.7 * 1º BCT


DIAGRAMA DE ÁRBOL• El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la

solución final de un problema.

• NORMAS

• 1.- Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento.

• 2. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente.

• 3.- Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama.

• 4.- Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas.

• Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es 1


PROBABILIDAD TOTAL

• Sea A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, o sea que se cumple:

– Son incompatibles dos a dos.– La unión de todos ellos es el suceso seguro.

• Sea B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas:

• P(B / A1), P(B / A2), … , P(B / An)

• Entonces se cumple:

• P(B) = P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+P(A3).P(B/A3)+ …+P(An).P(B/An)

• Si un suceso, B, se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos que lo producen.


Probabilidad total

• Ejemplo 1

• Tenemos tres máquinas, A, B y C, que producen el 20 %, 30 % y 50 % de las piezas en una empresa.

• De 1000 muestras, tenemos 10, 15 y 25 piezas defectuosas provenientes respectivamente de las máquinas A, B y C.

• Sin embargo la prueba de defectos sólo es fiable en el 95% de los casos si la pieza no tiene defectos, y en el 99 % si tiene defectos.

• ¿Cuál es la probabilidad de que tomada una muestra al azar, provenga de la máquina A, sea defectuosa y la prueba sea correcta?.

• ¿Cuál es la probabilidad de que tomada una muestra al azar, provenga de la máquina C, no sea defectuosa y la prueba de un resultado falso?.


• Solución• 0,95 • 0,05• 0,99 • 0,2 0,99 P(A∩D∩C)=P(A).P(D/A).P(C/D∩A)

= • 0,01 0,01 =0,2.0,01.0,99 = 0,00198• • 0,95 • 0,985 0,05 • 0,3 • 0,015 0,99• 0,01• • 0,975 0,95 _ _ _ • 0,5 0,05 P(C∩D∩F)= P(C).P(D/A).P(F/D∩A)• 0,025 = 0,5.0,975.0,05 = 0,024375• 0,99• 0,01


• Ejemplo 2

• En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar.

• ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?.• ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?.

• Resolución:

• P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6 Sea chica.• P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4 Sea chico.

• P(L/A) = 85% = 85/100 = 0,85 Sea chica y viva en la localidad.

• P(L/O)= 70% = 70/100 = 0,7 Sea chico y viva en la localidad.• P(NL/A) = 15% = 15/100 = 0,15 Sea chica y no viva en la local.• P(NL/O)= 30% = 30/100 = 0,3 Sea chico y no viva en la local.

• P(L) = P(A).P(L/A) + P(O).P(L/O) = 0,6.0,85 + 0,4.0,7 = 0,51+0,28=0,79• P(NL) = P(A).P(NL/A) + P(O).P(NL/O) =0,6.0,15 + 0,4.0,3 = 0,09+0,12=0,21


• Empleando el diagrama del árbol

• P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L•• P(A)=0,6

• P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L

• • P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L•• P(O)=0,4

• P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L

• P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79

• P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21

• Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.


• Ejemplo 3

• En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar.

• ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no?

• Resolución:

• P(A)= 100/(100+150+250)= 100/500 = 0,2 Sea de Ana• P(B)= 150/(100+150+250)= 150/500 = 0,3 Sea de Beatriz• P(C)= 250/(100+150+250)= 250/500 = 0,5 Sea de Carlos

• P(E/A) = 5% = 5/100 = 0,05 Errores de Ana• P(E/B) = 3% = 3/100 = 0,03 Errores de Beatriz• P(E/C) = 2% = 2/100 = 0,02 Errores de Carlos

• P(E) = P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C) =• = 0,2.0,05 + 0,3.0,03 + 0,5.0,02 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029• P(NE) = 1 – P(E) = 1 – 0,029 = 0,971



• P(E/A)=0,05 0,2.0,05 = 0,01 De Ana y con errores•• P(A)=0,2

• P(NE/A)=0,95 0,2.0,95 = 0,19 De Ana y sin errores • • P(E/B)=0,03 0,3.0,03 = 0,009 De Bea y con errores •• P(B)=0,3

• P(NE/B)=0,97 0,3.0,97 = 0,291 De Bea y sin errores

• P(E/C)=0,02 0,5.0,02 = 0,01 De Carlos y con errores

•• P(C)=0,5

• P(NE/C)=0,98 0,5.0,98 = 0,49 De Carlos y sin errores

• P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029 P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971


TEOREMA DE BAYES

Tema 15.8 * 1º BCT


TEOREMA DE BAYES

• Bayes, con su Teorema, fue el primero en unificar las distintas probabilidades que se pueden dar en un suceso complejo: Probabilidades simples (probabilidades a priori), probabilidades condicionadas (verosimilitudes) y las nuevas probabilidades a calcular (a posteriori).

• Y todo ello con la ventaja de poder utilizar al diagrama del árbol.• • Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso

cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión:

• P(Ai).P(B / Ai)• P(Ai / B) = -------------------------------------------------------------------------------• P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An)

• Donde P(Ai) son las probabilidades a priori.• P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori.• P(B / Ai) son las verosimilitudes.


• Ejemplo 1

• En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?.

• Resolución:• Probabilidades a priori:• P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6 Sea chica.• P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4 Sea chico.• Verosimilitudes: • P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85 Sea chica y viva en la

localidad.• P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7 Sea chico y viva en la

localidad.• Probabilidades a posteriori: • Por el Teorema de Bayes

• P(O).P(L/O) 0,4.0,7 0,28• P(O/L) = ---------------------------------- = ------------------------ = -------- = 0,3544• P(A).P(L/A)+P(O).P(L/O) 0,6.0,85 + 0,4.0,7 0,79



• P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L•• P(A)=0,6

• P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L

• • P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L•• P(O)=0,4

• P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L

• P(O/L) = 0,28 /(0,51+0,28) = 0,28/0,79 = 0,3544

• De igual manera podemos calcular la probabilidad de que sea chica:• P(A/L) = 0,51 /(0,51+0,28) = 0,51/0,79 = 0,6456• Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.


• Ejemplo 2

• En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar y resulta con errores.

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Ana?. ¿Y de que sea de Carlos?

• Resolución:• (Tomamos los datos del mismo ejercicio parcialmente hecho: Tema 17.5) • Probabilidades a priori:• P(Ana)= 0,2 , P(Bea)= 0,3 , P(Carlos)= 0,5 • Verosimilitudes:• P(E/Ana) = 0,05 , P(E/Bea) = 0,03 , P(E/Carlos) = 0,02

• P(A).P(E/A)• P(A/E) = ---------------------------------------------------------- =• P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C)• 0,2.0,05 0,01 0,01• P(A/E) = --------------------------------------- = ----------------------- = -------- = 0,3455• 0,2.0,05 + 0,3.0,03 + 0,5.0,02 0,01+0,009+0,01 0,029 • P(C/E) = 0,5.0,02 / 0,029 = 0,01 / 0,029 = 0,3455



• P(E/A)=0,05 0,2.0,05 = 0,01 De Ana y con errores•• P(A)=0,2• P(NE/A)=0,95 0,2.0,95 = 0,19 De Ana y sin errores • • P(E/B)=0,03 0,3.0,03 = 0,009 De Bea y con errores •• P(B)=0,3

• P(NE/B)=0,97 0,3.0,97 = 0,291 De Bea y sin errores

• P(E/C)=0,02 0,5.0,02 = 0,01 De Carlos y con errores

•• P(C)=0,5

• P(NE/C)=0,98 0,5.0,98 = 0,49 De Carlos y sin errores

• P(A/E) = 0,01/(0,01+0,009+0,01) = 0,01/0,029 = 0,3455• P(C/E) = 0,01/(0,01+0,009+0,01) = 0,01/0,029 = 0,3455

@ angel prieto benitoapuntes 1º bachillerato ct1 probabilidad tema 15

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