( )1 · vp (4.3) donde vp es el valor presente de todos los flujos futuros a partir del siguiente...

1

4

Problemas especiales de los métodos

Con tu indecisión... envenenaste de dolor mi corazón. Con

tu indecisión... cambiaste tú mi orgullo en humillación.

Indecisión. Bolero, canta Olga Guillot

Es importante tener presente cuáles son las restricciones de los modelos estudiados hasta ahora. En el capítulo 1 se mencionaron algunos hallazgos de correlación negativa entre el uso de estas técnicas y el éxito de las firmas. Otra vez se insiste en que en ninguna forma ese resultado es concluyente, en especial cuando se sabe que todos estos métodos tienen unas suposiciones muy fuertes. Además, en la práctica, su utilización no tiene en cuenta esas suposiciones, y, como si fuera poco, en ocasiones se aplican mal. En este capítulo se estudian con algún detalle problemas adicionales a los mencionados en el capítulo anterior.

4.1 Tasas de interés no uniformes

En las fórmulas estudiadas hay que suponer que la tasa de interés se mantiene constante a lo largo de todo el horizonte de planeamiento –período de estudio de la alternativa–. Desde el capítulo 2 se sabe que esta tasa puede variar con el tiempo, lo cual significa que para cada período puede existir una tasa de descuento diferente.

En la realidad, cada período tiene una tasa de descuento diferente y en ese caso la expresión más general sería:

1 + i j( )j=1

n

∏ = 1 + i1( )1 + i2( )... 1 + in( ) (4.1)

En lugar de (1+i)

n. ∏ significa que todos los elementos se multiplican, por ejemplo:

( ) ( )( )21

2

1

111 iiij

j ++=+∏=

(4.2)

Esta operación se puede hacer con la función = PRODUCTO (rango) de Excel.

El cálculo del valor presente neto (VPN) es muy fácil de hacer con hojas electrónicas. Como ya se mencionó, se pueden utilizar las funciones de Excel = VA(i%;n;C;F;tipo), cuando se trata de cuotas uniformes o sumas futuras, o = VNA(i%;rango), cuando se trata de flujos de caja no uniformes. Un supuesto en estas funciones y en las estudiadas en el capítulo anterior es el de considerar que la tasa de descuento i es única y constante a lo largo de todos los períodos. Este supuesto se puede eliminar, pero entonces ya no se podrían utilizar las fórmulas y funciones estudiadas.

Para resolver este problema se puede acudir a una hoja electrónica –o incluso a mano, pero requiere tiempo y cuidado–. Un ejemplo de este tipo de situaciones se encuentra en el ejercicio 19 del capítulo anterior. A veces será necesario utilizar una opción del menú de

2

Excel: Herramientas. Allí se escoge la opción Buscar objetivo, la cual, utilizada apropiadamente, puede resolver muchas situaciones. También es posible resolver este tipo de problemas con la función de Excel = VF.PLAN(P,rango de tasas de interés). Un ejemplo ilustra esta situación.

La forma más sencilla de resolver este problema es utilizar una fórmula muy sencilla construida en Excel:

1

11

1 +

++

+

+=

t

tt

ttd

VPFCVP (4.3)

Donde VP es el valor presente de todos los flujos futuros a partir del siguiente período; FC, el flujo de caja del período siguiente al cual se quiere calcular el VP, y td, la tasa de descuento.

Ejemplo 1

Suponga que un padre de familia desea ahorrar para la matrícula universitaria de su hijo de 12 años durante toda su carrera de 5 años y que el valor de la matrícula hoy asciende a $1.200.000 al año. Desea ahorrar siete cuotas iguales anuales a partir de los 13 años de su hijo hasta el primer año de estudios del joven y espera que de ahí en adelante él haga retiros de la cuenta de ahorros para los pagos de la matrícula y cuando haya pagado la última, la cuenta quede en cero. El padre debe calcular cuánto va a ser la matrícula durante los cinco años en que su hijo va a estudiar; para ello proyecta los aumentos en el costo de la matrícula, año tras año. Lo mismo sucede con las tasas de interés que le pagarán en la cuenta de ahorros; también calcula esa tasa anual de año en año.

Se debe construir una tabla en Excel de manera que todas las cifras de las últimas tres columnas dependan de la primera cuota. Esa primera cuota se escribe como un número cualquiera. En este caso se escribió -1, de manera que se ahorrarían $1.000 anuales. Obviamente, ahorrando esa suma no podrá acumular lo suficiente para el pago de la matrícula.

En la tercera columna se calcula el factor de aumento acumulado; por ejemplo, para el segundo año será 1,25 x 1,22 = 1,5250. De manera que el valor estimado de la matrícula para ese año será de 1.200 x 1,5250 = 1.830 y así para los demás años. Las tasas de interés servirán para calcular el factor de VP para cada año. Esto es, qué suma de dinero deberá depositarse hoy para tener, por ejemplo, en el año 1, un peso, si las tasas de interés son 30% y 29% anuales para cada uno de los dos primeros años. O sea, 1/[(1,3)x(1,29)] = 0,5963. El flujo neto será la suma de lo que ahorre (con signo negativo) más lo que debe retirar de la cuenta para el pago de la matrícula. El valor presente del flujo será lo que resulte de multiplicar el flujo neto por el factor de valor presente; ese resultado está en pesos del instante cero, por lo tanto, se pueden sumar. Si la cuenta debe quedar en cero, entonces su suma deberá ser cero. Evidentemente, con ahorros de $1 no podrá quedar en cero. De hecho, vale 3.831,37.

Este ejemplo está desarrollado en MATFIN.XLS

3

Año % de aumento de la

matrícula

Factor de aumento

Valor de la matrícula en miles ($)

Tasa de interés (%)

Factor de VP

Cuota uniforme

($)

Flujo neto ($)

VP del flujo neto

($)

1 25 1,2500 1.500 30 0,7692 -1,00 -1,00 -0,77 2 22 1,5250 1.830 29 0,5963 -1,00 -1,00 -0,60 3 19 1,8148 2.178 28 0,4659 -1,00 -1,00 -0,47 4 16 2,1051 2.526 27 0,3668 -1,00 -1,00 -0,37 5 17 2,4630 2.956 26 0,2911 -1,00 -1,00 -0,29 6 18 2,9063 3.488 25 0,2329 -1,00 -1,00 -0,23 7 19 3,4585 4.150 24 0,1878 -1.00 4.149,22 779,32 8 20 4,1502 4.980 23 0,1527 4.980,26 760,50 9 21 5,0218 6.026 22 0,1252 6.026.12 754,26 10 22 6,1266 7.352 21 0,1034 7.351,86 760,50 11 23 7,5357 9.043 20 0,0862 9.041,79 779,51

3.831,37

Al no sumar cero los valores presentes de los flujos netos, ésa no puede ser la cuota

uniforme. Haciendo uso del concepto equivalencia, ese valor debería ser cero, por lo tanto, en Excel se utiliza la opción de menú Herramientas y de allí se selecciona Buscar objetivo. En el cuadro de diálogo se le señala la celda de la suma (3.831,37), se pide que sea igual a cero y se cambia la celda donde aparece la primera cuota, en este caso el primer valor de -1. El programa encuentra el valor de esa celda que hace la suma igual a cero. La hoja deberá tener la siguiente apariencia:

Año Aumento

(%) Factor de aumento



Factor de VP

Cuota uniforme ($)

Flujo neto ($) VP del flujo neto ($)

1 25 1,2500 1.500 30 0,7692 -1.317,59 -1.317,59 -1013.53 2 22 1,5250 1.830 29 0,5963 -1.317,59 -1.317,59 -784,68 3 19 1,8148 2.178 28 0,4659 -1.317,59 -1.317,59 -613,82 4 16 2,1051 2.526 27 0,3668 -1.317,59 -1.317,59 -483,32 5 17 2,4630 2.956 26 0,2911 -1.317,59 -1.317,59 -383,59 6 18 2,9063 3.488 25 0,2329 -1.317,59 -1.317,59 -306,87 7 19 3,4585 4.150 24 0,1878 -1.317,59 2.831,63 531,04 8 20 4,1502 4.980 23 0,1527 4.980,26 760,50 9 21 5,0218 6.026 22 0,1252 6.026,12 754,26 10 22 6,1266 7.352 21 0,1034 7.351,86 760,50 11 23 7,5357 9.043 20 0,0862 9.041,79 779,51 0,00

El valor encontrado es $1.317,59. Esto significa que deberá ahorrar esa suma

durante los próximos siete años. Observe que se puede construir cualquier clase de patrón: creciente, decreciente, fijas algunas cuotas, etc., sin necesidad de acudir a las fórmulas tradicionales. De hecho, no se pueden utilizar porque las tasas son diferentes períodos a período.

Utilizando la función = VF.PLAN(P,rango de tasas de interés) se construiría una tabla similar así:

4

Año Aumento (%)

Factor de aumento



Cuota uniforme ($)

Flujo neto ($)

VP del flujo neto ($)

1 25 1,2500 1.500 30 -1,00 -1,00 -8,92 2 22 1,5250 1.830 29 -1,00 -1,00 -6,92 3 19 1,8148 2.178 28 -1,00 -1,00 -4,40 4 16 2,1051 2.526 27 -1,00 -1,00 -4,26 5 17 2,4630 2.956 26 -1,00 -1,00 -3,38 6 18 2,9063 3.488 25 -1,00 -1,00 -1,70 7 19 3,4585 4.150 24 -1.00 4.149,22 9.040,61 8 20 4,1502 4.980 23 4.980,26 8.821,23 9 21 5,0218 6.026 22 6.026,12 8.749,92 10 22 6,1266 7.352 21 7.351,86 8.821,23 11 23 7,5357 9.043 20 9.041,79 9.041,79 44.446,21

Al no sumar cero los valores futuros de los flujos netos, ésa no puede ser la cuota

uniforme. Haciendo uso del concepto equivalencia, ese valor debería ser cero; por lo tanto, en Excel se utiliza la opción de menú Herramientas y de allí se selecciona Buscar objetivo; en el cuadro de diálogo se le señala la celda de la suma (44.446,21), se pide que sea igual a cero y se cambia la celda donde aparece la primera cuota, en este caso el primer valor de -1. El programa encuentra el valor de esa celda que hace la suma igual a cero. La hoja deberá tener la siguiente apariencia.

Año Aumento

(%) Factor de aumento

Valor de la matrícula ($)


Cuota uniforme ($)

Flujo neto ($) VF del flujo neto ($)

1 25 1,2500 1.500 30 -1.317,59 -1.317,59 -11.757,58 2 22 1,5250 1.830 29 -1.317,59 -1.317,59 -9.114,40 3 19 1,8148 2.178 28 -1.317,59 -1.317,59 -7.120,63 4 16 2,1051 2.526 27 -1.317,59 -1.317,59 -5.606,79 5 17 2,4630 2.956 26 -1.317,59 -1.317,59 -4.449,84 6 18 2,9063 3.488 25 -1.317,59 -1.317,59 -3.559,87 7 19 3,4585 4.150 24 -1.317,59 2.831,63 6.171,93 8 20 4,1502 4.980 23 4.980,26 8.821,23 9 21 5,0218 6.026 22 6.026,12 8.749,92 10 22 6,1266 7.352 21 7.351,86 8.821,23 11 23 7,5357 9.043 20 9.041,79 9.041,79 0,00

El valor encontrado es $1.317,59. Esto significa que deberá ahorrar esa suma durante los próximos siete años. Observe que se puede construir cualquier clase de patrón: creciente, decreciente, fijas algunas cuotas, etc., sin necesidad de acudir a las fórmulas tradicionales.

De hecho, no se pueden utilizar porque las tasas son diferentes, período a período.

4.2 Períodos de diferente longitud

En todas las fórmulas estudiadas hasta ahora se ha considerado que los períodos deben ser iguales, por ejemplo, meses, días, años, etc. Excel tiene la posibilidad de eliminar el supuesto que se hizo al comienzo sobre la igualdad de los períodos. Esto es, que se puede calcular el VPN o la tasa interna de rentabilidad (TIR) aun cuando los períodos son desiguales y sólo es necesario indicar la fecha. Para esta operación se utilizan las opciones de Pegar función o Asistente de funciones en versiones anteriores a Excel 97, y allí las funciones = VNA.NO.PER(tasa;valores;fechas) y = TIR.NO.PER.(valores;fechas;estimar)1

1 Hay que tener tres precauciones con el uso de estas funciones: (1) utilizar fechas con formato fecha; (2) mantener el orden cronológico en la hoja de Excel, y (3) en caso de utilizar la función del día presente para introducir la fecha actual, emplee = HOY() y no = AHORA(). Esta última función incluye fracción del día según la hora, y Excel debe contar días completos.

5

después de haber introducido las nuevas funciones con Herramientas, como se indicó arriba. La tasa que se utiliza en VNA.NO.PER es anual. A continuación un ejemplo.

Ejemplo 2

Para una tasa de 22%, calcule el VPN del siguiente flujo:

Fecha Flujo de caja ($)

1-mar-95 -1.000

4-mar-95 25

31-mar-95 23

22-abr-95 22

23-jul-95 1.020

VPN 11,01

= VNA.NO.PER(22%,rango de valores,rango de fechas). Sólo cuando el tiempo entre las fechas es de 365 días, el VPN que se obtiene con

esta función es el mismo que el obtenido con =VNA(i;rango)–P, como se indicó arriba. Esto significa que esta fórmula, utilizando intervalos de 365 días en las fechas, se puede utilizar para calcular el VPN de manera directa. Obsérvese que puede utilizarse de esa manera para cualquier período (año, mes, trimestre) y lo único que se debe hacer es utilizar la tasa de interés adecuada.

Ejemplo 3

Para una tasa de 2%, calcule el VPN:


3-mar-95 -1.000

2-mar-96 200

2-mar-97 300

2-mar-98 500

2-mar-99 120

1-mar-00 250

1-mar-01 1.200

VNA.NO.PER $53,64

VPN = VNA(i;Rango de valores)–P = $53,64

= VNA.NO.PER(i;Rango de valores;Rango de fechas) La fórmula que Excel utiliza es la siguiente:

( )( )∑

=−

+

=N

jff

j

j

tasa

PVPN

1365

1

1 (4.4)

Donde:

6

Pj = flujo de caja de la fecha j tasa = tasa de descuento j = número de orden de la fecha fj = fecha j f1 = primera fecha N = Número de fechas Para el cálculo de la TIR, Excel ofrece la siguiente función: = TIR.NO.PER.(valores;fechas;estimar) La tasa que calcula TIR.NO.PER es efectiva anual. A continuación un ejemplo.

Ejemplo 4

Para una tasa de 22%, calcule la TIR:


1-mar-95 -1.000

4-mar-95 25

31-mar-95 23

22-abr-95 22

23-jul-95 1.020

TIR = TIR.NO.PER(rango de valores; rango de fechas; 3%) = 24,97%. Sólo cuando

el tiempo entre las fechas es de 365 días, entonces la TIR que se obtiene con esta función es la misma que la obtenida con = TIR(rango; i semilla), como se indicó arriba.

Ejemplo 5

Para una tasa de 25%, calcule la TIR:


3-mar-95 -1.000

2-mar-96 200

2-mar-97 300

2-mar-98 500

2-mar-99 120

1-mar-00 250

1-mar-01 1.200

TIR = TIR(rango de valores) = 26,83%

TIR = TIR.NO.PER(Rango de valores;Rango de fechas) = 26,83%. La fórmula que

Excel utiliza es la siguiente:

7

( )( ) 0

11365

1=

+

=∑=

−

N

jff

j

j

TIR

PVPN (4.5)

Donde: Pj = flujo de caja de la fecha j TIR = tasa interna de rentabilidad j = número de orden de la fecha fj = fecha j f1 = primera fecha N = número de fechas

4.3 Métodos que coinciden con el VPN

El problema de la contradicción entre los métodos TIR, relación beneficio-costo (RB-C) y VPN es ampliamente reconocido en los diversos estudios sobre el tema (Bacon, 1977; Beidleman, 1984; Canada y White, 1980; Fleischer, 1966; Grant y Ireson, 1960; Lorie y Savage, 1954, y Oakford, Baimjee y Jucker, 1977). El tema no ha sido tratado de manera adecuada en los textos tradicionales de finanzas.

Aquí se presenta una alternativa para resolver el problema, basada en una aproximación del autor de 1979 (véase Vélez, 1979) y en una propuesta de David M. Shull (1991).

Para ilustrar la situación, se presenta un ejemplo.

Ejemplo 6

Se va a tomar el ejemplo de Fleischer (1996): un inversionista tiene una tasa de descuento de 5% anual y se tienen dos alternativas mutuamente excluyentes A y B con las siguientes características.

Alternativa Inversión ($) Flujos de caja anuales ($)

Vida esperada Valor final del proyecto ($)

A 20.000 3.116 10 años 0

B 10.000 1.628 10 años 0

Capital disponible: $20.000. Al hacer los cálculos se encuentran los siguientes indicadores: VPNA(5%) = $4.060,95 TIRA = 9,00% y RB/CA = 1.203 VPNB(5%) = $2.570,98 TIRB =10,01% y RB/CB = 1.257 Aquí se ve una clara contradicción entre el VPN y los otros métodos. Este ejemplo está en VPNTIR.XLS. Esta contradicción ocurre por las diferentes suposiciones implícitas de los diferentes

métodos. En particular, cuando se está calculando el VPN, se deben tener en cuenta las suposiciones implícitas en el método del VPN, las cuales son:

8

1. Los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN, aun más allá de la vida del proyecto, si el caso incluye alternativas con vidas diferentes (esto supone que la tasa de descuento es la de oportunidad). Esta suposición no es más que el reconocimiento de la actividad cotidiana de tesorería en las empresas. Ésta consiste en velar por que los fondos disponibles se mantengan productivos, ya sea en nuevos proyectos o en actividades rentables (bonos, cuentas de ahorros, etc.).

2. La diferencia entre la suma invertida en una alternativa y el valor de la alternativa más costosa o de la cifra límite que se disponga, según el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada para calcular el VPN. En el caso de la TIR se supone que la reinversión se hace a la misma TIR y nada

dice acerca de la diferencia o fondos sobrantes. De hecho, la TIR es ciega al monto de la inversión.

En el caso de la RB-C, se supone que la reinversión se hace a la misma tasa de descuento, pero también es ciega al monto de la inversión.

4.3.1 La tasa interna de rentabilidad ponderada (TIRP)

Para aquellos que insisten en utilizar la TIR para decidir entre alternativas o para ordenarlas, se propone aquí un método que simplemente involucra explícitamente las suposiciones del VPN en el cálculo de rentabilidad. Este método o índice que se propone se podría llamar tasa interna de rentabilidad ponderada (TIRP).

Con este procedimiento se elimina la contradicción entre el VPN y la TIR; así mismo, sirve para eliminar el problema de las múltiples TIR.

En la literatura sobre el tema se encuentran intentos de redefinir la TIR haciendo explícita la primera suposición del VPN, pero no se tiene en cuenta la segunda, tal vez por lo que no tiene efecto en el cálculo del VPN. En ediciones anteriores se presentó un modelo que aparentemente resolvía este problema; sin embargo, se presentaban casos donde se mantenía la contradicción entre VPN y TIR.

Echeverri (1987), al simular 68 casos donde se presentaba inconsistencia entre la TIR y el VPN, encontró que la TIR ponderada produjo los mismos ordenamientos que los del VPN; sin embargo, años después, con la opción Buscar objetivo de Excel, se halló que no siempre se mantenía esta consistencia. Esto ocurría porque se hacía una ponderación simple, basada en los montos invertidos, como se hace con la RB-C, para la cual sí funciona. La solución adecuada es simple y la presenta David M. Shull (1991), y es la que se incluye en este texto. Para ilustrar el procedimiento se procede a presentar un ejemplo.

Ejemplo 7

Ahora se incluirán con los datos del Ejemplo 4, una a una, las dos suposiciones del VPN, así:


Vida Esperada

Valor final del proyecto (valor de mercado o valor de salvamento) ($)

A 20.000 3.116 10 años 0 B 10.000 1.628 10 años 0

9

Como se indicó en el Ejemplo 4, hay una contradicción en el ordenamiento por TIR y por VPN, así:

VPNA(5%) = $4.060,95 TIRA = 9,00% y B/CA = 1,203 VPNB(5%) = $2.570,98 TIRB = 10,01% y B/CB = 1,257 Ahora se van a incluir las dos suposiciones del VPN, de manera explícita en el

cálculo de la TIR. Primera suposición: los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se

reinvierten a la tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN, aun más allá de la vida del proyecto, si el caso incluye alternativas con vidas diferentes.

Si se reinvierten los fondos generados por el proyecto durante los 10 años de vida esperada, se tendrá una determinada suma de dinero al final de los 10 años. Con este valor final se puede calcular una TIR. Algunos autores la llaman verdadera rentabilidad o como se le llama aquí, tasa interna de rentabilidad generalizada (TIRG) o tasa interna de rentabilidad con reinversión. En Excel se denomina TIR modificada (TIRM).

Para la alternativa A: en el período t = 0 se invierten $20.000 y al reinvertir los fondos generados por el proyecto a la tasa de oportunidad (5%), al final de los 10 años en t = 10, se obtendrán $39.192,71. Este flujo modificado produce una TIRG de 6,96%.

Para la alternativa B: en el período t = 0 se invierten $10.000 y al reinvertir los fondos generados por el proyecto a la tasa de oportunidad (5%) se obtendrá al final de los 10 años en t = 10, $20.476,81. Este flujo modificado produce una TIRG de 7,43%.

Aquí se puede ver que al incluir únicamente la primera suposición no se elimina la discrepancia de los dos métodos. Falta la segunda suposición.

Segunda suposición: la diferencia entre la suma invertida y el valor de la alternativa más costosa o de la cifra límite de que se disponga, según el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada para calcular el VPN.

Esto supone que la tasa de descuento es la tasa de oportunidad. En este ejemplo, cuando se invierte en la alternativa B, quedan fondos disponibles;

estos fondos se pueden invertir, por lo menos a la tasa de oportunidad. Al calcular el VPN de la alternativa B, se está suponiendo precisamente que se invierten a esa tasa de oportunidad. Lo que sucede es que el VPN de una suma invertida para que produzca una rentabilidad de i% y descontada a esta tasa de interés es la misma cifra que se invirtió; por lo tanto, su VPN es cero.

De este modo, la inversión en B se puede considerar compuesta de dos partes: una que se encuentra invertida a la TIRG y otra que se halla invertida a la tasa de oportunidad (tasa de descuento).

Esto conduce a la siguiente propuesta, que es muy simple: Calcule una tasa de rentabilidad que pondere las dos partes que componen cada

inversión. Los fondos invertidos a cada tasa de rentabilidad indicarían el peso de cada una

de ellas. Esta ponderación se obtiene calculando la TIR del flujo de caja compuesto de las

dos inversiones2:

2 Este enfoque de combinar los dos flujos de caja se le debe a Shull (1991).

10

1

1

−

+= −

nIKI

K

VFVFTIRP (4.6)

Donde: TIRP = tasa interna de rentabilidad ponderada VFI = valor futuro de los fondos reinvertidos a la tasa de descuento VFK–I = valor futuro del excedente invertido a la tasa de descuento I = inversión inicial K = cantidad de dinero disponible Numéricamente se tiene:

Año Alternativa A (I) ($)

Flujo total ($) Alternativa B (I) ($)

Excedente K-I ($)

Flujo total ($%)

0 -20.000 -20.000 -10.000 -10.000 -20.000 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 10 39.192,71 39.192,71 20.476,81 16.288,95 36.765,76

TIRpond 6,96% 6,28%

Con este índice sí se pueden ordenar las alternativas y los resultados coinciden con

los del método del VPN. La mejor alternativa es la A, lo cual coincide con el ordenamiento por VPN. Además, como se mencionó antes, se elimina el problema de las múltiples TIR. Es muy importante aclarar que la TIR ponderada es sólo un índice para ordenar o seleccionar alternativas; no indica valores de rentabilidad del dinero en determinada alternativa. La rentabilidad del dinero, mientras se encuentra invertido en una alternativa, la mide la TIR. Ni siquiera la TIRG indica el verdadero rendimiento del dinero mientras se encuentra invertido en ella, pues precisamente supone que al disponerse de los fondos liberados por el proyecto, éstos se invierten fuera de éste, a la tasa de oportunidad.

Este método es aplicable aun en los casos en que se invierte durante más de un período. En este caso se considerarán los excedentes que existan en cada período de inversión. Esto se estudia en VPNTIR.XLS.

4.3.2 Relación beneficio-costo ampliada

Otro procedimiento para eliminar la discrepancia que se presenta entre el ordenamiento según la relación beneficio-costo (RB-C) y el VPN consiste en incluir explícitamente las suposiciones del VPN en el cálculo del índice.

Como al calcular el valor presente de los flujos de caja positivos y de los flujos de caja negativos se está suponiendo implícitamente que la reinversión se realiza a la tasa de descuento, sólo falta por incluir la segunda suposición, relacionada con los fondos restantes.

11

Para llevar a cabo esto se debe recordar que el valor presente de una suma de dinero invertida a la tasa de descuento i y descontada a la misma tasa de interés es la misma suma invertida. Utilizando la misma notación de la rentabilidad ponderada se tiene:

)(

)(VPCA -RB beneficios

IKVP

IK

−+

−+=

costos

(4.7)

Donde: RB-CA = relación beneficio-costo ampliada K = cantidad de dinero disponible I = inversión en la alternativa que se estudia VPbeneficios = valor presente de los flujos de caja positivos a la tasa de descuento VPcostos = valor presente de los costos a la tasa de descuento

Ejemplo 8

En el mismo ejemplo, se tiene: VPNA(5%) = $4.060,95 y RB-CA = 1,203 VPNB(5%) = $2.570,98 y RB-CB = 1,257 Como se puede observar, se presenta discrepancia entre los dos criterios. Al incluir

la suposición que hace falta, se tiene:

203,1000.20

95,060.24==− ACARB

129,1000.20

000.1098,570.12=

+=− BCARB

Como RB-CAA>RB-CAB, entonces, A se prefiere a B, lo cual coincide con el

ordenamiento del VPN. Con esta modificación, la RB-C ampliada podrá utilizarse para el ordenamiento de

alternativas y producir los mismos resultados del VPN y de la TIR ponderada. Ochoa (1987) también encontró que esta RB-C ampliada produce los mismos ordenamientos que el VPN. Este método es aplicable aun en los casos en que se invierte durante más de un período. En este caso se considerarán los excedentes que existan en cada período de inversión.

4.3.3 Métodos incrementales

Para resolver el problema de las contradicciones que se presentan en los ordenamientos por VPN, TIR y RB-C se proponen también los métodos incrementales, pero requieren múltiples comparaciones por pares.

12

4.3.3.1 Tasa interna de rentabilidad incremental

Considérese el caso de una nueva alternativa (A-B), definida a partir de las alternativas A y B y que se ilustra en la Gráfica 4.1.

Gráfica 4.1 Alternativa incremental A-B

( 3 .0 0 )

( 2 .0 0 )

( 1 .0 0 )

0 .0 0

1 .0 0

2 .0 0

3 .0 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

i

V PN

Según ésta, la inversión adicional en A va a producir flujos de caja que, descontados

a diferentes tasas de descuento, producen un VPN positivo. En estas condiciones, falta determinar si la inversión adicional (A-B) se acepta o se rechaza a la tasa de descuento apropiada. Como la decisión es aceptar o rechazar, se puede utilizar el método de la TIR; la TIR incremental es i*; si ésta es mayor que la tasa de descuento, entonces se debe aceptar la inversión (A-B) o, lo que es lo mismo, que A es mejor que B.

Para entender este concepto recuérdese que tanto A como B son alternativas justificables, lo cual quiere decir que cada una de ellas produce flujos de caja al decisor. Se puede considerar que la alternativa A está compuesta de dos partes o alternativas parciales: una igual a B y un exceso, tanto en inversión como en flujos de caja; por lo tanto, como A ya es aceptable, entonces sólo resta determinar si el exceso es o no aceptable. Este exceso es precisamente la inversión incremental (A-B).

Al analizar la alternativa (A-B) realmente se está estudiando la realización de la inversión extra que implica optar por la alternativa A. Se debe observar aquí que al realizar la resta de los flujos de las alternativas A y B, las sumas correspondientes a la inversión adicional no necesariamente se van a encontrar ubicadas en el instante cero.

Esta gráfica se refiere a la Gráfica 3.2 (capítulo anterior) en la que se indican las alternativas A y B. Para ilustrar los conceptos anteriores y el procedimiento para calcular la rentabilidad incremental se presenta otra vez el ejemplo de Fleischer (1996), donde ocurre esta contradicción entre los métodos.

Ejemplo 9

Se tienen dos alternativas mutuamente excluyentes A y B con las siguientes características (Fleischer, 1966).

13


Vida esperada Valor final del proyecto (valor de mercado o de

salvamento) ($) A 20.000 3.116 10 años 0 B 10.000 1.628 10 años 0

Capital disponible $20.000 Al hacer los cálculos se encuentra que las tasas internas de rentabilidad son: TIRA = 9,00% TIRB = 0,01% Si la tasa de descuento aceptable (tasa de oportunidad) es del 5%, entonces estas dos

alternativas son justificables. Los VPN calculados al 5% son: VPN (5%) = $4.060,95 para la alternativa A. VPN (5%) = $2.570,98 para la alternativa B. Según el método del VPN, la mejor alternativa es la A. Si, incorrectamente, se trata

de utilizar el método de la TIR, se hallará una contradicción con el método VPN. Según el método de la TIR, la mejor alternativa sería la B, y según el VPN, la mejor es la A.

Esta dificultad se puede obviar calculando la TIR de la inversión (A-B) y comparándola con 5%. Del ejemplo, entonces se tiene:

Alternativa Inversión ($) Flujos de caja

anuales ($) Vida

esperada ($) Valor final del proyecto (valor de mercado o de

salvamento) ($) (A-B) 10.000 1.488 10 años 0

Los cálculos de la rentabilidad indican que la TIR incremental es: TIR(A-B) = 7,97% Como 7,97% es mayor que 5%, entonces se debe aceptar la inversión incremental o,

lo que es lo mismo, se debe aceptar la alternativa A. Si se hubiera calculado el VPN (5%) de la alternativa incremental el resultado

hubiera sido igual, esto es: VPN(A-B) (5%) = $1.489,94 Por lo tanto, la inversión incremental es aceptable y se llega a la misma decisión. En este ejemplo se puede observar que el método de la TIR incremental produce las

mismas decisiones que el método del VPN. Cuando se tienen muchas alternativas para ordenar, se deben efectuar cálculos de

TIR incremental por pares para lograr, bajo el supuesto de transitividad, un ordenamiento adecuado.

Si se hace a mano, esto puede resultar engorroso; sin embargo, el acceso a calculadoras y computadoras hacen eficiente este trabajo.

14

Aunque los cálculos involucrados no son una limitación, al formar la alternativa incremental, se pueden producir flujos de caja que pueden originar múltiples TIR, inmanejables adecuadamente por el método establecido. Así mismo, este método tampoco tendrá sentido en el caso general de diversidad de tasas de descuento a lo largo de la vida del proyecto.

Como se puede deducir, este método es obsoleto para resolver el problema de las contradicciones entre el VPN y la TIR. Más aún, es inútil.

Si la persona que tiene que recibir la información sobre la evaluación de las alternativas conoce el tema financiero, no será necesario hacer todo esto, ya que entiende bien que el VPN resuelve el problema. Si no sabe de finanzas, explicarle el concepto de rentabilidad incremental será más difícil que explicar el VPN. Por otro lado, ya se presentó una solución sencilla con la TIR ponderada.

Ahora bien, la idea de la TIR incremental se puede aprovechar de la siguiente manera: como esa TIR indica el punto donde la decisión cambia –en la Gráfica 4.1 se escoge a la alternativa A si la tasa de descuento es menor que la TIR incremental y a la alternativa B si es mayor–, entonces ese valor permite eludir el cálculo preciso de la tasa de descuento que, como se estudiará en el capítulo 5, presenta serios problemas.

Sólo es necesario calcular la tasa de descuento y determinar si esa tasa es mayor o menor que la TIR incremental y así se escogería, por ejemplo, entre A y B.

4.3.3.2 La relación beneficio-costo incremental

Una forma de considerar explícitamente la suposición faltante del VPN es tomar en cuenta la inversión incremental. Esto es, generar la inversión y los flujos de caja incrementales y a esta nueva alternativa calcularle la RB-C.

Ejemplo 10

Año A ($) B ($) (B-A) ($)

0 -1.000 -2.500 -1.500

1 400 200 -200

2 400 700 300

3 400 1.200 800

4 400 2.000 1.600

La RB-C para cada una de las alternativas es:

RB-CA(10%) = [400/(1,1)+400/(1,1)2+400/(1,1)3+2400/(1,1)4]/1.000 = 1.267,9/1.000 = 1,2679

RB-CB(10%) = [200/(1,1)+700/(1,1)2+1.200/(1,1)3+1.000/(1,1)4]/1.500 = 3.027,93/1.500 = 1,21

15

Si se ordenan por RB-C se decidirá por A; si se ordenan por VPN, la decisión será B.

Al hacer el análisis incremental se tiene: Flujos de caja positivos incrementales a la tasa de 10% B(10%) = 300/(1,1)2+800/(1,1)3+1.600/(1,1)4 = 1.941,81 Los costos incrementales a la tasa de 10% son: C(10%) = 1.500+200/(1,1) = 1.681,82 y la RB-C(B-A) = 1,15 Lo cual indica que la inversión incremental se justifica y, por lo tanto, B se debe

preferir a A. Y esto concuerda con el método del VPN. Volviendo al ejemplo de Fleischer utilizado arriba, se tiene: RB-C(5%)A = 1,203 RB-C (5%)B = 1,257 TIRA-B = 1,14 Por lo tanto, A es mejor que B. Según el ordenamiento de acuerdo con este índice,

se debe preferir la alternativa A. El método del VPN indica exactamente lo mismo. La RB-C es igual a 1, cuando la tasa de descuento utilizada es igual a la tasa interna

de rentabilidad incremental. Nótese que los flujos de caja incrementales positivos son distintos a la diferencia

entre los flujos de caja positivos de las alternativas comparadas; lo mismo ocurre con los flujos de caja negativos incrementales, que son distintos a la diferencia entre los flujos de caja negativos de las alternativas comparadas. Aquí, flujos de caja positivos y flujos de caja negativos deben entenderse como fueron definidos dentro del contexto de la RB-C.

En la siguiente tabla se indica para cuáles procesos de evaluación sirve cada uno de estos métodos.

Tabla 4.1

Método

Justificación de

alternativas

Ordenamiento de alternativas

Observaciones

1. TIR incremental 1. Adecuado 1. Adecuado 1 Iguales a las del método de la TIR 2. TIR ponderada 2. Adecuado 2. Adecuado 2. No indica la verdadera rentabilidad del proyecto 3. RB-C ampliada 3. Adecuado 3. Adecuado 3. No indica la rentabilidad del proyecto 4. RB-C incremental 4. Adecuado 4. Adecuado 4. Si existen muchas alternativas puede ser engorroso el análisis

4.4 Múltiples tasas internas de rentabilidad

Para analizar esta situación se debe distinguir entre alternativa de inversión convencional y alternativa de inversión no convencional. Una inversión de tipo convencional es aquella que tiene uno o más períodos de flujos de caja positivos después de uno o más períodos de inversión. Una inversión es no convencional cuando tiene períodos alternados de inversión y períodos de flujos de caja positivos.

Gráficamente se puede representar en la siguiente forma:

16

Convencional No convencional En estas gráficas, como se había indicado, las flechas hacia abajo significan un flujo

de caja identificable con un sacrificio de recursos y las flechas hacia arriba significan un flujo de caja positivo.

La clasificación de las inversiones en convencionales y no convencionales puede ampliarse ahora para indicar si una inversión es pura o mixta.

La TIR no es más que una de las raíces de un polinomio de grado n, ya que lo que se busca es aquel valor de i para el cual el VPN de una inversión es igual a cero. Matemáticamente se puede establecer que un polinomio de grado n puede presentar los siguientes casos:

1. No existe raíz real para el polinomio. 2. Existe una raíz real para este polinomio. 3. Existen múltiples raíces reales. Cuando ocurre una inversión de tipo no convencional y, además, es mixta, se puede

presentar el caso 3. Parece que esta posibilidad de inversiones con flujos no convencionales se puede presentar en la industria extractiva, donde cerrar una mina puede ser tan costoso que el flujo resultaría negativo. También existe la posibilidad de que al efectuar el cálculo para hallar la inversión incremental se genere un flujo de caja no convencional, aunque los originales sean convencionales.

Las múltiples TIR plantean algunas preguntas como: ¿cuál de las múltiples tasas se debe escoger? Si se desea aceptar o rechazar una inversión, ¿qué debe hacerse cuando la tasa de descuento se encuentra entre dos tasas de rentabilidad? ¿Qué sentido económico tiene esta situación? Para ilustrar la posibilidad de encontrar múltiples TIR se reproduce un ejemplo modificado a partir del que presenta Infante, 1989.

Ejemplo 11

Se tienen dos alternativas A y B con los siguientes datos: Inversión Año 0 Año 1 Año 2

A $ -354.700 557.000 60.000

B $ -127.700 20.000 374.000

A-B $ -228.000 537.000 -314.000

17

Las inversiones A y B son convencionales, pero A-B no lo es. Un análisis de TIR, usando Excel, indica que la inversión incremental tiene dos TIR:

TIR(A-B) = 7,96% y 27,57% Si la tasa de oportunidad fuera 15%, ¿se acepta o se rechaza la alternativa

incremental A-B? Este método no responde a esta pregunta, pero el VPN al 15% indica que se debe aceptar, pues su valor es de $1.527,41.

Existen varios procedimientos para resolver el problema de las múltiples tasas de rentabilidad: uno lo presentan Teichroew, Robicheck y Montalbano (TRM) (1965); otro, Mao (1969) y Grant e Ireson (1960), y uno más, Canada y White (1980). En particular, la solución de TRM (1965) es extremadamente compleja. En este texto se ofrecen dos alternativas adicionales de solución.

Una forma de resolver el problema consiste en descontar los flujos más lejanos a la(s) tasa(s) de descuento hasta un período en que no ocurran flujos no convencionales. Con este proyecto modificado se calcula la TIR. En este capítulo se estudió la TIR ponderada, que es otro método propuesto que elimina el problema de las múltiples tasas de rentabilidad y la contradicción con el VPN.

Ochoa (1987) diseñó una simulación de 400 inversiones con múltiples tasas internas de retorno y encontró que los procedimientos de Mao (1969), TRM (1965) y el propuesto aquí producen los mismos resultados en cuanto a la decisión que se debe tomar; por esta razón se considera que el algoritmo propuesto o la TIR ponderada debe ser utilizado debido a su sencillez y confiabilidad.

4.5 Resumen

En este capítulo se han presentado métodos alternos para resolver el problema de las tasas de interés no uniformes y períodos no uniformes; también se estudiaron métodos para resolver las contradicciones entre el VPN y la TIR: la TIR ponderada y la RB-C ampliada; también se ofrece una metodología para resolver el problema de las múltiples tasas de rentabilidad. La TIRP resuelve también el problema de las múltiples tasas de rentabilidad. Se presenta una metodología para involucrar aspectos no cuantificables en el análisis de alternativas de inversión.

4.6 Ejercicio de autocorrección

Halle la TIRP y la RB-C ampliada. Así mismo, haga el análisis incremental de estas alternativas. Las cifras están en pesos. La tasa de descuento es 12%.

t 1 ($) 2 ($) 3 ($) 4 ($)

0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000

1 400 0 200 0

2 400 400 700 0

3 400 1.600 1.200 0

4 400 2.900 2.000 1.800

18

4.7 Solución al ejercicio de autocorrección

Para la TIRP se debe hacer la reinversión a la tasa de descuento e invertir el excedente

hasta el máximo valor disponible (K-I), a la tasa de descuento y encontrar el flujo combinado. Con ese flujo combinado se calcula la TIR y ésa es la TIRP.

Para la alternativa 1:

t I de alternativa 1 ($) K-I de alternativa 1 ($) Total ($)

0 -1.000 -2.000 -3.000

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 1.911,73 3.147,04 5.058,77

TIRP 13,95%


t I de alternativa 2 ($)

0 -3.000

1 0

2 0

3 0

4 5.193,76

TIRP 14,71%



0 -2.500 -500 -3.000

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 4.503,07 786,76 5.289,83

TIRP 15,23%


19


0 -1.000 -2.000 -3.000

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 1.800 3.147,04 4.947,04

TIRP 13,32%

Alternativa TIRP (%) Orden

1 13,95 III

2 14,71 II

3 15,23 I

4 13,32 IV

Este orden 3, 2, 1 y 4 coincide con el del VPN.

Relación RB/CA

De los cálculos anteriores se tiene: VPcostos 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 VPbeneficios 3.214,94 3.300,73 3.361,78 3.143,93 RB-Campliada 1,07 1,10 1,12 1,05 VPN $ 214,94 $ 300,73 $ 361,78 $ 143,93

Alternativa RB/CA Orden

RB/CA1(12%) = 1,07 III

RB/CA2(12%) = 1,10 II

RB/CA3(12%) = 1,12 I

RB/CA4(12%) = 1,05 IV

Este orden también coincide con el del VPN y la TIR ponderada.

Con los criterios incrementales hay que elaborar la siguiente tabla, para poder establecer la transitividad adecuada.

20

Análisis incremental

Alternativas

t (2-3) $ (3-1) $ (4-1) $ (2-4) $ (2 -1) $

0 - 500 - 1.500 0 - 2.000 - 2.000

1 -200 -200 -400 0 -400

2 -300 300 -400 400 0

3 400 800 -400 1.600 1.200

4 900 1.600 1.400 1.100 2.500

Cálculo de la TIR incremental

El cálculo con las funciones de Excel resulta en lo siguiente:

(2-3) (3-1) (4-1) (2-4) (2 -1)

9,41% 14,87% 7,91% 14,70% 13,15%

= TIR(rango t = 0 a t = 4), para cada alternativa

Cálculo de la relación beneficio-costo incremental

C = VPC2-3(12%) = 500+200xfactor(F→P,1,12%)+300xfactor (F→ P,1,12%) = 917,73

B = VPB2-3(12%) = 400xfactor(F→P,3,12%)+900×factor (F→P,4,12%) = 856,68

RB-C2-3(12%) = 0,93

C = VPC3-1(12%) = 1.500+200×factor(F→P,1,12%) = 1.678,57

B = VPB3-1(12%) =

200×factor(F→P,2,12%)+800×factor(F→P,3,12%)+1.600xfactor(F→P,4,12%) = 1.825,41

RB-C3-1(12%) = 1,09

C = VPC4-1(12%) =

0+400xfactor(F→P,1,12%)+400xfactor(F→P,2,12%)+400×factor(F→P,3,12%) = 960,73

B = VPB4-1(12%) = 1.400xfactor(F→P,4,12%) = 889,73

RB-C4-1(12%) = 0,93

C = VPC2-4(12%) = 2.000

B = VPB2-4(12%) =

400xfactor(F→P,2,12%)+1.600×factor(F→P,3,12%)+1.100xfactor(F→P,4,12%) = 2.156.80

RB-C2-4(12%) = 1,08

C = VPC2-1(12%) = 2.000+400xfactor(F→P,1,12%) = 1.357,14

B = VPB2-1(12%) = 1.200xfactor(F→P,3,12%)+2.500xfactor(F→P,4,12%) = 1.442,93

RB-C2-1(12%) = 1,04

21

Factor (2-3) (3-1) (4-1) (2-4) (2-1)

Rentabilidad incremental

9,41% 14,87% 7,91% 14,70% 13,15%

RB-C incremental 0,93 1,09 0,93 1,08 1,04

Ordenamiento 3>2 3>1 1>4 2>4 2>1

El ordenamiento según los criterios incrementales es 3>2>1>4, que coincide con el ordenamiento del VPN.

4.8 Ejercicios

1) Explique por qué el VPN debe calcularse con tasas de interés que cambian de período a período.

2) ¿Qué es la tasa interna de rentabilidad (TIR) incremental de una inversión? Explique la lógica de su utilización.

3) Un proyecto cuesta $10.000 y promete los siguientes flujos de caja al final de cada período: $4.000, $4.000, $3.000 y $1.000. Si la tasa de descuento es de 10%, ¿se debe aceptar este proyecto? ¿Cuál es la TIR? ¿Cuál es el VPN al 10%? ¿Coinciden ambos criterios? ¿Por qué? Compare esa solución con la que obtendría si aplica el análisis de la TIRP.

4) Considere los proyectos descritos a continuación:

Flujo de caja ($) Proyecto

C D E

0 -1.000 +1.000 -1.600

1 +1.100 -500 +10.000

2 -180 +660 -10.000

3 +840 -1.800 0

a) ¿Cuál es el VPN al 0%? ¿Cuál es el VPN para una tasa infinita de descuento? ¿Cuál es la TIR de cada proyecto? ¿Cuál es el mejor proyecto a la tasa de descuento de 30%? ¿Podría usted ordenar esos proyectos por su TIR?

b) ¿Cuáles de estas alternativas son convencionales? ¿Cuáles son puras? ¿Cuáles son mixtas? Si hay alguna mixta, utilice un procedimiento para encontrar la decisión correcta.

c) ¿Cuál sería el análisis con la TIRP? ¿Cuál sería el análisis con la TIR incremental?

5) ¿Cuál es el VPN al 10% de los siguientes flujos de caja? Ordénelos según el VPN.

Período Alternativa en ($)

0 1 2 3 4 5

A -1.000 100 100 100 100 100

B -1.000 264 264 264 264 264

C -1.000 1.762

a) Calcule la TIR incremental del flujo B-C.

b) Calcule la TIR ponderada de cada alternativa. ¿Coincide con el ordenamiento del VPN?

22

6) Un inversionista es socio en diferentes negocios pequeños. Su práctica es suministrar un 50% del capital para nuevos negocios, potencialmente promisorios, a cambio de un 50% de las utilidades. Uno de sus socios le ha propuesto que invierta capital adicional en la planta para reducir los gastos, según 5 proyectos, mutuamente excluyentes y con una vida estimada de 10 años. Todas las inversiones tienen un valor de salvamento de cero al cabo de los 10 años.

Propuesta A B C D E

Inversión requerida ($)

30.000 50.000 70.000 100.000 140.000

Economías anuales ($)

12.000 14.000 20.000 34.000 58.000

Si el inversionista requiere de su participación una rentabilidad mínima del 30% sobre su inversión, ¿cuál de las propuestas debe escoger? Analice esta situación con TIR ponderada y con TIR incremental.

7) Las propuestas de inversión A, B y C son excluyentes. Suponiendo una tasa de descuento de 30% anual, ¿qué decisión se debe tomar para cada una de ellas?

Período 0 1 2

A ($) -10.000 2.000 12.000

B ($) -10.000 10.500

C ($) -10.000 12.000

Analice esta situación con un criterio válido de TIR tasa interna de rentabilidad.

8) Suponga que existen tres inversiones mutuamente excluyentes A, B y C. La tasa de descuento es de 18% anual.

Alternativa 0 1 2 3 TIR (%)

A ($) -1.000 505 505 505 24 B ($) -10.000 2.000 2.000 12.000 20 C ($) -11.000 5.304 5.304 5.304 21

¿Cuál de las tres se debe elegir?

9) Existen dos inversiones mutuamente excluyentes. Supóngase una tasa de descuento del 12%. Elija la mejor de las dos inversiones.

Período Alternativa

0 1 2 TIR (%)

A ($) -16.050 10.000 10.000 16

B ($) -100.000 60.000 60.000 13

10) Una empresa manufacturera tiene como política aceptar las inversiones que produzcan 30% o más, ya que considera que ése es su costo de oportunidad. El gerente de la empresa presentó a la junta directiva la siguiente información sobre seis máquinas que tienen una vida económica de 10 años y valor de salvamento nulo. Los directivos deben escoger una, pues sólo se necesita una de ellas, porque son mutuamente excluyentes:

23

Máquina Inversión ($) Ahorro anual ($)

TIR TIR

incremental

Onondaga 30.000 11.000 34,82% …

Oneida 50.000 17.000 31,86% 27,32%

Cayuga 55.000 19.000 32,47% 38,45%

Tuscarora 60.000 20.000 31,11% 15,10%

Séneca 70.000 25.000 33,77% 49,08%

Tisquesusa 74.000 27.000 34,08% 38,45%

Un directivo dijo: “Obviamente, la mejor es la de Onondaga”. Otro dijo: “No, es la de Séneca”.

Usted, que es el gerente, tiene varias formas de analizar este problema y debe elaborar un informe en el cual se muestre:

a) Su análisis por medio del VPN.

b) Su análisis por medio de la TIR.

11) ¿Es el criterio anterior adecuado? Si no, utilice otro criterio de rentabilidad interna apropiado.

12) Si un proyecto tiene 3 años de vida y las tasas de descuento para cada año son: año 1 = 20%; año 2 = 21%, y año 3 = 25%. ¿Cómo calcula usted el VPN del proyecto?

Referencias bibliográficas

Bacon, P. W. 1977. “The Evaluation of Mutually Exclusive Investments”, Financial Management, vol. 6, verano, pp. 55-58.

BEIDLEMAN, C. R., “Discounted Cash Flow Reinvestment Rate Assumptions”, The Engineering Economist, Vol. 29, No. 1, p. 127-137, 1984.

Canada, J. R. y White, Jr. J. A. 1980. Capital Investment Decision Analysis for Management and Engineering, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs.

Echeverri, E. 1987. Modelo aleatorio para ordenar alternativas de inversión, monografía de investigación, Magíster en Administración, Universidad de los Andes, Bogotá.

Fleischer, G. A. 1966. “Two Major Issues Asociated with the Rate Return Method for Capital Allocation: The Ranking Error and Preliminary Selection”, The Journal of Industrial Engineering, vol. XVII, No. 4, abril, pp. 202-208.

Grant, E. L. y Ireson, W. G. 1960. Principles of Engineering Economy. 4a ed. The Ronald Press, Nueva York.

Infante, Arturo, 1989, Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión, 2ª ed. Ed. Norma. Lorie, J. H. y Savage, L. J. 1955. “Three Problems in Rationing Capital”, Journal of

Business, vol. XXVIII, oct. [Reproducido en Solomon, E. (ed.). The Management of Corporate Capital, The Free Press of Glencoe, III, 1959.]

Mao, J. C. T. 1969. Quantitative Analysis of Financial Decisions, MacMillan, Londres. [Traducción al español, Análisis financiero, El Ateneo, Buenos Aires, 1977].

24

Oakford, R. V.; Baimjee, S. A., y Jucker, J. V. 1977. “The Internal Rate of Return the Pseudo-Internal Rate of Return and NPV and their Use in Financial Decision Making”, The Engineering Economist, vol. 21, No. 3, pp. 187-202.

Ochoa, L. F. 1987. Dos casos sobre evaluación de proyectos, monografía de investigación, Magíster en Administración, Universidad de los Andes, Bogotá.

Shakespeare, W. 1966. “A vuestro gusto”, Acto 3. Escena 3, en Obras completas, Aguilar, Madrid.

Shull, David M. 1991. “Efficient Capital Project Selection Through a Yield-Based Capital Budgeting Technique”, The Engineering Economist, vol. 38, No. 1, fall, pp. 1-18.

Teichroew, D.; Robicheck, A. A., y Montalbano, M. 1965. “An Analysis of Criteria for Investment and Financing Decisions under Certainty”, Management Science, vol. 12, pp. 151-179.

Vélez, Ignacio. 1994. Evaluación financiera de proyectos de inversión, Superintendencia de Subsidio Familiar, Bogotá.

—. 1979. Decisiones de inversión: textos complementarios, Departamento de Ingeniería Industrial, Universidad de los Andes, Bogotá.

( )1 · vp (4.3) donde vp es el valor presente de todos los flujos futuros a partir del siguiente...

Documents