Zatikiak antzinatik erabili izan dira, unitate banatu baten zatiak adierazte-ko: ogi bat eta erdi, uztaren bi herenak, herentziaren bostena…

Antzinako Egipton oso modu bitxian erabiltzen zituzten zatikiak: zenbakitzailean 1 zeukaten zatikiak baino ez

zituzten onartzen (zatiki unitarioak).

Guri oso antzinakoa iruditzen zaigun zatikien erabilera hori greziarrek hartu zuten ondoren, eta Europara ere heldu zen xiii. mendean, hiru mila urte geroago. Europan, bi erabilera egon ziren bateratsu: zatiki unitarioarena eta gaur egun era-biltzen ditugun zatiki arruntena.

Beraz, 4 ogi 7 pertsonaren artean banatzean, emaitza gisa47

jarri beharrean, hau jartzen zuten, adibidez: 12

+ 114

.

7 Zatikiak

Gizako piramideak

Abu SinbelEdfu

Santa Katalina

Luxor

Antzinako Egiptoko zatikiakAztertu zelan idazten zituzten egiptoarrek zatiki unitario batzuk:

21 1

3 110

gogoan izan

1 = 10 =

100 = 1 000 =

1 Zer zatiki ageri dira adierazita harlauza hauetan?:

a)

b)

c)

d)

Lau ogi banatu Aurreko orrialdean, Egipton, lau ogi zazpi pertsonaren artean banatu nahi iza-nez gero, nola adieraziko zuten aipatu dugu adibide moduan.

■ Guk bakoitzari tokatzen zaion zatia 74 dela esango genuke:

Ogi bakoitza zazpi zatitan banatu, eta bakoi-

tzari lau zati tokatuko zaizkio 74d n.

■ Antzinako Egipton, bakoitzari 21 +

141 tokatzen zaizkiola jarriko lukete:

Ogiak erdibitu, bakoitzak erdi bat 21d n hartu

eta ogi erdi bat sobera dago. Ondoren, ogi erdi hori zazpi zatitan banatu (hamalaurenetan),

eta bakoitzak bat 141d n hartzen du.

2 Jarri zatiki moduan grafikoan ageri diren berdintzak, eta egiaztatu harrian 4/7 zizelka-tuta ageri dela egiptoarren erara.

+ =

= =

=

124

Zatikiak unitatearen zatitzat, eragiletzat edo zatiketatzat har ditzakegu. Zatikien hiru esanahi horiek sakonago landuko ditugu orain.

Zatikiek unitatearen zati bat adierazten dute

Osotasuna unitate moduan hartu eta zati berdinetan zatitzen dugu. Zatiki batek zati horien kantitate zehatz bat adierazten du.

2— → Bi bosten 5 4— → Lau hamabiren 12

1— → Seiren bat 6

UNITATEA UNITATEAUNITATEA

Zatikiek unitatea baino kantitate txikiagoa, handiagoa edo unitatea adinakoa adieraz dezakete. Adibidez:

1— < 1 4 5— > 1 4

4— = 1 4

Zatikiak eragileak dira

Zatikia kantitate bati eragin eta kantitate hori aldatzen duen zenbakia da. Adibi-dez, bidoiak 20 litroko edukiera badu:

Bidoian 20 litroren 52 daude.

:

·

20 51 20 5 4

20 52 4 2 8

ren

ren

= =

= =

Z

[

\

]]

]]

20 litroren 52 = (20 : 5) · 2 = 8 litro

20 l

44444

Zenbaki baten zatikia zenbat den kalkulatzeko, lehenengo, zenbaki hori izen-datzailearekin zatitzen da eta, gero, emaitza zenbakitzailearekin biderkatzen da.

Zatikiak zatiketa adieraziak dira

Aztertu:

• 52 → Unitatea 5 zatitan banatu da eta 2 hartu dira.

0 10,4

• 2 : 5 → 2 unitate bosten artean zatitu ditugu.

0 10,4

2– = 2 : 5 = 0,452

Zatiki baten balioa zenbakitzailearen eta izendatzailearen arteko zatiketa da.

1 Zatikien esanahia

Ziurtatu zatiki kontzeptua ulertu duzula.

Landu zatiki kontzeptua.

Webgunean

Landu zatikiak eragile moduan.Webgunean

• Zenbakitzailea izendatzailea baino txikiagoa duen zatikia zatiki pro-pioa da.

7—5

3—50 1

0 1 2

• Zenbakitzailea izendatzailearen berdina edo handiagoa duen zatikia zatiki inpropioa da.

7—5

3—50 1

0 1 2

• Unitatea baino handiagoa den zati-kia zenbaki misto (osoa + zatikia) moduan adieraz daiteke.

1 257

5= +

Gogoan izan

125

1. Idatzi irudi bakoitzeko zati horia adieraziko duen zatikia:a) b)

c) d)

2. Adierazi zatiki hauek:

a) 53 b) 3

1 c) 43 d) 8

5

3. Adierazi, zatiki bakoitzaren kasuan, unitatea baino txikiagoa, handiagoa edo adinakoa den:

a) 72 b) 2

3 c) 66 d) 5

8 e) 33 f ) 6

5

4. Egia ala gezurra?a) Zatikiak zenbakiak dira.b) Zatikiek ez dute inoiz unitate-kopuru zehatza adie-

razten.c) Izendatzailea zenbakitzailea baino handiagoa bada,

zatikia bat baino handiagoa da.d) Bi zatikik zenbakitzaile berdina badute, bietan han-

diena izendatzaile txikiena duena da.

5. Egin gogoeta eta erantzun.a) Urtearen zer zati da hiruhileko bat?b) Egunaren zer zati dira bi ordu?c) Orduaren zer zati dira hamar minutu?d) Minutuaren zer zati dira 15 segundo?

6. Disko-denda bateko hamar bezerotik zazpik 25 urte baino gutxiago dituzte. Bezeroen zer zatik ditu 25 urte edo gehiago?

7. Kalkulatu buruz.

a) 8ren 41 b) 12ren 3

1 c) 20ren 51

8ren 43 12ren 3

2 20ren 53

d) 18ren 61 e) 14ren 7

1 f ) 40ren 81

18ren 65 14ren 7

2 40ren 85

8. Kalkulatu.

a) 15en 52 b) 12ren 4

3 c) 21en 73

d) 30en 32 e) 30en 5

4 f ) 24ren 83

g) 48ren 43 h) 72ren 3

2 i) 85en 53

9. Egin eragiketak.

a) 384ren 41 b) 715en 5

3 c) 483ren 75

10. Gure ikasgelan, neska-mutil guztiak zenbatuta, 27 gara. Neskak ikasgelakoen 4/9 bagara, zenbat neska eta zenbat mutil gaude?

11. Udako kanpamentu batean Europa osoko 280 lagun batu gara. 3/7 Euskal Herrikoak bagara, zenbat eus-kal kanpinzale elkartu gara kanpamentuan?

12. Oilasko kiloa 5 €-an dago gaur merkatuan. Zenbat balio du kilo bat eta hiru laurdeneko pisua duen oilaskoak?

13. Galdeketa baten arabera, lanean dauden 100 pertso-natik lauk bakarrik egiten dute lan igandeetan; eta gainerakoetatik, bi herenek ez dute larunbatetan lan egiten. Lanean daudenetatik, zer zatik ez du lan egi-ten ez larunbat ez igandeetan?

14. Adierazi zatiketa bakoitza zatiki baten bidez:

0 1 2

0 1 2

0 1

0 1a) 1 : 4 →

b) 1 : 5 →

c) 2 : 5 →

d) 2 : 6 →

15. Adierazi, egin gogoeta eta esan enuntziatu hauek egia ala gezurra diren:

a) Bosten erdia esatea eta bost erdi esatea berdina da.

b) Biren herena kalkulatzea bi heren kalkulatzea da.

c) Hiruren bostena eta gauza baten hiru bosten esan-da, berdina adierazten dugu.

Pentsatu eta egin Landu zatiki kontzeptua.Webgunean

126

Zatikitik hamartarrera pasatu

Ikusi duzun moduan, zatikiak zatiketa adierazitzat har ditzakegu. Hori kontuan hartuz, zatikien balioa zenbaki hamartarren bidez adieraz dezakegu. Adibidez:

101 = 1 : 10 = 0,1 4

5 = 5 : 4 = 1,25 83 = 3 : 8 = 0,375

Zatiki batzuek hamartar periodikoak ematen dituzte. Aztertu:

31 = 1 : 3 = 0,33333… = ,0 3

! 11

2 = 2 : 11 = 0,181818… = ,0 18#

Horrelakoetan, emaitza zatiki moduan adieraztea zehatzagoa da zenbaki hamar-tar moduan adieraztea baino, bigarren kasu horretan hurbilketak erabili behar izaten baititugu.

Hamartar zehatzetik zatikira pasatu

Aurreko prozesu horren justu alderantzizkoa eginez, zenbaki hamartar zehatzak zatiketa moduan adieraz daitezke, zati 10, 100, 1 000, … eginez; eta hauek zatiki moduan eman daitezke. Adibidez:

0,7 = 7 : 10 = 107 0,25 = 25 : 100 = 100

25

Erabilera: zatikiak konparatzeko modu bat

Zatikiak konparatzeko, modu hamartarrean jar ditzakegu eta, gero, lortutako hamartarrak konpara ditzakegu.Adibidez, 3

2 eta 85 konparatuko ditugu.

: ,

: ,, ,83

2 2 3 0 666

85 5 8 0 625

0 666 0 625

32

85

……>

>

= =

= =

_

`

a

bb

bb

0 10,333…

1— = 1 : 3 = 0,3333… 3

Zazpi hamarren

7 → — 10

0 10,7

0 10,666…

0,625…

5 2— < — 8 3

5— 8

2— 3

2 Zatikien eta hamartarren arteko erlazioa

1. Egin zatiketa eta adierazi modu hamartarrean.

a) 21 b) 2

2 c) 23

d) 24 e) 8

3 f ) 45

g) 107 h) 2

5 i) 159

2. Adierazi zatiki eran.a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5d) 1,4 e) 1,5 f ) 1,9g) 0,01 h) 0,23 i) 1,11

3. Idatzi zenbaki hamartarretan eta konparatu.

a) 21

95eta b) 4

375eta

c) 32

96eta d) 11

6137eta

e) 108

119eta f ) 13

694eta

4. Ordenatu txikienetik handienera kasu kauek:

a) 52

53

72

73

b) 31

72

104

113

Pentsatu eta egin

127

Balio berdineko zatikiak

Ikusten duzunez, 41 eta 12

3 zatikiek balio berdina adierazten dute, nahiz eta

euren gaiak desberdinak izan:

1— = 1 : 4 = 0,25 4

1 3— = — 4 12

3— = 3 : 12 = 0,25 12

1— 4

3— 12

41 eta 12

3 zatikiak baliokideak dira.

Bi zatiki baliokideak direla esaten dugu unitatearen zati berdina adierazten badute; hau da, zenbakizko balio berdina badute.

Nola lortu zatiki baliokideak

Zatiki bateko bi gaiak zenbaki berdinarekin biderkatu edo zatitzean, adierazitako unitate zatia ez da aldatzen.

1— = 1 : 2 = 0,5 2

3— = 3 : 6 = 0,5 6 6— = 6 : 12 = 0,5

12

3— 6

3 : 3 1—— = — 6 : 3 2

3 · 2 6—— = — 6 · 2 12

8 21

63

126Ikusten duzunez, goian ageri diren

hiru zatikiak baliokideak dira.= =4

Zatikien oinarrizko propietatea

Zatiki bateko bi gaiak zenbaki berdinarekin biderkatu edo zatituz gero, hasie-rako zatikiaren baliokidea den beste zatiki bat lortuko dugu. Hau da, zatikia-ren balioa ez da aldatzen.

Adibideak

• ··

32

3 42 4

128= = • :

:20 515 5

43

2015 = =

32 eta 12

8 baliokideak dira. 2015 eta 4

3 baliokideak dira.

1— 4

160ren — 4

3— 12

360ren — 12

60 l

155

55

Adibidea

1— 2

6— 12

6 : 6—— 12 : 6

1 · 6—— 2 · 6

Aztertu

3 Zatiki baliokideak

128

Zatikiak sinplifikatu

Zatikiak sinplifikatzea gai bakunagoak dituen beste zatiki baliokide batekin ordeztea da. Zatikiaren bi gaiak zenbaki berdinarekin zatituz lortzen da hori.

Adibidea

::

::

1812

96

32

18 212 2

9 36 3= = = = Zatiki

laburtezina

Ikusten duzunez, bitan zatitu dugu, eta bietan 12ren eta 18ren zatitzaile komu-nekin: lehenengo, zati 2 egin dugu eta, gero, zati 3.

• Zatikiak sinplifikatzeko, zenbakitzailea eta izendatzailea zenbaki berdinare-kin zatitu behar dira.

• Gehiago sinplifikatu ezin den zatikia laburtezina dela esaten da.

Aurreko sinplifikazioa urrats bakar batean ere egin zitekeen zenbakitzailea eta izendatzailea zati 6 eginda, hori baita 12ren eta 18ren zatitzaile komunetako handiena:

z.k.h. (12, 18) = 6 → ::

1812

32

1812

66= = Zatiki

laburtezina

6— 9

2— 3

12— 18

12 : 6—— 18 : 6

1. Kopiatu koadernoan, osatu eta egiaztatu beti emaitza berdina lortzen duzula.

:23 3 2= =

··

2 23 2 = = : =

23

33

·· = = : =

2. Kopiatu koadernoan eta osatu zatiki baliokideak lor-tzeko.

a) 51

51 2··= = b) ·

51

5 31

·= =

c) ::

3018

3018 2= = d) :

:3018

3018

3= =

3. Bilatu, honako zatiki hauen artean, baliokideak diren hiru zatiki-bikote:

1— 2

2— 3

6— 8

4— 6

3— 4

2— 4

4. Idatzi, adibide bakoitzean, bi zatiki baliokide:

a) 41 b) 3

2 c) 2015 d) 24

18

5. Sinplifikatu.

a) 2015 → zati 5 egin.

b) 3020 → lehenengo, zati 2 egin eta, gero, zati 5.

6. Sinplifikatu zatiki hauek:

a) 86 b) 6

3 c) 105 d) 12

9

e) 1810 f ) 28

21 g) 2233 h) 26

13

7. Sinplifikatu, urratsez urrats.

a) 3012 b) 27

18 c) 2416 d) 75

30

8. Sinplifikatu, zenbakitzailea eta zatitzailea bien zati-tzaile komun handienarekin zatituz.

a) 189 b) 40

30 c) 1830 d) 80

16

9. Kalkulatu kasu hauetako bakoitzaren zatiki laburtezina:

a) 208 b) 24

36 c) 7042 d) 108

90

Pentsatu eta egin

Landu zatiki baliokideak.Webgunean

Landu zatiki laburtezinen kalkulua.Webgunean

129

Bi zatiki baliokideak diren nola jakin

Aztertu hiru zatiki baliokide hauek eta euren gaien arteko erlazio batzuk:

3— 4

6— 8

9— 12

··4

386 3 8 24

4 6 24=

==

* ··8

6129 6 12 72

8 9 72=

==

*

Bi zatiki baliokideak badira, zatikietako gaien arteko biderketa gurutzatuen emaitzak berdinak dira.

ba

dc= ↔ a · d = b · c

Adibideak

• 102 eta 15

3 baliokideak dira? • 43 eta 5

2 baliokideak dira?

2 · 15 = 10 · 3 → Baliokideak dira. 3 · 5 ≠ 4 · 2 → Ez dira baliokideak.

Nola kalkulatu gai ezezaguna bi zatiki baliokideren berdintzan

Aurreko erlazio horrek bi zatiki baliokideren hiru gai jakinda laugarrena zein den kalkulatzeko modua ematen digu.

Adibideak

• x4

3 9= → 3 · x = 4 · 9 → 3 · x = 36 → x = 36 : 3 = 12

• x3

129= → 3 · 12 = x · 9 → 36 = x · 9 → x = 36 : 9 = 4

Gogoan izan eskema hau:

= x = ·x →

Ez ahaztu

muturrekoa erdikoa

muturrekoaerdikoa

Bi zatiki baliokideren gaiei mu-turrekoak eta erdikoak esaten zaie.

43

129=

3 · 12 = 4 · 9

Erdikoen arteko biderketa muturre-koen arteko biderketaren berdina da.

Kontuan hartu

10. Esan baliokideak diren, kontuan hartuz biderketa gurutzatuek berdinak izan behar dutela.

a) 21 eta 4

3 b) 52 eta 6

15 c) 64 eta 9

6

d) 86 eta 11

9 e) 122 eta 3

20 f ) 2420 eta 36

30

11. Ariketa ebatziaKalkulatu x eta y.

x6

104= → ·x 4

6 10 15= =

y8 12

9= → ·y 128 9 6= =

12. Kalkulatu kasu hauetako bakoitzeko gai ezezaguna:

a) x10

5 3= b) x5

4 8=

c) x4

128= d) x

15 204=

e) x122

18= f ) x

1065=

g) x12 24

20= h) x2

3510=

i) x30

6 7= j) x

122016=

k) x40 24

9= l) x21

3 20=

Pentsatu eta egin

130

Aztertu arretaz ondoren ageri diren problemetan bete diren prozesuak. Zatikiak erabiliz ebatzi beharko dituzun beste problema askotarako balioko dizute.

■ zatia kalkulatu

Aitorrek aurreko hiruhilekoan hasi zuen bildumako 300 kromoetatik 180 lortu ditu dagoeneko. Bildumaren zer zati dauka orain arte eginda?

DITUEN KROMOAK 88

8 300180180

300KROMOAK, GUZTIRADUEN ZATIA4

Sinplifikatu egingo dugu: zati 10 lehenengo, eta zati 6 gero: 300180

3018

53= =

Soluzioa: Aitorrek bildumaren hiru bostena 53d n dauka orain arte eginda.

■ zenbaki baten zatikia: problema zuzena

Aitor 300 kromoko bilduma egiten hasi zen aurreko hiruhilekoan, eta dagoeneko bildu ditu hiru bostenak. Zenbat kromo ditu?

60 · 3 → 180300 : 5 → 60300

( : ) · ·300 53 300 5 3 60 3 180en = = =

Soluzioa: Aitorrek 180 kromo ditu.

■ zenbaki baten zatikia: alderantzizko problema

Aitorrek aurreko hiruhilekoan hasi zuen bildumako 180 kromo bildu ditu; hau da, bildumaren hiru bostena. Zenbat kromok osatzen dute bilduma osoa?

180 180 : 3 → 60 60 · 5 → 300

Bildumaren 53 = 180 → Bildumaren 5

1 = 180 : 3 = 60 →

→ Bildumaren 55 = 60 · 5 = 300

Soluzioa: Bilduma 300 kromok osatzen dute.

x-ren 53 = 180

↓x = (180 : 3) · 5

Zati zenbakitzailea eta bider izenda-tzailea egiten da.

Praktikan

3— 5

180— 300

180

300

4 Zatikien problema batzuk

1. Egurretarako pinudi batean, 3 400 zuhaitz daude-la estimatzen da eta, aurten, pinuen hiru laurdenak moztuko dituzte.Zenbat pinu moztuko dituzte?

2. Egurretarako pinudi batean, 2 550 zuhaitz moztuko dituzte aurten; hau da, pinuen hiru laurdenak.

Zenbat zuhaitz daude guztira pinudian?

Pentsatu eta egin

Ebatzi problemak zatikiak erabiliz.Webgunean

131

Ariketak eta problemak

Zatikien esanahia1. Aztertu eta adierazi zatiki baten bidez.

a) Gora begira dauden karten zatia.b) Erabilitako arrautza-ontziaren zatia.c) Beteta dagoen ontziaren zatia.d) Kuboari falta zaion zatia.

2. Taula honetan nire ikasgelakoen datu batzuk ageri dira:

dena gaindituta baten bat gaindituta

mutilak 8 5neskak 11 5

a) Ikasleen zer zati dira neskak?

b) Ikasleen zer zatik du dena gaindituta?

c) Ikasleen zer zati dira dena gaindituta duten mutilak?

d) Nesken zer zatik utzi du baten bat gainditu gabe?

e) Zer taldetan lortu dira, orokorrean, emaitza one-nak, neskenean edo mutilenean?

3. Egia ala gezurra? Zenbaki arruntetan…a) … erdiak bikoitiak dira.b) … hamarrena 10en multiploak dira.c) … bostenaren azken zifra 5 da.d) … bi herenak ez dira hirurekin zatigarriak.

Zenbaki baten zatikia4. Kalkulatu buruz.

a) 9ren 32 b) 20ren 5

4 c) 80ren 43

d) 14ren 72 e) 60ren 6

5 f ) 400en 85

5. Kalkulatu.

a) 192ren 32 b) 375en 5

4 c) 749ren 73

d) 332ren 43 e) 1 096ren 8

5 f ) 153ren 94

6. Kopiatu, kalkulatu buruz eta osatu.

a) …-(r)en 43 dira 15. b) …-(r)en 3

2 dira 40.

c) …-(r)en 54 dira 20. d) …-(r)en 5

3 dira 9.

Zatikiak eta zenbaki hamartarrak

7. Idatzi zatiki hauek zenbaki hamartar eran:

a) 101 b) 10

9 c) 1017 d) 2

7 e) 45 f ) 8

5

8. Adierazi hamartar hauek zatiki eran:

a) 0,6 b) 1,7 c) 2,5 d) 0,04 e) 0,21

9. Lotu berdina adierazten duten kantitateak.

Euro baten laurdena.Euro baten hiru laurdenak.Euro baten bostena.Euro baten hogeirena.Euro baten ehunena (zentimo bat).

0,75 €0,25 €0,05 €0,01 €0,20 €

10. Taulan, saskibaloi partida bateko hiru jokalariren jaurtiketak eta saskiratzeak ageri dira.

a b C

jaurtiketak 7 14 4saskiratzeak 4 7 2

a) Adierazi, zatiki batekin eta zenbaki hamartar bate-kin, bakoitzaren jaurtiketa-eraginkortasuna.

b) Hiruretako zeinek du jaurtiketarik ziurrena?

11. Egia ala gezurra?

a) Zatikiak zatiketa adieraziak dira.

b) Zatiki guztiak daude zenbaki hamartar batekin lotuta.

c) Gai desberdinak dituzten bi zatikik ezin dute hamartar berdina izan lotuta.

d) Hamartar periodikoak zehatzago daude adierazita zatiki bidez.

12. Adierazi hamartar eran ; ; ; ;91

92

93

94 …

Jakingo zenuke ,0 5!

hamartar periodikoa zatiki eran idazten? Eta ,1 5

! hamartarra?

132

Ariketak eta problemak

Ikasi problemak ebazten

Zatiki baliokideak

13. Bilatu zatiki baliokideen bikoteak.

41

1512

54

123

43

2812

73

2015

14. Idatzi 7/21 zatikiaren hiru zatiki baliokide, kon-tuan hartuz izendatzailean 3, 6 eta 30 zenbakiak dituztela, hurrenez hurren.

15. Idatzi zatiki hauen zatiki laburtezina.

a) 42 b) 14

10 c) 155 d) 22

18

e) 255 f ) 27

6 g) 2821 h) 33

22

i) 4530 j) 60

20 k) 8056 l) 330

165

16. Zer zatikik adierazten dute zati margotua?

a) 1810 b) 30

15 c) 3620

d) 95 e) 25

12 f ) 2036

17. Egunaren zer zati igaro da goizeko zortzietarako? Eta arratsaldeko zortzietarako? Erantzun zatiki labur-tezinen bidez.

18. Egia ala gezurra?a) Dozena baten herena hiru dira.b) Hirurogeita hamabost ehunen unitatearen hiru

laurden dira.c) Hiru hamarren unitatearen sei hogeiren dira.d) Hamar minutu orduaren bosten bat dira.e) Hamabi segundo minutuaren bosten bat dira.

19. Hona hemen 25 ikaslek Gizarte Zientzietako azterketan atera dituzten notak:6,25; 5; 8; 7,5; 5,25; 5; 1,75; 6,75; 4,5; 5,5; 5,5; 6; 6,25; 8,25; 3,75; 3,25; 9,75; 6,75; 6; 5; 7,75; 8,25; 10; 4,25; 6,25a) Ikasleen zer zatik gainditu du azterketa?b) Zer zatik ez du gainditu?Erantzun zatiki laburtezinen bidez.

Zenbat pertsona sartu dira? Eserleku guztien zer zati bete dute?Zer galdetu dizute?

Problema hau ebazteko, onena grafiko baten laguntza erabil-tzea duzu. Kontuan izan eserle-ku guztien 4/7 daudela beteta.

Horrela argi ikusi duzu, ezta? Bada, ondo azaltzea baino ez zaizu falta.

— Grafiko bat… Jakina!, Zer zati bete duten adierazita…

320 ?

… argi ikusten da hutsik geratu den zatia 3/7 dela.

— Badakit! 320 : 4 = 80 → 80 · 3 = 240

80 80 80 80

80 80 80 Eta horra hor azalpena:

Badakigu 320 eserleku jarleku guztien 4/7 dela.Beraz, eserleku guztien 1/7 dira 320 : 4 = 80 eserleku.Eserleku hutsak guztien 3/7 badira, 80 · 3 = 240 dira.

Soluzioa: Zineman 240 eserleku geratu dira hutsik.

Zinema batean, 320 ikusle sartu dira laster hasiko den filma ikusteko; hau da, edukiera osoaren lau zazpirenak. Zenbat eserleku geratu dira hutsik?

Ziurtatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

132

133

Ebatzi problemak

20. Loreak 10 bola gorri eta 6 bola berde ditu pila-tuta.a) Zenbat bola gorri batu beharko genizkioke piloari,

gorriak bola guztien hiru laurden izateko? b) Eta zenbat gorri kendu beharko genituzke laurde-

na baino ez izateko?

21. Bezero batek bi kiloko pisua duen gazta baten laurdena erosi du.a) Gaztaren zer zati geratu da? b) Zenbateko pisua du geratu den zatiak?

22. 20 litroko bidoi batekin, 30 botila ur betetzen di-tugu. Litroaren zer zati sartzen da botila bakoitzean?

23. Hotel batean 80 logela daude eta horietatik % 20 hutsik daude. Logelen zer zati dago hutsik? Zenbat logela daude hutsik?

24. Langile batek 1 200 € irabazten ditu hilean eta, hortik, 180 € aurrezki-kontu batean sartzen ditu. Soldataren zer zati aurrezten du?

25. Familia batek diru-sarreren 1/3 pisuaren hipote-ka ordaintzeko erabiltzen du, eta 7/20, erosketak egi-teko. Bi gauzetako zeinetan gastatzen du gehiago?

26. Kaxa bat gailetak kiloaren hiru laurden pisatzen du, eta ontzi bat marmeladak, 0,8 kg. Zeinek du pisu handiagoa?

27. Kilo bat marrubik 2,80 € balio du. Zenbat or-dainduko dugu kiloaren hiru laurden erosita?

28. Artalde batean dauden 460 ardietatik, bi boste-nek arkumea izan du udaberri honetan. Zenbat arku-me jaio dira artalde horretan udaberrian?

29. 800 m2-ko lursail batean, arloaren 2/5 betetzen dituen etxea eraiki dute eta, gainerakoan, belarra erein dute. Zer azalera hartzen du etxeak? Eta belarrak?

30. Jonek 2 kilo eta 800 gramoko gazta erosi du, bai-na dagoeneko bi bostenak jan ditu. Zer pisu du ge-ratzen zaion gazta zatiak?

31. Hilean 1 200 € irabazten dituen langile batek soldataren hiru hogeirenak aurrezki-kontu batean sartzen ditu. Zenbat aurrezten du hilean?

32. Arrantza-ontzi bat 8 550 kilo arrainekin itzuli da portura. 5/6 sardinak dira, eta lonjan 1,80 €/kg-an sal-du dituzte. Zenbat irabazi dute sardina guztiak salduta?

33. 3,5 hektareako baratze baten 3/7 goizean urezta-tu dugu; arratsaldean, gainerakoaren 2/5. Zer azalera geratu da ureztatu gabe?

34. Bidoi honetan 12 litro ur daude. Zenbat litro sartzen dira guztira?

35. Enpanada baten 2/5 erosi dut; ale-gia, 300 gramoko pisua duen zatia. Zer pisu zeukan enpanada osoak?

300 g36. Pentsatu eta erantzun.

a) Kilo laurden olibak 1,50 euro balio badu, zenbat balio du kiloak?

b) Hiru kilo laurden almendrak 9 euro balio dute. Zenbat balio du kiloak?

c) Berrehun gramo intxaurrek 2 euro balio badute, zenbatean dago kiloa?

37. Hiru kilo laurdeneko poltsa bete madalenak 2,25 € balio du. Zenbatean dago kiloa?

38. Lursail baten azaleraren 4/5ean alpapa erein dugu, eta oraindik ere 600 metro koadro geratu dira erein gabe. Zenbateko azalera du sail osoak?

39. Itsulapikoan neukan diruaren 3/5 atera dut, eta oraindik 14 euro geratzen zaizkit. Zenbat diru neu-kan itsulapikoa zabaldu aurretik?

40. Langile batek 180 € sartzen ditu hilero aurrez-ki-kontu batean; hau da, soldataren hiru hogeiren. Zenbat irabazten du hilean?

41. Liburutegi batean 945 liburu daude une hone-tan, guztira egon ohi diren 3/5. Une honetan zenbat daude maileguan emanda?

42. Denda bateko jabeak kamiseta-sorta bat 3 600 €-an erosi zuen eta, gero, kamiseta bakoi tza 12 €-an saldu zuen. Hilabetea igarota kamiseten hi-ru bostenak saldu ditu eta inbertitutakoa orekatu du. Zenbateko irabaziak lortuko ditu geratzen zaizkion kamiseta guztiak saldutakoan?

134

Matematika-lantegia

eta ikasiizan ekimena

Irakurri eta lortu informazioaAntzinako Greziako zatikiak K.a. v. eta iii. mendeen artean, greziarrek ez zituzten zatikiak zenbakitzat onartzen, zenbaki arrunten arteko erlaziotzat baizik.Pitagorasek eta bere jarraitzaileek, esaterako, geometria landu eta aztertzean, zatikiak erabiltzen zituzten zuzenki batek unitatetzat harturiko beste zuzenki batekiko zer erlazio zuen adierazteko.

1

3— 2

1— 2

1

3— 4

2— 3

Musikaren eta zenbakien artean ere erlazio interesgarriak aurkitu zituzten:Gitarra bateko soka bat joz gero, soinu bat lortzen da.Soka hori bere luzeraren erdian zapaldu eta joz gero, zapaldu gabe jota lortu-tako soinuaren harmoniatsua lortzen da. Eta beste horrenbeste gertatzen da soka bere luzera osoaren 2/3 eta 3/4ean zapaldu eta joz gero.Hori izan zen musika noten sorburua.

Saiatu eta atera ondorioakZatikiak eta probabilitateakZoriaren araberakoak diren gertaerak jazotzeko posibilitatea zatiki bidez adieraz daiteke. Adibidez, txanpon bat botatzean, aurpegia irteteko probabilitatea 1/2 da.

Baina beti ez da hain erraza izaten. Pentsa bi txanpon botatzen ditugula. Aztertu nola arrazoitzen duten Imanolek eta Kristinak:

IMANOLHiru kasu posible daude:

— Bi aurpegi → imanolek irabazi— Bi gurutze → irabazlerik ez— Aurpegi bat eta gurutze bat → kristinak

irabazi

Probabilitateak: Imanolek → 31 ; Kristinak →

31

Biok dugu probabilitate berdina!

KRISTINALau kasu posible daude:

1. txanpona 2. txanpona

A AA ++ A+ +

→ imanolek irabazi→ kristinak irabazi→ kristinak irabazi→ irabazlerik ez

Probabilitateak: Imanolek → 14

; Kristinak → 42 = 1

2Nik Imanolek baino bi aldiz probabilitate gehiago dut!

•Zeinek du arrazoi, zure ustez? Hori argitzeko, bota bi txanpon hogei bider, idatzi emaitzak eta ikusi zeini ematen dioten arrazoi, Imanoli ala Karmeleri.

134

Bi aurpegi irtenez gero, neuk irabazi.

Eta aurpegi bat eta guru-

tze bat irtenez gero, neuk.

135

Erabili burua•Autobus bat ikaslez beteta irten da ikastetxetik.

— Lehenengo geltokian, ikasleen erdiak eta erdi ge-hiago jaitsi dira.

— Bigarrenean ere berdin: ikasleen erdiak eta erdi ge-hiago jaitsi dira.

— Eta berdin hirugarren, laugarren eta bosgarren gel-tokietan.

— Gero, autobusa garajera itzuli da, hutsik.

Zenbat ikasle zihoazen autobusean?

Azaldu soluzioa, geltoki bakoitzean zenbat jaitsi diren eta zenbat geratu diren zehaztuz.

•Lauki-sare bateko bost karraturekin era daitezkeen iru-di lau guztien multzoari pentomino esaten diogu. (Ka-rratuek elkar ukitzen egon behar dute alderen batetik). Hona hemen pentomino batzuk:

Kontuan izan bi hauek pieza berdina direla onartzen dugula:

Irudikatu ahal dituzun pentomino guztiak.

1. Orduaren zer zati dira 12 minutu?

2. Irudikatu koadernoan, ondoren ageri den grafiko horren moduko batean edo zuk pentsatutako beste batean, 8/9 eta 15/9 zatikiak.

3. Oposizio batera aurkeztu direnen artean, 15 hauta-gaik gainditu dute, eta 35 hautagaik, ez. Oposizioa egin dutenen zer zatik gainditu du?

4. Kalkulatu.

a) 240ren hiru laurden b) 80ren 25

c) 35en 33 d) 10en hiru erdi

5. Egin gogoeta eta osatu koadernoan.

a) …-(r)en 43 = 15 b) …-(r)en

72 = 10

c) …-(r)en 55 = 25 d) …-(r)en 11

10 = 11

6. Adierazi hamartar eran.

a) 103 b)

54 c)

81

7. Idatzi zatikien bidez.a) 0,2 b) 1,2 c) 0,24

8. Idatzi.a)

216 -en baliokidea den eta izendatzailean 14 duen

zatiki bat.b)

159 -en baliokidea den eta izendatzailean 10 duen

zatiki bat.

9. Sinplifikatu.

a) 2814 b)

4836 c)

6040

10. Anek eta Maitek boligrafo bana erosi dute. Anek euroaren 4/5 gastatu ditu, eta Maitek, 75 zentimo. Bi boligrafoetako zein da garestiagoa?

11. Kostaldeko herri batek 4 500 bizilagun ditu. Here-na arrantzatik bizi da; bi bosten, nekazaritzatik; eta, gainerakoak, zerbitzuen sektoretik.a) Zenbat pertsona bizi da zerbitzuen sektoretik?b) Bizilagunen zer zati bizi da zerbitzuen sektoretik?

12. Hiru kilo laurdeneko kaxa bat gailetak 2,25 € balio du. Zenbat ordainduko dugu kilo bat gaileta?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebazten

135

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean