zapatas medianeras.pdf

TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 401

5.8 ZAPATA DE BORDE

La zapata de borde aparece cuando se hande cimentar pilares situados en medianeras o enfachadas que coinciden con el límite de parce-la. Estas zapatas se caracterizan por el descen-tramiento entre la carga del pilar y la cargatransmitida por la zapata al terreno, que provo-ca la aparición de momentos flectores que hayque contrarrestar.

Las soluciones que se pueden adoptar depen-den de la ubicación de las zapatas, del númerode éstas y de la forma de contrarrestar los momen-tos flectores que se producen.

Para centrar las cargas y contrarrestar los mo-mentos flectores se puede adoptar una de las si-guientes soluciones:

1. Colaboración de forjado, losa, viga o pilar2. Aumento de peso de la zapata3. Sistema de palanca4. Con zapata combinada5. Con viga centradora

En el caso de zapatas de ángulo se puedenutilizar estos sistemas o combinaciones entreellos.

5.8.1 Zapata de borde con la colaboraciónde otros elementos

5.8.1.1 Solución 1. Colaboración del pilar

Se realiza mediante la aplicación del coefi-ciente de balasto, de acuerdo con las siguientes hi-pótesis según la figura 5.123:

1. Se admite la distribución plana de tensionesde modo que se verifica que:

Ks: Coeficiente de balastoN: Carga excéntrica

2. Las expresiones de los asientos son:

[5.174]

[5.175]

Δc = σc

Ks

Δb = σb

Ks

3. Las tensiones se calculan mediante las si-guientes fórmulas:

e – er : Excentricidad del esfuerzo normal

σc = NA × B

1+6 e − er( )

A

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

σb = NA × B

1−6 e − er( )

A

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

σc − σb =12 e − er( )

A2 × B

Δc − Δb =12 e − er( )Ks × A2 × B

Figura 5.123Zapata de borde con colaboración de forjado, losa o viga

Articulación

h

N

H

a N

e

er

er

b

H

σcσb

e

B

A

N

c1

xG

ch1

402 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS

La fuerza H que se aplica en la superficie decontacto zapata-terreno (figura 5.124) debe sercontrarrestada por rozamiento, por lo que será ne-cesario la verificación del no deslizamiento de lamisma (comprobación a deslizamiento).

La viga o forjado se dimensionan con la com-binación de la flexión propia más la tracción H.

El soporte en su sección AB, junto al arranquede la zapata, se debe dimensionar para soportarlos esfuerzos generados por la estructura más unmomento de valor característico:

Siendo hz la altura total de la zapata.

MAB = H × h – hz( )

N × e = H × h

H = N × eh

El giro de la zapata adquiere el valor:

El giro del soporte vale:

I: Momento de inercia del pilar

Dado que ambos giros son tienen el mismo va-lor, se igualan las dos expresiones:

El valor Ks x A3 x B/36EI es muy pequeño porlo que aproximadamente los valores de er y e sepueden considerar iguales: (er = e)

Por tanto, el momento del soporte vale aproxi-madamente:

M = N x e.

De donde se deduce que:

Es decir, se cumple la igualdad de los momen-tos actuantes en el conjunto producidos por la ex-centricidad de la carga y la fuerza horizontal H.

5.8.1.2 Solución 2. Colaboración de forjado,losa o viga

En esta solución se admite a priori que:er = 0

En este caso debe verificarse por las leyes dela estática la igualdad de los momentos, es decir:

H = N × eh

H × h = N × e

12 × N × e − er( )Ks × A3 × B

= N × er × h3EI

erh

3EI+ 12

Ks × A3 × B

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 12Ks × A3 × B

× e

er = e

1+ Ks × A3 × B36EI

αs = M × h3EI

= N × er × h3EI

αz = Δc − Δb

A=

12 × N × e − er( )Ks × A3 × B

Figura 5.124Zapata de borde con colaboración de forjado, losa o viga

H

N

A B

H

e

hz

A

h

α

[5.177]

[5.176]


5.8.2 Zapata de borde con aumento del pesode la zapata. Macizo de cimiento

El aumento del peso de la zapata puede ha-cerse mediante dos procedimientos:

a) Aumentando su tamaño con objeto de man-tener la resultante en el tercio central de laplanta de la misma. En este caso no se tie-ne en cuenta el empuje pasivo del terreno.

b) Disponiendo un dado de hormigón en masabajo la zapata.

c) Es lógico suprimir la zapata convirtiéndoseel cimiento en un pozo o macizo. En algúncaso puede resultar interesante plantear unazapata de hormigón en masa.

5.8.2.1 Solución 1. Aumento del tamaño dela zapata

Esta solución es a todas luces ilógica desdelos puntos de vista técnico, económico y construc-tivo. Admitiendo como distribución de tensiones:

σmax = 1,25 qadmσmin = 0

Siendo:N = Carga transmitida por el soportePh = Peso del cimiento de hormigón.Tomando momentos sobre el punto de apli-cación de la resultante de la zapata:

El peso del macizo de la zapata es:

Igualando y despejando, se tiene:

[5.178]h =N 2 - 3 a

A⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

24 × A × B

Ph

= A × B × h × 24 kN m3

PhA2

- A3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= N A3

- a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ph = N6 A

3- a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A= N2A - 3a

A=

= N 2 - 3 aA

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(N en kN)(A y B en m)( qadm en kN/m2)24 kN/m3: Peso específico del hormigón en

masa

El valor de la presión admisible es:

[5.179]qadm = 2NA × B

Figura 5.125Zapata deborde conmacizo decimiento

a

σmin=0

A

B

N

a

Ph

N1

h

A

σmax=1,25 qadm

A/3 2A/3


2ª Hipótesis: A=6,00 mLos resultados que se obtienen con el mismo

procedimiento de cálculo son:h=2,68 m; B=4,67 m

En ambas hipótesis se verifica que:1. El costo por tonelada soportada es altísimo.2. Constructivamente resulta ilógico.3. Excepcionalmente se puede utilizar en el

caso de naves industriales con valores pe-queños de N.

4. La qcal del terreno quedaría disminuida enla diferencia de peso entre hormigón y tie-rras, en este caso Δq = 6 x 7 = 42 kN.

Se puede concluir que la de aumentar el tama-ño de la zapata es una solución ilógica y pococonveniente. Si en el ejemplo se reduce la normalsobre la zapata de 1000 kN a 200 kN, sin alte-rar el resto de valores, se tiene:

Suponiendo A=2,00 m y aplicando [5.181]:

A = 2,00 mB =1,20 mh = 2,43 m

Estos resultados proporcionan una solución válidadesde los puntos de vista económico y constructivo,cuando las cargas sobre el soporte son pequeñas.

B = 2NA qadm − 48h( ) =

= 20002 200 − 48 × 2,43( ) = 1,20 m

h =2 − 3 0,4

2

144 1− 0,42

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

× 200 = 2,43 m

A × B < 200200

= 1 m2

B = 2NA qadm − 48h( ) =

= 20004,5 200 − 48 × 2,64( ) = 6,06 m

Operando resulta:

De donde se verifica que:

[5.180]

Y por lo tanto deben cumplir las tres condicio-nes siguientes [5.179] y [5.180].

1.

2.

Si en la expresión [5.178], se introduce el va-lor de [5.180] y se opera, se obtiene la terceracondición:

[5.181]3.

Ejemplo:N = 1.000 kNqadm = 200 kN/m2

a = 0,40 m ; A > B

1ª Hipótesis: A = 4,50 mAplicando [5.181]

h =2 − 3 as

A

144 1− as

A⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

× qadm =

=2 − 3 0,4

4,5

144 1− 0,44,5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

× 200 = 2,64 m

A × B > 2Nqadm

= 2000200

= 10 m2

h =2 - 3 a

A

144 1− aA

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

× qadm

B = 2NA qadm − 48h( )

A × B > 2Nq

adm

A × B = 2Nqadm − 48h

qadm =2 N + 24 × A × B × h( )

A × Bqadm = 2N

A × B+ 48h


5.8.2.2 Solución 2. Dado de hormigón debajode la zapata

Tomando como modelo la figura 5.126, elprocedimiento de cálculo es el siguiente:

El hormigón del macizo es del tipo:

(EH-91)

Las premisas de cálculo son similares a las delcaso anterior:

Tomando momentos con respecto al punto deaplicación de la resultante y operando:

Por lo tanto, el peso del macizo adquiere el si-guiente valor:

Y evidentemente el peso del macizo es:

(Siendo γh la densidad del hormigón utilizado)

Por lo que se pueden elegir las dimensiones dela zapata que cumplen las condiciones anteriores.

Se trata de una solución cara y que puedeprovocar giros en el cimiento como consecuen-cia de la distribución triangular de tensiones.

h =P

h

A × B × γh

Ph

= A × B × h × γh

Ph

= 2 N + Pz( ) − 3

AP

z× A

z+ N × a( )

Ph

A2

- A3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ Pz

Az

2- A

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = N A

3- a

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16

× Ph

× A + Pz

Az

2- A

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = N A

3- a

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ph

= Pz

2 - 3A

z

A

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + N 2 - 3 a

A⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N1 = N + Pz + Ph

fc < fcd = fck

1,2γ c

Actuaría el empuje pasivo, pero el soportehabría girado. Es una solución ilógica igual quela anterior, aunque más de una vez se ha reali-zado sin una comprobación de seguridad y fian-do esta al empuje pasivo.

Por otra parte es ilógica plantear la zapatasobre el macizo, cuando éste puede dar respues-ta por sí solo como macizo o como zapata dehormigón en masa.

Figura 5.126Zapata deborde con dadode hormigón

a

A

B

N

a

Ph

N1

h

A

q

A/3 2A/3


Los pesos de los elementos que contrarrestan elmomento son:

Se fijan “a priori” las dimensiones B1, h y Pm yse calcula la distancia c o bien se fija c y se calcu-la Pm , peso del macizo.

Se calcula la viga y se determina Pv. A conti-nuación se procede al dimensionamiento de la za-pata como si tuviera carga centrada:

Conviene que se verifiquen las siguientes limita-ciones en las dimensiones:

A > 0,80 m ; B < 2,5 A

La viga de sección AB debe calcularse paraun momento de empotramiento

Esfuerzo cortante Pv + Pm , viga en voladizo.Debe verificarse:

Por igualdad de momentos a derecha e iz-quierda:

Siendo:N: Esfuerzo de compresiónNd= N x γf. Esfuerzo de compresión mayoradoγf = 1,6qadm = 180 kN/m2

a : Lado del soporteb : Lado del soporteSe fijan los siguientes valores:A: Debe ser mínima para que lo sea Ma. De

todos modos, por razones constructivas,debe ser igual o mayor que 1 metro

Pm =Nd A − a( ) − Pv Iv − A( )

2c − A

12

Nd A - a( ) = Pm c - A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ PvIv2

- A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Md = NdA2

− a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 12

Nd A − a( )

Az = R1

qadm= A × B

Pv = B1 × h × Iv × γ h =Pm = X × Y × hm × γ h

R1 = N + Pv + Pm

5.8.3 Zapata de borde equilibrada con elsistema de palanca

Este sistema queda reflejado en la figura5.127. Para el cálculo de los elementos se operacomo sigue:

La excentricidad entre las cargas y las resultan-tes tiene el siguiente valor:

Tomando momentos con respecto al centro degravedad de la zapata

Nd × e = PvIv2

– A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ Pm c – A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ev = 12

Iv − A( ) (Excentricidad de la viga)

em = c − A2

e = 12

A - a( )

Figura 5.127Zapata deborde consistema depalanca

Sección S-S'

M= N ( A-a)2

N

h

Pva S

S'

Pv+Pm

hm

e

c

R1/qadm

Pm

B

AX

Y

5-10 cmde neopreno

B1

hev


Lv: Longitud de la vigac: Distancia del eje del macizo al borde de la

zapata

Se calcula:X = 2(Iv – c) (Ancho del macizo)

Se dimensiona la viga para:

bmin = b : ancho del soporte

Ejemplo 1

N =1.000 kNa = 60 cm ; b = 30 cmA =180 cmIv = 400 cmc = 300 cm

Resulta una viga de 60 x 90 cm

Iv = 4,00 mPv =4 x 0,6 x 0,9 x 25 = 54 kNx = 2(4,00 – 3,0) = 2,00 m

Pm = 2,00 · Y · h · 25 kN = 429 kN

Y x h = 8,6 m2

Haciendo h =2 m, resulta:Y = 4,3 m

El macizo resultante mide 2,0 x 4,30 x 2,00 m

La solución es costosa por lo que sólo se usa encasos excepcionales o bien en soportes sometidos apequeños esfuerzos de compresión.

Pm =1.600 1,8 − 0,6( ) − 54 4,00 −1,80( )

2 × 3,00 −1,80=

= 1.920 – 1194,20

= 429 kN

μ = 960 ×1,500,6 × 0,862 × 25.000

= 0,13

Md =1.000 ×1,6 1,80 − 0,60( )

2= 960 kN × m

Md =Nd A − a( )

2

Ejemplo 2

N =200 kNa = 50 cm; b = 25 cmA =100 cm

Viga con:

u: 0,08 momento específicob: 0,25

h: 0,55Iv : 2,50 mPv : 0,25 x 0,55 x 2,50 x 25 = 8,6 kNc: 2,00 mx: 2(2,5 – 2,0) = 1,00 m

d = 80 ×1,50,25 × 0,08 × 25.000

= 0,49 m

Md = 200 ×1,6 × 12

1,00 − 0,50( ) = 80 kN × m

Figura 5.128Zapata de borde, medianera, de un soporte sometido a unesfuerzo de compresión N y alternativamente a momentosM1 y M2 de signo contrario

a lv

e

A

lm

hmPm

M= N ( A-a)2

M2M1

N

Soporte

Viga Macizo

Zapata


5.8.3.1 Zapata de borde con esfuerzos decompresión (Nmax y Nmin) momentosM1 y M2 alternativos y de signocontrario

Se resuelve mediante zapata Z1 articulación,viga y macizos centradores (figura 5.128).

Se consideran tres hipótesis para el cálculo:

Hipótesis 1:M1: Momento debido al empuje de viento

y, en su caso, a puentes- grúa.Nmin: Carga más desfavorable.

Hipótesis 2:M2: Momento debido a la succión de vien-

to y, en su caso, a puentes-grúa.Nmax:Carga más desfavorable con γc = 1,6

Las armaduras de la articulación macizo-viga de-ben soportar tracciones iguales o mayores que el pe-so del macizo

Hipótesis 3:Nmax = NdM1 = 0M2 = 0

: Excentricidad de Nmax

Pv : Peso de la viga centradora

: Ecentricidad de Pv

excentricidad peso macizo

Pm : Peso del macizo

em = c – A2

ev = Iv2

– A2

e = 12

A - as( )

e2 = M2

Nmax

e1 = M1

Nmin

49 = X x Y x h x 25X x Y x h = 49/25 = 1,96 m3 ≈ 2 m3

X = 1,00 m ; Y = 1,50 mh = 1,35 mR1 = 200 + 8,6 + 49 = 257,6 kN = 258 kN

Zapata centradaAz = 258/180 = 1,43 m2

A =1,00 mB = 1,43/1,00 = 1,45 mh ≈ 0,30 m

La solución puede ser válida desde los puntosde vista técnico y económico.

La unión zapata-viga se debe realizar median-te una articulación o un apoyo de neopreno.

Pm = 200 ×1,6 × 0,5 − 8,6 ×1,52 × 2,0 −1

=

= 147,1/ 3 = 49 kN

Figura 5.129Cimiento de

nave industrial

αPv

lm

lm=c - A 2

N

cv

Pv

as

hm

e

c

R1/qadm

Ph

B

ax

y

5-10 cmdeneopreno


Debe verificarse:Nd e = Pv x ev + Pm x emR1 = N + Pv + Pm(Sin mayorar a efectos de cálculo de la superfi-

cie de la zapata ya que la resistencia admisibledel terreno tiene un coeficiente de minoración ≥que 3).

La viga de sección b x h se calculará paraMd = Nd x e (de manera análoga a la calculadaen (5.8.3)

Hipotesis 2Nmax = Nd = N x γc = 1,6 NM2max:Momento debido a la succión del vien-

to. Corresponde al esfuerzo mayoradode las cargas permanentes y variables,a excepción de las cargas debidas alpuente-grúa, en el caso de su existen-cia, ya que generarían un momentocontrario al del viento por succión. Seobtiene Pm, o en su caso c.

Debe verificarse:

R1 = Nd + Pv + Pm

Hipotesis 1Nmin = N (sin mayorar)M1max = Md = 1,6 M

Al igual que en el caso anterior, no se conside-ra el efecto del puente-grúa que aumentaría el Nmin(favorable) y aumentaría el M1max (desfavorable).

Debe verificarse:

R1 = N × eem

+ Pv × ev

em+ Pm + Md

em

Mv = –Nmine + Md

R1 = N × eem

+Pv em − ev( )

em+ N – Md

em

Nd × e + M2d = Pv × ev + Pm × em

Pm =Nd × e + M2d − Pv × e

em

Hipotesis 2 Considerando la acción de puente-grúaNdmax = Nd(g + q)max + Md pgrua = N’Mdmax = – M2d succión + Mgrúa

(sin mayorar) = ΔMM2max = ΔM + N’ x e

Debe verificarse:– N’ x e + ΔM = Pv x ev + Pm x em

R1 = N’ + Pm + Pv

Esfuerzo de compresión para el cálculo de lazapata

Hipotesis 1 Considerando la acción de puente-grúa:

Nmin = N (sin mayorar) ++ Npgrúa (sin mayorar) = N’/γc

M1max = + Md(viento) + MGdgrúa – Nmine = + + Md + MGd – Nminc = 1,6(– M1+ MG)– Nmin x e

El resto se desarrolla igual que en la Hipotesis1 sin puente-grúa, sustituyendo N y Md por los va-lores de Nmin y M1max.

Son datos para el cálculo las acciones exterio-res que originan los esfuerzos de compresión - N oen su caso N’ y los momentos originados por laacción del viento (M1 o M2) y en su caso Mgrúa ,debido al puente-grúa

• Dimensiones del soporte: as y bs• Hormigón • Acero• Terreno: Resistencia admisible de la que se

deducirá la máxima resistencia de cálculo.

Se estimarán valores lógicos para:lv : Longitud de la viga centradora. Normal-

mente 3,0 a 4,0 m. Excepcionalmente po-drá sobrepasar la longitud de 5 m

Pm = ′N × e + ΔM – Pv × ev

em


e = 0,25 mIv = 3,00 m

Estos datos se representan en la figura 5.131

Cálculo de dimensiones de la viga:M2max = ΔM + N’ x eΔM = -80 + 100 = 20 kN x mN’ = (150 + 200) x 1,6 =560 kN x mN’ x e = 560 x 0,25 = -140 kN x mMdmax = -120 kN x m

Puede suceder:Mgrúa = 0Ngrúa = 0N = 240 kNMdmax = -80 x 1,6 -240 x 0,25 =

= -188 kN x m(Lo cual resulta más desfavorable)R1 = N + Pv + PmkN = 560 + 16 + 69

Con la acción del puente-grúa:N’ = 560 kNM’ = -120 kN x mR1 = 560 + 16 + 69 = 645 kN

Sin la acción del puente-grúa:N’ = 240 kNM’ = -188 kN x m

ev = 12

Iv - A( ) = 1,00

e: Excentricidad: distancia entre el centro degravedad del soporte y el centro de grave-dad de la zapata. Debe procurarse quesea mínima, pero debe verficarse:

em: Distancia del centro de gravedad del maci-zo al centro de gravedad de la zapata

A: Dimensión de la zapata

Se calcula la viga para:M2max:Momento negativo máximo a que va a

estar sometida M1max:Momento positivo máximo

5.8.3.2 Ejemplo 2. Zapata para soporte denave (figura 5.130)

Los esfuerzos actuantes son los siguientes:N=150 kNM1= +160 kN x mM2= -80 kN x mqadm = 200 kN/m2

qcal = 180 kN/m2

Se trabaja con un soporte de 30 x 50 cm.Se procede a fijar las dimensiones siguientes:Ngrúa = 200 kNMgrúa = 100 kN x mA = 1,00 mem = 2,00 m

e ≥ as

2+ 40 cm

Figura 5.131Armadura de la viga del ejemplo 2

US2

US1

0,62 m 0,70 m

Figura 5.130Zapata de la

nave delejemplo

B

A

50

100

25P

Im


R1 = 240 + 16 + 69 = 325 kNM1max = Mdviento + Mdgrua – Nmin x e

Con la acción del puente-grúa:Nmin = 350 kNM1max = (160 + 80) x 1,6 – 350 x 0,25 =

= 296,5 kN x m

Sin la acción del puente-grúa:Nmin = 350 kNM1max = 160 x 1,6 – 150 x 0,25 =

= 218,5 kN x m

Mmax (negativo-viga) = – 188 kN x mMmax (positivo-viga) = + 297 kN x mfck = 25 N/mm2

fy = 400 N/mm2

Armadura inferior:As1 =9,87+ 8,71= 18,78 cm2

(6Ø20 <>18,84 cm2)

Armadura superior:As2 = 8,71 cm2 : (5Ø16 <> 10,05 m2)Viga 30 x 70Pv =0,3 x 0,7 x 3,0 x 25= 15,75 kN ≈16 kN

Hipótesis 2:Cálculo de Pm

Con efecto del puente-grúa:

Pm = 120 −16 ×1,002,0

= 41,8 kN

Pm =N' ×e + ΔM − Pv × ev

em

ev = 12

1− A( ) = 1,00 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Us = 188062

= 303 kN = As × 401,55

As = 8,71 cm2

Sin efecto del puente-grúa:

Hipótesis 1:Pm = 69 kN

Datos para cálculo de la zapata y macizo.Zapata:Esfuerzo máximo de compresión centradaR1 = 662 kN (Hipótesis 2)

Zapata de 10 x 3,60

Macizo:Pm = 86 kN (Hipótesis 2)

R2 = 379 kN (Hipótesis 1)

Macizo x·y·h = 3,44 m3

h = Profundidad del cimiento menos 0,70 mde altura de viga = 2,50 – 0,70 = 1,8 m

3,44 = 1,8 x 1 x 4 = 1,91 m ≈ 1,95 m

Macizo: 1,00 x 1,95 x 1,80

y = 14,840 ×1,8

= 2,10 m

Volumen = 8625

= 34,4 m3 de hormigón

A2 = 662180

= 3,68 m2 = A × B

B = 3,57 m ≈ 3,70 mA = 1,00 m

R1 = + 3502,0

+ 16 ×12,0

+ 350 − 240 ×1,62,0

=

= 341 kN

R1 = − 3502,0

+ 16 ×1,52,0

+ 86 − 240 ×1,62,0

=

= 115 kN

Pm = 188 −16 ×1,002,0

= 86 kN

R1 = 560 +16 + 86 = 662 kN


1. Resistencia de cálculo del terrenoSe determina la resistencia de cálculo del te-

rreno, mediante la fórmula aproximada que la re-laciona con la resistencia admisible en funcióndel canto de la zapata y la profundidad del ci-miento:

En la hipótesis se ha considerado:Peso específico del terreno = 17 kN/m3

H = altura de la zapata en mPeso específico del hormigón = 25 kN/m3

Como partida se considera que el canto de lazapata es aproximadamente un octavo de la luz li-bre, es decir:

[5.182]

2. Centro de gravedad de los esfuerzos decompresión

Se determina por la fórmula

(m) [5.183]

3. Cálculo de dimensiones de la zapata enplanta

La superficie de la zapata es:

(m2)

Las dimensiones de la zapata se determinanpartiendo de esta superficie y definiendo quedeben cumplir la limitación constructiva que seexpresa:

AZ = A x BBmin=1 m

Por lo que se puede llegar a determinar el va-lor máximo que podría alcanzar el lado A de lazapata, que sería:

AZ

=N

1+ N

2

qcal

xG =N1 × c1 + N2 L + c1( )

N1 + N2

H ≈ L8

(m)

qcal = qadm −17D − 8H (kN/ m2 )

Comprobación de la tensión en el terreno pro-ducida por el macizo.

Hipótesis 1:

Es válido.

Los ejemplos se complementan calculando lasarticulaciones y la unión soporte-viga como ménsu-la corta.

5.8.4 Zapata de borde combinada

Los datos necesarios para proceder al cálculode este tipo de zapatas son los que se indican acontinuación (figura 5.132):

N1 y N2: Esfuerzos de compresión (kN) de lospilares 1 y 2

c1: Separación del eje del pilar media-nero a la medianería

L: Distancia entre ejes de soporte (m)Dimensiones de los soportes a1 x b1y a2 x b2 (m)

qadm: Resistencia admisible del terreno(kN/m2)

B: Ancho de la zapata. Mínimo B > 1mD: Profundidad de la superficie de con-

tacto cimiento-terreno

Datos de los materiales

Se prescinde para el cálculo de los momentosflectores que transmite la estructura del edificio.

En todo caso, una vez calculada la estructu-ra, se comprobará, con los datos obtenidos eneste cálculo, que las tensiones máximas que seoriginan en el terreno no superan en un 25% elvalor de qadm.

El proceso de cálculo, que se expone a conti-nuación, consta de nueve puntos:

σzmacizo = R2

1,00 ×1,95= 115

1,95=

= 59 kN/ m2 < 180 kN/ m2


(m)

Por geometría se debe verificar que el lado Ade la zapata tenga una dimensión mayor o igualque la suma de los términos:

[5.184]

Ya que si no se verifica esta condición la solu-ción a utilizar consistiría en construir dos zapatasaisladas con viga centradora.

Por otra parte, desde el punto de vista cons-tructivo, es aconsejable que el vuelo de la zapatano exceda del 25% de la luz entre ejes L, por loque el valor máximo de la dimensión Ax deberácumplir la igualdad:

[5.185]

Excepcionalmente se puede llegar a un30% de L.

Aplicando esta condición a la determinacióndel ancho de la zapata se tiene otra condición de-finitoria:

Bmin=1 m

En la solución ideal, el centro de gravedad delas cargas coincide con el centro de gravedad dela base de la zapata, en cuyo caso, para una ba-se rectangular, se deben cumplir las condicionesanteriores que quedan de la siguiente forma

[5.187]B = AZ

A= AZ

2xG

≥ 1 m

L + c1 + as

2≤ A = 2xG ≤ 1,25L + c1

B ≥A

Z

1,25L + c1

m

A = AZ

B≤ 1,25L + c1

Amax ≥ L + c1 + a2

2

Amax

=A

Z

B

AZ

B= A;

En general, la condición de coincidencia delcentro de gravedad de la aplicación de cargas yel centro geométrico de la base de la zapata resul-ta difícil de cumplir por la propia forma del cimien-to; por ello se admite que la resultante de los es-fuerzos de compresión quede dentro del núcleocentral de razón 1/2.

En este caso, la anchura de la zapata quedaefectivamente comprendida entre los valores quese determinan a continuación (apartado 5.7.3.1,expresión [5.155])

127

xG ≤ A ≤ 125

xG

Figura 5.132Datos geométricos de una zapata de borde combinadapara dos pilares

M

XG

B

a1

b1 b2

a2

c1

c2

L

A

N1 N2

1 2

D

H

[5.186]


Para que se trate de un elemento lineal se de-ben cumplir dos condiciones:

a) Según la EHE la distancia entre puntos demomento nulo es igual o superior a dos ve-ces su canto total:d entre dos momentos nulos > 2H

b) El ancho es igual o inferior a cinco veces elcanto:B ≤ 5H

Según el Eurocódigo, la condición es que laluz mínima sea mayor que cuatro veces su espesor:

Lmin<4H Elemento lineal

6. Estimación de la altura de la zapataSiempre conviene determinar el canto de la za-

pata para que ésta sea rígida, lo cual implica quese debe cumplir la restricción:

Debe verificarse la condición de rigidez[5.33] expresada por la fórmula definida paralas zapatas combinadas en el apartado 5.3.2.4.de este manual::

H ≥ 26 x 10-3 x K1/3 x L4/3 kN/m/m3

H ≥ L8

4. Cálculo de esfuerzos en la zapataLa figura 5.133 representa el estado de trabajo

de una zapata medianera combinada con dos pilares.

a) Si A = 2xG, es decir, la distribución detensiones es uniforme, el valor de la qcal se extraede [5.204], es decir:

qcal = qadm - 17 D - 8 H (kN/m2)

b) Si existe una excentricidad e definida, se-gún la figura 5.134, por:

En este caso la distribución de tensiones es va-riable, y la qcal será la tensión del terreno en elpunto de abscisa A/4

[5.188]

5. ComprobaciónSe verifica a continuación si la zapata combi-

nada que se ha dimensionado cumple las condi-ciones “elemento lineal” (viga), o de “elemento su-perficial” (losa).

qcal = σ A4

= NA × B

1+ 3eA

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e = XG − a2

Figura 5.133Cargas sobre zapata medianera combinada

Figura 5.134Zapata medianera combinada con cargas no simétricas

qcal

a

XG

e

a/4a/2

M

(N1+N2)

N2N1

H

(N1+N2)

N1N2

qcal

H

A


7. Comprobación y verificación de armadurasEn este punto deben realizarse la elección de

materiales y la definición de los coeficientes deponderación según el nivel de control para realizarlas comprobaciones matemáticas que exige la Ins-trucción para:

• Flexión• Esfuerzo cortante• Punzonamiento, en su caso• Adherencia

El proceso es el mismo utilizado para las zapa-tas combinadas, por lo que nos remitimos a lo yaexplicado anteriormente.

8. Disposición de las armadurasSe dibujan los planos con la posición de las

armaduras.

9. Mediciones y valoraciónDeterminación del coste de ejecución de la

zapata así como la repercusión por tonelada so-portada, pudiendo ser este punto un elemento dedecisión entre unos tipos de zapata y otros.

5.8.5 Zapata de borde con viga centradora

5.8.5.1 Datos previos

Los datos previos con los que se debe con-tar son (figura 5.135):

1. Características geométricas de la estructura

2. Solicitaciones transmitidasLos pilares 1 y 2 transmiten a las zapatasesfuerzos normales y momentos flectores.

3. Presión de cálculo del terrenoSegún la profundidad y altura de la zapata.Presión admisible del terreno: qadm (kN/m2)Presión de cálculo del terreno: qcal

Siendo:D: Profundidad de superficie de cimiento (m)H: Altura de la zapata (m)γ1: Densidad del terreno (17 kN/m3 como va-

lor estimado)

4. Características de los materiales.

qcal = qadm – D × γ1 − 25 − γ1( ) × H

Figura 5.135Aspecto de unazapatamedianera conviga centradora

A1

c1e1

A1/2

B1

A2

e2

A2/2

B2

M1

N1

M2

N2

vL

A1 A2

b1

as1

c1

hv Dh2h1


Del dibujo se deduce que:

En un punto de coordenada x medida desdela cara exterior de la medianera se verifica, por ladefinición de momento flector, que:

El valor del momento flector en el extremo dela zapata 1 (punto A1) toma el valor:

MA1= −qcr ⋅ A1 ⋅ B( ) A

2+ N1 A1 − c1( )

MA1= −qcr ⋅ A1

2 ⋅ B1

2+ N1 A1 − c1( )

Mx = −qcr ⋅ x ⋅ B( ) B1

2+ N1 x − c1( )

Mx = −qcr ⋅ x2 ⋅ B1

2+ N1 x − c1( )

e1 = A1

2− c1

e2 = A2

2− V

5.8.5.2 Definición de la forma en planta

Para la definición de la forma geométricadel cimiento hay que partir de las hipótesis si-guientes:

1. Las zapatas deben responder como si ac-tuase sobre ellas la carga de su soportecentrada, lo que provoca que la distribu-ción de tensiones sobre la superficie de ci-mentación sea lineal y constante.

2. La forma de las zapatas se supone rectan-gular y tal que, A < 2B. Esta limitaciónobedece a criterios económicos, aunque aveces técnicamente puede no cumplirse.

3. Las zapatas se calculan para que se cum-pla una de las siguientes condiciones deoptimización:

3.1. Mínimo momento flector que seaademás constante en la parte de vi-ga comprendida entre zapatas, ypor lo tanto, el esfuerzo cortantesea nulo en la misma parte centralde la viga, (figura 5.136).

3.2.a) Mínimo esfuerzo cortante en el apo-yo del soporte 2, que supone quelos cortantes a derecha e izquierdadel mismo sean lo más iguales posi-ble ya que su suma es constante.

3.2.b) O bien, que el momento flector ne-gativo en el soporte 2 sea igual omenor que el máximo momento po-sitivo de la viga, es decir:

a. Caso 1

Se desarrolla a continuación el procedimien-to de diseño según la primera condición, quedebe cumplir las hipótesis 1, 2 y 3.1, para locual se parte de dos zapatas tipo, una de ellasmedianera, reflejadas con sus datos en planta yalzado en la figura 5.135.

M2

≤ M (+)

Figura 5.136Distribución de los momentos flectores en una zapata de

medianera con viga

N1 N2

M

M1 M2A1 A2

V2V4

V1V3

V=0

e1 e2


De las leyes de la física se deduce que la car-ga será igual al producto de la resistencia del te-rreno por la superficie de la zapata 1:

qcal x A1 x B1 = N1

Y por lo tanto el momento de esta fuerza seráigual al momento flector, es decir:

Por lo tanto resulta:MA1

= N1e1

En el punto A2, por el mismo razonamiento:MA2

= N2e2

Por hipótesis:MA1

= MA2

LuegoN1e1=N2e2 [5.189]

Para que este momento sea mínimo debe cum-plirse que el brazo del momento sea mínimo yaque la carga es constante:

[5.190]

El valor de e1 será mínimo cuando lo sea A1,ya que c1 es constante. Ahora bien, existe una re-lación que liga A y B, que es el cociente entre lacarga del pilar y la presión real del terreno:

Se cumplirá que el valor de A1 será mínimocuando B1 sea máximo.

Se establece un valor de A1 > 0,80 m por ra-zones constructivas.

Y como por hipótesis se ha definido que:B1 < 2A1

Por lo que el valor máximo de B1 es B1 = 2A1.

A1 × B1 = N1

qcr

e1 = A1

2− c1

MA1= N1

A1

2− c1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= N1 × e1

En algunos casos, puede ser aconsejable nocumplir esta hipótesis para reducir el momento.

Aplicando las condiciones previas recién esta-blecidas se tiene:

De donde,

[5.191]

A esta excentricidad hay que sumarle, en elcaso de que sea desfavorable, la excentricidad ori-ginada por el momento flector:

[5.192]

[5.193]En la práctica resulta muy habitual no tener en

cuenta este momento flector, de pequeño valor encomparación con el originado por la excentricidady que además es variable en valor y en signo enfunción de las fuerzas actuantes.

De la ecuación [5.189] se extrae:

[5.194]

En el caso de que M2 sea positivo, a la excen-tricidad e2c hay que sumarle o restarle para obte-ner e2, la excentricidad debida al momento flectore2m de valor:

[5.195]

Y el soporte tiende a girar en el sentido de lasagujas del reloj. Si M2 es negativo, se le resta.

[5.196]

Se tiene:

e2 = a2

2− v − as

2

e2re = e2 ± e2m

e2 m = M2

N2

e2 = N1

N2× e1

e1re = e1 + e1m

e1m = M1

N1

e1 = A1

2− c1

A1 = N1

2qcr

A1 × 2A1 = 2A12 = N1

qcr


Que aplicándola al máximo momento negati-vo, que se produce en el eje, queda:

Teniendo en cuenta que:

Es decir, el producto del área de la zapata porla tensión real.

Si se despeja de esta fórmula el valor de qcr, yse introduce en la fórmula anterior resulta:

Por otro lado, el momento en la zapata ad-quiere un valor:

En valor absoluto, ambos son iguales:

Es decir:

Si se aplica la fórmula general de resoluciónde la ecuación de segundo grado queda:

Queda así definido el rango en el cual sepueden determinar las dimensiones de la zapata.

A2 = 11,66e2

B2 = N2

11,66e2 × qcal

A2 = 6e2 ± 32e22 =

0,34e 2

11,66e2

A22 – 12e2A2 + 4e2

2 = 0

12

A22

4+ e2

2 - A2e2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × N2

A2= N2 × e2

A22

4+ e2

2 - A2e2 = 2A2e2

12

A2

2− e2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

× N2

A2= N2 × e2

M− = M+

M+ = N2e2

M− = 12

A2

2− e2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

× N2

A2

N2 = A2 × B2 × qcr

M = qcr

2× B2 × A2

2− e2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

b. Caso 2

El procedimiento de diseño varía en el caso deque se considere la segunda condición, es decir,que el esfuerzo cortante sea mínimo en el soporte2 (condición 3.2 del punto 5.8.5.2). Esto suponeque la diferencia entre los esfuerzos cortantes a laderecha e izquierda del soporte sea mínima.

El valor del cortante en V2 por la derecha es:

[5.197]

De una manera similar el valor de V2 por la iz-quierda es:

Como e2 y qcr son constantes, el mínimo co-rresponderá al valor mínimo de B2 que por razo-nes constructivas debe ser ≥ 80 cm. En este casola limitación de A2 es que no llegue a la zapata 1.

Finalmente, se considera la última condiciónque se desarrolla con la segunda, pero conside-rando los momentos flectores iguales (condición3.2b del punto 5.8.5.2)

Por la fórmula general del momento flector:

M = qcr ⋅ B2 ⋅ x2

2

Vd derecha

- Vd izquieda

= 2B2e

2× q

cal

V d izquierda = qcrA2

2+ e2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟B2

Vd derecha = qcrA2

2− e2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟B2

Figura 5.137Expresiones y

parámetros enla zapata del

ejemplo.

N2

M2

A2

e2A2 - e22

B2

M= N2 x e2

[5.198]


5.8.5.3 Comprobación de la zapata. Canto yarmado. Ejemplo

A continuación se comprueba la zapata a fle-xión y esfuerzos cortantes, EH-91, o bien según laEHE. Los cálculos se realizarán con un ejemplo cu-yos datos de partida, según la terminología marca-da en la figura 5.138 son:

L = 6,00 mN1 = 600 kN N2 = 900 kNM1 = -60 m x kN M2 = +50 m x kNas1 = 0,45 m as2 = 0,50 mbs1 = 0,25 m bs2 = 0,30 mc1 = 0,25 mqcal = 160 kN/m2

a. Cálculo de dimensiones de las zapatasen planta

Según el condicionante 3.1 del punto5.8.5.2, que corresponde a un momento flectormínimo y constante en la viga, aplicando la fórmu-la [5.191] se tiene:

Tomando como valor del lado de la zapata 1;A1 = 1,40 m, se determina el otro valor del ladode la zapata a través de la superficie necesariapara soportar la carga del pilar:

B1

= 600160 × 1, 40

= 2, 68 m

A1

=N

1

2qcr

= 6002 × 160

= 1,37 m

A1

c1

S1

e1

A1/2

B1

M A2

S2

e2

A2/2

B2

e1=(A

1/2) - c

1

e2=(A

2/2) - v

M1

N1

A1

M2

N2

A2

qcr

vL

A1

C1

qcrA

2

Figura 5.138Planta y secciónde la zapataresultante delejemplo


1. Solución 1Se parte del cumplimiento de la condición

3.2.a (véase 5.8.5.2), es decir, mínimo esfuerzocortante en el soporte.

Luego se toma el lado B2 = 1,70 m

Se toma como valor de A2 = 3,35 m

Operando, se determina el valor de trabajo re-al del terreno en la zapata 2, que es:

Luego quedan como datos de la zapata 2:A2 = 3,35 mB2 = 1,70 m

2. Solución 2En esta solución se opta por definir “a priori” el

ancho de la zapata:

B2 = 1 m

Aplicando la solución de cálculo que iguala losmomentos flectores, definida en la hipótesis 3.1.

El resultado A2 = 4,89 m resulta excesivamen-te grande, por lo que se adopta la solución de es-fuerzos cortantes aproximadamente iguales.

El diseño en planta de la zapata resultantequeda reflejado en la figura 5.139.

A2 = 6e2 ± 32e22 =11,66 × 0,42 =

= 4,89 m

qcr

= 158 kN / m2

e2 = 0,42 m

qcr

= 9003,35 × 1, 70

= 158 kN / m2

A2 = N2

B2 × qcr= 900

1,70 ×158,7=

= 3,33 m

B2 = N2

2 × qcr= 900

2 ×158,7=

= 1,68 m

Por ello se adopta una dimensión B1 = 2,70 my se procede a definir lo que se denomina “pre-sión real de trabajo del terreno” debajo de lazapata en función de las dimensiones reales deésta:

Teniendo en cuenta el momento flector, la ex-centricidad queda:

De la fórmula [5.194]:

De la fórmula [5.195]:

Y aplicando [5.196]:

Por tanto, se toma un valor de e2re = 0,42 m

Se va a proceder a calcular las dimensionesde la zapata 2, para lo cual se puede optar pordos soluciones, cuyo desarrollo se explica a conti-nuación.

e2re = e2 + e2me2re = 0,366 + 0,055e2re = 0,421 m

e2m = M2

N2= 5

90= 0,055 m

e2 = N1

N2× e1 = 600

900× 0,55

e2 = 0,366 m

e1re = e1 + M1

N1= 0,45 + 60

600e1re = 0,55 m

e1 = A1

2− c1 = 1,40

2− 0,25

e1 = 0,45 m

qcr = N1

A1 × B1= 600 kN

1,40 m × 2,7 mqcr = 158,7 kN/ m2


Finalmente hay que proceder a la comproba-ción de los datos para comprobar que dan res-puesta apropiada a las diferentes solicitaciones alas que se ven sometidas.

b. Cálculo de dimensiones de la viga

Momentos flectoresLos momentos flectores están representados en

la figura 5.140:Los momentos flectores en 1, 2 y en la viga

son, por la expresión general del momento flector:

M2 = qcr × B2( ) × v2

2

M2 = 1,252

2×1,70 ×158

M2 = −210 m × kN

M+ = N1 × e1m = 600 × 0,55M+ = 330 m × kN

M1 = qcr × B1( ) × c12

2

M1 = 0,252

2× 2,70 ×158,7

M1 = −13 m × kN

Figura 5.139Dimensionesde la zapatadel ejemplo.Solución 1

1,40

0,25

2,7

M

1,7

0,42 1,25

0,50

3,35

0,45

6,25

7,50

0,25 0,50 0,30

2,75

Vcal 1,10Vcal0,60

Figura 5.140Gráfica de flectores y cortantes del sistema de cimentación

M+

M10,25

1,40 2,75 1,252,10

M2

-10,3

47,45

-56,3

33,7

600 cm


Se procede a la comprobación a flexión paralo cual se usa la fórmula del momento unitario:

Para este valor de μ, el estado último se alcan-za en el Dominio 2, en el que aproximadamente

w =μ(1+μ) = 0,0688

Que se traduce en las armaduras:

Quedando de esta manera el armado:Momentos positivos:

Armadura de construcción (30% de la cuantíamínima):

Armadura para momento negativo en el soporte 2(cuantía mínima):

5∅12 + 6∅16 <> 16,65 cm2

5∅12 + 3∅20 <> 15,07 cm2

⎧⎨⎪

⎩⎪

5∅12 <> 5,65 cm2 > Asmin

0,3 ×16,5 cm = 4,95 cm2

6∅20

5∅20 <> 15,7cm2

6∅20 <> 18,8 cm2

Asc = ω f cd

f yd× b × h =

= 0,0688

fck

γ c

f ykγ s

50 ×100 = 15,77 cm2

Asc = 15,77 cm2 ≈ As min = 16,5 cm2

μ = Md

b × d2 × f cd

=

= 330 ×1,6 ×1,50,5 × 0,992 × 25000

= 0,0646

Esfuerzos cortantesSegún la figura 5.136 y las fórmulas del es-

fuerzo cortante [5.197] y [5.198]:

V1izd = (qcr x B1) x c1 = 103 kNV1dch = (qcr x B1) x (A1 - c1) = 497 kNV2izd = (qcr x B2) x (A2 - 1,25) = 563 kNV2dch = (qcr x B2) x 1,25 = 337 kN

MaterialesCaracterísticas de los materiales empleados:

Hormigón: fck = 25 N/mm2

Acero: Armaduras principales y transver-sales de acero B 400 S

Coeficientes de ponderación:γf = 1,6γs = 1,15γc = 1,5

Comprobación a flexiónSe opta por definir una dimensión que propor-

cione la cuantía mínima de armadura; para el ca-so de un hormigón fck = 25 N/mm2 se usa la fór-mula del canto útil:

Con cuantía mínima de armadura:e = 3,3 x 10–3

Para fyk = 400 N/mm2

ω = 0,0689μ = 0,0641

Por lo que se adopta como canto de la vi-ga h = 1,00 m.

La armadura en cuantía mínima, por defini-ción, adquiere el valor:

AS = ρ × Ac == 3,3 ×10−3 × 50 ×100 = 16,5 cm2

d = 0,0306 Md

b= 0,0306 330 ×1,6

0,5=

= 0,99 m


Comprobación a esfuerzo cortanteHay que comprobar según la EHE, artículos

44.2.2 y 44.2.3, a partir del esfuerzo cortante re-ducido Vrd, dado por la expresión [5.161]:

Vrd = Vd + Vpd + Vcd

Siendo:Vd: Esfuerzo cortante de cálculo, con su valor

máximo.Vpd:Valor de cálculo de la componente de la

fuerza de pretensado paralela a la sec-ción en estudio.

Vcd:Valor de cálculo de la componente para-lela a la sección de la resultante de ten-siones normales, tanto de compresión co-mo de tracción, sobre las fibras longitudi-nales de hormigón, en piezas de secciónvariable.

El valor máximo será, según la figura 5.141:Vrd max = 563 x 1,6 = 900 kN

Hay que verificar que se cumple:1) Vrd ≤ Vu1. Condición de agotamiento

por compresión oblicua del hormigón2) Vrd ≤ Vu2. Condición de agotamiento

por cortante.

Según la EHE a tracción en el alma.

Vcu = 0,10 ξ (100ρ x fck)1/3 x bo x d→[5.106](fck en N/mm2)

1. Condición por agotamiento de la secciónde hormigón por compresión oblicua (Artículo44.2.3.1 de EHE)

Se cumple la condición de compresión Vu1 >Vrd max, por lo que resulta válida la sección.

2. Condición por agotamiento de la secciónde hormigón por tracción (Art. 44.23.3.1 de EHE)

Vrd2 se comprueba a una distancia d de la caradel soporte.

La distancia al eje del soporte en el punto con-siderado es 0,99 + 0,25 = 1,24 m, y el cortantese anula a una distancia del eje 2 de 210 cm.Así, según la figura 5.141, por el teorema de Tha-les, se cumple:

2,10 - 1,24 = 0,86

Vu1 = 0,3 2,51,5

× 50 × 99

Vu1 = 2475 kN > V rd = 900 kN

Vu1 = 0,3 × f cd × bw × d

ρ = cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionadaρ = 3,3 ×10-3 (cuantía mínima)

ξ =1+ 200d

d en mm( )ξ =1,45

45º

0,99 0,25

0,50

125 cm

Vrd2

56,3

210 cm

linea de cortantes

204,6 cm

96cm (100)

325,60 cm

cortante nulo

124 cm86 cm

Figura 5.141Diagrama de esfuerzos cortantes en la zapata derecha


Siendo:Asα:Sección de la armadura transversal en la

dirección α.α: Dirección de las armaduras. En este caso

vale 90º y el valor del seno es la unidad.

Luego en este caso queda:

s = 30 cmAw = 30 x 0,033 = 1 cm2

Como valor máximo de armado en cada cer-co quedará:

Siendo s la separación entre los cercos de laviga, que se toma: s = 30 cm.

Por lo que en cada rama es:

Que supone:

Se colocan, por tanto, los cercos siguientes:1φ8 a 30 cm de acero B 400 S en la zona

central de 2,75 m en la que el cortante es nulo.

Disposición de armaduras

La disposición de las armaduras según lo vistohasta ahora se hace del modo indicado en la figu-ra 5.138.

Adherencia

La adherencia entre las barras y el hormi-gón se realiza mediante el sistema marcadopor la EH-91 en su artículo 42.1, ya que, co-mo se ha comentado anteriormente, la EHE nomarca ninguna condición para este tipo de veri-ficaciones.

1φ8 <> 0,5 cm2

Asw

2= 0,50 cm2

Asα = Asw

s

Asα = 0, 02 fcd

f yd× 50 = 0, 033

La contribución del hormigón es, según el artí-culo 44.23.2.2 de la Instrucción EHE:

→[5.106]

De esta manera, la contribución de las arma-duras será la diferencia entre el esfuerzo al que seve sometida la sección y lo que absorbe el hormi-gón a tracción en esa sección, es decir:

s = 14 cm

Cercos de ø 8 mm a 14 cm hasta la zonacentral de cortante nulo.

A partir del soporte 2, cercos de ø 8 mm auna distancia:

La cuantía mínima de armadura transversal enel resto de la viga, según la Instrucción EHE, debecumplir:

[5.199]

Asα × f yαd

senα∑ ≥ 0, 02 × f cd × bw

s = 14 × 216182

= 17 cm

Vsu = 368 −152 = 216 kN

216 = Aw

s× 40

1,15× 0,9 × 97

Aw

s= 0,074

Aw = 1 cm2 <>1 cerco φ 8 <> 2 ramas

Vcu = 0,10 ×1,454 × 0,380 × 25( )1 3×

× 500 × 990 ×10−3 = 152,4 kN

ρ = As1

bo × d= 18,8

50 × 99= 3,80 ×10−3

ξ = 1+ 200d

= 1,454

(d en mm)

Vcu = 0,10ξ 100ρ × f ck( )13× bo × d

VRd = 563 ×1,6 × 0,862,10

= 368 kN


La fórmula general es [5.115]:

Siendo:Vd: Esfuerzo cortante de cálculod: Canto de la vigan: Número de barrasu: Perímetro de las barras

Aplicando los datos resulta:

= 27,65 kp / cm2

τb = 56,3T ×1,6 ×10000,9 × 96 × 6 × π × 2

=

τb = Vd

0, 9 × d × n × u≤ τbd

Para barras corrugadas, según EH-91:

[5.200](fck y τbd en kp/cm2)

Del artículo 9.3 de la EH-91 se toma que parabarras de 8 a 32 mm:

(τbd en kp/cm2 y Ø en mm)

Es decir, se verifica la condición:

Por lo que resulta válido.

Cálculo del canto de las zapatasPara finalizar hay que comprobar al canto de

cada una de las zapatas.

Zapata 1, según la figura 5.144La presión de trabajo real del terreno es:

El canto, con cuantía mínima de acero, sedetermina por la fórmula [5.134]:

(qcal en kN/m2 y N/m2, respectivamente)

Donde el vuelo de cálculo es el vuelo real dela zapata más un 15% del canto del pilar:

Operando, resulta un canto H = 0,56 m, porlo que se adopta como valor del canto de la zapa-ta 1: H = 0,60 m.

También se puede determinar el canto óptimode la zapata en función del esfuerzo cortante.

Vcal = 1,10 + 0,075 = 1,175 m

H = 0,0386 × qcal × Vc

H = 1,22 × qcal × Vc

qcr = 158,7 kN / m2

τb

> τbd

τbd = 48,63kp/ cm2 ≥ 27,65kp/ cm2

τbu = 130 −1,9 × 20 = 92 kp / cm2

τbu = 130 −1,9 × Ø = 92 kp / cm2

τbd

=τ

bu

γf

×fck

22,5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

3 =τ

bu

1,6× 250

22,5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

O8 a 30cm70

6O20

5O12

6O20

5O12

3O203O20

50

AA'

BB'

Figura 5.142Disposición de armaduras del sistema de cimiento delejemplo


Para ello se comprueba el valor de Vd (segúnel artículo 44.2.3 de la EHE) en el plano situadoen el plano a 45 grados (figura 5.144), que tieneun vuelo V - d siendo d el canto útil de la zapata.

De acuerdo con la Instrucción EH-91, el esfuerzocortante de cálculo en ese plano será

En el plano en cuestión, el valor máximo quepuede soportar la sección es:

Despejando Vd/B y Vrd/B e igualando, lo queasegura el máximo aprovechamiento del material,queda:

Siendo:

Se despeja en valor del canto efectivo d de lazapata

Por lo que se toma un valor del canto de la za-pata H=0,40 m válido para zapata rígida.

Armado de la zapataA continuación se procederá al armado de la

zapata para un canto de 40 cm a través de lasfórmulas del momento unitario y para el plano críti-co que produce el vuelo de cálculo:

Md = 158,7 × 1,1752

2× γ f

Md = 175,3 m × kN

qcr cv

d = 1,6 ×15,871,6 ×15,87 + 54

×1,10 = 0,35

d = 1,5qcr

1,6qcr + f cv× V

fcv = 0, 5 fcd

V − d( ) × qcr × γ f = H × f cv

V rd = B × d × f cv

V d = V − d( ) × B1 × qcr( ) × γ f

1,40 2,75 3,35

6O20

5O12 5O12 + 6O16

A

A'

B

B'

O8 a 30cm

Armadura de la viga6O20

6O20

cercosO8 a 11 cm

cercosO8 a 30 cm

cercosO8 a 14 cm

Figura 5.144Cálculo del canto de la zapata

Figura 5.143

V-d

d

d

H

Plano de corte

V-d

1,10

1,40

2,70

1,10

0,50

d

[5.201]


(b y d en m)(M en kN x m)(fcd en kN/m2)

14,22 kg de acero (Por m de ancho de zapata)

En la armadura de reparto se usa la cuantíamínima de acero:

As2 = 2 x 10-3 x 40 x 100

As2 = 8,0 cm2 <> 8 φ 12 <> 7,1 kg de acero

(Por m de ancho de zapata).

Acero total por m2 de zapata:

s1 = 7,1 + 14,22 = 21,33 kg

Si en lugar de armar para canto de 40 cm, elarmado se hubiera realizado para el canto h = 60cm y con cuantía mínima, resultaría un valor desección de acero de:

As = 2,0 x 10–3 x 60 x 100 = 12 cm2

11 φ 12 x 12,44 cm2 <>9,8 kg de acero

La armadura de reparto de cuantía mínima es:

As2 = 12 cm2 <> 11 φ 12 en solución 2

Acero total en solución 2:

s2 = 2 x 9,80 = 19,60 kg

La elección entre las dos soluciones de cantose realiza en función del coste. Las diferencias porm2 de zapata son:

9∅16 <> 18,09cm2 <>

ω = 0,827 1− 1− 2,418μ( ) = 0,091

As = 0,091fcd

f yd×100 × 40 = 17,41 cm2

μ = Md

b × d2 × f cd

μ = 175,3 ×1,501× 0,352 × 25000

= 0,086

(21,33 – 19,60) x 0,66 = 1,14 euros

(0,60 – 0,40) x 69,12 = 13,82 euros

Por lo tanto se elige la solución 1 (h = 40 cm)por cuanto en función del esfuerzo cortante, se ob-tiene el siguiente ahorro por tonelada soportada:

El armado de la zapata 1 queda representadoen la figura 5.145.

ΔCOSTE = 13,82 −1,14158,7

= 0,08euros

ΔCOSTE = 0,08 euros kN = 0,8 euros T

0,30

0,40

12O1

7O1

5O1

7O1

2,70

1,40

1,10

1,10

0,70

Figura 5.145Armado de la zapata 1 del sistema de cimiento

428 MANUAL DE EDIFICACION: MECANICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS

El resultado es menor que el mínimo fijado pa-ra la norma, por lo que se toma h = 25 cm.

El valor del vuelo de cálculo, al igual que en elcaso anterior, es:

Y por la fórmula ya conocida del momento uni-tario, queda:

8Ø12 <> 9,04 cm2 <> 7,10 kg de aceropor metro de ancho de zapata en cada dirección.El peso total de acero por m2 de zapata es de14,2 kg.

Este armado se refleja en la figura 5.146

As = 0,0724 fcd

f yd×100 × 25

As = 8,67 cm2

ω = μ 1 + μ( ) = 0, 0724

μ = 54,7 × 1,501 × 0,222 × 25000

= 0,0678

Md = 0,6752 ×1502

×1,6

Md = 54,7 m × kN

Vcal = 0,6 +15% × 0,5Vcal = 0,6 + 0,075 = 0,675 m

Zapata 2Si se aplican los mismos criterios, el proceso es

el mismo para la zapata 2. En este caso la presiónreal de trabajo del terreno bajo la zapata es:

qcr = 150 kN/m2

La forma de la zapata se refleja en la figura5.144, de la que resta por determinar el canto.

La altura útil óptima en función del esfuerzocortante según la EHE, artículo 44.2.3 es, al igualque en la zapata 1:

Vrd = B x d x fcv

Despejando Vd/b y Vrd/b e igualando, loque proporciona el máximo aprovechamiento delmaterial, queda:

= 1, 6 × 15 × 0, 654 + 1, 6 × 15

= 0,19 m

d = γ f × V × qrc

f cv + γ f × qcr=

1,6 × V × qcr = d × f cv + qcr × γ f( )V × qrc × γ f - d × qrc × γ f = d × f cv

V − d( ) × qcr × γ f = d × f cv

Vd = V − d( ) × B1 × qcr( ) × γ f

Figura 5.146Armado de la zapata 2 del conjunto de cimiento

3,35

5O12

3O16

5O12+3O20

1,70

8O12/m

0,50

0,70

0,25

5O12 5O125O12 +3O20

0,60 0,60 0,60

0,60

viga

27O12

[5.201]

→[5.124]


5.8.6 Zapata de ángulo solucionada convigas centradoras

El conjunto de cimientos del que trata esteapartado aparece reflejado en la figura 5.147

Los datos que es necesario conocer para pro-ceder al cálculo son los siguientes:

• Esfuerzos de compresión en los cuatro so-portes.N1 ,N2 ,N3 ,N4

• Presión admisible del terreno: qadm (kN/m2)• Profundidad D de la superficie de contacto

terreno - zapata.

El desarrollo del caso se realiza desde las si-guientes hipótesis:

1. La superficie del cimiento se calcula como sila carga fuese centrada.

2. Se prescinde, en principio, de los momen-tos flectores que transmiten los soportes ala zapata. Se comprueba posteriormente,que su influencia es despreciable.

3. La presión de cálculo del terreno se estimamediante la fórmula general:

qcal = qadm - 17D - 8H

o bien mediante una simplificación de lamisma, que supone un valor H de 0,5 m,que es el que se va a utilizar en este caso

4. Se estudia la forma geométrica del cimientode tal modo que la parte de viga entre za-patas tenga momento flector constante eigual para las cuatro.

Según los datos de la figura 5.148, y paracumplir las hipótesis, debe verificarse la tabla de lafigura 5.149 (página siguiente).

Para la zapata 1 se verifica:

N1 × e1x = N1 × e1y → e1x = e1y

qcal

= qadm

− 17D − 4 kN / m2( )

Figura 5.147Zapatas medianeras de ángulo con vigas centradoras

M

Figura 5.148Notación de un sistema de cimiento de zapatas medianeras de ángulo paracuatro pilares con vigas centradoras

L12C11

C21B1/2

A1

B2

A2

C12

X

L23

A3

B3

L34C24

A4

B4

L14

Y

e1y

e1xZ1

A2/2e2y

e2xZ2

e4x

e4y

Z4

e3y

e3xZ3


Resolviendo, se extraen los valores que permi-ten definir los lados de la zapata 1:

Zapata 2 (Z2)Dado que, por las hipótesis expuestas, los mo-

mentos flectores son iguales, se verifica por la viga 1:

Operando:

Por geometría:

Y por la igualdad entre la carga y la superficiede la zapata multiplicada por qcal:

N2=A2 x B2 x qcal

En la zapata 4, y por las mismas apreciacionesde igualdad de momentos que en el caso anterior:

Operando:

e4x = N1

N4× e1x

A4 = 2e4x + 2c24

B4 = N4

A4qcal

N4 × e4y = N1 × e1x = N4 × e4x

e2 y = e2 x

A2 = N2

B2 × qcal

B2

2= c12 + e2y

e2 x = N1

N2× e1x

N1 × e1x = N2 × e2x = N2 × e2y

e2y = e2x

e1x = − c11 + c21

2+

c11 + c21( )2

4+ N1

4qcal

− c21 × c11( )

Tal y como puede observarse en la figura5.148, por geometría se cumplen las expresionessiguientes:

Si se iguala la carga del pilar a la superficiede la zapata multiplicada por la presión real detrabajo y se opera, queda:

Zapata 1 de ángulo (Z1) (figura 5.148):

Se tiene que verificar que e1x = e1y paraque sean iguales los momentos en las vigascentradoras.

Si se continúa operando, al final se llega a laecuación de segundo grado:

e1x2 + c11 + c21( )e1x + c21 × c11 − N1

4qcal

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0

A1B1 = N1

qcal= 4 e1x + c21( ) e1y + c11( )

A1 = 2 e1y + c11( ) = 2e1x + 2c11

B1 = 2 e1x + c21( ) = 2e1x + 2c21

Figura 5.149Condiciones en un sistema de cimentación de zapatas medianeras de ángulo

para cuatro pilares con vigas centradoras

Eje x

e4y = e4x

e3 y

B2

2− c12 = e2 y

B1

2− c21 = e1y

Zapata

1

2

3

4

Eje y

e4 x = A4

2− c24

e3x = e3y

e2x = e2y

A1

2− c11 = e1x

Excentricidades de los soportes

[5.202]


Aplicando los mismos criterios se obtiene parala zapata 3:

5.8.6.1 Ejemplo de zapata medianera de án-gulo con vigas centradoras

Para aclarar el proceso de trabajo se presentaun ejemplo que incluye los conceptos expuestos enel punto precedente. La nomenclatura es la defini-da en la figura 5.148.

Cargas Soportes Distancia c(kN) (cm) (cm)

N1 = 600 30 x 30 c11 = 20N2 = 750 30 x 35 c21 = 15N3 = 900 35 x 35N4 = 850 30 x 40 c24 = 25

L12 = L34 = 5,50 mL14 = L23 = 6,0 m

qadm = 200 kN/m2

D = 2 m

El valor de la presión de cálculo, por la fórmu-la simplificada, es:

qcal = qadm - 17D - 4qcal = 200 - 34 - 4 = 162 kN/m2

La solución se desarrolla por la aplicación delas fórmulas anteriores que permiten definir la for-ma de las zapatas.

e3 x = e3 y

e3x = e3y = N1

N3× e1x

A3 = B3 = N3

qcal

N3 × e3x = N1 × e1x = N3 × e3y

e4 y = e4 x = N1

N4× e1x

Zapata 1Por la expresión [5.202]

Comprobación de superficie:

De la misma manera, aplicando las fórmulaspara la zapata 2:

Comprobación:

Y para la zapata 4

A4

= 1,65 mB

4= 3,20 m

e4 x

= e4 y

= 0,56 m

e4x = e4y = 600850

× 0,79 = 0,56 m

A4 = 2 × 0,56 + 2 × 0,63A4 = 1,62 m ≅ 1,65 m

B4 = 8501,65 ×162

= 3,18 m ≈ 3,20 m

7502,90 × 1,60

= 161,6 kN / m2 < qadm

A2

= 2,90 m

B2

= 1,60 me

2 x= e

2 y= 0,63 m

B2 = 1,56 m ≈ 1,60 m

A2 = 7501,60 ×162

= 2,89 m

e2x = 600750

× 0,79 = 0,63 m

B2 = 2 × 0,15 + 2 × 0,63

6002 × 1,9

= 158 kN / m2 ≤ qadm

= 162 kN / m2

B1 = 2 × 0,79 + 2 × 0,15 = 1,88mB1 = 1,90 m

e1x = − 20 +152

+ 352

4+ 60

4 ×16,2− 0,15 × 0,20

e1x = 0,79 m

A1 = 2 × 0,79 + 2 × 0,20 = 1,98 mA1 = 2,0 m


El momento positivo de cálculo de las cuatro vi-gas es el mismo por las hipótesis del diseño de laszapatas y tiene un valor:

La viga, que se construirá en este caso conhormigón de fck = 25 N/mm2 <> 25.000 kN/m2,tiene un canto útil:

→ [5.160]

Por lo que se adopta un canto para la viga de1,10 m.

H = 1,15 m d = 1,10 m

La configuración en planta del conjunto de ci-miento se describe en la figura 5.150.

Armadura de la viga:

Armadura de cortante:De cara a cara de zapata cuantía mínima

Aw

s≥

0,02 × fcd

× bo

fyd

= 0,0575

As2 = 0,3 × 3,3 ×10−3 × 60 ×115 =

= 6,9 cm2 <> 6 φ 12 <> 6,8 cm2

As1 = ω × f cd

f yd× 60 ×115 =

= 22 cm2 <> 8 φ 20 <> 25 cm2

μ = 758 ×1,50,6 ×1,102 × 25000

= 0,063

ω = μ 1+ μ( ) = 0,067

d = 0,031× Md

b=

= 0,031× 758,40,6

= 1,10 m

Md = N1 × e1x × γ f

Md = 600 × 0,79 ×1,6 = 758,4 kN ⋅ m

Comprobación:

Zapata 3

Comprobación:

9002,402

= 156 kN/ m2 < qadm

A4 = 2,40 mB4 = 2,40 m

e3x = e3y = 0,53 m

e3x = e3y = 600 / 900( ) × 0,79 = 0,53

A4 = B4 = 9016,2

= 2,36 m ≈ 2,40 m

8501,65 × 3,20

= 161 kN / m2 < qadm

Figura 5.150Dimensiones finales en planta del conjunto del cimiento

X

1,90

2,00

0,79

0,79

2,90

1,60

0,63

0,63

2,40

2,40

0,53

0,53

1,65

0,56

0,56

Y

5,50

1

0,60

2

0,60

4

3,23

0,60

3

0,60

6,00


En los extremos de la viga se calculan los es-fuerzos cortantes mayorados a una distancia iguala 1,10 m de los soportes. Estos valores se usanpara definir la armadura de cortante según lo yavisto con anterioridad en otros ejemplos (EHE, artí-culos 44.2.2 y 44.2.3).

El proyecto se concluiría con el armado totalde las zapatas.

5.8.7 Zapata o viga combinada para trespilares con disposición en medianera,pilar central y pilar de medianera

La hipótesis de partida es que el centro de gra-vedad de las cargas actuantes, N1, N2 y N3, seacoincidente con el centro de gravedad de la super-ficie de cimentación.

Los valores de las cargas actuantes son:

N1 = 500 kNN2 = 800 kNN3 = 600 kN

Las soluciones se pueden agrupar en algunode los siguientes tipos:

1. Zapata combinada trapezoidal.2. Dos zapatas rectangulares.3. Tres zapatas aisladas y dos vigas centra-

doras.

Cálculo de la superficieEl proceso se explicará mediante un ejemplo,

ya que el procedimiento es conocido gracias a losejemplos anteriores.

s ≤ Aw

0,0575

Con cercos de φ 8, Aw = 1 cm2

s = 10,0575

= 17 cm

Se colocan cercos de φ 8 a 17 cm.

Los datos se presentan en la figura 5.151. Sesupone que la presión admisible del terreno es:

qadm = 150 kN/m2.

Siendo la suma de las cargas:

El centro de gravedad está a una distancia xG,que se determina tomando momentos con respectoal extremo de la zapata (véase la figura 151):

xG = 800 × 5 + 600 ×111900

+ 0,15 =

= 5,730 m

Ni∑ = 1900 kN

Figura 5.151Datos y zapata del ejemplo

0,30 0,40

5,00 6,00

11,35

xG

N1=500 kN N2=800 kN N3=600 kN

0,055

5,675

5,73

5,00 6,00

5,675

1,15

11,35


En este caso, la solución óptima sería una za-pata rectangular de las dimensiones indicadas enla figura 5.151, con una excentricidad muy pe-queña, de valor 0,055 m y con unas dimensionesque se determinan según todo lo visto hasta ahora.

M11m deberá ser nulo. No ocurre así por-que se ha tomado un valor aproximado paraqcal y se han tomado momentos con respecto alos ejes de los soportes.

Con estos esfuerzos, momentos flectores y es-fuerzos cortantes, se calcula y arma la zapata-vigade cimientos.

= 2,9 m × kN

M11m = 1300 ×11- 85,1×112 − 4000 =

M2max = 1300 × 7,63 - 85,1× 7,632 −− 4000 = 964 kN ⋅ m

M5m = 500 × 5 - 85,1× 25 == 372,5 kN ⋅ m

M1max = 500 × 2,94 - 85,1× 2,942 == 734 kN ⋅ m

M2 = 500 x −148 ×1,15x2

2+ 800 x - s1( ) =

= 1300 x − 85,1x2 - 4000 (de 5 a 11 m [tramo 2])

M1 = 500 x1 −148 ×1,15 x12

2=

= 500 x − 85,1x2

(de 0 a 5 m [tramo 1])

q2 = 19001,15 ×11,35

1− 6 × 0,05511,35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

q1 = 19001,15 ×11,35

1+ 6 × 0,05511,35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 149,8 kN/ m2

B = 190011,35 ×150

= 1,12 m ≈ 1,15 m

Figura 5.152Gráficas de tensiones y esfuerzos de la zapata del ejemplo

qcal=147,7 kN/m2149,8 kN/m2

141,3 kN/m2

1900 kN

500 kN 800 kN 600 kN

148 kN/m2 148 kN/m2

734 m.kN964 m.kN

372 m.kN

2,945,00

7,63

Momentos F.

500 kN

351 kN

440 kN

572 kN


5.8.7.1 Solución 1. Zapata combinada trapezoidal (figuras 5.153 y 5.154)

Con L = 11,35 = 2 x XG

[ ]

Se adopta A = 1,10 m

Se adopta B = 1,15 m

Los momentos flectores y esfuerzos cortantes serepresentan en las figuras 5.155 y 5.156.

El resto del ejemplo se realiza de modo análo-go al definido en el punto 5.7.3.4.

qreal = 1900 × 21,10 +1,15( ) ×11,35

= 148,8 kN / m2

B = 2Nq.L

3 × XG

L−1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1,148 m

A = 2Nq.L

2 − 3 × XG

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1,08 m Figura 5.153Datos geométricos de la zapata

B1,15 m

11,35

A1,10 m

5,73

G

1 2 3 4

0,15

5,15

11,15

50T 80T 60T Figura 5.154Esquema deaplicación decargas

Figura 5.155Momentosflectores ycortantes encada punto

M (T·m)

-488,5 +190 x -16,37 x x2

2- 0,066 x3

6

-419,5 +130 x -16,37 x x2

2- 0,066 x3

6

-7,5 +50x -16,37 x x2

2- 0,066 x3

6

-16,37 x x2

2- 0,066 x3

6

Tramo

1

2

3

4

V (T)

190 -16,37 x - 0,066 x2

2

130 -16,37 x - 0,066 x2

2

50 -16,37 x - 0,066 x2

2

-16,37 x - 0,066 x2

2

X (m)

0 a 0,15

0,15 a 5,15

5,15 a 11,15

11,15 a 11,35

MmaxTramo

2

3

Mnegativo

(T·m)

(T·m)

68,6

91,3

x(m)

3,03

7,82

A3

21,15

-2,8

A1

0,15

-0,18

A2

5,15

31,4

Figura 5.156Momentosflectores ycortantes enpuntossingulares


Los momentos flectores y cortantes en cadapunto se dan en la tabla de la figura 5.158 y enlos puntos singulares en la figura 5.159

El resto del cálculo es análogo al realizado enel ejemplo 5.7.3.4.

qcr = 19001,1× 5,15 +1,15 × 6,20

qcr = 148,5 kN / m2

A = 4,955,15

× B = 1,09 m ≈ 1,10 m

5.8.7.2 Solución 2. Dos zapatas rectangulares(figura 5.157)

Operando resulta:

Condición para que el centro de las zapa-tas coincida con el centro de gravedad de lascargas.

B = 12, 6711,15

= 1,14 m ≈ 1,15 m

5,15A + 6,20B = 1900150

5,15A × 3,155 = 6,20B × 2,52

5,15A + 6,20B = 12,675,15A = 4,95B

⎧⎨⎩

Figura 5.158Momentosflectores y

cortantes encada punto

Figura 5.159Momentosflectores y

cortantes enpuntos

singulares

Figura 5.157Datos

geométricos delas zapatas yaplicación de

cargas

XGXG1XG2

3,155 2,52

5,15 6,20

11,35

BA

0,15

5,1511,15

11,35

50T 80T 60T

M(T·m)

-8,17x2

-7,5 + 50x - 8,17x2

-429,4 + 133,8x - 8,54x2

-1098,4 + 193,8x - 8,54x2

Tramo

1

2

3

4

V(T)

-8,17x

50 - 16,84x

133,8 - 17,08x

193,8 - 17,08x

X(m)

0 a 0,15

Mmax

(T·m)Tramo

––

2

3

Apoyox

––

68,6

91,3

––

3,03

7,82

-0,18

33,2

-0,8

1

2

3

0,15

5,15

11,15


5.8.7.3 Solución 3. Tres zapatas aisladas ydos vigas centradoras (figura 5.160)

La zapata central se resuelve mediante zapatacuadrada con carga centrada.

Las zapatas extremas se calculan con la condi-ción de que los momentos sean iguales:

Se aconseja que B1 y B3 sean iguales o meno-res que 2 A1 y 2 A3, respectivamente.

Por tanto, si B3=2A3

Por lo que se toman como dimensiones de lazapata 1,40 x 2,80 m (A x B)

A1=1,50 m

B1 = 500150 ×1,5

= 2,22m ≈ 2,25 m

e1 = 6050

× 0,50 = 0,60 m

M = N1e

1= N

3e

3= −300 m × kN

e3 = 1,402

− 0,20 = 0,50 m

qcr = 6001,4 × 2,8

= 153 kN / m2

A3 = N1

2q= 1,41≈ 1,4 m

A3 = 2 × e3 + 20( )

A1 = 2 e1 + 0,15( )

N1e1 = N3e3

qcr = 8002,32 = 151 kN / m2

A2 = N2

qcal= 800

150A2 = 2,31 ≈ 2,30 × 2,30 m

Los esfuerzos se han representado en la figura5.160.

El momento flector de la viga en el soportecentral vale:

Para la zapata central:

El cálculo de armaduras se hace optimizándo-la, de modo análogo al indicado para zapatascon viga centradora.

M = 1,152 ×1512

×1,00

M = 99,9 m × kN por metro de zapata

M2 = N1e1 − 1,152 ×1512

× 230

M2 = −300 + 229,7 = −70,3 m × kN

qcr = 5001,50 × 2,25

= 148 kN / m2

Figura 5.160Forma de las zapatas y momentos resultantes

B2

500 kN 800 kN 600 kN

A3 1,40A2 2,30 A1 1,50

B1B1=2,25 B3=2,80

l3l1

Momento flector de la viga

-300

M=-70,3 kN.m

1,50 -1,15 1,15 1,40

0,15 0,50 0,60 0,20

N1e1 N1e1

zapatas medianeras.pdf

Documents