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1-1

Capítulo tresDescripción de los datos: medidas de ubicación

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

UNOCalcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media geométrica.

DOS Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada medida de ubicación.

TRESIdentificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.



Media de la población

• Para datos no agrupados, la media de la población es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población:

• donde µ representa la media de la población.• N es el número total de elementos en la

población.• X representa cualquier valor en particular. indica la operación de sumar.

X N/

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EJEMPLO 1

• Parámetro: una característica de una población.

• La familia Kiers posee cuatro carros. Los datos son las millas recorridas por cada uno:56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de millas de los cuatro carros.

• Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500

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Media de una muestra

• Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos:

• donde X denota la media muestral• n es el número total de valores en la

muestra.

X X n /

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EJEMPLO 2

• Dato estadístico: una característica de una muestra.

• Una muestra de cinco ejecutivos recibió la siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y $15 000. Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos.

• Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es (14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 + 15 000) / 5 = $15 400.

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Propiedades de la media aritmética

• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio.

• Al evaluar la media se incluyen todos los valores.

• Un conjunto de valores sólo tiene una media.• La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta

la media.• La media es la única medida de ubicación

donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero.

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EJEMPLO 3

• Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras palabras,

( )X X 0

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Media ponderada

• La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, ..., Xn, con las ponderaciones correspondientes w1, w2, ...,wn, se calcula con la fórmula:

wXwXw

wwwXwXwXwXw nnn

/)*(

).../()...( 212211

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EJEMPLO 6

• Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Chris sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas. (Precio ($), cantidad vendida): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15).

• La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = $43.75/50 = $0.875

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Mediana

• Mediana: es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella.

• Nota: para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.

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EJEMPLO 4

• Calcule la mediana para los siguientes datos.• La edad de una muestra de cinco estudiantes

es: 21, 25, 19, 20 y 22.• Al ordenar los datos de manera ascendente

quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21.• La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores de

basquetbol es 76, 73, 80 y 75.• Al ordenar los datos de manera ascendente

quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75.5.

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Propiedades de la mediana

• La mediana es única para cada conjunto de datos.

• No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren.

• Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.

• Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases.

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Moda

• La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.

• EJEMPLO 5: las calificaciones de un examen de diez estudantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81.

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Media geométrica

• La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores. Su fórmula es:

· La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.

n nXXXXMG ))...()()(( 321

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EJEMPLO 7

• Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%.

• La media geométrica es = 5.192.

• La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5.333.

• La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%.

3 )4)(5)(7(MG

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Media geométrica continuación

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• Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro. La fórmula para este tipo de problema es:

1periodo) del inicio alvalor periodo)/( del final alvalor ( nMG


EJEMPLO 8

• El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995.

• Aquí n = 10, así (n - 1) = 9.

• Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1.27%.

.0127.1000755/0008358 MG

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Media de datos agrupados

• La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

XXf

f

Xf

n

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EJEMPLO 9

• Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior. Calcule la media de las películas proyectadas.

XXf

f

Xf

n

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EJEMPLO 9 continuación

Películasexhibidas

frecuenciaf

punto mediode clase X

(f)(X)

1-2 1 1.5 1.5

3-4 2 3.5 7.0

5-6 3 5.5 16.5

7-8 1 7.5 7.5

9-10 3 9.5 28.5

Total 10 61

61/10 = 6.1 películas

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Mediana de datos agrupados

• La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

• Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i)• donde L es el límite inferior de la clase que

contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.

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Cálculo de la clase de la mediana

Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados:

• Elabore una distribución de frecuencias acumulada.

• Divida el número total de datos entre 2.• Determine qué clase contiene este

valor. Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana).

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EJEMPLO 10

• La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5)

Películasexhibidas

Frecuencia Frecuenciaacumulada

1-2 1 1

3-4 2 3

5-6 3 6

7-8 1 7

9-10 3 10

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EJEMPLO 10 continuación

• De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3.

• Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33

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Moda de datos agrupados

• La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.

• Las modas en el EJEMPLO 10 son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en el ejemplo 10.

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Distribución simétrica

• sesgo cero moda = mediana = media

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Distribución con asimetría positiva

• sesgo a la derecha: media y mediana seencuentran a la derecha de la moda.

• moda < mediana < media

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Distribución con asimetría negativa

• sesgo a la izquierda: media y mediana están a la izquierda de la moda.

• media < mediana < moda

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NOTA

• Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar.

• moda = media - 3(media - mediana)• media = [3(mediana) - moda]/2• mediana = [2(media) + moda]/3

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